Chapitre n°3 : Hypothèses, bases decalcul.

III.1. Hypothèse de calculIII.1. Hypothèse de calculIII.1. Hypothèse de calculIII.1. Hypothèse de calcul : : : :

1.1. Hypothèses propres aux calculs aux états limites1.1. Hypothèses propres aux calculs aux états limites1.1. Hypothèses propres aux calculs aux états limites1.1. Hypothèses propres aux calculs aux états limites

de servicede servicede servicede service : : : :

1. Les sections droites restent planes (application de la loi de Navier

Bernoulli) et il n’y a pas de glissement relatif entre les armature et le béton

en dehors du voisinage immédiat des fissures. Le diagramme des

déformations de la section est donc linéaire.

2. Le béton tendu est négligé (Résistance à la traction considérée comme

nulle).

3. Le béton et l’acier sont considérés comme des matériaux linéairement

élastique.

4. Le rapport n des modules d’élasticité longitudinaux de l’acier et du béton

est pris égal à 15

== 15n

EE

b

s .

1.2. Hypothèses propres aux calculs aux états limites1.2. Hypothèses propres aux calculs aux états limites1.2. Hypothèses propres aux calculs aux états limites1.2. Hypothèses propres aux calculs aux états limites

ultimes de résistanceultimes de résistanceultimes de résistanceultimes de résistance : : : :

1. Application de la loi de Navier Bernoulli.

2. Le béton tendu est négligé.

3. Il n’a pas de glissement relatif entre les armatures et le béton.

4. L’allongement unitaire de l’acier est limité à 10%o ( )omax %10=sξ .

5. Le raccordement unitaire du béton est limité à :

%5.3max =bξ o En flexion simple ou composée.

%2max =bξ o En compression simple.

6. Le diagramme déformation contrainte de calcul du béton utilisé est comme défini

au chapitre 01, c’est-à-dire le diagramme rectangulaire lorsque la section n’est

pas entièrement comprimée et le diagramme parabole – rectangle lorsque la

section est entièrement comprimée.

7. Le diagramme déformation – contraintes de calcul des aciers est comme défini au

chapitre 01.

8. La section total d’un groupe de barres, tendues ou comprimée et disposées en

plusieurs lits, peut être remplacée par la section d’une barre unique située aucentre de gravité Gs du groupe (figure 1).

III.2. Diagramme des déformations à l’état limiteIII.2. Diagramme des déformations à l’état limiteIII.2. Diagramme des déformations à l’état limiteIII.2. Diagramme des déformations à l’état limite

III.3. ultimeIII.3. ultimeIII.3. ultimeIII.3. ultime : Règle des trois pi : Règle des trois pi : Règle des trois pi : Règle des trois pivots.vots.vots.vots.

Le diagramme des déformation, représenté par une droite, est supposé passer

par l’un des trois points A, B ou C (voir Fig-2). Ces points sont appelés pivots et sont

définis comme suit :

(Figure 1)

2%o 3%o

10%o

A1

a

2

3

dh

bh

73

h73

(Figure 2)

A. Correspond à un allongement de 10%o de l’armature la plus tendue, supposée

concentrée au centre de gravité de l’ensemble des armatures tendues.

B. Correspond à un raccourcissement de 3.5%o de la fibre la plus comprimée de

béton.

C. Correspond à un raccourcissement de 2%o de la fibre de béton située à une

distance égale à h73 (h : hauteur total de la section) de la fibre le plus

comprimée.

D. Il y a trois domaines à distinguer sur la figure 2

Domaine 1 : Le domaine des déformations passe par le point A. I l

peut alors occuper l ’une des posit ion représentées en (I) sur les f igures

3a, 3b, 3c et 3d.

La figure 3a correspond au cas de la traction simple, les allongements sont

tous égaux à 10%o.

La figure 3b correspond au cas où la section est entièrement tendue. Ceci se

présente lorsque l’effort normal est un effort de traction et que son excentrement est

faible (flexion composée).

La figure 3c correspond au cas de la flexion simple, ou de la flexion

composée, lorsque le béton n’atteint pas son raccourcissement ultime. La section

comporte alors une zone comprimée et une zone tende.

La figure 3d correspond aux mêmes cas que ceux de la figure 3c lorsque le

béton atteint son raccourcissement ultime. C’est la limite pour le domaine 1,

puisqu’après le diagramme des déformations va pivoter autour du point B.

La position de l’axe neutre correspondant à ce cas limite est donnée par :y : la distance de l’axe neutre à la fibre la plus comprimée

d : la hauteur utile des armatures (d = h-c)

(Figure 3)

A a

b

(I)

10 %o

(b) (c)

A a

b

(I)

10 %o

B

A a

b

(I)

10%o

(d)

B

y

3.5%o

(a)

A a

b

(I

10%o

c : l’enrobage des armatures

≈

10hc

les triangles BbG ˆ et AaG ˆ sont semblables.

ydy

AaBbAaGBdG

−=⇒≈ ˆˆ soit

ydy−

=10

5.3 d’où dy ⋅= 2593.0

Donc si :

dy ⋅≤ 2593.0 Le digramme des déformations passe par le point A [domaine 1].

dy ⋅> 2593.0 Le digramme des déformations passe par le point B [domaine 2].

Domaine 2 : Le digramme des déformations passe par le point B. Il peut alors

occuper l’une des positions représentée en (I) sur les figures (3d), 4a, 4b, et 4c.

La figure 3d correspond au cas limite.

La figure 4a correspond au cas de la flexion simple, ou de la flexion

composée, lorsque le béton a atteint son raccourcissement ultime ; l’allongement des

aciers est alors inférieur à 10%o.

La figure 4b correspond aux mêmes cas que ceux de la figure 4a mais

l’allongement des aciers est devenu nul, la contrainte dans les armatures sera aussi

nulle.

La figure 4c correspond au cas de la flexion composée avec effort normal de

compression, lorsque le béton de la fibre la plus comprimée a atteint son

raccourcissement ultime et lorsque le béton de la fibre la moins comprimée a un

raccourcissement nul. C’est un cas limite pour le domaine 2, puisqu’après le

diagramme des déformations va pivoter autour du point C. dans ce cas limite on a

y=h.

Si le diagramme des déformations accupait une position intermédiaire entre

celles représentées sur les figures 4b et 4c, les armatures inférieures seraient alors

(a)

A a

b

(I)

B3.5%o

a

b

(I)

B3.5%o

2%oh

73

h

(c)

A a

b

(I)

B3.5%o

(b)

(Figure 4)

comprimées et il n’existerait qu’une petite zone de béton tendu situé à la partie basse

de la section.

Donc si →≤≤ hyd2593.0 le diagramme pivote autour du point B [domaine 2].

Domaine 3 : Le diagramme des déformations passe par le point c et la

section est entièrement comprimée. Ce diagramme des déformations peut alors

occuper l’une des positions représentées en (I) sur les figures 4c, 5a et 5b.

La figure 4c correspond à un cas limite.

La figure 5a correspond au cas de la flexion composée avec effort normal de

compression lorsque la section est entièrement comprimée. Dans ce cas l’axe neutre

se trouve en dehors de la section et le raccourcissement ultime.

La figure 5b correspond au cas de la compression simple, le raccourcissement

du béton est égal à 2%o sur toute la hauteur de la section.

Donc : Si hy ≥ → le diagramme des déformations passe par le point C.

III.4. Contraintes limites de fissurationIII.4. Contraintes limites de fissurationIII.4. Contraintes limites de fissurationIII.4. Contraintes limites de fissuration : : : :

Fissuration peu nuisibleFissuration peu nuisibleFissuration peu nuisibleFissuration peu nuisible : s

sfeγ

σ = .

Fissuration préjudiciableFissuration préjudiciableFissuration préjudiciableFissuration préjudiciable :

= ησ 150,

32min fes

→→

=HA

RL6.11

η

Fissuration très préjudiciable : : : :

= ησ 110,

21min fes

a

b

(I)

B

C2%o

(a)

a

b

(I)

C

2%o

(b)

(Figure 5)