Chapitre 1 – LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE …mpeea.free.fr/data/trotech/cours-trotech-07.pdf · Au centre de la bobine on a : ... Le barreau de fer doux introduit dans le solénoïde

V. Chollet - Magnétisme - 12/10/2007 Page 1 sur 60

Chapitre 1 – LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE DANS LE VIDE

I – HISTORIQUE La pierre d’aimant découverte dans l’antiquité dans une région d’Asie Mineure appelée Magnésie a la propriété naturelle d’attirer le fer. Ce minerais de fer Fe2O3 s’est ainsi appelé Magnétite et ses propriétés physiques sont le magnétisme. Au XIème siècle les marins chinois utilisaient les premières boussoles (des aimants flottants) pour s’orienter. La première étude sur les aimants date de 1269. Elle est due à Pierre de Maricourt qui utilisa une aiguille magnétisée pour tracer les lignes de forces autour d’une pierre aimantée sphérique. S’apercevant que ces lignes se refermaient sur deux régions privilégiées de chaque côté de la sphère, il nomma ces deux régions les pôles par analogie avec les lignes de longitude de la terre. En 1600 William Gilbert émet l’idée que la terre est un gigantesque aimant. En 1820, Le danois Hans Christian OERSTED découvre qu’un courant produit un effet magnétique. II – SPECTRE MAGNETIQUE D’UN AIMANT 1°/ EXPERIENCE

2°/ LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE La notion de Champ s’impose alors. En tout point, on peut définir une direction, un sens et une intensité à ce champ magnétique.

La limaille de fer placée sur une vitre au dessus d’un aimant forme un figure caractéristique mettant en évidence les modifications locales des propriétés de l’espace autour de l’aimant.


On remarque ainsi que le pôle Nord géographique de la terre est en fait actuellement un pôle Sud magnétique. Notons que le champ magnétique terrestre varie dans le temps (de la minute à plusieurs millions d’années selon les causes) et s’inverse. 3°/ LIGNES DE CHAMP Sous l’action du champ d’induction magnétique les grains de limaille se transforment en petites boussoles qui s’orientent parallèlement à B. S’alignant les uns derrière les autres, ils matérialisent les lignes de champ magnétique :

4°/ LES POLES 2 régions privilégiées d’où partent et arrivent les lignes de champ apparaissent sur le spectre. Ce sont les pôles. Les pôles ne sont pas des points précis, ces régions mal définies sont proches des extrémités du barreau aimanté. Un aimant brisé donne naissance à deux aimants et donc à 4 pôles. Le monopôle magnétique n’existe pas.

Pour le formaliser mathématiquement, on fait appel à la notion de vecteur. Le vecteur Champ d’Induction Magnétique est noté : B Le sens de B est celui montré par le nord d’une boussole placée dans ce champ magnétique

L’intensité B en un point de l’espace environnant dépend de la source produisant le champ magnétique et du point considéré. Elle s’exprime en Tesla (T)

!

La ligne de champ est définie comme la ligne le long de laquelle tout déplacement élémentaire dM se fait parallèlement au champ d’induction magnétique.

Produit vectoriel : a ^ b = c Le vecteur c est perpendiculaire à a et b, son sens est donné par la règle des trois doigts de la main droite : pouce a, index b majeur c (dans l’ordre 1er vecteur, 2ème vecteur et résultat). Son module est c = a b sin (a,b)


Les lignes de champ sont des cercles centrés sur le fil. Soit O le centre des cercles. B est perpendiculaire au fil et à OM Le sens de B dépend du sens de I : on utilisera la règle du tire bouchon

III – CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE PRODUIT PAR DES CHARGES EN MOUVEMENT Au printemps 1820, Oersted découvre en plaçant une boussole sous un fil de cuivre parcouru par un courant qu’un courant électrique produit un effet magnétique. 1°/ CHAMP MAGNETIQUE PRODUIT PAR UN FIL RECTILIGNE INFINI

L’intensité de B est : proportionnelle à et inversement proportionnelle à r

Son expression est : 2°/ LOI DE BIOT ET SAVART Cette loi donne l’expression générale du champ magnétique dB créé par un fil élémentaire de longueur dl parcouru par un courant I. On a Cette loi permet par intégration de calculer le champ d’induction magnétique créé par n’importe quelle forme de conducteur parcouru par un courant.

"

B = µ0 I / (2πr) #

$ % & 'π()*

+"

" & ,

-

"

θ

. dB doit être en 1/r2 puisque l’intégration ramène au cas du fil infini dont l’expression de B est en 1/R.

/$0'π"120 3

#

$ % & 'π()*

" & ,


3°/ BOBINE CIRCULAIRE PLATE

Les sens des vecteur B dessinés sur les lignes de champ sont donnés par la règle du tire bouchon. Au centre de la bobine on a :

$"03.

Pour une bobine comportant N spires, on a 4°/ SOLENOIDE

a) Spectre du solénoïde

Les lignes de champ sont parallèles à l’axe du solénoïde. Elles s’orientent selon la règle du tire bouchon Le champ peut être considéré comme uniforme à l’intérieur du solénoïde

b) Force magnétomotrice

$!"03. !%

. 4 %%

"

f.m.m = N I s’exprime en Ampères-tours (At) Cette grandeur est pratique en électrotechnique car les champs d’induction magnétiques sont produits par des électroaimants caractérisés par I et N.


c) Faces de l’électroaimant

d) Champ magnétique sur l’axe du solénoïde Ainsi à l’extrémité d’un très long solénoïde : α(*5 et α35

6$!"03

Ainsi au centre d’un très long solénoïde : α((75 et α35

6$!"0

En tout point à l’intérieur d’un solénoïde infiniment long : α((75 et α35

6$!"0

"

"

α( α3

8$!"0α39α(

B : Champ magn en M (Tesla) N : Nombre de spires L : longueur du solénoïde en m


Chapitre 2 – LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE DANS UN MILIEU FERROMAGNETIQUE

I – AIMANTATION INDUITE 1°/ 1ère expérience

2°/ 2ème expérience Les matériaux ayant de telles propriétés sont dits ferromagnétiques : alliages à base de fer, cobalt, nickel. Les matériaux ferromagnétiques perdent leurs propriétés à température élevée.

" " "

:

%

L’introduction d’un petit morceau de fer doux dans un champ magnétique uniforme modifie le spectre : les lignes de champ se concentrent sur le barreau, le champ n’est plus uniforme, il est plus intense au voisinage du barreau.

Le barreau de fer doux introduit dans le solénoïde devient un aimant, on parle d’aimantation induite dans le noyau. Cette aimantation induite renforce le champ magnétique qui lui a donné naissance.


II – COURBE DE PREMIERE AIMANTATION

III – EXCITATION MAGNETIQUE

Pour la zone linéaire, on peut écrire : B = µr µ0 NI / l Cette relation correspond au cas du solénoïde. On généralise cette relation entre B et ce qui créé le champ magnétique en introduisant le vecteur excitation magnétique H. Ainsi on a :

+;

<& $!"0

,&4 =

66$!"0

- >& %

!"0?

Zone linéaire : B proportionnel à H

Zone de saturation du milieu ferromagnétique : B n’augmente

pratiquement plus avec H

!"0

<

%

<

B = µr µ0 H

µr : perméabilité relative du milieu fer doux : µr = 1600 Acier au silicium : µr = 20000 => obtention de champ magnétique intense à partir d’une excitation faible##?,

9(


IV – HYSTERESIS MAGNETIQUE On reprend le dispositif du § II : Après avoir dans un premier temps augmenté I, on le diminue dans un second temps. On constate alors que la courbe d’aimantation se dédouble : Lorsque i varie entre –Imax et + Imax, on voit apparaître une courbe fermée appelée cycle d’hystérésis. Lorsque l’amplitude Imax des variations de I varie, le sommet du cycle se déplace sur la courbe de 1ère aimantation. Un milieu ferromagnétique subissant des cycles répétés s’échauffe. L’énergie calorifique dégagée est proportionnelle à l’aire du cycle, à la fréquence et au volume du matériaux. Ce phénomène engendre des pertes de puissance appelées pertes par hystérésis. La puissance perdue par hystérésis par unité de volume est ph = k f Bmax

2 Ainsi à 50 Hz, pour un acier doux dont la constante k = 100, la puissance perdue par hystérésis dans un champ magnétique variable d’amplitude 1 Tesla sera de 5000 W/m3. Les matériaux ferromagnétiques à cycle étroit sont ferromagnétiquement doux. Ceux à cycle large (forte aimantation rémanente) sont ferromagnétiquement durs.

Champ magnétique rémanent qui subsiste alors que I = 0

Excitation coercitive : celle qu’il faut appliquer pour annuler B

?

?


V- THEOREME D’AMPERE 1°/ CIRCULATION D’UN VECTEUR

a) Sur un élément dl de longueur d’un contour

On considère un vecteur A. L’élément de longueur considéré étant petit, on admet que ce vecteur est constant (direction, sens et intensité). Par définition la circulation élémentaire dC du vecteur A sur l’élément de longueur dl est : On a donc dC = A . dl . cos ( A , dl )

b) Sur un arc A n’est pas constant le long de l’arc MN. On calcule donc la circulation élémentaire et on fait la somme intégrale.

Remarque : Si le contour est fermé, l’intégrale est notée :

!"#

,

!

@ @,

!

!

@, ,

θ

,θ

,La circulation est donc la projection de A sur la tangente au contour au point considéré multipliée par l’élément de longueur dl.


2°/ COURANTS ENLACES PAR UN CONTOUR On considère un certain nombre de conducteurs parcourus par des courants 3°/ THEOREME D’AMPERE La circulation du vecteur excitation magnétique le long d’un contour fermé orienté est égale à la somme des intensités algébriques des courants enlacés par ce contour. 4°/ EXEMPLE Cas d’un conducteur rectiligne infini parcouru par I placé dans le vide. Le contour doit être judicieusement choisi : forme symétrique simple.

On entoure ces conducteurs par un contour fermé orienté s’appuyant sur une surface hachurée. Le vecteur unitaire n perpendiculaire à la surface est orienté selon la règle du tire bouchon.

"("3 "A

? Σ"

- > > ,>

? "- ? 5

- ? B

? "?3π "?"03π

<B

$"03π

Les courants enlacés par le contour sont les courants qui traversent la surface s’appuyant sur ce contour. Ils sont comptés positivement s’ils sont dans le même sens que n et négativement dans le cas contraire.

"

?


Chapitre 3 : ACTION D’UN CHAMP MAGNETIQUE SUR DES PARTICULES CHARGEES EN MOUVEMENT

I – FORCE DE LORENTZ 1°/ MISE EN EVIDENCE

On considère un canon à électron. Le faisceau d’électrons est accéléré et atteint la vitesse v. On applique un champ magnétique uniforme à l’aide d’électro-aimants dans la zône délimitée. Quand B=0, l’écran fluorescent montre le spot (pont d’impact des e-) en O. Quand B non nul, le pont d’impact se déplace en O’. 2°/ INTERPRETATION Les électrons sont déviés par l’action du champ magnétique. Les électrons sont soumis à une force appelée force de Lorentz. 3°/ FORCE DE LORENTZ Force subie par une particule de charge q se déplaçant à la vitesse v dans un champ magnétique B : Cette force est perpendiculaire à v et B Son sens suit la règle des 3 doigts de la main droite :

pouce : qv index : B majeur : F

Son intensité est :

F = |q| v B sin(q v, B)

F = q v B

B v Trajectoire de l’e- si B = 0

Trajectoire de l’e- si B non nul

qv B

F

Comme sin(-x) = sin(x), on peut écrire sin(v,B) dans la formule.


II – FORCE DE LAPLACE

Considérons un petit morceau de conducteur de longueur dl parcouru par un courant électrique I. Ce conducteur est placé dans un champ magnétique uniforme. Chaque électron en mouvement dans le conducteur subit une force de Lorentz :

dFe- = qe v B Si n est le nombre d’électrons par unité de volume, la force totale agissant sur l’élément de conducteur de section S est :

dF = n S dl qe v B

Si l’électron se déplace sur la longueur dl pendant une durée dt, on a v = dl/dt

dF = n S dl qe (dl / dt) B = dq / dt dl B

d’où l’expression de la force de Laplace élémentaire : Cette force est perpendiculaire à la direction du conducteur et au champ magnétique Son sens suit la règle des 3 doigts de la main droite :

pouce : dl index : B majeur : F

Son intensité est :

dF = i dl B

dl B

F

v

B

e-

i

dFe S

dF = i dl B sin(dl, B)


III – CADRE MOBILE

1°/ FORCES DE LAPLACE

2°/ MOMENT DU COUPLE Vue de dessus : Le moment du couple est :

C = OM F1 + OM’ F2

Forces de Laplace : F1 = F2 = I l1 B et OM = OM’ = l2 / 2 C = (l2 /2) I l1 B sin (θ) + (l2 /2) I l1 B sin (θ) = I S B sin θ Avec N spires : C = N ISB sin θ 3°/ MOMENT MAGNETIQUE Le moment magnétique est définit par : On peut donc écrire :

Un cadre rectangulaire mobile autour d’un axe de rotation est parcouru par un courant I et placé dans un champ magnétique. Chaque conducteur est soumis à une force de Laplace. F3 et F4 s’annulent F1 et F2 forment un couple et entraîne la rotation

"

"

C(

C3

"

"

C(

C3

-

θ

"

"

"

"

C(

C3

CA

C'

3

(

θ

θ

Surface du cadre : S = l1 l2

= N I S n

C = B

en A m2 C en N m B en T


IV – FLUX MAGNETIQUE

Dans un champ magnétique uniforme, le flux du champ magnétique à travers une surface dépend de la projection de la surface perpendiculairement aux lignes de champ.

La surface apparente est définie par : dS cos θ Le vecteur surface est : dS = dS n

Le flux élémentaire à travers une surface élémentaire est définit par :

Propriété du Flux magnétique :

V – TRAVAIL DES FORCES DE LAPLACE

!

+ +

+

C== C= C=

θθθθ

dϕ = B . dS

#

+3

ϕD% D%

Le flux magnétique est conservatif : il garde la même valeur à travers toutes les sections d’un même circuit magnétique. Si S diminue, B augmente


Chapitre 4 : INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE

I – LES PHENOMENES

Dans tous les cas, il apparaît aux bornes du conducteur une force électromotrice (f.e.m). Attention : une force électromotrice n’est pas une force mécanique en Newton, mais une tension en Volts. II – LA LOI DE FARADAY Selon les cas nous avons :

9 une variation de champ d’induction magnétique 9 un balayage de surface donc un flux coupé 9 une variation de surface du conducteur

Déplacement d’un conducteur dans un champ d’induction magnétique

Déformation d’un conducteur dans un champ d’induction magnétique

Conducteur dans un champ d’induction magnétique variable

Fem induite : e = - d ΦΦΦΦ / dt

Variation de flux : ( Φ = B . S )

!

+

$%&%'$! %&!&%'$!


III – LOI DE LENZ 1°/ ENONCE « La fem induite a un sens tel que par ses effets elle tend à s’opposer à la cause qui lui donne naissance »

2°/ EXEMPLES

3°/ POURQUOI ? Si la loi de Lenz était contraire, - Bi renforcerait B => augmentation du flux => e augmente => Bi augmente etc …

- La force de Laplace induite renforce l’action extérieure => accélération

augmentation énergie cinétique

Ce serait incompatible avec le principe de conservation de l’énergie.

!

+


IV – APPLICATIONS 1°/ MACHINE A COURANT CONTINU 2°/ MACHINE A COURANT ALTERNATIF

3°/ TRANSFORMATEUR

Fonctionnement en moteur : Une spire mobile autour d’un axe, parcourue par un courant est placée dans un champ magnétique. Il apparaît un couple de forces de Laplace provoquant la rotation de la spire (a). Il est nécessaire que le courant s’inverse dans les conducteurs après passage de l’axe de symétrie pour que le sens de rotation ne s’inverse pas ! Le flux à travers la spire varie donc il apparaît à ses bornes un fem induite qui s’oppose à la circulation du courant I (force contre électromotrice). Fonctionnement en génératrice : On fait tourner une spire autour d’un axe dans un champ magnétique. Le flux à travers cette spire variant, il apparaît à ses bornes une fem induite (engendrant la circulation d’un courant induit lorsque le circuit est fermé). La fem s’oppose à la variation de flux : le courant induit provoque l’apparition d’un couple de forces de Laplace résistant.

Génératrice : Alternateur Un électroaimant tourne à l’intérieur d’une spire. La spire est donc soumise à un champ magnétique variable de façon quasi sinusoïdal. Elle subit donc une variation de flux engendrant une fem induite également quasi sinusoïdale.

Le champ magnétique variable de façon sinusoïdal créé par le bobinage primaire est canalisé par le circuit magnétique. La bobine secondaire est soumise à un champ magnétique variable et subit donc une variation de flux également sinusoïdale. Il apparaît donc à ses bornes une fem induite sinusoïdale.


4°/ COURANTS DE FOUCAULT

Un volume métallique V est soit : 9 mobile dans un champ magnétique

constant 9 fixe dans un champ magnétique variable.

Le volume peut être considéré comme constitué d’un grand nombre de petites boucles de courant C. Ces boucles sont soumises à des variations de flux et donc sont parcourues par des courant induits dits courants de Foucault.

C

C

:

4

Une portion d’un disque en rotation est plongée dans un champ magnétique. Le segment PQ de la boucle de courant coupe le flux donc est le siège d’une fem induite s’opposant à la rotation : le courant induit de Foucault crée une force de Laplace résistante. Le disque freine.

Un aimant tourne devant un disque. Les courants de Foucault induits tendent à créer des forces de Laplace s’opposant à la variation de flux : le disque va suivre la rotation de l’aimant avec un certain décalage angulaire (glissement).

Les courants de Foucault provoquent par effet joule un échauffement des pièces métallique dans lesquelles ils circulent, engendrant ainsi des pertes de puissance (pertes fer). Pour limiter l’intensité de ces courant, on augmente la résistance électrique des pièces métalliques en les feuilletant (tôles vernies empilées) et en utilisant de l’acier au Silicium dont la résistivité est plus élevée.

Plaque de cuisson à induction : La plaque crée un champ magnétique variable. Les courant de Foucault circulant dans le fond de la casserole provoquent l’échauffement de celle-ci. La casserole doit évidemment être métallique et de faible résistivité.


Chapitre 5 – PHENOMENE D’AUTOINDUCTION I – FLUX PROPRE Soit un circuit électrique constitué d’une boucle parcourue par un courant i. Il en résulte un champ magnétique B créé par cette spire. II – AUTOINDUCTION 1°/ RAPPEL DU PHENOMENE D’INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE On a vu au chapitre précédent que le phénomène d’induction électromagnétique est : L’apparition d’une fem induite aux bornes d’un circuit subissant une variation de flux à travers sa surface. Cette fem s’oppose par ses effets à la cause qui lui donne naissance. 2°/ AUTOINDUCTION C’est évidemment le phénomène analogue , mais consécutivement à une variation du flux propre.

+ 4

Les lignes de champ traversent la surface hachurée s’appuyant sur le contour de la spire.

Définition du flux propre : « Le flux propre d’un circuit fermé est le flux du champ magnétique créé par ce même circuit à travers une surface s’appuyant sur son propre contour ».

=

& %

@

+

=

" ,9


3°/ EXEMPLE : CAS DU SOLENOIDE, établissement du courant Comment se manifeste ce phénomène ? Apparition d’une fem auto-induite qui s’oppose à l’augmentation du flux propre, donc qui s’oppose à l’établissement du courant i. Cette fem s’écrit e = - dϕ/dt or dϕ/dt >0 (augmentation) donc e < 0. Avec le sens de la flèche tension dessinée et sachant que e < 0, on remarque que la fem s’oppose bien à l’établissement du courant. Remarque : Au fur et à mesure que le courant s’établit, son taux de variation devient moins important, donc dϕ/dt diminue, le phénomène disparaît. Quand le courant a atteint sa valeur « permanente », il n’y a plus de variation de flux propre donc plus de fem auto-induite.

Initialement, K est ouvert, donc i = 0 . Quand on ferme l’interrupteur K : Le courant i varie => B augmente => Flux propre augmente On enregistre donc une variation du flux propre : on est en présence d’un phénomène d’auto-induction.

e < 0

On retient que dans un circuit inductif, le courant s’établit progressivement

Etablissement du courant dans un circuit inductif

E9F


4°/ EXEMPLE : CAS DU SOLENOIDE, rupture du courant Comment se manifeste ce phénomène ? Apparition d’une fem auto-induite qui s’oppose à la suppression du flux propre, donc qui s’oppose à l’annulation du courant i. Cette fem s’écrit e = - dϕ/dt or dϕ/dt << 0 (rapide diminution) donc e >> 0. Avec le sens de la flèche tension dessinée et sachant que e > 0, on remarque que la fem s’oppose bien à l’annulation du courant. Mais attention cette fem est très forte !!

Initialement, K est fermé, donc i = Imax . Quand on ouvre l’interrupteur K : Le courant i varie très brutalement => B diminue très rapidement => Flux propre diminue très rapidement On enregistre donc une forte variation du flux propre : on est en présence d’un phénomène d’auto-induction très fort !

On retient qu’il ne faut jamais couper brutalement le courant dans un circuit inductif

Etablissement et rupture du courant dans un circuit inductif

()##

e >> 0 E

9F


Le remède : La diode de roue libre On place une diode en parallèle et dans le bon sens pour court-circuiter cette fem induite lors de la coupure du courant : III – INDUCTANCE PROPRE D’UNE BOBINE 1°/ DEFINITION Soit une bobine sans noyau, de longueur llll de section S comprenant N spires. Flux propre à travers une spire : ϕs = B S B est créé par i : B = µ0 N i / l Flux propre à travers une spire : ϕs = (µ0NS/ l ) i Flux propre à travers l’ensemble de la bobine : ϕ = N ϕs = (µ0N2 S/ l ) i Le coefficient de proportionnalité entre ϕ et i est appelé inductance propre de la bobine. Noté L, il s’exprime en Henry (H) et L = µ0N2 S/ l 2°/ INDUCTANCE PROPRE ET FEM AUTO-INDUITE Fem induite aux bornes d’une spire : e = - dϕs /dt 3°/ MODELE EQUIVALENT D’UNE BOBINE

E9F

Fem totale induite aux bornes de la bobine : e = - N dϕs / dt = - dϕ / dt = - L di/dt

r e = - L di/dt

i

uL

i

uL


IV – BOBINE EN REGIME SINUSOIDAL 1°/ FEM INDUITE, FORMULE DE BOUCHEROT La fem induite autoinduite est donc :

e = - N dφ/dt = - N ω φm cos ωt = - N ω φm sin (ωt - π/2) La fem autoinduite est sinusoïdale et déphasée de -π/2 par rapport au flux. La valeur efficace de le fem autoinduite est : Eeff = N ω φm / 2 = N 2πf φm / 2 Formule de Boucherot : 2°/ MODELE EQUIVALENT EN REGIME SINUSOIDAL

a) Modèle série

G

Une bobine (N spires, section S) est reliée à un générateur de tension sinusoïdal. Le courant et donc le flux magnétique sont donc sinusoïdaux :

I = Im sin ωt et φ = φm sin ωt

φφφφ

Eeff = 4,44 N f Bm S

r

e = - L di/dt

r

jLω

.

.

+;

"

H

U = ri + L di/dt U = ( r + jLω ) I

H0"√ 3E

3ω3

ϕ0 ω0.

Iω0

>

Modèle Série

« Bonne » bobine : r faible par rapport à Lω donc Q >> 1


b) Modèle parallèle

c) Relations entre les deux modèles (Voir TD électricité)

Il s’agit d’une seule et même bobine représentée différemment. On a donc nécessairement égalité des admittances (ou des impédances) des deux modèles.

1 / ( r + jLωωωω ) = [ 1/rp + 1 / jLp ωωωω ]

En identifiant les parties réelles et parties imaginaires des deux membres de cette équation, on obtient les relations entre les deux modèles :

Modèle Parallèle

.+;

r

jLω

"

H

Modèle Série

rp jLpω

"

H

I = ( 1/rp + 1/jLpω ) U

I 0ω

>00

C’est la même « Bonne bobine » donc Q >> 1 Donc rp >> Lpω et rp >> r

(EI3

(E(0I3

Iω0 0ω

+I66(J%%%K

I3


V – ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE 1°/ Puissance instantanée On sait que : u = ri + L di/dt La puissance instantanée est :

p(t) = u(t) i(t) = r i2 + L i di/dt

2°/ Energie mise en jeux pendant dt

dW = r i2 dt + L i (di/dt) dt = r i2 dt + L i di

3°/ Energie totale pour une variation du courant de 0 à I We = L i di Quand I augmente : cette énergie est dépensée par le générateur (fournie à la bobine) pour vaincre l’opposition de la fem autoinduite (Loi de Lenz). Cette énergie est nécessaire pour créer le champ magnétique de la bobine. D’où son nom d’énergie électromagnétique localisée dans tout l’espace où existe le champ magnétique. Quand I diminue, cette énergie est restituée au reste du circuit :

9 étincelle lors d’une coupure brutale 9 échauffement de la résistance lors d’une coupure moins

brusque

Puissance dissipée dans la résistance de la bobine par effet joule

Puissance électromagnétique : reçue par la bobine si di >0

restituée si di < 0

D

"

D(03"3


Chapitre 6 – COURANTS MONOPHASES

I – RAPPELS Soit un dipôle alimenté par un générateur de tension sinusoïdal. 1°/ Caractéristiques des signaux

Expressions instantanées : i(t) = Im sin (ωt + ϕ1) u(t) = Um sin (ωt + ϕ2)

Valeurs maximales ou amplitudes : Um et Im

Valeurs efficaces (valable que pour des signaux sinusoïdaux) :

U = Um / 2 et I = Im / 2 (Quand ambiguïté on note Ueff et Ieff ) Phases à l’origine : ϕ1 pour i(t) et ϕ2 pour u(t)

Déphasage de u par rapport à i : ϕu/i = ϕ2 - ϕ1 Pulsation : ω (en rad.s-1)

Fréquence (en Hz): f = ω / 2π Période (en s) : T = 1/f

2°/ Représentation de Fresnell et représentation complexe

Prenons l’exemple de u(t) = Um sin (ωt + ϕ2) Pour une fréquence donnée, deux grandeurs caractérisent le signal : Um et

ϕ2. On peut ainsi représenter ce signal à l’aide d’un vecteur : le vecteur de Fresnell.

On peut aussi associer un nombre complexe au signal et au vecteur de Fresnell : Le nombre complexe est noté U

Sous sa forme trigonométrique :

U = [ Val efficace ; Phase à l’origine ]

U = [Ueff ; ϕ2 ]

ϕ3

H

.

LH"


3°/ Loi d’Ohm En régime sinusoïdal, on peut utiliser la représentation complexe. La relation entre U et I pour le dipôle s’écrit :

Z est l’impédance complexe : Z = U / I 4°/ Résistance Réactance Z peut se mettre sous la forme algébrique : Z = R + j X Ré(Z) est une résistance (en Ω) et Im(Z) est une réactance (en Ω) Y = 1/Z est l’admittance. 1/R est une conductance (Siemens ou Ω-1).

1/X est une suceptance (Siemens ou Ω-1 ) 5°/ Exemples de Dipôles Résistance pure : |Z| = R ϕu/i = 0 => Z = R purement réelle Inductance parfaite : |Z| = Lω ϕu/i = π/2 => Z = jLω purement imaginaire Condensateur parfait : |Z| = 1/Cω ϕu/i = -π/2 => Z = -j/Cω = 1/jCω Im pur

Dipôle Inductif : Z = R + jX avec X = L ω > 0 |Z| = √(R2 + X2 )

ϕu/i = arctan(X/R) > 0

Dipôle Capacitif : Z = R + jX avec X = -1/ Cω < 0

|Z| = √(R2 + X2 ) ϕu/i = arctan(X/R) < 0

ϕ0

ϕ0

U = Z IModule : | Z | = Ueff / Ieff Argument : arg(Z) = ϕu/I


II – PUISSANCES EN REGIME SINUSOIDAL 1°/ Puissance instantanée

Par définition : avec i(t) = Im sin ωt u(t) = Um sin (ωt + ϕu/i) Représentation graphique : Simulation pour Um = 2V et Im = 1,5 A

.

ϕ5

PUISSANCE INSTANTANEE

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

iupP


-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

iupP

%

ϕ*5


-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

iupP

"

ϕM5

6

<N

O

<NJ K

p(t) = u(t) i(t)


2°/ Puissance Moyenne ou Puissance Active

Bobine parfaite : P = 0 Inductif : P > 0 => Puissance consommée par la partie résistive du dipôle. Résistif : P > 0 Capacitif : P > 0 => Puissance consommée par la partie résistive du dipôle. Condensateur : P = 0 En conclusion : Puissance active consommée par un dipôle Z = R + j X :

Un dipôle passif ne peut présenter une puissance active P < 0 car il est

forcément en moyenne consommateur d’énergie. Une puissance P<0 signifie que le dipôle fournit de l’énergie au reste du

circuit, il est ou se comporte comme un générateur. Un dipôle actif (transistor, ampli op) peut fonctionner en générateur.


-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

iupP

@

ϕ9M5


-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

iupP

@

ϕ9*5

P = R Ieff2

P = (2/T) 0T/2 p(t) dt = U I cos ϕu/i S’exprime en Watt


III – LE WATTMETRE Le wattmètre sert à mesurer la puissance active consommée par un récepteur. 1°/ LE SYMBOLE 2°/ CONSTITUTION

Le wattmètre comporte deux circuits distincts : Un circuit « gros fil » parcouru par le courant, branché en série avec le récepteur, comme un ampèremètre. Un circuit « fil fin », circuit tension, branché en parallèle sur le récepteur, comme un voltmètre. Chacun de ces circuits est protégé par un fusible.

3°/ MESURE On dispose à la fois de calibres tension et de calibres intensité. L’appareil mesurant la puissance active P = Ueff Ieff cosφ, pour Ueff et Ieff donnés, la déviation de l’aiguille dépend de cosφ. L’aiguille dévie à pleine échelle quand : Ueff mesurée = Ucal la tension du calibre Ieff mesurée = Ical le courant du calibre et cosφ = 1

Cela correspond à une puissance active de UcalIcal

D

@%

@%


Montage longue dérivation

D

Si l’aiguille dévie de N graduations, sur un appareil de Ntot graduations au total, la mesure réalisée est : P mesuré = N Ucal Ical / Ntot

Exemple : Calibres 240 V et 5 A soit 240*5 = 1200 W pleine échelle

Le nombre total de graduations est de 120. Soit 1200/120 = 10 W / graduation

L’aiguille dévie de 40 graduations, donc : P mesurée = 40 * 240*5 / 120 = 400 W

III – BRANCHEMENT DU WATTMETRE

Montage courte dérivation

Attention : Même si Ueff et Ieff sont proches des valeurs des calibres sélectionnés, la déviation de l’aiguille reste faible si cosφ est faible. On ne peut cependant pas utiliser des calibres inférieurs …

… cela détériore l’appareil !

Montage courte dérivation

D


Procédure de mesure :

9 Placer un ampèremètre en série avec le circuit « gros fil » 9 Placer un voltmètre en parallèle sur le circuit fil fin 9 Régler chaque appareil sur les calibres les plus élevés Attention, le fusible du circuit tension du wattmètre

coûte environ 10 euros pièce 9 Adapter les calibres des différents appareils selon les valeurs mesurées.

Si l’aiguille dévie du mauvais côté, inverser le sens de

branchement du circuit fil fin. IV – PUISSANCES APPARENTE ET REACTIVE 1°/ Puissance apparente Définition Ce n’est pas une puissance reçue par le dipôle, c’est pourquoi on ne l’exprime pas en Watt. On remarque que P = S cos ϕu/i S est donc la puissance active maximale que pourrait consommer le dipôle si le déphasage ϕu/i était nul. La puissance des transformateurs ou alternateurs est souvent donnée en VA en faisant le produit des valeurs nominales : valeurs optimales pour lesquelles est fabriquée la machine.

Par exemple : Transfo de 250 kVA. C’est une caractéristique de construction, la puissance débitée par le transfo dépendra du circuit qu’il alimente ! 2°/ Puissance Réactive Définition On a ainsi : S = (P2 + Q2) tan ϕu/i = Q/P cos ϕu/i = P/S

Bobine parfaite : Q > 0

Inductif : Q > 0 => Puissance consommée par la partie réactive du dipôle. Résistif : Q = 0 Capacitif : Q < 0 => Puissance restituée par la partie réactive du dipôle. Condensateur : Q < 0

+H"P,

IH"ϕ0P,.

Q = - Ieff2 / Cω = Cω U2

Q = Lω I2 = U2 / Lω


En conclusion : Puissance réactive pour un dipôle Z = R + j X :

Une puissance Q>0 signifie que le dipôle consomme est inductif, il consomme

de la puissance réactive destinée à créer le champ magnétique dans l’inductance. Une puissance Q<0 signifie que le dipôle est capacitif, il restitue de la

puissance réactive.

V – THEOREME DE BOUCHEROT

VI – FACTEUR DE PUISSANCE 1°/ Définition

cos ϕu/i est appelé facteur de puissance du récepteur.

On a cos ϕu/i = P/S et ϕu/I = arctan(X/R)

On remarque que cos ϕu/i diminue quand ϕu/i augmente, c’est à dire quand la

réactance augmente par rapport à la résistance.

2°/ Importance du facteur de puissance

Les installations industrielles sont souvent inductives à cause des bobinages des moteurs des machines. La puissance réactive consommée augmente et cosϕu/i diminue.

Pour une même puissance active consommée, on constate que si cosϕu/i diminue, le courant I augmente. Les pertes joules en lignes augmentent alors. Elles coûtent cher à la société de distribution de l’électricité qui ne facture à priori que la puissance active consommée.

Q = X Ieff2

LH"

L.EQR

& % S

% &

=

& %

S % &

Q= =


Le remède est de redresser le facteur de puissance en plaçant en parallèle sur l’installation des condensateurs qui redonnent de la puissance réactive au réseau et permettent d’augmenter le cosϕu/i. 3°/ Calcul de la capacité

Un récepteur inductif alimenté sous U consomme une puissance active P. L’intensité du courant qu’il absorbe est I.

On place un condensateur en parallèle sur le récepteur afin d’augmenter le facteur de puissance. Soit cos ϕ’ le nouveau facteur de puissance désiré et I’ le nouveau courant absorbé qui en découle.

On peut alors faire le bilan des puissances et appliquer le théorème de Boucherot :

Puissances réactives Puissances actives Charge R, L Q = UI sin ϕ = P tanϕ P C seul Qc = - U2 Cω Pc = 0 Charge R, L + C en // Q’ = UI’sinϕ’ P’ = UI’cosϕ’

On a : U I’ sinϕ’ = P tanϕ - Cω U2 et : UI’cosϕ’ = UIcosϕ => I’ = I cosϕ/cosϕ’ donc : U(I cosϕ/cosϕ’) sinϕ’ = P tanϕ - Cω U2 P tanϕ’ = P tanϕ - Cω U2

L H"

: Q

ϕ0

C = P (tanϕ - tanϕ’) / ( ω U2)


Chapitre 7 – INDUCTANCE MUTUELLE I - DEFINITION Considérons deux circuits filiformes indéformables :

M est l’inductance mutuelle des deux circuits. Contrairement à l’inductance propre, M dépend de l’orientation :

II - FLUX Pour chaque circuit, on a ϕ = ϕp + ϕext Donc : ϕ1 = ϕp1 + ϕ2->1 et ϕ2 = ϕp2 + ϕ1->2 = L1 i1 + M i2 = L2 i2 + M i1 III - FEM INDUITES e1 = - L1 di1/dt - M di2/ dt e2 = - L2 di2/dt - M di1/ dt

IV - LOI D’OHM GENERALISEE u1 = r i1 + L1 di1/dt + M di2/ dt u2 = r i2 + L2 di2/dt + M di1/ dt

( 3

Le flux de B1 créé par (1) à travers (2) est proportionnel à i1. Le flux de B2 créé par (2) à travers (1) est proportionnel à i2. Les coefficients de proportionnalités sont les mêmes :

ϕ 1->2 = M i1 et ϕ 2->1 = M i2

( 3

6

( 3

O

Couplage magnétique


Chapitre 8 – CIRCUITS MAGNETIQUES

I – DEFINITION Un circuit magnétique est un ensemble de matière ferromagnétique destinée à canaliser un flux magnétique.

Le flux magnétique est créé par des bobines enroulées sur le circuit magnétique. Exemples :

II – CONSERVATION DU FLUX

Le flux magnétique est conservatif : il garde la même valeur à travers toutes les sections d’un même circuit magnétique.

ϕ = B. S = cste => Si S diminue, B augmente

Ainsi dans la figure ci-dessous, on a B3 > B2 > B1 Analogie électrique : Attention cependant, le flux magnétique ne circule pas, il s’établit en tout point du circuit magnétique.

"

! !

"

!

"

B2

B3

B1

Flux ϕ Courant électrique i


III – FORCE MAGNETOMOTRICE Le bobinage produisant le champ magnétique est caractérisé par l’intensité du courant électrique qui le parcourt et le nombre de spire. La force magnétomotrice (f.m.m) est définie par : Elle s’exprime en ampère-tours. Elle est symbolisée par une flèche orientée selon la règle du tire-bouchon.

Analogie électrique :

Comme les tensions, le f.m.m sont additives :

IV – LOI DE HOPKINSON, RELUCTANCE MAGNETIQUE Compte tenu des analogies électriques : On cherche à relier la f.m.m au flux, comme u et i sont reliés par la loi d’Ohm pour un dipôle résistif.

= N i

f.m.m Tension u

"(

"3

"A

Ici, la f.m.m totale est :

f.m.m Tension u Flux ϕ Courant électrique i


On considère le circuit magnétique ci-contre. Le théorème d’ampère donne :

V – ASSOCIATION DE CIRCUITS MAGNETIQUES En série :

En parallèle

VI – RELUCTANCE ET INDUCTANCE

H . dl = Σ I

H l = N i = (B/µ) l = ϕ l / (µS) =

Loi de Hopkinson :

= ϕϕϕϕ

Avec l / (µS) est la réluctance magnétique l : longueur du circuit magnétique S : section du circuit magnétique µ : perméabilité du matériaux

$ (

$ 3

H . dl = Σ I

H l = N i = (B/µ) l = N I => B = µ Ni / l ϕ à travers les N spires : ϕ = N B S = i (µ N2 S / l ) = L i

L = µ N2 S / l = N2 /


Chapitre 9 – MODELISATION DES FUITES MAGNETIQUES D’UN CIRCUIT MAGNETIQUE

I – DEFINITION DES INDUCTANCES

On considère le circuit magnétique suivant :

Tout se passe comme si on avait trois branches de circuit magnétique en parallèle :

ϕ%ϕEϕ

C’est la f.m.m = N i qui donne naissance à ces trois flux. La loi d’Hopkinson donne : = N i = ϕ ϕb = ϕf

On peut définir différentes inductances :

Relation entre ces inductances :

On a : L = N ϕb / I = N (ϕ + ϕf ) / I = N ϕ / l + N ϕf / I

!

ϕ

ϕf

ϕb

ϕb : Flux traversant la bobine

ϕ : Flux canalisé par le circuit magnétique

ϕf : Flux de fuite

L : Inductance propre de la bobine Lp : Inductance principale l : Inductance de fuite

L = N ϕb / i = N2 / Lp = N ϕ / i = N2 /

l = N ϕf / i = N2 /

L = Lp + l


II – CAS D’UN FLUX VARIABLE Chaque spire est le siège d’une fem induite : e = - dϕb / dt = - dϕ /dt - dϕf /dt La fem aux bornes de la bobine de N spire est donc : eb = - N dϕb / dt = - N dϕ /dt - N dϕf /dt d’autre part eb = - L di/dt et L = Lp + l => eb = - L di/dt = - Lp di/dt - l di/dt La tension aux bornes de la bobine s’écrit :

u = r i – eb = r i + L di/dt = r i + l di/dt + Lp di/dt III – REGIME SINUSOIDAL On peut utiliser la représentation complexe des grandeurs sinusoïdales et faire appel à la notion d’impédances :

U = r I + jlω I - E avec E = - j Lpω I complexe associé à e = - Lp di/dt Cela correspond au schéma équivalent de la bobine : IV – PRISE EN COMPTE DES PERTES FER La courbe d’hystérésis magnétique a montré que la relation entre ϕ et i n’est pas vraiment linéaire. Le flux magnétique n’est ainsi pas tout à fait sinusoïdal. On détecte en effet la présence de termes en sin3ωt dans l’évolution temporelle de ϕ. Le déphasage entre -e et i devrait être de π/2. En réalité on constate qu’il est un peu plus faible :

!

"

H

jlω

e = - Lp di/dt = - N dϕ/dt

r "

H

9

"

"

"

Ainsi on décompose I en I a et I r


Courant actif :

Ia est appelé courant actif. Il serait nul si le matériaux ferromagnétique n’introduisait pas de pertes fer par hystérésis et par courant de Foucault.

E Ia représente la puissance perdue à cause de ces phénomènes. On l’appelle

pertes fer

On modélise cette puissance perdue par une résistance Rf qui dissiperait par effet joule l’équivalent des pertes fer. Ainsi E Ia = Rf Ia2 et Rf = E / Ia

Courant réactif : C’est le courant circulant dans l’inductance principale créant véritablement le

flux canalisé dans le circuit magnétique. Pour cette raison, on l’appelle encore courant magnétisant

Modèle équivalent de la bobine avec circuit magnétique :

!

"

H

jlω r "

H .

" "

"

.

%%

"

=


Chapitre 10 – LE TRANSFORMATEUR

I – INTRODUCTION 1°/ ROLE DU TRANSFORMATEUR Le transport de l’énergie électrique se fait sous haute tension afin de minimiser les pertes. Il est d’une part nécessaire d’élever la tension produite en vue de ce transport, et d’autre part de l’abaisser en vue de son utilisation. Les transformateurs utilisés par EDF sont alors des appareils de fortes puissances. De nombreux appareils domestiques branchés sur le secteur fonctionnent en réalité en très basse tension : 9 V, 12 V … continu. IL est nécessaire d’abaisser la tension du secteur à l’aide de transformateurs (faible puissance) puis de la convertir en tension continue (redressement stabilisation). Les installations en milieu humide (salle de bain, sonneries exterieures etc…) doivent être isolées du secteur par un transformateur d’isolement, grâce auquel le neutre n’est plus relié à la terre). Enfin on utilise également des transformateur pour réaliser des adaptation s d’impédances. 2°/ CONSTITUTION

Ceci est un schéma de principe. En réalité les deux enroulements sont imbriqués pour un meilleur couplage magnétique et une réduction des fuites magnétiques. Le circuit magnétique est constitué d’un empilement de tôles isolées entre elles (feuilletage) afin de réduire les pertes magnétiques dues aux courants de Foucault. Le dispositif est placé dans l’air ou dans un bain d’huile pour en assurer le refroidissement. 3°/ SYMBOLE

@

=

%

%

. T


3°/ PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT 4°/ BORNES HOMOLOGUES I1 donne l’orientation de ϕ. ϕ donne l’orientation de I2. La borne du secondaire homologue à la borne primaire est celle par laquelle entre le courant Propriété : Tout courant entrant par deux bornes homologues tendent à produire des flux de même sens. II – MODELISATION DU TRANSFORMATEUR 1°/ LE SCHEMA EQUIVALENT

#

H(

;

@

"(

;

@

≅

;

C=

;

& %

C

9 ϕ0

;

H(

"(

H3

"3

H(

"(

H3

"3

( (

3 l2

3

l1 (

.H(H3

"( "3#


2°/ SIGNIFICATION DES ELEMENTS

a) Résistances

R1 et r2 sont les résistances des enroulements primaires et secondaires. Elles provoquent l’échauffement des bobinages et donc des pertes par effet joule : pj = r1 I12 + r2 I22

b) Répartition des flux

Flux résultants en charge :

"(

H(

ϕ(

ϕ(

ϕ(

Bobinage primaire seul : La fmm N1 i1 crée un flux ϕ’1 qui se divise en ϕf1 et ϕ1

ϕ(ϕ(Eϕ(

H3

"3

ϕ3

ϕ3

ϕ3

Bobinage secondaire seul : La fmm N2 i2 crée un flux ϕ’2 qui se divise en ϕf2 et ϕ2

ϕ3ϕ3Eϕ3

Ce flux s’oppose au flux ϕ1 car il est créé par le courant induit i2

"(

H(H3

"3

ϕ

ϕ(

ϕ ( ϕ 3

ϕ3

Avec les deux bobinages : ϕϕ(Eϕ3

ϕ (ϕ(Eϕ3ϕ(Eϕ(Eϕ3

ϕ 3ϕ3Eϕ(ϕ3Eϕ3Eϕ(

Ce qui donne : ϕ (ϕ(Eϕ

ϕ 3ϕ3Eϕ


c) Inductances de fuites Au flux de fuites, on associe des inductances de fuites :

(!(ϕ(0"( 3!3ϕ30"3

d) Inductance principale

Elle est associée au flux canalisé par le circuit magnétique. Elle est définie par :(!(

ϕ0"(

e) Modélisation des pertes fer

Les pertes fer sont modélisées par la résistance Rf. A cause d’elles, le courant I1 n’est pas déphasé de 90 ° par rapport à la fem induite dans l’enroulement primaire.

Rf ainsi déterminée est valable pour ω donnée car les pertes fer dépendent de la pulsation de la tension primaire, généralement fixe (f = 50 Hz).

Cette détermination dépend également de la valeur efficace de U1 . En effet la courbe ϕ (i) n’est pas linéaire à cause de la saturation du circuit magnétique.

3°/ EQUATIONS ELECTRIQUES Grandeurs instantanées Notation efficace complexe

Fem induites : e1 = - N1 d ϕϕϕϕ / dt

e2 = - N2 d ϕϕϕϕ / dt

Rapport de transformation : m = e2 / e1 = N2 / N1

(

"(

"(

"(

"("(E"(

@

@

: ("(."(36.(0"(

ωωωω

ωωωω


III – TRANSFORMATEUR A VIDE 1°/ EQUATIONS ELECTRIQUES A VIDE On a alors "2 = 0. Les équations électriques deviennent : Puissance absorbée : P1v très petite . En conséquence, le courant absorbé au primaire est faible. On le notera "(&

"(&OO"(nominal : utilisation normale. On a alors U1 ≅ E1v (en valeur efficace)

2°/ RAPPORT DE TRANSFORMATION Par suite le rapport de transformation devient :

Cette approximation est pratique expérimentalement car on ne peut ne peut acceder aux fem induites. 3°/ PUISSANCES MISES EN JEU A VIDE !"ϕϕϕϕ

pertes joules a vide + pertes fer #!$ϕϕϕϕωωωω

pertes magnétiques (fuites) + puissance magnétisante Approximation : P1v ≅ pertes fer et Q1v ≅ puissance magnétisante. IV – COMPARAISON DES FLUX EN CHARGE ET A VIDE 1°/ FLUX RESULTANT A VIDE ET EN EN CHARGE

ωωωω

m = E2 / E1 = N2 / N1 ≅ - U2v / U1

Le flux canalisé par le circuit magnétique est dû uniquement à la fmm N1i1v

A vide I2= 0 ϕv = ϕ1v

En charge : I2 0

Le flux canalisé par le circuit magnétique est dû aux fmm N1i1 et N2i2

ϕ = ϕ1 + ϕ2avec ϕ2 qui s’oppose à ϕ1


On peut écrire les lois d’Hopkinson en faisant apparaître la réluctance du circuit magnétique :

N1 i1v = ϕ1v N1 i1 + N2 i2 = ϕ

Le flux en charge est légèrement plus faible qu’à vide, mais on néglige cette petite différence :

N1 i1 + N2 i2 = ϕ ϕ1v = N1 i1v Ainsi on peut écrire : En notation complexe :

V – HYPOTHESE DE KAPP 1°/ HYPOTHESE DE KAPP On néglige le courant primaire à vide : I1v << I1 => On néglige les pertes fer. 2°/ EQUATION DES AMPERES TOURS En notation complexe : N1 I1 + N2 I2 = 0

3°/ SCHEMA EQUIVALENT

!30!(≅9H3&0H(9"(0"3

(

3 l2

3

l1 (

H(H3

"( "3#

ωωωωωωωω

N1 i1 + N2 i2 = N1 i1v

N1 I1 + N2 I2 = N1 I1v

@

> 9


H3&H3E."3EQR"3

4°/ EQUATIONS RAMENEES AU SECONDAIRE

%&ωωωω'%

%&%%ωωωω%'

%(%

ωωωω

<B

&%'(&%

'ωωωω

L ‘Equation électrique s ‘écrit finalement :

,&. 3E3 (R3E

3(ω

Le schéma équivalent ramené au secondaire devient :

Chute de tension en charge :

H(

"(

(

. Xs

H3&H3

"3

%)% %

ωωωω

"3

H3."3

R"3H3&

ϕ2

Chute de tension en charge : ∆U2 = AB AK = AH + HK AH = Rs Is cos ϕ2

HK = Xs Is cos (π/2 - ϕ2) = Xs Is sin ϕ2

"3

H3

,

H3&

F?

ϕ2

ϕ2

∆H3H3&)H3."3ϕ3ER"3ϕ3

H3H3&)."3)QR"3

On a vu que :


H(

"(

(

. Xs

H3&9H(H3

"3

5°/ DETERMINATION EXPERIMENTALE DES ELEMENTS DU MODELE EQUIVALENT

a) Détermination de m par essai à vide

La puissance consommée par le transformateur correspond alors au pertes fer : P1v = p fer

b) Détermination de Rs et Xs par essai en court circuit La puissance absorbée par le transformateur est alors : P1cc = R1 I1cc

2 + p fer cc + R2 I2cc2 = R1 (mI2cc)2 + R2 I2cc

2 = (m2 R1 + R2 ) I2cc2

= Rs I2cc2

Ainsi, on déduit Rs de la mesure de la puissance absorbée lors d’un essai en court-circuit sous tension réduite : L’équation électrique du secondaire donne : U2 = 0 = - m U1cc – Rs I2cc – j Xs I2cc

On peut donc déduire Xs :

6Pythagore donne : R/H(30"3

3).

32

c) Rendement

Le rendement du transformateur peut alors être calculé pour un fonctionnement normal : ηH3"3ϕ30H3"3ϕ3E E."3

3

."3

R"39H(

!%

Rs = P1cc / I2cc2

Il suffit de mesurer à l’aide d’un voltmètre en AC la valeur efficace de la tension secondaire à vide et celle de la tension primaire, puis de calculer le rapport des deux.

H3&0H(

&

&***### sinon I2CC >> I2nominal => le tranfo fume


Chapitre 11 – LE TRIPHASE

I – TENSIONS SIMPLES

Cela permet de définir trois tensions appelées tensions simples (notées V1 , V2

et V3 entre chaque phase et la masse. Les chronogrammes de ces trois tensions simples sont les suivants :

On constate que chaque tension simple est en retard de 2π/3 par rapport à la

précédente. Ce qui permet de tracer le diagramme de Fresnell :

Le tableau d’arrivée d’une alimentation triphasé comporte 4 bornes : 1,2,3 et N. Les bornes 1,2 et 3 sont reliées aux fils de phase. La borne N est reliée au fil neutre.


On peut écrire les relations instantanées suivantes :

On constate qu’à chaque instant : v1 + v2 + v3 = 0 : le système triphasé est dit équilibré. II – TENSIONS COMPOSEES Ce sont les tensions entre deux fils de phase. Ainsi, à chaque instant : u12 = v1 – v2

Le diagramme de Fresnell complet a l’allure suivante :

On remarque que le système des tensions composées constituent également un système triphasé équilibré : à chaque instant leur somme est nulle. Réseau EDF :

V = 220 V entre phase et neutre (installation domestique) U = 220.√3 = 380 V entre phases (installations industrielles).

v1 (t) = Vm sin ωt v2 (t) = Vm sin (ωt - 2π/3) v2 (t) = Vm sin (ωt - 4π/3)

U12 = 2 V cos (π/6) = 2 V √3 / 2 D’ou la relation U = V √3

On peut écrire les expressions instantanées suivantes : u12 = Um sin (ωt + π/6) u23 = Um sin (ωt - π/2) u31 = Um sin (ωt - 7π/6)


III – COUPLAGE ETOILE 1°/ Récepteur symétrique

Le diagramme de Fresnell présente l’allure suivante :

2°/ Récepteur dissymétrique Le système d’alimentation est triphasé équilibré.

Si les trois phases du récepteurs sont différentes, il est dit dissymétrique.

Chaque phase du récepteur est soumise à une tension simple. Le système d’alimentation est triphasé équilibré. Si les trois phases du récepteurs sont identiques, il est dit symétrique. Le système des courants est alors un système triphasé équilibré et :

i1 + i2 + i3 = iN = 0

Chaque tension simple est déphasée de ϕpar rapport au courant dans la phase considérée. Ce déphasage est apporté par l’impédance Z de la phase.

i1 = Im sin (ωt - ϕ) i2 = Im sin (ωt -2π/3 - ϕ) i3 = Im sin (ωt -4π/3 - ϕ)

Les déphasages tension-courant pour chaque phase et les valeurs efficaces des courants sont différents. Le système triphasé de courant n’est plus équilibré.

On a alors :

i1 + i2 + i3 = iN 0


IV – COUPLAGE TRIANGLE 1°/ Récepteur symétrique

Chaque courant de ligne i peut être exprimé en fonction des courant circulant dans les phases du récepteur. On peut écrire : i 1 = j 12 – j 31 i 2 = j 23 – j 12 i 3 = j 31 – j 23

D’où la représentation de Fresnell suivante :

2°/ Récepteur dissymétrique Les trois phases du récepteur sont différentes. Il faut à partir des tensions composées, déterminer les courants dans les phases du récepteur et en déduire les courant dans les lignes.

Chaque phase du récepteur est soumise à une tension simple. Le système d’alimentation est triphasé équilibré. Si les trois phases du récepteurs sont identiques, il est dit symétrique.

Les courants de ligne i1, i2, i3 constituent un système triphasé équilibré. Les valeurs efficaces des courants dans les lignes et dans les phases du récepteur sont reliées par la relation :

I = J √3


Q = √3 UI sin ϕ

Q = √3 UI sin ϕ

V – PUISSANCES EN TRIPHASE

1°/ Récepteur en étoile On a : P = 3 P1 = 3 VI cos ϕ = 3 (U/√3) I cos ϕ =>

De même :

2°/ Récepteur en triangle On a : P = 3 P1 = 3 UJ cos ϕ = 3 U (I/√3) cos ϕ =>

De même : 3°/ En conclusion Dans tous les cas :

Avec : U tension entre phase de la ligne I courant dans la ligne ϕ déphasage apporté par une phase du récepteur

P = √3 UI cosϕ

P = √3 UI cosϕ

P = √3 UI cosϕ 6+√AH"

Q = √3 UI sin ϕ


Chapitre 12 – MACHINE A COURANT CONTINU I - COUPE TRANSVERSALE D’UNE MACHINE A COURANT CONTINU

L’ensemble de la partie fixe constitue le stator L’ensemble de la partie mobile constitue le rotor Dans une machine à courant continu, le stator supporte le bobinage inducteur créant le champ magnétique dans la machine. Le rotor supporte un bobinage qui est le siège de phénomènes d’induction électromagnétique, on l’appelle donc également l’induit.

H

P

"

Q

(

3

%

@

+

@

%

"

@ &

%

@

3 9

%


II - PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT EN MOTEUR

Les conducteurs de l’induit placés dans un champ magnétique sont soumis à une force de Laplace engendrant la rotation du rotor. On dispose ainsi d’un couple moteur utile sur l’arbre du moteur. Les conducteurs de l’induit en rotation coupent le flux, il apparaît donc à leurs extrémités une fem induite s’opposant par ses effets à la cause qui lui donne naissance : la fem induite a donc un sens qui tend à diminuer le courant I

H

P

"

Q

%

(

3

,=

,=

H

P

"

Q

(

3

%

,=

,=

*

+


III - PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT EN GENERATRICE

Les conducteurs de l’induit sont entraînés dans une rotation par un dispositif extérieur. Chaque conducteur coupe le flux magnétique. Il apparaît donc à ses bornes une fem induite. Entre les deux bornes de l’induit, on obtient donc une tension U égale à la fem induite totale (somme des fem de chaque conducteur) diminuée des chutes de tension dans la résistance de ce bobinage. La fem tend par ses effets à s’opposer à la cause qui lui donne naissance : lorsque le circuit rotorique est fermé, le courant induit I qui circule provoque l’apparition de force de Laplace sur les conducteurs de l’induits qui tendent à s’opposer à la rotation : un couple résistant d’autant plus intense que I est grand apparaît donc.

H

P

Q

(

3

%

,=

%

C

H

P

"

Q

%

3

,=

%

(


E = K j Ω

IV – SCHEMA ELECTRIQUE EQUIVALENT

MOTEUR DYNAMO Inducteur induit Inducteur induit

V = rj + l dj/dt V = rj + l dj/dt U = E + RI + L dI/dt U = E - RI + L dI/dt V - BILAN DES PUISSANCES MISES EN JEU (moteur)

VI – FEM INDUITE La fem induite dans une machine à courant continu est proportionnelle :

9 au flux inducteur 9 à la vitesse de rotation

Le flux inducteur est lui-même proportionnel au courant inducteur si l’on néglige la saturation des matériaux ferromagnétiques : φ = k’j On écrira donc E = k φ Ω = k k’ j Ω =>

Q

P

.

H

"

Q

P

.

H

"

H"

PQ

Q3

."3

:

"

:


VII – EQUATIONS MECANIQUES (moteur) Couple électromagnétique : C = EI / Ω Couple de pertes : Cp = pmec / Ω + pfer /Ω Equation Mécanique : La somme des moments des couples par rapport à l’axe de rotation est égale au produit du moment d’inertie par rapport à ce même axe par l’accélération angulaire. VIII – COURBES CARACTERISTIQUES (moteur)

1°/ Excitation Séparée

EI/Ω - Cp = J dΩ/dt

"

Ω

"&

Ω/H)."20FQ

@

"

@@9@

@"0Ω

FQΩ6@FQ"O6@F"

F

Ω

@@F""H)0.

<@FH)FΩ0.

Attention au démarrage : E = 0 => Id = U/R >> I nominale => démarrer progressivement.


2°/ Excitation Série

Le moteur série est autorégulateur de puissance : quand Cu augmente, la

vitesse diminue de telle sorte que Pu = Cu Ω reste constante.

Ω

"

ΩH)."0F"

H0F"9.0F64 %

Attention au démarrage : E = 0 => Id = U/R >> I nominale => démarrer progressivement.

@

"

@"0Ω

F"Ω

<@F"36 %

Ω

@< %

- @& U >(0Ω

Documents

Chapitre 1 – LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE …mpeea.free.fr/data/trotech/cours-trotech-07.pdf · Au centre de la bobine on a : ... Le barreau de fer doux introduit dans le solénoïde