LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE DANS LE …mpeea.free.fr/data/trotech/cours-trotech-trous-07.pdf · A n’est pas constant le long de l’arc MN. On calcule donc la circulation

V. Chollet - Magnetisme-a trous - 06/11/2006 Page 1 sur 39

Chapitre 1 – LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE DANS LE VIDE

I – HISTORIQUE La pierre d’aimant découverte dans l’antiquité dans une région d’Asie Mineure appelée Magnésie a la propriété naturelle d’attirer le fer. Ce minerais de fer Fe2O3 s’est ainsi appelé Magnétite et ses propriétés physiques sont le magnétisme. Au XIème siècle les marins chinois utilisaient les premières boussoles (des aimants flottants) pour s’orienter. La première étude sur les aimants date de 1269. Elle est due à Pierre de Maricourt qui utilisa une aiguille magnétisée pour tracer les lignes de forces autour d’une pierre aimantée sphérique. S’apercevant que ces lignes se refermaient sur deux régions privilégiées de chaque côté de la sphère, il nomma ces deux régions les pôles par analogie avec les lignes de longitude de la terre. En 1600 William Gilbert émet l’idée que la terre est un gigantesque aimant. En 1820, Le danois Hans Christian OERSTED découvre qu’un courant produit un effet magnétique. II – SPECTRE MAGNETIQUE D’UN AIMANT 1°/ EXPERIENCE La limaille de fer placée sur une vitre au dessus d’un aimant forme un figure caractéristique mettant en évidence les modifications locales des propriétés de l’espace autour de l’aimant. 2°/ LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE La notion de Champ s’impose alors. En tout point, on peut définir une direction, un sens et une intensité à ce champ magnétique. Pour le formaliser mathématiquement, on fait appel à la notion de vecteur. Le vecteur Champ d’Induction Magnétique est noté : B Pour des raisons pratiques les grandeurs vectorielles seront écrites en majuscules et en caractères gras : B. La norme ou intensité sera notée en caractère normal : B. Le sens de B est celui montré par le nord d’une boussole placée dans ce champ magnétique L’intensité B en un point de l’espace environnant dépend de la source produisant le champ magnétique et du point considéré. Elle s’exprime en Tesla (T)


On remarque ainsi que le pôle Nord géographique de la terre est en fait actuellement un pôle Sud magnétique. Notons que le champ magnétique terrestre varie dans le temps (de la minute à plusieurs millions d’années selon les causes) et s’inverse. 3°/ LIGNES DE CHAMP Sous l’action du champ d’induction magnétique les grains de limaille se transforment en petites boussoles qui s’orientent parallèlement à B. S’alignant les uns derrière les autres, ils matérialisent les lignes de champ magnétique : La ligne de champ est définie comme la ligne le long de laquelle tout déplacement élémentaire dM se fait parallèlement au champ d’induction magnétique. Produit vectoriel : a ^ b = c Le vecteur c est perpendiculaire à a et b, son sens est donné par la règle des trois doigts de la main droite : pouce a, index b majeur c (dans l’ordre 1er vecteur, 2ème vecteur et résultat). Son module est c = a b sin (a,b) 4°/ LES POLES 2 régions privilégiées d’où partent et arrivent les lignes de champ apparaissent sur le spectre. Ce sont les pôles. Les pôles ne sont pas des points précis, ces régions mal définies sont proches des extrémités du barreau aimanté. Un aimant brisé donne naissance à deux aimants et donc à 4 pôles. Le monopôle magnétique n’existe pas. III – CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE PRODUIT PAR DES CHARGES EN MOUVEMENT Au printemps 1820, Oersted découvre en plaçant une boussole sous un fil de cuivre parcouru par un courant qu’un courant électrique produit un effet magnétique. 1°/ CHAMP MAGNETIQUE PRODUIT PAR UN FIL RECTILIGNE INFINI

!

"

#$%$&"'

%$&"'


L’intensité de B est : ( proportionnelle à I ( inversement proportionnelle à r

Son expression est : 2°/ LOI DE BIOT ET SAVART Cette loi donne l’expression générale du champ magnétique dB créé par un fil élémentaire de longueur dl parcouru par un courant I. On a Cette loi permet par intégration de calculer le champ d’induction magnétique créé par n’importe quelle forme de conducteur parcouru par un courant. 3°/ BOBINE CIRCULAIRE PLATE

Les sens des vecteur B dessinés sur les lignes de champ sont donnés par la règle du tire bouchon. Au centre de la bobine on a :

")'*%+,&

Pour une bobine comportant N spires, on a

B = µ0 I / (2πr) !-

)' ."/π0'12

. 3

θ

, dB doit être en 1/r2 puisque l’intégration ramène au cas du fil infini dont l’expression de B est en 1/R.

"4%)'*/π&56*+

!

-

)' ."/π0'12

. 3

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, 7


V- THEOREME D’AMPERE 1°/ CIRCULATION D’UN VECTEUR

a) Sur un élément dl de longueur d’un contour

On considère un vecteur A. L’élément de longueur considéré étant petit, on considère que ce vecteur est constant (direction, sens et intensité). Par définition la circulation élémentaire dC du vecteur A sur l’élément de longueur dl est : On a donc dC =

b) Sur un arc A n’est pas constant le long de l’arc MN. On calcule donc la circulation élémentaire et on fait la somme intégrale.

Remarque : Si le contour est fermé, l’intégrale est notée :

θ

3θ

3

3

8"8"3

8"3


2°/ COURANTS ENLACES PAR UN CONTOUR On considère un certain nombre de conducteurs parcourus par des courants

3°/ THEOREME D’AMPERE 4°/ EXEMPLE Cas d’un conducteur rectiligne infini parcouru par I placé dans le vide. Le contour doit être judicieusement choisi : forme symétrique simple.

On entoure ces conducteurs par un contour fermé orienté s’appuyant sur une surface hachurée. Le vecteur unitaire n perpendiculaire à la surface est orienté selon la règle du tire bouchon.

0+ 9

:"Σ

3

"

: $ ;

< ; !

")':"

:


Chapitre 4 : INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE

I – LES PHENOMENES

Dans tous les cas, il apparaît aux bornes du conducteur une force électromotrice (f.e.m). Attention : une force électromotrice n’est pas une force mécanique en Newton, mais une tension en Volts. II – LA LOI DE FARADAY Selon les cas nous avons :

( une variation de champ d’induction magnétique ( un balayage de surface donc un flux coupé ( une variation de surface du conducteur

Déplacement d’un conducteur dans un champ d’induction magnétique

Déformation d’un conducteur dans un champ d’induction magnétique

Conducteur dans un champ d’induction magnétique variable

Fem induite : e = - d ΦΦΦΦ / dt

Variation de flux : ( Φ = B . S )


III – LOI DE LENZ 1°/ ENONCE « La fem induite a un sens tel que par ses effets elle tend à s’opposer à la cause qui lui donne naissance »

2°/ EXEMPLES

3°/ POURQUOI ? Si la loi de Lenz était contraire, - Bi renforcerait B => augmentation du flux => e augmente => Bi augmente etc …

- La force de Laplace induite renforce l’action extérieure => accélération

augmentation énergie cinétique

Ce serait incompatible avec le principe de conservation de l’énergie.


IV – APPLICATIONS 1°/ MACHINE A COURANT CONTINU 2°/ MACHINE A COURANT ALTERNATIF

3°/ TRANSFORMATEUR

=

> ?$

!

@

.! % &

! .

? 7

! . A

? . . @

!

%

&

=

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B 3

>

!. C

! D #

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! D

!. C

D

!

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D @

D


4°/ COURANTS DE FOUCAULT

>. !E

( !

( ? !

.

. F

8 8

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=

=

G

7

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!

GH

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.

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I

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%&G

$

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..

G ! !

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(

. F !

.


Chapitre 5 – AUTOINDUCTION – MUTUELLE INDUCTION I – FLUX PROPRE Soit un circuit électrique constitué d’une boucle parcourue par un courant i. Il en résulte un champ magnétique B créé par cette spire. II – AUTOINDUCTION 1°/ RAPPEL DU PHENOMENE D’INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE On a vu au chapitre précédent que le phénomène d’induction électromagnétique est : L’apparition d’une fem induite aux bornes d’un circuit subissant une variation de flux à travers sa surface. Cette fem s’oppose par ses effets à la cause qui lui donne naissance. 2°/ AUTOINDUCTION

7

Définition du flux propre :

?

.

8

?

! 3(


3°/ EXEMPLE : CAS DU SOLENOIDE, établissement du courant Comment se manifeste ce phénomène ? Remarque :

Initialement, K est ouvert, donc i = 0 . Quand on ferme l’interrupteur K :

e < 0

On retient que dans un circuit inductif, le courant s’établit progressivement

%&

%&

Etablissement du courant dans un circuit inductif

K(L


4°/ EXEMPLE : CAS DU SOLENOIDE, rupture du courant Comment se manifeste ce phénomène ?

Initialement, K est fermé, donc i = Imax . Quand on ouvre l’interrupteur K :

On retient qu’il ne faut jamais couper brutalement le courant dans un circuit inductif

Etablissement et rupture du courant dans un circuit inductif

%&

%&

e >> 0 K

(L


Le remède : La diode de roue libre On place une diode en parallèle et dans le bon sens pour court-circuiter cette fem induite lors de la coupure du courant : III – INDUCTANCE PROPRE D’UNE BOBINE 1°/ DEFINITION Soit une bobine sans noyau, de longueur llll de section S comprenant N spires. Flux propre à travers une spire : ϕs = B est créé par i : B = Flux propre à travers une spire : ϕs = Flux propre à travers l’ensemble de la bobine : ϕ = Le coefficient de proportionnalité entre ϕ et i est appelé inductance propre de la bobine. Noté L, il s’exprime en Henry (H) et 2°/ INDUCTANCE PROPRE ET FEM AUTO-INDUITE Fem induite aux bornes d’une spire : e = - dϕs /dt 3°/ MODELE EQUIVALENT D’UNE BOBINE

K(L

Fem totale induite aux bornes de la bobine : e = - N dϕs / dt = - dϕ / dt = - L di/dt

r e = - L di/dt

i

uL

i

uL

L = µ0N2 S/ l


IV – BOBINE EN REGIME SINUSOIDAL 1°/ FEM INDUITE, FORMULE DE BOUCHEROT La fem induite autoinduite est donc :

e = - N dφ/dt = - N ω φm cos ωt = - N ω φm sin (ωt - π/2) La fem autoinduite est sinusoïdale et déphasée de -π/2 par rapport au flux. La valeur efficace de le fem autoinduite est : Eeff = N ω φm / 2 = N 2πf φm / 2 Formule de Boucherot : 2°/ MODELE EQUIVALENT EN REGIME SINUSOIDAL

a) Modèle série

M

Une bobine (N spires, section S) est reliée à un générateur de tension sinusoïdal. Le courant et donc le flux magnétique sont donc sinusoïdaux :

I = Im sin ωt et φ = φm sin ωt

φφφφ

Eeff = 4,44 N f Bm S

r

e = - L di/dt

r

jLω

,

!!

,

D

>

U = ri + L di/dt U = ( r + jLω ) I

>*"√%+K

+ω+

&

ϕ*" (0%ω*,&

H"ω*

! %&

Modèle Série

« Bonne » bobine : r faible par rapport à Lω donc Q >> 1


b) Modèle parallèle

c) Relations entre les deux modèles

Il s’agit d’une seule et même bobine représentée différemment. On a donc nécessairement égalité des admittances (ou des impédances) des deux modèles.

1 / ( r + jLωωωω ) = [ 1/rp + 1 / jLp ωωωω ]

En identifiant les parties réelles et parties imaginaires des deux membres de cette équation, on obtient les relations entre les deux modèles :

Modèle Parallèle

,D

r

jLω

>

Modèle Série

rp jLpω

>

I = ( 1/rp + 1/jLpω ) U

H"*ω

! %**&

C’est la même « Bonne bobine » donc Q >> 1 Donc rp >> Lpω et rp >> r

"%0KH+&

"%0K%0*H+&&

H"ω*"*%ω&

HNN0OP

"

"H+


V – ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE 1°/ Puissance instantanée On sait que : u = ri + L di/dt La puissance instantanée est :

p(t) = u(t) i(t) = r i2 + L i di/dt

2°/ Energie mise en jeux pendant dt

dW = r i2 dt + L i (di/dt) dt = r i2 dt + L i di

3°/ Energie totale pour une variation du courant de 0 à I We = L i di Quand I augmente : cette énergie est dépensée par le générateur (fournie à la bobine) pour vaincre l’opposition de la fem autoinduite (Loi de Lenz). Cette énergie est nécessaire pour créer le champ magnétique de la bobine. D’où son nom d’énergie électromagnétique localisée dans tout l’espace où existe le champ magnétique. Quand I diminue, cette énergie est restituée au reste du circuit :

( étincelle lors d’une coupure brutale ( échauffement de la résistance lors d’une coupure moins

brusque

Puissance dissipée dans la résistance de la bobine par effet joule

Puissance électromagnétique : reçue par la bobine si di >0

restituée si di < 0

Q !

'

Q"%0*+&+


VI – INDUCTANCE MUTUELLE 1°/ DEFINITION Considérons deux circuits filiformes indéformables :

M est l’inductance mutuelle des deux circuits. Contrairement à l’inductance propre, M dépend de l’orientation :

2°/ FLUX Pour chaque circuit, on a ϕ = ϕp + ϕext Donc : ϕ1 = ϕp1 + ϕ2->1 et ϕ2 = ϕp2 + ϕ1->2 = L1 i1 + M i2 = L2 i2 + M i1 3°/ FEM INDUITES e1 = - L1 di1/dt - M di2/ dt e2 = - L2 di2/dt - M di1/ dt

4°/ LOI D’OHM GENERALISEE u1 = r i1 + L1 di1/dt + M di2/ dt u2 = r i2 + L2 di2/dt + M di1/ dt

0 +

?0 %0& .%+&0

?+ %+& .%0&+

F

ϕ0(N+"0ϕ+(N0"+

0 +

N'

0 +

R'

Couplage magnétique


Chapitre 7 – COURANTS MONOPHASES

I – RAPPELS Soit un dipôle alimenté par un générateur de tension sinusoïdal. 1°/ Caractéristiques des signaux

Expressions instantanées : i(t) = Im sin (ωt + ϕ1) u(t) = Um sin (ωt + ϕ2)

Valeurs maximales ou amplitudes : Um et Im

Valeurs efficaces (valable que pour des signaux sinusoïdaux) :

U = Um / 2 et I = Im / 2 (Quand ambiguïté on note Ueff et Ieff ) Phases à l’origine : ϕ1 pour i(t) et ϕ2 pour u(t)

Déphasage de u par rapport à i : ϕu/i = ϕ2 - ϕ1 Pulsation : ω (en rad.s-1)

Fréquence (en Hz): f = ω / 2π Période (en s) : T = 1/f

2°/ Représentation de Fresnell et représentation complexe

Prenons l’exemple de u(t) = Um sin (ωt + ϕ2) Pour une fréquence donnée, deux grandeurs caractérisent le signal : Um et

ϕ2. On peut ainsi représenter ce signal à l’aide d’un vecteur : le vecteur de Fresnell.

On peut aussi associer un nombre complexe au signal et au vecteur de Fresnell : Le nombre complexe est noté U

Sous sa forme trigonométrique :

U = [ Val efficace ; Phase à l’origine ]

U = [Ueff ; ϕ2 ]

ϕ+

>

,

S>


3°/ Loi d’Ohm En régime sinusoïdal, on peut utiliser la représentation complexe. La relation entre U et I pour le dipôle s’écrit :

Z est l’impédance complexe : Z = U / I 4°/ Résistance Réactance Z peut se mettre sous la forme algébrique : Z = R + j X Ré(Z) est une résistance (en Ω) et Im(Z) est une réactance (en Ω) Y = 1/Z est l’admittance. 1/R est une conductance (Siemens ou Ω-1).

1/X est une suceptance (Siemens ou Ω-1 ) 5°/ Exemples de Dipôles Résistance pure : |Z| = R ϕu/i = 0 => Z = R purement réelle Inductance parfaite : |Z| = Lω ϕu/i = π/2 => Z = jLω purement imaginaire Condensateur parfait : |Z| = 1/Cω ϕu/i = -π/2 => Z = -j/Cω = 1/jCω Im pur

Dipôle Inductif : Z = R + jX avec X = L ω > 0 |Z| = √(R2 + X2 )

ϕu/i = tan-1(X/R) > 0

Dipôle Capacitif : Z = R + jX avec X = -1/ Cω < 0

|Z| = √(R2 + X2 ) ϕu/i = tan-1(X/R) < 0

ϕ*

ϕ*

U = Z IModule : | Z | = Ueff / Ieff Argument : arg(Z) = ϕu/I


II – PUISSANCES EN REGIME SINUSOIDAL 1°/ Puissance instantanée

Par définition : avec i(t) = Im sin ωt u(t) = Um sin (ωt + ϕu/i) Représentation graphique : Simulation pour Um = 2V et Im = 1,5 A

,

ϕ"'T

PUISSANCE INSTANTANEE

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

iupP


-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

iupP

ϕ"2'T


-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

iupP

ϕ"U'T

%&N'

<J

%&R'

<JOP

p(t) = u(t) i(t)


2°/ Puissance Moyenne ou Puissance Active

Bobine parfaite : P = 0 Inductif : P > 0 => Puissance consommée par la partie résistive du dipôle. Résistif : P > 0 Capacitif : P > 0 => Puissance consommée par la partie résistive du dipôle. Condensateur : P = 0 En conclusion : Puissance active consommée par un dipôle Z = R + j X :

Un dipôle passif ne peut présenter une puissance active P < 0 car il est

forcément en moyenne consommateur d’énergie. Une puissance P<0 signifie que le dipôle fournit de l’énergie au reste du

circuit, il est ou se comporte comme un générateur. Un dipôle actif (transistor, ampli op) peut fonctionner en générateur.


-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

iupP

8

ϕ"(U'T


-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

iupP

8

ϕ"(2'T

P = R Ieff2

P = (2/T) 0T/2 p(t) dt = U I cos ϕu/i S’exprime en Watt


III – LE WATTMETRE Le wattmètre sert à mesurer la puissance active consommée par un récepteur. 1°/ LE SYMBOLE 2°/ CONSTITUTION

Le wattmètre comporte deux circuits distincts : Un circuit « gros fil » parcouru par le courant, branché en série avec le récepteur, comme un ampèremètre. Un circuit « fil fin », circuit tension, branché en parallèle sur le récepteur, comme un voltmètre. Chacun de ces circuits est protégé par un fusible.

3°/ MESURE On dispose à la fois de calibres tension et de calibres intensité. L’appareil mesurant la puissance active P = Ueff Ieff cosφ, pour Ueff et Ieff donnés, la déviation de l’aiguille dépend de cosφ. L’aiguille dévie à pleine échelle quand : Ueff mesurée = Ucal la tension du calibre Ieff mesurée = Ical le courant du calibre et cosφ = 1

Cela correspond à une puissance active de UcalIcal

Q

8

8


Montage longue dérivation

Q

Si l’aiguille dévie de N graduations, sur un appareil de Ntot graduations au total, la mesure réalisée est : P mesuré = N Ucal Ical / Ntot

Exemple : Calibres 240 V et 5 A soit 240*5 = 1200 W pleine échelle

Le nombre total de graduations est de 120. Soit 1200/120 = 10 W / graduation

L’aiguille dévie de 40 graduations, donc : P mesurée = 40 * 240*5 / 120 = 400 W

III – BRANCHEMENT DU WATTMETRE

Montage courte dérivation

Attention : Même si Ueff et Ieff sont proches des valeurs des calibres sélectionnés, la déviation de l’aiguille reste faible si cosφ est faible. On ne peut cependant pas utiliser des calibres inférieurs …

… cela détériore l’appareil !

Montage courte dérivation

Q


Procédure de mesure :

( Placer un ampèremètre en série avec le circuit « gros fil » ( Placer un voltmètre en parallèle sur le circuit fil fin ( Régler chaque appareil sur les calibres les plus élevés Attention, le fusible du circuit tension du wattmètre

coûte environ 10 euros pièce ( Adapter les calibres des différents appareils selon les valeurs mesurées.

Si l’aiguille dévie du mauvais côté, inverser le sens de

branchement du circuit fil fin. IV – PUISSANCES APPARENTE ET REACTIVE 1°/ Puissance apparente Définition Ce n’est pas une puissance reçue par le dipôle, c’est pourquoi on ne l’exprime pas en Watt. On remarque que P = S cos ϕu/i S est donc la puissance active maximale que pourrait consommer le dipôle si le déphasage ϕu/i était nul. La puissance des transformateurs ou alternateurs est souvent donnée en VA en faisant le produit des valeurs nominales : valeurs optimales pour lesquelles est fabriquée la machine.

Par exemple : Transfo de 250 kVA. C’est une caractéristique de construction, la puissance débitée par le transfo dépendra du circuit qu’il alimente ! 2°/ Puissance Réactive Définition On a ainsi : S = (P2 + Q2) tan ϕu/i = Q/P cos ϕu/i = P/S

Bobine parfaite : Q > 0

Inductif : Q > 0 => Puissance consommée par la partie réactive du dipôle. Résistif : Q = 0 Capacitif : Q < 0 => Puissance restituée par la partie réactive du dipôle. Condensateur : Q < 0

">E3

H">ϕ*E3,

Q = - Ieff2 / Cω = Cω U2

Q = Lω I2 = U2 / Lω


En conclusion : Puissance réactive pour un dipôle Z = R + j X :

Une puissance Q>0 signifie que le dipôle consomme est inductif, il consomme

de la puissance réactive destinée à créer le champ magnétique dans l’inductance. Une puissance Q<0 signifie que le dipôle est capacitif, il restitue de la

puissance réactive.

V – THEOREME DE BOUCHEROT

VI – FACTEUR DE PUISSANCE 1°/ Définition

cos ϕu/i est appelé facteur de puissance du récepteur.

On a cos ϕu/i = P/S et ϕu/I = arctan(X/R)

On remarque que cos ϕu/i diminue quand ϕu/i augmente, c’est à dire quand la

réactance augmente par rapport à la résistance.

2°/ Importance du facteur de puissance

Les installations industrielles sont souvent inductives à cause des bobinages des moteurs des machines. La puissance réactive consommée augmente et cosϕu/i diminue.

Pour une même puissance active consommée, on constate que si cosϕu/i diminue, le courant I augmente. Les pertes joules en lignes augmentent alors. Elles coûtent cher à la société de distribution de l’électricité qui ne facture à priori que la puissance active consommée.

Q = X Ieff2

S>

S",KIV

. F

! ! .

?

.

F ! ! .

I? ?


Le remède est de redresser le facteur de puissance en plaçant en parallèle sur l’installation des condensateurs qui redonnent de la puissance réactive au réseau et permettent d’augmenter le cosϕu/i. 3°/ Calcul de la capacité

Un récepteur inductif alimenté sous U consomme une puissance active P. L’intensité du courant qu’il absorbe est I.

On place un condensateur en parallèle sur le récepteur afin d’augmenter le facteur de puissance. Soit cos ϕ’ le nouveau facteur de puissance désiré et I’ le nouveau courant absorbé qui en découle.

On peut alors faire le bilan des puissances et appliquer le théorème de Boucherot :

Puissances réactives Puissances actives Charge R, L Q = UI sin ϕ = P tanϕ P C seul Qc = - U2 Cω Pc = 0 Charge R, L + C en // Q’ = UI’sinϕ’ P’ = UI’cosϕ’

On a : U I’ sinϕ’ = P tanϕ - Cω U2 et : UI’cosϕ’ = UIcosϕ => I’ = I cosϕ/cosϕ’ donc : U(I cosϕ/cosϕ’) sinϕ’ = P tanϕ - Cω U2 P tanϕ’ = P tanϕ - Cω U2

S>

GI#

! ϕ*

C = P (tanϕ - tanϕ’) / ( ω U2)


Chapitre 8 – LE TRANSFORMATEUR

I – INTRODUCTION 1°/ ROLE DU TRANSFORMATEUR 2°/ CONSTITUTION

Ceci est un schéma de principe. En réalité les deux enroulements sont imbriqués pour un meilleur couplage magnétique et une réduction des fuites magnétiques. Le circuit magnétique est constitué d’un empilement de tôles isolées entre elles (feuilletage) afin de réduire les pertes magnétiques dues aux courants de Foucault. Le dispositif est placé dans l’air ou dans un bain d’huile pour en assurer le refroidissement. 3°/ SYMBOLE

,B


3°/ PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT 4°/ BORNES HOMOLOGUES I1 donne l’orientation de ϕ. ϕ donne l’orientation de I2. La borne du secondaire homologue à la borne primaire est celle par laquelle entre le courant II – MODELISATION DU TRANSFORMATEUR 1°/ LE SCHEMA EQUIVALENT

-

>0

D

>0

0

>+

+

>0

0

>+

+

0 0

+ l2

+

l10

,>0>+

0 +-

Propriété : Tout courant entrant par deux bornes homologues tendent à produire des flux de même sens.


2°/ SIGNIFICATION DES ELEMENTS

a) Résistances

R1 et r2 sont les résistances des enroulements primaires et secondaires. Elles provoquent l’échauffement des bobinages et donc des pertes par effet joule : pj = r1 I12 + r2 I22

b) Répartition des flux

Flux résultants en charge :

0

>0

ϕ0

ϕ0

ϕ 0

Bobinage primaire seul : La fmm N1 i1 crée un flux ϕ’1 qui se divise en ϕf1 et ϕ1 ϕ 0"

>+

+

ϕ+

ϕ +

ϕ+

Bobinage secondaire seul : La fmm N2 i2 crée un flux ϕ’2 qui se divise en ϕf2 et ϕ2 ϕ +"

Ce flux …………. au flux ϕ1 car il est créé par le courant induit i2

0

>0>+

+

ϕ

ϕ0

ϕ0 ϕ+

ϕ+

Avec les deux bobinages : ϕ"

ϕ0"

ϕ+"

Ce qui donne : ϕ0"

ϕ+"


c) Inductances de fuites Au flux de fuites, on associe des inductances de fuites :

0"0ϕ0*0 +"+ϕ+*+

d) Inductance principale

Elle est associée au flux canalisé par le circuit magnétique. Elle est définie par :0"0

ϕ*0

e) Modélisation des pertes fer

Les pertes fer sont modélisées par la résistance Rf. A cause d’elles, le courant I1 n’est pas déphasé de 90 ° par rapport à la fem induite dans l’enroulement primaire.

Rf ainsi déterminée est valable pour ω donnée car les pertes fer dépendent de la pulsation de la tension primaire, généralement fixe (f = 50 Hz).

Cette détermination dépend également de la valeur efficace de U1 . En effet la courbe ϕ (i) n’est pas linéaire à cause de la saturation du circuit magnétique.

3°/ EQUATIONS ELECTRIQUES Grandeurs instantanées Notation efficace complexe

Fem induites : e1 =

e2 =

Rapport de transformation : m = e2 / e1 =

#0

0

0

0

0"0 K0

8

8

G#00 ",0 +"N,"#0*0


III – TRANSFORMATEUR A VIDE 1°/ EQUATIONS ELECTRIQUES A VIDE On a alors 2 = 0. Les équations électriques deviennent : Puissance absorbée : P1v très petite . En conséquence, le courant absorbé au primaire est faible. On le notera 0.

0.RR0nominal : utilisation normale. On a alors U1 ≅ E1v (en valeur efficace)

2°/ RAPPORT DE TRANSFORMATION Par suite le rapport de transformation devient :

Cette approximation est pratique expérimentalement car on ne peut ne peut acceder aux fem induites. 3°/ PUISSANCES MISES EN JEU A VIDE ϕϕϕϕ pertes joules a vide + pertes fer ϕϕϕϕ pertes magnétiques (fuites) + puissance magnétisante Approximation : P1v ≅ pertes fer et Q1v ≅ puissance magnétisante. IV – COMPARAISON DES FLUX EN CHARGE ET A VIDE 1°/ FLUX RESULTANT A VIDE ET EN EN CHARGE

Le flux canalisé par le circuit magnétique est dû uniquement à la fmm

A vide I2= 0 ϕv =

En charge : I2 0

Le flux canalisé par le circuit magnétique est dû aux fmm

ϕ = avec ϕ2 qui s’oppose à ϕ1


On peut écrire les lois d’Hopkinson en faisant apparaître la réluctance du circuit magnétique :

N1 i1v = ϕ1v N1 i1 + N2 i2 = ϕ

Le flux en charge est légèrement plus faible qu’à vide, mais on néglige cette petite différence :

N1 i1 + N2 i2 = ϕ ϕ1v = N1 i1v Ainsi on peut écrire : En notation complexe :

V – HYPOTHESE DE KAPP 1°/ HYPOTHESE DE KAPP On néglige le courant primaire à vide : I1v << I1 => On néglige les pertes fer. 2°/ EQUATION DES AMPERES TOURS En notation complexe : 00K++"'

3°/ SCHEMA EQUIVALENT

Equations électriques :

"+*0≅(>+.*>0"(0*+

0

+ l2

+

l10

>0>+

0 +-

N1 i1 + N2 i2 = N1 i1v

N1 I1 + N2 I2 = N1 I1v

8 !

(


>+.">+K,+KIV+

4°/ EQUATIONS RAMENEES AU SECONDAIRE

< ;

L ‘Equation électrique s ‘écrit finalement :

3.,"+K+0V"%+K

+0&ω

Le schéma équivalent ramené au secondaire devient : Chute de tension en charge :

!"#$#!" #"

!#!#!##!%#ωωωω#

>0

0

#0

, Xs

>+.>+

+

+

>+,+

V+>+.

ϕ2

Chute de tension en charge : ∆U2 = AB AK = AH + HK AH = Rs Is cos ϕ2

HK = Xs Is cos (π/2 - ϕ2) = Xs Is sin ϕ2

+

>+

3

>+.

L:

ϕ2

ϕ2

∆>+">+.1>+,+ϕ+KV+ϕ+

>+">+.1,+1IV+

On a vu que :


>0

0

#0

, Xs

>+."(>0>+"'

+

5°/ DETERMINATION EXPERIMENTALE DES ELEMENTS DU MODELE EQUIVALENT

a) Détermination de m par essai à vide

La puissance consommée par le transformateur correspond alors au pertes fer : P1v = p fer

b) Détermination de Rs et Xs par essai en court circuit La puissance absorbée par le transformateur est alors : P1cc = R1 I1cc

2 + p fer cc + R2 I2cc2 = R1 (mI2cc)2 + R2 I2cc

2 = (m2 R1 + R2 ) I2cc2

= Rs I2cc2

Ainsi, on déduit Rs de la mesure de la puissance absorbée lors d’un essai en court-circuit sous tension réduite : L’équation électrique du secondaire donne : U2 = 0 = -m U1cc – Rs I2cc – j Xs I2cc

On peut donc déduire Xs :

"NPythagore donne : V"4%>0&+*+

+1,6

c) Rendement

Le rendement du transformateur peut alors être calculé pour un fonctionnement normal : η">++ϕ+*%>++ϕ+KK,+

+&

,+

V+(>0

sinon I2CC >> I2nominal => le tranfo fume

Rs = P1cc / I2cc2

Il suffit de mesurer à l’aide d’un voltmètre en AC la valeur efficace de la tension secondaire à vide et celle de la tension primaire, puis de calculer le rapport des deux.

>+.*>0

%. &


Chapitre 8 – LE TRIPHASE

I – TENSIONS SIMPLES

Cela permet de définir trois tensions appelées tensions simples (notées V1 , V2

et V3 entre chaque phase et la masse. Les chronogrammes de ces trois tensions simples sont les suivants :

On constate que chaque tension simple est en retard de 2π/3 par rapport à la

précédente. Ce qui permet de tracer le diagramme de Fresnell :

Le tableau d’arrivée d’une alimentation triphasé comporte 4 bornes : 1,2,3 et N. Les bornes 1,2 et 3 sont reliées aux fils de phase. La borne N est reliée au fil neutre.


On peut écrire les relations instantanées suivantes :

On constate qu’à chaque instant : v1 + v2 + v3 = 0 : le système triphasé est dit équilibré. II – TENSIONS COMPOSEES Ce sont les tensions entre deux fils de phase. Ainsi, à chaque instant : u12 = v1 – v2

Le diagramme de Fresnell complet a l’allure suivante :

On remarque que le système des tensions composées constituent également un système triphasé équilibré : à chaque instant leur somme est nulle. Réseau EDF :

V = 220 V entre phase et neutre (installation domestique) U = 220.√3 = 380 V entre phases (installations industrielles).

v1 (t) = Vm sin ωt v2 (t) = Vm sin (ωt - 2π/3) v2 (t) = Vm sin (ωt - 4π/3)

U12 = 2 V cos (π/6) = 2 V √3 / 2 D’ou la relation U = V √3

On peut écrire les expressions instantanées suivantes : u12 = Um sin (ωt + π/6) u23 = Um sin (ωt - π/2) u31 = Um sin (ωt - 7π/6)


III – COUPLAGE ETOILE 1°/ Récepteur symétrique

Le diagramme de Fresnell présente l’allure suivante :

2°/ Récepteur dissymétrique Le système d’alimentation est triphasé équilibré.

Si les trois phases du récepteurs sont différentes, il est dit dissymétrique.

Chaque phase du récepteur est soumise à une tension simple. Le système d’alimentation est triphasé équilibré. Si les trois phases du récepteurs sont identiques, il est dit symétrique. Le système des courants est alors un système triphasé équilibré et :

i1 + i2 + i3 = iN = 0

Chaque tension simple est déphasée de ϕpar rapport au courant dans la phase considérée. Ce déphasage est apporté par l’impédance Z de la phase.

i1 = Im sin (ωt - ϕ) i2 = Im sin (ωt -2π/3 - ϕ) i3 = Im sin (ωt -4π/3 - ϕ)

Les déphasages tension-courant pour chaque phase et les valeurs efficaces des courants sont différents. Le système triphasé de courant n’est plus équilibré.

On a alors :

i1 + i2 + i3 = iN 0


IV – COUPLAGE TRIANGLE 1°/ Récepteur symétrique

Chaque courant de ligne i peut être exprimé en fonction des courant circulant dans les phases du récepteur. On peut écrire : i 1 = j 12 – j 31 i 2 = j 23 – j 12 i 3 = j 31 – j 23

D’où la représentation de Fresnell suivante :

2°/ Récepteur dissymétrique Les trois phases du récepteur sont différentes. Il faut à partir des tensions composées, déterminer les courants dans les phases du récepteur et en déduire les courant dans les lignes.

Chaque phase du récepteur est soumise à une tension simple. Le système d’alimentation est triphasé équilibré. Si les trois phases du récepteurs sont identiques, il est dit symétrique.

Les courants de ligne i1, i2, i3 constituent un système triphasé équilibré. Les valeurs efficaces des courants dans les lignes et dans les phases du récepteur sont reliées par la relation :

I = J √3


Q = √3 UI sin ϕ

Q = √3 UI sin ϕ

V – PUISSANCES EN TRIPHASE

1°/ Récepteur en étoile On a : P = 3 P1 = 3 VI cos ϕ = 3 (U/√3) I cos ϕ =>

De même :

2°/ Récepteur en triangle On a : P = 3 P1 = 3 UJ cos ϕ = 3 U (I/√3) cos ϕ =>

De même : 3°/ En conclusion Dans tous les cas :

Avec : U tension entre phase de la ligne I courant dans la ligne ϕ déphasage apporté par une phase du récepteur

P = √3 UI cosϕ

P = √3 UI cosϕ

P = √3 UI cosϕ "N"√9>

Q = √3 UI sin ϕ

Documents

LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE DANS LE …mpeea.free.fr/data/trotech/cours-trotech-trous-07.pdf · A n’est pas constant le long de l’arc MN. On calcule donc la circulation