CHAPITRE 1 - Les Fonctions

A) Rappels sur la dérivation

1) Limite d’une fonction en a∈ℝ

Soit une fonction f de domaine Df, composée d’un ou plusieurs intervalles de ℝ .Soit a∈ℝ tel que a∈D f où a est une borne d'un intervalle de Df.

On écrit f(x) → l quand x → a ("f de x tend vers l quand x tend vers a") lorsque la valeur de f(x) se rapproche de l quand x s’approche de a. l peut être un réel, +∞ ou -∞.

On note alors : limxa

f x =l ("La limite de f de x quand x tend vers a est l").

Exemple 1 :

Ici, on aura limx−4

f x=∞ , limx6

f x =∞ , limx2

f x =−0,25 .

Remarques :

• Ici, on considère que Df = ]-4 ; 6[ même si on pourrait aussi étendre ce domaine en dessous de -4 et au-dessus de 6 pour cette fonction.

• La limite de f(x) pour x=2 est tout simplement f(2) car f est définie et continue pour x=2.

Exemple 2 :

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Il n’y a pas de limite de g(x) en a = 2, car la fonction "saute" d'environ 2,556 à 0 en arrivant à l'abscisse 2.

Remarque :On peut dire ici qu’il y a une limite à gauche et une limite à droite de 2, mais elles sont différentes.

2) Dérivabilité et tangente

Soit une fonction f et A le point (a ; f(a)). Si la courbe de f admet une tangente en A, le coefficient directeur (ou pente) de cette tangente s’appelle le nombre dérivé de f en a et se note f’(a).

(d) est la limite de la droite (AM) lorsque M se rapproche de A. On appellera h la différence entre l’abscisse de M et celle de A, soit M(a + h ; f(a + h)).

Alors, le coefficient directeur de (AM) est f ah – f a

ah – a soit f ah – f a

h .

Lorsque f admet une tangente en a, son coefficient directeur f'(a) est donc égal à

limh0 f ah– f a

ah – a .

Remarques :. Il peut ne pas y avoir de nombre dérivé en un point, par exemple lorsque cette limite est infinie (cas d'une tangente verticale) :

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. Il peut y avoir une limite différente à droite et à gauche, ce qui fait deux "demi-tangentes", l'une à gauche et l'autre à droite :

. Il y a d’autres cas encore plus bizarres (x sin(1/x) en x=0) où la limite n'existe simplement pas :

3) Fonction dérivée

Soit f’ la fonction qui à x fait correspondre f’(x), nombre dérivé de f en x.f’ s’appelle la "fonction dérivée" (ou simplement la "dérivée") de f et son ensemble de définition s’appelle l’ensemble de dérivabilité de f.

Remarque : (f’)’,la dérivée de f’, se note f’’, "dérivée seconde" de f.

(f’’)’ = f’’’, dérivée troisième de f .

Pour la suite, on note plutôt f(4), f(5) etc...

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4) Dérivées usuelles

Fonction f Df Dérivée f’ Df’

ax + b ℝ a ℝ

axn avec x∈ℤ* ℝ* si n<0, ℝ sinon naxn-1 ℝ* si n<1, ℝ sinon

x ℝ+ 12 x

ℝ+*

sin(x) ℝ cos(x) ℝ

cos(x) ℝ -sin(x) ℝ

5) Formules de dérivation

Soient u, v, f et g des fonctions dérivables et k, a et b des constantes. On aura :

(u + v) ‘ = u’ + v’

(ku)’ = ku’

(uv)’ = u’v + uv’

uv ’=u ’ v – uv ’

v2 (Quand v ne s’annule pas)

1v ’=−v ’

v2 (Quand v ne s’annule pas)

(f o g)’ = g’ (f’ o g) qui peut s’écrire aussi : (f(g(x)))’ = g’(x) x f’(g(x))

d’où on peut tirer : (f(ax + b))’ = a f’(ax+ b),

et en particulier : (sin(ax+b))’ = a cos(ax+b) et (cos(ax+b))’ = - a sin(ax+b)

Exemples :

Trouver les dérivéescos 3 x – 1’ =

sin 1x’ =

tan x ’= sin x cos x ' =

1

cos 2 x – π4 ’ =

6) Sens de variation

a) Rappels

f est croissante sur I lorsque ∀ a ,b∈I , ab => f a≤ f b .

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f est décroissante sur I lorsque ∀ a ,b∈I , ab => f a≥ f b .

On dit "strictement" croissante ou décroissante lorsque l’inégalité est stricte entre f(a) et f(b).

Quand on étudie une fonction, il est toujours intéressant de faire son tableau de variation, c’est-à-dire découper son domaine de définition en intervalles dans lesquels la fonction est monotone, càd strictement croissante ou décroissante.

b) Variation et opérations

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I

• Si f et g ont le même sens de variation sur I, Alors f + g aussi• Si f et g sont croissantes et positives sur I, Alors fg l’est aussi.

Soit f définie sur l’intervalle I et g défini sur l’intervalle J, avec f I ⊂ J .

• Si f et g ont même sens de variation sur I pour f et sur J pour g, Alors fog est croissante sur J.• Si f et g sont de sens de variation contraires sur I pour f et J pour g, Alors fog est

décroissante sur J.

Exemples :I) f(x) = 3x3 et g(x) = x/3 – 2

Étudier le sens de variation de f + g, de fg et de fog

II) f(x) = 2 x et g(x) = cos(x)Étudier le sens de variation de fog sur l’intervalle [0 ; 2π]

III) Si f et g sont décroissantes et négatives sur I, que peut-on dire de fg sur I ?Voir le cas f(x) = x² et g(x) = 2 – x (découper en intervalles !)

3) Variations et dérivées

Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle J.

1) Si f’ est nulle sur I, f est constante sur I.

2) Si f’ est négative sur I, f est décroissante sur I.

3) Si f’ est positive sur I, f est croissante sur I.

a) ApplicationsÉtudier les fonctions suivantes (chercher sa dérivée f’(x), en étudier le signe et faire le tableau de variation de f) :

a) f(x) = 4x3 + 7b) f(x) = 3x4 - 2c) f(x) = 3x3 – 2x2 + 5x - 17d) f(x) = x3 – 9x² + 15x + 17

e) f(x) = 2x – 13−x

f) f(x) = x23 x – 4x−3

EXERCICES 33 et 34 page 27

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b) Conséquences sur les extremums Soit f dérivable sur un intervalle ouvert I et x∈I .

a) Si f admet un extremum local en x=a, Alors f’(a) = 0 et f’ change de signe en x=a.

b) Si f’ s’annule en changeant de signe en x=a, Alors f admet un extremum local en x=a.

c) Remarques pratiques1) Les extremums locaux se voient aisément sur le tableau de variation d’une fonction : cela

ressemble à /°\ (maximum) ou \o/ (minimum).

2) Ils correspondent toujours à des valeurs qui annulent f’ ou pour lesquelles f’ n’est pas définie.

d) ExemplesTrouver les extremums des exemples précédents et vérifier les assertions ci-dessus.

EXERCICES 38 et 42 page 28 – 46 page 29

C) Continuité des fonctions

1) Fonctions continues

a) DéfinitionsSoit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a.

On dit que f est continue en a si limxa

f x = f a .

On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I.

b) Interprétation et applicationGéométriquement, cela correspond à une fonction dont la courbe sur l’intervalle I peut se tracer "sans lever le crayon".

Les fonctions habituelles, comme les polynômes, sinus, cosinus, racine carrée, valeur absolue ainsi que leurs produits, sommes, quotients et composées sont continues sur leur domaine de définition.

D’autres fonctions pourtant simples ne le sont pas : E(x) (partie entière de x) par exemple : en effet, elle fait un saut à chaque entier qu’elle rencontre.

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2) Théorème des valeurs intermédiaires

Soit f continue sur l’intervalle I et a et b deux éléments de I avec a < b.

Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.

Ce théorème pourra être démontré dans le chapitre sur les suites.

Interprétation graphique :

"La courbe ne peut pas passer de A à B sans passer au moins une fois par toutes les ordonnées comprises entre E et D".

Ou encore : "Sans lever le crayon, on ne peut pas éviter de traverser entièrement la zone comprise entre les droites (AD) et (EB) pour passer de A à B".

3) Fonctions continues strictement monotones

Soit f une fonction continue strictement monotone sur [a ; b].Alors pour tout k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x) = k a une seule solution c unique dans [a ; b].

Démonstration

a) L’existence d’au moins une solution découle du 2) ci-dessus.

b) F étant strictement monotone, si on avait deux solutions distinctes c et d, on ne pourrait pas avoir f(c) = f(d) à cause de la monotonie stricte de f (par exemple, si f est strictement croissante et si c < d, on aura f(c) < f(d) avec égalité impossible !).

Conséquences

. f réalise alors une bijection (correspondance biunivoque) de I=[a ; b] sur J=[f(a) ; f(b)] si f est croissante, ou [f(b) ; f(a)] sinon.

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Cela signifie qu’à chaque élément de I correspond par f(x) un et un seul élément de J et réciproquement.

. Ce théorème se prolonge au cas d’un intervalle ouvert ou semi-ouvert, y compris avec une ou deux bornes infinies.

EXERCICES 52, 54 et 56 page 56

4) Résolution approchée d’une équation

a) Principe

Grâce aux théorèmes précédents, on peut• Justifier l’existence de solutions,• Localiser ces solutions,• Approcher leurs valeurs à l’aide d’algorithmes.

b) Méthodes

. Balayage On divise l’intervalle en n parties et on calcule f pour toutes les bornes ainsi déterminées, puis on recommence dans l’intervalle où se trouve la solution.

. Dichotomie (la plus rapide en restant simple)

• On découpe l’intervalle en 2 parties égales et on calcule f au milieu pour savoir dans laquelle est la solution.

• On réitère le procédé jusqu’à atteindre un intervalle plus petit que la précision souhaitée.

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L’idéal est de programmer la dichotomie dans une calculatrice ou un ordinateur.

. Autres méthodesOn peut accélérer la dichotomie en utilisant la valeur de la dérivée f (méthode de Newton).

. Les calculatrices perfectionnées On peut leur demander de résoudre elles-mêmes l’équation, elles utilisent des méthodes préprogrammées.

. ExemplesRésoudre les équations suivantes à 0,05 près :• x3 + x = 3 sur [1 ; 2]• x = 2 cos(x) sur [0 ; π]• x4 – 2x – 1 = 0 sur [-3 ; 3]

EXERCICES 50, 51, 54, 59, 60 et 62 page 30

D) É tude d’une fonction

1) Plan général à suivre

a) Ensemble de Définition (si non spécifié)

C’est l’ensemble des réels qui ont une image par f (pas de 0 au dénominateur, pas de racine carrées de nombres négatifs etc…)

b) Ensemble d’étude (s’il y a lieu)

Dans certains cas, il suffit d’étudier f sur une partie de son domaine : fonctions périodiques, fonctions paires ou impaires…

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c) Limites aux bornes de l’ensemble d’étude

Ces limites devront être cohérentes avec le tableau de variation, si ce n’est pas le cas il y a erreur quelque part !!!

d) Dérivée et tableau de variation

Le calcul de la dérivée et l’étude de son signe permet de construire le tableau de variation.

Un tableau de variation doit se présenter sous la forme :

x -∞ -5 2 4 +∞f’(x) - 0 + 0 - 0 +

f(x)

+∞ 53

2-1

On voit sur cet exemple un maximum local en 2, de valeur 3, et deux minima locaux en -5 et en 4, de valeurs -1 et 2. On voit aussi les limites en -∞ et en +∞, qui sont respectivement +∞ et 5.

e) Branches infinies (s’il y a lieu)

On doit chercher ici des asymptotes verticales, horizontales ou obliques éventuelles.

f) Représentation graphique

Tous les renseignements précédents, plus quelques points et tangentes remarquables permettent alors de tracer la courbe avec une bonne précision.

Remarque : il suffit de placer suffisamment de points pour tracer une courbe (c’est ce que font "bêtement" les calculatrices), mais leur nombre et leur choix sont nettement optimisés si on est passé par toutes les étapes précédentes !

g) Commentaires (s’il y a lieu)

La courbe peut sembler présenter certaines particularités (symétries par exemple) que l’on vérifiera alors par le calcul.

2) Exemples :

a) f(x) = 2 x – 11−x

b) f(x) = x –1 1x – 2

= x2 – 3 x3x−2

c) f(x) = 25 25−x2

d) f(x) = tan x2

e) f(x) = x2

16– 2 x

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3) Usage de la calculatrice

Selon les modèles, la calculatrice pourra fournir le graphe, la fonction dérivée et les zéros d’une fonction.

Applications :Reprendre les exemple du 2)

Il est demandé de savoir faire l’étude d’une fonction "à la main", mais la calculatrice est toujours très utile, au moins pour vérifier les résultats.

En devoir comme en examen, il ne suffira pas (sauf dans les cas très simples) de donner un résultat (la dérivée par exemple), mais il faudra en détailler le calcul.

Attention :La calculatrice donne parfois des résultats sous une forme différente de ce qu’on trouverait "à la main", et en employant parfois des fonctions qui ne sont pas au programme (ch(x), sh(x)…).

EXERCICES : 64 page 31 et 67 page 32

DEVOIR : 63 page 31

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