01 Table des matieres Analyse 3 N-A · 1.5.4 Relation entre continuité et dérivabilité 69 1.5.5 Règles de dérivation 72 1.5.6 Croissance, décroissance et extremums ... (1 page

Picchione Serge 2017-2018

ANALYSE 3ème année

1.1 Rappels 1

1.1.1 Rappels sur les fonctions 1

1.1.2 Terminologie utilisée dans les théorèmes 7

1.1.3 Ce qu’il faut absolument savoir 13 1.2 Limite d'une fonction 14

1.2.1 Introduction 14

1.2.2 Propriétés des limites 19

1.2.3 Calculs de limites 23

1.2.4 Ce qu’il faut absolument savoir 32 1.3 Asymptotes 33

1.3.1 Asymptotes verticales 33

1.3.2 Asymptotes horizontales 34

1.3.3 Asymptotes obliques 35

1.3.4 Ce qu’il faut absolument savoir 42 1.4 Fonctions continues 43


1.4.2 Propriétés des fonctions continues 46

1.4.3 Méthode de la bissection * 54

1.4.4 Ce qu’il faut absolument savoir 58


1.5 Calcul différentiel 59


1.5.2 Approximation polynomiale du premier ordre 63

1.5.3 Fonction dérivée 67

1.5.4 Relation entre continuité et dérivabilité 69

1.5.5 Règles de dérivation 72

1.5.6 Croissance, décroissance et extremums d'une fonction 88

1.5.7 Concavité, convexité, points d’inflexions et dérivées d’ordre supérieur * 94

1.5.8 Étude de fonctions 98

1.5.9 Les théorèmes de Rolle et de Lagrange 106

1.5.10 Problèmes d'optimisation 112

1.5.11 Ce qu’il faut absolument savoir 120 1.6 Solutions des exercices 121


AVANT-PROPOS • Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de Genève en troisième année, en analyse. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres filières d’enseignement. • Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices, des activités et des Q.C.M. à l’exception de ceux faisant intervenir des démonstrations. • Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2). • Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé. • Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer aux sections : « Ce qu’il faut absolument savoir » et « Questionnaire à choix multiples ». • Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione • Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

BON TRAVAIL !


________________________________________________________________________________P.S. / 2017-2018 1 Rappels / 3 N-A

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5x

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8y

f

• •

•

1.1 Rappels

1.1.1 Rappels sur les fonctions

Définition

Une fonction f est définie par :

1) Un ensemble A appelé ensemble de départ.

2) Un ensemble B appelé ensemble d'arrivée.

3) Une règle de correspondance, qui à chaque élément de l'ensemble de départ x ∈A fait correspondre zéro (aucun) ou un élément de l'ensemble d'arrivée y ∈ B.

Nous étudierons surtout les fonctions réelles, c'est-à-dire les fonctions dont l'ensemble

de départ et l'ensemble d'arrivée sont des sous-ensembles des nombres réels . Exemple

2

f : x x 5x 6= f (x)

→

→ + + f est une fonction de dans . C'est une fonction réelle.

• L'image de -4 est ( ) ( ) ( )2f 4 4 5 4 6 2− = − + ⋅ − + =

• L'ensemble des préimages de 2 est ( ) { }1f 2 = 4; 1− − − , car ( )f 4 2 − = et ( )f 1 2− =

Ce sont les solutions de l'équation : 2f(x)= x 5x 6 2+ + =

• Le domaine de définition de f est fD =

• L'ordonnée à l'origine de f est ( )f 0 6=

• Les zéros de f est l'ensemble ( ) { }1f 0 3; 2− = − − car ( )f 2 0 − = et ( )f 3 0 − =

Ce sont les solutions de l'équation : ( ) 2f x = x 5x 6 0+ + =

• Le graphique de f sur l'intervalle [−7;5] est :

x f(x) -5 6 -4 2 -3 0 -2 0 -1 2 0 6 1 12

••• •

f A B

x2

x1

x3 x4

y1

y2

y3

• y4

Tableau des valeurs :

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Définitions

• Si un nombre x ∈ A est en correspondance avec un nombre y ∈ B, alors :

- y est appelé image de x par f et on note y = f(x) (x possède au plus une image)

- x est appelé préimage de y par f et on note f -1(y)={x,…} (y peut posséder zéro, une ou plusieurs préimages)

( )préimage image

f : A Bx f x =y

→

→ On parle d'une fonction f de A dans B.

• Le domaine de définition (ou ensemble de définition) d'une fonction f est l'ensemble

des nombres appartenant à qui ont une image par f. Cet ensemble est noté Df .

• L'ordonnée à l'origine d'une fonction réelle f est l'image de 0. Elle se note : f (0)

• Les zéros d'une fonction réelle f est l'ensemble des préimages de 0. Elle se note : f -1(0)

Autrement dit, c'est l'ensemble des nombres x ayant 0 (= y) comme image.

• Le graphique de f est la représentation géométrique des couples de coordonnées ( )( ); x f x

où fx D∈ .

Exercice 1

D'après la représentation graphique de f, déterminez

a) Les images de : −7 ; −4 ; −2 ; 0 ; 2 ; 4 et 5,5 par la fonction f.

b) Les préimages de : −2 ; 0 ; 2 ; 3 ; 4 et 4,5 par la fonction f.

c) Les images des intervalles : [−4;−2] ; [0;1] ; [2;4] et ]2;7[ par la fonction f.

d) Le(s) zéro(s) de f et son ordonnée à l'origine.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

f

x

________________________________________________________________________________P.S. / 2017-2018 3 Rappels / 3 N-A

Exercice 2

Calculez l'image de −2, 0 et 8 pour les fonctions suivantes .(réponse en valeur exacte)

a) f ( x ) 3x 24= − + b) 2f ( x ) x 4= − c) f ( x ) x 3= − d) 23xf ( x )

x 4=

−

Exercice 3

Calculez la ou les préimage(s) éventuelle(s) de −1, 0 et 2 pour les fonctions suivantes.

a) ( )f x 8x 7= − + b) ( ) 2f x 2x = c) ( ) 3f x x= d) ( )f x 2=

Exercice 4

On définit la fonction suivante :

2

g : x x 3x 4= g(x)

→

→ + −

1) Quel est le domaine de définition de la fonction g ?

2) Quelle est l'ordonnée à l'origine de la fonction g ?

3) Quelle est l'image de 2 par g ?

4) Calculez ( )g 5 .

5) Calculez le(s) zéro(s) de la fonction g.

6) Déterminez les préimages de 2 par g.

7) Tracer le graphique de g sur l'intervalle [ ]6;6− (1 page A4 quadrillée et un tableau des valeurs).

Exercice 5

Déterminer le domaine de définition Df , les zéros et l'ordonnée à l'origine des fonctions suivantes.

1) ( )f x 3x 2= + 2) ( ) 2f x x 9= − 3) ( ) 3 2f x x 2x x= − + 4) ( )f x x=

5) ( )f x x 5= + 6) ( ) 5f xx 3

=+

7) ( ) 2xf x

x 1=

− 8) ( ) 2

x 2f xx 4−

=−

9) ( ) 2f x x= 10) ( ) ( )2f x x= 11) ( ) x 2f xx 2−

=+

12) ( ) x 1 2f xx 3+ −

=+

Exercice 6

a) Soit { }g( x ) x ; x= − . g est-elle une fonction ? Justifier votre réponse.

b) Soit 1 si x 0

h( x )1 si x 0

≥⎧= ⎨− <⎩

. h est-elle une fonction ? Justifier votre réponse.

c) Soit 1k( x )x

= . k est-elle une fonction ? Justifier votre réponse.

________________________________________________________________________________P.S. / 2017-2018 4 Rappels / 3 N-A

Exercice 7

Soit a un nombre réel, f et g deux fonctions de dans et définies de la manière suivante :

( )1 si x a

f x1 si x a

+ ≤⎧= ⎨− >⎩

et ( )1 si x a

g x1 si x a

− ≤⎧= ⎨+ >⎩

et une fonction h définie par h( x ) f ( x ) g( x )= + .

Dans le cas où a = 0 représenter (dans des couleurs différentes) les graphiques des fonctions f , g et h. Exercice 8

Considérons la fonction « valeur absolue » définie par : ( )x si x 0

f x xx si x 0

≥⎧= = ⎨− <⎩

a) Que valent 7 ; 7 ; 0 ; 17 29 − − ?

b) Que représente géométriquement le calcul a b avec a,b− ∈ ?

c) Tracer le graphique de la fonction « valeur absolue » sur l'intervalle [ ]5;5 − et dans un repère orthonormé. (1 page A4 quadrillée et tableau des valeurs). d) Soit ( )f x x= et ( ) 2g x x= deux fonctions. Est-ce que ( ) ( )f x g x x= ∀ ∈ ? e) Soit la fonction ( )h x x 3= − .

i) Compléter l'écriture suivante : ( )......... si ..........

h x x 3......... si ..........⎧

= − = ⎨⎩

ii) Déterminer le domaine de définition, le(s) zéro(s) et l'ordonnée à l'origine de h .

iii) Tracer le graphique de la fonction h sur l'intervalle [ ]10;10 − et dans un repère orthonormé. (1 demi page A4 quadrillée et tableau des valeurs). f) Même question qu'au point e) mais pour la fonction ( )k x x 4= + . Exercice 9

Considérons les trois fonctions suivantes : ( ) 2f x x 7= + , ( )g x 2x 5= + et ( )h x 3= −

Effectuer les opérations suivantes entre les fonctions et simplifier le résultat :

( ) ( )f h x + = ( )( ) f h x − = ( ) ( )g h x + = ( )( )f g h x + + =

( ) ( )f g x ⋅ = ( ) ( )f g x = ( ) ( )g f x = ( )( )g g x =

( ) ( ) f g h x+ − = ( ) ( )f g h x ⋅ ⋅ = ( ) ( )g g g x = ( )( )g f g x =

________________________________________________________________________________P.S. / 2017-2018 5 Rappels / 3 N-A

Exercice 10 Définition

Deux fonctions f et g d'ensembles de définition respectifs Df et Dg sont égales

si f gD D = et pour tout réel x de Df , ( ) ( )f x g x= . On note alors f = g .

a) ( )f x x 1= + et ( ) ( )( )( )

x 1 x 1g x

x 1+ −

=−

sont-elles égales ? Justifier.

b) ( ) ( )2f x x 3 9= − − et ( ) ( )g x x x 6= − sont-elles égales ? Justifier.

c) ( )f x x 1= + et ( ) ( )1g u 2u 22

= + sont-elles égales ? Justifier.

d) ( )f x 9x= et ( )g x 3 x= sont-elles égales ? Justifier.

e) ( )x si x 0

f x 1 si x 0x si x 0

>⎧⎪= =⎨⎪− <⎩

et ( )g x x= sont-elles égales ? Justifier.

Exercice 11 (décomposition de fonction)

On appelle fonction élémentaire une fonction ne faisant intervenir qu’une seule opération. Exemples

n *1 2 3 4 5

1f ( x ) x a , f ( x ) bx , f ( x ) x n , f ( x ) x et f ( x )x

= + = = ∈ = =

sont élémentaires. A l'aide des fonctions élémentaires vues précédemment et de la composition de fonctions, on peut construire beaucoup d'autres fonctions réelles.

Par exemple, la fonction g définie par ( )( )6

1g x =x - 5

peut être vue comme la composition

des fonctions définies par ( )1f x x – 5 = , ( ) 63f x = x et ( )5

1f x =x

.

En effet, on a: ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )6

5 3 1 5 3 1 5 3 5 61f f f x f f f x f f x 5 f x 5 g x

x 5= = − = − = =

−

f1 f3 f5

x x –5 ( )6x 5− ( )

( )( )( ) ( )( ) ( )5 3 1 5 3 161 f f f x f f f x g x

x 5= = =

−

On peut donc imaginer que, grâce à la composition de fonctions, la plupart des fonctions réelles puissent se construire à l’aide d’un petit nombre de fonctions élémentaires.

________________________________________________________________________________P.S. / 2017-2018 6 Rappels / 3 N-A

a) Énoncé

Considérons les fonctions élémentaires définies par : 2

1f ( x ) x= 2f ( x ) 2x= 3f ( x ) x 1= + 41f ( x )x

=

Écrire chacune des fonctions g sous forme d’une composition de fonctions de type f :

1g ( x ) 2x 1= + 22g ( x ) 2x= 3 2

1g ( x )x 1

=+

24g ( x ) 2x 1= +

52g ( x )x

= ( )6 2

1g ( x )2x 1

=+

( )47g ( x ) 2x 2= + 2

8g ( x ) 2x 4x 2= + +

b) Énoncé

Considérons les fonctions élémentaires définies par : 5

1f ( x ) x= 2f ( x ) 3x= 3f ( x ) x 1= + 41f ( x )x

= 5f ( x ) x=

Écrire chacune des fonctions g sous forme d’une composition de fonctions de type f :

( )51g ( x ) x 1= +

( )2 51g ( x )

x 1=

+ ( )5

3g ( x ) x 1= + ( )5

4g ( x ) x 1= +

51g ( x )

3x=

5

61g ( x )

3x 3⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

71g ( x )x

= ( )258g ( x ) 3x 3= +

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1.1.2 Terminologie utilisée dans les théorèmes De nombreux théorèmes seront énoncés et démontrés dans ce cours. Voici quelques rappels pour vous aider. Définition

Un axiome est un énoncé admis comme vrai sans justification, ou règle arbitraire ne menant à aucune contradiction, une sorte de « règle du jeu ».

Exemples

a) « Par deux points distincts, il ne passe qu’une seule droite ».

b) « Deux droites parallèles n'ont aucune intersection ou conservent une même distance ». Remarques

i) Un énoncé est vrai si il est toujours vrai.

ii) Un énoncé est faux si il n’est pas toujours vrai.

« Si n est un nombre entier relatif alors 2n est un nombre entier naturel non nul » est un énoncé faux.

Cherchons un contre-exemple : 0 est un nombre entier relatif mais 20 n'est pas un nombre entier naturel non nul. La recherche d'un contre-exemple est une méthode utilisée pour prouver que certains énoncés sont faux.

En mathématique, on n’admet pas d’exception : un énoncé qui est parfois vrai et parfois faux est mathématiquement faux. Définition

Une conjecture est un énoncé dont on a l’intuition qu’il est vrai mais qui ne connaît pas encore de démonstration.

Exemples

a) Conjecture de Goldbach

« Tout nombre entier pair strictement supérieur à trois peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers (le même nombre premier pouvant être utilisé deux fois) ».

b) Conjecture de Legendre « Pour tout entier n positif, il existe un nombre premier entre 2n et ( )2n 1+ ». Remarque

Il existe des milliers de conjectures mathématiques. Certaines font l’objet de recherche de la part de chercheurs (en mathématiques, physique, etc.) qui travaillent dans des universités ou des écoles d’ingénieurs.

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Définition

Un théorème est un énoncé que l'on peut démontrer être vrai.

Exemples

a) « Dans un triangle la somme des angles vaut 180° ».

b) « Si m est divisible par 9, alors m est divisible par 3. » Remarques

i) Un théorème est toujours composé d’une hypothèse et d’une conclusion.

L'hypothèse est constituée des données et de leurs propriétés connues. Elle doit permettre de démontrer la conclusion du théorème. La conclusion d’un théorème est la propriété découlant logiquement des hypothèses.

Exemple a) : Hypothèse : « Dans un triangle » . Conclusion : « La somme des angles vaut 180° »

Exemple b) : Hypothèse : « m est divisible par 9 » . Conclusion : « m est divisible par 3 »

ii) La formulation mathématique habituelle d'un théorème est de la forme :

« Si hypothèse alors conclusion » ou « hypothèse ⇒ conclusion ».

iii) Une démonstration est une suite de raisonnements logiques justifiés par les hypothèses, des axiomes et définitions. Exemple b) : Si m est divisible par 9 alors m k 9 k= ⋅ ∈ mais 9 3 3= ⋅ donc donc

pm k 3 3 p 3 p= ⋅ ⋅ = ⋅ ∈ . Autrement dit, m est divisible par 3.

iv) La négation de l'hypothèse n'implique pas forcément la négation de la conclusion.

Exemple b) :

Si m n’est pas divisible par 9 cela ne veut pas forcément dire que m n’est pas divisible par 3.

12 n’est pas divisible par 9 mais 12 est divisible par 3.

Mathématiquement : A B⇒ ⇔ NA NB⇒ Définition

Un corollaire est un théorème qui est la conséquence immédiate ou un cas particulier d'un autre théorème.

Exemple

« Dans un quadrilatère la somme des angles vaut 360° » est un corollaire du théorème suivant : « Dans un triangle la somme des angles vaut 180° ». Remarque

La démonstration d’un corollaire fait donc appel à d’autres théorèmes.

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Définition

La réciproque d’un théorème est un énoncé obtenu en inversant hypothèse et conclusion.

Exemple

La réciproque du théorème « Si m est divisible par 9, alors m est divisible par 3. » est : « Si m est divisible par 3, alors m est divisible par 9. » Remarques

i) Mathématiquement : La réciproque de A B⇒ est B A⇒

ii) La réciproque d’un théorème n’est pas toujours vraie ce qui est le cas dans l’exemple ci-dessus. Contre-exemple : 6 est divisible par 3 mais 6 n'est pas divisible par 9.

iii) La réciproque du théorème de Pythagore et de Thalès est vraie.

iv) Dans le cas d'un théorème, la négation de la conclusion implique toujours la négation de l'hypothèse.

Cet énoncé s'appelle la contraposée d'un théorème.

Mathématiquement : A B⇒ ⇔ ⇒NB NA

Exemple : « Si m n’est pas divisible par 3 alors m n’est pas divisible par 9 » est un énoncé vrai.

11 n’est pas divisible par 3 et 11 n'est divisible par 9.

Formulation

Il existe aussi des théorèmes énoncés sous l'une des formes suivantes :

1) Si hypothèse alors conclusion et si conclusion alors hypothèse.

2) Si hypothèse alors conclusion et réciproquement.

3) hypothèse si et seulement si conclusion.

4) hypothèse ⇔ conclusion.

Chacun de ces énoncés indique que l'hypothèse est équivalente à la conclusion. Exemple (théorème de Pythagore)

Dans un triangle de côtés a, b et c, c étant le côté le plus long,

1) Si a2 + b2 = c2, alors le triangle est rectangle et si le triangle est rectangle, alors a2 + b2 = c2.

2) Si a2 + b2 = c2, alors le triangle est rectangle et réciproquement.

3) a2 + b2 = c2 si et seulement si le triangle est rectangle.

4) a2 + b2 = c2 ⇔ le triangle est rectangle. Remarque

[ ] [ ]Si A B et B A alors NB NA et NA NB⇒ ⇒ ⇒ ⇒

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Liste de symboles

Les mathématiciens utilisent de nombreux symboles pour noter leurs énoncés. En voici quelques-uns. symbole se lit exemples

∈ "appartient à" 2 ∈ 2 appartient aux nombres réels.

∉ "n'appartient pas à" 2 ∉

2 n'appartient pas aux nombres rationnels.

⊂ "est inclus dans" ⊂ ⊂ ⊂ est inclus dans qui est inclus dans qui est ...

⇒ "implique" ou "donc" ou "si ... alors ..."

"n est divisible par 4 ⇒ n est divisible par 2". "n est divisible par 4 implique n est divisible par 2" ou "Si n est divisible par 4 alors n est divisible par 2".

⇔ "si et seulement si" ou "est équivalent à"

"n ∈ et n2 est divisible par 2 ⇔ n est divisible par 2". "n ∈ et n2 est divisible par 2 si et seulement si n est divisible par 2".

∀ "pour tout" ∀ x ∈ , x2 ∈ + . Pour tout nombre réel x, x2 appartient aux réels positifs ou nul.

∃ "il existe" ∃ x ∈ tel que x2 = 2. Il existe un nombre réel x, tel que x2 = 2.

∞ "l'infini" x tend vers ∞. x tend vers l'infini. x devient de plus en plus grand.

−∞ "moins l'infini" x tend vers −∞. x tend vers moins l'infini. x devient de plus en plus négatif.

± "plus ou moins" x tend vers ± ∞. x tend vers plus l'infini ou moins l'infini.

< "est plus petit que" 3,14 < π. 3,14 est plus petit que π.

> "est plus grand que" 3,15 > π. 3,15 est plus grand que π.

≥ "est plus grand ou égal à" ∀ x ∈ , x2 ≥ 0. Pour tout nombre réel x, x2 est plus grand ou égal à 0.

≤ "est plus petit ou égal à" ∀ x ∈[0;1], x2 ≤ x. Pour tout nombre x entre 0 et 1, x2 est plus petit ou égal à x.

≈ "est environ égal à" 3,14 ≈ π. 3,14 est environ égal à π.

{...} "l'ensemble" {−1;0;1}. L'ensemble contenant -1, 0 et 1.

\ "sauf" ou "diff" \ {−1;0;1}.

L'ensemble des réels, sauf l'ensemble {-1, 0 ; 1}. \ [2 ; 3].

L'ensemble des réels, sauf l'intervalle [2;3].

α, β,... alpha, beta, ..... L'utilisation de lettres grecques est courante en mathématiques. En voici la liste : α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω.

________________________________________________________________________________P.S. / 2017-2018 11 Rappels / 3 N-A

symbole signification

l'ensemble des nombres entiers plus grands ou égaux à 0 l'ensemble des nombres entiers relatifs. Ils peuvent être positifs ou négatifs.

l'ensemble des nombres rationnels. Correspond aux nombres s'écrivant sous forme de fraction.

l'ensemble des nombres réels. Correspond aux nombres avec ou sans virgules.

+ l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls.

− l'ensemble des nombres réels négatifs ou nuls. * l'ensemble des nombres réels sauf le zéro.

[a ; b] l'intervalle fermé de a à b. Correspond à tous les nombres entre a et b, a et b compris.

]a ; b[ l'intervalle ouvert de a à b. Correspond à tous les nombres entre a et b, a et b non compris.

]−∞; b] l'intervalle de moins l'infini à b. Correspond aux nombres plus petits ou égaux à b.

[a ; ∞[ l'intervalle de a à plus l'infini. Correspond aux nombres plus grands ou égaux à a.

Exercice 12

Tous les énoncés suivants sont vrais ; ce sont donc des théorèmes.

a) Pour chacun des énoncés ci-dessous, indiquez quelle est l'hypothèse et quelle est la conclusion en les reformulant, si nécessaire, sous la forme : « Si……alors…….. ».

b) Construire la négation, la réciproque et la contraposée de chaque énoncé.

c) Que constate-t-on ? 1) Si un quadrilatère est un carré alors ce quadrilatère est un rectangle.

2) Si ABC est rectangle en A alors AB² + AC² = BC².

3) ABC est un triangle isocèle si AB = AC.

4) Si il pleut alors il y a des nuages.

5) B est le milieu du segment [AC] ⇒ AB = BC.

6) Si un côté d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle est rectangle.

7) S'il fait nuit alors il n'y a pas de lumière.

8) Le carré d'un nombre pair est un multiple de quatre.

9) La somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de trois.

10) Un nombre entier est pair, si son carré est pair.

11) Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.

12) Tout triangle équilatéral est un triangle isocèle.

________________________________________________________________________________P.S. / 2017-2018 12 Rappels / 3 N-A

Exercice 13

Construire :

1) Un énoncé vrai dont la réciproque soit fausse.

2) Un énoncé faux dont la réciproque soit vraie.

3) Un énoncé vrai dont la réciproque soit vraie.

4) Un énoncé faux dont la réciproque soit fausse.

5) Un énoncé vrai dont la contraposée soit fausse.

6) Un énoncé vrai dont la contraposée soit vraie et la réciproque soit fausse.

________________________________________________________________________________P.S. / 2017-2018 13 Rappels / 3 N-A

1.1.3 Ce qu’il faut absolument savoir 1♥ Connaître la définition rigoureuse d’une fonction f ok

2♥ Connaître la définition rigoureuse d’une image et d’une préimage de f ok

3♥ Connaître la définition rigoureuse du domaine de définition de f ok

4♥ Connaître la définition rigoureuse de l’ordonnée à l’origine et des zéros de f ok

5♥ Connaître la définition rigoureuse du graphique de f ok

6♥ Lire une image et les préimages à partir du graphique d’une fonction ok

7♥ Calculer une image et les préimages à partir de l’expression algébrique d’une fonction ok

8♥ Calculer les zéros et l'ordonnée à l'origine d’une fonction ok

9♥ Dessiner le graphique d’une fonction d’après son tableau de valeurs ok

10♥ Maitriser les opérations sur les fonctions ok

11♥ Composer et décomposer plusieurs fonctions ok

12♥ Savoir reconnaître l’hypothèse et la conclusion dans l’énoncé d’un théorème ok

13♥ Savoir formuler la réciproque de l’énoncé d’un théorème ok

14♥ Connaître les ensembles numériques et la notation avec les intervalles ok

15♥ Connaître les principaux symboles mathématiques (ensemblistes, d’inégalités, etc.) ok

16♥ Connaître les principales lettres grecques minuscules (écriture et prononciation) ok

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 14 Limite d’une fonction / 3 N-A

1.2 Limite d'une fonction

1.2.1 Introduction Activité I

a) Prenons la fonction f définie par ( ) x 1f xx 1−

=−

• Questions

1) Calculer ( )f 1 = ……….. 2) Domaine de définition de f : …….. 3) Comment se comporte la fonction f pour des valeurs de x proche de 1 (à gauche comme à droite de 1) ?

x 0,9 0,99 0,999 ... 1 ... 1,001 1,01 1,1

f(x) ∉

• Réponse Lorsque x se rapproche de 1 , f(x) se rapproche aussi près qu'on veut de .......... • Graphique de f • On écrira : ( )

x 1lim f x→

= ............. mais cela ne veut pas dire que ( )f 1 2= .

b) Prenons la fonction f définie par ( )2x 2x 3f x

x 1− −

=+

1) Calculer ( )f 1− = ……….. 2) Domaine de définition de f : …….. 3) Pouvez-vous prédire la valeur de ( )

x 1lim f x→ −

? …………………………..

x ... -1 ... f(x) ∉

1 2 3 4x

1

2

3y

f

x x

f(x)

f(x)


Définition intuitive de la notion de limite

Soit f une fonction définie au voisinage de a (proche de a, mais pas forcément en a).

On dit que la limite de f ( x ) lorsque x tend vers a est égale à L ⇔ ( )f x s'approche "aussi près

qu'on veut" de L à condition de prendre x "suffisamment près" de a , mais différent de a .

Dans ce cas on note : x alim f ( x ) L→

=

Remarques

• x alim f ( x ) L→

= ne veut pas forcément dire que f(a) = L.

• La valeur a ne doit pas nécessairement appartenir au domaine de définition de f. Dans la majorité des cas, a ∉ Df . La notion de limite nous permet, entre autres, de "voir" comment se comporte une fonction pour des valeurs de x qui sont proches d'une valeur "insolite" ; autrement dit pour déterminer la limite d'une fonction, cette fonction doit exister dans un voisinage de a, mais pas obligatoirement au point a lui-même.

• Il existe une définition mathématique plus formelle de la limite d’une fonction mais, nous ne l’aborderons pas dans ce cours (sauf en MA2).

Limite à gauche, limite à droite Exemple

Prenons la fonction x 1 si x 1

f ( x )x 4 si x 1+ ≤⎧

= ⎨− + >⎩ fD =

Lorsque x se rapproche de 1 par des valeurs inférieures à 1 (par la gauche), f(x) se rapproche de 2.

Lorsque x se rapproche de 1 par des valeurs supérieures à 1 (par la droite), f(x) se rapproche de 3. On notera alors :

-x 1lim f ( x ) 2→

= x 1lim f ( x ) 3

+→=

Que peut-on dire de la valeur de

x 1lim f ( x )→

? x 1lim f ( x )→

∃ (la limite n’existe pas)

Remarque : f ( 1) 2= Plus généralement

1)x alim f ( x )

−→ est la limite de f(x) lorsque x tend vers a par la gauche (par des valeurs inférieures à a).

2)x alim f ( x )

+→ est la limite de f(x) lorsque x tend vers a par la droite (par des valeurs supérieures à a).

1

2

3

x

y

ax x

x < a x > a

x → a– x → a+


3) x ax a x a

lim f ( x ) lim f ( x ) L lim f ( x ) L− + →→ →

= = ⇔ = (la limite existe)

Autrement dit : « Si la limite de f(x) lorsque x tend vers a par la gauche est égale à la limite de f(x) lorsque x tend vers a par la droite et vaut L alors la limite de f(x) pour x tendant vers a existe, est égale à L et réciproquement ». 4)

x ax a x alim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x )

− + →→ →≠ ⇔ ∃ (la limite n’existe pas)

Extension de la notion de limite

1) Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert ] [a;+∞ . Alors xlim f ( x ) L→+∞

= signifie que

si x est arbitrairement grand, alors f(x) est arbitrairement proche de L. 2) Soit f une fonction définie au voisinage de a. Alors

x alim f ( x )→

= +∞ signifie que si x est

arbitrairement proche de a, alors f(x) est arbitrairement grand. Exemples

a) 1f ( x )x

= 1f ( 0 )0

= ∉

*fD =

x 0

1 1limx 0− −→= =−∞

x 0

1 1limx 0+ +→= =+ ∞

x 0

1limx→

∃

x

1 1lim 0x→+∞= =+∞

x

1 1lim 0x→−∞= =−∞

b) 21g( x )x

= 21g( 0 )0

= ∉

*gD = 2x 0

1 1limx 0− +→

= = +∞

2x 0

1 1limx 0+ +→

= = +∞

2x 0

1limx→

= +∞

2x

1 1lim 0x→+∞

= =+∞

2x

1 1lim 0x→−∞

= =+∞

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8y

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8y


Exercice 14

On considère la fonction f définie par 2x 4f ( x )

x 2−

=−

.

a) Déterminer le domaine de définition de f .

b) Calculer ( ) ( ) ( ) ( )f 1,8 , f 1,9 , f 1,99 , f 1,999 .

c) Calculer ( ) ( ) ( ) ( )f 2,2 , f 2,1 , f 2,01 , f 2,001 .

d) Sans autre calcul, prédire les valeurs suivantes : 1) x 2lim f ( x )

+→ 2)

x 2lim f ( x )

−→ 3)

x 2lim f ( x )→

Exercice 15

Soit la fonction f déterminée par 2x x 6f(x) = x 2− +−

.


b) Calculer f(x) pour x 1,9 ; 1,99 ; 1, 999= puis pour x 2,1 ; 2,01 ; 2,001= .

c) Sans autre calcul, prédire les valeurs suivantes : 1) x 2lim f ( x )

+→ 2)

x 2lim f ( x )

−→ 3)

x 2lim f ( x )→

Exercice 16

Pour chacune des fonctions suivantes définies par un graphique, déterminer : ( ) ( ) ( ) ( )

x ax a x af a , lim f x , lim f x et lim f x

+ − →→ →


Exercice 17 Dans chacun des cas suivants, dessiner une fonction satisfaisant les conditions données :

x 4f ( 4 ) 3 et lim f ( x ) 3

→= =

x 3 x 33 Dom( f ) , lim f ( x ) et lim f ( x )

− +→ →∉ = +∞ = −∞

x 33 Dom( f ) et lim f ( x ) 2

→∉ = −

x 3 x 33 Dom( f ), lim f ( x ) 3 et lim f ( x ) 1

− +→ →∉ = = −

x 2f ( 2 ) 3 et lim f ( x ) 1

→= = −

x 5 x 5f ( 5 ) , lim f ( x ) f ( 5 ) et lim f ( x ) f ( 5 )

− +→ →∃ ≠ =

x 44 Dom( f ) et lim f ( x )

→∉ = +∞

x 3 x 3f ( 3 ) 0 , lim f ( x ) 1 et lim f ( x ) 1

− +→ →= = − =

0 x

y

1

1

-10 x

y

1

1

-1

0 x

y

1

1

-10 x

y

1

1

-1

0 x

y

1

1

-10 x

y

1

1

-1

0 x

y

1

1

-10 x

y

1

1

-1


Exercice 18

En tenant compte des indications suivantes, donner une représentation possible de la fonction

f définie sur { }\ 1;1− :

xx 1 x 1

x x 1 x 2 x 2

f ( 4 ) f ( 3 ) 0 ; lim f ( x ) ; lim f ( x ) ; lim f ( x ) 2

lim f ( x ) ; lim f ( x ) ; lim f ( x ) 3 ; lim f ( x ) 3 ; f ( 2 ) 1+ −

+ −

→−∞→ →

→+∞ →− → →

− = = = +∞ = −∞ = −

= −∞ = +∞ = = =

1.2.2 Propriétés des limites

Soit f , g et h trois fonctions et a, k∈ , alors : 1)

x alim k k→

=

2)

x alim x a→

=

Si

x alim f ( x )→

et x alim g( x )→

existent alors :

3) ( )

x a x alim k f ( x ) k lim f ( x )→ →

⋅ = ⋅

4) ( )

x a x a x alim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x )→ → →

± = ±

( la limite d'une somme est égale à la somme des limites ) 5) ( )

x a x a x alim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x )→ → →

⋅ = ⋅

( la limite d'un produit est égale au produit des limites )

6) x a

x ax a

lim f ( x )f ( x )limg( x ) lim g( x )

→

→→

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ si

x alim g( x ) 0→

≠

( la limite d'un quotient est égale au quotient des limites ) 7) n n

x a x alim f ( x ) lim f ( x )→ →

= n 2≥

8) Si f ( x ) g( x )> dans un voisinage de a , alors

x a x alim f ( x ) lim g( x )→ →

≥ .

Si f ( x ) g( x )< dans un voisinage de a , alors x a x alim f ( x ) lim g( x )→ →

≤ .

9) Si f ( x ) h( x ) g( x )≤ ≤ dans un voisinage de a et si

x a x alim f ( x ) lim g( x ) L→ →

= =

alors x alim h( x ) L→

= .

(La démonstration de ces propriétés, sort du cadre de ce cours et ne sera donc pas exposée ici, sauf en MA2).


Exemples

Calculons :

1) ( P1 )

x 4 f ( x )lim 10 10→

= ( f(x) = 10 ne dépend pas de x.)

2) ( ) ( ) ( )( P1 )( P2 )( P4 ) ( P3 )

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1f ( x )

lim 2x 1 lim 2x lim 1 2 lim x lim 1 2 1 1 1→− →− →− →− →−

+ = + = ⋅ + = ⋅ − + = −

Dans cet exemple, si on calcule l’image -1 par f c'est-à-dire ( )f 1 − on obtient le même résultat

que précédemment. ( )f ( 1) 2 1 1 1− = ⋅ − + = −

3) ( ) ( ) ( ) ( )( P4 ) ( P5 ) ( P2 )2

x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4f ( x )

lim x x lim x x lim x lim x lim x lim x 4 4 4 20→ → → → → →

+ = ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + =

Dans cet exemple, si on calcule l’image 4 par f c'est-à-dire ( )f 4 on obtient le même résultat

que précédemment. 2f ( 4 ) 4 4 20= + =

4) ( )

( )( P6 )

x 3x 3

x 3f ( x )

lim xx 3 3lim ......2x 1 lim 2x 1 2 3 1 5

→

→→

⎛ ⎞ = = = =⎜ ⎟− − ⋅ −⎝ ⎠

Dans cet exemple, si on calcule l’image 3 par f c'est-à-dire f (3) on obtient le même résultat

que précédemment. 3 3f ( 3 )2 3 1 5

= =⋅ −

Remarque

Pour une fonction polynomiale (somme de monômes) ou rationnelle (quotient de deux polynômes), calculer une limite au point d’abscisse x = a, lorsque a n’est pas une valeur particulière de cette fonction c'est-à-dire fa D∈ ), revient simplement à évaluer f en a, c'est-à-dire calculer f(a).

Autrement dit : Si f est une fonction polynomiale ou rationnelle et fa D∈ alors x alim f ( x ) f ( a )→

= .


Définition formelle de la notion de limite *

Soit f une fonction définie dans un voisinage de a (sauf peut-être en a ) On dit que cette fonction f possède une limite L en a si :

0 0 tel que si a x a alors L f ( x ) Lε δ δ δ ε ε∀ > ∃ > − < < + − < < +

⇔

0 0 tel que si x a alors f ( x ) Lε δ δ ε∀ > ∃ > − < − <

Dans ce cas on note : x alim f ( x ) L→

=

Illustrations * a)

x alim f ( x ) L→

=

b)

x alim f ( x ) L→

≠

a

L •

L ε+

L ε−

f

a δ+ a δ− x

f(x)

a

L •

L ε+

L ε−

f

a δ+ a δ− x

f(x)


Exemples *

1) On peut montrer que x 2lim( 3x 4 ) 10→

+ =

Soit 0ε > alors f ( x ) L 3x 4 10 3x 6 3( x 2 ) 3 x 2 x 23εε δ− = + − = − = − = − < ⇒ − < =

2) On peut montrer que si x 2 si x 1

f ( x )2x 1 si x 1+ <⎧

= ⎨ + >⎩ alors

x 1lim f ( x ) 3→

=

À droite :

Soit 0ε > alors f ( x ) L 2x 1 3 2x 2 2( x 1) 2 x 1 x 12εε δ− = + − = − = − = − < ⇒ − < =

À gauche :

Soit 0ε > alors f ( x ) L x 2 3 x 1 ε δ− = + − = − < =

Comme la limite à droite et à gauche sont égales on peut dire que la limite existe.

Propriété 4 des limites *

Si x alim f ( x )→

et x alim g( x )→

existent alors ( )x a x a x alim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x )→ → →

+ = +

Démonstration * Supposons que 1 2x a x a

lim f ( x ) L et lim g( x ) L→ →

= = alors on a

1 1 10 0 tel que si x a alors f ( x ) Lε δ δ ε∀ > ∃ > − < − <

et 2 2 20 tel que si x a alors g( x ) Lδ δ ε∃ > − < − <

posons 1 2min( ; )δ δ δ=

alors ( ) 1 2 1 2f ( x ) g( x ) ( L L ) f ( x ) L g( x ) L 2 *ε ε ε ε+ − + ≤ − + − < + = =

Donc ( ) 1 2* 0 0 tel que si x a alors f ( x ) g( x ) ( L L ) *ε δ δ ε∀ > ∃ > − < + − + <

Et donc 1 2x a x a x alim( f ( x ) g( x )) L L lim f ( x ) lim g( x )→ → →

+ = + = +

Exercice 19 * Montrer, à l'aide de la définition formelle de la limite, que :

a) x 4lim x 2 6→

+ = b) 2

x 3

2x 7x 3lim 5x 3→

− +=

−

c) 3 2

x 1

x 3x x 1lim 2x 1→

− + += −

− d)

x 4lim 5 5→

=


1.2.3 Calculs de limites Calculs de limites contenant l'infini

a) ( ) ( )( P3 ) ( P2 )

x xlim 5x 5 lim x 5→+∞ →+∞

= ⋅ = ⋅ +∞ = +∞ ( ) ( )( P3 ) ( P2 )

x xlim 5x 5 lim x 5→−∞ →−∞

= ⋅ = ⋅ −∞ = −∞

Remarque : ( ) ( ) ( ) ( )a± ⋅ ±∞ = ±∞ ±∞ ⋅ ±∞ = ±∞ (le signe est donné par la règle des signes)

b) Soit la fonction f, définie par 1f ( x )x 1

=−

. { }Df = \ 1

i) x 1

1 1lim x 1 0+ +→

= = +∞−

x 1

1 1lim x 1 0− −→

= = −∞−

x 1

1lim x 1→

∃−

(la limite n’existe pas)

ii) x 3

1 1lim x 1 2+→

=−

x 3

1 1lim x 1 2−→

=−

x 3

1 1lim x 1 2→

=−

(la limite existe)

iii) x

1 1lim 0x 1→+∞

= =− +∞

x

1 1lim 0x 1→−∞

= =− −∞

Remarque : a a 00 a± ± ±∞

= ±∞ = = ±∞±∞ ±

(le signe est donné par la règle des signes)

Calculs de limites contenant des indéterminations

On dit qu'une limite est indéterminée si l'application des propriétés des limites ne permet pas de prévoir sa valeur. Dans ce cas, il faut avoir recours à des manipulations algébriques pour se ramener à des cas déterminés. Les différents types d'indéterminations sont (liste non exhaustive): Voici quelques méthodes permettant de lever une indétermination :

a) Factorisation et simplification Cas où l’indétermination est de type : 00

1) ( )( )

x 32 2x 3

x 3

lim x 3x 3 0limx 9 0lim x 9

→

→→

−−= =

− − (Indétermination)

2x 3 x 3

x 3 x 3lim limx 9→ →

− −=

− ( )x 3− ( ) x 3

1 1limx 3 6x 3 →

= =++

2) ( )( )

22x 1

2 2x 1x 1

lim x 3x 2x 3x 2 0limx 4x 3 0lim x 4x 3

→−

→−→−

+ ++ += =

+ + + + (Indétermination)

2

2x 1 x 1

( x 1)x 3x 2lim limx 4x 3→− →−

++ +=

+ +( x 2 )

( x 1)+

+ x 1

( x 2 ) 1lim( x 3 ) 2( x 3 ) →−

+= =

++

+∞ −∞ ±∞±∞

00

( )0· ±∞ 00 0∞

-3 -2 -1 1 2 3 4 5x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4y

f


b) Mise en évidence forcée Cas où l’indétermination est de type : +∞ − ∞ et ±∞±∞

1) ( )2 2

x x x xlim 3x x 1 lim 3x lim x lim 1 1→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− + = − + = +∞ −∞ + (Indétermination)

( ) ( ) ( )

( )

22 2 22 2x x x x

1 1 1 1lim 3x x 1 lim x 3 lim x lim 3 3x x x x

3

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = ⋅ − + = ⋅ − + = +∞ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= +∞ ⋅ = +∞

2) ( )3 2

xlim 7 x 2x 4 4→−∞

− − + = +∞ −∞ + (Indétermination)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

33 2 3 33 3x x x x

2 4 2 4lim 7 x 2x 4 lim x 7 lim x lim 7 7x x x x

7

→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + = ⋅ − − + = ⋅ − − + = −∞ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= −∞ ⋅ − = +∞

Proposition

Le comportement d'une fonction polynomiale (somme de monômes) à l'infini est le même que celui du terme de plus haut degré et on obtient ± ∞.

Démonstration *

( )

( )n

n n-1 2n n-1 2 1 0x x

n n-1 2 1 0n n-2 n-1 nx

Propriétésdes limites

n n-1 1n n-1x x x x

a 0 0

lim P( x ) lim a x a x ...... a x a x a

a a a alim x a ......x x x x

a alim x lim a lim ...... limx x

→±∞ →±∞

→ ±∞

→ ±∞ →±∞ →±∞ →±∞

= + + + + +

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ + + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= ⋅ + + + +

( ) ( )

0nx

0

nnn nx

alimx

lim x a a

→±∞

→ ±∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅ = ±∞ ⋅ = ±∞

3) 3 2

2x

3x x 1 1limx 3x→−∞

+ + −∞ +∞ +=

+ +∞ −∞ (Indétermination)

33 2

2x x

x3x x 1lim lim

x 3x→−∞ →−∞

+ +=

+

x

3

2

1 13x x

x

⎛ ⎞⋅ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )3

3 11x

⋅ −∞= = −∞

⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

4) 4 2

4x

2x x 1limx 1→+ ∞

+ + +∞=

+ +∞ (Indétermination)

44 2

4x x

x2x x 1lim lim

x 1→+ ∞ →+ ∞

+ +=

+

2 4

4

1 12x x

x

⎛ ⎞⋅ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

4

2 21 11x

= =⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠


5) 2

3x

x 1limx 1→−∞

+ +∞=

− −∞ (Indétermination)

22

3x x

xx 1lim limx 1→−∞ →−∞

+=

−

2

3

11x

x

⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )3

x

1 1 01 11x

= = =−∞ ⋅ −∞⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Proposition

Le comportement d'une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) à l'infini dépend du degré du numérateur et du dénominateur. On distingue 3 cas :

• Si le degré du numérateur est plus grand que le degré du dénominateur, on obtient ± ∞.

• Si le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur, on obtient un nombre réel différent de zéro.

• Si le degré du numérateur est plus petit que le degré du dénominateur, on obtient 0.

Démonstration *

( )( )

( )( )

n n-1 2n n-1 2 1 0

m m-1 2x xm m-1 2 1 0

n n-1 2n n-1 2 1 0x

m m-1 2m m-1 2 1 0x

nnx n

mmx

P( x ) a x a x ...... a x a x alim limQ( x ) b x b x ...... b x b x b

lim a x a x ...... a x a x a

lim b x b x ...... b x b x b

lim x a a

lim x b

→±∞ →±∞

→±∞

→±∞

→±∞

→±∞

⎛ ⎞+ + + + += ⎜ ⎟+ + + + +⎝ ⎠

+ + + + +=

+ + + + +

⋅= =

⋅( )

( )

( )

( )

nn mn

mx xm m

nn mn

m

mn n

nm m

mn

nmm n

m

x alim lim xb x b

a si n ma b si n msi n m 0b

a a1 si n m si n ma b b1 si n m 0b

a 0 si n m0 si n ma 1 bsi n m 0b

−

→±∞ →±∞

−

−

⎛ ⎞⋅ = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎧ ⋅ ±∞ >⎧ ⎪ ±∞ >⎧⋅ ±∞ − >⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⋅ = =⎪⎪ ⎪ ⎪= ⋅ − = = =⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪ <⎪ ⎪ ⎪⋅ <⎪ ⎪ ⎪⋅ − < ⎩⎪ ⎪±∞⎩ ⎪⎩

6*) ( )2

xlim x x x→∞

+ − = ∞ + ∞ −∞ (Indétermination)

( )2 2

x x x x

1 1 1lim x x x lim x x 1 lim x x 1 lim x x 1x x x

1

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ − = + ⋅ − = + ⋅ − = + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= +∞ + ∞ ⋅ = +∞


c) Multiplication par 1 Cas où l’indétermination est de type : 00

avec un radical.

( )

( )x 3

x 3x 3

lim x 3x 3 0lim0x 3 lim x 3

+

+

+

→

→

→

−−= =

− − (Indétermination)

( )

x 3 x 3 x 3

1

x 3x 3 x 3 x 3lim lim limx 3 x 3 x 3+ + +→ → →

=

−− − −= ⋅ =

− − − ( )x 3

x 3

⋅ −

− x 3lim x 3 0

+→= − =

d) Multiplication par le conjugué Cas où l’indétermination est de type :

+∞ − ∞ ou 00

avec un radical.

1) ( )2 2

x x xlim x x 1 lim x lim x 1→∞ →∞ →∞

− + = − + = ∞ −∞ (Indétermination)

( ) ( )2

2 2

2 2x x x

1

x x 1 1 1lim x x 1 lim x x 1 lim 0x x 1 x x 1→∞ →∞ →∞

=

+ + − −− + = − + ⋅ = = =

+∞+ + + +

2) x 0

x 1 1 0limx 0→

+ −= (Indétermination)

( )x 0 x 0 x 0 x 0

1

x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1lim lim lim limx x 2x 1 1 x 1 1x x 1 1→ → → →

=

+ − + − + += ⋅ = = =

+ + + ++ +

Remarque : 2x x 1+ + est le conjugué de 2x x 1− + et réciproquement.

x 1 1+ − est le conjugué de x 1 1+ + et réciproquement. Plus généralement : A B+ est le conjugué de A B− et réciproquement. Nous avons : ( ) ( ) 2 2A B A B A B+ − = − Remarques

Pourquoi ne pouvons nous pas conclure pour les indéterminations 00

, ∞∞

et 0 ⋅∞ ?

• x 0

2x 0lim 2x 0→

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

et x 0

3x 0lim 3x 0→

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

• 2

x

xlimx 1→+∞

∞⎛ ⎞= = +∞⎜ ⎟− ∞⎝ ⎠ et 2x

x 1lim 0x→+∞

− ∞⎛ ⎞= =⎜ ⎟∞⎝ ⎠

• ( )x 0

1lim x 0 1x+→⋅ = ⋅∞ = et ( )2

x 0

1lim x 0 0x+→⋅ = ⋅∞ =

Conclusion : La limite change selon la fonction à étudier d’où, une indétermination.


Proposition

1) x 0

sin( x )lim 1x→

= 2) x 0

cos( x ) 1lim 0x→

−= x est en radians

Pour pouvoir calculer ces deux limites nous devons lever deux indéterminations de la forme 00

.

La démonstration se fait en deux temps : on va calculer la limite à droite puis à gauche.

1a) Démonstration de x 0

sin( x )lim 1x+→

=

Soit x 0;2π⎤ ⎡∈⎥ ⎢⎦ ⎣

la détermination d’un angle dans

le premier quadrant du cercle trigonométrique. On constate que :

Aire du triangle OQS < Aire du secteur OQS (*) < Aire du triangle OQR OQ PS

2⋅ <

2x r2⋅ < OQ QR

2⋅

1 sin( x )2

⋅ < 2x 1

2⋅ <

1 tan( x )2

⋅

On multiplie par 2 et on divise par ( )sin x les deux inégalités. ( )sin x 0 si x 0;2π⎛ ⎞⎤ ⎡> ∈⎜ ⎟⎥ ⎢⎦ ⎣⎝ ⎠

1 < x

sin( x ) <

1cos( x )

On prend l’inverse.

1 > sin( x )

x > cos( x )

On prend la limite. (propriété 8 des limites)

x 0lim 1

+→ ≥

x 0

sin( x )limx+→

≥ x 0lim cos( x )

+→

1 ≥ x 0

sin( x )limx+→

≥ 1

Finalement par la propriété 9 des limites : x 0

sin( x )lim 1x+→

= .

(*) 2 2

2

Aire du secteur OQS x x r xrAire du secteur OQSr 2 2 2

ππ π π

= ⇒ = =

1b) Démonstration de x 0

sin( x )lim 1x−→

=

Avec y x= − on a : ( )

propriété1adu sinus algèbre

x 0 y 0 y 0 y 0

sin( x ) sin( y ) sin( y ) sin( y )lim lim = lim = lim 1x y y y− + + +→ → → →

− −= =

− −

Finalement, comme x 0 x 0

sin( x ) sin( x )lim lim 1x x− +→ →

= = , alors x 0

sin( x )lim 1x→

=

x

O P Q

R

S

1

1 •

•

•

• •


2) Démonstration de x 0

cos( x ) 1lim 0x→

−=

( ) ( ) ( )( )x 0 x 0

1

cos( x ) 1 cos( x ) 1 cos( x ) 1lim lim

x x cos( x ) 1→ →

=

− − += ⋅

+ multiplication par le conjugué

( )( )

2

x 0

cos ( x ) 1lim

x cos( x ) 1→

−=

+ identité remarquable

( )

2

x 0

sin ( x )limx cos( x ) 1→

−=

+ relation trigonométrique : ( ) ( )2 2cos x sin x 1+ =

x 0

sin( x ) sin( x )limx cos( x ) 1→

⎡ ⎤−= ⋅⎢ ⎥+⎣ ⎦

algèbre

x 0 x 0

1

sin( x ) sin( x )lim limx cos( x ) 1→ →

=

−= ⋅

+ propriétés des limites

01 01 1−

= ⋅ =+

proposition 1)

Tableau récapitulatif des résultats concernant les opérations sur les limites

lim f lim g lim (f+g) lim (f - g) lim (f⋅g) lim(f/g)

n m n + m n - m n ⋅ m n / m

n 0 n n 0 ±∞

0 m m - m 0 0

0 0 0 0 0 ?

n ±∞ ±∞ ±∞ ±∞ 0

±∞ m ±∞ ±∞ ±∞ ±∞

0 ±∞ ±∞ ±∞ ? 0

±∞ 0 ±∞ ±∞ ? ±∞

+∞ +∞ +∞ ? +∞ ?

+∞ - ∞ ? +∞ -∞ ?

-∞ +∞ ? -∞ -∞ ?

-∞ -∞ -∞ ? +∞ ? Dans les cas signalés par un point d’interrogation (?), il y a indétermination.


Exercice 20 Calculer, si elles existent, les limites suivantes :

1) x 3

4xlimx 1→ +

2) 2

x 2lim 6 x 8x 7→ −

+ +

3) x

2limx 1→ +∞ +

4) x

5lim 2x 1→ −∞

++

5) 2

x 0

x 1 si x 0lim f ( x ) avec f ( x )

x 1 si x 0→

⎧ + ≥= ⎨

+ <⎩

6) 4 2

xlim x x 8→ +∞

+ +

7) x 1

2limx 1→ − +

8) x 2

4x 1limx 2−→ −

++

9) 2

2x 0

6 x 8x 7limx→

+ +

10) 2

x 3

x x 3limx 3→

+ +−

11) x 0

3x 8limx 7→

+−

12) 2

x 5

x 7 x 13lim( x 5 )( x 2 )+→

+ −− +

13) 2x 2

( x 4 )( 2x 3 )lim( x 2 )→

+ −−

14) 3 2

7 6 3x 2

4x 5x 1limx 2x x→ −

+ −+ +

15) 2

2x 0

x 6 xlim2x 11x 6→

−− −

16) 2x 1

6 x 7limx 2x 1→

+− +

17) 4

2x 2

x 1limx 5x 6−→

−− +

18) 3 2

x 1lim x 3x x 3→−

− − +

19) 4 2

xlim x x 8→ −∞

+ +

20) 2

x 2


7 x 1 si x 2→

⎧ + ≥= ⎨

− <⎩

21) 2

x 3


7 x 1 si x 2→

⎧ + ≥= ⎨

− <⎩

22) 3x 0

9limx→

−

23) 3 2x 1

x 2limx 2x x→−

++ +


1) x 4

( x 4 )( x 3 )limx 4→

− −−

2) 2

x 1

x x 2limx 1→

+ −−

3) 2

2x 2

x 4x 4limx 5x 6→−

+ ++ +

4) 2

2x 2

2x 5x 2limx 2x 8→

− ++ −

5) 2

2x 0

x 2xlimx 2x→

++

6) 2

21x3

3x 4x 1lim3x 10x 3→

− +− +

7) 3 2

2x 1

x x 16 x 16limx 3x 4→

− − ++ −

8) 2

2x 5

x 2x 15limx 8x 15→−

+ −+ +

9) 3

3 2x 1

x 3x 2lim2x 3x 1→

− +− +

10) 4x 1

x 1limx 1→

−−

Indication : factoriser, si nécessaire, le polynôme se trouvant au numérateur et au dénominateur de chaque fraction.



1) 2

xlim ( 3x 4x 7 )→+∞

− + −

2) 4

xlim ( x 3x 1)→−∞

+ −

3) 3x

2limx x→−∞

−−

4) x

3x 6lim2x 1→−∞

+−

5) 2 4 5

5 3x

1 x x 3xlimx x 2→+∞

− + − +− − +

6) 4 3 2

3x

x 2x x 1lim2x x 7→+∞

− + ++ +

7) 8

8x

( 2x 1)lim( x 3 )→+∞

−+

8) 3 2

3 4x

2x 7x x 13limx 5x 2x→+∞

− + − −+ −

9) 3 2

2x

2x 8x 2limx 5x→−∞

+ +− +

Indication : Effectuer, si nécessaire, une mise en évidence forcée des polynômes.


1) x 4lim 3x 4 x→

+ +

2) x 4

x 4limx 4+→−

++

3) x 4

2 xlim 4 x→

−−

4) x 3

x 3lim x 6 3→

−+ −

5) x 4

1 xlim 12 3x 3→

−− −

6) 2

x 2

x 5 3limx 2→

+ −−

7) 2

xlim x 1 x→ + ∞

+ −

8) x

1limx→ + ∞

9) x 0

1+x 1lim

x→

−

10) 2

x 0

x+1 x x 1lim x→

− − +

11) x a

x alimx a→

−−

12) x 8

3lim2x→

13*) x 1

x+3 3x 1lim x 1→

− +−

14*) 2

xlim x 2x 4 2x→ − ∞

− + +

15*) 2

xlim x 2x 4 x→ − ∞

− + +

16*) 2

xlim x 2x 4 x→+∞

− + +

Indication : Utiliser si nécessaire le conjugué.


Exercice 24

En utilisant si nécessaire le résultat suivant : x 0

sin( x )lim 1x→

= , calculer les limites ci-dessous.

Exemple 01 : 2x 0 x 0 x 0 x 0

sin( x ) sin( x ) sin( x ) 1 1 1lim lim lim lim 12x 3x x( 2x 3 ) x ( 2x 3 ) 3 3→ → → →

= = ⋅ = ⋅ =+ + +

Exemple 02 : x 0 x 0 x 0 2 x 0

1

sin( 2x ) 2 sin( 2x ) sin( 2x ) sin( 2x )lim lim 2 lim 2 lim 2 1 2x 2 x 2x 2x→ → → →

=

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

1) ( )x 0

sin 3xlim

x→

2) ( )x 0

sin 3xlim

2x→

3) ( )x 0

sin axlim

x→

4) ( )x 0

tan axlim

x→

5) ( )( )x

sin 2xlim

cos 2xπ→

6) ( )2x 0

sin xlim

x→

7) ( )2

x 0

sin xlim

x→

8) ( )2x 0

tan xlim

x→

9) ( )2x 0

sin xlim

x x→ +

10) ( )2

2x 0

cos x 1lim

x→

−

11) ( )x 0

cos xlim

x→

12) ( )x 0

tan 3xlim

x→

13) ( )x 0

4xlimsin x→

14*) ( )( )2x 2

1 sin xlim

cos xπ→

−

Indication : Utiliser, si nécessaire, certaines identités trigonométriques de base. Exercice 25 *

La vitesse de la lumière (environ 83 10 m / s⋅ ) est désignée par c. En théorie de la relativité,

on emploie la formule de contraction des longueurs de Lorentz 2

0 2vL( v ) L 1c

= ⋅ −

où L(v) est la longueur d'un objet en mouvement à une vitesse v et 0L sa longueur au repos.

Einstein a démontré aussi que la masse ( )m v d'un objet est liée à sa vitesse v par 02

2

mm( v )v1c

=

−

.

Calculer : a) v clim L( v )

−→ b)

v clim m( v )

−→


1.2.4 Ce qu’il faut absolument savoir 17♥ Connaître la définition de la limite d’une fonction f ok

18♥ Comprendre la notion de limite à gauche et limite à droite ok

19♥ Connaître et savoir appliquer les propriétés des limites ok

20♥ Calculer des limites contenant l’infini ok

21♥ Connaître les différents types d’indéterminations ok

22♥ Calculer des limites contenant des indéterminations (factorisation, mise en évidence forcée, etc.) ok

23♥ Connaître le comportement d’une fonction polynomiale et rationnelle à l’infini ok

24♥ Connaître et savoir démontrer que : x 0

sin( x )lim 1x→

= et x 0

cos( x ) 1lim 0x→

−= ok

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 33 Asymptotes / 3 N-A

1.3 Asymptotes Nous allons définir et étudier trois types d’asymptotes (verticales, horizontales et obliques).

1.3.1 Asymptotes verticales Définition

On dit qu'une droite verticale d'équation x = a ( )a∈ est une asymptote verticale (A.V.) de la fonction f si l'une au moins des conditions suivantes est satisfaite :

x alim f(x) =

+→+ ∞

x alim f(x) =

+→−∞

x alim f(x) =

−→+ ∞

x alim f(x) =

−→− ∞

Illustration

Exemple

Considérons la fonction rationnelle : ( ) 2f xx 3

=+

Intuitivement, comme le domaine est { }fD \ 3= − , on s’attend à trouver

une asymptote verticale d’équation : x 3= − .

Vérification : x 3

2 2limx 3 0+ +→−

= = +∞+

et x 3

2 2limx 3 0− −→−

= = −∞+

On a bien une asymptote verticale (A.V.) d’équation x 3= − . Remarques

a) Il n'est pas suffisant de constater que fa D ∉ pour affirmer que f possède une asymptote verticale en x = a.

Exemple: ( ) ( ) ( )x 2 x 5f x

x 2− ⋅ +

=−

n'est pas définie en x = 2 c'est-à-dire que f ( 2 )∉ ,

mais son graphique ressemble à celui d'une droite avec un "trou" car x 2lim f ( x ) 7→

= .

Donc f n’a pas d’ asymptotes verticales en x = 2. b) Il n'est pas suffisant de constater que fD = pour affirmer que f ne possède pas d'asymptotes

verticales. Exemple : ( )1 / x si x 0

f x0 si x 0

≠⎧= ⎨ =⎩

à un fD = et possède une A.V. en x = 0 .

x=a

f

x=a

f

x=a

f

x=a

f

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8y

f

A.V.

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 34 Asymptotes / 3 N-A

1.3.2 Asymptotes horizontales Définition

On dit qu'une droite horizontale d'équation y = b ( )b∈ est une asymptote horizontale (A.H.) de la fonction f si l'une au moins des conditions suivantes est satisfaite :

xlim f(x) = b→+∞

xlim f(x) = b→−∞

Illustration

Exemple

Considérons la fonction rationnelle : ( ) 4x 3g x2x 1

+=

+ g

1D = \2

⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭

Calculons x x

x4x 3lim lim2x 1→+∞ →+∞

+=

+

34x

x

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ 4 2

1 22x

= =⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

et x x

x4x 3lim lim2x 1→−∞ →−∞

+=

+

34x

x

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ 4 2

1 22x

= =⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

On a donc une asymptote horizontale (A.H.) d’équation y = 2. Remarques

a) Une fonction peut avoir une asymptote verticale et horizontale.

Exemple : ( ) 4x 3g x2x 1

+=

+ possède une A.V. en 1x

2= − et une A.H. en y = 2.

b) ( ) 2f x x = n’a pas d’A.V. et d’A.H.

c) Le graphique d'une fonction peut dans certains cas couper une asymptote horizontale.

d) Pour les fonctions rationnelles, il y a existence d’une asymptote horizontale :

i) Si le degré du numérateur < degré du dénominateur alors y = 0.

ii) Si le degré du numérateur = degré du dénominateur alors y = constante ≠ 0.

y = b

f

y = b

f

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x

-2

-1

1

2

3

4

5

6y

g

A.V.

A.H.

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1.3.3 Asymptotes obliques Définition

Une droite ( )d x ax b = + ( a,b∈ ; a est la pente et b est l'ordonnée à l'origine) est appelée asymptote oblique (A.O.) de la fonction f si l'une au moins des conditions suivantes est satisfaite :

( ) ( )( )xlim f x d x 0→ +∞

− = ( ) ( )( )xlim f x d x 0→ −∞

− =

Autrement dit : Si x tend vers ± ∞ alors la différence entre f(x) et d(x) tend vers 0.

Illustration Proposition

Toute fonction rationnelle ( ) ( )( )

A xf x

B x= ( ( )A x et ( ) 0B x ≠ sont des polynômes)

admet l'écriture suivante : ( ) ( ) ( )( )

R xf x Q x

B x= + avec ( ) ( )deg R deg B< .

( )Q x est le quotient et ( )R x le reste de la division euclidienne de ( )A x par ( )B x , ( c’est-à-dire ( ) ( ) ( ) ( )A x B x Q x R x = ⋅ + avec ( ) ( )deg R deg B< )

Exemple

Soit la fonction rationnelle : ( )3

2x 1f xx 2

+=

+ Df =

Effectuons la division euclidienne ( )A x par ( )B x :

A( x ) B( x )

3 2

3

Q( x )

R( x )

x 1 x 2

( x 2x ) x

2x 1

+ +

− +

− +

( ) ( ) ( )

R( x )

2Q( x )

B( x )

2x 1f x x avec deg R deg Bx 2− +

⇒ = + <+

Démonstration

Avec la division euclidienne on a : ( ) ( ) ( ) ( )A x B x Q x R x = ⋅ + avec ( ) ( )deg R deg B< .

Donc ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )Q x B xA x Q x B x R xf x

B x B x

⋅⋅ += = =

( )B x( )( ) ( ) ( )

( )R x R x

Q xB x B x

+ = + .

d

f d

f

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 36 Asymptotes / 3 N-A

Théorème 1 (uniquement pour les fonctions rationnelles)

Soit ( ) ( )( )

A xf x

B x= une fonction rationnelle ( ( )A x et ( )B x 0≠ sont des polynômes).

Si le degré du quotient ( )Q x de la division euclidienne de ( )A x par ( )B x est de un

c'est-à-dire ( )deg Q 1=

alors la fonction ( )Q x est une asymptote oblique de f en +∞ et −∞ .

Exemple Illustration

( )

( ) ( )

A( x ) R( x )

3

2 2Q( x )

B( x ) B( x )

x 1 2x 1f x xx 2 x 2

avec deg R deg B

+ − += = +

+ +

<

L’asymptote oblique est donnée par la fonction ( )Q x x= . Vérification :

( ) ( )( )3

2x x

2x x

x 1lim f x Q x lim xx 2

x2x 1lim limx 2

→±∞ →±∞

→±∞ →±∞

⎛ ⎞+− = −⎜ ⎟+⎝ ⎠

− +⎛ ⎞= =⎜ ⎟+⎝ ⎠ 2

12x

x

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

2 02 11x

−= =

⋅ ±∞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Démonstration

On peut écrire : ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )A x R x

f x Q xB x B x

= = + avec ( ) ( )deg R deg B<

Calculons :

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )x x x

R x R xlim f x Q x lim Q x Q x lim 0

B x B x→±∞ →±∞ →±∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ car ( ) ( )deg R deg B<

ce qui montre que ( )Q x est une asymptote oblique de f. Remarques

a) Pour les fonctions rationnelles, il y a existence d’une asymptote oblique si le degré du numérateur = degré du dénominateur + 1. Autrement dit : ( ) ( )deg A deg B 1= +

b) Si on veut construire une fonction rationnelle possédant une A.V. en x = 1 et une A.O. en y = x+2 , par exemple , on peut poser :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2R x 7 x x 5f x Q x x 2 ici R x 7 et deg R deg BB x x 1 x 1

+ += + = + + = = <

− −

c) Une asymptote horizontale (A.H.) est une asymptote oblique (A.O.) avec une pente de 0.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7x

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7y

f

Q

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 37 Asymptotes / 3 N-A

Etude du signe de f(x) − Q(x)

Exemple : ( ) ( ) ( )( )

3

2 2

R xx 1 2x 1f x Q x xx 2 x 2 B x

+ − +− = − = =

+ +

Tableau des signes de ( ) ( )f x Q x− : • Le graphique de f est au-dessus de l’asymptote oblique Q sur l’intervalle ] [;1 / 2−∞ .

• Il y a une intersection entre le graphique de f et celui de Q au point : 1 1 1 1; f ;2 2 2 2

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠.

• Le graphique de f est au-dessous de l’asymptote oblique Q sur l’intervalle ] [1 / 2;+∞ . Théorème 2 * (valable pour toutes les fonctions)

La droite ( )d x ax b = + est une asymptote oblique de la fonction f

⇔ x

f ( x )a limx→+∞

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

et ( )x

b lim f ( x ) ax→+∞

= −

La situation est analogue pour x → -∞ Exemple *

Soit la fonction rationnelle : ( )3

2x 1f xx 2

+=

+ Df =

Calculons une éventuelle asymptote oblique de la forme ( )d x ax b = + :

( )3

3

2x x x

xf x x 1 1a lim lim limx x 2 x→±∞ →±∞ →±∞

⎛ ⎞ += = ⋅ =⎜ ⎟ +⎝ ⎠

3

3

11x

x

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )

2

3

2x x

x

121x

x 1b lim f x ax lim xx 2

xlim

→±∞ →±∞

→±∞

=⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+= − = − =⎜ ⎟+⎝ ⎠

11x

x

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 0

2xx

−= =±∞⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

L’asymptote oblique est donc donnée par la fonction ( )d x 1 x 0 x= ⋅ + = . Remarques *

a) Si a 0 et b = ∈ alors on a une asymptote horizontale (A.H.).

b) Le graphique d'une fonction peut dans certains cas couper une asymptote oblique.

x 1/2 2x 1− + + 0 – 2x 2+ + + +

( ) ( ) 22x 1f x Q xx 2− +

− =+

+ 0 –

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7x

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7y

f

Q

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 38 Asymptotes / 3 N-A

Démonstration * ⇒

Supposons que ( )d x ax b= + est une asymptote oblique de f , alors ( ) ( )( )

xlim f x d x 0→∞

− =

Notons ( ) ( ) ( )x f x d xδ = − , la différence entre f et d. On a donc ( )xlim x 0δ→∞

= .

• Montrons que : ( )x

f xlim a

x→∞

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x x x x

x x x x

f x f x d x d x f x d x d xlim lim lim lim

x x x x

x xax b b 0lim lim lim lim a a 0 ax x x x

δ δ

=

→∞ →∞ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞ →∞

⎛ ⎞⎜ ⎟− + −⎛ ⎞

= = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠+ ⎛ ⎞= + = + + = + + =⎜ ⎟ ∞⎝ ⎠

• Montrons que : ( )( )

xlim f x ax b→∞

− =

( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

0

x x x xx

lim f x ax lim f x b b ax lim f x ax b lim b 0 b bδ

=

→∞ →∞ →∞ →∞

⎛ ⎞− = + − − = − + + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇐

Supposons que ( )( )x

b lim f x ax→∞

= − et ( )x

f xa lim

x→∞= .

• Montrons que : ( ) ( )( )

xlim f x d x 0→∞

− =

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x xlim f x d x lim f x ax b lim f x ax lim b b b 0→∞ →∞ →∞ →∞

− = − − = − − = − =

d(x) • f(x) •

δ(x)

f

d

• x

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 39 Asymptotes / 3 N-A

Exercice 26

Considérons les fonctions rationnelles ( ) ( )( )

A xf x

B x= suivantes.

1.1) ( ) 1f x x 2

=−

1.2) ( ) xg x x 2

=−

1.3) ( )2xh x

x 2=

−

2.1) ( )22x x 6f xx 2− −

=−

2.2) ( )2

22x x 6g xx x 2

− −=

− − 2.3) ( )

2

32x x 6h xx 3x 2

− −=

− −

3.1) ( )3

2x x 2f x

x+ +

= 3.2) ( )2

22x x 1g x

x 1− + +

=+

3.3) ( )2

3 2x 4h x

x 4x 12x−

=+ −

Déterminer pour chacune de ces fonctions :

a.1) la factorisation de ( )A x et ( )B x (simplifier les facteurs si nécessaire)

a.2) le domaine de définition, le(s) zéro(s) et l'ordonnée à l'origine de f.

a.3) le tableau des signes de f.

b.1) l'écriture ( ) ( ) ( )( )

R xf x Q x

B x= + avec ( ) ( )deg R deg B< (division euclidienne)

b.2) les équations des asymptotes (verticales, horizontales et obliques) de f (avec les détails des calculs).

b.3) le tableau des signes de f Q− avec le(s) point(s) d’intersection(s) entre f et Q.

c) la représentation graphique de f avec leurs asymptotes.

Quelle(s) conjecture(s) peut-t-on énoncer sur les asymptotes verticale(s), horizontale(s) et oblique(s) des fonctions rationnelles grâce aux cas particuliers ci-dessus ? Exercice 27

Déterminer, dans chacun des cas suivants, l'expression algébrique d'une fonction rationnelle f « simple » qui possède : a) une asymptote verticale d’équation x = 7 et une asymptote horizontale d’équation y = 0.

b) deux asymptotes verticales d’équations x = −2 et x = 7 et ( )x 7lim f x→

= +∞ .

c) une asymptote verticale d’équation x = −1 et une asymptote horizontale d’équation y = −2

d) une asymptote horizontale d’équation y = 2 et deux asymptotes verticales d’équations x = 3 et x = −10 .

e) une asymptote oblique d’équation y 3x 5= − et fD = .

f) une asymptote verticale d’équation x = 5 et une asymptote oblique d’équation y 2x 5= − + .

g) aucune asymptote verticale, horizontale et oblique avec ( )deg A 2≥ et ( )deg B 2≥ .

La réponse sera écrite sous la forme : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )R x

f x Q x avec deg R deg BB x

= + <

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 40 Asymptotes / 3 N-A

Exercice 28

a) Déterminer, dans chacun des cas suivants, l’expression algébrique d’une fonction rationnelle f « simple » qui possède les mêmes asymptotes que la fonction représentée par le graphique

ci-dessous. La réponse sera écrite sous la forme : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )R x

f x Q x avec deg R deg BB x

= + <

b) Ecrire, pour chaque fonction f , toutes les équations des asymptotes.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5y

a)

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7y

b)

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6y

c)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6x

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5y

d)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6x

-2

-1

1

2

3

4

5

6y

e)

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7y

f)

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 41 Asymptotes / 3 N-A

Exercice 29 *

Soit la fonction rationnelle f définie par ( ) ( ) ( )( )( )( )

x 3 x 2 x 4f x

x 2 x 5− − +

=− +

a) Sans effectuer de calculs de limites, déterminer toutes les asymptotes de la fonction f.

b) Déterminer une fonction g ayant le même numérateur et les mêmes asymptotes verticales que f et qui possède une asymptote horizontale d’équation y 2= − .

c) Déterminer une fonction h ayant le même dénominateur et les mêmes asymptotes verticales que f et qui possède une asymptote horizontale d’équation y 4= .

d) Déterminer une fonction j définie sur { }\ 4;2;3− ayant le même numérateur que f et qui ne possède pas asymptotes verticales . Exercice 30 *

Sans effectuer de calculs de limites, déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel n 0≥ , toutes

les asymptotes de la fonction nf définie par : ( )n

n 2x 3f xx 9

+=

−

Exercice 31 *

Considérons les fonctions irrationnelles suivantes :

1) ( ) 2f x x x 1= + − 2) ( )2

3x 1g xx 2−

=+

3) ( ) xh x xx 1

=+

Pour chacune de ces fonctions : a) Déterminer le domaine de définition, le(s) zéro(s) et l'ordonnée à l'origine.

b) Déterminer toutes les asymptotes (verticales, horizontales et obliques) .

Indication : Utiliser si nécessaire le théorème 2 .

c) Esquisser le graphique avec leurs asymptotes.

d) Que constatez-vous de particulier par rapport aux fonctions rationnelles ? Exercice 32 *

De l’eau salée d’une concentration de 5 [g] de sel par [litre] coule dans un grand réservoir contenant initialement 10 [litres] d’eau pure. a) Si l’eau salée coule dans le réservoir à raison de 10 [litre/heure], calculer le volume de l’eau V(t) et la quantité de sel A(t) dans le réservoir après t [heures].

b) Déterminer la concentration de sel c(t) en [g/l] après t [heures].

c) Quelle est la concentration de sel dans le réservoir après 20 [heures] ? et après une longue période de temps ? Justifier.

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 42 Asymptotes / 3 N-A

1.3.4 Ce qu’il faut absolument savoir 25♥ Connaître la définition d’une asymptote verticale d’une fonction f ok

26♥ Déterminer par calcul les asymptotes verticales d’une fonction f ok

27♥ Connaître la définition d’une asymptote horizontale d’une fonction f ok

28♥ Déterminer par calcul les asymptotes horizontales d’une fonction f ok

29♥ Connaître la définition d’une asymptote oblique d’une fonction f ok

30♥ Savoir utiliser le théorème concernant le calcul des asymptotes obliques pour les fonctions rationnelles ok

31♥* Savoir utiliser le théorème « général » concernant le calcul des asymptotes obliques d’une fonction f ok

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 43 Fonctions continues / 3 N-A

1.4 Fonctions continues

1.4.1 Introduction Que veut dire : une fonction est continue ?

Tout le monde a une idée intuitive de la notion de continuité. On peut l’interpréter par le fait de ne jamais lever le crayon lorsqu’on dessine la courbe (graphique) d’un point à un autre. Essayons de l'exprimer analytiquement. Définition (continuité en un point)

Soit I un intervalle et f une fonction définie (au moins) sur I avec a I∈ .

x af est continue en x a lim f ( x ) f ( a )

→= ⇔ =

Cela signifie que : i) f(a) existe ; c'est-à-dire f ( a )∈ . ii) la limite au point x = a existe, c'est-à-dire :

x a x alim f ( x ) lim f ( x ) L

− +→ →= = .

iii) L = f(a) . Remarque Si i) est vérifié mais pas ii) ou iii) alors on dit que f est discontinue au point a. Si i) n'est pas vérifié on ne peut pas parler de continuité ou de discontinué au point a. Activité I Pour chacune des fonctions suivantes :

a) dire si la fonction est continue ou discontinue au point d’abscisse x = a.

b) lesquelles parmi ces trois propositions sont fausses ?

i) f(a) existe ; c'est-à-dire f ( a )∈ . ii) la limite au point x = a existe, c'est-à-dire :

x a x alim f ( x ) lim f ( x ) L

− +→ →= = .

iii) L = f(a) .

1) 2) 3) .......................... .......................... .......................... 4) 5) 6) .......................... .......................... ..........................

x

y

f

a

°

x

y f

a

° •

x

f

a

y

x

y f

a

•

x

y

f

a

•

°

x

y

f

a • •


Définition (continuité sur un intervalle)

Soit I un intervalle et f une fonction définie (au moins) sur I.

On dit que f est continue sur I lorsque f est continue en tout point a de I.

Aux extrémités de l'intervalle, il faut comprendre continue par : continue à droite ou continue à gauche. Exercice 33

Pour chacune des fonctions décrites par son graphique, vérifier à l'aide de la définition de la continuité d'une fonction, si elle est continue au point d’abscisse x = a. Si elle n'est pas continue en x = a, dire pourquoi.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Exercice 34

Voici la représentation graphique d’une fonction f.


b) Déterminer sur quels ensembles de nombres : i) f est continue. ii) f est discontinue.

x

f

a

y

x

y

f

a

• b

x

y

f

a

°°

b

c

x

y

f

a

•

°

b

c

x

y

f

a

° b

x

y

f

a

•b

-4

2

f

x

y

1 -2


Exemples (de fonctions continues)

Les fonctions :

• polynomiales n n-1 2n n-1 2 1 0f(x) = a x + a x + ...... + a x + a x + a ] [Df ;= = −∞ ∞

Par exemple : 2f ( x ) 2x 3x 1= + + est continue sur son domaine de définition Df = .

• sinus, cosinus ( ) ( ) ( ) ( )f x sin x ; g x cos x = = ] [Df ;= = −∞ ∞

• logarithmiques ( ) ( )af x log x= ] [*Df 0;+= = ∞

• exponentielles, ( ) xf x a= ] [Df ;= = −∞ ∞

• racine carrée, ( )f x x= [ [Df 0;+= = ∞

• valeur absolue ( )f x x= ] [Df ;= = −∞ ∞

sont continues sur leurs domaines de définition et donc x alim f ( x ) f ( a )→

= pour fa D∀ ∈ .

• x 1 si x 3

f ( x )x si x 3+ ≥⎧

= ⎨ <⎩ fD =

La fonction f est continue sur { }\ 3 car f est constituée de fonctions polynomiales. La seule valeur de x qui pourrait poser un « problème » est x = 3.

Nous allons vérifier si f est continue en x = 3 : x 3lim f ( x ) 3

−→= et

x 3lim f ( x ) 3 1 4

+→= + = .

Comme x 3 x 3lim f ( x ) lim f ( x )

− +→ →≠ , alors

x 3lim f ( x )→

n'existe pas. Par contre f ( 3 ) 3 1 4= + = .

Conclusion : f est continue sur { }\ 3 et discontinue en x = 3. Remarque

f définie en x a= ⇒ f continue en x a=

f continue en x a f définie en x a= ⇒ =

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9y


1.4.2 Propriétés des fonctions continues Théorème 1

Si f et g sont deux fonctions continues en x = a alors 1) fλ ⋅ est continue en x = a λ∀ ∈ .

2) f + g est continue en x = a.

3) f − g est continue en x = a.

4) f ⋅ g est continue en x = a.

5) fg

est continue en x = a si g(a) ≠ 0.

6) Si f est continue en x = a et g est continue en y = f(a), alors g f est continue en x=a.

Exemples Étudions la continuité des fonctions suivantes :

a) h(x)= 3 x⋅ est continue sur hD += car h est égale à une fonction f(x)= x continue sur + , multipliée par un nombre réel 3λ = (P1).

b) 3h(x)= x + sin(x) est continue sur hD = car h est égale à une fonction 3f(x)= x continue sur (c’est une fonction polynomiale) additionnée à une fonction g(x)= sin(x) continue sur (P2).

c) Toute fonction rationnelle P(x)f(x) =Q(x)

où P(x) et Q(x) sont des polynômes en x, est continue

sur son domaine de définition car on a une division entre deux fonctions continues. (P5)

Par exemple :2xf ( x )

x 1=

− est continue sur son domaine de définition qui est { }Df / 1= .

Comme 1f ( 1)0

= ∉ on ne peut pas parler de continuité ou de discontinuité en x = 1.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8y

Remarque

Le théorème 1 sur les fonctions continues, nous permet de déterminer si une fonction « compliquée » est continue en un point, en étudiant la continuité de chacune de ses parties en ce point.


Démonstration du théorème 1 Par hypothèse f et g sont deux fonctions continues en x = a c'est-à-dire :

x a x alim f ( x ) f ( a ) et lim g( x ) g( a )→ →

= =

1) ( ) ( )

Définition Définitiondu produit du produitd'une fct. Propriétés f continue d'une fct.avecun réel des limites en x a avecun réel

x a x a x alim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) f ( a ) = f ( a )λ λ λ λ λ

=

→ → →⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

2) ( ) ( )

Définitionde la somme Propriétésde deux fct. des limites

x a x a x a x alim f g ( x ) = lim f ( x ) g( x ) = lim f ( x ) lim g( x )→ → → →

+ + + =

( )

f et g Définitioncontinue de la sommeen x a de deux fct.

f ( a ) g( a ) = f g ( a )=

= + +

3) ( ) ( )

Définitionde ladifférence Propriétésde deux fct. des limites

x a x a x a x alim f g ( x ) = lim f ( x ) g( x ) = lim f ( x ) lim g( x )→ → → →

− − − =

( )

f et g Définitioncontinue de ladifférenceen x a de deux fct.

f ( a ) g( a ) = f g ( a )=

= − −

4) ( ) ( )

Définitiondu produit Propriétésde deux fct . des limites

x a x a x a x alim f g ( x ) lim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x )→ → → →

⋅ = ⋅ = ⋅ =

( )

f et g Définitioncontinue du produiten x a de deux fct .

f ( a ) g( a ) f g ( a )=

= ⋅ = ⋅

5)

Définition f et g Définitiondu quotient Propriétés continue du quotientde deux fct. des limites en x a de deux fct.

x a

x a x ax a

00

lim f ( x )f f ( x ) f ( a ) flim ( x ) = lim = = ( a )g g( x ) lim g( x ) g( a ) g

=→

→ →→

≠≠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6) La démonstration ne sera pas exposée dans ce cours. Théorème 2

Les fonctions polynomiales sont continues sur leur domaine.

Exemples

( ) ( )Propriétésdes limites

2

x a x a x a x a x a x a x a x af ( x )

lim 2x 3x 1 lim 2 x x 3 x 1 lim 2 lim x lim x lim3 lim x lim1→ → → → → → → →

+ − = ⋅ ⋅ + ⋅ − = ⋅ ⋅ + ⋅ − =

2

f ( a )

2 a a 3 a 1 2a 3a 1= ⋅ ⋅ + ⋅ − = + − . f est continue sur son domaine qui est .


Démonstration du théorème 2 Une fonction polynomiale est de la forme ( ) n n 1 2 1

n n 1 2 1 0f x a x a x ... a x a x a−−= + + + + +

avec n n 1 2 1 0a , a ,...,a , a ,a n− ∈ ∈ et fD = .

A voir que x clim f ( x ) f ( c ) c→

= ∀ ∈ .

( ))

( ) ( ) ( ) ( ) ( ))

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n 1 2 1n n 1 2 1 0x c x c

P. limites 4n n 1 2 1

n n 1 2 1 0x c x c x c x c x c

P. limites 3n n 1 2 1


P. li

lim f ( x ) lim a x a x ... a x a x a

lim a x lim a x ... lim a x lim a x lim a

a lim x a lim x ... a lim x a lim x a lim 1

−−→ →

−−→ → → → →

−−→ → → → →

= + + + + +

= + + + + +

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅

=) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

mites 5 n n 1 2


g( x ) x et h( x ) 1sont continues sur n n 1 2

n n 1 2 1 0

a lim x a lim x ... a lim x a lim x a lim 1

a c a c ... a c a c a 1 f ( c )

−

−→ → → → →

= =

−−

⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Exercice 35

a) En tenant compte de toutes les indications suivantes, donner une représentation possible de la fonction f :

• f est définie sur { }\ 2;2− • f est continue sur { }\ 2;2;4−

• Les zéros de f sont -1 et 7 • ( )f 4 5= • x 2lim f ( x ) n' existe pas→ −

• xlim f ( x ) 0→ −∞

= • x 4lim f ( x ) 2→

= • x 2lim f ( x )→

= +∞

b) Même question, mais pour la fonction g :

• *gD += • Les zéros de g sont 2 et 5. •

xlim g( x ) 3→+∞

= −

• ( )g 10 4= − • g a exactement une asymptote verticale.

• x 3lim g( x ) 2→

= • g est continue sur { }* \ 6+ .

c) Trouver l’expression algébrique d’une fonction f, définie sur , continue partout sauf en x = 2 et

x 2lim f ( x ) 3→

= .

d) Trouver l’expression algébrique d’une fonction g, définie sur , continue partout sauf en x = 2 et

x 2lim f ( x )→

∃ .


Exercice 36

a) Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes.

b) Étudier la continuité des fonctions suivantes. Autrement dit : donner l’ensemble de nombres sur lequel f est continue et l’ensemble ou f est discontinue. Justifier vos réponses en utilisant la définition de la continuité et les théorèmes précédents.

1) 1f ( x )x 1

=−

2) 2x 5x 6f ( x )

x 2− +

=−

3) 2

x si x 1f ( x )

x si x 1<⎧

= ⎨≥⎩

4) 4f ( x ) x x= + 5) ( )3f ( x ) 3x 2= + 6) 3x 3x si x 1

f ( x )2x 5 si x 1⎧ − ≥

= ⎨− <⎩

7) 21f ( x )x

= 8) 21 si x 0

g( x ) x10' 000 si x 0

⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

9) f ( x ) 4= −

10) 2x 3f ( x )x 9+

=−

11) x

f ( x )x

= 12) x

si x 0g( x ) x0 si x 0

⎧≠⎪= ⎨

⎪ =⎩

13) 2x 3f ( x )x 9+

=+

14) sin( x )f ( x )x

= 15) sin( x ) si x 0

g( x ) x1 si x 0

⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

16) x 1 1 si x 0f ( x ) x

1 / 2 si x 0

⎧ + −≠⎪= ⎨

⎪ =⎩

17) 2

x 1 2 si x 3f ( x ) x 3x 5 si x 3

⎧ + −<⎪= −⎨

⎪ − ≥⎩

Exercice 37

a) Soit une fonction f définie par 2

x si x 4f ( x )

x 3 si x 4− + <⎧

= ⎨− + ≥⎩

k

Pour quelle valeur de k, la fonction f est-elle continue en x = 4 ?

b) Soit une fonction g définie par 2

x 1 si x 3g( x )

x 3 si x 3− + <⎧

= ⎨− + ≥⎩

k

Pour quelle valeur de k, la fonction g est-elle continue en x = 3 ?

c) Soit une fonction h définie par 2x si x 2

h( x )2 x 1 si x 2⎧ − ≤

= ⎨+ >⎩

kk

Pour quelle valeur de k, la fonction h est-elle continue en x = 2 ?


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4y

-p - 3 p4 - p

2- p

4p4

p2

3 p4 p

x

-1.5

-1.25

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5y

Théorème 3 (des bornes)

Si f est une fonction continue sur un intervalle [ ]a;b fermé

alors 1) ∃ m et M ∈ tel que ∀ x ∈ [a;b] on a : m f ( x ) M≤ ≤ (existence d’extremum globaux)

2) ∃ u et v ∈ [a;b] tel que ( )f u m = et ( )f v M= (f atteint ses bornes)

3) [ ]( ) [ ]f a;b m;M= (l’image d’un intervalle fermé est fermé)

(La démonstration de ce théorème, sort du cadre de ce cours et ne sera donc pas exposée ici). Illustration Exemples a) ( )f ( x ) sin x= sur [ ];π π−

f 1 f 12 2π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

[ ]( ) [ ]f ; 1;1π π− = −

b) Prenons une fonction qui ne satisfait pas

l’hypothèse du théorème : 1f ( x )x

= sur [ ]3;3−

• f n’est pas continue sur [ ]3;3− .

• Il n’existe pas de valeur minimum m et maximum M sur [ ]3;3− .

• [ ]( ) [ ]f 3;3 m;M− ≠ Remarque

Le théorème des bornes dit que, pour une fonction qui satisfait les hypothèses citées ci-dessus, il existe des nombres u, v, m et M tel qu’ils satisfont à aux conclusions citées ci-dessus, mais il ne dit pas comment trouver u, v, m et M. Dans certains cas on pourra déterminer u, v, m et M grâce au calcul différentiel.

ba

f

[ ] x

M = f(v)

f(u) = m

y

•

•

v • •u


b a

f

[ ] x

f(a)

f(b)

y

c

f(c) =k

•

•

•

Théorème 4 (des valeurs intermédiaires)

Si f est une fonction continue sur un intervalle [ ]a;b fermé

alors pour tout nombre réel ( ) ( )k f a ; f b ∈⎡ ⎤⎣ ⎦ , il existe au moins un nombre

[ ]c a;b ∈ tel que ( )f c k= . (La démonstration de ce théorème, sort du cadre de ce cours et ne sera donc pas exposée ici). Illustration Exemples a) 2f ( x ) x 3= − est continue sur [ ]1;2 fermé.

Prenons : ( ) ( ) [ ]k 1 f 1 ; f 2 = 2;1= − ∈ −⎡ ⎤⎣ ⎦

Il existe alors au moins un nombre [ ]c 1;2 ∈

tel que ( )f c 1= − .

Vérification : 2 2

f ( c )

c 3 1 c 2 c 2 1,41− = − ⇔ = ⇔ = ± ≅ ±

b) Prenons une fonction qui ne satisfait pas l’hypothèse

du théorème : x 1 si x 3

f ( x )x 1 si x 3+ ≥⎧

= ⎨ − <⎩ sur [ ]2;4

f n’est pas continue sur [ ]2;4 car discontinue en x = 3.

Prenons : ( ) ( ) [ ]k 3 f 2 ; f 4 = 1;5= ∈⎡ ⎤⎣ ⎦ ,

Il n'existe pas de nombre [ ]c 2;4 ∈ tel que ( )f c 3= . Vérification : graphique. Remarque

Le théorème des valeurs intermédiaires dit que, pour une fonction qui satisfait les hypothèses citées ci-dessus, il existe au moins un nombre [ ]c a;b∈ tel que ( )f c k= mais il ne dit pas comment le

trouver. Pour déterminer c il faut résoudre l’équation ( )f c k= .

-1 1 2 3x

-3

-2

-1

1y

c

k=

-1 1 2 3 4 5 6x

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7y

k=


b a

f

[ ] x

f(a)

f(b)

y

c •

0 =f(c)

•

•

Théorème 5 (de Bolzano) ( Corollaire du théorème précédant avec k=0 )

Si f est continue sur [ ]a;b et si f(a) et f(b) sont de signes contraires ( ) ( )( )f a f b 0⋅ < ,

alors il existe au moins un nombre [ ]c a;b∈ tel que ( )f c 0=

Illustration Exemple a) 2f ( x ) x 3= − est continue sur [ ]1;2 fermé.

( )f 1 2= − et ( )f 2 1= c'est-à-dire ( ) ( )f 1 f 2 0⋅ <

Il existe alors au moins un nombre [ ]c 1;2 ∈

tel que ( )f c 0= .

Vérification : 2 2

f ( c )

c 3 0 c 3 c 3 1,73− = ⇔ = ⇔ = ± ≅ ±

Démonstration du théorème 5

Si f(a) et f(b) sont de signes contraires on a que ( )0 f a ; f ( b )∈⎡ ⎤⎣ ⎦ . D’après le théorème des

valeurs intermédiaires pour k = 0 il existe au moins un nombre réel [ ]c a;b∈ tel que ( )f c 0= . Remarque

Le théorème de Bolzano dit que, pour une fonction qui satisfait les hypothèses citées ci-dessus, il existe au moins un nombre [ ]c a;b∈ tel que ( )f c 0= mais il ne dit pas comment le trouver. Pour

déterminer c il faut résoudre l’équation ( )f c 0= .

-1 1 2 3x

-3

-2

-1

1y

c

k=


Exercice 38

Considérons les fonctions suivantes :

1) f ( x ) x 2= + sur [ ]4;4− 2) 2f ( x ) x 4= − sur [ ]1;3−

3) f ( x ) x= − sur [ ]3;5− 4) 2f ( x ) x 2x 3= − + + sur [ ]2;2−

Pour chaque fonction :

a) Montrer que f satisfait les hypothèses du théorème des bornes sur [ ]a;b et chercher l’intervalle

[ ]m;M tel que [ ]( ) [ ]f a;b m;M= .

b) Montrer que f satisfait les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires sur [ ]a;b

et chercher le(s) nombre(s) [ ]c a;b∈ tel que ( )f c 2= .

c) Montrer que f satisfait les hypothèses du théorème de Bolzano sur [ ]a;b et chercher le(s)

nombre(s) [ ]c a;b∈ tel que ( )f c 0= .

Exercice 39

1) Considérons la fonction suivante : 1g( x )x 3

=−

sur [ ]2;4 .

a) g satisfait-elle les hypothèses du théorème des bornes sur [ ]2;4 ? Justifier.

b) Existe-t-il un intervalle [ ]m;M tel que [ ]( ) [ ]g 2;4 m;M= ? Justifier.

c) g satisfait-elle les hypothèses du théorème de Bolzano sur [ ]2;4 ? Justifier.

d) Existe-t-il au moins un nombre [ ]c 2;4∈ tel que ( )g c 0= ? Justifier.

2) Considérons la fonction suivante : x si x 3

h( x )4x 14 si x 3

≤⎧= ⎨− + >⎩

sur [ ]2;4

a) h satisfait-elle les hypothèses du théorème des bornes sur [ ]2;4 ? Justifier.

b) Existe-t-il un intervalle [ ]m;M tel que [ ]( ) [ ]h 2;4 m;M= ? Justifier.

c) h satisfait-elle les hypothèses du théorème de Bolzano sur [ ]2;4 ? Justifier.

d) Existe-t-il au moins un nombre [ ]c 2;4∈ tel que ( )h c 0= ? Justifier.

3) Que constate-t-on en observant les réponses obtenues dans cet exercice ?


2

f

[ ] x

f(1)=.......

y

c •

f(2)=.......

f(c) = 0 1

•

•

a

b1x 2x

f f(b)

f(x1

f(x2

f(ac • 0

1.4.3 Méthode de la bissection * Algorithme de recherche de zéros d’une fonction *

Soit [ ]: ; →f a b une fonction continue sur [ ];a b telle que f(a) et f(b) sont de signes contraires

( )( ) ( ) 0⋅ <f a f b . On essaye de chercher un nombre c qui est un zéro de f sur cet intervalle. Illustration * Méthode *

1) On divise l’intervalle [ ];a b en deux parties égales et on note son milieu par 1 2+

=a bx .

2) Si 1( ) ( ) 0⋅ <f a f x alors le zéro se trouve dans cet intervalle et on continue la méthode

sur l’intervalle [ ]1;a x en prenant 12 2

+=

a xx le milieu de [ ]1;a x .

3) Sinon, on a nécessairement que 1( ) ( ) 0⋅ <f x f b et on poursuit avec l’intervalle [ ]1;x b .

4) On poursuit les calculs tant que la longueur de l’intervalle est supérieure à une tolérance positive donnée (précision). Activité : méthode de la bissection * a) Montrer que la fonction 2f ( x ) x 2= − possède un zéro dans l'intervalle [ ]1;2 . b) Déterminer, à l'aide de la méthode de la bissection, sa valeur avec une tolérance de 110 0,1 − = .

Résolution a) *

On a f(1)= ………. , f(2) =............... et

f est une fonction …..…….. sur

(car c’est une fonction ……………….….). Donc, d’après le théorème de ….……….,

il existe au moins un nombre c ∈ [….. ; ......]

tel que f(c) = .........


Résolution b) *

Recherchons ce nombre à l’aide de la méthode de la bissection : (précision 110 0,1 − = )

0 0a 1 c 2 b= < < = 11 2x 1,5

2+

= =

( ) ( )0 0 0 0 f a f b 0 et b a 1 0,1⋅ < − = >

f( 1.5 ) =................ a1 =..............< c < ............. = b1 2x ..........2

= =

f(a1) ⋅ f(b1) < 0 et b1 – a1 =................> 0.1

f(...................) .......... a2 =..............< c < ............. = b2 3x ..........2

= =

f(a2) ⋅ f(b2) < 0 et b2 – a2 =................> 0.1

f(...................) .......... a3 =..............< c < ............. = b3 4x ..........2

= =

f(a3) ⋅ f(b3) < 0 et b3 – a3 =................> 0.1

f(...................) .......... a4 =..............< c < ............. = b4 5x ..........2

= =

f(a4) ⋅ f(b4) < 0 et b4 – a4 =................< 0.1 • Un zéro de 2f ( x ) x 2= − se trouve entre ….…......….et ….…..……. • L’erreur maximale commise est de ............................ si l’on choisit .................. ou ................... comme approximation d’un zéro de f. • Dans ce cas, il a suffit de ..............itérations pour obtenir la précision (tolérance) désirée.

a0 = 1 2 = b0 x1 = 1,5


Exercice 40 *

a) L’équation 3 2x x 10x 4 0+ − + = possède-t-elle au moins une solution sur l’intervalle [ ]4; 3− − ? Justifier.

b) L’équation 3 2x x 10x 4 0+ − + = possède-t-elle au moins une solution sur l’intervalle [ ]2;4− ? Justifier.

c) Montrer que la fonction 2f ( x ) x 3= − possède un zéro dans l'intervalle [ ]1,5; 2 .

d) Déterminer, à l'aide de la méthode de la bissection, sa valeur avec une tolérance de 110 0,1 − = .

e) Quelle fonction faut il définir pour calculer à la précision voulue la racine de m ( )m +∈ en utilisant la méthode de la bissection ? Exercice 41

Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? Justifier vos réponses.

1) La fonction f définie par 2 3f ( x ) cos ( x ) 2x 3x 5= + − + est continue sur .

2) Si f est définie en x a= , alors f est continue en x a= .

3) Si f est continue en x a= , alors f est définie en x a= .

4) Si f n’est pas définie en x a= , alors f possède une asymptote verticale en x a= .

5) Si x alim f ( x ) 0→

= et x alim g( x ) 0→

= alors x a

f ( x )limg( x )→

n’existe pas.

6) La fonction f définie par 2x 1f ( x )

x 2−

=+

n’a pas d’asymptote.

7) Soit f une fonction continue sur . Si ( ) ( )f a f b = alors la fonction f possède deux zéros

exactement sur l’intervalle [a;b].

8) La fonction f définie par 10 9 7

8x x x 1f ( x )

x 2+ − +

=+

possède une asymptote oblique.

9) Si x 0lim f ( x )→

n’existe pas , alors ( )2

x 0lim f ( x )→

n’existe pas non plus.

10) Si xlim f ( x )→+∞

= +∞ alors f possède une asymptote oblique.

11) Le graphique d’une fonction f ne peut jamais avoir d’intersection avec celui d’une asymptote

oblique de f.


12) 1f ( x )x

= est continue sur son domaine de définition.

13) x 0

1lim xx→

⎛ ⎞+ = +∞⎜ ⎟⎝ ⎠

14) Si x alim f(x)→

n’existe pas, alors f possède une asymptote verticale d’équation x a= .

15) x af ( x ) ax a−

= ∈−

est continue en x=a.

16) Si x = a appartient au domaine de définition de f , alors x alim f ( x )→

existe.

17) Si x alim f ( x )→

existe , alors x = a appartient au domaine de définition de f.

18) Soit f et g définies par 2x 1f ( x ) et g( x ) x 1

x 1−

= = +−

. Alors f = g.

19) Une fonction f continue sur a un domaine de définition égal à .

20) x a

x ax a

lim f ( x )f ( x )limg( x ) lim g( x )

→

→→

= quelles que soient les fonctions f et g et quel que soit x = a.

21) Si une fonction possède asymptote verticale en x=a et fa D∉ alors f est discontinue en x=a.

22) Si une fonction possède asymptote verticale en x=a et fa D∈ alors f est discontinue en x=a.

23) f ( x ) x= est continue sur .

24) Si une fonction f est définie sur [ ]a;b alors f ne possède pas d’A.V. sur [ ]a;b .

25) Si une fonction f est continue sur [ ]a;b alors f ne possède pas d’A.V. sur [ ]a;b .

26) Si une fonction f ne possède pas d’A.V. sur [ ]a;b alors f est continue sur [ ]a;b .

27*) La fonction f définie par 5 3 2f ( x ) x x 2x 3= − + + possède au moins un zéro sur l’intervalle [ ]2; 1− − .

28*) L’équation ( )2 12 sin x 0x 1

− =+

admet au moins une solution sur l’intervalle 0;2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦.

29*) Toute fonction polynomiale de degré impair admet un zéro.

30*) Toute fonction polynomiale de degré pair admet un zéro.

31*) L’image de l’intervalle [1;2] par 2log ( x )f ( x )x 3

=+

est un intervalle.


1.4.3 Ce qu’il faut absolument savoir

32♥ Connaître la définition de la continuité en un point d’une fonction f ok

33♥ Connaître la définition de la continuité sur un intervalle d’une fonction f ok

34♥ Connaître quelques exemples de fonctions continues ok

35♥ Connaître les propriétés des fonctions continues (théorème 1) ok

36♥ Savoir utiliser les propriétés sur les fonctions continues (théorème 1) pour déterminer la continuité d’une fonction donnée ok

37♥ Connaître et comprendre le théorème des bornes ok

38♥ Connaître et comprendre le théorème des valeurs intermédiaires ok

39♥* Connaître et comprendre le théorème de Bolzano ok

40♥* Savoir utiliser la méthode de la bissection ok

________________________________________________________________________________P.S. / 2017-2018 59 Calcul différentiel / 3 N-A

1.5 Calcul différentiel La notion de dérivée est le cœur du calcul différentiel. Voici l'approche géométrique de la notion de dérivée : On aimerait pouvoir connaître la pente de la droite tangente T en un point quelconque d'une courbe car elle nous permet de savoir comment se comporte la courbe en ce point (comportement local).

1.5.1 Introduction (Approche géométrique de la notion de dérivée)

Soit f une fonction définie au voisinage de a. Prenons le point fixe ( )( )a; f a sur le graphique de f.

• La pente de la droite sécante S passant par les points ( )( )a; f a et ( )( )x; f x vaut : f ( x ) f ( a )x a−−

Idée : Diminuons la distance x a − afin que la pente de la droite sécante se rapproche de celle de la pente de la droite tangente. Utilisons pour cela le concept de limite :

• La pente de la droite tangente T à f au point ( )( )a; f a vaut : x a

f ( x ) f ( a )limx a→

−−

Définitions (Dérivée d'une fonction en un point)

Soit f une fonction définie en a et au voisinage de a.

i) f est dérivable en x = a ⇔ x a

f ( x ) f ( a )limx a→

−−

existe et ∈ .

ii) Si cette limite existe, on note x a

f ( x ) f ( a )f ' ( a ) limx a→

−=

−

f ' ( a ) est appelé la dérivée de f en a.

Par contre, si cette limite n’existe pas, on dit que f n’est pas dérivable en a . Nous savons maintenant, selon cette approche, que f '(a) correspond graphiquement à la pente de la droite tangente à f au point (a;f(a)). Nous dirons plus simplement « la pente de la tangente à f en a ». Cette droite tangente sera notée Ta.

f S

T

f(x)

f(a)

a x

f(x) - f(a)

x - a

x

y


-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-1

1

2

3

y

g T

Exemple 1

Considérons la fonction 2f ( x ) x= en a 2= .

2 2

x 2 x 2

f ( x ) f ( 2 ) x 2 0f '(2) =lim limx 2 x 2 0→ →

− −= =

− − (indétermination)

Donc ( )

x 2

x 2f '(2) lim

→

−=

( )x 2

x 2

+

− x 2lim x 2 4→

= + =

• f est dérivable en x=2 et la pente de la droite tangente T est égale à 4. Remarque Il est possible de calculer la dérivée de cette même fonction f en un point a quelconque de :

2 2

x a x a

( x a )x af '( a ) lim limx a→ →

−−= =

−( x a )

x a+

− x alim x a 2a→

= + =

Pour un nombre a∈ nous savons donc que ( )f ' a 2a= .

Par exemple, si a = 2, nous retrouvons ( )f ' 2 4= .

Exemple 2

Considérons la fonction : g( x ) x= en a 1= .

x 1

x 1 0g '(1) =limx 1 0→

−=

−(indétermination)

Donc x 1

1

x 1 x 1g '(1) =limx 1 x 1→

=

− +⋅ =

− +

x 1

x 1lim→

−=

( )x 1− ( ) x 1

1 1lim2x 1x 1 →

= =+⋅ +

• g est dérivable en x=1 et la pente de la droite tangente T est égale à 12

.

Remarque

Il est possible de calculer la dérivée de cette même fonction g en un point a quelconque de *+ :

x a x a x a

1

x a x a x a 1 1g'( a ) lim lim limx a x a x a x a 2 a→ → →

=

− − += = ⋅ = =

− − + +

Pour un nombre *a +∈ nous savons donc que 1g'( a )2 a

= .

Par exemple, si a = 1, nous retrouvons ( ) 1g' 12

= .

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

6

8

10

y

f

T


Exemple 3

Considérons la fonction :2x 1 si x 0

h( x )2x 1 si x 0⎧ − ≤

= ⎨− >⎩

en a 0= .

Que vaut ( )h ' 0 = ? Dans ce cas, il faut calculer séparément les limites à gauche et à droite en x = 0 car h change d’expression précisément en x = 0.

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

x 0 x 0 x 0 x 0

x 0 x 0 x 0 x 0

x 1 0 1h( x ) h( 0 ) xh'( 0 ) lim lim lim lim x 0x 0 x 0 xh'( 0 )

2x 1 2 0 1h( x ) h( 0 ) 2xh'( 0 ) lim lim lim lim 2 2x 0 x 0 x

− − − −

+ + + +

−

→ → → →

+

→ → → →

⎧ − − −−= = = = =⎪⎪ − −= ⎨

− − ⋅ −−⎪ = = = = =⎪ − −⎩

Comme la limite à gauche est différente de la limite à droite, la limite n’existe pas et donc la fonction h n’est pas dérivable en x = 0. Remarque

h n'admet pas de tangente en x = 0 mais admet cependant une tangente à gauche et une tangente à droite en ce point : La tangente à gauche en x = 0,

0T − , est de pente nulle donc horizontale.

La tangente à droite en x = 0, 0

T + , est de pente 2 et confondue avec la demi-droite du graphique

de h. Activité

Considérons une fonction f définie par son graphique. En chacun des points indiqués, le graphique de f admet une tangente qui est tracée. En vous servant du quadrillage, compléter les égalités suivantes : ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f 4 f 3 f 0 f 4

f ' 4 f ' 3 f ' 0 f ' 4

− = − = = =

− = − = = =

-3 -2 -1 1 2 3x

-3

-2

-1

1

2

3

y

−0T

+0T

h

0 x

y

1

1

f

• •

••


Exercice 42

Considérons une fonction f définie par son graphique. En chacun des points indiqués, le graphique de f admet une tangente qui est tracée. En vous servant du quadrillage, compléter les égalités suivantes :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

g 3 g 1 g 1 g 4

g' 3 g' 1 g' 1 g' 4

− = − = = =

− = − = = =

Exercice 43

a) Représenter soigneusement le graphique de 2f ( x ) x 4x= − dans un repère orthonormé.

b) À partir du graphique obtenu, déterminer géométriquement ( ) ( ) ( )f ' 0 , f ' 2 et f ' 4 .

c) Calculer à l’aide de la définition de la dérivée : ( ) ( ) ( )f ' 0 , f ' 2 et f ' 4 . Établir les liens entre le signe de la dérivée f ' et la croissance, décroissance de f .

d) Calculer à l’aide de la définition de la dérivée : ( )f ' a pour un nombre réel a quelconque.

e) Déterminer graphiquement puis par calcul un nombre réel a tel que ( )f ' a 0= . Exercice 44

1) Considérons la fonction « valeur absolue » : x si x 0

f ( x ) xx si x 0

≥⎧= = ⎨− <⎩

a) Représenter f dans un repère orthonormé. (1 unité = 2 carrés)

b) Déterminer graphiquement puis par calcul f '( 0 )− et f '( 0 )+ . Que constatez-vous ?

c) Déterminer graphiquement f '( 2 )− et f '( 2 ) . Que constatez-vous ?

2) Considérons la fonction : ( ) ( )x 2 si x 2 0 x 2 si x 2

g( x ) x 2x 2 si x 2 0 x 2 si x 2− − ≥ − ≥⎧ ⎧⎪ ⎪= − = =⎨ ⎨− − − < − − <⎪ ⎪⎩ ⎩

Pour qu’elle(s) valeur(s) x= a la fonction g n’est pas dérivable ?

y

0 x1

1

g

•

•

•

•

•


1.5.2 Approximation polynomiale du premier ordre Proposition

Si f est dérivable en a

alors l’expression algébrique de la droite tangente T à f au point ( )( )a; f a

est donnée par : ( )T( x ) f '( a ) x a f ( a )= ⋅ − +

Illustration : Exemple

Soit 2f ( x ) x= ; on veut déterminer l'expression de la droite tangente T à f au point ( )( )2; f 2 . • a 2=

• 2 2

x 2 x 2

( x 2 )x 2f '( 2 ) lim limx 2→ →

−−= =

−( x 2 )

x 2+

− x 2lim x 2 4→

= + =

• T( x ) f '( 2 ) ( x 2 ) f ( 2 ) 4 ( x 2 ) 4 4x 4= ⋅ − + = ⋅ − + = −

Démonstration

i) L’expression d’une droite est du type ( )T x mx n = + (m la pente et n l'ordonnée à l'origine).

Si f est dérivable en a alors ( )f ' a existe et f '(a)= m (la pente de T ). Donc ( )T x f '(a) x n= ⋅ + .

ii) De plus, on sait que la droite tangente à f passe par le point ( )( )a; f a donc T(a) f (a)= . Déterminons la valeur de l’ordonnée n :

T(a) f (a) f '( a ) a n f (a) n f ( a ) f '( a ) a= ⇔ ⋅ + = ⇔ = − ⋅

iii) Conclusion : m n

T( x ) f '( a ) x f ( a ) f '( a ) a f '( a ) ( x a ) f ( a )= ⋅ + − ⋅ = ⋅ − +

f

T

T(a)=f(a)

a x

y

x

T(x)

-1 1 2 3 4 5x

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

f

T


Remarque *

La définition de la dérivée de f en a peut également s’écrire : h 0

f ( a h ) f ( a )f ' ( a ) limh→

+ −=

Illustration : Proposition * (approximation polynomiale du premier ordre de f )

Si f est dérivable en a

alors f ( a h ) f ( a ) f '( a ) h+ ≅ + ⋅ avec h proche de 0.

Démonstration *

h 0

f ( a h ) f ( a ) f ( a h ) f ( a )f ( a ) lim (f dérivable en a) f ( a ) ( si h est proche de 0 )h h→

+ − + −′ ′= ⇒ ≅

f '( a ) h f ( a h ) f ( a ) f ( a h ) f ( a ) f '( a ) h⇒ ⋅ ≅ + − ⇒ + ≅ + ⋅ Application *

On cherche une valeur approchée de 4,02 .

Avec l’approximation polynomiale du premier ordre nous pouvons écrire :

f ( a ) hf ( a h )f '( a )

1 14,02 4 0,02 4 0,02 2 0,02 2,00542 4

+

= + ≅ + ⋅ = + ⋅ =

tel que 1f ( x ) x ; f '( x ) ; a 4 ; h 0,022 x

= = = =

La valeur obtenue avec une calculatrice scientifique est 4,02 2,004993766≅ . Remarque *

Évaluons T en a+h , avec h proche de 0 :

T(a +h )= f '(a) (a +h - a)+ f(a)= f '(a) h + f(a) f(a +h )⋅ ⋅ ≅

Donc, dans un voisinage de a, le graphique de f est « proche» de la tangente T à f au point ( )( )a; f a .

f

T f(a+h)

f(a)

a a+h

h>0

x

y

S

f(a+h)−f(a)


Exercice 45

Soit la fonction f définie par 2f ( x ) x 4x 4= − +

a) A l’aide de la définition de la dérivée, calculer f '( 1)− .

b) Déterminer l’équation de la tangente à f passant par le point ( )P 1 ;9− .

c) Déterminer par calcul les points pour lesquels la tangente à f est horizontale. Indication : calculer d’abord f '( a ) . Exercice 46

Considérons la fonction ( ) 2f x x 2x 8 = − − dont le graphique est une parabole.

Donner l'équation de :

a) la tangente touchant la parabole au point ( )3; 5− .

b) la tangente à la parabole dont la pente égale 2. (Donner également le point de contact de la tangente avec la parabole).

c) la tangente horizontale à la parabole. Indication : calculer d’abord f '( a ) . Exercice 47 *

On considère la fonction ( ) 2f x ax bx c = + + .

Déterminer, en utilisant le calcul différentiel, la valeur x0 pour laquelle la fonction f possède une tangente horizontale à son graphique. Exercice 48 *

Soient ( ) 2f x 4 x= − et ( ) ( )2g x x 2= − deux fonctions.

a) Calculer le point a pour lequel f et g admettent des tangentes parallèles. (le même a pour f et g)

b) Calculer les équations de ces tangentes.

c) Représenter f, g et les tangentes mentionnées. (repère orthonormé)

d) Que représente graphiquement la solution de l'équation ( )f ' a 0 = et ( )g’ a 0 = ?

e) Existe-t-il un point a pour lequel f et g admettent des tangentes perpendiculaires ? (Il n'est pas demandé de calculer les équations de ces tangentes !) Exercice 49 *

On considère la fonction ( ) 2f x x= .

Quelles sont les tangentes à f qui contiennent le point ( )P 1;–3 .


Exercice 50 *

Sur un écran de jeu vidéo que montre la figure, on peut voir un avion qui descend de gauche à droite

en suivant la trajectoire 1f ( x ) 1x

= + et qui tire des balles selon la tangente de leur trajectoire en

direction de cibles placées sur l’axe des x aux abscisses x = 1, 2, 3, 4 et 5. Est-ce qu’une cible sera touchée si le joueur tire au moment où l’avion est en

a) ( )P 1;2 ? b) 3 5P ; 2 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

?

Exercice 51 *

a) A l’aide de l’approximation polynomiale du premier ordre, calculer une valeur approchée de :

1) 1,02 2) 25,3 3) ( )24,001 4) 21,99

b) Comparer le résultat obtenu avec votre calculatrice scientifique.


1.5.3 Fonction dérivée Définitions

i) Si une fonction est dérivable en tout point d'un intervalle ouvert ] [I c;d= ,

on dit que f est dérivable sur ] [;=I c d .

ii) Si f est dérivable sur I, la fonction dérivée de f est : f ' : I

x f ( x )→

′→

Autres notations : x 0

dy yf ( x ) y ( x ) limdx xΔ

ΔΔ→

′ ′= = =

Exemples

a) 2

f :x x f ( x )

→

→ = Calcul de :

2 2

x a x a

( x a )x af '( a ) lim limx a→ →

−−= =

−( x a )

x a+

− x alim x a 2a→

= + =

f est donc dérivable sur ; le domaine de définition de f ’ est .

La fonction dérivée de f est : f ' :

x 2x f '( x )→→ =

b) g :

x x g( x )+ →

→ = Calcul de :

x a x a x a

1

x a x a x a 1 1g'( a ) lim lim limx a x a x a x a 2 a→ → →

=

− − += = ⋅ = =

− − + +

g est donc dérivable sur *+ ; le domaine de définition de g’ est *

+ .

La fonction dérivée de g est :

*g' :1x g'( x )

2 x

+ →

→ =

Illustrations

-1 1 2 3 4x

-1

1

2

3y

-2 -1 1 2x

-2

-1

1

2

y

g ’

g

f f ’


Exercice 52

Considérons les fonctions : f ( x ) 2x 7= − + ; 1g( x )x

= ; 3h( x ) x=

a) Calculer f ’ la fonction dérivée de f .

b) Pour quelle(s) valeur(s) de x la fonction f n’est elle pas dérivable ?

c) Indiquer le domaine de définition de f ’.

d) Représenter sur le même repère orthonormé f et f ’. Que remarque-t-on ?

e) Mêmes questions mais pour les fonctions g et h.

Exercice 53

a) Calculer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes :

( ) ( ) ( ) ( )2 3 41 2 3 4f x x ; f x x ; f x x ; f x x= = = =

b) Quelle conjecture (affirmation que l'on pense être vraie) peut-on faire quant à la dérivée de xn ? (La réponse désirée est la formule : ( )nx ' .......... = )

c) Vérifier cette conjecture pour 1n 1, n 0 et n 2

= − = = à partir de la définition de la dérivée.


1.5.4 Relation entre continuité et dérivabilité

Théorème

Soit f une fonction définie au voisinage de a.

Si f est dérivable en a alors f est continue en a.

Exemples a) La fonction 2f ( x ) x= est dérivable sur car f '( x ) 2x= .

f est alors continue sur .

b) La fonction g( x ) x= est dérivable sur *+ car 1g'( x )

2 x= .

g est alors continue sur *+ .

c) La fonction 1h( x )x

= est dérivable sur * car 21h'( x )x

= − .

h est alors continue sur * . Démonstration

Supposons que x a

f ( x ) f ( a )f ( a ) limx a→

−′ =−

existe et ∈ ( f dérivable en a ) et montrons

que x alim f ( x ) f ( a )→

= ( f continue en a ).

Nous avons :

( )f ( x ) f ( a )f ( x ) x a f ( a ) x ax a−

= ⋅ − + ∀ ≠−

« astuce » algébrique

( )x a x a

f ( x ) f ( a )lim f ( x ) lim x a f ( a )x a→ →

−⎛ ⎞⇔ = ⋅ − +⎜ ⎟−⎝ ⎠ passage à la limite

( )x a x a x a x a

f ( x ) f ( a )lim f ( x ) lim lim x a lim f ( a )x a→ → → →

−⎛ ⎞⇔ = ⋅ − +⎜ ⎟−⎝ ⎠ propriétés 4) et 5) des limites

x alim f ( x ) f '( a ) 0 f ( a )→

⇔ = ⋅ + f dérivable en a , x - a est continue et f(a) constante

x alim f ( x ) f ( a )→

⇔ =

Ce qui montre bien que la fonction f est continue en x = a.

Remarque

Voici la contraposée du théorème ci-dessus :

« Si f n’est pas continue en a alors f n’est pas dérivable en a . »

fct. continues

fct. dérivables

fonctions


Remarque La réciproque de ce théorème, c'est-à-dire :

« Si f est continue en a alors f est dérivable en a » n'est pas toujours vraie.

Voici un contre-exemple :

Considérons la fonction valeur absolue x si x 0

f ( x ) xx si x 0

≥⎧= = ⎨− <⎩

Cette fonction est continue en a = 0, par contre elle n’est pas dérivable en a = 0.

En effet :

• x 0

x 0x 0

lim x 0donc lim x 0 0

lim x 0+

−

→

→→

=⎧⎪ = =⎨ − =⎪⎩ ⇒ f est continue en a = 0

• x 0 x 0

x 0 x 0

x 0 x 0

xlim lim 1 1x 0 x xf '( 0 ) lim limxx 0 x lim lim 1 1

x

+ +

− −

→ →

→ →

→ →

⎧ = =⎪− ⎪= = = ⎨ −− ⎪ = − = −⎪⎩

Comme la limite à gauche est différente de la limite à droite, la limite n’existe pas et donc f n’est pas dérivable en a = 0. Graphiquement, cela correspond à deux tangentes possibles au point ( )( )0; f 0 de pente 1 et -1 .

Remarque importante

f définie en x a= ⇒( )1

f continue en x a= ⇒( )2

f dérivable en x a=

( ) ( )3 4f dérivable en x a f continue en x a f définie en x a= ⇒ = ⇒ =

( )1 Voir contre-exemple page 45 ( )2 Voir contre-exemple page 61

( )3 Voir théorème page 69 ( )4 Voir définition page 43

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

y

f

T0+ T0

-


Exercice 54

a) Est-ce que les fonctions suivantes sont continues en a = 1 ? dérivables en a = 1 ? Justifier.

2f ( x ) x x= + 2

2x 1 si x 1g( x )

x si x 1− ≥⎧

= ⎨<⎩

2

3

x si x 1h( x )

x si x 1

⎧ ≥⎪= ⎨<⎪⎩

( )x 1 si x 1 0

j( x ) x 1x 1 si x 1 0− − ≥⎧⎪= − = ⎨− − − <⎪⎩

b) Existe-t-il un lien entre continuité et dérivabilité ? Exercice 55

Déterminer l’expression algébrique d’une fonction « simple » et qui :

a) est dérivable en a = 2 et continue en a = 2.

b) est continue en a = 2 et dérivable en a = 2.

c) n’est pas dérivable en a = 2 et continue en a = 2.

d) n’est pas continue en a = 2 et dérivable en a = 2.

e) n’est pas continue en a = 2 et pas dérivable en a = 2.


1.5.5 Règles de dérivation Le but de ce paragraphe est d'énoncer et de démontrer certaines formules qui vont nous permettre d’obtenir rapidement la dérivée de nombreuses fonctions sans passer par un calcul de limite. Règles de dérivation

1) ( )' = 0 λ λ∀ ∈ (f(x) = λ) 2) ( )f (x) = f '(x) λ λ λ′⋅ ⋅ ∀ ∈

3) ( )f g (x) = f '(x) g'(x)′+ + 4) ( )f g (x) = f '(x) g'(x)′− −

5) ( )f g (x) = f '(x) g(x) + f(x) g'(x)′⋅ ⋅ ⋅ 6) 21 f ( x )( x )f f ( x )

′ ′⎛ ⎞ −=⎜ ⎟

⎝ ⎠

7) 2f f '( x ) g( x ) f ( x ) g'( x )( x )g g ( x )

′⎛ ⎞ ⋅ − ⋅=⎜ ⎟

⎝ ⎠ 8) ( )g f ( x ) ( g f )( x ) f ( x )′ ′ ′= ⋅

Dérivées des fonctions usuelles

9) ( )n n 1x n x n−′ = ⋅ ∀ ∈ 10) ( )sin( x ) cos( x )′ =

11) ( )cos( x ) sin( x )′ = − 12) ( ) 221tan( x ) 1 tan ( x )

cos ( x )′ = = +

13) ( )x xe e′ = 14) ( ) 1ln( x )x

′ =

Exemples

a) ( ) ( ) ( ) ( )2 23x 5x 7 ' 3x ' 5x ' 7 '− + = + − + dérivée de f + g (3)

( ) ( )( ) ( )2 3 x ' – 5 x ' 7 '= + + dérivée de λ⋅ f (2)

( )= 3 2x – 5 1 0 ⋅ + ⋅ + (xn)' = n ⋅ xn – 1 (9) et (cte)’ = 0 (1) 6 x 5= −

b) ( ) ( )2 22

2

x ( 2x 1) x 2x 1x2x 1 ( 2x 1)

′ ′′ ⋅ + − ⋅ +⎛ ⎞=⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

dérivée de f / g (7)

2

22x( 2x 1) x 2

( 2x 1)+ − ⋅

=+

(xn)' = n ⋅ xn – 1 (9) et dérivée de f + g (3)

22x( x 1)( 2x 1)

+=

+ algèbre


Remarques

i) Les formules énoncées ci-dessus, et bien d’autres, se trouvent dans la table C.R.M.

ii) Il est aussi possible de montrer que ( )23x 5x 7 6 x 5′− + = − et 2

2x 2x( x 1)

2x 1 ( 2x 1)

′⎛ ⎞ +=⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

avec la définition de la dérivée mais c’est beaucoup plus long.

c) Rappel : aa

1xx

− =

( ) ( )( )( 2 ) ( 9 )

1 22

7 1 1 77 7 7 x 7 1 xx x x x

− −′ ′ ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

d) Rappel : aa

1xx

− =

( ) ( )( 9 )

2 32 3

1 2x 2 xx x

− −′⎛ ⎞ ′= = − ⋅ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ ou aussi

( )( )

2( 6 ) ( 9 )

22 4 32

x1 2x 2x x xx

′′ −⎛ ⎞ = = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

e) Rappel : p

q pqx x=

( )2 2 1( 9 ) 123 3 3 3

3

2 2 2x x x x3 3 3 x

− −′⎛ ⎞′

= = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

f) ( ) ( )

( )( )x 2 x 2 xx x 2 x( 7 ) ( 9 )

22 4 42 ( 13 )

e x e x e x x 2e e x 2xex x xx

′ ′′ ⋅ − ⋅ −⎛ ⎞ −= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

g) ( ) ( )66f(x) = 4x 3 et g(x) = x g f ( x ) g( f ( x )) 4x+3+ ⇒ = =

( ) ( ) ( ) ( )( 8 ) 5 55f (x) = 4 et g (x) = 6 x g f ( x ) g f ( x ) f ( x ) 6 4x 3 4 24 4x 3′′ ′ ′ ′⇒ = ⋅ = + ⋅ = +

h) ( )f(x) = 4x 3 et g(x) = x g f ( x ) g( f ( x )) 4x+3+ ⇒ = =

( ) ( )( 8 )1 1 2f (x) = 4 et g (x) = g f ( x ) g f ( x ) f ( x ) 4=

2 x 2 4x 3 4x 3′′ ′ ′ ′⇒ = ⋅ = ⋅

+ +

Nous allons maintenant démontrer ces formules !

4x+3

(4x+3)6

g f

x g f

4x+3

4x 3+

g f

x g f


1) Dérivée d’une fonction constante Définition

Une fonction constante est une fonction de la forme : f(x)= x et fixéλ λ∀ ∈ ∈ Énoncé

Si f(x)=λ est une fonction constante alors ( )' 0 λ λ= ∀ ∈

Démonstration

A l’aide de la définition de la dérivée : x a x a x a

f ( x ) f ( a )f ( a ) lim lim lim0 0x a x a

λ λ→ → →

− −′ = = = =− −

Remarque

Comme le graphique d’une fonction constante est une droite horizontale, il est évident graphiquement qu’une tangente en un point de cette droite (qui se confond avec elle) est de pente nulle ! 2) Dérivée du produit d’un nombre réel et d’une fonction Définition

Le produit d’un nombre réel λ et d’une fonction f est une nouvelle fonction notée λ ⋅ f définie par ( ) ( ) ( )f x f xλ λ⋅ = ⋅ Énoncé

Si f est dérivable en a et si λ ∈ ,

alors la fonction λ ⋅ f est aussi dérivable en a et ( ) ( ) ( )f ' a f ' aλ λ⋅ = ⋅ .

Démonstration

( ) ( )x a

x a

x a

x a

f ( x ) ( f )( a )f '( a ) lim définition de la dérivée de f

x af ( x ) f ( a )lim définition de la fonction f

x af ( x ) f ( a )lim algèbre

x af ( x ) f ( a )lim propriétés des limites

x af '( a ) la lim

λ λλ λ

λ λ λ

λ

λ

λ

→

→

→

→

⋅ − ⋅⋅ = ⋅

−⋅ − ⋅

= ⋅−−

= ⋅−−

= ⋅−

= ⋅ ite existe car f est dérivable en a.

y

x

f λ •


3) Dérivée de la somme de deux fonctions Définition

La somme de deux fonctions f et g est une nouvelle fonction notée f + g définie par ( ) ( ) ( )f g ( x ) f x g x+ = + Énoncé

Si f et g sont deux fonctions dérivables en a,

alors la fonction f + g est aussi dérivable en a et ( ) ( ) ( ) ( )f g ' a f ' a g ' a+ = + .

Autrement dit : « La dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées des fonctions ». Démonstration

( ) ( )x a

( f g )( x ) ( f g )( a )f g ' a limx a→

+ − ++ =

− définition de la dérivée de f + g

= x a

f ( x ) g( x ) f ( a ) g( a )limx a→

+ − −−

définition de la fonction f + g

= x a

f ( x ) f ( a ) g( x ) g( a )limx a x a→

− −⎛ ⎞+⎜ ⎟− −⎝ ⎠ algèbre

= x a x a

f ( x ) f ( a ) g( x ) g( a )lim limx a x a→ →

− −+

− − propriétés des limites

= ( ) ( )f ' a g ' a+ . les deux limites existent car f et g sont dérivables en a. 4) Dérivée de la différence de deux fonctions Définition La différence de deux fonctions f et g est une nouvelle fonction notée f g − définie par ( f g )( x ) f ( x ) g( x )− = − Énoncé


alors la fonction f g− est aussi dérivable en a et ( ) ( ) ( ) ( )f g ' a f ' a g' a− = − .

Autrement dit : « La dérivée d'une différence de fonctions est la différence des dérivées des fonctions ». Démonstration En exercice.


5) Dérivée du produit de deux fonctions Définition Le produit de deux fonctions f et g est une nouvelle fonction notée f ⋅ g définie par ( f g )( x ) f ( x ) g( x )⋅ = ⋅ Énoncé


alors la fonction f ⋅ g est aussi dérivable en a et ( )f g '( a ) f '( a ) g( a ) f ( a ) g'( a )⋅ = ⋅ + ⋅ .

Démonstration

( ) ( )x a

( f g )( x ) ( f g )( a )f g ' a limx a→

⋅ − ⋅⋅ =

− définition de la dérivée de f ⋅ g

= x a

f ( x ) g( x ) f ( a ) g( a )limx a→

⋅ − ⋅−

définition de la fonction f ⋅ g

=

0

x a

f ( x ) g( x ) f ( a ) g( x ) f ( a ) g( x ) f ( a ) g( a )limx a

=

→

⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅−


= x a

f ( x ) f ( a ) g( x ) g( a )lim g( x ) f ( a )x a x a→

− −⎛ ⎞⋅ + ⋅⎜ ⎟− −⎝ ⎠ algèbre

= x a x a x a x a

f ( x ) f ( a ) g( x ) g( a )lim lim g( x ) lim f ( a ) limx a x a→ → → →

− −⋅ + ⋅

− − = propriétés des limites

( ) ( ) ( ) ( ) f ' a g a f a g' a= ⋅ + ⋅ cf. (*) (*) f et g sont dérivables en a ce qui prouve l'existence des 1ere et 4e limites. Comme g est dérivable en a, elle est forcément continue en ce point ce qui prouve l'existence de la 2e limite. ("limite = image"). f(a) est une constante et les constantes sont des fonctions continues. La 3e limite existe donc aussi.

Remarque

La dérivée d'un produit de fonctions n'est pas le produit des dérivées des fonctions.

Autrement dit : en général ( ) ( ) ( ) ( )f g ' a f ' a g' a⋅ ≠ ⋅


6) Dérivée de l'inverse d'une fonction

Définition La fonction 1f

est définie par 1 1(x)=f f(x)

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

et est appelée l'inverse de f.

Énoncé

Si f est dérivable en a et si ( )f a 0≠ ,

alors la fonction 1f

est aussi dérivable en a et ' '

2

1 f ( a )( a )f f ( a )

⎛ ⎞ −=⎜ ⎟

⎝ ⎠

Démonstration

'

x a

1 1( x ) ( a )f f1 ( a ) lim

f x a→

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=⎜ ⎟ −⎝ ⎠

définition de la dérivée de 1 / f

= x a

1 1f ( x ) f ( a )lim

x a→

−

− définition de la fonction 1 / f

= x a

f ( a ) f ( x )f ( x ) f ( a )lim

x a→

−⋅−

algèbre

= x a

( f ( x ) f ( a )) 1limx a f ( x ) f ( a )→

⎛ ⎞− −⋅⎜ ⎟− ⋅⎝ ⎠

algèbre

= x a x a

f ( x ) f ( a ) 1lim limx a f ( x ) f ( a )→ →

−− ⋅

− ⋅ propriétés des limites

= 21 f '( a )f '( a )

f ( a ) f ( a ) f ( a )− ⋅ = −

⋅ La 1e limite existe car f est dérivable en a.

La 2e limite existe car f est continue en a.

Remarque

La dérivée de l’inverse d’une fonction n'est pas l’inverse de la dérivée de f .

Autrement dit : en général 1 1( a )f f ( a )

′⎛ ⎞≠⎜ ⎟ ′⎝ ⎠


7) Dérivée du quotient de deux fonctions

Le quotient de f et g est une nouvelle fonction notée fg

définie par f f ( x )( x )g g( x )

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

Énoncé

Si f et g sont deux fonctions dérivables en a et si g(a) ≠ 0

alors la fonction fg

est aussi dérivable en a et '

2f f '( a ) g( a ) f ( a ) g'( a )( a )g g ( a )

⎛ ⎞ ⋅ − ⋅=⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Exemple

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

' ' '

2 2 2

3x 1 x 1 3x 1 x 1 3 x 1 3x 1 13x 1 2x 1 x 1 x 1 x 1

+ ⋅ + − + ⋅ + ⋅ + − + ⋅⎛ ⎞+= = =⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠

Remarques

a) La dérivée d'un quotient de fonctions n'est pas le quotient des dérivées des fonctions.

Autrement dit : en général f f ( a )( a )g g ( a )

′ ′⎛ ⎞≠⎜ ⎟ ′⎝ ⎠

b) Si ( )f x 1 x= ∀ ∈ alors ( )' '

2 2 2

1 g( a ) 1 g'( a )1 0 g( a ) 1 g'( a ) g'( a )( a )g g ( a ) g ( a ) g ( a )

⋅ − ⋅⎛ ⎞ ⋅ − ⋅= = = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Démonstration

Comme la fonction fg

est égale à la fonction 1fg⋅ , il est possible de démontrer cette

nouvelle formule en utilisant les résultats précédents (dérivées du produit et de l'inverse).

f 1( a ) f ( a )g g

′ ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ algèbre

= 1 1f ( a ) ( a ) f ( a ) ( a )g g

′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dérivée du produit et f dérivable en a

= 21 g'( a )f '( a ) f ( a )

g( a ) g ( a )−

⋅ + ⋅ dérivée et définition de l'inverse

et g dérivable en a

= 2f '( a ) g( a ) f ( a ) g'( a )

g ( a )⋅ − ⋅ algèbre


8) Dérivée de la composition de deux fonctions Définition

La fonction g°f est la fonction composée des deux fonctions f et g et définie par ( )( ) ( )( )g f x g f x= . Énoncé

Si f est dérivable en a et si g est dérivable en f(a),

alors la fonction g f est dérivable en a et ( )g f '( a ) ( g' f )( a ) f '( a )= ⋅

Exemples

a) ( )( ) ( )( ) ( )

( )' f ' x1f x f ' x

2 f x 2 f x= ⋅ = c) ( )( ) ( ) ( )

'f x f xe e f ' x= ⋅

b) ( )( )( ) ( )( ) ( )'n n 1

f x n f x f ' x−

= ⋅ ⋅ d) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

' f ' x1ln f x f ' xf x f x

= ⋅ =

Démonstration *

( )x a

( g f )( x ) ( g f )( a )g f '( a ) limx a→

−=

− définition de la dérivée de g f

= ( ) ( )x a

g f ( x ) g f ( a )lim

x a→

−−

définition de la fonction g f

= ( ) ( )x a

1

g f ( x ) g f ( a ) f ( x ) f ( a )limx a f ( x ) f ( a )→

=

⎛ ⎞⎜ ⎟− −

⋅⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠


= ( ) ( )x a

g f ( x ) g f ( a ) f ( x ) f ( a )limf ( x ) f ( a ) x a→

−⎛ ⎞−⋅⎜ ⎟− −⎝ ⎠

algèbre

= ( ) ( )x a x a

g f ( x ) g f ( a ) f ( x ) f ( a )lim limf ( x ) f ( a ) x a→ →

− −⋅

− − propriétés des limites

= ( ) ( )y f ( a ) x a

g y g f ( a ) f ( x ) f ( a )lim limy f ( a ) x a→ →

− −⋅

− − Substitution : y = f(x)

et x a y f(a)→ ⇒ → car f est continue en a

( )( ) ( )g' f a f ' a= ⋅ cf. (*)

(*) Les deux limites existent par hypothèse du théorème. En effet, la 2e limite existe car f est dérivable en a. La 1re limite existe car g est dérivable en f(a).

f(x)

g(f(x))

g f

x gof


9) Dérivée de la fonction f(x) = x n Comme le suggère un exercice précédent, la dérivée de la fonction ( ) nf x x= est ( ) n–1f ' x n x= ⋅ . Nous allons démontrer ce résultat en 4 temps : i) lorsque n = 0

ii) lorsque n est un entier positif, ( )*n∈

iii) lorsque n est un entier négatif, ( )*n −∈

iv) lorsque n est un rationnel. ( )n∈

Il est possible de démontrer que cette formule reste vraie lorsque l'exposant est un nombre irrationnel. Mais nous ne le ferons pas dans ce cours. La deuxième des quatre démonstrations se fera par récurrence. Le principe de récurrence est le suivant :

Considérons une affirmation (une formule par exemple) qui dépend d'un entier positif n.

Si nous parvenons à démontrer que : 1) l'affirmation est vraie pour n = 1,

2) si l'affirmation est vraie pour un certain entier (n) alors elle l'est aussi pour l'entier suivant, (n + 1),

alors cette affirmation est forcément vraie pour chaque nombre entier positif. En effet, comme elle est vraie pour n = 1 et pour l'entier suivant, elle est vraie pour n = 2. Comme elle est vraie pour n = 2 et pour l'entier suivant, elle est vraie pour n = 3. etc. Énoncé i)

Si ( ) 0f x x 1= = alors ( ) 0–1f ' x 0 x 0= ⋅ = x∀ ∈

Démonstration x a x a x a

f ( x ) f ( a ) 1 1f '( a ) lim lim lim 0 0x a x a→ → →

− −= = = =

− −

Énoncé ii)

Si ( ) nf x x= alors ( ) n–1f ' x n x= ⋅ *x et n∀ ∈ ∀ ∈

Démonstration (par récurrence)

Il s'agit de prouver que : 1) l’énoncé est vrai pour n = 1.

2) si l’énoncé est vrai pour n, alors il l'est aussi pour n + 1.

1) Pour n = 1 on a, d’après la formule : Si ( ) 1f x x x= = alors ( ) 1 – 1f ' x 1 x 1= ⋅ = .

Vérifions : x a x a x a

f ( x ) f ( a ) x af '( a ) lim lim lim1 1x a x a→ → →

− −= = = =

− − .


2) Supposons donc l’énoncé vrai pour n.

( ) ( )' 'n 1 nx x x+ = ⋅ algèbre

( ) ( )'' n nx x x x= ⋅ + ⋅ dérivée de f⋅ g (5)

n n – 11 x x n x= ⋅ + ⋅ ⋅ formule valable pour n et pour 1 n n x n x= + ⋅ algèbre

( ) nn 1 x= + ⋅ algèbre

( ) ( )n+1 1n 1 x −= + ⋅ algèbre

L’énoncé est alors aussi vrai pour n + 1 donc pour tout entier positif.

Finalement, ( )'n n – 1x n x= ⋅ *x et n∀ ∈ ∀ ∈

Énoncé iii)

Si ( ) nf x x= alors ( ) n–1f ' x n x= ⋅ * *x et n −∀ ∈ ∀ ∈

Remarques

a) Lorsque l'exposant est un entier négatif, le domaine de f est * . ( p.ex. : 33

1xx

− = )

b) La démonstration se fera en utilisant la dérivée de l'inverse et la formule pour n∈ . Démonstration

Ne pas oublier que n est un entier strictement négatif et que n− est un entier strictement positif.

( )'

nn

1x 'x−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

algèbre

n

n 2( x )'

( x )

−

−

−= dérivée de 1

f (6)

n 1

2n( nx )

x

− −

−

− −= ( )n n – 1x ' n x= ⋅ (9.ii) car – n est un entier positif

–n–1 2n n x x= ⋅ ⋅ algèbre

–n–1 2nn x += ⋅ algèbre

n – 1n x= ⋅ algèbre Finalement, ( )n n – 1x ' n x= ⋅ * *x et n −∀ ∈ ∀ ∈

L’énoncé est maintenant démontré pour tout entier n relatif . ( n∀ ∈ )


Énoncé iv)

Si ( ) nf x x= alors ( ) n–1f ' x n x= ⋅ *x et n+∀ ∈ ∀ ∈

Remarques

1) Lorsque l'exposant est rationnel, le domaine de f peut être *+ . ( p. ex. :

12

1xx

− = )

2) La démonstration se fera en utilisant la dérivée de la composition de fonctions et la formule pour n∈ . Démonstration

Si n est un nombre rationnel, il peut s'écrire sous forme d'une fraction. Posons pnq

= .

Pour démontrer que p p 1q qpx x

q

−′⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠, nous allons dériver la fonction

qpqx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

de deux façons

différentes.

q q 1p p pq q qx q x x = (*)

−′ ′⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

dérivée de g f (8) et ( )q q–1x ' q x= ⋅ (9)

( )qp

p p 1qx = x = px = (**)−

′⎡ ⎤⎛ ⎞ ′⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ algèbre et ( )p p–1x ' p x= ⋅ (9)

Comme (*) = (**), nous obtenons une équation dans laquelle apparaît la dérivée de pqx :

q 1 'p p

p 1q qq x x px−

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

reste à isoler 'p

qx⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

'p p 1q

q 1pq

pxx

q x

−

−

⎛ ⎞⇔ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

et à réduire l'expression obtenue.

( )

q 1pp 1 q

' p 1 qp p pp 1 p 1p 1q q q q

px xp p px x x x x

q q q q

− +

−−

− + − −−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⇔ = = = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Finalement, ( )n n–1x ' nx= n∀ ∈

Remarque L’énoncé reste vrai lorsque l'exposant est irrationnel. p. ex : ( ) –1x ' xπ ππ=


Dérivée des fonctions trigonométriques Énoncé

10) ( )sin( x ) cos( x ) x′ = ∀ ∈

Démonstration Rappel : x a h 0

f ( x ) f ( a ) f ( a h ) f ( a )f '( a ) lim limx a h→ →

− + −= =

−

h 0

sin( a h ) sin( a )sin ( a ) limh→

+ −′ = définition de la dérivée

h 0

sin( a )cos( h ) cos( a )sin( h ) sin( a )limh→

+ −= relation trigonométrique :

sin(α+ β)= sin(α) cos(β)+cos(α) sin(β)⋅ ⋅

[ ]h 0

cos( a )sin( h ) sin( a ) cos( h ) 1lim

h→

+ −= mise en évidence

h 0

sin( h ) cos( h ) 1lim cos( a ) sin( a )h h→

−⎡ ⎤= ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ algèbre

( )h 0 h 0 h 0 h 0

1 0

cos( h ) 1sin( h )lim cos( a ) lim lim sin( a ) limh h→ → → →

= =

−= ⋅ + ⋅ propriétés des limites

cos( a ) 1 sin( a ) 0= ⋅ + ⋅ proposition sur les limites des fonctions trigonométriques

cos( a )= Énoncé

11) ( )cos( x ) sin( x ) x′ = − ∀ ∈

Démonstration

( )cos x sin x2π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

relation trigonométrique

( )( )'

'cos x sin x

2π⎛ ⎞⎛ ⎞⇔ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

on dérive de chaque côté de l’égalité

( )( )'

'

1

cos x cos x x2 2π π

= −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ = − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dérivée de g f (8)

( )( ) ( ) ( ) ( )'cos x sin x 1 sin x⇔ = ⋅ − = − relation trigonométrique


Énoncé

12) ( ) 221tan( x ) 1 tan ( x ) x \ k k

cos ( x ) 2π π⎧ ⎫′ = = + ∀ ∈ + ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

Exemples

a) ( ) ( ) ( ) ( )3cos( 2x ) 3 cos( 2x ) 3 sin( 2x ) ( 2x ) 3 sin( 2x ) 2 6 sin( 2x )′ ′ ′= = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅

b) ( ) ( )2 22 2

2 2

x sin( x ) x sin( x )x 2x sin( x ) x cos( x )sin( x ) sin ( x ) sin ( x )

′ ′′ −⎛ ⎞ −= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

c) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2 2

1 2xtan x tan x xcos x cos x

′ ′ ′= = ⋅ =

Démonstration

On connaît la relation trigonométrique : sin( x )tan( x )cos( x )

= .

On peut appliquer la règle de dérivation du quotient :

( )

( )

( ) ( )7 10

2 211

cos( x ) cos( x ) sin( x ) sin( x )sin( x ) sin ( x ) cos( x ) sin( x ) cos ( x )tan ( x )cos( x ) cos ( x ) cos ( x )

′ ⋅ − ⋅ −′ ′⎛ ⎞ ⋅ − ⋅′ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

22 2

22 2 22

2 2

car cos (x)+ sin (x) = 1)1 (

cos ( x )cos ( x ) sin ( x )cos ( x ) cos ( x ) sin ( x ) sin( x )1 1 tan ( x )

cos ( x ) cos ( x ) cos( x )

⎧⎪

+ ⎪= = ⎨⎛ ⎞⎪ + = + = +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

Dérivée des fonctions logarithmes et exponentielle naturel Énoncé

13) ( )x xe e′ =

14) ( ) 1ln( x )x

′ =

Exemples

a) ( ) ( )3x 2 3x 2 3x 2e e 3x 2 3 e+ + +′ ′= ⋅ + = ⋅ b) ( )( ) ( )2 22 21 2xln x 1 x 1

x 1 x 1′ ′+ = ⋅ + =

+ +

Démonstration

La démonstration n’est pas proposée dans ce chapitre, mais dans celui qui traite spécifiquement de ces deux fonctions.


Exercice 56

Calculer à l'aide des règles de dérivation la dérivée des fonctions suivantes et simplifier si possible. 1.1) 3f ( x ) 4 x= 1.2) 2f ( x ) x x 1= − − 1.3) 7 9f ( t ) 5 t 3t= − +

1.4) 4 3 2f ( y ) y 5 y y= − + 1.5)3x 4f ( x )5+

= 1.6)22 xf ( x )

3−

=

1.7)7

3 x xf ( x ) 6 x8−

= − 1.8)6

41 xf ( x ) 3 x4−

= − 1.9) 3f ( t )t

=

1.10) 22f ( x )x

= − 1.11) 22 1f ( m )m 5m

= − 1.12) 3 44 3f ( x )x x

= +

1.13)3

2x xf ( x )

x−

= 1.14)4

35z 8f ( z )

2 z+

=

2.1) 23f ( x ) x= 2.2) 7f ( t ) 6 t= − ⋅ 2.3) 3f ( x ) x x= ⋅

2.4)2 34x xf ( x )

5⋅

= 2.5) 3f ( y ) y y= + 2.6) f ( x ) 2 3= ⋅

3.1) ( )f ( x ) x 3x 1= ⋅ − 3.2) ( )2f ( x ) 4x 1 x= − ⋅ − 3.3) ( )2f ( x ) x 5x 3= ⋅ −

3.4) ( ) ( )f ( t ) 4 3t 1 1 2t= ⋅ − ⋅ − 3.5) ( )32f ( x ) 1 x= − 3.6)( )23x 4x

f ( x )7+

=

3.7) ( )42f ( x ) 3 2x x= + − 3.8) ( )103f ( z ) 5 2z= − 3.9) 1f ( t )t 3

=−

3.10)( )2

1f ( x )x 3

=−

3.11)( )68

8f ( x )x x−

=+

3.12) ( )94f ( x ) x x x 1= ⋅ + +

4.1) x 7f ( x )2 x+

=−

4.2) 5w 3f ( w )1 2w

−=

− 4.3)

2

2x 1f ( x )x 1−

=+

4.4)2

24x 9f ( x )x 3

−=

+ 4.5)

3u 2f ( u )1 7u

+=

− 4.6) ( )

2

2x 6f x

x x 2−

=+ +

5.1) ( )3f ( x ) sin x= 5.2) ( )4f ( t ) 2 sin t= − ⋅ 5.3) ( )f ( x ) x cos x= ⋅

5.4) ( )3x cos xf ( x )

7⋅

= − 5.5) ( )2 3f ( x ) 5 cos xx

= ⋅ − 5.6) ( ) ( )3f ( y ) 1 y sin y= + ⋅

5.7) ( ) ( )2 2f ( x ) sin x cos x= + 5.8) ( ) ( )2 2f ( x ) sin x cos x= − 5.9) ( ) ( )f ( x ) 2 sin x cos x= ⋅ ⋅


Suite exercice 56

6.1)( )

1f ( t )sin t

= 6.2)( )2

1f ( x )cos x

= 6.3)( )3

1f ( x )sin x

=

6.4) ( )( )

2

2

sin xf ( x )

cos x= 6.5)

( )2f ( x )

tan x= 6.6)

( )28f ( z )

cos z−

=

7.1) ( )f ( x ) sin 2x= 7.2) xf ( x ) cos3

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

7.3) ( )2f ( x ) sin 1 x= +

7.4) ( )f ( t ) tan 3t= 7.5) ( )3f ( x ) sin 4x= 7.6) ( )2f ( x ) 3 cos x 1= ⋅ −

7.7) f ( x ) 2x 1= + 7.8) 2f ( n ) 3 n 4n 5= ⋅ + − 7.9)2

1f ( x )3x 1

=−

7.10)2

8f ( x )8x 2

=+

7.11) ( )f ( x ) sin x= 7.12) ( )f ( x ) sin 2x=

8.1) 3x 2f ( x ) e += 8.2)2

f ( ) e λλ = 8.3) ( )cos xf ( x ) e=

8.4) xf ( x ) x e= ⋅ 8.5)2x 3xf ( x ) x e += ⋅ 8.6) ( ) tf ( t ) cos t e= ⋅

8.7) ( ) 2xf ( x ) sin x e= ⋅ 8.8) ( )2 3xf ( x ) sin x e= ⋅ 8.9) x xf ( x ) k e m eα λ−= ⋅ − ⋅

9.1) ( )f ( t ) ln 3t 2= + 9.2) ( )2f ( x ) ln x= 9.3) ( )3f ( x ) ln 1 x= −

9.4) ( )f ( x ) x ln x= ⋅ 9.5) ( )2f ( x ) x ln x= ⋅ 9.6) ( )2f ( y ) y ln y= ⋅

9.7) ( )xf ( x ) ln 1 e= + 9.8) 1f ( z ) lnz

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

9.9) ( )( )2f ( x ) ln cos x 1= +

9.10) 2

1f ( x ) ln1 x

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

Rappels :

a) ( )( ) ( )( ) ( )

( )' f ' x1f x f ' x

2 f x 2 f x= ⋅ = c) ( )( ) ( ) ( )

'f x f xe e f ' x= ⋅

b) ( )( )( ) ( )( ) ( )'n n 1

f x n f x f ' x−

= ⋅ ⋅ d) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

' f ' x1ln f x f ' xf x f x

= ⋅ =


Exercice 57

Démontrer la proposition suivante et donner un exemple. Si f et g sont deux fonctions dérivables en a, alors la fonction f g − est aussi dérivable en a et ( ) ( ) ( ) ( )f g ' a f ' a g' a .− = − Exercice 58

Soit f la fonction définie par ( ) 2 f x x 2x 7= − − .

a) En utilisant les règles de dérivations, calculer 'f .

b) Déterminer l'équation de la tangente au graphique de f au point ( )( )3; f 3 .

c) Déterminer l'équation de la tangente au graphique de f dont la pente est égale à 2. Exercice 59

Soit f la fonction définie par ( )f x 3x= .

a) En utilisant les règles de dérivations, calculer 'f .

b) Est-ce-que ( ) ( )Dom f Dom f '= ? Justifier.

c) Déterminer l'équation de la tangente au graphique de f au point d’abscisse 3.

d) Déterminer, si possible, des valeurs de x telle que la tangente au graphique de la fonction f

au point ( )( )x; f x soit parallèle à la droite d’équation 1 3y = x +4 4

.

e) La fonction f admet-elle une tangente à son graphique au point ( )( )2; f 2− − . Exercice 60

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier vos réponses.

a) Si f n’est pas dérivable en x = a, alors f n’est pas continue en x = a.

b) Si la fonction f +g est dérivable en x = a, alors f et g sont dérivables en x = a.

c) ( ) ( ) ( ) ( )f g ' a f ' a g' a + = + quelques soient les fonctions f et g.

d) Toutes les fonctions dérivables sur sont continues sur .

e) Si la dérivée d’une fonction évaluée en un point x = a est nulle, alors cette fonction est toujours une constante. Exercice 61 *

Sur l’écran du jeu vidéo que montre la figure ci-dessous, on peut voir des avions qui descendent de gauche à droite en suivant la trajectoire indiquée et qui tirent au rayon laser selon la tangente à leur trajectoire en direction des cibles placées sur l’axe Ox aux abscisses 1, 2 , 3 et 4.

Sachant que la trajectoire de l’avion a pour équation 2x 1yx+

= ,

quelle cible sera touchée si le joueur tire au moment où l’avion est en ( )P 1;3 ?


1.5.6 Croissance, décroissance et extremums

d'une fonction

Notations < plus petit ≤ plus petit ou égal > plus grand ≥ plus grand ou égal ∀ pour tout ∈ appartient Définitions Soit f une fonction définie sur un intervalle [ ];I a b= .

a) V est un voisinage de x = k ⇔ V est un intervalle ouvert contenant k.

b) f admet un minimum local en x = u ⇔ il existe un voisinage V de u tel que ( ) ( )f u f x x V≤ ∀ ∈ .

On dit alors que ( )f u est un minimum local de f sur V.

c) f admet un maximum local en x = w ⇔ il existe un voisinage V de w tel que ( ) ( )f w f x x V≥ ∀ ∈ .

On dit alors que ( )f w est un maximum local de f sur V.

d) f admet un minimum global en x = c ⇔ ( ) ( )f c f x x I≤ ∀ ∈ .

On dit alors que ( )f c est un minimum global de f sur I.

e) f admet un maximum global en x = d ⇔ ( ) ( )f d f x x I≥ ∀ ∈ .

On dit alors que ( )f d est un maximum global de f sur I.

f) f admet un point critique en x = v ⇔ '( ) 0f v = .

Illustration

Remarque

On appelle extremum local de f sur V un maximum local de f sur V ou un minimum local de f sur V.

d=b a=c w u

f(w)

f(u)

f

[ ] [ [ ] ]

f(c)

f(d)

f(v) v

•

•

•

•

•


Théorème (sur les extremums)

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a I∈ .

Si f admet un extremum local en x = a alors ( )f ' a 0 = .

Illustration Lorsque la fonction admet un maximum en a1 ou un minimum en a2 les tangentes à f en a1 et en a2

sont de pentes nulles. Cela signifie que ( ) ( )1 2f ' a f ' a 0= = . Démonstration

Nous démontrerons ce théorème dans le cas où f admet un maximum local en a. Dans le cas d'un minimum local, la démonstration est analogue et sera faite en exercice.

Comme f admet un maximum local en a, il existe un voisinage V de a tel que ( ) ( ) ( ) ( )f x f a f x f a 0 x V .≤ ⇔ − ≤ ∀ ∈

Considérons la fraction f ( x ) f ( a )x a−−

où x V∈ :

• Si x a< , c’est-à-dire x a 0− < alors f ( x ) f ( a ) 0x a−

≥−

et ( )–

x a

f ( x ) f ( a )lim f ' a 0x a−→

−= ≥

− . (propriétés des limites)

• Si x > a , c’est-à-dire x a 0− > alors f ( x ) f ( a ) 0x a−

≤−

et ( )x a

f ( x ) f ( a )lim f ' a 0x a+

+

→

−= ≤

−. (propriétés des limites)

Comme f est dérivable en a, ( ) ( ) ( )–f ' a f ' a f ' a += = et ce nombre est forcément nul.

Finalement, ( )f ' a 0= .

Remarque

La réciproque du théorème , c'est à dire : « Si ( )f ' a 0= alors f admet un extremum local en x a = » est fausse.

Voici un contre-exemple : La fonction ( ) 3f x x = représentée ci-contre admet une tangente horizontale en x = 0 car

( ) 2f ' x 3x 0 x 0= = ⇔ = mais f n’admet pas d’extremum en x = 0.

Le point (0;0) est appelé palier de f.

y

a1

f

[ ] a2 x

•

•

-2 -1 1 2x

-2

-1

1

2y

f

T0 •

Palier

a

f

[ ] x

• f(a)

x

• • f(x)


b a x1 x2

f(x1)

f(x2)

f

[ ] b a

x1 x2

f(x2)

f(x1)

[ ]

f

Définitions Soit f une fonction définie sur un intervalle [ ];I a b= .

a) f est croissante sur I ⇔ ∀ x1, x2 ∈ I avec x1 < x2 alors f(x1) ≤ f(x2).

b) f est strictement croissante sur I ⇔ ∀ x1, x2 ∈ I avec x1 < x2 alors f(x1) < f(x2).

c) f est décroissante sur I ⇔ ∀ x1, x2 ∈ I avec x1 < x2 alors f(x1) ≥ f(x2).

d) f est strictement décroissante sur I ⇔ ∀ x1, x2 ∈ I avec x1 < x2 alors f(x1) > f(x2).

Illustrations

f est strictement croissante sur [ ];I a b= f est strictement décroissante sur [ ];I a b= Remarque Croissance et décroissance déterminent les variations de f . Théorème (sur les variations de f )

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

i) ( )f ' a 0 ≥ ∀ a ∈ I ⇔ f est croissante sur I .

ii) ( )f ' a 0 ≤ ∀ a ∈ I ⇔ f est décroissante sur I .

Illustration pour i) Illustration pour ii)

Démonstration La démonstration du théorème sur les variations sera proposée plus tard, lorsque nous aborderons le théorème de Lagrange.

a

f(a)

f

[ ]

Ta

•

x

y

a

f(a)

f

[ ]

Ta

•

x

y


Le théorème sur les extremums et le théorème sur les variations de f vont nous permettre de déterminer les variations d'une fonction f ainsi que leurs éventuels extremums locaux en déterminant les signes et les zéros de sa dérivée f ’.

Exemple Considérons la fonction polynomiale 3 2f ( x ) x 3x 6= − +

i) On calcule la dérivée de f : ( ) ( )'3 2 2f ' x x 3x 6 3x 6 x= − + = −

ii) On détermine les zéros de f ' :

( ) ( )2f ' x 0 3x 6 x 0 3x x 2 0 x 0 et x 2= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = = iii) On établit le tableau des variations de f (croissance et décroissance de f ) en cherchant les signes de f ' :

x 0 2

3x – 0 + + + x-2 – – – 0 +

f '(x) + 0 – 0 +

f(x) max min.

• f est strictement décroissante sur ] [0;2 . Notation :

• f est strictement croissante sur ] [ ] [;0 2; −∞ ∪ +∞ . Notation :

• f admet un maximum local en x = 0 et ( )f 0 6 = est le maximum local de f : ( )Max 0;6

• f admet un minimum local en x = 2 et ( )f 2 2 = est le minimum local de f : ( )Min 2;2 iv) Il est ensuite possible, à partir des informations obtenues ci-dessus d'esquisser plus précisément le graphique de la fonction f :

Théorème variations de f

Théorème extremums de f

-1 1 2 3x

-1

1

2

3

4

5

6

7

y

f • Max.

Min. •


Exercice 62

Quelle fonction est la dérivée première de l’autre ?

Justifier votre réponse en établissant un tableau de variations.

a) b)

f

g

j

h


c) Exercice 63

a) On donne le tableau des variations de f :

1) Quel est le domaine de définition de f et de f ' ? 2) Esquisser un graphique possible pour f .

b) On donne le tableau des variations de g :

1) Quel est le domaine de définition de g et de g' ? 2) Esquisser un graphique possible pour g.

c) On donne le tableau des variations de h :

1) Quel est le domaine de définition de h et de h' ? 2) Esquisser un graphique possible pour h .

x 2− 83

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) max min

x 3− 0 3

g'(x) + 0 - 0 + 0 -

g(x) max min max

x 0 1 3 h '(x) + 0 + ∉ - 0 +

h(x) palier A.V. min

h

g


1.5.7 Concavité, convexité, points d’inflexion

et dérivées d’ordre supérieur * Définitions *

Soit f une fonction continue sur [a;b] et dérivable sur ]a;b[. Soit ] [0x a;b ∈ et

0xT la tangente à f au point ( )0 0x ; f ( x )

i) f est convexe sur ]a;b[ ⇔ ] [0x a;b ∀ ∈ , on a : ( )0xT ( x ) f x≤ ] [x a;b ∀ ∈

Autrement dit : La fonction f se trouve « au-dessus » de ses tangentes. ii) f est concave sur ]a;b[ ⇔ ] [0x a;b ∀ ∈ , on a : ( )

0xT ( x ) f x≥ ] [x a;b ∀ ∈

Autrement dit : La fonction f se trouve « au-dessous » de ses tangentes.

i) -6 -4 -2 2 4 6

x

-10

10

20

30y

ii)

-6 -4 -2 2 4 6x

-30

-20

-10

10y

Un point d'inflexion de f est un point du graphique de f qui sépare un domaine de convexité d'un domaine de concavité.

Exemples *

-1 1 2 3x

1

2

3

4

5

6

y

-3 -2 -1 1 2 3x

-3

-2

-1

1

2

3

y

3 2f ( x ) x 3x 6= − + est concave sur

]-∞;1[ et convexe sur ]1;+∞[.

f admet ( )1;4 comme point d'inflexion.

( ) 3f x x= est concave sur ]-∞;0[ et convexe sur ]0;+∞[. f admet ( )0;0 comme point d'inflexion.

Remarque * a) En un point d'inflexion , la tangente « traverse » le graphique de la fonction.

b) Convexité et concavité déterminent les courbures de f .


Définitions *

i) On appelle dérivée première de f, notée f ', la dérivée de f .

ii) On appelle dérivée seconde de f, notée f '', la dérivée de la dérivée de f : ( )f = f ′′′ ′ iii) Plus généralement,

la dérivée nième de f, notée (n)f est la dérivée de la dérivée (n-1)ième de f : ( )(n) (n-1)f = f ′

Illustration ( ) ( ) ( )D D D D3f f ' f ' f f f .....′ ′′′ ′′→ → = → = → D = Dérivation

Exemple * 3 2f ( x ) x 3x 6= − + 2f '( x ) 3x 6 x= −

f ''( x ) 6 x 6= − ( 3 )f ( x ) 6=

( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( n )f ( x ) f ( x ) f ( x ) .... f ( x ) 0= = = = =

Question * Quels sont les relations entre une fonction f et sa dérivée seconde f '' ? Théorème (sur les courbures de f) *

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert ]a;b[.

i) f est convexe sur ]a;b[ ⇔ ( ) ] [f '' x 0 , x a;b> ∀ ∈

ii) f est concave sur ]a;b[ ⇔ ( ) ] [f '' x 0 , x a;b< ∀ ∈

1er corollaire * (Maximum et minimum : test de la dérivée seconde)

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert ]a;b[ , contenant un nombre c tel que ( )f ' c 0= .

i) ( )f '' c 0> ⇔ f admet un minimum local en x = c

ii) ( )f '' c 0 < ⇔ f admet un maximum local en x = c

Définition de corollaire : Se dit en mathématiques d'un théorème qui découle immédiatement d'un autre.

-2 -1 1 2 3 4x

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

y

f '' f f '


Théorème et 2ème corollaire

-1 1 2 3x

-1

1

2

3

4

5

6

7y

f

•Inf.

Démonstration du théorème *

i) Supposons que f ''( x ) 0> sur ] [a;b . Autrement dit :

f ''( x ) 0> sur ] [a;b ⇔ ( )f ( x ) 0′′ > sur ] [a;b ⇔ f ' est croissante sur cet intervalle.

Soit ] [0x a;b∈ , l’équation de la tangente à f au point ( )0 0x ; f ( x ) est

0x 0 0 0T ( x ) f '( x )( x x ) f ( x )= − + .

Soit x tel que 0a x x< < , le théorème de Lagrange affirme qu’il existe un ] [0c x; x∈ tel que

0

0

f ( x ) f ( x )f '( c )x x−

=−

Comme f ' est croissante et que 0c x< alors 0f '( c ) f '( x )< Et donc

0

0

car x x 0

0 00 0 0 0 x

0 0

f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )f '( c ) f '( x ) f ( x ) f ( x ) f '( x )( x x ) T ( x )x x x x

− <− −

= = < ⇔ > + − =− −

On démontre de même que si on prend un 0x x b< < alors 0xf ( x ) T ( x )>

Ce qui montre finalement que dans un voisinage de 0x , les tangentes sont inférieures à la fonction, donc que celle-ci est convexe.

ii) La démonstration est identique pour la concavité. 2ème corollaire * (Point d'inflexion : test de la dérivée seconde)

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert ]a;b[ et c∈]a;b[ .

f '' s’annule en x = c et change de signe en x = c ⇔ ( )c; f ( c ) est un point d'inflexion de f

Exemple * Considérons la fonction polynomiale 3 2f ( x ) x 3x 6= − +

Un rapide calcul nous donne sa dérivée seconde : f ''( x ) 6 x 6= −

Calculons le(s) zéro(s) de f '' : ( )f x 0 6 x 6 0 x 1′′ = ⇔ − = ⇔ =

Cherchons les signes de f '' pour connaître la convexité, concavité de f : Tableau des courbures de f :

x 1 f ''(x) – 0 + f(x) ∩ inf ∪

• f est concave sur ] [;1−∞ . Notation : ∩

• f est convexe sur ] [1; +∞ . Notation : ∪

• f admet un unique point d’inflexion en ( )1;4 .


Résumé : Conditions pour les points particuliers *

f f ' f ''

Zéro ( )zZ x ;0 ( )Zf x 0=

Maximum ( )( )H HH x ; f x ( )*

Hf ' x 0= ( )Hf '' x 0•

<

Minimum ( )( )B BB x ; f x ( )*

Bf ' x 0= ( )Bf '' x 0•

>

Palier ( )( )P PP x ; f x ( )*

Pf ' x 0= ( )*

Pf '' x 0=

Point d’inflexion ( )( )I II x ; f x ( )*

If '' x 0=

* = condition nécessaire (* + •) = conditions suffisantes Exercice 64 *

a) Calculer la dérivée 6ème de 4 3 2f ( x ) x 3x 2x 6 x 1= + − − + .

b) Calculer la dérivée 3ème de 2x 1g( x )

x 1+

=−

.

c) Calculer la dérivée 5ème de xh( x ) e= .

d) Calculer la dérivée seconde de ( )j( x ) sin 3x= .


1.5.8 Étude de fonctions Exemple 01 : étude d’une fonction polynomiale

Considérons la fonction polynomiale : 3 2f ( x ) x 8x 20x 16= − + − +

L’étude d’une fonction polynomiale comprend les points suivants : • Factorisation de f(x) : ( ) ( ) ( )23 2f ( x ) x 8x 20x 16 1 x 2 x 4= − + − + = − − −

1) Domaine de définition de f :

fD =

2) Zéros et ordonnée à l'origine de f (intersections de f avec les axes) :

Zéros : ( ) ( )2f ( x ) 0 x 2 x 4 0 x 2 ou x 4= ⇔ − − − = ⇔ = =

Donc ( ) { }1f 0 2 ; 4− = et ( ) ( ){ }f Ox 2;0 ; 4;0∩ =

Ordonnée à l’origine : f ( 0 ) 16= et ( ){ }f Oy 0;16∩ =

3) Tableau des signes de f :

4) Recherche des asymptotes (verticales, horizontales et obliques) de f :

• f continue sur car ( ) ( )x alim f x f a a→

= ≠ ±∞ ∀ ∈ donc A.V. aucune

• ( ) ( )x xlim f x et lim f x→ + ∞ →− ∞

= −∞ = +∞ donc A.H. aucune

• A.O. aucune

x 2 4

1− - - - - -

x 4− - - - 0 +

( )2x 2− + 0 + + +

f(x) + 0 + 0 -


5) Calcul de la dérivée première f ' (domaine de définition de f ' et zéros de f ') :

( ) ( ) ( ) ( )'3 2 2f ' x x 8x 20x 16 3x 16 x 20 x 2 3x 10= − + − + = − + − = − − −

( )1f '

10D ( f ') 0 2;3

− ⎧ ⎫= = ⎨ ⎬⎩ ⎭

6) Étude de la continuité de f à l’aide de la dérivée de f : f est dérivable sur donc f est continue sur . 7) Tableau des variations de f et détermination des extremums de f :

Extremums : ( )Min 2;0 ( )f 2 0=

10 32Max ;3 27

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

10 32f 1,23 27

⎛ ⎞ = ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

8 *) Calcul de la dérivée seconde f '' (domaine de définition de f '' et zéros de f '') :

( ) ( ) ( )'2f '' x 3x 16 x 20 6 x 16 2 3x 8= − + − = − + = − −

( )1f ''

8D ( f '') 03

− ⎧ ⎫= = ⎨ ⎬⎩ ⎭

9 *) Tableau des courbures de f et détermination des points d’inflexions de f :

Points d’inflexions : 8 16INF ;3 27

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

8 16f 0,63 27

⎛ ⎞ = ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

x 2 103

1− - - - - -

x 2− - 0 + + +

3x 10− - - - 0 +

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) min. max

x 83

f ''(x) - 0 +

f(x) ∩ inf ∪


10) Représentation soignée du graphique de f et des points principaux :

Indications : reprendre les points ci-dessus et calcul de quelques images si nécessaire.

x ( )f x

1 3 3 1 5 -9

-1 1 2 3 4 5x

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

Inf.

Min.

Max.


Exercice 65

Etudier les fonctions polynomiales ci-dessous :

a) 3 21 1f ( x ) x x 4x 44 4

= − − +

b) 4 3f ( x ) x 2x 2x 1= − + −

c*) 4 2x 3xf ( x ) 2

4 2= − + −

L’étude d’une fonction polynomiale comprend les points suivants : 1) Domaine de définition de f.

2) Zéros et ordonnée à l'origine de f (intersections de f avec les axes).

3) Tableau des signes de f.

4) Recherche des asymptotes (verticales, horizontales et obliques) de f . Calculs obligatoires.

5) Calcul de la dérivée première f ' (domaine de définition de f ' et zéros de f ') .

6) Étude de la continuité de f à l’aide de la dérivée de f .

7) Tableau des variations de f et détermination des extremums de f .

8 *) Calcul de la dérivée seconde f '' (domaine de définition de f '' et zéros de f '') .

9 *) Tableau des courbures de f et détermination des points d’inflexions de f.

10) Représentation soignée du graphique de f et des points principaux.

Indications : reprendre les points ci-dessus et calcul de quelques images si nécessaire. On s'assurera de la cohérence des résultats obtenus.

d) Equations de tangentes :

i) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe f en x 2= , et la tracer sur le même repère que celui de f . ii) Pour quelle(s) valeurs(s) de x, f admet-elle une droite tangente dont la pente est égale à 4− ?


Exemple 02 : étude d’une fonction rationnelle

Considérons la fonction rationnelle : ( )2

2

4 x 16 x 16f xx 6 x 9− +

=− +

L’étude d’une fonction rationnelle comprend les points suivants :

• Factorisation de A(x) et B(x) : ( )( )

22

22

4 x 24x 16 x 16f ( x )x 6 x 9 x 3

−− += =

− + −

1) Domaine de définition de f :

{ }fD \ 3= car l’équation ( )2x 3 0 x 3− = ⇒ = 2) Zéros et ordonnée à l'origine de f (intersections de f avec les axes) :

Zéros : ( )( )

( )2

22

4 x 2f ( x ) 0 0 4 x 2 0 x 2

x 3−

= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =−

Donc ( ) { }1f 0 2− = et ( ){ }f Ox 2;0∩ =

Ordonnée à l'origine : 16f ( 0 ) 1,789

= =


• Division euclidienne de A(x) par B(x) :

2 2

2

A( x ) 4x 16 x 16 x 6 x 9 B( x )( 4x 24x 36 ) 4 Q( x )

R( x ) 8x 20

= − + − + =

− − + =

= −

Donc ( ) ( )( )

( )( )22

R x 4 2x 58x 20f ( x ) Q x 4 4B x x 6 x 9 x 3

−−= + = + = +

− + −

A.V. x 3

x 3

x 3

4lim f ( x ) 4 40lim f ( x )4lim f ( x ) 4 40

−

+

+→

→

+→

⎧ = + = + ∞ = +∞⎪⎪= ⎨⎪ = + = + ∞ = +∞⎪⎩

Donc A.V. d’équation x 3= .

A.H.

22 2

2x x 22

16 16x 44x 16 x 16 4x xlim lim 4

6 9x 6 x 9 1x 1x x

→±∞ →±∞

⎛ ⎞⋅ − +⎜ ⎟− + ⎝ ⎠= = =− + ⎛ ⎞⋅ − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Donc A.H. d’équation : ( )y 4 Q( x )= = ( )deg Q 0= A.O. Pas d'A.O. car on a déjà une A.H.


4) Tableau des signes de f Q− avec le(s) point(s) d’intersection(s) entre f et Q :

( ) ( )( )

( )( )2

R x 4 2x 5f ( x ) Q x

B x x 3−

− = =−

Intersection(s) : 5 5 5f Q ; f ;42 2 2

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∩ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭⎝ ⎠⎩ ⎭

5) Calcul de la dérivée première f ' (domaine de définition de f ' et zéros de f ') :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

' '' 2 2 2 22

22 2

4x 16 x 16 x 6 x 9 4x 16 x 16 x 6 x 94x 16 x 16f ' xx 6 x 9 x 6 x 9

− + ⋅ − + − − + ⋅ − +⎛ ⎞− += =⎜ ⎟− +⎝ ⎠ − +

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

22

8x 16 x 6 x 9 4x 16 x 16 2x 6

x 6 x 9

− ⋅ − + − − + ⋅ −=

− +

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

2 2

22

8 x 2 x 3 4 x 2 2 x 3

x 3

− ⋅ − − ⋅ − ⋅ −=

−

( )( ) ( ) ( )

( )4

x 2 x 3 8 x 3 4 x 2 2

x 3

− − ⋅ − − ⋅ − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦=−

( )( )3

8 x 2x 3

− ⋅ −=

−

On a donc { } ( ) ( ) { }1f 'D \ 3 et f ' 0 2−= =

6) Étude de la continuité de f à l’aide de la dérivée de f : f est dérivable sur { }\ 3 ce qui implique que f est continue sur { }\ 3 ( voir théorème ) 7) Tableau des variations de f et détermination des extremums de f :

Extremums : ( )Min 2;0 ( )f 2 0=

x 52

3

4 + + + + + 2x 5− - 0 + + + ( )2x 3− + + + 0 +

f ( x ) Q( x )− - 0 + ∉ +

x 2 3 -8 - - - - -

x - 2 - 0 + + +

( )3x 3− - - - 0 +

f '(x) - 0 + ∉ - f(x) Min. A.V.


8 *) Calcul de la dérivée seconde f '' (domaine de définition de f '' et zéros de f '') :

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )

( )( )

''' 3 3

3 2 43

8 x 2 x 3 8 x 2 x 38 x 2 8 2x 3f '' x

x 3 x 3x 3

− ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ −⎛ ⎞− ⋅ − −= = =⎜ ⎟⎜ ⎟− −−⎝ ⎠

On a donc { } ( ) ( )1f ''

3D \ 3 f '' 02

− ⎧ ⎫= = ⎨ ⎬⎩ ⎭

9 *) Tableau des courbures de f et détermination des points d’inflexions de f :

Points d’inflexions : 3 4Inf ;2 9

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 4f2 9

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

10) Représentation du graphique de f ainsi que de ses asymptotes et des points principaux :


x 32

3

( )8 2x 3− - 0 + + +

( )4x 3− + + + 0 +

f ''(x) - 0 + ∉ +

f(x) ∩ inf ∪ A.V. ∪

x ( )f x

- 5 3.0625 5 9

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15y

A.H.

Inf.

Min.

f

A.V.


Exercice 66

Etudier les fonctions rationnelles ci-dessous :

a) ( ) 2

4xf xx 1

=+

b) ( )3

2

xf xx 2x 1

=− +

c) ( )3 2

2

x 6 x 9xf xx 4x 4

− + −=

− + d) ( )

2

2

2x 9f xx 9

−=

−

e) ( ) 2

x 2f xx x 2

+=

+ − f) ( )

3

2

xf xx 4

=−

L’étude d’une fonction rationnelle comprend les points suivants : 1) Domaine de définition de f.

2) Zéros et ordonnée à l'origine de f (intersections de f avec les axes).


4) Tableau des signes de f Q− avec le(s) point(s) d’intersection(s) entre f et Q .

5) Calcul de la dérivée première f ' (domaine de définition de f ' et zéros de f ') .

6) Étude de la continuité de f à l’aide de la dérivée de f .

7) Tableau des variations de f et détermination des extremums de f .

8 *) Calcul de la dérivée seconde f '' (domaine de définition de f '' et zéros de f '') .

9 *) Tableau des courbures de f et détermination des points d’inflexions de f.

10) Représentation soignée du graphique de f ainsi que de ses asymptotes et des points principaux.


On s'assurera de la cohérence des résultats obtenus. g) Equations de tangentes :

i) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe f en x 2= , et la tracer sur le même repère que celui de f . ii) Pour quelle(s) valeurs(s) de x, f admet-elle une droite tangente dont la pente est égale à 4− ?


y

ba c1

f

[ ] c2 x

f(a) f(b) •

1.5.9 Les théorèmes de ROLLE et de LAGRANGE Théorème de ROLLE (Michel, 1652 – 1719)

Si • f est continue sur [a;b]

• f est dérivable sur ]a;b[

• f(a) = f(b) = une constante

alors il existe au moins un nombre ] [c a;b tel que f ( c ) 0′∈ = .

Illustration Activités I 1) Vérifier que les hypothèses du théorème de Rolle sont satisfaites pour la fonction 2f(x)= 2x - 6x sur l'intervalle [0;3] et calculer le(s) nombre(s) c de la conclusion du théorème. 2) Vérifier que les hypothèses du théorème de Rolle ne sont pas satisfaites pour la fonction

21f(x)=x

sur l'intervalle [-1;1] .

Existe-t-il quand même un nombre ] [c 1;1 tel que f ( c ) 0′∈ − = ? Justifier par un calcul.


y

ba c

f

[ ] c x

M

m

f(a) f(b) •

Démonstration a) Si f est une constante, le théorème est évident.

b) Supposons que f n'est pas constante sur [ ]a;b . (voir illustration)

• On sait par le théorème des bornes que, si f est continue sur [ ]a;b , il existe alors deux nombres

m et M tels que [ ]( ) [ ]f a;b m;M=

Comme f n'est pas constante, l'un au moins des nombres m et M est différent de f ( a ) .

Supposons, par exemple, que f ( a ) f ( b ) M= ≠ .

Il existe alors au moins une préimage ] [c a;b∈ tel que f ( c ) M= puisque [ ]( ) [ ]f a;b m;M= .

En conséquence, au voisinage de c , f ( c ) M= est la plus grande image et donc f admet

un maximum local en c.

• f étant dérivable sur ]a;b[ , on sait par le théorème des extremums que f '( c ) 0= .


b a c

f

[ ] x

f(b)

f(a) f(b)-f(a)

b-a

•

•

Théorème de LAGRANGE (Joseph Louis, 1736 – 1813) appelé aussi Théorème des Accroissements Finis (T.A.F.)

Si • f est continue sur [a;b]

• f est dérivable sur ]a;b[

alors il existe au moins un nombre ] [ f ( b ) f ( a )c a;b tel que f ( c )b a− ′∈ =−

Illustration Remarque Le thm de LAGRANGE est une généralisation du thm de ROLLE. Activités II 1) Vérifier que les hypothèses du théorème de Lagrange sont satisfaites pour la fonction 2f ( x ) x 3= − + sur l'intervalle [-1;2] et calculer le(s) nombre(s) c de la conclusion du théorème. 2) Vérifier que les hypothèses du théorème de Lagrange ne sont pas satisfaites pour la fonction

1f ( x )x 2

=−

sur l'intervalle [1;4] .

Existe-t-il quand même un nombre ] [ f ( b ) f ( a )c 1;4 tel que f ( c )b a−′∈ =−

?

Justifier par un calcul.


f

x

f(x)

d

d(x) ϕ(x)

b a c

f

[ ] x

f(b)

f(a) f(b)-f(a)

b-a

•

•

Démonstration

Soit f une fonction satisfaisant les hypothèses.

Équation de la sécante d passant par ( )( )a; f a et ( )( )b; f b : ( )f ( b ) f ( a )d( x ) x a f ( a )b a−

= − +−

Posons ( ) ( ) ( )x f x d x ϕ = − (ϕ est une fonction auxiliaire qui est définie comme la distance

algébrique entre les graphiques de f et de d) ϕ satisfait aux hypothèses du théorème de ROLLE car :

• ( ) ( )a b 0ϕ ϕ= =

• ϕ est continue sur [a;b]

( f est continue par hypotèse, d est continue car fct. polynomiale et théorème 1.3) )

• ϕ est dérivable sur ]a;b[

( f est dérivable par hypotèse, d est dérivable car fct. polynomiale et règle dérivation 4) )

Donc il existe au moins un nombre ] [c a;b ∈ tel que ( )’ c 0ϕ =

On a : ( x ) f '( x ) d '( x )ϕ′ = − et ( c ) 0ϕ′ = , alors f ( c ) d '( c ) 0 f ( c ) d '( c )′ ′− = ⇒ =

et comme f ( b ) f ( a )d '( c )b a−

=−

on a f ( b ) f ( a )f ( c )b a−′ =−

.


Exercice 67

Les hypothèses du théorème de Rolle, sont-elles satisfaites pour les fonctions suivantes ?

Si oui, trouvez le(s) nombre(s) c de la conclusion du théorème.

a) ( ) 2f x x 2x 1= + + , sur l'intervalle [ ]3;1− . b) ( )( )2

1g xx 3

=+

, sur l'intervalle [ ]4;2− .

c) ( ) 3h x x 16 x= − , sur l'intervalle [ ]4;4− .

Exercice 68

Les hypothèses du théorème de Lagrange, sont-elles satisfaites pour les fonctions suivantes ?

Si oui, trouvez le(s) nombre(s) c de la conclusion du théorème.

a) ( ) 3f x x 16 x= − , sur l'intervalle [ ]0;5 . b) 1g( x )x 5

=−

, sur l'intervalle [ ]4;6 .

c) h( x ) 4x= , sur l'intervalle [ ]0;4 .

Exercice 69 *

Les énoncés ci-dessous sont-ils vrais ou faux ? Justifier.

a) Si f est continue sur [a;b] et f(a) = f(b) alors il existe au moins un nombre c∈]a;b[ tel que : f '(c) = 0.

b) Si f est dérivable sur ]a;b[ et f(a) = f(b) alors il existe au moins un nombre c∈]a;b[ tel que : f '(c) = 0.

c) Si f est continue sur [a;b] et f est dérivable sur ]a;b[ alors il existe au moins un nombre c∈]a;b[ tel que : f '(c) = 0. Exercice 70 *

Les énoncés ci-dessous sont-ils vrais ou faux ? Justifier.

a) Soit f: [a;b] → telle que f est continue sur [a;b]

alors il existe au moins un nombre c∈]a;b[ tel que f(b) f(a)f '(c)b a−

=−

.

b) Soit f: [a;b] → telle que f est dérivable sur ]a;b[

alors il existe au moins un nombre c∈]a;b[ tel que f(b) f(a)f '(c)b a−

=−

.

Exercice 71 * Voir sur le web : « système : Safety Tutor ».

La vitesse maximale autorisée sur une route nationale est de 110 [km/h].

L'indicateur de vitesse d'une voiture marque 80 [km/h] au moment où elle passe à hauteur d'une borne kilométrique le long d'une route. Quatre minutes plus tard, elle est 8 [km] plus loin et son compteur marque 88 [km/h].

Démontrer qu'à un moment au moins, entre ces deux repères, la voiture a dépassé la vitesse de 110 [km/h].


Corollaires du théorème de LAGRANGE

Corollaire 1 (théorème sur les variations de f)

Soit [ ]f : a;b → une fonction continue sur [ ]a;b et dérivable sur ] [a;b , (f satisfait aux hypothèses du théorème de Lagrange) alors : i) Si f '( x ) 0≥ , ] [x a;b∀ ∈ alors f est croissante sur ] [a;b .

ii) Si f '( x ) 0≤ , ] [x a;b∀ ∈ alors f est décroissante sur ] [a;b .

Démonstration

Si f '( x ) 0≥ , ] [x a;b∀ ∈ et soient ] [1 2x ,x a;b∈ avec 1 2x x< .

Alors par Lagrange, il existe au moins un c ] [1 2x ; x∈ tel que 2 1

2 1

f ( x ) f ( x )f '( c ) 0x x−

= ≥−

.

Comme 1 2x x< alors 2 1x x 0− > et donc 2 1 2 1f ( x ) f ( x ) 0 f ( x ) f ( x )− ≥ ⇒ ≥ ce qui implique que f est croissante sur ] [a;b car 1 2x et x arbitraires.

On montre de même que si f '( x ) 0≤ , ] [x a;b∀ ∈ ⇒ f est décroissante sur [ ]a;b Remarque La réciproque de ce corollaire est vraie. Corollaire 2

Soit [ ]f : a;b → une fonction continue sur [ ]a;b et dérivable sur ] [a;b , (f satisfait aux hypothèses du théorème de Lagrange) alors :

Si f '( x ) 0= , ] [x a;b∀ ∈ alors f est constante sur ] [a;b .

Démonstration

Considérons f '( x ) 0= ] [x a;b∀ ∈ et soient ] [1 2x ,x a;b∈ avec 1 2x x< .

Alors par Lagrange, il existe au moins

un ] [1 2c x ; x∈ tel que 2 1

2 1

f ( x ) f ( x )f '( c ) 0x x−

= =−

.

Comme 1 2x x< alors 2 1x x 0− ≠ et donc 2 1 2 1f ( x ) f ( x ) 0 f ( x ) f ( x )− = ⇒ = ce qui implique que f est constante sur ] [a;b car 1 2x et x arbitraires.

Exercice 72 *

Démontrer que :

Si f '( x ) g'( x )= [ ]x a;b∀ ∈ alors [ ] etf ( x ) g( x ) C x a;b C= + ∀ ∈ ∈ .

a b

f(x2)

y f

[ ] x2 x1

f(x1)

c

• •

•

x


1.5.10 Problèmes d'optimisation Exemple Enoncé

Avec une plaque de carton carrée de 45 cm de côté, on veut fabriquer une boîte sans couvercle en découpant dans chacun de ses coins un carré de x cm de côté.

Déterminer les dimensions (longueur, largeur et hauteur) de la boîte afin que le volume soit maximal et le volume maximal. Résolution du problème 1) Illustration du problème (si problème géométrique) : 2) Déclarations des variables et des constantes (avec les unités) :

x = mesure du côté du petit carré à enlever

= hauteur de la boîte en [cm] 45x 0;2

⎤ ⎡∈⎥ ⎢⎦ ⎣

y = longueur / largeur du fond de la boîte en [cm]

V = volume de la boîte en [cm3] (variable à optimiser) 3) Obtention des relations entre les variables et constantes : (obtention d’une fonction f à une variable).

(I) 2x y 45 y 45 2x+ = ⇔ = −

(II) ( ) 2V x; y y y x x y = ⋅ ⋅ = ⋅

(I) dans (II) : ( ) ( ) ( )2 2 3 2V x x 45 2x x 4x 180x 2025 4x 180x 2025x= ⋅ − = ⋅ − + = − +

( Volume V de la boîte en fonction du côté x ) 4) Recherche des extremums de f à l’aide du calcul différentiel :

• ( ) 2V ' x 12x 360x 2025 = − +

• ( ) 2V' x 0 12x 360x 2025 0= ⇔ − + =

Viète

1 215 45x 7,5 et x 22,5 ( impossible )2 2

⇔ = = = =

5) Tableau des variations de f :

x 7,5

V ’(x) + 0 −

V(x) max 6) Réponse à la question posée (phrase en français) :

Pour que le volume de la boîte soit maximal, les dimensions de la boîte doivent être de 30 cm pour la longueur / largeur du fond et 7,5 cm pour la hauteur.

Le volume maximum est alors de 6750 cm3.

x x y

x

45

45

( )maxV V 7,5 6750

y 45 2 7,5 30

= =

= − ⋅ =

max •

x

V

7,5

6750


Synthèse de la démarche utilisée

La résolution d’un exercice d’optimisation doit comporter les points suivants :

1) Illustration du problème (si problème géométrique).

2) Déclarations des variables et des constantes (avec les unités).

3) Obtention des relations entre les variables et constantes

(obtention d’une fonction f à une variable).

4) Recherche des extremums de f à l’aide du calcul différentiel.

5) Tableau des variations de f.

6) Réponse à la question posée (phrase en français).

Exercice 73

Avec une feuille de carton rectangulaire de 60 cm de longueur et de 40 cm de largeur, on veut fabriquer une boîte sans couvercle de volume maximal en découpant dans chacun de ses coins un carré de x cm de côté (voir illustration).

Déterminer les dimensions : longueur, largeur et hauteur de la boîte et le volume maximal de cette boîte. Exercice 74

Soit la fonction f définie par : ( ) 21f x

x x 1=

− + avec x 0≥ .

On considère un point M appartenant au graphique de f et on construit comme l’indique la figure ci-dessous un rectangle où les points O et M sont les sommets de celui-ci. On note ( )A x l’aire de ce rectangle en fonction de la valeur de x.

Quel sont les coordonnées du point M afin que l’aire du rectangle soit maximale ?

Quel est l’aire maximale du rectangle ?

x


Exercice 75

La parabole qui est le graphique de la fonction ( ) 22f x x 63

= − + coupe l’axe des abscisses

en deux points A et B. Le point ( )P x; y est libre de se déplacer sur la parabole, entre A et B.

Déterminer les coordonnées du point P pour que l’aire du triangle rectangle grisé soit maximale.

Calculer l’aire maximale du triangle rectangle grisé. Exercice 76

On considère un point M sur le diamètre [ ]AB d’un cercle. Il détermine deux cercles de diamètre

[ ]AM et [ ]MB . On pose AB 4= et AM x= .

On note ( )A x l’aire de la surface ombrée en fonction de la valeur de x.

Déterminer la valeur de x pour laquelle l’aire A de la surface ombrée est maximale.

Déterminer l’aire maximale de la surface ombrée.

A • •

B

•P

f

x

y

0

A B M • • •


5 x

h

Exercice 77

Déterminer deux nombres positifs dont la somme est 18 et dont la somme S des carrés est la plus petite possible. Donner cette somme S minimale. Exercice 78

Déterminer deux nombres positifs dont la somme est 120, de sorte que le produit P d’une des parties par le carré de l’autre soit maximal. Donner ce produit P maximal. Exercice 79

On veut faire circuler un fluide avec un frottement minimal dans un canal à section intérieure rectangulaire. ABCD représente cette section ; x désigne la hauteur en mètres et y la largeur en mètres. L’aire de la section est de 2 dm2 . a) On note ( )L x la longueur du contour intérieur c’est-à-dire AB BC CD+ + .

b) Le frottement est minimal lorsque ( )L x est minimal. Déterminer les valeurs de x puis de y (en mètre) pour lesquelles le frottement est minimal.

c) Déterminer la longueur du contour intérieur L (en mètre) la plus petite possible . Exercices 80

La surface totale d'une boîte à fond et couvercle carré est de 10 dm2. Calculer les dimensions qui maximisent le volume de cette boîte. Calculer le volume maximal. (Réponses en valeur exactes). Exercice 81

Un architecte doit construire un hangar qui à la forme d’un parallélépipède d’une largeur de 5 m et d'un volume total de 100 m3. Le coût de construction des murs porteurs verticaux s’élève à 3000 Fr/m2, celui du toit à 2500 Fr/m2 et celui du sol à 500 Fr/m2.

Déterminer les valeurs x et h en mètres que l’architecte doit choisir pour minimiser le prix de construction du hangar. Calculer ce prix minmum.

B

A

C

D

y x


Exercice 82

Un fabriquant de produits alimentaires veut mettre sur le marché un nouveau légume. Il envisage de le mettre dans des boîtes de conserve cylindriques de 3 dl. a) Déterminer les dimensions de la boîte en cm ( rayon et hauteur ) pour utiliser le moins de métal possible. Donner l’aire minimale de la boîte en cm2 . b*) Montrer que, quelque soit le volume de la boîte cylindrique, il convient de fabriquer un cylindre dont la hauteur est égale à son diamètre si l’on veut utiliser le moins de métal possible. Exercice 83 *

Vous êtes dans un champ boueux à 300 m d'une route ; la distance est mesurée perpendiculairement d'un point A sur cette route. Vous désirez vous rendre à votre voiture B située à 600 m du point A et vous marchez à une vitesse de 3 m/s dans la boue du champ et à 5 m/s sur le pavé de la route.

Quel est le temps minimum que vous pouvez prendre pour atteindre votre voiture (sans tenir compte du temps que vous pouvez mettre à faire des calculs) ?

Exercice 84 *

Considérons un disque de métal de 1 mètre de rayon, dans lequel on veut découper un triangle isocèle dont l'aire est maximale.

Quelles sont les dimensions du triangle isocèle qui maximisent l’aire ? Donner cet aire maximale. (réponse en valeur exacte)

A Voiture B C

r

h


1

3P

A

B B0A0

d

Exercice 85 *

a) Trouver la distance minimale entre la parabole d’équation 2y x= et le point ( )6;3 . b) Quel est le point sur la parabole qui donne la distance minimale ? Exercices 86 *

A 10 kilomètres de votre maison, vous vous rappelez avoir oublié de fermer un robinet, ce qui vous coûte 40 centimes par heure. En roulant à une vitesse constante de v kilomètres par heures, le coût

du carburant est de v820

+ centimes par kilomètres.

a) A quelle vitesse devez-vous faire l'aller et retour pour minimiser les frais totaux ?

b) Combien cette expérience vous coutera-t-elle ? Exercice 87 *

On considère une famille de droites de pentes négatives passant par le point ( )P 1;3 .

Pour quelle droite de la famille, le triangle délimité par la droite et les axes de coordonnées a-t-il une aire minimale ?

On donnera comme réponse, l’équation de cette droite.

Quelle est l’aire minimale de ce triangle ?

Exercice 88 *

A quel point P du premier quadrant la parabole d’équation 2y 4 x = − admet-elle une tangente formant avec les axes du repère un triangle d'aire minimale ? (réponse en valeur exacte) Exercice 89 *

A 9 h, un bateau B se trouvait à 104 km à l'est d'un autre bateau A. Le bateau B naviguait alors plein ouest à 16 km/h et le bateau A plein sud à 24 km/h.

Si chacun des bateaux poursuit sa route sans changer de vitesse, à quelle heure seront-ils le plus près l'un de l'autre ?

Quel est la distance minimale entre ces deux bateaux ?


Exercice 90 *

Introduction

On peut donner un sens physique à la notion de dérivée.

Considérons la fonction x(t) qui donne la distance parcourue en fonction du temps d'un objet.

Définitions de la Physique

a) la vitesse moyenne de l’objet entre t et t +Δt est définie par :

moyx x( t t ) - x( t )v ( t )t t

Δ ΔΔ Δ

+= =

b) la vitesse instantanée de l’objet au temps t est définie par :

t 0 t 0

x x( t t ) - x( t )v( t ) lim limt tΔ Δ

Δ ΔΔ Δ→ →

+= =

Remarque : la dérivée première de x(t) est la fonction v(t). Autrement dit : v( t ) x ( t )′= c) Similairement, l’accélération moyenne de l’objet entre t et t +Δt est définie par :

moyv v( t t ) - v( t )a ( t )t t

Δ ΔΔ Δ

+= =

d) l’accélération instantanée de l’objet au temps t est définie par :

t 0 t 0

v v( t t ) - v( t )a( t ) lim limt tΔ Δ

Δ ΔΔ Δ→ →

+= =

Remarques : 1) la dérivée première de v(t) est la fonction a(t). Autrement dit : a( t ) v'( t )=

2) la dérivée seconde de x(t) est la fonction a(t). Autrement dit : a( t ) x''( t )=

Δt

x

x(t+Δt)

x(t)

t t+Δt

Δx

temps

distance parcourue


Énoncé A

Lorsque l'on lache verticalement un objet de masse m [kg] au voisinage de la Terre avec une vitesse initiale de v0 [m/s] et une position initiale de x0 [m], la distance parcoure x de l'objet en fonction du

temps t est donnée par la loi de Newton : ( )2 20 0

1x( t )= gt +v t+ p g 10 m/s2

⎡ ⎤≅ ⎣ ⎦

Remarque :Pour ce problème, les frottements sont considérés comme négligeables. Une pomme de 200 [g] est lachée d'une montgolfière située à 1000 [m] d'altitude avec comme conditions initiales v0 = 10 [m/s] et x0 = 0 [m]. 1) Calculer la durée de vol de l'objet.

2) Quelle distance à parcouru l'objet lorsqu’il est à la moitié de la durée de vol ?

3) Calculer la vitesse moyenne du sac entre son largage et le sol.

4) Calculer la vitesse instantanée et l'accélération instantanée après t secondes .

5) Calculer la vitesse instantanée de l'objet lorsqu'il s'écrase au sol en [km/h].

6) A quel temps t la vitesse instantanée est-elle égale à la vitesse moyenne précédemment calculée ?

7) Calculer l'accélération instantanée de l'objet lors du largage et lorsqu'il s'écrase au sol. Que constatez-vous ?

8) Tracer le graphique de ( )x t , v( t ) et a( t ) dans le même repère pour t∈ [0;13].

Énoncé B

Lorsque l'on lance verticalement un objet vers le haut avec une vitesse initiale de v0 [m/s], sa hauteur est donnée approximativement par la fonction ( ) 2

0x t 5t v t= − + .

1) Trouver en fonction de v0 la hauteur maximale atteinte.

2) Quelle sera cette hauteur maximale si v0 = 10 [m/s]?

3) Quelle doit être la vitesse initiale v0 pour atteindre une hauteur de 500 [m] ?

x(t)


1.5.11 Ce qu’il faut absolument savoir 41♥ Connaître la définition de la dérivée d’une fonction en un point ok

42♥ Déterminer l’expression algébrique de la droite tangente à f en un point ok

43♥ Déterminer l’approximation polynomiale du premier ordre de f en un point ok

44♥ Connaître la définition de la fonction dérivée de f ok

45♥ Connaître et comprendre la relation entre la continuité et la déravibilité d’une fonction f en un point ok

46♥ Connaître parfaitement les règles de dérivation ok

47♥ Savoir utiliser les règles de dérivation pour calculer la fonction dérivée d’une fonction donnée ok

48♥ Connaître la définition de croissance, décroissance et d’extremum local d’une fonction f ok

49♥ Connaître et comprendre la relation entre la croissance / décroissance de f et le signe de sa dérivée f ’ ok

50♥ Connaître et comprendre la relation entre les extremums locaux de f et les zéros de sa dérivée f ’ ok

51♥ * Connaître la définition de convexité, concavité et de point d’inflexion d’une fonction f ok

52♥ * Connaître la définition de dérivée nième d’une fonction f ok

53♥ * Connaître et comprendre la relation entre la convexité / concavité de f et le signe de sa dérivée seconde f ’’ ok

54♥ Étudier complètement une fonction polynomiale ou rationnelle en utilisant une démarche rigoureuse ok

55♥ Résoudre un problème « simple » d’optimisation en utilisant une démarche rigoureuse ok

56♥ Connaître et comprendre le théorème de Rolle ok

57♥ Connaître et comprendre le théorème de Lagrange (cas général) ok

58♥ Connaître et comprendre les corollaires du théorème de Lagrange ok

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 121 Solutions des exercices / 3N-A

1.6 Solutions des exercices Ex 1

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f 7 4 ; f 4 0 ; f 2 1 ; f 0 3 ; f 2 2 ; f 4 2 ; f 5,5 1− = − − = − = = = = − = −

b) ( ) { } ( ) { } ( ) { }1 1 1f 2 5,5;4 ; f 0 4 ;3;7 ; f 2 2,5 ; 1 ;2 − − −− = − = − = − −

( ) { } ( ) { } ( )1 1 1f 3 0 ; 1,5 ; f 4 1 ; f 4,5 − − −= = = ∅

c) [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] ] [( ) [ [f 4; 2 0;2 ; f 0;1 3;4 ; f 2;4 2;2 et f 2;7 2;2− − = = = − = −

d) Zéros de f : ( ) { }1f 0 4 ;3;7 − = − . L'ordonnée à l'origine de f : ( )f 0 3= . Ex 2

a) ( ) ( )f ( 2 ) 30 ; f 0 24 ; f 8 0− = = = b) ( ) ( )f ( 2 ) 0 ; f 0 4 ; f 8 60 − = = − =

c) f ( 2 ) 5− = − ∉ ; ( )f 0 3= − ∉ ; ( )f 8 5= d) 6f ( 2 )0−

− = ∉ ; ( )f 0 0= ; ( ) 2f 85

=

Ex 3

a) f -1(−1) = {1} f -1 (0) = {7/8} f -1(2) = {5/8} b) f -1(−1) = ∅ f -1 (0) = {0} f -1 (2) = {−1 ; 1}. c) f -1 (−1) = {−1} f -1 (0) = {0} f -1 (2) = {8}. d) f -1 (−1) = ∅ f -1 (0) = ∅ f -1 (2) = Ex 4

1) gD = 2) ( )g 0 4= − 3) ( )g 2 6=

4) ( )g 5 36= 5) ( ) { }1g 0 4;1− = − 6) ( ) ( )1 1 1g (2) = 3 33 ; 3 332 2

− ⎧ ⎫− − − +⎨ ⎬⎩ ⎭

Ex 5

1) Df = f (0) = 2 f -1(0) = {−2/3}

2) Df = f (0) = −9 f -1(0) = {−3 ; 3}

3) Df = f (0) = 0 f -1(0) = {0 ; 1}

4) Df = + f (0) = 0 f -1(0) = {0}

5) Df = [−5 ; ∞[ f (0) = 5 f -1(0) = {−5}.

6) Df = \ {−3} f (0) = 53

f -1(0) = ∅

7) Df = \ {−1 ; 1} f (0) = 0 f -1(0) = {0}

8) Df = \ {−2 ; 2} f (0) = 12

f -1(0) = {2}

9) Df = f (0) = 0 f -1(0) = {0}

10) Df = + f (0) = 0 f -1(0) = {0}

11) [ [fD 2;= +∞ ( )f 0 ∉ ( ) { }1f 0 2− =

12) [ [fD 1;= − +∞ ( ) 1f 03

= − ( ) { }1f 0 3− =


Ex 6 a) g ne satisfait pas à la définition de fonction. b) h satisfait à la définition de fonction. c) k satisfait à la définition de fonction.

Ex 7

Si a = 0 alors +1 si x 0

f(x)=-1 si x > 0

≤⎧⎨⎩

; -1 si x 0

g(x)=+1 si x > 0

≤⎧⎨⎩

et 0h(x)= f(x)+ g(x)= x∀ ∈ .

Ex 8

La fonction « valeur absolue » est définie par : ( )si 0si 0

x xf x x

x x≥⎧

= = ⎨− <⎩

a) 7 7 ; 7 7 ; 0 0 ; 17 29 12 12= − = = − = − =

b) ,a b avec a b− ∈ , représente géométriquement la distance entre les nombre a et b sur l'axe réel.

c) Graphique de la fonction f « valeur absolue » sur l'intervalle [ ]5;5 − :

Df =

d) Vrai 2x x= x∀ ∈

e) Soit la fonction ( ) 3h x x= − .

i) ( ) ( )3 3 0 3 3

33 3 0 3 3

x si x x si xh x x

x si x x si x− − ≥⎧ − ≥⎧

= − = =⎨ ⎨− − − < − + <⎩⎩

ii) hD = ; ( )h 0 3 3= − = ; ( ) { } ( )1h 0 3 3 3 3 0 0car h− = = − = =

iii) Graphique de la fonction h sur l'intervalle [ ]10;10 − :

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5x

-2

-1

1

2

3

4

5y

f

h


Ex 9

2(f + h)(x) = f(x)+h(x) =x 4+ 2(f - h)(x) =f(x)-h(x) = x 10+

(g + h)(x) =g(x)+h(x) = 2x 2+ 2(f + g + h)(x) = f(x)+g(x)+h(x) = x 2x 9+ + 3 2(f g)(x) = f(x) g(x) = 2x 5x 14x 35⋅ ⋅ + + + ( ) 2(f g)(x) = f g(x) =4x 20x 32+ +

( ) 2(g f)(x) =g f(x) 2x 19= + ( )(g g)(x) =g g(x) =4x +15 2(f + g - h)(x) = f(x)+g(x)-h(x)= x 2x 15+ + 3 2(f g h)(x) = f(x) g(x) h(x) = 6 x 15x 42x 105⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − −

( )( )(g g g)(x) =g g g(x) = 8x +35 ( )( ) 2(g f g)(x) =g f g(x) = 8x 40x 69+ + Ex 10

a) f et g ne sont pas égales. b) f et g sont égales. c) f et g sont égales.

d) f et g sont égales. e) f et g ne sont pas égales. Ex 11

a) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 3 2 3 2g x f f x f f x= = ( ) ( ) ( )2 2 1g x f f x= ( ) ( ) ( )3 4 3 1g x f f f x=

( ) ( ) ( )4 3 2 1g x f f f x= ( ) ( ) ( )5 2 4g x f f x= ( ) ( ) ( )6 4 1 3 2g x f f f f x=

( ) ( ) ( )7 1 1 2 3g x f f f f x= ( ) ( ) ( )8 2 1 3g x f f f x= b)

( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 3 1 3g x f f x f f x= = ( ) ( ) ( )2 4 1 3g x f f f x= ( ) ( ) ( )3 5 1 3g x f f f x=

( ) ( ) ( )4 1 5 3g x f f f x= ( ) ( ) ( )5 5 4 2g x f f f x= ( ) ( ) ( )6 5 1 4 2 3g x f f f f f x=

( ) ( ) ( )7 4 5g x f f x= ( ) ( ) ( )8 1 1 2 3g x f f f f x= Ex 12

a)

énoncé hypothèse conclusion

1 un quadrilatère est un carré ce quadrilatère est un rectangle

2 ABC est rectangle en A AB² + AC² = BC²

3 ABC est un triangle et AB = AC ABC est un triangle isocèle

4 il pleut il y a des nuages

5 B est le milieu du segment [AC] AB = BC

6 un côté d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit ce triangle est rectangle

7 il fait nuit il n'y a pas de lumière

8 k est un nombre pair k2 est un multiple par 4

9 k est un nombre entier ( 1) ( 2)k k k+ + + + est un multiple de 3

10 k est un nombre entier et k2 est pair k est pair

11 F est un parallélogramme les diagonales de F se coupent en leur milieu

12 F est un triangle équilatéral F est un triangle isocèle


b)

Enoncé 1) : Si un quadrilatère est un carré alors ce quadrilatère est un rectangle.

Négation : Si un quadrilatère n’est pas un carré alors ce quadrilatère n’est pas un rectangle.

Réciproque : Si un quadrilatère est un rectangle alors ce quadrilatère est un carré.

Contraposée : Si un quadrilatère n'est pas un rectangle alors ce quadrilatère n'est pas un carré.

Enoncé 2) : Si ABC est rectangle en A alors AB² + AC² = BC².

Négation : Si ABC n'est pas rectangle en A alors AB² + AC² ≠ BC².

Réciproque : Si AB² + AC² = BC² alors ABC est rectangle en A.

Contraposée : Si AB² + AC² ≠ BC² alors ABC n'est pas rectangle en A.

Enoncé 3) : Si ABC est un triangle et AB = AC alors ABC est un triangle isocèle.

Négation : Si ABC est un triangle et AB ≠ AC alors ABC n'est pas un triangle isocèle.

Réciproque : Si ABC est un triangle isocèle alors AB = AC.

Contraposée : Si ABC n'est pas un triangle isocèle alors AB ≠ AC.

Enoncé 4) : Si il pleut alors il y a des nuages.

Négation : Si il ne pleut pas alors il n'y a pas de nuages.

Réciproque : Si il y a des nuages alors il pleut.

Contraposée : Si il n'y a pas de nuages alors il ne pleut pas .

Enoncé 5) : Si B est le milieu du segment [AC] alors AB = BC.

Négation : Si B n'est pas le milieu du segment [AC] alors AB ≠ BC.

Réciproque : Si AB = BC alors B est le milieu du segment [AC].

Contraposée : Si AB ≠ BC alors B n'est pas le milieu du segment [AC].

Enoncé 6) : Si un côté d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle est rectangle.

Négation : Si aucun côté d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle n’est pas rectangle.

Réciproque : Si un triangle est rectangle alors un côté de ce triangle est un diamètre de son cercle circonscrit.

Contraposée : Si un triangle n'est pas rectangle alors aucun côté de ce triangle n'est un diamètre de son cercle circonscrit .

Enoncé 7) : Si il fait nuit alors il n'y a pas de lumière.

Négation : Si il ne fait pas nuit alors il y a de lumière.

Réciproque : Si il n'y a pas de lumière alors il fait nuit.

Contraposée : Si il y a de lumière alors il ne fait pas nuit.

c) Que constate-t-on ? c.1) La négation d'un théorème n'est pas toujours vraie.

c.2) La réciproque d'un théorème n'est pas toujours vraie.

c.3) La contraposée d'un théorème est toujours vraie.


Ex 14

a) { }fD \ 2= car 22 4 0f ( 2 )

2 2 0−

= = ∉−

b) ( ) ( ) ( ) ( )f 1,8 3,8 ; f 1,9 3,9 ; f 1,99 3,99 ; f 1,999 3,999= = = = .

c) ( ) ( ) ( ) ( )f 2,2 4,2 ; f 2,1 4,1 ; f 2,01 4,01 ; f 2,001 4,001= = = = .

d) x 2x 2 x 2

1) lim f ( x ) 4 2 ) lim f ( x ) 4 3 )lim f ( x ) 4+ − →→ →

= = = .

Ex 15

a) { }fD \ 2= car 22 2 6 8f(2) = 2 2 0− +

= ∉−

b) c)

2

x 2

x x 6 81) lim f(x) tend vers (lorsque x tend vers 2 par la droite) x 2 0+ +→

− += = +∞ +∞

−2

x 2

x x 6 82 ) lim f(x) tend vers (lorsque x tend vers 2 par la gauche) x 2 0− −→

− += = −∞ −∞

−

2

x 2

x x 63 ) limx 2→

− +∃

− (la limite n’existe pas)

Ex 16

a) x ax a x a

lim f ( x ) b , lim f ( x ) b , lim f ( x ) b , f ( a ) b+ − →→ →

= = = = b) x ax a x a

lim f ( x ) c , lim f ( x ) b , lim f ( x )+ − →→ →

= = ∃ , f ( a ) b=

c) x ax a x a

lim f ( x ) b , lim f ( x ) b , lim f ( x ) b , f ( a )+ − →→ →

= = = ∃ d) x ax a x a

lim f ( x ) b , lim f ( x ) d , lim f ( x )+ − →→ →

= = ∃ , f ( a ) c=

e) x a x alim f ( x ) c , lim f ( x )

+ −→ →= ∃

x a, lim f ( x )

→∃ , f ( a ) c= f)

x ax a x alim f ( x ) b , lim f ( x ) b , lim f ( x ) b , f ( a ) b

+ − →→ →= = = =

g) x ax a x a

lim f ( x ) b , lim f ( x ) b , lim f ( x ) b , f ( a ) c+ − →→ →

= = = = h) x alim f ( x )

+→∃

x a, lim f ( x )

−→∃

x a, lim f ( x )

→∃ , f ( a ) b=

Ex 20

1) 3 2) 15 3) 0 4) 2 5) 1 6) +∞ 7) ∃

8) +∞ 9) +∞ 10) ∃ 11) 87

− 12) +∞ 13) +∞ 14) 138

15) 0 16) +∞ 17) +∞ 18) 48− 19) +∞ 20) ∃ 21) 17

22) ∃ 23) −∞ Ex 21

1) 1 2) 3 3) 0 4) 1/2 5) 1 6) 1/4 7) − 3

8) 4 9) 1 10) 1/4

x f(x) 1.9 -77.1

1.99 -797.01 1.999 -7997.001

2.1 83.1

2.01 803.01 2.001 8003.001


-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 910x

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

10y

Ex 22

1) − ∞ 2) +∞ 3) 0 4) 3/2 5) − 3 6) +∞ 7) 256

8) 0 9) +∞ Ex 23

1) 8 2) 0 3) 1/4 4) 6 5) 1 6) 23

7) 0 8) 0 9) 12

10) 1 11) 1 si a 02 a

> 12) 34

13*) 0 14*) − ∞ 15*) 1 16*) +∞ Ex 24

1) 3 2) 3/2 3) a 4) a 5) 0 6) ∃ 7) 0 8) ∃ 9) 1 10) −1 11) ∃ 12) 3 13) 4 14*) 1/2 Ex 25* a)

v clim L( v ) 0

−→= b)

v clim m( v )

−→= +∞

Ex 26

1.1) a.1) ( ) 1f xx 2

=−

a.2) { }f 2D \= c)

Zéros : 1f ( 0 )− = ∅

Ordonnée à l'origine : 1f ( 0 )2

= −

b.1) ( ) 1f x 0x 2

= +−

b.2) A.V. en x = 2 ; A.H. en y = 0 ; A.O. aucune

1.2) a.1) ( ) xg x x 2

=−

a.2) { }g 2D \= c)

Zéros : { }1g ( 0 ) 0− = Ordonnée à l'origine : g( 0 ) 0=

b.1) ( ) 2g x 1x 2

= +−

b.2) A.V. en x = 2 ; A.H. en y = 1 ; A.O. aucune

1.3) a.1) ( )2xh x

x 2=

−

a.2) { }hD \ 2= c)

Zéros : { }1h ( 0 ) 0− = Ordonnée à l'origine : h( 0 ) 0=

b.1) ( ) 4h x x 2x 2

= + +−

b.2) A.V. en x = 2 ; A.H. aucune ; A.O. en y = x +2

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 910x

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

10y

-10 -5 5 10 15 20x

-10

-5

5

10

15

20y


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6x

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8y

-8-7-6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6x

-4-3-2-1

12345678

y

-8-7-6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6x

-4-3-2-1

123456789

10y

-8-7-6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6x

-6-5-4-3-2-1

123456789

10y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4y

2.1) a.1) ( ) ( )x 2 2x 3f ( x ) 2x 3 si x 2

x 2− +

= = + ≠−

a.2) { }f 2D \= c)

Zéros : 1 3f ( 0 )2

− ⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭

Ordonnée à l'origine : f ( 0 ) 3=

b.1) ( ) 0f x 2x 3 2x 3 si x 2x 2

= + + = + ≠−

b.2) A.V. aucune ; A.H. aucune ; A.O. en y = 2x + 3

2.2) a.1) ( ) ( ) ( )( ) ( )x 2 2x 3 2x 3g x si x 2x 2 x 1 x 1− + +

= = ≠− + +

a.2) { }g 1;2D \ −= c)

Zéros : 1 3g ( 0 )2

− ⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭

Ordonnée à l'origine : g( 0 ) 3=

b.1) ( ) 2

x 2g x 2x x 2

−= +

− −

b.2) A.V. en x = -1 ; A.H. en y = 2 ; A.O. aucune

2.3) a.1) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

x 2 2x 3 2x 3h x si x 2x 2 x 1 x 1− + +

= = ≠− + +

a.2) { }hD \ 1;2= − c)

Zéros : 1 3h ( 0 )2

− ⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭

Ordonnée à l'origine : h( 0 ) 3=

b.1) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

x 2 2x 3 2x 3h x 0 0 si x 2x 2 x 1 x 1− + +

= + = + ≠− + +

b.2) A.V. en x = -1 ; A.H. en y = 0 ; A.O. aucune

3.1) a.1) ( )( ) ( )23

2 2

x 1 x x 2x x 2f xx x

+ − ++ += =

a.2) { } *f 0D \ == c)

Zéros : { }1f ( 0 ) 1− = −

Ordonnée à l'origine : 2f ( 0 )0

= ∉

b.1) ( ) 2

x 2f x xx+

= +

b.2) A.V. en x = 0 ; A.H. aucune ; A.O. en y = x

3.2) a.1) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 x 1 2x 1g x

x 1− − +

=+

a.2) gD = c)

Zéros : 1 3g ( 0 )2

− ⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭

Ordonnée à l'origine : g( 0 ) 1=

b.1) ( ) 2

x 3g x 2x 1+

⇒ = − ++

b.2) A.V. aucune ; A.H. en y = - 2 ; A.O. aucune


-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6y

3.3) a.1) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x 2 x 2 x 2h x si x 2

x x 2 x 6 x x 6− + +

= = ≠− + +

a.2) { }h 6;0;2D \ −= c)

Zéros : { }1h ( 0 ) 2− = − Ordonnée à l'origine : h( 0 )∉

b.1) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x 2 x 2 x 2h x 0 0 si x 2

x x 2 x 6 x x 6− + +

= + = + ≠− + +

b.2) A.V. en x = -6 ; A.V. en x = 0 ;

pas d'A.V. en x = 2 ; A.H. en y = 0 ; A.O. aucune Ex 27

a) Par exemple : 1f ( x ) 0x 7

= +−

b) Par exemple : ( ) ( )2

1f ( x ) 0x 2 x 7

= ++ −

c) Par exemple : 1f ( x ) 2x 1

= − ++

d) Par exemple : ( ) ( )

1f ( x ) 2x 3 x 10

= +− +

e) Par exemple : ( ) 2

0

1f ( x ) 3x 5x 1Δ<

= − ++

f) Par exemple : ( ) 1f ( x ) 2x 5x 5

= − + +−

g) Par exemple : ( )4

22 2

x 1f ( x ) x 1x 1 x 1

= = − ++ +

Ex 28

a) Par exemple : 1 3 1f ( x ) x2 2 x 1

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ −⎝ ⎠

• A.V. x = 1 • A.H. aucune • A.O. 1 3y x2 2

= − +

b) Par exemple : 1f ( x ) 3x 4

= +−

• A.V. x = 4 • A.H. y = 3 • A.O. aucune

c) Par exemple : ( ) ( )

10f ( x ) 0x 4 x 4

= +− +

• A.V. x = -4 et x= 4 • A.H. y = 0 • A.O. aucune

d) Par exemple : 2

1 5f ( x ) x 12 x 1

⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟ +⎝ ⎠

• A.V. aucune • A.H. aucune • A.O. 1y x 12

= − −

e) Par exemple : ( ) ( )2 2

4 2x x x 3 4x 310 5 1

1f ( x )10 x 1 x 10

⎛ ⎞ −+ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠= ⋅ =

− −

• A.V. x = 1 • A.H. aucune • A.O. aucune

f) Par exemple : ( )( )2

2f ( x ) x 2x 3

= − +−

• A.V. x = 3 • A.H. aucune • A.O. y x 2= −


-8-7-6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-8-7-6-5-4-3-2-1

12345678

y

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4y

Ex 29 *

a) Asymptotes de la fonction ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

x 3 x 2 x 4f x

x 2 x 5− − +

=− +

:

• A.V. en x = -5 car ( )x 5lim f x→ −

= ±∞ • Pas d'A.V. en x = 2 car ( )x 2lim f x→

∈

• A.O. en y x - 4= car ( )deg Q 1= • A.H. aucune car ( ) ( )deg A deg B>

b) Par exemple : ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

A x x 3 x 2 x 4g x

B x− − +

= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

21- x - 2 x + 52

c) Par exemple : ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

A xh x

B x x 2 x 5= =

− +4 x - 2 x + 4

d) Par exemple : ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

A x x 3 x 2 x 4j x

B x− − +

= =x - 3 x - 2 x + 4

Ex 30 * n

n 2

x 3f ( x )x 9+

=−

avec n∈

Si n = 0 : A.V. x = -3 ; x = 3 A.H. y = 0

Si n = 1 : A.V. x = 3 A.H. y = 0

Si n = 2 : A.V. x = -3 ; x = 3 A.H. y = 1

Si n = 3 : A.V. x = -3 ; x = 3 A.O. d'équation y = x

Si n > 3 : A.V. x = -3 ; x = 3 A.H. et A.O. aucune Ex 31 *

( ) 2f x x x 1= + − c)

a) ] ] [ [f ; 1 1;D −∞ − ∪ +∞=

Zéros : 1f ( 0 )− = ∅

Ordonnée à l'origine : f ( 0 ) ∃ b) A.V. aucune A.H. à gauche en y = 0 A.O. à droite en y = 2x

( )2

3x 1g xx 2−

=+

c)

a) gD =

Zéros : 1 1g ( 0 )3

− ⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

Ordonnée à l'origine : 1g( 0 )2−

=

b) A.V. aucune A.H. à gauche en y = -3 et à droite en y = 3 A.O. aucune


10 20 30 40 50x

-2

0

2

4

6y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6y

( )1

xh x xx

=+

c)

a) ] [ [ [h ; 1 0;D −∞ − ∪ +∞=

Zéros : { }1h ( 0 ) 0− = Ordonnée à l'origine : h( 0 ) 0= b) A.V. x 1= − A.H. aucune

A.O. à gauche et à droite en 1y x 2

= −

Ex 32 * a) ( ) [ ]V t 10 t 10 litres = ⋅ +

et ( ) [ ]A t 50 t grammes= ⋅

b) A( t ) 50t gc( t )V ( t ) 10t 10 l

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

c) ( ) gc 20 4,76 l

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

et t t

A( t ) 50t gc( ) lim lim 5V( t ) 10t 10 l→∞ →∞

⎡ ⎤∞ = = = ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

Ex 33 1) f est continue en x = a car

x a x alim f ( x ) lim f ( x ) b f ( a )

− +→ →= = =

2) On ne peut rien dire car ( )f a ∉ . 3) f est discontinue en x = a car

x a x alim f ( x ) b c lim f ( x )

− +→ →= ≠ = .

4) On ne peut rien dire car ( )f a ∉ .

5) On ne peut rien dire car ( )f a ∉ . 6) f est continue en x = a car

x a x alim f ( x ) lim f ( x ) b f ( a )

− +→ →= = =

Ex 34 a) { }fD \ 3;1= − b) i) f est continue sur l’intervalle : ] [; 3−∞ −

f est continue sur l’intervalle : ] [3; 2− −

f est continue sur l’intervalle : ] [2;1−

f est continue sur l’intervalle ] [1;+∞ ii) f est discontinue en x = -3 car

3lim ( ) 2 3 ( 3)x

f x f→−

= ≠ = −

f est discontinue en x = 1 car 1

lim ( )x

f x→

∃ (n’existe pas) et ( )1 0f =


Ex 36

1) { }fD \ 1= f est continue sur \{1} f est nulle part discontinue.

2) { }fD \ 2= f est continue sur \{2} f est nulle part discontinue. 3) fD = f est continue sur f est nulle part discontinue. 4) fD += f est continue sur + f est nulle part discontinue. 5) fD = f est continue sur f est nulle part discontinue. 6) fD = f est continue sur \{1} f est discontinue en x = 1. 7) *

fD = f est continue sur * f est nulle part discontinue. 8) gD = g est continue sur \{0} g est discontinue en x = 0. 9) fD = f est continue sur f est nulle part discontinue.

10) { }fD \ 3;3= − f est continue sur \{−3 ;3} f est nulle part discontinue.

11) *fD = f est continue sur * f est nulle part discontinue.

12) gD = g est continue sur \{0} g est discontinue en x = 0. 13) fD = f est continue sur f est nulle part discontinue

14) *fD = f est continue sur * f est nulle part discontinue

15) gD = g est continue sur g est nulle part discontinue

16) [ [fD 1;= − +∞ f est continue sur [ [1;− +∞ f est nulle part discontinue

17) [ [fD 1;= − +∞ f est continue sur [ [ ] [1;3 3;− ∪ +∞ f est discontinue en x = 3

Ex 37

a) k 9= − b) 7k3

= c) 3k5

=

Ex 41

1) VRAI 2) FAUX 3) VRAI 4) FAUX

5) FAUX 6) FAUX 7) FAUX 8) FAUX

9) FAUX 10) FAUX 11) FAUX 12) VRAI

13) FAUX 14) FAUX 15) FAUX 16) FAUX

17) FAUX 18) FAUX 19) VRAI 20) FAUX

21) FAUX 22) VRAI 23) VRAI 24) FAUX

25) VRAI 26) FAUX 27*) VRAI 28*) VRAI

29*) VRAI 30*) FAUX 31*) VRAI

Ex 42

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

g 3 2 g 1 2 g 1 3 g 4 11g' 3 0 g' 1 1 g' 1 g' 4 02

− = − = − = − = −

− = − = − = =

Ex 45

a) f '( 1 ) 6− = −

b) L’équation de la tangente est : T( x ) 6 x 3= − + .

c) Calcul de la dérivée de f en a : f '( a ) 2a 4= −

Il y a un point appartenant au graphique de f pour lequel la tangente à f est horizontale : c’est le point ( )2;0 .


Ex 46

• 2f ( x ) x - 2x - 8 = • Calcul de la dérivée de f en a : f '( a ) 2a 2= −

a) L’équation de la tangente est T( x ) 4x 17= − .

b) L’équation de la tangente est T( x ) 2x -12= .

c) L’équation de la tangente est ( )T x - 9= . (droite horizontale) Ex 47*

0bx

2a= − représente la première coordonnée du sommet de la parabole f et la position de l’axe de symétrie.

Ex 48*

• 2f ( x ) 4 x = − • Calcul de la dérivée de f en a : f '( a ) 2a=−

• ( )2g( x ) x 2 = − • Calcul de la dérivée de g en a : g'( a ) 2a 4= −

a) f '( a ) g'( a ) 2a 2a 4 a 1= ⇒ − = − ⇒ =

b) ( )1T x –2x 5= + (pour f) ( )1T x – 2x 3= + (pour g)

d) f '( a ) 0 2a 0 a 0 et g'( a ) 0 2a 4 0 a 2= ⇒ − = ⇒ = = ⇒ − = ⇒ =

a = 0 représente la première coordonnée du sommet de la parabole f.

a = 2 représente la première coordonnée du sommet de la parabole g.

e) Il existe deux points a tel que f et g admettent des tangentes perpendiculaires. 2 5a 1 1.122±

= ≅ ±

Ex 49 * ( )–1T x –2x – 1= ( )3T x 6x – 9= Ex 50 *

a) Si le joueur tire au moment où l’avion est en ( )P 1;2 , la cible placée sur l’axe des x à l’abscisse x = 3 sera touchée.

b) Si le joueur tire au moment où l’avion est en 3 5P ;2 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, aucune cible placée sur l’axe des x aux abscisses

x = 1, 2, 3, 4 et 5 ne sera touchée. Ex 51*

1) 11,02 1 0,02 1 0,02 1 0,01 1,012 1

= + ≅ + ⋅ = + = • Avec la calculatrice scientifique : 1,009950494

2) 125,3 25 0,3 25 0,3 5 0,03 5,032 25

= + ≅ + ⋅ = + = • Avec la calculatrice scientifique : 5,029910536

3) 2 2 2( 4,001) ( 4 0,001) 4 2 4 0,001 16 0,008 16,008= + ≅ + ⋅ ⋅ = + = • Avec la calculatrice scientifique : 16,008001

4) ( )2 2 2( 1,99 ) ( 2 0,01) 2 2 2 0,01 4 0,04 3,96= − ≅ + ⋅ ⋅ − = − = • Avec la calculatrice scientifique : 3,9601


Ex 52

Pour : f ( x ) 2x 7= − + a) La fonction dérivée de f est : f ' :

x 2 f '( x )→→ − =

b) f est dérivable x∀ ∈ car f '( x ) 2= − (fonction constante) c) f 'D =

Pour : 1g( x )x

= a) La fonction dérivée de g est :

*

2

g' :1x g'( x )x

→

→ − =

b) g est dérivable { }x / 0∀ ∈

c) *g'D =

Pour : 3h( x ) x= a) La fonction dérivée de h est : 2

h' :x 3x h'( x )→

→ =

b) h est dérivable x∀ ∈ car 2h'( x ) 3x= c) h'D = Ex 53 a) 2 3

1 2 3 4f '( a ) 1 f '( a ) 2a f '( a ) 3a f '( a ) 4a= = = =

b) Conjecture : Si n n 1n nf ( x ) x alors f ' ( x ) n x −= = ⋅

Ex 54 a) f continue en a = 1 f dérivable en a = 1 g continue en a = 1 g dérivable en a = 1 h continue en a = 1 h pas dérivable en a = 1 j continue en a = 1 j pas dérivable en a = 1

b) f dérivable en a implique f continue en a, mais pas le contraire. Ex 56

1.1) 2f ( x ) 12x′ = 1.2) f ( x ) 2x 1′ = − 1.3) 6 8f ( t ) 35t 27t′ = − +

1.4) 3 2f ( y ) 4 y 15 y 2 y′ = − + 1.5) 23f ( x ) x5

′ = 1.6) 2f ( x ) x3

′ = −

1.7) 2 67 1f ( x ) 18x x8 8

′ = − + 1.8) 5 33f ( x ) x 12x2

′ = − − 1.9) 2

3f ( t )t

′ = −

1.10) 3

4f ( x )x

′ = 1.11) 2 3

2 2f ( m )m 5m−′ = + 1.12) 4 5

12 12f ( x )x x−′ = −

1.13) 2

2

1 xf ( x )x+′ = − 1.14) 4

5 12f ( z )2 z

′ = −

2.1) 3

2f ( x )3 x

′ =⋅

2.2) 67

6f ( t )7 t−′ =⋅

2.3) 57f ( x ) x2

′ = ⋅

2.4) 7411f ( x ) x20

′ = ⋅ 2.5) 2 1f ( y ) 3y2 y

′ = + 2.6) f ( x ) 0′ =

3.1) f ( x ) 6 x 1′ = − 3.2) 2f ( x ) 4 12x′ = − + 3.3) f ( x ) 3x ( 5x 2 )′ = ⋅ − 3.4) [ ]f ( t ) 4 12t 5′ = ⋅ − +

3.5) ( )22f ( x ) 6 x 1 x′ = − ⋅ − 3.6) ( ) ( )2 22xf ( x ) x 4 3x 47

′ = ⋅ + ⋅ +

3.7) ( ) ( )32f ( x ) 4 3 2x x 4x 1′ = ⋅ + − ⋅ − 3.8) ( )92 3f ( z ) 60z 5 2z′ = − ⋅ −

3.9) 2

1f ( t )( t 3 )−′ =−

3.10) ( )3

2f ( x )x 3−′ =−

3.11) ( )

( )

7

78

48 8x 1f ( x )

x x

⋅ +′ =

+ 3.12) ( ) ( )84 4f ( x ) x x 1 37 x 10x 1′ = + + + +


4.1) 2

9f ( x )( 2 x )

′ =−

4.2) 2

1f ( w )( 1 2w )

−′ =−

4.3) 2 2

4xf ( x )( x 1)

′ =+

4.4) 2 2

42xf ( x )( x 3 )

′ =+

4.5) 3 2

2

14u 3u 14f ( u )( 1 7u )

− + +′ =−

4.6) ( )

2

22

x 16 x 6f ( x )x x 2

+ +′ =+ +

5.1) 2f ( x ) 3 sin ( x ) cos( x )′ = ⋅ ⋅ 5.2) 3f ( t ) 8 sin ( t ) cos( t )′ = − ⋅ ⋅

5.3) f ( x ) cos( x ) x sin( x )′ = − ⋅ 5.4) [ ]3f ( x ) cos( x ) x sin( x )7

′ = − ⋅ − ⋅

5.5) 2

3f ( x ) 10 sin( x ) cos( x )x

′ = − ⋅ ⋅ + 5.6) ( )2 3f ( y ) 3y sin( y ) 1 y cos( y )′ = ⋅ + + ⋅

5.7) f ( x ) 0′ = 5.8) f ( x ) 4 sin( x ) cos( x )′ = ⋅ ⋅

5.9) 2 2f ( x ) 2 cos ( x ) sin ( x )⎡ ⎤′ = ⋅ −⎣ ⎦

6.1) 2

cos( t )f ( t )sin ( t )−′ = 6.2) 3

2 sin( x )f ( x )cos ( x )⋅′ =

6.3) 4

3 cos( x )f ( x )sin ( x )

− ⋅′ = 6.4) ( )2f ( x ) 2 tan( x ) 1 tan ( x )′ = ⋅ ⋅ + ou 3

2 sin( x )cos ( x )⋅

=

6.5) 2

2

2 ( 1 tan ( x ))f ( x )tan ( x )

− ⋅ +′ = ou 2

2sin ( x )−

= 6.6) 3

16 sin( z )f ( z )cos ( z )

− ⋅′ =

7.1) f ( x ) 2 cos( 2x )′ = ⋅ 7.2) 1 xf ( x ) sin3 3

⎛ ⎞′ = − ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

7.3) ( )2f ( x ) 2x cos 1 x′ = ⋅ + 7.4) ( )22

3f ( t ) ou 3 1 tan ( 3t )cos ( 3t )

′ = = ⋅ +

7.5) 2f ( x ) 12 sin ( 4x ) cos( 4x )′ = ⋅ ⋅ 7.6) ( )2f ( x ) 6 x sin x 1′ = − ⋅ −

7.7) 1f ( x )2x 1

′ =+

7.8)2

3 ( n 2 )f ( n )n 4n 5⋅ +′ =+ −

7.9) ( )32

3xf ( x )3x 1

−′ =−

7.10) ( )32

64xf ( x )8x 2

−′ =+

7.11) cos( x )f ( x )2 sin( x )

′ =⋅

7.12) cos( 2x )f ( x )sin( 2x )

′ =

8.1) 3x 2f ( x ) 3 e +′ = ⋅ 8.2)

2

f ( ) 2 e λλ λ′ = ⋅

8.3) ( )cos xf ( x ) sin( x ) e′ = − ⋅ 8.4) xf ( x ) ( x 1) e′ = + ⋅

8.5) 22 x 3xf ( x ) ( 2x 3x 1) e +′ = + + ⋅ 8.6) ( ) tf ( t ) sin( t ) cos( t ) e′ = − + ⋅

8.7) ( ) 2xf ( x ) cos( x ) 2x sin( x ) e′ = + ⋅ ⋅ 8.8) ( ) 3xf ( x ) 2 cos( x ) 3 sin( x ) sin( x ) e′ = ⋅ + ⋅ ⋅

8.9) x xf '( x ) k e m eα λα λ −= ⋅ + ⋅

9.1) 3f ( t )3t 2

′ =+

9.2) 2f ( x )x

′ =

9.3) 2

3

3xf ( x )1 x−′ =−

9.4) f ( x ) ln( x ) 1′ = +

9.5) ( )f ( x ) x 2 ln( x ) 1′ = ⋅ + 9.6) 2f ( y ) ln( y ) 2′ = +

9.7) x

x

ef ( x )1 e

′ =+

9.8) 1f ( z )z

′ = −

9.9) ( )2

2 sin( x ) cos( x )f ( x )cos x 1

− ⋅ ⋅′ =+

9.10) 2

2xf ( x )1 x−′ =+


Ex 58

• ( ) 2 f x x 2x 7= − − a) Calcul de la dérivée de f : f '( x ) 2x 2= − b) L’équation de la tangente est ( )T x 4x 16= − .

c) L’équation de la tangente est ( )T x 2x -11= .

Ex 59

• ( )f x 3x=

a) Calcul de la dérivée de f : 3f '( x )2 3x

=⋅

.

b) ( ) ( ) *Dom f Dom f '+ += = Réponse : Non.

c) L’équation de la tangente est ( ) 1 3T x x2 2

= + .

d) L’équation de la tangente est ( ) 1T x x 34

= + .

e) Non car ( )2 Dom f +− ∈ = . Ex 60

a) FAUX b) FAUX c) FAUX d) VRAI e) FAUX Ex 61 *

• 2x 1f ( x )x+

=

• '

2

2x 1 1f '( x )x x+⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

• Expression algébrique de la droite tangente T à f au point ( )( )1; f 1 :

( ) ( ) ( )1T ( x ) f ' 1 x 1 f 1 x 4= ⋅ − + = − +

• Zéro de T1 : x 4 0 x 4− + = ⇒ =

• Conclusion : si le joueur tire au moment où l’avion est en ( )P 1;3 , la cible placée sur l’axe des x à l’abscisse x = 4 sera touchée.


Ex 62

a) ( ) ( )f ' x g x= Tableau des variations de f :

b) ( ) ( )j' x h x=

Tableau des variations de j :

c) ( ) ( )h' x g x=

Tableau des variations de h :

Ex 64 * a) b) c) d)

4 3 2

3 2

2

( 3 )

( 4 )

( 5 ) ( n )

f ( x ) x 3x 2x 6 x 1

f ( x ) 4x 9x 4x 6

f ( x ) 12x 18x 4

f ( x ) 24x 18

f ( x ) 24

f ( x ) .... f ( x ) 0

= + − − +

′ = + − −

′′ = + −

= +

=

= = =

( )

( )

( )

2

2

2

3

( 3 )4

x 1g( x )x 1x 2x 1g'( x )

x 14g''( x )

x 112g ( x )

x 1

+=

−− −

=−

=−

−=

−

( )

x

x

x

5 x

h( x ) e

h'( x ) e

h''( x ) e

h ( x ) e

=

=

=

………

=

( )

( )

( )

j( x ) sin 3x

j'( x ) 3 cos 3x

j''( x ) 9 sin 3x

=

= ⋅

= − ⋅

x 1−

f '(x)=g(x) - 0 +

f(x) min

x 12

− 1

j'(x) = h(x) - 0 + 0 +

j(x) min palier

x 1− 1

h'(x) = g(x) - 0 + 0 -

h(x) min max


-2 -1 1 2x

-2

-1

1

2

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x

-4

-3

-2

-1

1

2

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6x

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

Ex 65

a) ( ) ( ) ( )3 21 1 1f ( x ) x x 4x 4 x 1 x 4 x 44 4 4

= − − + = − + −

1) fD =

2) Zéros : ( ) { }1f 0 4 ; 1;4− = − Ordonnée à l'origine : f ( 0 ) 4= 4) A.V. aucune A.H. aucune A.O. aucune

5) ( ) ( ) ( )23 1 1f ' x x x 4 x 2 3x 84 2 4

= − − = + −

( )1f '

8D ( f ') 0 2;3

− ⎧ ⎫= = −⎨ ⎬⎩ ⎭

7) 8 100Min ;3 27

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

( )Max 2; 9− −

8*) ( ) ( )3 1 1f '' x x 3x 12 2 2

= − = −

( )1f ''

1D ( f '') 03

− ⎧ ⎫= = ⎨ ⎬⎩ ⎭

9*) 1 143Inf ;3 54

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )34 3f ( x ) x 2x 2x 1 x 1 x 1= − + − = − +

1) fD =

2) Zéros : ( ) { }1f 0 1 ; 1− = − Ordonnée à l'origine : f ( 0 ) 1= − 4) A.V. aucune / A.H. aucune / A.O. aucune 5) ( ) ( ) ( )23 2f ' x 4x 6 x 2 2 x 1 2x 1= − + = − +

( )1f '

1D ( f ') 0 ;12

− ⎧ ⎫= = −⎨ ⎬⎩ ⎭

7) 1 27Min ;2 6

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )Palier 1;0

8*) ( ) ( )2f '' x 12x 12x 12x x 1= − = −

( ) { }1f ''D ( f '') 0 0;1−= =

9*) ( )Inf 0; 1− et ( )Inf 1;0

c*) ( ) ( ) ( ) ( )4 2x 3x 1f ( x ) 2 x 2 x 2 x 2 x 2

4 2 4= − + − =− + − + −

1) fD =

2) Zéros : ( ) { }1f 0 2 ; 2 ; 2;2− = − −

Ordonnée à l'origine : f ( 0 ) 2= − 4) A.V. aucune / A.H. aucune / A.O. aucune 5) ( ) ( ) ( )3f ' x x 3x x x 3 x 3= − + = − − +

( ) { }1f 'D ( f ') 0 3;0; 3−= = −

7) ( )Min 0; 2− 1 1Max 3; Max 3;4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8*) ( ) 2f '' x 3x 3 3( x 1)( x 1)= − + = − + −

( ) { }1f ''D ( f '') 0 1;1−= = −

9*) 3 3Inf 1; Inf 1;4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.


-10 -5 5 10x

-10

-5

5

10

15y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6x

-3

-2

-1

1

2

3yEx 71

a) 2

4xf ( x )x 1

=+

1) fD =

2) Zéros : ( ) { }1f 0 0− = Ordonnée à l'origine : f ( 0 ) 0=

3) 2

4xf ( x ) 0x 1

= ++

A.V. aucune A.H. d’équation y = 0 A.O. aucune

4) ( ){ }f Q 0;0∩ =

5) ( ) ( ) ( )( )22

4 x 1 x 1f ' x

x 1

− − +=

+ ( ) ( ) { }1

f 'D f ' 0 1;1−= = −

7) ( ) ( )Min 1; 2 Max 1;2− −

8*) ( )( ) ( )

( )32

8x x 3 x 3f '' x

x 1

− +=

+ ( ) ( ) { }1

f ''D f '' 0 3;0; 3−= = −

9*) ( ) ( ) ( )Inf 3; 3 Inf 0;0 Inf 3; 3− −

b) ( )

3 3

22

x xf ( x )x 2x 1 x 1

= =− + −

1) { }fD \ 1=


3) ( )( )2

3x 2f ( x ) x 2x 1−

= + +−

A.V. d’équation x = 1 A.H. aucune A.O. d'équation Q(x) = x +2

4) 2 8f Q ;3 3

⎧ ⎫⎛ ⎞∩ = ⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

5) ( ) ( )( )

2

3

x x 3f ' x

x 1

−=

−

{ } ( ) ( ) { }1f 'D \ 1 f ' 0 0;3−= =

7) ( ) 27Palier 0;0 Min 3;4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

8*) ( )( )4

6 xf '' xx 1

=−

{ } ( ) ( ) { }1f ''D \ 1 f '' 0 0−= =

9*) ( )Inf 0;0


-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7yc) ( ) ( )

( )

23 2

22

x x 3x 6 x 9xf ( x )x 4x 4 x 2

− −− + −= =

− + −

1) { }fD \ 2=

2) Zéros : ( ) { }1f 0 0;3− = Ordonnée à l'origine : f ( 0 ) 0=

3) ( )( )2

3x 8f ( x ) x 2x 2

−= − + +

−

A.V. d’équation x = 2 A.H. aucune A.O. d’équation ( )Q x x 2= − +

4) 8 2 f Q ;3 3

⎧ ⎫⎛ ⎞∩ = −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

5) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

2

3

1 x 3 x 3x 6f ' x

x 2

Δ<

− − − +=

−

{ } ( ) ( ) { }1f 'D \ 2 f ' 0 3−= =

7) ( )Max 3;0

8*) ( ) ( )( )4

6 x 4f '' x

x 2

−=

− { } ( ) ( ) { }1

f ''D \ 2 f '' 0 4−= =

9*) ( )Inf 4; 1−

d) ( ) ( )

2

2

3 32 x x2x 9 2 2f ( x )x 9 x 3 x 3

⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠= =− − +

1) { }fD \ 3;3= −

2) Zéros : ( )1 3 3f 0 ;2 2

− ⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭

Ordonnée à l'origine : f ( 0 ) 1=

3) 2

9f ( x ) 2x 9

= +−

A.V. d’équation x = -3 et x = 3 A.H. d’équation y = 2 A.O. aucune

4) f Q∩ =∅

5) ( )( ) ( )2 2

18xf ' xx 3 x 3

−=

− + { } ( ) ( ) { }1

f 'D \ 3;3 f ' 0 0−= − =

7) ( )Max 0;1

8*) ( ) ( )( ) ( )

0

2

3 3

54 x 3f '' x

x 3 x 3

Δ<

+=

− + { } ( ) ( )1

f ''D / 3;3 f '' 0−= − = ∅

9*) f ne possède pas de points d’inflexions.


-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10y

e) ( ) ( )2

x 2 x 2 1f ( x ) si x 2x x 2 x 1 x 2 x 1

+ += = = ≠ −

+ − − + −

1) { }fD \ 2;1= −

2) Zéros : ( )1f 0− = ∅ Ordonnée à l'origine : f ( 0 ) 1= −

3) 1f ( x ) 0 si x 2

x 1= + ≠ −

−

A.V. d’équation x = 1 A.H. d’équation y = 0 A.O. aucune 4) f Q∩ =∅

5) ( )( )2

1f ' x si x 2x 1−

= ≠ −−

{ } ( ) ( )1f 'D / 2;1 f ' 0−= − = ∅

7) f ne possède pas d’extremums.

8*) ( )( )3

2f '' x si x 2x 1

= ≠ −−

{ } ( ) ( )1f ''D \ 2;1 f '' 0−= − = ∅

9*) f ne possède pas de points d’inflexions.

f) ( ) ( )

3 3

2

x xf ( x )x 4 x 2 x 2

= =− − +

1) { }fD \ 2;2= −


3) ( ) ( )

4xf ( x ) xx 2 x 2

= +− +

A.V. d’équation x = -2 et x = 2 A.H. aucune A.O. d'équation ( )Q x x=

4) ( ){ }f Q 0;0∩ =

5) ( )( ) ( )( ) ( )

2

2 2

x x 12 x 12f ' x

x 2 x 2

− +=

− +

{ } ( ) ( ) { }1f 'D \ 2;2 f ' 0 12;0; 12−= − = −

7) ( ) ( ) ( ) ( )Min 12; 27 3,5;5,2 Max 12; 27 3,5; 5,2≅ − − ≅ − −

8*) ( ) ( )( ) ( )

0

2

3 3

8x x 12f '' x

x 2 x 2

Δ<

+=

− + { } ( ) ( ) { }1

f ''D / 2;2 f '' 0 0−= − =

9*) ( )Inf 0;0

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6y


2 4 6 8 10x

-4

-2

2

4

y

g

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1x

-1

1

2

3

4y

-4 -2 2 4x

-30

-20

-10

10

20

30y

•

•

Ex 67 a) ( ) 2f x x 2x 1= + + , sur l'intervalle [ ]3;1−

Les hypothèses du théorème de Rolle sont vérifiées pour la fonction f sur l’intervalle [ ]3;1− .

( )f ' c 0 2c 2 0 c 1= ⇔ + = ⇔ = −

Réponse : Il y a un nombre c 1= − sur l'intervalle ] [3;1− qui satisfait la conclusion du théorème.

b) ( )( )2

1g xx 3

=+

, sur l'intervalle [ ]4;2−

Certaines hypothèses du théorème de Rolle ne sont

pas vérifiées pour la fonction g sur l’intervalle [ ]4;2− . c) ( ) 3h x x 16 x= − , sur l'intervalle [ ]4;4−

Les hypothèses du théorème de Rolle sont vérifiées pour la fonction h sur l’intervalle [ ]4;4− .

( ) 2 16h' c 0 3c 16 0 c 2,3093

= ⇔ − = ⇔ = ± ≅ ±

Réponse : Il y a deux nombres c sur l'intervalle ] [4;4− qui satisfont la conclusion du théorème.

Ex 68 a) ( ) 3f x x 16 x= − , sur l'intervalle [ ]0;5 .

Les hypothèses du théorème de Lagrange sont vérifiées pour la fonction f sur l’intervalle [ ]0;5 .

( ) f ( 5 ) f ( 0 ) 25f ' c c 2,8875 0 3−

= ⇔ = ± ≅ ±−

Réponse : Il y a un nombre c 2,887≅ sur l'intervalle ] [0;5 qui satisfait à la conclusion du théorème.

b) 1g( x )x 5

=−

, sur l'intervalle [ ]4;6 .

Certaines hypothèses du théorème de Lagrange ne sont pas vérifiées pour la fonction g sur l’intervalle [ ]4;6 .

( )2g( 6 ) g( 4 )g ( c ) c 5 1 impossible6 4−′ = ⇔ − = −−

Réponse : Il n’y a pas de nombre c sur l'intervalle ] [4;6 qui satisfait la conclusion du théorème. c) ( )h x 4x= , sur l'intervalle [ ]0;4 .

Les hypothèses du théorème de Lagrange sont vérifiées pour la fonction h sur l’intervalle [ ]0;4 .

( ) h( 4 ) h( 0 )h' c 4c 4 c 14 0−

= ⇔ = ⇔ =−

Réponse : Il y a un nombre c 1= sur l'intervalle ] [0;4 qui satisfait à la conclusion du théorème.

1 2 3 4 5x

-30

-20

-10

10

20

30

40

50y

f

1 2 3 4 5x

-2

-1

1

2

3

4

5y h

-4 -3 -2 -1 1 2x

-2

2

4

6

8

10y

•


Ex 73 • Pour que le volume de la boîte soit maximal, les dimensions de la boîte doivent être d’environ 44.2 cm pour la longueur, 24.2 cm pour la largeur et 7,5 cm pour la hauteur.

• Le volume maximum est alors d’environ 8450 cm3. 22 6 ,28 uπ ⎡ ⎤≅ ⎣ ⎦

Ex 74 • L’aire du rectangle grisé est maximale si ( )M 1;1 .

• L’aire maximale du rectangle est de 21 u⎡ ⎤⎣ ⎦

Ex 75 • L’aire du triangle rectangle grisé est maximale si 16P 1;3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

• L’aire maximale du triangle rectangle grisé est de 232 u3

⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Ex 76 • L’aire de la surface ombrée est maximale si x 2 = .

• L’aire maximale de la surface ombrée est de 22 6,28 uπ ⎡ ⎤≅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ .

Ex 77 • Le premier nombre est 9 et le deuxième nombre est 9. • La plus petite somme S des carrés est alors de 162. Ex 78 • Le premier nombre est 80 (celui élevé au carré) et le deuxième nombre est 40. • Le produit P maximal est alors de 256’000.

Ex 79 • Pour que le frottement soit minimal, les dimensions du canal doivent être de x = 0,1 m pour la hauteur et y = 0,2 m pour la largeur. • La longueur du contour intérieur L la plus petite possible est 0,4 m .

Ex 80 • Les dimensions de la boîte sont pour la base 5x3

= dm et pour la hauteur 5y3

= dm.

La boîte est donc un cube.

• Le volume maximal vaut 12527

[dm3] .

Ex 81 • Pour que le prix du hangar soit minimal, les dimensions du hangar doivent être d’environ 6,32x m≅ et 3,16h m≅ .

• Le prix minimal est alors d’environ 309 '736 .Fr Ex 82 Partie a)

• Pour utiliser le moins de métal possible, le rayon des boîtes de conserves cylindriques doit être d'environ 3,63 cm et la hauteur d'environ 7,26 cm.

Remarque : Le diamètre de la boîte est égal à sa hauteur.

• L’aire minimale est alors de 248 [cm2]. Ex 83 * Le temps minimum est de 200 secondes. Ex 84 * Les dimensions du triangle isocèle inscrit ayant une aire maximale sont : base 3 m=

et de hauteur 1,5 m. L’aire maximale est de 23 3 m4

.

Remarque : Le triangle est équilatéral. En effet, la mesure des deux côtés identiques est

obtenue à l’aide du théorème de Pythagore : 223 3 9 3 12 3

2 2 4 4 4⎛ ⎞⎛ ⎞ + = + = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠,

ce qui correspond à la mesure de la base. Ainsi donc, les trois côtés ont la même mesure.


Ex 85 * Le point le plus proche de ( )A 6;3 qui se trouve sur la parabole est ( )M 2;4 . Il se trouve à une distance d’environ 4,12 [u]. Ex 86 * La vitesse doit être de 20 [km/h] pour minimiser les frais totaux. Le coût de cette expérience sera de 200 ct. soit 2 Fr. Ex 87 * L’équation de la droite est y = -3x + 6. L’aire minimale du triangle est de 26 u⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Ex 88 * L'aire du triangle formé par une tangente à la parabole et les axes du repère,

est minimale, si le point du premier quadrant est 2 8P ;33

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Ex 89 * C'est donc à 9+2 = 11h que les bateaux seront le plus proche et la distance minimale sera d'environ 86,53 km. Ex 90 * Énoncé A

1) t 13.1774 [ s ]≅ 2) [ ]283 m≅

3) moy.v 75,9 [m / s]≅ 4) Vitesse instantanée de l’objet au temps t : v(t) 10t 10 [m / s]= +

Accélération instantanée de l’objet au temps t : 2a(t) 10 [m / s ]=

5) 510 [ km / h ]≅ 6) Après 6 ,59 [ s ] la vitesse instantanée est de75,9 [ m / s ].

7) a(0)= 10 [m / s] et a(13.1774)= 10[m / s]

Énoncé B

1) 0vt [ s ]10

= et 2

0max

vh [ m ]20

= 2) [ ]maxh 5 m= 3) [ ]0v 100 m / s=


Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

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01 Table des matieres Analyse 3 N-A · 1.5.4 Relation entre continuité et dérivabilité 69 1.5.5 Règles de dérivation 72 1.5.6 Croissance, décroissance et extremums ... (1 page