Chapitre 2. Caractéristiques des distributions à une ... · M ediane M ediane (2) - donn ees brutes Deux cas possibles en fonction du caract ere pair ou impair de la taille de l’

Caracteristiques de tendance centrale Caracteristiques de dispersion Caracteristiques de concentration

Chapitre 2. Caracteristiques des distributions aune variable quantitative

Jean-Francois Coeurjollyhttp://www-ljk.imag.fr/membres/Jean-Francois.Coeurjolly/

Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University


Objectif general de ce chapitre

Objectif : calculer des caracteristiques permettant deresumer les tableaux et graphiques.

Trois categories de caracteristiques :1 Tendance centrale2 Dispersion3 Concentration


1 Caracteristiques de tendance centraleModeMedianeQuantiles d’ordre quelconqueMoyenneSynthese : quelles caracteristiques pour resumer une serie ?Complement : methode du “shift and share”

2 Caracteristiques de dispersionEtendue (intervalle de variation)Ecarts interquantilesEcart absoluEcart-type et varianceComparaison de series statistiques et synthese

3 Caracteristiques de concentrationCourbe de LorentzIndice de GiniMediale


Mode

Mode d’une variable statistique

Definition

Le mode (ou classe modale) est la valeur (ou la classe) pourlaquelle les individus sont le plus representes.

Calcul du mode :

variable discrete : modalite presentant le plus grand effectif (ouplus grande frequence).

variable continue : on cherche d’abord la classe ayant la plusgrande densite : c’est la classe modale. Le mode peut ensuiteetre defini (par exemple comme le centre de cette classe).

Remarques :

pour une var. continue, en general on ne donne que la classemodale.

Une serie peut avoir plusieurs modes (en presence de maximalocaux de frequence ou densite selon le type de variable) ; onparle de serie plurimodale.


Mode


Definition


Calcul du mode :



Remarques :




Mode


Definition


Calcul du mode :



Remarques :




Mode

Application numerique sur deux exemples

Exemple Nbre pers./voiturexi fi1 10%2 25%3 40%4 25%

Total 100%1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

nombre de personnes/voiture

fréq

uenc

e

●

●

●

●

Revenu des menages francaisxi fi di

(en euros) (/tr. de 800e)

[0, 1600[ 45% 22.5%[1600, 2400[ 35% 35%[2400, 3200[ 20% 20%

Total 100% ×0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

010

2030

40

Revenu en euros

% p

ar tr

anch

e de

800

eur

os


Mediane

Mediane - definition

Definition

La mediane est la valeur de la serie (i.e. une modalite) quipartage la serie en deux sous-ensembles de meme effectif (ou dememe frequence).

BIl faut distinguer deux cas :

1 les donnees sont observes de maniere brute.[le plus souvent une variable discrete]

2 les donnees sont regroupees en classes.[le plus souvent une variable continue]


Mediane

Mediane (2) - donnees brutes

Deux cas possibles en fonction du caractere pair ou impair de lataille de l’echantillon n :

1 n est impair : la mediane de la serie de n = 5 ages : 17, 9,

19, 25, 21 est Me = 19 (ans) .

2 n est pair : la mediane de la serie de n = 4 ages : 17, 9, 19,

25 est entre 17 et 19⇒ Me = (17 + 19)/2 = 18 (ans)

Formule generale : Soient x1, . . . , xn les valeurs de la serie etsoient x(1), x(2), . . . , x(n) les versions ordonnees, i.e.x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n) alors

Me =

{x((n+1)/2) si n est impair,x(n/2)+x(n/2+1)

2 si n est pair.


Mediane




19, 25, 21 est

Me = 19 (ans) .




Me =


2 si n est pair.


Mediane




19, 25, 21 est Me = 19 (ans) .




Me =


2 si n est pair.


Mediane




19, 25, 21 est Me = 19 (ans) .


25 est entre 17 et 19

⇒ Me = (17 + 19)/2 = 18 (ans)


Me =


2 si n est pair.


Mediane




19, 25, 21 est Me = 19 (ans) .




Me =


2 si n est pair.


Mediane




19, 25, 21 est Me = 19 (ans) .




Me =


2 si n est pair.


Mediane

Mediane - donnees brutes (2)

Quelle est la mediane de la serie statistique suivante ?

Exemple nb personnes/voiture

xi ni fi Fi

1 40 10% 10%2 100 25% 35%3 160 40% 75%4 100 25% 100%

Total 400 100% ×

n = 400 est pair ⇒ il faut donc reperer la 200 -eme et201 -eme observation dans la liste des observationsordonnees.

x(200) = 3 , x(201) = 3 ⇒ Me = 3+32 = 3 (pers./voiture)


Mediane




xi ni fi Fi

1 40 10% 10%2 100 25% 35%3 160 40% 75%4 100 25% 100%

Total 400 100% ×




Mediane




xi ni fi Fi

1 40 10% 10%2 100 25% 35%3 160 40% 75%4 100 25% 100%

Total 400 100% ×




Mediane

Mediane (3) - donnees regroupees

Exemple du revenu menages

xi (en e) ni (×106) fi Fi

[0, 1600[ 9 45% 45%[1600, 2400[ 7 35% 80%[2400, 3200[ 4 20% 100%

Total 20 100% ×

Dans le cas ou les donnees sont regroupees en classes, il fautsuivre deux etapes :

1 reperer la classe mediane , i.e. la classe contenant lamediane.

Ici, 45% des menage ont un revenu < 1600eet 80% desmenages ont un revenu < 2400e⇒ Me ∈]1600, 2400[

2 estimer la mediane par interpolation lineaire .


Mediane




[0, 1600[ 9 45% 45%[1600, 2400[ 7 35% 80%[2400, 3200[ 4 20% 100%

Total 20 100% ×


1 reperer la classe mediane , i.e. la classe contenant lamediane.Ici, 45% des menage ont un revenu < 1600eet 80% desmenages ont un revenu < 2400e

⇒ Me ∈]1600, 2400[2 estimer la mediane par interpolation lineaire .


Mediane




[0, 1600[ 9 45% 45%[1600, 2400[ 7 35% 80%[2400, 3200[ 4 20% 100%

Total 20 100% ×


1 reperer la classe mediane , i.e. la classe contenant lamediane.Ici, 45% des menage ont un revenu < 1600eet 80% desmenages ont un revenu < 2400e⇒ Me ∈]1600, 2400[

2 estimer la mediane par interpolation lineaire .


Mediane

Mediane (4) - interpolation lineaire

●

●

●

●

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

revenu

Fi A quoi correspond la mediane sur

ce graphique ?


Mediane


●

●

●

●

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

revenu

Fi

●

(Me,50%)

Graphiquement : la medianecorrespond a l’abscisse du pointd’intersection entre la courbe des(xi ,Fi ) et la droite horizontaled’equation y = 50%.

⇒ Formule generale : soit ]xi , xi+1[ la classe mediane et soientFi et Fi+1 les frequences cumulees evaluees en xi et xi+1, alors

Me = xi +50% − Fi

Fi+1 − Fi× (xi+1 − xi )


Mediane


●

●

●

●

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

revenu

Fi

●

(Me,50%)


Application numerique :

xi = 1600, xi+1 = 2400,Fi = 45%,Fi+1 = 80%.

Me = 1600 + 50%−45%80%−45% × (2400 − 1600) ' 1714.28 e.


Mediane


●

●

●

●

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

revenu

Fi

●

(Me,50%)



xi = 1600, xi+1 = 2400,Fi = 45%,Fi+1 = 80%.

Me = 1600 + 50%−45%80%−45% × (2400 − 1600) ' 1714.28 e.


Mediane


●

●

●

●

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

revenu

Fi

●

(Me,50%)



xi = 1600, xi+1 = 2400,Fi = 45%,Fi+1 = 80%.

Me = 1600 + 50%−45%80%−45% × (2400 − 1600) ' 1714.28 e.


Quantiles d’ordre quelconque

Quantile

Definition

Un quantile d’ordre α (pour α ∈ (0, 1)) notee en toute generalite Qα

est la valeur qui partage la serie en deux sous-ensembles ; uneproportion α se situe en dessous de Qα et une proportion 1 − αau-dessus strictement de Qα.

Remarques :

Me = Q50%.

Quartiles (notes Q1,Q2,Q3) : quantiles qui separent la serie en 4sous-ensembles de meme effectif/frequence. Plus precisement

Q1 = Q25%,Q2 = Me,Q3 = Q75%.

Deciles (notes D1,D2, . . . ,D9) : quantiles qui separent la serie en10 sous-ensembes de meme frequence. Plus precisement

D1 = Q10%,D2 = Q20%, . . . ,D9 = Q90%.



Quantile (2)

Les quantiles se calculent de maniere similaire a la mediane.

Ainsi pour des donnees regroupees on a : si Qα ∈]xi , xi+1[

Qα = xi +α − Fi

Fi+1 − Fi× (xi+1 − xi )

Calculez le premier quartile de la serie suivante

Exemple du revenu menagesxi (en e) ni (×106) fi Fi

[0, 1600[ 9 45% 45%[1600, 2400[ 7 35% 80%[2400, 3200[ 4 20% 100%

Total 20 100% ×

Q1 ∈]0, 1600[

Q1 = 0 + 25%−045%−0 (1600 − 0) '

888.89e.



Quantile (2)



Qα = xi +α − Fi

Fi+1 − Fi× (xi+1 − xi )



[0, 1600[ 9 45% 45%[1600, 2400[ 7 35% 80%[2400, 3200[ 4 20% 100%

Total 20 100% ×

Q1 ∈]0, 1600[

Q1 = 0 + 25%−045%−0 (1600 − 0) '

888.89e.



Quantile (2)



Qα = xi +α − Fi

Fi+1 − Fi× (xi+1 − xi )



[0, 1600[ 9 45% 45%[1600, 2400[ 7 35% 80%[2400, 3200[ 4 20% 100%

Total 20 100% ×

Q1 ∈]0, 1600[

Q1 = 0 + 25%−045%−0 (1600 − 0) '

888.89e.


Moyenne

Moyenne - introduction

Il y a plusieurs types de moyenne dependant essentiellement duprobleme considere

1 Moyenne arithmetique [la plus connue et la plus standard]

2 Moyenne geometrique [utilisee par exemple pour calculerdes taux moyens]

3 Moyenne harmonique [utilisee pour calculer des moyennesde ratios]

4 Moyenne quadratique [moyenne de carres, notion moinsutilisee]


Moyenne

Moyenne arithmetique (ponderee)

Definition

Soit xi (i = 1, . . . , p) les modalites d’une serie brute, d’effectifsni (i = 1, . . . , p) et frequence fi , la moyenne arithmetiqueponderee notee x est donnee par

x =1

n

p∑i=1

nixi =

p∑i=1

fixi car fi =ni

n.

BSi les donnees sont regroupees en classes, les xi ne sont engeneral pas observees. Ces valeurs sont alors remplacees par lescentres de classes, notes ci pour i = 1, . . . , p.

lorsque le nombre de modalites (ou nombre de classes) est grand,il devient interessant d’utiliser la calculatrice (rentrer les donneessous forme d’un tableau, configurer de maniere appropriee etdemander des resultats univaries).


Moyenne

Moyenne arithmetique : exemple covoiturage

Calculez la moyenne de la serie


xi ni fi Fi

1 40 10% 10%2 100 25% 35%3 160 40% 75%4 100 25% 100%

Total 400 100% ×

Application :

x =40 ∗ 1 + 100 ∗ 2 + 160 ∗ 3 + 100 ∗ 4

400= 2.8 pers./voiture.

(Remarque : 10% ∗ 1 + 25% ∗ 2 + 40%3 + 25% ∗ 4 = 2.8)


Moyenne

Moyenne arithmetique : exemple covoiturage



xi ni fi Fi

1 40 10% 10%2 100 25% 35%3 160 40% 75%4 100 25% 100%

Total 400 100% ×

Application :

x =40 ∗ 1 + 100 ∗ 2 + 160 ∗ 3 + 100 ∗ 4

400= 2.8 pers./voiture.

(Remarque : 10% ∗ 1 + 25% ∗ 2 + 40%3 + 25% ∗ 4 = 2.8)


Moyenne

Moyenne arithmetique : exemple revenu des menages



xi (en e) ci ni (×106) fi Fi

[0, 1600[ 800 9 45% 45%[1600, 2400[ 2000 7 35% 80%[2400, 3200[ 2800 4 20% 100%

Total × 20 100% ×

Application :

x =9 ∗ 800 + 7 ∗ 2000 + 4 ∗ 2800

20= 1620 e.


Moyenne

Moyenne arithmetique : exemple revenu des menages



xi (en e) ci ni (×106) fi Fi

[0, 1600[ 800 9 45% 45%[1600, 2400[ 2000 7 35% 80%[2400, 3200[ 2800 4 20% 100%

Total × 20 100% ×

Application :

x =9 ∗ 800 + 7 ∗ 2000 + 4 ∗ 2800

20= 1620 e.


Moyenne

Proprietes de la moyenne arithmetique

1 La somme des ecarts (ponderes) a la moyenne est nulle,c-a-d

p∑i=1

ni (xi − x ) = 0

Preuve :

p∑i=1

ni (xi − x ) =

p∑i=1

nixi −

p∑i=1

ni

x = nx − nx = 0.


Moyenne

Proprietes de la moyenne arithmetique

1 La somme des ecarts (ponderes) a la moyenne est nulle,c-a-d

p∑i=1

ni (xi − x ) = 0

2 Considerons une population P d’effectif total n composeede k sous-populations P1, . . . ,Pk d’effectifs n1, . . . ,nk (doncn = n1 + . . . + nk ). Notons x 1, . . . , x k les moyennesarithmetiques des sous-populations P1, . . . ,Pk alors

x =n1x1 + . . . + nkxk

n.

“la moyenne globale est egale a la moyenne ponderee desmoyennes”


Moyenne

“Moyenne globale = moyenne ponderee des moyennes”

Ex : salaire de nH =200 hommes et nF =100 femmes d’une entreprise.

Calculez la moyenne de laserie Ensemble de deuxfacons differentes :

xi (en e) ci ni ,H ni ,F ni ,E

[0, 1500[ 750 70 60 130[1500, 3000[ 2250 130 40 170

Total × 200 100 300

Methode 1 (methode directe) :

xE =1

300(750 × 130 + 2250 × 170) = 1600e.

Methode 2 (en utilisant la propriete precedente) :

xH =1

200(750 × 70 + 2250 × 130) = 1725e.

xF =1

100(750 × 60 + 2250 × 40) = 1350e.

xE =1

300(200 × xH + 100 × xF ) =

1

300(200 × 1725 + 100 × 1350) = 1600e.


Moyenne





[0, 1500[ 750 70 60 130[1500, 3000[ 2250 130 40 170

Total × 200 100 300


xE =1

300(750 × 130 + 2250 × 170) = 1600e.


xH =1

200(750 × 70 + 2250 × 130) = 1725e.

xF =1

100(750 × 60 + 2250 × 40) = 1350e.

xE =1

300(200 × xH + 100 × xF ) =

1

300(200 × 1725 + 100 × 1350) = 1600e.


Moyenne





[0, 1500[ 750 70 60 130[1500, 3000[ 2250 130 40 170

Total × 200 100 300


xE =1

300(750 × 130 + 2250 × 170) = 1600e.


xH =1

200(750 × 70 + 2250 × 130) = 1725e.

xF =1

100(750 × 60 + 2250 × 40) = 1350e.

xE =1

300(200 × xH + 100 × xF ) =

1

300(200 × 1725 + 100 × 1350) = 1600e.


Moyenne

Moyenne geometrique

Une action en bourse a evolue a la hausse de 10% l’annee 1,puis a diminue de 5% l’annee 2 et de 5% l’annee 3.

Question : Quel est le taux moyen (note tmoy) d’evolutionde cette action sur les trois annees ?

B tmoy , 0 ! ! !

La moyenne geometrique est le taux qui, appliquedurant les trois annees donnera le meme capital final selonl’evolution decrite precedemment.


Moyenne

Moyenne geometrique

Une action en bourse a evolue a la hausse de 10% l’annee 1,puis a diminue de 5% l’annee 2 et de 5% l’annee 3.

Question : Quel est le taux moyen (note tmoy) d’evolutionde cette action sur les trois annees ?

B tmoy , 0 ! ! !

La moyenne geometrique est le taux qui, appliquedurant les trois annees donnera le meme capital final selonl’evolution decrite precedemment.


Moyenne

Moyenne geometrique (2)

Soit C0 le capital initial et soient C1,C2,C3 les capitaux apres1,2 ou 3 annees. On a

selon l’enonce C1 = (1 + 10%)C0, C2 = (1 − 5%)C1 etC3 = (1 − 5%)C2, c-a-d

C3 = (1 + 10%)(1 − 5%)(1 − 5%)C0.

selon la definition du taux moyen : C1 = (1 + tmoy )C0,C2 = (1 + tmoy )C1 et C3 = (1 + tmoy )C2, c-a-d

C3 = (1 + tmoy )3C0.

Par identification des deux identites, il vient que pour toutcapital initial C0

(1 + 10%)(1 − 5%)(1 − 5%) = (1 + tmoy )3

⇐⇒

tmoy =((1 + 10%)(1 − 5%)(1 − 5%)

)1/3− 1.


Moyenne

Moyenne geometrique (3)

Definition

Soit la serie statistique x1, . . . , xp d’effectif n1, . . . ,np alors lamoyenne geometrique notee en general xG est definie par

xG =

(xn1

1 × xn2

2 × . . . × xnpp

)1/n

ou n = n1 + . . . + np .


Moyenne

Moyenne harmonique

Elle permet de calculer des moyennes de ratios.

Exemple : Un coureur monte une cote de 1km a la vitessede 10km/h et descend cette meme cote a la vitesse de30km/h.

Question : Quelle est la vitesse moyenne du coureur ?

vmoy , 20 km/h ! !

car il a passe plus de temps a 10km/h qu’a 30km/h.

On cherche vmoy telle que la somme des temps passes a lamontee et la descente soit egal au temps passe a la vitessevmoy :tmontee = 1

10 , tdesc. = 130 , tvmoy = 2

vmoy

⇐⇒ 2vmoy

= 110 + 1

30 ⇐⇒ vmoy = 2110 + 1

30

= 15 km/h.


Moyenne

Moyenne harmonique




vmoy , 20 km/h ! !



10 , tdesc. = 130 , tvmoy = 2

vmoy

⇐⇒ 2vmoy

= 110 + 1

30 ⇐⇒ vmoy = 2110 + 1

30

= 15 km/h.


Moyenne

Moyenne harmonique




vmoy , 20 km/h ! !



10 , tdesc. = 130 , tvmoy = 2

vmoy

⇐⇒ 2vmoy

= 110 + 1

30 ⇐⇒ vmoy = 2110 + 1

30

= 15 km/h.


Moyenne

Moyenne harmonique (2)

Definition

Soit la serie statistique x1, . . . , xp d’effectif n1, . . . ,np alors lamoyenne harmonique notee en general xH est definie par

xH =n

n1

x1+ . . . +

np

xp

ou n = n1 + . . . + np .


Synthese : quelles caracteristiques pour resumer une serie ?

Synthese

Mode(s), mediane, moyenne(s) : quel(s) indicateur(s)utiliser pour resumer une serie et en donner des tendancescentrales ?

Cela depend de la “forme” generale de la serie statistiqueetudiee selon qu’elle soit :

plurimodale,symetrique,asymetrique.



Afin de resumer cette serie . . .

. . . quel est l’indicateur pertinent ?

Salaires xi ci ni ai

en e (1 u.a. 4000e)

[0, 4000[ 2000 45 1[4000, 8000[ 16000 10 6

[28000, 32000[ 30000 45 1

serie pluri-modale

x = 16000e, Me = 16000e.

2 classes modales :[0, 4000[,[28000, 32000[.

⇒

Moyenne et mediane nonrepresentatives de la serie.

Modes informatifs.






en e (1 u.a. 1000e)

[0, 1000[ 500 5 1[1000, 2000[ 1500 90 1[2000, 3000[ 2500 5 1

serie symetrique

x = 1500e, Me = 1500e.

classes modales : [1000, 2000[.

⇒

les trois indicateurs peuvent etreutilises.

on preferera la moyenne quipossede des proprietes interessant(calcul algebrique)






en e (1 u.a. 2000e)

[0, 2000[ 1000 90 1[2000, 38000[ 18000 10 18

serie asymetrique

x = 2900e, Me = 1100e.

⇒

La moyenne n’est pasrepresentative car trop influenceepar les gros salaires.

la mediane est plus adaptee.


Complement : methode du “shift and share”

Complement : methode ”shift and share”

methode utilisee pour comparer plusieurs moyennesponderees lorsque les coefficients de ponderation sont tres,, par exemple lorsqu’ils evoluent au cours du temps.

permet de lisser l’effet structure.

Exemples : salaires de 2 CSP en 2010 et 2011.

Annee 2010 Annee 2011CSP fi x i (e) fi x i (e)

Cadres 10% 2000 50% 1300Employes 90% 1000 50% 900

x 2010 = 1100 e, x 2011 = 1100 e.

peut-on conclure qu’il n’y a pas d’evolution de salaires de2010 a 2011 ?



Complement : methode ”shift and share”

methode utilisee pour comparer plusieurs moyennesponderees lorsque les coefficients de ponderation sont tres,, par exemple lorsqu’ils evoluent au cours du temps.

permet de lisser l’effet structure.

Exemples : salaires de 2 CSP en 2010 et 2011.


Cadres 10% 2000 50% 1300Employes 90% 1000 50% 900

x 2010 = 1100 e, x 2011 = 1100 e.

peut-on conclure qu’il n’y a pas d’evolution de salaires de2010 a 2011 ?



Complement : methode ”shift and share” (2)


Cadres 10% 2000 50% 1300Employes 90% 1000 50% 900

Pour eliminer l’effet du changement des effectifs, on calculeles moyennes en fixant les effectifs de 2010 :

x ′2011 = 10% × 1300 + 90% × 900 = 940 e

⇒ evolution de 940−11001100 ' −14.54%.

pour eliminer l’effet du changement de salaires, on calculela moyenne en 2011 en fixant les salaires en 2010

x ′′2011 = 50% × 2000 + 50% × 1000 = 1500 e

⇒ evolution de 1500−11001100 ' 36.36%.





Cadres 10% 2000 50% 1300Employes 90% 1000 50% 900


x ′2011 = 10% × 1300 + 90% × 900 = 940 e

⇒ evolution de 940−11001100 ' −14.54%.


x ′′2011 = 50% × 2000 + 50% × 1000 = 1500 e

⇒ evolution de 1500−11001100 ' 36.36%.





Cadres 10% 2000 50% 1300Employes 90% 1000 50% 900


x ′2011 = 10% × 1300 + 90% × 900 = 940 e

⇒ evolution de 940−11001100 ' −14.54%.


x ′′2011 = 50% × 2000 + 50% × 1000 = 1500 e

⇒ evolution de 1500−11001100 ' 36.36%.





Cadres 10% 2000 50% 1300Employes 90% 1000 50% 900


x ′2011 = 10% × 1300 + 90% × 900 = 940 e

⇒ evolution de 940−11001100 ' −14.54%.


x ′′2011 = 50% × 2000 + 50% × 1000 = 1500 e

⇒ evolution de 1500−11001100 ' 36.36%.


Caracteristiques de dispersion

Objectif : definir des indicateurs permettant d’evaluer lecaractere disperse ou variable d’une serie statistique.En particulier, nous etudierons

1 l’etendue

2 les ecarts interquantiles

3 les ecarts absolus (moyen et median)

4 l’ecart-type (ou variance)


Etendue (intervalle de variation)

Etendue (intervalle de variation)

Definition

L’etendue est la difference entre la plus grande et la plus petiteobservation de la serie.

Etendue = x(n) − x(1).

Notion tres peu utilisee en pratique car elle est tres sensibleaux fluctuations de l’echantillon.

Exemple : on releve l’age de 10 individus : 24, 16, 18, 22,16, 26, 35, 25, 15, 76.⇒ etendue est detp76-16 = 50 ans.

Si on remplace 76 par un age ≤ 35 l’etendue devient 19 ans.


Ecarts interquantiles

Ecarts-interquantiles

Definition

On definit l’ecart-interquartile et l’ecart-interdecile commesuit

Ecart interquartile = Q3 −Q1 Ecart interdecile = D9 −D1.

Plus ces ecarts sont grands et plus la serie est dispersee.

Du fait que l’on ne tient pas compte des observationsfaibles ou elevees, ces caracteristiques sont moins sensiblesaux fluctuations de l’echantillon que l’etendue.


Ecart absolu

Ecarts absolus

x : statistique, xi : modalites, ni : effectifs, p nbre de modalites.

1 Ecart absolu moyen :

ex =1

n

p∑i=1

ni |xi − x |.

2 Ecart absolu median :

eMe =1

n

p∑i=1

ni |xi −Me |.

Remarques

Plus les ecarts absolus sont grands, plus la serie est dispersee.

Avantage : facile a calculer, ecart absolu median moins sensibleaux valeurs extremes.

Inconvenient : ne se prete pas aux calculs algebriques.


Ecart-type et variance


Definition

La variance est la moyenne arithmetique ponderee des ecarts ala moyenne au carre. L’ecart-type est la racine carree de lavariance.

Variance :

Var (x ) =1

n

p∑i=1

ni (xi − x )2 =

p∑i=1

fi (xi − x )2

Ecart-type :

σx =√

Var (x )

Interpretation

Plus l’ecart-type (ou variance) est grand(e) et plus la serieobservee est dispersee.




Definition

La variance est la moyenne arithmetique ponderee des ecarts ala moyenne au carre. L’ecart-type est la racine carree de lavariance.

Variance :

Var (x ) =1

n

p∑i=1

ni (xi − x )2 =

p∑i=1

fi (xi − x )2

Ecart-type :

σx =√

Var (x )

Interpretation

Plus l’ecart-type (ou variance) est grand(e) et plus la serieobservee est dispersee.



Ecart-type et variance (2)

Autre expression de la variance :

Var (x ) =1

n

p∑i=1

ni (xi − x )2

=1

n

p∑i=1

nix2i − (x )2

= x 2 − (x )2

= “moyenne des carres” − “carre de la moyenne”.

BTout comme la moyenne, pour calculer une variance (ouecart-type) pour une variable continue (dont les donnees sontregroupees en classes) on remplace les xi par ci les centres declasse.




Calculez les variance etecart-type de la seriesuivante :

xi (en e) ci ni (×106) fi[0, 1600[ 800 9 45%

[1600, 2400[ 2000 7 35%[2400, 3200[ 2800 4 20%

Total × 20 100%

Methode 1 : on rappelle que x = 1620e.

Var (x ) =1

20

(9 × (800 − 1620)2 + 7 × (2000 − 1620)2 + 4 × (2800 − 1620)2

)= 631600 e2.

Methode 2 :

x2 =1

20

(9 × 8002 + 7 × 20002 + 4 × 28002

)= 3256000 e2

Var (x ) = x2 − (x )2 = 3256000 − 16202 = 631600 e2

Ecart-type : σx =√

631600 ' 794.7 e.





xi (en e) ci ni (×106) fi[0, 1600[ 800 9 45%

[1600, 2400[ 2000 7 35%[2400, 3200[ 2800 4 20%

Total × 20 100%


Var (x ) =1

20

(9 × (800 − 1620)2 + 7 × (2000 − 1620)2 + 4 × (2800 − 1620)2

)= 631600 e2.

Methode 2 :

x2 =1

20

(9 × 8002 + 7 × 20002 + 4 × 28002

)= 3256000 e2

Var (x ) = x2 − (x )2 = 3256000 − 16202 = 631600 e2


631600 ' 794.7 e.





xi (en e) ci ni (×106) fi[0, 1600[ 800 9 45%

[1600, 2400[ 2000 7 35%[2400, 3200[ 2800 4 20%

Total × 20 100%


Var (x ) =1

20

(9 × (800 − 1620)2 + 7 × (2000 − 1620)2 + 4 × (2800 − 1620)2

)= 631600 e2.

Methode 2 :

x2 =1

20

(9 × 8002 + 7 × 20002 + 4 × 28002

)= 3256000 e2

Var (x ) = x2 − (x )2 = 3256000 − 16202 = 631600 e2


631600 ' 794.7 e.



Variance intra et interpopulation

Theoreme

Considerons une population P de taille n composee de ksous-populations P1, . . . ,Pk d’effectifs respectifs n1, . . . ,nk . Notons,x1, . . . , x k et Var (x1), . . . ,Var (xk ) les moyennes et variances des ksous-populations. Alors, la variance de la population P est

Var (x ) =n1Var (x1) + . . . + nkVar (xk )

n+

n1(x − x1)2 + . . . + nk (x − x k )2

n

=1

n

k∑i=1

niVar (xi ) +1

n

p∑i=1

ni (x i − x )2

= “moyenne des variances”+“variance des moyennes”

= Variance intra-population + Variance inter-population.



Variance intra et interpopulation (2)

Verifions le resultat precedent sur l’exemple suivant : on etudie lesalaire de nH =200 hommes et nF =100 femmes d’une entreprise.

Calculez les variancesinter-, intra- et totale dela serie :


[0, 1500[ 750 70 60 130[1500, 3000[ 2250 130 40 170

Total × 200 100 300

Pour simplifier (un peu)les calculs :

xH = 1725 e Var (xH ) = 511875 e2

xF = 1350 e Var (xF ) = 540000 e2

x = 1600 e Var (x ) = 552500 e2.

Moyenne des variances :

Var . Intra =1

300(200 ×Var(xH) + 100 ×Var(xF))

=1

300(200 × 511875 + 100 × 540000) = 521250e2.







[0, 1500[ 750 70 60 130[1500, 3000[ 2250 130 40 170

Total × 200 100 300


xH = 1725 e Var (xH ) = 511875 e2

xF = 1350 e Var (xF ) = 540000 e2

x = 1600 e Var (x ) = 552500 e2.

Moyenne des variances :

Var . Intra =1

300(200 ×Var(xH) + 100 ×Var(xF))

=1

300(200 × 511875 + 100 × 540000) = 521250e2.







[0, 1500[ 750 70 60 130[1500, 3000[ 2250 130 40 170

Total × 200 100 300


xH = 1725 e Var (xH ) = 511875 e2

xF = 1350 e Var (xF ) = 540000 e2

x = 1600 e Var (x ) = 552500 e2.

Variance des moyennes :

Var . Inter =1

300

(200 × (xH − x)2 + 100 × (xF − x)2

)=

1

300

(200 × (1725 − 1600)2 + 100 × (1350 − 1600)2

)= 31250e2.




Resumons un peu ces calculs :

Var (x ) = 552500e2.

Var . Intra + Var . Inter = Moy. des variances + Var. des moyennes

= 521250 + 31250 = 552500e2.

Peut-on dire que la caracteristique H/F influence le salaire ?

Sitel est le cas, la variance des moyennes est forte relativelement ala variance totale des salaires. Or,

Var . Inter

Var (x )=

31250

552500' 5.66%.

5.66% de la variance est expliquee par l’heterogeneite desmoyennes (H/F) ce qui est relativement faible. Par consequent,les salaires de cette entreprise ne sont que peu influences par lesexe.




Resumons un peu ces calculs :

Var (x ) = 552500e2.

Var . Intra + Var . Inter = Moy. des variances + Var. des moyennes

= 521250 + 31250 = 552500e2.

Peut-on dire que la caracteristique H/F influence le salaire ? Sitel est le cas, la variance des moyennes est forte relativelement ala variance totale des salaires. Or,

Var . Inter

Var (x )=

31250

552500' 5.66%.

5.66% de la variance est expliquee par l’heterogeneite desmoyennes (H/F) ce qui est relativement faible. Par consequent,les salaires de cette entreprise ne sont que peu influences par lesexe.


Comparaison de series statistiques et synthese

Complement I : Comparaison de series (1)

soit x la serie statistique de 4 produits en Francs : 100F, 200F,300F et 400F.

soit y la serie statistique des 4 produits en e :15e, 30e,45e,60e.

Intuitivement, ces deux series sont dispersees de la mememaniere. Or,

σx = 111.8F et σy = 16.8e.

Conclusion : pour comparer les deux series qui ne sont pas dansla meme unite, il faut transformer les caracteristiques dedispersion.

Coefficient de variation :σx

x= c’est le % de variation par

rapport a la moyenne, sans unite.

σx

x'

111.8

250' 0.45 et

σy

y'

16.8

37.5' 0.45.



Complement I : comparaison de series (2)

D’autres indicateurs de comparaison de series statistiques :

Coefficient de dispersion :

Q3 −Q1

Meou

D9 −D1

Me.

Rapport interquartile ou rapport interdecile :

Q3

Q1ou

D9

D1



Complement II : la boıte a moustaches (1)

aussi appelee box plot ou diagrammede Tukey.

moyen rapide de visualiser descaracteristiques centrale et dedispersion d’une serie quantitative.

principalement utilisee pourcomparer un meme caracterepour plusieurs populations.

basee sur le calcul de D1,Q1,Me,Q3

et D9.

D1

Q1

Me

Q3

D9








et D9.

D1

Q1

Me

Q3

D9








et D9.

D1

Q1

Me

Q3

D9








et D9.

D1

Q1

Me

Q3

D9




Etude sur le niveau de vie des menages en euros par CSP (personne

de reference) en 2010. Application : completez le graphique suivant

avec les revenus des agriculteurs . . .

sachant que pour lesagriculteurs

D1 = 6040

Q1=11135

Me = 18010

Q3 = 27140

D9 = 39010

agriculteurs cadres profInt employes ouvriers

1000

020

000

3000

040

000

5000

0




Etude sur le niveau de vie des menages en euros par CSP (personne

de reference) en 2010. Application : completez le graphique suivant

avec les revenus des agriculteurs . . .

sachant que pour lesagriculteurs

D1 = 6040

Q1=11135

Me = 18010

Q3 = 27140

D9 = 39010

agriculteurs cadres profInt employes ouvriers

1000

020

000

3000

040

000

5000

0


Introduction

Elles sont utilisees pour mesurer (essentiellement) larepartition de la masse salariale. La repartition de la massesalariale se situe entre les deux cas extremes suivants

Repartition des salaires parfaitement equitables : un certainpourcentage de salaries recoit le meme pourcentage de lamasse salariale. On dit que la concentration est nulle.Un seul salarie recoit toute la masse salariale (et les autresrien). On dit que la concentration est maximale.

Trois indicateurs pour quantifier la concentration1 courbe de Lorentz2 Indice de Gini3 Mediale.


Courbe de Lorentz

Courbe de Lorentz

On etudie les salaires de 50 employes d’une entreprise.

xi (en e) ci ni fi Fi

[600, 1200[ 900 15 30% 30 %[1200, 1800[ 1500 25 50% 80%[1800, 2100[ 1950 10 20% 100%Total × 50 100% ×

1

2


Courbe de Lorentz

Courbe de Lorentz


xi (en e) ci ni fi Fi nici[600, 1200[ 900 15 30% 30 % 13500[1200, 1800[ 1500 25 50% 80% 37500[1800, 2100[ 1950 10 20% 100% 19500Total × 50 100% × 70500

1 on calcule la masse salariale = ni × ci .

2


Courbe de Lorentz

Courbe de Lorentz


xi (en e) ci ni fi Fi nici gi Gi

[600, 1200[ 900 15 30% 30 % 13500 19.1% 19.1%[1200, 1800[ 1500 25 50% 80% 37500 53.2% 72.3%[1800, 2100[ 1950 10 20% 100% 19500 27.7% 100%Total × 50 100% × 70500 100% ×

1 on calcule la masse salariale = ni × ci .

2 on calcule le % de la masse salariale gi , ainsi que les frequences

cumulees Gi .


Courbe de Lorentz

Courbe de Lorentz



[600, 1200[ 900 15 30% 30 % 13500 19.1% 19.1%[1200, 1800[ 1500 25 50% 80% 37500 53.2% 72.3%[1800, 2100[ 1950 10 20% 100% 19500 27.7% 100%Total × 50 100% × 70500 100% ×

Definition

La courbe de Lorentz est obtenue en faisant correspondre a lafrequence cumulee Fi a la frequence cumulee Gi de la masse salariale.


Courbe de Lorentz

Courbe de Lorentz (2)

0 20 40 60 80 100

020

4060

8010

0

Fi (en %)

Gi (

en %

)

●

●

●

●

●

droite rouge = repartition parfaitement equitable.

Plus la courbe de Lorentz est eloignee de la droite rouge etplus la concentration est forte (repartition de moins en moinsequitable).


Indice de Gini

Indice de Gini

0 20 40 60 80 100

020

4060

8010

0

Fi (en %)

Gi (

en %

)

●

●

●

●

●

Soit S la surface orange.

IGini = SSurf. Demi-carre = 2S ∈ [0, 1]

Plus IGini est proche de 0 , plus la concentration est faible(proche de equirepartition).

Dans notre cas, IGini ' 14% (on ne cherchera pas a calculerl’indice)


Mediale

Mediale


[600, 1200[ 900 15 30% 30 % 13500 19.1% 19.1%[1200, 1800[ 1500 25 50% 80% 37500 53.2% 72.3%[1800, 2100[ 1950 10 20% 100% 19500 27.7% 100%Total × 50 100% × 70500 100% ×

La mediale est la mediane de la serie masse associee. Dansnotre exemple

Mediale = 1200 +50% − 19.1%

72.3% − 19.1%× (1800 − 1200) ' 1548e.

Les salaries recevant moins de 1548 erepresentent 50% de lamasse salariale.

Mesure de concentration :

∆ =Mediale −Me

Etendue≥ 0.

∆ petit = faible concentration, ∆ grand= grande concentration.Ici, on peut verifier que ∆ ' (1548 − 1440)/(2100 − 600) ' 7.2%.


Mediale

Mediale


[600, 1200[ 900 15 30% 30 % 13500 19.1% 19.1%[1200, 1800[ 1500 25 50% 80% 37500 53.2% 72.3%[1800, 2100[ 1950 10 20% 100% 19500 27.7% 100%Total × 50 100% × 70500 100% ×


Mediale = 1200 +50% − 19.1%

72.3% − 19.1%× (1800 − 1200) ' 1548e.



∆ =Mediale −Me

Etendue≥ 0.



Mediale

Mediale


[600, 1200[ 900 15 30% 30 % 13500 19.1% 19.1%[1200, 1800[ 1500 25 50% 80% 37500 53.2% 72.3%[1800, 2100[ 1950 10 20% 100% 19500 27.7% 100%Total × 50 100% × 70500 100% ×


Mediale = 1200 +50% − 19.1%

72.3% − 19.1%× (1800 − 1200) ' 1548e.



∆ =Mediale −Me

Etendue≥ 0.


Documents

Chapitre 2. Caractéristiques des distributions à une ... · M ediane M ediane (2) - donn ees brutes Deux cas possibles en fonction du caract ere pair ou impair de la taille de l’