Chapitre 2 Etude des systèmes optiques simples

Quelques illusions optiques

Un crayon plongé dans un verre

d’eau semble brisé ?!

Chap. 2 : Etude de systèmes optiques simples

On va comprendre dans ce chapitre pourquoi, par exemple :

Un objet, au fond d’un bassin

rempli d’eau, nous semble plus

près de la surface libre de l’eau

qu’il ne l’est en réalité?!

Réfraction de la lumière par les dioptres

1

http://www.etu-sup.com

Expérience des deux bougies

« Un tour de magie »

Une bougie allumée A est placée d'un côté de la vitre à 20 cm de la

surface de celle-ci.

L'animateur place une autre bougie, mais non allumée, à un endroit

bien précis de l'autre côté de la vitre (il connait le truc).

L'animateur semble se brûler le doigt;

il ne risque pourtant rien !.

On se rend vite compte que l'image de la flamme ne se

situe pas sur la surface du miroir, mais derrière celle-ci.

Réflexion de la lumière par

les miroirs


2


Mir

oir

pla

n

Miroir et dioptre plans


'HAHA

L’objet A et son image A’ sont toujours de nature

différente, et symétriques par rapport au plan du

miroir. La relation de conjugaison s’écrit:

Objet réel

Image

virtuelle

3

i r

I

i

r

Triangles (AHI) et

(A’HI) sont égaux


A’


4

Miroir plan

Stigmatisme rigoureux du

miroir plan (MP)

A

Espaces objet et image réels Espaces objet et image virtuels

r

i

Objet réel Image virtuelle

Axe optique

Lumière

+

Le miroir plan est stigmatique pour tous les points

de l’espace.

H


Translation d’un miroir plan


Quand on déplace un miroir plan

d'une distance d, l'image d'un objet

se déplace dans le même sens que le

miroir et d'une longueur double.

5

A A1 A’

d 2 d

M M’

Translation de l’image d’un objet

H H’

*Position M du miroir :

1HAHA

* Position M’ du miroir :

''' AHAH

dHH

HHHH

AHHHHA

AHHHHAAA

2'2

''

''

'''1

'1


6

Quand on fait tourner un miroir

plan d'un angle α, l'image d'un

objet tourne dans le même sens

que le miroir d'un angle 2α.

Rotation d’un miroir plan

*Position (M) du miroir :

'HAHA

* Position (M’) du miroir :

'''' AHAH

et 'OAOA

et ''OAOA

A, A’ et A ’’ sont donc sur un même cercle

de centre O et de rayon OA .

Les angles (A’ÂA ’’) et (HÔH’) sont à côtés

perpendiculaires : (A’ÂA ’’) = (HÔH’) =

Les angles (A’ÂA ’’) et (A’ÔA’’) interceptent

le même arc A’A’’, donc = 2

(M)

(M’)

H’

H


A’

B’


L’objet et l’image sont symétriques / au plan du miroir et sont toujours de nature opposée (ici objet réel et image virtuelle).

Tout rayon // à l’axe optique ( au miroir) se réfléchit sur lui-même.

L’image A’B’ a même orientation et même dimension que l’objet.

7

Miroir plan

Image d’un objet étendu par un MP

B

A

Grandissement linéaire :

1''

AB

BA


Dioptre plan (DP)

I


Position de A2 est fonction de

l’angle d’incidence i1

Pas de stigmatisme rigoureux

(sauf pour HA1=0 points de la surface

HA1 infini points à l’)

Dans les conditions de Gauss, la relation de

conjugaison du dioptre plan s’écrit : 2

2

1

1

HA

n

HA

n

8

2tan

1tan

122tan21tan1i

iHAHAiHAiHAHI

i1

i2


B

A

n n’

A’

B’


L’objet et l’image sont toujours de nature opposée (ici objet réel et image virtuelle).

Tout rayon // à l’axe optique ( au DP) émerge sans être dévié.

L’image A’B’ a même orientation et même dimension que l’objet.

9

DP Cas où n n’

Image d’un objet peu étendu à travers un DP

(dans les conditions de Gauss)

Espaces objet réel

et image virtuel Espaces objet virtuel

et image réel

Grandissement linéaire :

1''

AB

BA



10

Cas où n1 n2

A’’ A’

Exemple : Lame à faces parallèles Elle est formée par un milieu homogène d’indice n2 limité par deux

dioptres plans et parallèles (D1 et D2) baignant dans un milieu d’indice n1.

On montre que

i = i’

2

11 "n

neAA

Une lame à faces parallèles ne modifie pas la direction des rayons incidents (rayon incident et émergent sont parallèles) mais introduit un déplacement AA’’ proportionnel à l’épaisseur e de la lame.

i r

r

i’

A

n1 n2 n1

H H’ Axe

optique

D1 D2

e

Observateur


Un prisme est l'association de deux dioptres plans non parallèles.

Il est utilisé pour réfracter la lumière, la réfléchir ou la disperser .

Etude d’un prisme

A

N N’

i i’ r r’ I

S

I’

S’

D

α1 α2

(n)

(1) (1) Les 4 relations d’un prisme:

AiiD

rrA

irn

rni

ˆ'

'ˆ

'sin'sin

sinsin

A: angle au sommet du prisme (زاوية الموشور)

D: angle de deviation ( زاوية انكسار) entre la direction SI et I’S’ 11

B C

J

http://fr.wikipedia.org/wiki/Dioptre

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9fraction

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9flexion_optique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Prismes.jpg


Conditions d’émergence d’un rayon

du prisme

Il y a 2 conditions nécessaires pour qu’un rayon

lumineux puisse émerger du prisme :


* Condition sur l’angle A

*Condition sur l’ incidence i

A

12


1- Condition sur l’angle A du prisme

A ≤ 2 l

l’incidence 0 i 90°: r ≤ l

rlim= l = arcsin (1/n)

Ayant A=r+r’, la valeur maximale de A pour que

le rayon puisse émerger du prisme est 2 l.

l


13

Émergence : r’ ≤ l l = arcsin (1/n)


2 - Condition sur l’angle d’incidence

N

N’ i0

i’ = 90° rayon rasant

r

l I ’

S’

Emergence r’≤ l

A = r+r’ → r = A – r’

r’ = r’max = l r min = r0 = A- l

r min = r0 = A- l imin = i0

sin i0 = n sin r0 = n sin (A- l)

Emergence i0 i 90°

A

r0


14


Variation de D avec l’angle d’incidence i

sur la face d’entrée du prisme

D = i + i’ – A = f(i) pour A et n constants

.

0i i2

m 0D D D

.

Dm : minimum de déviation

mi i ' i m

m m

Ar r ' r

2

D 2i A

Le tracé du rayon lumineux est symétrique

par rapport au plan bissecteur de l’angle A

mA Dsin

2n

Asin

2

Au minimum de déviation on a :


15

L’indice du prisme

est alors :


Le stigmatisme approché sera bien réalisé dans les conditions

de l’approximation de Gauss.

Le stigmatisme rigoureux n’est pas réalisé pour tous les points de l’espace (sauf

pour le centre C, les points de la surface du dioptre et pour un couple de points

appelés points de Weierstrass.

DIOPTRES SPHÉRIQUES (DS)


Un dioptre sphérique est l’ensemble de deux milieux transparents, homogènes,

isotropes et d’indices différents, séparés par une surface sphérique de centre C et

de sommet S.

16


Représentation du dioptre sphérique (DS) dans l’approximation de Gauss

Zone à utiliser pour être dans

les conditions de Gauss

C

C

Schéma d’un dioptre sphérique

dans l’approximation de Gauss.

Remarque : Les formules de conjugaison de position et de grandissement que nous

allons exposer par la suite sont les mêmes quelque soit la nature du dioptre

sphérique : concave, convexe, convergent, divergent.


17

Agrandissement


1- Formule de conjugaison du DS

avec origine au sommet

n n’

A A’ S

SC

nn

SA

n

SA

n

'

'

'

La relation de conjugaison fixe la position de A’

indépendamment du choix du rayon AI

(stigmatisme approché vérifié).

L’invariant fondamental du DS s’écrit: '

''IA

CAn

IA

CAn

Relation de conjugaison

Avec origine au sommet S


n

n’

C S

+

A’ A

I

H

) )

i’

w i

) ’

Attention au signe des angles: positifs si

sens trigonométrique, négatifs sinon. +

+ +

18

n n’

Axe optique


2- Formule de conjugaison du DS

avec origine au centre

A A’ C

n n’

CS

nn

CA

n

CA

n ''

'

Dans les conditions de Gauss et en appliquant la relation

de Chasles à l’invariant fondamental, on trouve :


Relation de conjugaison

Avec origine au sommet S


3- Foyers principaux d’un dioptre sphérique

Foyer principal objet F F est un point objet sur l’axe optique dont l’image est à l’infini (rayon émergent // à l’axe optique).

objet A F image A’ (à l’infini)

'nn

nSCSFf

F

f : distance focale objet

SC

nn

SA

n

SA

n

'

'

'

Foyer principal image F’ F’ est un point image sur l’axe optique dont l’objet est à l’infini (rayon incident // à l’axe optique).

objet A image A’ F’

F’

SC

nn

SA

n

SA

n

'

'

'n'n

'nSC'SF'f

f’ : distance focale image


SC'SFSF

Si les foyers F et F’ sont rejetés à l’infini le système est dit afocal.

Les foyers principaux objet et image sont uniques.

20

Les foyers principaux F et F’ ne sont pas conjugués.


4- Autres formes de la relation de

conjugaison du DS

'.'.''. ffSFSFAFFA

SF

n

'SF

'n

SA

n

'SA

'n

1SA

SF

'SA

'SF

Relation de Descartes Relation de Newton ou relation

de conjugaison avec origine aux foyers

'nn

'ff

A A’ S

F F’


n et n’ étant positifs, f et f’ ont des signes opposés et les foyers

F et F’ sont tous les deux réels ou tous les deux virtuels.

Chasles

21

Il n’y a jamais de foyer entre le sommet S et le centre C du DS.

Les segments [FF’] et [SC] ont le même point milieu.

Remarques :


5- Vergence d’un DS / Formule de Gullstrand

pour un système optique simple (DS)

SF

n

'SF

'n

SC

n'nV

pour un système optique centré (voir chapitre 3)

n n’ N S1 S2

2121 V.VNe

VVV

222

111 f

N

f

'nVet

fn

f

NV

''

21SSeavec


V s’exprime en dioptrie (δ) ou m-1

Formule de Gullstrand

La convergence ou la vergence V s’écrit :

22


les deux foyers F et F’

sont réels.

6- Dioptres convergents / divergents

le centre C est dans le milieu

le plus réfringent.


V > 0 Dioptre sphérique convergent

SF

n

'SF

'n

SC

n'nV

V < 0 Dioptre sphérique divergent

00' SFetSF

ou 0'

0'

SCetnn

SCetnn

00' SFetSF

0'

0'

SCetnn

SCetnnou

le centre C est dans le milieu

le moins réfringent.

les deux foyers F et F’

sont virtuels. 23


7- Construction géométrique de l’ image

d’un objet à travers un DS convergent

F’

S C F

B

A

n1 n2

A’

B’


Utilisation de 3 rayons particuliers :

Tout rayon passant par F ressort du (DS) // à l’axe optique.

Tout rayon // à l’axe optique émerge du (DS) en passant par F’.

Tout rayon passant par le centre C du dioptre n’est pas dévié.

24

n1 n2


8- Construction géométrique de l’ image

d’un objet à travers un DS divergent

F S C F’

B

A

n1 n2

n2

A’

B’


25

n1

Remarque

La nature de l’image A’B’ et son grandissement dépendent de la position

de l’objet AB sur l’axe optique (DS convergent ou divergent);


9- Plans focaux et foyers secondaires Le plan focal objet (PFO) est le plan perpendiculaire à l'axe optique et passant

par le foyer objet (F) du DS, Tout point appartenant au plan focal objet est

appelé foyer secondaire objet (Φs).

Tous les rayons incidents, issus d’un foyer secondaire objet, émergent du DS

parallèlement entre eux.


Le plan focal image (PFI) est le plan perpendiculaire à l'axe optique et passant

par le foyer image (F’) du DS. Tout point appartenant au plan focal image est

appelé foyer secondaire image (Φ’s).

Tous les rayons incidents, parallèles entre eux (non parallèles à l’axe optique),

émergent du DS en passant par un foyer secondaire image.

Φs

F’ S C F

n1 n2

PFO

26

F

F’

Φ’s

PFI


Plan focal objet - figure animée

F

Image à l’infini

L'animation suivante montre un exemple de ce qui se passe

lorsqu'on déplace une source dans le plan focal objet :

l'image à travers le système optique est toujours à l'infini.

PFO


26


Plan focal image - figure animée

F’

Objet à l’infini

L'animation suivante montre un exemple de ce qui se passe

lorsqu’une source à l’infini envoie un faisceau de rayons parallèles

sur le système optique : l’image se forme dans le plan focal image.

PFI


27


Utilisation du foyer secondaire image pour tracer le rayon

émergent (IA’) d’un rayon incident quelconque (AI)


« Les méthodes sont les habitudes de l’esprit et les économies de la mémoire. » Rivarol

1ère méthode :

Le rayon lumineux // (AI) et passant par C

n’est pas dévié et rencontre le PFI en Φs’ (IA’) passe aussi par Φs’

A’

Φs’ I

Cas d’un dioptre concave

et convergent (n1>n2)

F’ S C F

A

n1 n2

PFI

28

Les méthodes citées ci-dessous sont valables quelque soit la

nature du DS et sont valables aussi pour les miroirs sphériques.


Le rayon lumineux // (AI) et passant

par F émerge // à l’axe optique et

rencontre le PFI en Φs’

(IA’) passe aussi par Φs’

Φs’

A’

I

F’ S C F

A

n1 n2

PFI



Utilisation du foyer secondaire image pour tracer le rayon



2ème méthode :

29


Utilisation du foyer secondaire objet pour tracer le rayon


(AI) rencontre le PFO en Φs. Le rayon

lumineux // à l’axe optique et provenant

de Φs émerge en passant par F’

(IA’) émerge // au rayon

passant par F’

Φs

I

F’ S C F

A

n1 n2

PFO

A’



3ème méthode :

30


10- Grandissement transversal (linéaire)

FA

SF

'SF

'A'F

CA

'CA

AB

'B'A

Origine au sommet :

Origine au centre :

AB

BA ''


SA

'SA'nn

AB

'B'A

32

Origine aux foyers :

+

+ +

B’

( i

i’ A

B

A’ S

n 'n

C

1 image plus grande que l’objet

1 image plus petite que l’objet

0 image droite

(même sens que l’objet)

0 image renversée

(sens opposé / à l’objet)

n’ n


''.'.'.. BAnABn 'n

n.G

'G

11- Grandissement angulaire (ou grossissement) G


'G

Formule de Lagrange-Helmholtz

32

’

I

+

+ +

B’

A

B

A’ S

n 'n

C

) (

H


12- Cas du dioptre plan

Dioptre plan Dioptre sphérique de rayon infini

(C ∞)

Relation de conjugaison :

Foyers objet et image à l’infini (système afocal)

Grandissement transversal : = 1

Grandissement angulaire : G = ’/ = n/n’

)SC( '

'

SA

n

SA

n


33



Les miroirs sphériques (MS)

La surface réfléchissante est

tournée vers le centre de la sphère.

La surface réfléchissante est

tournée vers l'extérieur.

S : sommet

+

Concave : Convergent

0SC

C : centre

S

C : centre

Convexe :

Divergent 0SC

+

S

34


Stigmatisme du miroir sphérique

L’image d’un objet A n’est pas unique

Le stigmatisme rigoureux n’est pas

réalisé

(sauf pour le centre C et les points

de la surface).

Pour le MS, le stigmatisme approché

est réalisé dans les conditions de

Gauss (rayons paraxiaux).


35


Stigmatisme rigoureux du miroir sphérique :

points particuliers

Stigmatisme rigoureux réalisé pour

le centre C du miroir

Objet C est son propre image

Stigmatisme rigoureux réalisé

pour les points de la surface du MS

Objet A est son propre image


36


Miroirs sphériques dans l’approximation de Gauss

1- Relation de conjugaison

SC'SASA

211

CS'CACA

211

A A’

) ) ’

i (

i’

Avec origine au centre

Avec origine au sommet


H C S

) w

I

37

Remarque Les relations de conjugaison et de grandissement d’un MS se

déduisent de celles d’un dioptre sphérique en posant : n’ = - n

+

+ +

Chasles


2- Foyer principal objet / image Vergence – Miroir convergent

C

S

+

F ou F’

Miroir concave convergent

)2

'( '2

'SC

ffFFSC

SFSF


Miroir concave SC 0

Miroir convergent (V0)

Foyer réel

38

SCSASA

2

'

11

'

112

SFSFSCV

Vergence :


3- Miroir convexe divergent Formule de Newton

Le foyer principal est à la moitié du rayon

C S

+

F ou F’

Miroir convexe divergent


39

Miroir convexe SC 0

Miroir divergent (V0)

Foyer virtuel

'

112:

SFSFSCVVergence

Formule de Newton

2'.'. fffFAFA

'

112

'

11

SFSFSCSASA


4- Foyer secondaire

FsF’s

C S

+

F

Plan focal


40

Tous les rayons incidents, parallèles

entre eux (non parallèles à l’axe

optique) convergent, après réflexion

sur le MS, en un point F’s (du plan

focal) appelé foyer secondaire image.

Le foyer principal F est sur l’axe optique à la moitié du rayon.

Le plan focal (objet et image) passe par le foyer principal.

D’après le retour inverse de la lumière,

les rayons incidents, issus d’un foyer

secondaire objet Fs ( F’s), se

réfléchissent sur le MS, en formant un

faisceau réfléchi de rayons parallèles.


Image d’un objet peu étendu à travers

un miroir sphérique convergent

L’image est réelle, renversée, plus petite que l’objet

B

F

S C A

Règles de construction : Tout rayon passant par le centre du miroir se réfléchit sur lui même;

Cas d’un miroir

convergent

SCSA : Si


Tout rayon parallèle à l’axe optique est réfléchi en passant par le

foyer F’ Ξ F du miroir ;

Tout rayon qui passe par le foyer F, est réfléchi parallèlement à

l’axe optique.

A’

B’

41


Image d’un objet peu étendu à travers

un miroir sphérique divergent

B

F Ξ F’ S C A


42

A’

B’

Cas d’un miroir

divergent

La nature de l’image A’B’ et son grandissement dépendent de la

position de l’objet AB par rapport au MS (convergent ou divergent).


5- Grandissement transversal

et angulaire G

SA

SA

AB

BA '''

Avec origine au sommet Avec origine au centre

CA

'CA


Remarque Si AB est sur C, son image A’B’ est aussi sur C. On a alors = - 1 (G = 1).

Formule de Lagrange –Helmholtz :

1G

43

C

( i

i’ A

B

A’

B’

S

f

FA

FA

f '

Avec origine aux foyers


6- Cas du miroir plan

Miroir plan MS de rayon infini

Relation de conjugaison :

Grandissement linéaire : = 1

Grandissement angulaire : G = - 1

'SASA


44


Exercice d’application

Un dioptre plan (DP) sépare deux milieux d’indices n et n’ (nn’). Un objet

lumineux A, placé sur l’axe optique dans le milieu d’indice n, peut envoyer

des rayons lumineux dans tous les sens sur le DP.

1- Tracer la marche des deux rayons indiqués sur la figure et conclure.

Réponse :

47

r

r’

A1 A

n n’

H

i

A2

i’

Conclusion: L’image de l’objet A n’est pas unique, le DP n’est pas un

système rigoureusement stigmatique.


2- Dans quelles conditions doit-on alors utiliser le DP pour former

l’image d’un objet. Donner dans ce cas la relation de conjugaison du

DP et calculer la position de l’image d’un objet réel A situé à 5 cm du

DP. On donne n = 1 et n’ = 1.5.

Réponse :

Le DP doit être utilisé dans les conditions de Gauss (stigmatisme

approché). Dans ce cas, la relation entre la position de l’objet A et celle

de son image A’ à travers le DP (relation de conjugaison) s’écrit:

A.N.

L’image est située dans l’espace image virtuel, elle donc virtuelle.

48

'

'

HA

n

HA

n

cmHAn

nHAcmHA 5.7

''5



Soit une lame à faces parallèles, de verre d’indice 1.5 et d’épaisseur 1 mm. La 1ère face de cette lame est semi-réfléchissante, c.à.d. elle réfléchie une partie de la lumière et laisse passer le reste. La lame est dans l’air. Un objet AB réel est à 2 m de la 1ère face de la lame.

1- Combien d’images vont se former ?

2- Déterminer la nature et la position de chaque image, et faire une construction géométrique.

Réponse :

1- La 1ère face de la lame étant semi-réfléchissante, une partie de la lumière incidente va se réfléchir et l’autre partie va se réfracter. Il y aura formation de deux images, une par réflexion (A’B’) et l’autre par réfraction (A ’’B’’).

49


2- Position et nature de l’image par réflexion :

Relation de conjugaison du miroir plan :

L’image est virtuelle et située à 2 m de la 1ère face de la lame.

- Position et nature de l’image par réfraction :

En appliquant la relation qui donne la position de l’image dans le cas d’une

lame à faces parallèles dans l’air :

L’image A’’B’’ est virtuelle et située à 1/3 mm de l’objet AB. Il est presque

impossible de la distinguer de l’objet à l’œil nu, contrairement à l’image

A’B’ donnée par réflexion. 50

A

(1) (n) (1)

H

H’ Axe

optique

e

B

A’

B’

A’’

B’’

mHAHAHA 2' A.N. ; '

; 1

1 ''

neAA mmNA 34.0

5.1

111'AA' ..


51


Un dioptre sphérique convergent sépare l’air d’indice n1 = 1 et le verre

d’indice n2 = 1,5. Ce dioptre donne d’un objet réel AB de longueur 1 cm,

placé à 2 cm du sommet S du dioptre, une image A’B’ de longueur 2 cm.

1- Faire un schéma de ce dioptre sphérique dans les conditions de Gauss.

Ce dioptre est-il concave ou convexe ? (par convention, la lumière se

propage de gauche vers la droite.)

Rép.

Dioptre convergent son centre est dans le milieu le plus réfringent

Ce dioptre est convexe.

2- Calculer le grandissement linéaire , en déduire le grandissement

angulaire G; l’image est - elle droite ou renversée ?

Rép.

droiteBAimageAB

BA '' 0 ; 2

''

3

11.

2

1

2

1

n

nG

n

nG


52

3- Calculer la position de l’image A’B’ par rapport au sommet S, en

déduire la nature de A’B’ et le rayon de courbure R = SC de ce dioptre.

Rép.

Objet réel ; d’où

4- Chercher la position des foyers principaux F et F’.

R ép.

et

5- Retrouver la position de l’image A’B’ par construction géométrique.

SAn

nSA

SA

SA

n

n

1

2

2

1 ' '

cmSA 2 virtuelleimagecmSA B'A' 6'

cm

SAnSAn

SASAnnSCR

SC

nn

SA

n

SA

n2

'

'

' 12

121212

cmnn

nSCSF 4

21

1

cmnn

nSCSF 6'

12

2

F A’

B’

F’

S C

B

A

n1 n2


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Chapitre 2 Etude des systèmes optiques simples