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• Exemplesd’incidence• Dioptreentren1=3/2(verre) etn2=1(air)
n1sini1=n2sini2 à sini2=(n1/n2) sini1àsini2=(3/2) sini1
àAN:
àLavaleurmaximalequepeutatteindrel’anglederéfractionest
90°.
àLavaleurcorrespondantedel’angled’incidenceest41,8° (au-delà
duquelleiln’yaplusderéfraction):c’estledébutdelaréflexion
totale.33
i1 10° 20° 30° 40° 41,8° 45°i2 15,1° 30,9° 48,6° 74,6° 88,9° impossible
Chapitre2:Optiquegéométrique
Milieuxinhomogènesetphénomènesnaturelles:
Lapropriétédepropagationrectilignedelalumièreestmiseen
défautdanslesmilieux inhomogènes (indicevariable):lesrayonslumineux sontcourbésdansladirectiondesindicescroissants (miragesoptiques).
Lesvariationsd'indicepeuventêtrebrutales(commeàl'interfaceentredeuxmilieux)
oucontinues(commedansunliquideouungazdedensitévariable).Cephénomène
neremetpasencauseladescriptiondelalumièreàl'aidederayonslumineuxeton
l'étudietoujoursdanslecadredel'optiquegéométrique.
Ladensitéρ d’ungazsupposéparfaitestliéeàlafoisàl’indiceetàlatempératurepar
c-à-d quel’indiceestd’autantplusfaiblequel’airestpluschaud.
34
Chapitre2:Optiquegéométrique
ρ∝ (n−1)∝1 T
Milieustratifié :
Siilyunempilement dedioptres
d’indicedécroissant(parexemple
verslehaut)telque,les
anglesderéfractionsuccessifs
sonteuxcroissants()jusqu’à
arriveràlaréflexiontotalesurl’un
desdioptres.
Apartirdecedernierlerayon
lumineuxrebroussesoncheminet
suitunetrajectoiresymétriqueàsonincidence.
LaloideDescartess’écritpourcettesériededioptres :
n1 sin i1=n2 sin i2=n3 sin i3=n4 sin i4=n5 sin i5
1+〉 kk nn
kk ii 〉+1
35
Chapitre2:Optiquegéométrique
Lesmirages :InférieurouSupérieur!
36
Chapitre2:Optiquegéométrique
L’expériencedelacuveàeausucrée:
Enenvoyantunfaisceaulaserdansunecuveremplied'eau,aufonddelaquelleona
placédusucre,onobserveunecourburedesrayonslumineuxverslebasdelacuve.
Eneffetl'indiceaunevaleurplusélevéeaufonddelacuveoùl'eauestsucrée :les
rayonssontcourbésdansladirectiondesindicescroissants.
Dansunmilieu inhomogène,l'indicen varied'unpointàunautre.Noussupposonspoursimplifier,quel'indicen n'estfonctionquedelacoordonnéez.Nousadmettonsalorsquedanscemilieu,l'indicen(z) variecontinûmentaveclacotez(altitude).
Toutevariationdel'indiceoptiquesurletrajetd'unrayonlumineuxentraîneun
changementdedirectiondecerayon.LesloisdeDescartesdécriventsimplementla
réflexionetlaréfractionsurundioptre
(discontinuitéd'indice)alorsqu'ilfautavoir
recoursàuneéquationdifférentiellepour
connaîtrel'équationdelatrajectoired'un
rayonsil'indicen variecontinûment.
37
Chapitre2:Optiquegéométrique
L'équationdifférentielled'unrayonlumineuxs'écrit:A=n(z) sini(z) estuneconstante.
Letermedn/dzestle
gradientd'indice dansla
directiondel'axe(Oz),il
déterminedirectement
lacourburedesrayons
lumineux :- Sidn/dz=0,lemilieuesthomogène
etdz/dx=cte :lerayonaune
trajectoirerectiligne.
- Sidn/dz>0,legradientd'indiceestdirigéversleszcroissants verslesquels lerayon
tournesaconcavitépuisquedz/dxestunefonctioncroissante.- Sidn /dz<0,lerayontournesaconcavitéverslesznégatifs.
38
Chapitre2:Optiquegéométrique
d 2zdx2 = n
A2 dndz
Lafibreoptique:
Premièreidéedetransmissionàtraversuncâbleenutilisant
laréflexiontotaleinterne,réaliséeparl’IrlandaisTyndallen1870etquiaguidédelalumièredansunmincefiletd’eau.
http://www.fizik.si/index.php/science-videos-1/optics
Aprèsplusieursessaienutilisantdestubesenverreouenquartz,deschercheursde
lasociétéCorningGlassWorksréussissaientàmettreaupointunefibreensilice
dontlefacteurdetransmissionétaitsupérieurà1%parkm,comparableaux
performancesdesfilsdecuivrepourlessignauxélectriques.Depuis1970,cetaux
detransmissions’estamélioréepouratteindreunevaleurplusde96%parkm.
Plusieurstypesdefibresoptiquesexistent,parmilesquels:
Fibreàsautd’indice Fibreàgradientd’indice
39
Chapitre2:Optiquegéométrique
n
Chapitre2:Optiquegéométrique
40
Commentl’eaupeutguiderlalumière?
41
http://physicus.free.fr/webphy/optique/geometrique/fontain
e_lumineuse/fontaine_lumineuse.html
Modesdetransmission:
Commentsetransportelalumièreàl’intérieurd’unefibreoptique?Deuxcas:
• Silediamètredelafibreestgranddevantlalongueurd’ondedurayonnement
introduit,lapropagationobéitauxloisdel’optiquegéométrique(réflexiontotale).• Enrevanche,désquelediamètredevientdel’ordredeλ,lemodedetransmission
ressembleàlapropagationdesmicro-ondeslelongdesguidesd’ondesselonles
principesdel’optiqueondulatoire.
42
Chapitre2:Optiquegéométrique
L’ouverturenumériqued’unefibre:
Unefibreoptiquetypiqueestcomposéededeuxpartiescylindriques:lecœur
d’indicenf (engénéral=1,62)etlagaine d’indicenc inférieur(généralement=1,52).
Ilexisteunevaleurθmax pourl’angled’incidenceθi pourlaquelleunrayonintérieurseréfléchitavecl’anglecritiqueθc.Lesrayonsd’anglesupérieuràθmax subirontuneatténuationrapide.θmax nomméangled’acceptance,estégalaudemi-angledu
cône délimitant lalumièreincidentequipourraêtrepropagéeparlafibre.
Sin0 estl’indicedumilieuextérieur
Laquantitén0sin(θmax)s’appelleL’ouverturenumériqueONouNA(Numerical Aperature)
43
Chapitre2:Optiquegéométrique
θmax
nc<nf
nf
nc
sin(θmax ) =nf
2 − nc2
n0
VoirTD
Fibreàgradientd’indice:Onpeutconfinerunrayonlumineuxàl'intérieurd'unefibreoptiqueàgradientd'indiceoùnvariecontinûmentdenf (aucentreducœurdelafibre)ànc (danslagaine)selonuneloin(r) danslecœurdelafibre.
Ilestainsipossibledetransmettresansdéformationdesvariationsrapidesd'unsignallumineuxetdevéhiculerungrandnombred'informationsparseconde.
Lerayonsecourbetoujoursdansladirectiondesindicescroissants.Lesmilieuxinhomogènessontmisàprofitpourguiderlalumièrecequiautoriselatransmissiond'informationsàtrèshautdébit(grâceàlavaleurélevéedelavitessedelalumière).
Lesprincipalesapplications desfibresoptiquessontenmédecine,appareillagesd’imagerie,télécommunications….
44
Chapitre2:Optiquegéométrique
IV:SystèmeOptique,Stigmatisme,ApproximationdeGauss:Systèmeoptique :L’ensembledemilieuxtransparents,homogènesetisotropesséparéspardessurfacesdeformesimple(plans,sphères).Sicettesurfaceestréfléchissante,onparled’unmiroir,autrementils’agitd’undioptre.Unsystèmeestdioptrique lorsqu’iln’estcomposéquededioptres.Siilcontientaumoinsunmiroirilestditcatadioptrique.Maissiilnecomportaitquedesmiroirslesystèmeestcatoptrique.
Unsystèmeestditcentré s’ilexisteunaxedesymétriederévolution,appeléaxeoptique.
SoitunesourceponctuelleAenvoyantdesrayonslumineuxsurlafaced'entréed'unsystèmeoptiquecentré.
SiaprèsavoirtraversélesystèmelesrayonslumineuxpassenttousparunmêmepointA' ,onditqueA'estl'imagedonnéeparlesystèmedel'objetA.
45
Chapitre2:Optiquegéométrique
ObjetAßà ImageA’
Siunobjetponctuel estplacéenA’,l'applicationduprincipeduretourinversedelalumièremontrequetouslesrayonsissusdeA' convergentvers A.AinsiA estl'imagedeA' àtraverslesystème.
Quatrepossibilités:Objetréel-Imageréelle/Objetvirtuel– Imageréelle/Objetréel- Image
virtuelle/Objetvirtuel- Imagevirtuelle
46
ObjetvirtuelObjetréel
Imagevirtuelle Imageréelle
Chapitre2:Optiquegéométrique
Objet etimage jouentdoncunrôlesymétrique visàvisdusystème
optique.(A,A’)sontconjuguésparrapportàS :A’estl’image deAetAestl’antécédentdeA’àtraversS.
L'objetA estl'intersectiondesrayonsincidents etl'imageA' estl'intersectiondesrayonsémergents dusystème,pouruncouple
(A,A')depointsconjugués.Lesrayonsincidents sepropagenttoujoursdansl'espaceobjetréelmaisleurintersectionn'appartientpasnécessairementàcetespace.
Demême,lesrayonsémergents sepropagenttoujoursdansl'espaceimageréelle,maisleurintersectionA'peutnepasapparteniràcetespace.
Uneimagevirtuelle nepeutpass'observersurunécranetunobjetvirtuel estnécessairementl'imaged'unobjetréel àtraversuncertainsystèmeoptique.
47
Chapitre2:Optiquegéométrique
Sitoutlesrayonsissusd’unpointApassentparunpointuniqueA’aprèsêtredéviésparlesystèmeS,Sestditrigoureusementstigmatiquepourlecouple(A,A’). LespointsAetA’sontdits
SienpluspourunpointBduplantransversepassantparA,lepointconjuguéestunpointB’situésurleplantransversepassantparA’-conjuguédeA- lesystèmeSestditaplanétique.
Conséquence:Touslescheminsoptiques(AA’)le
longdesrayonslumineuxallantd’unpointsourceà
sonl’imagedansunsystèmeoptiquestigmatique
sontégauxentreeux.
48
Chapitre2:Optiquegéométrique
A
A’
A’A
Deuxsituationspourunsystèmerigoureusementstigmatiqueetaplanétique :
49
Chapitre2:Optiquegéométrique
∞àF’:Objet très éloigné son imageF’
estditefoyer imageFà∞:Objet Fditfoyerobjetson image rejetéeàl’infini
Fs:foyerobjetsecondaireetFs’ :foyerimagesecondaire.
Objetsu
rl’axe
Objethorsd
el’axe
1ere Exemple:Miroirplan• L’imageA’est virtuellepourunobjetréelA.A’estsymétrique àAparrapportaumiroir.Lemiroireststigmatiquepourtoutpointdel’espace.
• L’imageB’d’unobjetBsituéesur
leplanperpendiculaireàAA’et
passantparAsetrouvesurunplan
perpendiculaireàAA’etpassant
parA’.B’estaussisymétriqueàBpar
rapportauplandumiroir :lemiroir
planestdoncrigoureusementaplanétiquepourtoutpointdel’espace. 50
Chapitre2:OptiquegéométriqueA
A’
B’
B
O
PourunobjetlinéiquetransverseABonpeut
construirepointpar
point sonimageA’B’de
mêmetaille.
Legrandissementdéfinitcommeétantlerapport
desdeuxtailles
estégalà1danslecas
d’unmiroirplan.
L’imageetl’objetsont
symétriques parrapport
aumiroir:
Pourunobjetàl’infinil’imageestaussiàl’infini :onditquelesystèmeestafocal :∞à∞,F��∞ etF’� ∞.
51
Chapitre2:Optiquegéométrique
Objet RéelAAxe
Optique
Lumière
3eme Rayon
1er Rayon
2eme Rayon
ImageA’
EspaceObjet Réel EspaceObjet Virtuel
Espace ImageRéelle Espace ImageVirtuelle
Image
Virtuelle
ABBA ''
=γ
AS = SA '
S
Endehorsdumiroirplan,ilexistetrèspeudesystèmes
rigoureusementstigmatiques,mêmepourunseulcouple
depointsAetA’.
Pourquel'imaged'unobjetsoitnette,ilestdonc
nécessairequelesystèmeoptiquesoitstigmatiquepourtoutpointducoupleobjet-image.Enpratique,cestigmatismerigoureux,démontrépourle
miroirplann'estpasréalisépourlessystèmesoptiques, on
secontented'unstigmatismeapproché.
52
Chapitre2:Optiquegéométrique
A1’A2’
An’
A1’A2’
A3’
Enréalitél’imaged’unobjetponctuelàtraversunsystèmeoptique
n’estpasponctuellemaisunetachelumineuse
Enpratique,lestigmatismerigoureuxn’estpasvraimentnécessaire
nousdevonssecontenterd’unstigmatismeapproché.
Eneffet,touslesrécepteursdelumièrepossèdentunestructurecellulaire (microounanoscopique):ilssontconstituésdecellules
accoléssurlesquelsseformentlesimages.Exemple:CaméraCCD,
œil….
Ilsuffitquel'imageA'd'unpointAsoitunepetitetachenerecouvrantqu'uneseulecelluledurécepteur,carcedernierneferapasladifférenceavecuneimageréellementponctuelle.
53
Chapitre2:Optiquegéométrique
A1’xxA2’xA3’Stigmatisme approché
suffisant: tache
assimilable àunpoint
A1’xxA2’
xA3’
Stigmatisme approché
insuffisant: tachenon
assimilable àunpoint
2eme Exemple:DioptreplanSoitundioptreplanséparantdeuxmilieux
d’indicen etn’,avec.L’imageA’d’unpointAsituésurl’axe,estaussi
surl’axe.
Plusl’angleincidentestimportant
plusl’angleaprèsréfractionseragrand
etl’imageA’s’écartedeplusenplus
del’objetA.
Iln’yadoncpasdestigmatismerigoureuxpourundioptreplan.Pourquelleconditionilyaurastigmatismeapproché ?
Pourdéterminerlapositiondel’imageA’connaissantcelledel’objetA,appliquantlaloideDescarteset lesrelationsgéométriques.
nn 〈'
54
Chapitre2:Optiquegéométrique
• UtilisantlestrianglesAISetA’ISpourdéterminerlapositiondel’image
A’connaissantcelledel’objetA :
• d’où
• EnappliquantlaloideDescartespuislarelationentrelesinusetlecosinusontrouve :
• Danslecasdesrayonsparaxiaux oùsini ~0(ià0)larelationprécédentedevient :
C’estlarelationdeconjugaisond’undioptreplan
55
Chapitre2:Optiquegéométrique
'tan'tan iSAiASSI ==
iiiiASSA
cos'sin'cossin
' =
i
inn
nnASSA 2
22
sin1
sin'
1''
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
nSA
nSA
=''
ConditiondeGauss:Lapositiondel’imageestindépendantedurayonincidentdansle
casoùl’angledecelui-ciesttrèspetitdonctrèspeuinclinésurl’axe :
C’estlaconditiondeGausspourlaquelleilyastigmatismeapproché.Cetterelationmontreégalement
quepourunobjetdansl'eau(n>n’),l'œilplacédansl'air voituneimage(qu'ilimaginetoujours
situéeaupointd'intersectiondes
rayonsquil'atteignent)plus
prochedelasurfacequen'est
l'objetenréalité.56
Chapitre2:Optiquegéométrique
air n’
eau n
OA 'n '
=OAn
• PourunpointBvoisindeAetdans
unplantransversecontenantAon
peutconstruireuneimageB’situésur
leplantransverseenA’telleque
Ilyaalorsaplanétismeapproché.
• DanslecasdelaconditiondeGauss,l’imaged’unpointestunpoint
etcelled’unplanestunplan.Legrandissementtransversalestégal
à :
• Ledioptreplanestafocalpuisque quand.
• Doncl'imaged'unobjetplanparallèleaudioptreestuneimage
planeparallèleaudioptreetdemêmedimensionpourvuquel'onsetrouvedanslesconditionsdeGauss. 57
Chapitre2:Optiquegéométrique
A 'B ' = AB
1'' ==ABBA
γ
∞→'SA ∞→SA
3eme Exemple:2Dioptresplans(//èLameàfacesparallèlesLFP)Danslesconditionsdestigmatismeapproché(rayonsparaxiaux),lesrelationsdeconjugaisons’écrivent:
et
LarelationdeconjugaisonpouruneLFP:
.
Lalameàfacesparallèlesestdonc
approximativementstigmatiquepourdesrayonspeuinclinésparrapportàlanormaleauxfacesdelalame.Legrandissementtransversalestγ=1.Ainsil'imageA'sedéduitdel'objetAparunetranslationdelongueur {1-(n1/n2)}d,indépendantedelapositiondeA.
dioptre 1dioptre 2
Aréelàà A’virtuelleàà A’’virtuelle
dioptre (1+2)
58
Chapitre2:Optiquegéométrique
OA ' = n2
n1
OA O 'A '' = n1
n2
O 'A '
AA '' = 1− n1
n2
"
#$
%
&'OO'
OO’