Chapitre 2 Régime transitoire

Chapitre 2

Régime transitoire

Justine Philippe

2JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2

Sommaire

• Condensateur et bobine

• Circuit RC

• Circuit RL

• Circuit RLC


Sommaire


• Circuit RC

• Circuit RL

• Circuit RLC

JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2

Le condensateur

4

Condensateur et bobine

armatures

diélectrique

Symbole

C


Le condensateur

5


A quoi sert un condensateur ?

Filtrage, stockage de l’énergie et mémoire

Accumulateur d’énergieMémoireFiltre antiparasitesEvite les discontinuités de tensionTemporisateurLissage de tension…


Le condensateur

6


Rappel : L’intensité i d’un courant électrique mesure le débit des charges qui circulent dans une section d’un circuit.

Si le courant est constant, la quantité d’électricité transportée pendant la durée ∆t est :

∆q = i ∆t

Avec ∆q en Coulomb (C), i en Ampère (A) et ∆t en seconde (s).

Chargeons le condensateur : A

B

I0 qAqB


Le condensateur

7


On charge le condensateur à l’aide d’un générateur de courant constant et on relève la tension uAB et la charge q à des intervalles de temps réguliers.On peut tracer la courbe q en fonction de uAB suivante :

A

B

I0 qAqB

q

uAB

Par conséquent, la caractéristique a pour équation : q = C uAB

C représente la capacité du condensateur et s’exprime en Farad (F)


Le condensateur

8


Quelques remarques :

Si la tension aux bornes du condensateur est variable, le courant dans le condensateur est différent de zéro.

Si la tension aux bornes du condensateur est constante, c’est que sa charge (ou décharge) est terminée.

Il n’y a pas de discontinuité de tension dans un condensateur (un condensateur ne se « vide » pas instantanément)

dt

duCi


Energie stockée par un condensateur

9


Lorsque la tension passe de U1 à U2, la charge croît de ∆q = I.∆t, il en résulte un accroissement de l’énergie stockée : ∆Eelec = P.∆t = u(t).I.∆tD’où ∆Eelec = U.∆q

Cet accroissement correspond à l’aire verte sur la figure. Puis l’énergie stockée par un condensateur

dont la tension à ses bornes passe de 0 à U a pour expression ∆𝐸𝑒𝑙𝑒𝑐 =1

2𝑈𝑄. Or comme Q = C.U, on

peut l’exprimer sous les formes suivantes :

∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒄 =𝟏

𝟐𝑼𝑸 =

𝟏

𝟐𝑪.𝑼²

Qq1 q2

u

q

U

U2U1


Association de condensateurs

10


Association parallèle : La tension est commune ; la charge totale est la somme Q1 + Q2 + … (on augmente la charge)

C1 C2 Cn

Conclusion :

1 2 ....eq nC C C C

Association série : Le courant est commun ; les armatures portent des charges égales à Q (on augmente la tension)

1 2

1 1 1 1....

eq nC C C C

C1 C2 Cn

Conclusion :


La bobine

11


Une bobine est constituée par l’enroulement régulier d’un fil métallique conducteur. Cette bobine peut être plate ou longue (solénoïde). Une bobine n’a d’existence que si le courant est variable.

L

iL

uL

-Filtrage (par ex dans les amplis audio)- Stockage d’énergie- Création de signaux haute fréquence-Bobine d’allumage- …


La bobine

12


Si le courant dans la bobine est constant, alors la tension à ses bornes est nulle.

Il ne peut y avoir de tension que si le courant est variable.

Donc une bobine alimentée en courant continu se comporte comme un court-circuit.

L

i

u dt

diLu


La bobine

13


Unité : L’inductance d’une bobine s’exprime en Henry (H)

Propriétés :Une bobine ne peut subir de discontinuité de courant. Le courant électrique dans un circuit inductif ne peut pas s’interrompre instantanément.

L

i

u dt

diLu


Energie d’une bobine

14


L’énergie magnétique emmagasinée dans une bobine d’inductance L, parcourue par un courant d’intensité I est :

𝑬𝒎𝒂𝒈 =𝟏

𝟐𝑳𝑰𝟐

Emag en joule (J) ; L en Henry (H) ; et

I en Ampère (A)

Une bobine idéale ne dissipe pas d’énergie ou de chaleur.Elle ne fait que l’emmagasiner et la restituer.

L’expression de l’énergie est indépendante du temps.

Une bobine réelle dissipe par effet joule une partie de l’énergie qu’elle reçoit.


Association de bobines

15


En série : L2L1 Ln

1 2 ...eq nL L L L

En parallèle :

1 2

1 1 1 1....

eq nL L L L L2

L1

Ln


Objectif

16


A partir du schéma d’un circuit électrique donné, on établit l’équation différentielle qui régit le fonctionnement du circuit à l’aide des lois de Kirchhoff, on résout cette équation pour obtenir l’expression mathématique de la grandeur recherchée (tension, courant ou charge électrique), on trace ensuite la courbe obtenue et on exploite les résultats.

Les équations différentielles seront établies à partir des équations suivantes :

𝑖 =𝑑𝑞

𝑑𝑡; 𝑢 = 𝑅. 𝑖 ; 𝑖 = 𝐶

𝑑𝑢

𝑑𝑡; 𝑢 = 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡


Objectif

17


L’étude des régimes transitoires va faire apparaître deux types d’équations différentielles :

• L’étude des régimes transitoires du premier ordre régis par une équation différentielle du premier ordre : les circuits RC et RL

• L’étude des régimes transitoires du second ordre régis par une équation différentielle du second ordre : les circuits LC et RLC


Sommaire


• Circuit RC

• Circuit RL

• Circuit RLC


Circuit RC du premier ordre

19

Circuit RC

Sachant R, C et u (la tension appliquée), que vaut la tension uC aux bornes du condensateur ?

R

u C

0

i

uC

uR



20

Circuit RC

R

u C

0

i

uC

uR

Mise en équation :

Equation différentielle du premier ordre (c=ay’+by)

Equation différentielle en tension (variable)

𝑢𝑅 = 𝑅 × 𝑖 𝑡

𝑢 𝑡 = 𝑢𝑅 + 𝑢𝐶

𝑖 = 𝐶.𝑑𝑢𝐶𝑑𝑡

𝑢 𝑡 = 𝑅𝐶.𝑑𝑢𝐶𝑑𝑡

+ 𝑢𝐶 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶ 𝜏 = 𝑅𝐶

𝑢 𝑡 = 𝜏.𝑑𝑢𝐶𝑑𝑡

+ 𝑢𝐶



21

Circuit RC

Détermination des conditions initiales en régime continu :A t=0-, on suppose le condensateur non chargé. Il se comporte comme un circuit ouvert ; le schéma devient donc :

R

u

0

i = 0

uC

uR

i = 0 ; UR = 0 ; UC = 0 (non chargé)

A t = 0+, si u(t) est une tension continue (variation brutale), uC(0+) = 0 car il y a continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ; i devient égal à u/R (variation brutale puis décroissance vers 0), et uC évolue progressivement vers la valeur U


Résolution de l’équation différentielle de 1er ordre

22

Circuit RC

τ : constante de temps du circuit étudié (s)

x(t) : second membre correspondant à l’apport d’énergie extérieur ; régime forcé

𝑦 𝑡 + 𝜏𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑥(𝑡)



23

Circuit RC

La solution d’une équation différentielle est constituée de deux termes :

• Un terme représentant le régime transitoire, c’est-à-dire la période de temps durant laquelle il existe une évolution des grandeurs (tensions, courants) permettant à la solution de se stabiliser dans un régime stable

• Un terme représentant le régime permanent, c’est-à-dire la période de temps suivant le régime transitoire et où les grandeurs se sont stabilisées définitivement



24

Circuit RC

La solution générale de cette équation différentielle linéaire se présente comme la somme de :

• La solution de l’équation sans second membre (Yt) : appelée aussi solution transitoire

• Une solution particulière (Yp) : appelée aussi solution permanente (généralement de la même forme mathématique que x(t))



25

Circuit RC

La résolution de l’équation différentielle s’opère en cinq étapes :

1. Résolution de l’équation sans second membre (EQSSM) (solution générale ou transitoire)

2. Recherche d’une solution particulière (SP) (permanent)3. On somme les deux solutions4. Recherche des constantes5. Ecriture de la solution


Résolutions types pour un circuit du 1er ordre

26

Circuit RC

Ici, on ne traite que des cas dans lesquels x(t) est une constante.

Le régime forcé/sinusoïdal, où x(t) est dépendant du temps, est traité dans le chapitre suivant.


Etude du circuit RC

27

Circuit RC

Charge d’un condensateur à travers une résistance :

Le condensateur est initialement déchargé.A t = 0, on ferme l’interrupteur :

Ecrire la loi des mailles de ce circuit.

Ecrire l’équation caractéristique du condensateur.

𝐸 = 𝑅. 𝑖 𝑡 + 𝑢𝐶(𝑡)

𝑖 = 𝐶.𝑑𝑢𝑐𝑑𝑡


Etude du circuit RC

28

Circuit RC

Ecrire l’équation différentielle liant E, uC et 𝑑𝑢𝑐𝑑𝑡

et la mettre sous la forme canonique.

𝐸 = 𝑅. 𝐶.𝑑𝑢𝐶𝑑𝑡

+ 𝑢𝑐(𝑡)

𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑒𝑛 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙 ∶ 𝜏 = 𝑅𝐶


Etude du circuit RC

29

Circuit RC

Résoudre cette équation différentielle et exprimer uC(t).

La résolution de l’équation sans second membre donne :

La solution particulière est : E

La solution générale vaut :

Détermination de A : à t = 0, on a uC(t) = 0 (conditions limites)

Exprimer uC(t) en fonction de E, τ et t :

𝐴. 𝑒−𝑡𝑅𝐶

𝐴. 𝑒−𝑡𝑅𝐶 + 𝐸

𝐴. 𝑒0 + 𝐸 = 0 ; 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐴 = −𝐸

𝑢𝐶 𝑡 = 𝐸. 1 − 𝑒−𝑡𝜏


Etude du circuit RC

30

Circuit RC

Tracer uC(t) pour 0 < t < 5τ.


Etude du circuit RC

31

Circuit RC

Exprimer i(t) et tracer-le.


= 𝐶.𝑑 𝐸 1 − 𝑒−

𝑡𝑅𝐶

𝑑𝑡= 𝐶𝐸.

1

𝑅𝐶. 𝑒−

𝑡𝑅𝐶 =

𝐸

𝑅𝑒−

𝑡𝑅𝐶


Etude du circuit RC

32

Circuit RC

Décharge d’un condensateur à travers une résistance :

Le condensateur est initialement chargé à la valeur E.A t = 0, on ferme l’interrupteur :


Ecrire l’équation caractéristique du condensateur.

0 = 𝑅. 𝑖 𝑡 + 𝑢𝐶(𝑡)



Etude du circuit RC

33

Circuit RC

Ecrire l’équation différentielle liant uC et 𝑑𝑢𝑐𝑑𝑡


0 = 𝑅. 𝐶.𝑑𝑢𝐶𝑑𝑡

+ 𝑢𝑐(𝑡)

𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑒𝑛 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙 ∶ 𝜏 = 𝑅𝐶


Etude du circuit RC

34

Circuit RC



La solution particulière est : 0


Détermination de A : à t = 0, on a uC(t) = E (conditions limites)




𝐴. 𝑒0 = 𝐸 ; 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐴 = 𝐸

𝑢𝐶 𝑡 = 𝐸. 𝑒−𝑡𝜏


Etude du circuit RC

35

Circuit RC

Tracer uC(t) pour 0 < t < 5τ.


Etude du circuit RC

36

Circuit RC

Exprimer i(t) et tracer-le.


= 𝐶.𝑑 𝐸𝑒−

𝑡𝑅𝐶

𝑑𝑡= 𝐶𝐸. −

1

𝑅𝐶. 𝑒−

𝑡𝑅𝐶 = −

𝐸

𝑅𝑒−

𝑡𝑅𝐶


Sommaire


• Circuit RC

• Circuit RL

• Circuit RLC


Circuit RL du premier ordre

38

Circuit RL

L

Ru

0

iL

uR

uL

Mise en équation :

Equation différentielle du 1er ordre

𝑢𝑅 = 𝑅. 𝑖𝐿 𝑡

𝑢 𝑡 = 𝑢𝑅 + 𝑢𝐿

𝑢𝐿 = 𝐿.𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡

𝑢 𝑡 = 𝑅. 𝑖𝐿 𝑡 + 𝐿.𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡

𝑢(𝑡)

𝑅= 𝑖𝐿 +

𝐿

𝑅.𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡

𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶ 𝜏 =𝐿

𝑅

𝑢(𝑡)

𝑅= 𝜏.

𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡

+ 𝑖𝐿


Circuit RL du premier ordre

39

Circuit RL

Détermination des conditions initiales en régime continu :A t = 0-, on suppose que la bobine n’a accumulé aucune énergie, elle se comporte comme un court-circuit ; le schéma devient donc :

R

u

0

i

uL=0

uR

UL = 0 ; UR = U ; i = 0 (pas d ’énergie)

A t = 0+, si u(t) est une tension continue (variation brutale), iL(0+) = 0 continuité du

courant, puis évolution progressive vers la valeur U/R ; et uL passe instantanément à la valeur U (variation brutale puis décroissance vers 0).


Etude du circuit RL

40

Circuit RL

Etablissement du courant dans une bobine :

La bobine n’a initialement accumulé aucune énergie.A t = 0, on ferme l’interrupteur :


Ecrire l’équation caractéristique de la bobine.

E = 𝑢𝑅 𝑡 + 𝑢𝐿(𝑡)

𝑢𝐿(𝑡) = 𝐿.𝑑𝑖

𝑑𝑡


Etude du circuit RL

41

Circuit RL

Ecrire l’équation différentielle liant E, i et 𝑑𝑖𝑑𝑡


𝐸 = 𝑅. 𝑖 𝑡 + 𝐿.𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡

𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑒𝑛 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙 ∶ 𝜏 =𝐿

𝑅

𝐸

𝑅= 𝑖 𝑡 +

𝐿

𝑅.𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡


Etude du circuit RL

42

Circuit RL



La solution particulière est :


Détermination de A : à t = 0, on a i(t) = 0 (conditions limites)

Exprimer uL(t) en fonction de E, τ et t :

𝐴. 𝑒−𝑅𝐿𝑡

𝑖 0 = 0 = 𝐴. 𝑒0 +𝐸

𝑅; 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐴 = −

𝐸

𝑅𝑖 𝑡 =

𝐸

𝑅. 1 − 𝑒−

𝑡𝜏

𝐸

𝑅

𝐴. 𝑒−𝑅𝐿𝑡 +

𝐸

𝑅


Etude du circuit RL

43

Circuit RL

Tracer i(t) pour 0 < t < 5τ.

𝑡𝑟é𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 5% = 3𝜏


Etude du circuit RL

44

Circuit RL

Exprimer uR(t) et uL(t) et tracer-les.

𝑢𝑅 𝑡 = 𝑅. 𝑖 𝑡 = 𝐸. 1 − 𝑒−𝑡𝜏 𝑢𝐿 𝑡 = 𝐿.

𝑑𝑖

𝑑𝑡𝑜𝑢 𝑢𝐿 = 𝐸 − 𝑢𝑅

𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑖 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑢𝐿 𝑡 = 𝐸. 𝑒−𝑡𝜏

uR(t) a donc la même forme que i(t) ; tandis que uL(t) donne le résultat suivant :


Etude du circuit RL

45

Circuit RL

Extinction du courant dans une bobine :

A t = 0, le courant dans la bobine vaut I0 et on ferme l’interrupteur :


Ecrire l’équation caractéristique de la bobine.

0 = 𝑢𝑅 𝑡 + 𝑢𝐿(𝑡)

𝑢𝐿(𝑡) = 𝐿.𝑑𝑖

𝑑𝑡


Etude du circuit RL

46

Circuit RL

Ecrire l’équation différentielle liant i et 𝑑𝑖𝑑𝑡


0 = 𝑅. 𝑖 𝑡 + 𝐿.𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡

𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑒𝑛 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙 ∶ 𝜏 =𝐿

𝑅

0 = 𝑖 𝑡 +𝐿

𝑅.𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡


Etude du circuit RL

47

Circuit RL



La solution particulière est : 0


Détermination de A : à t = 0, on a i(t) = I0 (conditions limites)



𝑖 0 = 𝐼0 = 𝐴. 𝑒0 ; 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐴 = 𝐼0

𝑖 𝑡 = 𝐼0. 𝑒−𝑡𝜏



Etude du circuit RL

48

Circuit RL

Tracer i(t) pour 0 < t < 5τ.


Etude du circuit RL

49

Circuit RL

Exprimer uR(t) et uL(t) et tracer-les.

𝑢𝑅 𝑡 = 𝑅. 𝑖 𝑡 = 𝑅. 𝐼0. 𝑒−𝑡𝜏 𝑢𝐿 𝑡 = 𝐿.

𝑑𝑖

𝑑𝑡= −𝑢𝑅

uR(t) a donc la même forme que i(t) ; tandis que uL(t) a la forme opposée :


Sommaire


• Circuit RC

• Circuit RL

• Circuit RLC


Circuit RLC du second ordre

51

Circuit RLC

u(t) en fonction de uC(t) ?

Mise en équation :

L

uR

i(t) C u(t)

R

0

uC

uL

𝑢 𝑡 = 𝑢𝑅 + 𝑢𝐿 + 𝑢𝑐

𝑢𝑅 𝑡 = 𝑅. 𝑖(𝑡)

𝑢𝐿 = 𝐿.𝑑𝑖

𝑑𝑡


𝑢 𝑡 = 𝐿𝐶.𝑑²𝑢𝐶(𝑡)

𝑑𝑡²+ 𝑅𝐶.

𝑑𝑢𝐶 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑢𝐶(𝑡)

Ou en divisant par LC :

𝑑²𝑢𝐶(𝑡)

𝑑𝑡²+𝑅

𝐿.𝑑𝑢𝐶 𝑡

𝑑𝑡+

1

𝐿𝐶. 𝑢𝐶 𝑡 =

1

𝐿𝐶. 𝑢(𝑡)

C’est une équation différentielle du second ordre en tension


Circuit RLC du second ordre

52

Circuit RLC

On peut aussi trouver l’équation différentielle du second ordre en courant.Mise en équation :

𝑢 𝑡 = 𝑢𝑅 + 𝑢𝐿 + 𝑢𝑐

𝑢𝑅 𝑡 = 𝑅. 𝑖(𝑡) 𝑢𝐿 = 𝐿.𝑑𝑖

𝑑𝑡𝑢𝐶 𝑡 =

1

𝐶.න 𝑖 𝑡 𝑑𝑡

𝐶.𝑑𝑢(𝑡)

𝑑𝑡= 𝐿𝐶.

𝑑2𝑖(𝑡)


𝑑𝑖 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑖(𝑡)

Ou en divisant par LC :𝑑2𝑖(𝑡)

𝑑𝑡²+𝑅

𝐿.𝑑𝑖 𝑡

𝑑𝑡+

1

𝐿𝐶. 𝑖 𝑡 =

1

𝐿.𝑑𝑢(𝑡)

𝑑𝑡

En dérivant l’équation et en multipliant par C, on obtient :

𝑢 𝑡 = 𝑅. 𝑖 𝑡 + 𝐿.𝑑𝑖

𝑑𝑡+1

𝐶. න 𝑖 𝑡 𝑑𝑡


Méthode de résolution de l’équation différentielle

53

Circuit RLC

Equation à résoudre :

𝐿𝐶.𝑑2𝑢(𝑡)


𝑑𝑢 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑢 𝑡 = 0

Solution = solution homogène + solution particulière

Ici, cas particulier : second membre nul → Solution particulière nulle

On cherche donc une solution = solution homogène

Solution du type : 𝑢 = 𝐴𝑒𝑟𝑡


Méthode de résolution de l’équation différentielle

54

Circuit RLC

Equation homogène du second ordre :

𝐿𝐶.𝑑2𝑢(𝑡)


𝑑𝑢 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑢 𝑡 = 0

Solution du type :

En injectant la solution dans l’équation, on obtient :

𝑢 = 𝐴𝑒𝑟𝑡

𝐿𝐶𝑟2𝑢 + 𝑅𝐶𝑟𝑢 + 𝑢 = 0 ⟺ 𝑟2 +𝑅

𝐿𝑟 +

1

𝐿𝐶= 0

Cette équation est appelée polynôme caractéristique de l’équation différentielle. Trouver la solution de ce polynôme permet de trouver les solutions de l’équation différentielle.


Définition des variables réduites usuelles

55

Circuit RLC

Pulsation propre :

𝜔0 =1

𝐿𝐶

Pulsation des oscillations en l’absence d’amortissement

𝜆 =𝑅

2𝐿

Facteur d’amortissement :

Plus λ est grand, plus l’amortissement est élevé

En utilisant ces variables réduites, on peut écrire le polynôme caractéristique de la manière suivante :

𝑟2 + 2𝜆𝑟 + 𝜔02 = 0


Solutions : les différents régimes

56

Circuit RLC

Le polynôme caractéristique acceptant plusieurs solutions selon la valeur de son discriminant, il en est de même pour l’équation différentielle.

On utilise le discriminant réduit :

Trois régimes selon le signe de ∆’ :

• ∆’ > 0 Régime apériodique• ∆’ = 0 Régime critique• ∆’ < 0 Régime pseudo-périodique

𝑟2 + 2𝜆𝑟 + 𝜔02 = 0

Δ′ = 𝜆2 −𝜔02


Régime apériodique

57

Circuit RLC

Le polynôme admet deux racines :

La solution s’écrit :

Remarque : les deux racines sont négatives, c’est normal puisque la solution ne peut pas tendre vers l’infini, cela n’aurait pas de signification physique.

𝑟2 + 2𝜆𝑟 + 𝜔02 = 0

Δ′ = 𝜆2 −𝜔02 𝑒𝑡 Δ′ > 0

𝑟1 = −𝜆 + 𝜆2 −𝜔02 𝑟2 = −𝜆 − 𝜆2 − 𝜔0

2

𝑢 𝑡 = 𝐴1𝑒𝑟1𝑡 + 𝐴2𝑒

𝑟2𝑡



58

Circuit RLC

Détermination des constantes à partir des conditions initiales

Continuité de la tension : u(t = 0) = EContinuité de l’intensité : i(t = 0) = 0

Deux équations pour deux inconnus. Après calcul, on déduit :

𝑢 𝑡 = 𝐴1𝑒𝑟1𝑡 + 𝐴2𝑒

𝑟2𝑡𝑢 𝑡 = 0 = 𝐴1 + 𝐴2 = 𝐸

𝑖 𝑡 = 0 = 𝑟1𝐴1 + 𝑟2𝐴2 = 0

𝐴1 =𝑟2𝐸

𝑟1 − 𝑟2𝐴2 =

−𝑟1𝐸

𝑟1 − 𝑟2



59

Circuit RLC

Expression et allure de la tension aux bornes du condensateur

𝑢 𝑡 =𝑟2𝐸

𝑟1 − 𝑟2𝑒𝑟1𝑡 −

𝑟1𝐸

𝑟1 − 𝑟2𝑒𝑟2𝑡

𝑟2 = −𝜆 − 𝜆2 − 𝜔02

𝑟1 = −𝜆 + 𝜆2 −𝜔02




60

Circuit RLC

Expression et allure de l’intensité dans le circuit

A partir de l’équation caractéristique du condensateur :

𝑖 𝑡 =𝑟2𝑟1𝐸𝐶

𝑟2 − 𝑟1𝑒𝑟1𝑡 − 𝑟𝑟2𝑡

𝑖 𝑡 = 𝐶𝑑𝑢

𝑑𝑡


Régime critique

61

Circuit RLC

Le polynôme admet une racine double :


Après détermination des constantes :

En utilisant

Même type de résultat que dans le régime apériodique

𝑟2 + 2𝜆𝑟 + 𝜔02 = 0

Δ′ = 𝜆2 − 𝜔02 𝑒𝑡 Δ′ = 0

𝑟1 = −𝜆

𝑢 𝑡 = (𝐴1𝑡 + 𝐴2)𝑒−𝜆𝑡

𝑢 𝑡 = 𝐸(𝜆𝑡 + 1)𝑒−𝜆𝑡

𝑖 𝑡 = 𝐶𝑑𝑢

𝑑𝑡𝑖 𝑡 = −𝐸𝐶𝜆2𝑡𝑒−𝜆𝑡


Régime pseudo-périodique

62

Circuit RLC

Le polynôme admet deux racines complexes :


Difficulté : C1 et C2 sont des constantes complexes (comme r1 et r2), or on veut une solution réelle. On peut montrer qu’en combinant les solutions 𝑒𝑟1𝑡 et 𝑒𝑟2𝑡, on obtient une autre forme, réelle, de u :

𝑟2 + 2𝜆𝑟 + 𝜔02 = 0

Δ′ = 𝜆2 − 𝜔02 𝑒𝑡 Δ′ < 0

𝑟1 = −𝜆 + 𝑗𝜔

𝑢 𝑡 = 𝐶1𝑒𝑟1𝑡 + 𝐶2𝑒

𝑟2𝑡

𝑢 𝑡 = 𝐴1 cos 𝜔𝑡 + 𝐴2 sin 𝜔𝑡 𝑒−𝜆𝑡

𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝜔2 = −∆′

𝑟2 = −𝜆 − 𝑗𝜔



63

Circuit RLC

Expression et allure de la tension aux bornes du condensateur :

Détermination des constantes à partir des conditions initiales, on trouve :

Cette solution se découpe en deux parties :• Une partie oscillante à la pulsation ω• Une amplitude décroissant de manière exponentielle

𝑢 𝑡 = 𝐸 cos 𝜔𝑡 +𝜆

𝜔sin 𝜔𝑡 𝑒−𝜆𝑡



64

Circuit RLC

Expression et allure de l’intensité dans le circuit :

En utilisant : 𝑖 𝑡 = −𝐶𝐸𝜔2 + 𝜆²

𝜔𝑒−𝜆𝑡 sin(𝜔𝑡)𝑖 𝑡 = 𝐶

𝑑𝑢

𝑑𝑡



65

Circuit RLC

Remarque :

On observe donc des oscillations électriques à la pulsation ω, donc de pseudo-période :

𝑇 =2𝜋

𝜔


Pour résumer

66

Circuit RLC

Circuit RLC :

Trois régimes en fonction des paramètres R, L et C Peut faire apparaître des oscillations électriques Selon l’amortissement par effet Joule, le régime transitoire est

différent

Apériodique Critique Pseudo-périodique


Récapitulatif (à savoir)

• Equations caractéristiques de la bobine et du condensateur

• Résolution d’équations différentielles du premier et du second ordre

• Notion de régimes transitoire et permanent

• Comportement des circuits RC, RL et RLC

67

Fin du Chapitre 2

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Chapitre 2 Régime transitoire