CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS - licence …licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=p12:algiv:... · C H A P I T R E 3 E S P A C E S E U C L I D I E N S I. Définitions

C H A P I T R E 3

E S P A C E S E U C L I D I E N S

I. Définitions.

DEFINITION 32 : ESPACE EUCLIDIEN

Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’une forme bilinéaire

symétrique définie positive. On la note ( ) ( | ) ⟨ ⟩ et on l’appelle produit scalaire.

PROPOSITION 32 : INEGALITE DE CAUCHY-SCHARWZ

Soit ( ) un espace euclidien

1) , ( | ) ( ) ( )

2) On a égalité ssi x et y colinéaires.

Exemple :

1) avec ( | ) où ( ) ( )

2) Sur ( ) ( ) ( )

On note (espace euclidien), ‖ ‖ √ ( ) on l’appelle la norme de x.

Rmq : i) est vraie si ( ) esp.quadra. réel positif.

PREUVE:

i. ( ) ( | ) ( ) ( )

comme , ( )

donc ( ) c’est-à-dire ( | ) ( ) ( )

(( | ) ( ) ( )) donc ( | ) ( ) ( )

si ( )

( | ) ( )

implique ( ) constante et donc( | ) et l’inégalité voulue est évidente.

ii. Réciproquement, si ( | ) ( ) ( )

Si ( ) x et y

Si ( ) ( ) donc ; ( )

( )

PROPOSITION 33 : INEGALITE MINKWOSKI

Soit ( ) un espace euclidien alors

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS

2

PREUVE:

On montre ( ) (√ ( ) √ ( ))

PROPOSITION 34 :

Si q positive alors ( )

PREUVE:

On sait déjà que ( ) ( ).

Prenons ( ) alors ( )

On utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz

( ) ( ) ( ) ici

donc ( ) donc ( )

II. Orthogonalité, bases orthonormales.

E espace euclidien

( | ) est non dégénérée.

Rappel :

1) (Rem : sont orthogonaux)

2) ( )

3)

4) ( )

( )

DEFINITION 33 : BASE ORTHONORMALE

On appelle une base ( ) de E orthonormale si elle est orthogonale et ( )

PROPOSITION 35 :

Toute espace euclidien a une base orthonormale

1) Procédé d’orthonormalisation de Gramm-Schmidt

( ) base de E.

On fabrique une nouvelle base par récurrence de la façon suivante :

‖ ‖

‖ ‖

∑ où

( | )

‖ ‖


3

2) Projections et symétrie orthogonales.

DEFINITION 34 : LA PROJECTION ORTHOGONALE

F ss-ev de E. La projection orthogonale par rapport à F, c’est la projection sur F parallèlement

à . .

( )⏟

( )⏟

( )

( )

c’est-à-dire l’application :

( )

DEFINITION 35 : LA SYMETRIE ORTHOGONALE

La symétrie orthogonale par rapport à F c’est l’application

( ) ( )

PROPOSITION 36 :

( ) base orthogonale de F alors

∑( | )

‖ ‖

et

∑( | )

‖ ‖

PREUVE:

1) Si , ∑ alors ∑

(∑ | )

‖ ‖ ∑

( | )

‖ ‖

∑

Si alors ( ) ∑( | )

‖ ‖

2) Même méthode en posant alors ( ) et alors ( ) .

Rmq :

Dans une base orthogonale

( | ) ∑

(∑ | ∑

) ∑

THEOREME 37 :

( ) base de E

Il existe une base orthogonale ( ) de E et

( ) ( ).


4

PREUVE:

∑⟨

⟩

‖ ‖

‖ ‖

( )

⟨

⟩

‖ ‖

( ) ( )

donc

On aura

( ) ( )

n général

( )

( )

( ) est orthogonale et

( ) ( )

( ) (

‖ ‖

‖ ‖

).

DEFINITION 36 : MINEURS PRINCIPAUX

A=( )

, mineur principal de A est défini par (( ) )

PROPOSITION 37 : GRAMM-SCHMIDT

E : espace euclidien, A matrice de ( | ) dans une base ( ). Alors il existe une base

( ) tel que :

1) ( ) orthogonale

2) ( ) ( )

La matrice associée à q est diagonale (

) autrement dit

‖ ‖

.

EXEMPLE IMPORTANT DE PROJECTION ET SYMETRIE ORTHOGONALE

Si F est une droite ( ) ou un hyperplan( ) Soit ( )

Soit H un hyperplan, ( )

( ) ( | )

‖ ‖ ( ) ( ) ( ) ( | )

‖ ‖ ⏟ ( )

( ) ( | )

‖ ‖ ( ) ( | )

‖ ‖ ( ( ) ( ))


5

3) Matrices orthogonales

E espace euclidien ( ) base orthogonale ( )

(

) une autre base orthonormale

Soit O la matrice de passage de ( ) à ( ) .

( )

( )

Alors .

PROPOSITION 38 :

On a équivalence pour ( )

1) .

2)

3) est la matrice de passage d’une base orthonormale dans une autre.

DEFINITION 37 : MATRICES ORTHOGONALES

On dit que ( ) est orthogonale si elle satisfait une des conditions 1), 2) ou 3).

On note ( ) l’ensemble des matrices orthogonales.

PROPOSITION 39 :

( ) est un sous-groupe de ( )

PREUVE:

( )

1) ( ) ⏟

2) ( )

3) ( )

( )

PROPOSITION 40 : FACTORISATION

Soit ( )

Il existe une matrice triangulaire supérieure R et une matrice orthogonale Q telles que

PREUVE:

On introduit un espace euclidien de dimension n et une base orthogonale pour le produit

scalaire de E.

Soit une base de E telle que A est la matrice de passage de à . On applique Gramm-

Schmidt à la base on obtient une base orthonormale .

Soit T la matrice de passage de à , elle est triangulaire supérieure

( )

( )} ( ) ( )


6

(

)

(

)

(

)

(

)

oit la matrice de passage de à , donc orthogonale.

III. Adjoint d’un endomorphisme.

E espace euclidien, u un endomorphisme de E.

( ) ( | ( ))

C’est une application bilinéaire.

PROPOSITION 41 :

L’application ( ) ( )

( )

( ) ( | ( ))

est un isomorphisme.

PREUVE:

B base de E.

A la matrice du produit scalaire de E dans cette base.

Soit et leurs coordonnées dans B et M la matrice de u dans B.

Alors ( ) ( | ( )) s’écrit

( )

( )

L’application ϕ s’écrit matriciellement

( ) ( )

A est inversible donc est un isomorphisme.

Rmq :

Si B est orthonormale, . Les matrices de u et de ( ) ( | ( )) sont les

mêmes.

Si ( ) on dira que u est l’endomorphisme associée à b, i.e. ( ) ( | ( ))

DEFINITION 38 : ADJOINT

Soit ( )

L’endomorphisme associé à ( ) ( | ( )) est noté est appelé adjoint de u.

( ( )| ) ( | ( ))


7

Rmq :

( ) ( | ( )) est symétrique ssi

( ) ( | ( )) est antisymétrique ssi

DEFINITION 39 : YM TRI ,ANTI YM TRI , NORMALIT D L’ADJOINT

Soit ( )

On dit que u est symétrique si

On dit que u est antisymétrique si

On dit que u est normal si

On dit que u est orthogonal si

PREUVE:

Si , ( | ( )) ( ( )| ) ( ( )| )

( | ) ( ( )| ) ( | ( )) ( ( )| ( ))

donc ( )

Rmq :

1) Les endomorphismes symétriques ou antisymétriques sont normaux.

2) ( ) tel que

, ( | ( )) ( ( )| )

, ( ( )| ( )) ( | )

DEFINITION 40 : ADJOINT POSITIF, NEGATIF, DEFINIT POSITIF, DEFINIT NEGATIF

Soit ( ) symétrique.

On dit que u est défini positif (resp positif, déf négatif, négatif)

si ( ) ( | ( )) est défini positive (resp positive, déf négative, négative)

PROPOSITION 42 :

Soit ( ) symétrique, représentée par une matrice A dans une base orthonormale.

Alors A est définie positive (resp positive, déf négative, négative) ssi u est définie positive (resp

positive, déf négative, négative)

DEFINITION 41 : AUTOMORPHISME ORTHGONAL

( ) ( | ) ( ( )| ( ))

PROPRI T D L’ADJOINT:

muni d’une base orthonormée B

( ) ( )

PREUVE:

( ) ( | ( ))

( ) ( ( )| )

( ) ( ) ( )

Soit M matrice de u A matrice de ( | )


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( | ( )) ( ( )| )

( ) ( ( )| )

( ) ( )

( )

CORROLAIRE:

Les endomorphismes symétriques de E sont ceux dont la matrice dans une base orthonormée est

symétrique.

PROPRIETES 45:

L’adjonction est une anti-involution c’est-à-dire elle satisfait :

1) ( )

2) est une application linéaire de ( ) ( )

3) ( ) ( )

4) ( ) ( )

PREUVE:

1) ( | ( )) ( | ) ( ( )| )

2) ( |( )( )) ( | ( )) ( | ( )) ( ( )| ) ( ( )| ) (( )( )| )

donc ( )

( |( )( )) ( | ( )) ( ( )| ) ( ( )| )

3) ( |( )( )) ( | ( ( ))) ( ( )| ( )) (( )( )| )

donc ( )

4) ( | ( )) ( ( )| )

NOYAU ET IMAGE DE L’ADJOINT:

Soit ( )

Alors ( ( ))

et ( ( ))

PREUVE:

( )

, ( ( )| )

, ( | ( ))

( ) ( | ) non dégénérée

(( ) ) ( ) ( ) ( )


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ADJOINT ET STABILISATION:

( ) un s.e.v. stable par u ( ( ) )

Alors stable par .

PREUVE:

Soit

On calcule ( ( )| ) pour

( ( )| ) ( | ( )) ( | ) car F stable par u.

donc ( ) .

CORROLAIRE:

Soit F ss-ev stable par u.

Si u est{

} stable par u

PROPOSITION 49:

( )

a) est symétrique positif

b) est défini positif ssi ( )

c) ( )

( ) ( )

VERSION MATRICIELLE:

( )

a) est symétrique positive

b) est définie positive ssi A est inversible

c) ( )

( ) (

)

PREUVE:

a) ( )

donc symétrique. Notons

On considère ( ) ( | ( ))

On a ( ) ( | ( ( ))) ( ( )| ( ))

La f.q. associée ‖ ( )‖ positive

Donc b positive i.e. f positive.

b) Comme b est positive, ( ) ( )

( ) ( ) (car‖ ‖ anisotrope)

( ) ( ( | ) non dégénérée)

est définie positive si


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donc ssi u inversible

c) Finalement, on a

en effet si ( )

et donc .

D’autre part, ( )

( ) ( )

donc

THEOREME SPECTRALE:

Tout endomorphisme symétrique de E admet une base orthonormée de vecteurs propres.

( ) de E ( )

( )

(

)

(

)


Pour toute matrice symétrique A de ( )

Il existe une matrice orthogonale O tel que

soit diagonale

PREUVE:

Par récurrence sur

Si il n’y a rien à démontrer

Supposons vrai pour tout espace de dim <n

Soit E un espace de dimension n.

upposons qu’il existe un vecteur propre X non nul de u et sa valeur propre.

Donc ( )( )

On pose

‖ ‖.

Soit ( ) donc F stable par u

, ( ) ( )

‖ ‖ ( )

‖ ‖


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On a vu que est aussi stable par u.

| symétrique

Et

Par hypothèse de récurrence, il existe une base orthonormée ( ) de vecteurs propres

pour | .La base de qu’on cherche est donc ( )

Voyons maintenant l’existence d’une vecteur propre pour u non nul.

On considère l’application

( | ( ))

On considère la sphère ‖ ‖ elle est compacte et q est continue donc q atteint

le sup sur S c.à.d. ( ) ( ) .

On considère ( ) ‖ ‖ ( ) f.q.

positive et ( ) donc ( )

( )

La f.p. de est ( ) ( |( )( )) qui est dégénérée. Donc tq

( |( )( )) .

On en déduit que n’est pas surjective donc n’est pas injective donc t.q.

( )( ) donc est un vecteur prop.

CORROLAIRE:

(réduction simultanée)

E de dim finie et deux fq tel que

Alors il existe une base de E.

et

représentée par D diagonale/

q représentée par I.


Soient L,N deux matrices symétriques, M définit positive de ( )

Il existe une matrice invariable C tel que

,

est diagonale

APPLICATION DU THEOREME SPECTRAL:

Pour un endomorphisme symétrique positif a il existe un unique endomorphisme b symétrique

positif tel que ( )


Soit ( ),

( ) tel que


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PREUVE:

Existence : Soit ( ) base orthonormale de vecteurs propres et les valeurs propres

associées.

Comme u est positif alors

On pose ( ) √

On a ( ) ( ( )) (√ ) √

.

Donc et b est symétrique positive.

Unicité : Soit b symétrique positive tel que . ( )

| est un endomorphisme symétrique positif de

.

voyons ( )

.

( ( )) ( )( ) ( )( ) ( ( )) ( ) ( )

Supposons valeur propre de b : ( )

On compose par ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Donc √ √

Donc b est uniquement déterminé par les .

THEOREME: DECOMPOSITION POLAIRE

VERSION ENDOMORPHISME :

Soit ( ). Couple ( )t.q. ( ), définie positif et

VERSION MATRICIELLE :

Soit ( ). couple ( )t.q. ( ), ( ) et

PREUVE:

Unicité : , symétrique définie positive

Donc √ h est unique.

u est unique.

Existence :

√ symétrique définie positive.

On pose ,

Voyons que u est orthogonal :

( )

GROUPE ORTHOGONAL EUCLIDIEN.

Rappel : symétries orthogonales ( )

F s.e.v. où

, ( | ) ( | ) hyperplan.

( ) ( | )

Si ‖ ‖


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( ) b.o.n. de ( | ) est un vecteurunitaire matrice de

(

) (

)

THEOREME:

Alors u est la composée de r réflexions où ( )

PREUVE:

Par récurrence sur r.

Si est un produit de 0 réflexions.

Supposons vrai que ( ) tq ( )

Soit ( ) tel que ( )

, tel que ( )

On pose ( ) on regarde

o ( ( )) et ( ) ( | )

‖ ‖

‖ ( ) ‖ ‖ ( )‖ ( ( )| ) ‖ ‖

‖ ( ) ‖ ‖ ‖ ( ( )| )

( ) ( ( ) | )

‖ ‖ ( ( )| )

( ) ( ( ) | )

‖ ‖ ( ( )| )

( ) ( ( )| ) ‖ ‖

‖ ‖ ( ( )| ) ( ) ( )

o fixe tout vecteur fixé par u.

Soit ( )

( | ) ( ( ) | )

( | ) ( ( )| ) ( | )

( | ) ( ( )| ( )) ( | )

( ) ( | )

‖ ‖

( ) fixe tout vecteur de ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Donc ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ( ))

( ( ))

donc ( ( ))

( ))

On applique l’hypothèse de récurrence :


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réflexions

DEFINITION 42 : RETOURNEMENT

On appelle retournement une symétrie orthogonale par rapport à un F de dim

// à un plan.

PROPRIETE:

. Le groupe ( ) est engendré par les retournements.

Cas

Classification suivant les invariants.

( )

( ) est un s.e.v. de E.

( ), fixe ( ) donc fixe ( )

LEMME:

Si , ( ) : ( ) ( ) ( )

PREUVE:

M matrice de u dans une base orthonormale.

( ) ( ) ( ( )

( ( )) ( )

THEOREME:

( )

a) On a équivalence entre

i. ( )

ii. est une droite

iii. est une symétrie orthogonale par rapport à une droite i.e. ϕ est une réflexion.

b) est une rotation ( ( )) ssi ou

PREUVE:

i ii

( )

si

Mais

ii iii

( ) ( )

Donc u est une réflexion.


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THEOREME:

Toute rotation de E est le produit de 2 réflexions (l’une des 2 peut être choisie arbitrairement)

PREUVE:

Si

Si . Soit D une droite quelconque

( ) donc c’est une réflexion par rapport à une droite D’.

COROLAIRE:

s réflexion, ρ rotation dans E.

Et

PREUVE:

( ) ( )

( ) ( )

( )

de même on a ( )

COROLAIRE:

(SO(E) ou le groupe des rotations) est un groupe abélien.

PREUVE:

( )

{

( )

( )

Donc on a bien

Matrices orthogonales.

( )

(

)

(

)

(

)

et

Si ( ) on a {


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(

) et

On peut le réécrire (

)

( ) est abélien

( )

THEOREME:

| |

Alors l’application

( )

est un isomorphisme de groupes.

( )

On a {

donc M s’écrit de la forme

(

)

Etude de O(E),

( )

alors

notons plan

et droite

Comme u stabilise P stabilise D.

| automorphisme orthogonal dans un espace de dim 1

donc |

Si |

ce qui est impossible car

Donc | donc u est une réflexion par rapport à P.

Réciproquement une réflexion orthogonale est un automorphisme orthogonal dans l’espace des

invariants est un hyperplan donc de

soit et

| est un automorphisme de P donc | est une rotation ou une réflexion par rapport à

une droite Δ.

Supposons | est réflexion par rapport à Δ.

ce qui est impossible car

Donc | est une rotation.


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Soit w unitaire. ( ) et ( ) b.o.n de P.

Dans la base ( ) la matrice de u est

(

) pour certain

et ( )

Réciproquement soit ( )

( ) ( ) ( )

( ) donc ( )

LEMME:

( )

( ) ( ) ( )

PREUVE:

M matrice de u,

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ))

( ) ( ) ( ) (( ))

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Si ( )

Si

donc

Si ( )

est une rotation

Si . Soit D droite

et on considère les symétries orthogonales associées

et . On a

Si est une rotation ≠ . Soit D son axe et P le plan orth à D.

Notons la rélexion par rapport à P.

On considère est une rotation d’axe D.

En effet si , ( ) ( )( ) ( )


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De plus,

en effet

si , ( ( )) ( )

( ( )) ( ) ( )

si , ( ( )) ( ) car ( )

( ( )) ( )

THEOREME:

( ), et alors u set la comparée d’une réflexion par rapport à un plan P

et une rotation d’axe orthogonale à P. Le produit est commutatif.

THEOREME:

espace euclidien ( ). Alors il existe p,q entiers et , …,

tel que u est représenté dans une base orthonormale

par

(

)

où (

)

p,q et , …, sont unique à l’ordre près.

Angles orientés

E espace euclidien de dimtel que 2.

DEFINITION 43 : ORIENTATION

On appelle orientation de est le choix d’une base orthonormée ( ). Soit ( ) une autre base

elle est directe ou positive si l’unique élément ( ) ( ) et ( ) est dans SO(E)

Rmq :

Si ( ), , matrice de relations à deux b.o.n. directes de E. Soit P la matrice de passage

alors ( ). On a vu donc mod [2 /

On remarque que si on considère deux matrices par rapport à des bases de sens opposées on en

déduit ( ) et .

On en déduit que la matrice d’une rotation ne dépend que de l’orientation de la base.

DEFINITION 44 : ANGLE ORIENTE

( ) on lui associe un unique nombre réel [2 : l’angle orienté de pour l’association d’une

matrice dans une b.o.n directe quelconque.


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PROPRIETE:

Soit vecteurs unitaires. Il existe une unique rotation qui envoit u sur v.

PREUVE:

oit u’ unitaire ( ) b.o.n.

Alors

On pose alors (

) ( ) .

DEFINITION 44 : ANGLE ORIENTE

unitaire leur angle orienté ( )̂ est celui de la rotation qui envoit u sur v.

u,v vecteur quelconque ( )̂ (

‖ ‖

‖ ‖)̂

PROPRIETE:

Relation de chasles.

Soient alors ( )̂ ( )̂ ( )̂

THEOREME:

1. Toute rotation conserve les angles

2. Toute réflexion renverse les angles.

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