Cinmatique

Chapitre 3 Robotique (Modlisation cinmatique)

Chapitre 3 Modlisation Diffrentielle

cinmatique simple3.1 IntroductionLe MDD se base sur le calcul variationnel, il permet de dcrire les variations lmentaires des coordonnes oprationnelles en fonction des variations lmentaires des coordonnes articulaires.Les intrts du modle diffrentiel direct sont:

Le calcul du MDI permet de raliser une commande cinmatique locale.

En calculant les drives aux lieu des diffrentielles on peut dterminer les vitesses oprationnelles en fonction des vitesses articulaires.

Le calcul des singularits est facile.3.1 Modle diffrentiel direct (MDD)

3.1.1 Mthodes de calcul du MDD

Le modle diffrentiel direct est dcrit par lquation:

dx=J(q).dq ou J(q) est appel Jacobien.Parmi les mthodes permettant le calcul de J(q) on dcrit la mthode de propagation de la vitesse et la mthode du Jacobien de base.

A- Mthode de propagation de la vitesse

La dtermination du Jacobien consiste calculer les vitesses linaires et angulaires en fonction des vitesses articulaires, les calculs se propagent de la base vers leffecteur.Chaque lment du robot manipulateur est suppos rigide, son mouvement est dcrit par les vecteurs des vitesses angulaires et linaires. Ces vitesses seront dcrites dans les repres associs aux articulations ensuite dans le repre de base.

Fig 3.1 Vitesses des corps du robot.La vitesse angulaire de llment (i+1) est gale celle de llment (i) plus la vitesse de rotation au niveau de larticulation (i+1).

Si la vitesse de rotation de llment i+1 est dcrite dans le repre Oi par lquation:

Elle sera dcrite dans le repre Oi+1 par lquation:

3.1

O : reprsente la matrice de rotation du repre Oi+1 par rapport Oi.

Et

La vitesse linaire de lorigine du repre Oi+1 est la mme que celle de lorigine du repre Oi plus une composante produite par la vitesse de rotation de llment (i).

Si la vitesse linaire de lorigine du repre Oi+1 est dcrite dans le repre Oi par:

3.2Elle sera dcrite dans le repre Oi+1 par:

Dans le cas des articulations prismatiques, les quations prcdentes deviennent: 3.3

3.4Par des applications de ces quations successivement dun lment un autre, on peut calculer et , vitesse angulaire et linaire du dernier lment du robot manipulateur.

Si on dsire reprsenter ces vitesses dans le repre de base O0, on doit prmultiplier leurs quations par la matrice de rotation .

3.5

Donc si

Alors 3.6Et J(q) est appel Jacobien.B- Mthode de Jacobien de base

Cest une mthode de calcul direct base sur le calcul du Jacobien entre les vecteurs de translation et de rotation diffrentiels (dn, n ) du repre On et les diffrentielles des coordonnes articulaires dq . 3.7 La contribution lmentaire de chaque articulation est donne par:1- Articulation prismatique (k=1) 3.82- Articulation rotode (k=0)

3.9O: ak: Vecteur unitaire port par laxe Zk de larticulation.Lk.n: Vecteur reliant les origines des repres Ok et On.

En appliquant la mthode de dcomposition des vitesses, on montre quon peut additionner les contributions lmentaires de chaque articulation pour dterminer les vecteurs de translation et de rotation diffrentiels du repre terminal.

Donc sous forme matricielle, on a:

3.10Jn: est appel Jacobien vectoriel du robot manipulateur. La projection de Jn dans le repre On nous donne le Jacobien scalaire nJn donn par la matrice suivante:

3.11

Avec: 3.12

Articulation rotode Articulation prismatique Les lments s,n,a,p appartiennent la matrice kTn .

Finalement, la matrice Jacobienne, est gale la projection de nJn dans le repre de base O0:

3.13Exemple 3.1Utiliser Les deux mthodes prcdentes pour calculer le modle diffrentiel direct du robot manipulateur suivant(3R, 2R):

Fig .3.2 Bras manipulateur (3R,2R)Calcul du modle par la mthode de propagation des vitesses:1re Etape: Calcul de 1w1, 2w2, 3w3, 4w4, 0w5.La formule qui donne iwi est comme suit:

Donc

2me Etape: Calcul de 1v1, 2v2, 3v3, 4v4, 5v5, 0v5

La formule qui donne les vitesses ivi est comme suit:

,

,

Alors le Jacobien J(q) est telque:

J(q): matrice (65).

Remarque: Le calcul du Jacobien par la mthode du Jacobien de base expose ci-dessus donne les mmes rsultats. 3.2 Modle diffrentiel inverse (MDI)

Lutilit du modle diffrentiel inverse est de calculer partir dune configuration donne, la diffrentielle articulaire dq pour satisfaire une diffrentielle des coordonnes oprationnelles dx. Lintrt du modle diffrentiel rside dans sa linarit. De plus, il permet de dterminer les vitesses articulaires qui assurent au repre terminal une vitesse dsire. 3.2.1 Mthodes de calcul du modle diffrentiel inverse

Les deux mthodes principales sont: La drivation des MGI et linversion du modle diffrentiel direct.

La premire est une mthode analytique donnant tous les modles diffrentiels inverses correspondant aux diffrents modles gomtriques inverses.

La deuxime mthode est gnrale donnant le MDI par rsolution dun systme dquations linaires, La solution est analytique (temps de calcul faible) ou numrique (plus gnrale est important).

Lquation gnrale qui reprsente le MDI est comme suit:

3.14 3.2.1.1 Modle diffrentiel inverse dans le cas rgulier Dans le cas rgulier le nombre de (d.d.l) de lespace de la tache est gale au nombre darticulations du robot manipulateur (m=n) et la matrice J est carre avec un dterminant non nul. Le modle diffrentiel inverse est dtermin par le calcul de la matrice inverse

Si le robot possde six d.d.l avec un poigne de type rotule, la matrice J prend la forme:

A et C matrices carres inversibles.

Alors:

Linversion de A et C est plus simple que linversion de J.d4

d3

x5

x4

Z4

Z3

x3

Z2

x2

O

z1

z0

x1

x0

Z5

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