Chapitre 4 - La valeur de l’argent dans le temps et l'actualisation …bmt/diapos/Chap04.pdf · Bodie Merton - Chapitre 4 © Christophe Thibierge - 2011 10 bmt L’actualisation

© Christophe Thibierge - 2011Bodie Merton - Chapitre 4

1

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Chapitre 4 - La valeur de l’argent dans le temps et l'actualisation des cash-flows

Plan

Actualisation et capitalisation

Calculs sur le taux d’intérêt et la période

Modalités de calcul des taux d’intérêts taux simples et composés taux précomptés et postcomptés taux proportionnels et taux équivalents

Inflation et fiscalité

Application des concepts Calcul d'une annuité constante Tableau d'amortissement d'un emprunt Évaluation d'une obligation


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Capitalisation et actualisation

Exemples :

Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 1050 € dans un an ?

Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 200 € par an sur les 6 prochaines années ?

Un ami vous emprunte 1 000 € et vous promet 3 remboursements mensuels de 335 € chacun. Est-ce un bon ami ?

« Un euro aujourd’hui n’est pas égal à un euro demain »


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La capitalisation

100 100(1+i)

Exemple : Vous placez une épargne de 1 000 € sur un compte bloqué qui

rapporte du 4% par an.

Au bout d'un an, vous aurez 1 000 (1+0,04) = 1 040 €

Au bout de deux ans, vous aurez 1 040 (1+0,04) = 1 081,6 € soit 1 000 (1+0,04)²

Les intérêts ont été capitalisés

Placé au taux i pendant une année


4


Année 0 1 2 3 n

Valeur 1 000 1 000 × (1+4%) 1 000 × (1+4%)2 1 000 × (1+4%)3 1 000 × (1+4%)n

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

30 000

35 000

40 000

45 000

50 000

Année

Val

eur

futu

re d

e 1

000

à l'a

nn

ée 0

La capitalisation


5


)1( iXVF n+×=

La capitalisation

Au taux i constant, la valeur future (VF) ou valeur acquise d'un montant X , capitalisée au taux i durant n années est égale à :


6


Exemple

En 1626, Peter Minuit a acheté l’île de Manhattan aux indiens pour des colifichets valant à peu près 24 dollars. Si la tribu indienne avait plutôt demandé un règlement en argent, et avait investi cet argent au taux de 6% capitalisé annuellement, combien la tribu aurait-elle en l’an 2011, 385 ans après ?

La capitalisation


7


Je dois recevoir 1 000 € dans un an. Or, j’ai besoin d’argent immédiatement. J’emprunte donc (à mon banquier, ou sur le marché monétaire).

Quelle somme maximum puis-je emprunter, au taux de 4% ? La somme S0 telle que les 1 000 € puissent rembourser dans un an le capital et

payer les intérêts. Au total, je devrai payer dans un an :

S1 = S0 × (1 + 4%)

Comme S1 = 1 000 €, on a S0 =

S0 correspond à la valeur actuelle (VA)

de 1 000 € perçus dans un an.

€54.961%)41(

1000 =+

L'actualisation


8


€ 1643.854%)(1

€ 20005 =

+

L'actualisation

Exemple

Valeur actuelle de 2 000 € perçus dans 5 ans ?

C'est une somme S0 telle qu'il m'est indifférent de recevoir S0 tout de suite, ou 2 000 € dans cinq ans. Si je perçois S0 tout de suite, je peux placer cette somme pendant cinq ans, au taux de 4% annuel. Dans cinq ans, j'obtiendrai alors S0 × (1+4%)5. Cette somme doit être équivalente à 2 000 € perçus dans cinq ans. On peut donc déduire facilement S0 :

S0 × (1+4%)5 = 2 000 € ⇔ S0 =


9


)1( in

nXVA

+=

L'actualisation

La valeur actuelle VA d'un montant Xn versé dans n années est de :


10


L’actualisation

Exemple :

Fred veut vendre sa vieille voiture. Son copain Didier est d’accord pour l’acheter à 4 000 €, mais il souhaite ne payer cette somme à Fred que dans deux ans. Si Fred peut placer son argent en banque avec un taux de 8%, quel est la valeur de l’offre?

Valeur Actuelle de 4 000 € perçus dans 2 ans ?


11


Année 0 1 2 3 n

Valeur 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000

Valeur future àl’année n

1000×14 n


1000×14 n−1


1 000

Capitalisation d'une séquence de flux


12


∑=

−+×=n

t

tnt iXVF

1)1(

La capitalisation d’une séquence de flux

La valeur future (en t= n) d'une série de flux monétaires différents (Xt), est obtenue à partir de la capitalisation de chaque élément de la série. Avec i constant, on obtient pour n années :


13


La formule de valeur future

se simplifie en

∑=

−+×=n

t

tniAVF1

)1(

i

iAVF

n 1)1( −+⋅=

Capitalisation d’une séquence de flux identiques A (« annuités »)


14


Capitalisation d’une séquence d'annuités

Exemple :

Si vous placez 100 euros chaque année pendant les prochaines 20 années sur un compte rémunéré à 10%, en commençant à placer dans un an, combien aurez-vous d’ici 20 ans ?

Il s'agit de calculer la valeur future d'une séquence de 20 annuités de 100 € placées sur un compte rémunéré à 10% par an.


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Un petit récapitulatif

Vous allez avoir besoin de 50 000 euros dans dix ans. Vous prévoyez de faire sept versements identiques chaque année, en commençant dans trois ans, sur un compte qui rapporte du 11% par an capitalisé annuellement. Quel doit être le montant de chaque versement annuel ?


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Année 0 1 2 3 n

Valeur 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000

Valeur actuelle 1 000

Valeur actuelle 100014


14 2


14 n

Actualisation d'une séquence de flux


17


∑= +

=n

tt

t

i

XVA

1 )1(

Actualisation d'une séquence de flux

La valeur actuelle (en t= 0) d'une série de flux monétaires différents (Xt), est obtenue à partir de l'actualisation de chaque élément de la série. Les flux peuvent être positifs ou négatifs

Avec i constant, on obtient pour n années :


18


La formule de valeur actuelle (en t= 0) d'une série de flux monétaires :

si on pose Xt = A, se simplifie en

∑= +

=n

tt

t

i

XVA

1 )1(

i

iAVA

n−+−×= )1(1

Actualisation d'une séquence de flux identiques A (« annuités »)


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Actualisation d'une séquence de flux identiques X

Exemple :

Il y a deux ans, un de vos oncles éloignés, imitant votre signature, a réussi à emprunter une grosse somme d’argent à votre

banquier. Vous devez rembourser cet emprunt à raison de 5 000 € par an, sur les 25 prochaines années. Les taux sont actuellement de 6% par an. Si vous souhaitez tout rembourser immédiatement, combien devrez-vous verser au banquier ?


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Le coût d'opportunité

Taux d’emprunt ou taux de placement?

En général le calcul d’une valeur actuelle suppose que le taux d’emprunt et le taux de placement sont identiques.

En réalité une entreprise ou un particulier font souvent face a des taux d'emprunt et de placement différents.

Dans cette situation il faut raisonner en coût d’opportunité.


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Le coût d’opportunité

Exemple :

Une année après, Fred n’a toujours pas vendu sa voiture, mais il s’est hautement endetté sur plusieurs années pour acheter une maison. Il paie un taux d'intérêt de 15% sur cet emprunt, et par ailleurs, il peut placer de l'argent à 5%.

Fred à reçu deux offres pour sa voiture: une à 5 000 € payable immédiatement et une à 5 500 € payable dans un an.

Si Fred peut rembourser une partie de son emprunt par anticipation, quelle offre doit-il accepter ?

Est-ce que sa décision changera s’il ne peut pas rembourser une partie de son emprunt avant l'échéance ?


22


000 15000 30

000 30000 15

%18.7

071773463.0121

)1(

101

10

10

=

=−=−=

=+×

i

i

Trouver le taux d'intérêt

Exemple: Votre banque offre de vous rendre 30 000 € dans 10 ans, si vous

investissez 15 000 € maintenant. Quel est le taux d’intérêt de ce placement?


23


nn

nn

VA

VF

VA

VFi) (

i)(VA

VF i)(VAVF

1

1

11

==+⇒

+=⇒+×=

1−= nVA

VFi

Trouver le taux d'intérêt

Formule générale :


24


Trouver le taux d’intérêt

Exemple :

Votre cousine wallonne vous demande s’il vaut mieux acheter une obligation à 995 euros, sachant qu’elle sera remboursée 1 200 euros dans cinq ans, ou bien placer son argent sur un compte rémunéré.

Quel est le taux d'intérêt (de fait, on parlera ici de taux de rendement actuariel – TRA) de l’obligation ?

De quelle information supplémentaire avez-vous besoin pour faire votre choix ?


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Trouver la durée du placement

Exemple :

Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million d'euros, mais vous disposez seulement de 800 000 €.

Si le prix de l’immobilier reste constant et vous pouvez placer votre argent à 8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour acheter cet appartement ?


26


( ) ( )

( )( ) ( )

( )iVAVF

iVAVF

n

iniVA

VF

iVA

VFiVAVF

n

nn

+−=

+

=⇔

+×=+=

⇔

+=⇔+×=

1ln

lnln

1ln

ln

1ln)1(lnln

)1()1(

( ) ( )( )i

VAVFn

+−=1ln

lnln


Solution générale


27


)ln()ln()ln(

)ln()ln(

)ln()ln()/ln(

)ln()ln()ln(

)ln(

)0)ln(

yxyx

yxy

yxyx

yxyx

xe

xxe

x

x

x

×≠+×=

−=+=×

=

>= (

Rappel sur le logarithme

Les propriétés suivantes sont utilisés en finance:


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Solution de l’exemple :

Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million d'euros, mais vous disposez seulement de 800 000 €. Si le prix de l’immobilier reste constant et que vous pouvez placer votre argent à 8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour acheter cet appartement ?

Vous avez besoin d’environ trois ans

( ) 89,208,01ln

ln=

+

= 000 80000 100

n



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Modalités de calcul des taux d’intérêts

1. Intérêts simples et intérêts composés

L’intérêt est dit simple lorsqu’il est payé en une seule fois et qu’il est proportionnel à la durée du placement.

Par opposition, capital et intérêts peuvent être additionnés pour fournir un nouveau capital procurant de l’intérêt au cours de la période suivante. La différence entre la valeur acquise et le capital de départ est alors appelée intérêts composés.


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2. Intérêts précomptés ou post-comptés

Les intérêts sont à terme à échoir ou précomptés lorsque leur montant est soustrait de la somme empruntée lors du prêt.

On dit que les intérêts sont à terme échu lorsqu’ils sont post-comptés : Leur paiement intervient avec le remboursement de la somme en fin de période.


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Exemple:

Vous placez une somme d'argent sur cinq ans à 3% par an avec des intérêts simples à terme échu.

Quel est le taux annuel équivalent de ce placement, i.e. le taux d'intérêt composé qui vous donne la même richesse dans cinq ans?

Exemple: La Banque A vous offre un prêt sur une année avec un taux

d'intérêt de 8% précompté. La Banque B offre 9% à terme échu. Quelle est la meilleure offre?


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3. Le cas des périodes inférieures à l’année : taux équivalent et taux proportionnel

Le taux d’intérêt est généralement donné en base annuelle. Il existe plusieurs façons d'appliquer un taux annuel à des périodes inférieures à l’année.

Le taux proportionnel Le taux équivalent


33


12A

mi

i =

4A

Ti

i =

Le taux proportionnel

Souvent dans la pratique, les taux sont affichés en taux proportionnels. Dans ce cas, pour un placement d’une durée inférieure à une année, un simple pro rata du taux d’intérêt annuel est versé. Par exemple le taux proportionnel mensuel est

Le taux proportionnel trimestriel est


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Le taux proportionnel

Exemple : Votre banquier accepte de vous prêter 10 000 € au taux annuel de

12%, avec un versement mensuel des intérêts.

Calculez le taux proportionnel mensuel.

Calculez quel montant d'intérêts devra être versé chaque mois.

Si, au lieu d'exiger le versement des intérêts chaque mois, votre banquier accepte que ces intérêts mensuels soient capitalisés, et que le paiement se fasse au bout d'un an, combien devrez-vous ?

A quel taux d'intérêt annuel cela est-il équivalent ?


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( ) ( ) 1111

)1(1

12121

12

−+=−+=

⇔+=+

AAm

mA

iii

ii

Le taux équivalent

Deux taux d’intérêt se rapportant à différentes périodes sont dits équivalents si, avec capitalisation des intérêts, ils procurent des valeurs futures identiques au terme de la même durée de placement.

Ainsi, par exemple le taux mensuel (im) équivalent au taux d’intérêt annuel iA résulte de l’égalité suivante :


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Le taux annuel équivalent au taux proportionnel dépend de la durée du placement.

En général le taux annuel équivalent iequ d’un taux affiché en taux proportionnel iprop composé en n périodes est de

Le taux équivalent est toujours supérieur

au taux proportionnel.

La différence s'accroît avec la fréquence de capitalisation.

11 −

+=

nprop

equ n

ii

Le taux équivalent


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Exemple: Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de i=18% par an, capitalisé sur un nombre croissant de périodes

Fréquence decapitalisation

Tauxproportionnel

Taux annueléquivalent

1 18.00% 18.00%

2 9.00% 18.81%

4 4.50% 19.25%

12 1.50% 19.56%

52 0.35% 19.68%

365 0.05% 19.72%

Taux équivalent

11

181

1

−

+=

12

181

2

−

+=

14

181

4

−

+=

112

181

12

−

+=

152

181

52

−

+=

1365

181

365

−

+=


38


Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de i=18% par an, capitalisé sur un nombre croissant de périodes

Fréquence decapitalisation

Taux annueléquivalent

365 19.7164%

3650 19.7212%

…

infini 19.7217%

1365

181

365

−

+=

11 −

+=

∞→

m

m m

iLim

Taux équivalent

13650

181

3650

−

+=

Taux d'intérêt continu 1−= ie


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Taux proportionnel et taux équivalent

Exemple:

La banque A propose d’emprunter à un taux de 6% par an capitalisé semestriellement, la banque B offre 5.95% capitalisé mensuellement et la banque C offre 5.9% capitalisé en continu.

Quelle est la meilleure offre?


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Taux équivalent et taux effectif

Vous hésitez entre placer votre argent auprès d’une banque qui vous servira un intérêt de 8%, capitalisé annuellement (Banca), et une banque qui vous donnera un intérêt de 7,5% par an, capitalisé quotidiennement (Banco).

En vous fondant sur les taux effectifs annuels, quelle banque choisissez-vous ?

Banca ne vous propose ce taux d’intérêt que si vous vous engagez à laisser votre argent bloqué sur une année. Si vous retirez votre argent avant la fin de l’année, vous perdrez les intérêts de l’année.

Comment allez-vous intégrer cette information supplémentaire dans votre prise de décision ?


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Le taux nominal exprime le rendement en argent. C’est le taux généralement indiqué.

Pour connaître l'augmentation de votre pouvoir d'achat dans un environnement inflationniste il convient de calculer le taux réel.

Approximation:

Toujours actualiser des flux nominaux avec le taux nominal

et les flux réels avec le taux réel.

inflationd'taux + 1nominaltaux + 1=réeltaux 1+

inflationd'taux - nominaltaux réeltaux ≈

Taux d'intérêt et inflation


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Taux d’intérêt après impôt =

Taux d’intérêt avant impôt x (1–Taux d’imposition)

T aux d'intérêt et fiscalité

L’impôt sur les bénéfices (pour les sociétés) ou sur le revenu (pour les décisions personnelles) réduit la rémunération après impôt de votre placement.

Votre rémunération nette d’impôt (ou rémunération après impôt) représente ce que vous recevrez réellement après avoir payé l’impôt sur cette rémunération.


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Taux d’intérêt et fiscalité

Exemple :

Vous êtes imposé à 30% sur vos revenus.

Vous placez 1 000 € sur un compte qui rapporte du 8% annuel.

Quel est le taux de rémunération effectif de votre placement ?


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Évaluation d'une obligation

Définition : Une obligation est un titre de dette, émis par une

société ou par l’Etat, avec les caractéristiques suivantes :

montant emprunté (nominal)

taux d'intérêt (taux nominal)

modalité de paiement des intérêts (coupons)

échéance (ou maturité)


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Exemple : Emission d'un emprunt obligataire avec les

caractéristiques suivantes :

nominal 1000 euros

taux nominal 5,625%

échéance 5 ans

paiement des coupons chaque année

remboursement à l'échéance


46


56,25

0 1 2 3 4 5

56,25 56,25 56,25 56,25

+ 1 000

Si le taux du marché obligataire est à 5,625% :

?%)625,51(

0001

%625,5

%)625,51(125,56

%)625,51(

0001

%)625,51(

125,56

%)625,51(

0001

%)625,51(

25,56...

%)625,51(

25,56

%625,51

25,56

5

5

5

5

1

552

=+

++−⋅=

++

+⋅=

++

+++

++

+=

−

=∑

kk

VA



47


56,25

0 1 2 3 4 5

56,25 56,25 56,25 56,25

+ 1 000

Si le taux du marché obligataire passe à 6%, comment va évoluer la valeur actuelle de l'obligation ?

?%)61(

0001

%6

%)61(125,56

%)61(

0001

%)61(

125,56

%)61(

0001

%)61(

25,56...

%)61(

25,56

%61

25,56

5

5

5

5

1

552

=+

++−⋅=

++

+⋅=

++

+++

++

+=

−

=∑

kk

VA



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Quand les taux montent, le cours des obligations ordinaires (« à coupons ») baisse, et inversement.

Explication en terme de Valeur Actuelle

Explication en terme de bon sens

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