Chapitre 4 Modélisation des systèmes dynamiques …php.iai.heig-vd.ch/~mee/cours/cours_aav/chap_04/latex/chap_04.pdf · connaissance prenant la forme d’une fonction de transfert

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Chapitre 4

Modélisation des systèmesdynamiques dans l’espace d’état

Espace d’état 107 MEE \cours_aav.tex\13 mai 2006

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http://iai.heig-vd.ch/~mee//iai/competences_iai/latex/competences_iai_MEE.pdf


R

Cu e ( t )

L

u s ( t )i ( t )

f _ 0 2 _ 0 2 _ 0 1 . e p s

Fig. 4.1 – Circuit RLC série (fichier source).

4.1 Représentation d’un système dynamique li-néaire par son modèle d’état.

4.1.1 Exemple introductif : circuit RLC série

Modèle entrée-sortie ("Input-ouput model")

On considère le circuit électrique suivant : En admettant que les paramètresR, L et C soient constants, la relation mathématique liant la tension de sortieus(t) à celle d’entrée ue(t) peut être trouvée en écrivant l’équation (intégro-)différentielle régissant le circuit :

ue (t) = R · i (t) + L · di

dt+

1

C·

t∫−∞

i (τ) · dτ (4.1)

Notant que :

i (t) =dq

dt= C · dus

dt(4.2)

q(t) étant la charge instantanée du condensateur, et que

us (t) =1

C·

t∫−∞

i (τ) · dτ (4.3)

l’équation différentielle d’ordre 2 devient :

ue (t) = R · C · dus

dt+ L · C · d2us

dt2+ us (t) (4.4)

soit encore :d2us

dt2+

R

L· dus

dt+

1

L · C· us (t) =

1

L · C· ue (t) (4.5)

Sa résolution fournit la relation cherchée entre



http://iai.heig-vd.ch/~mee//cours//cours_ra/chap_02/Figures/f_02_02_08.pdf

http://iai.heig-vd.ch/~mee//cours//cours_ra/chap_02/Figures///f_02_02.dsf



( )

( )

d u

d t

R

L

d u

d t L Cu t

L Cu t

s ss

e

2

2

1

1

+ × +×

×

=×

×u e ( t ) = u ( t ) u s ( t ) = y ( t )

f _ 0 2 _ 0 2 _ 1 2 . e p s

Fig. 4.2 – Description du circuit de la figure 4.1 page ci-contre par un modèle deconnaissance prenant la forme d’une équation différentielle d’ordre 2. Le modèleindique le lien entre l’entrée ue(t) et la sortie us(t) : il s’agit d’un modèle entréesortie (fichier source).

l’entrée ue(t)

et

la sortie us(t)

du système.Dans le cas de conditions initiales nulles, on peut extraire la fonction de

transfert :G (s) =

Us (s)

Ue (s)=

1

1 + s ·R · C + s2 · L · C(4.6)

Il s’agit là à nouveau d’une relation

entrée-sortie

où aucune des grandeurs internes du circuit n’intervient, bien que leur connais-sance puisse être importante ; on pense notamment

– au courant i(t) ;– au flux totalisé Ψ(t) = L · i(t) ;– à la charge instantanée du condensateur q(t) ;– au champ électrique E(t) entre les armatures du condensateur.Un courant i(t) trop élevé peut provoquer une saturation magnétique se ma-

nifestant directement sur le flux totalisé Ψ(t), alors qu’une charge exagérée ducondensateur peut engendrer un champ électrique E supérieur au champ disrup-tif. Dans un cas comme dans l’autre, les hypothèses de linéarité sont démenties,mais aucune de ces grandeurs n’apparaît dans l’un ou l’autre des modèles entrée-sortie (équation différentielle d’ordre 2 et fonction de transfert) obtenus.

Modèle d’état

La représentation dans l’espace d’état (State space model) offre une alternativeau modèle entrée-sortie en proposant un modèle liant non seulement les signaux







U e ( s ) U s ( s )

U ( s ) Y ( s )G ( s )f _ 0 2 _ 0 2 _ 1 3 . e p s

Fig. 4.3 – Description du circuit de la figure 4.1 page 108 par un modèle deconnaissance prenant la forme d’une fonction de transfert d’ordre 2. Comme lemodèle de la figure 4.2 page précédente, il s’agit également d’un modèle entréesortie (fichier source).

d’entrée et de sortie d’un système dynamique tout en gardant "à l’oeil" certainesgrandeurs internes essentielles, les variables d’état.

Pour l’obtenir, il suffit de décrire le système dynamique par n équationsdifférentielles d’ordre 1 en lieu et place d’une seule équation différentielled’ordre n. Pour le circuit électrique considéré, on pourrait écrire :

ue (t) = R · i (t) + L · didt

+ 1C· q (t)

i (t) = dqdt

(4.7)

où q(t) est la charge électrique instantanée du condensateur. En plaçant les dé-rivées premières dans les membres de gauche et en mettant en forme, on a :

didt

= −RL· i (t)− 1

L·C · q (t) + 1L· ue (t)

dqdt

= i (t)(4.8)

Ces deux équations, mises ainsi sous forme canonique, modélisent le comporte-ment dynamique du circuit. Elles sont les équations d’état du système. L’ex-pression de la tension de sortie us(t) est alors simplement

us (t) =1

C· q (t) (4.9)

qui est appelée équation d’observation.En profitant de la notation matricielle, on peut présenter les trois dernières

équations sous forme compacte :

ddt

[iq

]=

[−R

L− 1

L·C1 0

]·[

iq

]+

[1L

0

]· ue

us =[

0 1C

]·[

iq

] (4.10)







La résolution de la première de ces équations (i.e. l’équation d’état) fournit i(t)et q(t) en fonction de ue(t). Le calcul de us(t) n’est alors plus qu’une simpleformalité (combinaison linéaire des états i(t) et q(t)) en faisant usage de la secondeéquation, i.e. l’équation d’observation.

Les variables d’états du système sont ici

i(t) et q(t) (4.11)

Elles ont été réunies dans le vecteur d’état

~x =

[iq

](4.12)

Non-unicité de la représentation d’état

Remarquons que d’autres grandeurs pourraient faire office d’état. En faisantles substitutions

i (t) = 1L·Ψ (t)

us (t) = 1C· q (t)

(4.13)

et en réécrivant les équations du circuit comme suit

1

L· dΨ

dt= − R

L2·Ψ (t)− 1

L· us (t) +

1

L· ue (t) (4.14)

C · dus

dt=

1

L·Ψ (t) (4.15)

on a finalement, après avoir multiplié la première équation par L et la secondepar 1

C,

d

dt

[Ψus

]=

[−R

L−1

1L·C 0

]·[Ψus

]+

[10

]· ue (4.16)

us =[0 1

]·[Ψus

](4.17)

ce qui montre déjà que la représentation d’état n’est pas unique.

4.1.2 Définition

La représentation d’état d’un système dynamique linéaire est un modèle parlequel non seulement la relation entrée-sortie entre u(t) et y(t) est déterminée,comme c’est déjà le cas avec

– l’équation différentielle d’ordre n,

dny

dtn+an−1·

dn−1y

dtn−1+. . .+a1·

dy

dt+a0·y = bm·

dmu

dtm+bm−1·

dm−1u

dtm−1+. . .+b1·

du

dt+b0·u

(4.18)





U ( s )u ( t )

Y ( s )y ( t )G ( s )

f _ 0 2 _ 0 1 _ 2 7 . e p s

Fig. 4.4 – Modèle entrée-sortie (fichier source).

d y

d ta

d y

d ta

d y

d ta y

bd u

d tb

d u

d tb

d u

d tb u

n

n n

n

n

m

m

m m

m

m

+ × + + × + ×

= × + × + + × + ×

-

-

-

-

-

-

1

1

1 1 0

1

1

1 1 0

K

K

y ( t )u ( t )

f _ 0 2 _ 0 1 _ 1 9 . e p s

Fig. 4.5 – Représentation d’un système dynamique linéaire par une équationdifférentielle d’ordre n (fichier source).

U ( s )u ( t )

Y ( s )y ( t )G ( s )

f _ 0 2 _ 0 1 _ 2 8 . e p s

Fig. 4.6 – Représentation d’un système dynamique linéaire par sa fonction detransfert (fichier source).




http://iai.heig-vd.ch/~mee//cours//cours_ra/chap_02/Figures///f_02.dsf







– la réponse impulsionnelle g(t) ou la fonction de transfert G(s),mais également le comportement des grandeurs internes x1 . . . xn au système,appelées variables d’état.

dx1

dt= a11 · x1 +a12 · x2 + . . . +a1n · xn +b1 · u

dx2

dt= a21 · x1 +a22 · x2 + . . . +a2n · xn +b2 · u

. . . . . . . . . . . . . . . . . .dxn

dt= an1 · x1 +an2 · x2 + . . . +ann · xn +bn · u

(4.19)

Les variables d’état x1 à xn sont au nombre de n, n étant l’ordre du système.Elles apparaissent naturellement lors de la mise en équations d’un système. Sil’on s’astreint à modéliser celui-ci par un ensemble de n équations différentiellesdu 1er ordre, les grandeurs d‘état sont alors celles faisant l’objet de la dérivée.Les n équations différentielles d’ordre 1 sont les équations d’état du système.

Bien qu’une définition claire des variables d’état soit relativement difficile àtrouver dans la littérature, on proposera néanmoins la suivante :Les variables d’état d’un système dynamique d’ordre n sont les n grandeurs x1

à xn qu’il est nécessaire et suffisant de connaître à l’instant t0 pour calculer laréponse y(t) du système à toute entrée u(t), t ≥ t0.

Cela signifie que si x1(t) à xn(t) sont connues à un instant t0, la connaissancedes équations du système ainsi que du signal d’entrée u(t) qui lui est appliquépermet de calculer la réponse y(t) pour t ≥ t0. Dans ce sens, les variables d’étatx1(t0) à xn(t0) à l’instant t0 coïncident avec les conditions initiales du système.

La connaissance à un instant donné des variables d’état du système permetdonc d’en définir rigoureusement l’état, à l’instar par exemple des registres d’état("status registers") d’un processeur. Toute autre donnée est alors superflue, hor-mis bien sûr les valeurs des paramètres (R, L, C, J , Rf , etc).

Le jeu de n équations différentielles ci-dessus doit en principe être complétépar une équation définissant la relation entre les grandeurs d’état x1(t) à xn(t) etla sortie y(t) du système :

y = c1 · x1 + c2 · x2 + . . . + cn · xn + d · u (4.20)

Il s’agit de l’équation d’observation, dans laquelle le signal de sortie y(t) ap-paraît comme une combinaison linéaire des états x1 à xn.

Exemple : moteur DC

On considère un moteur DC à excitation séparée dont tous les paramètressont supposés constants :

Les signaux d’entrée u(t) et de sortie y(t) sont ici la tension ua(t) appliquéeaux bornes de l’induit ainsi que la position angulaire θ(t) respectivement. La mise





q ( t )

i a

u a ( t )

L aR a

J

M

C o e f f i c i e n td e f r o t t e m e n t

v i s q u e u x

R f

p al i

e rs

w ( t )

f _ 0 2 _ 0 2 _ 0 9 . e p s

Fig. 4.7 – Schéma technologique d’un moteur DC (fichier source).

en équations donne :

ua(t) = Ra · ia(t) + La ·diadt

+ KE · ω(t) (4.21)

Tem(t) = KT · ia(t) (4.22)

J · dω

dt= Tem(t)−Rf · ω(t) (4.23)

dϑ

dt= ω(t) (4.24)

Par simple mise en forme, on peut en déduire les équations d’état, en choi-sissant ia, ω et θ comme variables d’état :

diadt

= −Ra

La

· ia −KE

La

· ω +1

La

· ua (4.25)

dω

dt=

KT

J· ia −

Rf

J· ω (4.26)

dϑ

dt= ω (4.27)

La connaissance de ces trois équations est nécessaire et suffisante pour décrirele comportement dynamique du système considéré, lequel est donc d’ordre n = 3.

La sortie y du système est donnée par l’équation d’observation et coïncidedans cet exemple avec l’un des états :

y = θ (4.28)







4.1.3 Forme matricielle

Les équations différentielles d’ordre 1 ci-dessus sont avantageusement repré-sentées en faisant usage de la notation matricielle :

d~x

dt= A · ~x + B · u (4.29)

y = C · ~x + D · u (4.30)

– le vecteur

~x =

x1...

xn

(4.31)

est le vecteur d’état ; c’est un vecteur colonne de dimension n × 1. Sescomposantes sont les n états du système.

– la matrice

A =

a11 a12 . . . aan

a21 a22 . . . a2n...

......

...an1 an2 . . . ann

(4.32)

est la matrice d’état ou matrice système ; c’est une matrice carrée dedimension n× n.

Dans le cas d’un système mono-variable (une entrée u, une sortie y),– la matrice

B =

b1

b2...bn

(4.33)

est la matrice d’entrée prenant la forme d’un vecteur-colonne de dimen-sion n× 1 ;

– la matriceC =

[c1 c2 . . . cn

](4.34)

est la matrice de sortie, vecteur-ligne de dimension 1× n ;– la matrice

D = [d] (4.35)

est la matrice de transfert direct. Elle se réduit à un scalaire dans le casmono-variable. Si elle est non-nulle, cela indique que l’entrée u intervientdirectement sur la sortie y, ce qui traduit un comportement statique (voirfigure 4.9 page 118).





L’équationd~x

dt= A · ~x + B · u (4.36)

est l’équation d’état. Elle seule détermine le comportement des états x1 à xn,i.e. le comportement dynamique du système.

L’équationy = C · ~x + D · u (4.37)

est l’équation d’observation ou encore équation de sortie ; elle n’a aucuneinfluence sur les états. Elle permet de construire la/les sortie(s) du système parsimple combinaison linéaire des états.

Exemple : moteur DC

On reprend l’exemple du moteur DC à excitation séparée précédemmenttraité. Sous forme matricielle, ses équations d’état s’écrivent :

ddt

iaωθ

︸︷︷︸

~x

=

−Ra

La−KE

La0

KT

J−Rf

J0

0 1 0

︸︷︷︸

A

·

iaωθ

︸︷︷︸

~x

+

1La

00

︸︷︷︸

B

·ua

θ︸︷︷︸y

=[

0 0 1]︸︷︷︸

C

·

iaωθ

︸︷︷︸

~x

+ [0]︸︷︷︸D

· ua︸︷︷︸u

(4.38)

où le vecteur d’état est

~x =

x1

x2

x3

=

iaωθ

(4.39)

La représentation dans l’espace d’état constitue par ailleurs la forme idéale pourla simulation ; en effet, la plupart des méthodes de résolution de systèmes d’équa-tions de 1er ordre linéaires ou non-linéaires (Runge-Kutta, Euler, etc) requièrentla forme dite canonique, où les dérivées premières (des états) apparaissent dans lemembre de gauche, le membre de droite comprenant des combinaisons linéairesou non-linéaires des états.

Par exemple, dans le cas linéaire, les réponses impulsionnelle, indicielle ouharmonique du système étudié sont facilement obtenues avec MATLAB, par lescommandes respectives (offertes dans Control System Toolbox ) :

– step(A,B,C,D)– impulse(A,B,C,D)– bode(A,B,C,D)

exécutées après avoir introduit les valeurs numériques des matrices A, B, C etD. On a par exemple pour la réponse indicielle :





0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

x1=ia

x2=omega

x3=teta

t [s]

REPONSE INDICIELLE : EVOLUTION DES ETATS

Fig. 4.8 – La réponse indicielle du modèle d’état du moteur DC montre l’évolutiondes 3 états i(t), ω(t) et θ(t).



http://iai.heig-vd.ch/~mee//cours//cours_ra/chap_02/Figures/f_02_03.pdf



ò

d xd t

rrx

S

D

C SB

D

Af _ 0 2 _ 0 1 _ 2 9 . e p s

u ( t ) y ( t )

Fig. 4.9 – Schéma fonctionnel (ou structurel) associé à une représentation par unmodèle d’état. On observe que la matrice d’état A détermine les contre-réactionsdes états du système (fichier source).

4.1.4 Schéma fonctionnel

Les équations d’état

d~xdt

= A · ~x + B · uy = C · ~x + D · u (4.40)

peuvent être représentées graphiquement par le schéma fonctionnel général cor-respondant (figure 4.9). Ce schéma met en évidence le rôle capital joué par lamatrice d’état A, laquelle détermine les contre-réactions internes au système. Ilsera montré ultérieurement qu’elle seule détermine en fait la stabilité du système,ses valeurs propres coïncidant avec les pôles dudit système.

Exemple : moteur DC

Les équations d’état du moteur DC peuvent être représentées sous forme gra-phique. Un schéma fonctionnel possible celui des figures 4.10 page suivante et 4.11page 120 où les seuls élément dynamiques intervenant sont des intégrateurs.L’avantage de ces schémas est que l’on peut voir au premier coup d’oeil la struc-ture interne du système, notamment les relations existant entre les différentesgrandeurs.







S-

1J S

wu a

T e mi a

e m

1s qK T

K E

1s

1

L a

S1s

R

La

a

R

Jf

d i

d t

R

Li

K

L Lua a

a

aE

a a

a= - × - × + ×w1 d

d t

K

Ji

R

JT

a

fww= × - ×

d

d t

Jw=

f _ 0 2 _ 0 2 _ 1 6 . e p s

Fig. 4.10 – Une représentation graphique possible des équations d’état du moteurDC (fichier source).

4.1.5 Calcul de la fonction de transfert à partir du modèled’état

On se propose ici de calculer la fonction de transfert du système sur la basedes équations d’état. Notons que l’opération inverse est également possible.

Dans le cas de conditions initiales nulles, la transformée de Laplace des deuxmembres des équations d’état donne, pour un système mono-variable :

d~xdt

= A · ~x + B · uy = C · ~x + D · u (4.41)

Afin d’extraire la relation entrée sortie entre U(s) et Y (s), on élimine ~X (s) entreles deux équations :

s · ~X (s)− A · ~X (s) = B · U (s)

(s · I − A) · ~X (s) = B · U (s)~X (s) = (s · I − A)−1 ·B · U (s)

(4.42)

En introduisant cette dernière expression dans la seconde équation (l’équationd’observation)

Y (s) = C · (s · I − A)−1 ·B · U (s) + D · U (s) (4.43)

on en déduit finalement la fonction de transfert recherchée :

G (s) =Y (s)

U (s)= C · (s · I − A)−1 ·B + D (4.44)







-

1J

S w

u a

T e m

i a

e m

1s

q

K T

K E

1s

1

L a

S1s

R

La

a

R

Jf

d i

d t

R

Li

K

L Lua a

a

aE

a a

a= - × - × + ×w1

d

d t

K

Ji

R

JT

a

fww= × - ×

d

d t

Jw=

f _ 0 2 _ 0 2 _ 1 7 . e p s

Fig. 4.11 – Une autre représentation graphique des équations d’état du moteurDC (fichier source).







Rappel : inversion d’une matrice L’inverse d’une matrice A est obtenu endivisant la transposée de la matrice des cofacteurs par le déterminant de A.Cas particulier : matrice 2 sur 2.

A =

[a11 a12

a21 a22

]A−1 =

1

a11 · a22 − a12 · a21

·[

a22 −a12

−a21 a11

](4.45)

On peut ainsi obtenir la fonction de transfert du système décrit dans l’espaced’état à partir des matrices A, B, C et D. On voit qu’il est nécessaire d’inverser lamatrice (s ·I−A) qui est d’ordre n, ce qui peut constituer un travail considérable.

L’expression de G(s) peut encore être développée en tenant compte de l’ex-pression de l’inverse de (s · I − A) :

G (s) =Y (s)

U (s)= C · [cof (s · I − A)]T

|s · I − A|·B + D

=C · [cof (s · I − A)]T ·B + D · |s · I − A|

|s · I − A|=

polynôme en spolynôme en s

(4.46)

On observe que le dénominateur de G(s) n’est autre que le déterminant de (s ·I −A). Les racines du dénominateur étant les pôles s1 . . . sn de G(s), on voit queceux-ci correspondent aux valeurs propres de A, obtenues en résolvant :

dc (s) = |s · I − A| = 0 ⇒

s1

s2...sn

(4.47)





Exemple : moteur DC

La fonction de transfert G (s) = Y (s)U(s)

= Θ(s)Ua(s)

est obtenue en procédant parétapes :

(s · I − A) = s ·

1 0 00 1 00 0 1

− −Ra

La−KE

La0

KT

J−Rf

J0

0 1 0

=

s + Ra

La+KE

La0

−KT

Js +

Rf

J0

0 −1 s

(s · I − A)−1 =

[cof (s · I − A)]T

|s · I − A|

cof (s · I − A) =

s ·

(s +

Rf

J

)s · KT

JKT

J

−KT

La· s s ·

(s + Ra

La

) (s + Ra

La

)0 0

(s + Ra

La

)·(s +

Rf

J

)+ KT ·KE

J ·La

[cof (s · I − A)]T =

s ·

(s +

Rf

J

)−s · KT

La0

KT

J· s s ·

(s + Ra

La

)0

KT

J

(s + Ra

La

) (s + Ra

La

)·(s +

Rf

J

)+ KT ·KE

J ·La

|s · I − A| = s ·

((s +

Ra

La

)·(

s +Rf

J

)+

KT ·KE

J · La

)= s ·

(s2 +

(Ra · J + Rf · La

La · J

)· s +

KT ·KE + Ra ·Rf

La · J

)

C · (s · I − A)−1 =[

0 0 1]·

s ·

(s +

Rf

J

)−s · KT

La0

KT

J· s s ·

(s + Ra

La

)0

KT

J

(s + Ra

La

) (s + Ra

La

)·(s +

Rf

J

)+ KT ·KE

J ·La

s ·

(s2 +

(Ra·J+Rf ·La

La·J

)· s +

KT ·KE+Ra·Rf

La·J

)=

[KT

J

(s + Ra

La

) (s + Ra

La

)·(s +

Rf

J

)+ KT ·KE

J ·La

]s ·

(s2 +

(Ra·J+Rf ·La

La·J

)· s +

KT ·KE+Ra·Rf

La·J

)(4.48)

On voit ici que la connaissance de la matrice C peut permettre d’abréger lecalcul de l’inverse de (s · I −A), certaines composantes de cette dernière n’étantde toute façon pas prises en compte dans le calcul. La même remarque s’appliqueégalement à la matrice B intervenant dans le calcul suivant. Pour gagner du





temps lors de l’extraction de (s · I − A)−1 en évitant le calcul de certaines de sescomposantes, on aura donc intérêt à prendre en compte la forme de B et C dèsle départ.

C · (s · I − A)−1 ·B =

[KT

J

(s + Ra

La

) (s + Ra

La

)·(s +

Rf

J

)+ KT ·KE

J ·La

]s ·

(s2 +

(Ra·J+Rf ·La

La·J

)· s +

KT ·KE+Ra·Rf

La·J

) ·

1La

00

=

KT

J· 1

La

s ·(s2 +

(Ra·J+Rf ·La

La·J

)· s +

KT ·KE+Ra·Rf

La·J

)(4.49)

d’où finalement :

G (s) =Y (s)

U (s)= C·(s · I − A)−1·B+ D︸︷︷︸

0

=KT

La·J

s ·(s2 +

(Ra·J+Rf ·La

La·J

)· s +

KT ·KE+Ra·Rf

La·J

)(4.50)

Le calcul symbolique ci-dessus est fastidieux et pourrait être aisément réaliséau moyen de logiciels de calcul symbolique comme Mathematica, Maple, Mathcad(qui comprend quelques primitives de calcul de Maple) ou MATLAB et sa boîteà outil Symbolic (à nouveau un extrait de Maple). Ce long calcul peut aussi êtreévité si l’on se contente d’une solution numérique, laquelle est aisément obtenueavec MATLAB au moyen de ss2tf ("State Space to Transfer Function")

Combiné avec printsys(numG,denG), le résultat est :

>> [numG,denG]=ss2tf(A,B,C,D);>> printsys(numG,denG)num/den =-5.457e-012 s + 1.277e+004------------------------------s^3 + 162.4 s^2 + 1.533e+004 s

Du déterminant de (s ·I−A) peuvent être extraites les valeurs propres, i.e. lespôles s1 à s3 du système. Numériquement, cela peut se faire à l’aide de MATLABpar la fonction eig ("eigenvalues"), ce qui donne ici :

>> eig(A)ans =0-81.1766 +93.4977i-81.1766 -93.4977i





4.1.6 Application : linéarisation autour d’un point de fonc-tionnement ([[?], chap.11], [[?], §3.6])

Le but de ce paragraphe est de proposer une méthode permettant de linéariserdes systèmes non-linéaires en vue de pouvoir leur appliquer les méthodes d’analyseréservées aux systèmes linéaires. Comme on le verra, la représentation du systèmedans l’espace d’état s’avère être ici particulièrement avantageuse.

On considère l’équation d’état d’un système dynamique mono-variable, causal,stationnaire, linéaire ou non-linéaire, représenté par n équations différentiellesd’ordre 1 où la variable indépendante est le temps :

dx1

dt= f1 (x1, . . . xn) + g1 (u)

dx2

dt= f2 (x1, . . . xn) + g2 (u)

...dxn

dt= fn (x1, . . . xn) + gn (u)

y = h (x1, . . . xn) + d (u)

(4.51)

Il faut ici mentionner que souvent, un certain travail de mise en forme est né-cessaire afin d’obtenir les équations dans cette présentation, dite canonique. Deslogiciels de calcul symbolique comme Mathematica ou Maple peuvent ici être d’unetrès grande utilité.

Si l’on considère ce système autour d’un point de fonctionnement Q (u0, ~x0),on peut écrire pour de petites variations (u, ~x) = (u0 + ∆u, ~x0 + ∆~x) :

fi (x1, . . . , xn) = fi (x10 + ∆x1, . . . , xn0 + ∆xn) ≈ fi (x10, . . . , xn0) + ∆fi

= fi (x10, . . . , xn0) +∂fi

∂x1

·∆x1 +∂fi

∂x2

·∆x2 + . . . +∂fi

∂xn

·∆xn

(4.52)

De même, on a :

gi (u) = gi (u0 + ∆u) ≈ gi (u0) + ∆ui = gi (u0) +∂gi

∂u·∆u (4.53)

avec en particulier :

d

dt~x0 = ~0 =

f1 (x10, . . . , xn0) + g1 (u0)f2 (x10, . . . , xn0) + g2 (u0)

· · ·fn (x10, . . . , xn0) + gn (u0)

(4.54)

On peut donc écrire :ddt

∆x1 = ∂f1

∂x1

∣∣∣Q·∆x1 + ∂f1

∂x2

∣∣∣Q·∆x2 + . . . + ∂f1

∂xn

∣∣∣Q·∆xn + ∂g1

∂u

∣∣Q·∆u

ddt

∆x2 = ∂f2

∂x1

∣∣∣Q·∆x1 + ∂f2

∂x2

∣∣∣Q·∆x2 + . . . + ∂f2

∂xn

∣∣∣Q·∆xn + ∂g2

∂u

∣∣Q·∆u

...ddt

∆xn = ∂fn

∂x1

∣∣∣Q·∆x1 + ∂fn

∂x2

∣∣∣Q·∆x2 + . . . + ∂fn

∂xn

∣∣∣Q·∆xn + ∂gn

∂u

∣∣Q·∆u

(4.55)





u 0

u SSS

-

D

C S

p o i n t d ef o n c t i o n n e m e n T

Q

B Q

A Q

y

x 0

1 / sD u d / d t ( D x ) D x

f _ 0 2 _ 0 2 _ 0 2 . e p s

Fig. 4.12 – Schéma fonctionnel pour de faibles accroissements (fichier source).

qui devient en faisant usage de la forme matricielle,

d

dt

∆x1

∆x2

· · ·∆xn

=

∂f1

∂x1

∂f1

∂x2· · · ∂f1

∂xn∂f2

∂x1

∂f2

∂x2· · · ∂f2

∂xn

· · · · · · · · · · · ·∂fn

∂x1

∂fn

∂x2· · · ∂fn

∂xn

Q

·

∆x1

∆x2

· · ·∆xn

+

∂g1

∂u∂g2

∂u

· · ·∂gn

∂u

Q

·∆u (4.56)

soit encore :d (∆~x)

dt= A|Q ·∆~x + B|Q ·∆u (4.57)

Pour l’équation d’observation, on a simplement :

y = h (~x0 + ∆~x) + d (u0 + ∆u) (4.58)

Le système est ainsi linéarisé autour du point de fonctionnement Q et peut doncêtre traité comme un système linéaire pour de faibles accroissements autour deQ. Le schéma fonctionnel correspondant apparaît ci-après sur la figure 4.12.

Exemple

On considère un moteur DC à excitation séparée constante (figure 4.13 pagesuivante), pour lequel l’inertie de la charge Jch est dépendante de la positionangulaire θ selon la loi

Jch = Jch (ϑ) = JN · (α + sin (ϑ)) (4.59)







i a

u a ( t )

L aR a

J

w ( t )

M

C o e f f i c i e n td e f r o t t e m e n t

v i s q u e u xR f

p al i

e rs

f _ 0 2 _ 0 2 _ 0 6 . e p s

I n e r t i e v a r i a b l e e n f o n c t i o n d e

l a p o s i t i o n

Fig. 4.13 – Schéma technologique d’un moteur DC (fichier source).

0 1 2 3 4 5 6 70

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

teta [rad]

Iner

tie [k

gm^2

]

VALEUR DE L’INERTIE EN FONCTION DE LA POSITION ANGULAIRE

Fig. 4.14 – Evolution du moment d’inertie J en fonction de la position angulaireθ.








K T

i a ( t )

Su a ( t )

T e m ( t )

w ( t )

1s

q ( t )

1

1

R

sLR

a

a

a+ ×

K E

S 1s( )( )

1J N × +a Js i n

-R f

f _ 0 2 _ 0 2 _ 0 7 . e p s

Fig. 4.15 – Schéma fonctionnel d’un moteur DC entraînant une inertie variableen fonction de la position angulaire θ (fichier source).

Cela représente par exemple un entraînement à came ou le bras d’un robot.Pour cet exemple, le signal de sortie du système est la vitesse angulaire ω(t).

Le schéma fonctionnel est donné sur la figure 4.15. On y reconnaît un bloc non-linéaire symbolisé conventionnellement par un rectangle aux bordures doubles.

Les équations d’état sont :

dx1

dt=

diadt

= −Ra

La

· ia −KE

La

· ω +1

La

· ua

= f1 (x1, x2, x3) + g1 (u)

dx2

dt=

dω

dt=

KT

Jt

· ia −Rf

Jt

· ω =KT

JN · (α + sin (ϑ))· ia −

Rf

JN · (α + sin (ϑ))· ω

= f2 (x1, x2, x3) + g2 (u)

dx3

dt=

dϑ

dt= ω

= f3 (x1, x2, x3) + g3 (u)

(4.60)

Ces mêmes équations, linéarisées autour du point de fonctionnement Q(ua0, [ia0, ω0, θ0]),deviennent, après calcul des dérivées partielles :

d

dt

∆x1

∆x2

∆x3

=

∂f1

∂x1

∂f1

∂x2

∂f1

∂x3∂f2

∂x1

∂f2

∂x2

∂f2

∂x3∂f3

∂x1

∂f3

∂x2

∂f3

∂x3

Q

·

∆x1

∆x2

∆x3

+

∂g1

∂u∂g2

∂u∂gn

∂u

Q

·∆u

d

dt

∆ia∆ω∆ϑ

=

−Ra

La−KE

La0

KT

JN· 1

(α+sin(ϑ0))−Rf

JN· 1

(α+sin(ϑ0))0

0 1 0

· ∆ia

∆ω∆ϑ

+

1La

00

·∆ua

(4.61)







où en particulier la dérivée partielle de f2(ia, ω, θ) par rapport à θ au point defonctionnement Q(u0, [ia0, ω0, θ0])

∂f2

∂x3

=KT · ia0

JN

· − cos (ϑ0)

(α + sin (ϑ0))2 −

Rf · ω0

JN

· − cos (ϑ0)

(α + sin (ϑ0))2 (4.62)

est bel et bien nulle puisque∂f2

∂x3

=KT · ia0

JN

· − cos (ϑ0)

(α + sin (ϑ0))2 −

Rf · ω0

JN

· − cos (ϑ0)

(α + sin (ϑ0))2

=

(− cos (ϑ0)

(α + sin (ϑ0))

)·(

KT

JN · (α + sin (ϑ0))· ia0 −

Rf

JN · (α + sin (ϑ0))· ω0

)︸︷︷︸

f2(x10,...,xn0)+g2(u0)=0

= 0

(4.63)

On peut alors en déduire, selon les besoins, les pôles, les constantes de tempsou la fonction de transfert liant l’entrée ∆ua et la sortie de son choix.

Pour obtenir la fonction de transfert Ga (s) = ∆Ω(s)∆Ua(s)

, on élimine le courant∆ia des équations ci-dessus en l’extrayant de la première équation :(

s +Ra

La

)·∆Ia (s) = −KE

La

·∆Ω (s) +1

La

·∆Ua (s)

∆Ia (s) =−KE

La(s + Ra

La

) ·∆Ω (s) +1

La(s + Ra

La

) ·∆Ua (s)(4.64)

En introduisant ce résultat dans la seconde équation, on a successivement :

s · ∆Ω (s) =KT

JN

·1

(α + sin (ϑ0))·

0@ −KE

Las + Ra

La

· ∆Ω (s) +

1La

s + RaLa

· ∆Ua (s)

1A−

Rf

JN

·1

(α + sin (ϑ0))· ∆Ω (s)

0@s +

1

(α + sin (ϑ0))·

0@Rf

JN

+KT

JN

·KELa

s + RaLa

1A1A · ∆Ω (s) =

KT

JN

·1

(α + sin (ϑ0))·

1La

s + RaLa

· ∆Ua (s)

s ·

s +Ra

La

+

1

(α + sin (ϑ0))·

Rf

JN

·

s +Ra

La

+

KT

JN

·KE

La

!!· ∆Ω (s) =

KT

JN

·1

La·

1

(α + sin (ϑ0))· ∆Ua (s)

s2

+ s ·

Ra

La+

1

(α + sin (ϑ0))·

Rf

JN

·!

+1

(α + sin (ϑ0))·

Rf

JN

·Ra

La+

KT

JN

·KE

La

!!· ∆Ω (s) =

KT

JN

·1

La·

1

(α + sin (ϑ0))· ∆Ua (s)

(4.65)

La fonction de transfert en régime d’accroissements est finalement, présentéesous forme d’Evans (Laplace) puis sous forme de Bode :

Ga (s) =∆Ω (s)

∆Ua (s)

=ka

s2 + a1 · s + a0

=

KTLa·JN

· 1(α+sin(ϑ0))

s2 + s ·

RaLa

+ 1(α+sin(ϑ0)) ·

RfJN

+ 1

(α+sin(ϑ0)) ·

Rf ·Ra+KT ·KELa·JN

=KT

Rf · Ra + KT · KE

·10

B@1 +

RaLa

+ 1(α+sin(ϑ0)) ·

RfJN

1(α+sin(ϑ0)) ·

Rf ·Ra+KT ·KE

La·JN

· s + 11

(α+sin(ϑ0)) ·

Rf ·Ra+KT ·KELa·JN

· s2

1CA

(4.66)





0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0

t [s]

vite

sse

angu

laire

[rad

/s]

REPONSES INDICIELLES EN DIFFERENTES POSITIONS ANGULAIRES

30

6090120150

180

210

240

270

300

330

Fig. 4.16 – Réponses indicielles du système à régler en fonction de la positionangulaire.

Le système à régler étudié a donc des caractéristiques dynamiques dépendantdu point de fonctionnement Q(u0, [ia0, ω0, θ0]). Afin d’en juger les effets, on trace(figure 4.16) la réponse indicielle de Ga(s) en différents points de fonctionnementfixés par la valeur de la position angulaire θ :

Q(u0, [ia0, ω0, θ0] = Q

(1 [V],

[0 [A], 0

[rads

], θ0 = 0 . . . 330 []

])(4.67)

On constate très clairement l’influence de la valeur de la position angulaire surle comportement dynamique du système. Il va donc de soi qu’il faut prendreen compte cet effet si le système est destiné être contre-réactionné en vue d’unasservissement de position, de vitesse ou encore de courant.










4.A Exercices

4.A.1 Modèles d’état

1. Donner le modèle d’état du double intégrateur (analogique) et en obtenirla fonction de transfert à partir de ce modèle.

2. Donner le modèle d’état du système dynamique linéaire ayant pour fonctionde transfert (intégrateur et constante de temps) :

G(s) =Y (s)

U(s)=

K

s· 1

(1 + s · T )

3. Déterminer le modèle d’état global résultant de la mise en série de deuxsystèmes dynamiques linéaires a et b donnés par leurs équations d’état.

Indication : former le vecteur d’état global

~x =

[~xa

~xb

]4. Déterminer le modèle d’état global résultant de la mise en contre-réaction

d’un système dynamique linéaire donné par ses équations d’état.

4.A.2 Modélisation et schéma fonctionnel d’un entraîne-ment avec transmission flexible

Soit le système mécanique suivant, constitué de deux inerties accouplées parun arbre flexible (i.e. non-infiniment rigide, élastique...). Il s’agit par exemple durotor d’un moteur électrique et de sa charge (figure 4.17 page suivante).

Les paliers créent un couple de frottement visqueux total Rf

[N·mrads

], et l’arbre

liant les masses en rotation est de rigidité k[N·m

rad

]. Les couples résistants Trés1 et

Trés2 agissent sur les charges J1 et J2 au titre de perturbations.

1. Modéliser ce système par ses équations différentielles. Donner son modèled’état, i.e. ses n équations différentielles d’ordre 1.

2. Calculer les pôles et les zéros de la fonction de transfert

G1(s) =position angulaire de J1

couple moteur=

θ1(s)

Tem(s)

3. Donner le schéma fonctionnel détaillé du système en se basant sur le mo-dèle d’état. Les seuls élément dynamiques y apparaissant doivent être desintégrateurs.





R f

q 1 ( t )T e m ( t ) q 2 ( t )

i n e r t i e d u r o t o r :J 1

i n e r t i e d e l a c h a r g e :J 2

r i g i d i t é d e l ' a r b r ed e t r a n s m i s s i o n :

k [ N m / r a d ]

c o e f f i c i e n t d ef r o t t e m e n t v i s q u e u x :

d e s p a l i e r sR f [ N m s / r a d ]

R f

f _ 0 7 _ 0 1 . e p s

Fig. 4.17 –




http://iai.heig-vd.ch/~mee//cours//cours_ra/chap_02/Figures/com_robuste.pdf



4. A l’aide de MATLAB, tracer les réponses impulsionnelles et fréquentiellesdu système. Calculer également les fonctions de tranfert


couple moteur=

θ1(s)

Tem(s)


couple moteur=

θ2(s)

Tem(s)

Paramètres :

J1 = 0.45 · 10−3 [kg ·m2]

J2 = 25 · 10−3 [kg ·m2]

Rf = 20 · 10−3

[N ·m

rads

]

k = 1740

[N ·mrad

]

Commandes MATLAB (Control System Toolbox )– impulse(A,B,C,D) ouimpulse(num,den)– bode(A,B,C,D) ou bode(num,den)– G=ss2tf(A,B,C,D,iu,iy)

4.A.3 Modélisation et linéarisation du pendule inversé

On considère le système dont le schéma technologique est donné sur la fi-gure 4.18 page suivante. Il s’agit du fameux pendule inversé, maintenu en équi-libre vertical par un système d’asservissement de l’angle ϕ et de la position x.

1. Partant des équations de la dynamique, donner le modèle d’état du pendule.2. Linéariser le modèle d’état autour de point de fonctionnement correspon-

dant aux position angulaires ϕ = 0 [] et ϕ = 180 [].3. Calculer les fonctions de transfert

GFx(s) =X(s)

F (s)

etGFϕ(s) =

Φ(s)

F (s)

aux deux points de fonctionnement ci-dessus. Quels sont les pôles de cesfonctions de transfert ?





Fig. 4.18 – Schéma technologique du pendule inversé.



http://iai.heig-vd.ch/~mee//cours//cours_ra/chap_02/Figures/test.pdf


Documents

Chapitre 4 Modélisation des systèmes dynamiques …php.iai.heig-vd.ch/~mee/cours/cours_aav/chap_04/latex/chap_04.pdf · connaissance prenant la forme d’une fonction de transfert