Entraînements réglés - HEIG-VDphp.iai.heig-vd.ch/~mee/cours/cours_er/cours_er.pdf · HEIG -Vd Entraînements réglés ( MET2 ) Préambule Le cours d'entraînements réglés est

Haute Ecole d'Ingéniérie et de Gestion ducanton de Vaud (HEIG-Vd)

Département Electricité et Informatique(E+I)

Filière Génie Electrique

Département Systèmes industriels etMicrotechniques (Si+M)

Filière Microtechnique

Département Formation en emploi (FEE)Filière Electricité

Entraînements réglésMET2

A

i

iutomatisation

n s t i t u t d '

n d u s t r i e l l e

Prof. Michel ETIQUE, mars 2006,Yverdon-les-Bains

http://www.heig-vd.ch

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er///Figures/heig-vd-seul.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er///Figures/iai.pdf

HEIG-Vd Entraînements réglés (MET2)

v.1.11 2 MEE \cours_er.tex\12 novembre 2006



Table des matières

1 Les applications des entraînements réglés 111.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Les entraînements réglés : tentative de dénition . . . . . . 111.1.2 Les utilisateurs des entraînements . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3 Objectifs du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Les applications des entraînements dans l'industrie des machines . 171.2.1 Les besoins standards : systèmes multi-axes mécaniques . . 171.2.2 Les nouvelles exigences : systèmes multi-axes électroniques 19

1.3 Entraînements électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.3.1 Comparaison des diérents types d'entraînements ([1], [2],

[3], [4, p.27 et 59]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.3.2 Les entraînements électriques à vitesse variable ([5]) . . . . 45

2 Entraînement avec machine DC 532.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2 Modélisation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.1 Rappel : construction et fonctionnement du moteur DC . . 542.2.2 Equations caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2.3 Schéma fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2.4 Modèle électrique de la machine DC . . . . . . . . . . . . 582.2.5 Constantes de temps mécaniques et électriques ([6]) . . . . 592.2.6 Caractéristique couple-vitesse de la machine à excitation

séparée en régime permanent constant . . . . . . . . . . . 612.3 Alimentation par variateur de courant continu ([7], [8]) . . . . . . 64

2.3.1 Fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3.2 Caractéristique statique ([7], 2.5.4) . . . . . . . . . . . . . 682.3.3 Commande du variateur de courant par modulation de lar-

geur d'impulsion (PWM) ([7], 2.6) . . . . . . . . . . . . . 712.4 Récupération d'énergie ([9]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.5 Régulation de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.5.1 Régulateur linéaire de type PI analogique . . . . . . . . . . 892.6 Régulation de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.6.1 Structure du système de régulation de vitesse . . . . . . . 97




2.6.2 Modélisation du système à régler . . . . . . . . . . . . . . 972.6.3 Choix et principe d'ajustage du régulateur de vitesse . . . 1012.6.4 Synthèse du régulateur pour la magnétisation nominale

(Φf = ΦfN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.A Régulateur de courant à action à deux positions avec hystérèse . . 1092.B Ajustage des régulateurs de courant et de vitesse en démagnétisation115

2.B.1 Ajustage du régulateur PI en démagnétisation . . . . . . . 1152.B.2 Ajustage du régulateur de vitesse en mode d'aaiblissement

de champ (démagnétisation, Φf < ΦfN) . . . . . . . . . . . 1172.C Inuence du temps de commutation des transistors ([[7]. 2.5.5-6],

[[6], 13.6.5 et 8.5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.C.1 Enclenchement et déclenchement lorsque id > 0 [A] . . . . 1232.C.2 Enclenchement et déclenchement lorsque id < 0 [A] . . . . 1262.C.3 Durée d'enclenchement eective et tension moyenne corres-

pondante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3 Entraînement avec machine synchrone auto-commutée 1313.1 Introduction et buts du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.2 Principe de fonctionnement de la machine synchrone . . . . . . . 132

3.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.2.2 Démarrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.2.3 Les aimants permanents ([10], chap.16 et chap.4, 4.2, [11],

Synchronous Motor Design, [1], 3.3.1) . . . . . . . . . . . 1353.3 Mise au point sur la terminologie : moteurs DC brushless et AC

brushless ([10], 1.1, [1], 13.6.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.3.2 Moteur à courant continu sans collecteur ([9], chap.5) . . . 1373.3.3 Structure du moteur à courant continu sans collecteur . . . 1413.3.4 Contrôle du couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.3.5 Distributions magnétiques du bobinage statorique et de

l'aimant permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.3.6 Conclusion sur la machine DC brushless . . . . . . . . . . 147

3.4 Moteur synchrone auto-commuté ([9], chap.5, [10], chap.6) . . . . 1493.5 Modélisation mathématique de la machine synchrone auto-commutée

("AC brushless") . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.5.2 Equations de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.5.3 Couple électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623.5.4 Déphasage entre le courant et la FEM . . . . . . . . . . . 167

3.6 Alimentation par convertisseur de fréquence ([7]) . . . . . . . . . . 1693.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693.6.2 Le convertisseur de fréquence à circuit intermédiaire de ten-

sion continue ([7], chap.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169




3.6.3 Calcul des tensions de phases en fonction des tensions debranche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.6.4 Calcul des tensions de branches . . . . . . . . . . . . . . . 1723.6.5 La tension du neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773.6.6 Commande de l'onduleur par modulation PWM . . . . . . 180

3.7 Une première stratégie de pilotage : la commande scalaire de lamachine synchrone auto-commutée ([12], 14.1, [13], 8.10, [14],8.8.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1863.7.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1863.7.2 Mesure de la position angulaire . . . . . . . . . . . . . . . 1863.7.3 Asservissement de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

3.8 Commande vectorielle de la machine synchrone auto-commutée([14], chap.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2083.8.1 Phaseurs spatiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2083.8.2 Equations de la machine dans un système d'axes xé au

rotor ([14], 3.4.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2253.8.3 Commande de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

4 Entraînement avec machine asynchrone 2354.1 Généralités sur la machine asynchrone ([[2], chap.6], [[15], 2.1],

[[13], 6.2], [16]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2354.1.1 Constitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2364.1.2 Principe de fonctionnement ([16]) . . . . . . . . . . . . . . 236

4.2 Modélisation mathématique en régime sinusoïdal permanent . . . 2394.2.1 Schéma équivalent d'une phase statorique ([5], [16]) . . . . 2394.2.2 Couple électromagnétique en régime sinusoïdal permanent 242

4.3 Commande scalaire de la machine asynchrone ([[14], 8.3-6]) . . . 2434.3.1 Commande à ux d'entrefer Ψhs constant . . . . . . . . . . 2434.3.2 Régime d'aaiblissement de champ . . . . . . . . . . . . . 260

4.4 Commande vectorielle de la machine asynchrone([17], 7.6, [13],7.13.4, [15], 7.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2654.4.1 Equations de la machine asynchrone dans le référentiel sta-

torique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2654.4.2 Couple électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2704.4.3 Equations la machine asynchrone dans le référentiel tour-

nant à la vitesse synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2714.4.4 Orientation du système d'axes (tournant) par rapport au

ux rotorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2724.4.5 Fonctions de transfert tension-courant . . . . . . . . . . . 279




Préambule

Le cours d'entraînements réglés est enseigné pendant un demi-semestre, àraison de 4 périodes par semaine pour un total de 32 périodes. Un petit tiers decelles-ci est consacré aux exercices, dont les données sont fournies séparément etpour lesquels un corrigé est distribué.

Ce cours est complété par des travaux de laboratoire (laboratoire d'entraîne-ments réglés), également répartis sur un demi-semestre (≈24 périodes au total).

Les diérents documents distribués sont en principe disponibles sous formeinformatique, sur le site

http://www.iai.heig-vd.ch/∼mee/

où tous les chiers, y compris les diapositives de présentation, sont accessibles(suivre le lien Entraînements réglés).

On trouvera à ces références les diérents chapitres et exercices en formatpdf (d'anciennes versions faites avec Word sont ça et là présentes), ainsi que laplus grande partie des gures (*.dsf, *.eps), réalisées avec le logiciel MicrografxDesigner, dont l'eivd a la licence de site. Lorsque le chier pdf du cours est ouvert,il est possible de télécharger les gures au format eps en cliquant sur celles-ci. Lessimulations sont faites avec le logiciel MATLAB, qui sera abondamment utilisédans le cadres des exercices et laboratoires. Un certain nombre des chiers desimulation sont également accessibles en cliquant sur leur nom dans le documentpdf.



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee/


Fiches de module et d'unité d'enseignement

Département d’électricité et d’informatique (E+I)

FICHE DE MODULE

Nom : Systèmes électroniques 1, mécatronique 2 et électronique de puissance 2

Identifiant : SEP

Orientation-s : EN

Regroupe les unités d'enseignement :

nom identifiant h. d'étude

Systèmes électroniques 1 SEL1 60

Mécatronique 2 MET2 120

Electronique de puissance 2 EPU2 180

Nombre de crédits ECTS : 12

Calcul de la note déterminante :

La note déterminante du module est égale à la moyenne pondérée des notes finales obtenues dans les unités

d’enseignement composant le module. Le poids de chaque note finale d'unité est proportionnel au nombre d'heures

d'étude de cette unité (estimé, pour un-e étudiant-e moyen-ne).

Validation :

Les exigences de réussite du module sont spécifiées dans le « règlement de promotion EIVD et règlement

d’application E+I ».

Autres :

Voir fiches d’unité d’enseignement.

Version du 01.10.2004 Page 1/1

SEP



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er///Figures/./admin/fiches/fiche_MET2_EN.pdf



FICHE DE MODULE

Nom : Systèmes électroniques 2, électronique de puissance 1 et mécatronique 2

Identifiant : SEM

Orientation-s : EM, EE

Regroupe les unités d'enseignement :

nom identifiant h. d'étude

Systèmes électroniques 2 SEL2 135

Electronique de puissance 1 EPU1 105

Mécatronique 2 MET2 120

Nombre de crédits ECTS : 12

Calcul de la note déterminante :

La note déterminante du module est égale à la moyenne pondérée des notes finales obtenues dans les unités

d’enseignement composant le module. Le poids de chaque note finale d'unité est proportionnel au nombre d'heures

d'étude de cette unité (estimé, pour un-e étudiant-e moyen-ne).

Validation :

Les exigences de réussite du module sont spécifiées dans le « règlement de promotion EIVD et règlement

d’application E+I ».

Autres :

Voir fiches d’unité d’enseignement.


SEM



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er///Figures/./admin/fiches/fiche_MET2_EE_EM.pdf



FICHE D'UNITE D'ENSEIGNEMENT

Nom : Mécatronique 2

Identifiant : MET2

Orientation-s : EN, EM

Responsable, suppléant : M. Etique, M. Correvon

Charge de travail : 120 heures d'étude , correspondant à 4 crédits ECTS

Répartition approximative des heures d'étude (encadrées et non encadrées) :

Suivi d'exposés ........................................................................... 13 %

Exercices encadrés ................................................................... 5 %

Travaux de laboratoire encadrés ........................................ 15 %

Contrôle continu et contrôle final ...................................... 2 %

Travail personnel (pour un-e étudiant-e moyen-ne) .... 65 %

Périodes encadrées : 56 (= 42 heures)

Position recommandée des périodes encadrées dans les plans de formation :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 3L

Connaissances préalables recommandées :

L’étudiant doit connaître et savoir utiliser les notions suivantes :

représentation des systèmes par les équations différentielles, calcul de leurs réponses temporelles par la

transformée de Laplace ;

lois physiques et mécaniques fondamentales ;

fonctions de transfert (pôles, zéros), stabilité, principe de la contre-réaction, schémas fonctionnels, réponse

harmonique de systèmes linéaires ;

synthèse de régulateurs classiques (P, PI, PD, PID) ;

programmation en C.

Les unités d'enseignement MAE1,-2,-3 (mathématiques), PHY1,-2 (physique et mécanique), SES (signaux et systèmes),

REG (régulation automatique) et APR1,-2 (analyse et programmation) permettent d'acquérir ces connaissances.

Objectifs :

A l'issue de cette unité d'enseignement, l'étudiant-e sera capable de :

expliquer le rôle des entraînements électriques réglés dans les applications d’automatisation industrielle ;

décrire les différents types d’entraînements quant à leurs performances et leurs techniques de commande ;

choisir et dimensionner le type d’entraînement électrique pour une application donnée ;

mettre en application les techniques modernes de pilotage des machines électriques dans le contexte des

entraînements à vitesse variable ;

comparer les performances, identifier les limites pratiques.

A l'issue des travaux pratiques en laboratoire, principalement destinés à l’assimilation des connaissances et à

l’acquisition d’expérience dans la modélisation et l’identification des servo-entraînements, la synthèse de

régulateurs analogiques ou numériques et la validation des performances, l’étudiant-e sera en outre capable de :

définir les tâches à réaliser en vue de satisfaire les performances du servo-entraînement spécifiées dans un cahier

des charges ;

définir la procédure de validation des performances d’asservissement ;

gérer les tâches à réaliser dans le temps imparti ;

compléter, développer et appliquer les notions théoriques vues au cours ;

concevoir la commande en courant de servo-entraînements et l’implanter en C sur un processeur de signal

(virgule flottante).


MET2



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er///Figures/./admin/fiches/fiche_MET2_p74.pdf



Fiche d'unité d'enseignement : Mécatronique 2

Contenu :

Exposés et exercices : 32 périodes Nb. périodes approx.

Les applications des entraînements électriques réglés : systèmes maître-esclave, coordination

d’axes ; comparaison des différents types d’entraînements (électrique, hydraulique, pneumatique) ;

éléments constitutifs d’un entraînement électrique réglé.

6

Les servo-entraînements électriques : présentation et comparaison des différents types

d’entraînements électriques (synchrone auto-commuté, DC, asynchrone); fonctionnement à vitesse

variable, commande vectorielle ; performances.

20

Dimensionnement d’un entraînement électrique : dimensionnement statique et dynamique; choix du

type de moteur.

6

Travaux de laboratoire : 24 périodes

Deux projets parmi la liste ci-dessous :

Entraînement réglé avec machine à courant continu : asservissement de position, de vitesse et de

courant, fonctionnement en affaiblissement de champ.

12

Entraînement réglé avec machine synchrone auto-commutée : asservissement de position/ courant,

commande vectorielle.

12

Entraînement réglé avec machine asynchrone : asservissement de position/ courant, commande

vectorielle, affaiblissement de champ.

12

Contrôle des connaissances :

Contrôle continu : l'acquisition des matières de cet enseignement sera contrôlée au fur et à mesure par des tests et des

travaux personnels tout au long de son déroulement. Il y aura au moins 2 tests d'une durée totale d'au moins 2 périodes.

Travaux de laboratoire : ils seront évalués sur la base des rapports de laboratoire, à 1 reprise au minimum.

Contrôle final : l'atteinte de l'ensemble des objectifs de formation sera vérifiée lors d'un contrôle final commun d’une

durée d’au moins 1 heure situé durant la session de printemps.

Calcul de la note finale :

Note finale = moyenne contrôle continu x 0.3 + moyenne travaux laboratoire x 0.2 + note contrôle final x 0.5

Contrôle final de 2ème

instance :

Un contrôle final de 2ème instance commun (voir articles 9 et 9bis du « règlement de promotion EIVD et règlement

d’application E+I ») sera organisé par les enseignants concernés, durant la session d'été et celle d'automne. Il se

déroulera soit sous la forme d’une interrogation orale, soit sous la forme d’une interrogation écrite. La forme sera

choisie par les enseignants en fonction du nombre d’inscriptions.


MET2



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er///Figures/./admin/fiches/fiche_MET2_p75.pdf


Chapitre 1

Les applications des entraînements

réglés

1.1 Généralités

1.1.1 Les entraînements réglés : tentative de dénition

Par entraînements, on entend des dispositifs techniques permettant de mettreen mouvement des masses, i.e. de produire des forces et des couples mécaniques.Citons comme exemples d'applications :

la table XY d'une machine-outil sur laquelle est xée la matière à usiner, la broche d'une fraiseuse, le porte-outil, la table XY d'un traceur (plotter), le disque dur d'un ordinateur, un tapis roulant transportant des pièces à assembler vers diérents postesde travail,

un véhicule de transport, une machine d'impression de journaux, comportant des rouleaux encreursainsi que des bobines (gure 1.1 page suivante),

un tapis roulant transportant des produits nis pour emballage et stockage, les diérents outils d'un poste de travail automatisé,

etc. La forme (prol temporel) et le type (position, vitesse ou accélération (≈couple)) du mouvement imprimé à la masse entraînée dépendent bien sûr del'application. Une première classication des entraînements peut déjà se faire enfonction de la manière dont ce mouvement est contrôlé :

Les entraînements peuvent être non-réglés. Dans ce cas aucun contrôle di-rect du mouvement n'est eectué. Un exemple typique est l'entraînementpar moteur pas-à-pas, dans le cas particulier où l'on ne vérie jamais lenombre de pas réellement eectué (commande en boucle ouverte).

Dans le cas des entraînements réglés, le mouvement eectif est supervisé,

Chapitre 1, v.1.7 11 MEE \cours_er.tex\12 novembre 2006



D é r o u l e u r E n r o u l e u r

M o t e u r s

A l i m e n t a t i o n

C a p t e u r s

B u s d e t e r r a i n G r o u p e s i m p r i m e u r s

r e g i s t r a t i o n

c a m é r a

D S P D S P D S PD S P D S P

f _ 0 1 _ d _ 0 2 _ 0 2 . e p s

Fig. 1.1 Machine d'impression avec 3 entraînements pour les rouleaux encreurset 2 pour le dérouleur et l'enrouleur (chier source).

continuellement ou par intermittence, pendant son déroulement (commandeen boucle fermée). A l'extrême, seule la n du mouvement est contrôlée, parexemple par un simple détecteur de n de course, mais en général, les entraî-nements réglés orent la possibilité de fonctionner dans une large gammede vitesses et nécessitent ainsi un moyen de contrôle plus élaboré : on lesdésigne ainsi souvent par entraînements à vitesse variable, ou encore "servo-entraînements", lesquels requièrent un contrôle permanent du mouvement.On entre ici dans un vaste domaine d'activité industrielle, celui du contrôlede mouvement, i.e. du "motion control".

1.1.2 Les utilisateurs des entraînements

Parmi les plus importants utilisateurs d'entraînements, on trouve bien sûrl'industrie des machines. En eet,

les machines-outils (tours, perceuses, fraiseuses, poinçonneuses, machinesd'électro-érosion, scies spéciales, rectieuses, etc),

les machines textiles (machines à coudre, à tisser, à tricoter), les machines d'imprimerie (centres d'impression de journaux, impression debillets de banque),

les machines d'emballage, de mise sous pli,



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/f_01_d_02_02.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures///f_01_d.dsf


e n t r a î n e m e n t s

Fig. 1.2 Robot Kuka (chier source).

les machines d'assemblage, les robots (soudage, peinture, vissage, assemblage), les laminoirs, les chaînes de montage (convoyage, assemblage, vissage), les chaînes de production de tous types (cigarettes, chocolats, embouteillage,montre "SWATCH"),

etc, sont autant d'exemples d'applications où le produit de départ (papier, tissus,pièce pré-usinée, etc) subit un certain nombre de traitements et opérations (usi-nage, emballage, assemblage, impression, remplissage, stockage, etc) en diérentspostes de travail. Il en résulte un produit transformé, qui, comparé au produit dedépart, possède ainsi une valeur ajoutée. Les gures suivantes montrent respecti-vement un robot (marque KUKA, gure 1.2), une chaîne de fabrication de papier(gure 1.3 page suivante) ainsi qu'un centre d'usinage (Huron-Graenstaden, -gure 1.5 page 16). On y observe les nombreux entraînements qui y sont mis enoeuvre [5].



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/f_01_a_15.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures///f_01_a.dsf


Fig. 1.3 Chaîne de fabrication du papier (chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/papier.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures///papier.gif


Fig. 1.4 Bol vibrant.

Dans de telles chaînes de fabrication, le produit en cours de transformation estamené à chaque poste de travail par un système de transport ou de manipulationad hoc, celui-ci pouvant prendre la forme d'un tapis roulant, d'un bol vibrant(gure 1.4), d'un manipulateur de type "pick and place", d'un robot, etc. Si lamatière première doit se dérouler en continu, comme c'est le cas pour du l, ducâble, du tissu ou du papier, elle traverse les multiples postes de la machine enétant déroulée à partir d'une bobine. Chaque système de transport nécessite luiaussi un ou plusieurs entraînements.

De plus, à chaque poste, un ou plusieurs outils eectuent certaines opérations(perçage, laminage, tri, impression, etc). Chacun des outils est également mis enmouvement par des systèmes d'entraînements.

En conséquence, le nombre d'entraînements d'une même installation de pro-duction industrielle peut s'avérer très élevé, allant jusqu'à quelques centaines dansles cas extrêmes. Les exigences en performances (précision, dynamique), prix etabilité sont dans certains cas très poussées.

D'autres secteurs industriels sont également de très larges consommateursd'entraînements, comme

l'aéronautique et le spatial, l'automobile, les transports en général,

sans compter l'électronique domestique (machine à laver le linge, appareil photo-graphique), la recherche, etc.

1.1.3 Objectifs du cours

Le thème de ce cours se restreint aux entraînements réglés, dans leur exécutionélectro-mécanique : ce sont les entraînements électriques réglés, pour la gammede puissances allant approximativement de 0.5 à 50 [kW].

Après avoir introduit les bases des entraînements électriques réglés, les élé-



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/vibreur_2.pdf


91 3

1 0

8

5

62

1

3

4

7

1 1

1 2

1 B â t i2 C o l o n n e3 B é l i e r4 T a b l e5 M a g a s i n à o u t i l s6 C h a n g e u r d ' o u t i l s7 E n t r a î n e m e n t a x e X8 E n t r a î n e m e n t a x e Y9 E n t r a î n e m e n t a x e Z1 0 E n t r a î n e m e n t b r o c h e1 1 C o n s o l e d e p r o g r a m m a t i o n1 2 C o n t r e p o i d s1 3 C a b i n e d e p r o t e c t i o n

X

Z

Y

X

Y

Z

f _ 0 1 _ a _ 1 4 . e p s

Fig. 1.5 Centre d'usinage [18] (chier source).




http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures///f_01_a_14.dsf


ments permettant de choisir et dimensionner le type d'entraînement électrique lemieux adapté à une application industrielle seront donnés. On étudiera particu-lièrement les problèmes du dimensionnement, de la régulation de position/vites-se/couple et ainsi que celui de la commande des entraînements électriques, sansapprofondir les aspects généraux liés l'automatisation. Les titres et une brèvedescription du contenu des 6 chapitres qui seront traités sont donnés ci-dessous.

Les applications des entraînements électriques réglés systèmes maître - esclave, coordination d'axes ; contrôle du couple ; brève comparaison des diérents types d'entraînements (électrique, hy-draulique, pneumatique) ;

éléments constitutifs d'un entraînement électrique réglé. Les servo-entraînements électriques (3 chapitres) présentation et comparaison des diérents types d'entraînements élec-triques (DC, DC brushless, synchrone auto-commuté, asynchrone) ;

fonctionnement à vitesse variable ; performances.

Dimensionnement d'un entraînement électrique (selon le temps disponible) Exigences sur le système mécanique et performances dynamiques, dé-nition des contraintes (prix, environnement, bruit, etc). Exigences méca-niques, vitesse, couple ;

Dimensionnement statique et dynamique ; Choix du type de moteur ; Choix du type de la transmission (réducteur, directe).

Régulation et automatisation (selon le temps disponible) spécication des performances ; automatisation, communications, bus de terrain.

1.2 Les applications des entraînements dans l'in-

dustrie des machines

1.2.1 Les besoins standards : systèmes multi-axes méca-niques

Le fonctionnement d'une machine de production industrielle, tel que parexemple

un centre d'usinage dans le domaine de la machine-outil, un système d'embouteillage, un centre d'impression de journaux,

de part les multiples traitements qu'elle fait subir à la matière en cours de fa-brication et le grand nombre de postes de travail qu'elle peut comporter, repose




G E A R 3 G E A R 2

C A M 2

G E A R 1 A X I S 1

A X I S 2

A X I S 3

M A S T E R

f _ 0 1 _ b _ 0 1 _ a . e p s

Fig. 1.6 Représentation schématique d'un système multi-axes à coordinationmécanique (chier source).

intrinsèquement sur la mise en mouvement des pièces/bouteilles/journaux/. . . àusiner/remplir/imprimer/. . . et des outils correspondants. Dans le jargon de l'au-tomatisation industrielle, chacun des mouvements ayant une implication directedans l'entraînement de la matière ou des outils est souvent désigné simplementpar axe. On pressent d'emblée que ces mouvements sont forcément coordonnés,liés entre eux par des lois cinématiques bien dénies, à l'évidence spéciques àla machine. Sans que la conguration de base de la machine ne soit modiée, lesrelations entre les mouvements sont éventuellement adaptées au type de produc-tion en cours. Par exemple, la fréquence à laquelle frappe une tête d'impressionest dépendante de la vitesse de délement de la bande de papier.

Jusqu'à il y a peu, les solutions à de tels problèmes étaient purement méca-niques : partant d'un mouvement de référence, celui du maître, tous les mouve-ments en dépendant directement s'y coordonnent mécaniquement par des sys-tèmes de transmissions tels que courroies, cardans, chaînes, réducteurs, cames,bielles-manivelles, etc (gures 1.6 et 1.7 page 20). Notons que le cas de la machine-outil est un peu particulier dans le sens où la présence d'un mouvement maîtren'est pas toujours aussi évidente. Dans beaucoup d'applications industrielles, lesmouvements des axes sont en fait dérivés de celui du maître, qui entraîne un arbre(mécanique) dont les vitesse et/ou position servent de références aux esclaves. Ona aaire à un système maître-esclave. Réalisé de la sorte, un tel dispositif de syn-chronisation mécanique des mouvements possède à l'évidence certaines limites :

manque de exibilité d'utilisation, rigidité de la conguration ; faible rendement énergétique ; nuisances (bruit, sécurité des personnes) ; encombrement dû aux transmissions ;



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/f_01_b_01_a.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures///f_01_b.dsf


charge mécanique complexe (jeu, élasticité, usure) ; entretien fréquent (lubrication, remplacement de certains composants).

1.2.2 Les nouvelles exigences : systèmes multi-axes électro-niques

Sous la pression de la forte concurrence internationale, exigeant naturellementune productivité toujours accrue, les besoins de l'utilisateur ou du concepteur desmachines ont évolué. Si la synchronisation des mouvements reste une nécessitéintrinsèque au fonctionnement des machines, d'autres exigences interviennent au-jourd'hui de manière quasi-systématique, comme :

la exibilité de la conguration de la machine, autorisant par exemple lechangement au vol, "on line" du type de production ("one piece ow"), àmettre en relation avec la "production à la demande", le "just in time" etle "zero stock" ;

la possibilité de faire des démarrages et arrêts contrôlés (vitesse et position),ainsi que des arrêts d'urgence contrôlés en cas de défectuosité d'un desmoteurs d'entraînements ou de chute du réseau d'alimentation ;

la modication de la cadence de travail (fonctionnement à plusieurs vi-tesses) ;

de meilleures performances dynamiques (démarrage, freinage) ; un rendement énergétique amélioré, approchant l'optimum ; la conformité aux normes (sécurité, bruits, etc) ; un entretien réduit ; une abilité et sécurité de fonctionnement accrues ; l'augmentation des cadences de travail ainsi que de la précision.

Aujourd'hui, principalement grâce aux progrès de l'électronique numérique,de l'informatique industrielle et de l'électronique de puissance réunis, le concep-teur de machines a à sa disposition d'autres solutions que celle, classique, del'arbre mécanique entraîné par un unique moteur, fournissant lui seul l'énergie etl'information à toute l'installation.

L'alternative actuelle consiste à faire l'investissement d'un entraînement mé-caniquement indépendant pour chaque mouvement, i.e. un entraînement par axe,la synchronisation de ceux-ci s'opérant alors de manière électrique par un systèmede coordination d'axes : l'arbre mécanique est donc remplacé par un "arbre élec-trique" ou "informatique" (certains fabricants parlent d'"arbre optique" lorsquele bus de terrain par lequel les informations sont transmises du maître vers lesesclaves par un bus de terrain basé sur bre optique, tel SERCOS). Une tellesolution est techniquement et économiquement rentable. La gure 1.8 page 21montre une application de remplissage automatique nécessitant une coordinationinformatique des trois axes. Avec l'apport de l'informatique et la multiplicationdes entraînements, des systèmes maître-esclave peuvent être construits informa-




Fig. 1.7 Fraiseuse du début du 20ème siècle : animée par un renvoi à poulies reliépar des courroies en cuir à l'arbre de transmission commun de l'atelier mécanique(selon [18]).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/fraiseuse_03.pdf


A x e

M M M

m i n

m a x

m a x

A x e 1

0

m i n

m a x

m i n

m a x

3 6 0

Positio

n axe

1A x e 2 A x e 3

m i n

f _ 0 1 _ b _ 0 8 . e p s

G E N E R A T E U RD E C O N S I G N ED E L ' A R B R E M A Î T R E

C O N S I G N E D E P O S I T I O N D E L ' A R B R E M A Î T R E

Positio

n axe

2Positio

n axe

3

A x eA x e A x e

C a m eC a m e C a m e

Fig. 1.8 Cames "logicielles" pour un système de remplissage à trois axes (ACC-Motion S.A.) (chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/f_01_b_08.pdf



T M PG E N E R A T O R

A M P L I F I E R

A M P L I F I E R

A M P L I F I E R

C A M

C O N V E R T E R

C O N V E R T E R

C O N V E R T E R

A X I S

M

A X I S

M

A X I S

M

M a s t e r G e a r 1

G e a r 2 C a m 2

C o n v 1

C o n v 2

C o n v 3 A x i s 3

A x i s 2

A x i s 1

G e a r 3f _ 0 1 _ b _ 0 1 _ b . e p s

Fig. 1.9 Programmation des mouvements relatifs d'un système multi-axes(ACCMotion S.A.) (chier source).

tiquement avec une très grande souplesse. "Simplement" par programmation, onpeut créer des réducteurs de vitesse, des dispositifs bielle-manivelle ou reproduirela cinématique de cames mécaniques. Aujourd'hui, la programmation peut mêmes'eectuer graphiquement (gure 1.9).

/*Pipes installation*/Conv1 Gear1 Master ;

Conv2 Cam2 Gear2 Master ;

Conv3 Gear3 Master ;

Condition (Conv1:

ready) *

(Conv1:

ready) *

(Conv1:

ready)

/*Run the system at 2 turn per second (for example)*/

Master <- run (720)

Commande d'axe

Chaque axe, i.e. chaque mouvement, est donc doté d'un entraînement dédié,lequel comprend forcément le moteur et sa commande. Celle-ci intègre, dans uneversion minimale :

l'électronique de puissance,



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/f_01_b_01_b.pdf



s e r v o - c o m m a n d e

s e r v o - m o t e u r ,y . c . c a p t e u r d e

p o s i t i o n o u d e v i t e s s e

c â b l e p u i s s a n c e

c â b l e c a p t e u r

l i a i s o n

a v e c

l e m a î t r e

a l i m e n t a t i o n

( r é s e a u ,

2 4 [ V D C ] , e t c )

e n t r a î n e m e n t

c â b l e p r o t e c t i o n t h e r m i q u e

f _ 0 1 _ a _ 0 9 . e p s

Fig. 1.10 Un axe et ses composants (chier source).

l'électronique de commande et de réglage de l'étage de puissance, un dispositif de communication avec le maître voire avec les autres axes.

Comme il s'agit d'un produit commercial, l'inventaire de ses fonctionnalités dif-fère selon le fabricant, l'application, voire la stratégie marketing de l'industriel !Dans un premier cas de gure, le réglage de l'étage de puissance se réduit à unasservissement de courant et la communication à une liaison à ±10 [V] par la-quelle transite par exemple la consigne de couple. Dans un second cas, l'étage depuissance permet de récupérer l'énergie de freinage d'un moteur et de la renvoyerau réseau d'alimentation, le réglage de courant est réalisé numériquement par unprocesseur de signal (DSP) qui eectue également la régulation de position/vi-tesse, la liaison avec le maître s'eectue par bus de terrain rapide (par exempleEthernet en version industrielle, [19]) et un second processeur est responsable dela coordination des axes entre eux.

Indiéremment, on désigne la commande par commande d'axe, servo-commande,servo-amplicateur, drive, etc.

Il n'y a donc pas lieu d'hésiter à mettre en oeuvre un entraînement par axe,i.e. un entraînement complet chaque fois qu'une masse (la pièce à produire, l'ou-til permettant de la façonner) doit être mise en mouvement. On économise lagrande partie de la mécanique de transmission et de ses inconvénients, la rempla-çant par des entraînements mécaniquement indépendants mais réalisant la même






U t i l i s a t e u r ,c o m m a n d e h i é a r c h i q u e m e m e n t s u p é r i e u r e

G e s t i o n d e l ' é t a t d e l a m a c h i n e o u d ' u n e s e c t i o n d e l a m a c h i n e( p a r e x . A u t o m a t e p r o g r a m m a b l e )

C o o r d i n a t i o n d ' a x e s ( p a r e x . c o m m a n d e n u m é r i q u e )

A x e 1 A x e 2 A x e i

M a c h i n e o u s e c t i o n d e m a c h i n eE n t r é e s / s o r t i e s b i n a i r e s

C o n s i g n e s d e p o s i t i o n / v i t e s s e / c o u p l et r a n s m i s e s p a r b u s d e t e r r a i n r a p i d e

O r d r e s d e m o u v e m e n t s ,s é q u e n c e s d ' o p é r a t i o n s

f _ 0 1 _ a _ 1 1 . e p s

Fig. 1.11 Système multiaxes (chier source).

fonction grâce à l'électronique : les mouvements restent coordonnés, même si lesentraînements sont en apparence indépendants.

Automate programmable et coordinateur électronique des axes, régu-lation et contrôle des mouvements

Le problème de la génération des mouvements et de leur synchronisation, ré-solu historiquement par un arbre mécanique, relève désormais de l'électronique,de l'informatique et de la téléinformatique : en plus des tâches de surveillance,d'analyse, de diagnostic et de sécurité, un système informatique de gestion/con-duite de l'installation doit reproduire les fonctions remplies par l'arbre mécanique.

Automate programmable En principe, la gestion de l'état général de la ma-chine est assurée par une unité de type automate programmable (Siemens, Se-lectron, Saia Burgess, Allen Bradley, Saia, Télémécanique, etc). Stricto senso,l'automate gère des entrées/sorties binaires. Il est programmé pour exécuter lesséquences de traitement correspondant aux combinaisons d'entrées-sorties, i.e. àl'état de la machine.

Coordinateur d'axes Lorsque l'installation comprend des entraînements ré-glés, le même automate programmable doit être complété par un système decoordination d'axes qu'il intègre ou avec lequel il communique. Le système de co-ordination d'axes pilote alors les commandes d'axes (les drives, les cartes d'axes)proprement dites.

Le système de coordination d'axes exécute donc notamment le calcul desconsignes de position/vitesse/couple pour chaque entraînement et les leur trans-






R S ± 4 2 2

F i g u r e 1 6 P A M w i t h S A M s y s t e m u n d e r C o n t r o l o f a P C / P L C H o s t

Fig. 1.12 Système multi-axes avec gestion générale assurée par un automateprogrammable (PLC, "Programmable Logic Controller") et gestion des axes (po-sition, vitesse, couple instantanés) eectuée par un coordinateur d'axes (PAM,"Programmable Axis Manager") (ACCMotion S.A.) (chier source).






met, en général sous forme numérique, par bus de terrain (Interbus-S, CAN,SERCOS, FIP, Probus-DP, etc, voir les références [20], [19], [21], [22], [23], [24]).

Un problème fondamental de la coordination d'axes (gure 1.18) est de s'as-surer que les diérents axes reçoivent des ordres (consignes de position et/ouvitesse) à des instants bien déterminés an de garantir leur synchronisme : tousles bus de terrain ne permettent pas forcément de le faire (proprement) et cer-tains fabricants sont contraints de développer leur propre système de bus (bus"propriétaire").

Synchronisation des périodes d'échantillonnage

1. La gure 1.14 page 28 illustre en simulation l'importance de la syn-chronisation des cycles de travail (i.e. des périodes d'échantillonnage)des axes d'une installation. Les 2 axes simulés selon le schéma de lagure 1.13 page suivante reçoivent une consigne de position transmiseavec la période h1 = 125 [µs] sous forme incrémentale, i.e. sous la formed'une variations de consigne de position ∆θc[k] = θc[k]− θc[k − 1]. Laforme incrémentale permet de réduit le volume de données (≈ 32 [bit])à transmettre à chaque axe et à chaque cycle comparativement àla solution consistant à transmettre la position de consigne absolue( 32 [bit] !). Pour cet exemple, la consigne de position θc[k] est enforme de rampe, ce qui signie que le déplacement demandé est à vi-tesse constante (1

[rads

]). Le premier axe étant parfaitement synchro-

nisé sur h1, l'accumulation

θc1[k] = θc1[k − 1] + ∆θc[k] (1.1)

de ∆θc[k] lui permet de reconstruire sans diculté θc[k] telle que spéci-ée par le maître. ∆θc[k] est également transmise au second axe, lequeltravaille cependant avec une période d'échantillonnage supérieure de1% à h1 : h2 = 101

100· h1. On observe que la consigne θc2[k] reconstruite

par θc2[k] = θc2[k−1]+∆θc[k] se décale progressivement de la consigneoriginale θc[k] puisque tous les 100 cycles, le décalage cumulé amène àla perte d'une période d'échantillonnage h1 et par conséquent à celled'un incrément de position ∆θc[k].

2. La gure 1.15 page 29 montre encore l'importance de la synchronisa-tion des cycles de travail, cette fois du point de vue asservissement,même dans le cas favorable où la position absolue θc[k] de chaque axeest transmise à chaque cycle. Les 2 axes sont asservis en position etsont mécaniquement 100% identiques (conditions pouvant être obte-nues sans autre en simulation) ; θc[k] est transmise par le bus de terrainaux 2 axes, le second axe, lequel travaillant comme précédemment avecune période d'échantillonnage supérieure de 1% à h1. On observe queles 2 axes, pourtant identiques, ont des vitesses ω1(t) et ω2(t) qui dif-fèrent de près de 1% tous les 100 cycles d'échantillonnage.




z−1

z

z

z−1

z

z−1

Σ-

Gc(z) H(z) y[k]-

∆θc[k]θc[k] θc1[k]

θc2[k]

Maître

h1 = 125 [µs]Axe n

o1

h1 = 125 [µs]

Axe no2

h2 =101

100·h1

Fig. 1.13 Système à 2 axes asservis numériquement en position, recevant chacunpar le bus une consigne ∆θc[k] sous forme incrémentale, au rythme donné par lapériode h. L'axe no 1 est ici parfaitement synchronisé (h1 = h) sur l'unité émettant∆θc[k], au contraire de l'axes no 2 qui, par suite d'imprécisions, travaille avec unepériode d'échantillonnage moyenne h2 = 1.01 · h. On observe que tous les 100 · h,l'axe no 2 perd une transmission de ∆θc[k] et se décale ainsi progressivement(chier source).

Il est dès lors clair que les cycles de travail de systèmes multiaxes per-formants doivent être synchronisés en imposant des périodes d'échan-tillonnage identiques, tout au moins synchrones. Ceci nécessite un si-gnal de synchronisation des cycles de travail, usuellement transmispar le bus de terrain mis en oeuvre pour transmettre les consignes. Leparagraphe suivant traite cette question.

Signal de synchronisation des cycles de travail : problème du jitter Dèslors qu'il est admis que les cycles de travail doivent être synchronisés aumoyen d'un signal adhoc, il paraît a priori aisé de garantir que tous lesaxes recoivent leur consigne dans le bon cycle de travail : il sut de viserune fenêtre de dialogue, en principe située immédiatement avant le début ducycle, pendant laquelle la consigne θci[k] de l'axe i est transmise (gure 1.16page 32). Cette fenêtre peut être relativement large (≈ 20% de la périoded'échantillonnage h, soit 30 − 50 [µs] pour des systèmes performants). Leproblème qui survient alors n'est plus au niveau de cette transmission deconsigne, mais au niveau de la précision de la dénition dans le temps dusignal de synchronisation. En eet, les uctuations (le jitter ou, en français,la gigue) de l'arrivée du signal de synchronisation se répercutent directe-ment sur la dénition du début du cycle suivant. Ceci implique que d'unpoint de vue relatif, les mesures de position eectuées au dernier cycle ap-paraîtront comme retardées ou avancées par rapport au début du prochaincycle, celui-ci étant en fonction du jitter aectant le signal de synchronisa-



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/synchro_1_0.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/matlab///synchro_1.mp


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

θ c, θc1

, θc2

θc

θc1

θc2

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

1

2

3

4x 10

−4θ c−

θ c1,θ

c−θ c2

t [s]

f_synchro_07_ini_1.eps

0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1 1.125 1.25 1.375 1.5

x 10−3

0

0.5

1

1.5

2x 10

−3

θ c, θc1

, θc2

θc

θc1

θc2

0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1 1.125 1.25 1.375 1.5

x 10−3

0

1

2

x 10−4

θ c−θ c1

,θc−

θ c2

t [s]


0.0119 0.012 0.0121 0.0123 0.0124 0.0125 0.0126 0.0127 0.0129 0.013 0.01310.0115

0.012

0.0125

0.013

0.0135

θ c, θc1

, θc2

θc

θc1

θc2

0.0119 0.012 0.0121 0.0123 0.0124 0.0125 0.0126 0.0127 0.0129 0.013 0.01310

1

2

x 10−4

θ c−θ c1

,θc−

θ c2

t [s]


Fig. 1.14 Illustration de l'eet de la non-synchronisation des périodes d'échan-tillonnage de 2 axes de machines recevant leur consigne de position, sous formeincrémentale, par le bus de terrain (chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/f_synchro_07_ini_1.pdf



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/matlab///synchro_07_ini.m


00.

005

0.01

0.01

50.

020.

025

0.03

0

0.01

0.02

0.03

θc1, θm1, θc2, θm2

00.

005

0.01

0.01

50.

020.

025

0.03

0

0.51

1.5

x 10

−4

θc1−θc2

00.

005

0.01

0.01

50.

020.

025

0.03

02

x 10

−4

θm1−θm2

00.

005

0.01

0.01

50.

020.

025

0.03

−0.

20

0.2

ω1−ω2

t [s]

f_sy

nchr

o_06

_ini

_6.e

ps

Fig. 1.15 Illustration de l'eet de la non-synchronisation des cycles de travailde 2 axes 100% identiques supposés coordonnés : les 2 axes reçoivent la mêmeconsigne de position θc1[k], en forme de rampe (déplacement à vitesse constante),leurs périodes d'échantillonnage diérant cependant de 1%. Alors que l'on s'at-tendrait à une diérence nulle entre les 2 positions respectives, une erreur non-négligeable θm1[k] − θm2[k] entre les positions mesurées respectives apparaît, demanière encore plus agrante si l'on observe la diérence des vitesses ω1(t)−ω2(t)qui se monte à quelque 10% de la vitesse de déplacement (1

[rads

]dans le cas par-

ticulier). La diérence des consignes θc1[k] et θc2[k] eectivement mises à disposi-tion des régulateurs est également instructive et explique les problèmes rencontrés(chier source).






tion.Or, les servo-entraînements travaillant en positionnement nécessitent pourdes raisons de stabilité d'asservissement une contre-réaction de vitesse (2.6),i.e. une action dérivée sur la position mesurée par le biais d'un régulateurPD au minimum :

u[k] = Kp ·(e[k] + Td ·

e[k]− e[k − 1]

h

)= Kp ·

(e[k] + Td ·

w[k]− y[k]− (w[k − 1]− y[k − 1])

h

)= Kp ·

(e[k] + Td ·

w[k]− w[k − 1]− (y[k]− y[k − 1])

h

) (1.2)

L'expression

Kp ·Tdh· (y[k]− y[k − 1]) (1.3)

signie que la diérence de 2 positions successives est évaluée, la duréeséparant les mesures y[k−1] et y[k] étant implicitement h. Par suite du jitterdu signal de synchronisation, il se peut que la durée eective ne soit pas hmais h±∆h où ∆h = jitter

2. L'évaluation de la variation (y[k]− y[k − 1]) va

donc provoquer une variation de la commande Kp · Td

h· (y[k]− y[k − 1]) de

∆uy[k] = uy[k]|h=±∆h − uy[k]

= Kp ·(− y[k]|h=±∆h − Td ·

y[k]|h=±∆h − y[k − 1]

h

)−Kp ·

(−y[k]− Td ·

y[k]− y[k − 1]

h

)

= Kp ·

− ω·k·h±ω·∆h︷︸︸︷y[k]|h=±∆h−Td ·

y[k]|h=±∆h

h

−Kp ·

− ω·k·h︷︸︸︷y[k] −Td ·

y[k]

h

= Kp ·

(∓ω ·∆h∓ Td ·

ω ·∆hh

)On a nalement

∆uy[k] = ∓Kp · ω ·∆h

h· (h+ Td)

avec en principe h Td.

En valeur relative, la variation de la commande dépend de sa valeur sansjitter. La commande issue du régulateur de position étant proportionnelleau couple Tem[k] que le moteur doit produire, la variation relative de lacommande sera :

1. très élevée s'il s'agit d'un déplacement à vitesse constante, un coupleTem ≈ 0 [N ·m] étant susant pour maintenir la vitesse constante ;




2. pondérée par le niveau de couple Tem ≈ J · α nécessaire en cas dedéplacement à accélération constante α.

Potentiellement, pour un système travaillant à h = 125 [µs], un jitter de25 [µs] se traduira ainsi par une variation relative de la commande de plu-sieurs dizaines de % ! Cela signie une pointe de couple de plusieurs dizainesde % supérieure ou inférieure à ce qui serait nécessaire, ce qui en terme derégulation automatique ne représente rien d'autre qu'une perturbation. Lagure 1.17 page 33 illustre en simulation le phénomène sur un seul axe re-cevant sa consigne dans le bon cycle (h = 125 [µs]) mais avec un jitter de25 [µs], particulièrement mis en évidence lorsque l'on observe la variationde la vitesse angulaire eω(t), qui devrait en principe être constante.

De telles anomalies de fonctionnement sont par exemple à l'origine de petitesrayures de pièces mécaniques. Aussi est-il courant, au vu des contraintes variablesquant à la transmission des informations dans une machine, de voir plusieurs typesde bus de terrain dans une même installation.

Asservissement Dans certains cas, les asservissements de vitesse de chacundes axes sont également pris en charge par le système informatique de gestion(→ centralisation), alors que la tendance inverse peut également être observée :seule la génération de consigne est centralisée et la régulation est déléguée auxcommandes d'axe : l'intelligence est ainsi distribuée (→ décentralisation). La -gure 1.12 page 25 montre un système à architecture décentralisée, les diérentesunités communiquant entre elles par bus de terrain. La gure 1.18 page 34 montreune machine d'imprimerie relativement complexe. En second exemple, provenantdu domaine de la machine-outil, un automate programmable gère l'ensemble de lamachine (sécurité, mise sous tension, commande tout-ou-rien de la lubrication,interprétation des ordres binaires de l'utilisateur). Pour l'usinage 3D (gure 1.19),on a recours à une commande numérique (coordinateur d'axes) qui eectue lescalculs d'interpolation générant les consignes de position/vitesse de chaque axe.La commande numérique réalise l'asservissement en position duquel elle déduitles consignes de vitesse pour les commandes d'axes et la structure de commandeest celle d'une régulation cascade de position/vitesse (gure 1.20). Un modede transmission techniquement désuet mais néanmoins encore très utilisé est laliaison analogique ±10 [V], qui ore une simplicité certaine (compatibilité, inter-façage) mais reste peu able dans les environnements aussi perturbés que sontceux des installations industrielles. En machine-outil notamment, elle s'intègredans la structure classique de type régulation cascade où le régulateur de posi-tion de la commande numérique transmet sous forme analogique une consignede vitesse à la servo-commande chargée d'asservir l'axe en vitesse (gure 1.20page 36).

Mentionnons que si l'on monte d'un échelon dans la pyramide d'automatisa-tion (gure 1.21 page 37), on se retrouve au niveau de la supervision, gestion et




Lectu

re et tra

iteme

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sultat

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ion A/D (

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k))

Exécu

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=> u(k

) = f(w

(k), w

(k-1),

...,y(

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k-1),..

.) )

Lancem

ent d

'une c

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k) =>

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r, lect

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1)

k k + 1

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Lancem

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k k + 1 t

F e n ê t r e d e d i a l o g u ep o u r l a t r a n s m i s s i o nd e l a p r o c h a i n e c o n s i g n e

etc

interru

ption

S i g n a l d ' h o r l o g e( b a s e d e t e m p sp o u r d é f i n i r h )

f _ 0 1 _ a _ 1 8 . e p s

Fig. 1.16 Visualisation de la séquence des opérations eectuées par le logicield'un système de régulation numérique, mise en évidence de la fenêtre de dia-logue aménagée pour la transmission de la consigne de position pour le cycled'asservissement suivant (chier source).






0.05

0.05

50.

060.

065

0.07

0.07

50.

080.

085

0.09

0.09

50.

10.

04

0.06

0.080.

1

θc, θm

θ c θ m

0.05

0.05

50.

060.

065

0.07

0.07

50.

080.

085

0.09

0.09

50.

12.

53

3.54

x 10

−4

θc−θm

0.05

0.05

50.

060.

065

0.07

0.07

50.

080.

085

0.09

0.09

50.

1−

0.020

0.02

eω

0.05

0.05

50.

060.

065

0.07

0.07

50.

080.

085

0.09

0.09

50.

1−

202x

10−

5

jitter

t [s]

f_sy

nchr

o_05

_ini

_7.e

ps

Fig. 1.17 Illustration de l'eet du jitter sur un axe travaillant avec une pé-riode d'échantillonnage de h = 125 [µs] : la consigne de position θc[k], en formede rampe (déplacement à vitesse constante 1

[rads

]) est sans problème transmise

à chaque cycle au travers d'une fenêtre de dialogue. En revanche, le signal desynchronisation dénissant le début de chaque cycle subissant, par suite des im-perfections du bus de terrain, un jitter de 25 [µs], on observe l'apparition d'unbruit sur l'erreur de position e[k] = θc[k]− θm[k], amplié par l'action dérivée durégulateur PD qu'il est nécessaire de mettre en oeuve pour des raisons de stabilité.L'eet est encore plus visible si si l'on observe la vitesse ω(t) dont les uctuationseω(t) se montent à quelque 10% de la vitesse de déplacement (1

[rads

]dans le

cas particulier). Le jitter, qui prend la forme d'un bruit à distribution uniforme,de valeur moyenne nulle et de valeurs extrêmes ±∆h = ± jitter

2= ±12.5 [µs] est

également représenté (chier source).






LL

LL

LL

LL

LL

L

lSocapel

PAM

Un

win

din

gU

nit

Pri

ntin

gU

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Sta

mpi

ngU

nit

Win

din

gU

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l

Lo

ca

lPL

C

CA

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dbu

s

Lo

calP

LC

Lo

calP

LC

Loc

alP

LC

I/OI/O

I/OI/O

Fig

ure

24

L

ab

el P

rin

ting

Ma

chin

e S

che

ma

tic D

iag

ram

Fig. 1.18 Machine d'impression (ACCMotion S.A.) (chier source).






wx

y x

S-

Gcx

(s)

Gm

x(s)

Rég

ulat

eur

de v

ites

se+

cour

ant

(dan

s co

mm

ande

d'ax

e)

Rég

ulat

eur

de p

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ion

(dan

s co

mm

ande

num

ériq

ue)

wc

x

Générateur de consignes(interpolateur, coordinateur d'axes)

f_01

_d_0

3.ep

s

Con

sign

e de

vit

esse

tran

smis

e pa

r li

aiso

n +

/-10

[V

]ou

par

bus

de

terr

ain

écrou

vis

x

écro

u

vis

y

écrou

vis

z

wy

y y

S-

Gcy

(s)

Gm

y(s)

wc

y

wz

y z

S-

Gcz

(s)

Gm

z(s)

wc

z

Con

sign

e de

pos

itio

npo

ur l'

axe

X

Con

sign

e de

pos

itio

npo

ur l'

axe

Y

Con

sign

e de

pos

itio

npo

ur l'

axe

Z

axe

X

axe

Y

axe

Z

Fig. 1.19 Régulation cascade de position/vitesse dans le cas de la machine-outil(chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/f_01_d_03.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures///f_01_d.dsf


S-

i a

i am

uu a

KT

Gai

1(s)

Gci(s

)

Gm

i(s)

STre

s

w-

Tem

u 2(t

) =

i ac(

t)co

nsig

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cou

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y w

Ass

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ent

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Cap

teur

de

vite

sse

S-

ww

cons

igne

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se

Gai

2(s)

Ass

ervi

ssem

ent

de v

ites

se

Rég

ulat

eur

de v

ites

se

Gc w

(s)

Gm

w(s

)

Ga w

(s)

Gw

i(s)

Rég

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eur

de c

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Cap

teur

de

cour

ant

Cha

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ue

Gax

(s)

Cap

teur

de

posi

tion

Gm

x(s)

xS

-

wx

cons

igne

de p

osit

ion

Rég

ulat

eur

de p

osit

ion

Gc q

(s)

Gw

w(s

)

y x gran

deur

régl

ée

Ass

ervi

ssem

ent

de p

osit

ion

f_01

_d_0

4.ep

s

Gw

q(s)

Fig. 1.20 Régulation cascade de position/vitesse et couple dans le cas d'uneapplication en machine-outil (chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/f_01_d_04.pdf



N i v e a u d ' e x p l o i t a t i o n

N i v e a u d e c o n d u i t eN i v e a u s y s t è m e s( c e l l u l e )1 [ k b i t ] - 1 [ M B y t e s ] , 1 - 1 0 [ s ]

N i v e a u c o m m a n d e si n d u s t r i e l l e s1 0 - 5 0 0 [ B y t e s ] , 1 - 1 0 [ m s ]

N i v e a u c a p t e u r se t a c t i o n n e u r s1 - 8 [ B y t e s ] , 5 - 1 0 0 [ m s ]

O r d i n a t e u r d ' e x p l o i t a t i o n ,G P A O , C A O , F A O

O r d i n a t e u r p i l o t e s p é c i f i q u ea u x d o m a i n e s d ' a p p l i c a t i o n

O r d i n a t e u r d e c o n t r ô l e e td e c o m m a n d e d e m a c h i n e s

A u t o m a t e s ( A P I ) , c o o r d i n a t e u rd ' a x e s , s y s t è m e s d e m e s u r e

C a p t e u r s , a c t i o n n e u r s ,c o m m a n d e s d ' a x e s f _ 0 1 _ a _ 0 1 . e p s

Fig. 1.21 Pyramide d'automatisation (chier source).

conduite de plusieurs installations, voire de plusieurs usines.

Génération de consigne

Le saut unité de consigne de position n'est pas envisageable dans le contexted'un entraînement réglé, sachant que par dénition, on souhaite garder le contrôledu mouvement pendant toute sa durée. Or, à un saut unité de consigne de positioncorrespond une impulsion de Dirac de consigne de vitesse, indiquant qu'implicite-ment, on demande au système mécanique d'atteindre une vitesse innie, ce qu'ilsera évidemment dans l'impossibilité de faire. Pratiquement, la grandeur de com-mande issue du régulateur de position entrera donc en saturation pour une plusou moins longue durée pendant laquelle le mouvement n'est plus sous contrôle,l'entraînement étant soumis à une commande constante et donc indépendante desa position réelle ! En termes de régulation automatique, on dit dans une tellesituation que le système est en boucle ouverte pendant cette phase et qu'il n'estdonc plus réglé !

Dès lors, le prol élémentaire de mouvement en position calculé par toutgénérateur de consigne (position, vitesse et accélération) est le triangle de vitesse,composé d'une phase à accélération constante (démarrage, montée en vitesse)suivie immédiatement d'une phase à décélération constante (descente en vitesse,arrêt) (gure 2.38 page 90).

Le mouvement des esclaves s'en déduit par des lois cinématiques pouvant êtretrès complexes, reproduisant par exemple informatiquement des prols de cames.

Souvent, une phase à vitesse constante est requise (palier de vitesse), pourdes raisons de fonctionnement de la machine ou parce que la limite de vitessede l'entraînement ou de sa charge mécanique est atteinte à la n de la phase






0 0.5 1 1.50

0.5

1

θ

Déplacement élémentaire de position angulaire de 1 [rad]

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

ω

0 0.5 1 1.5−4

−2

0

2

4

t [s]

α

f_demo_bb_1.eps

Fig. 1.22 Mouvement bang-bang sans palier de vitesse (généré avec la fonctionbang_bang.m écrite pour MATLAB) (chier source).

d'accélération ; le prol de vitesse est alors trapézoïdal (gure 1.23 page ci-contre).

Contrôle du couple

Pouvoir imposer à sa guise la forme des consignes de position/vitesse sous-entend un système de régulation performant. Souvent, la charge mécanique pos-sède bon nombre de défauts (frottement sec, élasticités) qui n'apparaissent quelorsque les performances exigées (rapidité, précision) augmentent. C'est par exemplele cas avec des arbres de transmission élastiques (voir gures 1.24 page suivanteet 1.25 page 41).

En eet, la charge mécanique est à cause des élasticités de transmission et desfrottements sec et visqueux non-linéaires plus complexe que celle décrite par lasimple équation de Newton

J · dωdt

= Tem(t)−Rf · ω(t) (1.4)

où J est le moment d'inertie de la charge, Rf le coecient de frottement visqueux,ω(t) la vitesse angulaire instantanée et Tem(t) le couple électromagnétique fournipar l'entraînement. A cette équation correspond la fonction de transfert

Ga(s) =Ω(s)

Tem(s)=

1Rf

1 + s · JRf

(1.5)



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/f_demo_bb_1.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/matlab///demo_bb.m


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.5

1

θ


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.2

0.4

0.6

0.8

ω

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−4

−2

0

2

4

t [s]

α

f_demo_bb_2.eps

Fig. 1.23 Mouvement bang-bang avec palier de vitesse (généré avec la fonctionbang_bang.m écrite pour MATLAB) (chier source).

100 101 102 103−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

ω [rad/s]

Gain de la fonction de trasnfert entre le couple mécanique et la vitesse de la charge

f_oscmec_2.eps

Fig. 1.24 Fonction de réponse fréquentielle d'une chaîne de transmission mé-canique exible (chier source).





http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/f_oscmec_2.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/matlab///oscmec.m


dont la réponse harmonique ne modélise par exemple que la partie basses fré-quences du diagramme de Bode de la gure 1.25(c).

La gure 1.26 page 42 montre le couple dû aux actions du frottement sec. Seseets dans le cas d'une application de contournage (usinage/traçage d'un cercle)sont simulés en exercice.

Toutefois, le problème de l'asservissement ne se limite pas au choix d'un bonrégulateur de position/vitesse : pour des raisons de performances en régulation decorrespondance (poursuite de consigne) comme en régulation de maintien (luttecontre les perturbations), ainsi que pour des raisons de sécurité de fonctionnement(contrôle du courant et donc de l'échauement du moteur), il est impératif d'avoirla maîtrise du couple produit par l'entraînement, du moins dans les gammes depuissances évoquées plus haut dans ce chapitre.

La gure 1.27 page 42 montre, en fonction de la vitesse, l'allure typique descouples nécessaires à l'entraînement de diverses charges.

De surcroît, le couple doit pouvoir être imposé dans une large gamme devitesses, au-delà de laquelle des limites techniques (puissance de l'amplicateur,tenue des roulements, etc) liées à la réalisation de l'entraînement interviennent.

En général, l'entraînement peut accélérer ou freiner la charge quel que soit lesigne de sa vitesse. En conséquence, il y a quatre quadrants de fonctionnementdans le diagramme couple-vitesse (gure 1.28 page 43).

Dans les quadrants 1 et 3, les couple et vitesse sont de mêmes signes : l'en-traînement fonctionne en moteur. Dans les quadrants 2 et 4, le couple s'opposeà la vitesse : c'est le fonctionnement en générateur ou frein, où l'entraînementabsorbe de la puissance mécanique. Cette puissance reçue peut être soit dissipéethermiquement, soit transmise directement aux autres axes de l'installation, soitencore renvoyée au réseau d'alimentation.

Dans l'optique du contrôle du couple, un accent particulier sera mis dans cecours sur les diérentes stratégies de pilotage des entraînements électriques. Lacommande idéale sera celle qui permettra de réduire le schéma fonctionnel del'entraînement à quelque chose d'aussi élémentaire que ce qui est représenté surla gure 1.29 page 43.

A l'extrême, la fonction de transfert GwT (s) se réduira à un simple gain sta-tique de valeur connue KwT .

An d'y parvenir, une connaissance détaillée du moteur et de l'alimentation depuissance est nécessaire. D'une manière générale, le contrôle du couple s'eectueraindirectement par celui du courant. Toutefois, ce n'est véritablement que pour lamachine DC à collecteur que ce contrôle sera aisé, le problème étant plus complexepour des entraînements AC synchrones ou asynchrones.




q 1 ( t )T e m ( t ) q 2 ( t )

r o t o r c h a r g e

r i g i d i t é d e l ' a r b r ed e t r a n s m i s s i o n :

k [ N m / r a d ]

f _ 0 1 _ c _ 0 3 . e p s

J 1

J 2

(a) (chier source). (b)

10−1 100 101 102 103−120

−110

−100

−90

−80

−70

−60

−50

Diagrammes de Bode de GARMAX

(ejω h), YN

(ω)/UN

(ω)

10−1 100 101 102 103−200

−100

0

100

200

f [Hz]

G(ejω h)Y

N(ω)/U

N(ω)|

f_lse_m_03_8.eps

(c) (chier source).

Fig. 1.25 Mise en évidence des eets d'élasticité dans les transmissions mé-caniques. (a) : arbre de transmission, de constante de torsion k en

[N·mrad

]. J1

représente l'inertie du rotor du moteur et J2 celle de la charge (voir exercice).(b) : Exemple pratique du système de transmission (ici à courroie) présentant

une élasticité notable. (c) : fonction de réponse fréquentielle Ga1(j · ω) = Ω1(j·ω)Tem(j·ω)

d'un système mécanique avec arbre exible, cas de (b). L'obtention de la ré-ponse fréquentielle a été faite expérimentalement, en faisant usage des techniquesd'identication paramétrique et non-paramétrique [[26], chap.8].



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/f_01_c_03.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures///f_01_c.dsf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/com_robuste.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/f_lse_m_03_8.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/matlab///lse_m_03.m


C o u p l e d e

f r o t t e m e n t

V i t e s s e0

C o u p l e d e

f r o t t e m e n t

V i t e s s e0

F r o t t e m e n t s e c p u r S t i c k s l i p f _ 0 1 _ a _ 0 3 . e p s

Fig. 1.26 Caractéristiques de frottement (chier source).

C o u p l e

V i t e s s e

C o u p l e c o n s t a n t

C o u p l e c o n s t a n t

P u i s s a n c e c o n s t a n t e

C o u p l e p r o p o r t i o n n e la u c a r r é d e l a v i t e s s e

P o m p e e tv e n t i l a t e u r s

C o n v o y e u r s

T r a c t i o n e tb r o c h e s

f _ 0 1 _ a _ 0 2 . e p s0

Fig. 1.27 Couples nécessaires à l'entraînement de diverses charges (chier source).








w

T e m

0

T e m

w

T e m

w

T e m

w

T e m

w

12

3 4f _ 0 1 _ a _ 0 3 . e p s

Fig. 1.28 Les 4 quadrants de fonctionnement (chier source).

T e m c T e m [ N m ]G w T ( s )C o n s i g n ed e c o u p l e( c o u p l e s o u h a i t é )

C o u p l e e f f e c t i f( c o u p l e p r o d u i tp a r l ' e n t r a î n e m e n t )F o n c t i o n d e t r a n s f e r t

c o n n u ef _ 0 1 _ a _ 1 0 _ a . e p s

Fig. 1.29 Le fait de pouvoir imposer le couple permet d'orir de meilleuresperformances en asservissement de position/vitesse (chier source).

T e m c T e m [ N m ]K w Tf _ 0 1 _ a _ 1 0 _ b . e p s

Fig. 1.30 Si le couple électromagnétique produit par l'entraînement peut êtreimposé avec une très grande dynamique, le modèle mathématique se simplie àl'extrême (chier source).





http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/f_01_a_10_a.pdf


http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/f_01_a_10_b.pdf



f o r c e

v i t e s s e

h y d r a u l i q u e

p n e u m a t i q u e

é l e c t r i q u e

f _ 0 1 _ a _ 0 5 . e p s

0

Fig. 1.31 Caractéristique force (ou couple) - vitesse pour plusieurs technologiesd'entraînement (chier source).

1.3 Entraînements électriques

1.3.1 Comparaison des diérents types d'entraînements ([1],[2], [3], [4, p.27 et 59])

Pour les entraînements, plusieurs technologies sont à disposition :

les entraînements hydrauliques ; les entraînements pneumatiques ; les entraînements électriques.

Seule la dernière catégorie fait l'objet de ce cours, où l'on traitera les servo-entraînements électriques

à courant continu ("DC" à collecteur à excitation séparée) ; synchrones auto-commutés ("AC" et "DC" à aimants permanents) ; asynchrones ("AC", à cage d'écureuil).

On propose néanmoins, dans ce paragraphe, d'eectuer une brève comparai-son de ces diérentes solutions. Il faut tout d'abord noter qu'aucune des troistechniques citées ci-dessus n'est désuète, de nouveaux développements étant ob-servables en quasi permanence. Chacune possède son champ d'application, le seulvéritable critère de sélection étant sa capacité à remplir le cahier des charges, d'unpoint de vue technique aussi bien qu'économique.

Un premier élément de comparaison est très certainement la caractéristiqueforce (ou couple) - vitesse, ou l'on constate (gure 1.31) qu'en termes de perfor-






mances, les entraînements hydrauliques sortent du lot pour ce qui concerne lesgrandes forces, alors que la solution électrique concerne plutôt des applicationsà vitesses élevées. L'allure générale du graphique de la gure 1.31 page ci-contrepeut être justiée par un calcul faisant intervenir la densité d'énergie en

[Jm3

],

celle-ci pouvant d'ailleurs s'exprimer en[Nm2

]ou en [105bar]. Pour l'hydraulique,

des pressions de l'ordre de 400 [bar] peuvent être atteintes,

whydraulique = p ≈ 400 [bar] = 4 · 107

[J

m3

](1.6)

alors que pour les systèmes électromagnétiques, les limites sont plus modestes,puisque l'on a :

wmagnétique =1

2·B ·H =

1

2· B

2

µ0

=1

2· 1 [T]2

0.4 · π · 10−6[V·sA·m

] ≈ 4 · 105

[J

m3

]où l'on a admis une induction maximale dans l'entrefer de 1 [T], limitée par lasaturation du fer formant le circuit magnétique des machines.

Le facteur 100 entre les deux valeurs comparées ne doit pas à lui seul dic-ter le choix de la solution, d'autres critères entrant naturellement en ligne decompte, comme par exemple la souplesse d'emploi de l'énergie électrique (trans-port, transformation). Pour ce qui est des entraînements réglés, la caractéristiquegénérale prix, complexité en fonction des performances montre (gure 1.32 pagesuivante) que les entraînements électriques orent des prestations (précision, ra-pidité) dont les limites ne sont pas encore atteintes, contrairement aux autrestypes d'entraînements.

Il faut ici relever que le problème de l'asservissement se pose en des termesbeaucoup plus simples avec des entraînements électriques, les entraînements hy-drauliques présentant souvent un caractère non-linéaire marqué (eet d'hysté-rèse). Ce fait est important et se ressent sur les performances de précision del'installation.

1.3.2 Les entraînements électriques à vitesse variable ([5])

Historique

Les entraînements électriques à vitesse variable sont aujourd'hui légion danstoutes les installations industrielles. La nécessité de pouvoir varier continuel-lement la vitesse d'un entraînement est le plus souvent évidente, comme parexemple dans le cas de la dépose de matériel à partir d'un convoyeur, où il estplus facile de pouvoir freiner ou accélérer celui-ci, voire l'arrêter et inverser lavitesse.




p r i xe tc o m p l e x i t é

p e r f o r m a n c e s

h y d r a u l i q u e

p n e u m a t i q u e

é l e c t r i q u e

f _ 0 1 _ a _ 0 6 . e p s

Fig. 1.32 Caractéristique générale prix, complexité en fonction des perfor-mances pour plusieurs technologies d'entraînement (chier source).

Changer la vitesse d'un entraînement de manière continue ne paraît pas tou-jours nécessaire ; cependant, dans une installation industrielle, il peut être bé-néque de pouvoir passer d'une vitesse d'exploitation à une autre sans à-coup,notamment si l'alternative est d'arrêt de la machine, avec les conséquences quecela implique au niveau de la production.

Les entraînements à vitesse variable étaient déjà en développement dès 1900,la plupart des exigences étant satisfaites au moyen de groupes générateur-moteurDC. Lorsque le courant alternatif devint l'alimentation standard, la conversionAC-DC s'avéra peu rentable comparée aux méthodes modernes. Pour le groupemoteur AC-générateur DC-moteur DC (3 machines !), le rendement global attei-gnait rarement plus de 75% !

L'émergence d'entraînements mécaniques, électro-mécaniques et électriques àvitesse variable est à mettre en relation avec la croissance du coût de l'énergieainsi que le besoin de conserver les ressources naturelles. Il est clair que de cepoint de vue, la technique de la vitesse variable peut apporter une contributiontrès importante. Il faut savoir que dans le secteur industriel, 60% de la consomma-tion d'énergie électrique est le fait des entraînements électriques ; souvent, ceux-cisont sur-dimensionnés et mal adaptés à la charge entraînée. Des statistiques plusprécises émanant du Verband der Elektizitätswirtschaft von Deustschland pour1999 montrent que les entraînements électriques consomment près de la moitié(48%) de l'énergie électrique distribuée ! Pour comparaison, l'éclairage et les com-munications sont le second utilisateur avec 18% (bulletin ASE/AES, 23/01, voirégalement www.strom.de).





http://www.strom.de


La réduction signicative des coûts engendrée par la mise en place d'entraî-nements à vitesse variable explique dès lors la très forte demande pour ce typed'entraînements. Historiquement, les exigences en entraînements à vitesse variableont été satisfaites de trois manières :

par des machines DC ; par des machines AC à vitesse xe, combinées avec systèmes mécaniques ouhydrauliques de transmission à rapport de réduction variable (voir guresci-dessous [5]) ;

par des machines AC spécialement conçues pour la variation de vitesse(commutation de pôles, double bobinage, etc).

Aujourd'hui, pour eectuer une variation de vitesse, il existe essentiellement deuxsolutions cent-pour-cent électriques. Sachant que le réseau d'alimentation est al-ternatif, on peut envisager :

le redressement puis la variation de tension continue pour les entraînementsDC ;

la variation de fréquence pour les entraînements AC.La possibilité oerte de nos jours par l'électronique de puissance et notammentpar des composants discrets (thyristors, transistors MOSFET ou IGBT) capablesde commuter très rapidement des puissances considérables, rend désormais éco-nomiquement et énergétiquement rentable la mise en oeuvre d'alimentations àfréquence variable pour l'emploi de machines AC. Le principe de la fréquence va-riable pour ce genre d'applications n'est pas nouveau, mais c'est la disponibilitéde composants de puissance qui l'est.

Eléments constitutifs d'un entraînement électrique réglé ([11], [27])

Comme déjà mentionné, les entraînements à vitesse variable sont en principeréglés et la gure 1.33 page suivante en montre les diérents composants.

La charge mécanique est entraînée par le moteur via une transmission, dontle but peut être une adaptation de :

vitesse ;



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/var_vit_02.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/var_vit_01.pdf


M

T R A N S F O R M A T E U R

R E D R E S S E U R

F I L T R E

RE

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AC

O N D U L E U R O U V A R I A T E U RD E C O U R A N T C O N T I N U

C A P T E U R D E C O U R A N T

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C A P T E U R D E P O S I T I O N E

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C H A R G E M E C A N I Q U E

C A P T E U R D E P O S I T I O NE N B O U T D ' A R B R E

T R A N S M I S S I O N M E C A N I Q U E

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s

Fig. 1.33 Les diérents composants d'un entraînement électrique réglé(chier source).






é c r o uv i s

x

f _ 0 1 _ c _ 0 1 . e p s

Fig. 1.34 Transmission rotatif/linéaire avec vis à billes et écrou (chier source).

couple ; mouvement (gure 1.34) ; résolution.

La transmission est réalisée sous diérentes formes :

réducteur ; vis sans n, vis à billes ; courroie et poulie ; came.

Le moteur est alimenté par un amplicateur de puissance travaillant en modede commutation. L'énergie est transmise par le réseau triphasé. Il peut être né-cessaire d'insérer un transformateur, mais surtout un ltre de puissance (ltrageactif) an de diminuer les eets négatifs sur le réseau d'alimentation.

L'amplicateur de puissance est piloté par la commande, qui assure l'asser-vissement de l'entraînement. Souvent, une partie de la commande est intégréeà l'amplicateur (asservissement de vitesse, voire de position) et l'on parle deservo-amplicateur, de servo-commande ou de commande d'axe.

La mesure des grandeurs à régler est nécessaire pour les asservissements, né-cessitant l'investissement de capteurs de position, de vitesse et de couple/courant.La commande de l'amplicateur de puissance est presque toujours subordonnéeà une autre commande, de type automate programmable, pouvant assurer lagestion simultanée de plusieurs axes.

Les développements des entraînements électriques réglés

Les entraînements électriques réglés ne seraient pas ce qu'ils sont aujour-d'hui si la technique n'avait pas fait les progrès que l'on sait. Sous la désignation"technique", il faut comprendre plusieurs disciplines qui, réunies, trouvent en lesentraînements électriques réglés un champ d'application idéal.

La multitude et la variété des spécialisations entrant en jeu dans les entraî-nements électriques en font un domaine extrêmement pluridisciplinaire. L'étudeexhaustive d'un système d'entraînement réglé fait obligatoirement appel à desdéveloppements poussés dans des spécialités aussi variées que






la mécanique (principe de construction, transmissions, simulation par élé-ments nis, constructions rigides et linéaires, cinématique, thermique) ;

la régulation automatique (régulateurs auto-adaptatifs, robustes, par modede glissement, procédés d'auto-tuning et d'identication, algorithmes par-ticuliers de poursuite de consigne),

les machines électriques et leur mode de commande (courant continu, syn-chrone y.c. pas-à-pas et réluctant, asynchrone à commande vectorielle, tech-nologie des aimants permanents) ;

l'électronique de puissance et l'électronique industrielle (variateurs de cou-rant, convertisseurs de fréquence, convertisseurs résonants, circuits de com-mande, ltrage actif),

l'informatique industrielle (systèmes temps réel, multitraitement, interfacesgraphiques, compilateurs),

les systèmes de mesures (capteurs de position de type codeur incrémentalou resolver, systèmes de multiplication de résolution, conversion A/D etD/A),

la téléinformatique (bus de terrain : CAN, Interbus, SERCOS, FIP, Pro-bus, ASI, etc),

l'électronique numérique et analogique (processeurs de signaux "DSP", mi-crocontrôleurs, ASICs, FPGAs, conditionnement du signal, compatibilitéélectromagnétique),

la microélectronique (cicuits spécialisés pour la commande de moteurs et letraitements des capteurs),

les installations électriques (sécurité, armoires de commande), le traitement de signal (ltrage analogique et numérique, analyse harmo-nique).

Le développement des techniques relatives à l'électronique de puissance per-met de disposer aujourd'hui d'alimentations adaptées à chaque type d'entraîne-ment, lesdites alimentations étant facilement commandables et présentant d'ex-cellents rendements. Si l'on était jusqu'ici habitué à pouvoir traiter les signaux,on sait maintenant faire de même avec l'énergie électrique : ce sont les techniquesdu traitement de l'énergie électrique.

Le type d'entraînement électrique choisi évolue de manière quasi irréversiblevers la technologie "brushless", i.e. sans balai, provoquant la disparition progres-sive du moteur DC à collecteur. Le marché mondial des entraînements réglés semonte à quelque 5 milliards de francs, la moitié duquel étant désormais à imputeraux entraînements AC triphasés.




Fig. 1.35 Entraînement intégré (Siemens) (chier source).

A C t r i p h a s é4 5 %

D C b r u s h l e s s1 6 %

p a s à p a s4 . 5 %

D C à c o l l e c t e u r3 5 %

R é p a r t i t i o n d u m a r c h é d e s e n t r a î n e m e n t s é l e c t r i q u e s r é g l é sa u x U S A e n 1 9 9 5 p a r t y p e d e m o t e u r f _ 0 1 _ a _ 1 2 . e p s

A C t r i p h a s é5 3 %

D C b r u s h l e s s2 1 %

p a s à p a s4 . 5 %

D C à c o l l e c t e u r2 3 %

R é p a r t i t i o n d u m a r c h é d e s e n t r a î n e m e n t s é l e c t r i q u e s r é g l é sa u x U S A e n 2 0 0 0 p a r t y p e d e m o t e u r f _ 0 1 _ a _ 1 3 . e p s

Des eorts importants sont actuellement déployés pour intégrer tous les com-posants d'un entraînements : il s'agit des entraînements intégrés [4]. Moteur,capteur, amplicateur de puissance, commande d'axe, etc sont réunis en un seulboîtier. Idéalement, ces entraînements se connectent par deux seuls ls, lesquelstransportent aussi bien la puissance que l'information. La gure 1.35 montre desproduits Siemens allant dans ce sens.

Les raisons des développements fulgurants des entraînements électriques sontexplicables :

d'une part, les aspects énergétiques prennent de plus en plus d'importance,même à l'échelle industrielle, le coût de l'énergie entrant désormais en lignede compte. Des solutions modernes, telles que toutes les techniques permet-



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures/ent_int_01.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_01/Figures///ent_int_01.jpg




tant la vitesse variable, vont dans ce sens et les améliorations sont consi-dérables. Pour donner un ordre de grandeur ([1]), le démarrage à tensionnominale (constante) d'un moteur DC provoque une dissipation d'énergiethermique par eet Joule égale à 100% de l'énergie cinétique à vitesse no-minale, alors que le démarrage à tension variable du même moteur réduitcette dissipation d'un facteur 2 à 25 (voir exercice) ;

d'autre part, la concurrence dans le domaine des fabricants de machines esttrès intense. Des installations toujours plus performantes, orant un aug-mentation régulière des cadences de travail, doivent être développées. Lesalaire-horaire de la main d'oeuvre étant de $2 en extrême-Orient et de $25en Occident, la seule solution pour les industriels occidentaux consiste àaméliorer la productivité et la qualité ; ceci passant par la mise en oeuvrede solutions modernes répondant aujourd'hui déjà aux exigences citées pré-cédemment.

L'ingénieur spécialisé en entraînements électriques réglés est donc capable d'ap-préhender un grand nombre de disciplines.




Chapitre 2

Entraînement avec machine DC

2.1 Introduction

La machine à courant continu à collecteur à excitation séparée (ci-après ma-chine DC) a été longtemps le type d'entraînement le plus utilisé pour les ap-plications à vitesse variable. Son côté attractif provient en grande partie de lasimplicité de sa commande, ce qui a une incidence directe sur le niveau des per-formances, que l'on parle en termes d'asservissement ou en termes économiques.

Dans une plage de puissance allant de 500 [W] à 50 [kW], la machine DC estdésormais très fortement concurrencée et de plus en plus souvent remplacée pardes entraînements AC sans balais, i.e. "à courant alternatif", de types synchronesauto-commutés ou asynchrones (chap. 3 et 4).

Néanmoins, l'étude détaillée de la commande des servo-entraînements DCet de quelques problèmes particuliers garde tout son sens : la facilité avec la-quelle un tel entraînement peut être commandé en couple constitue en eet unavantage déterminant sur les performances obtenues, au point que l'on chercheraultérieurement à appliquer la même stratégie de commande à des entraînementsAC synchrones auto-commutés et asynchrones. Ceci pourra se faire au moyend'une stratégie de pilotage évoluée qu'est la commande vectorielle, permettanten quelque sorte d'émuler la machine DC partant d'un machine synchrone auasynchrone.

L'objectif principal de ce chapitre est de présenter une solution d'asservisse-ment en vitesse et en couple (gure 2.2 page suivante) de la machine DC permet-

M

Fig. 2.1 Symbole d'une machine DC à collecteur (chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_02/Figures/f_02a_01_01.pdf



T e mT e m c

A s s e r v i s s e m e n td e c o u p l e

C h a r g em é c a n i q u e

C a p t e u r d ev i t e s s e

R é g u l a t e u rd e v i t e s s e

S-

c o n s i g n ed e v i t e s s e

m e s u r ed e v i t e s s e

v i t e s s e

M o d è l e s d el ' a l i m e n t a t i o ne t d u m o t e u r

M o d è l e s d um o t e u r e t d e

l a c h a r g em é c a n i q u e

f _ 0 2 _ b _ 1 1 _ 0 1 . e p s

f _ 0 2 _ b _ 1 1 _ 0 3 . e p s

Fig. 2.2 Structure de l'asservissement de vitesse d'une machine DC : un as-servissement de couple/courant est également nécessaire (régulation cascade devitesse et couple/courant) (chier source).

tant d'atteindre les performances exigées d'un servo-entraînement, au sens de cequi a été présenté au chap.1. On abordera successivement la modélisation la ma-chine DC à collecteur avant d'étudier son alimentation par variateur de courantcontinu. Un modèle dynamique de ce dernier sera obtenu. Il sera alors possiblede se pencher sur la question de l'asservissement de couple puis enn sur celuide vitesse / position pour lequel la solution classique de régulation cascade seraproposée.

2.2 Modélisation mathématique

2.2.1 Rappel : construction et fonctionnement du moteurDC

La gure 2.3 page ci-contre montre un entraînement DC à excitation séparéede l'entreprise Maxon. Pour l'essentiel, on rappelle que le moteur DC à collecteurest constitué d'une partie xe (le stator) et d'une partie tournante (le rotor). Cedernier comporte un circuit électrique (l'induit) alors que le stator peut être munisoit également d'un circuit électrique, soit d'un aimant permanent. Le stator jouele rôle d'inducteur, sa fonction étant de créer un ux magnétique d'excitation Φf

(ou de manière équivalente un champ d'induction d'excitation Bf ) dans lequelseront plongées les spires du circuit d'induit. Si celles-ci sont parcourues par uncourant (le courant d'induit ia(t)), la force de Laplace ~FL(t) = ia(t) · ~L × ~Bf

intervient (~L est la longueur active d'un conducteur de l'induit), et un coupled'origine électromagnétique est alors produit.

L'excitation Φf créée par l'inducteur peut être réalisée de 2 manières :



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_02/Figures/f_02_b_11_01.pdf



Fig. 2.3 Moteur DC à excitation séparée de la rme Maxon (chier source).

elle est produite par un bobinage, auquel cas elle peut être ajustée à unniveau dépendant du courant d'excitation if (t) traversant le circuit. Ona alors Φf (t) = k · if (t). Lorsque le bobinage d'excitation est électrique-ment indépendant de celui de l'induit, on parle de moteur DC à excitationséparée ;

elle est créée au moyen d'un aimant permanent. Dans ce cas Φf = const. etl'on parle de moteur DC à excitation séparée constante.

Le schéma technologique d'un entraînement DC à excitation séparée est repré-senté sur la gure 2.4 page suivante. Les signaux y intervenant sont les suivants :

la tension aux bornes de l'induit ua(t) (l'indice a correspond à Anker, i.e.induit en langue allemande) ;

le circuit électrique de l'induit, faisant apparaître : la résistance de l'induit Ra ; l'inductance de l'induit La ; une contre-tension em(t) appelée FEM (Force Electro-Motrice), propor-tionnelle à la vitesse angulaire ω(t) ;

le courant traversant le circuit d'induit ia(t) ; le couple électromagnétique instantané Tem(t) produit ; l'inducteur, xé au stator, créant un ux magnétique d'excitation Φf ; la charge mécanique, dépendante de l'application (inertie J , frottement vis-queux, élasticité de la transmission, etc) ;



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_02/Figures/themotor.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_02/Figures///themotor.gif


i a ( t )

u a ( t )

L aR a

J

M

p al i

e rs

w ( t )

f _ 0 2 _ c _ 1 1 . e p s

F f

T e m ( t )

Fig. 2.4 Schéma technologique d'un entraînement DC à excitation séparée(chier source).

la vitesse ω(t) du rotor du moteur.Comme l'induit de la machine est physiquement lié au rotor, i.e. à la partietournante, cela constitue bien sûr un inconvénient pratique important, expli-quant pourquoi l'on a tendance a vouloir remplacer de tels entraînements pardes moteurs AC : l'alimentation de l'induit, i.e. la transmission de la puissancepa(t) = ua(t) · ia(t), doit en eet s'eectuer en faisant passer le courant d'induitia(t) de la partie xe à la partie mobile au moyen d'un dispositif mécanique re-lativement complexe, le collecteur. Celui-ci est constitué de balais solidaires dustator et néanmoins en contact mécanique par frottement avec la partie mobilean de conduire le courant électrique ia(t) entre le stator et le rotor. L'usure enrésultant fait que les balais doivent être plus ou moins fréquemment remplacés,selon les conditions de travail du moteur. Cette même usure entraîne l'apparitionde poussières et dégrade le contact électrique, ce qui se traduit par une augmen-tation de la résistance du circuit d'induit, un échauement supplémentaire voiredes arcs électriques. En eet, les microcoupures du contact électrique peuventprovoquer des chutes de tension inductive La · diadt importantes, sachant que ia(t)est typiquement un courant constant 6= 0 [A].

2.2.2 Equations caractéristiques

Prenant en compte la résistance Ra et l'inductance La du circuit d'induit, ducollecteur, des balais et des connexions, et en les supposant toutes deux constantes(pas de variation due à l'échauement ni à la saturation magnétique), l'équationde tension induite s'écrit :

ua(t) = Ra · ia(t) +dΨ

dt= Ra · ia(t) +

d(N · Φf )

dt

= Ra · ia(t) + La ·diadt

+ em(t)

(2.1)






La tension induite em(t), appelée FEM ("force électro-motrice" dans l'optiquede l'exploitation en générateur) est proportionnelle à la vitesse angulaire ω(t) etau ux inducteur Φf (t) :

em(t) = k · Φf (t) · ω(t) (2.2)

k est une constante dépendant de la construction de la machine. La première équa-tion montre que em(t) s'oppose à ua(t), i.e. le moteur réagit en créant une FEMem(t) tendant à équilibrer à ua(t). Cet eet correspondra à une contre-réactionbien visible dans le schéma fonctionnel du moteur (gure 2.5 page suivante).

Le couple électromagnétique Tem(t) développé a pour expression :

Tem(t) = k · Φf (t) · ia(t) (2.3)

On constate ici un fait très important : le couple électromagnétique Tem(t) estexactement proportionnel au courant d'induit ia(t).

Tem(t) ∝ ia(t) (2.4)

Les trois équations ci-dessus, complétées par l'équation de la dynamique,

Jt ·dω

dt= Tem(t)−Rft · ω(t)− Tres(t) (2.5)

où Jt est l'inertie totale entraînée (moteur Jm et charge Jch), décrivent complè-tement le comportement dynamique de la machine DC. Aucun des signaux n'estsupposé constant, ce qui permettra l'étude du régime transitoire.

2.2.3 Schéma fonctionnel

Les équations ci-dessus peuvent être avantageusement représentées graphique-ment sous forme de schéma fonctionnel. On s'est restreint ici au cas où l'excitationΦf est constante (comme par exemple dans le cas d'une excitation par aimantpermanent). De ce fait, le produit k · Φf est constant et l'on pose :

KT = KE = k · Φf (2.6)

En faisant l'hypothèse d'une excitation constante, on observe très clairementsur ce schéma le rôle de la FEM em(t), qui opère en fait une contre-réaction interneà la machine. Elle s'oppose aux variations de la tension d'alimentation ua(t). Al'équilibre, la vitesse est constante et la FEM est telle que le courant d'induit ia(t)crée le couple électromagnétique Tem(t) compensant le couple résistant Tres(t).

Cette contre-réaction explique pourquoi la machine atteint une vitesse constantestable dès qu'elle est alimentée par une tension constante. On voit que d'unecertaine manière, on peut, à l'aide de la tension ua(t), imposer la vitesse ω(t).Cependant, il ne s'agit pas d'un système asservi : le moteur reste en boucle ou-verte, et si un couple résistant Tres(t), tel que du frottement sec, agit sur l'arbre,la vitesse en régime permanent aura une valeur inférieure à sa valeur à vide ω0i

( 2.2.6 page 61).




1s L a×

S-

S

R a

1s J t×

S

R f t

1

1

R

sLR

a

a

a+ ×

1

1

R

sJR

f t

t

f t+ ×

T r e s

wu a

-T e mi a

e m

K T

K E

f _ 0 2 a _ 0 1 _ 0 2 . e p s

Fig. 2.5 Schéma fonctionnel d'un moteur DC à collecteur, à excitation séparéeconstante. A noter la contre-réaction due à la FEM em(t) = KE ·ω(t) (chier source).

2.2.4 Modèle électrique de la machine DC

Du point de vue électrique, l'induit de la machine DC peut être vu comme unerésistance Ra et une inductance La en série avec une source de tension commandéeem(t) proportionnelle à la vitesse (gure 2.6). Si l'on pense à l'exploitation de cettemachine en régime transitoire, comme c'est très souvent le cas en entraînementsréglés (succession d'accélérations et de freinages), il est important de relever icile caractère inductif du circuit d'induit.

u a ( t ) e m ( t )

L a

w ( t )

i a ( t ) R a

f _ 0 2 a _ 0 2 _ 0 1 . e p s

Fig. 2.6 Schéma électrique équivalent d'un moteur DC à collecteur, à excitationséparée constante (chier source).








0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

u a(t), ω

(t)

Réponse du moteur à un saut de tension de 1[V]: allure de la vitesse pour Tm

=0.038609 [ms] >> Te=0.0046935 [ms]

f_ini_cc_1_2.eps

Fig. 2.7 Réponse indicielle d'un moteur DC, la constante de temps électriqueTe étant négligeable devant la constante de temps mécanique Tm (chier source).

2.2.5 Constantes de temps mécaniques et électriques ([6])

Partant du schéma fonctionnel de la gure 2.5 page précédente, la fonctionde transfert entre la tension et la vitesse du moteur seul, i.e. sans charge (Jch =0 [kg ·m2] ⇒ Jt = Jm, Rft = Rf ) peut être calculée dans le cas d'une excitationconstante. On a :

Ga(s) =Ω(s)

Ua(s)=

1Ra

1+s·LaRa

·KT ·1

Rf

1+s·JmRf

1 +1

Ra

1+s·LaRa

·KT ·KE ·1

Rf

1+s·JmRf

=KT

Ra ·Rf

· 1

1 + KT ·KE

Ra·Rf+ s · (La

Ra+ Jm

Rf) + s2 · (La·Jm

Ra·Rf)

=KT

Ra ·Rf +KT ·KE

· 1

1 + s · La·Rf+Jm·Ra

Ra·Rf+KT ·KE+ s2 · La·Jm

Ra·Rf+KT ·KE

(2.7)

En négligeant le frottement visqueux (Rf = 0[N·mrads

]), cette fonction de trans-

fert devient :

Ga(s) =Ω(s)

Ua(s)=

1

KE

· 1

1 + s · Jm·Ra

KT ·KE+ s2 · La·Jm

KT ·KE

(2.8)



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_02/Figures/f_ini_cc_1_2.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_02/matlab///ini_cc_1.m


S-

S

T r e s

wu a

-T e mi a

e m

K T

K E

1 / R a1 / ( s J m )

f _ 0 2 a _ 0 1 _ 0 3 . e p s

Fig. 2.8 Schéma fonctionnel d'un moteur DC à collecteur, à excitation sépa-rée constante, lorsque l'inductance La est faible, ou que la constante de tempsélectrique Te est beaucoup plus petite que la constante de temps mécanique Tm :Te = La

Ra Tm = Ra·Jm

KT ·KE(chier source).

En dénissant respectivement les constantes de temps mécanique Tm et élec-trique Te comme suit,

Tm =Ra · JmKT ·KE

(2.9)

Te =LaRa

(2.10)

la fonction de transfert prend la forme :

Ga(s) =Ω(s)

Ua(s)=

1

KE

· 1

1 + s · Tm + s2 · Tm · Te≈ 1

KE

· 1

(1 + s · Tm) · (1 + s · Te)(2.11)

La constante de temps électrique Te indique la rapidité avec laquelle le courantd'induit ia(t) peut être établi. Elle est souvent négligeable devant la constante detemps mécanique Tm, laquelle indique la rapidité avec laquelle la vitesse s'établitsuite à une variation de la tension d'induit ua(t) (voir gure 2.7 page précédente).Dans le cas où Te Tm, soit pour La négligeable, on a

Ga(s) =Ω(s)

Ua(s)≈ 1

KE

· 1

1 + s · Tm(2.12)

et le schéma fonctionnel de la gure 2.5 page 58 se réduit à celui de la 2.8.






0 w

T e m

M o t e u r

M o t e u r G é n é r a t e u r

G é n é r a t e u r

u a = 0 [ V ] u a = 0 . 5 u a N u a = u a Nu a = - 0 . 5 u a Nu a = - u a N

12

3 4

w 0 i N

- w 0 i N w N

p o i n t d ef o n c t i o n n e m e n t

n o m i n a lT e m N

f _ 0 2 a _ 0 7 . e p s

Fig. 2.9 Caractéristique couple-vitesse d'un moteur DC à excitation séparéeconstante (chier source).

2.2.6 Caractéristique couple-vitesse de la machine à exci-tation séparée en régime permanent constant

Partant des équations de la machine ou du schéma fonctionnel, on peut ex-traire la caractéristique couple-vitesse en régime permanent constant (ia =const.). On a :

ua = Ra · ia + La ·diadt︸︷︷︸

0 [As

]

+em

= Ra ·Temk · Φf

+ k · Φf · ω

(2.13)

d'où :

Tem(ω) =k · Φf

Ra

· ua −(k · Φf )

2

Ra

· ω (2.14)

On voit qu'un couple peut être produit à n'importe quelle vitesse pour autantque la tension d'alimentation ua soit ajustée en conséquence (gure 2.9).

A vide, pour une tension d'alimentation nominale uaN et une excitation ΦfN

nominales, le couple est nul et la machine tourne à sa vitesse idéale à vide (no-



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_02/Figures/f_02a_07.pdf



minale) ω0iN :

ω0iN =uaN

k · ΦfN

(2.15)

Au point de fonctionnement nominal, le moteur tourne à la vitesse ωN et absorbeune puissance électrique pel égale à sa valeur nominale pelN :

pelN = uaN · iaN = Ra · i2aN︸︷︷︸pJN

+TemN · ωN︸︷︷︸pmecN

(2.16)

Le bilan de puissance ci-dessus ne fait intervenir que les pertes Joule pJN = Ra ·i2aN . Les autres pertes, comme celles dues au frottement, aux courants de Foucault,etc, sont ici négligées. Les pertes Joule pJN atteignent leur valeur nominale etsont évacuées par le système de refroidissement "nominal" (convection naturelle,ventilation). Si l'on part de l'hypothèse que celles-ci sont maintenues constantes enimposant ia = iaN = const., le moteur reste donc en équilibre thermique. Le bilande puissance montre alors qu'il est possible, dans ces conditions, d'augmenter lavitesse du moteur au-delà de sa vitesse nominale ωN , à condition de diminuer lecouple Tem. En eet, en imposant ua = uaN , on a pel = pelN = constante. Etpar conséquent pmec est aussi maintenue constante et égale à sa valeur nominalepmecN à condition de faire varier le couple en raison inverse de la vitesse :

Tem = TemN ·ωNω∝ 1

ω(2.17)

Le courant ia étant constant, on voit qu'il est nécessaire de diminuer KT , i.e.de démagnétiser la machine, en réduisant le ux d'excitation Φf selon une loiidentique :

Φf = ΦfN ·ωNω∝ 1

ω(2.18)

Il est donc possible avec la machine DC à excitation séparée ajustable, moyennantune commande appropriée mais avec la même électronique de puissance, d'avoirdeux modes de fonctionnement (gure 2.10 page ci-contre) :

de 0[

tmin

]à vitesse nominale : couple constant en variant la tension ua

en fonction de la vitesse et en maintenant le ux l'excitation Φf constant ; à partir de la vitesse nominale : puissance constante en variant le uxd'excitation Φf et en maintenant la tension d'alimentation ua(t) constante.

Cela n'est bien sûr possible que si l'excitation est ajustable, i.e pour une machineDC à excitation séparée par un enroulement et non par un aimant.

La limite supérieure de la vitesse est alors en principe donnée par la tenuedes roulements. Ce type de caractéristique est notamment intéressant pour lesapplications de traction électrique ainsi que pour l'entraînement de broches demachine-outil (broches haute vitesse par exemple). Cette caractéristique apparaîtsur la gure 2.10 page suivante.




0 ww N

u ap m e cT e m

i a

F f

c o u p l e c o n s t a n t

m a g n é t i s a t i o n n o m i n a l e

p u i s s a n c e c o n s t a n t e

d é m a g n é t i s a t i o n

Rai a

N

f _ 0 2 a _ 0 9 . e p s

U a N

T e m N

I a N

F f N

Fig. 2.10 Mode d'utilisation de la machine DC à excitation séparée ajustable,en fonction de la vitesse : couple constant jusqu'à vitesse nominale, puissanceconstante au-delà (chier source).






D 1T 1

D 2T 2

D 1 'T 1 '

D 2 'T 2 '

U e

( c i r c u i t i n t e r m é d i a i r ed e t e n s i o n c o n t i n u e )

u d

c 1

c 1 '

c 2

c 2 '

logi

que

deco

mm

ande

d

f _ 0 2 a _ 0 8 _ 0 1 . e p s

Fig. 2.11 Pont en H (chier source).

2.3 Alimentation par variateur de courant continu

([7], [8])

On propose de restreindre l'étude de l'alimentation du moteur DC au va-riateur de courant continu à pulsation. D'autres types d'alimentation, telque l'amplicateur linéaire, réservé aux basses puissances (< 500 [W], petits mo-teurs et applications audio) et le convertisseur de courant, adapté aux puissancesélevées, sont traités dans le cadre de cours d'électronique de puissance.

2.3.1 Fonctionnement

Pour pouvoir faire varier à sa guise la vitesse d'une machine DC et l'exploiterdans les quatre quadrants, il est nécessaire de pouvoir lui imposer n'importe quelstension ua(t) et courant ia(t) d'induit. Ceci est usuellement fait au moyen d'unétage de puissance de type pont en H, composé principalement de quatre transis-tors T1, T1', T2 et T2' (gure 2.11) en antiparallèle desquels sont branchées lesdiodes de roue libre D1, D1', D2 et D2'.

Les éléments de commutation sont soit des transistors de type bipolaire, MOS-FET ou IGBT, selon les niveaux de tensions et de courants en jeu. Pour lesgrandes puissances, on a souvent recours à des thyristors GTO. Le pont en Hest formé de quatre voies, deux voies hautes (Ti) et deux voies basses (Ti').Une branche est constituée d'une voie haute et d'une voie basse. Le pont en Hcomporte donc deux branches.

Pour des raisons énergétiques, ce dispositif fonctionne normalement en com-mutation (forcée pour un entraînement performant), i.e. en hâchage, chaque élé-ment T1, T1', T2, T2' étant utilisé comme interrupteur commandé en modetout-ou-rien : les transistors sont soit en mode de conduction maximum (satu-ration), soit en mode de blocage. L'état saturation/blocage de chaque élémentdu pont est imposé par les signaux logiques c1, c1', c2 et c2'. Ce type de com-






D 1T 1

D 2T 2

D 1 'T 1 '

D 2 'T 2 '

U e

u d

c 1

c 1 '

c 2

c 2 '

Mi d

f _ 0 2 a _ 0 8 _ 0 2 . e p s

u 1 0 u 2 0

Fig. 2.12 Pont en H ayant pour charge l'induit d'un moteur DC (chier source).

mande ne s'applique qu'à des charges fortement inductives pour des raisons quiapparaîtront ci-dessous.

Grâce au mode de commutation, chaque élément en conduction a une tensionquasi-nulle à ses bornes, alors que les éléments en blocage sont traversés par uncourant nul. La puissance électrique instantanée p(t) = u(t) · i(t) dissipée par leséléments de commutation est donc toujours nulle dans le cas d'un fonctionne-ment idéal du variateur, hypothèse impliquant la possibilité d'une commutationinstantanée des composants de puissance. Le mode de commutation est préféréau mode linéaire, lequel provoquerait une dissipation énergétique inacceptablepar les éléments de puissance.

Selon les signaux de commandes binaires c1, c1', c2 et c2' des voies, la tensioncontinue Ue du circuit intermédiaire est ainsi hachée et appliquée avec la polaritésouhaitée à la charge, en l'occurrence le circuit d'induit du moteur DC, lequel estdonc alimenté par une tension instantanée ud(t).

La tension continue Ue est par exemple fournie par le réseau alternatif via unredresseur (gure 2.13 page suivante) ou provient d'une batterie. Le pont en Hpermet d'imposer la tension ud(t) aux bornes du moteur en faisant conduire lesvoies correspondantes. Dans un cas simplié (en négligeant le temps de sécuritéanti-chevauchement, voir annexe), les signaux de commande c1, c1', c2 et c2' destransistors des voies hautes (Ti) et basses (Ti') sont logiquement complémentairesl'un de l'autre, et l'on a :

c1 = c1′ = d (2.19)

c2 = c2′ = d (2.20)






R é s e a ut r i p h a s é

RST

U e

R e d r e s s e u r

C o n d e n s a t e u rt a m p o n V a r i a t e u r

D 1T 1

D 2T 2

D 1 'T 1 '

D 2 'T 2 'u d

c 1

c 1 '

c 2

c 2 '

Mi d

C t

f _ 0 2 a _ 1 5 . e p s

u 1 0 u 2 0

Fig. 2.13 La tension du circuit intermédiaire de tension continue peut êtreobtenue du réseau d'alimentation triphasé à l'aide d'un redresseur. Sur la guresont dénies les tensions de branche u10(t) et u20(t) (chier source).

Cas de commutation Voies en conduction Voies en blocage ud(t)(valeur instantanée)

I 1, 2' 1', 2 +UeII 1', 2 1, 2' −UeIII 1, 2 1', 2' 0 [V]IV 1', 2' 1, 2 0 [V]

Tab. 2.1 Tension instantanée ud(t) délivrée par le variateur selon les voies enconduction/blocage.

Selon les voies qui conduisent et celles qui sont bloquées, la tension instantanéeud(t) appliquée à la charge ne peut prendre que l'une des trois valeurs

+Ue

0 [V]

−Ue(2.21)

comme l'indique le tableau 2.1.

Par convention, la tension ud(t) est mesurée entre les branches 1 et 2, i.e.elle est égale à la diérence de potentiel entre lesdites branches. Le courant id(t)






u d ( t )

t e t d

u d ( t ) = u d i ( t )

T p

0 t

+ U e

- U e

T p

u d ( t )

i d ( t )

0 t

i d ( t )

f _ 0 2 a _ 1 1 _ 0 1 . e p s

Fig. 2.14 Allures typiques de la tension ud(t) et du courant id(t) produits parle pont en H fonctionnant en mode de commutation (chier source).

produit par le variateur est quant à lui compté positivement lorsqu'il sort de labranche 1 pour rentrer dans la branche 2.

En conséquence, l'allure de la tension ud(t) aux bornes du moteur est donctypiquement celle donnée sur la gure 2.14. Il s'agit donc d'une allure très "cha-hutée", discontinue, de type tout-ou-rien, ud(t) ne pouvant prendre que troisvaleurs (deux, i.e. ±Ue dans le cas illustré à la gure 2.14). Sur la gure, latension aux bornes de la charge est égale à +Ue pendant te et à −Ue pendanttd. Le courant augmente donc pendant te et décroît pendant td et présente ainsiune certaine ondulation. Fort heureusement, le caractère inductif de la charge(typiquement l'induit du moteur) lisse le courant qui présente une ondulationd'amplitude limitée, ayant une forme grosso modo triangulaire. Celle-ci s'observebien sûr également sur le couple électromagnétique puisque Tem(t) = KT · ia(t).Au cas où l'ondulation est trop élevée, on peut rajouter une inductance en sé-rie avec le moteur, compensant ainsi la faiblesse de l'inductance du moteur (parexemple avec certains moteurs DC à rotor disque ou rotor sans fer).






D 1T 1

D 2T 2

D 1 'T 1 '

D 2 'T 2 '

U e

u d

c 1

c 1 '

c 2

c 2 '

Mi d < 0 [ A ]

f _ 0 2 a _ 1 2 _ 0 2 . e p s

O NO F F

O N O F F

Fig. 2.15 Selon le sens du courant (ici id < 0 [A]), la commutation des transistorsne provoque pas leur conduction mais celle des diodes de roue libre. Bien que T1et T2' soient saturés, ce sont les diodes de roue libre D1 et D2' qui vont conduirecar id < 0 [A]. La tension instantanée ud est donc ici −Ue ! (chier source)

Remarque Le tableau 2.1 page 66 fait référence à l'état des voies et non pasà celui des transistors. En eet, la connaissance seule de l'état ON/OFF de cesderniers est insusante pour calculer ud(t), le signe du courant id(t) devant êtrepris en compte (pour des raisons qui seront détaillées en annexe) pour déterminerson cheminement exact. Par exemple (gure 2.15), dans le cas de commutationI, c'est la diode de roue libre D1 et non le transistor T1 qui conduit si le courantid(t) est négatif. Les diodes de roue libre ont donc un rôle très important dans lefonctionnement même du variateur. Leur fonction ne se limite ainsi pas, commeon l'entend parfois, à la protection du transistor.

2.3.2 Caractéristique statique ([7], 2.5.4)

On recherche dans ce paragraphe la relation mathématique liant les duréesd'enclenchement/déclenchement des voies à la tension moyenne de sortie ud(t) duvariateur. Grâce à la présence de l'inductance de la charge Ld (celle de l'induitLa dans le cas où la charge est un moteur DC), tout se passe grosso modo commesi la charge voyait à ses bornes, pendant la période de pulsation

Tp = te + td (2.22)



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_02/Figures/f_02a_12_02_2.pdf



u d i / U e

0 t e / T p

- 1 . 0

0 . 5

+ 1 . 0

1 . 0

f _ 0 2 a _ 1 1 _ 0 2 . e p s

Fig. 2.16 Caractéristique statique idéale du variateur de courant continu : onpeut facilement modier udi = ud en agissant sur te (chier source).

la tension continue idéale udi = ud, que produirait par exemple un amplicateurde puissance linéaire parfait :

ud = udi =te

te + td· (+Ue) +

tdte + td

· (−Ue)

=te − tdTp

· Ue

=2 · te − Tp

Tp· Ue

(2.23)

La caractéristique statique idéale du variateur de courant continu est donc li-néaire, représentée sur la gure 2.16 en fonction du rapport cyclique te

Tp. On

remarque que lorsque le rapport cyclique est de 50%, la tension moyenne est belet bien nulle, alors qu'elle vaut respectivement −Ue et +Ue et pour des rapportscycliques de 0 et 100%.

A noter que du point de vue de la croissance du courant id(t), on obtientle même résultat en calculant la tension constante ud qu'il faudrait appliquerpendant Tp aux bornes de la charge purement inductive Ld pour obtenir la mêmevariation de courant ∆id (gure 2.17 page suivante) :

variation de courant due à l'application pendant Tp d'une tension constante






u d ( t )

t e t d

u d

0 t

+ U e

- U e

T p

i d ( t )

0 t

+ U e

- U e

D i d

D i d

f _ 0 2 a _ 1 3 . e p s

Fig. 2.17 Le courant id subit pendant Tp la même variation ∆id si l'on applique

ud(t) ou sa valeur moyenne calculée ud = (2·te−Tp)

Tp· Ue (chier source).

ud

∆id =udLd· Tp (2.24)

variation de courant due à l'application pendant te d'une tension +Ue etpendant td d'une tension −Ue, avec Tp = te + td

∆id =UeLd· te −

UeLd· td =

UeLd· (te − td) =

UeLd· (2 · te − Tp) (2.25)

les deux variations étant égales, on a :

ud · Tp = Ue · (2 · te − Tp) (2.26)

d'où :

ud =(2 · te − Tp)

Tp· Ue (2.27)






Sc 2c 2 '

c 1c 1 '

LO

GIQ

UE

DE

CO

MM

AN

DE

d

-u c m

u h

T p

g é n é r a t e u r d ed e n t d e s c i e

c o m p a r a t e u r

f _ 0 2 b _ 0 3 _ 0 1 . e p s

Fig. 2.18 Principe de réalisation d'un modulateur PWM à porteuse de type"dent de scie" (chier source).

2.3.3 Commande du variateur de courant par modulationde largeur d'impulsion (PWM) ([7], 2.6)

Pour contrôler la valeur moyenne ud = udi de la tension aux bornes du moteur,plusieurs stratégies de commutation des transistors sont possibles. En plus de lacommande directe du variateur par régulateurs à action à deux positions (voirle 2.5 page 86 consacré à la régulation de courant), la stratégie de commandeplus fréquemment rencontrée est la modulation de largeur d'impulsion (PWM :Pulse Width Modulation). Elle consiste à enclencher pendant te, respectivementdéclencher pendant td = Tp− te les branches 1 et 2 du variateur. Tp est la périodede découpage, i.e. une grandeur constante représentant l'inverse de la fréquencede découpage fp = 1

Tp. La durée te est déterminée selon la relation idéale

udUe

=udiUe

=2 · te − Tp

Tp(2.28)

an d'ajuster la tension moyenne de sortie udi à la valeur souhaitée. La relationci- dessus montre qu'il sut simplement de choisir te en fonction de udi selon unerelation linéaire dans le cas idéal (gure 2.16 page 69).

Avec cette manière de faire, les éléments de puissance ne sont mis en saturation(conduction) et blocage exactement qu'une fois par période de découpage et quede ce fait, la fréquence de commutation est contrôlée précisément, ce qui estnécessaire pour garantir la sécurité du variateur.

An de pouvoir déterminer puis imposer facilement la durée d'enclenchementte(t) en fonction de la tension idéale udi(t) souhaitée, on construit un dispositiffaisant oce de modulateur PWM ayant pour entrée un signal de commande



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_02/Figures/f_02b_03_01.pdf



ucm(t) (gure 2.18 page précédente) représentatif (à un gain Kcm près) de latension udi que l'on souhaite appliquer aux bornes de la charge. La tension decommande ucm(t) est modulée en largeur d'impulsion par comparaison avec unsignal de type dent de scie ou triangulaire, le signal uh(t) de fréquence fp .

Il en résulte le signal logique d à partir duquel les quatre signaux de commandec1, c1', c2 et c2' des transistors sont générés, après avoir inséré le temps de sécuritéanti-chevauchement ta.

Caractéristique statique du variateur de courant continu commandé enPWM

La durée d'enclenchement commandée te, i.e. celle obtenue sans prendre encompte les phénomènes liés aux temps de commutation des transistors et à lasécurité anti-chevauchement, est alors simplement donnée par (cf triangles sem-blables de la gure 2.19 page ci-contre) :

te =ucm + uh

2 · uh· Tp (2.29)

alors que la tension continue idéale udi, égale à la valeur moyenne ud(t) est :

ud = udi =2 · te − Tp

Tp· Ue =

2 · ucm+uh

2·uh· Tp − Tp

Tp· Ue

=ucmuh

· Ue(2.30)

La relation entre la tension de commande ucm, qui est un signal de basse puissance,et udi , signal amplié en puissance, est donc linéaire dans le cas idéal et l'on aen régime statique :

uducm

∣∣∣∣en régime statique

=udiucm


=Ueuh


= Kcm|en régime statique

(2.31)Kcm est donc constant et égal au rapport entre Ue et uh. Par exemple, pourUe = 311 [V] (≈ 3× 220 [Ve] redressé) et uh = 15 [V], on a Kcm = 20.73.

Caractéristique dynamique du variateur de courant continu commandéen PWM

Le comportement statique du variateur de courant commandé en modula-tion de largeur d'impulsion étant maintenant connu, on doit encore s'intéresser àson comportement dynamique, qu'il est nécessaire de modéliser dans l'optiquede l'asservissement du courant ( 2.5 page 86) produit par le variateur. Prenantl'exemple de la modulation par un signal de type dent de scie, on constate (-gure 2.20 page 74) qu'une variation du signal de commande ucm ne prend eet à




t a

t e t d

T p

t

T p T p T p

u h

u c m

t

d

t

c 1

t

c 1 '

t a t a t a t a

t a t a t at a

t

c 2

t a

t

c 2 '

t a t a t a t a

t a t a t at a

t a t a t at a

2 û h

f _ 0 2 b _ 0 2 . e p s

Fig. 2.19 Génération des 4 signaux de commande c1, c1', c2 et c2' à partir dusignal logique d, déterminé par la comparaison entre la porteuse en dent de scieet la tension de commande ucm représentative au gain Kcm près de la tension desortie du variateur (chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_02/Figures/f_02b_02.pdf



t

T p

u hu c m

t

u d i

T r T r T r T r

u d

T r

v a r i a t i o nd e u c m

e f f e ts u r u d

f _ 0 2 b _ 0 4 . e p s

Fig. 2.20 Retard entre une variation de ucm(t) et l'eet sur ud(t) (chier source).

la sortie du variateur qu'une durée située entre 0 et Tp plus tard, puisqu'il fautattendre la montée de uh pour que la commutation ait lieu, i.e. pour qu'un eetsoit observable.

Ce retard est donc variable en fonction de l'instant auquel la tension de com-mande ucm subit une variation. En se contentant d'une valeur moyenne, ce retardsera admis constant et égal à

Tr = Tcm =Tp2

(2.32)

La fonction de transfert du variateur de courant continu commandé en PWMest nalement :

Gcm(s) =Ud(s)

Ucm(s)=

Udi(s)

Ucm(s)=Ueuh· e−s·

Tp2 = Kcm · e−s·Tcm (2.33)

Dans le cas où le signal de modulation est triangulaire (gure 2.22 page suivante),on peut montrer que ce retard se monte à Tr = Tp

3([7], 2.6.3).






u c m u d i

G c m ( s )

T e n s i o n d ec o m m a n d e

T e n s i o n m o y e n n ei d é a l e

v a r i a t e u r d e c o u r a n t c o n t i n ua v e c c o m m a n d e P W M

K ec ms T c m× - ×

f _ 0 2 b _ 0 3 _ 0 2 . e p s

Fig. 2.21 Modèle du variateur de courant continu commandé en PWM(chier source).

t e 2

t d

u d ( t )

- U e

0

u d ( t )

t

0 t

T p T p

t e 1

T p

u h ( t )

+ û h

- û h

u c m ( t )

+ U e

f _ 0 2 b _ 0 3 _ 0 3 . e p s

Fig. 2.22 Retard entre une variation de ucm(t) et l'eet sur ud(t) lorsque laporteuse est triangulaire (chier source).








U e

0

u d ( t )

t

0

T pT p

u c m i ( t )

t

f _ 0 2 _ c _ 0 7 . e p sT pT p

u d i ( t ) = u d ( t )

Fig. 2.23 Un modulateur PWM dont la tension de commande ucm ne peut varierqu'aux instants d'échantillonnage se comporte exactement comme un élément demaintien (chier source).

Cas particulier : régulation numérique

Le retard moyen Tcm calculé au paragraphe 2.3.3 page 72 n'existe bien sûr quesi la tension de commande ucm est susceptible de varier pendant Tp. Ceci n'estpas le cas lorsque le dispositif ajustant ucm ne peut le faire qu'à intervalles xes,par exemple seulement au début de chaque période de découpage Tp comme ceserait le cas avec un régulateur numérique de courant (gure 2.23).

Cette observation apporte un avantage certain pour la modélisation. En eet,lorsque le signal de commande ucm est numérique, sa valeur ne peut évoluerqu'aux instants d'échantillonnages 0, 1, . . . k, . . .. Si la période d'échantillonnageh est égale à celle de découpage Tp, ucm reste ainsi constant pendant Tp et lemodulateur PWM peut être représenté par un simple bloqueur d'ordre 0, i.e. unconvertisseur D/A à élément de maintien (gure 2.24 page ci-contre).

Cette observation peut être utile si l'on souhaite obtenir la fonction de trans-fert exacte du système numérique ayant pour entrée ucm(k) et pour sortie y(k),cette dernière étant souvent le courant mesuré idm(k) (gure 2.25 page 78). Ona, dans le cas linéaire (quantication d'amplitude due au convertisseur A/D né-gligée, [26]),

H(z) =Idm(z)

Ucm(z)= (1− z−1) · Z

L−1

(Ga(s)

s

)(2.34)






u ( k )

AD

u a ( t )

k t

f _ 0 2 _ c _ 0 8 . e p s

Fig. 2.24 Elément de maintien ou bloqueur d'ordre zéro : le comportementd'un tel élément est identique à celui d'un modulateur PWM dont la tension decommande ucm est numérique (chier source).

où, selon le paragraphe 2.5.1 page 90

Ga(s) =Idm(s)

Ucm(s)= Ka ·

s

1 + s · Ra·Jm

KT ·KE+ s2 La·Jm

KT ·KE

(2.35)

Connaissant H(z), la synthèse du régulateur de couple/courant amont pourrase faire sur la base d'un modèle exact du système à régler échantillonné (pasd'approximation !)

D'autre part, la modèle obtenu est extrêmement avantageux en simulation : sil'examen du comportement des tension et courant durant la période de découpagen'est pas demandé, il n'est pas nécessaire construire un schéma de simulationcomportant un 'vrai' modulateur PWM, un simple élément de maintien, i.e. unbloqueur d'ordre 0 étant susant (gure 2.26 page suivante). Il en résulte unevitesse de simulation beaucoup plus élevée.






0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−4

150

200

250

Tension de commande brute ucm

(t) et sa version ayant traversé un élément de maintien

u cm(t)

, ucm

(k)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−4

0

100

200

300

400

Tension ud(t) de sortie fournie par le convertisseur et sa valeur moyenne

u d(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−4

0

20

40

60

80

Courant réel instantané id(t) et courant produit le modèle ’élément de maintien’

t [s], k

i d(t), i

d(k)

f_pwm_num_1.eps

Fig. 2.25 Le 'vrai' modulateur PWM et sa modélisation par élément de maintienproduisent les mêmes résultats aux instants d'échantillonnage k = 0, 1, . . . k, . . ..L'élément de maintien est donc un excellent modèle, dans le cas où un modèleéchantillonné, i.e. valable uniquement aux instants d'échantillonnage, est recher-ché (chier source).

i_d(t)

i_d(t_kh)

u_cm(t)

u_d(t)u_cm(t=kh)

s_pwm_num_02.eps

in_1out_1

modulateurPWM

(triangle)

Zero−OrderHold

1/Ra

La/Ra.s+1

1/Ra

La/Ra.s+1

Fig. 2.26 Aux instants d'échantillonnage, le courant réel et celui produit par lemodèle sont identiques. Le 'vrai' modulateur PWM et sa modélisation par élémentde maintien produisant les mêmes résultats aux instants d'échantillonnage, onpeut se contenter de ce dernier. Le gain en durée de simulation est important(chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_02/Figures/f_pwm_num_1.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_02/matlab///pwm_num.m

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_02/Figures/s_pwm_num_02.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_02/matlab///pwm_num.m


t 0 = 0T e m

t

i a = - i R

w

tt f

t f

t 0 = 0

f _ 0 2 _ b _ 2 0 . e p s

Fig. 2.27 Mouvement bang-bang, cas particulier où les accélération et décélé-ration sont identiques (en valeurs absolues), et où il n'y a pas de palier de vitesse(chier source).

2.4 Récupération d'énergie ([9])

Lorsqu'au cours d'un mouvement, le moteur doit décélérer parce qu'il est dansla phase de freinage, le sens du couple électromagnétique Tem qu'il produit et parconséquent celui du courant sont inversés par rapport à la phase d'accélérationet l'énergie mécanique peut être restituée en partie à l'alimentation sous formeélectrique. Si, immédiatement avant le freinage, le courant ia est positif, il faut,pour l'inverser, faire en sorte que la tension ua(t) devienne inférieure à la FEMem(t) (gures 2.27 et 2.28 page suivante). En faisant l'hypothèse que la chargemécanique est une inertie pure de valeur Jt, le maximum d'ecacité au freinageest atteint lorsque le couple est constant et aussi élevé que possible. Dans ce cas,la vitesse décroît donc linéairement (Jt · ω = Tem = constante) ; il en va de mêmede la FEM em(t) et, comme on va le voir, de la tension d'alimentation ua(t).

La charge étant une inertie pure et l'excitation Φf étant supposée constante(⇒ KE = KT = k·Φf = const.), une décélération constante s'obtient en imposant






S-

wu a

T e mi a

e m

K T

K E

1 / R a1 / ( s J t )

f _ 0 2 b _ 2 1 . e p s

w

t

T e m

t

e m

t

i a

t

u a

t

Fig. 2.28 Allures des couple électro-magnétique Tem(t), vitesse ω(t) et FEMem(t) dans le cas d'un mouvement bang-bang et d'une charge purement inertielle(chier source).

un courant de freinage ia = −iR constant (gure 2.27 page précédente), négatifsi l'on se trouve initialement dans le premier quadrant (couple et vitesse positifs,gures 2.29 page suivante et 2.30 page 82). Partant de la vitesse initiale ω(t−0 )et négligeant l'inductance La puisque le courant est essentiellement constant, latension ua(t) est subitement abaissée de

ua(t−0 ) = KE · ω(t−0 ) +Ra · ia(t−0 ) (2.36)

à

ua(t0) = KE · ω(t0)−Ra · iR (2.37)

puis linéairement jusqu'à l'arrêt, où elle vaut

ua(tf ) = KE · ω(tf )︸︷︷︸0 [ rads ]

−Ra · iR = −Ra · iR (2.38)

avant d'être annulée

ua(t+f ) = 0 [V] (2.39)

Auparavant, la tension ua(t) aura changé de polarité en t = tz et continué àdécroître de façon à garantir un courant de freinage constant. Entre tz et tf ,l'énergie n'est pas restituée à l'alimentation mais c'est cette dernière qui la fournitpuisqu'elle travaille dans le 3ème quadrant (ua(t) et iR sont de mêmes signes pourtz ≤ t ≤ tf , voir gure 2.29 page suivante). L'expression de la tension ua(t) pour






u d = u a

0

12

3 4

f _ 0 2 _ c _ 0 6 . e p s

i d = i aw

T e m

0

T e m

w

T e m

w

T e m

w

T e m

w

12

3 4

= c o n s o m m a t i o n

Fig. 2.29 Les quadrants de fonctionnement, des points de vue mécanique etélectrique (chier source).

t0 ≤ t ≤ tf est donc, admettant que t0 = 0 [s],

ua(t) = −KE · ω(t0)

tf· t+KE · ω(t0)−Ra · iR (2.40)

dont on peut déduire l'instant tz auquel elle s'annule :

tz = tf ·(

1− Ra · iRKE · ω(t0)

)(2.41)

Le bilan énergétique de toute la phase de freinage (durée tf − t0) s'exprimecomme la somme de l'énergie restituée à l'alimentation (durée tz − t0) et del'énergie consommée (durée tf − tz) et a pour expression (pour t0 = 0 [s])

ER =

∫ tf

0

ua(τ) · ia(τ) · dτ =

∫ tf

0

(−KE · ω(t0)

tf· τ +KE · ω(t0)−Ra · iR

)· (−iR) · dτ

=

[−1

2· KE · ω(t0)

tf· τ 2 +KE · ω(t0) · τ −Ra · iR · τ

]tf0

· (−iR)

=

(−1

2·KE · ω(t0) · tf +KE · ω(t0) · tf −Ra · iR · tf

)· (−iR)

=

(−1

2·KE · ω(t0) · iR +Ra · i2R

)· tf

(2.42)






t 0 = 0T e m

t

i a = - i R

w

t

u a

t z t f

t f

tp e l = u a i a

t z t f

c o n s o m m a t i o n

r é c u p é r a t i o n

e m

R a i R

p m e c = T e m w

t 0 = 0

t 0 = 0

f _ 0 2 _ b _ 0 5 . e p s

Fig. 2.30 Freinage d'un moteur DC (chier source).






Le temps de décélération tf est facilement calculable à partir de l'équation demouvement :

Jt ·dω

dt= Tem(t) (2.43)

Jt ·(−ω(t0)

tf

)= −KT · iR (2.44)

d'où

tf =Jt · ω(t0)

KT · iR∝ 1

iR(2.45)

En tenant compte de l'expression de tf dans celle de ER , on obtient une premièreexpression

ER = −1

2·KE · ω(t0) · iR ·

Jt · ω(t0)

KT · iR+Ra · i2R · tf

= − 1

2· Jt · ω(t0)

2︸︷︷︸Ecin(t0)

+Ra · i2R · tf︸︷︷︸EJ (tf )

(2.46)

montrant que l'énergie cinétique Ecin(t0) initiale (en t = t0 = 0 [s]) est partiel-lement récupérée, dans une proportion dépendant des pertes Joule EJ . En seréférant à l'expression de tf donnée ci-dessus, une seconde expression montrantque ER est linéaire avec le courant de freinage peut être établie :

ER = −1

2· Jt · ω(t0)

2 +Ra · i2R ·Jt · ω(t0)

KT · iR︸︷︷︸tf

= −1

2· Jt · ω(t0)

2 +Ra · Jt · ω(t0)

KT

· iR

(2.47)

Le tracé de l'énergie ER en fonction du courant de freinage ia = −iR montrequ'aucune énergie n'est restituée lorsque

ia = −iR = −1

2· KT · ω(t0)

Ra

(2.48)

ce qui correspond au cas où la tension ua(t) s'annule entf2. On observe égale-

ment que plus le courant de freinage tend vers zéro, plus l'énergie restituée àl'alimentation s'approche de l'énergie cinétique de départ :

Ecin(t0) =1

2· Jt · ω(t0)

2 (2.49)

L'énergie récupérée est stockée dans le condensateur tampon Ct, celui-ci étantchargé pendant la durée du freinage par le courant ia = −iR . De ce fait, la tension




E R

i a0

( ) 202

1tJ t w××

( )- ×

×1

20w t K

RE

a

r é c u p é r a t i o n

c o n s o m m a t i o n

f _ 0 2 _ b _ 0 6 . e p s

Fig. 2.31 Proportionnalité entre l'énergie de freinage et courant de freinageiR : plus le freinage est violent, i.e. plus on s'arrête rapidement, moins il y arécupération d'énergie (chier source).

du circuit intermédiaire Ue(t) augmente et an d'éviter qu'elle atteigne des valeursinacceptables (pouvant créer la destruction des composants de puissance), il estnécessaire de dériver le courant sur une résistance appelée résistance de freinageRb . Celle-ci de dissipe ainsi l'énergie de freinage dès le moment où la tensionUe(t) est trop élevée. Un dispositif compare une mesure de Ue(t) à une valeurmaximale de référence (Uemax

2sur la gure 2.32 page ci-contre) et commute un

transistor, provoquant la dissipation dans la résistance.Il faut remarquer que par le fait que Ue(t) varie, notamment en cas de freinage

brusque, la caractéristique statique

Kcm =uducm

=Ueuh

(2.50)

( 2.3.3 page 72) du variateur de courant continu est modiée : si Ue augmente,un même rapport cyclique provoquera l'application d'une tension moyenne plusélevée aux bornes de la charge. Ce fait n'est pas anodin du point de vue del'asservissement de courant ( 2.5 page 86 ), le régulateur de courant ayant unsystème à régler dont de gain permanent, proportionnel à Kcm peut ainsi varier.






D 1T 1

D 2T 2

D 1 'T 1 '

D 2 'T 2 '

+- S

U e / 2U e m a x / 2

U e

L O G I Q U ED E

C O M M A N D E

R é s i s t a n c ed e f r e i n a g e

R b

C t

f _ 0 2 _ b _ 0 7 . e p s

Fig. 2.32 Variateur de courant continu comprenant un dissipateur : l'énergie defreinage est dissipée dans la résistance de freinage Rb dès le moment où la tensionUe(t) du circuit intermédiaire devient trop élevée (chier source).






T e mT e m c


G w T ( s )




S-



v i t e s s e

f _ 0 2 _ b _ 1 1 _ 0 2 . e p s

Fig. 2.33 Régulation cascade de vitesse / couple : le régulateur de vitesse traitel'erreur de vitesse et forme une commande u(t) = Temc(t) représentant le coupleélectromagnétique Tem(t) qu'il est souhaitable d'appliquer à la charge mécaniquepour diminuer l'erreur de vitesse. Le couple électromagnétique Tem(t) n'étantpas aisé à mesurer, on réalise en fait un asservissement du courant d'induit ia(t)sachant que Tem(t) = KT · ia(t) (chier source).

2.5 Régulation de courant

Comme indiqué au chapitre 1, il est essentiel, dans le cadre des servo-entraînements,de pouvoir contrôler le couple. Ce dernier n'étant pas facilement mesurable (cap-teurs coûteux, encombrants, ne fonctionnant souvent qu'en régime statique), onprote du fait que pour la machine DC à excitation séparée (et aussi pour les ma-chines synchrones auto-commutées et asynchrones selon le type de commande), lecouple électromagnétique Tem(t) est directement proportionnel au courant ia(t)traversant l'induit. En conséquence, l'asservissement de couple peut être réaliséindirectement par un asservissement de courant (gure 2.33).

Plus précisément, on peut mentionner deux raisons principales à la présenced'un asservissement de couple/courant :

d'une part, les applications des entraînements réglés sont souvent très exi-geantes en termes de performances dynamiques, i.e. on a fréquemment àfaire à des systèmes devant être rapides. Dans la structure de régulationcascade de la gure 2.33, le fait de contrôler le couple avec un asservisse-ment ad hoc relativement performant permet d'imposer le comportementdynamique de GwT (s) = Idm(s)

Idc(s)∝ Tem(s)

Temc, ce qui facilite l'ajustage du régu-

lateur (amont) de position/vitesse Gc(s) ( 2.6 page 97), et autorise par-làmême des gains plus élevés (voir exercice). L'asservissement de courant per-met donc d'imposer de manière indirecte le couple électromagnétique Temet de rendre l'entraînement plus dynamique, pour autant bien sûr que lesperformances du régulateur de courant soient à la hauteur.

d'autre part, il est pour des raisons de sécurité absolument indispensablede pouvoir contrôler et le cas échéant de limiter le courant délivré par l'am-






S-

S

T r e s

wu a

-T e mi a

e m

K T

K E

1 / R a1 / ( s J t )

u a u a - e m i a

p o i n t e d ec o u r a n t !

f _ 0 2 _ c _ 0 4 . e p s

w

Fig. 2.34 Pointe de courant dans l'induit d'un moteur DC suite à l'applicationd'un saut de tension : le moteur et sa charge mécanique ayant une certaine inertie,la vitesse n'évolue pratiquement pas pendant les premiers instants suivant l'ap-plication du saut de tension, i.e. pour t Tm, Tm étant la constante de tempsmécanique. La FEM em(t) reste donc constante pendant une durée de l'ordre deTm (ici em(t) = 0 [V]) et le courant ia(t) croît très (trop) fortement (chier source).

plicateur de puissance, les sur-courants pouvant être extrêmement dom-mageables pour le moteur (gure 2.34). Le bon fonctionnement de l'as-servissement de courant étant supposé garanti, il est facile de faire cettelimitation en agissant sur la consigne de courant iac = idc (gure 2.35 pagesuivante). Le fait de commander le moteur en courant plutôt qu'en ten-sion permet d'éviter la forte pointe de courant d'amplitude approximative

ia(0+) = ua(0+)

Ra(l'inductance La étant négligée) qui se produirait aux pre-

miers instants suivant l'application d'un saut de tension.

On propose ci-après deux solutions pour l'asservissement de courant, l'unepar régulateur tout-ou-rien et l'autre par régulateur de type PI. Pour le choix dece dernier, les modèles dynamiques du moteur ( 2.2.5 page 59) et du variateur( 2.3.3 page 72) précédemment obtenus seront mis à prot. Dans les deux cas, leprincipe de fonctionnement du régulateur est le même (gure 2.36 page suivante) :le régulateur de courant, constatant une erreur de courant, élabore une commandecorrective correspondant à la tension à appliquer à la charge en vue d'annulerl'erreur.






i d mi d c

A s s e r v i s s e m e n td e c o u r a n t




S-



v i t e s s ei d c l i m

L i m i t a t i o n d el a c o n s i g n ed e c o u r a n t

f _ 0 2 _ b _ 1 8 . e p s

+ i d c m a x

- i d c m a x

Fig. 2.35 Limitation du courant idm = iam traversant l'induit par le biais de laconsigne de courant idclim = iaclim (chier source).

S R é g u l a t e u rd e c o u r a n t

s i g n a ld e

c o m m a n d e

u d = u a

i d m = i a m

-i d = i av a r i a t e u r m o t e u r

e t c h a r g e

c a p t e u r

d e c o u r a n t

i d c = i a c

f _ 0 2 _ b _ 0 9 _ 0 1 . e p s

u c m

Fig. 2.36 Schéma fonctionnel du système d'asservissement de courant d'unmoteur DC : idc = iac est la consigne de courant d'induit, id = ia le courant en[A], et idm = iam la mesure (chier source).








( )G sc mS R E G U L A T E U RD E C O U R A N T ( )G si u

( )G sm

u c m u d

i d m

-i d

v a r i a t e u r m o t e u re t c h a r g e

c a p t e u r

i d c

f _ 0 2 _ b _ 0 9 _ 0 2 . e p s


2.5.1 Régulateur linéaire de type PI analogique

L'avantage d'un régulateur linéaire réside essentiellement dans la facilité aveclaquelle on modélise ses eets sur le système asservi. De plus, les performancesqu'il ore sont en principe indépendantes du point de fonctionnement.

Comme le système à régler, ici un variateur de courant continu et sa chargeélectrique, comporte dans certains cas des non-linéarités, notamment celle dueau temps de commutation des transistors (inuence des temps de sécurité anti-chevauchement, voir annexe), il est recommandable d'utiliser un régulateur àaction intégrale, de façon à améliorer la robustesse (au sens de performance ro-buste) du système asservi. Complété par une action proportionnelle, le régulateurpeut orir de bonnes performances dynamiques et assurer ainsi une régulationde couple/courant satisfaisante. Il est bon de se rappeler que l'asservissement decourant, en sa qualité de boucle interne du système de régulation cascade de vites-se/courant (gure 2.2 page 54) se doit d'être plus dynamique que l'asservissementde vitesse.

Le schéma fonctionnel de l'asservissement de courant par régulateur PI estdonné sur la gure 2.37.

Eu égard à la forme typique du courant délivré par une alimentation fonc-tionnant en mode de commutation (gure 2.14 page 67), une action D est à peineenvisageable ; si elle doit néanmoins être mise en oeuvre, il est quasi impératifde restreindre son action à la grandeur réglée seule après ltrage. En eet, uneaction D s'appliquant sur l'erreur e = idc − idm s'applique dans le même tempssur la consigne de courant w = idc : or, celle-ci a dans le cas particulier desentraînements souvent la forme d'un saut unité, puisque la plupart des mouve-ments sont du type triangle ou trapèze de vitesse (cf gure 2.38 page suivante).En conséquence, les consignes (implicites) d'accélération et de couple ont l'allure






0 0.5 1 1.50

0.5

1

θ


0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

ω

0 0.5 1 1.5−4

−2

0

2

4

t [s]

α

f_demo_bb_1.eps

Fig. 2.38 Mouvement bang-bang sans palier de vitesse. Lorsque le mouvementest très rapide, l'essentiel du couple électromagnétique Tem(t) est destiné à accé-

lérer l'inertie Jt en charge. Cette accélération dωdt

= Tem(t)Jt

= KT ·ia(t)Jt

faisant dessauts, il en est de même de la consigne de couple Temc(t) et par suite de celle decourant idc(t) = iac(t) (chier source).

d'un signal carré dont les transitions rapides provoqueraient inévitablement, avecune action D, des saturations de la commande u(t) délivrée par le régulateur decourant.

Ajustage du régulateur PI pour la magnétisation nominale

An d'ajuster les coecients du régulateur PI, de fonction de transfert

Gc(s) =Ucm(s)

E(s)= Kp ·

1 + s · Tis · Ti

(2.51)

il faut au préalable obtenir la fonction de transfert du système à régler

Ga(s) =Idm(s)

Ucm(s)(2.52)

En admettant que le comportement du capteur de courant soit purement statique,modélisable par un simple gain de valeur Kmi, le schéma fonctionnel détaillé dusystème à régler vu par le régulateur de courant est celui de la gure 2.39 pagesuivante, dans le cas d'une excitation constante.






S-

S

1

1

R

sLR

a

a

a+ × mJs ×

1

T r e s

w

u d = u a -

i d

i a T e m

K ec ms T c m× - ×

u c m

e m

K T

K E

i d m

c o m m a n d e

g r a n d e u r r é g l é ef _ 0 2 _ b _ 1 0 . e p s

K m i


On observe que le courant id est bel et bien inuencé par des perturbations(mécaniques !) de charge (Tres) agissant sur le système. Celui-ci étant supposélinéaire, on a, en considérant que le moteur est seul (Jt = Jm) et ne subit aucun

frottement (Rft = 0[N·mrads

]) ni couple résistant (Tres = 0 [N ·m]) :

Ga(s) =Idm(s)

Ucm(s)= Kcm · e−s·Tcm ·

1Ra

1+s·LaRa

1 +1

Ra

1+s·LaRa

·KT ·KE · 1s·Jm

·Kmi

= Kcm ·Kmi ·1

Ra

· s

s · (1 + s · La

Ra) + KT ·KE

Ra·Jm

· e−s·Tcm

= Kcm ·Kmi ·Jm

KT ·KE

· s

1 + s · Ra·Jm


KT ·KE

· e−s·Tcm

(2.53)

On a nalement la fonction de transfert du système à régler :

Ga(s) =Idm(s)

Ucm(s)= Ka · e−s·Tcm · s

1 + s · Ra·Jm


KT ·KE

(2.54)

Fait remarquable, cette fonction de transfert possède un comportement dériva-teur, i.e. un gain statique nul, qui s'explique facilement : lorsque le moteur nesubit aucun couple résistant et qu'on lui applique un saut de tension aux bornes,un courant/un couple s'établissent et la vitesse du moteur augmente jusqu'à cequ'elle atteigne sa valeur idéale à vide ωoi. Cet équilibre est atteint grâce à la






contre-réaction naturelle de la FEM qui s'oppose à la tension ua de telle manièreque la vitesse soit constante. En conséquence, le couple électromagnétique ainsique le courant d'induit sont nuls (sans couple résistant, il sut d'un couple nulpour maintenir l'inertie Jm à une vitesse constante). On ne peut donc, à videen régime permanent constant, imposer un courant non-nul avec une tensionconstante.

Les pôles de Ga(s) sont complexes lorsque le déterminant de l'équation ca-ractéristique est négatif, soit pour ∆ < 0. En faisant apparaître les constantes detemps mécanique Tm et électrique Te, on a :

∆ =

(Ra · JmKT ·KE

)2

− 4 · La · JmKT ·KE

< 0

Ra · JmKT ·KE

< 4 · LaRa

Tm < 4 · Te

La constante de temps mécanique Tm est en général beaucoup plus grandeque la constante de temps électrique Te et dans la plupart des cas les pôles deGa(s) sont donc soit réels (sa1 = − 1

Ta min, sa2 = − 1

Ta max),

sa1,2 =−Tm ±

√T 2m − 4 · Tm · Te

2 · Tm · Te(2.55)

Tamax = − 1

sa1= − 2 · Tm · Te

−Tm +√T 2m − 4 · Tm · Te

(2.56)

Tamin = − 1

sa2= − 2 · Tm · Te

−Tm −√T 2m − 4 · Tm · Te

(2.57)

soit complexes mais en principe éloignés l'un de l'autre. En se restreignant au casde pôles réels :

Ga(s) =Idm(s)

Ucm(s)= Ka ·

s

1 + s · Tm + s2 · Tm · Te· e−s·Tcm (2.58)

= Ka ·s

(1 + s · Tamin) · (1 + s · Tamax)· e−s·Tcm (2.59)

≈ Ka ·s

(1 + s · Tm) · (1 + s · Te)· e−s·Tcm (2.60)

Le tracé du diagramme de Bode donne (gure 2.40 page ci-contre), pour lesvaleurs numériques suivantes :

Moteur Variateur Capteur

Tm = 21.7 [ms] Kcm = 311 [V]15 [V]

Kmi = 1[VA

]Te = 4.2 [ms] Tcm = Tp

2= 62.5 [µs] KT = KE = 0.72

[N·mA

]Jm = 0.0061 [kg ·m2]




1 10 100 1000 6742.622210000 100000−60

−40

−20

0

20

40

Diagramme de Bode Ga(jω)=I

dm(jω)/U

cm(jω)

gain

[dB

]

1 10 100 1000 6742.622210000 100000−360

−270

−225

−180

−135

−90

−45

0

45

90

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ini_cc_0_2.eps

Fig. 2.40 Réponse harmonique de Ga(s) : à noter le comportement dériva-teur, qui n'existe que si le couple résistant global Tres est nul (frottements sec etvisqueux nuls, etc) (chier source).

Pour l'ajustage du régulateur PI, on peut procéder de diérentes manières.Par la technique de la compensation pôle-zéro, la constante de temps dominante,i.e. Tamax , est éliminée de la boucle par la constante de temps Ti du régulateur :

Go(s) = Gc(s) ·Ga(s) = Kp ·1 + s · Tis · Ti

·Ka ·s

1 + s · Tm + s2 · Tm · Te· e−s·Tcm

= Kp ·1 + s · Tis · Ti

·Ka ·s

(1 + s · Tamin) · (1 + s · Tamax)

∣∣∣∣Ti=Ta max

· e−s·Tcm

= Ko ·e−s·Tcm

1 + s · Tamin

≈ Ko ·1

(1 + s · Tamin) · (1 + s · Tcm)(2.61)

où l'on a approximé la fonction de transfert du retard pur e−s·Tcm par une petite






constante de temps de valeur Tcm. Pour calculer Ko et par suite Kp, plusieursméthodes sont envisageables [25]. On peut par exemple appliquer la méthode deBode ou celle d'Evans (lieu des pôles).

On propose dans le cas particulier de ce système d'ordre 2 de calculer explici-tement la fonction de transfert en boucle fermée Gw(s), régulation de correspon-dance, et d'ajuster Ko en fonction du taux d'amortissement ζ souhaité pour lespôles dominants. On a :

Gw(s) =Idm(s)

Idc(s)=

Go(s)

1 +Go(s)=

Ko · 1(1+s·Ta min)·(1+s·Tcm)

1 +Ko · 1(1+s·Ta min)·(1+s·Tcm)

=Ko

1 +Ko

· 1

1 + s ·(Ta min+Tcm

1+Ko

)+ s2 ·

(Ta min·Tcm

1+Ko

) (2.62)

Par comparaison avec la fonction de transfert d'un système fondamental du se-cond ordre

K

1 + 2·ζωn· s+ 1

ω2n· s2

(2.63)

on voit qu'en posant :

ωn =

√1 +Ko

Tamin · Tcm

1 +Ko =Tamin + Tcm

2 · ζ· ωn =

Tamin + Tcm2 · ζ

·√

1 +Ko

Tamin · Tcm

Ko =1

4 · ζ2· (Tamin + Tcm)2

Tamin · Tcm− 1

(2.64)

on peut imposer le taux d'amortissement ζ et par conséquent la forme du régimetransitoire. On en déduit les coecients du régulateur PI :

Kp =Ko · TiKa

=

Ko︷︸︸︷(1

4 · ζ2· (Tamin + Tcm)2

Tamin · Tcm− 1

)·

1Ka︷︸︸︷

KT ·KE

Kcm ·Kmi · Jm·Ti (2.65)

Ti = Tamax (2.66)

Dans le cas de l'exemple, la réponse harmonique en boucle ouverte Go(s) estdonnée sur la gure 2.41 page suivante alors que la réponse indicielle en bouclefermée est sur la gure 2.42 page 96.

Il vaut la peine de relever la persistance d'une erreur statique malgré la pré-sence de l'intégrateur du régulateur PI. Ce phénomène peu commun s'expliquepar la nature du système à régler, lequel présente un comportement dérivateurcompensant le terme intégrateur.




1 10 100 1000 1000016376.2407 100000−40

−20

0

20

40

Diagramme de Bode Go(jω)

gain

[dB

]

1 10 100 1000 1000016376.2407 100000−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ini_cc_0_3.eps

Fig. 2.41 Réponse harmonique de Go(s), les paramètres Kp et Ti du régulateurayant été obtenus de manière algébrique (chier source).

Dépassement de la réponse indicielle

Si dans la majeure partie des applications d'automatique, une consigne enforme de saut unité n'a pas de sens d'un point de vue pratique (consigne physi-quement impossible à poursuivre, saturation de la commande, système à réglerhors de contrôle, etc), il n'en est pas de même en régulation de courant où lorsd'un déplacement à couple constant (rampe de vitesse, gure 2.38 page 90 ), laconsigne de courant prend eectivement la forme d'un saut. Il faut alors être at-tentif au problème du dépassement de la réponse indicielle. En eet, si le courantnominal du moteur est proche du courant maximal délivrable par le variateur(cas d'un déplacement à couple constant égal au couple nominal TemN), il se peutque les 15 à 20% de dépassement, considérés comme usuels, soient trop élevés.Le variateur écrêtera donc le courant, déformant ainsi cette réponse. Au besoin,on fera la synthèse du régulateur en choisissant une plus grande marge de phaseϕm, an de diminuer le dépassement.






0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10−3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

Réponse indicielle en boucle fermée, régulation de correspondance

idc

=iac

idm

=iam

f_ini_cc_0_4.eps

Fig. 2.42 Réponse indicielle de Gw(s) : il y a une erreur statique malgré le faitqu'un régulateur PI de courant ait été utilisé (chier source).






S

T r e s

w-

T e m

u ( t ) = T e m c ( t )

y





S-

we

f _ 0 2 _ b _ 1 1 _ 0 3 . e p s

Fig. 2.43 Régulation cascade de vitesse / couple : le régulateur de vitesse traitel'erreur de vitesse et forme une commande u(t) = Temc(t) représentant le coupleélectromagnétique Tem(t) qu'il est souhaitable d'appliquer à la charge mécaniquepour diminuer l'erreur de vitesse (chier source).

2.6 Régulation de vitesse

2.6.1 Structure du système de régulation de vitesse

Le schéma fonctionnel de l'asservissement de vitesse est donné sur la -gure 2.43. On voit que l'on a aaire à deux systèmes de régulation superposés,la commande formée par le premier régulateur représentant la consigne pour lesecond : il s'agit de régulation cascade [[26], chap.7, chap_07.pdf].

Le régulateur de vitesse construit la commande u(t) à appliquer au systèmeà régler an de corriger l'erreur e(t). La commande u(t) correspond en fait àla consigne de couple Temc(t) destinée au régulateur de couple. Il est logique,mais pas indispensable, d'organiser le système de régulation de cette manière : lerégulateur de vitesse, constatant une erreur de vitesse, "souhaite" que la chargesoit accélérée ou freinée selon sa stratégie de traitement de l'erreur. Pour ce faire,il faut fournir le couple Tem(t) adéquat, dont la valeur souhaitée est Temc(t).

L'un des avantages de ce genre de structure est de pouvoir ajuster indivi-duellement chacun des régulateurs, en commençant bien sûr par le régulateurde couple. De plus, il est possible de limiter facilement le couple et la vitesse enagissant sur leurs consignes respectives ( 2.5 page 86), celles-ci étant directementaccessibles.

2.6.2 Modélisation du système à régler

Le couple électromagnétique Tem(t) étant directement proportionnel au cou-rant d'induit ia(t) selon

Tem(t) = KT · ia(t) (2.67)

et ce dernier étant dans le même temps beaucoup plus facile à mesurer (parexemple avec une résistance shunt ou un capteur de courant de type LEM/Ge-






nève), on ne réalise en pratique pas directement un asservissement de couple,mais un asservissement de courant. Il faut donc convertir la consigne de coupleTemc(t) en une consigne de courant d'induit iac(t) = idc(t) à laquelle un régulateurde courant (souvent de type PI ou à action à deux positions) asservit le courantd'induit ia(t) = id(t).

En désignant par Gwi(s) la fonction de transfert en boucle fermée, régulationde correspondance, de l'asservissement de courant, telle que

Gwi(s) =courant du variateur mesuré

courant de consigne du variateur=Idm(s)

Idc(s)(2.68)

=courant d'induit mesuré

courant d'induit de consigne=Iam(s)

Iac(s)=Kmi · Ia(s)Iac(s)

(2.69)

le système à régler (gure 2.44 page ci-contre) vu par le régulateur de vitesse apour fonction de transfert, en supposant que la charge mécanique est une inertiepure de valeur totale Jt :

Ga(s) =Y (s)

Temc(s)=K ′mi

K ′T

·Gwi(s) ·1

Kmi︸︷︷︸gain du capteur de courant

·KT ·1

Jt · s·Kmω (2.70)

K ′T est ici un paramètre ayant idéalement la même valeur numérique que la

constante de couple KT nominale du moteur. Il permet de convertir la consignede couple Temc(t), dont la valeur numérique correspond au couple souhaité en[N ·m], en une consigne de courant donc la valeur numérique correspond au cou-rant souhaité en [A], ces deux grandeurs étant directement proportionnelles toutpendant que le ux d'excitation Φf est constant, i.e. en l'absence de saturationdu circuit magnétique ou de démagnétisation. Notons que l'unité physique de K ′

T

n'est pas connue, puisqu'elle dépend de la réalisation du système de régulation.Dans un grand nombre de cas, ce gain est réalisé électroniquement et son unitéphysique est probablement des

[VV

]. Seule sa valeur numérique est d'importance.

De ce fait, on doit normalement avoir :

KT

K ′T

≈ 1

[N ·mA

·?]

(2.71)

Pour construire une consigne de courant iac(t) = idc(t) utilisable, physiquementcomparable à la grandeur réglée iam(t) et de même calibration, il faut encore tenircompte de la valeur numérique nominale K ′

mi du gain du capteur de courant Kmi,puisque iam(t) = Kmi · ia(t).

Un avantage d'ordre pratique de cette manière de faire est que l'on dispose surle circuit électronique ou dans le programme implantant le régulateur de vitessed'un signal analogique ou numérique représentant la valeur de la consigne decouple Temc(t), grandeur dont la connaissance est appréciée par les spécialistesdes machines.




CAPT

EUR

CHAR

GE M

ECAN

IQUE

S1

1R s

J Rftt ft

+×

T res

w-

T emT em

c y

REGU

LATION

DE C

OUPL

E

REGU

LATIO

NDE

COUR

ANT

1/KT'

f_02_

b_12

_01.e

ps

i dc=i ac

i dm=i a

mi d=

i a1/K

miK m

i'

consi

gne

de co

urant,

représ

entan

tdes [A]

consi

gne

de co

uple,

représ

entan

tdes [Nm

]

G wi(s)

K T K mw

Fig. 2.44 Schéma fonctionnel du système à régler vu par le régulateur de vitesse(chier source).






i d c = i a c i d = i a

T e m

i d m = i a m

R E G U L A T I O N D E C O U P L E

R E G U L A T I O N D E C O U R A N T

f _ 0 2 _ b _ 1 2 _ 0 2 . e p s

G o i ( s ) 1 / K m iT e m c1 / K T ' K m i '

c o n s i g n ed e c o u r a n t ,r e p r é s e n t a n t

d e s [ A ]

K T

c o n s i g n ed e c o u p l e ,

r e p r é s e n t a n td e s [ N m ]

G w i ( s )

Fig. 2.45 Détail de la régulation de couple/courant (chier source).

La multiplication parK′

mi

K′Tn'est cependant pas indispensable. On pourrait tout

aussi bien s'en passer et dimensionner le régulateur de vitesse en conséquence (les

gains de celui-ci seraient simplementK′

T

K′mi

fois plus petits). La commande issue de

ce dernier ne représenterait alors plus une consigne de couple, mais directementla consigne de courant idc(t) = iac(t).

On a admis que la charge mécanique est une inertie pure Jt et que le cap-teur de vitesse (par exemple une dynamo-tachymétrique) a un comportementstatique de gain Kmω. Il est vrai que si la charge mécanique est plus complexe etprésente notamment un caractère résonant (voir exercice), la modélisation pré-sentée ci-après doit être adaptée à la fonction de transfert du système à réglercorrespondant.

L'étude de l'asservissement de courant ( 2.5.1 page 90) a montré que lafonction de transfert Gwi(s) pouvait être modélisée par un système d'ordre 2 dela forme :

Gwi(s) =Idm(s)

Idc(s)=Iam(s)

Iac(s)

=Koi

1 +Koi

· 1

1 + s ·(Tamin+Tcm

1+Koi

)+ s2 ·

(Tamin·Tcm

1+Koi

) =Kwi

1 + 2·ζiωni· s+ 1

ω2ni· s2

(2.72)

La fonction de transfert du système à régler vu par le régulateur de vitesse adonc pour expression :

Ga(s) =Y (s)

U(s)=K ′mi

K ′T

·Gwi(s) ·1

Kmi

·KT ·1

Jt · s·Kmω

=K ′mi

K ′T

· Kwi

1 + 2·ζiωni· s+ 1

ω2ni· s2

· 1

Kmi

·KT ·1

Jt · s·Kmω

=Ka

s· 1

1 + 2·ζiωni· s+ 1

ω2ni· s2

(2.73)






avec

Ka =KT ·K ′

mi

K ′T ·Kmi︸︷︷︸≈1

·Kwi ·1

Jt·Kmω (2.74)

2.6.3 Choix et principe d'ajustage du régulateur de vitesse

Pour le régulateur, c'est à l'évidence un comportement intégrateur qui estnécessaire, de façon à être insensible aux perturbations de couple constantes quesont par exemple le frottement sec ou la gravité. L'examen de la fonction detransfert en boucle ouverte ci-après montrera que pour des raisons de stabilité,une action de type proportionnelle est également nécessaire. De plus, l'action Paméliorera le comportement dynamique.

La fonction de transfert de la boucle de régulation de vitesse a donc pourexpression, en tenant compte des résultats obtenus précédemment :

Go(s) =Y (s)

E(s)= Gc(s) ·Ga(s) = Kp ·

1 + s · Tis · Ti

· Ka

s· 1

1 + 2·ζiωni· s+ 1

ω2ni· s2

=Ko

s2· 1 + s · Ti1 + 2·ζi

ωni· s+ 1

ω2ni· s2

(2.75)

avec

Ko =Kp

Ti· KT ·K ′

mi

K ′T ·Kmi

·Kwi ·1

Jt·Kmω (2.76)

Comme on peut le voir, Go(s) est de type α = 2, i.e. double intégrateur,et sa stabilisation doit être étudiée avec soin, tout se jouant sur la valeur de Ti.

La compensation pôle-zéro ne serait ici pas appropriée, puisqu'en un tel cas,l'avance de phase créée par le terme (1+ s ·Ti) serait utilisée pour "gommer" uneconstante de temps du dénominateur. La fonction de transfert en boucle ouvertedeviendrait :

Go(s) ≈Ko

s2· 1

1 + s · T(2.77)

Un tel système est forcément instable en boucle fermée, sa phase étant infé-rieure à −180 [] dans toute la gamme des pulsations, i.e. sa marge de phase ϕmest toujours négative (gure 2.46 page suivante). Pour des raisons de stabilité, ilfaut donc envisager une autre méthode que la simple compensation pôle-zéro.

Le double intégrateur crée un déphasage de −180 [], et les constantes detemps de la régulation de courant Gwi(s) aggravent encore le retard de phase àplus haute fréquence (arg Gwi(j · ω) = −90 [] en ω = ωni, arg Gwi(j · ω) =−180 [] pour ω → ∞). An de respecter le critère de stabilité de Nyquist etgarantir une marge de phase ϕm de l'ordre de 60 . . . 45 [], il faut que dans lagamme de pulsations où le gain de boucle devra être unitaire, la phase soit dans




w [ r a d / s ]

A [ d B ]

0 [ d B ]

w [ r a d / s ]

j [ d e g ]

0

- 1 8 0

- 9 0

( )G jo × w

( ) a r g G jo × w

i m p o s é p a r l ' a s s e r v i s s e m e n td e c o u r a n t G w i ( s )

w c o = p u l s a t i o n d e c o u p u r eà 0 [ d B ] e n b o u c l e o u v e r t e

- 2 7 0

- 4 0 [ d B ] / d é c

f _ 0 2 _ b _ 1 9 . e p s

w n iw c o

w n iw c o

Fig. 2.46 Diagramme de Bode de Go(j · ω) lorsque l'on compense un pôle deGa(s) : comme ϕm < 0∀ω, le système sera instable en boucle fermée (chier source).






w [ r a d / s ]

A [ d B ]

0 [ d B ]

w [ r a d / s ]

j [ d e g ]

0

- 9 0

iT

1.0

( )G j Kj T

j Tc pi

i

× = ×+ × ×

× ×ww

w1

( ) [ ] ( )a r g a r gG j Kj T

j Ta r c t g Tc p

i

ii× = ×

+ × ×× ×

ìíî

üýþ

= - ° + ×ww

w w1

9 0

1T i

- 4 5

a c t i o n p l u t ô t

i n t é g r a l e

a c t i o n p l u t ô t

p r o p o r t i o n n e l l e

K p [ d B ]

1T i iT

1 0

f _ 0 2 _ b _ 1 6 . e p s

Fig. 2.47 Diagramme de Bode de la réponse harmonique d'un régulateur PI :lorsque l'action P domine l'action I, i.e. pour ω 1

Ti, le déphasage tend vers 0 []

(chier source).

la zone −120 [] · · · − 135 []. Il faut donc créer une avance de phase dans cettezone. Cela ne peut se faire qu'au moyen du terme (1+s·Ti) apparaissant au numé-rateur de Go(s). Cette avance de phase se montant asymptotiquement à +90 [](gure 2.47), on voit que Ti devra être choisi de façon à ce que 1

Tiintervienne

bien avant la pulsation ωni.Gardant à l'esprit l'eet d'avance de phase du terme 1

Ti, la méthode de syn-

thèse du régulateur PI proposée consiste de plus à s'arranger pour que la bandepassante en boucle fermée soit la plus élevée possible, ou, ce qui revient au même,que la pulsation de coupure à 0 [dB] en boucle en ouverte ωco soit aussi grandeque possible, ceci an d'obtenir une durée de réglage Treg minimale, donnée ap-proximativement par :

Treg =π

ωco(2.78)

Tout repose sur l'avance de phase de 90 [] résultant, asymptotiquement à partirde la pulsation 0.1

Ti, de l'eacement progressif de l'action I de régulateur PI au

prot de son action P (gure 2.47).On s'arrange en fait pour que l'action proportionnelle et intégrale du régu-

lateur PI passe d'un comportement plutôt intégrateur (phase → −90 []) à uncomportement plutôt proportionnel (phase → 0 []) à partir d'une gamme de






fréquences dans laquelle le gain de boucle sera rendu unitaire (gure 2.48 pagesuivante). Sachant qu'une marge de phase minimum de 45 à 50 [] est de mise pourobtenir un comportement susamment stable et bien amorti en boucle fermée,on peut poser a priori que la pulsation de coupure à 0 [dB] en boucle ouverte, ωco,à laquelle par dénition on mesurera la marge de phase ϕm, devra être compriseentre

0.1Ti

où la contribution de (1 + s · Ti) à la phase est (encore) quasi nulleet

ωni

10où la contribution de Gwi(j · ω) à la phase est (encore) quasi nulle

et l'on pose même qu'elle doit être égale à la moyenne géométrique de ces deuxlimites (critère de l'optimum symétrique, [[12], 7.2]) :

ωco =

√1

Ti· ωni (2.79)

Ce faisant, la phase, initialement à −180 [] "a le temps" de remonter su-samment zone −150 [] à −90 [] avant de rechuter suite à l'intervention de lapulsation propre ωni, représentant les limites de l'asservissement de courant.

2.6.4 Synthèse du régulateur pour la magnétisation nomi-nale (Φf = ΦfN)

La méthode de synthèse esquissée au paragraphe précédent est ici directementappliquée. On étudie tout d'abord le cas où le ux d'excitation Φf est constant etégal à sa valeur nominale ΦfN (rappel : KT = KE = k ·Φf ). De façon à obtenir labande passante maximale ωB en boucle fermée (soit la durée de réglage Treg la plusfaible), il faut repousser le plus possible vers les hautes fréquences la pulsation ωcoà laquelle le gain de boucle Go(j ·ω) est unitaire. Cependant, il faut éviter de tropse rapprocher de la pulsation propre non-amortie ωni de la fonction de transfertGwi(s) de l'asservissement de courant. En eet, à cette pulsation, le déphasage del'asservissement de courant est de 90 [] (puisque ωni est la pulsation de résonancede phase de la fonction de transfert en régulation de correspondance de courant).Ce dernier, ajouté aux 180 [] provoqués par le double intégrateur, rendrait lasynthèse du régulateur impossible, à moins de mettre en oeuvre un régulateurPID, dont la sensibilité aux bruits de mesure rend l'utilisation délicate.

An de juger de l'eet de Ti, le tracé de la réponse harmonique de Go(s), pourdiérentes valeurs de Ti, est donné sur la gure 2.49 page 106. Il y apparaît quepour des raisons de stabilité, il y a intérêt à maintenir 1

Tisusamment éloigné de

la pulsation ωni, de façon à ce que la phase puisse remonter susamment et quele critère de Nyquist soit satisfait.

Dès le moment où l'action P du régulateur PI domine l'action I (le régulateurest alors essentiellement un régulateur P), le déphasage initial de −90 [] dû àl'action intégrale disparaît et la phase totale de Go(j · ω) monte, passant de




w [ r a d / s ]

A [ d B ]

0 [ d B ]

w [ r a d / s ]

j [ d e g ]

0

- 1 8 0

- 9 0

j m

11 0 0T i

n i=w

1T i

( )G jo × w

( )G jw × w

( ) a r g G jo × w

i m p o s é p a r l ' a s s e r v i s s e m e n td e c o u r a n t G w i ( s )


( )1=

×oKo jG w

K o

- 2 7 0

- 6 0 [ d B ] / d é c

- 2 0 [ d B ] / d é c

- 4 0 [ d B ] / d é c

f _ 0 2 _ b _ 1 7 . e p s

w n iw c o

w n iw c o

Fig. 2.48 Diagramme de Bode de la réponse harmonique en boucle ouverte,Ti étant ajusté de façon à ce que la phase remonte asymptotiquement de +90 [](chier source).






101 102 103 104 105−270

−225

−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

φ(ω

) [de

gré]

Phases de Go(jω) et G

c(jω) en fonction de 1/T

i

1/Ti=ω

ni/100

1/Ti=ω

ni/100

1/Ti=ω

ni/10

1/Ti=ω

ni/10

1/Ti=ω

ni

1/Ti=ω

ni

argGa

f_ini_cc_0_6.eps

Fig. 2.49 Phases de la réponse harmonique en boucle ouverte, du système àrégler et du régulateur pour diérentes valeurs de Ti (chier source).

−180 [] à une valeur pouvant approcher −90 []. Il devient alors possible, danscette zone, d'ajuster le gain de boucle Ko de façon à ce qu'il soit unitaire en unepulsation ω = ωco et ainsi pouvoir fermer la boucle dans de bonnes conditions, lamarge de phase ϕm étant selon l'ajustage comprise entre 45 et 60 [].

Usuellement, on choisit ωco d'après le critère de l'optimum symétrique ([[12],7.2]), méthode consistant à ajuster ωco comme la moyenne géométrique entre lespulsations caractéristiques 1

Tiet ωni . Ceci impose alors la valeur de Ti :

ωco =

√1

Ti· ωni ⇐⇒ Ti =

ωniωco2

(2.80)

En tenant compte de la gure 2.49 on choisit ωco ≤ ωni

10, sans quoi il y a peu

d'espoir d'amener la phase à −135 [] . . .− 120 [], ce qui donne :

1

Ti≤ ωni

100(2.81)

Ti ≥100

ωni(2.82)






10 100123.2847 1000 10000 100000−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

Diagramme de Bode Go(jω)

gain

[dB

]

10 100123.2847 1000 10000 100000−180

−135

−90

−45

0

45

90

180

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ini_cc_0_7.eps

Fig. 2.50 Diagramme de Bode de la réponse harmonique en boucle ouverte,pour Ti = 100

ωni. Avec ce choix, la phase remonte jusqu'à presque −90 [], ce qui

permet de fermer la boucle dans de bonnes conditions (chier source).

La gure 2.50 illustre la situation lorsque l'on choisit Ti = 100ωni

, le gain étantcorrigé de façon à ce que la pulsation de coupure à 0 [dB] en boucle ouverte soitégale à ωco = ωni

10, alors que la réponse indicielle correspondante en boucle fermée,

régulation de correspondance, est donnée sur la gure 2.51 page suivante.

En résumé, l'ajustage du régulateur PI de vitesse s'eectuera de telle manièreque

1

Ti=ωni100

(2.83)

et que le gain de boucle soit unitaire en

ωco =ωni10

=10

Ti(2.84)






0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

y(t)

Réponse indicielle

Treg

+/−5%=0.0081[s]

TdepT10%

T90%

Tm

=0.0013[s]

D=7.4226%

yInf

=1

f_ini_cc_0_8.eps

Fig. 2.51 Réponse indicielle en boucle fermée, pour Ti = 100ωni

(chier source).






S c 2c 2 '

c 1c 1 '

LO

GIQ

UE

DE

CO

MM

AN

DE

d

-i d c

i d m

0

i d c

i d m

0

u d

t

t

- U e

+ U e

VA

RIA

TE

UR

u d

f _ 0 2 _ b _ 0 8 _ 0 1 . e p s

Fig. 2.52 Régulateur à action à deux positions sans hystérèse : structure du ré-gulateur et allures typiques du courant (mesuré idm(t)) et de la tension appliquéeud(t) lorsque la consigne de courant idc(t) est un saut (chier source).

2.A Régulateur de courant à action à deux posi-

tions avec hystérèse

On peut envisager une commande directe du variateur par un régulateur decourant de type tout-ou-rien (régulateur à action à deux positions, gure 2.52).

Le régulateur à action à deux positions peut être vu comme un régulateur Pde gain inni avec limitation de la sortie à ±umax. De ce fait, il permet d'obte-nir un très bon comportement dynamique, le maximum de la commande étantsystématiquement appliqué dans un sens ou dans l'autre selon le seul signe del'erreur.

Un problème apparaît néanmoins lorsque l'erreur est voisine de zéro (situa-tion fréquente au vu des performances apportées par un gain inni), puisque lafréquence de commutation fp tend alors théoriquement vers l'inni. D'un pointde vue thermique, c'est inacceptable par les composants de puissance. La valeur






S

LO

GIQ

UE

DE

CO

MM

AN

DE

d

-i d c

I h

i d m

0

i d c

i d m

0

u d

t

t

- U e

+ U e

I h

c 2c 2 '

c 1c 1 '

VA

RIA

TE

UR

u d

f _ 0 2 _ b _ 0 8 _ 0 2 . e p s

Fig. 2.53 Régulateur à action à deux positions et hystérèse : structure durégulateur et allures typiques du courant (mesuré idm(t)) et de la tension ud(t)lorsque la consigne de courant idc(t) est un saut (chier source).

maximale de fp peut toutefois être contrôlée en complétant la loi de commandetout-ou-rien par un eet d'hystérèse de largeur Ih autour de zéro (gure 2.53).La conséquence négative est observable sur la précision. L'erreur statique n'estplus nulle, et l'erreur peut maintenant se situer dans la plage

[− Ih

2, + Ih

2

]sans

que le régulateur ne modie sa commande. L'erreur oscille donc autour de zéroavec une valeur crête-à-creux de Ih.

Malgré le fait que la commande produite par un tel régulateur soit plutôtprimitive (deux niveaux possibles seulement !), elle s'avère particulièrement bienadaptée dans ce cas d'application. En eet, l'alimentation par variateur de cou-rant continu fonctionnant en mode de commutation pour des raisons thermiques( 2.3.1 page 64), sa tension de sortie ud est déjà par nature de type tout-ou-rien,ne pouvant prendre que l'un des deux états +Ue ou −Ue. Un tel régulateur estde plus très facilement mis en oeuvre, le seul paramètre à ajuster étant la largeurIh de l'hystérèse.






i d ( t )

t e t d

i d ( t ) I h

D It

d

e

p e n t e :

T p

i d 1

i d 0

0 t

D i d ( t )

u d ( t )

0t

+ U e

- U e

e m ( t )

f _ 0 2 _ c _ 0 2 . e p s

Fig. 2.54 Evolution du courant en présence de FEM em(t) constante, avecrégulateur à action à deux positions et hystérèse lorsque la valeur moyenne iddudit courant est constante (chier source).

Il est possible de calculer la fréquence de commutation fp dans le cas oùla charge est un moteur DC tournant à vitesse constante et dont la résistanced'induit Ra est négligée (la fréquence de commutation fp est élevée, i.e. te et tdsont beaucoup plus petits que la constante de temps électrique Te = La

Raet donc

1Ra+j·ω·La

→ 1j·ω·La

). La valeur moyenne id du courant id étant supposée constante,on a :

id(te) = id1 = id0 +Ue − Em

Ld· te (2.85)

id(td) = id0 = id1 +−Ue − Em

Ld· td (2.86)

Or, la largeur de l'hystérèse est :

Ih = id1 − id0 (2.87)






−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5x 104

em/Ue

fp [H

z]

FREQUENCE DE COMMUTATION EN FONCTION DE EM

Fig. 2.55 Fréquence de commutation en fonction de la valeur de la FEM em(t)(Ue = 311 [V], Ld = 0.77 [mH], Ih = 10 [A]).

d'où

te = (id1 − id0) ·Ld

Ue − Em= Ih ·

LdUe − Em

td = (id0 − id1) ·Ld

−Ue − Em= Ih ·

LdUe + Em

Tp = te + td = Ih · Ld · (1

Ue − Em+

1

Ue + Em)

= 2 · Ue · Ih · Ld ·1

(Ue − Em) · (Ue + Em)

soit nalement :

fp =1

Tp=

1

te + td=

1

Ih · Ld· (Ue − Em) · (Ue + Em)

2 · Ue(2.88)

Cette fréquence de commutation dépend du point de fonctionnement, i.e. de lavitesse du moteur. On le constate dans la relation ci-dessus par la présence de Em,représentant la FEM du moteur et étant fonction de la vitesse (cf gure 2.55).

La fréquence de commutation est maximale lorsque la FEM est nulle. On aalors :

fpmax =1

Tpmin=

Ue2 · Ih · Ld

(2.89)

Ce résultat est logique : lorsqu'il n'y pas de FEM, la charge vue par le régulateurde courant est essentiellement inductive et le maintien d'un courant de valeurmoyenne constante n'est guère problématique puisque la valeur moyenne de latension ud devrait être nulle. Il n'y a donc aucune raison d'appliquer à la charge la



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u d ( t )

0t

+ U e

- U e

e m ( t )

u d ( t ) - e m ( t )

i d ( t )

t e t d

i d ( t ) I hT p f _ 0 2 _ c _ 0 3 . e p s

Fig. 2.56 La tension eectivement appliquée aux bornes de l'inductance Ld =La étant ud(t)−em(t), les taux de croissance/décroissance du courant id(t) = ia(t)sont diérents (chier source).

tension ±Ue pendant une durée prolongée au cours de laquelle aucune commuta-tion n'aurait lieu. En présence d'une FEM non-nulle et par exemple positive, i.e.lorsque l'on est à vitesse diérente de zéro, il faut plus de temps pour faire monterle courant et le faire sortir de l'hystérèse que pour le faire descendre, puisque lestensions s'appliquant aux bornes de l'inductance sont respectivement (+Ue−Em)et (−Ue − Em) (gure 2.56). Ceci justie que la fréquence de commutation soitplus faible en présence de FEM non-nulle.

On doit garantir que fpmax n'excède pas la fréquence de commutation maxi-male admissible par les composants de puissance. Dans ce but, on peut agir sur lalargeur Ih de l'hystérèse ou sur l'inductance Ld vue par l'alimentation, au besoinen rajoutant une inductance en série avec l'induit.

Un inconvénient de ce type d'asservissement est que la durée de réglage dépenddu niveau de courant souhaité ainsi que de la vitesse du moteur. La gure 2.57illustre le problème à vitesse nulle en montrant que quelle que soit l'amplitude






0

i d c 1

i d m 1

w = 0 [ r a d / s ]

R a = 0 [ W ]

i d c 2

i d m 2

T r 1

T r 2

f _ 0 2 _ c _ 0 5 . e p s

U e / R a

Fig. 2.57 La tension appliquée aux bornes de l'induit étant soit +Ue, soit −Ue,

le courant évolue toujours selon± Ue

Ra·(1−e

− tLaRa ) (la constante de temps mécanique

Tm n'étant ici pas prise en compte). Ce n'est qu'au croisement avec la consigneque l'on quitte cette trajectoire (chier source).

du saut de consigne de courant, c'est la même tension Ue qui est appliquée auxbornes de l'induit. Le courant monte donc avec le même taux de variation dia

dt= Ue

La

et atteint ainsi la consigne à des instants diérents selon l'amplitude de cettedernière, phénomène caractéristique d'un système non-linéaire.

On reproche également à cette technique d'asservissement la dissipation ther-mique parfois importante due à l'ondulation de courant.






100 101 102 103 104 105−40

−20

0

20

40

60

Diagramme de Bode Go(jω), pour Φ

fn et Φ

fn/4

gain

[dB

]

100 101 102 103 104 105−180

−135

−90

−45

0

pulsation [rad/s]

phas

e [d

egré

]

Φf=Φ

fnΦ

fn/4

f_demag_i_1.eps

Fig. 2.58 Réponse harmonique de Go(s) pour diérents niveaux de démagné-tisation : l'inuence sur la marge de phase ϕm est négligeable (chier source).

2.B Ajustage des régulateurs de courant et de vi-

tesse en démagnétisation

2.B.1 Ajustage du régulateur PI en démagnétisation

Si le moteur est exploité en mode d'aaiblissement de champ, par exempledans le but d'atteindre des vitesses élevées selon une caractéristique à puissanceconstante ( 2.2.6 page 61), ce sont les constantes de couple KT et de FEMKE qui diminuent d'un facteur équivalent au niveau de démagnétisation (KT =KE = k · Φf ). En conséquence, le gain de boucle de l'asservissement de courantest modié et il est nécessaire de vérier que la stabilité reste garantie. An dejuger de l'importance du problème, les diagrammes de Bode en boucle ouverte,avec la magnétisation nominale et avec 25% (i.e. on a démagnétisé d'un facteur4, dans le but de tourner à 4 fois la vitesse nominale) de celle-ci sont superposéssur la gure 2.58.

On observe que l'inuence sur la marge de phase ϕm est quasi-négligeable, ce



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http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_02/matlab///demag_i.m


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10−3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

Réponse indicielle en boucle fermée, régulation de correspondance, pour Φfn

et Φfn

/4

f_demag_i_2.eps

Fig. 2.59 Réponse indicielle de Gw(s) en démagnétisation Φf =ΦfN

4: les per-

formances sont quasi identiques à celles obtenues avec la magnétisation nominaleΦf = ΦfN . On prote ici des propriétés de robustesse (au sens de la stabilitérobuste cette fois) apportées par la contre-réaction (chier source).

qui permet d'utiliser en toute sécurité le régulateur précédemment dimensionné.On peut le vérier sur la réponse indicielle en boucle fermée (gure 2.59), trèssemblable à celle obtenue avec la magnétisation nominale (gure 2.42). Il n'estdonc nul besoin de réajuster les paramètres du régulateur de courant lors d'unfonctionnement en démagnétisation.

Ceci s'explique de manière relativement aisée en remarquant que les gains KT

et KE n'apparaissent pas directement, i.e. de manière multiplicative, en évidencedevant la fonction de transfert en boucle ouverte,

Go(s) = Ko ·1 + s · Ti

1 + s · Ra·Jm


KT ·KE

· e−s·Tcm (2.90)

mais sont situés dans une boucle interne au moteur. En conséquence, leur in-uence est notablement diminuée par les propriétés d'insensibilité d'une fonctionde transfert en boucle fermée par rapport aux variations des gains de la boucle.

On peut le montrer de manière chirée en calculant la variation relative d'unefonction de transfert quelconque en boucle fermée par rapport à celle de la fonc-tion de transfert du système à régler Ga(s), on voit que cette variation, appeléefonction de sensibilité S(s) [[26], chap.7, chap_07.pdf] grosso modo égale à l'in-



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verse du gain de boucle :

Gw(s) =Go(s)

1 +Go(s)=

Gc(s) ·Ga(s)

1 +Gc(s) ·Ga(s)= Gc(s) ·

Ga(s)

1 +Gc(s) ·Ga(s)

S(s) =

dGw(s)Gw(s)

dGa(s)Ga(s)

=dGw(s)

dGa(s)· Ga(s)

Gw(s)

=

dGw(s)dGa(s)︷︸︸︷

Gc(s) ·1 +Gc(s) ·Ga(s)−Gc(s) ·Ga(s)

(1 +Gc(s) ·Ga(s))2·Ga(s)

Gw(s)

=1

(1 +Gc(s) ·Ga(s))2· Go(s)

Go(s)1+Go(s)

=1

1 +Go(s)

(2.91)

Dans le cas de la régulation de vitesse étudiée au 2.6 page 97, l'eet de lavariation de KE et KT se manifestera d'une manière beaucoup plus prononcée( 2.B.2).

2.B.2 Ajustage du régulateur de vitesse en mode d'aai-blissement de champ (démagnétisation, Φf < ΦfN)

Contrairement au cas le la régulation de courant ( 2.B.1 page 115), l'inuencede la démagnétisation de la machine DC a un eet très net sur la fonction detransfert de boucle du l'asservissement de vitesse, la constante de couple KT

intervenant directement comme facteur de Go(s) :

Go(s) =Y (s)

E(s)= Gc(s) ·Ga(s)

= Kp ·1 + s · Tis · Ti

·KT ·K′

mi

K′T ·Kmi

·Kwi · 1Jt·Kmω

s· 1

1 + 2·ζiωni· s+ 1

ω2ni· s2

(2.92)

Se rappelant queKT = KE = k·Φf (t), on voit qu'en démagnétisant la machine(gure 2.60 page suivante), la constanteKT diminue, son eet sur le gain de boucleétant direct. Les diagrammes de Bode de la gure 2.61 page 119 montrent laréponse harmonique en boucle ouverte dans plusieurs de cas de démagnétisation,avec le régulateur précédemment dimensionné pour la magnétisation nominale.On observe selon les cas une diminution de la marge de phase ϕm, mais aussi etsurtout une baisse de la pulsation de coupure à 0 [dB] en boucle ouverte, ce quise manifestera sur la rapidité en boucle fermée.




S

Tre

s

w

i dc=

i ac

-T

emT

emc

i dm=

i am

y

KT

i f

S-

w=w

c

RE

GU

LA

TE

UR

DE

VIT

ES

SE

AV

EC

CO

MM

AN

DE

DE

DE

MA

GN

ET

ISA

TIO

NS

YS

TE

ME

A R

EG

LE

R

1/K

T'

PI

Gw

i(s)

1/K

mi

Km

w

1/(s

J t)

i d=

i a

f_02

_b_2

2.ep

s

Km

i'

0i f

KT

wc

i f

Fig. 2.60 Régulateur de vitesse incluant une commande de démagnétisationtelle que Φf ∝ 1

ω, selon la gure 2.10 page 63 (chier source).






101 102 103 104 105−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

Diagramme de Bode Go(jω) pour Φ

f = Φ

fN..Φ

fN/8

gain

[dB

]

101 102 103 104 105−270

−225

−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ini_cc_0_9.eps

Fig. 2.61 Diagrammes de Bode en boucle ouverte pour diérents niveaux dedémagnétisation (chier source).

Les réponses indicielles en boucle fermée montrent que le degré de stabilitépeut devenir plus faible et que le dépassement peut être considérable (gure 2.62page suivante). Une première solution consiste à faire un compromis et à ajusterle régulateur avec un gain plus élevé pour compenser la diminution de KT pourle cas le plus défavorable (forte démagnétisation). Ceci peut avoir pour désavan-tage de diminuer le degré de stabilité pour la magnétisation nominale, le gainde boucle étant dans ce cas trop élevé d'un facteur KT . La gure 2.63 page 121met clairement en évidence une diminution du degré de stabilité pour la magné-tisation nominale, où l'on voit par ailleurs que le système devient plus rapideen boucle fermée. Les performances, dont la stabilité, sont alors dépendantesdu point de fonctionnement (i.e. la vitesse) ce qui peut être inacceptable pourcertaines applications.

Une variante intéressante, implantable presque exclusivement si la régulationde vitesse est numérique, consiste à adapter en cours de fonctionnement le gain deboucle en selon le niveau de la magnétisation. C'est la technique dite de prévisionde gain ("gain scheduling"), laquelle peut être avantageusement mise en oeuvreici en modiant le paramètre K ′

T de manière adéquate, i.e. de sorte que l'on aittoujours :

1

K ′T (Φf (t))

·KT (Φf (t)) ≈ 1 (2.93)

Grâce à cette compensation, la fonction de transfert de boucle est donc invaria-






0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Φf = Φ

fN

Φf = Φ

fN/2

Φf = Φ

fN/4

Φf = Φ

fN/8

t [s]

γ(t)

Réponses indicielles en boucle fermée pour Φf = Φ

fN..Φ

fN/8

f_ini_cc_0_10.eps

Fig. 2.62 Réponses indicielles en boucle fermée pour diérents niveaux dedémagnétisation (chier source).

blement égale à

Ga(s) =Y (s)

Temc(s)=KT ·K ′

mi

K ′T ·Kmi︸︷︷︸≈1

·Gwi(s) ·1

Jt · s·Kmω (2.94)

Avec cette manière de faire, les réponses harmoniques, de même que les ré-ponses indicielles sont confondues, et leurs tracés sont identiques à ceux des -gures 2.50 page 107 et 2.51 page 108 respectivement.

Lorsque l'on adapte K ′T au niveau de magnétisation, il faut souvent prendre

en compte le fait que le circuit magnétique est partiellement saturé. La constantede couple KT dépend donc du courant if nécessaire à la magnétisation de lamachine selon une caractéristique non-linéaire relativement simple esquissée surla gure 2.64 page ci-contre.

Le système de régulation de vitesse devrait donc en tenir compte et en ajustantla constante K ′

T de manière non-linéaire, en fonction de la valeur du courantd'excitation if . Le schéma fonctionnel du système complet est alors celui de lagure 2.65 page 122, en tenant compte des non-linéarités et de la correctionévoquées.






0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

0.5

1

1.5

t [s]

γ(t)

Réponses indicielles en boucle fermée (magnétisation nominale et démagnétisation 1/8) avec régulateur ajusté pour ΦfN

/8

Φf=Φ

fN

Φf=Φ

fN/8

f_ini_cc_0_11.eps

Fig. 2.63 Réponses indicielles en boucle fermée lorsque le régulateur PI devitesse est ajusté lorsque Φf =

ΦfN

8. L'installation devient alors inutilisable si

l'on travaille avec la magnétisation nominale (chier source).

0

K T = K E = k F f

i f

f _ 0 2 _ b _ 1 4 . e p s

Fig. 2.64 Caractéristique non-linéaire liant le courant d'excitation if au uxd'excitation Φf et par suite aux constantes de couple et de FEM KT et KE

(chier source).








S

Tre

s

w

i dc=

i ac

-T

emT

emc

i dm=

i am

y

0i f

KT

KT

0i f

i f

S -

RE

GU

LA

TE

UR

DE

VIT

ES

SE

AV

EC

CO

MM

AN

DE

DE

DE

MA

GN

ET

ISA

TIO

N E

TC

OM

PE

NS

AT

ION

DE

LA

NO

N-L

INE

AR

ITE

PA

R A

CT

ION

SU

RL

A C

ON

SIG

NE

DE

CO

UR

AN

T

SY

ST

EM

E A

RE

GL

ER

1/K

T'

1/K

T'

PI

Gw

i(s)

1/K

mi K

mw

1/(s

J t)

i d=

i a

f_02

_b_1

5.ep

s

Km

i'w

=wc

wc

i f

Fig. 2.65 Compensation des non-linéarités dues à la saturation du circuit ma-gnétique (chier source).






t0

d

t dt e

T p

t0

c i

t0

c i '

t a t a

t 0f _ 0 2 _ a _ 1 9 . e p s

Fig. 2.66 (chier source).

2.C Inuence du temps de commutation des tran-

sistors ([[7]. 2.5.5-6], [[6], 13.6.5 et 8.5])

Lorsqu'à l'instant t = t0 le signal logique d de durée te est activé pour enclen-cher la voie haute et déclencher la voie basse de la branche i du variateur, lessignaux de commandes individuels ci et ci' des deux voies sont formés (gure 2.66).Pour exclure tout court-circuit, la voie basse est tout d'abord déclenchée et cen'est qu'après un certain temps de sécurité ta que l'ordre d'enclenchement de lavoie haute ci survient.

Le blocage eectif du transistor Ti' n'intervient qu'après un temps tde variableavec le niveau du courant à couper. La conduction du transistor Ti ne peut s'éta-blir quant à elle qu'après un temps d'enclenchement ten. D'après ce qui précède,il existe lors de la commutation une phase de durée à déterminer pendant laquelleaucun des transistors ne conduit. Le courant traverse donc une des diodes de rouelibre et c'est celle-ci qui impose un potentiel dépendant du sens du courant.

2.C.1 Enclenchement et déclenchement lorsque id > 0 [A]

Si le courant id sort de la branche 1 au moment t0 de l'ordre d'enclenchementd, c'est quoi qu'il en soit la diode de roue libre D1' de la voie basse qui conduisaità la n de la période précédente (puisque le transistor T1 de la voie haute étaitbloqué) (gure 2.67 page suivante). La diode D1' continue donc provisoirementà conduire le courant et à imposer le potentiel v1 = 0 [V]. Le déclenchement du






a v a n t e n c l e n c h e m e n t se f f e c t i f s d e T 1 e t T 2 '

t < t 0 + t a + t e n

i d

D 1T 1

D 1 'T 1 '

D 2T 2

D 2 'T 2 '

T 1

M

+ U e

V 1 V 2

f _ 0 2 _ a _ 1 8 _ 1 . e p s

a p r è s e n c l e n c h e m e n t se f f e c t i f s d e T 1 e t T 2 't 0 + t a + t e n < t < t 0 + T p + t d e

i d

D 1T 1

D 1 'T 1 '

D 2T 2

D 2 'T 2 '

T 1

M

+ U e

0 [ V ]

V 1 V 2

f _ 0 2 _ a _ 1 8 _ 3 . e p s


transistor T1' n'a donc ici aucune inuence. Il faut attendre la conduction de T1pour que le potentiel passe à +Ue. Depuis l'activation du signal d, il s'est alorsécoulé la durée (ta+ ten) pendant laquelle le potentiel v1 de la branche 1 est restéà 0 [V].

Durant cette même phase d'enclenchement, le courant id qui rentre dans labranche 2 est conduit par la diode de roue libre D2 comme durant la périodeprécédente. Le déclenchement du transistor T2 n'a donc aucune inuence et ilfaut attendre la conduction de T2' pour que le potentiel v2 passe à 0 [V] . Depuisl'activation du signal d, il s'est alors écoulé la durée (ta + ten) pendant laquelle lepotentiel v2 de la branche 2 est resté à Ue [V].

Le bilan à l'activation du signal dmontre donc que la tension ud = v1−v2 entreles deux branches n'est pas passée instantanément à +Ue comme le commandaitle signal d, mais s'est maintenue à Ue pendant (ta+ ten) ce qui est synonyme d'unretard et surtout d'une diminution de (ta+ten) la durée eective d'enclenchement.

La désactivation du signal d provoque le déclenchement du transistor T1 aprèsla durée tde ce qui force la conduction de la diode D1'. C'est celle-ci qui va dèslors conduire le courant tout pendant qu'il sort de la branche. Le potentiel v1 nepasse à 0 [V] qu'après le déclenchement du transistor T1, soit après tde. Dans cecas, on note que l'enclenchement de T1' est inutile, la diode D1' imposant elleseule le bon potentiel.

Durant cette même phase de désactivation du signal d, le courant id rentredans la branche 2, et le déclenchement eectif du transistor T2' après la durée tdeprovoque la conduction de la diode D2. C'est celle-ci qui va conduire le couranttout pendant qu'il rentre dans la branche. Le potentiel v2 ne passe à +Ue qu'aprèsle déclenchement du transistor T2', soit après tde. En fait, l'enclenchement dutransistor T2 est ici inutile, puisque c'est la diode D2 qui conduit.



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t0

d

t dt e

T p

t0

c 1

t0

v 1

t0

c 1 '

t a t a

t0

c 2

t0

v 2

t0

c 2 '

t a t a

i d > 0

t0

u d = v 1 - v 2

p e r d u : ( t a + t e n ) / T p g a g n é : t d e / T p

t e n

t e n

t a + t e n

t d e

t d e

t d e

t 0 f _ 0 2 _ a _ 1 6 . e p s







a v a n t d é c l e n c h e m e n t se f f e c t i f s d e T 1 ' e t T 2

t < t 0 + t d e

i d

D 1T 1

D 1 'T 1 '

D 2T 2

D 2 'T 2 '

T 1

M

+ U e

0 [ V ]

V 1 V 2

f _ 0 2 _ a _ 1 8 _ 3 . e p s

a p r è s d é c l e n c h e m e n t se f f e c t i f s d e T 1 ' e t T 2t 0 + t d e < t < t 0 + T p + t a + t e n

i d

D 1T 1

D 1 'T 1 '

D 2T 2

D 2 'T 2 '

T 1

M

+ U e

0 [ V ]

V 1 V 2

f _ 0 2 _ a _ 1 8 _ 4 . e p s


La désactivation du signal d ne provoque donc pas un passage instantané de latension ud à la valeur commandée de Ue. ud reste à la valeur +Ue pendant tde, cequi correspond à une augmentation de tde de la durée eective d'enclenchement.

2.C.2 Enclenchement et déclenchement lorsque id < 0 [A]

Le raisonnement précédent peut être répété quasi tel quel lorsque le courantid est négatif : les gures 2.69 et 2.70 condensent les résultats que l'on obtient.

2.C.3 Durée d'enclenchement eective et tension moyennecorrespondante

Lorsque que le courant dans la charge est positif (id > 0 [A]), il sort de labranche 1 et rentre par la branche 2. Dans ce cas, le temps d'enclenchementeectif ton est selon le 2.C.1 :

ton = te − (ta + ten) + tde

La tension moyenne correspondante est alors :

ud =2 · ton − Tp

Tp· Ue =

2 · te − 2 · (ta + ten) + 2 · tde−Tp︷︸︸︷

−te − tdTp

· Ue

=2 · ton − Tp

Tp· Ue︸︷︷︸

udi

− 2 · ta + ten − tdeTp

· Ue︸︷︷︸décalage négatif







t0

d

t dt e

T p

t0

c 1

t0

v 1

t0

c 1 '

t a t a

t0

c 2

t0

v 2

t0

c 2 '

t a t a

t0

u d = v 1 - v 2

p e r d u : t d e / T p g a g n é : ( t a + t e n ) / T p

t e n

t e n

t a + t e n

t d e

t d e

t d e

i d < 0

t 0 f _ 0 2 _ a _ 1 7 . e p s







0 t e / T p0 . 5

u d / U e

- 1 . 0

1 . 0

+ 1 . 0

i d < 0

i d > 0

u d i / U e

( )2 ×

+ -t t t i

Ta e n d e d

p

f _ 0 2 _ b _ 1 . e p s


On voit qu'elle est en retrait de la tension idéale udi.Lorsque que le courant dans la charge est négatif (id < 0 [A]), il rentre par la

branche 1 et sort par la branche 2. Dans ce cas, le temps d'enclenchement eectifest selon le 2.C.2 :

ton = te − tde + (ta + ten)

La tension moyenne ud correspondante est :

ud =2 · ton − Tp

Tp· Ue =

2 · te − 2 · tde + 2 · (ta + ten)− te − tdTp

· Ue

=2 · te − Tp

Tp· Ue︸︷︷︸

udi

+ 2 · ta + ten − tdeTp

· Ue︸︷︷︸décalage positif

On voit qu'elle est supérieure à la tension idéale udi.En résumé, la caractéristique statique du variateur liant le rapport cyclique

commandé teTp

et la tension moyenne de sortie udi est donc dépendante du sens

du courant id selon les relations :ud = udi − 2 · ta+ten−tde

Tp· Ue (id > 0 [A])

ud = udi + 2 · ta+ten−tde

Tp· Ue (id < 0 [A])

Cette caractéristique est représentée graphiquement sur la gure 2.71.






0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

te/Tp

ton/

Tp

CARACTERISTIQUE STATIQUE

id>0

id<0

idealtde=2/4/6[mus]

tde=6/4/2[mus]

Fig. 2.72

On peut encore tracer la caractéristique rapport cyclique eectif (équivalentà tension moyenne eective

ud =2 · ton − Tp

Tp· Ue)

en fonction du rapport cyclique idéal. Il faut toutefois prendre en compte le faitque la durée de déclenchement tde d'un transistor varie approximativement li-néairement avec le niveau du courant à bloquer, ce qui implique que l'on a passeulement deux courbes caractéristique mais plutôt un ensemble. La caractéris-tique cherchée est alors représentée sur la gure 2.72, pour les valeurs numériquessuivantes :

ta = 10 [µs] ten = 1 [µs] Tp = 100 [µs] tde = 2 . . . 6 [µs]

La non-linéarité de cette caractéristique peut poser quelques dicultés lors-qu'il s'agit d'inclure le variateur dans la boucle d'asservissement de courant.



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_02/Figures/f_02_13.pdf





Chapitre 3

Entraînement avec machine

synchrone auto-commutée

3.1 Introduction et buts du chapitre

Dans le domaine des servo-entraînements, pour une gamme de puissance al-lant de quelques centaines de watts à quelques dizaines de kilowatts, le moteursynchrone auto-commuté est de plus en plus utilisé en remplacement du moteurDC à collecteur et, selon les prévisions son marché va continuer à s'étendre consi-dérablement d'ici à l'an 2004. Comme servo-entraînement, le moteur synchroneest à excitation constante par aimants permanents en terres rares, comme leSamarium-Cobalt (disponible dès 1970) ou le Néodyme-Fer-Bore (dès 1980), voireen ferrite pour des moteurs moins performants mais plus économiques.

Incontestablement, il s'agit d'un entraînement hautes performances qui béné-cie d'un avantage déterminant par rapport au moteur DC : l'absence de collecteur,puisqu'hormis les roulements, il n'y aucun contact mécanique entre la partie xe(le stator) et la partie mobile (le rotor).

L'objectif de ce chapitre est de donner un aperçu des techniques de pilo-tage de la machine synchrone auto-commutée en vue de son utilisation dans ledomaine des entraînements à vitesse variable. La structure est calquée sur le cha-pitre consacré à la machine DC à collecteur : après une première mise au pointimportante concernant le fonctionnement et les diérences entre les machinesDC brushless ("moteur à courant continu sans collecteur", 3.3.2 page 137) etAC brushless ("machine synchrone auto-commutée", 3.4 page 149), le modèlemathématique de cette dernière sera établi ( 3.5 page 153). L'alimentation parconvertisseur de fréquence sera ensuite étudiée et un modèle dynamique devraen être obtenu avant de pouvoir aborder la commande en couple/courant de lamachine ( 3.6 page 169). Une première réalisation consistera à mettre en oeuvreun régulateur de courant par phase (commande scalaire) et les limites de cettecommande seront mises en évidence ( 3.7 page 186). Finalement, une stratégie




T e mT e m c





S-



v i t e s s e

M o d è l e s d el ' a l i m e n t a t i o ne t d u m o t e u r

M o d è l e s d um o t e u r e t d e

l a c h a r g em é c a n i q u e

f _ 0 3 a _ 0 1 _ 1 . e p s

Fig. 3.1 Schéma de principe de l'asservissement en vitesse et couple d'un servo-entraînement électrique (chier source).

de pilotage plus évoluée appelée commande vectorielle sera présentée, ce quinécessitera l'acquisition d'un certain bagage théorique sur les phaseurs complexes( 3.8 page 208). L'ajustage du régulateur de vitesse ou de position pourra alorsse faire de la même manière que pour la machine DC, raison pour laquelle cepoint n'est pas traité dans le présent chapitre.

La gure 3.1 montre la structure générale de l'asservissement de vitesse, detype cascade. Elle est strictement identique à celle de la machine DC à collecteur.Le détail de l'asservissement de couple/courant apparaît à la gure 3.2 pagesuivante.

Comme pour les autres chapitres de ce cours d'entraînements réglés, les ré-férences bibliographiques sont volontairement détaillées et renvoient à la listed'ouvrages et d'articles donnée à la n du polycopié.

3.2 Principe de fonctionnement de la machine syn-

chrone

3.2.1 Généralités

Le fonctionnement de la machine synchrone à aimants permanents est beau-coup plus simple à comprendre que celui du moteur DC : le stator, muni d'unenroulement polyphasé, triphasé dans la plupart des cas, est alimenté par un

système de tensions et courants créant dans l'entrefer un champ d'induction−→Bri

tournant (gure 3.3 page 134).

Le champ−→Bri a tendance à attirer le rotor, lequel est muni d'aimants per-

manents produisant le champ−→Ba. De ce fait, les champs d'induction créés par le

stator et rotor ont tendance à s'aligner, raison pour laquelle un couple d'origineélectromagnétique prend naissance.




http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures///f_03a.dsf


u sc

Log

ique

de

com

man

de Cap

teur

s de

cour

ant

Rég

ulat

eur

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oupl

e/co

uran

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tori

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S -

Com

man

des

(con

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nsio

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arge

méc

aniq

ue

i s

Ten

sion

sap

pliq

uées

au m

oteu

r

Cou

rant

sal

imen

tant

le m

oteu

r

Con

sign

esde

cou

rant

s

Cou

rant

sm

esur

ési sm

i scK

TT

em

Cou

ple

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tro-

mag

néti

que

Mod

èle

del'a

lim

enta

tion

Mod

èles

du

mot

eur

et d

ela

cha

rge

méc

aniq

ue

f_03

a_01

_2.e

ps

Fig. 3.2 Détail de l'asservissement de couple/courant : le régulateur élaboreune commande u(t) prenant la forme de la tension qu'il juge bon d'appliqueraux bornes des phases du moteur an d'annuler l'erreur en courant mesurée(chier source).






1

1 '

2

3

2'3'

NS

NS

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

a xe m

a gn é t i

q u e

d u r ot o r

B a

B r i

NS

w

f _ 0 3 a _ 0 2 . e p s

Fig. 3.3 Illustration du principe de fonctionnement d'une machine synchroneà aimants permanents (chier source).






La gure 3.3 page précédente représente schématiquement une machine syn-chrone à aimants permanents en exécution triphasée, possédant une seule pairede pôles (p = 1). Les fabricants de tels entraînements les développent en généralavec 2 à 4 paires de pôles, l'un des critères de design étant la vitesse nominaledu moteur. Bien entendu, les bobinages des phases sont en réalité répartis surtoute la périphérie de l'alésage et ne sont donc pas concentrés en une seule en-coche comme la gure pourrait le laisser croire. Les sens des courants indiquésdénissent le sens qui sera conventionnellement pris comme positif.

Comparativement à la machine DC, on voit que c'est le rotor qui joue le rôled'inducteur (excitation), l'induit étant alors au stator. Le rotor se met à tournerà une vitesse angulaire ω correspondant (au nombre p de paires de pôles près) à lapulsation ωs de l'alimentation triphasée, ce qui justie la désignation de moteursynchrone. Dans le cas triphasé, les axes magnétiques des trois enroulementsdes phases statoriques sont décalés d'un angle électrique 2·π

3. Lorsque le moteur

est à une seule paire de pôles (p = 1), les décalages électrique et mécaniquecorrespondent.

3.2.2 Démarrage

Le démarrage de la machine synchrone est problématique si l'on ne disposepas d'une alimentation à fréquence variable. En eet, si par exemple la fréquencede l'alimentation fs = ωs

2·π fait un saut brusque de 0 à 50 [Hz], comme par exemplelors d'un enclenchement (exemple à ne pas suivre !) sur le réseau, le moteur neparvient pas à démarrer et décroche, son inertie et celle de sa charge l'empêchantd'atteindre assez rapidement la vitesse de synchronisme. Il est donc nécessairede prévoir des dispositifs particuliers pour le démarrage, le plus répandu dansle domaine des servo-entraînements étant le convertisseur de fréquence ouonduleur triphasé, alimentation semblable au variateur de courant continu maispermettant de créer un système de tensions et courants triphasés d'amplitudesUs, Is et de fréquence fs variables ( 3.6 page 169).

3.2.3 Les aimants permanents ([10], chap.16 et chap.4, 4.2,[11], Synchronous Motor Design, [1], 3.3.1)

Matériaux

Notons tout d'abord que c'est bel et bien le champ d'induction−→Ba créé par

les aimants du rotor qui est de loin le plus élevé, alors qu'il est en fait souhaitableque celui résultant de l'alimentation des enroulements statoriques soit faible (pro-blème de la réaction d'induit). En fait, c'est plutôt le rotor qui attire le stator.Ce dernier, xé au bâti ne peut bien sûr pas se mettre en mouvement et c'est lerotor, monté sur paliers, qui se met à tourner.




Les matériaux principaux pour les aimants permanents sont obtenus par frit-tage (métallurgie des poudres). On a notamment :

la ferrite, dont le champ rémanent Br est de 0.25 à 0.4 [T ]. Ce matériau estéconomique mais son usinage est dicile ;

le Samarium Cobalt (SmCo), pour lequel Br vaut de 0.9 à 1.15 [T ] et lechamp coercitif peut atteindre des valeurs Hc = 7000

[Acm

]. Il s'agit d'un

matériau stable thermiquement mais relativement coûteux ; le Neodyme Fer Bore (NeFeB), avec Br = 0.8 . . . 1.25 [T ], légèrement pluséconomique que le SmCo. Il est cependant sensible à la corrosion et relati-vement peu stable en fonction de la température.

Disposition des aimants

Selon la manière dont les aimants sont magnétisés, on distingue plusieurscongurations. On ne cite ici que les magnétisations radiale et parallèle, pourlesquelles les aimants sont disposés à la périphérie du rotor et créent un champd'induction Ba constant dans l'entrefer. Le problème est alors la tenue à hautevitesse de leur xation, faite par collage, raison pour laquelle le rotor est chemisé.

Magnétisation radiale Magnétisation parallèle

1

1 '

2

3

2'3' NS

NS

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

axe

mag

néti

que

du r

otor

f _ 0 3 a _ 0 4 . e p s

1

1 '

2

3

2'3' NS

NS

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

axe

mag

néti

que

du r

otor

f _ 0 3 a _ 0 5 . e p s

On trouve d'autres types de magnétisations, comme les magnétisations tangen-tielle et radiale-tangentielle.






3.3 Mise au point sur la terminologie : moteurs

DC brushless et AC brushless ([10], 1.1, [1],

13.6.2)

3.3.1 Introduction

Il existe dans la pratique une grande confusion concernant la terminologie,les appellations diérant notablement selon le continent ou le pays, mais aussiet surtout selon l'interlocuteur ! D'une manière générale, les machines synchronessans balais, mises en oeuvre comme servo-entraînements, sont qualiées d'auto-synchrones, car leur alimentation électronique est commutée automatiquement(mais pas naturellement) en fonction de la position du champ d'induction créépar l'aimant. On distingue deux familles de moteurs auto-synchrones :

les moteurs à courant continu sans collecteur ou "DC brushless" ; les moteurs synchrones auto-commutés ou "AC brushless".

Le but de ce paragraphe est de présenter les diérences qualitatives entre lesdeux types d'entraînements. Tous les aspects du moteur à courant continu sanscollecteur, de son fonctionnement jusqu'à sa commande, sont abordés de ma-nière descriptive. Une étude détaillée de la machine synchrone auto-commutée(AC-brushless) constitue l'essentiel de ce chapitre et débute au paragraphe 3.5page 153.

3.3.2 Moteur à courant continu sans collecteur ([9], chap.5)

Généralités

Le moteur à courant continu sans collecteur, ou "DC brushless", que l'onappelle aussi parfois ECM ("Electronically Commutated Motor"), est la copiequasi conforme du moteur DC à collecteur, à la diérence près que la fonction decommutation, réalisée mécaniquement par le collecteur dans le cas de la machineDC, est eectuée électroniquement, sans qu'aucun contact mécanique entre statoret rotor ne soit nécessaire.

Les courants sont continus (en régime permanent constant, i.e. lorsque lecouple produit est constant) et dirigés vers l'une ou l'autre des phases selon laposition angulaire du ux d'excitation Φa créé par l'aimant. Ce dernier est détectépar un capteur de position très simple, constitué de trois sondes de Hall disposéesdans l'alésage du stator et espacées de 60 ou 120 []. Si la commutation fonctionneà satisfaction, un couple rigoureusement constant peut alors être produit avecl'avantage que la commande de la machine reste très simple et peu onéreuse.




- p/ 6 < q<

+ p/6

+ p / 6 < q < + p / 2+ p / 2 < q < + 5 p / 6

+5p

/6<

q <+

7p/ 6

+7p/6<q<+p +p<q<11p/6

NSNS

q(t)ax

e ph

ase

1

axe phase 2

a x e p h a s e 3

3

2'

1

3'

2

1 '

ua -+

ia

a x e i n d u c t e u r

F

ia l

Bf

-F

ia -l

Bf

f_03a_13.eps

Fig. 3.4 Vue simpliée d'un moteur DC à collecteur. L'angle θ(t) repère l'axemagnétique de la phase 1 par rapport à l'axe magnétique de l'enroulement induc-teur. Pour que la machine produise du couple, il faut que les conducteurs situésde part et d'autre de l'axe interpolaire soient alimentés (chier source).






Bref retour à la machine DC à collecteur : le rôle du collecteur dansla commutation

An de comprendre le fonctionnement du moteur à courant continu sans col-lecteur, il vaut la peine de revenir sur celui du moteur DC à collecteur, en consi-dérant le cas d'une machine à trois enroulements, i.e. trois phases, dont les axesmagnétiques sont décalés de 120 [] (gure 3.4 page ci-contre). Par ailleurs, les en-roulements sont connectés en étoile et ont de ce fait une borne commune, laquelleest ottante (gure 3.6 page 141). Les lamelles du collecteur forment chacune unarc de 120 [] (pour p = 1). L'excitation de la machine est constante et réaliséepar deux aimants logés dans l'alésage statorique.

Pour la gure 3.4 page ci-contre, on part du principe que les courants ia1, ia2et ia3 des trois phases sont comptés positivement lorsqu'ils sortent du conducteur1, 2 ou 3 et rentrent dans le conducteur 1', 2' et 3' respectivement.

"Sortir" signie "sortir du plan de la feuille" :

"Rentrer" signie "rentrer dans plan de la feuille" :

En fonction de la position angulaire θ du rotor, i.e. de l'induit, mesurée parrapport à l'axe magnétique du stator, i.e. de l'inducteur, les courants dans lestrois phases 1, 2 et 3 produisant un couple positif sont donnés sur la gure 3.5page suivante.

On voit qu'avec le type de commutation choisi, seules deux des trois phasesconduisent en même temps le courant fourni par l'alimentation et produisent ducouple. Le couple résultant Tem est formé de la somme des trois contributionsTem1, Tem2 et Tem3 et l'on observe qu'il est constant, tout au moins dans le casidéal présenté.

La commutation des phases est réalisée ici automatiquement par un organemécanique solidaire du rotor, le collecteur. Le contact électrique est maintenupar les balais, dont l'inconvénient n'est plus à démontrer. Tout l'art du collecteurconsiste donc à alimenter les bonnes phases (ici deux sur trois) au bon moment, en

fonction de la position du rotor par rapport au champ d'induction−→Ba (constant

en amplitude, direction et sens) produit par l'excitation. Chacune des phasesconduit pendant 120 []. Grâce au collecteur, deux des trois conducteurs situéspar exemple du même côté de l'axe interpolaire du stator (i.e. l'axe horizontalpassant par le centre de rotation) sont toujours parcourus par un même courant etle couple produit agit donc dans le même sens. Au fur et à mesure de la rotation,le collecteur commute successivement les bonnes phases, assurant ainsi un coupleconstant et unidirectionnel. De ce point de vue, le moteur DC est indéniablementune machine quasi-idéale !






q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

T e m 1

T e m 2

T e m 3

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

T e m = S T e m i

i a 2

i a 1

i a 3

f _ 0 3 a _ 0 6 . e p s

+ p / 6 < q < + p / 2 + p / 2 < q < + 5 p / 6 + 5 p / 6 < q < + 7 p / 6 + 7 p / 6 < q < + 3 p / 2 + 3 p / 2 < q < + 1 1 p / 6 - p / 6 < q < + p / 6- p / 6 < q < + p / 6

Fig. 3.5 Allures des courants dans les trois enroulements de l'induit et descouples correspondants, en fonction de l'angle θ(t), i.e. l'angle entre les axesmagnétiques de l'inducteur et de l'enroulement 1 (chier source).






Zph1

Z p h 2

Zph3

f _ 0 3 a _ 1 2 . e p s

u 1 0

u 2 0

u 3 0

u 1

u 2

u 3

Fig. 3.6 Système triphasé à neutre ottant (chier source).

3.3.3 Structure du moteur à courant continu sans collec-teur

De façon à pallier aux inconvénients de la commutation mécanique, il faut dansla mesure du possible supprimer le collecteur et essayer de reproduire électroni-quement la fonction qu'il réalise. Dans ce but, la commutation va être eectuéede manière électronique et les adaptations de principe suivantes sont eectuées(gure 3.7 page suivante) :

l'excitation, réalisée jusqu'ici au niveau du stator par l'aimant, voire unenroulement, est maintenant créée par le rotor, i.e. la partie tournante dela machine (on considère ici le cas le plus fréquent d'un moteur à rotor inté-rieur), que l'on munit d'aimants permanents. Le rotor joue donc maintenantle rôle d'inducteur sans qu'il soit toutefois nécessaire de lui transmettre del'énergie par le biais d'un contact mécanique ;

les trois enroulements du rotor, toujours couplés en étoile, sont logés dansles encoches du stator, lequel fait désormais oce d'induit ;

le collecteur est supprimé ; trois sondes à eet Hall S1, S2 et S3 sont utilisées pour détecter le champ

d'induction−→Ba produit par l'aimant (en fait, seule la polarité de

−→Ba est

d'importance) et pour ainsi mesurer grossièrement la position du rotor. Ellessont solidaires du stator, logées directement dans celui-ci ou sur une piècexée au stator. Comme indiqué précédemment, elles sont espacées de 60 [](gure page précédente), voire 120 []. C'est sur la base de l'informationqu'elles délivrent que les phases seront commutées ;






S2

S3

S1

1 1'

2 '

3'

2

3

N S

N Saxe magnétique

du rotor

axe

phas

e 1

axe phase 2

a x e p h a s e 3

q(t)

-F (réa

ctio

nsu

r ro

tor)

i s1 l

Ba

i s1 -

l

Ba

F

(sur

enr

oule

men

t)

-F

(sur

enr

oule

men

t)

F (réa

ctio

nsu

r ro

tor)

f_03

a_08

.eps

Fig. 3.7 Structure du moteur à courant continu sans collecteur : les enroule-ments des trois phases sont logés dans le stator (induit), et la position de l'aimant(inducteur) est détectée par les trois sondes de Hall S1, S2 et S3 (chier source).






S 1

S3

S 2

f _ 0 3 a _ 1 0 _ 2 . e p s

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

S 1

S 2

S 3

f _ 0 3 a _ 1 0 _ 1 . e p s

l'alimentation par variateur de courant continu, i.e. pont en H, est rempla-cée par une électronique de commutation semblable, avec cependant unebranche de plus (gures 3.8 page suivante et 3.9 page 145). La tension Uedu circuit intermédiaire est donc également continue. On a alors aaire à unonduleur triphasé, dispositif qui permettra de créer un système de courantset de tensions triphasés de fréquence variable. Les potentiels appliqués auxbornes de chaque phase sont donc commutables à volonté entre +Ue et −Ue,voire 0 [V]. Notons que c'est pour les mêmes raisons que celles évoquées lorsde la présentation du variateur de courant continu que l'alimentation choi-sie fonctionne en mode de commutation, ce dernier permettant de limiterles pertes thermiques dans l'étage de puissance.

Sous la forme de six transitions par tour, les signaux S1, S2 et S3 issus dessondes de Hall fournissent l'information minimale sur la position de l'aimant,laquelle est nécessaire à la commutation au temps opportun (lire "à la positionopportune") des trois phases (gure 3.10 page 146).

Détectant ainsi la polarité du champ d'excitation−→Ba , deux des trois phases

sont successivement enclenchées, une logique de traitement des signaux S1, S2 etS3 fournissant les commandes individuelles des trois branches de l'onduleur.

Bien qu'il existe plusieurs stratégies possibles, la séquence d'enclenchementdes phases est toujours telle que seules deux d'entre-elles conduisent simultané-ment, mises en série par une commande ad hoc des voies l'étage de puissance.Elles se voient donc parcourues par le même courant, lequel rentre par une phaseet sort par l'autre. La troisième phase est laissée en l'air et le courant la traver-sant est ainsi nul. Sur la gure 3.10, chacune des phases conduit pendant 120 []électriques. Il est également possible de porter cet angle à 180 [].






D 1T 1

D 2T 2

D 1 'T 1 '

D 2 'T 2 '

D 3T 3

D 3 'T 3 '

U e

f _ 0 3 a _ 1 1 . e p s

u 3 0

u 2 0

u 1 0

Fig. 3.8 Alimentation triphasée, constituée de trois demi-ponts (chier source).

3.3.4 Contrôle du couple

Les valeurs moyennes des courants dans les trois phases, et par conséquentcelle du couple, sont modiées en hâchant la tension du circuit intermédiaire detension continue Ue, l'action s'eectuant sur la branche correspondante. Par cemoyen, on peut imposer aux bornes de chaque phase la tension moyenne néces-saire à l'établissement ou au maintien du courant souhaité, celui demandé parexemple par un régulateur de courant. De façon identique à ce qui a été vu avecle variateur de courant continu (chap.2), le rapport cyclique te

Tpdu signal logique

d (voir gure 3.9 page ci-contre) est représentatif de la tension moyenne à appli-quer aux bornes de chaque phase. Sa combinaison avec ceux des sondes de Hallpermet de générer les signaux de commande c1, c1', c2, c2', c3 et c3' des six voiesde l'étage de puissance.

3.3.5 Distributions magnétiques du bobinage statorique etde l'aimant permanent

Les axes magnétiques des trois phases sont décalés de 120 []. Chaque demi-enroulement est réparti uniformément sur approximativement 180 [] à la péri-phérie intérieure de l'alésage statorique.






Z p h 1

Zph

2

Zph3

D1

T1

D2

T2

D1'

T1'

D2'

T2'

c1 c1'

c2 c2'

logiquede

commande

D3

T3

D3'

T3'

c3 c3'

d

S1

S3

S2

S3

S1

S2

c1 c1'

c2 c2'

logiquede

commandec3 c3

'

f_03

d_01

.eps

Fig. 3.9 Alimentation triphasée, logique de commande, enroulements(chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_03d_01.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures///f_03d.dsf


q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

T e m 2

T e m 3

T e m 1

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

T e m = S T e m i

i a 1

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

q0 p / 3 2 p / 3 p 4 p / 3 5 p / 3 2 p

S 1

S 2

S 3

i a 3

i a 2

f _ 0 3 a _ 0 9 . e p s

e m 1

Fig. 3.10 Commutation des trois phases en fonction des informations donnéespar les sondes de Hall (chier source).






Phase 1 Phase 2 Phase 3

1 '

1

2

3

2'3'

NS

NS

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

a xe m

a gn é t i

q u e

d u r ot o r

f _ 0 3 b _ 0 1 . e p s

1 '

1

2

3

2'3'

NS

NS

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

a xe m

a gn é t i

q u e

d u r ot o r

f _ 0 3 b _ 0 3 . e p s

1 '

1

2

3'

2'3

NS

NS

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

a xe m

a gn é t i

q u e

d u r ot o r

f _ 0 3 b _ 0 3 . e p s

La distribution spatiale du bobinage statorique est donc de type rectangulaire,quoiqu'en réalité plutôt trapézoïdal.

La distribution du champ d'induction−→Ba produit par l'aimant se doit dans

le cas idéal d'être rectangulaire ou trapézoïdale, de façon à assurer une FEM(tension induite de mouvement) de même forme que celle produite par un moteurDC à collecteur et éviter des ondulations de couple. Ceci peut théoriquements'eectuer en disposant les aimants de manière particulière ou en les magnétisantdirectement avec la distribution requise. En pratique toutefois, la forme de laFEM générée a plutôt l'allure d'une sinusoïde (gure 3.10 page précédente).

3.3.6 Conclusion sur la machine DC brushless

Comme on peut s'y attendre, les équations décrivant ce type de moteur sonttrès simples, identiques à celles de la machine DC. De ce fait, la commandede ce genre de moteur est relativement simple, sans posséder l'inconvénient ducollecteur.

Bien que ce type d'entraînement soit théoriquement très performant notam-ment en terme de couple volumique, des problèmes liés à la commutation précisedes phases (tous les 120 []) peuvent intervenir et rendent dicile le maintiendu couple à une valeur rigoureusement constante ([1], 13.6.5-13.6.8). En eet,une commutation idéale impliquerait un temps d'établissement, respectivementd'extinction, inniment court du courant (cf problème de la coupure d'un cou-rant continu !). Au vu de la nature inductive des bobinages et par le fait que laconnaissance exacte de la voie qui conduit lors de la commutation est dicile,il se peut que pendant cette phase critique, les trois bobinages statoriques soitalimentés simultanément, ce qui se traduit par des variations du couple produit.

A partir de puissances de l'ordre de 400 [W], on préfère le moteur AC bru-shless au DC brushless. La suite de ce chapitre est justement consacrée aux en-traînements de type "AC brushless". Néanmoins, ces derniers nécessitant pourleur commutation un capteur de position angulaire de résolution élevée, le surcoûtcorrespondant peut s'avérer prohibitif pour les entraînements de petite puissance,ce qui rend la solution "DC brushless" plus attractive.







Fig. 3.11 Moteur DC brushless de la rme Maxon.

Fig. 3.12 Moteur DC brushless de la rme Minimotor.



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/DC.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/brushless_dc_servomotor.pdf


1

1 '2'3'

2 3

NS

NS

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

a xe m

a gn é t i

q u e

d u r ot o r

q

f _ 0 3 c _ 0 1 . e p s

Fig. 3.13 Répartition sinusoïdale des enroulements d'une machine AC brushless(chier source).

Les gures 3.11 page ci-contre et 3.12 page précédente représentent des mo-teurs DC brushless des rmes Maxon et Minimotor.

3.4 Moteur synchrone auto-commuté ([9], chap.5,

[10], chap.6)

On donne ici un aperçu de la machine synchrone auto-commutée dans lebut de la comparer avec le moteur à courant continu sans collecteur présentéau paragraphe précédent. Comme déjà indiqué, son étude détaillée constitueral'essentiel de la n du chapitre.

Pour unmoteur synchrone auto-commuté, ou "AC-brushless", les distributionsdes champs d'inductions produits par l'induit et l'inducteur sont (idéalement)sinusoïdales, ce que l'on peut faire en réalisant un bobinage statorique réparti eten distribuant ou magnétisant les aimants sur le rotor de façon à ce que le champ

d'excitation−→Ba soit pratiquement sinusoïdal (gure 3.13).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_03c_01.pdf



Enroulement 1 Enroulement 2 Enroulement 3

1

1 '

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

f _ 0 3 c _ 0 5 . e p s

2'

2

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

f _ 0 3 c _ 0 6 . e p s

3'

3

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3 f _ 0 3 c _ 0 7 . e p s

De plus, la commande doit être telle que la répartition des courants statoriquessoit sinusoïdale, ce qui implique qu'en tout temps les courants de phases aientpour expressions

is1(t) = Is(t) · cos (θs(t)) (3.1)

is2(t) = Is(t) · cos

(θs(t)−

2 · π3

)(3.2)


(θs(t)−

4 · π3

)(3.3)

où l'amplitude instantanée Is(t) est variable dans le temps tout autant que lapulsation électrique statorique instantanée ωs(t) et par suite l'angle électriqueθs(t). Ces grandeurs sont donc imposables par la commande. Conjugués avec unerépartition sinusoïdale des enroulements, ces courants provoquent la création d'unchamp d'induction tournant à la pulsation instantanée ωs(t) (cf annexe). On apour l'angle électrique θs(t) :

θs(t) = θs0 +

∫ t

0

ωs(τ) · dτ (3.4)

Le fait que la répartition des courants statoriques soit sinusoïdale n'impliquepas forcément qu'ils aient une allure sinusoïdale, sauf lorsque ωs(t) est constant.Les seuls liens entre eux sont en fait que les trois courants :

ont la même pulsation instantanée ωs(t) ; ont la même valeur de crête instantanée Is(t) ; sont déphasés entre eux d'un angle (électrique) de 2·π

3;

ont pour somme 0 [A] en tout temps, is1(t)+is2(t)+is3(t) = 0 [A], les phasesétant connectées en étoile et le neutre étant ottant.

Comparativement au moteur à courant continu sans collecteur ("DC brush-less"), on relève notamment que les trois phases sont normalement alimentéesen tout temps, aucune n'étant laissée en l'air pendant une durée prolongée, i.e."éteinte" plus ou moins fréquemment.







La gure 3.14 page suivante montre l'allure des trois courants de phase enfonction de l'angle électrique θs(t) et de la valeur de crête Is(t). On a égalementreprésenté la pulsation électrique instantanée ωs(t). On voit que toutes les formesde courants sont possibles, même des formes carrées, obtenues lorsque θs(t) estconstante (moteur en principe à l'arrêt) et que Is(t) fait des sauts (correspondantcomme on le verra au 3.5.3 à des sauts de couple), comme représenté à la n dudiagramme.



HEIG-V

dEntraînementsréglés(MET2)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−1

0

1

Répartition sinusoïdale des courants

(per

uni

t)ω

s(t) Î

s(t)θ

s(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−2

0

2

i s1(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−2

0

2

i s2(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−2

0

2

i s3(t)

t [s]

f_03_60_1.eps

Fig. 3.14 Allures des courants statoriques en fonction du couple, de la vitesse et de la position angulaire : ces courantsne sont pas forcément sinusoïdaux, seule leur répartition est sinusoïdale (chier source).

Chapitre3,v.1.5

152MEE\cours_

er.te

x\12novembre

2006


http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_03_60_1.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/matlab///f_03_60.m


3.5 Modélisation mathématique de la machine syn-

chrone auto-commutée ("AC brushless")

3.5.1 Introduction

On entreprend ici l'étude détaillée de la machine synchrone auto-commutéeen exécution triphasée, partant de son modèle mathématique pour aboutir audispositif d'asservissement de courant/couple puis vitesse/position, en passantpar la commande de l'étage de puissance. Pour l'essentiel, ce paragraphe a pourobjectif l'étude de l'asservissement en couple et en vitesse de la machine syn-chrone auto-commutée. Le modèle mathématique nécessaire au choix du systèmed'asservissement est tout d'abord établi. L'essentiel de ce modèle est constitué

des équations de tension des trois phases statoriques (3.5.2) ; de l'équation donnant le couple électromagnétique produit par la machine(3.5.3).

Les paramètres intervenant dans ces équations, tels que les inductances, le champd'induction produit par les aimants du rotor ou les constantes de couple et deFEM dépendent de la construction de la machine (dimensions, matériau, enrou-lements) et sont calculés en second lieu (voir annexes) dans le but d'être complet.Un rappel du principe de génération d'un champ tournant est également faiten annexe. Pour la modélisation mathématique de la machine synchrone auto-commutée, i.e. "AC brushless", on se contente d'un cas simplié où notamment :

la machine est triphasée ; la saturation du fer n'intervient pas, ce qui implique que les inductances nedépendront pas des courants (modèle linéaire) ;

la perméabilité du fer est supposée innie (µFe →∞) ; la distribution du champ d'induction créé par l'aimant est purement sinu-soïdale ;

la distribution des enroulements statoriques est également sinusoïdale ; les trois phases de la machine sont connectées en étoile ; les trois phases sont symétriques, i.e. leurs résistances et inductances sontidentiques ;

le point neutre est ottant, i.e. non relié à la masse.

On néglige donc notamment les harmoniques générées par les enroulements (dontla distribution spatiale n'est en réalité pas parfaitement sinusoïdale) et les ai-mants. De plus, conformément à la majorité des moteurs synchrones auto-commutés,i.e. des servo-entraînements AC-brushless, on suppose que la machine est à pôleslisses (entrefer constant) et non à pôles saillants.




3.5.2 Equations de tension

Equations de la tension induite ([1], 1.3.10)

On considère le schéma du système triphasé de la gure 3.15 page ci-contre.Les enroulements des trois phases étant xes, la rotation de l'aimant (inducteur)

plonge les enroulements dans un champ d'induction ~Bf = ~Ba variable et pro-voque de ce fait l'apparition d'une tension induite de mouvement (FEM) emi(t)aux bornes de chaque phase, à laquelle se superposent les tensions induites detransformation par les inductances des phases ([2], 1.6.7). On a, en nommantuii(t) la tension induite totale dans la ieme phase :

us1(t)− ui1(t) = Rs · is1(t) (3.5)

us2(t)− ui2(t) = Rs · is2(t) (3.6)

us3(t)− ui3(1) = Rs · is3(t) (3.7)

La tension induite uii(t) dans la phase i est donnée par la variation du ux totalisécorrespondant Ψsi :

ui1(t) =dΨs1

dt(3.8)

ui2(t) =dΨs2

dt(3.9)

ui3(1) =dΨs3

dt(3.10)

Les équations de la tension induite sont alors, sous leur forme usuelle :

us1(t) = Rs · is1(t) +dΨs1

dt(3.11)


dt(3.12)


dt(3.13)

Expression des ux totalisés

Les ux totalisés ont pour expressions, en admettant que les lignes de uxcréées par l'aimant, i.e. l'axe magnétique de l'aimant rotorique, forment un angleθ(t) avec l'axe de la phase 1 :




a x e m a g n é t i q u e

d u r o t o r

N

S

a x e m a g n é t i q u ep h a s e 1

axe

mag

nétiq

ue

phas

e 2

axe magnétique

phase 3

Z1 is1

Z 2

i s 2

Z3

i s 3

q

f _ 0 3 c _ 1 2 . e p s

p q

B a

Fig. 3.15 Vue schématique des 3 phases statoriques et de l'aimant rotorique,pour une paire de pôles. Pour p paires de pôles, il faut substituer p · θ(t) à θ(t)(chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures///f_03c.dsf


Ψs1(t) =

ux propre︷︸︸︷L11 · is1(t) +

ux créé par les autres phases︷︸︸︷L12 · is2(t) + L13 · is3(t) +

ux créé par l'aimant︷︸︸︷Ψa · cos (p · θ(t))

(3.14)

Ψs2(t) = L22 · is2(t) + L21 · is1(t) + L23 · is3(t) +Ψa · cos

(p · θ(t)− 2 · π

3

)(3.15)

Ψs3(t) = L33 · is3(t) + L31 · is1(t) + L32 · is2(t) +Ψa · cos

(p · θ(t)− 4 · π

3

)(3.16)

Les inductances propres Lii et mutuelles Lij ainsi que le ux de crête Ψa créé parl'aimant dépendent des paramètres constructifs de la machine et sont calculés enannexe. Le moteur étant à entrefer constant (pôles lisses) et le circuit magnétiqueétant isotrope, on peut écrire :

L11 = L22 = L33 (3.17)

L12 = L21 = L13 = L31 = L23 = L32 (3.18)

En en tenant compte dans les relations donnant les ux totalisés :

Ψs1(t) = L11 · is1(t)+L12 · is2(t)+ L12 · is3(t)+Ψa · cos (p · θ(t)) (3.19)

Ψs2(t) = L11 · is2(t)+L12 · is1(t)+ L12 · is3(t)+Ψa · cos

(p · θ(t)− 2 · π

3

)(3.20)

Ψs3(t) = L11 · is3(t)+L12 · is1(t)+ L12 · is2(t)+Ψa · cos

(p · θ(t)− 4 · π

3

)(3.21)

Le point neutre étant ottant (non relié à la masse), la somme des trois courantsest nulle en tout temps

is1(t) + is2(t) + is3(t) = 0 [A] (3.22)

et les équations précédentes deviennent :

Ψs1(t) = L11 · is1(t) + L12 · (is2(t) + is3(t))︸︷︷︸−is1(t)

+Ψa · cos (p · θ(t)) (3.23)


+Ψa · cos

(p · θ(t)− 2 · π

3

)(3.24)


+Ψa · cos

(p · θ(t)− 4 · π

3

)(3.25)




Ψs1(t) = (L11 − L12) · is1(t) + Ψa · cos (p · θ(t)) (3.26)

Ψs2(t) = (L11 − L12) · is2(t) + Ψa · cos

(p · θ(t)− 2 · π

3

)(3.27)

Ψs3(t) = (L11 − L12) · is3(t) + Ψa · cos

(p · θ(t)− 4 · π

3

)(3.28)

En posant Ls = L11 − L12 , l'expression nale des ux totalisés est :

Ψs1(t) = Ls · is1(t) + Ψa · cos (p · θ(t)) (3.29)

Ψs2(t) = Ls · is2(t) + Ψa · cos

(p · θ(t)− 2 · π

3

)(3.30)

Ψs3(t) = Ls · is3(t) + Ψa · cos

(p · θ(t)− 4 · π

3

)(3.31)

Expressions des tensions induites de transformation et de mouvement

Compte tenu des expressions des ux totalisés, les tensions induites s'écrivent :

ui1(t) =dΨs1

dt=

tension induite de transformation︷︸︸︷Ls ·

dis1dt

tension induite de mouvement em1(t)︷︸︸︷−Ψa · sin (p · θ(t)) · p · dθ

dt(3.32)

ui2(t) =dΨs2

dt= Ls ·

dis2dt︸︷︷︸

tension induite de transformation

−Ψa · sin(p · θ(t)− 2 · π

3

)· p · dθ

dt︸︷︷︸em2(t)

(3.33)

ui3(t) =dΨs3

dt= Ls ·

dis3dt︸︷︷︸


−Ψa · sin(p · θ(t)− 4 · π

3

)· p · dθ

dt︸︷︷︸em3(t)

(3.34)

Les premiers termes correspondent à la tension induite de transformation (i.e.due à la variation seule de isi(t)), les seconds représentant la tension induite demouvement emi(t), consécutive à la rotation de l'aimant qui modie le couplagemagnétique entre rotor et stator.

Force électromotrice (FEM) ([10], 6.2.5)

La rotation des aimants du rotor provoque l'apparition d'une tension induitede mouvement em(t) aux bornes de chaque phase. En tenant compte du fait que




sin(p · θ(t)) = − cos(p · θ(t) + π

2

), la tension induite de mouvement est donnée

pour la phase 1 par :

em1(t) =dΨ1a

dt=

d

dt

(Ψa · cos (p · θ(t))

)= −Ψa · sin (p · θ(t)) · p · dθ

dt

= Ψa · p · ω(t)︸︷︷︸Em

· cos(p · θ(t) +

π

2

)= Em · cos

(p · θ(t) +

π

2

)(3.35)

alors que pour les deux autres phases, on a :

em2(t) = Em · cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)(3.36)

em3(t) = Em · cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)(3.37)

La tension induite de mouvement, qui joue le même rôle que FEM em(t) de lamachine DC à collecteur, est donc sinusoïdale grâce au fait que les distributionsdu champ des aimants ainsi que des enroulements sont sinusoïdales. Ceci im-plique des dispositions particulières au niveau de la construction du moteur. Lagure 3.16 page suivante montre les mesures de FEM eectuées sur un moteurd'entraînement de disque dur. Notons que si la distribution des enroulements pou-vaient être parfaitement sinusoïdale, les exigences sur la forme de la distributiondu ux créé par l'aimant pourraient être allégées, un tel enroulement ltrant trèsecacement toutes les harmoniques spatiales avec une caractéristique de type"notch" ([10], 6.1.2 et 6.2.4).

En plus du fait que la phase de la tension induite est déterminée par la posi-tion angulaire de l'aimant, i.e. du rotor, il est très important de remarquer quela valeur de crête de la tension induite de mouvement emi(t) est directementproportionnelle à la vitesse angulaire instantanée du rotor ω(t) = dθ

dt:

Em = Ψa · p · ω(t) (3.38)

En admettant que les enroulements soient connectés en étoile, la tension induitede mouvement de ligne, i.e. la FEM de ligne, est donnée pour sa valeur de crêtepar (correction par le facteur

√3) :

Eml =√

3·Em =√

3 · Ψa · p︸︷︷︸KE

·ω =√

3 · Ns · Φa · π4

· p︸︷︷︸KE

·ω =√

3 · Ns · Ba · l · r · π4

· p︸︷︷︸KE

·ω

(3.39)




0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

t [s]

e mi(t)

[V]

FEM sinusoïdale, moteur AC brushless

f_fem_1.eps

Fig. 3.16 Mesures de FEM eectuées sur un moteur d'entraînement de disquedur. Le moteur a simplement été lancé à la main, toutes les phases étant enl'air, leurs tensions étant visualisées et enregistrées au moyen d'un oscilloscope(chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/matlab///fem.m


Eml = KE · ω (3.40)

La constante de proportionnalité entre la valeur de crête de la FEM de ligne etla vitesse angulaire du rotor est désignée par :

KE =√

3 · Ns · Ba · l · r · π2

· p (3.41)

et l'on a :

Eml(t) = KE · ω(t) (3.42)

Forme nale des équations de tension

Les équations de tension sont nalement

us1(t) = Rs · is1(t) + Ls ·dis1dt

+KE√

3· cos

(p · θ(t) +

π

2

)· dθdt

= Rs · is1(t) + Ls ·dis1dt

+ em1(t) (3.43)


+KE√

3· cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)· dθdt


+ em2(t) (3.44)


+KE√

3· cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)· dθdt


+ em3(t) (3.45)

et s'écrivent sous forme matricielle :us1us2us3

= Rs ·

is1is2is3

+

Ls 0 00 Ls 00 0 Ls

· ddt

is1is2is3

+KE√

3·

cos(p · θ(t) + π

2

)cos(p · θ(t) + π

2− 2·π

3

)cos(p · θ(t) + π

2− 4·π

3

)· dθdt

(3.46)où intervient notamment la constante KE ("constante de FEM").

Ces équations peuvent être représentées sous forme graphique. Le schémafonctionnel correspondant à la phase 1 est donné sur la gure 3.17 page ci-contre.

Le déphasage entre la FEM et le courant revêt une importance capitale commeon le verra lors du calcul du couple électromagnétique ( 3.5.3 page 162). On aici, par exemple pour la phase 1 :

is1(t) = Is(t) · cos (θs(t)) (3.47)

em1(t) =KE√

3· cos

(p · θ(t) +

π

2

)· dθdt

(3.48)




S

-

w

u s 1

e m 1 = K E / 3 w c o s ( p q + p / 2 )

i s 1 = Î s c o s ( q s )1 + s L s / R s

1 / R s

f _ 0 3 c _ 1 9 . e p s

c o s ( p q )q

s1

K E

3

Fig. 3.17 Schéma fonctionnel de la phase 1 d'une machine synchrone auto-commutée "sinus". On remarque la contre réaction non-linéaire opérée par laFEM em1(t) (chier source).

Le déphasage entre le courant is1(t) et la FEM em1(t) se monte à un angle ψ telque

ψ = argis1(t)−argem1(t) = θs(t)−(p · θ(t) + 90 []) = θs(t)−p·θ(t)−90 [] = δT−90 [](3.49)

autrement dit, ce déphasage est directement dépendant de la phase instantanéeθs(t) des courants statoriques (que l'on peut imposer facilement par la commande)et la position angulaire θ(t) du rotor (que l'on mesure).

Schéma équivalent électrique d'une phase statorique

Sur la base des équations de tension, le schéma équivalent électrique d'unephase statorique fait apparaître, tout comme dans le cas de la machine DC, unesource de tension variable usi(t), une résistance Rs, une inductance Ls et unecontre-tension emi(t) qui n'est autre que la FEM. Ls est l'inductance synchrone ;elle dépend de L11 et L21 dont le calcul détaillé est fait en annexe. On obtient :

Ls = L11 − L21 =π

4· µ0 ·N2

s · l · rδ

− (−π8· µ0 ·N2

s · l · rδ

) =3 · π

4· µ0 ·N2

s · l · rδ

=3

2· L11 = −3 · L21

(3.50)





u s i ( t ) e m i ( t )

L s

w ( t )

i s i ( t ) R s

f _ 0 3 c _ 1 3 _ 3 . e p s

Fig. 3.18 Schéma équivalent électrique d'une phase d'une machine synchroneauto-commutée "sinus" (chier source).

Pour les FEM emi(t) des trois phases, on a vu qu'elles avaient pour expressions :

em1(t) =KE√

3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2

)= Em · cos

(p · θ(t) +

π

2

)(3.51)

em2(t) =KE√

3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)= Em · cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)(3.52)

em3(t) =KE√

3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)= Em · cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)(3.53)

où la constante KE, i.e. la constante de FEM, dépend des paramètres constructifsde la machine.

3.5.3 Couple électromagnétique

Expression du couple

Le couple électromagnétique Tem(t) [N ·m] est lié à la puissance électro-magnétiquepem(t) par

pem(t) = Tem(t) · ω(t) (3.54)

où ω(t) est la vitesse mécanique. pem(t) intervient dans le bilan de puissance dela machine comme résultat de la substitution des pertes par eet Joule pJ(t) àla puissance électrique d'entrée pel(t) (gure 3.19 page ci-contre). La puissanceréactive instantanée totale pL(t) est nulle en tout temps par le fait que la sommedes 3 courants de phases est nulle. Les contributions individuelles des 3 phases à





p e l = u s 1 i s 1 + u s 2 i s 2 + u s 3 i s 3

p e m = e m 1 i s 1 + e m 2 i s 2 + e m 3 i s 3

p J = R s i s 1 2 + R s i s 2 2 + R s i s 3 2

p u i s s a n c e é l e c t r i q u e i n s t a n t a n é e

p u i s s a n c e i n s t a n t a n é e d i s s i p é e p a r e f f e t J o u l e

p u i s s a n c e é l e c t r o - m a g n é t i q u e i n s t a n t a n é ef _ 0 3 c _ 2 0 . e p s

p L = u s L 1 i s 1 + u s L 2 i s 2 + u s L 3 i s 3 = 0 [ W ]

Fig. 3.19 Bilan de puissances : pel(t) = pJ(t) + pL(t) + pem(t) (chier source).

la puissance électro-magnétique pem(t) sont alors :

pem1(t) = em1(t) · is1(t) =KE√

3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2

)· Is(t) · cos (θs(t))

(3.55)


3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)· Is(t) · cos

(θs(t)−

2 · π3

)(3.56)


3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)· Is(t) · cos

(θs(t)−

4 · π3

)(3.57)





S

-

w

u s 1

e m 1 = K E / 3 w c o s ( p q + p / 2 )

i s 1 = Î s c o s ( q s )

1 + s L s / R s

1 / R s

f _ 0 3 c _ 2 1 . e p s

T e m 1 = e m 1 i s 1 / w

qs1

c o s ( p q + p / 2 )K E

3

Fig. 3.20 Schéma fonctionnel de la phase 1 : construction de la FEM de phaseem1(t) et du couple électro-magnétique de phase Tem1(t) (chier source).

Les couples électro-magnétiques correspondants sont obtenus en divisant par ω(t)(gure 3.5.3) :

Tem1(t) =pem1(t)

ω(t)=KE√

3· cos

(p · θ(t) +

π

2

)· Is(t) · cos (θs(t)) (3.58)

Tem2(t) =pem2(t)

ω(t)=KE√

3· cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)· Is(t) · cos

(θs(t)−

2 · π3

)(3.59)

Tem3(t) =pem3(t)

ω(t)=KE√

3· cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)· Is(t) · cos

(θs(t)−

4 · π3

)(3.60)

La somme des 3 contributions donne :

Tem(t) = Tem1(t) + Tem2(t) + Tem3(t) =KE√

3· Is(t) ·

[cos(p · θ(t) +

π

2

)· cos (θs(t))

+ cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)· cos

(θs(t)−

2 · π3

)+ cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)· cos

(θs(t)−

4 · π3

)](3.61)

Sachant que

cos (α) · cos (β) =1

2· cos (α+ β) +

1

2· cos (α− β) (3.62)






on a :

Tem(t) =1

2· KE√

3· Is(t) ·

[cos(p · θ(t) +

π

2+ θs(t)

)+ cos

(p · θ(t) +

π

2− θs(t)

)+cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3+ θs(t)−

2 · π3

)+cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3− θs(t) +

2 · π3

)+cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3+ θs(t)−

4 · π3

)+cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3− θs(t) +

4 · π3

)](3.63)

Comme

cos(p · θ(t) +

π

2+ θs(t)

)+ cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3+ θs(t)−

2 · π3

)+

cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3+ θs(t)−

4 · π3

)= 0 (3.64)

on obtient nalement :

Tem(t) =1

2· KE√

3· Is(t)·[

cos(p · θ(t) +

π

2− θs(t)

))+cos

(p · θ(t) +

π

2− θs(t)

))+cos

(p · θ(t) +

π

2− θs(t)

))

]=

3

2· KE√

3· Is(t) · cos

(θs(t)− p · θ(t)− π

2

)(3.65)

Le couple électromagnétique instantané Tem(t) a donc pour expression :

Tem(t) =pem(t)

ω(t)=

√3

2·KE · Is(t) · cos

(θs(t)− p · θ(t)− π

2

)(3.66)

En remplaçant le cosinus par une fonction sinus, on a :

Tem(t) =

√3

2·KE︸︷︷︸KT

·Is(t) · sin (θs(t)− p · θ(t)) (3.67)

Le couple est proportionnel au courant de crête circulant dans les trois phasesstatoriques, la constante de proportionnalité étant KT :

Tem(t) = KT · Is(t) · sin (θs(t)− p · θ(t)) (3.68)




S N

B a

q s

p q

d T

SN

q s = a n g l e r é e l d u c h a m p t o u r n a n t ,i m p o s é p a r l ' a l i m e n t a t i o n

q = p o s i t i o n a n g u l a i r em é c a n i q u e d u r o t o r

" d T = q s - p q = t o r q u e a n g l e "

a x e m a g n é t i q u ed e l a p h a s e 1

w s ( t )

SN

B r i

f _ 0 3 c _ 1 8 . e p s

Fig. 3.21 Angle de couple δT : si δT = ±90 [], les champs sont en quadratureet le couple produit est maximum (chier source).

et l'on a :

KT =

√3

2·KE (3.69)

On voit qu'un couple rigoureusement constant peut être produit pour autant quel'angle (θs − p · θ) entre les axes magnétiques du champ tournant et celui del'aimant soit maintenu constant.

Couple maximum

Le couple électromagnétique possède deux extrêma ; pour ω(t) > 0[rads

], il

est maximum en moteur si l'on fait en sorte que

θs − p · θ = +π

2(3.70)

i.e. que l'axe magnétique du champ tournant (repéré par l'angle θs(t)) soit enavance de +90 [] par rapport à celui de l'aimant (repéré par l'angle θ(t)). Demême, un couple de freinage maximum est obtenu si l'on est à même d'impo-ser :

θs − p · θ = −π2

(3.71)





S N

SN

B a

B r i

q s

p q

d T = + p / 2

SN

q s = a n g l e d u c h a m p t o u r n a n t ,i m p o s é p a r l ' a l i m e n t a t i o n


d T = " t o r q u e a n g l e "


w s ( t )

f _ 0 3 c _ 1 6 . e p s

Fig. 3.22 Le couple maximal, pour un courant statorique donné, est obtenulorsque les champs les champs sont en quadrature (chier source).

L'axe magnétique du champ tournant est ici en retard de 90 [] par rapport àcelui de l'aimant. Dans les deux cas, les axes magnétiques des champs statoriqueet rotorique sont donc en quadrature.

3.5.4 Déphasage entre le courant et la FEM

Considérant les expressions du courant et de la FEM de la phase 1,

is1(t) = Is(t) · cos (θs(t)) (3.72)

em1(t) =KE√

3· cos

(p · θ(t) +

π

2

)· p · dθ

dt(3.73)

on voit que le déphasage entre le courant is1(t) et la FEM em1(t) se monte à unangle ψ tel que

ψ = argis1(t)−argem1(t) = θs(t))−(p·θ(t)+90 []) = θs(t)−p·θ(t)−90 [] = δT−90 [](3.74)

Ayant ainsi déni l'angle ψ, le couple électromagnétique peut s'écrire :

Tem =

√3

2·KE · Is · sin (θs − p · θ) = KT · Is · cos (ψ) (3.75)





0

T e m

y

p / 2 p- p - p / 2

+ T e m m a x

- T e m m a x

Î s

f _ 0 3 c _ 1 4 . e p s

Fig. 3.23 Couple électro-magnétique Tem en fonction du déphasage ψ entrela FEM emi(t) et le courant isi(t) d'une même phase : c'est lorsque le FEM etle courant sont en phase ou en opposition de phase que le couple est maximum(chier source).

Tem = KT · Is · cos (ψ) (3.76)

Dans le cas d'un fonctionnement en moteur, le couple est maximal lorsque l'angleψ est de 0 [] : le courant et la FEM doivent donc être en phase, alorsqu'en frein (ou générateur), ces mêmes grandeurs devraient être en opposition dephase (gure 3.23).

La FEM peut donc constituer un repère très intéressant pour imposer le cou-rant statorique, du moins à vitesse susamment élevée puisqu'il faut que sonamplitude KE√

3· ω(t) soit pratiquement détectable (gure 3.39 page 193).





3.6 Alimentation par convertisseur de fréquence

([7])

3.6.1 Introduction

Tous les moteurs conçus pour une alimentation à courant alternatif peuventfonctionner à vitesse variable à condition qu'une alimentation à fréquence va-riable soit disponible. Par le passé, ceci était possible en mettant en oeuvre unalternateur à vitesse variable entraîné par un moteur DC alimenté par un généra-teur DC tournant à vitesse constante. Aujourd'hui, la disponibilité de composantsd'électronique de puissance permet de réaliser des convertisseurs statiques trèscompacts, la conversion de fréquence étant eectuée sans machine et surtout avecun rendement bien supérieur.

3.6.2 Le convertisseur de fréquence à circuit intermédiairede tension continue ([7], chap.3)

Le type de convertisseur utilisé pour les entraînements de précision (servo-entraînements) est essentiellement le convertisseur de fréquence à circuit inter-médiaire de tension continue (gure 3.24 page suivante), dont le rôle est de fournirun système de tensions généralement triphasé de fréquence ajustable à partir dela seule tension continue Ue produite par un redresseur ou une batterie. La ten-sion continue Ue est appliquée directement aux bornes du moteur via un ensembled'interrupteurs commandés. Le convertisseur de fréquence triphasé se composede trois branches (demi-ponts) formées chacune de deux voies (voir gure 3.24page suivante).

Du point de vue fonctionnel, une voie comprend un interrupteur commandé(thyristor à commutation forcée, thyristor GTO, transistor bipolaire, MOSFETou IGBT) ainsi qu'une diode, dite diode de roue libre, connectée en antiparal-lèle. Celle-ci n'a pas pour objet principal la protection de l'interrupteur maisjoue un rôle fonctionnel en permettant au courant de circuler dans la voie dansles deux sens, ce qui est notamment utile en régime de freinage. En choisissantconvenablement la stratégie de commutation des composants de puissance, latension continue Ue est hâchée de façon à reproduire le mieux possible une sourcede tension dont la moyenne est de forme sinusoïdale. Les éléments de puissancefonctionnent en commutation (état bloqué ou saturé) et non en mode linéairean de diminuer leurs pertes thermiques, rendant celles-ci supportables.

En prenant pour référence la borne - du circuit intermédiaire, les tensions debranches u10(t), u20(t), u30(t) imposées à chaque borne du moteur (par rapportà la référence de potentiel mentionnée) par le convertisseur ne peuvent doncprendre que les deux valeurs 0 [V] et +Ue, et l'allure des tensions d'alimentationdu moteur est donc très éloignée de celle de la sinusoïde pure, ce qui se traduit




Z p h

Zph

Z p h

i 1

i 2

i3

u 1

u 2

u3

D1T1

D2T2

D1'

T1'

D2'

T2'

D3T3

D3'

T3'

u 10u 20

u 30u N

Résea

utrip

hasé

R S TU e

R b

LOGI

QUE

Redre

sseurCondensat

eur

tampon

Dissi

pateu

rOn

duleu

rCh

arge

C t

f_03d

_02.e

ps

Fig. 3.24 Convertisseur de fréquence à circuit intermédiaire de tension continue(chier source).






0 1 2 3 4 5 6−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u s1 u

s2 u

s3

Tensions de phases d’amplitude 1 et purement sinusoïdales

γ [rad]

f_u1020300_3.eps

Fig. 3.25 Tensions de phases (chier source).

par un contenu très (trop . . .) riche en harmoniques. L'eet de ces dernières sur lecourant produit est cependant limité par le comportement de nature ltre passe-bas des enroulements du moteur, leur impédance étant très nettement inductiveet s'opposant ainsi aux variations de courant. Au besoin, il sera dans certainscas (moteurs "ironless", i.e. "sans fer") nécessaire de connecter en série avec leconvertisseur des selfs de lissage.

3.6.3 Calcul des tensions de phases en fonction des tensionsde branche

Dans le cas de la machine synchrone AC brushless et de la machine asyn-chrone, les enroulements des phases statoriques sont alimentés par un systèmede courants et de tensions triphasés (cas des entraînements réglés), à répartitiontemporelle sinusoïdale (la charge électrique est supposée linéaire, donc tous lessignaux électriques sont sinusoïdaux, y compris la FEM). Les trois tensions dephase doivent donc être de la forme (lorsque la charge du convertisseur est unmoteur triphasé, les trois tensions u1(t), u2(t) et u3(t) sont les tensions statoriquesus1(t), us2(t) et us3(t)) :

u1(t) = Us(t) · cos (γ(t)) (3.77)

u2(t) = Us(t) · cos

(γ(t)− 2 · π

3

)(3.78)


(γ(t)− 4 · π

3

)(3.79)



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_u1020300_3.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/matlab///u1020300.m


C'est cependant en agissant sur les valeurs instantanées des trois tensions debranches u10(t), u20(t), u30(t) que les tensions de phases peuvent être imposéesde manière indirecte.

Les expressions des trois tensions de branche sont (gure 3.24 page 170)

u10 = u1 − u2 + u20 (3.80)

u20 = u2 − u1 + u30 (3.81)

u30 = u3 − u1 + u10 (3.82)

Les tensions de branches u10, u20, u30 sont mesurées entre les bornes 1, 2, 3 desortie du convertisseur et la borne - de l'alimentation en tension continue Ue.Cette dernière fait en principe oce de référence (0 [V]) pour tout ce qui estmesure de potentiel.

Si l'on tient compte du fait que

u1(t) + u2(t) + u3(t) = 0 [V] (3.83)

on peut facilement obtenir les expressions des tensions de phase en fonction decelles de branches :

u1 =1

3· (2 · u10 − u20 − u30) (3.84)

u2 =1

3· (2 · u20 − u30 − u10) (3.85)

u3 =1

3· (2 · u30 − u10 − u20) (3.86)

C'est donc en agissant de manière appropriée sur les tensions de brancheu10(t), u20(t) et u30(t) que l'on peut contrôler les trois tensions de phase, parexemple dans le but dans modier les courants.

Ce système s'écrit encore sous forme matricielle :u1

u2

u3

=1

3·

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

·u10

u20

u30

(3.87)

3.6.4 Calcul des tensions de branches

Les valeurs des trois tensions de phase u1(t), u2(t) et u3(t) doivent en principeprendre les valeurs bien déterminées données au paragraphe précédent, ce qui sefait indirectement au niveau du convertisseur en modulant les trois tensions debranche u10(t), u20(t) et u30(t). Celles-ci sont données par l'expression suivante,




en reprenant le résultat (3.87) :

u10

u20

u30

= 3 ·

2 −1 −10 −1 2−1 −1 2

−1

·

u1

u2

u3

= 3 ·

matrice des cofacteurs︷︸︸︷cof

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

∣∣∣∣∣∣

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

∣∣∣∣∣∣︸︷︷︸déterminant

·

u1

u2

u3

(3.88)

Ce système d'équations algébriques est indéterminé, puisque l'on a entre autres(on se passe du calcul de la matrice des cofacteurs) :∣∣∣∣∣∣

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (2 · 2− (−1) · (−1))︸︷︷︸3

− (−1) · ((−1) · 2− (−1) · (−1))︸︷︷︸−3

+ (−1) · ((−1) · (−1)− (−1) · 2)︸︷︷︸3

= 0 (3.89)

Contrairement aux apparences, ceci n'est pas une diculté de plus. Le fait quele système d'équations soit sous-déterminé se contourne comme on l'apprend enalgèbre linéaire, en xant l'une des inconnues (u10(t), u20(t) ou u30(t)) puis enrésolvant. Ceci ore une innité de solutions pour les tensions de branches u10(t),u20(t) ou u30(t), tout en satisfaisant bien sûr l'équation, puisqu'il faut impérative-ment que les tensions de phases soient égales à u1(t), u2(t) et u3(t). Parmi l'innitédes solutions, quelques-unes présentent des propriétés particulières, comme parexemple l'élimination de certaines harmoniques. On a en fait une relativementgrande marge de manoeuvre pour xer l'une ou l'autre des inconnues, u10(t),u20(t) ou u30(t), selon la situation, et calculer les deux restantes ([7], 3.4.15-16et 3.5). La première solution à laquelle on pense est celle consistant à choisircelle où les tensions de branches sont modulées sinusoïdalement autour de Ue

2:

u10(t) =Ue2· (1 + cos (γ(t))) (3.90)

u20(t) =Ue2·(

1 + cos

(γ(t)− 2 · π

3

))(3.91)

u30(t) =Ue2·(

1 + cos

(γ(t)− 4 · π

3

))(3.92)

Il en résulte des tensions de phases u1(t), u2(t), u3(t) parfaitement sinusoïdalesd'amplitude Ue

2(gure 3.26 page suivante).

Mais cela ne constitue que l'une des solutions possibles. On peut en eet obte-nir des tensions de phase parfaitement sinusoïdales et d'une amplitude supérieure




0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

u s1 u

s2 u

s3

Tensions de phases d’amplitude 0.5Ue et purement sinusoïdales

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u 10 u

20 u

30

Tensions de branches correspondantes

γ [rad]

f_u1020300_1.eps

Fig. 3.26 Tensions de phases u1(t), u2(t), u3(t) lorsque les tensions debranches u10(t), u20(t) et u30(t) sont modulées sinusoïdalement autour de Ue

2:

u10(t) = Ue

2· (1 + cos (γ(t))), u20(t) = Ue

2·(1 + cos

(γ(t)− 2·π

3

)), u30(t) =

Ue

2·(1 + cos

(γ(t)− 4·π

3

)). Dans ce cas, l'amplitude maximale des tensions u1(t),

u2(t) et u3(t) estUe

2(chier source).






Zph

Z p h

Zp h

i 1

i2

i 3

u 1

u2

u 3

u 1 0

u 2 0

u 3 0 = 0 [ V ]

u N

E n f o r ç a n t ( a u b o n m o m e n t )c e p o t e n t i e l à 0 [ V ] , o n a t e n d a n c eà a b a i s s e r l e n e u t r e ,c e q u i f a c i l i t e l ' é t a b l i s s e m e n td e s c o u r a n t s d a n s l e s a u t r e s p h a s e s f _ 0 3 d _ 0 9 . e p s

Fig. 3.27 Pour que la tension de phase u3(t) devienne proche de sa valeurminimale, il est logique d'abaisser le potentiel de u30(t) (chier source).

égale à Ue√3≈ 0.5573 · Ue, ce qui constitue d'ailleurs la valeur maximale que l'on

peut obtenir en régime sinusoïdal pur (gure 3.26 page ci-contre). Pour y par-venir, on peut suivre la démarche suivante : lorsque l'on souhaite que l'une destensions de phase, par exemple u3(t) = us3(t), soit proche de sa valeur minimale,i.e. que u30(t)− uN(t) soit négative et aussi petite que possible, il semble logiqued'imposer pendant une période donnée que la tension de branche u30(t) soit aussifaible que possible (gure 3.27), soit :

u30(t) = 0 [V] (3.93)

En conséquence, les deux autres tensions de branches ont pour valeurs, repre-






nant leur expression initiale pour alléger les calculs :

u1 =1

3· (2 · u10 − u20 − 0) u10 −

1

2· u20 =

3

2· u1 (3.94)

u2 =1

3· (2 · u20 − 0− u10) u10 − 2 · u20 = −3 · u2 (3.95)

u3 =1

3· (2 · 0− u10 − u20) u10 + u20 = −3 · u3 (3.96)

Des deux dernières équations, on tire, en éliminant u10 :

u20 = u2 − u3 (3.97)

Cette expression, introduite dans la première équation, donne u10 :

u10 =3

2· u1 +

1

2· (u2 − u3) = u2 − u3 (3.98)

Les valeurs des tensions de branches u10(t) et u20(t) calculées ici à titre d'exempledans le cas particulier où u30(t) est forcée à 0 [V] correspondent à ce que l'onduleurdevrait fournir (en valeur moyenne puisqu'il fonctionne en mode de commutation)à ses bornes pour que les trois tensions de phases soient égales à u1(t), u2(t) etu3(t) respectivement. Or, les expressions des valeur souhaitées des tensions dephase sont connues :

u1(t) = Us(t) · cos (γ(t)) (3.99)


(γ(t)− 2 · π

3

)(3.100)


(γ(t)− 4 · π

3

)(3.101)




On peut en déduire les expressions des tensions de branches lorsque u30 = 0 [V]

u10(t) = u1(t)− u3(t) = Us ·[cos (γ)− cos

(γ − 4 · π

3

)]= Us · (−2) · sin

(2 · γ − 4·π

3

2

)· sin

( 4·π3

2

)= −

√3 · Us · sin

(γ − 2 · π

3

)=√

3 · Us · sin(

2 · π3− γ

)(3.102)

u20(t) = u2(t)− u3(t) = Us ·[cos

(γ − 2 · π

3

)− cos

(γ − 4 · π

3

)]= Us · (−2) · sin

(2 · γ − 6·π

3

2

)· sin

( 2·π3

2

)= −

√3 · Us · sin (γ − π)

=√

3 · Us · sin (π − γ)

=√

3 · Us · sin (γ) (3.103)

Sachant que l'excursion des tensions de branches se limite à [0,+Ue], i.e. quel'on a

0 ≤ u10 ≤ Ue (3.104)

0 ≤ u20 ≤ Ue (3.105)

on voit d'une part que : on ne peut maintenir u30 à 0 [V] lorsque 0 ≤ (2·π

3− γ) ≤ π et 0 ≤ π ≤ π,

soit 0 ≤ γ ≤ 2·π3;

puisque ui0 ≤ Ue, la valeur maximale que peut atteindre Us estUe√

3, laquelle

est supérieure à l'amplitude 0.5 · Ue précédemment obtenue.La gure 3.28 page suivante illustre ce résultat, la technique consistant à

imposer u30 à 0 [V] pour 0 ≤ γ ≤ 2·π3ayant été appliquée par analogie aux tensions

de branches u20 et u10 pour 2·π3≤ γ ≤ 4·π

3et 4·π

3≤ γ ≤ 2 · π respectivement.

On retient donc que la solution pour les tensions de branches u10, u20 et u30

n'est pas unique.

3.6.5 La tension du neutre

Avec cette manière de faire, il vaut la peine de remarquer que la tension uN(t)du point neutre est variable, puisque l'on a, en protant des propriétés de latransformée de Laplace,




0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.50.5774

1u s1

us2

us3

Tensions de phases d’amplitude maximale et purement sinusoïdales

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u 10 u

20 u

30


γ [rad]

f_u1020301_1.eps

Fig. 3.28 Tensions de phases u1(t), u2(t), u3(t) d'amplitude maximale en régimesinusoïdal : les tensions de branches u10(t), u20(t) et u30(t) doivent avoir une formeparticulière et l'on a alors : U = Ue√

3= 0.5573 · Ue > 0.5 · Ue (chier source).

UN(s) = U10(s)− Zph(s) · I1(s) (3.106)

UN(s) = U20(s)− Zph(s) · I2(s) (3.107)

UN(s) = U30(s)− Zph(s) · I3(s) (3.108)

soit, la somme des trois courants étant nulle en tout temps

uN(t) =1

3· (u10(t) + u20(t) + u30(t)) (3.109)

(ce résultat peut sans autre être obtenu en appliquant les lois de Kichho) et l'onnote que

0 [V] ≤ uN(t) ≤ Ue (3.110)

La tension du neutre, mesure par rapport à la borne - de l'alimentation DC,est donc loin d'être xe ; elle se trouve en fait entre 0 [V] et Ue. Les valeursinstantanées qu'elle peut prendre sont les suivantes :






I II III IV V VI VII VIIIu10

Ue0 1 1 1 0 1 0

u20

Ue0 0 1 1 1 1 0 0

u30

Ue0 0 0 1 0 1 1 1

uN 0 Ue

323· Ue Ue

Ue

323· Ue 2

3· Ue Ue

3

Dans le premier des deux cas particuliers étudiés au paragraphe précédent leneutre reste à une valeur constante puisque

u10(t) =Ue2· (1 + cos (γ(t))) (3.111)

u20(t) =Ue2·(

1 + cos

(γ(t)− 2 · π

3

))(3.112)

u30(t) =Ue2·(

1 + cos

(γ(t)− 4 · π

3

))(3.113)

et donc

uN(t) =1

3· (u10(t) + u20(t) + u30(t)) =

Ue2

(3.114)

Dans le second cas, la situation est diérente. On avait, pour 0 ≤ γ ≤ 2·π3

:

u10(t) = u1 − u3 (3.115)

u20(t) = u2 − u3 (3.116)

u30(t) = 0 [V] (3.117)

et donc :

uN(t) =1

3· (u10(t) + u20(t) + 0 [V]) =

1

3· (u1(t)− u3(t) + u2(t)− u3(t)) = −u3(t)

(3.118)

Dans ce cas de gure, le neutre uN(t) suit la tension u3(t) ; le connecter à laterre du réseau d'alimentation peut aboutir à de cruelles désillusions... Commesouvent on aura

us3(t) = Us(t) · cos

(γ(t)− 4 · π

3

)(3.119)

on en déduit que le neutre évolue entre 0 [V] et Ue (gure 3.29 page suivante) :

uN(t) = −us3(t) = −Us(t) · cos

(γ(t)− 4 · π

3

)(3.120)




0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

u s1 u

s2 u

s3

Tensions de phases d’amplitude maximale et purement sinusoïdales

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

u 10 u

20 u

30


0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

u N

Tension du neutre correspondante

γ [rad]

f_u1020301_2.eps

Fig. 3.29 Evolution de la tension du neutre uN(t) : le neutre n'est pas à 0 [V]ni à un quelconque potentiel de référence ! ! ! (chier source).

3.6.6 Commande de l'onduleur par modulation PWM

La commande des six voies de l'onduleur se fait en hachant la tension continueUe : il s'agit d'une commande à pulsation.

Plusieurs stratégies sont envisageables ([7], 3.5.2). On se concentre ici unique-ment sur l'une d'elles, appelée commande par modulation de largeur d'impulsion(PWM, Pulse Width Modulation). Le principe est identique à celui déjà misen oeuvre pour la machine DC ; à partir de la connaissance des trois tensionsde branches u10, u20 et u30 calculées, on découpe, i.e. on hâche la tension Uedu circuit intermédiaire périodiquement en variant au cours du temps les du-rées d'enclenchement te1, te2 et te3 des trois branches (gure 3.30 page 182). Lestensions de branches moyennes idéales (i.e. celles obtenues par moyenne et sansprendre en compte les imperfections du convertisseurs, tel que le problème de lasécurité anti-chevauchement) sont alors données par

u10 =te1Tp· Ue (3.121)

u20 =te2Tp· Ue (3.122)

u30 =te3Tp· Ue (3.123)






où l'on rappelle que u10, u20 et u30 sont mesurées par rapport à la borne - ducircuit intermédiaire de tension continue Ue, ce qui explique qu'elles soient unipo-laires, ne variant qu'entre la borne - (0 [V]) et la borne +(+Ue). Tp est la périodede découpage, de valeur typique 100 [µs], ce qui correspond à une fréquence dedécoupage fp de 10 [kHz].

Les tensions de branches réelles dièrent de leurs valeurs idéales par le fait desphénomènes de commutation des transistors, de manière tout à fait analogue à cequi a été vu lors de l'étude de la machine DC. L'étude de la commande analogiquede cette dernière a d'autre part révélé que la modulation PWM introduisait unretard dans la propagation des signaux, i.e. entre le signal de commande ucm(t)et la tension moyenne ud(t) à la sortie du variateur. Il en est de même dans le casde l'onduleur triphasé, pour lequel on peut montrer ([7], 3.5.8) que le retard Tcmmoyen en régime de petits signaux a pour valeur, lorsque le signal modulationest de type triangulaire (à distinguer d'un signal de type dent de scie)

Tcm =Tp3

=1

3 · fp(3.124)

Les fonctions de transfert des ensembles modulateur PWM et étage de puissancesont donc pour chaque branche (gures 3.31, 3.32 et 3.33) :

Gcm1(s) =U10(s)

Ucm1(s)= Kcm · e−s·Tcm ≈ Kcm

1 + s · Tcm(3.125)

Gcm2(s) =U20(s)


1 + s · Tcm(3.126)

Gcm3(s) =U30(s)


1 + s · Tcm(3.127)

où le retard pur Tcm est approximé par une petite constante de temps.




t e 2

t d

u 1 0 ( t )

U e

0

T p

u 1 0 ( t )

t

0 t

T p T p

t e 1

T p

u h ( t )

+ û h

- û h

u c m 1 ( t )

T pT p

f _ 0 3 d _ 0 4 . e p s

Fig. 3.30 Modulation de largeur d'impulsion (PWM), porteuse triangulaire(chier source).






K c m e - s T c m

K c m e - s T c m

K c m e - s T c m

u c m 1

u c m 2

u c m 3

u 1 0

u 3 0

u 2 0

f _ 0 3 d _ 0 8 . e p s

Fig. 3.31 Modélisation du modulateur PWM par un gain et un retard pur(chier source).






Z p h

Zph

Z p h

i 1

i 2

i3

u 1

u 2

u3

D1

T1

D2

T2

D1'

T1'

D2'

T2'

D3

T3

D3'

T3'

u 10

u 20

u 30

u N

Ue

c1 c1'

c2 c2'

logi

que

deco

mm

ande

et s

écur

ité

c3 c3'

c1 c1'

c2 c2'

c3 c3'

MO

DU

LA

TE

UR

PW

M

d 1u c

m1

MO

DU

LA

TE

UR

PW

M

d 2u c

m2

MO

DU

LA

TE

UR

PW

M

d 3u c

m3

f_03

d_03

.eps

Fig. 3.32 La modulation PWM se manifeste d'un point de vue dynamique parun retard pur de valeur Tcm (chier source).






D1

T1

D2

T2

D1'

T1'

D2'

T2'

D3

T3

D3'

T3'

u 10

u 20

u 30

Ue

c1 c1'

c2 c2'

logi

que

deco

mm

ande

et s

écur

ité

c3 c3'

c1 c1'

c2 c2'

c3 c3'

MO

DU

LA

TE

UR

PW

M

d 1u c

m1

MO

DU

LA

TE

UR

PW

M

d 2u c

m2

MO

DU

LA

TE

UR

PW

M

d 3u c

m3

Kcm

e-sT

cm

Kcm

e-sT

cm

Kcm

e-sT

cm

u cm

1

u cm

2

u cm

3

u 10

u 30

u 20

f_03

d_07

.eps

Fig. 3.33 La modulation PWM se manifeste d'un point de vue dynamique parun retard pur de valeur Tcm (chier source).






3.7 Une première stratégie de pilotage : la com-

mande scalaire de la machine synchrone auto-

commutée ([12], 14.1, [13], 8.10, [14], 8.8.3)

3.7.1 Principe

L'expression du couple électromagnétique Tem(t) produit par la machine syn-chrone auto-commutée montre que celui-ci est proportionnel à la valeur de crêteIs(t) des courants statoriques et au sinus de l'angle δT qu'il y a entre le champtournant Bri et celui de l'aimant Ba :

Tem(t) = KT · Is(t) · sin (θs(t)− p · θ(t)) = KT · Is(t) · sin (δT ) (3.128)

La relation couple-courant se simplie à l'extrême si l'on parvient à maintenirl'angle

δT = θs(t)− p · θ(t) (3.129)

égal à une valeur constante. Si de plus cette valeur est égale à ±π2(gure 3.34

page suivante), le couple électromagnétique est maximum pour un courant donné,et l'on a :

Tem(t) = ±KT · Is(t) · sin (δT ) (3.130)

Pour parvenir à xer le couple électromagnétique instantané Tem(t), on voitqu'il est nécessaire de pouvoir imposer :

la valeur de crête Is(t) des courants des trois phases statoriques ; l'angle δT = θs−p·θ de façon à ce qu'il soit égal à ±π

2selon que l'on accélère

ou que l'on freine. En d'autres termes, les champs Bri et Ba doivent être enpermanence en quadrature.

Dans ce but, il faut mettre en place : une mesure de l'angle θ(t) du champ Ba créé par l'aimant. Ce dernier étantsolidaire du rotor, on mesure en fait la position angulaire du rotor au moyend'un capteur de type resolver ou codeur optique (3.7.2). Cette informationest souvent déjà nécessaire pour eectuer l'asservissement de position del'arbre moteur ;

un système d'asservissement des trois courants statoriques, auquel on doitpouvoir spécier les consignes Isc(t) et θsc(t) pour la valeur de crête instan-tanée Is(t) et la phase θs(t) respectivement.

La gure 3.35 page 188 montre le schéma général du dispositif de commandede la machine synchrone AC-brushless répondant à ces exigences.

3.7.2 Mesure de la position angulaire

En principe, la mesure de position angulaire visant à fournir θ(t) devrait êtreabsolue et non-incrémentale. Une mesure absolue implique que la position θ(t)




S NS

N

B a

B r i

q s

p q

d T = + p / 2

SN

q s = a n g l e d u c h a m p t o u r n a n t ,i m p o s é p a r l ' a l i m e n t a t i o n




w s ( t )

f _ 0 3 c _ 1 6 . e p s

Fig. 3.34 Quadrature des champs Bri et Ba produits respectivement par l'ali-mentation et par l'aimant (chier source).






0-p

/2

+p/

2

S

S

S

S

cos(

q sc)

cos(

q sc-

4p/3

)

cos(

q sc-

2p/3

)

i sm3

u 10

i sm2

i sm1

u 20

u 30

-

-

-

i s1c=

Î scc

os(q

sc)

i s2c=

Î scc

os(q

sc-2

p /3)

i s3c=

Î scc

os(q

sc-4

p/3)

Km

i'/K

T'

Tem

c

Î sc

q sc

pq

q

i s1

i s 2

is3

u s1

u s 2

us3

u 10

u 20 u 3

0

u NR

EG

UL

AT

EU

RS

DE

CO

UR

AN

TE

TC

ON

VE

RT

ISS

EU

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TA

TIQ

UE

mes

ure

de la

po

siti

on a

ngul

aire

du r

otor

cons

igne

de c

oupl

e

f_03

d_10

.eps

abs

p

Fig. 3.35 Structure du système d'asservissement scalaire de couple/courant :les 3 consignes de courants sont construites de façon à ce que le champ Bri soiten avance de ±π

2par rapport au champ de l'aimant Ba de position angulaire

instantanée θ (chier source).






du rotor du moteur, et par suite celle de l'aimant (champ d'induction ~Ba) estconnue dès l'enclenchement de l'installation, tout au moins à un tour près, et quel'on peut d'emblée orienter correctement le champ ~Bri (angle θs) par rapport Ba

(angle θ). Le capteur de position absolue par excellence est le resolver (gure 3.36page suivante) mais aujourd'hui certaines applications se basent sur des capteursoptiques incrémentaux (gures 3.37 page 191 qui ne résolvent que partiellementle problème. Il existe également des codeurs optiques absolus 3.38 page 192).

Si la position angulaire θ n'est pas connue, le couple fourni aux premiersinstants, d'expression générale

Tem(t) = KT · Is(t) · sin (θs(t)− p · θ(t)) (3.132)

peut donc prendre une valeur quelconque (en amplitude et surtout en signe !),l'angle

δT = θs(t)− p · θ(t) (3.133)

étant inconnu. Un comportement quasi-chaotique peut en résulter. Même si cettephase peut être de durée limitée par la mise en place une stratégie d'initialisa-tion particulière, ceci est souvent inacceptable pour bon nombre d'applications,comme les entraînements de de disques durs par exemple.

Signalons que la mise au point d'une technique de pilotage de la machinesynchrone auto-pilotée, sans avoir recours à un capteur de position angulaire, estactuellement le sujet de nombreuses recherches en cours aussi bien dans le secteuracadémique qu'industriel. Beaucoup de techniques se basent évidemment sur laFEM emi(t), dont l'expression obtenue au 3.5.2 page 157 dépend de l'angle θselon (ici pour la phase 1) :

em1(t) = Ψa · p · ω(t)︸︷︷︸Em

· cos(p · θ(t) +

π

2

)(3.134)

La gure 3.39 page 193 montre les mesures des 3 FEMs de phase d'un moteurAC brushless destiné à l'entraînement de disques durs.

Une méthode classique de commande sans capteur est celle de la détectiondes passages par zéro de la FEM (zero crossings). On s'arrange systématiquementpour que l'une des 3 phases soit en l'air, i.e. parcourue par un courant nul. De cefait, la tension aux bornes de la phase en l'air coïncide avec la FEM de phase et lesignal de tension aux bornes de la phase, mesuré, peut être utilisé pour commuterle moteur :

us1(t) = Rs · is1(t)︸︷︷︸0 [A]

+Ls ·dis1dt︸︷︷︸

0 [As ]

+em1(t)

= em1(t) (3.135)




sin(PRES)·cos(PRD)−sin(PRD)·cos(PRES) = sin(PRES−PRD) −→ (PRES−PRD)(3.131)

Fig. 3.36 Resolvers : types "pancake" (sans palier, le rotor doit être placésur l'arbre moteur) et "taille 11" (avec roulements, il faut alors un accouplementmécanique entre l'arbre moteur et celui du resolver), principe de fonctionnement(transformateur tournant), signaux, démodulation.



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/pancakeresolvers.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/size_11_resolver.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/res_tt_01_02_1.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/res2digi401_4.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/p2_01.pdf




Fig. 3.37 Codeur optique incrémental : exemples, disque obturant le passagede la lumière, principe de fonctionnement, allures des signaux. Lorsque ces der-niers ont la forme de signaux carrés en quadrature (bas de la gure à gauche),comme c'est cas dans la plupart des applications, il sut de compter/décompterles impulsions pour obtenir une position relative de l'arbre mesuré. Les microcon-trôleurs et les DSP spécialisés dans le motion control disposent d'entrées prévuesà cet eet. Une procédure d'initialisation est alors nécessaire à l'enclenchementan de connaître la position absolue du rotor du moteur et ainsi orienter conve-nablement le champ produit pas les enroulements statoriques par rapport à celuidu rotor (aimant permament). Certaines versions modulent la lumière de manièreapproximativement sinusoïdale (en bas à droite sur la gure), permettant d'aug-menter considérablement la résolution (plusieurs millions de points par tour !)



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/rod426.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/rod420.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/7ab.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/codeur_optique.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/7d3a.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/spec_encodeur_sincos.pdf


Fig. 3.38 Codeur optique absolu : disque obturant le passage de la lumière,principe de fonctionnement. L'inconvénient de tels capteurs est leur coût.



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/disks.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/8c1a.pdf


0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

t [s]

e mi(t)

[V]

FEM sinusoïdale, moteur AC brushless

f_fem_1.eps

Fig. 3.39 La FEM est un signal dépendant de la position angulaire θ(t) durotor et peut ainsi être utilisée pour commmuter les phases du moteur si l'on doitse passer de capteur de position de type resolver (chier source).

Le problème majeur est que l'amplitude de la FEM tend malheureusement verszéro à base vitesse, i.e. pour ω → 0

[rads

]et qu'il donc dicile de démarrer conve-

nablement le moteur avec cette seule information.

3.7.3 Asservissement de courant

Schéma fonctionnel du système d'asservissement

La consigne de couple Temc(t), souvent produite par un régulateur de posi-tion/vitesse superposé (gure 3.35 page 188), est convertie en une consigne devaleur de crête des courants de phase par la relation :

Isc(t) =K ′mi

K ′T

· Temc(t) (3.136)

où 1KT

′ · Temc(t) fournit la consigne de courant de crête en [A] etK′

mi

KT′ · Temc(t)

cette même consigne convertie dans l'unité des capteurs de courant.La phase θsc des courants de consigne est selon le signe de la consigne de

couple calculée de façon à ce que l'angle de couple

δT = θsc(t)− p · θ(t) (3.137)



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_fem_1.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/matlab///fem.m


soit égal à

δT = ±π2

(3.138)

On a donc pour les trois consignes de courant :

is1c(t) = Isc(t) · cos (θsc(t)) = Isc(t) · cos (p · θ(t) + δT ) (3.139)

is2c(t) = Isc(t) · cos

(θsc(t)−

2 · π3

)= Isc(t) · cos

(p · θ(t) + δT −

2 · π3

)(3.140)

is3c(t) = Isc(t) · cos

(θsc(t)−

4 · π3

)= Isc(t) · cos

(p · θ(t) + δT −

4 · π3

)(3.141)

La consigne de courant de la troisième phase est déduite des deux premières defaçon à respecter, au niveau des consignes déjà, la condition que doivent forcémentsatisfaire les courants réglés :

is1c(t) + is2c(t) + is3c(t) = 0 [−] (3.142)

Les trois consignes de courants sont transmises aux trois régulateurs de cou-rants, comparées au préalable avec les mesures is1m, is2m et is3m (gure 3.40 pagesuivante). Les erreurs en courant sont traitées, typiquement par un régulateurPI ou par un régulateur à action à deux positions (i.e. régulateur tout-ou-rien)et forment les trois commandes us1c, us2c et us3c représentant les trois tensionsqu'il est souhaitable d'appliquer aux bornes de chaque phase en vue diminuerl'erreur en courant constatée.

Il reste à calculer les tensions de branche u10, u20 et u30 correspondantes. Selonles relations établies au paragraphe consacré au convertisseur statique, on a

u10 = f (us1c, us2c, us3c, θ) (3.143)

u20 = f (us1c, us2c, us3c, θ) = f

(us1c, us2c, us3c, θ −

2 · π3

)(3.144)

u30 = f (us1c, us2c, us3c, θ) = f

(us1c, us2c, us3c, θ −

4 · π3

)(3.145)

où la fonction f n'est pas déterminée et peut être choisie relativement librement( 3.6.4 page 172). Les tensions de phase us1, us2 et us3 résultant de l'applicationdes trois tensions de branche u10, u20 et u30 créent les variations des courant dephase is1, is2 et is3 attendues par les régulateurs de courants.

Modélisation du système à régler

Si l'on étudie plus particulièrement le cas où la commande du convertisseurs'eectue par modulation PWM, le système à régler est décrit par les équationssuivantes :




S

S

S

Gc(

s)

Gm(s

)

u s1c

i sm3

u 10

ui0c= f(us1c , us2c , us3c)

u s2c

i sm2

u s3c

i sm1

u 20

u 30

i s2i s1 i s3

Gcm

1(s)

Gcm

2(s)

Gcm

3(s)

u cm

1

=u 1

0c/K

cm

-

-

-

i s1c=

Î scc

os(q

sc)

i s2c=

Î scc

os(q

sc-2

p/3)

i s3c=

Î scc

os(q

sc-4

p/3)

u s1

u s2

u s3

us1=1/3(2u10-u20-u30)

us2=1/3(2u20-u30-u10)

us3=1/3(2u30-u10-u20)

Gcm

(s)

Gcm

(s)

Gcm

(s)

Giu

1(s)

Giu

2(s)

Giu

3(s)

Gm(s

)

Gm(s

)

Gc(

s)

Gc(

s)

Rég

ulat

eurs

de c

oura

nts

Con

vert

isse

ur d

e fr

éque

nce

et s

a co

mm

ande

Mac

hine

syn

chro

neau

to-c

omm

utée

Cap

teur

sde

cou

rant

s

Con

sign

esde

cou

rant

sC

oura

nts

qpo

siti

on a

ngul

aire

du

roto

r

u cm

2

=u 2

0c/K

cm

u cm

3

=u 3

0c/K

cm

f_03

d_11

.eps

Fig. 3.40 Schéma fonctionnel de l'asservissement de courant (chier source).






conversions des tensions de phase souhaitées us1c, us3c et us3c par lesrégulateurs, en tensions de commande de branches ucm1, ucm2 et ucm3 :

ucm1 = f (us1c, us2c, us3c) (3.146)

ucm2 = f (us1c, us2c, us3c) (3.147)

ucm3 = f (us1c, us2c, us3c) (3.148)

modulation PWM :

u10(t) = Kcm · ucm1 (t− Tcm) (3.149)

u20(t) = Kcm · ucm2 (t− Tcm) (3.150)

u30(t) = Kcm · ucm3 (t− Tcm) (3.151)

conversions des tensions de branches u10, u20 et u30 en tensions de phasesus1, us2 et us3 :

us1 =1

3· (2 · u10 − u20 − u30) (3.152)

us2 =1

3· (2 · u20 − u30 − u10) (3.153)

us3 =1

3· (2 · u30 − u10 − u20) (3.154)

moteur


+

em1(t)︷︸︸︷KE√

3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2

)(3.155)


+

em2(t)︷︸︸︷KE√

3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)(3.156)


+

em3(t)︷︸︸︷KE√

3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)(3.157)

mesure de courant, dont on néglige ici le comportement dynamique (cecidoit être remis en question si la mesure est ltrée) :

ism1 = Kmi · is1 (3.158)

ism2 = Kmi · is2 (3.159)

ism3 = Kmi · is3 (3.160)




Les blocs ont tous des fonctions de transfert connues ; on a successivement :

la commande

Gcm1(s) =U10(s)


1 + s · Tcm(3.161)

Gcm2(s) =U20(s)


1 + s · Tcm(3.162)

Gcm3(s) =U30(s)


1 + s · Tcm(3.163)

le moteur

Is1(s) =1Rs

1 + s · Ls

Rs

· Us1(s) +KE√

3·

1Rs

1 + s · Ls

Rs

· Lω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2

)(3.164)

Is2(s) =1Rs

1 + s · Ls

Rs

· Us2(s) +KE√

3·

1Rs

1 + s · Ls

Rs

· Lω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2− 2 · π

3

)(3.165)

Is3(s) =1Rs

1 + s · Ls

Rs

· Us3(s) +KE√

3·

1Rs

1 + s · Ls

Rs

· Lω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2− 4 · π

3

)(3.166)

Comme on le voit, il n'est pas possible d'extraire une fonction de transfertentre les courants de phase is1, is2, is3, la position θ et la vitesse ω. Hormis ce "dé-tail" mathématique ennuyeux, on pressent déjà que le système d'asservissementde courant subira une contre-tension de nature sinusoïdale, d'amplitude d'autantplus élevée que la vitesse est grande, et qui n'est autre que la FEM. Si celle-ci étaitsimplement proportionnelle à la vitesse dans le cas de la machine DC, elle est icibeaucoup plus gênante d'un point de vue mathématique, puisqu'elle dépend enplus du sinus de l'angle θ. Pour la phase 1, on a par exemple :

em1(t) =KE√

3· ω(t) · cos

(p · θ(t) +

π

2

)(3.167)

Le schéma fonctionnel du système à régler vu par le régulateur de chaque phaseest donné à la gure 3.41 page suivante. Dans le cadre de la commande scalaireétudiée ici, on peut admettre dans une première approche que la FEM em1(t) estune perturbation, i.e. un signal aléatoire indépendant des courants de phase. On




S

-

S

T r e s

w

u s 1

-

i s 1 m

T e m

u c m 1

e m 1

i s 1

i s 2

i s 3

c o s ( p q )q

K T Î s s i n ( q s - q )

K m i

u c m 3

u c m 2

u 1 0

u 3 0

u 2 0

u s 1 = 1 / 3 ( 2 u 1 0 - u 2 0 - u 3 0 )K c m e - s T c m

K c m e - s T c m

K c m e - s T c m

1 + s L s / R s

1 / R s

s1

K E

3s J t

1

qf _ 0 3 d _ 1 4 . e p s

Fig. 3.41 Schéma fonctionnel détaillé d'une phase du moteur (chier source).

a alors pour la fonction de transfert simpliée du moteur :

Giu1(s) =Is1(s)

Us1(s)=

1Rs

1 + s · Ls

Rs

(3.168)

Giu2(s) =Is2(s)

Us2(s)=

1Rs

1 + s · Ls

Rs

(3.169)

Giu3(s) =Is3(s)

Us3(s)=

1Rs

1 + s · Ls

Rs

(3.170)

Quant aux blocs eectuant les conversions entre les tensions de phase et debranche, et réciproquement, leur comportement est purement statique et leurseets se compensent. On peut donc les omettre dans la modélisation dynamique.La fonction de transfert simpliée du système à régler vu par chaque régulateurest donc nalement :

Ga(s) =Ism(s)

Usc(s)=

1Rs

1 + s · Ls

Rs

·Kcm · e−s·Tcm ·Kmi ≈1Rs

1 + s · Ls

Rs

· Kcm

1 + s · Tcm·Kmi

(3.171)

Régulateur de courant

L'ajustage du régulateur de courant pour une phase est relativement simple.Partant du principe que le régulateur est du type PI, pour des raisons identiquesà celles évoquées lors de l'étude de la machine DC, on a pour la fonction de






transfert en boucle ouverte :

Go(s) =Ismi(s)

Usci(s)

∣∣∣∣∣ics=0Tres=0 [N·m]

= Gc(s) ·Ga(s)

= Kp ·1 + s · Tis · Ti

·1Rs

1 + s · Ls

Rs

· Kcm

1 + s · Tcm·Kmi

Go(s) =Ko

s· (1 + s · Ti)(

1 + s · Ls

Rs

)· (1 + s · Tcm)

(3.172)

Pour l'ajustage, on propose ici de compenser la constante de temps dominanteLs

Rsen posant

Ti =LsRs

(3.173)

et d'appliquer l'une ou l'autre des méthodes de synthèse, dans les plans de Bodeou d'Evans, pour trouver le gain de boucle Ko et par suite Kp. On a donc, aprèscompensation :

Go(s) =Ko

s · (1 + s · Tcm)(3.174)

Il faut ici ne pas oublier que Tcm est une petite constante de temps, statistique,de valeur moyenne Tp

3, soit typiquement 30 à 50 [µs], issue d'une modélisation de

représentation. Il serait donc dangereux de faire une synthèse en admettant queTcm est parfaitement connue et constante. La simulation peut ici aider à fairecertaines vérications préalables. Parmi les précautions à prendre, signalons quel'on évitera d'ajuster le régulateur de telle manière que :

le gain de boucle Go(j ·ω) soit unitaire jusqu'à des pulsations de l'ordre degrandeur de 1

Tcm;

ou que la constante de temps dominante en boucle fermée soit de l'ordre de gran-deur de Tcm .

Une limite raisonnable consiste à xer que la durée de réglage Treg du courant estsupérieure à environ 10 · Tcm, soit

Treg > 3 · Tp (3.175)

Si l'on travaille dans le plan de Bode (gure 3.42 page suivante) pour la synthèse,sachant que l'on a approximativement

ωco · Treg ≈ π (3.176)

la pulsation de coupure à 0 [dB] en boucle ouverte ωco sera ajustée à une valeurmaximale de

ωco =π

Treg<

1

3 · Tcm(3.177)




w [ r a d / s ]

A [ d B ]

0 [ d B ]

w [ r a d / s ]

j [ d e g ]

0

- 1 8 0

- 9 0

j m

i m p o s é p a r l a f r é q u e n c ed e d é c o u p a g e


K o

K o | G o ( j w ) |

| G w ( j w ) |

| G o ( j w ) |

a r g G o ( j w )

w c o < 1 / ( 3 T c m )

1 / T c m

f _ 0 3 d _ 1 2 . e p s

Fig. 3.42 Diagramme de Bode de Go(j · ω) (chier source).






Pour le choix de Kp, on peut encore procéder diéremment en appliquant laméthode algébrique déjà utilisée lors du calcul du régulateur de courant d'induitde la machine DC ([14], 7.2.8). En eet, la fonction de transfert de boucle Go(s)étant très simple, il est aisé de calculer algébriquement la fonction de transfert enboucle fermée, par exemple en régulation de correspondance, et de choisir alorsKp de façon à ce que les pôles dominants imposent un bon comportement enrégime transitoire.

Gw(s) =Ism1(s)

Isc1(s)=

Go(s)

1 +Go(s)=

Ko

s·(1+s·Tcm)

1 + Ko

s·(1+s·Tcm)

=Ko

s · (1 + s · Tcm) +Ko

Gw(s) =Ism1(s)

Isc1(s)=

1

1 + sKo

+ s2 · Tcm

Ko

(3.178)

Par comparaison avec la fonction de transfert d'un système fondamental du se-cond ordre

K

1 + 2·ζωn· s+ 1

ω2n· s2

(3.179)

on voit que :

1

ω2n

=TcmKo

(3.180)

2 · ζωn

=1

Ko

(3.181)

On a :1ω2

n

(2·ζωn

)2 =

Tcm

Ko

1K2

o

(3.182)

d'où :

Ko =1

4 · ζ2 · Tcm(3.183)

On en déduit les coecients du régulateur PI :

Kp =Ko · TiKa

=Ti ·Rs

4 · ζ2 · Tcm ·Kcm ·Kmi

Ti =LsRs

(3.184)

Sachant que la durée de réglage Treg est liée au facteur d'amortissement δ par larelation,

Treg =3

δ(3.185)




où δ est la partie réelle du (des) pôle(s) dominant(s), on a, avec le choix de Kp

et Ti proposé ci-dessus :

1

ω2n

=TcmKo

(3.186)

2 · ζωn

=1

Ko

(3.187)

On a :2·ζωn

1ω2

n

=1Ko

Tcm

Ko

=⇒ 2 · ζ · ωn︸︷︷︸δ

=1

Tcm(3.188)

Treg =3

δ= 6 · Tcm (3.189)

La durée de réglage Treg obtenue avec la méthode de synthèse algébrique estdonc dans une large mesure conforme aux directives données plus concernant lesvaleurs relatives de Treg et Tcm puisque l'on avait proposé Treg ≈ 10 · Tcm.

La gure 3.43 page suivante montre la réponse indicielle obtenue avec l'ajus-tage proposé. La comparaison est également faite avec le résultat d'une simulationcomportant un 'vrai' modulateur PWM.

Limites de la commande scalaire ([14], 8.8.3)

La fonction de transfert en boucle fermée Gw(j · ω), régulation de corres-pondance, a une réponse harmonique dont l'allure générale est donnée sur lagure 3.44 page 204. Une fois n'est pas coutume, il vaut ici la peine de s'inté-resser à la phase de Gw(j · ω). Tout en se rappelant qu'elle n'a bien sûr aucunesignication quant à la stabilité, celle-ci étant dénie à partir de la fonction detransfert en boucle ouverte Go(j ·ω) et non sur la base de la fonction de transferten boucle fermée Gw(j ·ω), on constate qu'une consigne sinusoïdale de courant,telle que le système d'asservissement en recevra probablement souvent en régimepermanent (vitesse et couple constant) ne pourra être poursuivie parfaitementpar la grandeur réglée, i.e. le courant de phase, celui-ci étant

d'une amplitude diérente puisque Gw(j ·ω) présente une certaine atténua-tion, y compris dans la bande passante, i.e. pour ω < ωB ;

d'une phase diérente, Gw(j ·ω) déphasant de manière notable même dansla bande passante, typiquement de −90 [] en ω = ωB (voir gure 3.45page 205).

Seul le second phénomène est réellement d'importance. Il a pour conséquenceque l'angle θs ne correspond pas exactement à sa consigne θsc, l'écart variant enfonction de la pulsation. Par conséquent, l'angle δT entre les deux champs Bri etBa n'est pas tout à fait égal à sa valeur optimale (±π

2) et le couple produit est

donc inférieur à ce qui est escompté (gure 3.46 page 206).




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10−3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

Réponses indicielle avec ’vrai’ modulateur PWM et avec son modèle de représentation (système d’ordre 1)

Modulé PWMModèle de représentation

f_reg_scal_i_2.eps

Fig. 3.43 Réponses indicelles avec 'vrai' modulateur PWM et avec un modèledu type Kcm

1+s·Tcm(chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_reg_scal_i_2.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/matlab///reg_scal_i


w [ r a d / s ]

A [ d B ]

0 [ d B ]

w [ r a d / s ]

j [ d e g ]

0

- 1 8 0

- 9 0

w wc o B@

1

T c m

( )G jw × w

( ) a r g G jw × w

- 2 7 0

1

T c mw wc o B@

u n e c o n s i g n e s i n u s o ï d a l ed e c e t t e p u l s a t i o n n e p o u r r aê t r e p o u r s u i v i e q u ' a v e c u n c e r t a i n d é p h a s a g e

f _ 0 3 d _ 1 3 . e p s

Fig. 3.44 Diagramme de Bode de Gw(j · ω) : le déphasage entre la grandeurréglée et le courant intervient bien avant la bande passante en boucle fermée.En conséquence, les champs d'induction Bri et Ba ne sont pas tout à fait enquadrature (chier source).






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1

−0.5

0

0.5

1Courants de consigne et courants réels

i s1c e

t is1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1

−0.5

0

0.5

1

i s2c e

t is2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1

−0.5

0

0.5

1

i s3c e

t is3

t [s]

f_03_61_1.eps

Fig. 3.45 Déphasage entre les grandeurs réglées is1, is2, is3 et leurs consignesrespectives isc1, isc2, isc3 (chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_03_61_1.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/matlab///f_03_61.m


S N

B a

B r i

q s

p q

d T < p / 2

SN

q s = a n g l e r é e l d u c h a m p t o u r n a n t ,i m p o s é p a r l ' a l i m e n t a t i o n




w s ( t )

SN

B r is o u h a i t é

r é e l

q s c

f _ 0 3 c _ 1 7 . e p s

Fig. 3.46 Le déphasage entre les grandeurs réglées is1, is2, is3 et leurs consignesrespectives isc1, isc2, isc3 a pour conséquence que les champs d'induction Bri etBa ne sont pas tout à fait en quadrature. En conséquence, le couple n'est pasmaximum (chier source).






0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t [s]

Poursuite sans déphasage d’une consigne sinusoïdale (régulateur RST)

Consigne

Grandeur réglée

Fig. 3.47 Avec un ajustage particulier du régulateur RST [28], le déphasageentre la grandeur réglée et la consigne peut être annulé et les champs d'inductionBri et Ba sont alors tout à fait en quadrature.

Une façon de remédier au phénomène consisterait à mettre en oeuvre unrégulateur plus perfectionné, tel que par exemple la phase de Gw(j · ω) soit nulleen une pulsation donnée (gure 3.47 et voir [28], 5.2.5). La commande vectorielle,par opposition à la commande scalaire résoudra cependant ce problème d'unemanière encore plus élégante.



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_sinus.pdf


3.8 Commande vectorielle de la machine synchrone

auto-commutée ([14], chap.9)

3.8.1 Phaseurs spatiaux

Dénition ([29], 2.1.2, [2], 5.7, [14], A.1)

A un instant quelconque t, les courants dans les trois phases statoriques ontpour expressions :

is1(t) = Is(t) · cos (θs(t)) (3.190)


(θs(t)−

2 · π3

)(3.191)


(θs(t)−

4 · π3

)(3.192)

Les trois phases sont connectées en étoile, le neutre étant ottant ; de ce fait, ona en permanence :

is1(t) + is2(t) + is3(t) = 0 [A] (3.193)

Les enroulements des trois phases statoriques sont disposés de telle sorte que leursaxes magnétiques soient décalés de 120 [] degrés électriques (degrés mécaniquessi le nombre de paires de pôles est p = 1).

Répartition spatiale idéale des enroulements Représentation schématique

1

1 '

2'3'

2 3

NS

NS

a x e p h a s e 1

axe

phas

e 2

axe phase 3

a xe m

a gn é t i

q u e

d u r ot o r

q

f _ 0 3 c _ 0 1 . e p s

a x e m a g n é t i q u e p h a s e 1

axe

mag

nétiq

ue p

hase

2

axe magnétique phase 3

u s 1

i s 1

us2

i s2

us3

is3

f _ 0 3 e _ 1 1 . e p s




http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_03e_11.pdf


En se rappelant que leur distribution spatiale est par construction aussi sinusoï-dale que possible, les champs d'induction idéaux créés par chacun de ces courantssont, en nommant Ns le nombre total de spires par phase et δ la largeur de l'en-trefer :

Bri1(θ) = µ0 ·

Hri1︷︸︸︷Ns · is1(t)

δ· cos (θ) (3.194)

Bri2(θ) = µ0 ·Ns · is2(t)

δ· cos

(θ − 2 · π

3

)(3.195)

Bri3(θ) = µ0 ·Ns · is3(t)

δ· cos

(θ − 4 · π

3

)(3.196)

Le champ d'induction total créé par les enroulements statoriques seuls (sans lacontribution de l'aimant permanent) est donné par la somme des trois contribu-tions :

Bri(θ) = Bri1(θ) +Bri2(θ) +Bri3(θ)

= µ0 ·Ns

δ·[is1(t) · cos (θ) + is2(t) · cos

(θ − 2 · π

3

)+ is3(t) · cos

(θ − 4 · π

3

)]

=3

2· µ0 ·

Ns

δ· <

2

3· (is1(t) + is2(t) · ej·

2·π3 + is3(t) · ej·

4·π3 )︸︷︷︸

is

·e−j·p·θ

=

3

2· µ0 ·

Ns

δ· <is · e−j·p·θ

(3.197)

où la multiplication par 32sera justiée ci-après. Le nombre complexe

is(t) =2

3·

is1(t) + is2(t) · ej·2·π3︸︷︷︸

a

+is3(t) · ej·4·π3︸︷︷︸

a2

=2

3·(is1(t) + is2(t) · a+ is3(t) · a2

)(3.198)

porte le nom de phaseur complexe. Il s'agit d'un phaseur spatial et non pastemporel, ces derniers intervenant lors du traitement de circuits en régime sinusoï-dal (voir cours "Théorie des circuits"). A noter que l'opérateur de rotation d'un

angle 2·π3

est désigné indiéremment par ej·2·π3 ou par a. On voit qu'au moyen du

phaseur, toutes les informations relatives aux trois courants des trois phases sontconcentrées en un seul objet mathématique is(t). Sa construction géométriqueest illustrée sur la gure 3.48 page suivante, où l'on admet que l'axe réel coïncideavec l'axe magnétique de la phase 1.




I m

R ea x e m a g n é t i q u e p h a s e 1

axe

mag

nétiq

ue p

hase

2


( )i ts 1

( )i t es

j

2

23×

×× p

( )i t es

j

3

43×

×× p

( )i t es

j

3

43×

×× p

( )i t es

j

2

2

3××

× p

( )i ts

q s ( t )1 /

3

2 /3

f _ 0 3 e _ 0 1 . e p s

Fig. 3.48 Construction du phaseur complexe is(t) à partir des courants instan-tanés is1(t), is2(t) et is3(t) (chier source).




http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures///f_03e.dsf


Interprétation

En détaillant l'expression mathématique du phaseur is(t) dans le but d'enextraire les parties réelles et imaginaire exprimées dans du système d'axe réel-imaginaire xé sur le stator, on a :

is(t) =2

3·(is1(t) + a · is2(t) + a2 · is3(t)

)=

2

3·[is1(t) + is2(t) · cos

(2 · π

3

)+ is3(t) · cos

(4 · π

3

)]+ j · 2

3·[0 + is2(t) · sin

(2 · π

3

)+ is3(t) · sin

(4 · π

3

)]=

2

3· Is(t)·[

cos (θs(t)) + cos

(θs(t)−

2 · π3

)· cos

(2 · π

3

)+ cos

(θs(t)−

4 · π3

)· cos

(4 · π

3

)]+ j · 2

3· Is(t)·[

0 + cos

(θs(t)−

2 · π3

)· sin

(2 · π

3

)+ cos

(θs(t)−

4 · π3

)· sin

(4 · π

3

)](3.199)

A l'aide des identités trigonométriques suivantes

cos

(θs(t)−

2 · π3

)· cos

(2 · π

3

)=

1

2·(

cos (θs(t)) + cos

(θs(t)−

4 · π3

))cos

(θs(t)−

4 · π3

)· cos

(4 · π

3

)=

1

2·(

cos (θs(t)) + cos

(θs(t) +

2 · π3

))cos

(θs(t)−

2 · π3

)· sin

(2 · π

3

)=

1

2·(

sin (θs(t))− sin

(θs(t)−

4 · π3

))cos

(θs(t)−

4 · π3

)· cos

(4 · π

3

)=

1

2·(

sin (θs(t))− sin

(θs(t) +

2 · π3

))le phaseur devient :

is(t) =2

3· Is(t) ·

(3

2· cos (θs(t)) + j · 3

2sin (θs(t))

)= Is(t) · ej·θs(t) (3.200)

On voit que is(t) est un nombre complexe de module égal à la valeur de crêtedes courants de phase, grâce au terme correctif 2

3introduit plus haut sans autre

justication, et d'argument θs(t) égal à la phase instantanée du courant is1(t) :

|is(t)| =∣∣∣∣23 · (is1(t) + a · is2(t) + a2 · is3(t))

∣∣∣∣ =∣∣∣Is(t) · ej·θs(t)

∣∣∣ = Is(t) (3.201)

argis(t) = θs(t) (3.202)




Ce vecteur complexe tourne à la vitesse angulaire instantanée

ωs(t) =dθs(t)

dt= p · dθ(t)

dt(3.203)

soit à la même pulsation que les courants statoriques is1(t), is2(t) et is3(t). Lescourants is1(t), is2(t) et is3(t) sont simplement donnés par la projection (orthogo-nale) du phaseur is(t) sur les axes de leurs phases respectives, comme le montrela gure 3.49 page suivante. On a en eet :

is1(t) = |is(t)| · cos (θs(t)) = Is(t) · cos (θs(t)) (3.204)

is2(t) = |is(t)| · cos

(2 · π

3− θs(t)

)= Is(t) · cos

(θs(t)−

2 · π3

)(3.205)

is3(t) = |is(t)| · cos(π

3− θs(t)

)= −|is(t)| · cos

(π +

π

3− θs(t)

)= −|is(t)| · cos

(4 · π

3− θs(t)

)= Is(t) · cos

(θs(t)−

4 · π3

)(3.206)




I m


axe

mag

nétiq

ue p

hase

2


( )i ts 1

( )i t es

j

3

43×

×× p

( )i t es

j

2

23×

×× p

( )i ts

q s

2 p / 3 - q s

p / 3- q s

f _ 0 3 e _ 0 6 . e p s

Fig. 3.49 Interprétation du phaseur complexe is(t) : sa projection orthogonalesur les axes magnétiques des trois phases donne les courants de phases instantanésis1(t), is2(t) et is3(t) (chier source).






Résumé

Les courants des trois phases ont pour expressions :

is1(t) = Is(t) · cos (θs(t)) (3.207)


(θs(t)−

2 · π3

)(3.208)


(θs(t)−

4 · π3

)(3.209)

On voit qu'ils ont : la même amplitude instantanée Is(t) ; la même pulsation (électrique) ωs(t) instantanée.

La distinction entre eux n'est nalement due qu'à leur déphasage temporel de±2·π

3. En conséquence, on décide de les réunir en un seul être mathématique

is(t) appelé phaseur complexe ou phaseur spatial. Mathématiquement, ce phaseurcomplexe se construit par la relation

is(t) =2

3·

is1(t) + is2(t) · ej·2·π3︸︷︷︸

a

+is3(t) · ej·4·π3︸︷︷︸

a2

=2

3·(is1(t) + a · is2(t) + a2 · is3(t)

)(3.210)

Il a pour module Is(t) et pour argument θs(t) =∫ t−∞ ωs(τ) · dτ . Son interprétation

est simple : sa projection (orthogonale) sur les trois axes magnétiques des troisphases statoriques restitue les trois courants instantanés de phases is1(t), is2(t) etis3(t). Un des avantages de traiter des phaseurs spatiaux plutôt que des grandeursscalaires est que les trois informations sinusoïdales sont "compactées" en un seulnombre complexe.

Système biphasé équivalent

Les composantes réelle isd(t) = Is(t) · cos (θs(t)) et imaginaire isq(t) = Is(t) ·sin (θs(t)) de is(t) correspondent aux courants qui devraient parcourir un systèmebiphasé équivalent formé de deux enroulements statoriques en quadrature pourformer le même phaseur (et par suite le même champ d'induction ~Bri) que lesystème triphasé original (gure 3.50 page ci-contre). Ces composantes sont éga-lement obtenues par projection orthogonale de is(t) sur les axes magnétiques dusystème biphasé équivalent.

Formules de passage du système triphasé au système biphasé

Les relations obtenues au paragraphe précédent permettent de déterminerformules de transformation pour passer de la représentation triphasée du phaseur




I m( a x e q" t r a n s v e r s e " )

R e( a x e d " d i r e c t " )


( )i ts

q s

f _ 0 3 e _ 1 0 . e p s

i s qs ( t ) = | i s ( t ) | s i n ( q s ( t ) )

i s ds ( t ) = | i s ( t ) | c o s ( q s ( t ) )

Fig. 3.50 Système biphasé équivalent au système triphasé original : les deuxproduisent le même phaseur, et par conséquent le même champ d'induction ~Bri

dans l'entrefer (chier source).

à la représentation biphasée et vice versa. On a, pour le passage du systèmetriphasé au système biphasé :

issd = <is(t) =2

3· <

(is1(t) + is2(t) · ej·2·π3 + is3(t) · ej·

4·π3 )

=2

3·[is1 + is2 · cos

(2 · π

3

)+ is3 · cos

(4 · π

3

)]

=2

3·

is1 − 1

2· (is2 + is3︸︷︷︸

−is1

)

= is1 (3.211)

issq = =is(t) =2

3· =

(is1(t) + is2(t) · ej·2·π3 + is3(t) · ej·

4·π3 )

=2

3·[is2 · sin

(2 · π

3

)+ is3 · sin

(4 · π

3

)]=

2

3·√

3

2· (is2 − is3) =

1√3· (is2 − is3) (3.212)






i s ds

r é f é r e n t i e ls = s t a t o r i q u er = r o t o r i q u ek = q u e l c o n q u e

c o m p o s a n t ed = d i r e c t = r é e lq = t r a n s v e r s e = i m a g i n a i r ee n r o u l e m e n t

s = s t a t o rr = r o t o r

g r a n d e u ri = c o u r a n tu = t e n s i o nY = f l u x t o t a l i s ée t c

f _ 0 3 e _ 1 2 . e p s

Fig. 3.51 Notation, convention pour les indices et exposants (chier source).

Dans le sens inverse, on a :

is1 = issd (3.213)

is2 = −issd ·

12︷︸︸︷

cos(π

3

)+issq ·

√3

2︷︸︸︷cos(π

6

)=

1

2·(−issd + issq ·

√3)

(3.214)

is3 = −issd ·

12︷︸︸︷

cos(π

3

)−issq ·

√3

2︷︸︸︷cos(π

6

)=

1

2·(−issd − issq ·

√3)

(3.215)

En résumé :

3 phases / 2 phases 2 phases / 3 phases(is1, is2, is3) −→ (issd, i

ssq) (issd, i

ssq) −→ (is1, is2, is3)

issd = is1 is1 = issdissq = 1√

3· (is2 − is3) is2 = 1

2·(−issd + issq ·

√3)

is3 = 12·(−issd − issq ·

√3)

Pour les notations, on adoptera par défaut la convention symbolisée à la -gure 3.51.

Dans certains cas, lorsque d'oce on travaille par exemple dans un référentielbien spécié sans en changer très fréquemment, l'indice supérieur s, k, ou r peutêtre omis.






Phaseurs de tension et de ux totalisé

Reprenant les équations de tension de la machine synchrone auto-commutée( 3.5.2 page 154),


dt(3.216)


dt(3.217)


dt(3.218)

multipliant la première équation par 23, la seconde équation de tension par 2

3·ej· 2·π3

et la troisième par 23· ej· 4·π3 , on a :

2

3· us1(t) =

2

3·(Rs · is1(t) +

dΨs1

dt

)(3.219)

2

3· us2(t) · ej·

2·π3 =

2

3·(Rs · is2(t) · ej·

2·π3 +

dΨs2

dt· ej·

2·π3

)(3.220)

2

3· us3(t) · ej·

4·π3 =

2

3·(Rs · is3(t) · ej·

4·π3 +

dΨs3

dt· ej·

4·π3

)(3.221)

La somme des trois membres de gauche permet de former ce qui n'est autreque le phaseur de tension,

us(t) =2

3·(us1(t) + us2(t) · ej·

2·π3 + us3(t) · ej·

4·π3

)(3.222)

alors que le membre de droite fait intervenir les phaseurs de courant et de uxstatoriques,

is(t) =2

3·(is1(t) + is2(t) · ej·

2·π3 + is3(t) · ej·

4·π3

)(3.223)

Ψs(t) =2

3·(Ψs1(t) + Ψs2(t) · ej·

2·π3 + Ψs3(t) · ej·

4·π3

)(3.224)

et l'équation de tension s'écrit de manière compacte :

us(t) = Rs · is(t) +dΨs(t)

dt(3.225)




Expression détaillée de l'équation de tension

Les composantes du ux totalisé statorique sont données par :

Ψs1(t) =

ux propre + ux mutuel entre phases︷︸︸︷Ls · is1(t) +

ux mutuel entre phase 1 et rotor︷︸︸︷Ψa · cos (p · θ) (3.226)

Ψs2(t) = Ls · is2(t) +Ψa · cos

(p · θ − 2 · π

3

)(3.227)

Ψs3(t) = Ls · is3(t) +Ψa · cos

(p · θ − 4 · π

3

)(3.228)

Le phaseur Ψs(t) s'écrit donc :

Ψs(t) =2

3·(Ψs1(t) + Ψs2(t) · ej·

2·π3 + Ψs3(t) · ej·

4·π3

)(3.229)

= Ls · is(t) +2

3· Ψa ·

[cos (p · θ) + cos

(p · θ − 2 · π

3

)· ej·

2·π3 + cos

(p · θ − 4 · π

3

)· ej·

4·π3

](3.230)

Les deux derniers termes du membre de droite peuvent être transformés à l'aided'identités trigonométriques :

cos

(p · θ − 2 · π

3

)= cos (p · θ) · cos

(2 · π

3

)+ sin (p · θ) · sin

(2 · π

3

)(3.231)

= −1

2· cos (p · θ) +

√3

2· sin (p · θ) (3.232)

cos

(p · θ − 4 · π

3

)= cos (p · θ) · cos

(4 · π

3

)+ sin (p · θ) · sin

(4 · π

3

)(3.233)

= −1

2· cos (p · θ)−

√3

2· sin (p · θ) (3.234)

En sommant, on obtient :

cos (p · θ)− 1

2· cos (p · θ) ·

(ej·

2·π3 + ej·

4·π3

)+

√3

2· sin (p · θ) ·

(ej·

2·π3 − ej·

4·π3

)= cos (p · θ)− 1

2· cos (p · θ) ·

(−1

2− 1

2

)+

√3

2· sin (p · θ) ·

(j ·√

3

2+ j ·

√3

2

)= cos (p · θ) +

1

2· cos (p · θ) + j · 3

2· sin (p · θ)

=3

2· [cos (p · θ) + j · sin (p · θ)]

=3

2· ej·p·θ (3.235)




On a donc nalement :

Ψs(t) =2

3·(Ψs1(t) + Ψs2(t) · ej·

2·π3 + Ψs3(t) · ej·

4·π3

)= Ls · is(t) + Ψa · ej·p·θ︸︷︷︸

Ψa

(3.236)Pour obtenir l'équation de tension, il faut encore calculer la dérivée du ux parrapport au temps :

d

dtΨs(t) =

d

dt

(Ls · is(t) + Ψa · ej·p·θ

)= Ls ·

d

dtis(t) + j · Ψa · p ·

dθ

dt· ej·p·θ (3.237)

Finalement, l'équation de tension s'écrit :

us(t) = Rs · is(t)︸︷︷︸chute de tension ohmique

+

ddt

Ψs(t)︷︸︸︷Ls ·

d

dtis(t)︸︷︷︸


+ j · Ψa · p ·dθ

dt· ej·p·θ︸︷︷︸

tension induite de mouvement

(3.238)

On y reconnaît les termes de chute de tension ohmique, de tension induite detransformation ainsi que de tension induite de mouvement (FEM). Le phaseurde cette dernière a donc pour expression

em = j · Ψa · p ·dθ

dt· ej·p·θ = j · p · dθ

dt·Ψa (3.239)

On constate sans surprise que le phaseur de FEM em est en avance de 90 [](électriques) par rapport à celui du ux Ψa produit par le rotor.

A nouveau, la projection (gure 3.52 page suivante) de chacun des termes decette équation sur les axes des trois phases du système triphasé original, respec-tivement des deux phases du système biphasé équivalent, permet de retrouver lesvaleurs instantanées de chacune des grandeurs.




I m


axe

mag

nétiq

ue p

hase

2


( )L i ts s×

p q ( t )

( )e tm ( )Y a t( )u ts

( )Y s tR is s×

Ldd t

is s×

( )i ts

q s ( t )

a xe m

a gn é t i

q u e du r o

t o r

f _ 0 3 e _ 0 2 . e p s

Fig. 3.52 Représentation graphique de l'équation de tension : us(t) = Rs ·is(t)+Ls · ddtis(t) + em(t) (chier source).






Application : phaseur des tensions de phases instantanées d'un conver-tisseur statique ([7], 3.4.5, [14], 2.9-10)

Le phaseur des tensions de phases a pour expression :

us(t) =2

3·(us1(t) + us2(t) · ej·

2·π3 + us3(t) · ej·

4·π3

)(3.240)

An de représenter graphiquement ce phaseur en fonction des diérents états decommutation des branches, calculons les parties réelle et imaginaire :

ussd = us1 (3.241)

ussq =1√3· (us2 − us3) (3.242)

Les tensions de phases sont liées aux tensions de branches par les trois relations( 3.6.3 page 172) :

us1 =1

3· (2 · u10 − u20 − u30) (3.243)

us2 =1

3· (2 · u20 − u30 − u10) (3.244)

us3 =1

3· (2 · u30 − u10 − u20) (3.245)

On sait que les trois tensions de branches instantanées u10, u20, et u30 ne peuventprendre que l'une des deux valeurs 0 [V] et Ue. En conséquence, l'ensemble desvaleurs instantanées possibles (à ne pas confondre ici avec valeurs moyennes) destensions de phases us1, us2, et us3 se réduit à :

Etat/tension 0 1 2 3 4 5 6 7

u10 0 Ue Ue 0 0 0 Ue Ueu20 0 0 Ue Ue Ue 0 0 Ueu30 0 0 0 0 Ue Ue Ue Ueus1 0 +2

3· Ue +1

3· Ue −1

3· Ue −2

3· Ue −1

3· Ue +1

3· Ue 0

us2 0 −13· Ue +1

3· Ue +2

3· Ue +1

3· Ue −1

3· Ue −2

3· Ue 0

us3 0 −13· Ue −2

3· Ue −1

3· Ue +1

3· Ue +2

3· Ue +1

3· Ue 0

ussd 0 +23· Ue +1

3· Ue −1

3· Ue −2

3· Ue −1

3· Ue +1

3· Ue 0

ussq 0 0 1√3· Ue 1√

3· Ue 0 − 1√

3· Ue − 1√

3· Ue 0

Le phaseur de tension ne peut donc prendre que sept états diérents, sixdesquels étant situés aux extrêmités d'un hexagone de rayon 2

3· Ue (gure 3.53

page suivante).




I m


axe

mag

nétiq

ue p

hase

2


( )u ts

2( U e , U e , 0 )

1( U e , 0 , 0 )

6( U e , 0 , U e )

5( 0 , 0 , U e )

4( 0 , U e , U e )

3( 0 , U e , 0 )

0( 0 , 0 , 0 )

7( U e , U e , U e ) + 2 / 3 U e )- 2 / 3 U e )

+U e

3

-U e

3

f _ 0 3 e _ 1 3 . e p s

Fig. 3.53 Les 7 diérentes valeurs instantanées que peut prendre le phaseur detension us(t). Le cercle indique l'amplitude maximale ( Ue√

3) que peut prendre la

valeur moyenne du phaseur us(t) tout en garantissant des valeurs moyennes detensions de phases purement sinusoïdales, i.e. sans harmoniques. Voir égalementgure 3.28 page 178 (chier source).






I m( a x e q s t a t o r i q u e )

R e( a x e ds t a t o r i q u e )


q s

f _ 0 3 e _ 1 5 . e p s

0

x s qs

x s ds

x s ( t )I m

( a x e q

t o u r n a n t )

R e( a x e d

t o u r n a n t )

x s qk x s d

k

q k

Fig. 3.54 Système d'axes tournant : les bobinages ctifs sont parcourus par descourants produisant le même phaseur, i.e. le même champ d'induction (chier source).

Expression dans un système d'axes quelconque

Les phaseurs complexes entrant en jeu jusqu'ici ont été référencés implicite-ment à un système d'axes réel-imaginaire d− q xe par rapport au stator. Alorsque les phaseurs sont formés des contributions de chacune des trois phases, onles a construit dans un système statorique biphasé équivalent, constitué de deuxenroulements, l'un étant solidaire de l'axe réel et l'autre de l'axe imaginaire.

Il est toutefois extrêmement utile de référencer les mêmes phaseurs par rap-port à un système d'axes réel-imaginaire tournant par rapport au stator, repérépar rapport à celui-ci par l'angle θk. Si l'on raisonne à partir du phaseur decourant is(t), cela revient à trouver les courants iq et id devant parcourir deuxbobinages xés sur les axes réel et imaginaire d'un système décalé d'un angleθk pour produire le même phaseur de courant (gure 3.54). Un phaseur exprimédans ce nouveau système d'axes k est donné par :

xks(t) = xss(t) · e−j·θk (3.246)

Cette relation est presque évidente : en eet, le phaseur exprimé dans lenouveau système d'axes (gure 3.55 page suivante)

a le même module |xks(t)| = |xss(t) · e−j·θk | = |xss(t)| ; a un argument simplement diminué de θk : argxks(t) = argxss(t) − θk.






I m


axe

mag

nétiq

ue p

hase

2


q s ( t )

I m

R e

q

d

q k ( t )

f _ 0 3 e _ 0 4 . e p s

x s ( t )

Fig. 3.55 Expression d'un phaseur dans un référentiel quelconque repéré parrapport au référentiel statorique par l'angle θk (chier source).

En extrayant xss(t) de la relation ci-dessus :

xss(t) = xks(t) · e+j·θk (3.247)

On voit ici tout l'intérêt de travailler avec des nombres complexes, l'alternativeconsistant a faire usage de vecteurs et de matrices, ces dernières faisant oced'opérateurs de rotation. En extrayant parties réelle et imaginaire, on a :

xssd+j·xs

sq︷︸︸︷xss(t) =

xksd+j·xk

sq︷︸︸︷xks(t) ·

cos (θk)+j·sin (θk)︷︸︸︷e+j·θk (3.248)

xssd = xksd · cos (θk)− xksq · sin (θk) (3.249)

xssq = xksd · sin (θk) + xksq · cos (θk) (3.250)






Formules de passage du référentiel statorique au référentiel tournant

Pour obtenir les relations entre les composantes réelles et imaginaires d'unmême phaseur xs(t) exprimées tantôt dans le référentiel statorique s, tantôtdans le référentiel tournant k, on applique la relation de transformation établieau paragraphe précédent :

référentiel xe / référentiel tournant référentiel tournant / référentiel xe(issd, i

ssq) −→ (iksd, i

ksq) (iksd, i

ksq) −→ (issd, i

ssq)

xksd = xssd · cos (θk) + xssq · sin (θk) xssd = xksd · cos (θk)− xksq · sin (θk)xksq = −xssd · sin (θk) + xssq · cos (θk) xssq = xksd · sin (θk) + xksq · cos (θk)

3.8.2 Equations de la machine dans un système d'axes xéau rotor ([14], 3.4.7)

On propose ici d'exprimer les équations de la machine dans un référentiel liéau rotor

θk = p · θ (3.251)

Le système d'axe réel-imaginaire d − q est donc xé sur le rotor, l'axe direct dcoïncidant avec l'axe magnétique de l'aimant. En faisant les substitutions

uss(t) = uks(t) · e+j·θk (3.252)

iss(t) = iks(t) · e+j·θk (3.253)

Ψss(t) = Ψk

s(t) · e+j·θk (3.254)

dans l'équation de tension, on obtient :

uks(t) · e+j·θk = Rs · iks(t) · e+j·θk +d

dt(Ψk

s(t) · e+j·θk) (3.255)

= Rs · iks(t) · e+j·θk + Ψks(t) ·

d

dt(e+j·θk) + e+j·θk · d

dt(Ψk

s(t)) (3.256)

= Rs · iks(t) · e+j·θk + j · dθkdt·Ψk

s(t) · e+j·θk + e+j·θk · ddt

Ψks(t)

(3.257)

Finalement, en divisant par le terme e+j·θk , on obtient l'équation de tension dansle référentiel tournant (gure 3.56 page suivante) :

uks(t) = Rs · iks(t) +d

dtΨks(t) + j · dθk

dt·Ψk

s(t) (3.258)




( )jd

d ttk

sk× ×

qY

( )d

d tts

kYq

da x e m a g n é t i q u e d u r o t o r

( )L i ts sk×

q s ( t ) - q k ( t )

( )Y ak t

( )u tsk

( )Y sk t

R is sk×

( )i tsk

q k ( t ) = p q ( t )f _ 0 3 e _ 0 3 . e p s

Fig. 3.56 Construction de l'équation de tension uks(t) = Rs · iks(t) + ddt

Ψks(t) +

j · dθk

dt·Ψk

s(t) dans un référentiel quelconque repéré par l'angle θk (chier source).

En prenant en compte l'expression détaillée du ux statorique

Ψks(t) = Ls · iks(t) + Ψk

a = Ls · iks(t) + Ψa (3.259)

car

Ψka(t) = Ψs

a(t) · e−j·θk = Ψa ·

p·θ=θk︷︸︸︷ej·p·θ · e−j·θk = Ψa (3.260)






q


( )L i ts sk×

q s ( t ) - q k ( t )

( )e tmk

( )Y ak t

( )u tsk

( )Y sk t

R is sk×

Ldd t

is sk×

( )i tsk

q k ( t ) = p q ( t )

jd

d tL ik

s sk× × ×

J

jd

d tL ik

s sk× × ×

J

f _ 0 3 e _ 0 8 . e p s

Fig. 3.57 Construction de l'équation de tension dans un référentiel quelconquerepéré par l'angle θk. Noter la position du phaseur de FEM em(t), en avanced'exactement ±π

2par rapport au phaseur du ux de l'aimant Ψa (chier source).

on peut encore écrire (gure 3.57) :

uks(t) = Rs · iks(t) +d

dt(

Ψks (t)︷︸︸︷

Ls · iks(t) + Ψa) + j · dθkdt· (

Ψks (t)︷︸︸︷

Ls · iks(t) + Ψa) (3.261)

uks(t) = Rs · iks(t)︸︷︷︸chute de tension ohmique

+ Ls ·diks(t)

dt︸︷︷︸chute de tension inductive

+ j · dθkdt· Ls · iks(t)︸︷︷︸

terme de couplage entre axes

+ j · dθkdt· Ψa︸︷︷︸

FEM, solidaire de l'axe q

(3.262)

La décomposition en parties réelle et imaginaire donne les équations de tensionpour les axes réel d et imaginaire q, en omettant l'indice k :






usd = Rs · isd + Ls ·disddt

− dθkdt· Ls · isq (3.263)

usq = Rs · isq + Ls ·disqdt

+dθkdt· Ls · isd +

dθkdt· Ψa︸︷︷︸

Em

(3.264)

Dans le ux direct (axe d) est compris le ux produit par l'aimant :

Ψsd = Ls · isd + Ψa (3.265)

Ce dernier est donc bel et bien câlé sur l'axe direct. Par contre, la tension induitede mouvement qu'il génère, i.e. la FEM est en avance par rapport à lui de 90 [],et se trouve par conséquent sur l'axe transverse q :

em = j · Em = j · dθkdt· Ψa = j · p · dθ

dt· Ψa = j · KE√

3· ω (3.266)

Le couple électromagnétique produit est donné par :

Tem(t) = KT · Is(t) · sin ( δT︸︷︷︸θs(t)−θ(t)

) =

√3

2·KE · Is(t) · sin (θs(t)− θ(t))

=

√3

2·√

3 · Ψa · Is(t) · sin (θs(t)− θ(t)) =3

2· Ψa · Is(t) · sin (θs(t)− θ(t))︸︷︷︸

isq(t)

(3.267)

soit nalement :

Tem(t) =3

2· Ψa · isq(t) = KT · isq(t) (3.268)

ce qui montre bien que le couple est proportionnel au courant de l'axe transverseet au ux créé par l'aimant seul. On voit d'autre part que le couple est maximalpour un courant is(t) lorsque l'angle

δT = θs − θ (3.269)

est égal à ±π2, auquels cas le courant isd dans l'axe direct est nul.

3.8.3 Commande de la machine

Stratégie de commande ([14], 9.2)

Pour commander la machine, il sura donc d'imposer, i.e. d'asservir le courantisq dans l'axe imaginaire (i.e. l'axe transverse) à une valeur xée par le coupleexigé ci-dessus selon la relation

Tem(t) = KT · isq(t) (3.270)




q


q s ( t ) - q k ( t )

e j emk

m qk= ×

( )Y ak t

i j isk

s qk= ×

q k ( t ) = p q ( t )

F E M i m a g i n a i r e

p u r e

( e m dk = 0 [ V ] )

C o u r a n t s t a t o r i q u e

e n p h a s e a v e c l a F E M

( i s dk = 0 [ A ] )

F l u x d e p r o d u i t p a r

l ' a i m a n t f i x é s u r l ' a x e r é e l

p a r l e c h o i x q k ( t ) = p q ( t )

( Y a qk = 0 [ V s ] )

S y s t è m e d ' a x e t o u r n a n t ,

f i x é s u r l e r o t o r

( q k = p q )

f _ 0 3 e _ 0 7 . e p s

q s ( t )

0

Fig. 3.58 Situation lorsque les champs sont en quadrature : le phaseur decourant is(t) est sur l'axe transverse et par conséquent imaginaire pur is(t) =0 + j · isq(t). Cela traduit également le fait que le courant et la FEM sont enphase (chier source).

Pour un courant de crête Is(t) donné, le couple obtenu sera comme on le voitmaximal si le courant isd dans l'axe réel (i.e. l'axe direct) est nul, ce que l'asser-vissement tâchera de garantir. Graphiquement, cela correspond pour les phaseursà la situation décrite sur la gure 3.58, où l'on voit que le phaseur de courantis(t) est purement imaginaire, colinéaire avec celui de la FEM em(t) :

is(t) = isd(t)︸︷︷︸0 [A]

+j ·isq(t)︸︷︷︸Is(t)

= j · Is(t) (3.271)

Les équations du paragraphe précédent montrent que la commande de la ma-chine peut s'eectuer avantageusement dans le référentiel tournant lié au rotor.La stratégie consiste à imposer le courant isq de l'axe transverse à une valeurcorrespondant au couple souhaité tout en maintenant nul le courant isd dans






l'axe direct d. La régulation de couple/courant s'eectue donc sur des grandeurstransformées exprimées dans le référentiel tournant. Il en résulte deux tensionsde commande pour les axes d et q, tensions qu'il s'agit de convertir nalement entrois commandes pour les branches du convertisseur.

Les fonctions suivantes doivent être réalisées pour mettre en oeuvre ce typede commande (gure 3.59 page suivante) :

conversion système triphasé xe / biphasé xe (3/2) ; conversion système biphasé xe / biphasé tournant (s/k) ; algorithme de régulateur (Régulateurs de courants) ; conversion système biphasé tournant / biphasé xe (k/s ) ; conversion système biphasé xe / triphasé xe (2/3) ; calcul des cosinus et sinus de l'angle rotorique (cos, sin).

Au vu du nombre et de la complexité des ces opérations, ce type de commandedoit presque impérativement être réalisée par un système à processeur rapide,typiquement par processeur de signal (DSP).

Avec ce système de commande, les performances sont meilleures que cellesobtenues avec la commande scalaire. En eet, plutôt que d'asservir les trois cou-rants indépendamment, c'est le phaseur (vecteur) de courant qui est directementcontrôlé. Le surplus de calculs occasionné par les conversions de coordonnées estcompensé par un algorithme de régulation plus simple à performances équiva-lentes. On relève en particulier qu'avec la commande vectorielle, le régulateurasservit les amplitudes et les phases des courants et traite ainsi des grandeursqui ne sont plus, après transformations de coordonnées, sinusoïdales. L'une desconséquences est par exemple que le régime permanent sinusoïdal devient un ré-gime permanent constant, ce qui permet de positionner très précisément le champstatorique et de garantir un angle de charge δT optimum.

Modèle mathématique du système à régler ([14], 3.4.7)

Reprenant les équations de tension

usd = Rs · isd + Ls ·disddt

− dθkdt· Ls · isq (3.272)


+dθkdt· Ls · isd +

dθkdt· Ψa (3.273)

et appliquant la transformée de Laplace, on a :

Usd(s) = Rs · Isd(s) + Ls · s · Isd(s)− s ·Θk(s) · Ls ∗ Isq(s) (3.274)

Usq(s) = Rs · Isq(s) + Ls · s · Isq(s) + s ·Θk(s) · Ls ∗ Isd(s) + s ·Θk(s) · Ψa

(3.275)

Ces équations sont non-linéaires, puisqu'un produit de convolution dans l'espaceopérationnel intervient. Elles ne sont linéaires que lorsque que le moteur tourne




S

S

i sm1

u 10

i sm2

i sm3

u 20

u 30

-

-i sq

ck

i sdck =

0

1/K

TT

emc

Î sc

q

i s1i s 2

is3

u s1

u s 2

us3

u 10

u 20 u 3

0

u N

COMMANDE&

CONVERTISSEUR

posi

tion

ang

ulai

redu

rot

or

cons

igne

de c

oupl

e

3

2

s

u cm

1

u cm

2

u cm

3

3

2

s

k

sin(qk)

cos(qk)co

ssi

n

u sdk

u sqk

Rég

ulat

eurs

deco

uran

ts

i sdk

i sqk

u sds

u sqs

i sds

i sqs

Au

régu

late

urde

pos

itio

név

entu

elf_

03e_

05.e

ps

Fig. 3.59 Schéma montrant l'implantation de la commande vectorielle de lamachine synchrone auto-commutée (chier source).






à vitesse ω constante. Ceci indique que les paramètres des régulateurs devraienten principe être ajustés en fonction de la vitesse de rotation, an de garantir desperformances indépendantes du point de fonctionnement. De plus, un couplageintervient très nettement entre les axes d et q, un variation de isd ayant un eetsur usq et réciproquement.

L'origine de ce couplage est à rechercher dans la nature alternative des si-gnaux (courants, tensions, etc) réels, lesquels provoquent, même en régime sinu-soïdal permanent, des chutes de tensions inductives aux bornes des inductancesstatoriques L11, L12, etc. Ce type d'eet ne s'observe bien sûr pas aux bornes dela machine DC et l'on voit donc que malgré tout l'apport des transformations decoordonnées, on n'a pas totalement réussi à transformer la machine synchroneauto-commutée en une machine DC.

En se rappelant d'une part que

s ·Θk(s) = s · p ·Θ(s) = p · Ω(s) (3.276)

où Ω(s) est la transformée de Laplace de la vitesse mécanique ω(t), et d'autrepart que ( 3.5.2 page 157)

KE =√

3 · p · Ψa =⇒ s ·Θk(s) · Ψa = s · p ·Θ(s) · Ψa =KE√

3· Ω(s) (3.277)

les équations peuvent encore être mises sous une forme facilitant leur présentationpar schéma fonctionnel :

Isd(s) =1Rs

1 + s · Ls

Rs

· Usd(s) +1Rs

1 + s · Ls

Rs

· p · Ω(s) · Ls ∗ Isq(s) (3.278)

Isq(s) =1Rs

1 + s · Ls

Rs

· Usq(s)−1Rs

1 + s · Ls

Rs

· p · Ω(s) · Ls ∗ Isd(s)−1Rs

1 + s · Ls

Rs

· KE√3· Ω(s)

(3.279)

La gure 3.60 page suivante montre le schéma fonctionnel de la machine syn-chrone, où les non-linéarités apparaissent clairement (blocs produit). Sous ré-serve d'une bonne mesure de vitesse, des commandes anticipées peuvent linéa-riser la charge. En eet, si l'on soustrait à usd la quantité p · ω(t) · Ls · isq(t),le terme correspondant est compensé. Il en va de même si l'on ajoute à usq laquantité p ·ω(t) ·Ls · isd(t). Cette dernière commande peut encore être complétéepar KE√

3· ω(t), de façon à anticiper l'eet de la FEM. Il faut se rappeler que cette

dernière n'est en soi pas une perturbation, mais qu'elle n'est qu'un signal de laboucle de régulation, obtenu après que le moteur atteigne une vitesse dépendantdu couple lui étant appliqué et de la charge mécanique.




1

1

R

sL

R

s

s

s

+ ×

u s q ( t )

w ( t )

S

1

1

R

sL

R

s

s

s

+ ×S

L s

L s

i s d ( t )

i s q ( t )

u s d ( t )

-

-

f _ 0 3 e _ 0 9 . e p s

p

w s ( t )

K E

3

Fig. 3.60 Schéma structurel du modèle de la machine synchrone dans le réfé-rentiel tournant (chier source).

Il faut remarquer l'analogie entre l'équation de la tension aux bornes de l'axeq, en supposant isd ≈ 0 [A]


+KE√

3· ω (3.280)

et celle de la tension aux borne de l'induit d'une machine DC :

ua = Ra · ia + La ·diadt

+KE · ω (3.281)

Si l'on tient encore compte des équations de couple

Tem(t) = KT · isq(t) (3.282)

etTem(t) = KT · ia(t) (3.283)

on voit que dans le système d'axes tournant xé sur le rotor, la machine synchronese commande aussi simplement qu'une machine DC. La gure 3.62 page suivantemontre les performances mesurées de la régulation vectorielle de courant.






u s q

1

1

R

sL

R

s

s

s

+ ×S

i s q

-

f _ 0 3 e _ 1 4 . e p s

S

T r e s

w-T e m

e m

K T

g r a n d e u r r é g l é e

b r u t ei s q

K E

s J t

1

3

Fig. 3.61 Schéma fonctionnel du modèle de la machine synchrone dans le réfé-rentiel tournant, axe q (chier source).

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−0.02

0

0.02

0.04

0.06

ω(t)

Commande vectorielle d’un moteur synchrone auto−commuté

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−4

−2

0

2

4

T emc(t)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−10

−5

0

5

10

i sc1(t)

, is1

(t)

t [s]

f_test_com_vect_01_1.eps

Fig. 3.62 Déplacement point à point (prol de vitesse trapézoïdal) dans lecas d'une commande vectorielle : on observe la qualité du suivi de consigne decourant (reconstituée puisqu'elle n'est plus sinusoïdale) (chier source).





http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/Figures/f_test_com_vect_01_1.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_03/matlab///test_com_vect_01.m


Chapitre 4

Entraînement avec machine

asynchrone

4.1 Généralités sur la machine asynchrone ([[2],

chap.6], [[15], 2.1], [[13], 6.2], [16])

Le but de ce chapitre est de montrer comment la machine asynchrone peutêtre utilisée dans des applications d'entraînements réglés. Une première approcherelativement simple, basée sur le modèle de la machine en régime permanentsinusoïdal ("schéma en T", phaseurs temporels) permettra déjà de montrer quedes performances tout à fait remarquables peuvent être atteintes en pratique.Une seconde approche, la commande vectorielle (modèle dynamique exprimédans le référentiel tournant, phaseurs spatiaux) montrera que théoriquement,les performances envisageables avec un moteur asynchrone sont équivalentes àcelles obtenues avec des moteurs de type DC (à collecteur) ou synchrones auto-commutés.

La démarche suivie est en tous points comparable à celle déjà empruntée pourl'étude des autres entraînements. Après la modélisation dynamique (simpliéepour commencer) de la machine, on étudie une stratégie de commande possiblevia un convertisseur statique et l'on fait la synthèse des régulateurs. Cependant,dans le cas de la machine asynchrone plus que pour les autres machines, c'est lamodélisation et plus particulièrement la stratégie de commande qui constituentle plat de résistance.

On suppose pour la suite que les connaissances de base concernant la machineasynchrone sont acquises, au moins en ce qui concerne la constitution, le principede fonctionnement et le modèle mathématique en régime permanent sinusoïdal.Un bref rappel, incomplet, est néanmoins fait ci-après.




4.1.1 Constitution

La machine asynchrone que l'on trouve dans une multitude d'applicationsd'entraînements à vitesse variable est constituée

d'un stator muni d'un enroulement triphasé, semblable au stator d'une ma-chine synchrone auto-commutée ([[10], 2.2]) ;

d'un rotor muni d'un enroulement polyphasé simplement court-circuité surlui-même.

Pour les entraînements à vitesse variable, l'enroulement rotorique n'est pasbobiné, mais formé de barres d'aluminium disposées à la périphérie du rotorselon son axe et court-circuitées aux extrêmités par deux bagues (ou anneaux) ;il s'agit d'un rotor à cage. Hormis les billes des roulements, il n'y a donc aucuncontact mécanique entre stator et rotor.

La machine asynchrone est d'une construction très simple et très robuste,sans balais ni aimant permament, mettant en jeu des matériaux "standards"(fer, aluminium, cuivre, etc). Ses applications couvrent tous les domaines, maisce n'est qu'à partir des années 1980 qu'elle a pu se proler comme véritablecomposant d'un entraînement réglé.

Simple dans sa construction, la machine asynchrone est la plus compliquée àcommander si le but est de l'utiliser comme entraînement à vitesse variable. Hor-mis ses innombrables applications non-réglées telles qu'entraînements de pompes,ventilateurs et machines de tous types, les années 1970-90 ont mis la machineasynchrone sur l'avant-scène, l'objectif visé étant son utilisation comme servo-entraînement précis, dynamique et tout à la fois économique grâce aux quantitésénormes déjà produites pour des applications non-réglées. Des applications depointe existent également dans le domaine de la traction (locomotive 460 etTGV Atlantique). Pour cela des stratégies de pilotage ont été développées et fontaujourd'hui partie intégrante de systèmes de commande disponibles sur le marché,la stratégie de loin la plus mise évidence étant la commande vectorielle ("Vek-tor Regelung", "vector control"). Grâce à la commande, il est aujourd'hui usuelqu'une machine asynchrone puisse produire son couple nominal de l'arrêt à vitessenominale, alors que souvent, les a priori des utilisateurs la cantonne encore auxapplications non-réglées. Plus encore que la machine synchrone auto-commutée,elle constitue une concurrence directe pour l'entraînement DC, notamment pourles applications hautes vitesses en aaiblissement de champ.

4.1.2 Principe de fonctionnement ([16])

Même s'il est relativement compliqué, le fonctionnement de la machine asyn-chrone peut être compris d'une manière intuitive. En s'imaginant que le rotor,initialement à vitesse angulaire nulle, n'est formé que d'une seule spire (court-

circuitée) et d'une seule paire de pôles (p = 1), le champ d'induction tournant ~Bs

produit par l'enroulement statorique, se déplaçant à la vitesse angulaire ωs = dϑs

dt




traverse la spire rotorique. La variation du ux a pour conséquence une tensioninduite ui(t), par un phénomène analogue à celui observé dans un simple transfor-mateur ; la tension induite ui(t) intervient dans l'expression générale de la tensionaux bornes du rotor :

ur (t) = Rr · ir +dΨr

dt︸︷︷︸ui(t)

(4.1)

Le détail des termes montre que : ur(t) = 0 [V] puisque la spire est court-circuitée

ur (t) = Rr · ir +dΨr

dt= 0 [V]

il s'ensuit qu'un courant induit ir(t) parcourt la spire si la tension induitedΨr

dtest non-nulle ;

dans l'armative, les conducteurs rotoriques sont parcourus par un courantir tout en étant plongés dans le champ d'induction ~Bs. Il en résulte un coupleélectromagnétique, selon la loi de Laplace ~F = ir ·~l × ~Bs.

On voit donc que pour que la machine développe un couple, il faut que lebobinage rotorique soit traversé par un ux variable. En régime permanent sinu-soïdal (amplitudes, phases et fréquences des tensions et courants constantes), la

seule possibilité est que le champ ~Bs tourne à une vitesse diérente de celle durotor. Ainsi, la vitesse angulaire du champ tournant ωs = dϑs

dtet celle du rotor

ω = dϑdt

doivent être asynchrones pour que la machine fournisse du couple. Ladiérence entre ces deux vitesses, relativisée à celle du champ tournant,

s =ωs − ω

ωs[−] (4.2)

s'appelle le glissement (à ne pas confondre avec la variable de Laplace !). Il esten général quelques pourt-cent lorsque la machine fournit son couple nominal. Ladiérence des pulsations

ωr = ωs − ω = s · ωs[rad

s

]s'appelle la pulsation de glissement. Elles correspond à la pulsation des gran-deurs électromagnétiques relatives au rotor (tensions, courants, ux, etc).

Dans le cas particulier brièvement étudié où le rotor ne comporte qu'uneseule spire, on peut montrer que le couple électromagnétique résultant n'est pasconstant mais présente un caractère pulsant, sa valeur moyenne étant toutefoisnon-nulle [[2], 4.7.1]. L'adjonction de deux spires identiques mais décalées géo-métriquement de 120 et 240 [] transformerait l'enroulement monophasé du rotoren un enroulement triphasé, lequel permettrait d'obtenir un couple constant etunidirectionnel.




U s

I s

I r

U h s s t a t o r

r o t o r

f _ 0 4 a _ 0 1 . e p s

Fig. 4.1 Schéma équivalent du moteur asynchrone, identique à celui du trans-formateur. Les enroulements statorique (primaire) et rotorique (secondaire) sontmis en évidence (chier source).

Par rapport aux entraînements DCs et synchrones auto-commutés, auxquelsl'alimentation ne fournit pratiquement que le courant servant à la formation ducouple, l'alimentation du moteur asynchrone doit fournir un courant statoriqueis(t) comprenant tout à la fois

le courant "actif" ir(t), qui parcourera l'enroulement rotorique, lequel faitoce d'induit ;

le courant "magnétisant" iµ(t), qui créera le champ d'excitation.

Pour les entraînements DC à collecteur et synchrones auto-commutés, l'ex-citation est en eet produite de manière indépendante, soit par un enroulementalimenté séparément (moteur DC), soit par un aimant permanent (moteurs DCet synchrone auto-commuté). Il sut alors de varier le courant d'induit (ia(t)pour la machine DC, Is(t) ou iq(t) pour la machine synchrone auto-commutée)pour commander le couple.

Tout l'art de la commande de la machine asynchrone consiste à pouvoir séparerces deux composantes ; si l'on parvient à maintenir le courant magnétisant (=d'excitation) iµ constant et à faire varier le courant actif ir, on peut alors contrôlerprécisément le couple, exactement comme on le ferait avec un moteur DC àexcitation séparée.






Résistance d'une phase statorique Rs

Inductance de fuite statorique LσsInductance statorique principale LhsInductance de fuite rotorique, rapportée à l'enroulement statorique L′σrRésistance rotorique, rapportée à l'enroulement statorique R′

r

Tab. 4.1 Eléments du schéma équivalent en T. Le symbole ' signie que leparamètre du secondaire est rapporté au primaire.

L s sR s L s r '

L h s

R r ' / s

U s

I s

I m

I r '

U h s

f _ 0 4 a _ 0 2 . e p s

Fig. 4.2 Schéma équivalent en T. Il est important de rappeler que ce schéman'est valable qu'en régime permanent sinusoïdal. La résistance Rfe placée engénéral en parallèle avec Lhs pour prendre en compte les pertes fer n'est ici pasreprésentée (chier source).

4.2 Modélisation mathématique en régime sinu-

soïdal permanent

4.2.1 Schéma équivalent d'une phase statorique ([5], [16])

La similitude très nette entre la machine asynchrone et le transformateur faitque leurs schémas équivalents sont identiques, les stator et rotor du moteur étantrespectivement associés aux primaire et secondaire du transformateur. Après miseen équations, on peut obtenir le premier schéma (gure 4.1 page précédente) puisenn le schéma équivalent en T (gure 4.2) faisant intervenir les grandeurs dusecondaire (indice "r") rapportées au primaire (indice "'") où interviennent lesparamètres du tableau 4.2.1.

Tous les courants et tensions étant supposés sinusoïdaux et de fréquenceconstante, le schéma les fait apparaître sous forme de leurs phaseurs temporels(à distinguer des phaseurs spatiaux, lequelles sont liés à des grandeurs spatiales

telle que le champ tournant ~Bs), ce qui facilite considérablement les calculs. Lesgrandeurs principales sont celles du tableau 4.2.1 page suivante.






Tension d'alimentation (= ten-sion statorique) U s = Us · ej·argUs =

Us√2· ej·argUs

Courant statorique

Is = Is · ej·argIs =Is√2· ej·argIs

Courant rotorique rapporté austator I ′r = I ′r · ej·argI

′r =

I ′r√2· ej·argI′r

Courant magnétisantIµ = Is + I ′r

Tension "d'entrefer" (= tensioninduite par le ux principal)

Uhs =d

dtΨhs

= j · ωs ·Ψhs

= j · ωs · Lhs · Iµ

Flux totalisé dans l'entrefer (=ux principal) Ψhs = Lhs · Iµ

Flux totalisé statorique

Ψs = Ls · Is + Lhs · I ′r= (Lhs + Lσs) · Is + Lhs · I ′r= Lhs · Iµ + Lσs · Is

Flux totalisé rotorique

Ψr = L′r · I ′r + Lhs · Is= (Lhs + L′σr) · I ′r + Lhs · Is= Lhs · Iµ + Lσr · I ′r

Tab. 4.2 Grandeurs/égalités principales, à partir du schéma en T.




Remarquons qu'avec les conventions prises, la machine est en moteur lorsquele courant Ir' est "négatif".




s Ns k s = 0

w

w s = w s N = c o n s t .U s = U s N = c o n s t .

w=

wN

T e m N

T e m k

0

w=

wsN

p o i n t d e f o n c t i o n n e m e n t n o m i n a l

c o u p l e d e d é c r o c h e m e n t

v i t e s s e d e s y n c h r o n i s m e( c o u p l e n u l )

M O T E U R G E N E R A T E U R

f _ 0 4 a _ 0 4 . e p s

Fig. 4.3 Caractéristique (statique) couple-vitesse d'un moteur asynchrone. Auxfaibles glissements (s → 0), la courbe s'approche d'une droite (à comparer avecmachine DC !) (chier source).

4.2.2 Couple électromagnétique en régime sinusoïdal per-manent

Le calcul détaillé du couple électromagnétique [[2], 6.5.4, 4.7.2] montreraitque l'on a en régime permanent sinusoïdal :

Tem =3

2· p · 1

ωs· I ′r

2 · R′r

s(4.3)

où I ′r est la valeur ecace du courant rotorique (rapporté au stator) et p le nombrede paires de pôles de la machine.

Le glissement s intervient bien sûr directement dans l'expression du couple. Letracé (gure 4.3) de la caractéristique pour le régime sinusoïdal permanent, i.e.pour une tension d'alimentation us(t) sinusoïdale d'amplitude Us et de fréquenceωs constantes (comme c'est typiquement le cas lorsque le moteur est alimenté parle réseau), montre que pour de faibles valeurs de s, la courbe s'approche d'unedroite, comme c'était déjà le cas pour l'entraînement DC.






Le couple est comme prévu nul lorsque le glissement est égal à zéro, i.e. lors-qu'il y a synchronisme. La similitude avec la caractéristique couple-vitesse d'unmoteur DC à excitation séparée est alors évidente. C'est uniquement dans cettezone, i.e. aux faibles glissements que la machine est exploitée.

Si le glissement continue à augmenter, ce qui se produit par exemple si l'oncharge graduellement la machine, il y a décrochage pour une certaine valeur sk des : le couple passe par un maximum Temk. Cette valeur dépend bien sûr de la valeurde la tension d'alimentation et peut donc être ajustée en conséquence, pour autantque le dispositif d'alimentation le permette. De plus, elle est proportionnelle àl'inverse du carré de la fréquence d'alimentation, détail important lorsqu'il s'agirad'exploiter la machine à haute vitesse.

4.3 Commande scalaire de la machine asynchrone

([[14], 8.3-6])

Il existe un grand nombre de statégies de pilotage de la machine asynchrone,toutes poursuivant l'idée de faire produire à la machine le couple le plus élevépossible quelle que soit la vitesse, notamment aux basses vitesses (démarrage)et aux hautes vitesses, supérieures à la vitesse nominale (par exemple pour unebroche de machine-outil). On se limite ci-après à la présentation de quelques-unsde ces principes de commande.

Quelle que soit la méthode de pilotage mise en oeuvre, l'exploitation de lamachine asynchrone dans une large gamme de vitesses nécessite une alimentationdont la tension Us et fréquence fs soient aisément variables. Pour les entraîne-ments AC d'une certaine précision, que la machine soit asynchrone ou synchroneauto-commutée, et jusqu'à une centaine de [kW], c'est le convertisseur statique,appelé également convertisseur de fréquence, qui est utilisé [[7], 3.4].

4.3.1 Commande à ux d'entrefer Ψhs constant

Si faire tourner le moteur asynchrone à n'importe quelle vitesse n'est guèreproblématique dès le moment où l'on dispose d'un système de tensions et decourants triphasé de fréquence quelconque, les dicultés surviennent lorsque l'onexige aussi de pouvoir disposer d'un couple élevé, voisin du couple nominal, mêmeà bas régime. Il faut alors non seulement agir sur la fréquence de l'alimentation,mais aussi et surtout sur l'amplitude de la tension appliquée aux bornes du stator.Les équations qui suivent montreront qu'une des bonnes stratégies consiste àmaintenir le ux principal, ou ux d'entrefer Ψhs, constant.

Pour ce faire, on reprend l'expression du couple

Tem =3

2· p · 1

ωs· I ′r

2 · R′r

s(4.4)




A Sr é s e a u

t r a n s f o r m a t e u ré v e n t u e l r e d r e s s e u r

c o n v e r t i s s e u r s t a t i q u e

d 1c o m m a n d e

h â c h e u r

d 3

d 2

Û s f s

Û s f s

( v a l e u r s s o u h a i t é e s )f _ 0 4 a _ 0 5 . e p s

U e

Fig. 4.4 Convertisseur statique : les commandes logiques d1, d3 et d3 permettentde hacher la tension continue Ue (circuit intermédiaire) et de modier la valeurmoyenne des 3 tensions appliquées aux bornes du moteur, i.e. de xer Us et fs(chier source).






L s sR s L s r '

L h s

R r ' / s

U s

I s

I m

I r '

U h s

f _ 0 4 a _ 1 7 . e p s

n é g l i g é

Fig. 4.5 Pour calculer le courant rotorique, on néglige la chute de tensioninductive (de fuite) j · ωs · L′σr · I ′r (chier source).

dans laquelle on remplace l'un des deux termes I ′r par sa valeur obtenue à partirdu schéma équivalent, en négligeant la tension induite j · ωs · L′σr · I ′r par le uxde fuite rotorique (gure 4.5) :

I ′r = − Uhs(R′rs

+ j · ωs · L′σr) ≈ −Uhs

R′rs

= −j · ωs · Lhs · Iµ

R′rs

|I ′r| = I ′r ≈s · ωs · Lhs · Iµ

R′r

Le couple a donc pour valeur approximative :

Tem ≈3

2· p · Lhs · Iµ︸︷︷︸

KT

·I ′r = KT · I ′r (4.5)

Si l'on parvient à contrôler le courant magnétisant Iµ, ici en le maintenant àune valeur constante, on voit que l'expression du couple se simplie puisqu'elledevient linéaire avec le courant rotorique, "actif", I ′r, la constante de propor-tionnalité étant KT . En notant encore que maintenir le courant magnétisant Iµconstant revient à imposer un ux d'entrefer Ψhs constant puisque

Ψhs = Lhs · Iµ (4.6)

la parenté avec la machine DC est évidente puisque l'on a maintenant pour lemoteur asynchrone

KT = KT (Iµ) =3

2· p · Lhs · Iµ =

3

2· p ·Ψhs (4.7)






L h s

R r ' / sI s

I m

I r '

U h s

" g a pv o l t a g e "

f _ 0 4 a _ 1 8 . e p s

Fig. 4.6 Mise en évidence de la tension d'entrefer Uhs. Elle doit évoluer linéai-rement avec ωs = 2 ·π ·fs pour que le ux Ψhs = Lhs · Iµ reste constant. En eet :Uhs = ωs · Lhs · Iµ (chier source).

alors que l'on avait pour le moteur DC

KT = k · Φf (4.8)

Le ux Ψhs joue donc le rôle d'inducteur ; il a pour tâche de magnétiser la machine.Pour maintenir le ux dans l'entrefer Ψhs, respectivement le courant magnéti-

sant Iµ à une valeur constante, il faut que la tension "d'entrefer" ("gap voltage")Uhs évolue linéairement avec la fréquence d'alimentation fs = ωs

2·π ; en eet :

Uhs = j · ωs · Lhs · Iµ = j · ωs ·Ψhs

Ψhs = constante

⇒ Uhsωs

= Ψhs = constante

Le problème est ici que Uhs n'est malheureusement pas directement accessible(gure 4.7 page suivante), les bornes du moteur permettant d'imposer la tensionstatorique U s.

En première approximation, on peut cependant négliger la chute de tensionstatorique (gure 4.8 page ci-contre)

(Rs + j · ωs · Lσs) · Is = U s − Uhs (4.9)

et admettre queUhs ≈ U s (4.10)

Les limites de validité de cette approximation sont discutées au paragraphesuivant.

En faisant varier la tension Uhs proportionnellement à ωs, on impose donc leux et le courant magnétisant (à une valeur constante égale en principe à leurs






L s sR s

L h s

R r ' / s

U s

I s

I m

I r '

U h s

c h u t e d e t e n s i o ns t a t o r i q u e

f _ 0 4 a _ 1 9 . e p s

Fig. 4.7 La tension d'entrefer Uhs, qui permet de contrôler la magnétisation Ψhs

de la machine, n'est pas directement accessible. On n'a malheureusement accèsqu'à U s, qui dière de Uhs de la chute de tension statorique (Rs + j ·ωs ·Lσs) · Is(chier source).

L h s

R r ' / s

U s

I s

I m

I r '

U h sU Uh s s@

f _ 0 4 a _ 2 0 . e p s

Fig. 4.8 Approximation : en négligeant la chute de tension (Rs + j · ωs · Lσs)·Is,on a alors Uhs ≈ U s. On verra que négliger la chute de tension ohmique estproblématique, notamment à basse vitesse où Uhs est de valeur modeste (puisqueUhs ∝ ωs) (chier source).








a g i r s u r sa f i n d e c o n t r ô l e rl a r é p a r t i t i o n d e s c o u r a n t se t i m p o s e r I r '

L h s

R r ' / sI s

I m

I r '

U h s i m p o s ép a r U h s

f _ 0 4 a _ 2 1 . e p s

Fig. 4.9 Le niveau de magnétisation ayant été xé en imposant Uhs ∝ ωs, le seulmoyen de modier I ′r pour produire le couple souhaité est d'ajuster le glissements (chier source).

valeurs nominales ΨhsN et IµN) et du même coup on xe la constante de coupleKT ; il ne reste plus qu'à imposer le courant rotorique Ir' pour ajuster le coupleà la valeur souhaitée :

Tem ≈ KT · I ′r (4.11)

Pour ajuster I ′r, on ne peut jouer sur la valeur de la tension Uhs, celle-ci étantdéterminée par Iµ et ωs. Le seul degré de liberté restant est la valeur du glissements (gure 4.9).

On a :

Uhs = −(R′r

s+ j · ωs · Lσs

)· I ′r

I ′r = − UhsR′rs

+ j · ωs · Lσs︸︷︷︸négligé

≈ −s · Uhs

R′r

Or, selon ce qui a été dit ci-dessus

Uhs = j · ωs · Lσs · Iµ (4.12)

et l'on voit que le courant actif peut être imposé en contrôlant la pulsation de






glissement s · ωs

I ′r ≈UhsR′rs

= −s · j · ωs · Lhs · Iµ

R′r

|I ′r| = I ′r ≈Lhs · IµR′r︸︷︷︸

KG

·s · ωs = KG · s · ωs

L'expression du couple devient nalement :

Tem ≈ KT · I ′r ≈ KT ·KG · s · ωs (4.13)

On voit que si l'on est capable de maintenir le rapport tension induite par le uxprincipal / pulsation de l'alimentation, i.e. Uhs/ωs constant, le couple en régimepermanent sinusoïdal ne dépend que de la pulsation de glissement ωr = s · ωs =ωs − ω.

Tem ∝ s · ωs (4.14)

Le couple est donc simplement proportionnel à la pulsation de glissement ωr =s · ωs.

La pulsation de glissement ne peut bien sûr pas être imposée directement. Onpeut cependant la xer très facilement en imposant la pulsation statorique ωsselon la relation

ωs = ω + s · ωs = ω + ωr (4.15)

la vitesse angulaire ω de la machine (multipliée par le nombre de paire de pôlesp) étant supposée connue (par mesure directe, cf 4.3.1 page 257 ou par simplelecture de la consigne de vitesse cf 4.3.1 page 251).

En résumé, la stratégie de commande visant à obtenirn'importe quel couple à n'importe quelle vitesse consistedonc à imposer le ux principal Ψhs, i.e. d'entrefer, dans la mesure dupossible, au moyen de la valeur de Uhs selon la relationUhs

ωs= Ψhs = constante

à ajuster la pulsation de glissement s·ωs en fonction ducouple demandé selon la relation Tem ≈ KT ·KG ·s ·ωs.

Si l'on parvient eectivement à maintenir le ux Ψhs parfaitement constantet égal à la valeur souhaitée (cas idéal), le résultat que l'on peut attendre estmontré sur la gure 4.10 page suivante.

La courbe de couple est donc simplement translatée sur l'axe des vitesses etl'on constate notamment que le moteur est capable de fournir son couple nominalde l'arrêt à vitesse nominale.




0 50 100 150 200 250 300 3500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

ω [rad/s] (vitesse mécanique)

T em [N

m]

Caractéristique couple vitesse, Ψhs

=constante

f_asyn_02_1.eps

Fig. 4.10 Si l'on parvient à maintenir le niveau de magnétisation à une valeurconstante, la caractéristique couple-vitesse de la gure 4.3 page 242 est translatéesur l'axe des vitesses. La machine peut donc produire sans autre son couplenominal dans toute la plage de vitesses (chier source).



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_04/Figures/f_asyn_02_1.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_04/matlab///asyn_02.m


L s sR s

L h s

R r ' / s

U s

I s

I m

I r '

U h s

c h u t e d e t e n s i o ns t a t o r i q u e

f _ 0 4 a _ 1 9 . e p s

Fig. 4.11 Schéma équivalent en T mettant en évidence la chute de tensionstatorique, provoquant une diérence entre U s et Uhs (chier source).

Commande en boucle ouverte ([[13], 7.8], [[15], 7.4])

Pour des exigences moyennes en précision et dynamique, il est possible decommander le moteur asynchrone dans une large plage de vitesse en boucle ou-verte, donc sans capteur de vitesse. Il "sut" pour cela d'alimenter la machine àfréquence variable, au moyen d'un convertisseur statique. Contrairement au casdu moteur synchrone où la fréquence de l'alimentation impose directement lavitesse de rotation, le moteur asynchrone présente toutefois quelques dicultéssupplémentaires à cause du glissement, sa vitesse mécanique diérant de cellede l'alimentation et dépendant de la charge. Sans contre-réaction de vitesse, laprécision atteinte sera donc modeste.

Le résultat du paragraphe précédent montre qu'un couple élevé peut êtreobtenu à n'importe quelle vitesse en imposant le ux Ψhs, ce qui se fait en gardantle rapport

Uhsωs

(4.16)

constant ; en conséquence, on doit pouvoir modier la pulsation d'alimentation ωsaussi bien que la tension Uhs. En se référant au schéma équivalent (gure 4.11), latension Uhs n'est pas directement accessible ; elle est cependant liée à la tensiond'alimentation U s par

Uhs = U s − (Rs + j · ωs · Lσs) · Is (4.17)

Pour de faibles courants, la chute de tension "parasite" (Rs + j · ωs · Lσs) ·Is peut être provisoirement négligée de sorte que les amplitudes de U s et Uhs






L h s

R r ' / s

U s

I s

I m

I r '

U h sU Uh s s@

f _ 0 4 a _ 2 0 . e p s

Fig. 4.12 Schéma équivalent en T, résistance statorique ainsi qu'inductancesde fuite négligées (chier source).

correspondent approximativement. On peut donc imposer Uhs en xant U s, cequi se fait sans autres au moyen d'un convertisseur statique. On a donc :

Uhs = j · ωs ·Ψhs ≈ U s (4.18)

Les gures suivantes montrent le schéma fonctionnel (gure 4.13 page ci-contre)correspondant ainsi que le couple obtenu en fonction de la vitesse (gure 4.14page 254).

Un problème apparaît nettement à basse vitesse, le couple étant plus faibleque prévu : si le courant de démarrage est élevé, la chute de tension ohmiqueRs · Is est telle que Uhs est bien inférieure à la valeur escomptée et l'hypothpèseUhs ≈ Us n'est vériée. Il s'ensuit que le ux Ψhs est trop faible et que la machinen'est pas susamment magnétisée.

Une solution consiste à faire une correction appelée R× I, qui revient à aug-menter l'amplitude de la tension à basse vitesse, compensant ainsi partiellementla chute de tension Rs · Is. Il s'agit d'une méthode couramment mise en oeuvresur des convertisseurs statiques et qui fournit des résultats d'autant meilleurs sila correction tient compte du courant statorique Is eectif. L'adaptation corres-pondante du schéma est présentée sur la gure 4.15 page 255.

Le résultat obtenu sur le couple est représenté ci-après (gure 4.17 page 256),dans un cas plus simple (gure 4.16 page 256) où l'amplitude de la tension estdécalée vers le haut de la quantité Rs · IsN où IsN est le courant nominal de lamachine.

Dans ce type de commande en boucle ouverte, il faut prendre garde à nepas faire varier la pulsation ωs trop brusquement, sans quoi il y a risque dedécrochement et donc de déstabilisation de l'entraînement. En eet, la vitesse derotation ω n'étant pas connue exactement, un saut de pulsation ωs peut provoquerun glissement temporairement supérieure à la valeur de décrochement sk. Aussiles convertisseurs sont-ils souvent pourvus d'un dispositif de limitation de taux






A S

d 1

c o m m a n d e

d 3

d 2

Û s f s

c a l c u l d el a p u l s a t i o né l e c t r i q u e

v i t e s s e s o u h a i t é ew c

( )

T K K s

f sT

K K

e m T G s

s c s ce m

T G

@ = × × ×

Þ =×

× + × =×

× +×

æèç

öø÷

w

pw w

pw1

2

1

2

f _ 0 4 a _ 0 7 . e p s

Fig. 4.13 Principe de la commande à fréquence variable de la machine asyn-chrone, la tension statorique Us imposée étant simplement proportionnelle à ωs(chier source).






0 50 100 150 200 250 300 3500

5

10

15

vitesse mécanique [rad/s]

T em [N

m]

Caractéristique couple vitesse, us ∝ ω

s, sans tenir compte de la chute de tension statorique

f_asyn_01_1.eps

Fig. 4.14 Résultat obtenu avec le principe de commande de la gure 4.13 pageprécédente : le couple n'est pas aussi élevé que prévu (gure 4.10 page 250) enbasse vitesse. La raison à cela est que la tension Uhs, que l'on devrait pouvoircontrôler, est assez diérente de Us, que l'on contrôle eectivement (chier source).






A S

d 1

c o m m a n d e

d 3

d 2

Û s f s

c a l c u l d el a p u l s a t i o né l e c t r i q u e

v i t e s s e s o u h a i t é ew c

c o m p e n s a t i o nR x I

Î s

( )

T K K s

f sT

K K

e m T G s

s c s ce m

T G

@ = × × ×

Þ =×

× + × =×

× +×

æèç

öø÷

w

pw w

pw1

2

1

2

f _ 0 4 a _ 0 6 . e p s

Fig. 4.15 Commande à fréquence variable avec correction de la chute de tensionstatorique Rs · Is (chier source).






Û s f s

R s I s

f _ 0 4 a _ 0 8 . e p s

f s

Fig. 4.16 Compensation R × I xe, i.e. sans prendre en compte le courantstatorique réellement consommé par le moteur (chier source).

0 50 100 150 200 250 300 3500

5

10

15

20

25

30

35

ω [rad/s] (vitesse mécanique)

T em [N

m]

Caractéristique couple vitesse, us ∝ ω

s, avec correction R

s ⋅ i

s

f_asyn_03_1.eps

Fig. 4.17 Avec une compensation R×I même xe, l'amélioration de la caracté-ristique couple-vitesse à vitesse variable est notable. A comparer avec gure 4.14page 254 (cas sans aucune compensation) et gure 4.10 page 250 (cas idéal)(chier source).








A S

d 1

c o m m a n d e

d 3

d 2

Û s w s

c o m p e n s a t i o nR x I

Î s

-

R E G U L A T E U RD E V I T E S S ES Sc o n s i g n e

d e v i t e s s e

v i t e s s e w

T

s w s w s

p u l s a t i o n é l e c t r i q u e s t a t o r i q u e

p u l s a t i o n d eg l i s s e m e n t

1 / ( K T K G )

T e m c

c o u p l es o u h a i t é

p u l s a t i o n m é c a n i q u e( = v i t e s s e a n g u l a i r e m u l t i p l i é e p a r p )

f _ 0 4 a _ 0 9 . e p s

Fig. 4.18 Adaptation du schéma de commande en boucle ouverte de la -gure 4.13 page 253 lorsque la boucle de vitesse est fermée (chier source).

de variation de ωs.

Commande en boucle fermée ([[13], 7.8], [[15], 7.4])

Pour les applications d'un certain niveau de performance, la contre-réaction devitesse est indispensable. Toujours dans le but de maintenir le ux Ψhs constant,le schéma précédemment développé pour la commande en boucle ouverte peutêtre modié comme le montre la gure 4.18.

La pulsation de glissement s · ωs est désormais imposée par la commande decouple Temc issue du régulateur de vitesse. On a en eet :

Tem ≈ KT ·KG · s · ωs (4.19)

On en déduit la pulsation ωs de l'alimentation par addition de la pulsationmécanique, puis, à travers une fonction identique à celle utilisée en boucle ouverte,l'amplitude de la tension d'alimentation.

Même si cette stratégie de commande ore de bonnes performances, ellesoure de la relative incertitude liée au bloc non-linéaire fournissant la tensiond'alimentation en fonction de la pulsation ωs. De plus, pour gagner en perfor-mance dynamique et du même coup éviter des pointes de courants pouvant dé-tériorer les enroulements, la commande en courant serait préférable à celle entension jusqu'ici mise en oeuvre.






L h s

R r ' / sI s = - I r ' + I m

I m

I r '

U h s

f _ 4 a _ 1 3 . e p s

Fig. 4.19 Schéma en T, mise en évidence des courants (chier source).

Une autre méthode consiste donc à imposer le courant statorique Is dansla machine, plus encore à imposer ses composantes essentiellement active Ir',responsable de la formation du couple, et réactive Iµ, assurant la magnétisation dela machine à sa valeur nominale ΨhsN ([20]). Pour ce faire, on reprend l'expressionde la valeur approximative du couple

Tem ≈ KT · I ′r (4.20)

Pour que le couple Tem produit par la machine soit conforme à la valeursouhaitée Temc, il faut imposer :

le courant rotorique Ir', la valeur souhaitée étant Irc ≈ Temc

KT;

le courant magnétisant Iµà la valeur constante Iµc =Ψhsc

Lhscorrespondant au

ux Ψhsc souhaité, en principe le ux nominal ΨhsN , ce qui xe la constantede couple KT ;

De plus, an d'assurer que la machine répartisse correctement ce dernier entrecourant rotorique Ir'et courant magnétisant Iµ, il faut encore imposer

la pulsation de glissement ωr = s · ωs = ωs − ωLa combinaison des deux courants actif et réactif, i.e. "rotorique et magné-

tisant", permet de former le courant statorique Isc souhaité. En négligeant lesinductances de fuite statorique et rotorique, le schéma équivalent prend la formeallégée de la gure 4.19. On a :

Isc = −Irc + Iµc ≈ −Irc + j · Iµc =√I2rc + I2

µc · ej·arctan

“Iµc−Irc

”= Isc · ej·ϕc (4.21)

Graphiquement, les positions relatives des phaseurs (temporels) de courants sontindiquées sur le tableau 4.3 page suivante.

On rappelle qu'avec les conventions choisies, le courant rotorique est positiflorsque la machine est en générateur et négatif en moteur.






I m

R e

p - j c

j c

I s c

- I r c '

I m c

G é n é r a t e u r

f _ 0 4 a _ 1 4 . e p s

I m

R e

p - j c

I s c

- I r c '

I m c

M o t e u r

f _ 0 4 a _ 1 5 . e p s

Tab. 4.3 En moteur, le courant I ′r est négatif (selon les conventions de signechoisies, 4.2.1 page 239) et l'on voit (gure de droite) qu'il est en avance de 90 []sur le courant magnétisant Iµ. L'analogie avec la représentation par phaseurscomplexes des courants d'une machine synchrone est évidente : iq, formant lecouple, et id, parallèle avec le champ d'induction Ba de l'aimant.

La consigne de courant doit ensuite être convertie en trois consignes pourchaque phase :

isc1 (t) =√

2 · Isc · cos (ϑs + ϕc)

isc2 (t) =√

2 · Isc · cos

(ϑs + ϕc −

2 · π3

)isc3 (t) =

√2 · Isc · cos

(ϑs + ϕc −

4 · π3

)L'angle θs(t)+ϕc représente l'angle instantané de l'axe champ magnétique du

champ d'induction statorique Bs et est donné par l'intégrale de la pulsation ωs :

ϑs (t) + ϕc =

t∫−∞

ωs (τ) · dτ (4.22)

L'asservissement de courant est dans un tel cas souvent réalisé analogiquementet peut se faire par diérents types de régulateurs, comme ceux déjà vus lorsde l'étude de la machine synchrone auto-commutée. Souvent, des régulateurstout-ou-rien sont une excellente solution, garantissant un très bon comportementdynamique de l'asservissement, au détriment d'une ondulation de courant parfoisélevée et source d'un échauement plus important. L'alternative revient à utiliserdes simples régulateurs PI.

Le schéma fonctionnel de cette méthode de commande est donné sur la -gure 4.20 page suivante.






A S

d 1

c o m m a n d e

d 3

d 2

Û s w s

-


d e v i t e s s e

v i t e s s e w

T

s w s w s

p u l s a t i o n é l e c t r i q u e s t a t o r i q u ep u l s a t i o n d eg l i s s e m e n t

1 / K G

T e m c

jj I m c

1 / K T

I r c '

S

I m c

I s cR E G U L A T E U R SD E C O U R A N T


i s m 1

i s m 2

i s m 3

u c m 1 u c m 2 u c m 3

f _ 0 4 a _ 1 0 . e p s

Fig. 4.20 Schéma de commande de la machine asynchrone, avec asservissementsde vitesse et de courant (chier source).

4.3.2 Régime d'aaiblissement de champ

Comme pour la machine DC à excitation variable, il est possible d'exploiterla machine asynchrone au-delà de sa vitesse nominale puisque l'on a un contrôle"total" sur son état de magnétisation.

En principe, la tension d'alimentation U sN au régime nominal correspond,à une certaine marge près, à la tension maximale que le convertisseur peut dé-livrer. Dans le régime d'aaiblissement de champ, appelé également régime desurvitesse ("Feldschwächebereich", "Fieldweakening"), la tension d'alimentationest maintenue à sa valeur nominale alors que la fréquence de l'alimentation estaugmentée.

La tension d'alimentation U s = U sN étant approximativement égale à Uhs,son maintien à une valeur constante alors que la vitesse et donc la pulsation ωscontinuent à augmenter implique une diminution du ux Ψhs en raison inversede ωs :

Uhs = j · ωs ·Ψhs ≈ U s = U sN = constante

⇒ Ψhs = Ψhs (ωs) =UsNωs

=UsNωsN

· ωsNωs

= ΨhsN ·ωsNωs

∝ 1

ωs

⇒ Ψhs ∝1

ωs






Il s'ensuit que le courant magnétisant Iµ doit suivre la même variation :

Ψhs = Lhs · Iµ

⇒ Iµ = Iµ (ωs) =Ψhs

Lhs=

ΨhsN · ωsN

ωs

Lhs=Lhs · IµN · ωsN

ωs

Lhs= IµN ·

ωsNωs

⇒ Iµ ∝1

ωs

En en tenant compte dans l'équation donnant le couple électromagnétiqueTem :

Tem ≈3

2· p · Lhs · Iµ︸︷︷︸

KT

·I ′r =3

2· p · Lhs · Iµ (ωs)︸︷︷︸

KT

·I ′r =3

2· p · Lhs · IµN ·

ωsNωs︸︷︷︸

KT

·I ′r = KT (ωs)·I ′r

(4.23)On voit que pour un même courant rotorique, le couple produit est désormais

plus faible, la constante de couple KT étant inversément proportionnelle à ωs.Le courant rotorique I ′r peut être à nouveau imposé en contrôlant la pulsation

de glissement

I ′r ≈ −UhsNRr

s

= −s · j · ωsN · Lhs · IµN

Rr

|Ir| = I ′r ≈Lhs · IµN

Rr︸︷︷︸KGN

·ωsNωs︸︷︷︸

KG(ωs)

·s · ωs = KG (ωs) · s · ωs

En régime d'aaiblissement de champ, il faut donc plus de pulsation de glis-sement s · ωs pour imposer un même courant rotorique, la constante KG étantinversément proportionnelle à ωs.

On voit donc que si Uhs est maintenue constante, la machine est capablede produire du couple au-delà de sa vitesse nominale. Le couple varie alors demanière inversément proportionnelle à la pulsation ωs, si le courant rotorique I

′r

est maintenu constant :

Tem ≈ KT (ωs) · I ′r = KTN ·ωsNωs

· I ′r

⇒ Tem ∝1

ωs




0 w

T e m

w n

U s

p m e c

T e mI r '

Y h s

c o u p l e c o n s t a n t

m a g n é t i s a t i o n n o m i n a l e

p u i s s a n c e c o n s t a n t e

d é m a g n é t i s a t i o n

RsI

sN

f _ 0 4 a _ 1 6 . e p s

Fig. 4.21 Modes d'utilisation de la machine asynchrone : couple constant jus-qu'à vitesse nominale, puissance constante au-delà (chier source).

La pulsation ωs étant très proche de la vitesse mécanique ω, on a quasimentà faire à un régime à puissance mécanique constante :

Pmec = Tem · ω ≈ Tem · ωs = constante (4.24)

L'obtention d'une puissance mécanique rigoureusement constante ne pose pasde diculté, surtout si l'algorithme de commande du moteur est implanté sousforme programmée.

La possibilité d'exploiter la machine asynchrone dans un tel régime constitueun avantage important par rapport à la machine synchrone auto-commutée. L'ex-citation de cette dernière étant réalisée par de puissants aimants permanents, ladémagnétisation est pratiquement impossible.

En se référant la commande en boucle fermée étudiée au paragraphe précédent,le pilotage de la machine asynchrone en aaiblissement de champ peut se fairede manière très élégante. L'information vitesse (consigne ou grandeur réglée)est utilisée pour déterminer dans quel régime de fonctionnement la machine setrouve. Dès que la vitesse est supérieure à sa valeur nominale, on entre en régimede survitesse et en résumé :






0

Y h s N

Y h s

I m NI m N / 2

f _ 0 4 a _ 2 3 . e p s

Fig. 4.22 (chier source)

le courant magnétisant Iµ doit être diminué selon la relation Iµ = ωsN

ωs·IµN ,

puisque l'on a : Uhs = ωs ·Ψhs = ωs · Lhs · Iµ = UhsN = constante ; la constante de couple du moteur doit être réajustée selon KT = ωsN

ωs·KTN

puisque l'on a Tem ≈ 3

2· p · Lhs · Iµ︸︷︷︸

KT

·I ′r = 32· p · Lhs · ωsN

ωs· IµN · I ′r =

3

2· p · Lhs · IµN︸︷︷︸

KTN

·ωsNωs︸︷︷︸

KT

·I ′r, ce qui exprime le fait qu'en régime d'aaiblisse-

ment de champ, il faut plus de courant actif (I ′r) pour produire un mêmecouple ;

la pulsation de glissement doit être ajustée, ce qui est fait en variant leparamètre KG selon KG = ωsN

ωs·KGN . Ceci exprime le fait que pour obtenir

un même couple en survitesse, il faut plus de pulsation de glissement.

Le schéma ci-dessous (gure 4.23 page suivante) détaille la structure de cettestratégie de commande.

Relevons que les problèmes liés à la démagnétisation évoqués lors de l'étudede la machine DC se posent exactement en les mêmes termes : pour mémoire,on avait noté que la non-linéarité de la caractéristique B-H, ou Φ − i, fait quesi le courant magnétisant est diminué par exemple d'un facteur deux, le ux dediminue pas d'autant à cause de la saturation. La tension Uhs = ωs · Ψhs peutdonc s'avérer plus élevé que sa valeur souhaitée, en principe UhsN .





HEIG-V


A S

d 1

c o m m a n d e

d 3

d 2

Û s w s

-


d e v i t e s s e

v i t e s s e w

T

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p u l s a t i o n é l e c t r i q u e s t a t o r i q u ep u l s a t i o n d eg l i s s e m e n t

T e m c

jj I m c

1 / K T ( w c )I r c '

S

I m c

I s cR E G U L A T E U R SD E C O U R A N T


i s m 1

i s m 2

i s m 3

1 / K G ( w c )

u c m 1 u c m 2 u c m 3

f _ 0 4 a _ 1 1 . e p s

Fig. 4.23 Schéma de commande de la machine asynchrone, avec asservissements de vitesse et de courant, cas del'aaiblissement de champ (chier source).

Chapitre1,v.1.4

264MEE\cours_

er.te

x\12novembre

2006





4.4 Commande vectorielle de la machine asynchrone([17],

7.6, [13], 7.13.4, [15], 7.5)

La stratégie de pilotage théoriquement la plus évoluée pour une machine asyn-chrone est la commande vectorielle, laquelle exposée ci-après. Contrairement auxcommandes scalaires vues jusqu'ici, l'hypothèse restrictive du régime permamentsinusoïdal est abandonnée, ce qui permet d'obtenir des performances époustou-antes même en régime transitoire.

4.4.1 Equations de la machine asynchrone dans le référen-tiel statorique

Equations des ux totalisés ([[2], 6.2, 6.3, 6.4])

Les ux totalisés instantanés de chaque phase statorique sont donnés par :

ψa = Laa · ia + Lab · ib + Lac · ic + LaA · iA + LaB · iB + LaC · iCψb = Lba · ia + Lbb · ib + Lbc · ic + LbA · iA + LbB · iB + LbC · iCψc = Lca · ia + Lcb · ib + Lcc · ic + LcA · iA + LcB · iB + LcC · iC

où les indices a, b, c et A, B, C désignent les phases statoriques respectivementrotoriques.

Bien que le rotor à cage d'écureuil soit constitué d'un enroulement polyphasé,chaque barre d'aluminium correspondant à une phase, il a été remplacé ici parun enroulement triphasé équivalent.

L'isotropie du circuit magnétique implique que :

Laa = Lbb = Lcc

Lab = Lac = Lbc

Les inductances mutuelles entre phases statoriques et rotoriques traduisent leurcouplage magnétique, lequel dépend bien sûr de la position relative des phases.Si la position angulaire du rotor est repérée par l'angle θ, coïncidant avec l'axemagnétique de sa phase A, et que l'axe magnétique de la phase a du statorcorrespond à θ = 0 [rad], ces inductances ont pour expressions, tenant comptedu nombre de paires de pôles p :

LaA = LbB = LcC = Lsr · cos (p · θ)

LaB = LbC = LcA = Lsr · cos

(p · θ +

2 · π3

)LaC = LbA = LcB = Lsr · cos

(p · θ − 2 · π

3

)




Les équations des ux totalisés statoriques sont alors :

ψa = Laa · ia + Lab · ib + Lac · ic

+ LaA · cos (p · θ) · iA + LaA · cos

(p · θ +

2 · π3

)· iB + LaA · cos

(p · θ − 2 · π

3

)· iC

ψb = Lab · ia + Laa · ib + Lab · ic

+ LaA · cos

(p · θ − 2 · π

3

)· iA + LaA · cos (p · θ) · iB + LaA · cos

(p · θ +

2 · π3

)· iC

ψc = Lab · ia + Lab · ib + Laa · ic

+ LaA · cos

(p · θ +

2 · π3

)· iA1 + LaA · cos

(p · θ − 2 · π

3

)· iB + LaA · cos (p · θ) · iC

Dans le but de faire intervenir les phaseurs spatiaux, les équations des phases a,b et c sont multipliées par 2

3, 2

3· ej· 2·π3 , 2

3· ej· 4·π3 respectivement, puis additionnées.

Après quelques calculs, on obtient le résultat intermédiaire, en se rappelant quea = ej·

2·π3 et que a2 = ej·

4·π3 :

ψs= Laa ·

2

3·(is1 + a · is2 + a2 · is3

)+ Lab ·

2

3·(is2 + a · is3 + a2 · is1

)+ Lab ·

2

3·(is3 + a · is1 + a2 · is2

)+ Lsr · cos (p · θ) · 2

3·(ir1 + a · ir2 + a2 · ir3

)+ Lsr · cos

(p · θ +

2 · π3

)· 2

3·(is2 + a · is3 + a2 · is1

)+ Lsr · cos

(p · θ − 2 · π

3

)· 2

3·(ir3 + a · ir1 + a2 · ir2

)Le premier terme a simplement pour expression

Laa ·2

3·(is1 + a · is2 + a2 · is3

)= Laa · is

alors que les deux suivants se réduisent à −Lab · is :

Lab ·2

3·(is2 + a · is3 + a2 · is1

)+ Lab ·

2

3·(is3 + a · is1 + a2 · is2

)= Lab ·

(a2 + a

)· is

= Lab ·[cos

(4 · π

3

)+ j · sin

(4 · π

3

)+ cos

(2 · π

3

)+ j · sin

(2 · π

3

)]· is

= −Lab · is




Pour les trois derniers termes, qui traduisent l'inductance mutuelle entre statoret rotor, il faut tout d'abord noter que l'expression

2

3·(ir1 + a · ir2 + a2 · ir3

)n'est autre que le phaseur spatial du courant rotorique exprimé dans le référentieldu rotor, i.e. dans un référentiel tournant avec le rotor et repéré par l'angle p · θ :

irr(t) =2

3·(ir1 + a · ir2 + a2 · ir3

)Cela pris en compte, les simplications suivantes sont amenées pour les troisderniers termes :

LaA · cos (p · θ) · irr(t) + LaA · cos

„p · θ +

2 · π

3

«· a

2 · irr(t) + LaA · cos

„p · θ −

2 · π

3

«· a · i

rr(t)

= LaA ·„

cos (p · θ) + cos

„p · θ +

2 · π

3

«· a

2+ cos

„p · θ −

2 · π

3

«· a

«· i

rr(t)

= LaA ·„

cos (p · θ) + cos

„p · θ +

2 · π

3

«·„

cos

„4 · π

3

«+ j · sin

„4 · π

3

««+ cos

„p · θ −

2 · π

3

«·„

cos

„2 · π

3

«+ j · sin

„2 · π

3

«««· i

rr(t)

= LaA ·

cos (p · θ)−1

2· cos

„p · θ +

2 · π

3

«−

1

2· cos

„p · θ −

2 · π

3

«+ j ·

−√

3

2· cos

„p · θ +

2 · π

3

«+

√3

2· cos

„p · θ −

2 · π

3

«!!· i

rr(t)

= LaA ·„

cos (p · θ)− cos (p · θ) · cos„

2 · π

3

«+ j ·

„√3 · sin (p · θ) · sin

„2 · π

3

«««· i

rr(t)

= LaA ·„

3

2· cos (p · θ) + j ·

3

2· sin (p · θ)

«· i

rr(t)

=3

2· LaA · e

j·p·θ · irr(t)

Or, l'expression du phaseur de courant rotorique dans le référentiel rotorique estdonnée par :

irr(t) = isr(t) · e−j·p·θ

Finalement, le phaseur de ux totalisé statorique a l'expression très compacte :

ψss(t) = (Laa − Lab)︸︷︷︸

Ls

·iss(t) +3

2· LaA︸︷︷︸Lsr

·isr(t)

= Ls · iss(t) + Lsr · isr(t)

(4.25)

On procède de même pour le ux rotorique, partant de

ψA = LAA · iA + LAB · iB + LAC · iC + LaA · ia + LaB · ib + LaC · icψB = LBA · iA + LBB · iB + Lbc · iC + LbA · ia + LbB · ib + LbC · icψC = LCA · iA + LCB · iB + LCC · iC + LcA · ia + LcB · ib + LcC · ic

L'isotropie du circuit magnétique implique à nouveau que :

LAA = LBB = LCCLAB = LAC = LBC




d'où :

ψA =LAA · iA + LAB · iB + LAB · iC

+ LaA · cos (p · θ) · ia + LaA · cos

(p · θ +

2 · π3

)· ib + LaA · cos

(p · θ − 2 · π

3

)· ic

ψB =LAB · iA + LAA · iB + LAB · iC

+ LaA · cos

(p · θ − 2 · π

3

)· ia + LaA · cos (p · θ) · ib + LaA · cos

(p · θ +

2 · π3

)· ic

ψC =LAB · iA + LAB · iB + LAA · iC

+ LaA · cos

(p · θ +

2 · π3

)· ia + LaA · cos

(p · θ − 2 · π

3

)· ib + LaA · cos (p · θ) · ic

Après quelques calculs semblables à ceux précédemment eectués pour le calculdu phaseur de ux statorique, on trouve l'expression du phaseur ux rotoriqueexprimé dans le référentiel xe :

ψsr(t) = Lr · isr(t) + Lsr · iss(t) (4.26)

Equations de tensions ([2], 6.2, 6.3, 6.4)

Les équations de tensions de chacune phases statoriques et rotoriques sont lessuivantes :

ua(t) = Rs · ia(t) +dψadt

ub(t) = Rs · ib(t) +dψbdt

uc(t) = Rs · ic(t) +dψcdt

uA(t) = Rr · iA(t) +dψAdt

uB(t) = Rr · iB(t) +dψBdt

uC(t) = Rr · iC(t) +dψCdt

En se référant au paragraphe consacré à la commande vectorielle de la machinesynchrone auto-commutée, les équations de tensions des enroulements statoriqueset rotorique peuvent être ré-écrites en faisant intervenir les phaseurs spatiaux. Lesmêmes équations sont ainsi exprimées dans le référentiel statorique biphasé enmultipliant les équations de tensions des phases a par 2

3, b par 2

3· ej· 2·π3 et c




par 23· ej· 4·π3 et en faisant bien sûr intervenir les phaseurs de ux précédemment

obtenus. Après calculs, on a :

uss(t) = Rs · iss(t) +dψs

s(t)

dt(4.27)

usr(t) = Rr · isr(t) +dψs

r(t)

dt− j · p · ω · ψs

r(t) (4.28)

Cas particulier : régime permanent sinusoïdal

Lorsque le moteur travail à couple et vitesse constants et que son statorest alimenté par un système de 3 tensions et courants sinusoïdaux de pulsa-tion constante ωs, tous les autres signaux sont, sous l'hypothèse de linéarité,également sinusoïdaux de même pulsation. Les phaseurs complexes ont alors unmodule constant, tournent à la vitesse angulaire constante ωs et ont des positionsangulaires relatives constantes ; ils prennent alors la forme générale :

xss(t) = X · ej·(ωs·t+ϕ)

Leur dérivée par rapport au temps revient dans ce cas particulier à simplementles multiplier par j · ωs :

d

dtxss(t) = j · ωs ·X · ej·(ωs·t+ϕ) = j · ωs · xss(t)

Les équations de tension (4.27) et (4.28) prennent alors la forme, le rotor étantcourt-circuité impliquant que usr(t) = 0 [V] :


s(t)

dt= Rs · iss(t) + j · ωs · ψss(t)= Rs · iss(t) + j · ωs · (Ls · iss(t) + Lsr · isr(t))= Rs · iss(t) + j · ωs · Lσs · iss(t) + j · ωs · Lsr · (iss(t) + isr(t))

usr(t) = 0 [V]

= Rr · isr(t) +dψs

r(t)

dt− j · p · ω · ψs

r(t)

= Rr · isr(t) + j · ωs · ψsr(t)− j · p · ω · ψsr(t)

= Rr · isr(t) + j · ωs · (Lr · isr(t) + Lsr · iss(t))− j · p · ω · (Lr · isr(t) + Lsr · iss(t))= Rr · isr(t) + j · (ωs − p · ω) · Lr · isr(t) + j · (ωs − p · ω) · Lsr · iss(t)

=Rr

ωs−p·ωωs

· isr(t) + j · ωs · Lr · isr(t) + j · ωs · Lsr · iss(t)

=Rr

ωs−p·ωωs

· isr(t) + j · ωs · Lσr · isr(t) + j · ωs · Lsr · (iss(t) + isr(t))




L s sR s L s r '

L h s

R r ' / s

U s

I s

I m

I r '

U h s

f _ 0 4 a _ 0 2 . e p s

Fig. 4.24 Schéma équivalent en T. Il est important de rappeler que ce schéman'est valable qu'en régime permanent sinusoïdal (chier source).

Les équations obtenues

uss(t) = Rs · iss(t) + j · ωs · Lσs · iss(t) + j · ωs · Lsr ·

isµ(t)︷︸︸︷(iss(t) + isr(t))

usr(t) = 0 [V] =Rr

ωs−p·ωωs

· isr(t) + j · ωs · Lσr · isr(t) + j · ωs · Lsr · (iss(t) + isr(t))︸︷︷︸isµ(t)

correspondent au schéma en T de la gure 4.24 !

4.4.2 Couple électromagnétique

L'établissement de l'expression du couple électromagnétique Tem peut être faitpar bilan énergétique ([2], 6.3.5 et 6.4.1]). On obtient :

Tem(t) =3

2· =ψ∗s· i∗s

Le couple est bien sûr indépendant du référentiel dans lequel les phaseurs sontexprimés. Dans le cas général, le référentiel porte l'indice k. Partant des équationsde ux totalisés dans le référentiel quelconque k

ψks(t) = Ls · iks(t) + Lsr · ikr(t)

ψkr(t) = Lr · ikr(t) + Lsr · iks(t)

on peut exprimer le couple sous une forme légèrement diérente. On a toutd'abord

ψks(t) =

LsrLr

· ψkr(t) + Ls ·

(1− L2

sr

Ls · Lr

)· iks(t)






puis

ψks(t)∗ · iks(t) =

LsrLr

· ψkr(t)∗ · iks(t) + Ls ·

(1− L2

sr

Ls · Lr

)· iks(t)∗ · iks(t)

=LsrLr

· ψkr(t)∗ · iks(t) + Ls ·

(1− L2

sr

Ls · Lr

)·∣∣iks(t)∣∣2︸︷︷︸

réel

et nalement :

Tem(t) =3

2· =ψks(t)∗ · iks(t)

=

3

2· LsrLr

· =ψkr(t)∗ · iks(t)

(4.29)

Cette dernière expression sera mise à prot au paragraphe suivant.

4.4.3 Equations la machine asynchrone dans le référentieltournant à la vitesse synchrone

Equations de tension

En se plaçant dans un référentiel tournant à la vitesse angulaire de synchro-nisme ωs, les équations de tensions exprimées dans le référentiel statorique


s(t)

dt(4.27)

usr(t) = Rr · isr(t) +dψs

r(t)

dt− j · p · ω · ψs

r(t) (4.28)

deviennent, en faisant les susbtitutions :

uss(t) = uks(t) · ej·θs

iss(t) = iks(t) · ej·θs

usr(t) = ukr(t) · ej·θs

isr(t) = ikr(t) · ej·θs

ψss(t) = ψk

s(t) · ej·θs

ψsr(t) = ψk

r(t) · ej·θs

uks(t) · ej·θs = Rs · iks(t) · ej·θs +d

dt

(ψks(t) · ej·θs

)ukr(t) · ej·θs = Rr · ikr(t) · ej·θs +

d

dt

(ψkr(t) · ej·θs

)− j · p · ω · ψk

r(t) · ej·θs




En eectuant les dérivées, on obtient

uks(t) · ej·θs = Rs · iks(t) · ej·θs + ej·θs ·dψk

s(t)

dt+ ψk

s(t) · d

dtej·θs

= Rs · iks(t) · ej·θs + ej·θs ·dψk

s(t)

dt+ ψk

s(t) · j · ωs · ej·θs

ukr(t) · ej·θs = Rr · ikr(t) · ej·θs + ej·θs · ddtψkr(t) + ψk

r(t) · d

dtej·θs − j · p · ω · ψk

r(t) · ej·θs

= Rr · ikr(t) · ej·θs + ej·θs · ddtψkr(t) + ψk

r(t) · j · ωs · ej·θs − j · p · ω · ψk

r(t) · ej·θs

et en simpliant par ej·θs , puis regroupant les termes, les équations prennent laforme nale :

uks(t) = Rs · iks(t) +dψk

s(t)

dt+ j · ωs · ψks(t) (4.30)

ukr(t) = 0 [V] = Rr · ikr(t) +dψk

r(t)

dt+ j · (ωs − p · ω) · ψk

r(t) (4.31)

Pour les ux totalisés, on a également :

ψks(t) = Ls · iks(t) + Lsr · ikr(t) (4.32)

ψkr(t) = Lr · ikr(t) + Lsr · iks(t) (4.33)

4.4.4 Orientation du système d'axes (tournant) par rap-port au ux rotorique

Le rotor étant court-circuité, on a ukr(t) = 0 [V] et la seconde équation detension (4.31) peut s'écrire :

dψkr(t)

dt= −Rr · ikr(t)− j · (ωs − p · ω) · ψk

r(t) (4.34)

En y introduisant l'expression (4.35) de ikr(t)

ikr(t) =1

Lr·(ψkr(t)− Lrs · iks(t)

)(4.35)




tirée de l'équation (4.33) donnant le ux rotorique ψkr(t), on a successivement, en

combinant (4.34), (4.35) et insérant les équations de tension (4.30), (4.31) :

dψkr(t)

dt= −Rr ·

1

Lr·(ψkr(t)− Lrs · iks(t)

)− j · (ωs − p · ω) · ψk

r(t)

dψkr(t)

dt= −

(Rr

Lr+ j · (ωs − p · ω)

)· ψk

r(t) +Rr ·

LrsLr

· iks(t)

LrRr

·dψk

r(t)

dt= −

(1 + j · (ωs − p · ω) · Lr

Rr

)· ψk

r(t) + Lrs · iks(t)

Tr ·dψk

r(t)

dt= − (1 + j · (ωs − p · ω) · Tr) · ψkr(t) + Lrs · iks(t)

(4.36)

Les composantes réelle (axe d) et imaginaire (axe q) de cette équation (4.36)sont :

Tr ·dψkrd(t)

dt= −ψkrd(t) + (ωs − p · ω) · Lr

Rr

· ψkrq(t) + Lrs · iksd(t) (4.37)

Tr ·dψkrq(t)

dt= −ψkrq(t)− (ωs − p · ω) · Lr

Rr

· ψkrd(t) + Lrs · iksq(t) (4.38)

Considérant l'équation de l'axe imaginaire q, on voit que le ux ψkrq(t) se réduità 0 [V · s] si l'on parvient à imposer une pulsation de glissement ωs − p · ω telleque :

(ωs − p · ω) =Lsr

Tr · ψkrd(t)· iksq(t) =

1

KG

· iksq(t) (4.39)

En eet :

Tr ·dψkrq(t)

dt= −ψkrq(t)− (ωs − p · ω) · Tr · ψkrd(t) + Lsr · iksq(t)︸︷︷︸

0 [V·s]

Tr ·dψkrq(t)

dt+ ψkrq(t) = 0 [V · s]

ψkrq(t) −→ 0 [V · s] (4.40)

Cela signie que le phaseur de ux est xé sur l'axe d du référentiel tournant,l'équation diérentielle du ux rotorique se réduisant à celle de la composanteréelle d :

Tr ·dψkrd(t)

dt= −ψkrd(t) + (ωs − p · ω) · Lr

Rr

· ψkrq(t) + Lrs · iksd(t)

ψkrq(t) −→ 0 [V · s]




q

d

q s - q k

i s qk

Y Yrk

r dk=

i sk

q s

i s dk

C o u r a n t a x e qp r o p o r t i o n n e la u c o u p l e

C o u r a n t a x e dc r é e l e f l u xr o t o r i q u e f _ 0 4 b _ 3 . e p s

Fig. 4.25 Position des phaseurs de ux et de courant dans un référentiel dqtournant à la pulsation de synchronisme ωs. La stratégie de commande, consistantà imposer la pulsation de synchronisme ωs telle que (ωs − p · ω) = Lsr

Tr·ψkrd(t)

· iksq(t),tend à annuler, en régime permanent, la composante imagninaire (q) du uxrotorique : ψk

r(t) = ψkrd(t) + j · ψkrq(t) = ψkrd(t) = ψr. Il s'ensuit également que le

couple électromagnétique du moteur est alors donné par la relation très simpleTem = 3

2· Lsr

Lr· ψkrd · iksq, autorisant dès lors l'utilisation du moteur comme servo-

entraînement (chier source).

donc :

Tr ·dψkrd(t)

dt= −ψkrd(t) + Lsr · iksd(t) (4.41)

La relation (4.39) dénit le paramètre KG liant le courant actif à la pulsation deglissement :

KG =iksq(t)

ωs(t)− p · ω(t)=Tr · ψkrd(t)

Lsr=

Lr

Rr· ψkrd(t)Lsr

(4.42)

La gure 4.25 montre la position des phaseurs de ux et de courant dans lesconditions de pilotage discutées. Le système d'axes dq tourne à la pulsation ωs.

En reprenant l'expression du couple (4.29), on a :

Tem =3

2· LsrLr

· =ψkr(t)∗ · iks(t)

=

3

2· LsrLr

· ψkrd · =iks(t)

La dernière mise en forme à faire montre toute la puissance de cette stratégie depilotage, puisque l'on aboutit sur la relation extrêmement simple :

Tem(t) =3

2· LsrLr

· ψkrd(t) · iksq(t) = KT · iksq(t)




http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_04/Figures///f_04b.dsf


1s T r×

SL s ri s d ( t )

-

y r = y r d ( t )

ks qr

r

s re m i

L

LT ×××= y

2

3

i s q ( t ) T e m ( t )

( ) s qr dr

s rs i

T

Lp ×

×=×-

yww

32

1×

L rL s r

1T r

w s - p w

f _ 0 4 b _ 1 . e p s

Fig. 4.26 Liens entre les courants des axes d et q du référentiel tournant à lavitesse de synchronisme ωs et calé sur le phaseur de ux rotorique ψsr = ψksd etles grandeurs ψsr et Tem (chier source).

Si le ux rotorique ψkrd(t) est maintenu constant, le couple électromagnétique estsimplement proportionnel au courant iksq(t) de l'axe transverse ! On peut proterde cette relation pour dénir la constante de couple du moteur :

KT =Tem(t)

iksq(t)=

3

2· LsrLr

· ψkrd(t) (4.43)

Le ux rotorique est contrôlé par le courant dans l'axe d via une constante de

temps (Tr), comme le montre l'équation diérentielle (4.41 ) Tr·dψk

rd(t)

dt= −ψkrd(t)+

Lsr · iksd(t), et l'on s'assure qu'il reste xé sur l'axe réel du référentiel tournant enimposant une pulsation de glissement de valeur (ωs − p · ω) = Lsr

Tr·ψkrd(t)

· iksq(t).En orientant le ux rotorique sur l'axe réel du référentiel tournant, on a ainsi

considérablement simplié les équations du moteur asynchrone, que l'on perçoitdans ce référentiel comme un moteur à courant continu à excitation séparée ajus-table. En variant ikrq(t), on a une action directe sur le couple, alors qu'un ajustagede ikrd(t) modie la magnétisation de la machine, ce qui est exploité en régime desurvitesse (aaiblissement de champ).

La gure 4.26 montre le schéma fonctionnel de la machine asynchrone corres-pondant, liant les courants des axes d et q aux grandeurs importantes que sontle couple électromagnétique et la pulsation de glissement.

Les limites de la méthode résident dans la connaissance du ux rotorique,grâce auquel la bonne pulsation de glissement selon (4.39) peut être calculée.L'utilisation de capteurs de ux étant quasi exclue, plusieurs solutions proposent






la mise en oeuvre d'un observateur de ux, par lequel ψr est reconstruit, connais-sant d'autres grandeurs mesurées (courants, tension, position). Le problème n'estcependant pas parfaitement résolu à ce jour, malgré pléthore d'études et re-cherches lui ayant été consacrées. Le schéma de la gure 4.27 page suivante repré-sente les diérentes fonctions nécessaires à la mise en oeuvre de cette commandevectorielle.

Si l'on admet toutefois que le ux rotorique est rigoureusement constant etpurement réel, ce que tend à faire la commande de glissement selon (4.39) pourvuque Tr et Lsr soit connues, on peut alors admettre, selon (4.41) que

ψkr(t) = ψkrd(t) + j · ψkrq(t) = ψkrd(t) + j · 0 [V · s] = Lsr · iksd(t) (4.44)

et l'on peut dès lors se passer d'observateur de fux rotorique et xer la consignede courant dans l'axe d constante selon

iksdc ∝1

Lsr· ψkrd(t) (4.45)

Le schéma de commande devient alors celui de la gure 4.28 page 278




S

S

i sm1

u 10

i sm2

i sm3

u 20

u 30

-

i dc

1/K

TT

emc

q

i s1

i s 2

is3

u s1

u s 2

us3

u 10

u 20 u 3

0

u N

COMMANDE&

CONVERTISSEUR

posi

tion

ang

ulai

redu

rot

or

cons

igne

de

flux

rot

oriq

ue

3

2

s

u cm

1

u cm

2

u cm

3

2

3s

k

sin(qs)

cos(qs)1/

s

u d u q

Rég

ulat

eurs

deco

uran

ts

i d i q

u ds

u qs i ds

i qs

év. a

u ré

gula

teur

de p

osit

ion

S -

cos

sin

S-

Yrd

c=Y

rc

Obs

erva

teur

de f

lux

ws-

pwq s

Rég

ulat

eur

de f

lux

Yrd ?i q

c

cons

igne

de c

oupl

e

f_04

b_2.

eps

1/K

G

p

Fig. 4.27 Fonctions nécessaires à la mise en oeuvre de cette commande vecto-rielle (chier source).






S

S

i sm1

u 10

i sm2

i sm3

u 20

u 30

-

i dc

Tem

c

q

i s1i s 2

is3

u s1

u s 2

us3

u 10

u 20 u 3

0

u N

3

2

s

u cm

1

u cm

2

u cm

3

2

3s

k

sin(qs)

cos(qs)

1/s

u d u q

i d i q

u ds

u qs i ds

i qs

S -

cos

sin

Yrd

c=Y

rc

ws-

pwq s

Yrd

c

i qc

f_04

b_4.

eps

1/K

T

sr

rdr

GL

TK

Y×=

1/K

G

PI

PI

rdrsr

TLL

KY×

×=

231/L

sr

COMMANDE&

CONVERTISSEUR

cons

igne

de

flux

rot

oriq

ue

Rég

ulat

eurs

deco

uran

ts

év. a

u ré

gula

teur

de p

osit

ion

cons

igne

de c

oupl

e

posi

tion

ang

ulai

redu

rot

orp

Fig. 4.28 Schéma de commande vectorielle du moteur asynchrone, en admet-tant que le ux rotorique est, comme souhaité, purement réel et constant. C'estle calcul de la commande de glissement via le paramètre KG qui xe cette con-guration (chier source).






4.4.5 Fonctions de transfert tension-courant

L'ajustage des régulateurs PI de courants statoriques apparaissant sur leschéma de commande de la gure 4.27 page 277 doit se faire sur la base d'uneconnaissance du comportement statique et dynamique du système à régler liantla tension uks(t) et le courant i

ks(t) statoriques. Les régulateurs travaillant dans le

système d'axes tournant, le modèle recherché doit bien sûr être calculé dans cesystème d'axes. D'un point de vue temporel, le modèle est donné par les équations(4.30), (4.31), (4.32) et (4.33) :

uks(t) = Rs · iks(t) +dψk

s(t)

dt+ j · ωs · ψks(t) (4.30)

ukr(t) = 0 [V] = Rr · ikr(t) +dψk

r(t)

dt+ j · (ωs − p · ωméc) · ψkr(t) (4.31)

ψks(t) = Ls · iks(t) + Lsr · ikr(t) (4.32)

ψkr(t) = Lr · ikr(t) + Lsr · iks(t) (4.33)

A noter que pour éviter toute confusion avec la pulsation ω utilisée lors de l'ana-lyse fréquentielle des fonctions de transfert en remplaçant s par j · ω, la vitesseangulaire mécanique a été renommée ωméc.

Le but étant d'obtenir une relation entre l'entrée uks(t) et la sortie iks(t), ilfaut éliminer ψk

s(t), ψk

r(t) et ikr(t). L'introduction de (4.33) dans (4.31) permet

d'éliminer ψkr(t) et d'exprimer ikr(t) en fonction de iks(t) :

ukr(t) = 0 [V] = Rr·ikr(t)+Lr·dikr(t)

dt+Lsr·

diks(t)

dt+j·(ωs − p · ωméc)·

(Lr · ikr(t) + Lsr · iks(t)

)L'équation de tension obtenue fait apparaître une non-linéarité, puisque les si-gnaux ωs(t) et ωméc(t) multiplient le ux statorique ψk

r(t) et par suite de (4.32)

les courants iks(t) et ikr(t). En admettant que la pulsation électrique statorique ωs

ainsi que celle de glissement ωr = ωs− p ·ωméc soient constantes, dénissant ainsiun point de fonctionnement, le comportement non-linéaire évoqué disparaît et latransformée de Laplace de l'équation de tension rotorique ci-dessus donne :

0 = Rr ·Ikr(s)+Lr ·s·Ikr(s)+Lsr ·s·Iks(s)+j·(ωs − p · ωméc)·(Lr · Ikr(s) + Lsr · Iks(s)

)On peut alors faire les réarrangements successifs :

0 = [Rr + Lr · s+ j · (ωs − p · ωméc) · Lr] · Ikr(s) + [Lsr · s+ j · (ωs − p · ωméc) · Lsr] · Iks(s)0 = [Rr + (s+ j · (ωs − p · ωméc)) · Lr] · Ikr(s) + (s+ j · (ωs − p · ωméc)) · Lsr · Iks(s)

0 =

[1 + (s+ j · (ωs − p · ωméc)) ·

LrRr

]· Ikr(s) + (s+ j · (ωs − p · ωméc)) ·

LsrRr

· Iks(s)




et obtenir :

Ikr(s) = −(s+ j · (ωs − p · ωméc)) · Lsr

Rr

1 + (s+ j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr

· Iks(s)

Le ux statorique, selon (4.32) peut dès lors s'écrire, dans le domaine de Laplace :

Ψks(s) = Ls · Iks(s)− Lsr ·

(s+ j · (ωs − p · ωméc)) · Lsr

Rr

1 + (s+ j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr

· Iks(s)

=Ls ·

(1 + (s+ j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr

)− Lsr · (s+ j · (ωs − p · ωméc)) · Lsr

Rr

1 + (s+ j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr

· Iks(s)

Cette expression de Ψks(s) peut alors être introduite dans (4.30), en transformée

de Laplace :



HEIG-V


Uks(s) = Rs · Ik

s(s) + s ·Ψks(s) + j · ωs ·Ψk

s(s)

= Rs · Iks(s) + (s + j · ωs) ·Ψk

s(s)

= Rs · Iks(s) + (s + j · ωs) ·

Ls ·(1 + (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr

)− Lsr · (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lsr

Rr

1 + (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr

· Iks(s)

=

Rs + (s + j · ωs) ·Ls ·

(1 + (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr


Rr

1 + (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr

· Iks(s)

=Rs ·

(1 + (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr

)+ (s + j · ωs) ·

[Ls ·

(1 + (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr


Rr

]1 + (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr

· Iks(s)

= Rs ·1 + (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr+ (s + j · ωs) ·

[Ls

Rs·(1 + (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr

)− Lsr

Rs· (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lsr

Rr

]1 + (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr

· Iks(s)

= Rs ·1 + (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr+ (s + j · ωs) · Ls

Rs·(1 + (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr

)− (s + j · ωs) · Lsr

Rs· (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lsr

Rr

1 + (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr

· Iks(s)

= Rs ·1 + (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr+ (s + j · ωs) · Ls

Rs+ (s + j · ωs) · (s + j · (ωs − p · ωméc)) ·

[Ls

Rs· Lr

Rr− Lsr

Rs· Lsr

Rr

]1 + (s + j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr

· Iks(s)

La fonction de transfert recherchée peut donc s'écrire :

Gkui(s) =

Iks(s)

Uks(s)

=1

Rs

·1 + (s+ j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr

1 + (s+ j · (ωs − p · ωméc)) · Lr

Rr+ (s+ j · ωs) · Ls

Rs+ (s+ j · ωs) · (s+ j · (ωs − p · ωméc)) · Ls·Lr−L2

sr

Rs·Rr

Chapitre1,v.1.4

281MEE\cours_

er.te

x\12novembre

2006



Il est à ce stade nécessaire de rappeler que l'on a admis que les pulsationsωs et ωméc étaient constantes. On voit qu'elles interviennent dans la fonction detransfert au même titre que la variable de Laplace s. La réponse harmoniquedu système à régler s'obtenant en posant s = j · ω, on observe que la zone depulsations critique pour la stabilité en boucle fermée, soit la zone à laquelle uneconnaissance précise du modèle est nécessaire ou encore la zone correspondant àla pulsation de coupure à 0 [dB] en boucle ouverte ωco, se situe par nature à unevaleur bien supérieure à la pulsation de glissement ωs − p · ωméc voire même dela pulsation électrique statorique ωs. En conséquence, il est possible de simpliercette fonction de transfert en négligeant tous les termes en j · (ωs − p · ωméc)devant s = j · ω. On a alors :

Gkui(s) =

Iks(s)

Uks(s)

=1

Rs

·1 + s · Lr

Rr

1 + s · Lr


Rs+ (s+ j · ωs) · s · Ls·Lr−L2

sr

Rs·Rr

=1

Rs

·1 + s · Lr

Rr

1 + s · Lr


Rs+ (s+ j · ωs) · s · Ls·Lr−L2

sr

Rs·Rr

=1

Rs

·1 + s · Lr

Rr

1 + s ·(Lr

Rr+ Ls

Rs

)+ s2 · Ls·Lr−L2

sr

Rs·Rr+ j · ωs ·

(Ls

Rs+ s · Ls·Lr−L2

sr

Rs·Rr

)Il est désormais possible de calculer les fonctions de transfert correspondantes

des axes d et q ; on a :

Gkui(s) =

Iks(s)

Uks(s)

=Iksd(s) + j · Iksq(s)Uksd(s) + j · Uk

sq(s)(Uksd(s) + j · Uk

sq(s))·Gk

ui(s) = Iksd(s) + j · Iksq(s)



HEIG-V


Uksd(s) + j · Uk

sq(s) =(Iksd(s) + j · Iksq(s)

)· 1

Gkui(s)

=(Iksd(s) + j · Iksq(s)

)·Rs ·

1 + s ·(Lr

Rr+ Ls

Rs

)+ s2 · Ls·Lr−L2

sr

Rs·Rr+ j · ωs ·

(Ls


sr

Rs·Rr

)1 + s · Lr

Rr

= Rs ·1 + s ·

(Lr

Rr+ Ls

Rs

)+ s2 · Ls·Lr−L2

sr

Rs·Rr

1 + s · Lr

Rr

· Iksd(s)−Rs ·ωs ·

(Ls


sr

Rs·Rr

)1 + s · Lr

Rr

· Iksq(s)

+ j ·

Rs ·1 + s ·

(Lr

Rr+ Ls

Rs

)+ s2 · Ls·Lr−L2

sr

Rs·Rr

1 + s · Lr

Rr

· Iksq(s) +Rs ·ωs ·

(Ls


sr

Rs·Rr

)1 + s · Lr

Rr

· Iksd(s)

L'identication terme à terme amène les égalités :

Uksd(s) = Rs ·

1 + s ·(Lr

Rr+ Ls

Rs

)+ s2 · Ls·Lr−L2

sr

Rs·Rr

1 + s · Lr

Rr

· Iksd(s)−Rs ·ωs ·

(Ls


sr

Rs·Rr

)1 + s · Lr

Rr

· Iksq(s) (4.46)

Uksq(s) = Rs ·

1 + s ·(Lr

Rr+ Ls

Rs

)+ s2 · Ls·Lr−L2

sr

Rs·Rr

1 + s · Lr

Rr

· Iksq(s) +Rs ·ωs ·

(Ls


sr

Rs·Rr

)1 + s · Lr

Rr

· Iksd(s) (4.47)

Chapitre1,v.1.4

283MEE\cours_

er.te

x\12novembre

2006



On en déduit les fonctions de transferts directes des axes d et q :

Gkuid(s) = Gk

uiq(s) =Iksd(s)

Uksd(s)

=Iksq(s)

Uksq(s)

=1

Rs

·1 + s · Lr

Rr

1 + s ·(Lr

Rr+ Ls

Rs

)+ s2 · Ls·Lr−L2

sr

Rs·Rr

Les fonctions de transfert Gkuid(s) et Gk

uiq(s) peuvent être grossièrement fac-torisées comme suit :

Gkuid(s) = Gk

uiq(s) =1

Rs

·1 + s · Lr

Rr

1 + s ·(Lr

Rr+ Ls

Rs

)+ s2 · Ls·Lr−L2

sr

Rs·Rr

≈ 1

Rs

·1 + s · Lr

Rr(1 + s ·

(Lr

Rr+ Ls

Rs

))·(1 + s · Lσs+Lσr

Rs+Rr

)En eet :(

1 + s ·(LrRr

+LsRs

))·(

1 + s · Lσs + LσrRs +Rr

)

= 1 + s ·

LrRr

+LsRs

+Lσs + LσrRs +Rr︸︷︷︸négligeable

+ s2 · Lσs + LσrRs +Rr

·

LrRr

+

≈Lr︷︸︸︷LsRs

≈ 1 + s ·

(LrRr

+LsRs

)+ s2 · Lσs + Lσr

Rs +Rr

·(Lr ·Rs + Lr ·Rr

Rr ·Rs

)= 1 + s ·

(LrRr

+LsRs

)+ s2 · Lr · Lσs + Lr · Lσr

Rr ·Rs

≈ 1 + s ·(LrRr

+LsRs

)+ s2 · Lr · Ls − L2

sr

Rr ·Rs

car

Lr · Ls − L2sr

= (Lsr + Lσr) · (Lsr + Lσs)− L2sr

= L2sr + Lsr · Lσr + Lsr · Lσs +

négligeable︷︸︸︷Lσr · Lσs−L2

sr

≈ Lsr · Lσr + Lsr · Lσs

Les constantes de temps Lr

Rr+ Ls

Rset Lr

Rrsont structurellement situées dans la

même gamme de temps/fréquence. D'un point de vue fréquentiel, elles ne sont




pas loin de se compenser mutuellement. On note de plus que les fonctions detransfert Gk

uid(s) = Gkuiq(s) comportent des éléments basses fréquences, comme

les constantes de temps ci-dessus ainsi qu'une constante de temps haute fréquenceLσs+Lσr

Rs+Rr. Seule celle-ci devrait jouer un rôle pour l'ajustage du régulateur de cou-

rant, puisque la pulsation de coupure ωco à 0 [dB] en boucle ouverte se situetypiquement dans la gamme des 1000 − 10000

[rads

](gure 4.29 page suivante).

L'eort d'identication doit donc porter sur la détermination de la constante detemps

Lσs + LσrRs +Rr

en vue de la compenser ensuite avec le régulateur PI de l'axe concerné. Dans lagamme de pulsations citée plus haut, on a typiquement j ·ω· Lr

Rr 1 et j ·ω· Lr

Rr 1

et donc :

1 + j · ω · LrRr

−→ j · ω · LrRr

1 + j · ω ·(LrRr

+LsRs

)−→ j · ω ·

(LrRr

+LsRs

)En conséquence, dans ladite zone de pulsations, la fonction de transfert tend vers :

Gkuid(s) = Gk

uiq(s) ≈1

Rs

·1 + s · Lr

Rr(1 + s ·

(Lr

Rr+ Ls

Rs

))·(1 + s · Lσs+Lσr

Rs+Rr

)−→ 1

Rs

·s · Lr

Rr(s ·(Lr

Rr+ Ls

Rs

))·(1 + s · Lσs+Lσr

Rs+Rr

)−→ 1

Rs

·Lr

Rr

Lr

Rr+ Ls

Rs

· 1(1 + s · Lσs+Lσr

Rs+Rr

)−→ 1

Rs

·Lr

Rr

≈Lr ·(Rs+Rr)︷︸︸︷Lr ·Rs + Ls ·Rr

Rr·Rs

· 1(1 + s · Lσs+Lσr

Rs+Rr

)−→ 1

Rs +Rr

· 1

1 + s · Lσs+Lσr

Rs+Rr

Il est en principe susant de connaître cette fonction de transfert pour ajusterle régulateur de courant.

La gure 4.31 page 288 montre les résultats de l'identication de cette fonctionde transfert, pratiquée sur l'un des moteurs du asynchrones du laboratoire d'en-traînements réglés de l'eivd (http ://iai.eivd.ch/users/mee). Comme le montrela gure 4.30 page 287, la phase d du moteur a dans le but de l'identier étésoumise à une somme de sinus à phase aléatoire (signal d'excitation : tension de



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er/


w [ r a d / s ]

A ( w ) |[ d B ]

0 [ d B ]w c o = p / T r e g

| G o ( j w ) |

w [ r a d / s ]

f ( w ) |[ d e g ]0

f _ 0 4 b _ 8 . e p s

- 1 3 5 - 1 8 0

z o n e o ù l e m o d è l ed o i t ê t r e p r é c i s

a r g G o ( j w )

w c o = p / T r e g

Fig. 4.29 Connaissant la durée de réglage Treg de l'application, on peut estimerla valeur nécessaire de la pulsation coupure ωco à 0 [dB] en boucle ouverte. Cetteinformation permet ensuite de xer le domaine de pulsation dans le lequelle lamodélisation et/ou l'identication devront être eectuées avec un soin particulier,la précision du modèle au voisinage de ωco étant nécessaire pour satisfaire le critèrede Nyquist [25] (chier source).






0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−15

−10

−5

0

5

10

u N(k

)

Signal d’entrée : Sinus à phase aléatoire de 1024 points

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−3

−2

−1

0

1

2

3

t [s]

y N(k

)

Réponse du système au sinus à phase aléatoire

f_lse_m_04_mesures_id_as_2_1.eps

Fig. 4.30 Excitation et réponse de la phase d d'un moteur asynchrone envue l'identier de manière paramétrique et non-paramétrique [26]. En haut lacommande tension de l'axe d, en bas le courant correspondant de ce même axe.Le traitement de ces signaux permet d'estimer la réponse fréquentielle du systèmeet même les paramètres de sa fonction de transfert (chier source).

phase usd(k) souhaitée) et le courant phase correspondant a été mesuré (signalde sortie : courant de phase mesuré isd(k)). Les identications paramétrique etnon-paramétrique ([26], chap.8) amènent à valider le modèle discret

G(z) =Isd(z)

Usd(z)=

0.0598 · z + 0.0598

z2 − 0.7206 · z − 0.1937=

0.0598 · (z + 1)

(z − 0.9291) · (z + 0.2084)

Le pôle discret dominant p1 = 0.9291 correspond selon la relation z = es·h [26] aupôle analogique s1 = 1

h· log (p1). On en déduit la constante de temps dominante

du modèle :

Lσs + LσrRs +Rr

=1

−s1

= − log (p1)

h= − log (0.9291)

125 [µs]= 1.7 [ms]

On peut encore dénir les fonctions de transfert traduisant le couplage entre



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_04/Figures/f_lse_m_04_mesures_id_as_2_1.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_04/matlab///f_lse_m_04.m


101 102 103 104 105−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

Diagrammes de Bode de GARMAX

(ejω h), YN

(ω)/UN

(ω)

101 102 103 104 105−200

−100

0

100

200

ω [rad/s]

G(ejω h)Y

N(ω)/U

N(ω)|

f_lse_m_04_mesures_id_as_2_8.eps

Fig. 4.31 Réponse fréquentielle estimée (ETFE) et réponse fréquentielle dumodèle paramétrique G(z) (chier source).

axes. De (4.46) et (4.47), on extrait :

Uksd(s) = −Rs ·

ωs ·(Ls


sr

Rs·Rr

)1 + s · Lr

Rr

· Iksq(s)

Uksq(s) = +Rs ·

ωs ·(Ls


sr

Rs·Rr

)1 + s · Lr

Rr

· Iksd(s)

d'où :

Gkuiqd(s) =

Iksd(s)

Uksq(s)

= −Gkuidq(s) = −

Iksq(s)

Uksd(s)

=1

Rs

·1 + s · Lr

Rr

ωs ·(Ls


sr

Rs·Rr

)=

1

Rs

·1 + s · Lr

Rr

Ls

Rs· ωs ·

(1 + s · Ls·Lr−L2

sr

Rs·Rr· Rs

Ls

)=

1

ωs · Ls·

1 + s · Lr

Rr

1 + s · Ls·Lr−L2sr

Rr·Ls



http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_04/Figures/f_lse_m_04_mesures_id_as_2_8.pdf

http://www.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_er//chap_04/matlab///f_lse_m_04.m


Bibliographie

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Entraînements réglés - HEIG-VDphp.iai.heig-vd.ch/~mee/cours/cours_er/cours_er.pdf · HEIG -Vd Entraînements réglés ( MET2 ) Préambule Le cours d'entraînements réglés est