Chapitre 4 : production du son par les instruments de musique

1 définition et caractéristiques généralesUn instrument de musique est une machine à fabriquer des sons, c’est-à-dire à produire desvibrations aériennes, des différences de pression acoustique.

Tout instrument nécessite une source d’énergie, qui est généralement le musicien lui-même :force musculaire pour appuyer et tirer un archet, air comprimé des poumons pour exciter untuyau, etc. D’autres fois, c’est un aide du musicien qui joue ce rôle (souffleur de l’orgue,aujourd’hui remplacé par un moteur électrique).

Les instruments traditionnels sont donc des transformateurs d’énergie mécanique en énergievibratoire aérienne.

Pour obtenir un rendement sonore maximum, les facteurs d’instruments tiennent touscompte (souvent empiriquement) de la zone sensible de l’oreille humaine où ils essaient deplacer au mieux les sons de leurs instruments (il est bien inutile de dissiper des quantitésénormes d’énergies si elles sont placées dans des régions où l’oreille, saturée, n’entend plusque du bruit).

Un instrument de musique efficace est donc une machine à fabriquer des sons, dont lefonctionnement et le rayonnement doivent implicitement tenir compte des propriétés dusystème auditif.

Du point de vue mécanique, un instrument de musique comporte nécessairement deuxparties distinctes :

un système excitateur (qui constitue la source des vibrations), auquel le musicien fournit del’énergie ;

un système amplificateur ou résonateur qui est une structure vibrante (corps sonore) dontles déformations sont à l’origine du champ acoustique rayonné, et qui va amplifier lesvibrations produites.

L’excitateur se présente sous des aspects divers. Par exemple, on peut utiliser l’énergiecinétique d’une masse en mouvement (cas des percussions, qui produisent des phénomènesapériodiques ou quasi périodiques, cf. tambour et piano) ou d’une corde vibrante pincée (casde la guitare). Mais l’énergie peut aussi être transformée en vibrations périodiquesentretenues (c’est le cas pour l’archet des instruments à cordes frottées comme le violon oules instruments à anche comme la clarinette).

Le système amplificateur ou « corps sonore », sollicité par l’excitateur, agit à son tour sur l’airambiant, par l’intermédiaire d’une surface solide élastique (table d’harmonie) ou enproduisant en un point assez localisé des variations de pression aérienne de grande intensité(pavillon des cuivres).

Exemples excitateurs/corps sonore :

Pour les instruments à cordes, l’excitateur est une corde vibrante mais une corde seule neproduit qu’un son à peine audible.

Il faut lui associer un résonateur pour transformer efficacement l’énergie mécanique de lavibration en énergie acoustique. Dans la majorité des instruments à cordes, le résonateur estune plaque en épicéa, appelée table d’harmonie, une pièce de bois (en hêtre ou en érable)appelée chevalet servant d’intermédiaire entre la corde et la table.

Le son rayonné par un instrument à cordes provient principalement des déformations de lacaisse (table d’harmonie, fond, éclisses), et de la vibration de l’air enclos dans le volumeintérieur.

Dans les instruments à vent, l’excitateur peut être une anche en roseau (clarinette,saxophone, hautbois), les lèvres de l’instrumentiste (cor, trompette, trombone), un jet d’air surun biseau (flûte, orgue), et le résonateur est la colonne d’air délimitée par le tube del’instrument. L’air contenu dans le tube vibre et le son rayonné par l’instrument provient desorifices de la cavité.

Pour les instruments à percussion, l’excitateur peut être par exemple une lame, une plaqueou une membrane et le résonateur peut être un tuyau ou une caisse contenant de l’air etaccordé sur le fondamental de l’excitateur.

Mode de génération du son dans les trois principaux groupes d’instruments de musique.

On peut tout d’abord classer sommairement les instruments de musique selon le type devibrations sonores produites par l’excitateur : ces vibrations peuvent se classer en deuxcatégories :

les vibrations libres où l’excitation initiale est unique, comme par exemple un choc, unpincement, une brusque compression ou dépression ; l’excitation est suivie d’une séried’oscillations plus ou moins rapidement amorties ;

les vibrations entretenues ou relancées périodiquement, par synchronisation sur un desmodes propres de la structure vibrante.

Dans la première catégorie, on trouve les instruments à percussion, le clavecin, le piano, laguitare, mais aussi le violon lorsqu’on joue en pizzicato. Les vibrations sont dites libres caraprès une action brève (percussion, pincement), le corps n’est plus soumis à aucunesollicitation extérieure, et continue de vibrer librement.

Dans la seconde catégorie, on trouve les instruments à vent (bois, cuivres, orgue) et lesinstruments à cordes frottées (violon, violoncelle, alto, contrebasse). Le son y est entretenupar l’action du souffle pour les vents ou de l’archet pour les cordes.

2 Classification des instruments selon le type d’excitations

Classification des instruments selon le mode de production du son : son entretenu (classe I) ou non entretenu (vibrations libres, classe II).

Les systèmes excités par une seule impulsion (classe II) transforment l’énergie cinétiquequi leur a été communiquée en énergie vibratoire acoustique par le moyen dedéformation des plaques qui les constituent ; celles-ci entraînent la vibration des cavitésaériennes qu’elles délimitent (caisses des tambours, des instruments à cordes).

Les systèmes alimentés par une source d’énergie continue comme le courant d’air ou lefrottement de l’archet (classe I) transforment cette énergie en énergie vibratoire dès lesystème excitateur (archet + corde ou « robinet » périodique de l’anche ou du jet d’air).

Schéma d'un système auto-oscillant

Dans un système auto-oscillant on distingue généralement deux éléments fonctionnels :

Un ou plusieurs résonateurs : Ce sont des éléments passifs. On peut en général les décrire comme des systèmes linéaires (des filtres) On y distingue des modes d'oscillation ayant leurs propres fréquences de résonancesExemples : corde de violon, corps du violon, colonne d'air contenue dans un tuyau d'orgue, membrane d'une timbale

Un excitateur : L'élément actif de l'instrument. Il est chargé de créer et maintenir les oscillations dans les résonateurs, en transformantune source continue d'énergie en un apport pulséeIl s'agit normalement de systèmes fortement non-linéaires

Il peut être difficile de séparer morphologiquement l'excitateur du résonateur, par exempledans le violon, l'excitateur est l'interaction frottement, l'archet pouvant être vu comme unautre résonateur. Autres exemples: la valve constituée par l'anche ou les lèvres dans lescuivres.

Les résonateurs existent aussi dans les instruments à oscillations libres, mais contrairementaux auto-oscillants, on y excite un ou plusieurs modes de résonance et les laisse évoluerlibrement dans le temps.

Les excitateurs existent aussi dans les instruments à oscillations libres, mais leur action estlimitée dans le temps, et il n'existe pas de rétroaction du résonateur vers l'excitateur.

3 Facteurs de qualité d’un instrument de musique3.1 Impératifs anatomo-physiologiques.

Il est indispensable que le musicien soit à l’aise pour jouer : l’instrument ne sera « bon » ques’il est adapté à l’anatomie humaine.

Tout d’abord, la force humaine est limitée. Or, la musique utilise des sons très graves (c’est-à-dire de grande longueur d’onde).

Pour fabriquer des sons de 30 Hz assez intenses pour être nettement perçus (il faut de grandsniveaux pour que les sons graves soient audibles, cf. acoustique physiologique), les poumonsseraient bien insuffisants dans le cas des instruments à vent.

Avec des instruments à cordes, il faudrait des caisses de résonances énormes, impossibles àmanier (cf. l’expérience du luthier Jean-Baptiste Vuillaume qui construisit une contrebasseénorme, l’octo-basse, de 4 m de haut).

Mais les facteurs traditionnels ont toujours su contourner la difficulté en exploitant certainespropriétés de l’oreille, à propos de la sensation de hauteur (absence de fondamental). Biensûr, cela implique certains sacrifices, comme le fait que le timbre devient nasillard, mais lerésultat est atteint.

D’autre part, la main humaine a aussi des limites. Chaque fois que les dimensions de la mainhumaine sont insuffisantes, on doit imaginer une « cléterie » adéquate.

L’octobasse fabriqué par Vuillaume, à la demande deBerlioz, ne possède que trois cordes, accordées ut-1,sol-1 et ut1. L'octobasse descend donc une octave etune tierce plus bas qu'une contrebasse classique, etle son qu'elle produit est beaucoup plus puissant. Surla photo, le personnage (1,65 m) donne l’échelle del’objet (hauteur : 3,45m).

Pour en jouer, l'instrumentiste doit monter sur unpetit escabeau intégré à l’instrument et, du fait de lahauteur du manche, c’est grâce à des leviers et despédales, et non avec ses mains, qu’il agit sur lescordes.

3.2 Impératifs perceptifs

La musique est faite pour être entendue. Les propriétés du système auditif humain impliquentde nombreuses conditions sur la facture des instruments de musique.

Les instruments traditionnels en tiennent compte, car ils se basent sur une longue expérienceempirique, mais sûre, qu’il ne faut pas sous-estimer lorsqu’on essaie aujourd’hui de dépasserpar la technologie électronique l’efficacité auditive des instruments traditionnels.

3.3 Impératifs de fabrication

Les matériaux dont sont faits les instruments traditionnels sont généralement justifiés pourdes raisons variées, acoustiques ou pratiques.

Par exemple, on choisit l’ébène pour la clarinette parce que sa couleur foncée empêche unemaculation visible de l’instrument, parce que sa grande masse volumique empêche les paroisde vibrer, mais aussi parce qu’il est possible de tourner ce bois, d’y planter des boulessoutenant efficacement dans le temps les axes des mécanismes, etc. On choisit l’étain pour lestuyaux d’orgue parce qu’on peut facilement le souder et le déformer lors de l’harmonisation,etc. On choisit l’argent ou le maillechort pour la flûte traversière parce que ces matériaux sepolissent bien et que la soudure d’argent y tient.

La fabrication des instruments impose d’innombrables contraintes techniques de ce genre :chaque fois qu’on a voulu remplacer un matériau traditionnel par un autre, on s’est heurté àdes difficultés sans nombre.

3.4 Impératifs commerciaux

Le facteur étant bien obligé de vendre son instrument pour subsister, le commerce impose desmodes de fabrication qui ne sont pas toujours en rapport avec l’intérêt musical del’instrument.

3.5 Impératifs musicaux

Un bon instrument, en plus de satisfaire aux impératifs perceptifs signalés ci-dessus, doitsurtout permettre de réaliser vite et bien des sons musicaux différents, c’est-à-dire des formesacoustiques déformables dans une large mesure.

Cette condition n’est réalisée que si le musicien peut agir systématiquement sur l’excitation etsur le « corps sonore » de façon à régler aisément, isolément ou simultanément, les troisgrandeurs caractéristiques du son : l’intensité, la hauteur et le timbre.

L’intérêt d’un instrument de musique est directement fonction de ses « champs de libertés ».

3.5.1 champ de liberté de l’intensité

La « dynamique » d’un instrument conditionne ses possibilités expressives.

Elle est fonction des possibilités de modification de la hauteur et du niveau physique des sonset de leur timbre.

L’instrument le plus intéressant est celui qui sera le plus expressif, c’est-à-dire qui permettrales plus larges nuances d’intensité.

3.5.2 champ de liberté des hauteurs

Un instrument intéressant est d’abord celui qui a une large étendue de hauteur, c’est-à-dire« beaucoup de notes » en puissance.

De ce point de vue, le piano (7 octaves) est supérieur au violon (4 octaves ½) ou à la flûte (2octaves ½).

Mais l’intérêt d’un instrument dépend aussi de la possibilité de moduler la hauteur des notesqu’il produit, de l’infléchir à volonté vers le haut ou vers le bas.

Ainsi, l’étendue mise à part, le violon reprend l’avantage sur le piano. Il en est de même pourla flûte.

En revanche, le piano permet la polyphonie, et cette qualité compense l’inconvénient desnotes quasi fixes, donc musicalement peu intéressantes.

3.5.3 champ de liberté des timbres

Certains ont un champ de liberté des timbres presque infini. C’est le cas du violon, où l’on peutagir sur l’excitation de mille manières, à l’inverse de celui de l’orgue, dont les tuyaux ont untimbre pratiquement fixe. Mais pour l’orgue, cet inconvénient est contrebalancé par lapossibilité de combiner ces tuyaux entre eux pour réaliser de véritables synthèses sonoresd’une variété infinie, même avec un petit nombre de jeux.

3.5.4 conclusion : champ de liberté de formes

Ces trois champs de libertés en forment un seul : le champ de liberté des formes. Comme lesculpteur, le musicien, lorsqu’il fabrique un son, modèle en bloc une forme à trois dimensions.

Un instrument de musique intéressant n’est pas nécessairement un instrument compliqué,permettant de jouer de nombreuses notes. C’est un instrument qui permet de réaliser ungrand nombre d’effets, de formes musicales différentes. Sans champs de libertés réglables, lesformes acoustiques sont figées : ce sont des « objets morts », et non les êtres sonores que lamusique réclame.

Si l’on s’intéresse aux instruments de musique du point de vue de leur rendement acoustique,il est raisonnable de les classer selon l’air de famille des groupes de sons qu’ils produisent. Cetair de famille, très clairement mis en évidence par les sonagrammes, dépend en premier lieudes caractéristiques du système excitateur.

La classification devient alors très simple car le nombre de manières d’exciter une plaque, unecolonne d’air, une corde, est tout à fait limité. De plus, cette classification rejoint celle desmusiciens et on distingue ainsi trois grandes familles d’instruments (les « cordes », les« vents » et les « percussions »), divisées elles-mêmes en groupes et en sous groupes.

Nous présentons dans la suite une classification sommaire des instruments. Une classificationplus détaillée est fournie dans l’annexe 5.

Seuls les instruments électroniques et quelques « monstres » de la lutherie sont impossibles àrattacher à l’une ou l’autre de ces catégories.

4.1 les instruments à cordes ou « cordes »

Le système excitateur est une corde faite de matériaux variés et qui fait vibrer un corps sonore,généralement constitué de minces plaques de bois associées de diverses façons ou de peauxtendues sur une caisse (banjo).

Les trois grands groupes de cette famille sont alors définis par la façon d’exciter la corde, quidétermine trois types caractéristiques de sonagrammes :

4 Classification des instruments par familles

la corde frottée fournit par définition des sons entretenus donc harmoniques, à raiesstrictement équidistantes et qui s’éteignent quasi simultanément. L’attaque présente desbruits de frottements brefs, assez faibles et quasi blancs.

la corde pincée à vibration libre, comporte un spectre quasi harmonique dont les raiess’écartent très légèrement au fur et à mesure qu’elles sont placées plus haut. Il s’agit donc d’unspectre légèrement inharmonique. Sur le sonogramme, la note débute par un léger traitvertical, indice du petit choc que produit la corde sur l’instrument au moment où onl’abandonne. Les partiels s’éteignent diversement dans le temps (en général, les partiels gravessonnent plus longtemps que les partiels aigus.

la corde frappée également à vibration libre, présente un spectre identique au casprécédent. Il s’agit donc aussi d’un spectre légèrement inharmonique. Mais ici, le choc del’attaque est beaucoup plus intense : sur le sonogramme, le trait vertical est plus gros et pluslarge et on note des décalages dans l’apparition des divers partiels.

4.2 les instruments à vent ou « vents »

Pour exciter le corps sonore, qui est une colonne d’air avec du vent, il n’existe pratiquementque deux moyens utilisables pour les instruments traditionnels, c’est-à-dire deux excitateurs :souffler sur une arête ou utiliser une anche.

le premier cas (souffle sur une arête) est celui des flûtes (de pan ou traversière) et destuyaux d’orgue dits « à bouche ».

Le spectre est facile à reconnaître : les raies sont équidistantes, puisqu’il s’agit de sonsentretenus, harmoniques par définition.

Mais ces raies sont habituellement en nombre restreint et les harmoniques graves sontrelativement intenses. On note aussi la présence d’un certain taux de bruit venant du souffle.Les transitoires d’attaque sont très caractéristiques : l’attaque est graduelle et lesharmoniques apparaissent dans un ordre irrégulier. L’intensité des harmoniques décroîtrégulièrement avec la fréquence et une ou deux composantes inharmoniques apparaissentavant le son proprement dit (son de bouche).

le second cas (utilisation d’une anche) regroupe plusieurs types, dont les spectres sonttoujours riches en harmoniques. Ceux-ci n’apparaissent pas simultanément. De plus leurintensité n’est pas régulièrement décroissante avec leur rang. On observe généralement des« régions formantiques » où des groupes d’harmoniques voisins sont très intenses. Onregroupe dans cette catégorie plusieurs familles d’instruments, selon le type d’anche qu’ilsutilisent : anches simples, anches doubles, anches libres ou anches lippales (cas des cuivres).

4.3 les instruments à percussion ou « percussions »

Elles se caractérisent par leur transitoire d’attaque qui est généralement brutal et intense.Après le choc, le phénomène peut affecter diverses allures :

un choc sec, sur un matériau très amorti (du bois par exemple) se traduit par une hachureverticale d’une faible largeur. C’est un bruit d’impact ; la crécelle fournit des successions dechocs de ce genre.

un choc coloré, obtenu lorsqu’on frappe une plaque composite en bois ayant, par exemple,deux résonances. Le son possède une certaine « hauteur » mais la sensation en est plus oumoins floue et ambiguë selon le cas.

un choc bruyant, comme par exemple un coup sur un tambour, avec une résonance gravede hauteur indéfinissable.

un choc sur un corps non amorti à deux dimensions importantes, métallique en particulier.S’il est très long (tringle, tube en métal, etc.) ou très mince (plaque de fer), bref s’il a deuxdimensions importantes comparativement à la troisième, on obtiendra un spectre d’allurevaguement harmonique dont les partiels s’éteignent à des moments différents.

un choc sur un corps sonore non amorti, mais ayant trois dimensions comparables (plaqueépaisse, cloche, etc.) produit un spectre tout à fait inharmonique.

Toutes ces percussions ont en commun l’allure du transitoire du début, qui contient toutes lesfréquences et se traduit sur le sonagramme par une hachure verticale.

5 Caractéristiques physiques et perceptives des instruments5.1 Directionnalité

On peut explorer l’espace environnant l’instrument aux différentes fréquences émises, aprèsavoir choisi les conditions expérimentales :

enregistrement en champ libre (anéchoïque) ou en salle réelle ?

à quelle distance de l’instrument faut-il faire les mesures ?

quelle surface d’exploration doit-on choisir ? La surface d’ne sphère centrée surl’instrument ou certains plans de coupe ?

faut-il faire jouer l’instrument par un musicien ou le remplacer par un excitateurnormalisé (archet automatique, soufflerie) ?

Directionnalité du violon dans le plan horizontal passant par le chevalet. On observe unrayonnement omnidirectionnel jusqu’à 500 Hz, puis une prédominance de la zone du chevalet(0°) entre 550 et 1 500 Hz. De 2 000 à 5 000 Hz, on constate de nombreux pics très variablesavec la fréquence.

Directionnalité comparée de la flûte traversière, du trombone à coulisse et du violon.

Légende et commentaire des graphiques précédents

Tous les points d’enregistrement sont à la surface d’une demi sphère de 2m de rayon dontl’instrumentiste est le centre. 1, 2, 3 et 4 sont dans un plan horizontal passant parl’instrument, 5, 6, 7 et 8 sont dans un second plan horizontal situé à 1m du premier ; 9 estdans l’axe vertical passant par la tête du musicien, à 2 m du premier plan.

Pour la flûte, très grande variabilité du champ sonore selon l’angle du micro. Le signal leplus intense est fourni par le micro au zénith (position n°9).

Pour le trombone, le rayonnement est très homogène mais avec une nette prédominancedans l’axe du pavillon (position n°1).

Pour le violon, le spectre est homogène aux basses fréquences, même dans le dos del’instrumentiste (position n°3) ; on remarque d’importantes variations selon la position dumicrophone par rapport à l’instrument à partir de 500 Hz. On peut observer aussi lerenforcement de la zone comprise entre 500 et 1 500 Hz dans l’axe du manche (position n°8).

Etudions à présent les caractéristiques sonores perceptives des instruments, comme latessiture (qui caractérise les hauteurs que l’instrument peut émettre), la dynamique (quicaractérise les intensités que l’instrument peut émettre) et le timbre.

5.2 Tessiture et contenu spectral

La tessiture est l’étendue en fréquence de toutes les notes que peut émettre un instrumentdonné.

Ce qui intéresse le preneur de son n’est pas la fréquence du fondamental, mais le contenuspectral réel.

Très peu d’instruments suivent le schéma classique du son harmonique des manuels :fondamental intense accompagné d’harmoniques dont l’intensité décroît avec le rang.

La tessiture musicale et le contenu spectral ne se suivent donc pas parallèlement.

5.2.1 Définitions

Les instruments pour lesquels les maxima d’énergie sont inclus dans la tessiture sont lesflûtes, la guitare, le piano.

Certains instruments présente une zone maximale d’énergie bien circonscrite, située à lalimite aiguë de la tessiture et au-delà, comme le hautbois, le basson, la trompette, le cor etla voix chantée : ce sont les instruments à formants.

D’autres instruments présentent des maxima très étalés (comme la clarinette) ou débordentlargement la limite aiguë de la tessiture (comme le clavecin et l’accordéon).

5.2.2 Exemples

Le schéma suivant présente quelques analyses spectrales d’instruments. Sur chacun d’eux,les musiciens ont joué une gamme chromatique du son le plus grave au plus aigu.

Chaque diagramme représente l’analyse spectrale en 1/3 d’octave d’une gammechromatique, jouée dans un local peu réverbérant.

La zone claire encadrée par une fenêtre correspond à l’étendue fréquentielle desfondamentaux de l’instrument. On voit que beaucoup d’instruments (basson, accordéon,voix chantée) ont leur maximum énergétique situé en dehors de la tessiture musicale.

Tessiture et contenu spectral de quelques instruments

Tessiture musicale (zones blanches en bas) et tessiture spectrale (zones en haut de densité variable, les parties les plus sombres correspondant aux sommets du spectre).

Tessiture musicale des principales voix humaines

Pour les sons instrumentaux, la variation dynamique d’un son (par exemple un crescendo)n’est pas un simple grossissement du son, comme cela est fréquemment réalisé en synthèsesonore, mais correspond plutôt à un enrichissement du spectre dans la bonne zone sensiblede l’oreille, autour de 3 000 Hz. Pendant le crescendo, le fondamental peut très bienconserver la même intensité ou même diminuer.

Sur la figure, on a représenté en a) l’analyse d’un son émis « piano » puis « forte » avec unspectre semblable, et en b) l’analyse d’un son réel instrumental joué « piano », puis « forte ».Un crescendo instrumental efficace à l’oreille ne se traduit donc pas toujours par uneimportante déviation de l’aiguille d’un Vu-mètre.

5.3.1 L’oreille et les dB : le crescendo instrumental

5.3 Dynamique des instruments

Un crescendo sur une note tenue de trompette est caractérisé par un considérableenrichissement du spectre en composantes aiguës, plus particulièrement dans la zonecomprise entre 1 500 Hz et 3 000 Hz.

Au piano, le crescendo produit également un important enrichissement du spectreaccompagné d’une forte augmentation des bruits de percussion dans le grave et le médium.

5.3.2 Gamme dynamique de quelques instruments

Les questions importantes sont :

Comment varie l’intensité maximum d’un instrument, du grave à l’aigu ?

Quel est l’écart le plus grand possible entre les sons fortissimo (ff) et les sons pianissimo (pp) ?

Commentaires :

Des instruments présentés, le plus intense est sans conteste la trompette, le plus faible laflûte dans le grave ;

Presque tous les instruments ont une courbe du maximum d’intensité qui croît avec lafréquence, mais celui dont la pente est la plus forte est la flûte ; ceci s’explique par le granddébit d’air de cet instrument.

La courbe inverse de la contrebasse s’explique par la nécessité de produire un son très intense aux basses fréquences, où l’oreille est peu sensible.

L’écart entre les deux limites (pp et ff) renseigne sur la dynamique en dB de l’instrument et la variation de cette dynamique avec la fréquence.

5.4 Timbre des instruments

Le timbre est le phénomène physiologique par lequel il nous est possible de distinguer laqualité d'un son parmi d'autres ayant tous la même intensité (amplitude) et la mêmefréquence (hauteur).

Le timbre perçu pour le son d’un instrument dépend :

du spectre, c’est-à-dire du nombre et de l'intensité relative des harmoniques, qui sontfonction du principe de fonctionnement, de la forme, et de la dimension de l’instrument.

de l'enveloppe du spectre des harmoniques : les transitoires, c’est-à-dire l'attaque etl'extinction, est très importante dans l'identification de l'instrument sonore.

des conditions d'écoute : le filtrage de la salle teinte lui aussi à sa manière la couleur dutimbre. Certains harmoniques sont atténués, amortis ; d'autres, au contraire, amplifiés par lephénomène des résonances, et par la réverbération. Le timbre en ressort altéré, teinté descaractéristiques spécifiques d'un local donné.

des capacités physiologiques de notre oreille, différentes des autres, qui nous fontpercevoir un timbre particulier, que personne d'autre n'entend exactement de la mêmemanière.

Détaillons un peu plus l’enveloppe spectrale :

Le transitoire d’attaque correspond à la durée d’établissement de la vibration. C’est lavéritable signature de l’excitateur (archet, anche, jet d’air oscillant pour les sons entretenus,ou pincement, percussion pour les sons non entretenus). Il est caractérisé par sa durée ( de 1à 100 ms), par l’ordre d’arrivée des composantes, par sa pente dynamique et par sacomposition spectrale (bruits, fréquences inharmoniques, instabilités). Une transformationimportante du transitoire d’attaque peut faire perdre l’identité de l’instrument.

Exemples de durée du transitoire d'attaque :20 ms = trompette36 ms = saxophone50 ms = clarinette200 ms = flûte800 ms = orgue (certains jeux)

La partie tenue du son des instruments à vent et à archet est généralement considéréecomme stable et périodique. Mais l’analyse montre de nombreuses fluctuations d’intensitéou de fréquences, dues à la fois aux variations de jeu produites par le musicien et à lacomplexité du champ sonore. Ces fluctuations confèrent au son des instruments réels une viesonore qu’il est difficile de reproduire par voie synthétique.

Le transitoire d’extinction est fort différent selon que l’instrument est à vibrationentretenue ou non. Pour les instruments à vibration libre (non entretenue), le sonproprement dit est constitué du transitoire d’extinction. La structure percutée ou pincéevibre sur ses modes propres, qui conditionnent le contenu fréquentiel du transitoire : il peutêtre quasi harmonique (pour la corde pincée ou frappée), accordé pour produire unesensation de hauteur plus ou moins ambiguë (pour une verge de bois ou de métal ou unemembrane circulaire), ou encore consister en un bruit plus ou moins coloré (bloc de bois). Ladurée d’extinction totale dépend de l’amortissement du système et des caractéristiques dulocal d’écoute. L’étouffement du son peut produire des bruits singuliers : pose du doigt sur lacorde, lancement du partiel de l’étouffoir au piano, bruits de retombée du sautereau auclavecin, etc.

Le transitoire d’extinction des instruments entretenus est généralement très bref et peucaractérisé, à l’exception des instruments à cordes qui font entendre de faibles résonances.L’arrêt du son des instruments à vent est brutal (quelques périodes), ce qui rend intéressantun lieu d’écoute qui prolonge le son après l’arrêt de l’entretien par le musicien.

6 Les instruments à cordes : principes généraux de fonctionnement6.1 le système excitateur : la corde harmonique

Une corde excitée est susceptible de vibrer simultanément selon quatre modes vibratoires quel’on peut également isoler et qui déterminent les qualités musicales de la corde. Ces quatremodes coexistent et déterminent le spectre de la corde isolée. Chaque mode est lié à unegrandeur physique.

6.1.1 Modes vibratoires d’une corde

Mode transversal (a), longitudinal (b), torsionnel (c) et mode d’octave (d) si l’un des points de fixation est mobile.

6.1.2 Vibration transversale

Ce mode de vibration est le plus anciennement et le mieuxconnu, parce qu’il est observable à l’œil nu. Lorsqu’onécarte la corde de sa position d’équilibre et qu’onl’abandonne à elle-même, elle se met à vibrer et décrit uneespèce de fuseau plat, facile à observer car il est limité pardeux lignes nettement définies, correspondant aux deuxpositions extrêmes de la corde où la vitesse est nulle.

1

2t

Tf

L µ=

où L est la longueur de la corde, T la tension de la corde et µ la masse linéique de la corde,c’est-à-dire la masse par unité de longueur de la corde.

La fréquence fondamentale de vibration transverse est inversement proportionnelle à lalongueur, proportionnelle à la racine carrée de la tension et inversement proportionnelle à laracine carrée de la masse linéique.

L’annexe 1 présente une étude générale des vibrations transversales d’une corde théoriquetendue. Une corde théorique n’aurait ni raideur, ni frottements internes et son mouvementserait périodique et de durée infinie.

On y montre en particulier que la fréquence de vibration transverse fondamentale s’obtientpar la loi des cordes vibrantes (ou loi de Taylor) :

La loi de Taylor donne la fréquence fondamentale de la corde. Comme il s’agit d’unmouvement théoriquement périodique, ce fondamental est accompagné de toute la série desharmoniques (série de Fourier), multiples entiers du fondamental (cf. annexe 1).

Ces harmoniques sont bien entendus « juste », par définition. Leur amplitude est inversementproportionnelle à leur rang. Ainsi l’harmonique 3 a une amplitude 3 fois plus faible que lefondamental ; on dit que la corde délivre un spectre en 1/n, n étant le rang harmonique.

6.1.3 Vibration longitudinale

Frottons dans le sens de la longueur une corde tendue avec unchiffon colophané ou plus simplement avec un archet en biais parrapport à la corde. Nous entendons alors un son très aigu,généralement plusieurs octaves au-dessus de la vibrationtransversale : c’est la vibration longitudinale, où la corde s’étire et secontracte périodiquement.

1

2l

Ef

L ρ=

où L est la longueur de la corde, E le module d’élasticité ou module de Young de la corde et ρla masse volumique ou densité de la corde.Pour rappel, le module d’élasticité est le poids en kilogrammes qu’il faudrait accrocher à unecorde de 1 mm2 de section pour l’allonger du simple au double (même si on le calcule à partird’un petit allongement). Ce nombre est inversement proportionnel à l’élasticité de la cordedans le sens vulgaire du mot : un boyau, très élastique, a en fait un petit module de Young,tandis qu’une corde en acier, très peu élastique, a un fort module de Young.

On peut cependant l’observer en regardant un point brillant de la corde au microscope. Cettevibration implique évidemment pour la corde une certaine élasticité, c’est-à-dire unecertaine capacité à s’allonger sous l’effet d’une force et de revenir à sa forme d’origine dèsque la force cesse.

La formule qui donne la fréquence fondamentale de cette vibration longitudinale est :

Les amplitudes sont très faibles, et comme le mouvement se fait dans le sens de la corde, cemode vibratoire échappe à la vue.

Remarques :

la formule précédente montre que la longueur de la corde intervient dans le même sensque pour la fréquence de la vibration transversale. Il en est de même pour la massevolumique, la masse linéique étant fonction de la masse volumique.

par contre, la tension totale, qui fait monter la note transversale, ne joue aucune rôle dansla vibration longitudinale ; on le vérifie facilement en tendant la corde pendant qu’on la frottelongitudinalement, le son ne monte pratiquement pas (cette formule n’étant, comme laprécédente, juste en toute rigueur que pour une corde théorique)

le module d’élasticité, par contre, ne jour théoriquement aucun rôle sur la vibrationtransversale. Effectivement, une corde de boyau ou d’acier ont exactement la mêmefréquence transversale si elles ont même longueur, même tension et même masse linéique,mais elles n’ont pas du tout la même fréquence longitudinale. Quelle que soit la tension, lavibration longitudinale, à longueur égale de corde, trahit le matériau utilisé, puisque chaquematériau a son module de Young particulier. Si nous reconnaissons le timbre spécial d’unecorde de violon en acier par opposition à celui d’une corde de boyau, c’est grâce à la vibrationlongitudinale.

La formule précédente correspond au fondamental de la vibration longitudinale excitée par lefrottement. Comme il s’agit d’une vibration périodique, puisqu’entretenue, le fondamentalsera bien entendu accompagné de son cortège d’harmoniques en 1/n, comme pour lavibration transverse.

6.1.4 Vibration de torsion

Reprenons l’expérience du pendule de torsion de Coulomb. On accroche un barreau à unecorde suspendue à un point fixe et on donne une impulsion à l’extrémité du barreau, qui semet à osciller quasi périodiquement de façon torsionnelle. La vibration serait strictementpériodique et non amortie avec une corde théorique.

1

2r

Gf

L ρ=

où L est la longueur de la corde, G le coefficient de rigidité de la corde et ρ la massevolumique ou densité de la corde.

On vérifie par la même méthode qu’il existe des vibrations torsionnelles dans une cordenormalement frottée par un archet.

Le son donné par la vibration de torsion est généralement plus grave que le fondamentaltransversal. Sa fréquence fondamentale, pour une corde théorique, est donnée par laformule :

On peut aussi faire vibrer torsionnellement une cordetendue entre deux points : il suffit de la pincer, entre deuxdoigts, et de la rouler, puis de l’abandonner à elle-même(une petite aiguille de papier, collée au milieu, mettraaisément en évidence le phénomène.

Si le mouvement torsionnel est entretenu (cas de la corde frottée), ce fondamental estaccompagné de ses harmoniques en 1/n. S’il est amorti, ce seront des partiels quasiharmoniques.

Cette vibration torsionnelle existe effectivement dans beaucoup d’instruments à cordes etconditionne partiellement le timbre, qui est donc lié aussi au module de rigidité.

Ainsi, le guitariste ou le harpiste font-ils tourner la corde lorsqu’ils la pincent avec le gras dudoigt ; le violoniste fait de même avec son archet. Dans les cordes frappées, le mouvementtorsionnel n’existe évidemment pas.

6.1.5 Vibration d’octave

Fixons l’une des extrémités d’une corde au milieu d’une membrane et faisons la vibrertransversalement.

On peut alors observer un phénomène curieux. Le pointA est fixe, mais le point B, au milieu de la membrane estassez mobile. Lorsque le point M (milieu de la corde)passera de M à m1, le milieu de la membrane passera deB en C. Puis, quand le milieu reviendra de m1 vers M, lepoint C retournera vers B. Pendant la deuxième demi-période transversale de la corde, le point M passera versm2, corrélativement, B reviendra vers C. Pendant leretour de m2 vers M, le point C retournera encore vers B.

Bref, pendant une vibration complète, une période de la corde, la membrane aura vibré deuxfois, produisant ainsi un son à l’octave du fondamental transversal.

Ce phénomène est qualifié de vibration d’octave. Il existe dans la quasi-totalité desinstruments à cordes, les points de fixation n’étant jamais rigides. Cette disposition typiquese retrouve dans la harpe, où au lieu de membrane, on a une table de résonance.

La vibration d’octave contribue partiellement aux particularités du timbre de diversinstruments : elle favorise l’harmonique 2.

La vibration d’octave est synchronisée sur la vibration transversale et s’accompagne de sasérie propre d’harmoniques ou de quasi harmoniques.

6.1.6 Coexistence des 4 modes vibratoires

La vibration transversale excite automatiquement la vibration longitudinale, puisque celle-ci implique des allongements et des raccourcissements périodiques.

On ne peut d’autre part pas frotter une corde ou la pincer (c’est-à-dire la déplacerlatéralement) sans la faire tourner, ce qui excite le mode de torsion.

Quant à la vibration d’octave, dès que la corde est fixée sur une caisse, ayant nécessairementune certaine élasticité dans le sens de la corde au point de fixation, elle existe toujourségalement.

Dans la réalité instrumentale, les quatre modes vibratoires coexistent donc toujours. Leurcombinaison détermine le spectre, et donc le timbre de la corde isolée.

L’importance relative des 4 modes dépend des dispositions de la caisse et de la façond’attaquer la corde. Ainsi, en effleurant à peine la corde de violon, près du chevalet, lavibration transversale peut devenir importante alors que la vibration de torsion est quasinulle. Inversement, en éloignant l’archet du chevalet et en accrochant bien la corde, lavibration de torsion devient importante et le timbre change. De même, un guitariste peutpincer la corde avec l’ongle ou avec un plectre : l’entraînement tangentiel de la corde serafaible alors et la vibration de torsion peut importante ; mais s’il l’attaque avec le « gras » dudoigt, la torsion devient évidente et le timbre n’est plus le même. Par contre, c’est le luthierqui règle le dosage de la vibration d’octave par les dispositions particulières des points defixation, c’est-à-dire par la structure du corps sonore de l’instrument (épaisseur des tables,hauteur des voûtes, etc.).

6.2 le corps sonore et son couplage avec les cordes

Le spectre de la corde isolée va être amplifié et déformé de façon compliquée par le corps del’instrument à cordes.

Un instrument à cordes traditionnel est généralement fait de plaques de bois variés, associéesen corps de forme plus ou moins compliquée. Ces plaques sont indispensables. En effet, unecorde isolée, fixée entre deux étaux absolument rigides, vibre très longtemps mais le son estimperceptible (l’énergie disponible est largement étalée dans le temps). Si par contre onassocie une plaque à la corde par l’intermédiaire d’un chevalet, cette plaque va mettre envibration une grande surface d’air. Le son sera alors beaucoup plus intense, maiscorrélativement, à cause des frottements, il s’éteindra plus vite.

L’association de planchettes de bois réalisée dans les instruments traditionnels n’est pas dutout arbitraire, elle répond à de multiples impératifs mécaniques et acoustiques. Pour qu’uninstrument ait un son intense, il faut des cordes relativement lourdes et tendues. Si lesplanchettes de la caisse sont trop faibles, elles se déforment rapidement et se bloquent,rendant impossible toute amplitude vibratoire. À l’opposé, si pour compenser la déformation,on utilise des tables trop épaisses, le résultat n’est pas meilleur, puisque les possibilitésvibratoires sont limitées par la rigidité des plaques. La solution choisie dans la quasi-totalitédes instruments traditionnels résulte d’un compromis situé à la limite de la déformationpermanente des matériaux.

6.2.1 généralités

6.2.2 courbe de réponse du corps sonore

Pour mettre en évidence les propriétés d’un corps sonore, il suffit de frapper dessus avec unepetite masselotte. On entend un « bruit » de durée, de hauteur et de timbre variable, avec lanature du matériau et la structure de l’instrument.

On peut enregistrer sur le sonagraphe le bruit du choc précédent et en tirer un sonagramme.

Le diagramme ainsi obtenu présente un grand nombre de pointes de résonances, fréquencesqui sonnent plus ou moins longtemps. On peut vérifier que chacune de ces pointescorrespond à une des parties excitées isolément, dont elle traduit les dimensions etcaractéristiques élastiques.

Il n’existe aucune courbe de réponse homogène : il est impossible que les diverses parties del’instrument donnent des pointes de résonance de même intensité et de mêmeamortissement.

Un instrument qui sonne fort est celui qui a des pointes dans la zone sensible de l’oreille(entre 500 et 5 000 Hz).

Si on utilise des matériaux plus amortis, les pointes sont plus aplaties et la courbe de réponseplus homogène, mais amortissement signifie aussi perte d’intensité.

Il est finalement heureux que la courbe de réponse ne soit pas plate, c’est justement parceque la courbe de réponse n’est pas plate que les instruments traditionnels sont plusintéressants que les instruments électroniques.

7 Les instruments à cordes frottées7.1 présentation

Les instruments à cordes frottées sont utilisés avec un archet, à l'exception de quelquesinstruments comme la vielle à roue, dont les cordes sont frottées par le bord d'un disque.

Vielle à roue

L’annexe 2 présente une analyse de la vibration transverse produite par le frottement d’unarchet.

Archet de violoncelle

Violon

Les instruments à cordes frottées de l'orchestre symphonique sont :

Le violon Le violon alto ou alto Le violoncelleLa contrebasse

Accord du violon

Numéro de la corde 1 2 3 4

Note sol2 ré3 la3 mi4

Fréquence du fondamental (Hz) 195,56 293,32 440 660

On va se limiter dans la suite au violon.

Tessiture du violon

Vu sa tessiture, les partitions de violon sont toujours écrites en clé de sol.

Timbre du violon : spectre d’un la3

8 Les instruments à cordes pincées8.1 Présentation

Un instrument à cordes pincées est un instrument de musique dont les cordes sont pincées,soit manuellement (guitare, harpe), soit mécaniquement (clavecin par exemple), soit à mainsnues, soit à l'aide d’un plectre (vina, mandoline, guitare de jazz).

Mandoline

Plectres et onglet

L’annexe 3 présente une analyse de la vibration transverse produite par la corde pincée.

Harpe celtique

Mandoline

Accord guitaremi1, la1, ré2, sol2, si2, mi3

Les partitions pour guitares classiques sont écrites une octave audessus du son réel émis par la guitare. Par exemple le la deréférence à 440 Hz se note sur la portée dans la deuxième interligne,or il sera au final joué comme un la à 220 Hz. Ceci permet d'utiliserpour noter la musique la clef de sol, la plus connue.

On va se limiter dans la suite à la guitare et au clavecin.

Spectre du ré, fondamentale à 145 Hz, on remarque que la quatrième harmonique, qui devraitêtre à 580 Hz n’est pas là. Effectivement, on pince à peu près au quart de la corde.

Timbre de la guitare

Le clavecin est aussi un instrument à corde pincées. Le piano n'est pas une évolutiontechnologique directe du clavecin. C'est en effet un instrument à cordes frappées, dont lemécanisme et les principes de construction sont très différents.

Son étendue couvre environ cinq octaves et n'ajamais été normalisée.

Les cordes, à raison de deux à trois cordes parnote, consistent en un simple fil métallique etcontrairement à celles du piano, elles ne sontpas « filées ». Elles sont disposées dans le sensde la plus grande longueur (du clavier vers lapointe). Elles sont tendues entre une pointed’accroche et une cheville d’accord. Entre cesdeux points fixes, la corde enjambe deux piècesde bois dur : sillet (fixé sur le sommier) etchevalet (collé sur la table d'harmonie), dont laposition fixe la longueur vibrante et doncémettant le son.Les vibrations des cordes sont transmises à latable d'harmonie qui joue un rôled'amplificateur. Cette transmission se fait parl’intermédiaire du chevalet. La cavité de lacaisse sert de résonateur, elle est fermée vers lebas par le « fond ».

L'élément principal du mécanisme du clavecin est une lamelle de bois dur appelée sautereauqui se présente verticalement au dessus de la partie arrière (cachée) de la touche.

Mécanisme du clavecin ou sautereau. Les figures (a) et (b) décrivent le sautereau ; lesfigures (c) et (d) montrent comment la corde est pincée une seule fois, lorsqu’on frappe unenote. Le sautereau échappe en effet lors du retour de la touche.

9 Les instruments à cordes frappées9.1 Précurseurs du piano

L’idée de frapper des cordes avec une baguetteest ancienne. Il existe par exemple en Béarn un« tambour à cordes » qui peut rythmer lesmélodies ; on peut moduler le spectre selon lepoint de frappe et les cordes touchées, mais onne joue pas vraiment de mélodie.

On a inventé aussi de véritablesinstruments à cordes frappées,beaucoup plus élaborés, commele tympanon du Moyen âge, ou lecymbalum. Le tympanoncomporte des cordes tendues surune table, et frappées par desmailloches.

Tympanon

Joueur de cymbalum

Chaque corde est subdivisée en trois fragments delongueur inégale (par exemple 15, 12 et 10) pardeux chevalets mobiles, ce qui donne trois notespar corde, selon le point de frappe. Les rapportsCD/AC=15/12=5/4 et CD/DB=15/10=3/2 donnentla tierce et la quinte.Les modèles perfectionnés ont des cordescroisées, reposant sur des chevalets de hauteurinégale ; ces cordes sont associées aux touchesblanches et noires du piano.

Cette combinaison de chevalets et de cordes croisées permet une virtuosité extrême : leschamps de liberté des intensités et des timbres sont très riches. Mais l’instrument est difficileà jouer, il faut aller vite et viser juste.

Ces difficultés ont conduit les facteurs d’instruments à imaginer des dispositifs à touchespour frapper les cordes. Le jeu devient alors beaucoup plus facile, mais on perd du mêmecoup la possibilité de varier le timbre par modification du point de frappe.

Les recherches dans ce sens ont abouti en Europe à la création du clavicorde puis du piano.

9.2 La corde frappée

Prenons une corde AB, vibrant en modefondamental transversal (mode comportant unseul fuseau).

Si on pince cette corde en son milieu M, cepoint est animé d’un mouvement sinusoïdal, eton entend une note dont la hauteur est fixéepar la loi de Taylor.

Si on frappe la corde avec une batte en M, du haut en bas, cette batte atteint avec unecertaine vitesse le point M, puis continue vers P. Arrivé là, de deux choses l’une :

soit on laisse la batte bloquée dans cette position, et alors le point P ne peut pas revenir. Parcontre, les deux moitiés de corde (arc AP et BP) vont par inertie se mettre à vibrer, chacune àla même hauteur (puisque les longueurs des deux arcs sont égales). On entendra toujours uneseule note, comme dans le cas de la corde pincée en son milieu, mais à l’octave de laprécédente. Si on avait frappé en un point R, situé par exemple au 1/5 de la longueur totale dela corde, on aurait par contre entendu deux notes : celle correspondant à l’arc APS, sonnantune tierce plus haut que la note de la corde totale (puisque le rapport de longueur est de 4/5),et celle correspondant à l’arc SB, sonnant une double octave au-dessus de APS.

soit on retire la batte en la faisant remonter vers O. Deux cas peuvent alors se produire. Leplus simple est réalisé lorsqu’on retire la batte avec une vitesse plus grande que celle de lacorde à son retour. Dans ces conditions, la corde se met à vibrer normalement, dans sonmode fondamental, sur toute sa longueur AB. Dans l’autre cas, on retire la batte moins vite eton freine alors partiellement la corde lors de son retour. Dans ces conditions, les segmentsdéterminés par le point de frappe se mettent à vibrer chacun pour son compte, mais lefondamental de la corde entière existe toujours, quoique légèrement atténué. On entendalors trois notes : le fondamental de la corde entière, et les deux fondamentaux dessegments déterminés par le point de frappe. Comme le fondamental de la corde entièrepossède une plus grande amplitude, il prédomine dans le spectre total émis. La hauteurperçue est alors une sensation unique, celle de la corde totale, mais le timbre sera coloré parl’accord des deux segments. Selon la position du point de frappe, on peut ainsi régler letimbre.

9.3 Le clavicorde

Le clavicorde dérive du clavecin, mais avec un mécanisme de corde frappée plutôt que decorde pincée.

Le principe est très simple. Chaque touche porte a son extrémité un « couteau » métallique ouautre. En frappant sur la touche, ce couteau vient heurter la corde au point C. Comme lesystème est assez inerte, le couteau reste en contact avec la corde pendant un certain temps.On entend alors normalement les trois notes mentionnées dans le paragraphe précédent. Pourn’en émettre qu’une, on colle en permanence du feutre sur le bout mort CB qu’on ne veut pasentendre sonner. Dans ces conditions, quelle que soit la vitesse de retour du couteau, onn’entend qu’une seule note, celle du segment AC qui continue à sonner tant que l’on appuiesur la corde. Mais le son s’amortit instantanément dès que le couteau quitte la corde, à causedu feutre.

Le clavicorde eut beaucoup de succès car l’instrument était expressif : il suffit de frapper plusfort pour jouer plus fort, et inversement, ce qui est un avantage par rapport au clavecin. Parcontre, le son était assez maigre et d’autre part, l’appui du couteau tendait un peu plus fort lacorde, et le son montait quelque peu. C’est pourquoi l’instrument fut peu à peu abandonnéau profit de son rival, le piano.

9.4 Le piano

1 mécanique2 clavier3 caisse du piano4 sommier des chevilles5 barrage6 table d’harmonie7 chevalet8 cadre métallique

9.4.1 Anatomie

Cadre métallique (1, 14)Abattant du couvercle (2)Capo d'astro ou barre harmonique (3)Tête d'étouffoir (4)Couvercle (5)Chevalet d'étouffoir (6)Rail des chevalets d'étouffoir (7)

Barre de transmission de la pédale forte (8)Levier de la transmission du forte (9)Tige de Lyre (10)Pédale, droite (forte), gauche (piano) (11)Chevalet (12)Cheville d'accord (pointe d'accroche) (13)Table d'harmonie (15)Corde (16)

C’est la mécanique qui définit le piano. Elle apparaît dès 1709, grâce à un inventeur italien,Cristofori, qui trouva du premier coup tous les organes fondamentaux de la mécanique detout piano, à savoir le marteau articulé, le système d’échappement et l’étouffoir..

Appuyons en T sur la touche articulée, qui pivote autour de M. Son extrémité T’ se relèvera,poussant l’extrémité Z de la pièce YZ, mobile autour de l’axe X.

Tout d’abord, l’extrémité Y va s’abaisser et l’étouffoir E libèrera la corde, qui est alors prête àvibrer. La présence de l’étouffoir individuel de chaque corde évite de fâcheux effet de tropgrande résonance que l’on trouve dans le cymbalum ou dans le piano, lorsqu’on a actionnéla pédale forte.

Ensuite, corrélativement, l’extrémité Z de la même pièce va être poussée vers le haut. Cettepièce porte un deuxième petit organe articulé, appelé pilote (P), dont la tête t est pousséenormalement vers la gauche par un petit ressort, de sorte qu’elle bute contre leprolongement n de la pièce YZ.

9.4.2 La mécanique

Si l’on enfonce lentement la touche, la tête t du pilote va à son tour pousser sur le nez dumarteau (point c). Ce marteau, tournant autour de l’axe O, va se mettre à monter vers lacorde (AB).

Quand la tête du marteau atteindra un certain point, situé à une distance déterminée de lacorde, appelée limite de décrochement, le pilote va brusquement « échapper » vers ladroite : le marteau ne peut plus monter davantage, il ne peut toucher la corde.

Si l’on enfonce à présent la touche d’un coup sec, le même mouvement va se produire, maisgrâce à l’énergie cinétique plus importante, le marteau va cette fois dépasser la limite dedécrochement, et continuera à monter, même après l’échappement du pilote. Bien entendu,dès lors, le marteau est libre et la mécanique ne peut plus agir sur lui. De ce fait, le marteaune bloque jamais la corde, il rebondit sur elle et son retour est d’autant plus rapide que lepoids s’ajoute (cas des pianos à queue où les cordes sont horizontales).

La transitoire de la note, court instant pendant lequel le marteau touche la corde,engendrera les trois sons associés aux segments AB, AE et EB. Mais ce sera extrêmementbref, et la « note » que l’on entend est surtout celle de la corde entière.

Il faut attendre plus d’un siècle après Cristofori pour que ses idées ne soient reprises etmenées à leur perfection par un facteur de pianos génial, Sébastien Erard, avec sa mécaniqueimproprement appelée « à double échappement ».

Erard remplaça les deux pièces : pilote et porte-étouffoir par un assemblage plus compliqué,mais plus efficace. D’une part, un ergot convenablement disposé oblige le pilote à basculerau moment voulu, et l’échappement devient ainsi moins aléatoire que dans la mécanique deCristofori. D’autre part, on dispose de deux possibilités lorsqu’il s’agit de frapper la mêmecorde plusieurs fois de suite :

soit on laisse à chaque fois la touche redescendre à fond, ce qui plaque chaque foisl’étouffoir sur la corde entre les notes successives ;

soit, grâce aux dispositions particulières des pièces, on ne laisse descendre la touche qu’unpetit peu, de telle manière que l’étouffoir ne touche pas la corde entre les notes successives ;le son ne s’éteint alors pas à chaque fois ; de plus, le marteau en revenant ne retombe passur sa barre de repos, mais est maintenu près des cordes, tandis que l’échappement sereplace sous le manche du marteau, ainsi préparé à une nouvelle frappe, et on peut ainsirépéter plus rapidement la note.

Le terme de « double échappement » est incorrect, il faudrait plutôt parler de « doubleeffet » ou de « double action ».

La figure du haut montre la touche aurepos ; celle du bas illustre lefonctionnement du mécanisme lorsquela touche a été enfoncée. On note aussique l’étouffoir agit ici sous la corde.

On divise les pièces de la mécanique en 3 parties actives principales : le chevalet, le marteauet l’étouffoir.

Le chevaletSur la barre de vis, pièce maîtresse du mécanisme, destinée à recevoir toutes les piècesvissées, se trouve le chevalet, ou bascule, juste au-dessus de la partie avant de la touchesituée près des cordes. C’est une petite pièce de bois, fixée à la barre de vis au moyen d’unefourche, qui lui permet de monter et descendre grâce à un centre (axe) facilitant l’articulationde l’échappement. Sur l’avant du chevalet, près des cordes, une petite pièce métallique, lacuiller, sert à actionner l’étouffoir de la note correspondante. Sous le chevalet, presqu’en soncentre, se trouve une pièce de bois rectangulaire ou carrée, généralement recouverte defeutre : c’est le pousse-pilote si le pilote est fixé sur la touche ou le pilote dans le cas contraire.Le pilote se soulève et soulève l’ensemble du chevalet (aidé par la touche) pour laisser vibrerles cordes frappées par le marteau. Il revient à a place dès que la pression du doigt a cessé.

L’échappementPetite pièce de bois articulée au milieu du chevalet, c’est la partie la plus importante dumécanisme. Elle oblige le marteau à revenir en arrière avec douceur, rapidité et précisionaussitôt après la percussion sur les cordes. Le double échappement, inventé par Erard, permetde frapper la note autant de fois et aussi vite qu’on le désire, avec une infime perte de temps,le marteau n’ayant pas besoin de retomber complètement et étant toujours prêt à reprendreses percussions.

Toujours sur le chevalet, une autre tige métallique, base d’un rectangle de bois garni d’unfeutre très épais forme l’attrape, qui reçoit en permanence le contact de la contre-attrape dumarteau. Devant-elle se trouve une autre tige métallique, terminée par une torsade, danslaquelle on fixe la lanière du marteau : c’est l’accroche-lanière ou la queue de cochon, quiempêche la lanière de sortir de son logement.

Le marteauIl frappe la corde et la met en vibration. Il comprend trois éléments majeurs en bois : la têterecouvert de feutre solide, résistant et très souple ; le manche, collé dans la tête ; la base dumarteau ou noix, au sommet de laquelle est collée l’autre extrémité du manche. Dans la noix,perpendiculairement, un autre petit manche, collé lui-même à l’autre bout dans une petitepièce de bois, la contre-attrape, garnie de peau.À l’entrée ou à la sortie du petit manche, la lanière sert de rappel du marteau ; l’extrémité estfixe dans la queue de cochon. Plus bas que le petit manche se trouve le nez du marteau, garnide plusieurs épaisseurs de feutre, sur lesquelles l’échappement, au repos sur un petit coussinde feutre, pousse le marteau contre la corde et glisse lors des mouvements imprimés à latouche.

L’étouffoirSon rôle est d’étouffer les vibrations des cordes frappées par le marteau. Placé devant lescordes, il appuie en permanence sur elles et ne les quitte que si le marteau les frappe. Ilcomporte un épais coussin de feutre, collé sur un ensemble dit patte d’étouffoir. On fixe cettepatte dans le sommet de la lame d’étouffoir, longue tige de bois au centre de laquelle setrouve une fourche, vissée sur la barre à vis du châssis et munie d’un puisant ressortpermettant à l’étouffoir de reprendre sa place sur les cordes après l’avoir quittée, soit sous lapoussée de la touche correspondante, soit sous la poussée de la barre de la pédale forte.L’étouffoir est supprimé pour les 17 ou 18 dernières notes aiguës, en raison du petit nombrede vibrations des cordes.

9.4.3 Corps sonore du pianoLe corps sonore du piano est constitué d’une table normalement en épicéa, qui porte versl’arrière pour un piano droit, vers le sol pour un piano à queue, un certain nombre de barresd’épicéa dont le nombre et la disposition varient selon les facteurs. Ces barres sontlégèrement courbes, ce qui donne à la table un certain « bombé ». Comme pour la guitare,les barres jouent simultanément un rôle acoustique et un rôle de consolidation. Sur la faceavant de la table sont collés les chevalets, en hêtre ou en érable.

9.4.4 La structure portante

Le cadre en fonte moulée est prévu pour résister à la traction des cordes, tout en masquantaussi peu que possible la table d’harmonie.

Le cadre est boulonné à la structure portante sur son pourtour et assujetti à la tabled’harmonie par la rosace, ce qui met l’ensemble en résonance.

Les cordes sont tendues entre les pointes d’accroche (qui leurs donnent un ancrage solide) etles chevilles (qui permettent de les accorder par variation de la tension). Les pointesd’accroche sont solidaires du cadre en fonte ; les chevilles sont vissées dans un bloc de hêtreou d’érable, appelé sommier, assujetti au cadre pour assurer la stabilité de l’accord.

9.4.5 Le cordage

9.4.6.a Pédales d’un piano à queue

Les pédales d’un piano à queue sont accrochées sous le plateau de clavier et contenues dansla lyre.

La pédale de gauche du piano à queue est parfois celle d’una-corda. Lorsqu’elle est actionnée,elle déplace le bloc du clavier vers la droite, de sorte que les marteaux de la section des aigusmanquent une des trois cordes du chœur constituant la note ; dans la section des basses, ilsfrappent les cordes avec une autre partie de leur bec, qui sonne différemment. L’effetd’ensemble est donc une sonorité différente, perçue comme plus douce. Une fois la pédalerelâchée, un ressort placé dans l’oreille du côté des aigus remet le bloc du clavier en positionnormale.

La pédale de droite est la pédale forte : elle soulève en même temps les étouffoirs de toutesles cordes, permettant à celles-ci de vibrer librement même lorsque l touche est relâchée.

La pédale du milieu est dite « tonale » ou « d’expression » : elle permet d’écarter lesétouffoirs uniquement sur les cordes correspondant à la touche enfoncée. Dans certainspianos à queue, la pédale du milieu actionne un mécanisme de sostenuto sur les basses.

Certains facteurs ont commencé d’introduire une quatrième pédale qui met enfonctionnement un mécanisme de sourdine, que l’on trouve couramment sur les pianosdroits. C’est la pédale douce.

9.4.6 Les pédales

9.4.6.b Les pédales d’un piano droit

Les pédales d’un piano droit sont montées dans le bas de la caisse du piano et reliées à lamécanique par une tringlerie de leviers et de chevilles.

La pédale de gauche est appelée « pédale douce ». Lorsqu’elle est actionnée, les marteaux serapprochent des cordes, ce qui réduit la puissance avec laquelle ils frappent les cordes.L’inconvénient de cette pédale est qu’en rapprochant les marteaux des cordes, elle enlève unepartie du mouvement entre le pilote et le marteau, entraînant un toucher moins confortableet moins contrôlable.

La pédale forte est toujours à droite : lorsqu’elle est actionnée, elle libère les cordes desétouffoirs, pour les laisser résonner jusqu’à ce qu’elle soit relâchée.

La pédale du milieu est le plus souvent une sourdine. Lorsqu’elle est actionnée, une finebande de feutre vient s’interposer entre les marteaux et les cordes, assourdissant la sonoritéde l’instrument.

10 Instruments à vent, principes de fonctionnement

Il s’agit d’instruments de musique à son entretenu, soit directement par le souffle del’instrumentiste (bois, cuivres), soit par une soufflerie mécanique (orgue).

Comme pour les instruments à cordes, on trouve deux parties dans l’instrument : unsystème excitateur et un corps sonore.

Le système excitateur est soit une lame d’air, soit une anche.

Le corps sonore est un tube ouvert à une extrémité.

Pour émettre un son, il faut faire vibrer la colonne d'air qui se trouve dans le tube del’instrument ; celle-ci est alors le siège d’une onde stationnaire.

10.1 Généralités

10.2 Le système excitateur : biseau et anches

Il n’existe en fait que deux moyens pratiques pour exciter une colonne d’air :

souffler sur un biseau ou une arête du tuyau (cas des flûtes ou des tuyaux del’orgue dits « à bouche »);

adapter une anche au tuyau (cas des autres bois, des cuivres, tuyaux d’orgue àanche).

10.2.1 Le système lame d’air-biseau

Dans les instruments à vent traditionnels, l’énergie est fournie par de l’air comprimé venantdes poumons.

Cet air sort en jet par l’ouverture de la bouche, dont on peut modifier à la fois la section et laforme.

Lorsque l’ouverture de la bouche est quasi circulaire, le jet d’air qui en sort, plus ou moinsfreiné par les bords arrondis des lèvres, prend une forme tronc-conique.

Lorsque l’ouverture est une fente, réalisée par des lèvres tendues, faiblement écartées, onproduit une lame d’air. Celle-ci s’élargit plus ou moins en forme de pyramide tronquée.

Dans tous les cas, si ces écoulements se font à l’air libre, le jet d’air produit des chuintementsde « couleur », de timbre et de hauteur variés, d’autant plus intenses que le débit est grand.

D’autre part, une arête placée devant la sortie du jet fait osciller celui-ci alternativement depart et d’autre de l’obstacle, et l’on entend alors un léger sifflement, généralement très aigu :c’est le son de biseau.

En forçant le souffle, le son monte et devient simultanément plus intense ; à la limite, ildégénère en bruissement aigu.

C’est ce sifflement qui apparaît dans les transitoires d’attaque des tuyaux à bouche et quilancent, avec un petit retard, le régime normal du tuyau.

10.2.2 Le système des anches

On appelle « anche » une lamelle de métal, de bois ou autre matériau élastique, relativementétroite, longue et mince.

Cette languette seule, lorsqu’elle est fixée dans un étau et pincée au doigt, vibre plus oumoins longtemps, selon l’amortissement du matériau, et produit un son de hauteur biendéfinie dont la fréquence s’appelle la fréquence propre de l’anche.

Pour un matériau donné, cette fréquence est d’autant plus grave que l’anche est longue etplus chargée (le son baisse en collant, soudant une petite masse à l’extrémité vibrante ; ilbaisse encore quand on amincit par grattage l’anche du côté opposé, c’est-à-dire près de sonpoint de fixation sur l’étau ; il baisse aussi lorsqu’on réduit la largeur de l’anche).

Dans les instruments, il faut bien sûr fixer cette anche quelque part.

Dans l’orgue par exemple, on l’adapte sur la rigole, et on l’accorde en faisant glisser un fil defer, la rasette, qui appuie sur l’anche et raccourcit ou allonge la partie vibrante, ce qui faitmonter ou baisser le son.

La clarinette présente un système excitateur similaire : l’anche en roseau est fixée sur un« bec » qui joue le rôle de la rigole.

Pour les anches doubles (type hautbois), les phénomènes sont similaires mais deux anchesbattent l’une contre l’autre. L’anche libre (type accordéon) fixée sur une plaquette, vibrelibrement à travers une ouverture légèrement plus grande qu’elle-même.

Un type particulier d’anche battante double est celui que réalisent les deux lèvres serréesl’une contre l’autre : ce sont les anches lippales. Elles ont ceci de particulier qu’on peutmodifier largement la fréquence propre en réglant le tonus des muscles des lèvres, en lesgonflant ou en les allongeant latéralement. Leur fonctionnement est facilité par la présenced’une embouchure.

10.3 le corps sonore et son couplage avec l’excitateur

Le son est produit par les instruments à vent grâce au phénomène d’ondes stationnaires quipeuvent s’établir dans la colonne d’air. Certaines caractéristiques de l’instrument, comme letimbre, résultent de la configuration de ces ondes dans la colonne.

10.3.1 généralités

Une onde plane, engendrée par la compression ou la dépression brutale d’une tranche d’airpar une surface plane (comme celle d’un piston), se propage dans l’air, milieu élastique, endéplaçant chaque particule d’air autour de sa position d’équilibre : c’est une onde progressive.

Lorsqu’une compression (ou une dépression) rencontre un obstacle solide (une surface planefermant le tuyau), l’onde rebondit vers l’arrière et une nouvelle compression (ou une nouvelledépression), ayant simplement changé de direction, se propage dans le tuyau : une onde decompression (ou de dépression) est réfléchie sans changement de signe sur un obstacle, ellereste une compression (ou une dépression).

Par contre, si une onde de compression arrive sur une surface plane percée d’un trou, ellesort du tuyau par le trou, mais simultanément, elle produit en arrière du trou une busquedépression, qui va cheminer en sens inverse dans le tuyau. L’inverse est vrai aussi : une ondede dépression est réfléchie par un trou avec un changement de signe et devient une onde decompression.

10.3.2 période et fréquence d’un tuyau : loi de Bernoulli

Par convention un tuyau rigide qui est ouvert aux deux extrémités est appelé tuyau« ouvert » ; tandis qu'un tuyau rigide qui est ouvert à une seule extrémité et qui a une surfacerigide à l'autre extrémité est désigné sous le nom de tuyau « fermé ».

Dans le cas d’un tuyau fermé (cas du bourdon de l’orgue,tuyau cylindrique fermé à un bout), une onde decompression (notée +), engendrée par un piston, sepropage vers le fond où elle se réfléchit sans changementde signe (compression, signe +) pour retourner versl’ouverture ; là elle rencontre un trou, et est donc réfléchieavec changement de signe (dépression, signe -) etretourne à nouveau vers le fond. Là, elle est réfléchie unefois de plus sans changement de signe (elle reste -) etrevient vers l’ouverture où elle va changer de signe ànouveau et redevenir +. Après avoir parcouru quatre foisla longueur du tube, elle recommencera donc le mêmecycle, qui se répèterait indéfiniment si les frottementsn’amortissaient pas graduellement l’onde.

Entre (a) et (d), l’onde a donc accompli une période T, valant la distance parcourue (quatrefois la longueur L du tuyau) divisée par la célérité de l’onde (c, la vitesse du son), donc :

La fréquence f caractéristique du tuyau fermé vaut donc :

4LT

c=

4

cf

L=

Pour les tuyaux ouverts, l’onde +, après un premier aller va toutde suite trouver en arrivant au bout opposé du tuyau un trou,et va donc se réfléchir avec changement de signe, pour revenirvers l’ouverture d’origine. Comme il existe également un trouici, elle va donc encore se réfléchir avec changement de signeet redeviendra onde +. Après seulement deux trajets, le cycleest donc complet.

Entre (e) et (f), l’onde a donc accompli une période T, valant la distance parcourue (deux foisla longueur L du tuyau) divisée par la célérité de l’onde (c, la vitesse du son), donc :

La fréquence f caractéristique du tuyau ouvert vaut donc :

C’est-à-dire l’octave de la fréquence fondamentale du tuyau fermé.

2LT

c=

2

cf

L=

Remarques :

Les valeurs obtenues par ces formules sont théoriques. En pratique, dès que l’on excite untuyau en soufflant à l’une de ses extrémités par un procédé quelconque, il se produit desphénomènes très compliqués et l’expérience montre que les mesures et les calculs neconcordent pas rigoureusement. Un tuyau ouvert est en fait souvent un tuyau semi-bouché(ce qui abaisse la fréquence fondamentale). D’autre part, le diamètre du tuyau intervient, etles facteurs d’instruments cherchent souvent des formules de correction faisant intervenircette variable (correction de bouts).

Ces formules n’ont aucun sens dans les tuyaux à anche forte, où c’est l’anche qui impose safréquence propre au tuyau, comme on le verra plus loin.

Les lois de Bernoulli restent valables (théoriquement) pour les tuyaux coniques.

Ondes progressives dans les tuyaux ouvert et fermé

Onde progressive dans un tuyau ouvert

Onde progressive dans un tuyau fermé

Résonance d'un tube ouvertLes tubes cylindriques ouverts résonnent approximativement à des fréquences de :

où « n » est un nombre entier (1, 2, 3…) représentant le mode de résonance, « L » est lalongueur du tube et « V » est la vitesse du son dans l'air (qui est approximativement de 344mètres par seconde à 20 °C et au niveau de la mer).

Une équation plus précise considérant une correction de fin est donnée ci-dessous :

où d est le diamètre du tube de résonance. Cette équation compense le fait que le pointexact auquel une onde sonore se reflète à une extrémité ouverte n'est pas parfaitement à lasection d'extrémité du tube, mais une petite distance en dehors du tube.

Le rapport de réflexion est légèrement inférieur à 1 ; l'extrémité ouverte ne se comporte pascomme une impédance acoustique infinie ; en revanche, elle a une valeur finie, appeléel'impédance de rayonnement, qui dépend du diamètre du tube, de la longueur d'onde, et dutype de réflexion probable autour de l'ouverture du tube.

Résonance d'un tube ferméUn cylindre fermé aura approximativement des résonances de :

avec n un entier naturel. Ce type de tube a sa fréquence fondamentale une octave inférieureà celle d'un cylindre ouvert (c'est-à-dire, la moitié de la fréquence), et peut produireseulement les harmoniques impairs, « f », « 3f », « 5f »... par rapport au tube ouvert.

Une équation plus précise est donnée ci-dessous :

Tubes ConiquesUn tube conique ouvert, c'est-à-dire sous la forme de tronc d'un cône avec les deux extrémitésouvertes, aura des fréquences de résonance approximativement égales à celles d'un tubecylindrique ouvert de la même longueur.

Les fréquences de résonance d'un tube conique arrêté - un cône ou un tronc complet avec une extrémité fermée - remplissent une condition plus compliquée (cf. annexe A4.4) :

où le nombre d’onde « k » est :

et « x » est la distance de la petite extrémité du tronc au sommet. Quand « x » est petit, c'est-à-dire quand le cône est presque complet, ceci devient :

ce qui donne des fréquences de résonance approximativement égales à celles d'un cylindreouvert dont la longueur égale « L » + « X ». Autrement dit, un tube conique complet secomporte approximativement comme un tube cylindrique ouvert de la même longueur, et cecomportement ne change pas si le cône complet est remplacé par un tronc de cône fermé.

Jusqu’ici, nous avons considéré le cas d’une compression (ou d’une dépression) unique qui sepropage dans le tuyau par allers-retours successifs. Mais on peut imaginer pendant sesvoyages d’envoyer, à un moment quelconque, une deuxième compression (ou dépression).Celle-ci va a son tour cheminer dans le tuyau et nécessairement heurter la première à uninstant donné. Quant deux compressions de même valeur, mais de sens contraire, serencontrent en une particule d’air, la vitesse de cette particule s’annule évidemment : unenœud de vitesse se produit donc au point de rencontre. Par contre, au même point, lespressions s’ajoutent, créant au point de rencontre un ventre de pression.

Lors du choc, chaque onde va rebondir en sens inverse, se réfléchir à nouveau sur les bouts,revenir, heurter encore l’onde venant en sens inverse, etc. Le nouveau point de rencontre nesera pas nécessairement au même endroit que précédemment (tout dépend du moment oùl’on a envoyé la deuxième onde) ; bref, l’état du tuyau variera à chaque instant.

Si l’on envoie en plus d’une deuxième compression, une troisième, une quatrième, etc. àintervalles réguliers, la situation se complique encore. Théoriquement, les nœuds et lesventres de vitesse (ou de pression) changeront constamment de place si la fréquenced’excitation est quelconque par rapport à la longueur du tuyau.

Mais il se produira un phénomène spécial lorsque la fréquence d’excitation sera un multipleexact de la fréquence propre du tuyau : nœuds et ventres deviendront alors fixes et plusmarqués car excitation et tuyau seront en résonance : c’est le phénomène d’onde stationnaire.

10.3.3 onde stationnaire, nœuds et ventres, harmoniques et partiels

Deux cas sont alors à considérer :

le bourdon a toujours un ventre de vitesse au bout ouvert et un nœud de vitesse au fond.On ne peut le découper en parties égales où nœuds et ventres alternent nécessairement qu’enle divisant en trois, cinq, sept parties, etc. (nombres impairs).

le tuyau ouvert aux deux bouts possède un ventre de vitesse à chaque extrémité et peut parconséquent être découpé en 2, 3, 4, 5, … parties égales, en respectant l’alternance nœuds-ventres.

La combinaison d'ondes progressives aller et retour (réflexion sur une extrémité ouverte) forme des ondes stationnaires

Les ondes stationnaires sont différentes dans un tube ouvert ou fermé

Soufflons sur l’arête du bourdon (tuyau ouvert-fermé) en augmentant graduellement le vent.Pour un jet bien orienté, ce son de biseau excitera une fréquence qui correspond audécoupage a1 : c’est le fondamental du bourdon. Comme il s’agit d’un son manifestementpériodique, il ne peut être que sinusoïdal ou composé d’une série d’harmoniques justes. Dansla réalité, cette série d’harmoniques existe toujours, et il ne s’agit que des harmoniquesimpairs.

En augmentant le souffle, l’expérience montre qu’à un certain moment, on saute brusquementà une autre note, la deuxième note possible avec ce tuyau, qui n’a rien à voir avecl’harmonique 2 du tuyau entier en régime fondamental. Pour cette deuxième note le tuyau sedécoupe conformément à la figure a2, en trois parties égales. Le nouveau son est un nouveauson fondamental, périodique, accompagné de sa série d’harmoniques propres (impairs aussi).Ce nouveau fondamental, théoriquement à la douzième du fondamental précédent, s’enécarte dans la pratique de façon parfois considérable : ce n’est donc pas un harmonique. C’estle partiel 2 du bourdon, correspondant approximativement à l’harmonique 3 du fondamental.

En soufflant encore plus fort, on bloque aussi bien le fondamental que le partiel 2 et on réalisele découpage a3, qui sonne musicalement la dix-septième au-dessus du fondamental du tuyauentier. Ce troisième son est encore un nouveau fondamental avec ses harmoniques impairspropres. Il est plus ou moins voisin de l’harmonique 5 du fondamental du bourdon.

Refaisons la même expérience avec le tuyau ouvert aux deux bouts. On vérifie qu’en forçant lesouffle, on saute d’abord au découpage b2, qui sonne à peu près l’octave (et non la douzièmecomme précédemment). Puis, en soufflant encore plus fort, on aura le découpage b3 (c’est-à-dire la douzième approximative du fondamental), et ainsi de suite. Ici, le partiel 2 correspondà peu près à l’harmonique 2 du tuyau entier, le partiel 3 correspond à peu près àl’harmonique 3, etc.

En résumé, en soufflant de plus en plus fort sur du bourdon, on obtient une série de sonspartiels dont la fréquence correspond à peu près à celle des harmoniques impairs du tuyauentier. Ces partiels sont des fondamentaux nouveaux, accompagnés chacun de sa propre séried’harmoniques. Avec les tuyaux ouverts, les partiels correspondent approximativement à lasuite complète des harmoniques du tuyau entier.

On peut noter enfin que la série des partiels obtenus en forçant le souffle se rapproched’autant plus de la série des harmoniques du fondamental du tuyau entier que la taille(rapport longueur/diamètre) du tuyau est grande.

10.3.4 Trou latéral dans un tuyauPour construire la tessiture d'un instrument de à vent, plusieurs solutions s'offrent aufacteur : construire un tuyau par note dont la longueur est ajustée pour produire la hauteur

désirée : c'est la solution retenue dans l'orgue et dans la flûte de pan ; construire un tuyau de longueur variable. C'est le jazzoflûte et les autres flûtes « à

coulisse » enfin, la solution utilisée pour de nombreux instruments consiste à ouvrir successivement

des trous latéraux depuis l'extrémité passive de l'instrument vers l'embouchure afin demonter la gamme.

Les instruments de la famille des bois à trous latéraux font presque toujours appel àplusieurs régimes d'oscillation du tuyau : une fois tous les trous latéraux ouverts pourmonter une gamme sur le premier régime, le musicien continue sa gamme ascendante sur lesecond régime un refermant tous les trous puis en les ouvrant un à un. Il obtient le secondrégime en modifiant les paramètres d'embouchure et éventuellement en ouvrant un trou «de registre », trou de petit diamètre situé dans la première moitié du corps de l'instrument.

A l'image du violoniste ou du guitariste qui force la corde à vibrer sur son second régime eneffleurant du doigt la corde en son milieu, les trous de registre ouvrent une « fuite » à laposition d'un ventre de pression du premier mode, par exemple, qui coïncide avec laposition d'un nœud de pression du second mode (pour un passage du premier au secondmode dans ce cas).

Pour une flûte traversière moderne, le second régime sonne une octave au dessus (f2/f1=2)du premier régime et le facteur doit ménager 12 trous latéraux pour obtenir une gammechromatique alors que pour une clarinette, le second régime sonne une douzième au dessus(f2/f1=3) et le facteur doit ménager 18 trous latéraux pour obtenir une gamme chromatique.

Le positionnement des trous « de note » détermine la justesse de l'instrument à l'intérieurd'un même régime.

Le trou latéral, lorsqu'il est ouvert, se comporte approximativement comme une extrémitéouverte du tuyau à condition que son diamètre soit voisin de celui du tuyau.

Si son diamètre est plus petit, il convient de placer le trou plus près de l'embouchure afind'obtenir la même hauteur de note.

Le facteur peut donc opérer un compromis entre position et diamètre relatif du trou.

Cependant, la possibilité d'ouvrir un trou dediamètre plus petit en le plaçant plus prochede l'embouchure se paie au niveau desrapports de fréquence entre les diversrégimes du tuyau. Ceci influencera donc lajustesse de l'instrument entre ses différentsrégimes.

La figure ci-contre présente les fréquencesdes trois premières résonances d'un tuyaude 19mm de diamètre et 63cm de longouvert avec un trou latéral permettantd'obtenir une note un ton au dessus de celleobtenue trou bouché.

Trois cas sont présentés, correspondant à undiamètre du trou latéral de 19mm, 16mm ou4mm, le trou étant positionné à distance deplus en plus grande de l'extrémité afind'obtenir même fréquence de résonance dupremier régime.

Il apparaît que l'inharmonicité des partielsdu tuyau augmente à mesure que lediamètre du trou diminue.

Le problème du positionnement des trous est un problème théoriquement simple si onadmet que percer un trou latéral équivaut à couper le tuyau en ce point. Malheureusement,la réalité est tout autre. La seule conclusion générale est que le son monte au fur et à mesurequ’on agrandit un trou et qu’on le rapproche de l’embouchure.

La place et les dimensions des trous dans les divers instruments traditionnels résultent depatientes observations et de longs tâtonnements empiriques des facteurs qui réalisent descompromis variés entre la section et la place des trous en fonction de la section du tuyau,compte tenu des réactions réciproques des trous les uns sur les autres.

De toute façon, il faut perdre toute illusion quant à la possibilité de mise en équation facile detels problèmes, d’autant que le musicien modifie continuellement le système d’excitation, etque celui-ci réagit largement sur le fonctionnement du tuyau.

Les paragraphes suivants analysent sommairement ce problème de couplage excitateur-corpssonore. Les deux modes principaux d’excitation d’un tuyau, bouche et anche, doivent êtreconsidérés séparément, car les mécanismes de couplage sont très différents.

10.3.5 Problèmes du couplage lame d’air-tuyau

Prenons le cas d’un grand bourdon d’orgue (tuyau à bouche, ouvert à l’extrémité). Soufflonssur le biseau, le jet d’air heurte une arête, ce qui produit un sifflement aigu, jouant sur letransitoire du début et donc le timbre du son. Une partie de l’air entre dans alors dans letuyau, créant une compression de l’air. Cette compression, engendrée à la bouche del’instrument, se propage, se réfléchit en s’inversant à l’extrémité ouverte, revient vers labouche et y aspire la lame d’air.

La lame d’air se met donc à osciller de part et d’autre de l’arête : la lame d’air constitue unevéritable anche aérienne souple.

Dans les systèmes à lame d’air, c’est le tuyau qui impose pratiquement sa fréquence devibration à la lame d’air.

10.3.6 Problème du couplage anche-tuyau

Comparativement à la lame d’air précédente, l’anche est un système beaucoup plus rigide etlourd. Elle ne se laissera pas manœuvrer comme une lame d’air par l’onde stationnaire. Enfait, tout dépend du rapport de force entre les deux partenaires en présence : la vibrationpropre de l’anche, qu’on met facilement en évidence en la pinçant et la vibration propre dutuyau, dont on peut apprécier la fréquence en soufflant sur le bord du tuyau. Les deux notesobtenues sont généralement de hauteur et d’intensité différentes. Qui va l’emporter erimposer sa loi à l’autre ? C’est tout le problème des tuyaux à anches.

Deux cas extrêmes sont à envisager, entre lesquels se placent les réalisations pratiques desfacteurs d’instruments : l’anche très forte et l’anche très faible.

L’anche très forte dominera de loin l’onde stationnaire du tuyau et imposera sa fréquencepropre au tuyau qui s’accommodera au mieux sur elle. Le tuyau ne joue plus guère qu’un rôlede résonateur en amplifiant tel ou tel groupe d’harmoniques du son de l’anche, il ne fait doncque modifier le timbre de l’instrument. Les anches lippales appartiennent à ce type d’anchesfortes (autres exemples : voix, anches d'orgue, anches de jouets)

Pour les anches très faibles, l’onde stationnaire du tuyau impose sa fréquence propre àl’anche et la hauteur du son est celle de l’onde stationnaire (exemples : clarinette, hautbois,basson, saxophone) .

pbouche est imposée à l'entrée du résonateur

Un créneau de pression se propage dans le sens positif du résonateur

L'onde se réfléchit avec inversion de signe à l'extrémité ouverte. Un créneau négatif

s‘additionne à celui crée auparavant

Le nouveau créneau se propage dans le sens négatif

Le créneau négatif est réfléchi sans inversion de signe. La différence de pression provoque

la fermeture de l'anche

Le créneau négatif se propage vers l'extrémité ouverte

Nouvelle réflexion avec changement de signe

Nouvelle réflexion du créneau positif et ouverture de l'anche

Avec le schéma précédent, on peut retrouver facilement la périodicité du système. Vu que laperturbation de pression revient inversée à l'anche, il lui faut un deuxième aller-retour pourrevenir à son état initial.

Un aller ou un retour se font à la vitesse du son c, donc chacun des deux se fait dans unintervalle de temps c/L. Vu qu'il faut quatre de ces parcours, on a une répétition au bout de lapériode 4c/L.

10.4 La colonne d’air est un oscillateur forcé : impédance acoustique des instruments à vent

L’impédance acoustique est le rapport entre la pression acoustique et le débit d’air. Elles’exprime donc généralement en Pa.s.m-3 aussi appelé ohm acoustique Ω.

Pour un instrument à vent, l’impédance acoustique est une caractéristique intrinsèque del’instrument, qui peut être mesurée (ou calculée) sans même l’instrumentiste. Elle se présentesous la forme d’un spectre, puisqu’elle fonction de la fréquence ; en fait, l’impédance constituela réponse acoustique d’un instrument vis-à-vis de toutes les fréquences d’excitation possibles.

L’impédance acoustique des instruments de musique varie énormément avec la fréquence, carces instruments sont construits pour produire seulement quelques fréquences pour chaqueconfiguration (doigté) : elle se présente donc comme une courbe en dents de scie. Les pics etles creux de la courbe d’impédance apparaissent aux fréquences pour lesquelles l’instrumentpeut développer et entretenir une onde stationnaire.

Au contraire, nous verrons que tous les instruments à anche(comme la clarinette) peuvent être considérés des tuyaux ouvertà une extrémité (le pavillon) mais fermés du côté del’embouchure. Donc, à l’embouchure, la pression acoustique estgrande et on a un minimum de vibration (nœud). Les instrumentsà anche produisent donc des sons lorsque l’impédance acoustiqueest minimale. La facilité d’émettre un son et sa stabilité sontdéterminées par la hauteur et l’étroitesse du maximum.

Par exemple, nous verrons qu’une flûte peut être considéréecomme un tuyau ouvert à ses deux extrémités. Donc, àl’embouchure, la pression acoustique est quasi nulle et on a unmaximum (ventre) de vibration pour l’air à l’embouchure. La flûteémet donc des sons caractérisés par les minima de l’impédanceacoustique. La facilité d’émettre un son et sa stabilité estdéterminée par la profondeur et l’étroitesse du minimum.

Une clarinette est fermée à l’embouchure etfonctionne aux maxima de l’impédance Z.Lorsque tous les trous sont bouchés, cesmaxima apparaissent pour 130 Hz, 390 Hz,650 Hz, etc. qui correspondent aux notesdo3, sol4 et mi5, c’est-à-dire une sérieharmonique comportant seulement desharmoniques impaires 1f, 3f, 5f etc. où lafréquence fondamentale est 130 Hz.

Une flûte est ouverte à l’embouchure etfonctionne aux minima de l’impédance Z.Lorsque tous les trous sont bouchés, cesminima apparaissent pour 260 Hz, 520 Hz,780 Hz, 1040 Hz, 1300 Hz etc quicorrespondent aux notes do4, do5, sol5, do6,mi6, c’est-à-dire une séquence harmonique1f, 2f, 3f, 4f, etc. où la fréquencefondamentale est 260 Hz.

Impédances comparées d’une flûte et d’une clarinette pour la note fondamentale

http://www.youtube.com/watch?v=N5Ch2NThFvY

11 La famille des bois

Famille d'instruments de musique à vent, lesbois se caractérisent par leur systèmed'émission du son constitué soit par un biseaucomme les flûtes , soit par la vibration d'uneanche simple comme la clarinette ou doublecomme le hautbois.

Si certains sont en métal comme lessaxophones, en cristal comme quelques flûtestraversières, en ivoire comme des hautboisbaroques, en céramique voir l'ocarina ou enplastique comme beaucoup de flûtes à bec, lagrande majorité, encore de nos jours, estfabriquée avec toutes sortes d'essences debois, d'où le nom de la famille.

Par contre, les instruments en bois où leslèvres créent la vibration, sont classés dans lafamille des cuivres, voir le cornet à bouquinou le surprenant didjeridoo australien.

11.1 Généralités

11.1.1 Présentation

Quel est l’effet obtenu en ouvrant un trou ? La longueur acoustique effective de l’instrumentchange. Dans le cas où l’on ouvre un simple trou, la longueur effective est d’autant plusraccourcie que le trou ouvert est large. Si le trou ouvert a un diamètre égal à la perce, on peutconsidérer que la colonne d’air se termine effectivement au trou ouvert.

Effet de raccourcissement de la longueur acoustique effective en fonction du diamètre du trou ouvert.

Quand plusieurs trous régulièrement espacés sont ouverts en même temps, le réseau destrous agit comme un filtre qui transmet les ondes de haute fréquence mais réfléchit les ondesde basses fréquences ; les trous permettent donc aux ondes de basses fréquence de résonner,tandis que les ondes de haute fréquence s’échappent du tube. La fréquence critique au-delàde laquelle les ondes ne peuvent se propager à travers le réseau de trous est appeléefréquence de coupure du réseau. C’est un facteur important qui détermine le timbre desinstruments à vent de la famille des bois.

11.1.2 Trous sur les instruments de la famille des bois et fréquence de coupure

On montre que la fréquence de coupure d’un réseau de trous dépend de leur taille, deleur forme, et de leur espacement. On peut la calculer par la formule (Benade, 1976) :

0,11( 1,5 )

c

b c

a s t bν =

+

où c est la vitesse du son, et a,b, s, t sont les paramètres géométriques (exprimés enmètres) décrivant le réseau (a est le rayon de la perce, b le rayon des trous, 2sl’espacement entre deux trous consécutifs et t la hauteur du trou.

Les résonances d’un tuyau avec des trous ouverts varient selon la fréquence de la mêmemanière qu’un tube terminé par un pavillon : les résonances de plus haute fréquencesont atténuées par la présence du réseau de trous et disparaissent au-delà de lafréquence de coupure. Notons que les trous fermés ont aussi un effet acoustique :l’augmentation du volume d’air dans la colonne (grâce aux petits cylindres découpés dansle bois) réduit la vitesse moyenne du son dans le tube ; il s’ensuit, pour une longueurd’onde donnée pour la résonance, une diminution de la fréquence de résonance associée(en d’autres mots, un tuyau avec un réseau de trous régulièrement espacés apparaîtcomme acoustiquement plus long qu’un tuyau sans trou de la même longueur).

Les figures ci-dessous montrent l’atténuation des résonances au voisinage de la fréquence de coupure pour un instrument percé de trous et leur quasi extinction au-delà de cette

fréquence, ainsi que le léger décalage des pics de résonance vers les basses fréquences.

11.2 La flûte traversière

do4

On voit clairement sur le diagramme de Fourier que toutes les harmoniques, paires et impaires, sont présentes.

11.2.1 présentation et spectre

11.2.2 Description de la flûte traversière

Elle est en 3 parties :

- La tête qui comporte l’embouche par laquelle on souffle pour obtenir un son.- Le corps avec les clés sur lesquelles on appuie pour jouer.- La patte d’ut.

Elle mesure environ 66 cm de longueur et 1,9 cm de diamètre.

11.2.3 Flûte traversière, production du son

Un flûtiste souffle un jet d’air rapide au-dessus du trou d’embouchure (la vitesse estd’environ 20 à 60 m/s, selon la pression dans la bouche du flûtiste). Dans la bouche duflûtiste, la pression est supérieure d’environ 1 kPa à la pression atmosphérique. Le flûtistesouffle de manière continue. Le jet d’air produit frappe le bord le plus éloigné du trou del’embouchure. Si le jet d’air est perturbé périodiquement, son trajet varie et il peutalternativement entrer dans l’embouchure ou rebondir vers le haut et s’échapper : l’originede cette perturbation périodique est la vibration de l’air dans le tube de la flûte, quiprovoque au niveau du trou une alternance périodique de dépressions et de compressions.Selon la fréquence de la note jouée, en adaptant la pression buccale (et donc la vitesse desortie du jet d’air), on peut faire en sorte que le jet entre et sorte de l’embouchureexactement en phase avec le son produit, et la flûte produit alors un son soutenu. Pourjouer un son plus aigu, il faut réduire le temps du trajet des ondes dans le jet d’air, pour semettre en phase avec la fréquence plus élevée du son à produire ; ceci peut se faire enaugmentant la pression du souffle (et donc la vitesse du jet) et en avançant les lèvres pourréduire la distance que doit parcourir le jet pour frapper le bord du trou d’embouchure.

La flûte peut être considérée comme un tube sonore ouvert aux deux bouts ; en effet, la sortiedu tube est clairement ouverte, mais même du côté de l’embouchure, bien que les lèvres del’instrumentiste couvrent une partie du trou d’embouchure, une grande partie de celui-cireste ouvert à l’atmosphère.

Le modèle mathématique rendant compte du spectre sonore émis par la flûte est celui d’untuyau cylindrique ouvert, avec une commande en pression (cf. annexe A4.1)

11.2.4 La flûte est un tuyau sonore ouvert

Le fait que la flûte est un tube ouvert aux deux extrémités implique que la pression totale auxextrémités de l’instrument doit être la pression atmosphérique, c’est-à-dire que la pressionacoustique doit s’annuler aux extrémités de l’instrument, qui sont donc des nœuds depression (et donc des ventres de vibration). En fait, ils se trouvent non pas aux extrémités del’instrument, mais à une petite distance de celles-ci (environ 0,6 fois le rayon du tube), enraison de corrections dues au fait que le tube est quand même fermé physiquement. Dans letube, on a donc comme monde fondamental une onde stationnaire du type suivant (où leslignes solides représentent la variation de pression et les lignes représentent le déplacementdes molécules d’air) :

La fréquence de ce mode, pour une longueur de 66 cm et une vitesse du son de 350 m/s(pour la célérité du son dans un air chaud et humide) vaut :

assez proche en effet de la fréquence du do4, le son le plus grave que peut émettrel’instrument (264 Hz)

1

350265 Hz

2 1,32

cf

l= = =

On peut jouer la note do4 sur une flûte avec ce doigté tous les trous bouchés), mais on peutaussi obtenir d’autres notes avec le même doigté en rétrécissant l’ouverture des lèvres, etdonc en produisant un jet d’air plus rapide : ce sont les notes correspondant auxharmoniques suivantes :

Si on débouche les trous, en commençant par le plus éloigné de l’embouchure, on rapprochele dernier nœud de pression de l’embouchure (un peu comme si on écourtait le tuyau de laflûte). Sur la flûte de Boehm, chaque trou ouvert abaisse la fréquence d’un demi ton. Si ondébouche 4 trous sur une flûte, on obtient donc le doigté du mi4, comme indiqué sur lesfigures (attention, ne pas confondre le doigté et les trous ouverts) :

11.2.5 Autres notes sur une flûte traversière

Certains trous peuvent servir de clés de registre sur une flûte. Par exemple, si on joue un do4et qu’on soulève le pouce de la clé de pouce, on ouvre à moitié un trou en bas del’instrument. Cela rend la fréquence fondamentale et toutes ses harmoniques impairesimpossibles, sans gêner les harmoniques paires qui ont un nœud de vibration à hauteur de cetrou. La flûte saute alors à l’octave supérieure (jusqu’au do5) ; ceci correspondrait auxouvertures suivantes :

Mais le do5 n’est pas joué selon ce doigté ; voici par contre un exemple analogue, ou le faitde lever le petit doigt de la main droite d’une clé ouvre un trou de registre situé à la moitiede la colonne d’air pour passer d’un ré4 à un ré5 :

Pour obtenir des notes plus aiguës, on peut ouvrir une clé de registre à une fraction différentede la longueur d’onde ; par exemple, pour obtenir le ré6, on part du doigté du sol4 et on ouvreune clé de registre située à peu près au tiers de la longueur de la colonne correspondant ausol4 ; de la même manière, en ouvrant une clé de registre située à peu près au quart de lacolonne correspondant à ce sol4, on obtient un sol6 :

On voit clairement sur le diagramme de Fourier que seules les harmoniques impaires sont présentes.

Un exemple d’instrument de la famille des bois à perce cylindrique, la clarinette

11.3 La clarinette

Ré entendu =mi

11.3.1 présentation et spectre

11.3.2 Description de la clarinette

La clarinette en Si (mais aussi celles en La, en Ut, en Ré et Mi) se présente sous la formed'un long tuyau droit. La clarinette est généralement réalisée en bois noble tel que l'ébèneou le palissandre (au moins pour le corps).

Les clés sont en maillechort (alliage à base de nickel) nickelé, parfois argenté, ou plusrarement doré.

Pour une clarinette en Si letableau ci-contre donne lesdimensions et autres donnéesphysiques liées à l'instrument

1. le bec et sa ligature,2. l'anche fixée sur la partie inférieure du bec,3. le barillet,4. le corps du haut (pour la main gauche),5. le corps du bas (pour la main droite)6. le pavillon.

Pour des raisons pratiques de fabrication et de transport, la clarinette se compose de 6éléments principaux (de haut en bas) :

11.3.3 La clarinette, production du son

Le clarinettiste produit un flux d’air dont la pression est environ supérieure de 3 kPa à lapression atmosphérique. Ce souffle est produit en continu. C’est l’anche qui produit lesoscillations dans le flux de l’air, en agissant comme une valve oscillante.

Plus précisément, voici comment se comporte une anche simple, en fonction de la pressionexercée par les lèvres :

Pour une pression faible, l’anche se contente de résister (l’anche se comporte comme uncircuit résistant), le flux d’air est proportionnel à la pression exercée et l’instrument neproduit pas de son, on n’entend qu’un bruit de courant d’air. Le régime de jeu de l’instrumentcorrespond à la partie décroissante de la courbe : il faut donc exercer une pression minimalesur l’anche pour produire un son. Mais il existe aussi une pression maximale au-delà delaquelle il n’y a plus de son, car l’anche est alors fermée..

Les diagrammes suivants expliquent pourquoi le timbre d’une clarinette change selon qu’onjoue très doucement (piano), un peu plus fort (mezzo forte) ou carrément très fort(fortissimo). Pour un jeu piano, la relation entre la variation de pression et le flux d’air estquasi linéaire, ce qui se traduit par une vibration temporelle quasi sinusoïdale et donc desharmoniques élevées assez faibles : le son est moelleux.

Si l’instrumentiste joue plus fort (mezzo forte), il augmente la pression moyenne mais aussil’intervalle de variation de la pression ; sur cet intervalle, la relation entre la pression exercéeet le flux d’air produit n’est plus linéaire. Ceci produit une oscillation temporelle de flux quin’est plus symétrique, et dont le spectre contient plus d’harmoniques aigues.

S’il souffle très fort, l’anche se ferme parfois au long du cycle et le flux d’air passe alors parzéro. L’onde résultante passe par zéro, et son spectre contient encore plus d’harmoniquesaigues. Le timbre devient donc plus brillant, moins moelleux.

piano

Mezzo forte

fortissimo

Plus d’harmoniques aigues apparaissent,le timbre est plus brillant, moinsmoelleux.

11.3.4 Vibration d’un instrument muni d’une anche simple

Une zone de compression produite au niveau de l’anche sepropage dans le tube (a et b), se réfléchit en s’inversant en unezone de basse pression sur l’extrémité ouverte du tube, sepropage en sens inverse dans le tube (c et d), aide à lafermeture de l’anche ; entre e et h, le processus se répète,mais avec une zone de dépression, qui se transforme parréflexion en une zone de surpression, etc.

La colonne d’air d’un instrument à anche simple (comme laclarinette ou le saxophone) peut donc être considérée commeun tube ouvert à une extrémité (le pavillon) et fermé à l’autreextrémité (l’anche), ce qui explique l’absence des harmoniquesimpaires dans le spectre (tube fermé).

Une analyse plus rigoureuse de la production du son par laclarinette est menée dans l’annexe A4.3. En fait, le tuyau d’uneclarinette est bien ouvert, mais la présence de l’anche estresponsable d’une commande en vitesse de la colonne d’air, etles résonances d’une colonne d’air ouverte, commandée envitesse sont les mêmes que celles d’une colonne d’air fermée,commandée en pression. Nous assimilerons par la suite laclarinette a un tuyau fermé.

La clarinette est ouverte du côté du pavillon, mais on peut considérer qu’elle est fermée del’autre côté. En effet, lorsqu’un son est produit, la petite ouverture entre l’anche et le bec(beaucoup plus petite que la section de la perce de l’instrument) est suffisante pour causerune réflexion du son vers la colonne presque comme le ferait une extrémité bouchée. Pourle reste, on peut considérer l’instrument comme cylindrique. L’écart le plus important estbien sûr la présence du pavillon, dont nous discuterons après.

11.3.5 La clarinette est analogue à un tuyau fermé

Puisque la clarinette est ouverte à l’air vers le pavillon, la pression totale à cet endroit doitêtre la pression atmosphérique, et la pression acoustique doit donc y être nulle. Par contre,du côté du bec, on aura un maximum de pression acoustique. L’onde stationnairefondamentale qui peut donc s’établir dans ce tube est de la forme :

où la ligne la plus épaisse représente la variation de la pression acoustique, et la ligne plusfine le déplacement des molécules d’air.

La fréquence de ce mode, pour une longueur de 66 cm et une vitesse du son de 350 m/s(pour la célérité du son dans un air chaud et humide) vaut :

Du même ordre en effet que la fréquence du ré3 (noté mi3, puisque l’instrument transpose),le son le plus grave que peut émettre l’instrument (147 Hz), mais avec quand même unegrande différence, qui va s’expliquer par les effets de bord (le tube a une longueur acoustiqueeffective plus courte que la longueur mesurée).

1

350133Hz

4 2,64

cf

l= = =

On peut jouer la note mi3 avec ce doigté, mais on peut aussi jouer d’autres notes ensoufflant plus fort. Ces notes correspondent à des ondes stationnaires de plus courteslongueur d’onde qui peuvent s’établir dans la même colonne d’air, et ont donc un nœud depression du côté du pavillon et un ventre de pression du côté du bec. Les premières sontdécrites par la figure :

Ces notes sont approximativement les premières harmoniques impaires de la fréquence fondamentale.

11.3.6 Effets du pavillon et du bec sur l’impédance

L’impédance acoustique est simplement le rapport mesuré en un point entre la pression etle flux d’air. Si l’impédance est haute, la variation de pression est grande et peut contrôlerl’anche. Pour la clarinette, les résonances de l’instrument correspondent aux fréquencespour lesquelles l’impédance acoustique est grande.

Sur la figure ci-contre, la courbe noirecorrespond à l’impédance d’un tube cylindriqueseul, et la courbe rouge correspond àl’impédance d’un tube muni d’un pavillon.

On voit que le pavillon, en allongeant le tubeacoustique, décale toutes les résonances vers lesplus basses fréquences. Mais on note aussi queles pics sont moins élevés. Ceci s’explique par lefait que le pavillon permet aux ondes derayonner à l’extérieur de la colonne ; les ondessont donc moins réfléchies, et les ondesstationnaires résultantes sont plus faibles. Ceteffet se marque surtout pour les hautesfréquences.

Voyons à présent l’effet du rétrécissement de lacolonne lié à la présence du bec. Cette fois, lescourbes d’impédance avec (en noir) ou sans (enrouge) rétrécissement ne présentent pas demodification de la position des pics.

Toutefois, il y a plusieurs différences entre lescourbes, dues à ce rétrécissement :

globalement, l’impédance augmente. C’estnormal puisque la pression augmente dans lapartie conique, qui relie une partie de petite aireà une partie de grande aire.

ensuite, l’augmentation de l’impédance n’est pas qualitativement la même entres leshautes et les basses fréquences : à basse fréquences, l’augmentation relative des maxima etdes minima est la même tandis qu’à haute fréquence, les minima augmentent beaucoup plusque les maxima. En fait, ceci n’est pas très important, puisque la clarinette fonctionne auvoisinage des maxima (mais cet effet serait important pour une flûte, présentant unrétrécissement).

enfin, les pics deviennent asymétriques à haute fréquence : les minima se déplacent unpeu vers les plus basses fréquences et les maxima se déplacent vers les plus hautesfréquences.

11.3.7 Registres et clés de registres de la clarinette

Dans le premier registre de l’instrument, la noteentendue correspond à la première résonance.Pour une clarinette, on voit sur les courbesprécédentes que le pic correspondant à cettepremière résonance est le plus haut (ce n’est pasle cas pour les instruments à perce conique).

Pour changer de registre, il faut donc atténuer laforce de cette première résonance, ou décaler safréquence.

La manière la plus simple de diminuer la forced’une résonance est de produire une fuite d’air àun point de grande pression pour ce mode.

C’est pourquoi, pour passer à un registresupérieur sur une clarinette, on ouvre un petittrou (par l’action de la clé de registre) situé autiers de la longueur totale de la colonne d’air. Pourobtenir le registre suraigu, on ouvre un autre trou,situé tout au-dessus de l’instrument (aucinquième de sa longueur totale) ordinairementtoujours occupé par le premier doigt.

La clarinette ayant une perce cylindrique et étant un tube sonore fermé, son deuxièmeregistre (ou medium) commence à un intervalle d’une douzième (c’est-à-dire une octave etune quinte juste, d’où un rapport de fréquence de 2 × 3/2=3) du premier son fondamental. Lepremier registre (registre sourd) se nomme le chalumeau, le deuxième (registre chantant) leclairon ; le troisième registre, ou (sur)aigu, est situé une sixte au-dessus du deuxième (c’est-à-dire à une fréquence égale à (5/3) × 3=5 de la fréquence fondamentale).

Étendues des registres (en ut) entendus pour une clarinette en si

La note la plus grave du registre de chalumeau s’obtient avec tous les trous bouchés. Lepremier registre est parcouru en débouchant progressivement les trous. Le début du registresuivant a de nouveaux tous les trous bouchés, mais il s’obtient au départ du premier registreen ouvrant un trou supplémentaire (clé d’octave ou clé de quintoiement), on parcourt denouveau ce registre en débouchant progressivement les trous.

Registres de la clarinettes joués pour une clarinette en si

Courbes d’impédance pour différentes notes d’une clarinette ; E3 et B4 ont le même doigté, mais sont dans des registres différents (action de la clé de registre). Il s’agit ici de notes

jouées (les notes entendues sont un ton en dessous de la note jouée).

11.4 les instruments à anche double (hautbois, cor anglais, basson, contrebasson)

Le hautbois est de perce conique ; le tronc de cônemesure à peu près 60cm. Comme les résonances d’untube de perce conique sont séparés par une octave(rapport de fréquences de 2), les registres du hautboissont séparés par une octave : de D4 à C5 et de D5 à C6.Des clés additionnelles permettent d’étendre latessiture de l’instrument de B3à G6. Un hautboiscomporte trois corps (corps du haut, corps du milieu etpavillon), et les trois corps comportent des trous (ou desplateaux).

Les hautbois de qualité ont des fréquences de coupureconstantes sur tout le registre, et comprises entre 1100et 1500 Hz pour différents instruments. Plus lafréquence de coupure est haute, plus le son del’instrument est clair.

Un basson a aussi une perce conique sur une longueur totale de près de 254cm. Le tubese replie plusieurs fois sur lui-même. La tessiture du basson s’étend de B1à plus oumoins C5 (58 à 523 Hz) ; le contrebasson joue encore une octave en dessous. Lesfréquences de coupure pour les bassons de qualité se situent entre 350 et 500 Hz.

La courbe b montre un effet de fréquence de coupure vers 1200 Hz ; la courbe par contrec ne montre pas de fréquence de coupure. En comparant c et d, on voit que l’ouverture dela clé de registre affaiblit la première résonance.

Courbes d’impédance pour deux différents hautbois (courbes a-b et c-d)

Un exemple d’instrument de la famille des bois à perce conique : le hautbois

Pour le hautbois, instrument à perce conique, toutes lesharmoniques (paires et impaires) sont présentes dans le spectre deFourier.

Un instrument de perce conique à anche simple : le saxophone

Comme le saxophone a une perce conique, son spectre présente des résonances pour desharmoniques paires et impaires. Mais comme sa conicité est beaucoup plus grande que celledu hautbois ou du basson, son timbre présente peu d’harmoniques élevées. Ces registres sontséparés par une octave.

12 Instruments à vent de la famille des cuivres

Contrairement à ce que leur nom laisse penser, ce n'est pas la matière qui est déterminantedans cette classification (puisque le saxophone, instrument métallique, est dans la catégoriedes bois), mais la similarité de technique utilisée par le sonneur pour produire le son.

L’instrumentiste met la colonne d’air en vibration en faisant vibrer rapidement ses lèvrescontre l’embouchure de l’instrument. Celle-ci a du côté des lèvres une forme de coupe ets’effile de l’autre côté.

L’embouchure est fixée sur un premier tuyau, dont la perce est très finement ajustée, et quise raccorde au tube principal de l’instrument.

Le tube, à perce cylindrique ou conique est muni de pistons et peut donc être de longueurvariable. Le pavillon constitue la sortie de l’instrument, par où va rayonner l’essentiel del’énergie acoustique.

12.1 Présentation

Quelques cuivres en chiffres…

12.2 Production du son par les lèvres

L’instrumentiste insuffle de l’air dans l’instrument avec une surpression comprise entrequelques kPa et quelques dizaines de kPa. Les lèvres agissent alors comme une valveoscillante, et forment un oscillateur contrôlé par les résonances de l’instrument pourproduire une oscillation de pression et de flux.

Les joueurs de cuivre peuvent produire des sons seulement avec leurs lèvres ; en fait, leslèvres possèdent une masse et une certaine élasticité et se comportent donc comme unoscillateur. La pression de l’air dans la bouche (1) forcent les lèvres à s’ouvrir (2) et l’airs’échappe de la bouche. Comme la pression dans la bouche baisse, les lèvres se referment(3) alors en raison de leur élasticité et de l’effet Bernoulli (effet d’aspiration produit par lemouvement de l’air). Le cycle peut alors se répéter.

Son produit par les lèvres seules, étirées en une sorte de sourire, en modifiant la tension des lèvres.

Le timbre émis par l’instrument dépend de la force du son produit. L’image ci-dessousmontre qu’en jouant doucement (surtout une note aigue), les lèvres de l’instrumentiste nebougent pas assez vite et n’ont pas assez de temps pour se fermer complètement. Dans cecas, la vibration produite est presque sinusoïdale, le fondamental est fort et les harmoniquesplus élevées sont faibles. Le timbre est moelleux. Au contraire, si l’instrumentiste joue plusfort, les lèvres se ferment subitement, produisant ce que les physiciens appellent un« clipping » ; ce phénomène produit beaucoup d’harmoniques élevés, ce qui rend le son plusbrillant. Le renforcement du son est aussi accentué par le fait que nos oreilles sont plussensibles à ces hautes fréquences.

Un crescendo au trombone.

Les instruments de la famille des cuivres peuvent être considérés comme des tuyaux fermés.En effet, vers le pavillon, l’extrémité est ouverte, mais du côté de l’embouchure, l’ouverturedes lèvres a une section beaucoup plus petite que celle de la perce de l’instrument, etl’embouchure provoque une réflexion des ondes analogue à celle d’une extrémité fermée.

12.3 Les cuivres sont des tuyaux fermés

12.3.1 Instruments sans pavillon

Par exemple, si l’on s’intéresse au tube principal de la trompette (sans embouchure etsans pavillon), long d’environ 140 cm, on observe que les résonances se produisent bienpour des fréquences correspondant à celles du tuyau cylindrique fermé, c’est-à-dire auxharmoniques impaires de la fondamentale :

( )2 1 1

2 1 350 1 62,5Hz

4 4 5,6n

n c cf n f

l l−

−= ≥ = = =

Impédance d’entrée d’un tube de 140 cm, sans pavillon.

12.3.2 Effet du pavillon

Un instrument de cuivre basé sur une seule section cylindrique ne serait guèreintéressant ; en effet, les notes qu’il produit seraient trop éloignées les unes des autres,et il ne serait pas assez puissant. Le fait d’ajouter une section évasée et un pavillon résoutces deux problèmes. En effet, on montre qu’une section de perce conique produit un sondont la fréquence de fondamental est plus élevée et dont les harmoniques sont plusproches les unes des autres (on a à la fois les paires et les impaires) qu’une section deperce cylindrique. Donc, le fait d’introduire une section de tube évasée va augmenter lafréquence fondamentale de l’instrument et multiplier les harmoniques.

Le pavillon contribue aussi à cet effet : comme il s’évase rapidement, les ondes de grandelongueur d’onde (c’est-à-dire les basses fréquences) ne peuvent pas suivre la courbure dupavillon et sont donc plus facilement réfléchies que les ondes plus courtes (les hautesfréquences) ; ceci se marque surtout pour des longueurs d’onde plus grande que le rayonde courbure du pavillon. Donc, les hautes fréquences s’échappent plus facilement dupavillon, comme si l’instrument était plus court pour les hautes fréquences que pour lesbasses ; elles sont rayonnées efficacement vers l’extérieur, et leur puissance ne décroîtpas comme c’est le cas pour les instruments de la famille des bois. Ceci contribue à laclarté du timbre des instruments de la famille des cuivres mais aussi au fait que lescuivres sont des instruments puissants, puisque nos oreilles sont plus sensibles auxhautes fréquences. Notons que si les hautes fréquences sont moins réfléchies, l’ondestationnaire qui s’établit dans l’instrument est moins forte, ce que l’on observe sur lescourbes d’impédance suivantes.

Impédance d’entrée d’un tube de 140 cm de long sans pavillon

Impédance d’entrée d’un tube de 140 cm de long avec pavillon

On observe l’augmentation des harmoniques, mais aussi le fait que les hautes fréquences rayonnent hors du

tube plus rapidement.

On peut entendre l’effet du pavillon évasé dans les exemples sonores suivants. On entend trèsbien l’augmentation des fréquences des trois premières résonances de l’instrument et leurrapprochement.

Tuyau de 110 cm, sans pavillon, sans embouchure(et donc ouvert !) : les notes entendues ont unprofil d’harmoniques complets et pour fréquencesfondamentales si - à 234 Hz, sol à 385Hz, do # à541 Hz.

Tuyau de 110 cm, avec pavillon, sans embouchure :les notes entendues ont un profil d’harmoniquescomplet et pour fréquences fondamentales do # à280 Hz, sol # à 415 Hz, ré à 571 Hz.

12.3.3 Effet de l’embouchure

L’embouchure a plusieurs fonctions. Tout d’abord, elle permet de connecter les lèvresconfortablement à un tuyau étroit. Sur le plan acoustique, l’embouchure permet d’abaisserla fréquence des très hautes résonances, et a donc en ce sens un effet opposé à celui dupavillon évasé. L’embouchure renforce aussi certaines résonances.

Dans ce diagramme, à gauche, les fréquences de résonance d’un tube cylindrique de 130 cmde long : la note fondamentale est un do2 (note lue, la note entendue est un si ), et lesautres résonances se produisent pour les harmoniques impaires.

À droite, on a ajouté une embouchure et un pavillon évasé. Les résonances montent toutes enfréquence, même si les résonances supérieures montent proportionnellement moins (effet del’embouchure). La forme de la trompette est choisie pour que la seconde et la troisièmerésonances aient leurs fréquences dans un rapport 2:3:4:5 etc. Elles forment donc une sérieharmonique complète, mais sans fondamental. La résonance la plus basse de la trompette nefait pas partie de la suite harmonique ; de plus, elle est faible et quasi impossible à jouer. Parcontre, certains instrumentistes peuvent jouer la pédale, dont la fréquence fondamentale necorrespond pas à une résonance de l’instrument, et dont le spectre est formé de toutes lesfréquences multiples de la fréquence fondamentale.

Bilan : spectre des harmoniquesd’une trompette (les notesécrites sont en ut) .

12.3.4 Harmoniques émis par les cuivres

Suite des harmoniques d’une trompette en ut et d’un cor (sans lafondamentale)

Notes entendues : Do (261 Hz), mi (334 Hz), sol (401 Hz), si -(466 Hz), do (536 Hz), ré (603 Hz), mi (665 Hz), fa # (730 Hz), sol (800 Hz), la (864 Hz), si (918 Hz), si (983 Hz), do (1044 Hz), ré (1211 Hz), ré # (1238 Hz), mi (1298 Hz), fa (1394 Hz)

Suites des harmoniques sur une guitare (avec la fondamentale).

Impédances d’entrée d’une trompette moderne en si- et indications des pics de résonancepour la production des notes notées do4 et sol4 (entendues si-3 à 233 Hz et fa)

La trompette, instrument de la famille descuivres à perce cylindrique présente à lafois des harmoniques paires et impairesdans son spectre de Fourier.

Gamme chromatique

Le tuba, un instrument de la famille des cuivres àperce conique présente toutes les harmoniques(paires et impaires) dans son spectre de Fourier.

13 Les instruments à percussion13.1 Les systèmes excitateursUne plaque frappée peut vibrer de quatre façon selon le point d'excitation :

vibrations transversales (dans le sens de la largeur) vibrations perpendiculaires( dans le sens de l'épaisseur) vibrations longitudinales (dans le sens de la longueur) vibrations de torsion.

Dans la réalité, ces quatre modes coexistent toujours avec des rapports d'intensité variantselon les conditions d'excitation :

le point de fixation le point d'excitation le résonateur les baguettes.

La classification des instruments à percussion se fait en fonction de leur mode d'excitation(on parle aussi d'ébranlement) :

Pilonnage : bâtons et planches (primitif) Secouement : hochets, sistres, maracas et grelots Entrechoc : cymbales et castagnettes Grattement et frottement : racles et harmonica de verres Pincement : guimbardes Frappement : gongs, cloches, caisses, xylophone, etc.

La classification des instruments à percussion se fait aussi en fonction du spectre rayonné :

tiges ou règles plaques : Cymbales, cloches membranes.

13.2 Les résonateursC'est une caisse ou un tuyau placé sous la plaque.

A1.1 Vibration libre d’une corde fixée à ses extrémités

Considérons une corde de longueur L et de masse linéique µ (masse par unité de longueur)fixée à ses deux extrémités et soumise à une tension T. Si S est la section de la corde et ∆Ll’allongement qui résulte de la tension de la corde, on a :

. .L

T S EL

∆=

où E est le module d’élasticité de Young du matériau constituant la corde (E est de l’ordre de2.1011 Pa pour l’acier).

Nous ignorons pour le moment l’interaction avec le chevalet et le phénomène importantd’amortissement qui en résulte. Nous ignorons aussi les autres sources d’amortissement.

Trois types de vibrations sont possibles pour la corde : transversales, longitudinales et entorsion.

Nous n’étudions que le premier type, et supposons que la vibration a lieu dans un plan Oxy.Dans ce plan, la corde a pour extrémités les points (0,0) et (0,L), et la position de la corde àl’instant t est donnée par une équation y=u(x,t). Les conditions aux limites imposent :

A1.1.1 établissement de l’équation générale des ondes

(0, ) ( , ) 0 u t u L t t= = ∀

Annexe 1 : vibration transverse de la corde vibrante

Pour obtenir l’équation régissant lemouvement de la corde, on considère, àun instant t donné, les forces quiagissent sur un petit segment de cordesitué entre les abscisses x et x+dx. Onnote θ(x,t) l’angle que fait la corde avecl’axe Ox.

( , )

( , ) sin ( , ) tan ( , )x dx t

uF x dx t T x dx t T x dx t T

xθ θ

+

∂+ = + ≅ + =

∂

l’approximation étant valable si θ(x,t) est proche de 0. Au point x, on trouve de la même façon :

( , )

( , )x t

uF x t T

x

∂= −

∂La relation fondamentale de la dynamique permet alors d’écrire, pour l’accélération verticale γ :

2

2

( , ) ( , ) ( , )x dx t x t x t

u u uT T dx dx

x x tµ γ µ

+

∂ ∂ ∂− = =

∂ ∂ ∂

Au point x+dx, la composante verticale de la force due à la tension est :

En divisant par T.dx et en faisant tendre dx vers 0, le premier membre devient une dérivéepar rapport à la variable x, et on retrouve l’équation des ondes :

2 22

2 2

( , ) ( , )

où

x t x t

u u Tc c

x t µ

∂ ∂= =

∂ ∂

Une corde vibrante tendue peut donc être le siège d’ondes transverses circulant à la vitesse :

T

cµ

=

Nous pouvons commencer par chercher les solutions harmoniques de cette équation :

2( , ) ( ) fitu x t x e

πϕ=où ϕ(x) est alors solution de l’équation de Helmholtz :

La partie de l'image avec l'ID de relation rId6 n'a pas été trouvé dans le fichier.

Les solutions de l’équation de Helmholtz sont de la forme :

( ) où et sont des constantes arbitrairesikx ikxx e eϕ α β α β−= +

La prise en compte des conditions aux limites u(0,t)=u(L,t)=0 valables à tout instant impliqueque ces constantes doivent être solutions du système linéaire homogène suivant :

0

0ikL ikLe e

α β

α β −

+ =

+ =

qui ne peut avoir de solution non nulle que si le déterminantest nul, c’est-à-dire si :

2 sin( )ikL ikLD e e i kL

−= − = −

n

où n est entier et n 0

2 2

n

nk k

L

nc n Tf f

L l

π

µ

= = ≠

= = =

A1.1.2 Recherche de solutions par la méthode de Fourier

Si tel est le cas, on a alors α=-β et ϕ(x) est proportionnelle à sin(knx). Nous obtenons ainsi une famille d’ondes stationnaires :

( ) 2( , ) sin nif t

n nu x t a k x eπ=

La première fréquence f1 est appelée fondamentale ; les autres fréquences fn sont desmultiples entiers de f1 : ce sont des harmoniques. Ces fréquences sont appelées fréquencespropres de la corde, et les ondes harmoniques correspondantes les modes propres devibration de la corde.

Les trois premiers modes propres sont représentés sur la figure ci-dessous.

Plus généralement :

On peut démontrer que toute solution de l’équation des ondes pour la corde vibrante, fixéeà ses deux extrémités, s’obtient par addition des modes propres. Par conséquent, la formela plus générale qui décrit la position de la corde est la suivante (formule due à Bernoulli en1753) :

( ) 2( , ) sin ni f t

n n

n

u x t a k x eπ

+∞

=−∞

= ∑

Les fréquences étant toutes des multiples entiers de f1, il s’ensuit que le son produit estpériodique de période 1/ f1.

A1.1.3 Recherche de solutions par la méthode de d’Alembert

Nous savons que la solution générale pour le mouvement de la corde libre fixée à ses deuxextrémités est de la forme :

( , ) ( ) ( )u x t f x ct g x ct= − + +La condition aux limites u(0,t)=0 pour tout t implique que les fonctions f et g vérifient :

( ) ( )g y f y= − −

Par conséquent :( , ) ( ) ( )u x t f x ct f x ct= − − − −

La condition aux limites u(L,t)=0 pour tout t entraîne que la fonction f est périodique depériode 2L ; en effet, la condition :

( , ) ( ) ( ) 0u L t f L ct f L ct= − − − − =

prise en t=L/c implique :(0) ( 2 )f f L= −

Écrivons f sous la forme f(z)=p(z)+q(z) où p et q sont deux fonctions 2L-périodiquesrespectivement paire [p(-z)=p(z)] et impaire [q(-z)=-q(z)]. C’est toujours possible, il suffit deprendre p(z)=1/2(f(z)+f(-z)) et q(z)=1/2(f(z)-f(-z)). On a alors :

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

u x t p x ct p x xt q x ct q x ct

p x ct p x ct q x ct q x ct

= − − − − + − − − −

= − − + + − + +

Les conditions initiales du mouvement de la corde sont données par :

0 0

( ,0)

( ,0) ( ) et ( )x

uu x u x v x

t

∂= =

∂Ceci implique, pour les fonctions p et q les relations suivantes :

0 02 ( ) ( ) et -2c ( )dp

q x u x v xdx

= =

On a donc :0 0

1 1( ) ( ) et ( ) ( )

2 2q x u x p x V x A

c= = − +

où V0(x) est une primitive de v0(x) et A est une constante.

Ces égalités ont lieu pour tout x compris entre 0 et L ; si l’on suppose que u0 et V0 sontprolongées respectivement en fonctions impaire et paire vers l’intervalle [–L,0], lesfonctions u0 et V0 sont 2L-périodiques. Par conséquent, on peut décomposer la solutionde l’équation de propagation en :

[ ] [ ]0 0 0 0

1 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2u x t u x ct u x ct V x ct V x ct

c= + + − + + − −

et cette fonction est périodique par rapport à la variable t avec une période T=2L/c

Annexe 2 : analyse de la vibration transverse d’une corde frottée par un archet

Quand on frotte l’archet sur une corde de violon, la corde semble vibrer latéralement entredeux courbes enveloppes, à la manière d’une corde vibrant dans son mode d’oscillationtransverse fondamental.

Mais cette apparente simplicité est vite dissipée.

Une photographie à grande vitesse de la corde frottée par l’archet montre que la corde restepresque droite, mais présente un point anguleux en un point.

Forme de la corde à un moment du cycle

A2.1 mode d’entraînement de la corde par l’archet

Le mécanisme de cette relaxation est facile à comprendre. La mèche de l’archet est enduite decolophane. Ce produit a une propriété particulière, qui est à la base de son utilisationempirique. On vérifie expérimentalement que la colophane, intercalée entre deux corpsmobiles, a un coefficient de frottement d’autant plus élevé que la vitesse de déplacementrelative entre les deux corps est plus petite. Par conséquent, à petite vitesse, elle « colle »,mais à grande vitesse, elle « glisse ».

Le physicien Helmholtz avait compris le phénomène il y a plus de cent ans : pendant la plusgrande partie de la vibration, la corde est entraînée par l’archet et l’accompagne dans sonmouvement.

Ensuite, la corde se désolidarise de l’archet (phase de relaxation) et revient rapidement enarrière, jusqu’à ce qu’elle se solidarise à nouveau à l’archet.

Posons l’archet sur la corde : la mècheaccroche au mieux puisque la vitesse estnulle. Commençons à tirer l’archet : lacorde reste collée à un point de la mèchedont elle suit le mouvement (à vitesselente) jusqu’au moment où sa force derappel élastique dépasse la force defrottement de la colophane (point m1).

La corde décroche alors brutalement. Sa vitesse, grande au début, diminue à mesure qu’onapproche du point m2 où elle s’annule finalement. La mèche accroche alors de nouveau et laramène à la vitesse lente de déplacement de l’archet au point m1 où elle décroche denouveau, et ainsi de suite.

Jusqu’au point où la corde se détache de l’archet (a) et à nouveau entre les points c et i, lacorde se déplace à la vitesse constante de l’archet (la vitesse se visualise comme la pente surce graphique). Entre a et c, la corde effectue un rapide retour jusqu’à ce qu’elle soit reprisepar un autre point de l’archet. Remarquons que le point b (milieu de la vibration) estlégèrement déplacé par rapport à la position de repos de la corde.

Ces oscillogrammes montrent la position et la vitesse de la corde frottée au cours du temps.

Ces figures montrent le déplacement et la vitesse enfonction du temps d’un point situé près du chevalet(a), au centre de la corde (b) ou près du nœud devibration (le sillet).

On remarque qu’au centre de la corde, la vitesse estla même (au signe près) pendant les deux phases dumouvement.

Quand la direction de l’archet change, les courbes a etc doivent être échangées. De la même manière, lacourbure de la corde ne se déplace plus dans ce casdans le sens trigonométrique, mais dans le senshorlogique.

On peut comprendre le lien entre la forme en dent de scie du mouvement de la corde etl’impression visuelle d’oscillation en courbe de la corde autour de sa position de repos.

La figure suivante montre la corde entière à des instants successifs du cycle de vibration,correspondant aux positions a jusqu’à h de la figure précédente.

Au moment où la corde se détache (point a), le point anguleux a juste dépassé l’archet. En b,la corde est dans la phase de retour ; le point anguleux a juste atteint le chevalet, où il seréfléchit, pour revenir dans la corde, et s’y déplacer, en c, d, et e, jusqu’à ce qu’il atteigne lenœud de vibration de la corde en f, où il est de nouveau réfléchi vers la corde.

Au point c, la corde est capturée par l’archet et se déplace avec lui vers l’avant, à la mêmevitesse que l’archet. Sur les diagrammes de droite, on a enlevé l’archet et les vitesses de lacorde en différents points sont représentées par des flèches.

Il est important de remarquer que le début et la fin du mouvement de glissementcorrespondent à l’arrivée du point anguleux de la corde au niveau de l’archet (le glissementcommence quand la courbure arrive à l’archet en venant du sillet et se termine quand le pointanguleux retouche l’archet, en provenant cette fois du chevalet).

Comme le temps nécessaire pour effectuer un tour complet dépend essentiellement de lalongueur de la corde et de la vitesse des ondes (qui dépend elle de la tension de la corde etde leur masse linéique), la fréquence de vibration de la corde est indépendante desdifférentes manières de tirer l’archet.

Si l’on se place dans l’approche mathématique de d’Alembert, pour une corde frottée parun archet, les conditions initiales sont de la forme :

2

0 0 0

( ,0)

( ,0) ( ) 0 et ( ) ( ) donc V (x)=- ( )2x

uu x u x v x L x L x

t

αα

∂= = = = − −

∂

Par conséquent, la vibration de la corde est représentée par une fonction de périodicitétemporelle T=2L/c, qui sur l’intervalle temporel [-T/2,T/2] vaut :

[ ]

( ) ( )

0 0

2 2

1( , ) ( ) ( )

2

4

2 2 44

u x t V x ct V x ctc

L x ct L x ctc

L x ct L x ct xctc

α

α

= + − −

= − − − − +

= − − + + −

Comme dans l’exposé général de la méthode de d’Alembert, on peut étendre l’intervalle dedéfinition des fonctions aux x négatifs ; en supposant que la fonction V0(x) doit être paire,elle s’étend donc en :

2

0V (x)=- ( ) pour x [-L,L]2

L xα

− ∈

Remarque : il s’agit bien d’une fonction affine par morceaux par rapport à x ou t, commele montre la dernière écriture, ce qui montre que la perturbation qui parcourt la corde estbien formée de segments de droite.

A2.2 équation de la corde entraînée par un archet

En t=0, la corde est à sa position d’équilibre u(x,0)=0.Pour t fixé entre t=-T/2 et t=0, on trouve en explicitant :

4 ( ) ( ) si x>-ct4

( , )

( 4 )( ) si x<-ct4 2

ct L x t L xc

u x tL T

x L ct x t x tc c

αα

αα α

− = −

= − + = − + = − +

La vibration de la corde est donc située dans les u négatifs pour tous les points x. Lacorde présente deux parties rectilignes et un point anguleux. Le point anguleuxcorrespond au point x = - ct. On vérifie sur cette expression que la vitesse des extrémitésx=0 et x=L est toujours nulle.

De la même manière, entre t=0 et t=+T/2, on trouve en explicitant :

4 ( ) ( ) si x>ct4

( , )

(4 )( ) si x<ct4 2

ct L x t L xc

u x tL T

x L ct x t x tc c

αα

αα α

− = −

= − = − = −

Cette fois, la vibration de la corde est toujours située dans les u positifs pour tous lespoints x. La corde présente toujours deux parties rectilignes, et le point anguleuxcorrespond au point x=ct. On vérifie sur cette expression que la vitesse des extrémités x=0et x=L est toujours nulle.

A2.3 harmoniques produits et spectre d’une corde isoléeLa corde vibrante en mouvement ne présente en fait pas un fuseau unique, mais une infinitéde fuseaux synchronisés sur le fondamental, dont les longueurs respectives correspondent àune subdivision en 2, 3, 4, etc. parties égales de la corde.

Chacun de ces fuseaux est responsable de l’émission d’une harmonique, que l’on peutfacilement mettre en évidence en effleurant la corde sur une des subdivisions de la corde par2, 3, 4 etc. Le contact immobilise alors partiellement la corde.

Si on touche par exemple un point T1 situé au tiers de la longueur, la hauteur du son entenduest celle d’une corde qui aurait le tiers de la longueur précédente. On peut alors vérifier enplaçant un petit « cavalier » en papier au point T2, homologue du point effleuré, que cecavalier reste immobile. Les violonistes utilisent cette propriété pour produire les harmoniqueseffleurés. En réalité, le terme est impropre pour une corde réelle.

À cause de la rigidité de la corde réelle, on vérifie en divisant strictement la corde en deuxparties égales, celles-ci ne donnent pas un son à l’octave de la corde entière : le son est un peuplus élevé (et c’est d’autant plus marqué que la corde est raide). De même, en divisant la cordeen 3, on n’obtient pas une douzième, mais un son un peu plus aigu. L’écart augmente avec larigidité de la corde.

En toute rigueur, on obtient donc, en divisant la corde réelle en 2, 3, 4 etc. non pas une séried’harmoniques, mais une suite de partiels voisins des harmoniques.

Une contradiction semble alors se poser : d’une part, une corde frottée par un archet produitun son strictement périodique, qui ne peut résulter que de la superposition d’une séried’harmoniques justes ; d’autre part, la décomposition de la corde en fuseaux produit despartiels non harmoniques.

La solution de cette apparente contradiction est que lorsque deux corps couplés vibrent, ilss’influencent l’un l’autre ; en particulier, si l’un d’eux est beaucoup plus fort, il impose sonpropre mouvement à l’autre (phénomène de vibration forcée). Ainsi, par exemple, le partiel 3,provenant de la vibration du tiers de la corde s’accommode sur le fondamental et devienteffectivement son harmonique 3, lorsque toute la corde vibre.

Cette accommodation s’accompagnant d’une perte d’énergie, il s’ensuit que plus une corde estraide, plus ses partiels s’écartent des harmoniques du fondamental, et plus ils perdent enamplitude, lorsqu’ils s’alignent sur les harmoniques du son fondamental : il en résulte que letimbre est d’autant plus pauvre que la corde est plus raide.

Une autre remarque est liée au découpage de la corde en parties aliquotes. Si l’on posel’archet, par exemple au point T1 ou T2, soit au tiers de la longueur totale de la corde, ce point(qui correspond à un point immobile, donc à un nœud de vitesse) devient alors un ventre devitesse (puisque le point va être déplacé par l’archet). Par conséquent, l’harmonique 3 nepourra exister dans le son global de la corde. Le point d’attaque joue ainsi un rôle de filtre deréjection (on rejette l’harmonique correspondant au nœud considéré). On pourrait rejeter demême l’harmonique 4 en touchant la corde au ¼ de sa longueur, etc.

En réalité, le point de contact archet-corde n’est ni tout à fait un nœud, ni tout à fait unventre, mais il régit toute une région spectrale, celle sur laquelle le violoniste joue lorsqu’ils’approche ou s’éloigne du chevalet pour modifier le timbre. L’expérience montre que letimbre devient de plus en plus éclatant quand on s’approche du chevalet.

Il existe des limites à l’entraînement de la corde par l’archet. Pour chaque position de l’archet,il y a une force minimum et une force maximum à exercer sur l’archet pour que la corde soitentraînée. Plus l’archet est placé près du chevalet, moins le violoniste a de latitude entre laforce minimale et la force maximale. Frotter l’archet près du chevalet (sul ponticello) donneun son fort, brillant) mais demande beaucoup de force et la main stable d’un instrumentistechevronné. Tirer l’archet plus loin du chevalet (sur la touche ou sul tasto) produit un son plusdoux, et moins brillant.

Tout ce qui précède montre que le « spectre » d’une corde isolée est une chose biencompliquée, que l’on peut résumer par le schéma suivant :

La vibration transversale (a) est le phénomène le plus important (c’est elle qui détermine lahauteur du son). Les autres : longitudinale (b), torsionnelle (c) et l’octave (d) sont en réalitéd’intensité bien moindre que ne le montre la figure : elles ne sont que les « épices » dufondamental, amplifiant les harmoniques de la vibration transversale. Finalement, l’archet joueson rôle de réjection (e) ; en fait, il ne s’agit pas d’un point, mais d’une bande, couvrant ici lesnœuds des harmoniques 9, 10 et 11 du transversal, qui sont ainsi effacés du spectre final de lacorde isolée. Dans ce spectre (f), certains harmoniques sont gonflés, d’autres atténués ouéliminés.

A2.4 Spectre de la corde isolée, frottée par un archet

A2.5 Répartition des efforts provenant de la tension des cordes

Le chevalet (CK) est soumis aux forces T1 et T2 (tension des cordes) appliquées au sommet Cdu chevalet.

Leur résultante (f3) appuie le chevalet sur la table avec une force d’autant plus grande quel’angle (T1, C, T2) est petit.

La tension de la corde agit aussi au sillet A et au cordier D. Le triangle des forces appliquées enA montre que la tension T3 de la corde se décompose en une force f4 qui tend à soulever lemanche et une force f5 qui s’applique au bout de la table, en B. La même chose se produit aupoint d’attache du cordier, en D : la table est donc repoussée vers le haut par flambement.

De même, le bas du manche F, tire sur le fond, qui tend à remonter. L’âme exerce alors unepoussée vers le haut, contre la table, dont les effets s’ajoutent au flambement précédent.

Si toutes ces forces sont judicieusement organisées, le système est en équilibre statique : lapoussée du chevalet vers le bas est compensée par la poussée vers le haut résultant duflambement de la table.

C’est le cas si le sillet A est dans le plan de la table (BD) et si on a CM=MH.

Quand la corde AC se met à vibrer, créant des différences périodiques de force aux points defixation de la corde, tout le système est lancé, avec le minimum de dépense d’énergie.

On voit comment agissent les quatre types de vibration de la corde. La vibration transversalefait vibrer le chevalet dans le sens haut-bas ; la vibration longitudinale et la vibration d’octaveagissent par tractions périodiques en A et D ; la vibration de torsion fait osciller le chevaletlatéralement.

Les vibrations de la corde seule ne produirait qu’un son très faible. Le son émis par une cordeisolée fixée à ses extrémités est imperceptible car la surface d’air qui entre en vibration est trèsfaible. Une corde isolée ou attachée à un corps qui n’entre pas en résonance vibre donc trèslongtemps. Par contre, si on associe un corps sonore (une plaque) à la corde parl’intermédiaire d’un chevalet, ce corps sonore va attaquer une grande surface d’air et le sonsera alors beaucoup plus intense mais moins long. Le rôle du corps sonore va être d’amplifieret de déformer de façon compliquée le spectre de la corde isolée que nous venons d’étudier.

La mise en vibration de la plaque (table d’harmonie) est rendue possible grâce au chevalet.

Ce dernier transmet les vibrations des cordes au corps sonore qui se met à vibrer et à fairevibrer l’air se trouvant dans la caisse de résonance et autour du violon par l’intermédiaire desouïes.

La quantité d’énergie qui passe des cordes au corps par l’intermédiaire du chevalet à unefréquence donnée dépend de la capacité du corps à vibrer en résonance à cette fréquence.C’est donc le corps qui détermine la quantité d’énergie qu’il va prélever du chevalet, quiprélève à son tour cette énergie aux cordes.

Pour mettre en évidence les propriétés d’un corps sonore, on peut relever sa courbe deréponse. On obtient ainsi un diagramme présentant un grand nombre de pointes derésonance, fréquences qui sonnent plus ou moins longtemps. La forme de la caisse influencegrandement l’aspect de la courbe. Certaines fréquences seront ainsi amplifiées et d’autrespratiquement supprimées.

A2.6 Création du son

La corde frottée exerce donc une force latérale sur le chevalet, que celui-ci va transmettre àla table d’harmonie supérieure de la caisse de résonance.

Dans le cas idéal d’une corde parfaitement flexible, vibrant entre ses deux extrémités fixes, laforce exercée à un profil temporel en dents de scie (onde triangulaire), et donc un spectre deFourier présentant toutes les harmoniques, avec des amplitudes variant en 1/n.

En pratique, le profil de la force est modifié notamment en raison de la rigidité des cordes,des propriétés mécaniques du chevalet, etc.

Le mouvement de la table supérieure du violon, à l’origine de l’essentiel du son du violon,résulte d’une interaction complexe entre la force qui met en mouvement les cordes, et lesrésonances diverses de la caisse de résonance du violon.

A2.7 courbe de réponse du corps sonore du violon et son couplage avec les cordes

Comme mentionné, la courbe de réponse du violon présente un grand nombre de pics derésonances, correspondant aux vibrations propres des différentes parties de l’instrument. Parexemple, si on fait vibrer le cordier en frottant dessus avec un archet, le son produitdétermine effectivement une pointe de résonance à 150 Hz. On peut procéder de même pourla touche, les éclisses, le fond, le manche, etc. Le sonagramme ci-dessus représente donc la« photographie acoustique » du violon utilisé, permettant de l’identifier en comparaison avecd’autres instruments du même type.

Le spectre de la corde va se superposer à ce diagramme pour engendrer le son résonné parl’instrument.

Sur l’exemple ci-dessus, le spectre de la corde présente un fondamental relativement intense,un harmonique 2 prédominant, des harmoniques 3, 4 et 5 plus ou moins faibles. Or, l’additiondes deux diagrammes (a) et (b) montre que dans le cas choisi, le fondamental de la corde,tombant en face d’une énorme pointe de résonance de la courbe de réponse, est fortementamplifié (c). Il sera même prédominant, car l’harmonique 2, tombé en face d’un trou de lacourbe de réponse, est devenu faible. L’harmonique 3, par contre, est bien placé et s’amplifieplus que les 4e et 5e harmoniques.

Selon l’approche de Fourier de la solution de l’équation générale des ondes, quant une corded’un instrument de musique est excitée par un archet, pincée ou frappée, la vibrationrésultante est une combinaison des différents modes normaux de vibration de la corde(caractérisés par les fréquences pour lesquelles des ondes stationnaires, et donc lephénomène de résonance est possible).

Par exemple, pour une corde pincée au centre, la vibration résultante consiste en la vibrationfondamentale à laquelle s’ajoutent les harmoniques impaires.

Annexe 3 : analyse de la vibration transverse d’une corde pincée

Comme tous les modes normaux de vibration ontdes fréquences différentes, ils se déphasentrapidement et la forme de la corde changerapidement après le pincement.

On peut expliquer la forme de la corde au cours desa vibration en considérant que deux impulsionsidentiques se propagent dans des directionsopposées à partir du point où l’on a pincé la corde(le centre donc, ici). La forme de la corde à toutinstant peut être obtenue en ajoutant les modesdans les proportions montrées sur la figure ci-contre.

Si la corde est pincée en un autre point que le milieu, le son résultant n’est pas constituédes mêmes modes. Par exemple, si la corde est pincée au cinquième de la distance à partirde son extrémité, on obtient le contenu suivant (où on remarque que l’harmoniquenuméro 5 manque dans la décomposition spectrale).

De la même manière, pincer une corde au quart de sa longueur supprimerait la quatrièmeharmonique, etc.

Si l’on choisit l’approche de d’Alembert pour analyser la vibration,, pour une corde pincée,les conditions initiales du mouvement de la corde sont typiquement une vitesse nulle etune position initiale de la corde décrite par une fonction u0(x) affine par morceaux, faisantun angle à l’endroit où la corde est pincée :

0

0

0

0

0 0

0 0

( ,0)

si [0, ]

( ,0) ( )

si [ , ]

( ) 0 donc V ( ) cstex

ax x x

x

u x u x

a aLx x x L

L x L x

uv x x

t

∈

= =

− + ∈

− −

∂= = =

∂

[ ]0 0

1( , ) ( ) ( )

2u x t u x ct u x ct= + + −

La solution de l’équation de propagation est donc de la forme :

où la corde est pincée en x0 et écartée d’une distance a de sa position de repos.

On voit comme annoncé qu’il s’agit de la somme de deux ondes se propageant dans desdirections opposées à partir du point où la corde est pincée. La vibration a une périodeT=2L/c c’est-à-dire une fréquence ν=c/2L.

À x fixé (un point particulier de la corde), la fonction u(t) est donc périodique de périodeT=2L/c.

Naturellement, on peut décomposer cette vibration en une somme de fonctionsharmoniques simples par la formule de Fourier :

2 int/ 2 int/

0

1( ) avec ( )

T

T T

n n

n

u t c e c u t e dtT

π π+∞

−

=−∞

= =∑ ∫

et retrouver par exemple la disparition d’une harmonique particulière selon l’endroit où lacorde est pincée.

Annexe 4 : Modèle mathématique général du tube sonore cylindrique

Nous étudions ici le cas d’un tube cylindrique de longueur L, en nous plaçant dansl’hypothèse où il est parcouru par une onde plane, dont la direction est l’axe du tube Ox. Lapression acoustique pa dans le tube ne dépend alors que de x et de t. On la notera p(x,t). Lavitesse moyenne des particules d’air dans le tube est toujours notée v(x,t).

Embouchure Pavillon ouvert

Dans le modèle simplifié que nous décrivons, l’excitation acoustique produite parl’embouchure est donnée, et on étudie la réaction du tube à cette excitation.

On peut alors distinguer deux types d’excitation, ou de « commande » du phénomèneacoustique :

commande en pression : dans ce cas, la source des vibrations de l’air consiste en unepression pE(t) imposée à l’entrée (ici à gauche du tube) : p(0,t)=pE(t) pour tout t.

Ce modèle correspond approximativement aux flûtes et aux tuyaux à bouche de l’orgue(excitateur = biseau).

Nous verrons que les résonances du tube se produisent aux fréquences proprescorrespondant à celles d’une colonne d’air considérée comme ouverte des deux côtés.

commande en vitesse : dans ce cas, c’est la vitesse de l’air vE(t) qui est imposée àl’entrée du tube : v(0,t)=vE(t) pour tout t.

Ce modèle correspond approximativement aux instruments à anche, comme par exemplela clarinette ou les tuyaux à anche de l’orgue (excitateur = anche).

Les résonances du tube se produiront alors aux fréquences propres correspondant à cellesd’une colonne d’air considérée comme ouverte d’un côté et fermée de l’autre.

A4.1 Tube cylindrique ouvert à son extrémité avec commande en pression (flûtes et tuyaux à bouche d’orgue)

La source des vibrations est donc ici la pression à l’entrée du tube pE(t). Par ailleurs, uneapproximation raisonnable est de supposer que la pression acoustique est nulle à la sortiedu tube (tuyau ouvert sur l’air environnant).

Ce n’est pas tout à fait exact, les facteurs d’instruments à vent en tiennent compte endiminuant en conséquence la longueur du tuyau (d’environ 0,6.r si r est le rayon du tube)par rapport à la longueur d’onde donnée par le modèle simplifié.

L’équation de propagation et les conditions aux limites pour ce problème s’écrivent :

2 22

2 2

( , ) ( , )0

(0, ) ( )

( , ) 0

E

p x t p x tc

t x

p t p t

p L t

∂ ∂− =

∂ ∂

=

=

La source ou excitation pE(t) est supposée être périodique, de fondamental f. Elle peutdonc être décomposée en série de Fourier :

2 inf( ) t

E n

n

p t c eπ

+∞

=−∞

= ∑L’équation de propagation et les conditions aux limites formant un système linéaire, laréponse du tube sera la somme des réponses à chacune des excitations harmoniques.

La pression est alors aussi harmonique, donc de la forme :2( , ) ( ) i ft

p x t x eπϕ=

En reportant cette expression dans le système linéaire précédent, on trouve que ϕ(x) estsolution de l’équation de Helmholtz (où k=2πf/c) avec des conditions aux limites nonhomogènes : 2

2

2( ) 0

(0) 1

( ) 0

dk x

dx

L

ϕϕ

ϕ

ϕ

+ =

=

=La solution générale de l’équation de Helmholtz est : ( ) ikx ikx

x e eϕ α β −= +

Les conditions aux limites imposent :1

0ikL ikLe e

α β

α β −

+ =

+ =Ce système linéaire d’inconnues α et β a une solution unique si et seulement si ledéterminant du système est non nul, c’est-à-dire si : sin( ) 0kL ≠

Dans ce cas, on trouve directement les solutions :2sin

2sin

ikL

ikL

ei

kL

ei

kL

α

β

−=

= −

Considérons donc le cas d’une excitation harmonique du tube, c’est-à-dire :2( ) ift

Ep t eπ=

A4.1.1 Réponse à une excitation harmonique

La solution de l’équation de Helmholtz satisfaisant aux conditions aux limites s’écrit donc :

( ) ( ) sin ( )( )

2sin sin

ik L x ik L xie ie k L x

xkL kL

ϕ− − −− −

= =

La pression dans le tube soumis à une excitation harmonique est donc :

2sin ( )( , )

sin

i ftk L xp x t e

kL

π−=

On remarque que l’on obtient une onde stationnaire, comme pour les cordes vibrantes.

Maintenant, que se passe-t-il pour les valeurs « interdites» où sin(kL) = 0 ?

Pour répondre à cette question, examinons en particulier ce qui se passe à la sortie du tubeen x = L, où est produit le son qui va rayonner dans l'air libre. La pression acoustique y estconstamment nulle, c'est donc plutôt la vitesse que nous allons considérer.D'après les équations fondamentales, nous savons que :

1 10

2

1 1

( , ) ( , )0 (équation de continuité)

p (x,t)=c ( , ) (équation d'état)

x t v x t

t x

x t

ρρ

ρ

∂ ∂+ =

∂ ∂

En les combinant, on peut relier directement vitesse particulaire et pression acoustique :

2 1 10

( , ) ( , )v x t p x tc

x tρ

∂ ∂= −

∂ ∂

A4.1.2 Phénomène de résonance

2 2

0

( , ) ( , ) sin ( )2

sin

i ftv x t p x t k L xc i e

x t kL

πρ πν∂ ∂ −

= − = −∂ ∂

On obtient ici, en omettant comme d’habitude les indices 1 pour la perturbation :

En intégrant cette équation par rapport à x, on obtient :

2

0

cos ( )( , ) ( )

sin

i ftk L xv x t e g t

ic kL

π

ρ

−= +

Pour déterminer la valeur de la constante (par rapport à x) d'intégration g(t), on utilisel'équation d'Euler :

On en déduit que g'(t) = 0, et si l'on suppose que la vitesse est de moyenne nulle, on a g = 0.Ainsi, en passant dans le domaine physique (i.e., en prenant les parties réelles), à unepression d'entrée harmonique de fréquence f :

1 10

( , ) ( , )v x t p x t

t xρ

∂ ∂= −

∂ ∂

( ) cos 2Ep t ftπ=correspondra une vitesse de l’air en sortie du tube :

0

1( , ) sin 2

sinv L t ft

c kLπ

ρ=

qui sera d'autant plus grande que sin(kL) est proche de 0, et théoriquement infinie si sin(kL)= 0, c'est-à-dire si k = nπ/L. C’est le phénomène de résonance.Une analyse tout à fait similaire peut d’ailleurs être faite pour les autres instruments à sonentretenu, comme par exemple la corde frottée par un archet.

En réalité, il y a un léger amortissement dû à une dissipation de l'énergie sous forme dechaleur, et cette vitesse en sortie ne sera pas infinie, mais seulement très grande.Les fréquences propres (ou fréquences de résonance) de la colonne d’air associées à cesvaleurs de k sont donc données par :

Ces fréquences produiront donc un son puissant et seront favorisées au détriment des autres(cf. figure) : ce sont celles-ci qui se produiront lorsque le musicien soufflera dans l'instrument.Leur progression étant proportionnelle à la suite des entiers 1,2,3,...,n,... nous sommes enprésence d‘un son harmonique.

n 12

n

ncf

L= ≥

Vitesse en sortie d’un tube de longueur 77cm en fonction de la fréquence, en prenant en compte l’amortissement. Le tube entre en

résonance aux fréquences où apparaissent les pics.

On remarque que c'est la même formule que celle qui nous a donné les fréquences derésonance de la corde fixée aux deux extrémités (mais pas le même c, évidemment).

On voit par exemple que pour qu'un tuyau d'orgue donne comme fondamental le Do grave à32.7Hz, il faut un tuyau de longueur L = 340/(2 x 32.7) = 5.2m !

A4.1.3 Modes propres

Si l'on se place dans le cas limite où sin(kL) = 0, c'est-à-dire kL = nπ, en multipliant parsin(kL) les équations donnant les expressions de la pression et de la vitesse, on obtient lesfonctions :

qui sont encore solution de l'équation des ondes, mais plus des conditions aux limitesprécédentes.

En particulier, la pression est nulle à l'entrée du tube alors que la vitesse y atteint sonamplitude maximale. Cela fait dire à certains auteurs qu'il s'agit là d'une commande envitesse et non en pression.

Toutefois, la pression étant nulle aux deux extrémités, ce sont les modes propres d’un tubeouvert aux deux extrémités.

Ces modes correspondent aux fréquences pour lesquelles le problème de la commande enpression s'est trouvé être singulier.

2

2

0

( , ) sin( / )

cos( / )( , )

i ft

i ft

p x t n x L e

n x Lv x t e

ic

π

π

π

π

ρ

= ±

= m

c’est-à-dire un son périodique dont la hauteur correspond à la fréquence fondamentale :

où les amplitudes αn des harmoniques seront proportionnelles à la fois aux coefficients cn

et à la hauteur des pics de résonance du tube. C’est le registre grave de l’instrument.

Si f=f2=2 f1, le son verra tous ses harmoniques multipliés par deux et l’instrument sonneraà l’octave au-dessus. C’est ce qui se passe en particulier quand on souffle plus fort dansune flûte.

( )1

1

( ) sin 2n n

n

s t nf tα π θ≥

= +∑

12

cf

L=

A4.1.4 Son résultant

Quel sera le son résultant pour une excitation périodique quelconque de fondamental f ?

Un son puissant ne pourra se développer que si f (ou un multiple entier de f) coïncide avecl’une des fréquences propres du tube. Par exemple, si f= f1, le son résultant s(t) sera de laforme :

2 inf( ) t

E n

n

p t c eπ

+∞

=−∞

= ∑

A4.2 Tube cylindrique fermé a son extrémité avec commande en pression (bourdons d’orgue)

2 22

2 2

( , ) ( , )0

(0, ) ( )

( , ) 0

E

p x t p x tc

t x

p t p t

v L t

∂ ∂− =

∂ ∂

=

=

La condition initiale est différente, c’est la vitesse acoustique qui doit s’annuler au bout dutube :

La pression est alors aussi harmonique, donc de la forme :2( , ) ( ) i ft

p x t x eπϕ=

En reportant cette expression dans le système linéaire précédent, on trouve que ϕ(x) estsolution de l’équation de Helmholtz (où k=2πf/c) avec des conditions aux limites nonhomogènes :

22

2( ) 0

(0) 1

dk x

dx

ϕϕ

ϕ

+ =

=

Considérons donc le cas d’une excitation harmonique du tube, c’est-à-dire :2( ) ift

Ep t eπ=

La solution générale de l’équation de Helmholtz est : ( ) ikx ikxx e eϕ α β −= +

Pour déterminer la valeur de la constante (par rapport à x) d'intégration g(t), on utilisel'équation d'Euler :

On en déduit que g'(t) = 0, et si l'on suppose que la vitesse est de moyenne nulle, on a g = 0.

Les conditions aux limites imposent : 1α β+ =

2

0

( , ) ( , )2 ( , )

v x t p x tc i fp x t

x tρ π

∂ ∂= − = −

∂ ∂

Le lien entre vitesse particulaire et pression acoustique permet d’écrire :

Et par intégration :

( )

( )

2

0

2

2

0

2

2

0

2( , ) ( , ) ( )

2( )

2( )

i ft ikx ikx

i ft ikx ikx

i fv x t p x t dx g t

c

i fe e e dx g t

c

i fe e e g t

c ik

π

π

π

ρ

πα β

ρ

πα β

ρ

−

−

= − +

= − + +

= − − +

∫

∫

0

( , ) ( , )v x t p x t

t xρ

∂ ∂= −

∂ ∂

Le système à résoudre est donc cette fois : 1

0ikL ikLe e

α β

α β −

+ =

− =

Ce système linéaire d’inconnues α et β a une solution unique si et seulement si ledéterminant du système est non nul, c’est-à-dire si : cos( ) 0kL ≠

Comme v(L,t)=0, on déduit :

0ikL ikLe eα β −− =

Les valeurs de fréquences qui annulent le déterminant correspondent aux modes propres dutuyau, pour lequel il pourra résonner ; ces fréquences sont telles que :

c’est-à-dire, puisque k=2π/λ=2πf/c :

2kL n

ππ= −

( ). 2 12 2 2 4

c c cf k n n

L L

ππ

π π

= = − = −

(2 1) n 1

4n

n cf

L

−= ≥

On remarque que la fréquence fondamentale est la moitié de celle qui caractérise lestuyaux ouverts, et que seuls les harmoniques impairs apparaissent.

Dans les orgues, de tels tuyaux s'appellent des bourdons.

A4.3 Tube cylindrique ouvert avec commande en vitesse (clarinette)

Dans les instruments à anche, comme la clarinette, c'est plutôt la vitesse de l'air à l'entréedu tube qui commande la résonance du tube. L'anche agit comme une soupape,alternativement ouverte ou partiellement fermée au passage de l'air, selon qu'elle est plusou moins décollée du bec. A noter qu'un haut débit fourni par l'instrumentiste auratendance à fermer l'admission d'air, au contraire de ce qui se passe au niveau des lèvresdu trompettiste.

Le système est décrit par les équations :

Pour une excitation harmonique de la vitesse d’entrée :

la solution est de la forme :

où ϕ(x) obéit au système :

2 22

2 2

( , ) ( , )0

(0, ) ( )

( , ) 0

E

v x t v x tc

t x

v t v t

p L t

∂ ∂− =

∂ ∂

=

=2( ) i ft

Ev t eπ=

2( , ) ( ) i ftv x t x e

πϕ=

22

2( ) 0

(0) 1

0x L

dk x

dx

d

dx

ϕϕ

ϕ

ϕ

=

+ =

=

=

La condition en sortie de tube :

appelée condition de Neumann, provient de l'équation d'état (et de la condition p(L,t) = 0,qui donnent en effet :

0x L

d

dx

ϕ

=

=

2

0

( , ) ( , )

2 2

0

0 (comme p(L,t)=0 t)

donc c 0 et 0

L t L t

i t

x L x L

v pc

x t

d de

dx dx

πν

ρ

ϕ ϕρ

= =

∂ ∂= − = ∀

∂ ∂

= =

La solution générale de l’équation d’Helmholtz est :

et les conditions aux limites imposent maintenant :

( ) ikx ikxx e eϕ α β −= +

1

0ikL ikLike ike

α β

α β −

+ =

− =Ce système linéaire a une solution unique si et seulement si : cos 0kL ≠

Si tel est le cas, le calcul donne :

2cos

2cos

ikL

ikL

e

kL

e

kL

α

β

−=

=

Et l’on obtient : cos ( )( )

cos

k L xx

kLϕ

−=

La vitesse dans le tube est donc :

2cos ( )( , )

cos

i ftk L xv x t e

kL

πν−=

et à une vitesse d’entrée v(0,t)=cos2πft correspond une vitesse en sortie :

1( , ) cos 2

cosv L t ft

kLπ=

Les valeurs critiques ont changé ! Ce ne sont plus les fréquences telles que sin(kL) = 0qui vont être amplifiées, mais celles pour lesquelles cos(2πfL/c) = cos(kL) = 0, autrementdit les fréquences propres :

( )2 1 1

4n

n cf n

L

−= ≥

Nous pouvons faire alors deux observations intéressantes.

La première fréquence propre est ici donnée par :

C’est-à-dire la moitié de celle que nous avions observée pour la commande en pression.Sous ce régime de fonctionnement, l'instrument joue une octave en-dessous ! C’est lemême phénomène qui se produit dans le cas d'un tube commandé en pression, fermé àl'autre extrémité (bourdons).

14

cf

L=

La suite des fréquences propres est donnée par fn = (2n — 1)ν1 : leur progression estmaintenant proportionnelle aux entiers impairs 1,3, 5, ...,2n-l,..., les harmoniques pairsont disparu ! Cette absence est justement l'un des éléments qui permettent à l'auditeurde reconnaître des instruments à anche comme la clarinette, et leur donne cettesonorité que certains qualifient de « nasillarde». Elle explique également le fait que laclarinette « quintoye» : lorsque l'on souffle plus fort, on passe directement du registrefondamental (registre de chalumeau) au registre situé une octave plus une quinte au-dessus (registre de clairon, dont les fréquences sont situées au triple de celles dupremier registre), alors que sur une flûte, on passe seulement à l'octave supérieure(fréquence double de la fondamentale).

Pour une excitation périodique complexe, on obtient en superposant les différents modesharmoniques un son résultant de la forme :

( )( )1

1

( ) cos 2 1n n

n

s t n f tα π θ≥

= − +∑son périodique de hauteur f1. Rappelons qu'une telle somme peut s'écrire indifféremmentavec des sinus ou des cosinus dès lors que l'on fait apparaître les phases θn. Les phasespeuvent d'ailleurs avoir une incidence notoire sur l'allure du son. La figure suivante reproduitrespectivement les deux sons :

( )( )

( )( )

10

1

1

10

2

1

1( ) sin 2 1

2 1

1( ) cos 2 1

2 1

n

n

s t n tn

s t n tn

π

π

=

=

= −−

= −−

∑

∑

Graphiquement, la différence semble importante, et pourtant, ce sont exactement lesmêmes fréquences qui sont présentes. Cependant, l'audition de ces deux signaux ne révèleque peu de différences : l'oreille semble assez peu sensible à la phase. Dans le cas de laclarinette, on peut observer l'une ou l'autre de ces deux formes (parmi d'autresintermédiaires), selon la hauteur et l'intensité de la note jouée.

A4.4 Résonance d’un tube conique

Une différence majeure entre la clarinette d'une part, le saxophone, le hautbois et lebasson d'autre part, est que dans le premier cas la perce est cylindrique, alors que dans lesecond elle est conique. Là réside en grande partie la différence de timbre entre cesinstruments, qui sont par ailleurs tous les trois à anche (simple ou double), et doncfonctionnant en première approximation sous un régime de commande en vitesse.

Alors que les harmoniques pairs sont quasiment absents d'un son de clarinette, nous allonsvoir que ce n'est plus du tout le cas du hautbois et du saxophone.

On considère un tube conique tronqué (dont le prolongement aurait son sommet àl'origine), délimité par les extrémités r = a et r = b, avec 0 < a < b, la longueur du tube étantL=b-a. On utilise les coordonnées sphériques avec :

En régime harmonique, la commande en vitesse à l’entrée s’écrit :

2 2 2r x y z= + +

2( , )ikr ikr

i fte ep r t e

r r

πα β−

= +

2( , ) ( , ) i ftv r t v r a t n e n

π= = =r r r r

où est le vecteur unitaire normal à la surface délimitant l’entrée du tube (située en r=a).nr

La pression acoustique à l'intérieur du tube est de la forme :

En utilisant l’équation de conservation de la quantité de mouvement pour une ondeacoustique :

0

( , )( , )

v r tp r t

tρ

∂= −∇

∂

r rur r

on peut transformer la commande en vitesse imposée à l’entrée et obtenir la forme :

2

0

( , )

2 i ft

a t

pi e

r

ππρ ν∂

= −∂

D’autre part, la pression est toujours supposée nulle à la sortie du tube. Dans cesconditions, les conditions aux limites pour la pression donnent respectivement en r=a eten r=b les relations : 2

02

0

ika ika

ikb ikb

qe qe i a f

e e

α β π ρ

α β

−

−

+ =

+ =

où l’on a introduit la notation q pour le nombre complexe : 1q ika= − +

Ce système admet une solution unique tant que son déterminant est non nul :2

0

22 0

2

2

ikb

ilK ikL

ikbikb

ilK ikL

i a fe

qe qe

i a fee

qe qe

π ρα

π ρβ α

−

−

−

=

− = − = − −

2

0

( , )

2

( , ) 0

i ft

a t

pi e

r

p b t

ππρ ν∂

= −∂

=

( )

0

(1 ) (1 )

2 cos 2 sin

cos sin

tan 0

ikL ikL

ikL ikL

ikL ikL ikL ikL

qe qe

ika e ika e

ika e e e e

ika kL i kL

ka kL kL

ka kL

−

−

− −

− ≠

− ≠ +

− + ≠ −

− ≠

− ≠

+ ≠

La condition de déterminant non nul s’écrit :

c’est-à-dire :( ) ( ) 0ik a b ik b a

qe qe− −− ≠

Les fréquences de résonance du tube conique correspondent aux valeurs pour lesquellesles nombres α et β ne sont pas définis, et sont donc solution de l’équation transcendante :

2 2tan 0

fL fa

c c

π π + =

Une résolution graphique de cette équation transcendante a pour solution (pour a<<L et npas trop grand) donne pour le tube conique commandé en vitesse les fréquences :

pour 12

n

ncf n

L≈ ≥

Cette fois, contrairement au cas cylindrique, lors d’une excitation quelconque, toutes lesharmoniques peuvent donc être amplifiées par le phénomène de résonance.

Remarque : dans le cas d’un tube conique soumis à une commande en pression, c’est-à-dire un tube conique pour lequel on impose les conditions de bord :

les fréquences de résonance sont exactement les nombres :

2( , )

( , ) 0

i ftp a t e

p b t

π=

=

pour 12

n

ncf n

L= ≥

Annexe 5 : classification des instruments de musique

Pour une classification des instruments encore plus détaillée, consulter :

www.crlm.paris4.sorbonne.fr/Classification.pdf

Classification Hornbostel et Sachs

Les intervalles musicaux exprimés comme des rapports de fréquences

Annexe 6 : rappels d’acoustique musicale

Fréquences de la gamme tempérée