Chapitre 4 ÉQUILIBRE DES STRUCTURES - dphu.org · Ou toute combinaison de trois équations ne contenant qu’une seule inconnue ... 4.8 LES PORTIQUES ET LES ARCHES 4.8.1 Les portiques

CTN-258 : Statique et dynamique

4-1

Chapitre 4 ÉQUILIBRE DES

STRUCTURES

4.1 Introduction

Dans ce chapitre nous allons parler des problèmes qui traitent de l'équilibre de structures

formées de différentes parties.

LA RÉSOLUTION DEMANDE :

1. La détermination des forces extérieures (réactions d'appuis)

2. La détermination des forces intérieures, forces qui maintiennent ensemble les

différentes parties de la structure.

Afin de mettre en évidence les forces intérieures on doit couper la structure de façon à

former des diagrammes de corps libres partiels représentant les divers éléments de la

structure.

Pour ce faire on utilise la 3ème

LOI DE NEWTON :

L’ACTION d’une force et sa RÉACTION sur des corps en contact

ont la MÊME INTENSITÉ selon la même LIGNE D’ACTION

mais de SENS OPPOSÉ

Par exemple,

GRUE

DCL GLOBAL

DCL PARTIELS

Chapitre 4 : Équilibre des structures

4-2

REMARQUES :

Barre BE

Barre CF

4.2 TREILLIS ARTICULÉS

4.2.1 Définition

Le treillis est formé par des barres articulées entre elles à leurs extrémités situées dans un

seul plan appelé le plan de charpente. Il forme généralement une chaîne simple (plane) de

triangles juxtaposés. Le treillis est une des principales structures employées en

ingénierie.

Figure 4.1 : Treillis de pont courants

Figure 4.2 : Fermes de toit courantes

L’action exercée par la barre BE sur le point B de la colonne AD est

ÉGALE ET OPPOSÉE à l’action exercée par la colonne AD sur le

même point B de la barre BE

La force exercée au point E de l’élément CF par la barre BE est

ÉGALE ET OPPOSÉE à la force exercée par l’élément CF au même

point E


4-3

Figure 4.3 : Autres types de treillis

Plusieurs structures (ponts, grues, pylônes, certaines toitures) sont formées par

l'assemblage de plusieurs treillis reliés de façon à former un ENSEMBLE RIGIDE

DANS L’ESPACE.

Souvent, les membrures d'un treillis sont élancées et supportent très mal les

charges latérales.

Les charges doivent être appliquées aux nœuds.

Lorsqu'une charge doit être appliquée entre deux nœuds (ou charge repartie).

Prévoir un plancher qui, par l'intermédiaire de ses éléments, transmet ces

charges directement aux nœuds de la structure (ex.: tablier de pont)

Figure 4.4

Le poids propre des membrures de treillis est aussi considéré comme appliquée

AUX NOEUDS.

Assemblages des nœuds soudés ou rivés


4-4

Les axes des membrures aboutissant au nœud doivent se couper en UN SEUL

POINT :

NOEUD ARTICULATION

MEMBRURE

(+) TRACTION (-) COMPRESSION

4.3 Treillis simples

Le treillis le plus simple est le triangle. Prenons, par exemple, la structure montrée à la

figure 4.5. Si une charge est appliquée sur un des nœuds supérieurs, la structure va

perdre sa configuration initiale.

Figure 4.5

4.3.1 TREILLIS RIGIDE

Les déformations du treillis sont petites et ne provoquent pas son effondrement.

Figure 4.6

MOMENT = 0

* TRACTION

* COMPRESSION

Transmet des efforts

axiaux seulement


4-5

On peut augmenter la dimension du treillis présenté en 4.6 en ajoutant chaque fois

2 barres et un nœud (isostatique).

m + 3 = 2n

Où :

m : nombre de membrures

n : nombre de nœuds

Le treillis peut être isostatique, instable, ou hyperstatique (interne et externe).

Figure 4.7

Figure 4.8

Figure 4.9

Figure 4.10


4-6

4.4 Analyse des treillis articulés par la méthode des nœuds

Théories des treillis (Culmann)

Hypothèses :

1. Charges aux nœuds seulement

2. Efforts axiaux seulement (traction ou compression)

3. Ligne d'action d'une membrure passe par le nœud 0 !!!noeud M

On peut donc couper un treillis en différents éléments et pour lesquels chaque membrure

(barres) est alors soumise à deux forces à chaque extrémité :

même grandeur (même intensité)

même ligne d'action

sens opposé

Comme le treillis est à l'équilibre

Chaque nœud doit aussi se trouver parfaitement à l'équilibre selon les équations

d’équilibre disponibles :

0 et 0x y F F

Les forces exercées par la barre sur les 2 nœuds d'extrémité doivent être égales

et opposées.

La grandeur commune de ces 2 forces est appelée «force dans la barre» (même

s'il s'agit en réalité d'une grandeur scalaire).

Calcul des efforts dans les barres : Méthode des nœuds.

1. Isoler un nœud où il n’y a que deux inconnues

2. Déterminer les forces dans les barres se joignant aux nœuds en question en

utilisant les deux équations d’équilibre

0 et 0x y F F

3. Passer au nœud suivant n’ayant que deux inconnues au maximum en

appliquant le principe d’action-réaction

4. L’équilibre de l’avant dernier nœud permet d’obtenir les forces internes de

toutes les barres se rencontrant au dernier nœud

5. L’équilibre du dernier nœud permet de vérifier si le calcul a été fait

correctement


4-7

Si le treillis contient "n" nœuds

Il y aura "2n" équations analytiques permettant de déterminer "2n" inconnues.

Le fait que le treillis tout entier est un corps rigide en équilibre

On peut écrire 3 autres équations sur le DCL global permettant de

déterminer rapidement les réactions d'appuis.

Exemple 4.1

Pour chaque élément du treillis illustré, évaluez la

force interne et précisez si l’élément est en tension ou

en compression.

Solution

DCL

Premièrement, il faut trouver les réactions aux appuis

A C

B

x

y

Ax

Ay

2m

Cy

500 N

2m


4-8

Nœud B

Nœud C

Nœud A

Exercice 4.1

500 N

BA

BC

B

500 N

AC

707 N

C

500 N

500 N

500 N

A

500 N

100N

A

E

D

C B

2m

4m

2m


4-9

4.5 Analyse des treillis par la méthode des sections

Calculs des efforts dans les barres : Méthode des sections (ou des moments) de Ritter.

"La méthode des moments de Ritter consiste à étudier l'équilibre rotationnel d'une

fraction de treillis isolée au moyen d'une section menée imaginairement à travers le

treillis de façon à mettre à nu l'effort (ou les efforts) dans la barre (ou les barres) qui nous

intéresse (ent)".

1. Déterminer les réactions à partir de l’équilibre du DCL

global du treillis (si nécessaire !)

2. Faire une coupe (coupe « n-n ») à travers 3 membrures ou

moins (3 forces inconnues)

3. Tracer le DCL partiel de la fraction de treillis citée d'un côté

ou de l'autre de la coupe transversale « n-n »

4. Écrire les 3 équations d’équilibre pour la partie isolée du

treillis ne contenant qu’une seule inconnue :

(+) 0xF (+) 0yF (+) 0CM

ou

(+) 0AM (+) 0BM (+) 0CM

A, B et C ne doivent pas être sur la même droite !

Ou toute combinaison de trois équations ne contenant qu’une

seule inconnue

Cette méthode permet de déterminer l'effort dans une barre d'un treillis sans avoir

à déterminer les efforts dans toutes les barres.

La technique consiste à isoler une partie du treillis sous la forme d'un DCL en

coupant le treillis à l'endroit où l'on souhaite connaître l'effort dans les barres.


4-10

Exemple 4.2

Calculez la force dans la barre DJ de la ferme de toit illustrés.

Solution

Dans ce cas si, il est impossible de tracer une section à travers DJ sans devoir couper

quatre éléments dont les efforts sont inconnus. Il faut donc faire une première coupe

(barres CD, CJ et KJ) avant d’analyser une deuxième section contenant la barre DJ.

Avant de faire une coupe, il faut faire le DCL global pour trouver les réactions aux

appuis.

Traçons un premier DCL partiel.

K J I H

G

F

E

D

C

B

A

L

6 * 4m

6m

10 kN

10 kN

10 kN

K J I H

G

F

E

D

C

B

A

L

6 * 4m

6m

10 kN

10 kN

10 kN

Gy

Ax

Ay

y

x


4-11

Les barres coupées deviennent des forces inconnues; il est donc possible de résoudre ce

système à trois inconnues.

CD = 18,6 kN C

On peut calculer la barre JK, mais ce n’est pas nécessaire pour solutionner le problème.

On trace maintenant le deuxième DCL.

18,3 kN

CJ

CD

10

kN

10

kN

JK

D

C 4m

2m 4,47m 4m

K

C

J 4m

5,65

m

Ax

Ay K J

JK G 14,1 kN

D

C

B

A

L

6 * 4m

6m DJ

10 kN

10 kN


4-12

Exercice 4.2

En reprenant l’exercice 4.1, on aurait pu évaluer les efforts dans les barres BC, BE et DE

sans calculer les efforts dans les autres barres.

4.7 STRUCTURES ET MECANISMES

4.7.1 Structures avec des membrures à efforts multiples

Dans la section précédente, nous avons considéré des structures formées entièrement de

nœuds et de barres soumises seulement à des efforts axiaux :

Dans les structures et les mécanismes de certaines barres (ou membrures) sont soumises à

des forces qui ne sont pas dirigées suivant l'axe de la barre. Ce sont des membrures

soumises à au moins 3 efforts internes

Notes: Les STRUCTURES (ossatures, métallique, bâtis de machines) conçues pour

SUPPORTER LES CHARGES sont généralement immobiles et complètement

liées.

Les MÉCANISMES sont conçus pour TRANSMETTRE DES FORCES (en

mouvement ou non ; un mécanisme contiendra toujours des pièces mobiles). Ex. :

paire de pinces, piston d’autos, plate-forme de travail, pelle hydraulique…

La manière d’aborder un problème de charpente ou de mécanisme dépend de la stabilité

de l’ensemble. Si la charpente ou le mécanisme demeure rigide une fois enlevé de ses

appuis, la meilleure façon d’aborder l’analyse est d’établir les réactions aux appuis en

considérant la structure comme un corp rigide.

100N

A

E

D

C B

2m

4m

2m


4-13

Figure 4.11

Exemple 4.3

Deux barres uniformes sont

retenues dans un plan

vertical. Si la masse de AC

est de 60 kg et celle de BD

est de 30 kg, et que les deux

barres ont leur centre de

masse au milieu de leur

longueur, calculez la force

supportée par l’axe en A.

Solution

Est-ce que le système demeure rigide si on enlève les appuis?

Non, donc on doit faire des DCL partiels.

D

B C

1 m 0,5m

0,5m

0,5m

A

C

30*9,81

0,75

m

0,5m

0,25

m

Ax

0,25

m

0,75

m

Ay

Dx

Dy

60*9,81

Bx

Bx

x

By

By

y


4-14

Barre AB

Barre BD

Ax = 588,6 N

4.8 LES PORTIQUES ET LES ARCHES

4.8.1 Les portiques

Un portique est composé d’éléments horizontaux ou inclinés pour reprendre les charges

verticales (les poutres), et d’éléments verticaux pour reprendre les charges horizontales

(les colonnes). On distingue deux types de portiques isostatiques, avec ou sans

articulations.

L’analyse d’un portique consiste d’abord à déterminer les réactions d’appuis et ensuite à

évaluer les efforts internes agissant aux joints ou aux articulations. La détermination des

efforts internes sera vue en Analyse des structures (CTN-408).


4-15

Exemple 4.4 : Déterminer les réactions aux appuis du portique suivant.

(Tiré de A. Samikiam).

Fig. 4.12 - Exemple 4.4

Calcul des réactions

0

0

0

A

H

V

M

F

F

25 612 20 3 0

2

5 6 0

20 0

V

H

V V

D

D

A D

12,5

30

7,5

V

H

V

D kN

D kN

A kN


4-16

4.8.2 Arches et portiques à 3 articulations

On appelle arche ou portique à trois articulations, une structure composée de deux

poutres droites (Fig.4.13a), polygonales (Fig.4.13b) ou courbes (Fig.4.13c).

Fig. 4.13 - Arches et portiques à 3 articulations

La réaction horizontale qui résulte au niveau des appuis est souvent appelée poussée.

Pour les arches soumises principalement à des charges verticales, il est possible de choisir

une forme d'arche telle que les moments de flexion soient très faibles. Ceci est illustré à

la Fig.4.14. On remarquera que contrairement à la poutre où le moment fléchissant est

prédominant (M grand, N petit), dans une arche l'effort normal est prédominant (M petit,

N grand). Cette propriété des arches a été avantageusement exploitée autrefois, lorsqu'on

utilisait les matériaux comme la pierre, la fonte et le béton non armé qui avaient une

bonne résistance à la compression, mais peu de résistance à la traction.


4-17

Fig. 4.14 - Effet d’arche

On peut mieux comprendre ce principe en assimilant le comportement d’une arche à celui

d’un câble. Comme illustré à la figure suivante, un câble soumis à une charge

uniformément répartie sur la projection horizontale est soumis à des forces de tension

uniquement. Le câble se déforme alors selon une parabole (x2)

Par similitude l'arche de forme parabolique (x2), supportant une charge uniformément

répartie sur la projection horizontale, est soumise à des forces de compression

uniquement.


4-18

Calcul des réactions d'appui

Une arche à trois articulations (Fig.4.15a) peut paraître, à première vue, indéterminée

compte tenu de ces quatre inconnues composantes de réactions d'appui (deux à chaque

appui articulé, Fig.4.15b). Toutefois, on remarquera qu'en plus des trois équations

d'équilibre usuelles, une quatrième équation est disponible à cause de la rotule au point C

(ΣM/C = 0). Il est évident que, si la rotule au point C n'existait pas, l'arche serait bel et

bien indéterminée (trois équations pour quatre inconnues).

Équilibre global de l’arche ABC : 0 ( )x x xF fn A B

0 ( )y y yF fn A B

0 ( )A yM fn B

Équilibre partiel de AC : 0 ( )C x yM fn A A

Fig. 4.15 a et b - Analyse d’une arche à 3 articulations

C C

A A B B

Cy

Cx


4-19

Exemple 4.5 Arche avec charge uniformément répartie

Considérer l'arche parabolique à trois articulations

sollicitée par une charge uniformément répartie de 30 kN/m

(Fig.4.16a). Déterminer les réactions d'appui et la force

transmise par la rotule C.

Fig. 4.16a - Exemple 4.5

Fig. 4.16b - Exemple 4.5


4-20

Fig. 4.16c - Exemple 4.5 (suite)

Solution Réactions d'appui

Les réactions d'appui, mises en évidence par le DCL en entier (Fig.4.16b), sont calculées en considérant les trois équations d'équilibre du DCL en entier et une équation due à la rotule C (ΣM/C = 0) sur le DCL du segment AC ou du segment BC (Fig.4.16c), soit : sur DCL en entier (Fig.4.16b)

ΣMB = 0

-Ay 100 + 30 100 100/2 = 0

donc Ay = 1500 kN

ΣFy = 0

Ay + By - 30 100 = 0 donc By = 1500 kN

ΣFx = 0 Ax + Bx = 0

sur DCL du segment AC (Fig.4.16c)

ΣM/C = 0

- Ay 50 + Ax 20 + 30 502/2 = 0 donc Ax = 1875 kN

et Bx = -1875 kN


4-21

Exemple 4.6 Arche avec charges concentrées

Considérer l'arche parabolique à trois articulations

sollicitée par un système de charges concentrées

(Fig.4.17a). Déterminer les réactions d'appui et la force

transmise par la rotule C.

Fig. 4.17a - Exemple 4.6

Solution : Calcul des réactions d'appui

Afin de calculer les réactions d'appui, on peut éclater

l'arche en deux tronçons AB et BC. Ceci permettrait d'avoir

six équations d'équilibre pour six inconnues indépendantes.

Les équations d'équilibre des deux DCL (Fig.4.17b)

peuvent s'écrire :

(DCL-AB) ΣM/A = 0

25 By + 18,75 Bx - 130 20 - 350 9 = 0

(DCL-BC) ΣM/C = 0

18 By - 9,72 Bx + 13 90 = 0

La résolution simultanée de ces deux équations donne :

By = 58,5 kN

Bx = 228,7 kN


4-22

Fig. 4.17b- Exemple 4.6 (suite)

De même :

(DCL-AB) ΣFx = 0

350 - 228,7 - Ax = 0 donc Ax = 121,3 kN

ΣFy = 0

58,5 - 130 - Ay = 0 donc Ay = 71,5 kN

(DCL-BC) ΣFx = 0

228,7 - Cx = 0 donc Cx = 228,7 kN

ΣFy = 0

- 58,5 - 90 + Cy = 0 donc Cy = 148,5 kN


4-23

4.9 Câbles

Le câble est un élément structural fort utilisé dans diverses structures notamment les

ponts suspendus, haubans, suspentes, lignes de transmission, réseaux, etc. Le câble est

très souple et flexible si bien qu'il ne résiste ni à la torsion, ni à la flexion, ni à l'effort

tranchant, ni à la compression. Son seul mode de résistance est la traction, appelée

tension dans le câble et dirigée suivant la tangente à l'axe du câble (Fig.4.18).

Fig. 4.18 - L’effort de traction ou tension, seule force interne du câble

Un câble non chargé n'a pas de forme définie et ne peut supporter aucune force. Ce sont

les charges qui mettent le câble en tension et définissent ainsi sa configuration (Fig.4.19).

Fig. 4.19 - Changement de configuration du câble avec le chargement

Le calcul statique des structures en câbles est souvent difficile, bien qu'il soit facilité

aujourd'hui grâce à l'outil informatique. Dans le cadre de ce cours on se contentera de

l'étude du cas plan qui est le plus simple, mais aussi le plus courant.

On analysera en particulier :

- Les câbles sous forces concentrées (calcul complet)

- Les câbles sous forces uniformément réparties (survol)


4-24

4.9.1 Analyse des câbles sous charges concentrées

Considérons le cas d'un câble supporté en A et en B et soumis à un système de charges

concentrées P1, P2, ..., Pn (Fig.4.20a). Puisque toutes les charges sont verticales alors Ax

et Bx sont égales et opposées.

posons Ax = -Bx = H

Ceci veut dire que la composante horizontale de la traction dans le câble est constante en

tout point du câble et égale à H.

L'analyse permet de déterminer

- les réactions d'appui

- la tension en tous points du câble

- les ordonnées des points d'application des charges P1, P2, ..., Pn.

Elle suppose connus les éléments suivants :

• les positions des appuis A et B (exemple : L et tgφ);

• les abscisses x1, x2, ..., xn des points d'application des charges P1, P2, ..., Pn;

• l'ordonnée d'un point quelconque du câble (exemple : yP, Fig.4.20).

Fig. 4.20a - Câble sous forces concentrées


4-25

(b)

Fig. 4.20 b - Câbles sous forces concentrées

Note : L’ordonnée d’un point quelconque du câble par rapport à l’un des appuis est

dénotée « y ». La flèche « h » d’un point quelconque du câble est la distance

verticale entre le point sur le câble et la droite joignant les deux appuis.

4.9.1.1 Réactions d'appui

a) En considérant le DCL en entier

ΣFx = 0 Ax + Bx = 0 Ax = Bx = H

ΣFy = 0 Ay + By - ΣPi = 0

et

ΣM/B = 0 ( )( ) ( tan ) 0ByA L H L m (4.1)

où ΣmB = somme des moments par rapport à B des forces P1, P2, ..., Pn

b) En considérant le DCL de AP (Fig. 4.20b)

ΣM/P = 0 ( )( ) ( tan ) 0Py P P PA x H h x m (4.2)

où ΣmP = somme des moments par rapport à P des forces P1, P2, P3, agissant sur la partie

AP du câble.

La résolution des deux équations simultanées permet d'obtenir Ax et Ay et l’équilibre

vertical sur le DCL entier permet de calculer By.

/( ) P P Ah xtg y

hp

hP : flèche du point P

(distance p/r à la droite

joignant les appuis)

yP/A: ordonnée

p/r à l’horizontale de

référence, passant par A


4-26

4.9.1.2 Ordonnées des points d'application des forces

La détermination des ordonnées des points d'application des formes permet de définir la

configuration du câble.

L'ordonnée d'un point d'application Ci d'une charge Pi (exemple : C1 sur Fig.4.20a) peut

être déterminée aisément en effectuant une coupe à travers ce point d'application et en

considérant l'équation d'équilibre (iCM / = 0) du DCL AC1 ou BC1. (Fig. 4.20c)

(c)

Fig. 4.20c - Câbles sous forces concentrées (suite)

Ainsi, l'ordonnée y1 de C1 peut être calculée en considérant le DCL de AC1 (Fig.4.20cc)

et en écrivant :

ΣM/C1 = 0

(H) (y1) - (Ay) (x1) = 0

d'où y 1

1

( ) ( )xA = y

(H)

Flèche hC1 du point C1 : 1 1 1 Ch y x tg

On suit la même procédure pour calculer y2, y3, ...yn.

4.9.1.3 Tension dans le câble

La tension dans le câble peut également être évaluée en considérant les équations

d'équilibre ΣFx = 0 et/ou ΣFy = 0 du DCL du tronçon de câble où l'on veut déterminer la

tension.

La tension 1ACT dans le câble AC1 est donnée par les composantes horizontales et

verticales de la réaction en A (Fig. 4.20d), soit :

hC1

1 x tg


4-27

1 1AC AC

x x y yT A H et T A

et la tension 1ACT est donnée par :

1

2 2yACT = + H A

Cette tension est la même dans tout le tronçon AC1 jusqu’au point C1 avant la charge P1

(Fig. 4.20d).

(d) DCL partiel de AC1, avant la charge P1 (e) DCL partiel de AC1,, après la charge P1

Fig. 4.20 d et e - Câbles sous forces concentrées (suite)

Pour la tension 1 2C CT dans le tronçon C1C2 du câble, on utilise le DCL partiel de AC1,

incluant la charge P1 (Fig.4.20e). Les composantes de la tension 1 2C CT sont obtenues par

l’équilibre horizontal et vertical, alors on écrit :

ΣFx = 0

TxC

1C

2 - Ax = 0

ΣFy = 0

-TyC

1C

2 + Ay - P1 = 0

ce qui permet d'obtenir TxC

1C

2 et TyC

1C

2 et 1 21 2

1 2( )( )

22 C CC CC C yx

T = + TT

TC1C2


4-28

4.9.1.4 Tension maximale

La tension T dans un câble est donnée par :

2 2x yT = + T T (4.3)

On sait, que Tx = T cos θ = constante = H donc T est maximal lorsque Ty = T sinθ est

maximal, c'est-à-dire lorsque θ est maximal.

Conclusion

• La composante horizontale H de la tension T dans le câble est constante en

tout point du câble et est égale à la réaction horizontale aux appuis.

• La tension maximale se retrouve dans le segment du câble avec la pente

maximale.

Exemple 4.7 Considérer le câble chargé montré à la Fig.4.21a.

Déterminer les réactions d'appui, la configuration du câble

et la tension dans les tronçons du câble.

Fig. 4.21a

yD/B

hD


4-29

Fig. 4.21b - Exemple 4.7

Solution a) Réactions d'appui :

L’équilibre global du câble tel qu’illustré sur le DCL entier

de la Fig.4.21b permet d’écrire l'équation (4.1) de la façon

suivante :

ΣM/B = 0 [1] -Ax(20) - Ay(60) + 10(40) + 10(20) = 0

Fig. 4.21c et d - Exemple 4.7 (suite)

yD/B = 23,3 m

=30-23,3=6,7m

20m

= 12 kN

= 6 kN

20m

10m


4-30

L’équilibre du câble tel qu’illustré sur le DCL partiel de AC

de la Fig.4.21c permet d’écrire l'équation (4.2) de la façon

suivante (yC étant connu) :

ΣM/C = 0

Ax(10) - Ay (20) = 0 La résolution de [1] et [2] donne : H = Ax = 12 kN Ay = 6 kN Revenons au DCL en entier (Fig.4.21b)

0

0

12

x

x x

x

F

A B

H B kN

0

6 10 10 0

14

y

y

y

F

B

B kN

b) Configuration du câble Il s'agit de calculer l’ordonnée yD puisque yC est connue; considérons le DCL de BD (Fig.4.21d) :

ΣM/D = 0 By (20) - Bx (yD/B) = 0

yD = 14 (20)

12

yD = 23,3 m À partir des ordonnées il est possible de calculer la flèche. Par exemple, la flèche du point D et donnée par :

2020 23,3 6,67 16,63

60D Dh y m


4-31

c) Tension dans les tronçons de câble AC, BD et CD Les composantes de la tension TAC équilibrent Ax et Ay, donc

TAC = 2 2

(6 + (12) )

= 13,40 kN De même, les composantes de TBD sont égales et opposées à Bx et By,

donc :

TBD = 2 2

(12 + (14) )

= 18,44 kN

La tension TCD peut être calculée en considérant le DCL de ACgauche

(Fig.4.21c) qui met en évidence l’effort TCD.

ΣFx = 0

TCD cos θ - 12 = 0

tgθ = 30 - 23,3

20 = 0,34 d'où θ = 18,52 et cosθ = 0,95

TCD = cos

12

= 12,66 kN


4-32

4.9.2 Analogie poutre-câble

L’analogie poutre-câble associe au câble une poutre analogue isostatique de même portée

et supportant les mêmes charges verticales. L’analyse de l’équilibre global et partiel des

deux structures permet d’établir une relation entre le moment de flexion de la poutre, la

composante horizontale de la tension dans le câble et sa flèche. L’analogie poutre-câble

s’énonce de la façon suivante :

En tout point P du câble, le produit de la composante horizontale H de

traction dans le câble par la distance verticale hP de ce point à la droite

joignant les deux appuis du câble (flèche au point P), est égal au moment

fléchissant MP, au même point, d’une poutre simplement appuyée, de

même portée que le câble et qui supporte les mêmes charges.

Ce qui s’écrit :

Poutre analogue Câble

P P(H)( )hM

Les sections suivantes établissent la démonstration de l’analogie poutre-câble.

a) Équilibre global du câble et de la poutre analogue (Fig. 4.22a et Fig. 4.22b)

Considérons le câble de la Fig. 4.22a pour lequel l’équilibre global permet d’écrire :

ΣM/B = 0 ( )( ) ( tan ) 0ByA L H L m

où ( )B i im P L x

La réaction Ay du câble est donnée par l’équation 4.4a :

( tan )B

y

H LmA

L

(4.4a)

Considérons la poutre analogue de la Fig. 4.22b pour laquelle l’équilibre global permet

d’écrire :

ΣM/B = 0 ( )( ) 0BAR L m

La réaction RA de la poutre analogue est donnée par l’équation 4.4b:

B

A

mR

L

(4.4b)


4-33

Fig. 4.22 - Analogie poutre-câble

b) Équilibre partiel du câble et de la poutre analogue (Fig. 4.22c et Fig. 4.22d)

Considérons le DCL partiel AP du câble de la Fig. 4.22c pour lequel l’équilibre permet

d’écrire :

ΣM/P = 0 ( )( ) ( tan ) 0Py P P PA x H h x m

où ( )P i P im P x x

La réaction Ay du câble est donnée cette fois par l’équation (4.5a) :

( tan )P P P

y

P

H h xmA

x

(4.5a)

Considérons le DCL partiel AP de la poutre analogue de la Fig. 4.22c pour lequel

l’équilibre permet d’écrire :

C3

P3

L

H

Ax=H By Ltan

yp

hp

B A

P2 P3

RB RA

C3 C2 C1

P1

(a) DCL global du câble

(b) DCL global de la poutre analogue

L

XP

A

x1

C2

C1

P2

P1

x2

XP

Ay

P

P

H

xPtan

A

C2

C1

P2

P1

XP

Ay

P

hp

(c) DCL partiel du câble

(d) DCL partiel de la poutre analogue

A

P2

RA

C2 C1

P1

XP

P

VP

MP

B


4-34

ΣM/P = 0 ( )( ) 0PP A PM R x m

La réaction RA de la poutre analogue est donnée par l’équation 4.5b :

P PA

P

MmR

x

(4.5b)

c) Relation définissant l’analogie poutre-câble (Fig. 4.22c et Fig. 4.22d)

La résolution des équations 4.4a et 4.5a décrivant l’équilibre global et partiel du câble

donne l’équation 4.6a :

p B

P P

x m(H)( )=h m

L

(4.6a)

La résolution des équations 4.4b et 4.5b décrivant l’équilibre global et partiel de la

poutre analogue donne l’équation 4.6b :

P B

P P

x m= mM

L

(4.6b)

L’analogie entre ces deux équations représentant l’équilibre du câble (4.6a) et l’équilibre

de la poutre analogue (4.6b) permet d’établir la relation définissant l’analogie poutre-

câble.


P P(H)( )hM (4.7)

Ce qui se traduit par,

En tout point P du câble, le produit de la composante horizontale H de

traction dans le câble par la distance verticale hP de ce point à la droite

joignant les deux appuis du câble (flèche au point P), est égal au moment

fléchissant MP, au même point, d’une poutre simplement appuyée, de

même portée que le câble et qui supporte les mêmes charges.

Attention : les réactions RA et RB calculées sur la poutre analogue ne sont pas égales aux

réactions AX et AY des appuis du câble (sauf exception : lorsque les appuis du câble sont

au même niveau).


4-35

Exemple 4.8 Utilisation de l’analogie poutre-câble.

Pour appliquer l’analogie poutre-câble au câble de la Fig.

4.23a, on considère une poutre simplement appuyée de

60m de longueur et supportant les mêmes charges en C et

D (Fig. 4.23b).

1) Calcul des réactions sur la poutre analogue (chargement et

géométrie symétriques) : RA = RB = 10 kN

2) Calcul du mont au point C sur la poutre analogue:

(20 ) (10 )(20 ) 200 .C AM R m kN m kN m

3) Application de l’analogie poutre-câble (Eq. 4.7) :


P P(H)( )hM

Le moment est égal au produit de la composante

horizontale H par la flèche verticale hC du point C à la

droite joignant les appuis A et B du câble.

Si 20

10 16,673

C

mh m m

alors 200 .

1216,67

kN mH kN

m


4-36

Fig. 4.23a et b - Exemple 4.8

10 kN 10 kN

B A

60 m RA = 10 kN RB = 10 kN

D C

(b) Poutre analogue 10 kN

MC C

A

VC

H

Ax=H

By

hp (flèche)

Ay


4-37

4.9.3 Câbles sous charge uniformément répartie

Quand les charges concentrées sont égales et proches l'une de l'autre, alors, on peut

considérer que le câble est sous charge uniformément répartie. Ceci peut être illustré par

le câble d'un pont suspendu (Fig.4.24a).

Fig. 4.24a - Câble sous charge uniformément répartie

On peut démontrer que la configuration du câble sous force uniformément répartie est de

forme parabolique. La flèche maximale du câble et sa position (x et y sur Fig.4.24a)

dépendent de la longueur du câble et de la distance relative entre les points d'appui A et B.

En considérant que le point le plus bas du câble est un extrémum, il s'en suit que la force

interne en ce point est horizontale (Fig.4.24b).

Fig. 4.24b - Câble sous charge uniformément répartie


4-38

Se référant à la Fig.4.24, pour déterminer x et H, on résout simultanément les deux

équations d'équilibre suivantes :

A

2

1

M = 0/

wx + = 0Hy

2

(4.8)

B

2

2

M = 0/

w(L - x ) - = 0Hy

2

(4.9)

Noter que y1 et y2 peuvent être déterminées en considérant l'équation de la parabole et les

conditions limites.

Une fois x déterminé, il sera dès lors possible de calculer les composantes verticales Ay et

By des réactions d'appui en considérant l'équilibre selon l'axe y (Fig.4.24b). Il s'en suit :

y = wxA (4.10)

y = w(L - x)B (4.11)


4-39

Exemple 4.9 Déterminer H, TA et TB dans le câble sous charge

uniformément répartie montrée à la Fig.4.25a.

Fig. 4.25a et b - Exemple 4.9

Solution : a) Calcul de H

Considérons les DCL 1 et 2 (Fig.4.25b); les éqs.4.8 et 4.9

s'écrivent :


4-40

2

/ 0

20 (12) 02

12 10 0

AM

xx H

H x

2

2

/ 0

20(100 )(20) 0

2

5000 100 02

BM

xH

xH x

Leur résolution simultanée donne

2

2

0

300 15000 0

300 (300 4(1) (15000)

2

22x

12 5000 - 100x + - 10x2

x x

x

soit x = 43,65 m (et x = -343,65 non acceptable)

d'où

b) TA et TB

Leurs composantes horizontales sont égales à H=1588 kN. Leurs

composantes verticales sont calculées à partir des équations d'équilibre

dans le sens des y (voir Éqs.4.9 et 4.10).

20(43,65)

873

AV wx

kN

d'où 1812

2 2

AT (873 + (1588) )

kN

( )

20(56,35)

1127

BV w L x

kN

d'où 1947

2 2

BT (1127 + (1588) )

kN

2

2

H = 5x

6

= 5 (43,65 )

6

= 1 588 kN

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Chapitre 4 ÉQUILIBRE DES STRUCTURES - dphu.org · Ou toute combinaison de trois équations ne contenant qu’une seule inconnue ... 4.8 LES PORTIQUES ET LES ARCHES 4.8.1 Les portiques