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Chapitre 4

Réseaux électriques en régime alternatif

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Introduction

Dans les premiers chapitres d’électrocinétique, nous avons travaillé sur les régimes contenu

des circuits électriques simples et complexes, mais cette fois-ci leur comportement sera

étudié dans le cas d’un régime variable (les tension et intensité varient au cours du temps)

permanent (ces variations sont périodiques). Après avoir défini les grandeurs électriques en

régimes variables, on introduira la notation complexe qui est un outil d’aide à la résolution

des équations. Par la suit nous analyserons les réseaux électriques complexes en appliquant

les théorèmes fondamentaux. Finalement, nous étudions les filtres électriques passif.

4.1 Grandeur alternative

Les signaux alternatifs prennent plusieurs formes talques dents de scie, carré, triangulaire,

sinusoïdal ... etc. Ces grandeurs alternatives sont caractérisées par:

a- Valeur maximale

b- Valeur moyenne: On note la valeur moyenne dans le temps de la tension u(t) :

𝑢(𝑡) =1

𝑇 𝑢 𝑡 𝑑𝑡

𝑇

0 (4.1)

c- Valeur efficace (RMS Value)

Lorsque l’on mesure la valeur d’une tension sinusoïdale avec un voltmètre en position DC (Direct Composant), celui-ci nous donne sa valeur efficace. La valeur efficace d'un signal

périodique est définie:

𝑢(𝑡) = 𝑢(𝑡) 2 (4.2)

Dans le cas d’une grandeur sinusoïdale, la valeur efficace a pour expression:

𝑈𝑒𝑓𝑓 =𝑈𝑚

2 (4.3)

d- Période

La période est la durée du phénomène qui se répète au cours d'un phénomène périodique.

C'est une grandeur qui se note T et qui peut s'exprimer en seconde.

e- Fréquence La fréquence f (en hertz) correspond au nombre de périodes par unité de temps.

𝑓 =1

𝑇 (4.4)

f- Pulsation La pulsation est définie par :

w = 2πf =2π

T (4.5)

w (en radians par seconde) 4.2 Représentation des grandeurs sinusoïdales en régime alternatif

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Les circuits que nous allons étudier serons soumis à une tension sinusoïdale.

Graphiquement, le signal sinusoïdal est répresenté par la figure suivante:

Figure 4.1: Signal sinusoïdal.

Mathématiquement, on peut le représenté par:

4.2.1 Représentation par des valeurs instantanées

C'est une représentation cartésienne de la tension et du courant par leurs valeurs

instantanées. Il a la forme suivante :

𝑥 𝑡 = 𝑋𝑚 cos(𝑤𝑡 + 𝜑) (4.6)

Xm : amplitude du signal ;

: pulsation en rad.s-1 ;

𝜑 phase à l’origine.

En effet, sur la figure 4.1, le signal vérifie x(t = 0) = 0 et on a nécessairement 𝜑

On peut de la même façon utiliser une fonction sinus plutôt qu’une fonction cosinus pour décrire un signal sinusoïdal.

Si on écrit x t = Xm sin(wt + φ) alors pour la figure 4.1, = 0 Xm l’amplitude ne doit pas être confondue avec le signal crête-crête ;

représente la vitesse de périodicité du signal (vitesse que met le signal à reprendre la forme qu’il avait avant). Elle est donc directement reliée à la période T exprimée en seconde et à la fréquence f exprimée en hertz (Hz). La phase permet de fixer l’origine des temps, la valeur de la grandeur sinusoïdale à t=0. 4.2.1-a Déphasage entre deux signaux sinusoïdaux Cette notion est vue généralement en travaux pratiques et se mesure à l’aide d’un oscilloscope. On mesure le déphasage entre deux signaux synchrones, c’est à dire de même fréquence. Définition Le déphasage est la différence de phase à l’origine des signaux étudiés. Ce déphasage est

déterminé au signe près et est généralement compris entre - et .

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Détermination Voyons cela sur des exemples :

La tension VS est en avance sur la tension VE, le déphasage de VS sur VE est positif. Pour obtenir sa valeur à l’aide d’un oscillogramme, on utilise une règle de trois : Le nombre de division D correspondant à une période des signaux correspond à un

déphasage de alors le nombre de division d correspond à un déphasage de (Figure 4.2):

∆𝜑 =𝑑∗2𝜋

𝐷 (4.7)

Figure 4.2: Déphasage positif.

La tension VS est en retard sur la tension VE, le déphasage de VS sur VE est négatif.

Figure 4.3: Déphasage négatif 4.2.2 Représentation par des valeurs complexes Nous verrons juste après quelques définitions l’intérêt de cette notation complexe. Rappels mathématiques — Un nombre complexe écrit dans sa forme cartésienne a pour expression : 𝑍 = 𝑎 + 𝑗𝐵 (4.8) Avec a la partie réelle et b la partie imaginaire, et j le nombre complexe vérifiant j2 = -1.

— Le module de Z noté |z| a pour expression : 𝑍 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑎

𝑍 et 𝑠𝑖𝑛𝜃 =

𝑏

𝑍

— Son argument est défini par : 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑏

𝑎

— Un nombre complexe écrit sous sa forme polaire a pour l'expression :

𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑗𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑟𝑒𝑗𝜃 (4.9)

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avec 𝑟 = 𝑍 = 𝑎2 + 𝑏2 son module et son argument. Définitions Soit un signal sinusoïdal d’expression mathématique 𝑥 𝑡 = 𝑋𝑚 cos(𝑤𝑡 + 𝜑) , on lui associe une grandeur complexe

𝑥(𝑡) = 𝑋𝑚𝑒𝑗 𝑤𝑡 +𝜑 = 𝑋𝑚𝑒𝑗𝑤𝑡 𝑒𝑗𝜑 (4.10)

On pourra également définir une amplitude complexe :

𝑋 = 𝑋𝑚𝑒𝑗𝜑 donc 𝑥(𝑡) = 𝑋𝑒𝑗𝑤𝑡 (4.11)

On travaillera donc en notation complexe mais il sera facile de revenir au signal réel : — Retour au signal réel complet grâce à la partie réelle du complexe : 𝑥 𝑡 = 𝑅𝑒(𝑥 𝑡 ) (4.12)

Retour à l’amplitude du signal réel grâce au module de l’amplitude complexe ou du signal complexe :

𝑋𝑚 = 𝑋 = 𝑥(𝑡) (4.13)

Retour à la phase initiale grâce à l’argument de l’amplitude complexe : 𝜑 = 𝐴𝑟𝑔(𝑋) (4.14) Ainsi, toutes les informations dont nous avons besoin pour reconstituer le signal réel sont contenues dans l’amplitude complexe. 4.2.3 Représentation de Fresnel Il s’agit d’une représentation vectorielle qui permet une visualisation géométrique de la grandeur sinusoïdale.

A la grandeur x(t) = Xm cos(t +), on associe dans le plan complexe un vecteur de longueur

Xm et dont l’angle avec l’axe horizontal est (t

Figure 4.4: Représentation de Fresnel

Pour la mesure des angles dans le plan, le sens positif adopté est le sens trigonométrique. La représentation de Fresnel est assez pratique pour la détermination de la somme de grandeurs sinusoïdales de même pulsation. 4.3 Impédances et admittance des dipôles linéaires

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Dans le cas de régimes sinusoïdaux, on note Z le rapport de la valeur efficace de la tension aux bornes du dipôle par la valeur efficace du courant qui le traverse:

𝑍 =𝑈

𝐼=

𝑈𝑒𝑓𝑓

𝐼𝑒𝑓𝑓 (4.15)

Z est appelée impédance du dipôle, en Ohm. Y, l'admittance du dipôle, est l'inverse de l'impédance :

𝑌 =1

𝑍=

𝐼

𝑈 (4.16)

Elle sera homogène à une conductance (exprimée en Siemens (S)).

Impédances et admittances complexes Dans le cas de régimes sinusoïdaux on note :

𝑢 𝑡 = 𝑈 2 sin(𝑤𝑡 + 𝜑𝑢) (4.17)

𝑖 𝑡 = 𝐼 2 sin(𝑤𝑡 + 𝜑𝑖) (4.18) Respectivement la tension aux bornes du dipôle et le courant qui le traverse.

On définit alors l'impédance complexe du dipôle par 𝑍, 𝑍 étant le rapport de la tension complexe aux bornes du dipôle par le courant complexe qui le traverse :

𝑍 =𝑈

𝐼 (4.19)

On définit l'admittance complexe du dipôle par Y le nombre complexe tel que :

𝑌 =1

𝑍 (4.20)

Application au cas des dipôles linéaires (R, L, C) :

Dipôle 𝑍 𝑌

Résistance R R G

Inductance L 𝑗𝑤𝐿 −𝑗

𝑤𝐿

Condensateur C −𝑗

𝑤𝐶

𝑗𝑤𝐶

4.4 Loi d’Ohm en notation complexe L’intérêt de cette impédance complexe réside dans l’écriture d’une loi d’Ohm valable pour nos composants classiques (R,L,C) en régime sinusoïdal forcé. On pourra donc écrire la loi d'ohm avec la notation complexe pour chaque composant du circuit, ce qui simplifiera les calculs. 𝑈 = 𝑍 ∗ 𝐼 (4.21)

Le module de l’impédance complexe donne le rapport de l’amplitude de la tension par l’amplitude de l’intensité

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Z = U

I (4.22)

Si u t = Um ej(wt +φv ) et 𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚𝑒𝑗 (𝑤𝑡 +𝜑 𝑖)

L’argument de l’impédance complexe donne le déphasage (avance de phase) entre la tension u(t) et l’intensité i(t) :

𝐴𝑟𝑔 𝑍 = 𝐴𝑟𝑔 𝑈 − 𝐴𝑟𝑔 𝐼 = 𝜑𝑣 − 𝜑𝑖 (4.23)

Cas de la bobine : l’impédance a pour expression𝑍𝐿 = j wL, calculons le cosinus et le sinus de son argument :

𝜑𝑍𝐿= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑤𝐿

0=

𝜋

2

La tension est donc en avance de phase de π

2 sur l’intensité.

Cas du condensateur : l’impédance a pour expression Zc =1

jwC= −jwC, calculons le

cosinus et le sinus de son argument :

𝜑𝑧𝐶= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

−𝑤𝐶

0= −

𝜋

2

La tension est donc en retard de phase de π

2 sur l’intensité

:

Figure 4.5: Déphasage entre le courant et la tension pour R, L, C 4.5 Lois de l’électrocinétique en notation complexe Les lois que nous avons rencontrées aux chapitres précédents sont valables en notation complexe: - Association d’impédances en série: soit 𝑍1 et 𝑍2 deux impédances placées en série, alors 𝑍𝑒𝑞 l’impédance équivalente vérifie :

𝑍𝑒𝑞 = 𝑍1 + 𝑍2 (4.24)

- Association d’impédances en parallèle : soit 𝑍1 et 𝑍2deux impédances placées en parallèle, alors 𝑍𝑒𝑞 l’impédance équivalente

vérifie :

1

𝑍𝑒𝑞=

1

𝑍1+

1

𝑍2 (4.25)

- De même pour la loi des nœuds, la loi des mailles, les ponts diviseurs de courant et de tension, le théorème de Millman.

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4.6 Puissance en régime sinusoïdal Soit un dipôle électrique AB traversé par un courant i(t) et aux bornes duquel une tension u(t), la puissance dissipée par ce dipôle s'écrit par; 4.6.1 Puissance instantanée La puissance instantanée reçue par un dipôle à un instant t est définie par p(t) = u(t)*i(t). Si 𝑢 𝑡 = 𝑈𝑚 cos(𝑤𝑡 + 𝜑𝑢) et 𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚 cos(𝑤𝑡 + 𝜑𝑖), alors: 𝑝 𝑡 = 𝑈𝑚 cos(𝑤𝑡 + 𝜑𝑢) × 𝐼𝑚 cos(𝑤𝑡 + 𝜑𝑖) (4.26)

Or cos 𝑎 × cos 𝑏 =1

2 cos 𝑎 + 𝑏 + cos(𝑎 − 𝑏) , donc

𝑝 𝑡 =𝑈𝑚 𝐼𝑚

2 cos(2𝑤𝑡 + 𝜑𝑣 + 𝜑𝑖 + cos(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) (4.27)

La puissance instantanée oscille deux fois plus vite que la tension et l’intensité (pulsation 2w). 4.6.2 Puissance moyenne On calcule la puissance moyenne par :

𝑃 =1

𝑇 𝑝 𝑡 𝑑𝑡

𝑇

0 (4.28)

L’intégrale sur une période de cos(2wt + φv + φi) est nulle. en notant ∆𝜑 = 𝜑𝑣_𝜑𝑖 , on a :

𝑃 =𝑈𝑚 𝐼𝑚

2cos ∆𝜑 = 𝑈𝑒𝑓𝑓 𝐼𝑒𝑓𝑓 𝑐𝑜𝑠∆𝜑 (4.29)

Le terme ∆𝜑 est appelé facteur de puissance. 4.6.3 Puissance complexe On calcule la puissance complexe par :

𝑃 =1

2 𝑈 𝐼∗ = 𝑃𝑎 + 𝑃𝑟 (4.30)

Avec 𝐼∗ est le conjugué de 𝐼 Pa est la puissance active

𝑃𝑎 =1

2 𝑅𝐼𝑚

2 = 𝑅𝐼𝑒𝑓𝑓2 (4.31)

Pr est la puissance réactive

𝑃𝑟 =1

2 𝑆𝐼𝑚

2 = 𝑆𝐼𝑒𝑓𝑓2 (4.32)

Exemple Doit le circuit RL suivant:

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Figure 4.6: Circuit RL Si 𝑢 𝑡 = 10cos(𝑤𝑡 − 10°) et 𝑖 𝑡 = 100cos(𝑤𝑡 + 20°), Calculer les éléments R et X et les puissances consommées par chaque éléments. 4.7 Etude des circuits en régime sinusoïdal forcé On parle de régime forcé lorsque l’on impose à un circuit une tension sinusoïdale délivrée par un générateur. Après un régime transitoire, le circuit évolue de la même manière que le générateur, notamment à une fréquence identique à celui-ci. 4.7.1 Étude du dipôle RC On étudie le dipôle RC en régime sinusoïdal : un générateur impose aux bornes de ce dipôle la tension 𝑒 𝑡 = 𝑈𝑚 cos(𝑤𝑡 + 𝜑)

Figure 4.7: Circuit RC en régime alternatif La notation complexe de tension s'écrit:

𝐸 = 𝐸 𝑒𝑗𝜑 𝑣

𝑍 = 𝑅 − 𝑗 𝑤𝐶 = 𝑍 𝑒𝑗𝜑 𝑧

Avec

𝑍 = 𝑅2 + 𝑤𝐶 2

𝜑𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 −𝑤𝐶

𝑅 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑤𝐶

𝑅

Donc le courant complexe qui traverse le circuit peut être déterminé par:

𝐼 =𝐸

𝑍=

𝐸 𝑒 𝑗𝜑 𝑣

𝑍 𝑒−𝑗𝜑 𝑧

4.7.2 Étude du dipôle RL Remplaçons dans le circuit RC le condensateur par une inductance, un générateur alternatif impose aux bornes de ce dipôle la tension 𝑒 𝑡 = 𝑈𝑚 cos(𝑤𝑡 + 𝜑)

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Figure 4.8: Circuit RC en régime alternatif La notation complexe de tension s'écrit:

𝐸 = 𝐸 𝑒𝑗𝜑 𝑣

𝑍 = 𝑅 + 𝑗 𝑤𝐿 = 𝑍 𝑒𝑗𝜑 𝑧

Avec

𝑍 = 𝑅2 + 𝑤𝐿 2

𝜑𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑤𝐿

𝑅

Donc le courant complexe qui traverse le circuit peut être déterminé par:

𝐼 =𝐸

𝑍=

𝐸 𝑒 𝑗𝜑 𝑣

𝑍 𝑒 𝑗𝜑 𝑧

Références bibliographiques [1] S. Clement, Introduction à l’Electronique Analogique. Paris : Dunod, 2000.

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[3] http://www.siloged.fr/cours/html/ssi_info_analogique/le_courant_lectrique.html

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[9] G. Chateigner, M. Boës, and J.-P. Chopin, Electricité en 19 fiches. Paris : Dunod, 2008.

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[11] J.-M. Poitevin, Electronique générale. Paris : Dunod, 2002.

[12] P. Mayé, Composants électroniques : aide-mémoire. Paris : Dunod, Usine

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[13] B. Grabowski, Electronique, aide mémoire. Paris : Dunod, 2008.