Chapitre 4. Transmission numérique dans un canal à bande

1

Principes de communications II

MIC42401

Chapitre 4. Transmission numérique dans un

canal à bande passante limitée


MIC42402

Contenu• Caractérisation d’un canal à bande passante

limitée

• Spectre de puissance d’un signal passe bande

• Interférence inter-symboles

• Conception de signal pour canal à bande limitée

• Compensation de canal

2


MIC42403

Caractérisation d’un canal BPL

• Un filtre est ajouté au modèle de communication pour représenter l’effet du canal sur le signal transmis

• Le filtre est habituellement à bande passante finie et un modèle linéaire est utilisé pour simplicité


MIC42404

Analyse d’un système à canal BPL

c(t) C( f ) = c(t)e j 2 ft dt

C( f ) GR( f )GT ( f )h(t)

n(t)

y(t)

• Pour un canal limité en fréquence à W, C( f ) 0 si f |W|

• Un signal GT ( f ) à l’entrée du canal devient à la sortie :

H( f )=C( f )GT( f )

ou h(t) c tgT t c gT t d

• L’effet du canal est d’introduire nouveau composant dans le modèle de communication

3


MIC42405

Démodulation du signal reçu

• Pour un démodulateur à filtre adapté :

• La composant du signal à la sortie du filtre est, à t = t0 :

ys t0

H f H f e j2 ft0e j2 ftdf

tt0

tt0

j2 ft

2 H ( f )

W

RW

W

W

W df EhW

H f G f e df

• Le composant de bruit est, pour du bruit AWGN, de valeur moyenne nulle et de densité spectrale de puissance (voir chapitre

précédent):

2

h( f )0

2n

NS f

↔ ∗


MIC42406

, la variance du bruit à la sortie

S f df H f df 2

2 0 0 h

2 2

W W

n nW W

N N E

d’où rapport signal-sur-bruit de sortie à t0

E2

h h

N0Eh / 2 N0

2ENS

• La différence par rapport au chapitre précédent est que

dépend maintenant du signal de sortie du canal au lieu de celui

d’origine (h(t) au lieu de gT(t))

• Comme 2

h( f )0

2n

NS f

du filtre est :

Démodulation du signal reçu

4


MIC42407

Exemple de calcul du SNR (10.1.1)

• gT(t) est une impulsion de type cosinus surélevé et

le canal possède la réponse en fréquence indiquée. Donner la réponse en

fréquence du filtre adapté et le SNR en présence de bruit AWGN(0, N0/2)

On a : GT f 2 2

T sin( f t)

2 f t(1 f T ) j fte

2 (1 f 2T 2 )T sinc ( f t) e j ft

H f C f GT f d’où :


MIC42408

GT f df2W

Eh W

2 N0Eh2

Le composant du signal à la sortie du filtre à donc, après l’échantillonnage à t0:

et la variance du composant de bruit est :

d’où le SNR à t0 :

Exemple 10.1.1

5


MIC42409

Signaux en bande de base dans un canal BPL

• La sortie comprend le symbole transmis multiplié par le gain du canal (x0=Eh), du bruit, et la réponse résiduelle du canal pour les symboles précédents (interférence inter-symboles)

ym x0am an xmn nmnm,n

Symbole transmis

Interférence inter-symboles (IIS)

bruit AWGN

• Pour un signal PAM, la sortie du démodulateur pour le me symbole est


MIC424010

• Pour PAM : u(t) v(t) cos 2 fct, où

• Pour QAM et PSK u(t) vc (t) cos 2 fct vs (t) sin 2 fct

vc (t) anc gT (t nT )n

vs (t) ans gT (t nT )n

où

v(t) vc (t) jvs (t) (anc jans )gT (t nT ) an gT (t nT )n n

Signaux à porteuse dans un canal BPL

• On peut ramener l’analyse en bande de base (c.-à-d. faire abstraction

de la porteuse) en construisant le signal complexe :

Le signal PAM, QAM or PSK est donné par

n

v (t) an gT (t nT )

6


MIC424011

• permet de récupérer facilement u(t) de v(t), appelé signal en bande de base équivalent

• Après transmission par un canal passe bande, le signal reçu est donné par

où r(t) anh(t nT ) n(t)n

et le signal démodulé est

y(t) an x(t nT ) no (t)n

Signaux à porteuse dans un canal BPL

On revient au modèle d’analyse en bande de base


MIC424012

Spectre de puissance d’un signal à porteuse• On l’obtient à partir d’un signal équivalent en bande de base

v(t) an gT (t nT )n

où v(t) représente un signal PAM, PSK or QAM, an les symboles transmis et gT(t) est le signal de modulation en bande de base.

• Comme la séquence {an}est aléatoire, le spectre de puissance de v(t) est déterminé à partir de propriétés statistiques

1. Valeur moyenne de v(t) :

Ev (t) E an gT (t nT )n

ma gT (t nT )n

Donc, E[v(t)] est périodique avec période T

7


MIC424013

2. Fonction d’autocorrélation de v(t)

Rv(t , t) E [v* tv t E a a g (t nT )g (t mT )n m T T

n m

Si la séquence d’information {an} est stationnaire au sens large, sa fonction d’autocorrélation dépend seulement de l’écart entre symboles. Alors et = Ra(m-n)n mE a a

ou en posant p=m-n :

Rv(t , t) Ra p gT (t nT )gT (t pT nT )p n

Il s’agit aussi d’une fonction périodique de période T

Rv(t , t) Ra (m n)gT (t nT )gT (t mT )n m

• Si la séquence d’information {an} est stationnaire au sens large,v(t) est cyclostationnaire, et l’analyse d’une période de v(t) est suffisante pour dériver son spectre de puissance

Spectre de puissance d’un signal à porteuse


MIC424014

• Autocorrélation moyenne de v(t) sur une période

où :


8


MIC424015

où S f j2 fmTa a

m

R m e

S f R e j2 fdv V

_

R m j2 f

2 j2 fmT

2

1

1

T

1

T

a gT

T a

m

a T

R mT e d

G f R m e

S f G f

m

• Le spectre de puissance de v(t) est alors :

Spectre de puissance des symboles

Réponse en fréquence du canal

Fonction d’autocorrélation des symboles


• Le canal modifie le spectre de puissance de v(t)


MIC424016

• La séquence d’information joue aussi un rôle• Par exemple, si {an} est faite de symboles mutuellement non

corrélés:

e j2 fmt

mpuisque est la série de Fourier de

Impact de {an}sur le spectre de puissance

2

T T

Noter que le second terme disparaît si ma=0 (p. ex. constellation symétrique)

Le spectre de puissance de v(t) devient :

9


MIC424017

Exemple de calcul du spectre de puissance (10.2.1)

• Trouver Sv( f ) lorsque gT (t) est impulsion rectangulaire d’amplitude A et durée T

On a :

T T


MIC424018

• On utilise une séquence binaire {bn} pour former des symboles

an bn bn1

Sachant que {bn} est constitué de variables aléatoires non corrélées bn[1, -1], de valeur moyenne nulle et variance 1, Trouver Sv( f ) pour le signal transmis.

Solution :La function d’autocorrélation de la séquence {an} est

Exemple de calcul du spectre de puissance (10.2.2)

10


MIC424019

La fonction de densité spectrale de puissance de la séquence {an}est donc S f j2mT

m

e j 2 fT 2 e j 2 fT 2(1 cos2 fT ) 4cos2 fT

a aR m e

Le spectre de puissance recherché est

2 2 21

T

4

Tcos v a T TS f S f G f G f fT


MIC424020

• Partant Sv(t), on peut déduire le spectre de

• Par exemple, u(t) v(t)cos(2 fct) pour PAM et sa fonction

d’autocorrélation est :

Ru (t ,t) E u*(t)u(t )

E [v*tvt cos 2 fct cos 2 fc t 1 Rv (t ,t)cos2 fc cos2 fc (2t )

2

Ru (t ,t) 1Rv cos2 f

2 c• On en déduit

et

Valable aussi pour PSK, QAM, etc.

S f 1 S f f S f f 4u V c V c[ ]


11


MIC424021

Conception de signaux pour canaux BPL

• Le but est de trouver des signaux qui éliminent l’IIS

• Deux cas à considérer : canal avec et sans distorsion

• Pour un canal sans distorsion, h(t)=C0 gT (t-t0), d’où : j2 ft0

0f W

C( f ) f W0

C e

• Avec t0=0 et C0=1 pour simplicité, H( f )=GT( f ) et le démodulateur à filtre adapté a pour réponse GR( f )= GT*( f ), pour donner

ym x0am an xmn nmnm

y(mT) x(0)am an (mT-nT) n(mT)nm

ou simplement


MIC424022

Évaluation de l’IIS par diagramme de l’œil

• On affiche le signal reçu sur un écran oscilloscope, en réglant la fréquence de balayage à 1/T

• L’effet de l’interférence est de pousser l’ œil à se fermer, ce qui diminue la marge de bruit.

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MIC424023

-0 .5 0Tim e

0 .5-5

0

5

Am

plitu

de

-1.5-0.5 0

Time0.5

0

1.5

Am

plitu

de

Composant en phase

-0.5 0Time

0.5-1.5

0

1.5

Am

plitu

de

Composant en quadrature4PAM

4PSK

Évaluation de l’IIS par diagramme de l’œil

-0 . 5 0T ime

0 . 5

0

-1 . 5

1 . 5

Am

plitu

de2PAM


MIC424024

ssi sa transformée de Fourier X( f ) satisfait

ym x(0)am anx(mT nT ) n(mT )nm

• L’IIS est éliminé si :

• Condition de Nyquist pour IIS 0 : (Ne pas confondre avec le critère de Nyquist!)

1, n 0

0, n 0x(nT )

Signaux pour canal BPL par le critère de Nyquist

X ( f m) Tm T

1, n 0

0, n 0x(nT )

x(0) si m n

0 si m nx((m-n)T ) ou, pour x(0) = 1 :

• Autrement dit, l’addition de X( f ) et ses copies à tous les m/T donne un résultat constant pour tout f

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MIC424025

• Pour un canal PB idéal de largeur de bande W, X( f )=0 pour | f |>W. Trois cas à considérer pour le taux de symboles 1/T :

1. 1/T > 2W : Les écart entre copies rendent impossible d’avoir une somme constante à toutes les fréquences. Impossible d’éviter IIS

2. 1/T = 2W : La condition de Nyquist est satisfaite seulement si X( f ) est carré

W=1/2T 1/T-1/T -W=-1/2T

-1/T -1/T + W -W 0 W < 1/T - W 1/T f

|X( f )|



MIC424026

• Donc, T=1/2W est la période minimale de transmission de symboles que l’on peut utiliser sans avoir d’IIS. Cependant, il

faudrait utiliser .

• Problème!• sinc est une fonction non causale et de durée infinie• Elle décroit lentement vers 0 (~1/t)


14


MIC424027

• Avec T=1/2W , l’échantillonnage de

pour un symbole se

fait quand l’IIS due aux autres symboles est nulle.• Mais la non causalité et la décroissante

lente de la fonction sinc sont des handicaps sérieux !

• On peut régler les problèmes de sincsi on accepte d’avoir T > 1/2W


0.33 2 1 0 1 2 3

0.9

0.6

0.3

0

x(nT)=sinc(n)

t

Exemple : x(t) sinc(t/T) x(nT) sinc(n) 0, n 0

• Tout filtre ayant une bande passante supérieure à W et une symétrie impaire par rapport à 1/2T peut satisfaire la condition de Nyquist


MIC424028

1/T-W WW -1/T+W 1/T

• Un spectre d’impulsion intéressant pour éviter les problème de la fonction sinc est celui décrit par un cosinus surélevé


3. 1/T < 2W : Les copies de X( f ) se recouvrent et la condition de Nyquist peut être satisfaite d’une infinité de façons

-1/T

: facteur de décroissance (0 1)Bande passante : (1/2T)(1+ )

15


MIC424029

1 4 2t2 /Tx(t) sinc(t /T ) cos(at /T)

Décroissance vers 0 en1/t3

| f | >1/2T : largeur de bande excédentaire


• x(t) est similaire à la fonction sinc, mais son spectre de fréquences à décroissance progressive en fait une fonction réalisable


MIC424030

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Normalized Frequency ( rad/sample)

0.8 0.9-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Mag

nitu

de

(dB

)

Magnitude Response (dB)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7


0.8 0.9-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Mag

nitu

de

(dB

)

Magnitude Response (dB)

=0.25 =0.5Magnitude Response (dB)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7


0.8 0.9-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Mag

nitu

de

(dB

)

= 1=0.75

Signaux pour canal BPL par le critère de NyquistEffet de

16


MIC424031

TX dans un canal BPL par cosinus surélevés• Les caractéristiques spectrales des cosinus surélevés rendent

possible de concevoir de filtres de transmission pour zéro IIS

• Dans un canal BPL sans distorsionf W

C( f ) f W0

Si est adapté à , ∗ , et

1et X( f )=GT ( f ) GR( f )

• Si on pose , où est un cosinus surélevé, on peu poser

et

où t0 est un délai de propagation.• Manière simple de régler le problème de l’IIS, mais le prix à payer est

un taux de symboles plus faible que le taux optimal !


MIC424032

• Les cosinus surélevés montrent qu’on peut avoir zéro IIS avec des circuits réalisables si on utilise un taux de symbole inférieur au taux de Nyquist (1/T < 2W)

• La signalisation à réponse partielle, appelée aussi signalisation duobinaire, ou codage corrélateur, permet de résoudre le problème avec des filtres réalisables opèrant au taux de Nyquist

• Le principe est de permettre plus d’une valeur non-nulle dans x(nT ), et d’éliminer les valeurs superflues à la réception

– Le prix à payer est un codage et décodage de données

Signalisation à réponse partielle pour canaux BPL

1, n 0

0, autrementx(nT ) devient

1, n 0,…

0, autrementx(nT )

17


MIC424033

Signalisation duobinaire

• Dans ce cas

DélaiT

{an}

bmBruit wm

ym= amx0+IIS+wm1/2T f-1/2T

T

Filtre de canal idéal

1, n 0,1

0, autrementx(nT )

Le spectre de puissance en fréquence est alors, pour le taux de symboles 1/2W :

12

1 / ,

0,

/ cos ,

0,

Le signal temporel correspondant est :2 2 1

Décodeur

Impulsion duobinaire


MIC424034

Signalisation duobinaire modifiée

• Autre exemple :1, si n -1-1 si n=10, autrement

x(nT )

Dans ce cas, le spectre de puissance au taux de symboles 1/2W est :

12

/ / ,

0,

sin ,

0,

et le signal temporel correspondant est :

/ /Impulsion duobinaire modifiée

• L impulsion duobinaire modifiée offre l’avantage d’une composante DC nulle

18


MIC424035

Signalisation à réponse partielle en général• La classe de signaux BPL

∑

de spectre de fréquences

∑ / ,

0,

permet d’introduire plusieurs types d’ISI contrôlé pour communiquer au taux de Nyquist

– On obtient différents signaux à réponse partielle en tolérant plus d’une valeur non nulle dans {x(n/2W)}

– Plus on choisit de valeurs non nulles, plus le décodage final est difficile

• L’introduction de l’IIS contrôlé demande à revoir le détecteur et l’évaluation du taux d’erreurs de détection


MIC424036

• Pour un signal duobinaire PAM, le signal de sortie du démodulateur est :

ym = bm + wm = am + am-1 + wm

• Si on ignore le bruit et considère le cas am =±1, alors ym a trois valeurs possibles : +2, 0 ou -2, avec probabilités ¼, ½ et ¼ • En général, la transmission M-aire par signalisation à réponse partielle

donne 2M-1 niveaux de sortie

• À priori la procédure de décodage est simplement l’inverse de celle de codage: on soustrait le symbole précédent de chaque symbole reçu; mais cela a tendance à propager les erreurs causées par le bruit

Détection de signaux à réponse partielle

19


MIC424037

Règle de décodage :

Séquence bipolaire décodée: -1 +1 -1 +1 +1 -10 1 0 1 1 0Séquence binaire décodée :

• Résultat en cas d’erreur sur le troisième bit reçu :

-1 -1 +1 -1 +1 -10 0 1 0 1 0

• On peut éviter la propagation de l’erreur par précodage

{an} 0 0 1 0 1 1 0

Représentation bipolaire -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1

Codage duobinaire: bm =am+ am-1-2 0 0 0 2 0

Exemple

2, 1 2, 1 0,

Séquence bipolaire décodée:Séquence binaire décodée :

• Résultat correct :


MIC424038

• La séquence binaire {an} est transformée en une séquence {pn}selon l’équation

pm= (am+ pm-1 )%2 Donc : 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0

et la séquence obtenue est encodée comme précédemment, mais avec un décodage différent

• Exemple précédent avec précodage

Signalisation duobinaire à précodage

• Parce que le décodage se fait sans égards pour les bits précédents, la la propagation d’erreurs est évitée

Séquence binaire {an} 0 1 0 1 1 0

Séquence binaire précodée pm= am+ pm-1 0 0 1 1 0 1 1

Séquence bipolaire {pm} -1 -1 +1 +1 -1 +1 +1

Règle de codage: bm= pm+ pm-1 -2 0 +2 0 0 +2

Règle de décodage: 2, 0 0, 1

Séquence binaire décodée 0 1 0 1 1 0

20


MIC424039

• Fonction de transfert duobinaireéquivalente

DelayT seconds

1/2T f-1/2T

Filtre de canal idéal H2(f)Bruit wm

{an}

bm

AdditioneurModulo-2

pm

Filtre numérique H1(f)

j2 fTH1( f ) 1 e

2

1

H ( f ) 2T0

T si f

autrement

T

Decoder

ym= amx0+IIS+wm


He ( f ) H1( f )H2 ( f )

(1 e j2 fT )T 2T e-j f Tsin( f T ) 1

2Tsi f


MIC424040


-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4t=0

t=T

t=2T

t=-T

-6 -4 -2 0 2 4 6 8-0 . 2

1 . 4

1 . 2

1

0 . 8

0 . 6

0 . 4

0 . 2

0

-0 . 2 5 -0 . 2 -0 . 1 5 -0 . 1 -0 . 0 5 0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 15 0 . 2 0 . 2 5

4

3 . 5

3

2. 5

2

1 . 5

1

0 . 5

0

H(f)

21


MIC424041

• La séquence binaire {an} est transformée en une séquence {pn}selon l’équation

pm= (am+ pm-2 )%2

et la séquence obtenue est encodée comme précédemment, mais avec un décodage différent

• Exemple précédent avec précodage

Signalisation duobinaire modifiée à précodage

Séquence binaire {an} 0 1 0 1 1 0

Séquence binaire précodée pm= am+ pm-2 0 0 0 1 0 0 1 0

Séquence bipolaire {pm} -1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 -1

Règle de codage: bm= pm- pm-2 0 +2 0 -2 +2 0

Règle de décodage: 2, 1 0, 0

Séquence binaire décodée 0 1 0 1 1 0

• En général, le décodeur est tel que /2 % (M = 2 dans l’exemple)


MIC424042

he (t ) sinc(t T)/T sinc(t T)/T

H e ( f ) 2T sin2 fT

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1 .5

-1

-0 .5

0

0 .5

1

1 .5

T = 2

0 .5

1

1 .5

2

2 .5

3

3 .5

4

00. 2 0. 25 -0 .2 5 -0 .2 -0 . 1 5 -0 . 1 -0 .0 5 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5

Signalisation duobinaire modifiée à précodage

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

22


MIC424043

• La signalisation duobinaire et les méthodes de détection reliées permettent zéro IIS au taux de Nyquist au prix d’une plus grande difficulté d’implémentation que ceux de la signalisation binaire• Circuits plus complexes et puissance consommée plus grande pour une

performance de bruit équivalente

• La probabilité d’erreur dans un canal BPL avec zero IIS et bruit AWGN

est similaire au cas non-BPL pour PAM, PSK ou QAM.

• Pour une probabilité d’erreur donnée et un taux de décroissance r dusignal, la signalisation duobinaire utilise 1/(1+r) de la bande passante requise par la signalisation binaire, mais demande 2.1 dB plus de SNR

Probabilité d’erreur de détection


MIC424044

c(t) C( f ) C ( f ) e

Canaux à distorsion

• Un canal BPL est à distorsion si C( f ) n’est pas d’amplitude constante ou de phase

jc ( f )

• Les deux cas mènent à IIS et les techniques d’élimination vues pour les canaux BPL sans distorsion ne sont plus efficaces

• On peut tenter de concevoir des filtres de transmission et de réception modifiés si on connaît C( f ) ; sinon, il égalisateur de canal (channel equalizer) est requis pour corriger la situation, avec ou sans connaissance de C( f )

23


MIC424045

• Demande la connaissance préalable de

• Permet d’avoir système à zéro IFI en incluant dans le filtre de transmission. Par exemple, on peut utiliser un cosinus surélevé tel que

est un délai de propagation pour rendre le système réalisable

• Le spectre du bruit à la sortie est toujours

pour donner

d’où une expression de probabilité d’erreur inchangée (

Élimination d’IIS par filtre TX modifié

pour PAM binaire, où la puissance moyenne du signal est d2, puisque )


MIC424046

• Si on pose , alors

et (où et : délais de propagations pour système réalisable)

et

• La puissance moyenne transmise est

d’où le rapport

Élimination d’IIS par filtre TX modifié

• Le terme < 1 introduit une perte qui diminue le rapport S/B

24


MIC424047

J. G. Proakis, "Adaptive Equalization for TDMA Digital Mobile Radio," IEEE Trans. on Veh. Tech. , May 1991

Égalisateur

Non‐linéaire

DétectionML

DFELinéaire MLSE

TransversalEstimateurde canal

transversal

Types

Structures

TreillisTransversal Treillis

8C32810.107-Cimini-7/98

Égalisateurs de canal

• Dans tous les cas, le but est d’éliminer l’IIS


MIC424048

• Demande la connaissance préalable de C f

• L’égalisateur peut être un nouveau bloc dans la chaine de communication pour donner

X f GT f C f GR f GE f

• On peut utiliser GR f GT* f ,si

• L’approche par fonction inverse élimine l’IIS, mais l’égalisateur modifie le rapport signal-sur-bruit, car GR f devientGR f GE f

Égalisation de canal linéaire

25


MIC424049

• Dans un système concret, C f est rarement connu à l’avance et il change régulièrement

• On peut poser et ∗ , et essayer ensuite d éliminer l’IIS obtenu à la sortie du démodulateur :

• La sortie du démodulateur peut être vue comme celle d’un filtre à réponse impulsionnelle finie dont la réponse s’étend à L échantillons avant et après l’échantillon présent.

Égalisation de canal pour C( f ) inconnu

ym x0am an xmn nmnm

• L’égalisateur peut jouer sur les coefficients du filtre pour modifier sa réponse


MIC424050

Égalisation de canal par filtre linéaire transversal

(2N+1) poids : c-N, c-N+1,…, cN 0 < T, on choisit souvent =T/2

Algorithme d’ajustement des

poids

26


MIC424051

• Les coefficients {cn} doivent être choisis pour pouvoir eliminerl’interférence des N symboles adjacents au symbole désiré, et avoir à la sortie de l’égalisateur

∑ 1, 00, 1, 2…

• Comme les 2N+1 coefficients peuvent agir sur 2N+1 échantillons du signal, on peut écrire l’équation sous forme matricielle :

q=Xc

où X est la matrice des échantillons de dimensions (2N+1)x(2N+1) et c est le vecteur de coefficients de dimension 2N+1.



MIC424052

• On peut résoudre q=Xc de deux façons :• De manière déterministe par la méthode des zéros forcés • De manière statistique par la méthode du minimum de l’erreur

quadratique moyenne (minimum mean-square (MSE) error).

• Méthodes des zéros forcé : c’est celle du transparent précédent; on crée un vecteur q dont l’élément central vaut 1 et les autres 0, et on trouve c pour la matrice X donnée

• Ex. : = T/2, filtre FIR pour N=2 et

• L’égalisateur à zéros forcé ignore l’effet du bruit, et il corrige uniquement l’effet des échantillons distants de ±N ou moins du symbole courant!


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MIC424053

• Méthode MMSE : Donne un égalisateur robuste face bruit.

• Les coefficients du filtre sont choisis de manière à minimiser l’erreur quadratique moyenne due à l’effet conjoint de l’IIS et du bruit, MSE

• On a

2

∑ ∑ 2∑

• Les coefficients recherchés sont obtenus lorsque la dérivée de MSE par rapport à chacun d’eux est nulle

Corrélation croiséeAutocorrélation



MIC424054

2

• La dérivation de MSE par rapport à chaque coefficient donne

2N+1 équations linéaires à 2N+1 inconnues

• En pratique et ne sont pas connues et il faut les approximer

• Plusieurs techniques


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MIC424055

Égalisation à filtre adaptatif

Deux processus parallèles :1. Filtrage normal2. Adaptation des poids aux variations environnementales

• Accomplit l’égalisation de canal par un filtre qui s’adapte aux fluctuations temporelles de C(f) en modifiant automatiquement ses coefficients en fonction d’un signal d’erreur


MIC424056

Filtrage adaptatif

• Les coefficients du filtre sont trouvés par itérations successives :

+

• En général :

é

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MIC424057

Égalisateur à filtre adaptatif

, ,

• À caque instant k, il faut trouver trouver w qui rend ek

nul ou minimum

• On peut utiliser MSE commecritère de performance


MIC424058

Filtre de Wiener

Àchaque instantk,onpeut définir :Puissance du signal corrompu

Vecteur de corrélation croisée

Matrice d’autocorrélation

Substitution dans J:

2 ,

Sous forme de matrice:

2

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MIC424059

Filtre linéaire optimal

• Pour trouver les poids optimaux, on résout :

0

D’où :

(Équations de Wiener-Hopf)

• Les filtres correspondants sont les filtres de Wiener.

• Exigent toujours la connaissance préalable de R et P !


MIC424060

Méthode de la plus grande pente• Trouve w de manière progressive

– Utiliser l’information apportée par chaque nouvel échantillon du signal d’entrée

• L’algorithme doit nous approcher du minimum de la surface d’erreur avec chaque itération.– Aller dans la direction de plus

grande pente de la surface d’erreur, c’est-à-dire dans la direction opposée à

∑ ,

∆

µ = constante positive (facteur de convergence)

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MIC424061

Méthode de la plus grande pente

• Partant du poids wk[n] à l’itération n, la valeur mise à jour pour l’itération suivante est :

1 ∆

,

• Méthode exacte dans le sens qu’aucune approximation n’a été nécessaire à sa dérivation

• La precision depend de celle de P, R et de la valeur de


MIC424062

Algorithme du moindre carré moyen• Remplace P et R par leur estimation instantanée :

; , ;

• La substitution dans la méthode de la plus grande pente donne :

1 ,

∑

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MIC424063

Algorithme du moindre carré moyen• Sous forme vectorielle:

1 .∗ • Le vecteur des poids va décrire une trajectoire en

zigzag sur la surface d’erreur qui terminera sur la solution optimale si le facteur de convergence est approprié.

• Le facteur de convergence doit:

0 1

é


MIC424064

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MIC424065

Égalisation de canal


MIC424066

Modélisation inverse Fournit le modèle inverse d’un système inconnu

Applications: Equalization linéaire de canal

• x[n] est formé de symboles connus

• L’effet de distorsion causé par Hc( f )(dispersion, atténuation) est compensé par l’inverse de Hc( f )

• Le filtre inverse est adaptatif puisque la distorsion du canal varie avec le temps (réflexions, changement de température, etc.)

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MIC424067


MIC424068

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MIC424069

Égalisation de canal• L’égalisateur adaptatif opère de deux façons:

entrainement ou à l’aveugle.

• Désavantages:– La réponse doit être connue au récepteur.

– Aucune information ne peut être transmise durant l’entraînement.


MIC424070

Égalisateur à décision récursive

• L’égalisateur DFE (decision feedback equalizer) utilise l’ISI du symbole détecté précédemment pour reéduire celui du symbole entrant

• Estime le canal au lieu d’inverser C(f) => n’amplifie pas le bruit du canal

• A une meilleure performance qu’un égalisateur linéaire pour les canaux évanescents

• Sujet à la propagation d’erreur en cas de mauvaise décision.

Hc(f)Forward Filter

n(t)

x(t)

DFE

FeedbackFilter

+

‐

x(t)^

Documents

Chapitre 4. Transmission numérique dans un canal à bande