Chapitre 5: Changement de base

et diagonalisation

- Changement de bases

- Diagonalisation d’une matrice

Changement de bases

base. anciennel' dans exprimés

de scomposante des constituéeest de colonnes j La

1

par définieest

notée , à de passage de matrice La

base. nouvelle laest base, anciennel'est

E. de et basesdeux Soient

1

1

11

j

B'

B

n

iii,jj

,...,ni,j=i,j

B'

B

nn

e'Pème

,...,n.j ea=e'

) (aPB'B

B' B

),...,e'B'=(e'),...,eB =(e

=∀

=

∑=

. Conclusion

effet En

. Alors

.et base la dans de scomposante des vecteur le

et ment respective considèreOn . donnéEtant

1

1 11 111

11

X'PXx'ax

ex'aeax'e'x'exx

X'PX

B'Bx

x'

x'

X'

x

x

XEx

B'

B

n

jji,ji

n

ii

n

jji,j

n

j

n

iii,jj

n

jjj

n

iii

B'

B

nn

=⇔=

=

===

=

=

=∈

∑

∑ ∑∑ ∑∑∑

=

= == ===

MM

( )

( ) . à de passe de matrice laest dit Autrement

et ,inversibleest matrice La :Theorem

1

'

1

BB'P

PPP

B'

B

B

B

B'

B

B'

B

−

−=

Exemples de changement de

base{ }

{ }

.'

'Pbien aOn

23/''21/

23/''21/''''

23/21/

23/21/P Donc

23/23/'

21/21/'

aOn

23/

23/-j'et

21/

21/i' avec j',i'B' base nouvelleun considèreOn

1

0jet

0

1i avec ji,B anciennel' considèreon R Dans

'

B

'

B

2

=

−

−=+=+=

=

−=

+−=

+=

=

==

=

==

y

x

y

x

yx

yxjyixyjxi

y

xXSi

jij

jii

B

B

Exemples

=

−

−

−

=

−=

10

01

cossin

sincos

cossin

sincos que On vérifie

'

cossin

sincos

montre) uned' aiguilles des contraire (Sens angled'Rotation

cossin

sincos

montre) uned' aiguilles des contraire (Sens angled'Rotation

2

1

2

1

2

1

2

1

θθ

θθ

θθ

θθ

x'

x

θθ

θθ

x

x

θ

x

x

θθ

θθ

x'

x'

θ

−

=

z

y

x

θθ

θθ

z

y

x

100

0cossin

0sincos

'

'

'

Rotation dans le plan xOy

plandu surfaces les

préserveation transformcette 1 Quand

'

'

/10

0/1

0

0

'

'

0et 0 Si :ationRenormalis

21

2

1

2

1

21

=

=

=

>>

αα

y

x

y

x

y

x

y

x

αα

αα

αα

−=

−

−=

2

1

2

1

2

2

1

2

1

'

10

01

Re droite la àrapport par Reflexion

'

10

01

0 àrapport par Reflexion

x'

x

x

x

x'

x

x

x

Changement de bases et matrice

d’application linéaire

A! matrice la defonction en A' matrice laexpliquer On veut

.et base la dans )ement (respectiv de scomposante des vecteur le

)et ement (respectiv et considèreOn

et bases les dans f de matrices les A'et A Soient E. de basesdeux et Soient

f(x).y que telEySoit x, linéaire.n applicatio une EE:fSoit

1111

B'Byx

y'

y'

Y'

y

y

Y

x'

x'

X'

x

x

X

B'BB'B

nnnn

=

=

=

=

=∈→

MMMM

( ) ( ) ( )

( )

( ) B'

B

B'

B

B'

B

B'

B

B'

B

B'

B

B'

B

B'

B

B'

B

B'

B

APPA'

X'APPY

X'APPAXPYPY'

Y'PYX'PXA'X'Y'AXY

1

1

111

:Conclusion

'

donc

, , ,

aOn

−

−

−−−

=

=

===

====

Matrices diagonalisables

.

00

0

0

00

P

que tellebase) de changement de matrice une eéquivalent

façon de(ou inversible matrice une )(pP existe il si

ablediagonalisest )(aA matrice unequ' diraOn

2

1

1-

n1,...,ji,ij

n1,...,ji,ij

==

=

=

=

=

nd

d

d

DAP

L

OOM

MO

L

{ }.,...,, ssi inversibleest D

00

0

0

00

00

0

0

00

et

.

00

0

0

00

P ablediagonalisest A Si

21

2

1

2

1

1-

n

n

n

dddI

d

d

d

DI

d

d

d

DAP

∉−

−

=−

==⇔

λλ

λ

λλ

λ

L

OOM

MO

L

L

OOM

MO

L

L

OOM

MO

L

Comment calculer les di?

{ }

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

{ } .0det,...,, Les :Conclusion

detdet

donc,1detdetdetdet mais

detdetdetdetdet

donc D aon Mais

.,...,, ssi inversibleest D

21

11

11

1

21

=−⇔∈

−=−

===

−=−=−

−=−

∉−

A)I(λddd

D)I(λA)I(λ

(I)PPPP

PAλIPPAλIPD)I(λ

PAλIPI

dddI

n

--

--

-

n

λ

λ

λλ

Polynôme caractéristique et valeur

propre

( )

( ) { }.0 det:A

:A de spectre le appeléest A de valeursdes A ensembleL'

).p( de racines lessont propres valeursleset

det)p(

fonction laest tiquecaractéris polynome Le .0det ssi

C complexeou réel nombreun qu' diraOn : Definition

=−∈=

−=

=−

∈

A)I(λC

λ

A)I(λλ

A)I(λ

λσ

σ

λ

Comment calculer la matrice P?

.

1

0

0

e position) ièmeen est 1 (le

0

0

1

0

0

e

0

0

1

e

:Cou R de canonique Base

.convenable base une trouver doncfaut Il

base. de changement de matrice

une aussiest c' ,inversible matrice uneest P Comme

ni1

nn

=

=

=

M

M

M

M

M

M

.,...,1,

obtient on ,,...,1, noteon si Donc

.,...,1,

,...,1, Donc

,...,1,et aOn

1

1

nifdAf

niPef

niPedAPe

niedAPeP

niedeDDAPP

iii

ii

iii

iii

iii

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∀==

−

−

{ }

[ ]

[ ] [ ]

11-

2

1

212211

21

1

P :Conclusion

00

0

0

00

obtient on et , P poseOn

.,...,1,

:que tel colonne vecteursdes ensemblel'

chercheon chaquePour .connus ,...., les supposeOn

−=⇔=⇔=

==

=

=∀=

PDPADAPPDAP

d

d

d

f fffd f dfdAP

fff

nifdAf

f

ddd

n

nnn

n

iii

i

in

L

OOM

MO

L

LL

L

. de propre valeur la associé

A de propre un vecteurest f quet précisémen

plusou A, de propre un vecteurest f que diraOn

. complexe nombrecertain un pour

,0et

:ssiA de proprer est vecteu f que diraOn

colonne).(vecteur Cfet (C),MA Si n

n

Ad

Cd

fdfAf

∈

≠=

∈∈

Théorème: Tout matrice symétrique est

diagonalisable.

En général on ne peut pas conclure

Exemple 1

( ) ( )( )

( )( )

( ) { }.2,1Aest A de propre valeursdes ensembleL' :Conclusion

2123)(

61416

14 det)(

:tiquecaractéris polynome lecalculer par commenceOn

propres. valeursdes Calcul :1 Etape

16

14 matrice la considèreOn

2

=

−−=+−=

++−=+−

−=−=

−

−=

σ

λλλλλ

λλλ

λλλ

p

donc

AIp

A

( ) { }

( )( )

( )( )

.2

1f exemplepar fixeOn

0

0

23

2

0

0

36

12

0

02I-A

:2 v.p.la à associé propre un vecteurd' Calcul

.3

1f exemplepar fixeOn

0

0

32

3

0

0

26

13

0

0I-A

:1 v.p.la à associé propre un vecteurd' Calcul

.2,1A aOn

propres. vecteursde base uned' Calcul :2 Etape

16

14 matrice la considèreOn

2

21

21

2

1

2

1

1

21

21

2

1

2

1

=

=

−

−⇔

=

−

−⇔

=

=

=

−

−⇔

=

−

−⇔

=

=

−

−=

xx

xx

x

x

x

x

xx

xx

x

x

x

x

A

σ

[ ]

=

−

−=

==

−

−=

20

01P que On vérifie

13

12Pet

23

11 poseOn

base. de changement de Matrice : 3 Etape

16

14 matrice la considèreOn

1-

1-

21

AP

ffP

A

Exemple 2

( ) ( )

( )

( ) { }.2Aest A de propre valeursdes ensembleL' :Conclusion

223)(

220

12 det)(

:tiquecaractéris polynome lecalculer par commenceOn

propres. valeursdes Calcul :1 Etape

20

12 matrice la considèreOn

22

2

=

−=+−=

−=−

−−=−=

=

σ

λλλλ

λλ

λλλ

p

donc

AIp

A

( ) { }

( )

( )

able.diagonalis pasest n' A :Conclusion

E. dans )2C(dim C de base une

trouver paspeut neon donc 1est E dedimension La

:0

1E

est A de vecteursdes ensembleL'

00

0

00

10

0

02I-A

:2 v.p.la à associé propre un vecteurd' Calcul

.2A aOn

propres. vecteursde base uned' Calcul :2 Etape

20

12 matrice la considèreOn

22

1

2

1

2

1

=

∈

=

=⇔

=

−⇔

=

=

=

C

xx

x

x

x

A

λλ

σ

Chapitre 6: Compléments

• Théorème de noyau image

• Produit scalaire

Complément 1: Matrices

{ }

{ } { }

{ }

{ }{ }

. famille lapar engendré

vectorielespace sous leest quedit On

.R de vectorielespace sousun est

.

noteon

,R de vecteur de famille une ,...,eSoit

1

1

n

1

1111

n

1

m

m

m

mmmm

m

,...,ee

,...,eeVect

,...,eeVect

R,...,λ:λeλ...eλ,...,eeVect

e

∈++=

Noyaux et images

{ }

{ }

A. de colonnes lespar engendré espace sous le aussiest A de imagineL'

RX:RY)Im(

R de vectorielespace sous leest A de imageL'

.0:RXKer(A)

R de vectorielespace sous leest A denoyau Le

RRX

:linéairen applicatiol' àent naturellem identifies' A matrice La

colonnes).n et ligne p avec dire àest (c'n pdimension de matriceun A Soit

np

p

n

n

pn

YAXA

AX

AX

=∈∃∈=

=∈=

∈→∈

×

Théorème: On a

n=dim(Ker(A))+dim(Im(A)).

En particulier une matrice est inversible si

• n=p et dim(Ker(A))=0

ou bien

• n=p et dim(Im(A))=n.

Théorème des noyaux et images

Complément 2: Produit scalaires

( )

=

⇔

==

+++==

+++=

∈

=∈

=

22

2222

22

2

2

12

2211

n

n

1

n

n

1

Y,

Xarccos

Y,

XYX,cos

:par donnéest Yet X vecteursles entre angleL'

...XX,

:est X du vecteurlongueur La

...YX,

est )(Euclidien scalaireproduit le R

y

y

Yet R

x

x

X Si

YX

YXYX

xxxX

yxyxyx

n

nn

θ

θ

θ

MM