Chapitre 5

Le ressort

Le ressort est un élément fondamental de plusieurs mécanismes. Il existe plusieurstypes de ressorts (à boudin, à lame, spiral etc.) Que l’on comprime ou étire un res-sort, tel que le ressort à boudin de la figure 5.1, celui-ci exerce une force égale etopposée à celle qu’on lui applique. Cette force du ressort produira un travail pour ab-sorber de l’énergie ou en donner. C’est cette capacité de travail qui est exploitée dansl’utilisation des ressorts. Que ce soit comme amortisseur de chocs sur une automobileou pour faire fonctionner une montre mécanique.

L’étude du ressort nous permettra donc d’étayer davantage les notions de tra-vail et d’énergie, le point central de cette étude étant le principe de conservation del’énergie mécanique.

m

Fressort Fext

Figure 5.1 – Compression d’un ressort.

43

44 Physique des mécanismes

5.1 La loi de Hooke

La loi de Hooke 1 est une loi empirique stipulant que la force de rappel d’un ressortest égale à

F

r

= ≠kx, (5.1)

où k est une constante et x est le déplacement (étirement ou compression) du ressortpar rapport à sa position naturelle. Le signe négatif indique que la force est dans lesens contraire du déplacement et donc que la force du ressort est toujours dirigée endirection de la position naturelle du ressort (figure 5.2).

5.2 L’énergie potentielle d’un ressort

Lorsqu’on comprime ou étire un ressort, on e�ectue un travail sur lui. En e�ectuantce travail on donne au ressort une énergie potentielle élastique. Puisque que le travailest W = Fd, on pourrait penser que le travail nécessaire pour comprimer ou étirerun ressort est simplement W

ext

= kx

2, ce qui est faux.

La figure 5.2 présente le graphique de la force du ressort en fonction du déplace-ment. On voit qu’à chaque instant du déplacement la grandeur de la force varie. Letravail de la force extérieure pour déplacer un ressort n’est donc pas la force du dé-placement final multipliée par ce déplacement, mais correspond à l’aire sous la droited’équation de la force, soit

W

ext

= kx

2

2 . (5.2)

Lorsqu’on comprime ou étire un ressort, le travail du ressort est négatif, car ilprend de l’énergie potentielle. Lorsque le ressort revient à sa position naturelle, sontravail est positif, car il cède son énergie.

L’énergie potentielle d’un ressort est égale à l’énergie qu’une force extérieure luia transférée en e�ectuant un travail positif

U

r

= kx

2

2 . (5.3)

1. Robert Hooke (1635–1703) était un scientifique anglais qui a joué un rôle important dansla Révolution scientifique. Contemporain de Newton, il eut par ailleurs avec lui une dispute sur sacontribution à la Loi de la gravitation universelle énoncée par Newton.

Chapitre 5. Le ressort 45

0 0 -x x

m m

Δx<0 Δx>0

Fr>0 Fr<0

x -x

Comprimé

x

Fr

2

2kxUr =

Étiré

kxFr −=

Figure 5.2 – Force du ressort en fonction de son étirement.

46 Physique des mécanismes

5.3 L’énergie cinétique

La figure 5.3 montre une masse appuyée sur un ressort comprimé. Lorsque le ressortrevient à sa position naturelle, il pousse la masse qui acquiert de la vitesse. L’énergiepotentielle du ressort est convertie en énergie de mouvement par le travail du ressort.Cette énergie de mouvement est appelée énergie cinétique

K = mv

2

2 . (5.4)

Lorsque le ressort donne son énergie, il fait un travail positif. Ce travail positifest un transfert d’énergie potentielle en énergie cinétique. Lorsqu’une masse acquiertde la vitesse c’est qu’une force a e�ectué un travail positif sur elle.

W = �K =mv

2f

2 ≠ mv

2i

2 . (5.5)

5.4 Conservation de l’énergie mécanique

On observe que dans toutes les interactions, l’énergie totale d’un système isolé esttoujours conservée.

La seule possibilité de faire varier l’énergie totale d’un système est qu’une forceextérieure fasse un travail sur lui. Un travail fournit un apport en énergie (ex. unemain qui comprime un ressort) ou prélève de l’énergie (ex. la dissipation de l’énergiethermique engendrée par le frottement).

Nous avons vu trois formes d’énergie mécanique : l’énergie potentielle gravitation-nelle, l’énergie potentielle élastique et l’énergie cinétique. L’énergie mécanique étantconservée cela implique qu’une variation d’énergie totale sera uniquement engendréepar le travail d’une force extérieure. 2

�E = �U

g

+ �U

r

+ �K = W

ext

. (5.6)

2. On considère ici que le frottement est une force extérieure et donc que �E

f

= W

f

= W

ext

.

Chapitre 5. Le ressort 47

m m

v

0 0 x

2

2kxUr = K = 0 Ur = 0 2

2mvK =

Wr

Figure 5.3 – Conversion de l’énergie potentielle élastique en énergie cinétique.

48 Physique des mécanismes

5.5 Transfert d’énergies

On peut vérifier la conservation de l’énergie mécanique en laissant tomber une massed’une certaine hauteur sur un ressort (figure 5.4). S’il y a conservation d’énergie,l’énergie potentielle gravitationnelle initiale doit être égale au maximum d’énergiepotentielle élastique, c’est-à-dire lorsque la masse est momentanément immobiliséepar le ressort au plus bas de sa course

En isolant les variables h0 et x on obtient

En vérifiant que le rapport (h0 + x)/x

2 est constant pour di�érentes valeurs deh0, nous obtiendrons une confirmation qu’il y a eu transfert d’énergie potentielle gra-vitationnelle en énergie cinétique puis en énergie potentielle élastique et que l’énergiemécanique est conservée.

Tableau 5.1 – Mesure du raport (h0 + x)/x

2.

h0 (m) x (m) (h0 + x)/x

2 (m≠1) ‡ (m≠1)

± ± ±

± ± ±

± ± ±

moyenne

Chapitre 5. Le ressort 49

mghUg = 0=rU 0=gU 2

2kxUr =

Wg > 0 Wr < 0 K

h0

x

h

Figure 5.4 – Conversion de l’énergie potentielle gravitationnelle en énergie potentielle

élastique.

50 Physique des mécanismes

Exemple 5.1

Une sauterelle jouet est constituée d’un corps de plastique et de pattes à ressorts.Supposons que l’on comprime la sauterelle vers le plancher et qu’on la lâche ensuite,estimez la hauteur maximale de son saut.

Solution

Il faut tout d’abord évaluer la constante de rappel des pattes. La figure 5.5 montreune masse M qui comprime la sauterelle jusqu’à un point d’équilibre tout juste avantqu’elle ne touche le sol. La sauterelle étant alors immobile, l’équilibre des forces donne

M = kg, x = m, k = N/m, m = kg.

Ensuite, connaissant la masse m de la sauterelle et le déplacement x de la com-pression, on utilise la conservation d’énergie pour estimer la hauteur h du saut. Onpeut évaluer l’énergie mécanique totale de la sauterelle à trois instants : avant dela lâcher, lorsque les pattes sont revenues à leur position naturelle et à sa hauteurmaximale atteinte

et donc

h = kx

2

2mg

= m.

Chapitre 5. Le ressort 51

Fext = −Mg

kxFr −=M

-x

Figure 5.5 – Mesure de la constante de rappel de la sauterelle.

2

2kxUr = 0=K 0=gU 0=rU 2

2mvK = Ug =mgx 0=rU 0=K mghUg =

x -x

h

Figure 5.6 – Trois temps dans le saut de la sauterelle.

52 Physique des mécanismes

5.6 Exercices

5.1 Lors qu’on attache une masse de 3 kg à un ressort verticalde masse négligeable, on constate que le ressort s’allonge de1,5 cm.

(a) Quel sera l’allongement du ressort si on remplace lamasse de 3 kg par une masse de 1 kg ?

(b) Quelle quantité de travail une force extérieure devra-t-elle accomplir pour allonger ce ressort de 4 cm à partirde sa position naturelle ?

3 kg1,5 cm

5.2 Un bloc de 2 kg chute d’une hauteur de 40 cm avant d’être arrêté parun ressort ayant une constante de rappel de 1 800 N/m. Déterminezla compression maximale du ressort.

2 kg

5.3 Un bloc de 2 kg est relié à un ressort de masse négligeable ayant une constantede rappel de 500 N/m, comme à la figure 5.3. Supposons que l’on comprime lebloc sur 5 cm vers la gauche à partir du point d’équilibre, puis qu’on le relâche.Déterminez la vitesse du bloc

(a) si le frottement est négligeable et

(b) si le coe�cient de frottement entre le bloc et la surface est de 0,35.

Chapitre 5. Le ressort 53

5.4 Un ressort ayant une constante de rappel k =170 N/m se trouve au sommet d’un plan sans frot-tement incliné de 40¶. L’extrémité du ressort, quiest à sa longueur naturelle, se trouve à 1 m du basdu plan incliné. On pousse un bloc de 2 kg contrele ressort jusqu’à ce qu’il soit comprimé de 0,2 met on le laisse aller à partir du repos. 40

1 m

(a) Quelle est la grandeur de la vitesse du bloc à l’instant où le ressort reprendsa longueur naturelle (qui est l’instant où le bloc perd contact avec lui) ?

(b) Quelle est la vitesse du bloc quand il atteint le bas du plan incliné ?

5.5 On attache une masse de 3 kg à un ressort demasse négligeable monté sur une poulie. La poulieest exempte de frottement et la masse quitte l’étatde repos lorsque le ressort est à sa position natu-relle. Si la masse tombe sur une distance de 10 cmavant de s’immobiliser, déterminez

(a) la constante de rappel du ressort et

(b) la vitesse de la masse lorsqu’elle se trouve à5 cm plus bas que sa position initiale.

10 cm

3 kg

5.6 On laisse tomber un bloc de 250 g sur un ressort verticalqui se trouve dans sa position naturelle et dont la constantede rappel est k = 250 N/m. Le bloc se fixe au ressort et lecomprime au maximum de 12 cm. Pendant que le ressort secomprime, quel est le travail e�ectué sur le bloc

(a) par la force gravitationnelle qui agit sur lui et

(b) par la force du ressort ?

(c) Quelle est la vitesse du bloc juste avant qu’il touche leressort ?

250 g v

§ § §