Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS

8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS

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CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ETMETIERS

CHAIRE DE TRAVAUX PUBLICS ET BATIMENT

___________

" BETON ARME "Chapitre 6 : Flexion compose ELU-ELS

(Code CCV109)

Enseignants : F. GUILLEMARD / J. PAS 2007 2008


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CNAM CCV109 Bton arm 4

En fonction du signe de N et de la valeur de e0, on distingue plusieurs cas de figure :

Si N est ngatif (traction) et que le point C est situ entre les deux nappes darmatureslongitudinales, on est dans le cas dune section entirement tendue.

Si N est ngatif (traction) et que le point C est situ lextrieur des deux nappesdarmatures longitudinales, on est dans le cas dune section partiellement tendue.

Si N est positif et que le point C est situ lextrieur des deux nappes darmatureslongitudinales, on est dans le cas dune section partiellement comprime. Si N est positif (compression) et que le point C est situ entre les deux nappes

darmatures longitudinales, on est dans le cas dune section entirement comprime.

Les conditions d'une section partiellement tendue (ou comprime) peuvent galement se traduireen comparant la position de l'axe neutre par rapport la section de bton.

Evidemment, les cas dune section partiellement comprime ou partiellement tendue sont traits dela mme faon, seul le signe de N change et aura tendance majorer ou minorer les aciers issusdu dimensionnement en flexion simple.

Le cas de la section entirement comprime fait appel un calcul bas sur des abaques ou uncalcul itratif bas sur les diagrammes dinteraction.

Le moment Mg0 est issu du calcul de RDM. Pour dimensionner la section de bton, il convient de

majorer les efforts en tenant compte des effets du second ordre. Sous certaines conditions, on

peut dterminer les effets du second ordre de faon forfaitaire.

6.2. Prise en compte forfaitaires des effets de second ordre

La prise en compte des effets du second ordre a pour but de majorer les efforts issus du calculRDM. Pour cela, on dtermine une excentricit du second ordre.

Cette excentricit du 2nd ordre viendra se cumuler l'excentricit du 1er ordre pour majorer lesefforts en consquence.

ATTENTION, la prise en compte forfaitaire des effets du second ordre n'est valable que dans lecas d'un dimensionnement l'ELU.

Dans le cas d'un dimensionnement l'ELS, seule l'excentricit M/N sera prise en compte.

Notation

Lf: longueur de flambement de la pice H: hauteur de la section droite dans le plan de flambement. L: longueur libre de la pice.

Excentricit du 1er

ordre.

On note:

=

ii

jGJ

N

Me

00

=

250

2max l

cmea =excentricit additionnelle


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L'excentricit du 1erordre l'ELU a pour valeur:

aeee += 01

Excentricit du second ordre

Pour dterminer l'excentricit du second ordre, on distingue 2 cas de figure:

Si

>

h

eMax

h

lf 120,15 , on doit vrifier la pice l'tat limite ultime de stabilit de forme

(voir chapitre correspondant).

Si

h

eMax

h

lf 120,15 , on dtermine l'excentricit du 2nd ordre de faon forfaitaire,

comme dtaill ci-dessous.

L'excentricit e2 est dfinie par la formule:

[ ]+= 210

34

2

2h

le

f

Avec:

+++=

=

)()(

2

01

2

ii

ii

QQGMQGM

Dans le cas d'un lment soumis des charges G et Q, le coefficient peut s'crire plus

simplement:

QG

G

MM

M

+=

Connaissant la valeur de e2, on peut dterminer les sollicitations corriges:

UNeeMu

Nu

)( 21+=

Les moments sont valus l'ELS, sans coefficient de pondration.


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6.3. Sections entirement tendues (ELU et ELS)

6.3.1. Dfinition

Comme nous l'avons vu prcdemment, la section est considre entirement tendue ( l'ELUcomme l'ELS) si:

N est une traction (N < 0). C tombe entre les armatures

6.3.2. Calcul des armatures

ATTENTION, dans le cas d'un dimensionnement en section entirement tendue, il n'y a pas lieu demajorer les efforts appliqus par les excentricits ea et e2.

Le dimensionnement de la section se fait partir du schma suivant:

On crit l'quilibre de la section par rapport au centre de pousse:

Equilibre des forces: NAA ss =+ 2211

Equilibre des moments: 111222 )()( AsAs eAeA = =>2

11122 )(

A

Ass

e

eAA =

On a donc:

Ne

eAA

A

Ass =+

2

11111 )(

2111211 )()( AAsAs NeeAeA =+

121

21

)( sAAA

eeeNA

+=

De l'quation d'quilibre des forces, on en dduit la valeur de A2:

221

12

)( sAA

A

ee

eNA

+

=


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En rsum, on a donc les sections d'aciers dfinies par:

121

21

)(sAA

A

ee

eNA

+

=

221

12

)( sAA

A

ee

eNA

+

=

Ce principe de dimensionnement est valable aussi bien l'ELU qu' l'ELS. Seule la contrainte maxisur les aciers tendus change:

Calcul l'ELU: on est en pivot A et donc

s

ss

FeFed

=== 21

Calcul l'ELS: on a sss == 21

6.3.3. Section minimale

Dans le cas d'une section entirement tendue, la section minimale d'armature mettre en uvrevaut:

Fe

FBAAAA t2821 min==+

En gnral, les armatures minimales sont places symtriquement dans la section de bton.


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6.4. Exercice 1: section entirement tendue l'ELU

Dans cet exercice, on se propose de dterminer les armatures sur la section suivante:

6.4.1. Caractristiques des matriaux

Bton Fc28= 25 Mpa => MpaF

Fbub

c 17,145,1

2585,085,0 28 ==

=

Acier Fe500 : MpaFe

Feds

78,43415,1

500===

6.4.2. Vrification si section entirement tendue.

On est dans le cas dune section entirement tendue si : N est une traction. Le centre de pression C est situ entre les nappes darmatures.

La position du point C est donne par la valeur de lexcentricit e0 :

mN

Me

U

ug

u 10,0)20050,120035,1(

)2050,12035,1(00 =

+

+==

Pour que le point C soit situ entre les deux nappes darmatures longitudinales, on doit avoir :

mh

de u 25,02

60,055,0

20 ==<

On est donc bien dans le cas dune section entirement tendue.

A

A

30cm

60cm

Sollicitations :o Ng= -200 KN et Mg= 20 KN.mo Nq= -200 KN et Mq= 20 KN.m

La dure dapplication des charges est suprieure 24 heures => = 1,00.

Fissuration peu prjudiciable. Matriaux :

o Fc28= 25 Mpao Fe500

Hauteurs utiles :o d= 55 cmo d= 5cm


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6.4.3. Calcul des excentricits.

Le calcul des excentricits nous donne :

med

h

e uA 35,010,005,030,0'2 01 =+=+=

medhh

euA 15,010,005,030,0)(

202 ===


Pour la nappe suprieure :

93,310.93,378,434)15,035,0(

15,0570,0)(

4

21

21 cmm

Fee

eNA

edAA

Au ==+ =+

=

Pour la nappe infrieure :

17,910.17,978,434)15,035,0(

35,0570,0

)(

4

21

12 cmm

Fee

eNA

edAA

Au ==+

=

+

=

6.4.5. Pourcentage minimal

Il est rappel que le % mini pour une section entirement tendue est :

e

t

F

FBA 28min

=

La section Amin est comparer avec la section totale A1 + A2 car on est dans le cas dune sectionentirement tendue.

On a donc :

56,7500

1,2)60,030,0(min10,1317,993,321 cmAcmAA =

=>=+=+

La vrification est OK.


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6.4.6. Schma de ferraillage


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6.5. Exercice 2: section entirement tendue l'ELS

Dans cet exercice, on se propose de dterminer les armatures sur la section suivante:


La compression maxi sur le bton est de MpaFcbc 18306,06,0 28 ===

Contrainte maxi sur les aciers : en fissuration prjudiciable, on a

Mpa

FF

F

tj

e

e

s

250

63,2011,26,1110

250

max

33,333

min

1105,0max

3

2

min =

=

=

=

6.5.2. Vrification si section entirement tendue.

On est dans le cas dune section entirement tendue si : N est une traction. Le centre de pression C est situ entre les nappes darmatures.

La position du point C est donne par la valeur de lexcentricit e0 :

mN

Me

g

098,0)230250(

)2522(00 =+

+==

Pour que le point C soit situ entre les deux nappes darmatures longitudinales, on doit avoir :

mh

de 255,02

65,058,0

20 ==<

On est donc bien dans le cas dune section entirement tendue.

A

A

25cm

65cm

Sollicitations :o Ng= -250 KN et Mg= 22 KN.mo Nq= -230 KN et Mq= 25 KN.m

La dure dapplication des charges est suprieure 24 heures => = 1,00.

Fissuration prjudiciable. Matriaux :

o Fc28= 30 Mpao Fe500

Hauteurs utiles :o d= 58 cmo d= 5cm


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6.5.3. Calcul des excentricits.

Le calcul des excentricits nous donne :

medheA 37,0098,005,0325,0'2

01 =+=+=

medhh

eA 177,0098,005,0325,0)(2

02 ===


Pour la nappe suprieure :

21,610.21,6250)177,037,0(

177,0480,0

)(

4

21

21 cmm

ee

eNA

sAA

Aser ==+

=

+

=

Pour la nappe infrieure :

1310.99,12250)177,037,0(

37,0480,0

)(

4

21

12 cmm

ee

eNA

sAA

Aser ==+

=

+

=

6.5.5. Pourcentage minimal

Il est rappel que le % mini pour une section entirement tendue est :

e

t

F

FBA 28min

=

La section Amin est comparer avec la section totale A1 + A2 car on est dans le cas dune sectionentirement tendue.

On a donc :

8,7500

4,2)65,025,0(min21,191321,621 cmAcmAA =

=>=+=+

La vrification est OK.


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6.5.6. Schma de ferraillage


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6.6. Sections rectangulaires partiellement tendues

6.6.1. Dfinition

Les critres de dtermination d'une section partiellement tendue s'expriment diffremment selon

que l'on est en dimensionnement E.L.U ou E.L.S.

A l'E.L.S

La section est partiellement tendue si:

a) Si N est une compression (Nser >0) => l'axe neutre de la section y1 doit tre dans la section de

bton, on a donc: hy 1 .

Si on note Mserlim, le moment de service qui correspond hy =1 , on peut crire:

hy 1 => bcbcserserA dbd

h

d

hhdhbMM 3

112

1

32

100lim

=

=

avec MserAqui reprsente le moment flchissant de service par rapport aux aciers tendus.

Attention, si dy 1 , cela veut dire qu'il faut mettre en place au moins un lit d'aciers tendu, ce quis'exprime par:

bcbcserA dbdbM 333,0

3

11

2

100 =

b) Si N est une traction (Nser < 0) => le point C doit tre l'extrieur des armatures.

A l'E.L.U

a) Si N est une compression (Nu > 0), avec e0=e1 + e2, on doit avoir hyu

De faon analogue la justification ELS, nous allons dterminer le moment rduit qui correspond

une section hyu =


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En considrant la section sans acier comprim, avec yu=h, on a:

bubc FhbF = 08,0

hdz 4,0=

zFM bcBC = buBC FhdhbM )4,0(8,0 0 =

Le moment Mbc correspond au moment de flexion quil faut appliquer la section pour quelle soitentirement comprime (Pivot C).

On a donc:

buBC

Fdbd

h

d

hM )4,01(8,0 0=

d'o:

)4,01(8,00 d

h

d

h

Fdb

M

bu

BCBC ==

En pratique, il suffit donc de calculer le moment rduit de la section et de le comparer la valeur

deBC

, pour savoir si la section est entirement ou partiellement comprime, ce qui se traduit

par:

)4,01(8,00 d

h

d

h

Fdb

MBC

bu

uabu ==

ATTENTION , pour le calcul du moment rduit, il est impratif de prendre en compte lesexcentricits du 1

eret du 2

ndordre (car flexion compose). Avant de dterminer si la section

est entirement ou partiellement comprime, il faut donc calculer ces excentricits.

Si dyu , cela veut dire qu'il faut mettre en place au moins un lit d'aciers tendu, ce qui s'exprime

par:

480,0)4,01(8,0

0

0

=== B

bu

uabu

Fdb

M

b) Si N est une traction (Nu < 0) => le point C doit tre l'extrieur des armatures.


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Dans le cas d'une section rectangulaire, on a:

)2

(0h

dNMM Gua +=

N tant pris avec son signe.

6.6.4. Technique du calcul

La technique de dimensionnement d'une section partiellement tendue en flexion compose est lasuivante:

On calcul le moment Ma ( l'ELU ou ELS) par rapport aux aciers tendus. On en dduit les sections A et A' par un dimensionnement en flexion simple. On dtermine les aciers de flexion compose partir de:

o A' = A'o A = AN/s

ATTENTION, l'effort normal N doit tre considr avec sa valeur algbrique:

Si N est une compression (N > 0) => on a une diminution de la section d'aciers trouve enflexion simple, car la compression est favorable.

Si N est une traction (N < 0) => on a une augmentation de la section d'aciers trouve enflexion simple, car la traction est dfavorable.


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6.6.5. Pourcentage minimal d'armatures

Pour une section rectangulaire en flexion compose partiellement tendue, le pourcentage minimald'armatures vaut:

de

dedb

F

FA

e

t

185,0

45,023,0

0

28

min

=

On remarque que si e tend vers l'infini, en flexion simple, on retrouve le pourcentage minimum dela flexion simple.

ATTENTION, l'excentricit e doit tre prise en compte l'ELS et avec le mme signe quel'effort normal N.

6.7. Sections en T partiellement tendues

Par rapport aux sections rectangulaires, la seule nuance concerne la dtermination des armatures.Les critres de vrification si la section est effectivement partiellement tendue restent inchangs etne s'appliquent qu' la nervure.

On a deux cas de figure possibles: Mua < Mtu => la table de compression est surabondante, et on se ramne au

dimensionnement d'une section rectangulaire de largeur b, en flexion compose, etsoumise (Mua et Nu)

Mua > Mtu => calcul en section en T.

6.7.1. Dimensionnement des armatures si Mua > Mtu

Le schma d'quilibre de la section est le suivant:


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L'quilibre de la section s'crit:

Equilibre des moments:

o 2211 bbcbbcAUA zFzFeNM +==

Equilibre des efforts:

o sbcbc FFFN += 21

avec:

buubc FybF 01 8,0= et ub ydz 4,01 =

bubc FhbbF 002 )( = et2

02

hdz

b =

sss AF =

d'o:

)2()()4,0(8,00

000

h

dFhbbydFybM buubuuuA += sbubuuu AFhbbFybN += 000 )(8,0

On se rend compte que ces quations intgrent les termes lis un dimensionnement en flexionsimple.

Pour les mettre en vidence, on pose:

)2

()( 000h

dFhbbMMbuuAuR =

buuuR FhbbNN 00 )( =

Ce qui nous donne: )4,0(8,0 0 ubuuuR ydFybM =

sbuuuR AFybN = 08,0

Par identification, on obtient les relations suivantes: '' AA=

s

uRN

AA

=


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6.7.2. Technique du calcul

La technique de dimensionnement d'une section partiellement tendue en flexion compose est lasuivante:

On calcul le moment Ma ( l'ELU ou ELS) par rapport aux aciers tendus. On dtermine si la table de compression est surabondante.

Si non, calcul en section rectangulaire => voir paragraphe prcdent. Si oui, on en dduit les sections A et A' par un dimensionnement en flexion simple, avecMur et Nur.

On dtermine les aciers de flexion compose partir de:o A' = A'o A = ANur/s

ATTENTION, l'effort normal N doit tre considr avec sa valeur algbrique: Si Nur est une compression (Nur > 0) => on a une diminution de la section d'aciers trouve

en flexion simple, car la compression est favorable. Si Nur est une traction (Nur < 0) => on a une augmentation de la section d'aciers trouve

en flexion simple, car la traction est dfavorable.

6.7.3. Pourcentage minimal d'armatures

Pour une section en T en flexion compose partiellement tendue, le pourcentage minimald'armatures vaut:

IBev

hve

h

d

I

F

FBA

e

t

+

= 3'

3

0

0

28min

ATTENTION, l'excentricit e doit tre prise en compte l'ELS et avec le mme signe quel'effort normal N.


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6.8. Exercice 3: Section partiellement tendue avec effort de compression .

Considrons le poteau suivant : Poteau Encastr Articul. Hauteur libre du poteau : 3,00m Section du poteau : 20*50cm

Le but est de dterminer les armatures en pied de poteau.


Bton:

o Fc28= 25 Mpa => MpaF

Fbub

c 17,145,1

2585,085,0 28 ===

o Ft28= 0,6 + 0,06Fc28= 0.6 + 0.06 x 25= 2.1 Mpa

Acier Fe500 : MpaFe

Feds

78,43415,1

500===

6.8.2. Calcul des sollicitations

ELU Mu=1,35*60 + 1,50*75= 193,5 KN.m= 0,194MN.m Nu= 1,35*110 + 1,50*125= 0,336 MN.

ELS Mser= 60 + 75= 0,135 MN.m Nser= 110 + 125= 0,235 MN

A

A

20cm

50cm

Sollicitations :o Charges permanentes : Mg= 60 KN.m et Ng=110 KNo Surcharges dexploitations : Mq= 75 KN.m et Ng= 125 KN

Dure dapplication des charges : suprieure 24h Matriaux :

o Bton: Fc28= 25Mpao Acier: Fe500

Enrobage des armatures : 3cm Fissuration non prjudiciable Densit du bton : 25KN/m3 Hauteurs utiles :

o d= 0,45mo d= 0,05m


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6.8.3. Dtermination des excentricits et sollicitations corriges ELU.

A lELU, les sollicitations sont les suivantes : Mu= 0,194MN.m Nu= 336 KN.

Il nous faut donc dterminer : Excentricit additionnelle ea. Excentricit du 1erordre lELU. Excentricit du second ordre e2 (par la mthode forfaitaire).

Excentricit additionnelle

cm

cm

cml

cm

ea 2

1

2,1250

300

250

2

max =

===

Excentricit du 1erordre

meNu

Mue a 60,002,0

336,0

194,01 =+=+= lELU

Calcul de lf/h

Dans le cas dun poteau encastr-articul, la longueur de flambement vaut lf=0,7l

Dans notre cas, on a lf=0,70*3=2,10m

On doit vrifier 242450,0

60,02020;15max20,4

50,0

10,2 1 =

====

h

e

h

l f

La vrification est OK, on peut donc estimer forfaitairement lexcentricit du second ordre.

[ ]+

= 210

3

4

2

2h

le

f

444,07560

60=

+=

+=

QG

G

MM

M

2=

[ ] me 0076,02444,0250,010

10,2342

=+

=


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Sollicitations corriges.

Les sollicitations corriges, prendre en compte pour le calcul en flexion compose, sont :Nu= 0,336MNMu= (e1 + e2) * Nu= (0,60 + 0,0076) * 0,336= 0,204 MN.m

ATTENTION, ces valeurs sont calcules par rapport au centre de gravit de la section de btonseule, il est impratif de ramener le moment au centre de gravit des aciers tendus pour pouvoirdimensionner les armatures:

Le moment Mua vaut donc :

Mua= Nua *eA

Avec eA= (e1 + e2) + (d-h/2)= (0,60 + 0,0076) + (0,45 0,50/2)= 0,81m

Et Mua= 0,336*0,81=0,272MN.m

Les sollicitations corriges (ELU) sont donc:

Nu= 0,336 MNMu= 0,272 MN.m

6.8.4. Dtermination des excentricits et sollicitations corriges ELS.

A lELS, on a : Mser= 60 + 75= 0,135 MN.m Nser= 110 + 125= 0,235 MN e0ser= 0,135/0,235= 0,574m

Il faut galement ramener cette excentricit au centre de gravit des aciers tendus:

mh

dee serAser 774,0)2

50,045,0(574,0)

2(0 =+=+=

et donc Maser= 0,235 * 0,774= 0,182 MN.m

Les sollicitations corriges (ELS) sont donc :

Nser= 0,235 MNMser= 0,182 MN.m


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6.8.5. Vrification si section partiellement tendue

On calcul le moment rduit :

474,017,1445,020,0

272,0

=

==

bu

buFbd

Mu

Puis on calculBC :

494,0)45,0

50,04,01(

45,0

50,08,0)4,01(8,0 ===

d

h

d

hBC

On est donc bien en section partiellement tendue.

6.8.6. Dimensionnement des armatures en flexion simple

On est en fissuration peu prjudiciable, on fait donc un dimensionnement l'E.L.U.

Hauteur utile : d=0,45m

Moment rduit : 474,0=bu

Pour vrifier la prsence ou non daciers comprims, il est ncessaire de calculer la valeur de limqui est fonction de fc28, et .

Cette valeur peut tre dtermine partir des tables ou des formules approches si Fc28 30Mpa.

Dans notre cas (acier Fe500), on peut utiliser la formule :

310051322010 28lim4 +=

C

Favec

Mser

Mu=

On a donc :

49,1182,0

272,0== => 297,0lim =

On a donc lim >bu => mise en place daciers comprims.

Calcul des aciers tendus (section A1)

Le calcul des aciers tendus doit tre men avec un moment correspond lim :

buFbd

M

limlim = => mMNFbdM bu .170,017,1445,020,0297,0limlim ===

Calcul de lim:

o 449,0)297,021(125,1lim ==

Calcul du bras de levier zb :

o mdzb 369,0)449,04,01(45,0)4,01( ===


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Calcul de la section darmatures :

o 60,1078,434369,0

170,0lim1 cm

Fz

MA

edb

=

==

Calcul des aciers comprims (section A)

Calcul de lallongement des aciers comprims :

0026,0)05,045,0449,0(45,0449,01000

5,3)'(

1000

5,3=

=

= dd

d lu

lu

sc

On est dans le cas 00217,0200000

78,434==>

E

Fedsc

On prend donc MpaFedsc 78,434==

Calcul des aciers comprims :

o 86,578,434)05,045,0(

170,0272,0

)'(' cm

dd

MMA

sc

ulu =

=

=

Calcul des aciers A2 pour quilibrer A :

o 86,578,434

78,43408,7'2 cmAA

e

sc ===

Section totale mettre en uvreo A=A1+A2=16,46cm en partie infrieure (aciers tendus)o A=5,86cm en partie suprieure (aciers comprims)

6.8.7. Armatures en flexion compose

En flexion compose, on a donc : A= A A= A N/Fed= 16,46.10-4 0,336/434,78= 8,73 cm

A= 5,86cm A= 8,73cm

6.8.8. Vrification du pourcentage minimum

de

dedb

F

FA

e

t

185,0

45,023,0 0

28min

=

66,045.0185,0574.0

45.045.0574.045.020.0

500

1.223,0min cmA =

=


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6.9. Exercice 4: Section partiellement tendue avec effort de traction .

Considrons la section de poutre suivante:

On souhaite dimensionner les armatures tendues de la poutre, l'ELU.


Bton:

o Fc28= 25 Mpa => MpaF

Fbub

c 17,145,1

2585,085,0 28 ==

=

o Ft28= 0,6 + 0,06Fc28= 0.6 + 0.06 x 25= 2.1 Mpa

Acier Fe500 : MpaFeFeds

78,43415,1

500 ===

6.9.2. Calcul des sollicitations

ELU Mu=1,35*90 + 1,50*70= 226.5 KN.m= 0,227 MN.m Nu= 1,35*(-190) + 1,50*(-145)= -474 KN= -0,474 MN.

ELS Mser= 90 + 70= 160 KN.m= 0,160 MN.m Nser= -190 - 145= -335 KN= -0,335 MN

6.9.3. Dtermination des excentricits et sollicitations corriges ELU.

A lELU, les sollicitations sont les suivantes : Mu= 0,227 MN.m Nu= -0.474 MN

On est dans le cas du dimensionnement d'une poutre, par consquent, on ne prendra pas encompte les excentricits ea, et e2.

On a donc:

mNu

Mu

e 479,0474.0

227,00 ===

A

40cm

65cm

Sollicitations :o Charges permanentes : Mg= 90 KN.m et Ng=-190 KNo Surcharges dexploitations : Mq=70 KN.m et Ng= -145 KN

Dure dapplication des charges : suprieure 24h Matriaux :

o Bton: Fc28= 25Mpao Acier: Fe500

Enrobage des armatures : 3cm Fissuration non prjudiciable Densit du bton : 25KN/m3 Hauteurs utiles :

o d= 0,60mo d= 0,05m


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Sollicitations corriges.

ATTENTION, les valeurs prcdemment dtermines sont calcules par rapport au centre degravit de la section de bton seule, il est impratif de ramener le moment au centre de gravit desaciers tendus pour pouvoir dimensionner les armatures:

Le moment Mua vaut donc :

))2

(( 0h

deNeNM uAuuA ==

Mua= 0.474 x (0.479 0.60 + 0.65/2)= 0,097 MN.m

Les sollicitations corriges (ELU) sont donc:

NuA= - 0,474 MNMuA= 0, 097MN.m

6.9.4. Dtermination des excentricits et sollicitations corriges ELS.

A lELS, on a : Mser= 0,160 MN.m Nser= -0,335 MN e0ser= 0,160/- 0,335= 0,478 m

Il faut galement ramener cette excentricit au centre de gravit des aciers tendus:

))2

(( 0h

deNeNMserserAserserA ==

Mua= 0.335 x (0.478 0.60 + 0.65/2)= 0,068 MN.m

Les sollicitations corriges (ELS) sont donc :

Nser= - 0,335 MNMser= 0,068 MN.m

6.9.5. Vrification si section partiellement tendue

On calcul le moment rduit :

0475,017,1460,040,0

097,0

=

==

bu

buFbd

Mu

Puis on calculBC :

491,0)60,0

65,0

4,01(60,0

65,0

8,0)4,01(8,0 === d

h

d

hBC

On est donc bien en section partiellement tendue.

G0

Mg0

N

G0

N

Ae0

eA

dh/2


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6.9.6. Dimensionnement des armatures en flexion simple

On est en fissuration peu prjudiciable, on fait donc un dimensionnement l'E.L.U. Hauteur utile : d=0,60m

Moment rduit : 0475,0=bu

Pour vrifier la prsence ou non daciers comprims, il est ncessaire de calculer la valeur de limqui est fonction de fc28, et .

Cette valeur peut tre dtermine partir des tables ou des formules approches si Fc28 30Mpa.

Dans notre cas (acier Fe500), on peut utiliser la formule :

310051322010 28lim4 +=

C

Favec

Mser

Mu=

On a donc :

43,1068,0097,0 == => 278,0lim=

On a donc lim pas d'aciers comprims.

Calcul des aciers tendus

0475,0=u

Calcul de :

o 061,0)0475,021(125,1 ==

Calcul du bras de levier zb :

o mdzb 585,0)061,04,01(60,0)4,01( ===

Calcul de la section darmatures :

o 81,378,434585,0

097,0cm

Fz

MA

edb

uAu =

==

6.9.7. Armatures en flexion compose

En flexion compose, on a donc : A= A= 0 A= A N/Fed= 3.81.10-4+ 0.474 / 434.78= 14.71 cm

A= 0 cm A= 14.71 cm

6.9.8. Vrification du pourcentage minimum

de

dedb

F

FA

e

t

185.0

45.023.0 0

28min

=

94.260.0185.0478.0

60.045.0478.060.040.0

500

1.223.0min cmA =

=


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30/48


6.10.2. Calcul des armatures L'E.L.S

L'quilibre, l'E.L.S, d'une section en flexion compos entirement comprime, est dfini par le

schma suivant:

Le dimensionnement l'E.L.S est men par itration sur les sections d'aciers A1 et A2, de faon

respecter deux conditions:

La contrainte maximum sur le bton doit respecter: bcbc max .

Le centre de pousse C doit rester dans le noyau central.

La contrainte maximum sur le bton est calcule partir de la formule:

bcserGser

bcI

vMB

N +=00

max'

B0 et I0 reprsentent les caractristiques gomtriques de la section homogne:

( )210 15 AABB ++=

I0: inertie de la section B0par rapport G.

B reprsente la section de bton.

Pour la 1re

itration, on se fixe A1 + A2= Amin, avec:

=

1002,0

/4maxmin B

mcmA

de primtre


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Pour rappel, dans le cas dune section rectangulaire, le noyau central correspond un losange de

hauteur h/6 de part et d'autre de l'axe de symtrie de la section de bton.

On voit bien quun dimensionnement lE.L.S prsente donc une infinit de solutions. Lutilisationdes abaques de dimensionnement permet un dimensionnement plus rapide.

6.10.3. Dfinition des courbes d'interactions l'E.L.U

Les courbes d'interactions sont des diagrammes d'interaction moment-effort normal quipermettent de dimensionner ou de vrifier rapidement une section dont les dimensions et lesarmatures sont connues.

De faon gnrale, les diagrammes d'interactions sont fixs l'E.L.U, mais rien n'empche de lestablir l'E.L.S.

Pour dfinir l'quilibre d'une section en flexion compose, on part du schma suivant :

y

h z

b

h/6

G

b/6


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Les notations de ce schma sont les suivantes: G0: centre de gravit de la section de bton seule. x et y sont des axes de symtrie de la section. dj: distance au centre de gravit de l'armature considre. Cette distance est compte

positive dans le sens ascendant. v': fibre extrme comprime de la section.

v: fibre extrme tendue de la section. B: aire de la section de bton seule. An : armature la plus loigne de la zone comprime.

Lorsque l'on fixe arbitrairement une valeur de y, on obtient un diagramme des dformations qui suitun des 3 pivots (voir cours de flexion simple) :

Si ( )n

dvy 259,0 => pivot A

Si hydnv pivot B Si y > h => pivot C

Lexpression ( )n

dvy 259,0 vient de lexpression y=0.259d vue en flexion simple en

considrant une valeur ngative pour dn .

Pour une section donne d'armatures, si on fait varier l'axe neutre y, on obtiendra les dformationssuivantes :

c= raccourcissement de la fibre de bton la profondeur . sj = dformation de l'armature Aj.

A partir de ces dformations, on en dduit les contraintes suivantes: c= contrainte de la fibre de bton la profondeur . sj = contrainte de l'armature Aj

La rsultante en force et en moment de ces forces par rapport G0 nous donne:

+=

+=

Y N

jsjjc

Y N

sjjc

dAdvbyM

AdbyN

0 1

1

0 1

1

)'()(

)(

Lorsque y varie, le point de coordonnes N1(y) et M1(y) dcrit une courbe C1 appele courbed'interaction.


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En changeant le sens des moments, on inverse le sens de la flexion et on obtient la courbe C2.

Les deux courbes C1 et C2 forment un contour ferm appel courbes d'interaction.

Ce contour reprsente une multitude d'efforts rsistants, pour une section d'armatures imposes,pour plusieurs valeurs de y. Il constitue le "domaine de scurit" dans lequel doit se trouver lepoint reprsentatif des sollicitations agissantes.

Si la section ne comporte pas d'armatures :

Aj=0 quelque soit j =>

=

==

=

==

buC

C

C

T

T

T

BfN

MP

N

MP

0

0

0

En faisant varier le contour C0, on obtient le contour C0 dfinissant le domaine de scurit d'unesection sans armature.

Cette mthode se prte trs bien au dveloppement informatique et permet facilementd'obtenir, par itration, la section d'armature ncessaire pour que le torseur soit situ l'intrieur de ces courbes.En gnral, on part de la section minimum d'armatures puis on itre pour satisfaire lacondition prcdente.Par contre, manuellement, le calcul est long et fastidieux. Tout au plus, peut-on vrifiercertains points particuliers.


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Points particuliers de ces courbes

Cette courbe prsente un certain nombre de caractristiques et points particuliers intressants.

Cas o on a y= -

Dans ce cas, la section est entirement tendue et on est la verticale du pivot A (traction simple).Le point correspondant sur la courbe Pt a les coordonnes suivantes:

===

===

N

jjedJ

N

sjjT

N

jed

N

sjjT

dAFdAMM

AFANN

11

1

11

1

)(

)(

Cas o on a y= +

Dans ce cas, la section est entirement comprime et on est la verticale du pivot C (compressionsimple).

On a donc:

1000/2=sj FedE sjssj =

Fbuc =

Le point correspondant sur la courbe Pc a les coordonnes suivantes:

=+=+

+=+==+

Y N

jjed

N

jsjjc

Y N

jedbu

N

sjjcC

dAFdAdvbM

AFFBAdbNN

0 11

1

0 11

1

)'()(

)(

Cas ou Ni=0Dans ce cas, on obtient le point PMF1qui correspond au moment de flexion simple.


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6.10.4. Dimensionnement des aciers E.L.U par les diagrammes d'interactions.

Pour dimensionner manuellement une section en flexion compose, on utilisera des diagrammesd'interactions.

Chaque diagramme est dfini pour une section donne (bton, armatures, position des aciers).

On calcul les sollicitations Ni et Mi (sollicitations au centre de gravit) en partant des formules quenous avons vu prcdemment:

+=

+=

Y N

jsjjc

Y N

sjjc

dAdvbyM

AdbyN

0 1

1

0 1

1

)'()(

)(

A partir des ces sollicitations Ni et Mi, on dfinit les paramtres suivants:

bu

FB

Niv

= : effort normal rduit.

buBhF

Mi= : moment flchissant rduit en G0 (h reprsente la hauteur de la section dans

le plan de flexion).

bu

edj

BF

FA )(= : pourcentage mcanique des armatures.

ATTENTION, il est rappel quune valeur positive debuFB

Niv

= correspond un effort de

compression.

Pour une position donne des armatures, on fait varier leur sections, ce qui fait varier et nouspermet d'obtenir un rseau de courbes appeles diagrammes d'interactions.


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Voici un exemple de diagramme dinteraction, pour une section rectangulaire armesymtriquement (issu des abaques de dimensionnement du CEB) :


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Les diffrentes courbes, correspondant diffrentes valeurs de , sont disposs intervalle constant suivantles droites correspondantes un rapport de dformations et donc une valeur constante de y.

En effet, lorsque l'on fait varier la section d'armature, on le fait proportionnellement pour toutes les armaturesAj.

Isolons une de ces courbes :

Si on prend le point PT0correspondant la traction pure, on a:

=

=

jedT

jjedT

AFN

dAFM=>

=

=

j

bu

ed

jj

bu

ed

ABF

Fv

dABhF

F

=> KAjh

dA

v

jj==

On se rend compte que le point PTse dplace sur une droite T, passant par le point PT0, d'origine (0,0) etde pente K.

Il faut donc faire l'interpolation linaire en direction de ces droites.


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Si on prend le point PCcorrespondant la compression pure, on a:

+=

=

jedbuC

jjedC

AFBFN

dAFM=>

+==

=

+

bu

jed

bu

jedbu

jj

bu

ed

BF

AF

BF

AFBF

v

dABhF

F

1

d'o:

KAh

dA

v j

jj==

1

et le point PC se dplace sur une droite C passant par le point PC0 de

coordonne (0,1) et de pente K

L'interpolation linaire doit donc se faire entre les diffrentes valeurs de , et en suivant ladirection des droites .

Pour la suite, il est important de retenir que pour une section entirement comprime, on a lesvaleurs suivantes:

=+=

+=+=

Y N N

jjedjsjjc

N

jed

Y

bu

N

sjjc

dAFdAdvbyM

AFBFAdbyN

0 1 1

1

10 1

1

)'()(

)(

puis

bu

N

jed

bu

N

sjjbu

bu BF

AF

BF

ABF

FB

Niv

+=

+

=

= 11 1

.

==N

jj

bu

ed

bu

dABhF

F

BhF

Mi

1

bu

edj

BF

FA )(= : pourcentage mcanique des armatures.

Ces diagrammes d'interactions peuvent tre utiliss soit en vrification de sections, soit endimensionnement.


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Utilisation des diagrammes d'interactions en dimensionnement d'une section

Les donnes du problme sont:

Caractristiques des matriaux:b

cbu

FF

2885,0= et

s

ed

FeF

=

Nu et MuGo(MuG0=Nu(e1 + e2)) Dimensions de la section de bton: b0 et h

On calcul les quantits suivantes:

bu

Fhb

Nuv

=

0

bu

uG

Fhb

M

=

0

0

On dtermine ensuite, sur le diagramme d'interaction correspondant aux couples bc et s, le

pourcentage mcanique darmatures .

Puis on calcul les armatures ncessaires en les disposant symtriquement:

bu

ed

hFb

FA

0

)(= => hb

F

FA

ed

bu0=


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Utilisation des diagrammes d'interactions en dimensionnement d'une section

Les donnes du problme sont:

Caractristiques des matriaux:b

cbu

FF

2885,0= ets

ed

FeF

=

Nu et MuGo(MuG0=Nu(e1 + e2)) Dimensions de la section de bton:b0 et h Quantits et position des armatures: A

On calcul les quantits:

bu

Fhb

Nuv

=

0

bu

u

Fhb

M

=

0

bu

ed

hFbFA

0

)(=

On vrifie sur le diagramme que le point se trouve l'intrieur ou sur la courbe correspondante aupourcentage d'armature.


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6.10.5. Exemples dabaques.


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Documents

Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS