Chapitre 9 Transferts thermiques - Serveurdiiderreynaud.free.fr/partage/Cours/FAC/Thermo/Chap 9.pdf · La température : force motrice du transfert de chaleur C'est bien parce que

Cours rédigé par Christian Jallut, Professeur de Génie des Procédés à l’Université Lyon I

Chapitre 9

Transferts thermiques

Introduction

Jusqu'à présent, nous n'avons considéré un flux de chaleur qu'au travers des effets qu'ilpouvait avoir sur l'énergie interne, l'enthalpie ou l’entropie d'un système thermodynamique.Indépendamment de cet aspect qui est relatif aux bilans et aux principes de laThermodynamique, on peut étudier la façon dont s'établit un flux de chaleur et en déduire uneexpression de ce dernier. C'est l'objectif de ce chapitre introductif aux Transferts thermiques.On distingue classiquement trois modes de transport de l'énergie thermique :

• la conduction ;• la convection ;• le rayonnement.

Nous n'étudions ici que les deux premiers modes de transfert.

1. La conduction

La conduction est un mode de transport qui se produit au sein de la matière immobile auniveau macroscopique. Il s'agit d'un phénomène de propagation analogue à la conduction del'électricité. Il est donc plus facile d'envisager le phénomène de conduction dans le cas dessolides, cependant celle-ci se produit aussi dans les gaz et les liquides. Pour ces phasesfluides, la conduction est en général accompagnée de mouvements internes, appelésconvectifs, qui rendent l'étude du phénomène conductif plus difficile expérimentalement. Cesmouvements sont dus aux différences de masse volumique engendrées par les différences detempératures : les portions de fluide chaud ont alors tendance à s'élever comme le fait uneMontgolfière, sous l'effet des forces d'Archimède.

1.1. Mise en contact de deux corps à températures différentes

Nous avons déjà considéré cette situation plusieurs fois. Lorsqu'on met en contact deuxcorps isolés solides à températures différentes, on constate que ces dernières tendent à devenirégales : c'est l'équilibre thermique.

Figure 9.1 : Mise en contact de deux solides en déséquilibre thermique.

U1, T1 U2, T2


63

Le système étant globalement isolé, son énergie interne totale U1 + U2 reste constante au coursdu processus. Il y a simplement transfert d'énergie d'un corps vers l'autre, ce transfert cessantlorsque l'équilibre est atteint. Si maintenant on souhaite aller plus loin dans la description etcalculer par exemple l'évolution temporelle des températures T1 et T2, la simple écriture dubilan d'énergie U1 + U2 = cte ne suffit pas si on ne se donne pas une représentationindépendante du flux de chaleur qui transite entre les deux corps.

1.2. Propagation de la chaleur dans une barre métallique

Si on met au contact d'une flamme à température élevée l'extrémité d'une barremétallique (cf. figure 9.2), on constate que la température de l'autre extrémité s'élève aussi.

Figure 9.2 : Propagation de chaleur dans une barre métallique.

On peut en déduire que l'énergie thermique fournie par la flamme se propage le long de labarre. On conçoit aussi, comme dans l'exemple précédent, que c'est parce que la températurede la flamme est plus élevée que celle de la barre que l'énergie thermique se propage ainsi.

1.3. La température : force motrice du transfert de chaleur

C'est bien parce que la température des milieux mis en contact sont différentes que naîtun flux de chaleur dont la tendance est de ramener les corps à l'équilibre thermique. On ditque la température est la force motrice du transfert de chaleur. Inversement, tout transfertcesse si la température dans un système est uniforme. L'idée vient alors de considérer que leflux de chaleur est une fonction de la variation spatiale de la température : lorsque cettevariation spatiale est nulle, le flux est nul. La notion mathématique qui permet de rendrecompte de cette notion de variation spatiale est la notion de gradient. Nous allons introduireprogressivement cette notion dans le cas particulier du gradient de température.

1.4. Analyse de la situation dans le cas d'une seule dimension

1.4.1. Mise en évidence de la notion de gradient

Considérons un corps solide de forme allongée tel que la barre métallique représentéefigure 9.2. On peut en première approximation faire l'hypothèse que la température ne dépendque de la variable d'espace x et le cas échéant du temps t.

Plaçons nous en un point donné x de la barre où la température est T x,t( ) et considérons latempérature d'un point très proche de x où la température est T x + e,t( ) (cf. figure 9.3). Ayantadmis que la température est la force motrice du transfert de chaleur, on conçoit que le flux dechaleur qui existera au point x sera d'autant plus grand que la différence T x + e,t( ) - T x,t( )rapportée à la distance e sera grande.

x t

T


64

Figure 9.3 : Notion de gradient dans le cas monodimensionnel.

On est ainsi conduit à poser que

†

Fx , le flux de chaleur dans la direction x, est proportionnel à

la quantité T x + e,t( ) - T x,t( )e

et que cette quantité sera d'autant plus représentative du flux

au point x que e est petit. On arrive alors naturellement à considérer que le flux de chaleur est

proportionnel à lim T x + e, t( ) - T x,t( )e

=∂T∂x

x, t( )e Æ 0

qui n'est autre que la dérivée de T par

rapport à la variable d'espace x à un instant donné t : c'est par définition la dérivée partielle deT par rapport à x. Par ailleurs, la chaleur se propageant dans le sens des températuresdécroissantes, si T x + e,t( ) > T x, t( ) , le flux de chaleur sera dirigé dans la direction des xdécroissants et inversement si T x + e,t( ) < T x, t( ) . La direction du flux est donc opposée au

signe de la quantité ∂T∂x

. Si ∂T∂x

> 0 , la température a tendance à augmenter avec x et le flux

est dirigé dans le sens des x décroissants et inversement si ∂T∂x

< 0 .

1.4.2. Expression du flux!dans le cas monodimensionnel : relation de Fourier

Fourier a posé que le flux de chaleur

†

Fx dans la direction x est proportionnel à

†

∂T∂x

selon la relation!:

†

Fx = -lA ∂T∂x

W( ) (9.1)

où A est la section transversale de l’objet considéré (cf. figure 9.3). Le signe - permet de tenircompte du fait que la chaleur se propage dans le sens des températures décroissantes alorsqu'on peut montrer que le vecteur gradient est orienté dans le sens opposé. Le coefficient deproportionnalité l s'appelle la conductivité thermique du milieu considéré. C'est a priori unequantité susceptible de varier avec la température, la pression, la composition et qui prend desvaleurs assez différentes dans les gaz, les liquides et les solides. Son unité dans le systèmeinternational est le W.m-1.K-1.

A partir de la relation (9.1), on peut définir le flux de chaleur par unité de surface ou densitéde flux

†

Jx dans la direction x!:

†

Jx = -l∂T∂x

W.m-2( ) (9.2)

A titre indicatif, on donne quelques valeurs de l dans le tableau 9.1 ci-dessous. Il y agrossièrement un facteur 10 entre la conductivité thermique des gaz et des liquides et unfacteur 100 entre celle des liquides et celle des solides. On observe cependant de grandesvariations de cette propriété en fonction de la nature du corps.

†

FxA

x+ex


65

Composé Température (°C) Conductivité thermique l(W.m-1.K-1)

Cuivre (solide) 0 386,12Cuivre (solide) 100 379,14

Fer (solide) 20 73,27Eau liquide (1bar) 20 0,598Eau liquide (1 bar) 100 0,682

Vapeur d'eau (1 bar) 100 0,0245Vapeur d'eau (1 bar) 500 0,0673

Air 20 0,02512Air 100 0,0307

Tableau 9.1 : Quelques valeurs de conductivités thermiques (Aide mémoire du Thermicien,Editions Européennes Thermique et Industrie, 1982)

1.5. Généralisation au cas à trois dimensions

1.5.1. Expression de la densité de flux selon la relation de Fourier

On a implicitement admis précédemment que le flux est une variable caractérisée parune valeur et une direction. C'est donc un vecteur. Par ailleurs, il apparaît assez naturel deramener ce flux à l'unité de surface dans la mesure où, toutes choses égales par ailleurs, il serad'autant plus élevé que la surface concernée est élevée : le vecteur flux par unité de surface,qui sera noté

r J ici, est la densité de flux en W.m-2 dans le système international. Fourier a

posé que cette densité de flux est colinéaire à un vecteur qui généralise à l'espace à troisdimensions la notion de variation spatiale de la température telle que nous l'avons introduitedans le paragraphe précédent : ce vecteur est le gradient de température noté grr a d T( ) dont lescoordonnées sont dans un système de coordonnées cartésiennes :

†

grr a d T( ) =

∂T∂x∂T∂y∂T∂z

Ê

Ë

Á Á Á Á Á Á

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

K.m-1( ) (9.3)

La relation de Fourier est alors :

†

r J = -lgrr a d T( ) (W.m-2) (9.4)

1.5.2. Expression du flux traversant une surface dA

Considérons un élément de surface dA en un point quelconque d'un système. Si levecteur densité de flux est

r J en ce point, on conçoit aisément que suivant l'orientation de la

surface dA, représentée par un vecteur unité r n normal à cette surface, le flux qui la traverse


66

est plus ou moins élevé. Ainsi, si la densité de flux est tangente à la surface dA, c'est à direperpendiculaire à

r n , le flux est nul.

Figure 9.4 : Flux traversant une surface dA caractérisée par sa normale.

Le flux de chaleur dFn qui traverse la surface dA est simplement donné par le produitscalaire!:

†

dFn =r J r n dA (W) (9.5)

qui est bien nul si r J est perpendiculaire à

r n c'est à dire tangent à dA. Par ailleurs, le signe dedFn indique la direction du flux. Si

†

dFn > 0 , le flux est orienté suivant r n et inversement si

†

dFn < 0 .

1.6. Méthode générale d'établissement des équations permettant la résolution d'unproblème de transfert de chaleur par conduction

Il s’agit de rechercher l'évolution temporelle et spatiale de la température dans unsystème immobile siège d'un transfert de chaleur. Nous avons jusqu'à présent mis en évidencedeux notions très importantes :

• la notion générale de bilan d'énergie ;• dans le cas de la conduction, l'expression du flux de chaleur selon la relation deFourier.

En combinant ces deux outils, on peut traiter ce type de problème en établissant une équationdont la température recherchée est solution.

Dans le cadre de ce cours introductif, il n'est question que de traiter des cas assez simples : enparticulier, nous nous restreindrons à l'analyse de systèmes en régime permanent et monodimensionnels, c’est à dire à une seule variable d’espace.

1.7. Exemples d'application de la méthode

1.7.1. Transfert de chaleur par conduction dans une plaque plane de grande dimension

On considère une plaque plane telle que représentée figure 9.5. Cette plaque peut parexemple représenter le mur d'une maison. Elle a une épaisseur e et une surface latérale A.Compte tenu de sa forme, on peut supposer, comme dans le cas d'une barre allongée, que latempérature ne varie qu'avec x. On se place par ailleurs en régime permanent donc on neconsidère pas l'évolution temporelle de la température. L'objectif est de connaître l'évolutionde la température dans la plaque avec x ou profil de température T x( ) et de connaître le fluxde chaleur Fx qui traverse la plaque selon la direction x.

r J

r n

dA


67

Figure 9.5 : Le problème de la conduction en régime permanent dans une plaque plane.

Le résultat qu'on va obtenir est effectivement utilisé par les ingénieurs chargés de prévoir lesbesoins en chauffage des bâtiments par exemple. L'équation dont T x( ) est solution résulte dubilan d'énergie associé à la relation de Fourier. Séparons bien ces deux temps del'établissement de l'équation.

1.7.1.1. Bilan d'énergie

On considère une tranche de solide d'épaisseur dx telle que représentée figure 9.5. C'estnotre système selon la terminologie de la thermodynamique. Pour qu'il s'agisse d'un systèmethermodynamique, rappelons qu'il doit malgré tout être suffisamment épais pour contenir unnombre de particules élémentaires tel que les notions macroscopiques utilisées ont un sens. Laseule énergie échangée par ce système est l'énergie thermique selon le processus de laconduction. Le bilan s'écrit alors :

†

Jx x( )A = Jx x + dx( )A (9.6)

où J x est la densité de flux suivant l’axe x. En utilisant le développement de Taylor à l'ordre 1de J x+dx , on a :

J x x + dx( ) ª Jx x( ) +dJ x

dxdx (9.7)

En reportant (9.7) dans (9.6), on trouve finalement que :

dJ x

dx= 0 (9.8)

1.7.1.2. Prise en compte de la relation de Fourier

En reportant dans le bilan (9.8) l’expression du flux (cf. relation (9.2)) donnée parFourier, on trouve la relation recherchée :

d -l dTdx

Ê Ë

ˆ ¯

dx= 0 (9.9)

TpeTpi

dx

Jx(x+dx)Jx(x)A

dx

e0 x


68

1.7.1.3. Cas particulier où l = cte : profil de température et expression du flux Fx

L'équation (9.9) devient :

d2Tdx2 = 0 (9.10)

dont la solution est simplement : T x( ) = ax + b . Les constantes a et b sont calculées en fixantce qu'on appelle des conditions aux limites. Par exemple, si on suppose que les températuresde la plaque sont fixées en x=0 et x=e, respectivement Tpi et Tpe (cf. figure 9.5), on trouvefacilement les expressions de a et b et le profil de température est :

†

T x( ) =Tpe - Tpi

e

Ê

Ë Á Á

ˆ

¯ ˜ ˜ x + Tpi (9.11)

Finalement, on calcule le flux selon la relation de Fourier :

†

Fx = -lA dTdx = -lA

Tpe - Tpi

eÊ

Ë Á

ˆ

¯ ˜ =

Tpi - Tpe

elA

Ê

Ë

Á Á Á

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ (W) (9.12)

La quantité

†

RTh =e

lA (K.W-1) s'appelle la résistance thermique de la plaque par analogie

avec la résistance électrique d'un conducteur. Le flux de chaleur est alors analogue àl’intensité du courant et la température à la tension électrique.

1.7.2. Transfert de chaleur par conduction dans un tube de grande longueur

On considère un cylindre creux de longueur L, de rayon intérieur Ri et de rayonextérieur Re (figure 9.6).

Figure 9.6!: Le problème de la conduction en régime permanent dans un cylindre.

dr

r

Re

Ri

rJr(r) Jr(r+dr)


69

Ce cylindre peut représenter une canalisation de transport d’eau de chauffage central parexemple. La longueur L est supposée très supérieure aux rayons Ri et Re. De ce fait, latempérature ne dépend que de la position radiale r. L'objectif est de connaître l'évolution de latempérature dans le tube avec r (ou profil de température

†

T r( )) et de connaître le flux dechaleur Fr qui traverse le tube. Le résultat qu'on va obtenir est effectivement utilisé par lesingénieurs chargés de prévoir les pertes de chaleur dans des canalisations par exemple.L'équation dont

†

T r( ) est solution résulte toujours du bilan d'énergie associé à la relation deFourier

1.7.2.1. Bilan d'énergie

On considère une tranche de solide de forme cylindrique et d'épaisseur dr telle quereprésentée figure 9.6. La seule énergie échangée par ce système est l'énergie thermique selonle processus de la conduction. Le bilan s'écrit alors :

J r r( )2PrL = Jr r + dr( )2P r + dr( )L (9.13)

où

†

J r est la projection du vecteur densité de flux suivant le seul axe pertinent, r. En utilisant ledéveloppement de Taylor à l'ordre 1 de

†

J r r + dr( ) , on a :

†

J r r + dr( ) ª Jr r( ) +dJ r

drdr (9.14)

En reportant (9.14) dans (9.13), les termes en

†

dr2 étant toujours négligés, on trouvefinalement que :

dJ r

drr + Jr = 0

Le bilan!se met aussi sous la forme :

d rJr( )dr

= 0 (9.15)

1.7.2.2. Prise en compte de la relation de Fourier

Cette relation devient le long de l'axe r :

†

Jr = -ldTdr

(W.m-2) (9.16)

soit en reportant dans le bilan (9.15) la relation recherchée :

d -rl dTdr

Ê Ë

ˆ ¯

dr= 0 (9.17)


70

1.7.2.3. Cas particulier où l = cte : profil de température et expression du flux Fr

L'équation (9.17) devient :

d r dTdr

Ê Ë

ˆ ¯

dr= 0 (9.18)

dont la solution est obtenue en intégrant deux fois l’équation (9.18) :

r dTdr

= a soit dTdr

=ar

T r( ) = aLnr + b

Ï Ì Ó

(9.19)

Les constantes a et b sont calculées en fixant les conditions aux limites. On suppose que lestempératures du tube sont fixées en r=Ri et r=Re, respectivement à Tpi et Tpe (cf. figure 9.6).On trouve alors les expressions de a et b et le profil de température est :

T r( ) =Tpi - Tpe

Ln RiRe

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜

Ln rRi

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜ + Tpi (9.20)

Finalement, on calcule le flux selon la relation de Fourier!F r = -l2P rL dTdr soit!:

†

Fr =Tpi - Tpe

12PlL

Ln Re

Ri

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

(W) (9.21)

On trouve bien que le flux Fr est constant du fait de l'hypothèse initiale de régimestationnaire. Il n'en est pas de même de la densité de flux Jr qui diminue lorsque r augmentedu fait de la croissance de la surface offerte au flux de chaleur avec r. La quantité

†

RTh =1

2PlLLn Re

Ri

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ (K.W-1) est la résistance thermique de conduction du tube.

2. Le transfert de chaleur par convection : notion de coefficient de transfertde chaleur entre un fluide et une paroi

2.1. Position du problème

Il existe de nombreuses situations pratiques où un solide est au contact d'un fluide à unetempérature différente. Par exemple, considérons le mur d'une maison au travers duquel onsouhaite évaluer le flux de chaleur (c'est un calcul nécessaire pour estimer les besoins dechauffage). On se donne la température intérieure de la maison Ti et la température extérieureTe, c'est à dire les températures de l'air loin de la paroi et non pas les températures de surfacede la paroi Tpi et Tpe. Si on veut calculer le flux Fx , il est nécessaire de représenter l'étape de


71

transfert de chaleur entre l'air et la surface du mur : la notion de coefficient de transfert dechaleur a pour but une telle représentation.

2.2. Mécanismes de transfert de chaleur par convection entre un fluide et une paroi

La difficulté vient du fait qu'un fluide siège de transferts de chaleur est rarementimmobile. On peut le mettre en mouvement par un moyen mécanique extérieur : par exemple,on fait circuler l'eau dans les radiateurs de chauffage des bâtiments à l'aide de pompes (figure9.7). On parle dans ce cas de convection forcée entre le fluide en mouvement et la paroiconsidérée. De tels mouvements naissent aussi naturellement du fait des forces d'Archimède.Ainsi, lorsqu'on regarde l'horizon dans un désert, les images du lointain sont floues etapparaissent en mouvement : c'est l'air qui, au contact du sable chaud, s'élève du fait que sadensité diminue avec la température.

Figure 9.7 : Mécanismes de la convection thermique.

Si on veut décrire de façon détaillé ces mécanismes, il faut résoudre un grand nombred'équations d'une grande complexité. Une approche plus globale et à caractère empiriqueconsiste à définir un coefficient qui globalise l'ensemble des phénomènes : ce dernier estmesuré.

2.3. Définition du coefficient d'échange de chaleur a

Considérons une paroi de forme quelconque, plaçons nous en un point de cette paroi oùla température est Tp et considérons le fluide situé à ce niveau de la paroi mais loin de celle-ci!: sa température est notée T• (figure 9.8).

Figure 9.8 : Notion de coefficient de transfert de chaleur par convection.

L'idée est que, quelle que soit la complexité du mécanisme de transfert entre le fluide et laparoi, le flux de chaleur entre ces deux zones reste proportionnel à l'écart de température. Lecoefficient de transfert de chaleur a est alors défini comme suit :

r n

Air au contact d'uneplaque chaude :

convection naturelle

Ecoulement dans une canalisation :convection forcée

T• Tp

Fluide

Solide


72

†

Jn = a Tp - T•( ) =Tp - T•( )

1a

(W.m-2) (9.22)

a peut être vu comme une conductance thermique par unité de surface et son inverse commeune résistance thermique par unité de surface. La densité de flux J n est perpendiculaire à laparoi solide, c'est à dire colinéaire au vecteur normal à la surface. Si Tp > T• , la densité deflux est orientée depuis le solide vers le fluide et si Tp < T• , la densité de flux est orientédepuis le fluide vers la paroi. Compte tenu de l'unité de J n (W.m-2), le coefficient a s'exprimeen (W.m-2.K-1) dans le système international. Nous donnons dans le tableau 9.2 quelquesordres de grandeurs de a.

Situation a (W.m-2.K-1)Convection naturelle

Dans les gaz 3 à 20Dans les liquides 100 à 600

Convection forcéeDans les gaz 10 à 100

Dans les liquides visqueux 50 à 500Dans l’eau 500 à 10000

Tableau 9.2!: Ordre de grandeur du coefficient de transfert de chaleur par convection a (Bird,Stewart, Lightfoot, Transport phenomena, Wiley and Sons, 1960)

Il n’est pas dans l’objectif de ce cours d’aller plus loin dans l’étude du phénomène deconvection. Il existe dans les ouvrages spécialisés en Transfert Thermique des relationspermettant de calculer a dans diverses situations. Il suffit pour l’instant d’avoir compris sadéfinition et les phénomènes qu’il représente.

3. Calcul des flux de chaleur dans des plaques ou parois composites!:exploitation de l'analogie électrique

Ces calculs constituent des exemples des relations étudiées précédemment ets’appliquent à des situations pratiques comme :

• le calcul des besoins en chauffage d’un bâtiment!;• le calcul des pertes de chaleur d’une canalisation!;• etc.

Les relations qui vont être mises en évidence sont basées sur l’analogie entre la résistanceélectrique de circuits de type série ou parallèle et la résistance thermique d’un objet.

3.1. Plaques planes

3.1.1. Plaque multicouche!de type série

Le cas typique de cette situation est le mur d’un bâtiment composé d’une couche debrique, d’une couche de plâtre et le cas échéant d’une couche d’isolant thermique. Ce mur de


73

surface A est au contact d’un fluide sur ses faces intérieure et extérieure. La situation généraleest représentée figure 9.9. Le flux de chaleur doit traverser plusieurs résistances thermiques ensérie!:

• la résistance thermique de convection côté intérieur!:

†

RThi =

1a iA

;

• la résistance thermique de conduction de chaque couche solide!numérotée

k!:

†

RThk =

ek

lkA où ek est l’épaisseur de la couche k et lk sa conductivité thermique ;

• la résistance thermique de convection côté extérieur

†

RThe =

1aeA

.

Figure 9.9!: Plaque multicouche de type série.

Exprimons la différence des températures intérieure Ti et extérieure Te vis à vis destempératures intermédiaires!:

• Tpi et Tpe!: les températures des parois intérieure et extérieure!;• Tpk!: les températures de contact entre la couche k-1 et la couche k.

†

Ti - Te = Ti - Tpi( ) + Tpi - Tp1( ) + Tp1 - Tp2( ) + ... + Tpe - Te( )

Compte tenu des relations (9.12) et (9.22), on peut remplacer toutes les différences detempérature par leur relation en fonction du flux Fx qui est commun à toutes les résistances!:

†

FxRThTot = FxRTh

e + FxRTh1 + FxRTh

2 + ... + FxRThi

et ainsi définir une résistance thermique totale

†

RThTot comme la somme des résistances comme

dans tout montage en série!:

†

Fx =Ti - Te( )RTh

Tot (W)

RThTot = RTh

e + RTh1 + RTh

2 + ...+ RThi =

1aeA

+e1

l1A+

e2

l2A+ .....+ 1

a iA (K.W-1)

Ï

Ì Ô Ô

Ó Ô Ô

(9.23)

Fx

FxTpi

Tpe

xTe

Ti

1 2 ….


74

3.1.2. Plaque multicouche de type parallèle

La situation typique est celle d’un mur comportant une fenêtre (cf. figure 9.10). Le fluxde chaleur total Fx se partage entre le flux traversant la fenêtre et le flux traversant le mur lui-même. Les températures extérieure et intérieure étant de plus communes aux deux parties dela paroi, on se trouve dans la situation de résistances en parallèle.

Dans le cas de deux couches 1 et 2 telles que représentées figure 9.10 ci-dessous par exemple,on calcule d’abord la résistance de chaque couche, respectivement

†

RTh1 et

†

RTh2 .

Figure 9.10!: Plaque multicouche de type parallèle

Chacune de ces résistances est constituée par une association en série convection intérieure –conduction - convection extérieure selon la relation (9.22)!:

†

RTh1 =

1aeA1

+e1

l1A1

+1

a iA1

(K.W-1)

RTh2 =

1aeA2

+e2

l2A2

+1

a iA2

(K.W-1)

Ï

Ì Ô Ô

Ó Ô Ô

(9.24)

où A1 et A2 sont les surfaces des parois 1 et 2, e1, e2 leurs épaisseurs et l1, l2 leursconductivités thermiques.

La résistance totale est ensuite obtenue en exprimant que le flux se partage entre les deuxbranches!:

†

Fx =Ti - Te

RTh1 +

Ti - Te

RTh2 (W)

soit la relation classique d’addition des inverses des résistances dans un montage en parallèle!:

1

2

Fx

†

Tpi1

†

Tpe1

x

Te

Ti

Fx


75

†

Fx =Ti - Te

RThTot (W)

1RTh

Tot =1

RTh1 +

1RTh

2 (K.W-1)

Ï

Ì Ô Ô

Ó Ô Ô

(9.25)

3.1.3. Généralisation

Pour une paroi plus complexe constituée de plusieurs plaques en parallèles elle-mêmesconstituées de plusieurs couches, il n’y a aucune difficulté à généraliser la démarche enconstruisant le schéma électrique équivalent et en calculant la résistance totale par applicationdes formules de combinaison des résistances des circuits série ou parallèle.

3.2. Paroi cylindrique multicouche de type série

La démarche est rigoureusement la même que précédemment : le seul cas intéressant àtraiter est celui d'un tube fait de N couches concentriques de matériaux différents(typiquement un métal et un isolant thermique). Chaque couche oppose sa résistancethermique de conduction à la propagation de la chaleur et on inclut les résistances thermiquesassociées à la convection interne et externe (cf. figure 9.11).

Figure 9.11 : Paroi cylindrique multicouche de type série

La température du fluide situé à l'intérieur du tube est Ti et celle à l'extérieur du tube Te. Lerayon intérieur est Ri et le rayon extérieur est Re. Les résistances thermiques associées à laconvection interne et externe sont respectivement RTh

i =1

2PRiLa i et RTh

e =1

2PReLae.

Une couche solide numérotée k comprise entre les rayons Rk-1 et Rk et de conductivité

thermique lk présente une résistance thermique de conduction RThk =

12Pl kL

Ln Rk

Rk-1

Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜ (cf.

relation (9.21)). Ces résistances sont associées en série et le flux Fr est donné par la relationsuivante :

†

Fr (W) =

Ti - Te

12PRiLa i

+1

2Pl1LLn R1

Ri

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ +

12Pl2L

Ln R2

R1

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ + ...+ 1

2PlNLLn Re

RN-1

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ +

12PReLa e

(9.26)

r


76

Conclusion

Ce chapitre n'est qu'une introduction aux Transferts Thermiques. Les situations étudiéessont cependant très représentatives des applications dans le domaine industriel. Ce qu'il fautsurtout retenir est la démarche d'établissement des équations basée sur l'écriture d'un bilanassociée à la relation de Fourier. Si cette démarche est bien comprise, on peut aborder d'autressituations plus complexes, en particulier l’étude des régimes transitoires non traitée ici.

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