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CHAPITRE II :

MODELISATION DE LA GENERATRICE

ASYNCHRONE LINEAIRE

Chapitre II Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire

Modlisation de la gnratrice asynchrone en vue de la production d'nergie olienne 11

II.1 INTRODUCTION

La ralisation de la premire machine asynchrone triphas, ct par lingnieur Allemand

Michael Doubrovski, en 1889. Et grce son bon rendement et sa robustesse, son utilisation

est trs large dans lindustrie.

Dans ce chapitre, la modlisation et la simulation de fonctionnement vide et en charge de

machine, prcdemment cites en rgime gnratrice, seront prsentes.

II.2 CONSTITUTION DE LA MACHINE ASYNCHRONE A CAGE

Dfinition

La machine asynchrone est une machine lectrique tournante courant alternatif, qui tourne

une frquence infrieure celle de la frquence de champ tournant [14].

Constitution

La machine asynchrone comporte une partie fixe nomme stator et une partie mobile nomm

rotor. Cest un transformateur champ tournant dont le primaire est le stator et dont le

secondaire mis en court circuit libre de tourner est le rotor.

Stator

Le stator dune machine asynchrone triphas porte un enroulement triphas reparti dans des

encoches du circuit magntique.

Rotor

Il peut tre cage dcureuil ou rotor bobine comme indiqu sur la figure suivante :

Symbole de machine asynchrone Symbole de machine asynchrone

Triphas rotor bobin triphase rotor cage

Figure II.1 Les dfrents symboles de machines asynchrone lectrique.



II.3 MODELISATION DE LA GENERATRICE EN FONCTIONNEMT LINEAIRE

II.3.1 Hypothses simplificatrices

Nous supposons que le bobinage est reparti de manire a donn une force

lectromotrice (f..m.) sinusodale sil est alimente par des courants sinusodaux

Nous supposons galement que nous travaillons en rgime non satur.

Nous ngligeons le phnomne dhystrsis, les courants Foucault, et leffet de peau.

Ces choix signifient que :

Les inductances propres sont constantes.

Variation sinusodale des inductances mutuelles entre les enroulements statoriques et

rotoriques en fonction de langle lectrique de leur axe magntique

Les enrlements des trois phases statoriques et des trois phases rotoriques dans lespace

peuvent tre reprsents comme montrer sur la figure ci-dessous.

Figure II.2 Reprsentation schmatique de la machine asynchrone [16].

Les phases statoriques sont court-circuite sur elles mmes.

: Langle lectrique entre laxe de la phase A statorique et la phase a rotorique.

II.3.2 Modalisation de la gnratrice asynchrone linaire dans le repre triphas

La loi de faraday permet dcrire :

dt

dRIV

(II.1)

Lquation gnrale de la machine asynchrone cage dcureuil dans un repre triphas

scrit sous la forme.



Equation de tension au niveau du stator

Dapprt la loi de faraday on crire en gnrale :

sc

sb

sa

sc

sb

sa

s

s

s

sc

b

sa

dt

d

I

I

I

R

R

R

V

V

V

00

00

00

(II.2)

dt

dIRV sabcsabcSsabc

(II.3)

Equation de tension au niveau du rotor

rc

rb

ra

rc

rb

ra

r

r

r

rc

rb

ra

dt

d

I

I

I

R

R

R

r

V

V

00

00

00

(II.4)

dt

dIRV rabcrabcrrabc

0 (II.5)

Les vecteurs V , I et sont les vecteurs tensions, courants et flux de chacune des

armatures. On dfinit les vecteurs ou les paramtres statoriques par lindices s et rotorique

par lindice r avec les indices abc en triphas. Les paramtressR et rR reprsentent

respectivement les rsistances statoriques et rotorique par phase.

Remarque

Le rotor tant en court circuit, ses tensions sont nulles. Chaque flux comporte une interaction

avec les courants de toutes les phases comprise la sienne (notion dinductance propre).

Ecrivons les relations reliant les flux aux courants stators et rotor (la machine est suppose

fonctionnement en rgime linaire).

Equation de flux au niveau du stator

Ecriture matricielle

rc

rb

ra

srsrsr

srsrsr

srsrsr

sc

sb

sa

sss

sss

sss

sc

sb

sa

i

i

i

mmm

mmm

mmm

i

i

i

lmm

mlm

mml

123

312

321

(II.7)



Donc :

abcrsrsabcssabc IMIL .. (II.8) Equation de flux au niveau de rotor

sabcsrrabcrabcr IMIL .. (II.9)

On pose que:

rrr

rrr

rrr

r

lmm

mlm

mml

L

;

sss

sss

sss

s

lmm

mlm

mml

L

;

123

312

321

rsrsrs

rsrrs

rsrsrs

rs

mmm

mmm

mmm

M

cos3

2cos

3

4cos

3

4coscos

3

2cos

3

4cos

3

2coscos

srrssr MMM

sl rl : Linductance propre dune phase statorique et rotorique.

sm rm : Linductance mutuelle entre deux phases statorique.

srm : Lamplitude de la mutuelle inductance stator-rotor.

sL rL : Les matrices inductance des bobines statorique.

srM : La matrice inductance mutuelle entre le stator et rotor.

srM : Le maximum de linductance mutuelle entre une phase statorique et une phase

rotorique quand les axes des deux enroulements considres concident ce qui donne :

)3

4cos(

)3

2cos(

)cos(

3

2

1

srrs

srrs

srrs

Mm

Mm

Mm

(II.10)



II.3.2.1 Equation gnrale de la machine

On remplace lquation (II.8) et(II.9) dans lquation (II.5) et(II.3) on obtient :

rabcrrsabcsrrabc

abcrsrsabcsSsabc

ILdt

dRIM

dt

dV

IMdt

dIL

dt

dRV

.

..

(II.11)

Ce systme (II.11) reprsente le modle de la gnratrice en grandeur de phase Coefficient

variable. Lutilisation des transformations pour rendra coefficients constants et facilitera

ainsi sa rsolution.

II.3.3 La transformation de Park

La transformation de PARK est constitue dune transformation triphase biphase suivie

dune rotation. Elle permet de passer du repre (abc) vers le repre ( ) puis ver le repre (d

q), le repre ( ) est toujours fixe par rapport au repre (abc) (figure II.5) par contre la

repre (d q) est mobile. Il forme avec langle ( ) un angle qui appel langle de

transformation de PRRK ou angle PARK si lon note par ( s ) langle de transformation des

grandeurs statorique (respectivement rotorique (r ) il existe une relations qui lie et qui

simplifie les quations et par la mme le modle final. Des repres de la transformation de

PARK des grandeurs statorique et celle des grandeurs rotorique doivent concider pour

simplifie ces quations (figure II.6) ceci ce fait en liant les angles ( s ) et ( r ) par la

relation rs .

Les grandeurs statorique et rotoriques sont transformes :

])][([][ dqSsS XPX ])][([][ dqrsr XPX

Avec :

cossin

sincos)]([

)]([ est la matrice de rotation



Figure II.3 Le passage par le repre Figure II.4 Le passage par le repre

(abc) repre ( ). ( ) vers le repre (d q).

Conservation

de

la

puissance

instantane

(Park

modifie)

La transformation de Concordia oC conserve la puissance instantane on utilisera cette

transformation pour ralise la transformation de PARK conserve la puissance.

oCP )()(

Avec:

2

3

2

30

2

1

2

12

111

oC

Donc la transformation de Park dfinir comme suit :

2

2

2

2

2

2

3

4sin

3

2sinsin

3

4cos

3

2coscos

3

2P

Symbole : )(P

La transformation inverse :

3

4sin

3

4cos

2

2

3

2sin

3

2cos

2

2

sincos2

2

3

21P

Symbole : 1)( P



II.3.4 Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire dans le repr diphase

On utilise la transformation de Park pour transformer les variables statorique et rotorique les

variables de tension srabc

V courant srabc

I et les flux srabc

pour obtenir leurs.

Transformation des Variables statoriques

On appliquant la transformation de Park sp sur les variables relles statorique De la

machine sabcV sabcI sabc pour obtenir leurs composantes relatives correspondantes,

sdqoV sdqoI sdqo

Dautre part on a :

sdqossabcsabcssdqo VpVVpV1

(II.12)

sdqossabcsabcssdqo IpIIpI1

(II.13)

sdqossabcsabcssdqo pp 1

(II.14)

s : Labscisse angulaire du rfrentiel arbitraire par rapport laxe de la phase De stator est

donne par la relation suivantes.

t

sss dttt0

)0()()(

(II.15)

)0(s : est la valeur initiale s .

Transformation des Variables rotoriques

Le mme travail pour le rotor

rdqorrabcrabcrrdqo VpVVpV1

(II.16)

sdqorrabcrabcrrdqo IpIIpI1

(II.17)

rdqorrabcrabcrrdqo pp 1 (II.18)

t

rrr dtt0

)0()(

(II.19)

r : Labscisse angulaire du rfrentiel arbitraire par rapport laxe de la phase (a r)

)0(r : La valeur initiale de r



Equation des tensions au stator

On applique la transformation de PARK au stator sp dans lquation (II-3) Lquation

Devient :

sq

sd

so

sq

sd

so

s

sq

sd

so

s

s

s

sc

sb

so

dt

d

dt

d

I

I

I

R

R

R

V

V

V

010

100

000

00

00

00

(II.20)

Donc en trouve :

.

.

soso s so

sdsd s sd s sq

sq

sq s sq s sd

dV R I

dt

dV R I w

dt

dV R I w

dt

(II.21)

Equation des tensions au rotor

DApprt la transformation de PARK et lquation (II.5) on trouve :

rdr

rq

rqrrq

rqr

rd

rdrrd

ro

rorro

wdt

dIRV

wdt

dIRV

dt

dIRV

.

(II.22)

Pour un systme quilibr composante homopolaire nulle. Si on considre un

rotor bobin au a cage on peut crire

0 rqrdrorcrbra VVVVVV . (II.23)

Equation des flux au stator

On applique la transformation de Park sur lquation (II.7) on obtient

rq

rd

ro

sq

sd

so

s

s

so

sq

sd

so

i

i

i

M

M

i

i

i

L

L

L

00

00

000

00

00

00

(II.24)

Donc les quations des flux au niveau du stator :

0 soro VV



rqsqssq

rddssd

sososo

MiiL

MiiL

iL

(II.25)

Avec : ssso mlL 2 est linductance cyclique statorique

sss mlL : est inductance cyclique statorique

srMM2

3 : Inductance mutuelle cyclique stator-rotor

Equation des Flux au rotor

La mme mthode pour trouve les quations de flux de rotor

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 00 0

ro ro sor

rd r rd sd

rrq rq sq

i iL

L i M i

ML i i

(II.26)

Donc les quations des flux au niveau du rotor :

ro r ro

rd r rd sd

rq r rq sq

L i

L i Mi

L i Mi

(II.27)

Avec : rrro mlL 2 est linductance cyclique statorique homopolaire

rrr mlL : est linductance cyclique statorique

II.3.4.1 Equations de la machine dans le repre diphas

Introduisant les quations des flux (II.25) et (II.27) dans les quations des tensions

prcdentes (II.21) et (II.22).

sdrrdrrsqrqrrqr

sqrrqrrsdrdrrdr

rdssdssrqsqssqssq

rqssqssrdsdssdssd

MiwiLwidt

dMi

dt

dLIR

MiwiLwidt

dMi

dt

dLIR

MiwiLwidt

dMi

dt

dLIRV

MiwiLwidt

dMi

dt

dLIRV

0

0

(II.28)



En substituant les flux dans le systme dquations par leurs expressions le systme

dquations des tensions de la machine peut tre crit sous la forme matricielle suivante [1].

rq

rd

sq

sd

r

r

s

s

rq

rd

sq

sd

rrrr

rrrr

ssss

ssss

rq

rd

sq

sd

i

i

i

i

dt

d

LM

LM

ML

ML

i

i

i

i

RLwMw

LwRMw

MwRLw

MwLwR

v

v

v

v

00

00

00

00

.0

0

0.

.0.

(II.29)

Equation dtats

IGVLIdt

d.. 1

(II.30)

rq

rd

sq

sd

v

v

v

v

V

rq

rd

sq

sd

i

i

i

i

I

r

r

s

s

LM

LM

ML

ML

L

00

00

00

00

][

rrrr

rrrr

ssss

ssss

RLwMw

LwRMw

MwRLw

MwLwR

G

.0

0

0.

.0.

srw

II.3.4.2 Equation de couple

id

LdiT

t

e ..2

1

(II.31)

La formule gnrale de couple :

rabc

sabc

rsr

srst

rabcsabcei

i

LM

ML

d

diiT .

2

1

(II.32)

00

dt

Ld

dt

Ld rs srM : est une matrice symtrique

srt

sr MM rabcsrt

sabce iMdt

diT ...

(II.33)

Appliquant la transformation de Park :

rqsdrdsqsre iiiiMT .2

3

(II.34)



Valeur de couple si la machine est bipolaire p=1 sachant que p est le nombre de paire de pole

si la machine possde plus de deux ples, le couple scrit de la forme suivante [15]:

p1 rqsdrdsqe iiiiMpT .. (II.35)

Autre expression du couple

Il est possible dobtenir dautre expression du couple on utilise les expressions des flux stator

et rotor et les expressions des courants stators et rotors

][ sdsqsqsde iipT (II.36)

][ rqrdrdrqe iipT (II.37)

sdrqsqrdr

e iiL

MpT .

(II.38)

sdrqsqrdsre iiiiMpT ... (II.39)

II.3.4.3 Choix du rfrentiel

Le systme des quations reprsente le modle de la machine asynchrone dans un repre

arbitraire. Le choix dun rfrentiel dpend essentiellement du but de la modalisation et de la

compatibilit avec les autres composantes des systmes tudi [16].

Rfrentiel li au stator

Ce rfrentiel est souvent ncessaire lors des variations importantes de la vitesse de rotation

[16,17].

dt

d

dt

d

dt

d rs 0

rq

rd

sq

sd

r

r

s

s

rq

rd

sq

sd

sr

rr

s

s

rq

rd

sq

sd

i

i

i

i

LM

LM

ML

ML

dt

d

i

i

i

i

RLM

LRM

R

R

v

v

v

v

00

00

00

00

.0.

.0

000

000

Rfrentiels li au rotor

Ce rfrentiel est utilis en cas dune vitesse de rotation constante et les problmes de

rgimes transitoires. IL est caractris par la relation suivante [17]:



dt

d

dt

d

dt

d sr 0

rq

rd

sq

sd

r

r

s

s

rq

rd

sq

sd

sr

rr

ssss

ssss

rq

rd

sq

sd

i

i

i

i

LM

LM

ML

ML

dt

d

i

i

i

i

RLM

LRM

MwRLw

MwLwR

v

v

v

v

00

00

00

00

0

.0

0..

.0.

Rfrentiel li au champ tournant

Cest le seul rfrentiel qui nintroduit pas de simplification dans les quations de la

machine. Il est trs utilis dans le domaine de la commande des machines asynchrones parce

que dans ce rfrentiel les composantes relatives sont constantes do la simplicit de la

commande [18,19].

ssr

ss g

dt

d

dt

d

Tel que : g est la vitesse de glissement.

rq

rd

sq

sd

r

r

s

s

rq

rd

sq

sd

srss

rsrs

ssss

ssss

rq

rd

sq

sd

i

i

i

i

LM

LM

ML

ML

dt

d

i

i

i

i

RLgMg

LgRMg

MwRLw

MwLwR

v

v

v

v

00

00

00

00

0

0

0..

.0.

II.3.4.4 Modlisation des condensateurs dexcitation

Daprs le schma monophas statorique vide dans le repre (d, q) reprsenter par la figure

(II.15) en peut crire les quations.

Figure II.5 Schmas mono phase dans le reper (d,q).



dsqsqs

qsdsds

VdttIC

V

VdttIC

V

)(1

)(1

(II.40)

II.3.4.5 Rsultat de simulation de model linaire

Figure II.6 Reprsentation des courants et tensions statoriques.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

Temps(s)

Le

s c

ou

ran

ts r

otr

iqu

es (

A)

.

Figure II.7 Reprsentation des courants rotoriques.

Nous remarquons que la tension et le courant statorique et rotorique divergent, cela cause

des hypothses faites au dbut de la modalisation savoir la linarit du circuit magntique

qui nest pas vraie dans la pratique et qui est indispensable au fonctionnement de la machine

asynchrone en mode gnrateur asynchrone.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

Temps(s)

Co

ura

nt

sta

tori

qu

e (

A)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

5

Temps(s)T

en

sio

n s

tato

riq

ue (

V)



II.4. CONCLUSION

Dans ce chapitre nous avons vus comment appliquer la transformation de Park qui permet le

passage dun repre triphas un repre diphas. Grce cette transformation on a obtenu un

modle mathmatique ou un systme dquations de la machine asynchrone linaire qui

savr inutilisable.

Dans ce qui suit, nous allons tudier la gnratrice asynchrone dans le rgime satur dans le

fonctionnement autonome et les problmes lors de son couplage au rseau lectrique.

Documents

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