Chapitre IV : Treillis isostatiques

Résistance des matériaux - Sollicitations simples - Centre Universitaire N B - El Bayadh 30

Chapitre IV :

Treillis isostatiques

Chapitre IV : Treillis isostatiques


IV.1. Définition

Les systèmes treillis, réticulés ou triangulées sont des systèmes de barres droites,

rigides et de masse négligeables articulées entre elles à leurs extrémités de façon à former

une structure portante stable, plane ou spatial. On appelle barres, les pièces du système et

nœuds leurs points d'assemblage.

IV.1.1. Nœuds

Le point de rencontre de deux ou plusieurs barres s’appelle un nœud (Fig.IV.1). Les

nœuds peuvent être fait de joint solide (assemblage par rivetage, soudage, ...) ou des

articulations (assemblage par rotule, axe, ...).

Fig.IV.1. Détail d’un nœud.

IV.1.2. Barres ou membrures

Les pièces d’une structure triangulée sont des barres. Elles sont faites d’acier, de bois ou autre.

On associe généralement les barres ou membrures des treillis à des barres articulées (Fig.IV.2).

Fig.IV.2. Terminologie d’un treillis.

Nœud

Barre

Charge Appui



IV.1.3. Eléments du système réticulé

Un système réticulé est composé des éléments suivants (Fig.IV.3):

Fig.IV.3. Eléments du système réticulé.

avec :

Si : barres supérieures ;

Ii : barres inférieures ;

Vi : barres verticales ;

Di : barres diagonales.

IV.2. Hypothèses

Noms admettons que :

Les systèmes sont plans.

Les liaisons des barres sont des articulations parfaites.

Les forces extérieures sont contenues dans le même plan, et sont appliquées aux

systèmes uniquement en leurs nœuds.

Les poids propres des barres sont négligeables devant les forces appliquées aux

nœuds.

Les barres du système treillis ne sont soumises qu’à des efforts normaux

(compression ou traction).



IV.3. Systèmes isostatiques

Un treillis ou système réticulé est extérieurement isostatique (Fig.IV.4) si les actions

d’appui peuvent être déterminées à partir des trois équations d’équilibre de la statique ;

dans le cas contraire, le treillis est extérieurement hyperstatique.

3 équations = 3 inconnues.

Fig.IV.4. Système isostatique.

Trois équations d’équilibre : ∑Fx = 0 ; ∑Fy = 0 ; ∑M = 0.

Trois inconnues d’appuis : RAx ; RAy ; RB.

Pour qu’un système soit isostatique extérieurement, au niveau des appuis il faut que le

nombre d’inconnues soit égal au nombre d’équations

Nbre inconnus = Nbre équations

La condition nécessaire pour que le treillis soit intérieurement isostatique est :

2n − b = 3

où :

b : nombre de membrures (barres)

n : nombre de nœuds.

Si 2n − b = 3 : Le système est intérieurement isostatique ;

Si 2n − b > 3 : Le système est instable ;

Si 2n − b < 3 : Le système est intérieurement hyperstatique.



Dans ce cas le degré d’hyperstatique du treillis h est donné par : h = b + l – 2n

Où l c’est le nombre de réactions d’appuis. Si h = 0 le système est isostatique.

IV.4. Calcul des efforts dans les barres

Plusieurs méthodes permettent de calculer les efforts dans les membranes (les barres)

d’un treillis, parmi ces méthodes : la méthode analytique (Méthode des nœuds et méthode

des sections).

IV.4.1 Méthode analytique (Méthode des nœuds)

Mode opératoire :

1- On numérote les nœuds et les barres.

2- Déterminer les réactions d’appuis.

3- Choisir un nœud ayant seulement deux (02) efforts inconnus.

4- Ecrire les deux équations exprimant son équilibre, ΣFx = 0 ; ΣFy = 0, et on détermine

les valeurs des deux efforts inconnus.

5- Choisir un nouveau nœud toujours ayant deux (02) efforts inconnus, et refaire

l’étape (4).

IV.4.2 Méthode analytique (Méthode des sections -de Ritter-)

Il consiste à couper le système par une section quelconque qui ne coupe que trois (03)

barres et on écrit la résultante des forces situées à gauche (Forces appliquer + Réactions

d’appuis) font équilibre aux 03 forces élastiques produits dans les barres sectionnées.

Mode opératoire :

1- On numérote les nœuds.

2- Déterminer les réactions d’appuis.

3- Choisir une section qui coupe les trois (03) barres dont on veut calculer les efforts

inconnus.

4- Ecrire les trois (03) équations exprimant son équilibre, ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0,

et on détermine les valeurs des trois efforts inconnus.



IV.5. Application

Déterminer par la méthode des nœuds et la

méthode des sections les efforts dans les

barres CD, CA et BA et leurs natures de

sollicitation du système en treillis de la figure

ci-contre.

Solution :

Calcul des angles α et β :

==

==

200,680,1

5,2

036,595,1

5,2

Tg

Tg

1- Méthode des nœuds :

Nœud E :

KNN

PNNPF

EB

EBEBY

77,10

sinsin.0 2

2/

=

=+−=

KNN

NNNNF

EC

EBECEBECX

0,4

cos.cos.0/

−=

−=−−=

Nœuds B :

TractionKNN

NNNNF

BA

BEBABEBAX

0,4

cos.cos.0/

=

=+−=

KNN

NNNNF

BA

BEBCBEBCY

0,10

sin.sin.0/

−=

=+−=

Nœud C :

TractionKNN

NPNNNPF

CA

CB

CACACBY

986,34

sinsin.0 1

1/

=

−=++−=

nCompressio 0,22

cos.cos.0/

KNN

NNNNNNF

CD

CECACDCECACDX

−=

−=+−=

P1 = 20 KN

1,5 m

2,5 m

A B

C E

D

α β

P2 = 10 KN

1,0 m



2- Méthode des sections :

TractionKNN

PPN

NPPF

CA

CA

CAY

986,34

sin

0sin0

21

21/

=

+=

=+−−=

nCompressioKNN

PPN

PPNM

CD

CA

CDA

0,22

5,2

5,2.5,1.

05,2.5,1.5,2.0

21

21/

−=

+−=

=−−−=

TractionKNN

NNN

NNNF

BA

CACDBA

CACDBAX

0,4

cos

0cos0/

=

−−=

=−−−=

Chapitre II Portiques Isostatiques

37

III.1) DEFINITION

On appelle portique ou cadre toute système plans ou spatiaux rigides constitues par un

nombre d’élément en général rectiligne appelés travées dont les parties horizontales portent le

nom poutres ou traverses et les parties transversales transmettant les charges au sol sont

appelées poteaux ou montant.

Un portique admet donc trois types de chargement :

• Charge de traction, compression (appliquer le plus souvent aux poteaux)

• Charge de flexion (appliquer le plus souvent à la poutre)

• Moment de flexion

III.2) METHODE DE CALCUL DES EFFORTS ET DU MOMENT FLECHISSANT

On appliquant la méthode des sections le calcul des efforts normal, effort tranchant et le

moment fléchissant peut être déterminé par deux méthodes.

III.2.1) Méthode générale (section)

Cette méthode consiste à prendre l’ensemble du portique et faite des sections suivantes x et y

telle que :

= + +

Exercice 1 :

A l’aide de la méthode des sections. Tracer les diagrammes des efforts normaux (N), des

efforts tranchants (Q) et des moments fléchissant (Mf).

3 2

l/2

4 1

l

l/2

y

x

P

3 2

1 4

3 2

4 1

y

x

P P


38

Solution

Cette méthode consiste à prendre l’ensemble du portique et faire des sections suivant x et y

telle que :

Calcul des réactions :

1 2

1 2

0 0

0 0

0 02

x x

y y y

y

F R

F R R

lM R l P

= → = = → + = = → − =

∑∑

∑

Donc :

2 2y

PR = et 1 2y

PR =

Section 1 :0 y l≤ ≤

1

1

1 1

02

0 0

0 0

y

x

s

PF N

F Q

M M

= → = − = → = = → =

∑

∑∑

Section 2 : 0 / 2x l≤ ≤

2

2

22 2 1

2

0 0

02

0 00

/ 2 / 4

x

y

s y

F N

PF Q

x MM M R x

x l M Pl

= → =

= → = = → =

= → = ⇒ = → =

∑

∑

∑

l

l/2

Rx

l/2

Ry1 Ry2

S1

S2S3

S4

P

Rx Ry1

S1

Q1

N1 M1

l

Rx Ry1

S2

N2 M2

Q2

x


39

Section 3 : / 2l x l≤ ≤

( )

3

3

33 3 1

3

0 0

02

/ 2 / 40 / 2

0

x

y

s y

F N

PF Q

x l M PlM M R x P x l

x l M

= → =

= → = − = → =

= → = − − ⇒ = → =

∑

∑

∑

Section 4 : 0 y l≤ ≤

4

4

4 4

0 0

02

0 0

x

y

s

F Q

PF N

M M

= → = = → = − = → =

∑

∑

∑

Diagrammes de sollicitation

III.2.2) méthode des travées

Cette méthode consiste à isolé chaque travée de telle façon qu’il reste toujours en équilibre,

les diagrammes de l’effort normal, tranchant et moment fléchissant et la superposition de

l’ensemble de chaque travée.

Exercice 2 :

A l’aide de la méthode des travées. Tracer les diagrammes des efforts normaux (N), des


l

Rx Ry1

S3N3

M3

Q3

x

P

S4

Ry2

N4

M4 Q4

3 2

l

4 1

h y

x

q

P/2

-P/2

N Q M f

Pl/4

-P/2 -P/2


40

Solution


1 2

2

1 2

0 0

0

0 02

x x

y y y

y

F R

F R R ql

lM R l q

= → = = → + = = → − =

∑∑

∑

Donc :

2 2y

qlR = et 1 2y

qlR =

Le montant [1.2]

( )

1

1

11

02

0 0

0 0

y

x

qlF N

F Q

M M

= → = − = → = = → =

∑

∑∑

Traverse [2.3]

( )

2

2 2

2

2

2221

2

020 0

2 2

2

0 0

0 00

02 2

y

x

qlx Q

ql qlF qx Q Q qx

qlx l Q

F N

x Mql qM M x x

x l M

= → = = → − − = → = − ⇒ = → = −

= → = = → = = → = − ⇒ = → =

∑

∑

∑

Pour calculer la valeur maximale du moment fléchissant on calcule :

2 0 02 2 2

dM ql q lx x

dx= → − = ⇒ =

Donc : ( )2

max / 28

lM l q=

Ry2 Ry1

Rx

3 2

l

4 1

h

q

Rx Ry1

Q1

N1 M1

2

q ql/2

3

Q2

M2

N2


41

Montant [3.4]

3

3

3

0 0

02

0 0

x

y

s

F Q

qlF N

M M

= → = = → = − = → =

∑

∑

∑


Exercice 3 :

On considère l’ossature [1.2-3.4] soumise à deux charges concentrées P1 sur la traverse [2.3]

et P2 sur le montant [1.2]. Avec P1>>P2

A l’aide de la méthode des sections. Tracer les diagrammes des efforts normaux (N), des


Solution

Q N

-ql/2 -ql/2

M f

ql2/8 ql/2

-ql/2

Ry2

N3

M3 Q3

3 2

4 1

h

l

y

x

P1

b

a

P2

3 2

4 1

h

l

P1

b

a

P2

Ry2 Ry1

Rx


42


( )( )

( )

2

1 214

1 221

0

0

0

x x

y

y

F R P

P l a bPM R

laP bP

M Rl

= → =

− − = → = −

+ = → =

∑

∑

∑

Montant [1.2] :

� 0 y b≤ ≤

( )1 21

1

1

0

0

P l a bPN

lQ

M

− −= −

= =

� b y h≤ ≤

( )

( )

1 22

2 2

2 2

P l a bPN

lQ P

M P x b

− −= −

= − = − −

Montant [2.3] :

� 0 x a≤ ≤

( )

( )

3 2

1 23

13 2 21

N P

P l a bPQ

lP x

M x l a bP hPl l

= −

− − = = − + − −

� a x l≤ ≤

( ) ( )

4 2

1 24

14 2 2 11

N P

Pa bPQ

lP x

M x l a bP hP P x al l

= −

+ = − − = − + − − − −


43

Montant [3.4] :

( )

1 25

5 2

5 2

aP bPN

lQ P

M P h x

+ = −

= = − −


N

( )1 2P l a bP

l

− −− 1 2aP bP

l

+−

-P2

-P2

Q

1 2Pa bP

l

+−

( )1 2P l a bP

l

− −P2

M f

( )2P x b− −

( )1

2 21

Pal a

la

bP hPl

− −

+ − −

2P h−

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Faculté des sciences

Département de

technologie

3 LGC / 6ème Semester

Module : Calcul des

structures

TD N°02 : Systèmes en treillis isostatiques

Exercice n°01 :

Déterminer par la méthode analytique les

efforts dans les barres du système en treillis de la

figure ci-contre.

Exercice n°02 :

Déterminer les efforts des barres CE, CD, et FE du

treillis d'une toiture en charpente métallique

schématisée sur la figure suivante.

Exercice n°04 :

Déterminer les efforts dans les barres des systèmes (a), (b) et (c) de la Fig. E12.5 par la méthode

analytique et graphique (Cremona).

AB=100 KN ; AD=141.4 kN ; BC=141.4 kN ; AE=0 ; BD=-100 kN ; DE=-200 kN ; CD=-100 kN.

FE=7.3 ; CE=13.8 ; DC=-20.4.

(a) AC = 600 ; BC = -4160 ; CD = -1835 ; DE=2240 ; EC=-2240 ; AE=3165.

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Département de

technologie

3 LGC / 6ème Semester

Module : Calcul des

structures

TD N°02 : Portiques isostatiques

Exercice n°01 :

A l’aide de la méthode des sections. Tracer les

diagrammes des efforts normaux (N), des efforts

tranchants (T) et des moments fléchissant (Mf).

Exercice n°02 :

A l’aide de la méthode des travées. Tracer les


tranchants (T) et des moments fléchissant (Mf).

Exercice n°03 :

On considère l’ossature [1.2-3.4] soumise à

deux charges concentrées P1 sur la traverse [2.3]

et P2 sur le montant [1.2]. Avec P1>>P2.

A l’aide de la méthode des sections. Tracer les


tranchants (Q) et des moments fléchissant (Mf).

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Chapitre IV : Treillis isostatiques