Cours 7- Analyse de Treillis

8/15/2019 Cours 7- Analyse de Treillis

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17/févr.2015

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DST-202

Intégration science ettechnologieÉcole de technologie supérieureNathalie Dabin

Hiver 2014 DST-202 Intégration science et technologie 1

Cours 6Analyses de treillis

Plan

Définition des Treillis

Modélisation d’un treillis

Méthode des nœuds

Exemples




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Définition d'un treillis Un treillis est en ensemblerigide de poutrelles droites(les membrures ) assembléesà leurs extrémités par desrotules (les joints ou nœuds ).

Un treillis est situé dans unseul plan appelé le plan decharpente.

Il forme généralement unechaîne simple (plane) detriangles juxtaposés.


Une poutrelle droite ou membrure est unsolide dont la longueur est prépondérantedevant les autres dimensions transversales.

Le matériau constituant la poutrelle est :◦ Continu◦ Homogène◦ Isotrope

Définition d'un treillisRappel : définition d’une membrure

Hiver 2014 Dst-202 Intégration science et technologie 4



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Pourquoi en triangleTreillis rigide :NON OUI

Avantages des treillis Avantage du treillis:

◦ Léger, résistant et rigide,◦ permet d'utiliser des éléments normalisés

(barres),◦

peut-être réassemblé,◦ Recyclage facile,◦ économique.

Le treillis est un des plus importants types deconstruction métallique utilisée en génie :◦ Ponts, Édifices,◦ Aviation,◦ Construction navale, etc.




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Désavantages des treillis Les membrures des treillis supportent trèsmal les charges latérales en raison de leursfinesses :

◦ Les charges doivent donc être appliquées auxnœuds.

◦ Si une charge doit être appliquée en dehors d’unnœud, il est nécessaire de prévoir des élémentsstructuraux pour renvoyer les charges sur les

nœuds : Exemple un tablier de pont


Exemple de treillis


http://structurae.info/structures/stype/index.cfm?id=4029



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Différentes formes de treillis


Fermes de toiture

Treillis de ponts

Treillis divers

Plan

Définition des Treillis


Méthode des nœuds

Exemples




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Modélisation d'un treillisHypothèses

Le treillis est dans un plan : problème 2D.

Les nœuds sont modélisés par des rotulesparfaites où s’applique une force interne axiale(dans la direction de la membrure) en traction ouen compression.

Les forces extérieures sont appliquées sur lesnœuds et modélisées par des appuis plans (2D).Le poids des barres est alors remplacé par deuxforces appliquées à leurs nœuds d'extrémité.

Le treillis est stable et isostatique (pour noscalculs).



Modélisation d'un treillis :Pourquoi les nœuds sont modélisés par des rotulesparfaites ?

Effort axial seulement ! Effort axial + effort en flexion!



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Donc les nœuds sont modélisés comme des rotules parfaites.

Cependant, dans la vraie vie, ce ne sont pas des articulationsqui relient les membrures, mais souvent des liaisons rigidescomme de la soudure ou des boulons :

◦ Les membrures sont donc bloquées en rotations, il y a descontraintes de flexion qui existent, mais sont normalementnégligeables devant les autres efforts.

◦ Ces efforts sont nommés contraintes parasitaires de flexion.

◦ Pour la plupart des calculs, l’hypothèse de la rotule parfaite estvalable et donne des résultats très précis pour une approchegénérale.


Modélisation d'un treillis :Pourquoi les nœuds sont modélisés par des rotulesparfaites ?

Modélisation d'un treillis :Pourquoi une membrure est en traction/compression ?

Exemple d’une membrure en équilibre◦ On modélise les efforts des poutres

voisines par 2 réactions


Il n’y a donc qu’une réaction axiale (suivant la direction dela membrure) qui travaille en compression ou traction.

0

↓

é



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Modélisation d'un treillis :Forces extérieures = appuis plans :


Appui ou

liaisonRéaction Inconnues exemple

Appui simple

Articulation

ou pivot

Encastrement

Modélisation d'un treillis :Stabilité : isostatique et hyperstatique


Hypostatique isostatique hyperstatique

Treillis

Treillis isostatique :

Économique Léger Facile à calculer Si une membrure casse,

la structure devientinstable

Treillis hyperstatique :

Très sécuritaire Plus difficile à calculer Plus cher et lourd



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Calcul de stabilité isostatique ( 0)(formule pour un appui simple + pivot ou 2 appuis simples)

◦ : nombre de barres◦ ! : nombre de nœuds



Augmente la base stable etisostatique en ajoutant :2 barres+ un nœud

" # $%& ' () * + ,-. / * + 12.

3 * + 1245



Ex 1

Ex 2

Ex 3



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Plan Définition des Treillis


Méthode des nœuds

Exemples


Méthode des nœudsObjectifs : Dimensionner les membrures du treillis en évaluant

l’intensité de la force exercée sur chaque membrure dutreillis :

Grandeur de la force.

Direction : déterminer s’il s’agit de traction ou compression.

Principe :


Le treillis esten équilibre.

Chaquenœud est

enéquilibre.

Chaquemembrure

est enéquilibre



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Méthode des nœudsMéthode

1. Vérifie que le treillis est isostatique.2. Calculs les forces extérieures

(réactions aux appuis)3. Calcul des efforts normaux dans les

membrures.


Méthode des nœudsCalcul des réactions aux appuis

Statique extérieure :

1. DCL : diagramme de TOUTES lesforces extérieures exercées sur letreillis.

2. Écrire les conditions d'équilibre detranslation :

6 7 89 0 + 67 0 :; 6 7 0

3. Écrire les conditions d'équilibre derotation :

6$7 89) 04. On résout pour trouver les forces

extérieures exercées sur le treillis.




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Statique intérieure du treillis :

a) On décompose le treillis suivant ces membrures.

b) Chaque membrure est alors soumise à deux forces,une à chaque extrémité, qui ont : même grandeur (même intensité) même ligne d'action sens opposés

Méthode des nœudsCalcul des efforts normaux



c) Comme le treillis est à l'équilibre, chaque nœud doitaussi se trouver parfaitement à l'équilibre. On écrit les 2C.É. aux nœuds, jusqu’à connaitre toutes les forces.


Vérification



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d) Une fois les forces des barres sur les nœuds connues,on applique le principe d’action/réaction pour connaitre lesens des efforts sur les barres.


Traction

Méthode des nœudsCalcul des efforts normaux : conseils

Dessiner une vue éclatée du treillis avec lesforces sur chaque membrure et sur les nœuds.

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A

C

B1

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Commencer par le nœud ayant juste une seuleinconnue, s’il y en a un, puis passer auxnœuds suivants ayant maximum 2 inconnues.

Vérifiez s’il y a des symétries dans lagéométrie et les efforts.

Le dernier nœud permet de vérifier vos calculs.Vérifiez-le toujours !


Méthode des nœudsCalcul des efforts normaux : conseils

Pour choisir le sens des forces : rappelez-vousque le nœud est à l’équilibre, le polygone desforces sur ce nœud doit donc être fermé.

Si vous ne savez pas le sens des forcesinconnues, faites une hypothèse :◦ Si le résultat est positif, votre hypothèse est bonne.◦ Si le résultat est négatif, le sens de la force doit être

inversé en gardant la grandeur.


?



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ExempleExercice 1 : En utilisant la méthode des nœuds, déterminez laforce interne dans les éléments du treillis illustré.Indiquez, pour chaque membre, s’il est en tensionou en compression.




Méthode des nœuds

Méthode graphique

Exemples




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Méthode graphiqueCalcul des efforts normaux


Principes :◦ La direction des vecteurs forces est donnée par la direction des

poutres.◦ Chaque nœud est en équilibre donc la somme des efforts sur le

nœud est nulle, donc la somme des vecteurs forces est nulle.

Méthode :◦ On se définit deux échelles :

Newton versus cm Mètre versus cm

◦ On trace le treillis en respectant les angles et les longueurs.◦ On trace les forces extérieures à chaque nœud en respectant

l’échelle.◦ On complète le polygone de forces grâce aux directions des poutrespour chaque nœud.

◦ On mesure la grandeur de chaque force et on la convertit grâce àl’échelle.



Méthode des nœuds

Méthode graphique

Exemples




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Consignes Entre le 21 et le 28 février : travail en équipe

Revoir les notes de coursRefaire les exercices.Faire le devoir sur les treillis

Prendre un portable par équipe pour le cours du

27 février. Si vous n’avez pas de portable, meprévenir maintenant pour que j’en apporte unpour vous. Merci.


Merci pour votre attention.




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ExempleExercice 4 :

En utilisant la méthodedes nœuds, déterminezla force interne dans leséléments du treillisillustré. Indiquez, pourchaque membre, s’il esten tension ou encompression.


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