Chapitre La forme de la Terre - scommercon.free.fr

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LE PROGRAMME

3. La Terre, un astre singulier

3.1 – La forme de la Terre

L’environnement « plat » à notre échelle de perception cache la forme réelle de la Terre, dont la compréhension résulte d’une longue réflexion. Au-delà de la dimension historique et culturelle, la mise en œuvre de différentes méthodes de calcul de longueurs à la surface de la Terre permet de développer des compétences mathématiques de calcul et de représentation et invite à exercer un esprit critique sur les différents résultats obtenus, les approximations réalisées et les limites d’un modèle.

Savoirs Savoir-faire

Dès l’Antiquité, des observations de différentes natures ont permis de conclure que la Terre était sphérique, alors même que, localement, elle apparaît plane dans la plupart des expériences quotidiennes.

Historiquement, des méthodes géométriques ont permis de calculer la longueur d’un méridien (environ 40 000 km) à partir de mesures d’angles ou de longueurs : méthodes d’Ératosthène et de triangulation plane.

Calculer la longueur du méridien terrestre par la méthode d’Ératosthène.

Calculer une longueur par la méthode de triangulation utilisée par Delambre et Méchain.

Calculer le rayon de la Terre à partir de la longueur du méridien.

On repère un point à la surface de la Terre par deux coordonnées angulaires, sa latitude et sa longitude.

Le plus court chemin entre deux points à la surface de la Terre est l’arc du grand cercle qui les relie.

Calculer la longueur d’un arc de méridien et d’un arc de parallèle.

Comparer, à l’aide d’un système d’information géographique, les longueurs de différents chemins reliant deux points à la surface de la Terre.

Prérequis et limites

La connaissance de la loi des sinus ( = =a

sinAb

sinBc

sinC) n’est pas exigible. Elle est fournie pour mettre en

œuvre le principe de triangulation plane (calcul d’une longueur à partir de la mesure d’une autre longueur et de deux angles).

On admet que la longueur d’un arc de cercle est proportionnelle à l’angle qui l’intercepte.

Le repérage sur une sphère, déjà connu des élèves, est remobilisé.

Le calcul de la longueur entre deux points le long d’un grand cercle n’est pas exigible.

Manuel p. 148

Chapitre

PARTIE 3

La forme de la Terre

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80 PARTIE 3 • LA TERRE, UN ASTRE SINGULIER

JE RETROUVE CE QUE JE SAIS DÉJÀ Ce chapitre utilise des notions mathématiques et également géographiques étudiées au collège et en Seconde.

SITUATION 1La situation 1 permet de mobiliser des connais-sances sur le globe terrestre : la notion d’hémis-phère Nord et d’hémisphère Sud, la notion de parallèle et de méridien, le méridien de Greenwich et la compréhension des coordonnées géogra-phiques d’un point du globe.

››Exemple de réponse attenduea. Les villes situées dans l’hémisphère Nord sont New York, Castellon et Kaduqli, puisqu’elles sont toutes les trois situées au-dessus de l’équateur.

b. Le méridien de Greenwich est l’arc reliant les deux pôles qui coupe l’équateur au point indiqué 0° sur le globe dessiné. Les villes situées à l’ouest de ce méridien sont celles situées à gauche du méridien : ce sont New York et Rio de Janeiro.

c. Le parallèle passant par Castellon est l’arc de cercle « parallèle » à l’équateur passant par Cas-tellon : on observe que cet arc passe par New York.

d. La ville ayant pour coordonnées géogra-phiques 20° Est – 30° Sud est située à l’intersec-tion du méridien noté 20° (sur l’équateur à droite du méridien de Greenwich) et du parallèle noté 30° en dessous de l’équateur : cette ville est Le Cap.

80°

80°

80° 60° 40° 20° 0° 20° 40°0°

10°

10°

20°

20°

30°

30°

40°

40°

50°

50°

60°

60°

70°

70°

New York

Rio de Janeiro

Le Cap

Castellon

Kaduqli

méridien deGreenwich

équateur

››En classe de 1re enseignement scientifiqueCes notions seront nécessaires pour aborder l’ac-tivité 4 du chapitre, et particulièrement la notion de coordonnées géographiques à la surface du globe.

SITUATION 2La situation 2 est un travail sur les angles et les côtés d’un triangle : on utilise les notions de base de la trigonométrie vues au collège.

››Exemple de réponse attendue

A B

C

Dans le triangle rectangle ABC, on peut appliquer une formule de trigonométrie.

On a :

cos BAC = ABAC

d’où cos (17°) = 6AC

On en déduit : AC = °

6cos 17

.

On peut lire dans la dernière colonne de la table donnée :cos (17°) ≈ 0,956.On en déduit que AC vaut environ 6,28, au cen-tième près.

››En classe de 1re enseignement scientifiqueCes calculs trigonométriques dans le triangle rectangle interviendront dans tous les calculs que l’on réalisera dans l’activité 4. De plus, ils pré-parent les calculs trigonométriques de l’activité 3, pour lesquels une nouvelle formule (la loi des sinus) est donnée ; il faudra cependant savoir uti-liser la touche sin de la calculatrice.

SITUATION 3La situation 3 fait le point à l’aide d’un énoncé de géométrie dans un rectangle sur quelques pro-priétés géométriques qui vont être utilisées dans ce chapitre : les angles alternes-internes, la réduc-tion des figures géométriques et le calcul d’aires.

››Exemple de réponse attenduea. Puisque les droites (AB) et (EF) sont parallèles, les angles BAF et AFE sont alternes-internes : ils sont donc égaux. La figure donne la valeur de l’angle BAF :BAF = 30°.

On en déduit : = °AFE 30 .Puisque ABCD est un rectangle, (AB) est per-pendiculaire à (AD). On sait que (EF) et (AB) sont parallèles, donc (EF) est perpendiculaire à (AE) : le triangle AEF est donc rectangle en E.

❚›p. 148

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81CHAPITRE 1 • lA foRME dE lA TERRE

Dans ce triangle rectangle, on applique une for-mule de trigonométrie :

tan AFE = AEEF

soit tan (30°) = 2,0EF

.

On en déduit :

EF = °

2,0tan 30

,

donc EF vaut environ 3,5 m.

L’aire du triangle AEF est égale à :12

AE × EF = 12

× 2,0 × EF soit 3,5 m2 à 0,1 près.

b. Le coefficient de réduction est égal au rapport AEAD

, soit 23

.

Puisque le triangle AEF est une réduction du

triangle ADC de rapport 23

, l’aire du triangle AEF

est égale à l’aire du triangle ADC multipliée par ⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟23

2

, c’est-à-dire 49

.

L’aire du triangle ADC est égale à l’aire de ABC, car ces triangles ont les mêmes dimensions, et l’aire de ABC est environ 7,8 m2 d’après la figure.

Donc l’aire de AEF est environ égale à :49

× 7,8 c’est-à-dire 3,5 m2 à 0,1 près.

››En classe de 1re enseignement scientifiqueLes notions de géométrie qui sont réactivées dans cette situation seront utilisées dans l’activité 2 en ce qui concerne les angles alternes-internes, et dans l’activité 4 en ce qui concerne les calculs de longueurs à l’aide de la notion de réduction entre figures planes.

ACTIVITÉS

Dans ce chapitre, on s’intéresse à la forme de la Terre et aussi aux différentes méthodes de calcul de longueurs à la surface de la Terre. Les diffé-rentes activités mettent en évidence l’évolution des connaissances sur notre planète au cours des siècles, depuis l’Antiquité jusqu’à nos jours.

p. 150 ❚

La rotondité de la TerreCette activité a pour objectif de traiter la partie suivante du programme :

Savoir : « Dès l’Antiquité, des observations de différentes natures ont permis de conclure que la Terre était sphérique, alors même que, loca-lement, elle apparaît plane dans la plupart des expériences quotidiennes. »

La vidéo « La forme de la Terre, de Thalès à Aris-tote » présente l’évolution des conceptions de la forme de la Terre, depuis Thalès à Aristote, en passant par Pythagore et Parménide. Elle expose en particulier l’argument des éclipses de Lune, utilisé déjà par Aristote.

Le document 1 présente quelques-unes des conceptions qui ont existé sur la forme de la Terre au cours de l’Antiquité.

Le document 2 décrit les premières observations qui, au cours des siècles, ont amené à penser que la Terre n’était pas plate : les navigateurs avec la ligne d’horizon, les ombres en différents lieux de la Terre.

C’est Aristote qui, le premier, affirme que la Terre est ronde en donnant des arguments scienti-fiques : c’est l’objet du document 3. En particu-lier, il met en évidence l’importance des éclipses de Lune pour appuyer son argumentation : cette « démonstration » est expliquée dans le docu-ment 4, et renforcée par une animation.

››Exemples de correction des pistes de travail1. Une des plus anciennes conceptions des Hommes quant à la forme de la Terre est celle d’un disque plat : celui-ci est parfois décrit comme flottant sur un océan infini, parfois baignant dans un océan fini.

2. Plusieurs éléments ont permis aux savants de l’Antiquité de faire évoluer leurs conceptions sur la forme de la Terre : les observations des navi-gateurs sur les navires qui « s’évanouissaient » à l’horizon, la longueur des ombres dues à un bâton en deux lieux différents, l’ombre projetée par la Terre sur la Lune lors d’une éclipse de Lune et la position des astres dans le Ciel lorsqu’on se déplace à la surface du globe.

3. C’est Aristote, au ive siècle avant J.-C., qui, le premier, avance des arguments scientifiques aboutissant à des conclusions correctes sur la forme de la Terre.

4. Il n’y a plus débat de nos jours sur la forme de la Terre. La Terre est bien sphérique, en première approximation. Elle ne l’est pas tout à fait cepen-dant, car elle est légèrement aplatie aux pôles. Elle a la forme d’un ellipsoïde, très proche d’une sphère.

ACTIVITÉ 1

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La mesure du méridien terrestre par ÉratosthèneCette activité a pour objectif de traiter la partie suivante du programme :Savoir : « Historiquement, des méthodes géo-métriques ont permis de calculer la longueur d’un méridien (environ 40 000 km) à partir de mesures d’angles ou de longueurs : méthode d’Ératosthène. »Savoir-faire : « Calculer la longueur du méridien terrestre par la méthode d’Ératosthène. »

La vidéo 3 « Le calcul d’Ératosthène » présente comment s’est déroulée l’expérience d’Éra-tosthène et détaille le calcul fait, ce qui permet à l’élève de vérifier son calcul.

Le document 1 situe le contexte historique et le problème posé : comment Ératosthène a calculé la longueur du méridien terrestre et trouvé une valeur très proche de celle que l’on connaît, alors qu’environ 200 ans auparavant, Anaxagore a cal-culé la distance entre la Terre et le Soleil et trouvé une valeur aberrante.

Le document 2 permet de s’apercevoir que les hypothèses des deux savants sur la forme de la Terre et sur le Soleil étaient différentes, et permet d’en tirer les conséquences sur les calculs faits par les deux hommes.

Les documents 3 et 4 permettent de comprendre le calcul d’Ératosthène.

D O C

Pour mener une investigation

›◗ Exemple de correctionLe document 3 explique comment construire la figure.Texte : « Si nous nous représentons des droites passant par la Terre à partir de chacun des gno-mons, elles se rejoindront au centre de la Terre. »

ombre

S

K

F

A

gnomon

gnomoncentrede laTerre

5 000stades

Texte : « Lorsque donc le cadran solaire de Syène est à la verticale sous le soleil, si nous imaginons une ligne droite venant du soleil jusqu’au sommet du gnomon du cadran, il en résultera une ligne droite venant du Soleil jusqu’au centre de la Terre. Si nous imaginons une autre ligne droite à partir de l’extrémité de l’ombre du gnomon et reliant le sommet du gnomon du cadran d’Alexandrie au Soleil, cette dernière ligne et la ligne qui précède seront parallèles, reliant différents points du Soleil à différents points de la Terre.

ombre

S

K

K

Agnomon


5 000stades

O

Texte : « Sur ces droites donc, qui sont paral-lèles, tombe une droite qui va du centre de la terre jusqu’au gnomon d’Alexandrie, de manière à créer des angles alternes égaux ; l’un d’eux se situe au centre de la Terre à l’intersection des lignes droites qui ont été tirées des cadrans solaires jusqu’au centre de la Terre, l’autre se trouve à l’intersection du sommet du gnomon d’Alexandrie et de la droite tirée de l’extrémité de son ombre jusqu’au Soleil, à son point de contact avec le gnomon. »

ombre

S

K

K

O

Agnomon


5 000stades

7,2°

››Exemple de correction des pistes de travail1. Le document 1 décrit l’observation : le jour du solstice d’été, à midi, un gnomon planté à Syène n’a pas d’ombre. Le même jour et à la même heure, un gnomon planté à Alexandrie, 5 000 stades égyptiens (environ 800 km) plus au nord, fait une ombre, et l’angle entre les rayons du Soleil et la verticale est de 1/50 d’angle plein (7,2°).

ACTIVITÉ 2

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Le document 2 précise quelles étaient les connais-sances d’Anaxagore et celles d’Ératosthène sur la forme de la Terre et sur le Soleil : Anaxagore pensait que la Terre était plate ; Ératosthène esti-mait que la Terre était sphérique et que le Soleil était très loin. Sachant que le résultat d’Anaxa-gore est aberrant et que celui d’Ératosthène est très proche de la réalité, il s’agit ici de bien obser-ver les différences entre les deux schémas de la figure a. pour expliquer l’erreur d’Anaxagore.Anaxagore pensait que la Terre était plate. En représentant les deux gnomons, l’ombre à Alexandrie, et les rayons du Soleil, il en arrive à situer le Soleil à l’intersection des deux rayons. Il a alors calculé la distance entre la Terre et le Soleil.Ératosthène, quant à lui, savait que la Terre est sphérique et que le Soleil est très loin. La figure b permet de comprendre pourquoi les rayons du Soleil sont alors parallèles sur la figure a.

2. Le document 4 explique comment calculer la circonférence de la Terre.En utilisant la propriété citée et avec les notations utilisées dans le document :

=LM800

7,2 360 donc LM = ×360 800

7,2soit LM = 40 000 km.

Le résultat est très proche de la circonférence de la Terre connue aujourd’hui.

p. 154 ❚

La mesure du méridien au xviiie siècleCette activité a pour objectif de traiter la partie suivante du programme :Savoir : « Historiquement, des méthodes géomé-triques ont permis de calculer la longueur d’un méridien (environ 40 000 km) à partir de mesures d’angles ou de longueurs : méthode de triangula-tion plane. »Savoir-faire : « Calculer une longueur par la méthode de triangulation utilisée par Delambre et Méchain. »

La vidéo « La mission de Delambre et Mechain » expose les différentes étapes ayant conduit à la définition du mètre, puis les détails de la méthode utilisée pour mesurer la méridienne, et enfin l’aven-ture de cette mesure par Delambre et Mechain. Au fil des siècles, les méthodes de calcul des lon-gueurs sur la Terre se sont développées, mais il a fallu attendre le xiie siècle pour que la trigonomé-trie permette de déterminer des longueurs sans avoir à les mesurer effectivement. Le document 1

traite de l’évolution de ces méthodes jusqu’à la méthode triangulation qui, au xviie siècle, va per-mettre de déterminer des longueurs en mesurant essentiellement des angles.

Le document 2 décrit cette méthode que l’abbé Jean Picard a utilisée pour déterminer une dis-tance correspondant à un degré de latitude le long du méridien de Paris.

Le document 3 explique les raisons de la création du mètre, dans une France en proie à la Révolution et qui va nécessiter la mesure la plus précise pos-sible d’un arc du méridien de Paris. Cette mesure, qui avait déjà été effectuée plusieurs fois aupara-vant, va utiliser les nouvelles techniques de trian-gulation et aussi un nouvel outil de mesure des angles, le cercle répétiteur de Borda.

Le document 4 décrit cette aventure, dirigée par Delambre et Méchain, qui consiste à mesurer l’arc du méridien de Paris entre Dunkerque et Barcelone.

D O C


›◗ Exemple de correctionPicard applique la loi des sinus dans le triangle ABC.

Il peut donc écrire : AC

sin ABC =

AB

sin ACB

soit ACsin (95 6 55 )' ''°

= 5 663sin (30 48 30 )' ''°

On convertit les angles donnés en degrés, minutes, secondes en degrés décimaux :

95° 6’ 55”= 95 + 660

+ 553 600

degrés, soit 95,115° à 0,001° près.

30° 48’ 30” = 30 + 4860

+ 303 600

degrés, soit 30,808° à 0,001° près.

D’où : ACsin (95,115)

= 5 663sin (30,808)

et AC = 5 663 sin (95,115)sin (30,808)

× , en toises.

Avec la calculatrice, on obtient :AC ≈ 11 012,999 toisesEt ainsi AC vaut environ 11 012 toises et 5 pieds.

›› Exemples de correction des pistes de travail

1. La méthode de triangulation apporte un chan-gement fondamental dans le problème de la mesure des longueurs sur la Terre. Pour mesurer

ACTIVITÉ 3

04733691_.indb 83 04/10/2019 10:28


une distance importante, on mesure une seule distance, assez courte et facile à mesurer (sur un terrain plat par exemple) et on mesure un grand nombre d’angles. Par des calculs trigonomé-triques, on en déduit de proche en proche toutes les longueurs nécessaires.

2. Le calcul complet de Picard est rédigé plus haut : après l’application de la loi des sinus, on doit d’abord convertir les degrés sexagésimaux en degrés décimaux, puis obtenir le résultat en utilisant la touche sin de la calculatrice.

3. La mesure d’arcs de méridien terrestre permet d’en déduire la longueur d’un méridien, donc, puisque la Terre est sphérique, de tous les méri-diens. Ceci entraîne la connaissance précise du rayon de la Terre. Et surtout, cela a permis au cours des siècles de produire des cartes de plus en plus précises, et ainsi de connaître la position de lieux à la surface de la Terre de manière très précise.

4. Le but premier de l’expédition de Delambre et Méchain est la mesure de l’arc de méridien ter-restre entre Dunkerque et Barcelone. Mais le but essentiel est de définir avec la meilleure précision possible une nouvelle mesure de longueur, qui serait universelle, car s’appuyant sur un élément commun à tous les pays du Monde : la longueur d’un méridien. C’est donc pour donner une défini-tion du mètre qu’a été organisée cette expédition.

p. 156 ❚

Calculs de longueurs sur la sphère terrestreCette activité a pour objectif de traiter la partie suivante du programme :Savoir : « On repère un point à la surface de la Terre par deux coordonnées angulaires, sa lati-tude et sa longitude. Le plus court chemin entre deux points à la surface de la Terre est l’arc du grand cercle qui les relie. »Savoir-faire : « Calculer la longueur d’un arc de méridien et d’un arc de parallèle. Comparer, à l’aide d’un système d’information géographique, les longueurs de différents chemins reliant deux points à la surface de la Terre. »

Le document 1 permet de rappeler ce que sont les parallèles et les méridiens et de poser le pro-blème : le plus court chemin entre deux points A et B à la surface de la Terre est-il celui qui relie ces deux points en ligne droite sur un planisphère ? L’investigation menée dans ce document amène à

la conclusion suivante : on ne peut pas comparer des distances en utilisant un planisphère.

Pour cette investigation, on peut par exemple choisir des points deux à deux de même longi-tude situés sur des parallèles différents comme ci-dessous :

Distance loxodromique : 18 809 km

Distance loxodromique : 15 336 km

Il est donc nécessaire de faire des calculs, calculs expliqués dans les documents 2 et 3, respecti-vement pour la longueur d’un arc de méridien et celle d’un arc de parallèle.

Quant à connaître le plus court chemin reliant deux points à la surface de la Terre, une conjec-ture peut être faite en utilisant le fichier Geogebra fourni dans le document 4.

D O C


›◗ Exemple de correctionOn peut soit utiliser le coefficient de réduction, soit utiliser la trigonométrie.• En remarquant que le parallèle est une réduc-tion du cercle de l’équateur :Avec les notations de la figure, le coefficient de

réduction est : rR

.

ACTIVITÉ 4

04733691_.indb 84 04/10/2019 10:28


Les angles OAC et JOA sont alternes-internes

donc OAC = JOA = 40°.Et dans le triangle OAC rectangle en C,

cos (OAC) = =rR

ACOA

.

Le coefficient de réduction est donc cos (OAC), soit cos (40°). En notant LT la circonférence de la Terre, on a :Lc = LT × cos (40°) , soit LC ≈ 40 000 cos (40°) et donc environ 30 642 km.

• En utilisant la trigonométrie :LC = πr2

D’après ce qui précède, cos (OAC) = rR

donc

cos (40°) = rR

et r = R cos (40°).

Par conséquent, LC= πR2 cos (40°).On remarque que πR2 est la circonférence de la Terre, on retrouve le résultat : LC = LT × cos (40°).

››Exemple de correction des pistes de travail1. Il faut ici utiliser le document 2.La longueur d’un arc de cercle est proportionnelle à l’angle qui l’intercepte donc, en notant O le centre de la Terre et LM la circonférence du méri-

dien, on a : =L L

AOB 360M .

Or LM ≈ 40 000 et AOB = 20°+60° = 80° (car A et B sont de part et d’autre de l’équateur),

donc : ≈L80

40 000360

. D’où L ≈ ×80 40 000360

, c’est-à-

dire : L ≈ 8 889 km.

2. Il faut ici utiliser le document 3.La longueur d’un arc de cercle est proportionnelle à l’angle qui l’intercepte, donc en notant C le centre du parallèle et LC sa circonférence, on a :

=L L

ACB 360C .

Comme A et B sont de part et d’autre du méridien de Greenwich, ACB = 20° + 80° = 100°.Il faut maintenant calculer la longueur LC du parallèle 40° Nord.D’après l’investigation menée dans le document 3, Lc ≈ 40 000 cos 40°

=L L

100 360C donc L = ×

L100360C ,

soit L ≈ ×°100 40 000 cos 40

360L ≈ 8 512 km.

3. Pour comparer les chemins loxodromique et orthodromique, on peut utiliser l’animation « Orthodromie et loxodromie » proposée par le manuel ou un logiciel SIG.Pour les points A et B de coordonnées géogra-phiques : 40° Est – 60° Nord et 40° Est – 20° Sud, les deux chemins sont identiques.Pour les points A et B de coordonnées géogra-phiques : 20° Ouest – 40° Nord et 80° Est – 40° Nord, la route loxodromique (qui suit le parallèle) est plus longue que la route orthodromique.

4. On utilise ici le document 4.Avec le logiciel Geogebra, on déplace le point M jusqu’à trouver la plus petite longueur L. On fait de même pour d’autres positions des points A et B.On peut conjecturer que la plus courte longueur est celle qui relie A et B en suivant l’arc du grand cercle qui les relie car les points A, B et M se trouvent alors dans le plan qui passe par A, B et le centre de la Terre. On peut ainsi expliquer que la plus courte distance entre deux points situés sur un même méridien est la longueur de l’arc de méridien qui les relie, puisqu’un méridien est un grand cercle. Mais la plus courte distance entre deux points situés sur un même parallèle, autre que l’équateur, n’est pas la longueur de l’arc de parallèle qui les relie, puisqu’un parallèle n’est pas un grand cercle.

CORRECTION DES EXERCICES

Vérifier ses connaissances

1 Connaître les mots-clés

Voir définitions page 159.

a. Le degré : unité de mesure d’angle ; 90° est la mesure d’un angle droit.

h. Éclipse de Lune : occultation du Soleil par la Terre.

2 Restituer le cours

1. Le premier savant ayant avancé des arguments scientifiques quant à la forme sphérique de la Terre est Aristote, au ive siècle avant J.-C.

2. Une éclipse de Lune permet d’observer la forme arrondie de l’ombre de la Terre sur la Lune.

3. La méthode de triangulation ne nécessite qu’une seule mesure de distance AB. On considère ensuite un triangle ABC, dans lequel on mesure tous les angles, et on en déduit les longueurs de

p. 161 ❚

04733691_.indb 85 04/10/2019 10:28


tous les côtés du triangle ABC à l’aide de formules de trigonométrie. On peut ensuite réitérer l’opé-ration avec un autre triangle adjacent au triangle ABC.On construit alors une chaîne de triangles adjacents et on obtient par mesures d’angles puis calculs les longueurs de tous les côtés de ce triangle.

4. La mission de Delambre et Méchain a permis de déterminer la longueur d’un arc du méridien de Paris. Le mètre a été alors défini en 1799 comme la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre.

3 Déterminer la longueur d’un chemin reliant deux points

1. a. Vrai. Ce sont tous des cercles de centre le centre de la Terre et de rayon le rayon de la Terre. Leur longueur est d’environ 40 000 km.

b. Faux. Les parallèles n’ont pas tous la même longueur. Tout dépend de la latitude des points du parallèle : le parallèle le plus long est l’équa-teur, et il est beaucoup plus long qu’un parallèle proche des pôles.

c. Faux. La représentation choisie fausse le juge-ment. En effet, la longueur du parallèle sur lequel sont situés les points U et Z est inférieure à celle du parallèle sur lequel sont situés les points C et M, car ce parallèle est plus éloigné de l’équateur.

d. Faux. Le plus court chemin est l’arc du grand cercle qui les relie ; le parallèle qui les relie n’est pas un grand cercle.

2. A-1. La longueur d’un arc de méridien est pro-portionnelle à l’angle qu’il intercepte.

En notant O le centre de la Terre, BOW = 60° + 15° = 75°.

En notant L la longueur de l’arc de méridien BW et LC la circonférence de la Terre, on a :

=L L360 75C donc ≈ ×L 40 000

36075

B-1 et 4. Ce parallèle est une réduction du cercle de l’équateur et le coefficient de réduction est égal à cos (45°).

La longueur du parallèle est donc d’environ 40 000 × cos (45°) kilomètres, soit environ 28 284 kilomètres.

C-1 et 3. La longueur d’un arc de parallèle est pro-portionnelle à l’angle qu’il intercepte.

En notant D le centre du parallèle UDZ = 90° – 0° = 90°.

En notant L la longueur de l’arc de parallèle UZ, on a :

≈L28 284

360 90 donc ≈ ×L 28 284

36090 kilomètres,

soit 7 071 kilomètres.

4 Appliquer la méthode d’Ératosthène

ombre

Ratlam

Churu C

G

D

R

gnomon

gnomon

O

553 km

5°

On note L la circonférence de la Terre. On veut cal-culer L connaissant la longueur d de l’arc de cercle RC et l’angle CGD.La longueur d de l’arc de cercle RC est proportion-nelle à l’angle ROC qui l’intercepte.

Donc : =L d

360 ROC.

Or d = 553 km et comme les angles ROC et CGD sont alternes-internes, on a :ROC = CGD = 5,00°.

Ainsi : =L

3605535,00

.

Par conséquent, L = × = ×5535,00

360 3,98 104.

La circonférence de la Terre est d’environ 3,98 × 104 km.

5 Appliquer la méthode de triangulation

1. Dans le triangle ABC, on applique la formule des sinus :BC

sin A = AC

sin B

D’où : °

100sin 35

= °

ACsin 80

et par conséquent AC = °

× °100

sin 35sin 80 .

On en déduit que AC vaut environ 172 mètres, en arrondissant au mètre.

2. La somme des angles d’un triangle est 180°. En appliquant ce résultat au triangle ACD, on obtient :CAD + 25° + 30° = 180°,

04733691_.indb 86 04/10/2019 10:28


d’où CAD = 180° – 130° – 25° soit CAD = 25°.

3. On applique à présent la formule des sinus dans le triangle ACD :

ACsin D

= CDsin A

.

D’où : °

172sin 130

≈ °

CDsin 25

et par conséquent

≈°

× °CD 172sin 130

sin 25 .

On en déduit que CD vaut environ 95 mètres.

Exercice similaire

7 Calcul de la longueur d’un arc de méridien

1. Les points A et B ont la même longitude : 100° Ouest. Ils sont donc sur le même méridien.

2. A et B sont du même côté de l’équateur (au Nord) car leurs latitudes respectives sont 20° Nord et 66° Nord. Donc l’angle AOB est la diffé-rence de ces latitudes : AOB = 66° – 20° = 46°.

3. La longueur L de l’arc de méridien reliant les points A et B est proportionnelle à l’angle AOB qui l’intercepte. En notant LT la circonférence de la

Terre, on a donc : =L LT

360 AOB.

Or LT ≈ 40 000 et AOB = 66° donc ≈L40 000

360 46.

Donc ≈ ×L 40 000360

46, soit L ≈ 5 111 km.

La longueur L de l’arc de méridien reliant les points A et B est d’environ 5 111 kilomètres.

4. C’est bien le plus court chemin car un méridien est un grand cercle : en effet, il a pour centre le centre de la Terre.

S’entraîner

8 Retour sur les problématiques du chapitre

Nous conseillons de faire appel à la fiche méthode page 281 qui comporte des éléments pouvant gui-der les élèves dans leur expression orale.

• Quelle est la forme réelle de la Terre ? Quel cheminement intellectuel a conduit à la com-préhension scientifique de sa forme ?Exposer l’évolution des conceptions, en par-lant des grands savants qui ont participé à cette

évolution, comme Thalès, Pythagore et surtout Aristote. Présenter alors les divers arguments qui ont permis à Aristote d’affirmer que la Terre est bien sphérique.

• Comment se sont mises en place, au cours des siècles, les méthodes de calculs de lon-gueurs à la surface de la Terre ?Exposer une méthode ancienne, celle d’Éra-tosthène pour mesurer le méridien, puis les méthodes de mesure du méridien au xviiie siècle par triangulation, et enfin les méthodes actuelles pour mesurer des longueurs sur le globe terrestre.

9 Mesure de la base de Melun par Delambre

1. Chaque règle pouvant être déplacée au maxi-mum 45 fois, elle pouvait donc mesurer au maxi-mum 90 toises, chaque règle mesurant 2 toises. Puisqu’il y avait 4 règles, on pouvait donc mesurer au maximum 90 × 4 toises, soit 360 toises par jour soit environ 702 m.

2. On compte 41 jours de travail potentiel entre le 24 avril et le 3 juin. Puisque Delambre trouve 6 076 toises, il a finalement mesuré en moyenne 148 toises par jour (6076/41), soit environ 289 m.

10 Triangulation avec une chaîne de trois triangles

1. On calcule d’abord le troisième angle du triangle AMC. La somme des angles d’un triangle étant 180°, on a : AMC = 180° – 22° – 34° = 124°.

Dans le triangle AMC, on applique la loi des sinus :

°=

°AM

sin (34 )AC

sin (124 ).

On en déduit : AM = × °°

10 sin (34 )sin (124 )

, soit 6,7 km à 0,1 km près.

On applique à nouveau la loi des sinus dans ce

même triangle AMC : °

=°

MCsin (22 )

ACsin (124 )

.

D’où : MC = × °°

10 sin (22 )sin (124 )

, soit 4,5 km à 0,1 km

près.

2. Les angles AMC et CMN sont supplémentaires (leur somme est un angle plat), donc :CMN = 180° – AMC = 180° – 124° = 56°.

Puisque la somme des angles d’un triangle est 180°, on obtient : MNC + 47° + 56° = 180°, et ainsi :MNC = 180° – 47° – 56° = 77°.

p. 162 ❚

p. 163 ❚

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3. On applique à présent la loi des sinus dans le triangle CMN :

°=

°MN

sin (47 )MC

sin (77 ) d’où : MN = × °

°4,5 sin (47 )

sin (77 ), soit

3,4 km à 0,1 km près.

Dans le même triangle, on a : °

=°

CNsin (56 )

MCsin (77 )

d’où : CN = × °°

4,5 sin (56 )sin (77 )

, soit 3,8 km à 0,1 km près.

4. Les angles MNC et CNE sont supplémentaires, donc : CNE = 180° – MNC = 180° – 77° = 103°.Puisque la somme des angles d’un triangle est 180°, on obtient :CEN + 47° + 103° = 180°

et ainsi : CEN = 180° – 47° – 103° = 30°.

Pour calculer la distance NE, on applique la loi des sinus dans le triangle CNE :

°=

°NE

sin (47 )CN

sin (30 ) d’où : NE = × °

°3,8 sin (47 )

sin (30 ), soit

5,6 km à 0,1 km près.

5. Les points A, M, N et E sont alignés, donc : AE = AM + MN + NED’où AE ≈ 6,7 + 3,4 + 5,6 en kilomètres.La distance AE mesure 15,7 km à 0,1 km près.

11 Distance de Lieursaint à Malvoisine et à Montlhéry à une toise près

1. a.

γ = 76°

β = 41°

Melun (M)Malvoisine (m)

Lieursaint (L)

6 076toises

mLM est l’angle entre Malvoisine et Melun. LmM est l’angle entre Melun et Lieursaint.

Delambre donne pour mesure de l’angle mLM environ 75°39’33”, ce que l’on arrondit à 76°.

Il donne pour mesure de l’angle LmM environ 40°37’1”, ce que l’on arrondit à 41°.

b. On détermine d’abord une valeur approchée à un degré près du troisième angle du triangle mLM :mML = 180° – 76° – 41° = 63°.

On applique la loi des sinus dans le triangle mLM :ML

sin (LmM)

mL

sin (mML)=

soit °

6 076sin (41 )

= °

mLsin (63 )

et donc :

mL = × °°

6 076 sin (63 )sin (41 )

.

La distance Lieursaint-Malvoisine mL est ainsi égale à 8 252 toises, à une toise près.

2.

Monthléry (m')

ς = 53°

ε = 51°

γ = 76°

α = 63°

δ = 76°

Melun (M)Malvoisine (m)

Lieursaint (L)

8 252 toises6 076toises

On applique la loi des sinus dans le triangle Lmm’ :

′

′=

′

Lm

sin(Lmm )

mL

sin(Lm m) soit ′

°Lm

sin (76 ) =

°8 252

sin (53 )

On en déduit : Lm′ = × °°

8 252 sin (76 )sin (53 )

La distance de Lieursaint à Monthléry est donc de 10 026 toises, à une toise près.

12 Commentaire de texte

Jean-Baptiste Delambre donne les résultats de ses mesures, tout en expliquant les conditions dans lesquelles celles-ci se sont déroulées.Il explique d’abord que les objets sont « très beaux », ce qui signifie qu’il a une excellente visi-bilité, puis, à partir du « treizième angle », les objets deviennent « faibles », ce qui signifie qu’il est difficile d’effectuer les visées.On peut remarquer aussi qu’il fait un très grand nombre de mesures et qu’il en élimine certaines (« en rejetant 6 angles »). On se rend compte également qu’il fait plusieurs séries de mesures, et qu’il fait ensuite une moyenne à partir des mesures qu’il conserve.

13 Recherche d’une unité

On a vu que c’était la multiplicité des unités de mesure en France au xviiie siècle qui a conduit à ce que l’Académie des sciences décide de définir une nouvelle unité de mesure des longueurs en 1791, le mètre.

04733691_.indb 88 04/10/2019 10:28


Cette problématique n’était pas nouvelle et on voit que Cassini en parle dans son livre, paru en 1720. Et déjà il propose de définir cette nouvelle unité à partir de propriétés de la Terre : soit la « six-mil-lième partie de la minute du grand cercle » soit « la dix-millionième partie du demi-diamètre de la terre ». Un méridien est un grand cercle, donc la première idée de Cassini est bien voisine de celle qui sera adoptée par l’Académie des sciences : « la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre ».

14 Méthode d’Ératosthène

1. Les angles b et BOG sont alternes-internes, d’où : BOG = 30°.

Les angles a et AOG sont alternes-internes, donc AOG = 11°.

On a : BOG = AOG + BOA , donc BOA = 30°– 11° = 19°.

2. On note L la circonférence de la Terre.

On a : =L

3602 115

19

Donc L = ×2 115

19360, soit environ 40 074 km.

15 Prépa BAC Choisir le plus court chemin

1. Chittagong et Ulaangom sont sur un même méridien.Cracovie et Ulaangom sont sur un même parallèle.

2. a. En notant L la longueur de l’arc de méridien, on a :

≈°

L40 000360 27,5

et donc ≈ ×L 40 000360

27,5, soit envi-

ron 3 056 km.

b. Oui, c’est le plus court chemin, car un méridien est un grand cercle (il passe par le centre de la Terre).

3. a. Ce parallèle est une réduction du cercle de l’équateur et le coefficient de réduction est : cos (50°). La longueur du parallèle est donc d’en-viron 40 000 × cos (50°), soit environ 25 712 km.

b. En notant L la longueur de l’arc de parallèle, on a :

L25 712360 92 20

≈−

et donc ≈ ×L 25 712360

72, soit envi-

ron 5 142 km.

c. Non, le plus court chemin est l’arc du grand cercle qui relie ces deux villes.

4. En suivant l’arc de parallèle, la consommation est de 15 426 litres (car 5 142 × 3 = 15 426).En suivant le plus court chemin, la consommation est de 14 799 litres (car 4 933 × 3 = 14 799).La différence de consommation est de 627 litres de kérosène.

PROJET EXPÉRIMENTAL ET NUMÉRIQUEp. 165 ❚

L’objectif de ce projet est de réaliser l’expérience d’Ératosthène, afin de déterminer une valeur approchée du rayon de la Terre. Ératosthène a réalisé son expérience en deux villes distantes de 800 kilomètres environ, Alexandrie et Syène, situées sur un même méridien. On peut de nos jours trouver une ville sur la Terre située sur le même méridien que la ville de notre lycée, et réaliser cette expérience le même jour et à midi heure solaire en ces deux lieux.

La première partie de ce projet consiste donc à trouver un établissement scolaire qui vérifie la propriété évoquée plus haut et décider d’une date opportune pour les mesures. On peut ensuite fabriquer le gnomon avec une planche en bois bien plane sur laquelle on fixe perpendiculaire-ment à la planche en bois (utiliser un fil à plomb), un morceau de bois assez long qui tiendra lieu de gnomon.

Pour les calculs mathématiques qui permettront d’obtenir la circonférence de la Terre, on aura besoin de la distance entre les deux villes, et on pourra pour cela utiliser un logiciel spécifique (comme QGIS, MapInfo, ArcGIS ou GRASS GIS).

04733691_.indb 89 04/10/2019 10:28

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Chapitre La forme de la Terre - scommercon.free.fr