Chapitre - mathfaress.e-monsite.commathfaress.e-monsite.com/medias/files/cours-evn-1920.pdf · 2020. 10. 20. · Chapitre 3 Cours de Mathématiques Spéciales Partie Analyse Espace

Chapitre

3Cours de Mathématiques Spéciales

Partie Analyse

Espace vectoriel normé

ObjectifsCe chapitre vise quatre objectifs :

û introduire, dans le cadre des espaces normés, le vocabu-laire de la topologie ;

û introduire les notions de compacité et de connexité par arcsdans un espace normé;

û établir l’équivalence des normes en dimension finie et entirer des conséquences (caractérisation de la compacité etde la convergence d’une suite bornée, continuité des appli-cations linéaires et multilinéaires .... ) ;

û donner, à travers l’étude des espaces normés de dimensionfinie, un cadre commode pour traiter diverses applicationsà l’analyse (fonctions vectorielles, suites et séries de fonc-tions, équations différentielles linéaires).

Mr. Moussa FaressPr. Mathématiques Supérieures

CPGE de Meknès

Année Scolaire : 2020-2021

Dans tout le chapitre, K désigne R ou C .

1 - Normes sur un espace vectoriel.

1.1 - Notion de normes et distances.

Dans la suite de ce paragraphe , E désigne un K-espace vectoriel .

On appelle norme sur E toute application N : E −→ R telle que : ∀x ∈ E, N(x) = 0 =⇒ x = 0 : séparation . ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, N(λx) = |λ|N(x) : homogénéité. ∀(x, y) ∈ E2, N(x + y) 6 N(x) + N(y) : inégalité triangulaire.

On dit alors que le couple (E, N) est un espace vectoriel normé (e.v.n).

Définition 1.1. Norme

Remarques : Soit N est une norme sur l’espace vectoriel E,1. Dans la définition , |λ| désigne la valeur absolue de λ si K = R, et le module si K = C.2. ∀x ∈ E, N(x) = 0⇐⇒ x = 0 et ∀x ∈ E, N(x) > 0 : positivité.

3. Pour tout n ∈ N∗ et tous x1, . . . , xn ∈ E, on a : N

(n

∑i=1

xi

)6

n

∑i=1

N(xi).

4. ∀(x, y) ∈ E2,∣∣∣N(x)− N(y)

∣∣∣ 6 N(x− y).

Un vecteur x d’un espace vectoriel normé (E, ‖ ‖) est dit unitaire si ‖x‖ = 1.

À tout vecteur x ∈ E \ 0, on peut toujours associer un vecteur unitaire :x‖x‖ ·

Définition 1.2. Vecteur unitaire

Exemples : 1. La valeur absolue dans R, le module dans C sont des normes.

2. Norme euclidienne : Si E est un K-espace vectoriel muni d’un produit scalaire 〈. , .〉 , lanorme associée à ce produit scalaire munit E d’une structure d’espace vectoriel normé .

3. Normes dans un K-espace vectoriel de dimension finie : Soit E un K-espace vectoriel de

dimension finie, rapporté à une base B = (e1, . . . , en). Pour tout x =n

∑i=1

xiei de E , xi ∈ K, on

peut définir les normes suivantes :

a) ‖x‖1 =n

∑i=1|xi| b) ‖x‖2 =

√n

∑i=1|xi|2 c) ‖x‖∞ = max

16i6n|xi|

4. Normes sur C([a, b],K) : Pour toute f ∈ C([a, b],K) (avec a < b), on peut définir les normessuivantes :

a) ‖ f ‖1 =∫ b

a| f (t)| dt b) ‖ f ‖2 =

√∫ b

a| f (t)|2 dt c) ‖ f ‖∞ = sup

t∈[a,b]| f (t)|

Mr. Faress Moussa 1/22 M.P. 20-21

1. Si A = (ai, j)16i6n16 j6n

∈ Mn(K), on pose :

a) ‖A‖1 = ∑(i, j)∈[[1,n]]2

∣∣ai, j∣∣ b) ‖A‖2 =

√∑

(i, j)∈[[1,n]]2

∣∣ai, j∣∣2 c) ‖A‖∞ = max

(i, j)∈[[1,n]]2

∣∣ai, j∣∣

Montrer qu’on définit ainsi des normes surMn(K)

2. On pose : N1(A) = max16i6n

n

∑j=1|ai j| et N2(A) = max

16 j6n

n

∑i=1|ai j|

(a) Calculer N1(A) et N2(A) pour : A =

−3 −5 0 1

1 0 −4 −3−7 −3 −6 5

5 2 3 −9

.

(b) Montrer que N1 et N2 sont des normes surMn(K).

Exercice 1.1. Normes dansMn(K)

Soit N1 et N2 deux normes sur un K-espace vectoriel E. On dit que N1 et N2 sont équivalentes si etseulement si :

∃α > 0 , ∃β > 0 tels que ∀x ∈ E , αN1(x) 6 N2(x) 6 βN1(x)

Définition 1.3. Normes équivalentes

Remarque : C’est une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes de E.

Exemples : 1. Comparaison des trois normes usuelles dans un K-espace vectoriel de dimension finie :

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, rapporté à une base B = (e1, . . . , en). Pour

tout x =n

∑i=1

xiei de E, on a : ‖x‖∞ 6 ‖x‖1 6 n · ‖x‖∞ et ‖x‖∞ 6 ‖x‖2 6√

n · ‖x‖∞ ce

qui montre (par transitivité) que ces trois normes sont deux à deux équivalentes.

2. Comparaison des trois normes usuelles dans C([a, b],R) :

Pour toute f ∈ C([a, b],K) (avec a < b), on a :

‖ f ‖1 6√

b− a ‖ f ‖2 , ‖ f ‖2 6√

b− a ‖ f ‖∞ , ‖ f ‖1 6 (b− a) ‖ f ‖∞mais elles sont deux à deux non équivalentes, en effet :

La suite de fonctions fn : t 7→(

t− ab− a

)n

(n ∈ N) : on vérifie que les suites de termes généraux

‖ fn‖∞‖ fn‖2

,‖ fn‖2‖ fn‖1

et‖ fn‖∞‖ fn‖1

tendent vers +∞ avec n, donc les rapports‖ ‖∞‖ ‖2

,‖ ‖2‖ ‖1

et‖ ‖∞‖ ‖1

ne

sont pas bornés.

Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sur E sont équivalentes.

Théorème 1.1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A faire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Preuve :

M.P. 20-21 2/22 Espace vectoriel normé

Soit x et y deux éléments d’un espace vectoriel normé (E, ‖ ‖) . On appelle distance de x à y le réel positifdéfini par : d(x, y) = ‖x− y‖

Définition 1.4. Distance associée à une norme

→ ∀(x, y) ∈ E2 , d(x, y) = d(y, x) .→ ∀(x, y) ∈ E2 , d(x, y) = 0⇐⇒ x = y .

→ ∀(x, y, z) ∈ E3 ,∣∣∣d(x, y)− d(y, z)

∣∣∣ 6 d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z).

→ ∀(x, y, u) ∈ E3, d(x + u, y + u) = d(x, y).→ ∀λ ∈ K, ∀(x, y) ∈ E2, d(λx, λy) = |λ| d(x, y).

Proposition 1.1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A faire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Preuve :

1.2 - Boules dans un espace vectoriel normé .

Soit (E, ‖ ‖) un espace vectoriel normé , a un vecteur de E et r un réel positif. On appelle : boule ouverte de centre a et de rayon r l’ensemble :

B(a, r) = x ∈ E , d(a, x) < r = x ∈ E , ‖x− a‖ < r

boule fermée de centre a et de rayon r l’ensemble :

B f (a, r) = x ∈ E , d(a, x) 6 r = x ∈ E , ‖x− a‖ 6 r

sphère de centre a et de rayon r l’ensemble :

S(a, r) = x ∈ E , d(a, x) = r = x ∈ E , ‖x− a‖ = r

On parle de boule unité ou de sphère unité dans le cas a = 0E et r = 1.

Définition 1.5. Boules

1. Donner, dans R muni de la valeur absolue : B(a, r) , B f (a, r) , et S(a, r).

2. Dessiner les boules unités pour les trois normes usuelles de R2 :

Exercice 1.2.

Soit (E, ‖ ‖) un espace vectoriel normé , a, a′ ∈ E et r, r′ ∈ R+. Alors :→ B f (a, r) ⊂ B f (a′, r′) ⇐⇒

∥∥a′ − a∥∥ 6 r′ − r.

→ B(a, r) ⊂ B(a′, r′) ⇐⇒∥∥a′ − a

∥∥ 6 r′ − r

Proposition 1.2.


Faisons la démonstration pour les boules fermées.

⇒ Supposons B f (a, r) ⊂ B f (a′, r′). Soit alors b = a +r

‖a− a′‖ (a − a′). On a ‖b− a‖ = r, donc b ∈

B f (a, r) et par suite b ∈ B f (a′, r′). On a donc∥∥b− a′

∥∥ 6 r′. Or b− a′ =(

1 +r

‖a− a′‖

)(a− a′) donc(

1 +r

‖a− a′‖

)∥∥a− a′∥∥ 6 r′ ce qui donne bien

∥∥a′ − a∥∥ 6 r′ − r.

Rem : faire un dessin pour interpréter géométriquement le choix de b... .

⇐ Supposons∥∥a′ − a

∥∥ 6 r′ − r. Soit alors x ∈ B f (a, r), i.e ‖x− a‖ 6 r.On a alors

∥∥x− a′∥∥ =

∥∥x− a + a− a′∥∥ 6 ‖x− a‖ +

∥∥a− a′∥∥ 6 r + r′ − r = r′, ce qui prouve que

x ∈ B f (a′, r′). On a donc bien l’inclusion voulue.

Preuve :

Une partie A d’un espace vectoriel est dite convexe si, pour tout (x, y) ∈ A2, le segment

[x, y] = tx + (1− t)y / t ∈ [0, 1]

est inclus dans A.

Définition 1.6. Partie convexe

Une boule (ouverte ou fermée) dans un espace vectoriel normé est une partie convexe.

Proposition 1.3.

Faisons la démonstration pour une boule ouverte B(a, r). Soient x, y ∈ B(a, r) et t ∈ [0, 1]. Il s’agit dedémontrer que z = tx + (1− t)y appartient à B(a, r). Cela découle simplement de la suite d’inégalités :

‖tx + (1− t)y− a‖ = ‖t(x− a) + (1− t)(y− a)‖ 6 t ‖x− a‖+ (1− t) ‖y− a‖ < tr + (1− t)r = r

Preuve :

Soit E un K-espace vectoriel muni de deux normes N1 et N2 . Alors Les deux normes N1 et N2 sontéquivalentes si et seulement si toute boule ouverte pour l’une de ces deux normes contient une bouleouverte de même centre pour l’autre norme.

Proposition 1.4.

Par translation, on ne change pas le résultat si on se limite à des boules de centre 0E.On vérifie alors facilement, à l’aide de la proposition 2, que, si (N1, N2) sont deux normes sur E et si α etβ sont deux réels strictement positifs, on a l’équivalence :

αN1 6 N2 6 βN1 ⇐⇒ B1(0, r) ⊂ B2(0,βr) et B2(0, r) ⊂ B1(0,rα)

Preuve :


en notant bien sûr Bi(0, r) la boule ouverte de centre 0 et de rayon r pour la norme Ni.

Soit (E, ‖ ‖) un espace vectoriel normé . Une partie A de E est dite bornée si

∃M ∈ R , ∀x ∈ A , ‖x‖ 6 M

Cela équivaut à : A ⊂ B f (0, M) .

Définition 1.7. Parties bornées d’un e.v.n

Soit E un K-espace vectoriel muni de deux normes N1 et N2 . Alors Les deux normes N1 et N2 sontéquivalentes si et seulement si toute partie bornée pour l’une est bornée pour l’autre .

Proposition 1.5.

En effet, il est facile de voir que la propriété «toute partie bornée pour une norme est bornée pour l’autre»est équivalente à «toute boule ouverte de centre 0E pour une norme est incluse dans une boule ouverte decentre 0E pour l’autre», et on utilise alors la proposition 4.

Preuve :

Remarque : Lorsque E est de dimension infinie, une partie peut être bornée pour une norme et non bornéepour une autre !Considérer pour cela : E = C([0, 1],R), et A = fn, n ∈ N avec fn : t 7→ ntn. Alors A estbornée pour la norme N1, mais ne l’est pas pour la norme N∞.

Soit (E, ‖ ‖) un espace vectoriel normé , A une partie de E non vide, et x ∈ E.L’ensemble ‖x− a‖ , a ∈ A est une partie non vide de R, minorée par 0 ; il admet donc une borne infé-rieure, appelée distance de x à A , et notée d(x, A) : d(x, A) = inf

a∈Ad(x, a)

Définition 1.8. Distance à une partie

Remarques : 1. En général, le réel d(x, A) n’est pas un minimum, c’est-à-dire que la borne inférieure n’estpas nécessairement atteinte.

2. La distance de x à A peut être nulle sans que x appartienne à A.3. Même quand d(x, A) est atteinte en un point, ce point n’est pas nécessairement unique.

Soit A une partie d’un espace vectoriel normé . L’ensemble ‖x− y‖ / x, y ∈ A est borné dans R, ilpossède donc une borne supérieure dite le diamètre de A , noté : δ(A) := sup ‖x− y‖ / x, y ∈ A

Définition 1.9. Diamètre d’une partie

1.3 - Normes d’une K-algèbre.


On appelle K-algèbre un K-espace vectoriel (A,+, .) muni d’une deuxième loi de composition interne,notée ”× ” , telle que :→ (A,+,×) est un anneau d’élément neutre pour × , noté 1A ;→ ∀λ ∈ K , ∀(x, y) ∈ A2 : λ(x× y) = (λx)× y = x× (λy).

Définition 1.10. K-algèbre

Exemples : 1. K[X] muni des lois usuelles est une K-algèbre commutative.2. L(E) muni des lois usuelles est une K-algèbre non commutative si dim(E) > 1.3. Mn(K) muni des lois usuelles est une K-algèbre non commutative si n > 1.

On dit que le couple (A, ‖ ‖) est une algèbre normée lorsque A est une algèbre et ‖ ‖ est une norme surl’espace vectoriel (A,+, .) vérifiant : ∀(x, y) ∈ A2 : ‖x× y‖ 6 ‖x‖ ‖y‖.Si de plus ‖1A‖ = 1 on dit que (A, ‖ ‖) est une algèbre normée unitaire.

Définition 1.11. Norme d’algèbre

Soit (A, ‖ ‖) une algèbre normée. Montrer que pour tout u de A et tout k de N on a :∥∥∥uk∥∥∥ 6 ‖u‖k.

Exercice 1.3. Première propriété

On note par A = B(I,C) l’algèbre des fonctions bornées sur un intervalle I de R à valeurs dans C.Pour f ∈ A, on pose : ‖ f ‖∞ = sup

t∈I| f (t)|. Montrer que (A, ‖ ‖∞) est une algèbre normée unitaire .

Exercice 1.4. Norme de la convergence uniforme

L’espace vectoriel F = Mn1(R) est muni de la norme ‖ ‖∞. Pour A ∈ Mn(R), on pose :N(A) = sup

X∈F‖X‖∞=1

‖AX‖∞. Montrer que (Mn(R), N) est une algèbre normée unitaire.

Exercice 1.5. Norme subordonnée dansMn(R)

Pour A = (ai, j)16i6n16 j6n

∈ Mn(R), on pose : ‖A‖2 =√

tr(tAA) ; ‖A‖∞ = max(i, j)∈[[1,n]]2

∣∣ai, j∣∣.

1. Montrer que (Mn(R), ‖ ‖2) est une algèbre normée unitaire.2. (Mn(R), ‖ ‖∞) est-elle une algèbre normée? algèbre normée unitaire?3. Pour A ∈ Mn(R), on pose : N0(A) = n ‖A‖∞. Montrer que (Mn(R), N0) est une algèbre normée.

Est-elle algèbre normée unitaire?

Exercice 1.6. Autres normes d’algèbre dansMn(R)


2 - Topologie d’un espace vectoriel normé .

2.1 - Ouverts, voisinages, fermés dans un e.v.n.

Soit (E, ‖ ‖) un espace vectoriel normé . Une partie Ω de E est dite un ouvert si :– soit : Ω = ∅– soit : pour tout x ∈ Ω, il existe r > 0 tel que B(a, r) ⊂ Ω .

Définition 2.1. Notion d’ouvert

1. ∅ et E sont des ouverts .2. Une boule ouverte est un ouvert.3. La réunion d’une famille quelconque d’ouverts est un ouvert.4. L’intersection d’une famille finie d’ouverts est un ouvert.

Proposition 2.1. Propriétés des ouverts

2. Soit B(a, r) une boule ouverte, et x ∈ B(a, r) . Soit ρ = r − ‖x− a‖. Alors B(x,ρ) ⊂ B(a, r) car, siy ∈ B(x,ρ) on a

‖y− a‖ = ‖(y− x) + (x− a)‖ 6 ‖y− x‖+ ‖x− a‖ < ρ+ ‖x− a‖ = r

On a donc bien trouvé, pour tout x ∈ B(a, r) une boule ouverte B(x,ρ) incluse dans B(a, r) ; cela signifieque B(a, r) est un ouvert.3. et 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A faire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Preuve :

Remarque : Pour n ∈ N, In =

]− 1

n + 1,

1n + 1

[est un ouvert de (R, | |) mais

⋂n∈N

In = 0 ne l’est pas.

Soit E un K-espace vectoriel muni de deux normes N1 et N2 . Alors les deux normes N1 et N2 sontéquivalentes si et seulement si toute partie ouverte pour l’une est ouverte pour l’autre .

Proposition 2.2.

Facile en utilisant la définition et la proposition 4.Preuve :

Soit E un espace vectoriel normé , et a ∈ E. On dit qu’une partie V de E est un voisinage de a s’il existe r > 0 tel que B(a, r) ⊂ V. On note V(a) l’ensemble de voisinages de a ou un voisinage de a.

Définition 2.2. Notion de voisinage


• Une partie Ω d’un espace vectoriel normé E est un ouvert si et seulement si il est voisinage de tous sespoints.• Une intersection finie de voisinage de a est un voisinage de a.• Si V est un voisinage de a et W une partie contenant V alors W est un voisinage de a

Théorème 2.1.

Remarque : Dans le cas particulier E = R, on définit les voisinages de +∞ (resp.−∞) comme les parties deR contenant un intervalle de la forme [a,+∞[ (resp ]−∞, a]).

On dit qu’une partie F d’un espace vectoriel normé est un fermé si son complémentaire est un ouvert.

Définition 2.3. Notion de fermé

1. ∅ et E sont des fermés. Ce sont les seules parties à la fois ouvertes et fermées de E .2. Une boule fermée est un fermé.3. L’intersection d’une famille quelconque de fermés est un fermé.4. La réunion d’une famille finie de fermés est un fermé.5. Toute partie finie de E est un fermé.6. Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace vectoriel normé est fermé.

Proposition 2.3.

2. Soit B f (a, r) une boule fermée ; il s’agit de montrer que son complémentaire C dans E est un ouvert.Soit donc x ∈ C donc ‖x− a‖ > r . Soit ρ = ‖x− a‖ − r . Montrons que B(x,ρ) ⊂ C. Soit y ∈ B(x,ρ) .Alors

‖y− a‖ = ‖(y− x)− (a− x)‖ > | ‖y− x‖ − ‖a− x‖ | = ‖a− x‖ − ‖y− x‖ > ‖a− x‖ − ρ = r

Donc ‖y− a‖ > r ; donc y ∈ C .3. et 4. Se déduisent des propriétés similaires pour les ouverts en passant au complémentaire.

Preuve :

2.2 - Intérieur, adhérence et partie dense.

Soit A une partie non vide d’un espace vectoriel normé E. On dit que a ∈ A est un point intérieur à A si et seulement si il existe r > 0 tel que B(a, r) ⊂ A.

L’ensemble des points intérieurs à A s’appelle l’intérieur de A , et se noteA.

Définition 2.4. Intérieur d’une partie


1. a ∈A si et seulement si A est un voisinage de a.

2.A ⊆ A et

A est le plus grand ouvert inclus dans A.

3.A = A⇐⇒ A est un ouvert.

4. A ⊆ B =⇒A ⊆

B.

5. L’intérieur d’une boule fermée est la boule ouverte de même centre et de même rayon.

Proposition 2.4.

3. Si A est un ouvert, pour tout a ∈ A il existe r > 0 tel que B(a, r) ⊂ A donc a ∈A . On a donc A ⊂

A

et comme l’inclusion réciproque est immédiate par définition, on a égalité. La réciproque est similaire.5. En effet, si x ∈ B(a, r) , puisque B(a, r) est un ouvert, il existe ρ > 0 tel que B(x,ρ) ⊂ B(a, r) doncB(x,ρ) ⊂ B f (a, r) donc x est intérieur à B f (a, r) . Réciproquement, si x est intérieur à B f (a, r), il existe

ρ > 0 tel que B(x,ρ) ⊂ B f (a, r). On a donc B(x,ρ

2) ⊂ B f (a, r) et en utilisant la proposition 3 on obtient

‖x− a‖ 6 r− ρ2< r,d’où x ∈ B(a, r)

Preuve :

Exemple : Dans R, puisque tout intervalle d’intérieur non vide contient une infinité de rationnels et une

infinité d’irrationnels, on a :Q = ∅ et

R−Q = ∅

Soit A une partie non vide d’un espace vectoriel normé E. On dit que a ∈ E est un point adhérent à A si et seulement si pour tout r > 0, B(a, r) ∩ A 6= ∅. L’ensemble des points adhérents à A s’appelle l’adhérence de A et se note A.

Définition 2.5. Adhérence d’une partie

Remarque : Par extension, si A ⊂ R, on dit que +∞ (resp. −∞) est adhérent à A si et seulement si ∀a ∈ R,[a,+∞[ ∩ A 6= ∅ (resp ]−∞, a] ∩ A 6= ∅). Ainsi, ±∞ sont adhérents à R.On note alors R = R∪ ±∞

1. a ∈ A⇐⇒ ∀r > 0 ∃x ∈ A : ‖x− a‖ < r.2. A ⊆ A et A est le plus petit fermé contenant A.3. A = A⇐⇒ A est un fermé.4. A ⊆ B =⇒ A ⊆ B.5. L’adhérence d’une boule ouverte est la boule fermée de même centre et de même rayon.

6. E \ A =

(E \ A) et E \

A = E \ A.

7. Pour tout x ∈ E , d(x, A) = 0 ⇐⇒ x ∈ A

Proposition 2.5.


3. Supposons A =A. Alors si x ∈ E A, x n’est pas adhérent à A donc il existe r > 0 tel que B(x, r)∩ A =

∅. c’est-à-dire B(x, r) ⊂ E A. Ainsi E A est un ouvert, donc A est un fermé. On montre de la même façonque, si A est un fermé ,ie E A est un ouvert, alors tout x ∈ E A n’est pas adhérent à A. Donc A ⊂ A etpuisque l’inclusion réciproque est immédiate par définition, on a l’égalité.

5. Par définition, tous les points de B(a, r) font partie de B(a, r) .Aucun point de EB f (a, r) ne peut faire partie de B(a, r) puisque, ce complémentaire étant un ouvert,pour tout x /∈ B f (a, r), il existe ρ > 0 tel que B(x,ρ) ⊂ EB f (a, r) c’est-à-dire B(x,ρ) ∩ B(a, r) = ∅.Enfin, si x ∈ S(a, r) , pour tout ρ > 0 on a B(a, r) ∩ B(x,ρ) 6= ∅. puisque cette intersection contient

des éléments de la forme x +1n

a− x‖x− a‖ pour n assez grand (à vérifier proprement). Les éléments de

l’adhérence de B(a, r) sont donc exactement ceux de B(a, r) ∪ S(a, r) = B f (a, r) .7. On rappelle que : On a d(x, A) = inf‖x− a‖ / a ∈ A, donc

∀ε > 0 , ∃a ∈ A tels que d(x, A) 6 ‖x− a‖ < d(x, A) +ε

Preuve :

Soit E un espace vectoriel normé , et A ⊂ E. On dit que A est dense dans E si et seulement si A = E.

Définition 2.6. Partie dense

Plus généralement, si A ⊂ B ⊂ E, on dit que A est dense dans B si et seulement si B ⊂ A.Exemple : Q et R \Q sont denses dans R

Soit E un espace vectoriel normé et A une partie non vide de E. Alors :A est dense dans E⇐⇒ ∀x ∈ E : d(x, A) = 0

Proposition 2.6.

Voir l’assertion 7 de la proposition 5 précédente.Preuve :

On appelle frontière d’une partie A dans un espace vectoriel normé l’ensemble notée : ∂A = A \A

Définition 2.7. Frontière d’une partie

Exemple : La frontière d’une boule de centre a et de rayon r est la sphère de centre a et de rayon r.

Remarques : 1. a ∈ ∂A⇐⇒ tout voisinage de a rencontre à la fois A et E A.2. On a vu que, si N1 et N2 sont deux normes équivalentes sur un espace vectoriel normé E ,

les ouverts pour les deux normes sont les mêmes. Il en résulte qu’il en est de même pour lesnotions de voisinage, de fermé, d’intérieur et d’adhérence.

A une partie de E et a ∈ A :1. Une partie V de A est voisinage relatif à A du point a s’il existe un voisinage W de a tel que V = W ∩ A.2. Un ouvert relatif à la partie A est de la forme U ∩ A avec U ouvert de E.3. Un fermé relatif à la partie A est de la forme F ∩ A avec F fermé de E.

Définition 2.8. Ouvert/fermé relatif


Exemple : [0, 1[ est un ouvert de R+


3 - Suites dans un espace vectoriel normé .3.1 - Suites convergentes dans un espace vectoriel normé .

Soit E un espace vectoriel normé . On appelle suite d’éléments de E toute application u : I −→ En 7−→ un

,

où I est une partie de N. On la note : (un)n∈I ou simplement (un)n.

Définition 3.1.

Remarques : 1. Si I est une partie finie de N, la suite est dite finie. Ce cas n’a aucun intérêt ici.2. Si I est une partie infinie de N, I est équipotent à N (à démontrer !), et on peut donc se limiter

au cas I = N, ce que l’on fera par la suite.3. Une suite peut être infinie et ne prendre qu’un nombre fini de valeurs (ex : (−1)n).

L’ensemble EN des suites définies sur N et à valeurs dans E a une structure de K-espace vectoriel pourles lois "usuelles" : si u, v ∈ EN et λ ∈ K, on pose : u + v : n 7−→ un + vn et λ.u : n 7−→ λun

Proposition 3.1.

Remarque : Désormais, on supposera que E est un espace vectoriel normé , et on notera ‖ ‖E sa norme (ousimplement ‖ ‖ s’il n’y a pas de confusion possible).

Une suite (un)n ∈ EN est dite bornée si son ensemble image est une partie bornée de E :∃M ∈ R tel que ∀n ∈ N , ‖un‖ 6 M

Définition 3.2. Suite bornée

Remarque : Si une suite est bornée pour une norme, elle l’est aussi pour toute norme équivalente ; mais unesuite peut être bornée pour une norme sans l’être pour une autre !

→ L’ensemble `∞(E) des suites bornées d’éléments de E est un sous-espace vectoriel de EN.→ `∞(E) est muni d’une structure d’espace vectoriel normé pour la norme ‖ ‖∞ définie par :

∀u ∈ `∞(E), ‖u‖∞ = supn∈N‖un‖E

Proposition 3.2.

Une suite (un)n∈N d’éléments de (E, ‖ ‖) est dite convergente s’il existe ` ∈ E tel que :∀ε > 0 , ∃n0 ∈ N tq ∀n ∈ N , n > n0 =⇒ ‖un − `‖ < ε

Définition 3.3. Suite convergente

Si (un)n est une suite convergente, le vecteur ` précédent est unique. On l’appelle limite de la suite u, eton note : ` = lim

n→+∞ un ou ` = lim un ou simplement un −→ ` .

Toute suite convergente est bornée.

Théorème 3.1.


Supposons qu’il existe `1 6= `2 vérifiant la définition précédente. On a alors, pour tout ε > 0 :

∃n1 ∈ N tq ∀n ∈ N , n > n1 =⇒ ‖un − `1‖ < ε et ∃n2 ∈ N tq ∀n ∈ N , n > n2 =⇒ ‖un − `2‖ < ε

Prenons ε =‖`1 − `2‖

2(c’est bien un réel strictement positif). On a alors, en choisissant n > max(n1, n2) :

‖`1 − `2‖ = ‖(`1 − un) + (un − `2)‖ 6 ‖un − `1‖+ ‖un − `2‖ < 2ε = ‖`1 − `2‖

d’où la contradiction.Soit (un)n∈N convergente de limite `. En appliquant la définition avec (par exemple) ε = 1, on obtient qu’àpartir d’un certain rang n0 on a ‖un − `‖ < 1, donc ‖un‖ < ‖`‖ + 1. Donc, pour tout entier n, on aura‖un‖ 6 max(‖u0‖ , . . . , ‖un0‖ , ‖`‖+ 1), ce qui montre que (un)n∈N est bornée.

Preuve :

Remarques : 1. Dire que ` = limn→+∞ un signifie aussi que la suite réelle positive (‖un − `‖)n tend vers 0 .

2. On ne change pas la nature d’une suite, ni, pour une suite convergente, sa limite, lorsqu’onremplace une norme par une norme équivalente.

Cela n’est plus forcément le cas lorsqu’on considère deux normes non équivalentes : prendrel’exemple de la suite de fonctions fn : t 7→ tn ,dans C([0, 1],R) : cette suite converge vers lafonction nulle au sens de la norme ‖ ‖1, mais n’a pas de limite au sens de la norme ‖ ‖∞ !

3. Une suite bornée n’est pas forcément convergente !. Considérer pour cela la suite de termegénéral un = (−1)n.

• Soient (un)n et (vn)n deux suites d’éléments de E convergentes resp. vers ` et `′.Alors la suite (un + vn)n converge vers `+ `′.• Soit (λn)n une suite d’éléments de K convergente vers λ ∈ K, et (un)n une suite d’éléments de E conver-

gente vers ` ∈ E. Alors, la suite (λn · un)n converge vers λ · `

Théorème 3.2.

1)∥∥(un + vn)− (`+ `′)

∥∥ 6 ‖un − `‖+∥∥vn − `′

∥∥, donc, d’après les résultats sur les suites réelles vus enSup,

∥∥(un + vn)− (`+ `′)∥∥ tend vers 0 quand n→ ∞.

2) On utilise ici une «astuce» classique :

‖λn · un − λ · `‖ = ‖λn · (un − `) + (λn − λ) · `‖ 6 |λn| ‖un − `‖+ |λn − λ| ‖`‖

puis on conclut en utilisant le fait que la suite (λn) est bornée (car convergente) et les résultats sur leslimites des suites réelles vus en Sup.

Preuve :

Corollaire : L’ensemble des suites convergentes d’éléments de E est un sous-espace vectoriel de EN, etl’application qui à une suite convergente associe sa limite est linéaire.


Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie p muni d’une base (e1, . . . , ep) et (un)n une suite

d’éléments de E. Pour tout n ∈ N, un peut s’écrire : un =p

∑i=1

ui,nei. (les (ui,n)n∈N sont les suites coordonnées

, à valeurs dans K). Alors la suite (un)n est convergente dans E si et seulement si , pour tout i ∈ [[1, p]], la

suite (ui,n)n est convergente dans K. Dans ce cas, si ` =p

∑i=1

ìei = limn→+∞ un, on a : ∀i ∈ [[1, p]], ì = lim

n→+∞ ui,n

Théorème 3.3. Cas de la dimension finie

E étant de dimension finie, toutes les normes sur E sont équivalentes ; on va donc utiliser la norme ‖ ‖∞relativement à la base (e1, . . . , ep).Supposons que la suite (un) converge vers `. Alors, avec les notations de l’énoncé, pour tout i ∈ [[1, p]],|ui,n − ì| 6 ‖un − `‖∞, donc |ui,n − ì| tend vers 0, i.e que la suite (ui,n) converge vers ì.Réciproquement, si pour tout i ∈ [[1, p]], la suite (ui,n) converge vers ì, alors, puisque ‖un − `‖∞ 6

p

∑i=1|ui,n − ì|, ‖un − `‖∞ tend vers 0, i.e (un) tend vers `.

Preuve :

3.2 - Liens avec la topologie.

Soit E un K-espace vectoriel muni de deux normes N1 et N2 . Alors les deux normes N1 et N2 sontéquivalentes si et seulement si toute suite (un)n d’éléments de E qui converge au sens de l’une des normesest aussi convergente au sens de l’autre (et dans ce cas, la limite au sens de chaque norme est la même).

Théorème 3.4.

— Si N1 et N2 sont équivalentes, il existe des réels α,β strictement positifs tels que ∀x ∈ E , αN1(x) 6N2(x) 6 βN1(x). Si (un) converge vers ` au sens de N1 (par exemple), alors N1(un − `) tend vers 0et, puisque N2(un − `) 6 βN1(un − `), on a aussi lim

n→∞ N2(un − `) = 0 donc (un) converge aussi vers` au sens de N2.

— Réciproquement, supposons que toute suite (un) d’éléments de E qui converge au sens N1 est aussi

convergente au sens de N2, et montrons qu’il existeβ > 0 tel que N2 6 βN1, i.e que le rapportN2

N1est

borné sur E \ 0. Par l’absurde, on a : ∀M ∈ R+, ∃x ∈ E \ 0 tqN2(x)N1(x)

> M. En particulier, pour

tout entier n, on pourrait trouver xn ∈ E tel que N2(xn) > nN1(xn). Posons alors yn =1√

nN1(xn)xn.

Puisque N1(yn) =1√n

, la suite (yn) converge vers 0 au sens de N1. Elle devrait donc être conver-

gente au sens de N2. Mais N2(yn) =1√

nN1(xn)N2(xn) >

√n montre que la suite (yn) n’est pas

même pas bornée au sens de N2, d’où la contradiction.

Preuve :


Remarque : Lorsque les normes ne sont pas équivalentes, une suite peut être convergente au sens de l’unemais pas au sens de l’autre. Considérer E = C([0, 1],R), et fn : t 7→ tn. ( fn) converge vers 0 ausens de ‖ ‖1, mais diverge au sens de ‖ ‖∞

Soit A une partie d’un espace vectoriel normé E. Alorsa ∈ A⇐⇒il existe une suite d’éléments de A qui converge vers a.

Théorème 3.5. Caractérisation séquentielle de l’adhérence

— Soit a ∈ A. Par définition, tout voisinage de a rencontre A. Donc, pour tout n ∈ N∗, l’intersection de

la boule ouverte de centre a et de rayon1n

est non vide, i.e qu’il existe an ∈ A tel que ‖an − a‖ < 1n

.

La suite (an) est donc bien une suite d’éléments de A qui converge vers a.

— Réciproquement, supposons qu’il existe une suite (an) d’éléments de A qui converge vers a. Alors,pour tout voisinage V de a, il existe un entier n0 ∈ N tel que an appartienne à V pour n > n0. Enparticulier, V ∩ A est non vide. Ainsi, tout voisinage de a rencontre A, ce qui signifie que a ∈ A.

Preuve :

Une partie A d’un espace vectoriel normé est un fermé si et seulement si toute suite d’éléments de A quiconverge dans E converge dans A.

Théorème 3.6. Caractérisation séquentielle des fermés

— Supposons A fermé, et soit (an)n∈N une suite d’éléments de A qui converge vers ` ∈ E.D’après le théorème précédent, on a ` ∈ A. Mais puisque A est fermé, A = A donc ` ∈ A.

— Réciproquement, supposons que toute suite d’éléments de A qui converge dans E converge dans A.En utilisant le th. précédent, on en déduit que, si a ∈ A alors a ∈ A ; ainsi A ⊂ A donc A = A et Aest fermée.

Preuve :

Applications : 1. Soit A une partie fermée bornée non vide de R. Alors sup A et inf A appartiennent à A.2. Le groupe orthogonal On(R), le groupe spécial SLn(R) sont des fermés deMn(R).3. Le groupe linéaire GLn(K) est un ouvert deMn(R).4. Soit f une fonction réelle définie sur un fermé de R. Le graphe de f est un fermé de R2.

1. Soit M = sup A. Par définition ∀ε > 0, ∃a ∈ A tel que M− ε < a 6 M. En appliquant cette définition

avec ε =1n

et n ∈ N∗, on obtient l’existence de an ∈ A tel que |M− an| <1n

. La suite (an) convergedonc vers M dans R. A étant fermé, M ∈ A d’après le résultat précédent.

2. Les autres utiliser seulement le résultat précédent et la définition de chaque ensemble.

Preuve :


Soit A une partie d’un espace vectoriel normé E. Alors A est une partie dense dans E si et seulement sitout élément de E est limite d’une suite d’éléments de A.

Proposition 3.3. Caractérisation séquentielle d’une partie dense

En effet, dire que A est une partie dense de E signifie que A = E, et il suffit d’utiliser la caractérisationséquentielle de l’adhérence.

Preuve :

Exemple : Le groupe linéaire GLp(K) est dense dansM p(K) :En effet, soit A ∈ M p(K). A possède un nombre fini de valeurs propres ; notons r le moduleminimum des valeurs propres non nulles de A (s’il en existe, sinon on peut choisir r = 1). Pour

tout n ∈ N∗, les matrices A− rn + 1

Ip sont inversibles (carr

n + 1ne peut être une valeur propre

de A), et forment une suite de matrices de GLp(K) qui converge vers A.

3.3 - Suites extraites. Suites de Cauchy.

Soit (un)n ∈ EN. On appelle suite extraite de (un)n toute suite de la forme(uϕ(n)

), oùϕ est une application

strictement croissante de N dans N.

Définition 3.4. Suites extraites

Si (un)n est une suite d’éléments de E qui converge vers `, toute suite extraite de (un)n converge, vers lamême limite ` .

Théorème 3.7.

Soit(uϕ(n)

)une suite extraite de u. Soit ε > 0. Il existe n0 tel que ‖un − `‖ < ε pour tout n > n0. Puisque

ϕ est une application strictement croissante de N dans N, on aϕ(n) > n pour tout n (démonstration facilepar récurrence).Donc, pour n > n0, on aϕ(n) > n0 d’où

∥∥∥uϕ(n) − `∥∥∥ < ε, ce qui prouve que la suite

(uϕ(n)

)converge vers `.

Preuve :

On appelle valeur d’adhérence d’une (un)n est une suite d’éléments de E tout élément de E limite d’unesuite extraite convergente de (un)n.

Définition 3.5. Valeur d’adhérence

Remarque : Une suite ayant au moins deux valeurs d’adhérence est une suite divergente

De toute suite bornée d’un espace vectoriel normé de dimension finie , on peut extraire une suite conver-gente.

Théorème 3.8. Théorème de Bolzano-Weierstrass


On va raisonner par récurrence sur la dimension p de E.

— Si p = 1, E est isomorphe à K, et le résultat est alors le théorème de Bolzano-Weierstrass pour lesusites à valeurs réelles ou complexes.

— Supposons le résultat démontré pour tout R-espace vectoriel de dimension p − 1, et soit E de di-mension p. Soit (e1, . . . , ep) une base de E ; E étant de dimension finie, toutes les normes sur E sontéquivalentes ; on va donc utiliser la norme ‖ ‖∞ relativement à la base (e1, . . . , ep).

Soit (un)n∈N une suite bornée dans E ; pour tout n, on peut écrire un = an + λn · ep, où an ∈ F =Vect(e1, . . . , ep−1) et λn ∈ R. Puisque ‖an‖∞ 6 ‖un‖∞ et |λn| 6 ‖un‖∞, les suites (an) (à valeursdans F) et (λn) (à valeurs dans R) sont aussi bornées.D’après l’hypothèse de récurrence, il existe une suite extraite

(aϕ(n)

)de (an) qui converge vers a ∈ F.

De la suite bornée de nombres réels(λϕ(n)

), on peut alors extraire une suite

(λϕψ(n)

)qui converge

vers λ ∈ R. Alors, la suite(aϕψ(n)

), extraite de

(aϕ(n)

), converge aussi vers a. Donc la suite

(uϕψ(n)

),

extraite de la suite u, converge vers a + λ · ep.

Preuve :

Remarques : 1. Ce résultat généralise celui obtenu pour les suites à valeurs complexes.2. Ce résultat n’est plus vrai si E est de dimension infinie.

Considérer pour cela : E = C([0, 2π ],C), muni de la norme ‖ ‖∞ et fn : t 7→ eint.

Soit (un)n une suite d’un espace vectoriel normé (E, ‖‖), on pose A = un / n ∈ N . Déterminerl’adhérence de A.

Exercice 3.1.

Soit E un espace vectoriel normé . Une suite (un)n d’éléments de E s’appelle une suite de Cauchy si ellevérifie le critère de Cauchy :

∀ε > 0 , ∃n0 ∈ N tels que ∀(n, m) ∈ N2 , n > n0 et m > n0 =⇒ ‖un − um‖ < εou :

∀ε > 0 , ∃n0 ∈ N tels que ∀(n, p) ∈ N2 , n > n0 =⇒∥∥un+p − un

∥∥ < ε

Définition 3.6. Suites de Cauchy

1. Toute suite convergente est de Cauchy.2. Toute suite de Cauchy est bornée.3. Si, d’une suite de Cauchy (un)n, on peut extraire une suite convergente (vers `), alors la suite (un)

converge (vers `).

Proposition 3.4.

1. Soit (un)n∈N une suite convergente, et ` sa limite. Soit ε > 0. Il existe alors un entier n0 tel que, pour n >

n0 on a ‖un − `‖ < ε

2. Pour n et m supérieurs à n0, on aura alors ‖un − um‖ = ‖(un − `)− (um − `)‖ 6

‖un − `‖+ ‖um − `‖ < ε, ce qui prouve que la suite u vérifie le critère de Cauchy.2. Soit (un)n∈N une suite de Cauchy. En appliquant la définition, on obtient en particulier : il existe un

entier n0 tel que, pour tout n > n0, ‖un − un0‖ < 1.

Démonstration :


Donc pour tout n, on a ‖un‖ 6 max‖u0‖ , . . . , ‖un0−1‖ , ‖un0‖+ 1

et la suite u est bornée.

3. Soit u une suite de Cauchy, dont on peut extraire une suite(uϕ(n)

)qui converge vers `. Soit ε > 0. On

écrit les définitions :

∃n0 ∈ N tq ∀(n, m) ∈ N2 , n > n0 et m > n0 =⇒ ‖un − um‖ <ε

2

∃n1 ∈ N tq ∀n ∈ N , n > n1 =⇒∥∥∥uϕ(n) − `

∥∥∥ <ε

2

Alors, pour n > max(n0, n1) on aura ‖un − `‖ =∥∥∥(un − uϕ(n)) + (uϕ(n) − `)

∥∥∥ 6∥∥∥un − uϕ(n)

∥∥∥ +∥∥∥uϕ(n) − `∥∥∥ < ε (car si n > n0, on a aussiϕ(n) > n0). Cela prouve que la suite u converge vers `.

On dit qu’un espace vectoriel normé (E, ‖ ‖) est complet (ou que c’est un espace de Banach ) si etseulement si toute suite de Cauchy d’éléments de E est convergente. Un espace préhilbertien complet est appelé un espace de Hilbert.

Définition 3.7. Espace de Banach

Tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet.

Théorème 3.9.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie, et (un) une suite de Cauchy d’éléments de E. D’après lapropriété 2 ci-dessus, (un) est bornée. E étant de dimension finie, on peut donc extraire de (un) une suiteconvergente (th. de Bolzano-Weierstrass). D’après la propriété 3 ci-dessus, il en résulte que (un) est conver-gente.

Preuve :

Remarque : Il existe des espaces vectoriels normés qui ne sont pas complets.

Exemple : E = C([0, 1],R), muni de la norme ‖ ‖1 n’est pas complet.

En effet : Considérons la suite de fonctions ( fn)n>3 définies comme suit :

fn est continue affine par morceaux, fn(x) = 1 si x ∈[

0,12

], fn(x) = 0 si x ∈

[12+

1n

, 1]

.

On vérifie alors facilement (simple calcul d’intégrale) que∥∥ fn+p − fn

∥∥1 6

14n

, donc ( fn) est

bien une suite de Cauchy pour ‖ ‖1.

Si ( fn) convergeait vers f ∈ E au sens de cette norme, on aurait alors f (x) = 1 si x ∈[

0,12

]et

f (x) = 0 si x ∈]

12

, 1]

, ce qui contredit la continuité de f .

Cependant, E, muni de la norme ‖ ‖∞, est complet !

3.4 - Application lipschitzienne.


Soient (E, ‖ ‖E) et (F, ‖ ‖F) deux e.v.n, et D une partie de E. Soit k ∈ R+. Une application f : D → F estdite k-lipschitzienne si et seulement si :

∀(x, y) ∈ D2, ‖ f (x)− f (y)‖F 6 k ‖x− y‖E.Elle est dite contractante si elle est k-lipschitzienne avec k < 1.

Définition 3.8. Application lipschitzienne

Exemple : La norme et la distance associée à une norme sont des applications lipschitisienne

Remarque : Le rapport k défini ci-dessus n’est pas unique : on peut en effet remplacer k par n’importe quelréel plus grand.

Plus précisément, soit A =

‖ f (x)− f (y)‖F‖x− y‖E

, (x, y) ∈ D2, x 6= y

; alors f est lipschitzienne

si et seulement si l’ensemble A est majoré ; les réels k tels que f soit k-lipschitzienne sont alorsles majorants de A. Le meilleur rapport de lipschitziannité de f est alors le plus petit de cesmajorants, i.e la borne supérieure de A.

→ L’ensemble des applications lipschitziennes de D dans F est un sous-espace vectoriel de A(D, F).→ La composée d’applications lipschitziennes est lipschitzienne.

Proposition 3.5.

Il suffit d’écrire les inégalités...Plus précisément, si f est k-lipschitzienne et si g est k′-lipschitzienne, α f + βg sera |α| k + |β| k′ lipschit-zienne, et g f (sous réserve que cette composée ait un sens !) est k · k′-lipschitzienne.

Preuve :

Remarque : Pour montrer qu’une application de classe C1 définie sur un segment I de R et à valeurs dansun espace vectoriel normé est k-lipschitzienne, il suffit de montrer (d’après l’inégalité des ac-croissements finis), que

∥∥ f ′∥∥∞ 6 k .

Soit D une partie fermée d’un espace vectoriel normé complet (E, ‖ ‖) et f une application contractante deD dans D. Alors :• l’équation f (x) = x admet une et une seule solution ` ∈ D.• Pour tout u0 ∈ D, la suite définie par la relation de récurrence un+1 = f (un) converge vers `.

Théorème 3.10. Théorème du point fixe

• La solution ` de l’équation f (x) = x dans D, si elle existe, est unique : en effet, si `, `′ sont deux tellessolutions, on doit avoir

∥∥ f (`)− f (`′)∥∥ 6 k

∥∥`− `′∥∥ d’où

∥∥`− `′∥∥ 6 k

∥∥`− `′∥∥ avec k < 1, ce qui

implique ` = `′.

• Soit alors u0 ∈ D quelconque, et (un) la suite définie par la relation de récurrence un+1 = f (un) (cettedéfinition a bien un sens, puisque D est stable par f ).On a alors, pour n > 1, ‖un+1 − un‖ = ‖ f (un)− f (un−1)‖ 6 k ‖un − un−1‖ d’où, par récurrence immé-diate, ‖un+1 − un‖ 6 kn ‖u1 − u0‖.

Preuve :


Pour (n, p) ∈ N2 on a donc∥∥un+p − un∥∥ =

∥∥(un+p − un+p−1) + (un+p−1 − un+p−2) + . . . + (un+1 − un)∥∥

6∥∥un+p − un+p−1

∥∥+ ∥∥un+p−1 − un+p−2∥∥+ . . . + ‖un+1 − un‖

6 (kn+p−1 + kn+p−2 + . . . + kn+1) ‖u1 − u0‖

6 kn+1 1− kp+1

1− k‖u1 − u0‖ 6

kn+1

1− k‖u1 − u0‖

ce qui montre que la suite (un) est de Cauchy, puisque limn→∞ kn+1 = 0.

• E étant complet, cette suite converge donc vers ` ∈ E. Puisque les un sont éléments de D et que D estfermé, on a bien : ` ∈ D.• Il reste à montrer que ` est bien un (le) point fixe de f . Pour tout n, on a ‖ f (un)− f (`)‖ 6 k ‖un − `‖ soit‖un+1 − f (`)‖ 6 k ‖un − `‖. En faisant tendre n vers +∞ dans cette inégalité, on obtient ‖`− f (`)‖ 6 0d’où ‖`− f (`)‖ = 0 et ` = f (`).

4 - Compacité dans un espace vectoriel normé .

Une partie K d’un espace vectoriel normé est dite compacte (ou un compact) si elle vérifie la propriété,dite de Bolzano-Weierstrass :

De toute suite d’éléments de K on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K.

Définition 4.1. Partie compacte

Exemples : 1. Toute partie finie d’un espace vectoriel normé est compacte.2. Tout segment [a, b] de R est un compact.3. R n’est pas compact.

Soit K une partie d’un espace vectoriel normé .→ K compact =⇒ K bornée.→ K compact =⇒ K fermé.→ Si K est un compact, et si F est un fermé inclus dans K, alors F est compact.

Proposition 4.1.

1. Supposons K compact. Si, par l’absurde, K n’était pas bornée, on aurait

∀M ∈ R+, ∃x ∈ K tq ‖x‖ > M

En particulier, on pourrait construire une suite (xn) d’éléments de K telle que ‖xn‖ > n pour tout n. Ilest clair qu’on ne peut alors extraire de (xn) aucune suite convergente, d’où la contradiction.

2. Supposons K compact. Pour montrer que K est une partie fermée, utilisons la caractérisation séquen-tielle des fermés : si (xn) est une suite d’éléments de K qui converge vers ` ∈ E, puisqu’il existe unesuite extraite qui converge dans K et que toute suite extraite converge vers `, on a bien ` ∈ K !

3. De toute suite d’éléments de F on peut extraire une suite qui converge dans K (puisque F ⊂ K et Kcompact) ; mais puisque F est fermé, cette suite extraite converge en fait dans F, ce qui montre que F estcompact.

Preuve :


Remarque : Une partie fermée et bornée n’est pas nécessairement compacte.Exemple : Dans E = C([0, 2π ],C), muni de la norme ‖ ‖∞, la sphère unité n’est pas compacte.En effet, considérons la suite ( fn) définie par : ∀n ∈ N, ∀t ∈ [0, 2π ], fn(t) = eint. Pour tout n,‖ fn‖∞ = 1, donc les fn forment bien une suite de la sphère unite de E.De plus, si (n, m) ∈ N2, on a ∀t ∈ [0, 2π ],

| fn(t)− fm(t)| =∣∣∣eint − eimt

∣∣∣ = ∣∣∣∣ei n+m2 t2i sin

(n−m

2t)∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣sin(

n−m2

t)∣∣∣∣

donc pour n 6= m, ‖ fn − fm‖∞ = 2.Aucune suite extraite de ( fn) ne peut donc vérifier le critère de Cauchy et, a fortiori, ne peutêtre convergente.

On a d’ailleurs le théorème suivant, plus général :

La boule unité d’un espace vectoriel normé E est compacte si et seulement si E est de dimension finie.

Théorème 4.1. Théorème de Riesz (H.P)

Cependant :

Soit K une partie d’un espace vectoriel normé E de dimension finie, alors K est compact si et seulementsi K est un fermé borné.

Théorème 4.2. Compacité en dimension finie

L’implication de gauche à droite a déjà été faite.Soit donc K une partie fermée bornée d’un espace vectoriel E de dimension finie, et (xn) une suite d’élé-ments de K. D’après le th. de Bolzano-Weierstrass, (xn) étant bornée dans un espace vectoriel normé dedimension finie, on peut en extraire une suite convergente dans E. K étant fermée, cette suite convergedans K.Ainsi, de toute suite d’éléments de K on peut extraire une suite convergente vers un élément de K : K estcompact.

Preuve :

→ Tout espace vectoriel de dimension finie est complet.→ Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d’un e.v.n est fermé.

Proposition 4.2.

F i nF i n


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