Chapitre n°10 : Probabilités sur un ensemble finiscolamath.free.fr/newdocs/2nde/2_2015_CHAP10_Notes_de_cours.pdf · Ex.2 p.248 (Hyperbole 2010) Attention : ne réaliser la simulation

1/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini

Chapitre n°10 : Probabilités sur un ensemble fini

Objectifs.

a) Déterminer la probabilité dans des situations d’équiprobabilité.b) Utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées.

c) P(A U B)+P(A B)= P(A)+P(B)

Activité d'approche n°1

Un sac contient 6 boules numérotées 1, 1, 2, 3, 4 et 4. On tire une boule au hasard, et on note son numéro.Complétez le tableau ci-dessous :

Numéro tiré (ou « issue » ou « résultats »)

Total

Probabilité

Expliquez vos calculs sur les probabilités :................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1/16


Cours n°1

Chapitre n°10 : Probabilités sur un ensemble fini

I) VocabulaireDéfinition n°1 : aléatoire

Une expérience est dite aléatoire si :- elle conduit à des résultats possibles qu'on peut nommer.- on ne …............. pas laquelle de ces issues va se réaliser

Définition n°2 : issues

Les différents résultats d’une expérience aléatoire s’appellent les éventualités ou issues. L’ensemble des éventualités s’appelle l’univers, on le note souvent Ω.

Exemple n°1

On lance un dé à 10 faces.Les issues possibles sont : ...........................................................................................

Définition n°3 : événement

Un événement est une partie de l'univers Ω, c'est à dire un ensemble d'issues.L’événement est réalisé si l'issue fait partie de l'ensemble des issues de l’événement.

Exemple n°2

Avec un dé à 4 faces, on s'intéresse à l’événement : « le nombre sorti est pair ».. Je lance le dé et j'obtiens 9. L’événement est-il réalisé ? ......... Combien d'issues comporte l'événement « le numéro sorti est pair » ? .......... Quelle est la probabilité théorique de l’événement « le numéro sorti est pair » ? ..........

2/16


Définition n°4 : événements particuliers

• Ω s’appelle l’événement c….........................• Ø s’appelle l’événement i.............................• a s’appelle un événement …................................. (il est formé

d’une seule éventualité).

Définition n°5 : opérations sur les évènements

Soient A et B deux événements.

.L'événement A ∩ B (se lit « A inter B ») est constitué des issues qui

figurent à la fois dans l'événement ... et dans l'événement .... Si l'expérience produit une issue qui est commune à A et à B, l'événement est réalisé..L'événement A U B (se lit « A union B ») est constitué de la réunion des issues qui figurent dans l'événement A et des issues qui figurent dans l'événement B. Si l'expérience produit une issue qui est dans A ... une issue quiest dans B, l'événement est réalisé..L'événement A (se lit « non A ») est constitué des issues qui ne figurent ….... dans l'événement A..Deux événements sont dits i................................ s'ils n'ont aucune issue en commun.

3/16

Un événement Un événement

L'événement c...............

Un événement B.


Exemple n°3

Avec un jeu de 32 cartes, on note l'événement A : « la carte est rouge. », l'événement B : « la carte est noire. », l'événement C : « la carte est une reine . » et l'événement D : « la carte est un trèfle . Donnez les issues de :

. l'événement A ∩ C : ......................................................................................................

................................................................................................................................................

. L'événement A : ......................................................................................................

................................................................................................................................................

. L'événement A U D : ......................................................................................................

................................................................................................................................................Citez deux événements incompatibles : ....................................................................

Exercice n°1On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. On appelle :. C l’événement « la carte tirée est un coeur ».. F l'événement « la carte tirée est une figure (roi, dame ou valet) ».

1. Décrire par une phrase l'événement C ∩ F. Combien compte-t-il d'issues ?

2. Décrire par une phrase l'événement C U F. Combien compte-t-il d'issues ?

3. Décrire par une phrase l'événement C ∩ F. Combien compte-t-il d'issues ?

4. Décrire par une phrase l'événement C U F Combien compte-t-il d'issues ?Exercice n°2

Deux épidémies sévissent en même temps dans un lycée, la gastro-entérite et un rhume. On choisit un élève au hasard et on nomme :. G l'événement « l'élève a la gastro-entérite ». R l'événement « l'élève a un rhume »Décrire à l'aide de ces deux événements :1. « l'élève a la gastro-entérite et le rhume ».2. « l'élève a le rhume, mais pas la gastro-entérite »3. « l'élève a au moins une des deux maladies »4. « l'élève n'a aucune des deux maladies ».

4/16



I) Utilisation de « ALEA.ENTRE.BORNES() » et de NB.SI1. Dans un tableur on peut simuler un tirage aléatoire : .En tapant =ALEA() dans une cellule, on affiche un nombre décimal aléatoire entre 0 et 1..En tapant =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6), on affiche un nombre entier aléatoire entre 1 et 6 (comme pour un dé).Faites un essai en entrant =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) dabs la cellule A1, et en recopiant cette cellule vers le bas 500 fois (utilisez la« poignée de recopie » )2. On veut pouvoir compter, dans une colonne, le nombre de« 1 ». Pour cela, il suffit d'utiliser la formule =NB.SI(colonne à tester;«=1»).Faites un essai en entrant =NB.SI(A1:A500;«=1»)

II) Simulation de lancer d'un dé à 6 faces.Ouvrez un nouveau classeur.1. Dans la colonne A, simulez 10 lancers de dés à 6 faces.

a. En B1, indiquez le nombre de 1En B2, indiquez le nombre de 2etc.b. On appelle fréquence le rapport

nombre de foisoù l ' événement s ' accomplitnombre de lancers

.

En C1, calculez la fréquence de l'événement « obtenir 1 ».En C2, calculez la fréquence de l'événement « obtenir 2 ». Etc.

Recopiez les fréquences ci-dessous, au millième près : C1 : ................C2 : ................C3 : ................C4 : ................

C5 : ................C6 : ................

5/16


2. Dans la colonne A, augmentez le nombre de lancés à 100 et recalculez les fréquences de chaque événement.Recopiez les fréquences ci-dessous, au millième près : C1 : ................C2 : ................C3 : ................C4 : ................

C5 : ................C6 : ................

3. Dans la colonne A, augmentez le nombre de lancers à 1000 et recalculez les fréquences de chaque événement.Recopiez les fréquences ci-dessous, au millième près : C1 : ................C2 : ................C3 : ................C4 : ................

C5 : ................C6 : ................

4. Dans la colonne A, augmentez le nombre de lancers à 10000 et recalculez lesfréquences de chaque événement.Recopiez les fréquences ci-dessous, au millième près : C1 : ................C2 : ................C3 : ................C4 : ................

C5 : ................C6 : ................

5. Comparez les fréquences obtenus. Que semble-t-il se passer ?6. Si l'on poursuivait indéfiniment les lancers, les fréquences se rapprocheraient d'un nombre, lequel ? ........Ce nombre s'appelle la probabilité de l'événement.

6/16


Cours n°2

II) Probabilités sur un univers Ω fini.

Définition n°6

On appelle probabilité le nombre vers lequel tend la f..................................... de réalisation d'un événement quand on répète l'expérience aléatoire un nombre i............................................ de fois.

Exemple n°4

Avec un dé à 10 faces, on s'intéresse à l’événement : « le nombre sorti est 1».Quelle est la probabilité théorique de cet événement ? ..........

Propriété n°1

La somme des probabilités de tous les événements élémentaires d'un univers vaut …..

Exemple n°5

Avec un dé à 6 faces, on s'intéresse aux événements : « le nombre sorti est 1»,« le nombre sorti est 2», etc.Quelle est la probabilité de chacun de ces événements ? ..........Quelle est la probabilité que de l'événement « obtenir un nombre » ? ..........

Exercice n°3Ex.13 p.249 (Hyperbole 2010)

Exercice n°4On considère un dé à 6 faces pipé. En utilisant le tableau suivant, calculez P(6) :

Face 1 2 3 4 5 6

Probabilité 0,1 0,2 0,1 0,15 0,15


Activité 2 et 3 p.240 (Hyperbole 2010)

7/16


Cours n°3

III) Calculs de probabilitésDéfinition n°7 : probabilité d'un évènement

La probabilité d'un événement est la s…...................................... des probabilités des issues qui le réalisent.

Exemple n°6On lance un dé truqué à 6 faces, dont les probabilités vérifient les relations suivantes :P(1)=2P(2) ; P(3)=2P(2) ; P(4)=2P(2) ; P(5)=P(2) ; P(6)=2P(2) Quel est la probabilité de l'événement E : « obtenir un multiple de 3 » ?...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Propriété n°2P( A )=.... – P(A)

Exemple n°7Avec un dé à 10 faces, on s'intéresse à l'événement : « le nombre sorti est différent de 1».Quelle est la probabilité de cet événement ? ....................................................

Propriété n°3

P(A U B)=P(A)+P(B)-P(.... …. ….)

Démonstration :

….......................................................................................................................................................................................................................................................................................................

8/16


Exercice n°5On considère les événements A et B tels que P(A)=0,6, P(B)=0,5 et

P(A ∩ B)=0,3. Calculez P(A U B).

Exercice n°6A et B sont deux événements incompatibles. Calculer P(A U B) si P(A)=0,3 et P(B)=0,5

Exercice n°7On lance trois fois une pièce bien équilibrée.1. Représentez la situation par un arbre.2. Quelle est la probabilité :

a. d'avoir 3 « faces » ?b. que le deuxième jet soit « face » ?c. que le troisième jet soit différent du premier ?

Exercice n°8*On lance deux dés à 6 faces, et on regarde la somme obtenue.1. Donnez l'ensemble des résultats possibles.2. Tous les événements élémentaires ont-ils la même probabilité ? Donnez la probabilité de chaque événement élémentaire.3. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?4. Quelle est la probabilité d'obtenir 7 ou plus ?

Exercice n°9**On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes, on la note, puis on la remet dans le jeu, avant d'en tirer une seconde.1. Combien y a-t-il d'issues ?2. Calculez la probabilité de :

a. tirer 2 cœurs ;b. ne pas tirer de cœur ;c. tirer exactement un cœur ;d. tirer deux fois la même carte ;e. tirer deux cartes différentes ;f. tirer le roi de cœur.

9/16


Cours n°4

IV) Lois de probabilitésDéfinition n°8

Une loi de probabilité sur un univers, est une f............................. qui, à chaque événement élémentaire de cette univers, fait correspondre une p........................................

Exemple n°8a. On lance une fois un dé à 20 faces, Si le dé n'est pas truqué, chaque événement élémentaire a autant de chance de se produire qu'un autre (on parle d'équiprobabilité). Sachant que la somme de toutes les probabilités des événements élémentaires vaut 1, la probabilité d'un événement élémentaire vaut : ................b. On lance une fois deux dés à 6 faces et on calcule la somme.Faites un arbre des possibilités :

En déduire les probabilités des événements élémentaires :p(1)=....... ; p(2)=.......... ; …......................................................................................................…..................................................................................................................................................

Définition n°9

Dans le cas d'une loi équirépartie, la probabilité d'un événement élémentaire

A est donnée par P(A)= 1n ......................d 'i ..............p ...............................

Voir exemple a précédent.

10/16


Exercice n°10Ex.2 p.248 (Hyperbole 2010) Attention : ne réaliser la simulation que 20 fois.

Exercice n°11*Ex.21 p.250 (Hyperbole 2010)



Exercice n°14**Ex.33 p.252 (Hyperbole 2010)

11/16


Indices permettant de savoir si on a juste ou faux.

Act.1 : Dans le désordre : 16

; 13

; 13

; 16

Ex.1 : Dans le désordre : 6,7,8,9,10,6,7,8,9,10,6,7,8,9,10 (15 issues) ; R ; D ; V (3 issues) ; V,D,R, V,D,R, V,D,R (9 issues) ; 6,7,8,9,10,V,D,R, V,D,R, V,D,R, V,D,R (17 issues)

Ex.2 : 1. G ∩ R 2. R ∩3. G U R 4. 26

Act.2 : Si tout est fait correctement, toutes les fréquences tendent vers la valeur

décimale approchée de 16.

Ex.3 : a. 14

b. 12

Ex.4 : 0,3Act.3 : Act.2 du livre : a. 1;2;3;2;3;4;3;4;5;4;5;6 b. « Obtenir une somme égale à 4 »

- Act.3 du livre : a. b. 112

Ex.5 : 0,8Ex.6 : 0,8Ex.7 : 1.

2. a. 18

b. A

c. 12

12/16


Ex.8 : 1. 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 2. 136

; 236

; 336

; 436

; 536

; 636

; 536

;

436

; 336

; 236

; 136

3. 12

4. 712

Ex.9 : 1. 1024 2a. 641024

b. 5761024

c. 1921024

d. 132

e.

9921024

f. 132

+ 311024

Ex.10 : a. 1921024

, P(R)=1

10, P(N)=

310

b.

Casio graph35 : OPTN->F6->F4->F2, puis (, puis OPTN->F6->F3->F4->F1,puis *10)+1 EXE EXE EXE …. TI 83 : MATH > (pour atteindre NUM) 5, puis touche MATH > > > (pour atteindre PRB) 1, puis *10+1 ENTER ENTER ENTER ENTER...

Ex.11 : a. b. A : (2,1),(2,3),(2,4) B : (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) c. (2,3) d. 312=

14

;

412

=13

; 112

e. 612

=12

Ex.12 : a. 13,4,5,62,4,6b. A U B : 1,3,4,5,6

B ∩ C : 4,6

P(A)= 16

P(B)=46

P(C)=36

=12

P(A U B) = P(B ∩ C)=

Ex.13 : 1a. R,R ; R 1b. L'un est un sous-événement de l'autre.

13/16


1c. Indice : Faire la liste de toutes les cartes et entourer...2. P(A)=12

; P(B)=14

;

P(C)=18

;

P(A ∩ C) = 116

; P( B ∩ C) = 132

; P(A U B) = 12

Ex.14 : a.

b. 26

= 13

c. « Au moins un jeton est resté à sa place » ; P( U ) = 23

14/16


15/16

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …..................................................

Nom, prénom et classe :….........................................................................................* Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°......* Je veux repasser le contrôle n°.......Travail fait en classe : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...Travail à faire pour la prochaine fois :- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...


Date : …..................................................



Date : …..................................................



Date : …..................................................



Date : …..................................................



Date : …..................................................



Date : …..................................................



Date : …..................................................



16/16

Documents

Chapitre n°10 : Probabilités sur un ensemble finiscolamath.free.fr/newdocs/2nde/2_2015_CHAP10_Notes_de_cours.pdf · Ex.2 p.248 (Hyperbole 2010) Attention : ne réaliser la simulation