Chapitre n°2 : Généralités sur les fonctions et ...scolamath.free.fr/newdocs/2nde/2_2015_CHAP2_Notes_de_cours.pdf · 2/24 - Chapitre n°2 : Généralité sur les fonctions et

1/24 - Chapitre n°2 : Généralité sur les fonctions et calculatrice

Chapitre n°2 : Généralités sur les fonctions etCalculatrice.

Objectifs.

a) Traduire le lien entre deux quantités par une formule.[Quelques exemples de f° définies sur un ensemble fini, sur N, voire de f° de 2 variables – aire en f° des dim – sont à donner]b) Pour une fonction définie par une courbe, un tableau de données, ou une formule : i. Identifier la variable et l’ensemble de définition. ii. Déterminer l’image d’un nombre. iii. Déterminer des antécédents d’un nombre.

Activité d'approche n°1.

Monsieur Sphéro, architecte, souhaite répondre à un appel d'offre pour construire une salle de spectacle. Il propose une salle sphérique et voudrait uneapproximation de la taille maximale possible d'un écran de cinéma dans ce type de salle. Voici le schéma qu'il fournit à Mathéo son assistant :[AB] est unsegment tel que AB=10 m.O est le milieu de[AB], I un pointmobile sur [OA].IJKL est unrectangle tel que OJ=OI et que K et L soient sur le cercle de diamètre [AB].On pose x = OI et on appelle f(x) la formule (ou fonction) qui donne l'aire du rectangle IJKL en fonction de x.

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1) Dans quel intervalle varie x ? …......................................................................................2) Calculez IL si x vaut 4.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3) De façon générale, exprimez, en fonction de x, la longueur IL.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................4) En déduire la formule f(x) qui donne l'aire du rectangle IJKL en fonction de x.

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.....................................................................................................................................................5) En utilisant votre calculatrice ou un tableur (ou « à la main »), complétez le tableau suivant (on arrondira si nécessaire au centième près) :

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5f(x)

6) Quelle est l'image de 3 par f ? En déduire quel sera l'aire de IJKL si on prend un écran de 6 m de large.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

7) Quels sont les antécédents de 0 par f ? En déduire les dimensions pour lesquelles l'aire de l'écran vaut 0.

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8) Calculez f(1) (on lit ceci « f de 1 »).....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

9) Trouvez des valeurs de x pour laquelle f(x)=84.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

10) D'après le tableau, pour quelle valeur de x l'aire du rectangle semble-t-elle maximale ?........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

11) Dans un repère orthogonal, placez les points de coordonnées (x ; f(x)) du tableau (page suivante)

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12) On appelle courbe représentative de la fonction f l'ensemble de tous les points de la forme (x ; f(x)). Les a-t-on tous placé ici ? Dessinez la forme probable de la courbe si on plaçait tous les points (x ; f(x)).

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Cours n°1

Chapitre n°2 : Généralités sur les fonctions etCalculatrice.

I) Définitions et notations sur les fonctions.Définition n°1 (à savoir)

Une fonction f est un procédé de calcul qui, à un nombre r, associe un autre nombre noté f(r).

Exemple n°1 (à savoir refaire)

Le procédé qui, à t associe t² – 1 est une fonction. On peut l'appeler, par exemple, g.On a alors : g(t)=........... …… [compléter les pointillés]

Définition n°2 (à savoir)

L'image d'un nombre x par une fonction f est le …............................ du procédé de calcul appliqué avec le nombre x. On la note f(x) (se lit « f de x »)


• L'image de 1 par la fonction g de l'exemple n°1 est : g(……)=(……)²– ……=……• g(-4)=(……)... – …… = …… … …… =……


Un antécédent d'un nombre y par une fonction f est un nombre qui, si l'on applique le procédé de calcul f, donne comme résultat y. Pour le trouver, on peut résoudre une …..........................


Un antécédent de 0 par g est … car g(……)=(……)² – ……= …… – …… =……Rechercher tous les antécédents possibles de 0 par g, c'est résoudre l'équation g(x)=0, soit :x2–……=0.On peut appliquer une égalité remarquable : a2 – b2=(… … …)(… … …)

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Donc x2–……=(… … …)(… … …), et l'équation x2–……=0 revient à l'équation :(… … …)(… … …)=0Pour qu'un produit de deux expressions soit égal à 0, il faut ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………On a donc, soit … … … = 0, soit … … … = 0.Ce qui donne deux antécédents : …… et ……

Définition n°4 (à savoir)La courbe représentative d'une fonction est l'ensemble de tous les points decoordonnées (x ;.........). On le nomme souvent cf.L'équation de la courbe représentative est y=f(x)

Exemple n°4 (à savoir refaire)Pour avoir l'allure de la représentation graphique de la fonction g de l'exemple n°1, il faut faire un tableau de valeurs :

x -4 … … … … … … … …

g(x) …… …… …… …… …… …… …… …… …… Puis on place les points dans un repère :

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-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

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x

y


Exercice n°1Ex.6 p.46 (Hyperbole Nathan 2010).........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................




Exercice n°5Ex.12 p.47 (Hyperbole Nathan 2010).....................................................................................................................................................

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Exercice n°7*f est la fonction définie par : f(x)= √ x .

g est la fonction définie par : g(x)=x2.

1. Faire les deux tableaux de valeurs de ces fonctions, de 0 à 2, par pas de 0,2,en arrondissant éventuellement au centième.2. À l'aide de ces deux tableaux, tracer dans un repère les deux courbes représentatives de ces deux fonctions.3. D'après les courbes, quelles sont probablement les solutions de l'équation√ x =x2 ? Vérifiez que ces nombres sont effectivement solution de cette équation........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Exercice n°8*f est la fonction définie par : f(x)=3x – 1g est la fonction définie par : g(x)=-2x+2

1. Construire les représentations graphiques de ces deux fonctions.2. D'après les courbes, quelle est approximativement la solution de l'équation 3x-1=-2x+2 ?3. Retrouvez cette solution par le calcul............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°9**f est la fonction définie par : f(x)= 2x – 1

g est la fonction définie par : g(x)=x2

1. Construire les représentations graphiques de ces deux fonctions.2. D'après les courbes, quelle est approximativement la solution de l'équation 2x –1=x2 ? Retrouvez cette solution par le calcul.

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Cours n°2

Notation n°1 :

L’ensemble des nombres réels, noté ℝ, est l’ensemble des abscisses des points

d’une droite graduée.

Remarque : Cet ensemble contient l’ensemble des entiers naturels, des entiers relatifs, des nombres décimaux, des nombres rationnels et des nombres irrationnels.

Définition n°5 :

Soit a et b deux nombres réels tels que a b.On appelle intervalle fermé [a ; b] l’ensemble des nombres réels x tels que a x b.

On appelle intervalle ouvert ]a ; b[ l’ensemble des nombres réels x tels que a < x < b.

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a b

a b

(Dessinez l'intervalle et les crochets dans le bon sens)


Il existe également des intervalles ouverts d’un côté et fermés de l’autre :. ]a ; b] est l’ensemble des réels x tels que a < x b.

. [a ; b[ est l’ensemble des réels x tels que a x < b .

Exemple n°5 :

[-6 ; 2[ est l’ensemble des nombres compris entre ... inclus et ... exclus.

Définition n°6 : (à savoir)

Soit a un nombre réel.On note [a ; +∞[ l’ensemble des nombres réels x tels que a x.

On note ]a ; +∞[ l’ensemble des réels x tels que a < x.

On note ]-∞ ;a] l’ensemble des réels x tels que x a .

On note ]-∞ ;a[ l’ensemble des réels x tels que x < a.

-∞ se lit « moins l’infini » et +∞ se lit « plus l’infini ».

Exemple n°6 :

[-3 ; +∞[ est l’ensemble des nombres …..........................................................................

Notation n°2 :

L'intervalle [0 ; +∞[ est aussi noté ℝ+

L'intervalle ]–∞ ; 0] est aussi noté ℝ-

]–∞ ; 0 [ U ] 0 ; +∞[ (autrement dit l'ensemble des nombres réels privé de 0

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(Dessinez l'intervalle et les crochets dans le bon sens)a b

(Dessinez l'intervalle et les crochets dans le bon sens)

a b(Dessinez l'intervalle et les crochets dans le bon sens)

(Dessinez l'intervalle et le crochet dans le bon sens)a

(Dessinez l'intervalle et le crochet dans le bon sens)



a

a

a


est aussi noté ℝ*

Exemple n°7 :

Compléter avec le symbole d'appartenance ∈ ou de non-appartenance ∉ :

a. -6 …… ]-8;0]

b. 2……]–∞;2[

c. 9……]–∞;-6]U]1;+∞[


On appelle ensemble … …...................... d'une fonction f l'ensemble des nombres pour lequel on peut ….......................... le résultat par le procédé de calcul f . Cet ensemble s'écrit sous la forme d'un intervalle ou de la réunion d'intervalles.


1. La fonction qui, à un coté de longueur c associe l'aire du carré de côté c, n'est définie que pour les nombres positifs ou nuls. Son ensemble de définition est donc l'intervalle ……………………………………

2. La fonction f : f (x )=1x

est définie sur ……

3. La fonction g : g(x)=x2 est définie sur ……4. La fonction h : h(x)= √ x est définie sur ……


Soit f la fonction qui, à x associe 1x−1

.

1. Construire un tableau de valeur entre -1 et 3, par pas de 0,5...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2. Que semble-t-il se passer pour 1 ? Pourquoi ? En déduire l'ensemble de définition de f.

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.....................................................................................................................................................3.a. Construire un tableau de valeur entre 0,5 et 1,5, par pas de 0,1............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... b. Construire un tableau de valeur entre 0,9 et 1,1, par pas de 0,02............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... c. Que semble-t-il se passer quand on s'approche de 1, par valeurs inférieures ?.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... d. Que semble-t-il se passer quand on s'approche de 1, par valeurs supérieures ?.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... e. À votre avis, sur la courbe représentative de f , pourra-t-on passer du point (0,98 ; f(0,98)) au point (1,02 ; f(1,02)) sans lever le crayon ?..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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4. Construire la courbe représentative de cette fonction, à parir des tableaux de valeurs précédents :


Exercice n°11Ex.2 p.46 (Hyperbole Nathan 2010)....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

x

y


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Exercice n°13*f est la fonction définie par : f(x)= 2x(x – 1)

g est la fonction définie par : g(x)=3(x – 1)

1. Construire les représentations graphiques de ces deux fonctions.2. D'après les courbes, quelles sont approximativement les solutions de l'équation 2x(x – 1)=3(x – 1) ?3. Factoriser 2x(x – 1) – 3(x – 1) = 0

4. Résoudre l'équation 2x(x – 1)=3(x – 1).

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Exercice n°14**

f est la fonction définie par : f(x)= 56

x – 16

g est la fonction définie par : g(x)=x2

1. Construire les représentations graphiques de ces deux fonctions.2. D'après les courbes, quelles sont approximativement les solutions de

l'équation 56

x – 16

=x2 ?

3. Développez (x – 12

)(x – 13

).

4. Utilisez le résultat précédent pour résoudre l'équation 56

x – 16

=x2.

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Exercice n°15*** (source : sésamath)On considère un carré de côté 15 cm. Dans chaque coin,on découpe un même carré pour obtenir le patron d'uneboite sans couvercle.1. Calculer le volume de la boite si BM=3 cm.2. Peut-on réaliser une boite si BM vaut 8 cm ?3. On pose BM=x et on appelle V(x) la fonction qui à xassocie le volume de la boite sans couvercle.

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T

B

M

O

I


a. Déterminez une expression de V.b. Quel est l'ensemble de définition de V ?c. Tracez la courbe représentative de V (à l'aide de votre calculatrice ou

d'un logiciel).d. En lisant les informations sur la courbe, pour quelles valeurs de x

environ le volume est-il supérieur ou égal à 100 ?e. En lisant les informations sur la courbe, y a-t-il une valeur

« optimale », c'est à dire pour laquelle le volume est le plus grand possible ? .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Exercice n°16***Mathéo doit se déplacer de la ville A à laville C, le plus rapidement possible.Il sait qu'il peut : - (option 1) rejoindre la ville B (à la vitessemaximale de 90 km/h), et qu'à partir delà, il peut emprunter l'autoroute pour allerà C, à la vitesse maximale de 110 km/h.- ou : (option 2) rejoindre directement la ville C à la vitesse maximale de 90 km/h.Le triangle formé des villes A, B et C est rectangle en B. AB mesure 30 km, et BC mesure 55 km.1. Calculez le temps qu'il mettra s'il choisit l'option 1, et le temps qu'il mettra s'il choisit l'option 2.2. Calculez le temps qu'il mettra s'il fait le trajet AM puis MC, avec M milieu de [BC].3. On cherche à connaître la position du point M la plus optimale, c'est à dire qui correspond au trajet le plus rapide. En utilisant tout moyen mis à votre disposition, estimez-la, au dixième de kilomètre près............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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A

B CMx

55

30


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Indices permettant de savoir si on a juste ou faux.

Act.1 : 1) [0;5] 2) 3 3) Indice : Pythagore 4) f(x)=2x(25 – x2) 5) 0 ; 24,75 ; 48 ; 68,25 ; 84 ; 93,75 ; 96 ; 89,25 ; 72 ; 42,75 ; 0 6) 96 7) 0 et 5 8) 48 9) 2,5 10) 3 11)

12) Non.

Ex.1 : vff Ex.2 : b) Images dans le désordre [procédez par élimination] : 144 ;4 ; 121 ; 9 ; 100 ; 16 ; 81 ; 25 ; 64 ; 36 ; 49 d) (x+4)x+4=x2+...x+4=(...

+...)2

Ex.3 : a.-3 b. -48 c. Oui d. Oui e. 3Ex.4 : a.O;A;D b. O,A,D,E.Ex.5 : a. Quelques valeurs : (-10;70) ; (-9;52) ; … … ; (-2 ;-18) ; (-1 ; -20) ; (0 ; -20) ; (1 ; -18) ; (2 ; -14) ; … … ; (8 ;52) ; (9 ; 70) ; (10 ; 90) b. Ex.6 : a. Quelques valeurs : (-4 ; 4) ; … … ; (-3 ; -1) ; … … ; (-1 ; -5) ; … … ; (1 ; - 1) ; … … ;(3 ; 11) ; … … ; (5 ; 31) b.

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0 1 2 3 4 5

908070605040302010

-10

y

x


Ex.7 : 2. 3. 0 et 1 . √0 =0 et 02=0. √1 =1 et 12=1.

Ex.8 : 1. 2. x ≈ 1,7 3. 35

Ex.9 : 1. 2. 1 ; 2x-1=x2 → x2-2x+1=0 → (x – ...)2=0 → …

Ex.10 : Dans le désordre [procédez par élimination] : ]–∞;5[ [3;7] ]–∞ ;-2] [-3;5[ [0;+∞[ ]-2;1]

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0 1 2

4

3

2

1

y

x

0 1 2

5

4

3

2

1

-1

-2

y

x

-2 -1 0 1 2

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

y

x


Ex.11 : Dans le désordre [procédez par élimination] : 0<x<4 ; -2x1 ; 1x<100 ;

x5 ; x<10 ; x0

Ex.12 : a. Indice : Le dénominateur vaut alors 0...b. 16

c. 0

Ex.13 : 1. 2.1 et 1,5 3.(2x–3)(x–1) 4.1,5 et 1

Ex.14 : 1. 2. 0,3 et 0,5 3.x2 – 56

x+16

4. 12

et 13

Ex.15 : 1. 243 cm3. 2. Non 3. a.V(x)=x(15-2x) b. [0;7,5] c. d. Non e. 3,75

Ex.16 : 1. Option 1 : 50 min – Option 2 : 41,8 min 2. 41,5 min 3. 42,7 km.

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-2 -1 0 1 2

121110987654321

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

y

x

-2 -1 0 1 2

4

3

2

1

-1

y

x

0 1 2 3 4 5 6 7

282624222018161412108642

y

x


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Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …..................................................

Nom, prénom et classe :….........................................................................................* Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°......* Je veux repasser le contrôle n°.......Travail fait en classe : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...Travail à faire pour la prochaine fois :- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...


Date : …..................................................



Date : …..................................................



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