Chapitre V Simulation de champs acoustiques : le logiciel

Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA

Chapitre V

Simulation de champs acoustiques : le logiciel Simul-PA

I) Présentation générale de Simul-PA

1. Introduction

Le logiciel Simul-PA a été développé au Laboratoire Ondes et Acoustique ; ce logiciel résulte

d’une collaboration avec la société R.D.&Tech (Québec), spécialisée dans le Contrôle Non

Destructif et utilisant, entre autres, les techniques ultrasonores. Ce logiciel été développé

d’une part pour les applications du type C.N.D., d’autre part afin de simuler et ainsi mieux

comprendre les expériences réalisées au laboratoire dans le domaine du retournement

temporel des ondes acoustiques.

La version 1.0 du logiciel existe maintenant depuis environ deux ans. La version 2.0 est

désormais disponible au laboratoire ainsi qu’auprès de notre partenaire R.D.&Tech ; cette

version a permis de faire considérablement évoluer le logiciel.

Ce logiciel est en évolution permanente.

On peut résumer de façon très synthétique les potentialités actuelles du logiciel :

• simulation de champs acoustiques émis et reçus par des réseaux de transducteurs,

• propagation des champs acoustiques à travers des interfaces séparant fluides et solides,

• calcul de lois de focalisation,

• déformation de transducteurs en surface de Fermat,

• calcul de champs diffractés,

• calcul d’images rétrodiffusées par des défauts présents dans les matériaux.

Comme tout logiciel, Simul-PA utilise certaines approximations des phénomènes physiques

complexes qui interviennent dans les mécanismes de rayonnement par les transducteurs ou de

147


réflexion/transmission à travers les interfaces de géométries diverses. Dans ce chapitre, nous

allons présenter les approximations faites ainsi que leurs domaines de validité.

2. Simul-PA dans un environnement réseau

Une innovation importante de la version actuelle de Simul-PA est sa capacité de travailler

dans un environnement réseau, et donc de partager les calculs longs entre plusieurs serveurs

répartis sur un réseau local. Cette fonctionnalité pourrait du reste être étendue entre des

ordinateurs totalement délocalisés par l’intermédiaire de l’Internet.

Le logiciel Simul-PA repose en fait sur une architecture de type client/serveur ; la

communication entre ordinateurs utilise la couche TCP/IP standard de l’Internet.

La version serveur de Simul-PA tourne sur des ordinateurs de type PC ou compatibles sous

Windows 95 ou Windows NT. Cette version serveur est également disponible pour différents

types de stations de travail fonctionnant sous Unix (actuellement, seules les versions HP/Risc

et HP/Cisc sont disponibles).

La version client de Simul-PA tourne sur des ordinateurs de type PC ou compatibles sous

Windows 95 ou Windows NT.

L’architecture générale fonctionne suivant les principes suivants :

• chaque version client du logiciel dispose de son propre noyau de calculs ; elle est donc

capable de tourner de façon parfaitement autonome, ce qui est indispensable pour des

ordinateurs non connectés à un réseau,

• chaque version client du logiciel peut contacter simultanément plusieurs serveurs afin de

répartir les tâches de calcul ; le gain en temps de calcul global peut être particulièrement

appréciable sous certaines conditions :

1. les temps de calcul sont importants par rapport aux temps de transfert des

informations à travers le réseau (ce transfert est source de perte de temps),

2. les serveurs sont de puissants ordinateurs assez disponibles,

3. le réseau local ne véhicule pas un trafic trop important.

Il est bien sûr difficile de contrôler ces différentes conditions ; de façon générale, un calcul

rapide devra être traité localement, et un calcul long pourra être partagé sur le réseau. Le

gain global en temps de calcul dépend du nombre de serveurs, de la puissance de chaque

ordinateur, de sa disponibilité, du trafic sur le réseau, ... En général, le gain en temps de

148


calcul augmente avec le nombre de serveurs, mais des phénomènes de saturation peuvent

apparaître lorsque le nombre de serveurs augmente.

• chaque version serveur du logiciel peut gérer plusieurs clients simultanément ; en

l’absence de connexion active, le serveur se contente d’être à l’écoute de toute requête

provenant du réseau ; dès qu’un client est connecté, les calculs sont traités parallèlement à

l’écoute d’autres requêtes possibles provenant du réseau.

Cette architecture client/serveur est illustrée par la figure 1.

Réseau Local TCP/IP

Station de travail Unix

Simul-PA/Serveur

PC/Windows

Simul-PA/Serveur

PC/Windows

Simul-PA/Client

PC/Windows

Simul-PA/Client

Figure 1 : Simul-PA dans un environnement réseau

II) Le réseau de transducteurs Simul-PA est un logiciel initialement développé pour simuler les réseaux de transducteurs

ultrasonores avec les caractéristiques suivantes :

• les éléments du réseau sont généralement de petite taille,

• le réseau utilise des signaux temporels brefs à large bande passante.

L’utilisation de signaux temporels brefs nous impose de travailler dans le domaine temporel.

On peut alors utiliser le formalisme de la diffraction impulsionnelle, mais cette méthode est

peu adaptée au cas d’éléments de petite taille pour lesquels on cherche à calculer le champ

lointain.

149


C’est dans ce contexte que nous avons développé un certain nombre d’approximations dans le

calcul du champ rayonné par un élément du réseau.

1. Le rayonnement par un élément du réseau

a - Principes généraux

Dans un premier temps, nous allons considérer le cas particulier d’un élément disque plan de

rayon a centré à l’origine de notre système de coordonnées spatiales. Cet élément est supposé

fonctionner en mode piston ; dans l’hypothèse d’un baffle infiniment rigide, le formalisme de

la diffraction impulsionnelle nous permet d’introduire la quantité pour un point

d’observation définie par

(h trr, ))(rr x y z, ,

( )51. ( )h tR

tRc

dx dye

ee e

rr, ,= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫∫

12

1π

δdisque

où c représente la vitesse des ondes acoustiques du fluide dans lequel est plongé l’élément

diffractant et est défini par Re ( ) ( )R x x y y ze e e2 2 2 2= − + − + . Cette quantité représente

le potentiel de vitesse diffracté dans le milieu pour une impulsion de vitesse normale

infiniment brève et d’amplitude unité.

(h trr, )

18-20

Le mécanisme de rayonnement acoustique par un élément du réseau peut être schématisé par

une succession de «boîtes noires», systèmes linéaires invariants par translation dans le

temps35 :

Transduction Diffraction

Signal de sortieSignal d’entrée( )e t ( )h trr,

Dans ce diagramme, on a les différentes composantes suivantes :

• le signal d’entrée ( )ϕ t est le signal temporel électronique transmis à l’émetteur ; il peut

s’agir d’une impulsion très brève, ou encore d’un signal temporel long tel que dans les

expériences de retournement temporel,

150


• le premier filtre décrit le phénomène de transduction, c’est-à-dire l’ensemble des

phénomènes physiques qui transforment le signal électrique d’entrée en une vibration

mécanique de la face avant de l’émetteur (piézo-électricité, ...) ; ce filtre est caractérisé

(entre autres) par la fréquence centrale et la bande passante b de l’émetteur, il est

décrit par sa réponse impulsionnelle

fc w

( )e t autrement appelée réponse impulsionnelle en

émission du capteur (un filtre similaire intervient dans le mécanisme de réception),

• le second filtre décrit la diffraction ou propagation du champ entre l’émetteur et le point

d’observation ; sa réponse impulsionnelle est la fonction ( )h trr, précédemment introduite,

• le signal temporel de sortie correspond au champ diffracté par l’émetteur au point

d’observation rr ; la fonction décrivant un potentiel de vitesse, le signal temporel de

sortie correspond au potentiel de vitesse associé à l’onde acoustique générée par

l’émetteur.

(h trr, )

On a alors les relations suivantes :

( )5 2. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

φ ϕ

ρ∂ϕ∂

r r

r r

r r

r r

,* *

,

,* *

,

t tt

e tt

h t

p tt

t te t

th t

=

= −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

, potentiel de vitesse,

, pression acoustique.

Dans tous les cas, la fonction ( )h trr, obtenue par le formalisme de la diffraction

impulsionnelle est convoluée par la réponse ( )e t caractéristique du mécanisme de

transduction, donc présentant un spectre limité en fréquences. C’est une propriété que nous

pouvons exploiter pour simplifier le calcul.

La difficulté majeure consiste à calculer précisément la fonction ( )h trr, . Dans le cas du disque

ou du rectangle, on peut obtenir une expression analytique ; en revanche les réseaux de

transducteurs utilisent souvent d’autres géométries d’éléments pour lesquelles une telle

expression analytique n’est pas possible. D’autre part, cette formulation n’est pas adaptée au

calcul de la transmission à travers une interface qui sera traitée par l’approximation

géométrique des rayons présentée dans le chapitre précédent.

Une autre difficulté majeure provient des conditions d’utilisation des réseaux de transducteurs

pour les applications de Contrôle Non Destructif : les réseaux sont souvent composés d’un

grand nombre de petits éléments et immergés face aux échantillons à inspecter, à des

distances grandes devant les longueurs d’ondes utilisées. Du point de vue d’un élément du

151


réseau, on est donc souvent dans une situation d’élément de petite taille et de calcul de champ

lointain. Dans ces conditions, la fonction ( )h trr, est très brève, ce qui pose des difficultés au

niveau de l’échantillonnage des signaux temporels. En fait, le formalisme impulsionnel n’est

pas très adaptée à notre contexte.

Le principe de base de notre approximation consiste donc à considérer que la fonction ( )h trr,

est tellement brève qu’elle se comporte comme une impulsion ( )δ t , du point de vue de la

réponse à spectre limité en fréquences. Cette approximation revient à considérer

l’élément ponctuel.

( )e t

b - L’approximation en fonction de la fréquence d’échantillonnage

Comme nous venons de le voir, un paramètre important de l’approximation est la durée τ de

la fonction . On introduit les notations suivantes : (h trr, )• R x y z= + +2 2 2 ,

• r x y R= + =2 2 sin .θ

D’après l’expression analytique de la fonction ( )h trr, , on obtient immédiatement les

expressions suivantes de la durée τ :

( )

( ) ( )τ =

+ + − ≤

+ + − + − >

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1

1 1

2 2

2 2 2 2

cz a r

zc

r a

cz a r

cz a r r a

, ,

, .

si

si

A partir de cette formule, on peut aisément vérifier que

• ce sont les valeurs r a> qui rendent τ maximale,

• dans l’approximation R a>> , τ peut s’écrire sous la forme simplifiée suivante :

( )

τθ

≈

+≤

>

⎧

⎨⎪

⎩⎪

a rcz

r aac

r a

2

22

, ,

sin , .

si

si

Lors du calcul, tous les signaux sont échantillonnés temporellement avec une fréquence

fixée ; si la durée

fe

τ est inférieure au plus petit pas temporel 1 / , le processus numérique fe

152


peut considérer que la fonction se comporte effectivement comme une impulsion (h trr, ) ( )δ t .

On obtient ainsi la condition

( )5 3. a ( )2 8a ze e< min , ,λ λ

où λe est la longueur d’onde associée à la fréquence d’échantillonnage : fe λe ec f= / . La

condition (5.3a) permet d’assurer la validité de l’approximation pour tout angle de tir θ .

Cette condition est relativement contraignante, en particulier si l’on souhaite pouvoir choisir

une fréquence d’échantillonnage assez élevée. On peut toutefois utiliser une condition moins

contraignante si l’on connaît à l’avance l’angle de tir θmax :

( )53. b 2 8a zee<

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟min

sin, .

max

λθ

λ

Les conditions (5.3a) et (5.3b) permettent de limiter le diamètre du disque tout en satisfaisant

l’approximation d’élément ponctuel.

Pour d’autres géométries d’élément, ces conditions peuvent être conservées, à condition de

remplacer 2a par la plus grande dimension de l’élément.

c - Mise en œuvre de l’approximation

Si les conditions de validité de l’approximation indiquées précédemment sont satisfaites, on

peut considérer que la fonction se comporte comme une impulsion infiniment brève de

la forme

(h trr, )

( )5 4. a ( ) ( )h t C tRc

r rr r, ,≈ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟δ

où est une constante de normalisation définie par ( )C rr

( )54. b ( ) ( )C h t dtdx dy

Re e

e

r rr r= =−∞

+∞

∫ ∫∫, .1

2π disque

153


Les deux expressions (5.4a) et (5.4b) peuvent être ensuite généralisées au cas d’un élément de

géométrie autre que le disque.

La formule (5.2) donne alors la pression acoustique diffractée sous la forme

( )54. c ( ) ( )( )

p t C e tRc t

tt

r rr r,*

.≈ − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ρ

∂ϕ∂

On constate donc que, hormis la convolution avec la dérivée temporelle de la fonction

d’excitation ( )ϕ t , le champ de pression diffracté reproduit la réponse acousto-électrique en

émission, à un retard (propagation de la source vers l’observateur) et une correction

d’amplitude près.

Il reste maintenant à évaluer le terme correctif ( )C rr . La première méthode consiste à évaluer

directement l’expression donnée par l’équation (5.4b), numériquement ou analytiquement. La

seconde méthode consiste à utiliser le fait que l’élément diffractant est supposé petit devant la

distance R le séparant du point d’observation, de sorte que l’on peut faire le développement

limité suivant :

( )55. a {1 1

1 1 2 12

22

3R Ra x a y b x b y b x y

ee e e e e e≈ + + + + +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ordre 0 ordre 1 ordre 2

1 24 34 1 2444 3444,

où les différentes constantes sont données par les formules :

( )55. b a

xR

ay

R

bR

xR

bR

yR

bxy

R

1 2 2 2

1 2

2

2 2 2

2

2 3 41

23

11

23

13

= =

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

, ,

, , .

Ces expressions permettent ainsi d’obtenir un développement au deuxième ordre de la

constante de normalisation en fonction de la position de l’observateur et de la géométrie

de l’élément diffractant considéré.

( )C rr

2. Les différentes géométries d’éléments

Simul-PA supporte différentes géométries d’éléments ; à partir de ces géométries de base, on

verra comment on peut générer d’autres géométries plus complexes.

154


L’ordre 0 de la constante de normalisation ( )C rr ne dépend pas de la forme de l’élément, mais

seulement de sa surface. En revanche, les termes d’ordre 1 et 2 diffèrent d’une géométrie à

l’autre.

a - Le disque

Dans le cas d’un disque de rayon a dont le centre est à l’origine des coordonnées spatiales, on

a les résultats suivants :

dxdy a

xdxdy ydxdy

x dxdy y dxdya

xydxdy

disque

disque disque

disque disque disque

∫∫

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫

=

= =

= =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

π

π

2

2 24

0

40

,

,

, .=

On en déduit immédiatement que le terme du premier ordre de la constante de normalisation

est nul et l’on a ( )C rr

( )5 6. a ( ) ( )C

aR

a x y zR

rr ≈ ++ −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

π 2 2 2 2 2

412

8.

b - L’ellipse

Par convention, nous définissons l’ellipse à partir du disque de rayon a dont l’axe suivant la

direction y est dilaté ou compressé d’un facteur K. L’élément elliptique a donc ses deux axes

suivant les directions x et y, ses deux rayons sont a et Ka, son centre est à l’origine des

coordonnées spatiales. On peut alors aisément vérifier les résultats suivants :

155


dxdy K a

xdxdy ydxdy

x dxdyK a

y dxdyK a

xydxdy

ellipse

ellipse ellipse

ellipse ellipse ellipse

∫∫

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫

=

= =

= =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

π

π π

2

24

23 4

0

4 40

,

,

, , = .

De même que pour le disque, le terme du premier ordre de la constante de normalisation ( )C rr

est nul et l’on a

( )56. b ( )CK a

RaR

xR

K aR

yR

rr ≈ + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

π 2 2

2

2

2

2 2

2

2

218

31

83

1 .

c - Le rectangle

L’élément rectangulaire a pour dimensions a et b suivant les directions x et y respectivement,

son centre coïncide avec l’origine des coordonnées spatiales. On obtient alors les formules

suivantes :

dxdy ab

xdxdy ydxdy

x dxdya b

y dxdyab

xydxdy

rectangle

rectangle rectangle

rectangle rectangle rectangle

∫∫

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫

=

= =

= =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

,

,

, ,

0

12 1202

32

3

= .

A nouveau, le terme du premier ordre de la constante de normalisation est nul et l’on a ( )C rr

( )56. c ( )CabR

aR

xR

bR

yR

rr ≈ + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1

243

124

31

2

2

2

2

2

2

2

2 .

d - Le secteur

On définit l’élément sectoriel par la fonction d’ouverture suivante :

156


( )s x yr r r

,, ,,

=≤ ≤ ≤ ≤⎧

⎨⎩

10

1 2 1 si et sinon,

α α α2

avec x r= cosα et y r= sinα . Le centre du secteur est donné par ses coordonnées

xr r

yr r

c c=+ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2cos , sin .

α α α α

On peut alors définir la fonction d’ouverture ( )s x y0 , du même élément sectoriel, mais centré

à l’origine des coordonnées spatiales :

( ) ( ) ( ) ( )s x y s x x y y s x y s x x y yc c c0 0, , , , ,= + + = − − c .

Les intégrales à calculer portent sur la fonction d’ouverture ( )s x y0 , . Pour simplifier, on

calcule les intégrales en utilisant la fonction d’ouverture ( )s x y, et on applique le théorème de

translation :

s dxdy sdxdy

xs dxdy xsdxdy x sdxdy

ys dxdy ysdxdy y sdxdy

x s dxdy x sdxdy x xsdxdy x sdxdy

y s dxdy y sdxdy y ysdxdy y sdxdy

xys dxdy xysdxdy y xsdxdy x ysdxdy x y sdxdy

c

c

c c

c c

c c c c

0

0

0

20

2 2

20

2 2

0

2

2

∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫

=

= −

= −

= − +

= − +

= − − +

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

,

,

,

,

,

.

L’intérêt d’utiliser la fonction d’ouverture ( )s x y, plutôt que ( )s x y0 , est que les calculs sont

plus simples. Par une simple transformation en coordonnées polaires, on obtient

157


( )56. d

( )

( )

( )

sdxdyr r

xsdxdyr r

ysdxdyr r

x sdxdyr r

y sdxdyr r

xysdxdyr r

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

=−

−

=−

−

=−

−

=− −

+−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=− −

−−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=− −

22

12

2 1

23

13

2 1

23

13

1 2

2 24

14

2 1 2 1

2 24

14

2 1 2 1

24

14

1 2

2

3

3

4 22 2

4

4 22 2

4

42 2

α α

α α

α α

α α α α

α α α α

α α

,

sin sin ,

cos cos ,

sin sin,

sin sin,

cos cos4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ .

Les résultats de la formule (5.6d), associés au théorème de translation précédent, permettent

d’exprimer la constante de normalisation ( )C rr dont le terme du premier ordre n’est plus nul.

e - Le secteur elliptique

Le secteur elliptique est défini de la même façon que le secteur, mais les coordonnées de l’axe

y sont dilatées ou compressées d’un facteur K. Le centre du secteur elliptique est alors donné

par ses coordonnées

xr r

y Kr r

c c=+ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2cos , sin .

α α α α

On procède de la même façon que pour le secteur ; on obtient alors avant utilisation du

théorème de translation :

158


( )56. e

( )

( )

( )

sdxdy Kr r

xsdxdy Kr r

ysdxdy Kr r

x sdxdy Kr r

y sdxdy Kr r

xysdxdy Kr r

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

=−

−

=−

−

=−

−

=− −

+−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=− −

−−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=−

22

12

2 1

23

13

2 1

2 23

13

1 2

2 24

14

2 1 2 1

2 3 24

14

2 1 2 1

2 24

14

2

3

3

4 22 2

4

4 22 2

4

4

α α

α α

α α

α α α α

α α α α

,

sin sin ,

cos cos ,

sin sin,

sin sin,

cos cos.

2 24

1 2α α−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

f - Le triangle

L’élément triangulaire est défini par ses trois sommets ( )A x y1 1, , ( )B x y2 2, e )t , son

centre est (C x y3 3,

xx x x

yy y y

c c=+ +

= =+ +

=1 2 3 1 2 3

30

30, .

On suppose d’autre part que les sommets sont ordonnés de sorte que l’on ait et

introduit la définition suivante :

x x x1 2≤ ≤ 3

( ) ( ) ( )[ ]ε = − + − +Signe .y x x y x x y x x1 2 3 3 1 2 2 3 1−

Ce paramètre permet de distinguer le cas où le point B est situé en dessous du segment AC

(ε = −1) du cas contraire (ε = +1). On peut alors vérifier les résultats suivants :

159


( )5 6. f

( )

( )( )

( )( )

( )( )

dxdyx y x y

xdxdy ydxdy

x dxdyx y x y x x x x

y dxdyx y x y y y y y

xydxdyx y x y x y x y x y x y

triangle

triangle triangle

triangle

triangle

triangle

∫∫

∫∫ ∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

=−

= =

=− + +

=− + +

=− + + +

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

32

0

4

42 2

8

2 1 1 2

2 2 1 1 2 12

1 2 22

2 2 1 1 2 12

1 2 22

2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2

ε

ε

ε

ε

,

,

,

,

.

Il en résulte que le terme du premier ordre de la constante de normalisation est nul, de

même que pour les disque, ellipse et rectangle.

( )C rr

3. Les éléments de grande taille

On a vu précédemment dans quelles conditions un élément diffractant pouvait être considéré

comme ponctuel ; un élément est considéré de grande taille dès lors qu’il ne satisfait pas les

conditions de validité de l’approximation. Dans ce cas, Simul-PA propose de subdiviser

chaque élément en sous-éléments couplés, de sorte que chaque sous-élément satisfasse les

conditions de validité de l’approximation.

Nous allons présenter brièvement les différents algorithmes de subdivision pour les

différentes géométries d’éléments.

a - Le disque

La subdivision du disque utilise :

• un disque plus petit au centre,

• un ensemble de secteurs recouvrant tout le reste de la surface du disque.

Cette subdivision est illustrée de la façon suivante :

160


subdivision

⇒

b - L’ellipse

La subdivision d’une ellipse utilise :

• une ellipse plus petite au centre,

• un ensemble de secteurs elliptiques recouvrant tout le reste de la surface de l’ellipse.

Cette subdivision est illustrée de la façon suivante :

subdivision

⇒

c - Le rectangle

La subdivision d’un rectangle est plus simple puisqu’elle n’utilise que des rectangles plus

petits recouvrant la surface du rectangle initial. Cette subdivision est illustrée de la façon

suivante :

subdivision

⇒

d - Le secteur

161


De même que dans le cas du rectangle, la subdivision d’un secteur n’utilise que des secteurs

plus petits recouvrant la surface du secteur initial. Cette subdivision est illustrée de la façon

suivante :

subdivision

⇒

e - Le secteur elliptique

De même que dans les cas du rectangle et du secteur, la subdivision d’un secteur elliptique

n’utilise que des secteurs elliptiques plus petits recouvrant la surface du secteur elliptique

initial. Cette subdivision est illustrée de la façon suivante :

subdivision

⇒

f - Le triangle

La subdivision d’un triangle utilise des triangles plus petits recouvrant la surface du triangle

initial.

La première idée consiste à joindre chaque sommet au milieu du segment opposé, ce qui

permet de subdiviser chaque triangle en 6 sous-triangles élémentaires. Cette méthode conduit

toutefois à une subdivision très inhomogène, fortement dépendante de l’ordre dans lequel sont

faits les calculs. Ce cas de figure est illustré ci-dessous.

subdivision

⇒

162


La raison principale d’une telle subdivision provient de triangles très «écrasés» pour lesquels

le rapport entre les plus grande et petite dimensions est grand : de tels triangles ont une

dimension maximale trop grande pour satisfaire la condition de validité de l’approximation, et

un côté très petit qui est malgré tout divisé en deux. Ce phénomène augmente le nombre total

de subdivisions, et conduit à une hétérogénéité du maillage peu souhaitable.

Lorsque Simul-PA rencontre ce genre de situation, la subdivision en 6 sous-triangles est

remplacée par une subdivision en 2 sous-triangles seulement, la subdivision portant sur la

plus grande dimension. Sur l’illustration ci-dessous, on constate immédiatement que le

résultat de cette autre méthode de subdivision (le critère de dimension maximale des sous-

éléments reste inchangé) est meilleur du point de vue

• du nombre total de sous-éléments triangulaires (106 dans le premier cas, 16 dans le

second),

• de l’homogénéité du maillage de la surface du triangle initial.

subdivision

⇒

4. Les géométries dérivées des géométries de base

On a vu précédemment que Simul-PA était capable de subdiviser un élément en sous-

éléments couplés de plus petite taille. En fait, le principe du couplage est beaucoup plus

général puisqu’il permet de coupler en émission et en réception différents éléments d’un

même réseau. D’un point de vue expérimental, cela revient à considérer que tous les éléments

couplés sont raccordés à la même voie électronique d’émission et de réception. Ainsi, Simul-

PA distingue les notions d’élément et de voie électronique, le nombre de voies électroniques

étant inférieur au nombre d’éléments.

Ce type de couplage entre éléments permet alors de définir des géométries d’éléments

dérivées des géométries de base que nous venons de présenter. A ce jour, Simul-PA dispose

de deux géométries dérivées ; ceci n’est naturellement pas figé et pourra évoluer en même

temps que le logiciel lui-même.

163


a - L’anneau

L’élément annulaire est simplement composé d’une juxtaposition de secteurs recouvrant la

surface de l’anneau. Le principe de la subdivision est illustré par le diagramme ci-dessous.

subdivision

⇒

b - Le polygone régulier

Le polygone régulier est, quant à lui, composé d’une juxtaposition de triangles ; il est en outre

possible de spécifier un coefficient K de dilatation ou de compression de l’axe y par rapport à

l’axe x. Le principe de la subdivision est illustré par le diagramme ci-dessous.

subdivision (K=1)

⇒

subdivision (K=0,75)

⇒

5. Les paramètres réglables Simul-PA prend en compte de nombreux paramètres réglables dans la définition et le

traitement des réseaux de transducteurs :

164


• le nombre d’éléments et le nombre de voies électroniques (ainsi que les couplages si

nécessaire),

• pour chaque élément : sa position, son orientation, ses caractéristiques géométriques,

• la fréquence centrale et la largeur de la bande passante,

• les réponses impulsionnelles en émission et en réception (réponses différentes),

• la fonction temporelle émise,

• les lois de retard imposées en émission et en réception (lois différentes),

• les lois d’amplitudes imposées en émission et en réception (lois différentes),

• les formes temporelles émises indépendamment par chaque voie électronique (simulation

des expériences de retournement temporel).

III) La transmission à travers les interfaces

Les calculs de transmission à travers les interfaces fluide/fluide ou fluide/solide sont effectués

dans le cadre de l’approximation géométrique présentée dans le chapitre précédent. On pourra

s’y reporter pour ce qui est des conditions de validité de cette approximation.

IV) Exemple 1 : calcul du champ proche rayonné par un disque

Le premier exemple qui nous semble intéressant consiste à calculer le champ proche rayonné

par un disque pour deux raisons :

• la théorie de la diffraction impulsionnelle permet de prévoir analytiquement la nature du

champ diffracté,

• la confrontation avec les méthodes approchées de Simul-PA permet de valider les

approximations.

1. Calcul en émission simple

A titre de rappel, le champ impulsionnel diffracté par un disque de rayon a est donné en

potentiel de vitesse par les formules suivantes18-20 :

• c est la vitesse de propagation des ondes acoustiques dans l’eau,

165


• r est défini par . r x y2 2= + 2

Premier cas : r a≤

( )57. a ( )h x y z t

ct zc zc c t r a z

r c t zR ct R

R ct

e , , ,

, ,, ,

arccos , ,

, .

=

<≤ ≤

+ − −

−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ < ≤

<

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

0

20

12 2 2 2 2

2 2 2 1 2

2

si si

si

si π

ct R

Second cas : r a>

( )57. b ( )h x y z t

ct Rc c t r a z

r c t zR ct R

R ct

e , , ,

, ,

arccos , ,

, .

=

<+ − −

−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤ ≤

<

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

0

20

12 2 2 2 2

2 2 2 1 2

2

si

si

si π

Dans ces deux expressions, et sont respectivement définis par R1 R2

( ) ( )R z a r R z a r12 2

22 2= + − = + + et .

Pour le calcul, nous avons choisi la configuration suivante :

• le réseau émetteur est constitué d’un seul disque plan de diamètre 50 mm, sa fréquence

centrale est 1 MHz et sa bande passante à -6 dB est de 100 %,

• le réseau est immergé dans l’eau et on calcule le champ rayonné dans un plan parallèle au

disque, situé à une distance de 100 mm de l’émetteur,

• la fréquence d’échantillonnage temporel est de 20 MHz, les signaux temporels sont stockés

sur 512 points.

Le champ diffracté correspond au champ proche de l’émetteur, il est donc indispensable de

procéder à la subdivision du disque en sous-éléments de plus petite taille conformément à ce

que nous avons présenté précédemment.

Les figures 2a, 2b, 2c et 2d représentent

• le champ impulsionnel en potentiel de vitesse diffracté par le disque (courbes supérieures

et échelles gauches),

• le champ de pression transitoire (courbes inférieures et échelles droites).

166


Sur ces différentes courbes sont superposés les résultats obtenus par Simul-PA d’une part,

l’expression analytique d’autre part. On n’observe aucune différence, à l’exception du cas

particulier r=0 mm pour lequel Simul-PA fait apparaître des fluctuations hautes

fréquences (bruit numérique) ; ces fluctuations disparaissent dès lors que l’on calcule le

champ de pression transitoire (filtrage des hautes fréquences), ce qui est la vraie grandeur

mesurable.

Les figures 2e et 2f représentent les champs diffractés (potentiel de vitesse impulsionnel et

pression transitoire) en fonction de l’espace et du temps, calculés avec Simul-PA. Sur ces

deux figures, on observe clairement les effets classiques suivants18-20 :

• une structure d’onde «plane» dans l’ombre géométrique du disque émetteur,

• les ondes de bords provenant de la limite spatiale du disque diffractant.

65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0Temps (µs)

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0 Potentiel de vitesse (impulsionnel)

-35.0

0.0

35.0

70.0

105.0Pression (transitoire)

65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0Temps (µs)

-2.0

-1.0

0.0

1.0


-35.0

0.0

35.0

70.0


Figure 2a : r=0 mm Figure 2b : r=12,5 mm

65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0Temps (µs)

-1.0

-0.5

0.0

0.5


-15.0

0.0

15.0

30.0


65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0Temps (µs)

-0.5

-0.3

0.0

0.3


-5.0

0.0

5.0

10.0


Figure 2c : r=25 mm Figure 2d : r=37,5 mm

167


65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0Temps (µs)

-50.0

-25.0

0.0

25.0

50.0 x (mm)

65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0Temps (µs)

-50.0

-25.0

0.0

25.0

50.0 x (mm)

Figure 2e : champ impulsionnel Figure 2f : champ transitoire

Temps de calcul : ce paragraphe un peu technique n’est fourni qu’à titre d’information.

L’angle de tir maximal doit prendre en compte

• la coordonnée x = −25 mm correspondant à un bord du disque émetteur,

• la coordonnée x = +50 mm correspondant à la limite de la zone décrite par l’observateur.

Par convention, la dimension maximale acceptable dans l’algorithme de subdivision est

décrite comme un multiple de la longueur d’onde dans le milieu à la fréquence centrale de la

sonde ; tous calculs faits, on obtient une dimension maximale de l’ordre de 0 083, λc et donc

une subdivision du disque initial en 128153 sous-élements !

Pour 101 points d’observation entre − 50 et + 50 mm (figures 2e ou 2f), le temps de calcul

est de l’ordre de 4 minutes (Pentium 200 MHz, 64 Mo RAM, Windows NT 4.0).

2. Calcul en émission/réception

Dans cette deuxième simulation, nous proposons de reprendre le même problème, mais le

champ diffracté par l’émetteur est maintenant reçu par un récepteur identique, situé en face et

dans l’axe, et distant de 100 mm de l’émetteur. A nouveau, cette situation simple permet

d’obtenir l’expression analytique du potentiel de vitesse reçu dont nous rappelons ici

l’expression35,36 :

( )58. ( ) ( )( )h z t

t tc a t t

cac t z

ac

t t t t t t t

t t

er ,

, ,, ,

arccos , ,

, ,

=

<=

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ − − − < ≤

<

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

0

22 2

0

12

1

22 2 2 3

212

22 2

1 2

2

si si

si

si

π

168


où et sont respectivement définis par t1 t2

tzc

tz a

c1 2

2 24= =

+ et .

Les figures 3a et 3b représentent les signaux temporels reçus en potentiel de vitesse

impulsionnel et pression transitoire respectivement. Sur ces deux figures, les résultats obtenus

par Simul-PA sont superposés avec les expressions analytiques exactes ; il est clair que l’on

ne distingue aucune différence.

65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0Temps (µs)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0 *10

+3

Potentiel de vitesse (Impulsionnel)

65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0Temps (µs)

-60.0

-45.0

-30.0

-15.0

0.0

15.0

30.0 *10

+3

Pression (transitoire)

Figure 3a : potentiel de vitesse impulsionnel Figure 3b : pression transitoire

Temps de calcul : ce paragraphe un peu technique n’est fourni qu’à titre d’information.

L’angle de tir maximal doit prendre en compte

• la coordonnée x = −25 mm correspondant à un bord du disque émetteur,

• la coordonnée x = +25 mm correspondant au bord opposé du disque récepteur.

Tous calculs faits, on obtient ainsi une dimension maximale de l’ordre de 0 125, λc et donc une

subdivision des disques émetteur et récepteur en 56605 sous-élements !

Le temps de calcul est d’environ 16 heures (Pentium 200 MHz, 64 Mo RAM, Windows NT

4.0).

V) Exemple 2 : calcul de lois de focalisation

Les simulations que nous proposons ici consistent à comparer différentes techniques de

focalisation à travers une interface cylindrique (diamètre 180 mm) séparant deux fluides. Pour

169


cela, on comparera les résultats obtenus avec trois réseaux similaires présentant les

caractéristiques suivantes :

• les barrettes sont à une dimension, elles sont composées de 15 éléments carrés de 2 mm de

côté, avec une ouverture globale d’environ 34 mm,

• une fréquence centrale de 3 MHz et une bande passante relative à -6 dB de 100 %,

• les caractéristiques acoustiques des deux milieux sont :

1. =1500 m/s et c1 ρ1 =1000 kg/m3 pour l’eau où se trouvent les barrettes,

2. =6000 m/s et c2 ρ2 =4500 kg/m3 pour le second fluide de l’autre côté de l’interface.

• les signaux temporels sont stockés sur 512 points et échantillonnés à une fréquence de 100

MHz.

Dans les trois cas considérés ici, le réseau est situé à 10 mm au-dessus de l’interface et l’on

cherche à focaliser le champ acoustique à une profondeur de 10 mm en dessous de l’interface.

Les différences entre les trois réseaux étudiés sont les suivantes :

• le premier réseau est plan : Simul-PA calcule alors la loi de retards adaptée à la

focalisation souhaitée, puis applique cette loi de retards afin de calculer le champ de

pression acoustique résultant au voisinage de la zone focale désirée,

• le deuxième réseau est préfocalisé en surface de Fermat : Simul-PA calcule alors la

déformation adéquate du réseau, tout en maintenant chaque élément plan, puis calcule le

champ de pression acoustique résultant au voisinage de la zone focale désirée, sans

appliquer de loi de retards (préfocalisation du réseau),

• le troisième réseau est également préfocalisé en surface de Fermat, mais chaque élément

est lui-même déformé géométriquement pour s’adapter au point focal souhaité ; Simul-PA

calcule ensuite le champ de pression acoustique résultant au voisinage de la zone focale

désirée, sans appliquer de loi de retards.

Nous allons voir dans ces exemples que la distinction entre les deuxième et troisième cas est

essentielle dès lors que les éléments du réseau sont d’une taille relativement grande par

rapport aux longueurs d’ondes utilisées.

La figure 4 ci-dessous illustre les conditions de calcul : elle représente une portion de

l’interface cylindrique, le point focal désiré, les deux barrettes plane et préfocalisée, ainsi que

les rayons géométriques joignant les centres des éléments au point focal, conformément à la

loi de Snell-Descartes qui régit la transmission à travers l’interface. Une illustration de la loi

de retards à appliquer en émission est également donnée : sur la figure de gauche, ce sont les

éléments les plus au bord qui doivent tirer en premier, et l’élément central en dernier afin que

170


tous les signaux temporels atteignent le point focal au même instant ; sur la figure de droite en

revanche, tous les éléments émettent au même instant puisque la sonde est préfocalisée en

surface de Fermat.

loi de retard

loi de retard

∅ 180 mm 10 mm

point focal

10 mm

ouverture 34 mm

10 mm

10 mm

point focal

ouverture 34 mm

∅ 180 mm

Barrette plane avec loi de retards Barrette préfocalisée sans loi de retards

Figure 4 : illustration de la configuration de calcul

Pour chacun des trois cas présentés, le champ de pression acoustique résultant est calculé

dans un plan focal parallèle aux barrettes.

Les résultats obtenus sont représentés sur la figure 5 :

• les figures de gauche représentent en courbes de niveaux le champ de pression comme

fonction de l’espace et du temps,

• les figures de droite représentent, pour chaque position de l’observateur, la valeur

maximale du signal temporel ; ces valeurs maximales ont préalablement été converties en

dB.

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Temps (µs)

-35.0

-17.5

0.0

17.5

35.0 x (mm)

-35.0 -17.5 0.0 17.5 35.0x (mm)

-45.0

-30.0

-15.0

0.0 Amplitude maximale du signal temporel (dB)

171


Figure 5a : barrette plane avec loi de retards en émission

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Temps (µs)

-35.0

-17.5

0.0

17.5

35.0 x (mm)

-35.0 -17.5 0.0 17.5 35.0x (mm)

-45.0

-30.0

-15.0


Figure 5b : barrette préfocalisée sans loi de retards en émission, éléments plans

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Temps (µs)

-35.0

-17.5

0.0

17.5

35.0 x (mm)

-35.0 -17.5 0.0 17.5 35.0x (mm)

-45.0

-30.0

-15.0


Figure 5c : barrette préfocalisée sans loi de retards en émission, éléments courbes

Observant ces différents résultats, on constate que l’on n’observe pas de différence

significative entre les deux premières barrettes malgré la préfocalisation en surface de Fermat

de la deuxième sonde. Ceci est dû au fait que les éléments sont de relativement grande taille

et cela réduit considérablement le gain lié à la préfocalisation. En revanche, on constate

clairement un maximum de pression au point focal souhaité (ce qui était le but recherché)

avec tout de même un niveau de «bruit» hors-focale (au voisinage de ± 15 mm) assez élevé.

La comparaison avec les résultats présentés sur la figure 5c est sans appel : la préfocalisation

de la sonde, accompagnée d’une déformation géométrique de chaque élément, conduit à une

focalisation d’une excellente qualité.

Un tel résultat est particulièrement important pour les réseaux de transducteurs dont les

éléments sont d’assez grande taille. Il est du reste essentiel de noter que les sondes qui ont été

réalisées pour le laboratoire (sondes préfocalisées en surface de Fermat) ont des éléments de

taille assez grande, mais déformés géométriquement, toujours conformément au principe de la

172


surface de Fermat. Cela permet bien entendu de rendre beaucoup plus efficace le mécanisme

de focalisation du champ de pression acoustique.

Une analyse plus fine des deuxième et troisième cas peut nous conduire aux remarques

suivantes :

• dans le deuxième cas, la barrette est préfocalisée en surface de Fermat, mais les éléments

restent plans : cela revient en fait à «échantillonner» la surface de Fermat par des «marches

d’escalier» plus ou moins fines suivant la taille des éléments,

• dans le troisième cas, la barrette est également préfocalisée en surface de Fermat, mais

chaque élément est déformé géométriquement suivant ce même principe : cela revient à

suivre beaucoup plus finement la véritable surface de Fermat adaptée au point focal

souhaité.

Cet effet peut s’interpréter en terme de directivité des éléments du réseau : on sait que les

petits éléments sont très diffractifs alors que les grands éléments sont plus directifs35,36 ; en

revanche les petits éléments posent des problèmes techniques de fabrication d’une part, et

présentent une sensibilité généralement assez pauvre. On peut illustrer ce phénomène par la

figure suivante :

Figure 6a : barrette plane Figure 6b : barrette préfocalisée

Sur la figure 6a, la barrette plane impose l’utilisation d’une loi de retards de sorte que tous les

signaux temporels émis par les différents éléments atteignent le point focal au même instant,

ce qui conduit à l’effet recherché de focalisation. On constate néanmoins que les éléments du

bord sont «obligés» de tirer de côté pour atteindre le point focal, alors que leur efficacité

maximale (en terme de directivité) se situe devant eux, donc en-dehors de la zone focale. Cela

réduit donc l’amplitude du signal temporel au point focal tout en augmentant le niveau de

«bruit» hors focale.

173


Sur la figure 6b, on a exactement l’effet inverse : tous les éléments ont leur efficacité

maximale vers le point focal. Cela conduit donc à augmenter l’amplitude du signal temporel

au point focal tout en réduisant le niveau de «bruit» hors focale.

Un tel effet est particulièrement important pour les éléments de grande taille pour lesquels

l’effet de directivité est essentiel.

VI) Exemple 3 : focalisation à travers un prisme

L’exemple suivant provient d’une simulation entreprise par le Professeur G. Selby, EPRI

NDE Center (Charlotte, Etats-Unis) ; il nous paraît particulièrement instructif pour tous les

problèmes de calcul de lois focales. Nous allons voir que les problèmes posés par cette

simulation apparemment simple sont en fait particulièrement délicats. Il aura fallu une

semaine d’expertise au laboratoire pour arriver à donner une explication aux résultats

«étranges» obtenus par G. Selby, que nous tenons à remercier d’avoir accepté que son étude

figure dans ce manuscrit.

1. Présentation générale du problème

Le problème est relativement simple : il consiste en une barrette plane couplée à un milieu

solide (acier) par un coin de plexiglas. La simulation numérique se décompose alors en deux

étapes :

• calcul de la loi focale pour atteindre un point focal donné dans l’acier,

• calcul du champ acoustique résultant au voisinage de la zone focale désirée.

Tous les calculs sont faits en ondes longitudinales seulement. La configuration géométrique

peut être illustrée par la figure 7.

174


20 mm

75 mm

125 mm

point focal

barretteloi de retard

acier

interface

Figure 7 : configuration géométrique de la barrette par rapport à l’interface

plane - tracé des rayons permettant d’atteindre le point focal.

Les paramètres physiques des deux milieux sont les suivants :

• =2430 m/s et c1 ρ1 =1270 kg/m3 pour le plexiglas (assimilé à un fluide),

• =5770 m/s, =3150 m/s et cl ct ρ2 =7700 kg/m3 pour l’acier.

2. Description des barrettes utilisées

Les mêmes simulations sont effectuées avec deux barrettes différentes. Chaque barrette

dispose de 16 voies électroniques d’émission/réception, a une ouverture totale d’environ 55

mm, une fréquence centrale de 4,5 MHz et une bande passante à -6 dB de 70 %.

La première barrette est périodique et composée de 32 éléments rectangulaires ; les éléments

sont couplés deux à deux afin de réduire à 16 le nombre de voies électroniques indépendantes.

175


La seconde barrette est aléatoire et composée de 24 éléments rectangulaires ; certains

éléments sont couplés deux à deux, de sorte que le nombre total de voies électroniques

indépendantes se réduit à 16. Les deux barrettes ainsi générées sont représentées sur la figure

8. Voie 1

Voie 2

Voie 3

Voie 4

Voie 5

Voie 6

Voie 7

Voie 8

Voie 9

Voie 10

Voie 11

Voie 12

Voie 13

Voie 14

Voie 15

Voie 16

réseau périodique 32 éléments

Voie 1

Voie 3

Voie 5

Voie 7

Voie 9

Voie 11

Voie 13

Voie 15

Voie 2

Voie 4

Voie 6

Voie 8

Voie 10

Voie 12

Voie 14

Voie 16

réseau aléatoire 24 éléments

Figure 8 : représentation des deux barrettes, périodique à 32 éléments et

aléatoire à 24 éléments, avec couplages correspondants (16 voies électroniques).

3. Les résultats obtenus

Les éléments des barrettes étant de grande taille, le calcul de la loi de retards à l’émission

n’est pas évident puisque le résultat dépend du point de référence considéré sur chaque

élément. Cette difficulté est encore accentuée par le couplage entre plusieurs éléments

consécutifs, un seul retard ne pouvant être retenu dans ce cas.

Afin de résoudre ce problème, nous avons préalablement subdivisé chaque élément en sous-

éléments de plus petite taille conformément aux conditions de validité des approximations

mentionnées précédemment. Pour chacune des 16 voies électroniques, on obtient ainsi une

176


série de retards à partir desquels on extrait une valeur unique ; cette extraction utilise deux

algorithmes particuliers (parmi d’autres disponibles) :

• calcul du retard moyen,

• calcul du retard minimal.

Le tableau ci-dessous indique pour chacune des deux barrettes les valeurs des retards ainsi

obtenus pour les 16 voies d’émission/réception (en μ s , la précision étant volontairement

limitée à la nanoseconde). Nous donnons également une représentation graphique de ces

retards en fonction du numéro de voie (la courbe épaisse correspond au calcul du retard

minimal).

Barrette 1 (32 éléments) Barrette 2 (24 éléments)

Voie Retard moyen Retard minimal Retard moyen Retard minimal 1 4,380 4,320 4,894 4,935 2 4,144 4,087 4,611 4,581 3 3,901 3,848 4,313 4,369 4 3,65 3,601 4,005 3,979 5 3,392 3,346 3,733 3,799 6 3,127 3,084 3,483 3,461 7 2,853 2,814 3,247 3,312 8 2,570 2,536 2,941 2,922 9 2,280 2,250 2,642 2,705 10 1,981 1,955 2,345 2,330 11 1,673 1,651 1,956 2,094 12 1,357 1,339 1,632 1,621 13 1,032 1,018 1,279 1,358 14 0,697 0,688 0,877 0,871 15 0,353 0,349 0,456 0,582 16 0,000 0,000 0,000 0,000

0 2 4 6 8 10 12 14 16Numéro de voie

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0 Retard à l'émission (µs)

0 2 4 6 8 10 12

4.0


3.0

2.0

1.0

14 16Numéro de voie

0.0

177


Observant ces résultats préliminaires, on constate

• que les lois de retards diffèrent significativement de la barrette 1 à la barrette 2,

• que les deux algorithmes de calcul diffèrent plus pour la barrette 2 que pour la barrette 1.

Il reste maintenant à comparer les champs acoustiques générés par ces deux barrettes au

voisinage de la zone focale souhaitée. Les calculs sont faits le long d’une droite contenant le

point focal situé à z=125 mm, perpendiculaire à l’interface, entre z=0 mm (position de

l’interface) et z=200 mm. Les figures suivantes représentent l’amplitude du déplacement

associé aux ondes longitudinales dans le solide.

0.00 2.55 5.10 7.65 10.20Temps (µs)

0

25

50

75

100

125

150

175

200 z (mm)

0 25 50 75 100 125 150 175 200z (mm)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00Valeur maximale du signal temporel

Figure 9a : champ rayonné par la barrette 1 (périodique, 32 éléments)

0.00 2.55 5.10 7.65 10.20Temps (µs)

0

25

50

75

100

125

150

175

200 z (mm)

0 25 50 75 100 125 150 175 200z (mm)

0.00

0.25

0.50

0.75


Figure 9b : champ rayonné par la barrette 2 (aléatoire, 24 éléments)

La figure 9 ci-dessus représente le champ en fonction de l’espace et du temps sur les graphes

de gauche, en fonction de la profondeur du point d’observation sur les graphes de droite (par

extraction du maximum des signaux temporels correspondants). La flèche indique la position

du point focal désiré. Ces résultats ont été obtenus en appliquant l’algorithme du retard

moyen.

178


En observant ces résultats, on constate que la barrette 1 est beaucoup plus efficace que la

barrette 2 en terme de qualité de focalisation. Un tel résultat peut sembler surprenant alors que

les deux barrettes sont relativement proches géométriquement.

0.00 2.55 5.10 7.65 10.20Temps (µs)

0

25

50

75

100

125

150

175

200 z (mm)

0 25 50 75 100 125 150 175 200z (mm)

0.00

0.25

0.50

0.75


Figure 10a : champ rayonné par la barrette 1 (périodique, 32 éléments)

0.00 2.55 5.10 7.65 10.20Temps (µs)

0

25

50

75

100

125

150

175

200 z (mm)

0 25 50 75 100 125 150 175 200z (mm)

0.00

0.25

0.50

0.75


Figure 10b : champ rayonné par la barrette 2 (aléatoire, 24 éléments)

La figure 10 est identique à la figure 9, mais les résultats ont été obtenus cette fois en

appliquant l’algorithme du retard minimal. On peut alors faire les constatations suivantes :

• les résultats obtenus avec la barrette 1 sont peu modifiés ; cela était prévisible en observant

la grande similitude entre les deux lois de retards,

• en revanche, la qualité de la focalisation avec la barrette 2 devient maintenant très

largement meilleure qu’avec la précédente loi de retards, et même meilleure qu’avec la

barrette 1.

Ces résultats illustrent l’influence du mode de calcul de la loi de retards sur le diagramme de

focalisation résultant ; cette influence est accentuée par les éléments de grande taille ou

l’introduction de couplages entre éléments d’un réseau.

On peut alors se poser les problèmes suivants :

179


• pour la barrette 2, le résultat obtenu est meilleur par l’algorithme du retard minimal que par

celui du retard moyen ; pourrait-on trouver un autre algorithme encore meilleur ?

• serait-il possible de déterminer automatiquement la meilleure façon de calculer la loi de

retards, pour une sonde et un point focal fixés ?

4. La simulation par retournement temporel

Afin de donner quelques éléments de réponse aux questions posées ci-dessus, nous proposons

une simulation utilisant le principe de focalisation adaptative par retournement temporel. Pour

cela, la simulation se décompose en deux temps.

a - Première étape : réception par la barrette

Dans un premier temps, on place une cible réfléchissante à la position du point focal souhaité.

Un émetteur ponctuel situé au-dessus de l’interface crée un champ acoustique transmis dans

l’acier ; ce champ incident est réfléchi par la cible, puis il se propage en direction de la

barrette réceptrice. La position exacte de l’émetteur ponctuel est sans importance dans cette

simulation.

Chaque élément de la barrette mesure ainsi un signal temporel spécifique ; l’ensemble des

signaux temporels ainsi obtenus constitue ce que l’on peut appeler la «signature de la cible» à

travers l’interface.

Cette première phase de la simulation est illustrée par la figure ci-dessous.

180


20 mm

75 mm

125 mm

cible réfléchissante

barrette réceptrice

acier

interface

émetteur ponctuel

champincident

champréfléchi

Figure 11 : un émetteur ponctuel crée un champ qui est réfléchi par la cible ; la

barrette réceptrice mesure la «signature de la cible» à travers l’interface.

b - Seconde étape : émission par la barrette

Au cours de la seconde étape, l’émetteur ponctuel et la cible réfléchissante sont retirés, et

chaque élément de la barrette émet le retourné temporel du signal qu’il a reçu au cours de la

première étape. On calcule alors le champ acoustique résultant au voisinage de la position de

la cible réfléchissante (ou point focal souhaité).

Il est également possible de conserver le même schéma directeur, avec une variante consistant

à normaliser les différents signaux avant émission, afin de compenser les effets de réfraction

et diffraction du champ lors de la première phase. Cela permet ainsi d’émettre des signaux

ayant tous la même amplitude maximale.

181


Les résultats obtenus avec les barrettes 1 et 2 sont représentés sur les figures 12 et 13

respectivement. Chacune de ces figures représente

• les 16 signaux temporels émis par les différentes voies d’émission/réception (avec ou

sans normalisation),

• l’amplitude maximale du champ résultant en fonction de la profondeur z.

6.9 µs

Voie 1

Voie 16

Voie 1

Voie 16

6.9 µsFigure 12a : signaux émis sans

normalisation Figure 12b : signaux émis avec

normalisation

0 25 50 75 100 125 150 175 200z (mm)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00Amplitude maximale du signal temporel

Figure 12c : amplitude maximale du champ en fonction de la profondeur

(la courbe épaisse correspond aux signaux émis avec normalisation)

Observant la figure 12, on peut faire les remarques suivantes :

• l’effet de normalisation des signaux d’émission est important, en particulier pour les

dernières voies de la barrette,

• les signaux émis par les différentes voies durent plus longtemps (on arrive à identifier

jusqu'à 6 périodes) que le signal d’excitation initialement émis (à peine 3 périodes) : cet

effet est dû à la grande taille des éléments de la barrette,

• dans les deux cas, on constate une nette focalisation au voisinage de z=125 mm, ce qui

correspond bien à la position souhaitée pour le point focal,

182


• l’effet de focalisation est meilleur lorsque les signaux sont normalisés par amplification

des voies les plus faibles.

Entre 20 et 50 mm, on peut également observer une amplitude assez forte du champ (cette

amplitude était également observable dans les simulations précédentes) ; cet effet peut être

interprété de la façon suivante :

• cette zone correspond à un angle de tir faible par rapport à la direction normale aux

éléments,

• cet effet est accentué par la périodicité spatiale du réseau qui peut induire des déphasages

entre les signaux temporels propres à générer un champ de grande amplitude,

• en revanche, la zone focale correspond à un angle de tir plus élevé, donc peu favorable en

terme de directivité des éléments.

L’amplitude maximale du champ à une profondeur donnée est donc affectée par deux

phénomènes inverses :

• l’effet d’angle de tir, qui favorise la zone 20-50 mm au détriment de la zone focale,

• l’effet de loi de retards (ou signaux temporels émis) qui lui favorise la zone focale.

De même que pour la barrette 1, on peut faire les remarques suivantes :

• l’effet de normalisation des signaux d’émission est important, en particulier pour les

dernières voies de la barrette,

• les signaux émis par les différentes voies durent plus longtemps que le signal d’excitation

initialement émis,

• les différences entre signaux émis par deux voies consécutives sont plus importantes que

pour la première barrette : ceci est dû à la plus grande irrégularité géométrique des

éléments constituant les 16 voies de la barrette,

• dans les deux cas, on constate une nette focalisation au voisinage de z=125 mm, ce qui

correspond bien à la position souhaitée pour le point focal,

• l’effet de focalisation est meilleur lorsque les signaux sont normalisés par amplification

des voies les plus faibles,

• l’effet d’amplitude importante du champ dans la zone 20-50 mm n’apparaît pratiquement

pas ici : en effet, les éléments étant répartis aléatoirement, les différents signaux temporels

se superposent sans relation particulière entre les phases, ce qui évite l’apparition de

grandes amplitudes parasites en dehors de la zone focale.

183


6.9 µs

Voie 1

Voie 16

6.9 µs

Voie 1

Voie 16

Figure 13a : signaux émis sans normalisation

Figure 13b : signaux émis avec normalisation

0 25 50 75 100 125 150 175 200z (mm)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00 Amplitude maximale du signal temporel

Figure 13c : amplitude maximale du champ en fonction de la profondeur

(la courbe épaisse correspond aux signaux émis avec normalisation)

Globalement, on constate que l’apprentissage par retournement temporel constitue un bon

compromis pour focaliser le champ acoustique à l’intérieur du milieu solide, y compris dans

le cas d’éléments de grande taille.

Il est essentiel de noter que le calcul de la loi de retards est particulièrement délicat dans ce

genre de situation, et que le retournement temporel apporte une réponse satisfaisante au

problème.

184


c - Extraction d’une loi de retards

L’inconvénient majeur de cette solution est qu’elle requiert l’utilisation d’une électronique

programmable voie par voie. Or ce genre d’équipement n’est pas disponible partout, et

présente la caractéristique d’être beaucoup plus coûteux qu’un système plus classique à base

de retards.

C’est pourquoi nous avons utilisé les signaux temporels représentés sur les figures 12b et 13b

pour essayer d’en extraire une loi de retards ; ces lois de retards ont alors été injectées dans le

processus de simulation afin de calculer les champs acoustiques résultants et les comparer

avec ceux obtenus par la méthode complète de retournement temporel.

Là encore, l’extraction d’une loi de retards à partir d’une série de signaux temporels n’est pas

un problème simple et plusieurs méthodes sont possibles. Parmi l’ensemble des solutions

possibles, nous avons testé deux algorithmes différents :

• localisation de l’amplitude maximale du signal (en valeur absolue),

• localisation de l’amplitude maximale de l’inter-corrélation entre voies consécutives.

Le tableau ci-contre indique pour chacune des deux barrettes les valeurs des retards ainsi

obtenus pour les 16 voies d’émission/réception (en μ s ). Nous donnons également une

représentation graphique de ces retards en fonction du numéro de voie (la courbe épaisse

correspond au calcul du retard obtenu par inter-corrélation).

Les retards indiqués dans ce tableau indiquent clairement que les différences entre les deux

méthodes de calcul sont très faibles pour la barrette 1, plus importantes pour la barrette 2.

Les figures 14a et 14b représentent l’amplitude maximale du champ résultant en fonction de

la profondeur, pour les barrettes 1 et 2 respectivement. Les courbes épaisses correspondent au

calcul de la loi de retards par l’algorithme d’inter-corrélation. On peut faire les remarques

suivantes :

• dans les deux cas, la loi de retards obtenue par localisation de l’amplitude maximale des

signaux reçus en provenance de la cible donne un très médiocre résultat : cette méthode de

calcul des retards est assez inadaptée au problème,

• en revanche, la loi de retards calculée par inter-corrélation conduit à une très bonne

focalisation, en particulier pour la barrette 2.

185


Barrette 1 (32 éléments) Barrette 2 (24 éléments)

Voie Position du max. Inter-corrélation Position du max. Inter-corrélation1 4,45 4,38 4,88 5,00 2 4,22 4,14 4,50 4,62 3 3,98 3,90 4,30 4,42 4 3,63 3,65 4,00 4,01 5 3,38 3,39 3,72 3,84 6 3,11 3,12 3,48 3,49 7 2,84 2,85 3,24 3,35 8 2,56 2,57 2,83 2,94 9 2,27 2,28 2,63 2,74 10 1,97 1,98 2,34 2,34 11 1,66 1,67 2,10 2,09 12 1,35 1,35 1,63 1,63 13 1,02 1,02 1,27 1,38 14 0,69 0,69 0,88 0,87 15 0,35 0,35 0,46 0,57 16 0,00 0,00 0,00 0,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16Numéro de voie

0.0

1.3

2.5

3.8

5.0 Retard à l'émission

0 2 4 6 8 10 12

3.8


2.5

1.3

14 16Numéro de voie

0.0

0 25 50 75 100 125 150 175 200z (mm)

0.00

0.25

0.50

0.75


0 25 50 75 100 125 150 175 200z (mm)

0.00

0.25

0.50

0.75


Figure 14a : focalisation par loi de retards - barrette 1

Figure 14b : focalisation par loi de retards - barrette 2

186


Ces calculs sont intéressants dans la mesure où ils utilisent la technique de retournement

temporel (technique lourde d’un point de vue expérimental) dans le cadre d’un outil de

simulation ; les résultats sont alors exploités pour extraire une loi de retards adaptée au

problème de focalisation à travers le prisme : cette loi peut alors être injectée dans un

dispositif expérimental classique.

Il faut noter toutefois que la focalisation par loi de retards est possible dans ce cas car la

configuration géométrique considérée s’y prête bien. Pour d’autres configurations plus

complexes (deux interfaces planes parallèles par exemple), le problème de la focalisation peut

difficilement se réduire à une seule loi de retards ; dans ce cas, il semble impératif d’utiliser

les techniques de retournement temporel. Le logiciel Simul-PA est actuellement en cours

d’évolution afin de pouvoir simuler ce genre de configurations plus complexes et réaliser des

comparaisons quantitatives entre la méthode des retards et le retournement temporel.

VII) Exemple 4 : Sélection de cible par retournement temporel

Dans ce quatrième exemple, nous simulons une expérience qui a été réalisée au laboratoire.

Le principe consiste à utiliser la technique du retournement temporel afin de sélectionner une

cible particulière parmi plusieurs cibles disposées devant la sonde.

Afin de simuler l’expérience réalisée au laboratoire, nous nous limitons à deux cibles pour

lesquelles nous faisons les hypothèses suivantes :

• elles sont suffisamment espacées afin d’être «résolues» par la sonde : la sonde arrive à

focaliser sur l’une des cibles sans éclairer l’autre (l’espace séparant les deux cibles est plus

grand que la dimension de la tache focale que peut générer la sonde, par retournement

temporel ou toute autre technique),

• chaque cible réfléchit le champ incident en direction de la sonde réceptrice ; en revanche

nous négligeons l’interaction entre les deux cibles,

• une des cibles a un pouvoir réfléchissant supérieur à l’autre (coefficients 1,0 et 0,75).

Pour cette simulation, on utilise une sonde annulaire sectorielle de 121 éléments, sa fréquence

centrale est 3 MHz, son ouverture totale 53 mm. La sonde est placée à 50 mm d’une interface

plane eau/acier, les deux cibles sont distantes de 20 mm et placées à 25 mm sous l’interface.

187


En réalité, nous n’avons pas considéré l’acier comme un milieu solide : nous avons préféré

faire les calculs avec un milieu fluide ayant les mêmes vitesse longitudinale et densité que

l’acier.

La configuration géométrique et la sonde utilisée sont représentées sur la figure 15.

53 mm

eauacier

cible 1 (1,0) cible 2 (0,75)20 mm

25 mm

50 mm

53 mm

sonde

12

345

67 8

9

10

11

121314

15

16

17

18

19

2021 22

23

24

25

26

27

28

2930313233

34

35

36

37

38

39

40

4142 43 44 45

46

47

48

49

50

51

52

53

5455

5657585960

61

62

63

64

65

66

67

68

69

7071

72 73 74 7576

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

8788

8990919293

9495

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107108

109110 111 112 113

114115

116

117

118

119

120

121

Figure 15 : configuration géométrique et sonde utilisée

Nous simulons alors la séquence suivante :

• première itération : seul l’élément central émet, le champ réfléchi par les deux cibles est

alors enregistré par la sonde réceptrice (on distingue alors les deux fronts d’ondes

provenant des cibles),

• deuxième itération : les différents éléments émettent les signaux reçus à l’itération

précédente et retournés temporellement ; ensuite, on procède comme précédemment en

enregistrant le champ réfléchi par les deux cibles,

• et ainsi de suite : on réitère le même processus aussi longtemps que souhaité.

A chaque itération, on calcule également le champ acoustique dans le plan parallèle à la sonde

et contenant les deux cibles, afin de mettre en évidence l’effet de focalisation simultanée sur

chacune des cibles.

La seconde cible ayant une réflectivité moindre, on s’attend à progressivement l’éliminer au

cours des itérations, et à ne finalement conserver que la signature de la cible la plus forte.

188


On s’intéresse dans un premier temps à l’allure des fronts d’ondes reçus par la sonde aux

diverses itérations. La figure 16 représente ces fronts d’ondes après les itérations 1 et 4.

Figure 16a : fronts d’ondes reçus

après la première itération

Figure 16b : fronts d’ondes reçus

après la quatrième itération

1 21 41 61 81 101 121Numéro de voie

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00 Amplitude maximal du signal reçu

1 21 41 61 81 101 121Numéro de voie

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00 Amplitude maximale du signal reçu

Figure 16c : maximum du signal reçu

après la première itération

Figure 16d : maximum du signal reçu

après la quatrième itération

Observant la figure 16, on peut faire les remarques suivantes :

• la figure 16a met clairement en évidence la présence de deux fronts d’ondes entremêlés,

correspondant à chacune des deux cibles,

• en revanche, sur la figure 16b ne subsiste quasiment plus qu’un seul des deux fronts,

189


• la figure 16c illustre particulièrement l’existence des deux fronts d’ondes par la présence

de maximums réguliers

voies 37-38, 65-66, 101-102 (entre autres) pour le front issu de la cible 1, ⇒

voies 25-26, 49-50, 81-82 (entre autres) pour le front issu de la cible 2, ⇒

• les maximums observés aux voies 25-26, 49-50, 81-82 sont également accompagnés d’une

discontinuité ; compte tenu de la numérotation des éléments (figure 15), cet effet est dû au

changement de couronne qui apparaît dans ces différents cas,

• inversement cette discontinuité n’est pas observée aux voies 37-38, 65-66, 101-102 pour

lesquelles on a continuité de la numérotation des éléments à l’intérieur d’une même

couronne,

• sur la figure 16d, on ne voit plus que le front issu de la cible 1 (la plus forte), un maximum

sur deux ayant disparu par rapport à la figure 16c.

Les figures 17a-17d représentent pour chacune des quatre itérations calculées le champ

généré par la sonde suivant la ligne contenant les deux cibles, ainsi que le maximum du signal

temporel en fonction de la position d’observation. Sur ces figures, on observe clairement :

• l’aptitude de la sonde à focaliser simultanément sur les deux cibles à la première itération,

• la tendance à faire disparaître la signature de la cible la plus faible au fur et à mesure des

itérations.

Ces résultats de simulation sont en accord avec les mesures expérimentales réalisées au

laboratoire.1,2

190


10.22 7.66

5.112.55

0.00

Temps (µs)

-20-10

010

20

x (mm)

-20 -10 0 10 20x (mm)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00 Amplitude maximale du champ

Figure 17a : première itération

10.22 7.66

5.112.55

0.00

Temps (µs)

-20-10

010

20

x (mm)

-20 -10 0 10 20x (mm)

0.00

0.25

0.50

0.75


Figure 17b : deuxième itération

10.22 7.66

5.112.55

0.00

Temps (µs)

-20-10

010

20

x (mm)

-20 -10 0 10 20x (mm)

0.00

0.25

0.50

0.75


Figure 17c : troisième itération

10.22 7.66

5.112.55

0.00

Temps (µs)

-20-10

010

20

x (mm)

-20 -10 0 10 20x (mm)

0.00

0.25

0.50

0.75


Figure 17d : quatrième itération

191


192

Documents

Chapitre V Simulation de champs acoustiques : le logiciel