CHAPITRE I

Fonctions d’une variable réelle

1. Fonctions, limites, continuitéSoit f une fonction dé�nie sur R :

f : R −→ R

x 7−→ f (x)

Dé�nition 1.1 (Limite �nie en un point)On dit que f admet ℓ pour limite lorsque x tend vers x0 sif (x) est aussi proche de ℓ que l’on veut, dès que x est su�samment

proche de x0.ou

f (x) se rapproche de ℓ, lorsque x se rapproche de x0.On note lim

x→x0f (x) = ℓ.

Dé�nition 1.2Soit f : D −→ R une fonction et x0 ∈ D. On dit que f est continueen x0• si f admet une limite quand x tend vers x0• et si cette limite est égale à f (x0).C’est-à-dire,

f continue en x0 ⇐⇒ limx→x0

f (x) = f (x0)

2. Dérivée d’une fonctionDé�nition 2.1Soit f : D −→ R une fonction et x0, x1 ∈ D. On appelle taux d’ac-croissement de f entre x0 et x1 le rapport

τ =f (x1) − f (x0)

x1 − x0

x0

f (x0)

x1

f (x1)

∆x

∆f

Pente =

τ

x0

f (x0)

x1

f (x1)

x0

f (x0)

T

x0

f (x0)

T

Pente =

f′ (x 0)

Dé�nition 2.2Soit f : D −→ R et x0 ∈ D. On appelle dérivée de f en x0 le réeldé�ni par

f ′(x0) = limx→x0

f (x) − f (x0)x − x0

si cette limite existe et est �nie.On dit alors que f est dérivable en x0.

La courbe représentative de f admet au point de coordonnées(x0, f (x0)

)une tangente de coe�cient directeur f ′(x0) et d’équa-

tiony = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) .

RemarqueSi x est proche de x0, on peut faire l’approximation

f (x) ≈ f (x0) + f ′(x0)(x − x0)

En posant h = x − x0 (ou x = x0 + h ), on obtient

f (x0 + h) ≈ f (x0) + f ′(x0)h

Dé�nition 2.3On dit que f est dérivable sur D si elle est dérivable en tout point x0de D.On appelle alors fonction dérivée de f l’application f ′ dé�nie par

f ′ : D −→ R

x 7−→ f ′(x)

Dé�nition 2.4On dit que f est de classe C1 sur D si• f est dérivable sur D ;• la fonction dérivée f ′ est continue sur D.

Vincent Jalby – Université de Limoges – LS1 Economie-Gestion – 2019-2020 – I. Fonctions d’une variable réelle Page 1

Proposition 2.5Soit f : ]a, b[ −→ R une fonction dérivable sur un intervalle ]a, b[.• La fonction f est croissante sur ]a, b[ si et seulement si f ′(x) > 0pour tout x ∈ ]a, b[.

• La fonction f est décroissante sur ]a, b[ si et seulement si f ′(x) 60 pour tout x ∈ ]a, b[.

• La fonction f est constante sur ]a, b[ si et seulement si f ′(x) = 0pour tout x ∈ ]a, b[.

Remarque • Si f ′(x) > 0 pour tout x ∈ ]a, b[, alors f est stricte-ment croissante sur ]a, b[.

• Si f ′(x) < 0 pour tout x ∈ ]a, b[, alors f est strictement dé-croissante sur ]a, b[.

Dérivées usuelles

f (x) ax + b xn 1x

1xn

f ′(x) a nxn−1 −1x2

−nxn+1

f (x)√x 1

√x

ex ln x

f ′(x) 12√x

−12√x3

ex 1x

Proposition 2.6 (Dérivée d’un produit et d’un quotient)Soit u et v deux fonctions dérivables sur R. Alors, la fonction u × vest dérivable et

(uv)′ = u′v + uv′

De même, la fonction uvest dérivable et( uv

) ′=

u′v − uv′

v2

pour x ∈ R tel que v(x) , 0.

Proposition 2.7 (Dérivée d’une fonction composée)Soit u et f deux fonctions dérivables sur R.Alors la fonction f ◦ u est dérivable et

( f ◦ u)′ = f ′ ◦ u × u′

ou encore (f (u)

) ′= f ′(u) × u′

Dérivées composées usuelles

f (x) un 1u

1un

√u eu ln u

f ′(x) nu′un−1 −u′

u2−

nu′

un+1u′

2√u

u′eu u′

u

3. Dérivée seconde

Dé�nition 3.1Soit f une fonction dérivable sur D.Si f ′ est dérivable, on note f ′′ ou f (2) la dérivée de f ′.La fonction f ′′ est appelée dérivée seconde de f .

Dé�nition 3.2Pour tout n > 2, on dé�nit la dérivée n-ième f (n) de f comme ladérivée de f (n−1) lorsque f (n−1) existe et est dérivable :

f (n)(x) =[f (n−1)(x)

] ′On pose f (0) = f .

Dé�nition 3.3On dit que f est de classe Cn sur D si f (n) existe et est continue surD.

4. Convexité

Dé�nition 4.1Soit f : [a, b] −→ R. On dit que f est convexe si

f (λx + (1 − λ)y) 6 λ f (x) + (1 − λ) f (y)

pour tout x, y ∈ [a, b] et tout λ ∈ [0, 1].On dit que f est concave si − f est convexe, i.e.,

f (λx + (1 − λ)y) > λ f (x) + (1 − λ) f (y)

Proposition 4.2Soit f : [a, b] −→ Rune fonction deux fois dérivable sur [a, b]. Alors• f est convexe sur [a, b] SSI f ′′ est positive ou nulle :

f convexe sur [a, b] ⇐⇒ f ′′(x) > 0,∀x ∈ [a, b]

• f est concave sur [a, b] SSI f ′′ est négative ou nulle :

f concave sur [a, b] ⇐⇒ f ′′(x) 6 0,∀x ∈ [a, b]

Vincent Jalby – Université de Limoges – LS1 Economie-Gestion – 2019-2020 – I. Fonctions d’une variable réelle Page 2

CHAPITRE II

Optimisation d’une fonction d’une variable réelle

1. Extremums d’une fonction

xM

f (xM)

xm

f (xm)

Dé�nition 1.1Soit f : D −→ R une fonction dé�nie sur un intervalle D.La fonction f admet un minimum global en xm ∈ D si

∀x ∈ D f (x) > f (xm)

La fonction f admet un maximum global en xM ∈ D si

∀x ∈ D f (x) 6 f (xM)

xM

f (xM)

xm

f (xm)

x1

f (x1)

x2

f (x2)

Dé�nition 1.2Soit f : D −→ R une fonction dé�nie sur un intervalle D.La fonction f admet un minimum local en x1 ∈ D si

∀x ∈ V (x1) f (x) > f (x1)

La fonction f admet un maximum local en x2 ∈ D si

∀x ∈ V (x2) f (x) 6 f (x2)

où V (xi) = ]xi − η, xi + η[ est un voisinage de xi pour i = 1, 2.

Théorème 1.3Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue sur [a, b]. Alors• f admet unminimum et unmaximum global : il existe xm et xMdans [a, b] tels que

∀x ∈ [a, b], f (xm) 6 f (x) 6 f (xM)

• pour tout y tel que f (xm) 6 y 6 f (xM), il existe x ∈ [a, b] telque

f (x) = y(�éorème des valeurs intermédiaires)

Soit D = ]a, b[ un intervalle ouvert et f : D −→ R.On considère les problèmes d’optimisation suivants :

minx∈D

f (x) maxx∈D

f (x)

Cela consiste à rechercher les extremums locaux ou globaux de f .

2. Condition nécessaire d’optimalité

Proposition 2.1 (Condition nécessaire d’optimalité)Soit f : D −→ R dérivable x0 ∈ D.Si f admet un extremum local (ou global) en x0 alors

f ′(x0) = 0

RemarqueLa condition

f ′(x) = 0

ne donne que des points candidats (ou critiques).Il faut ensuite étudier la nature de chacun de ces points.

Nature d’un point critique (étude directe) :Soit x0 un point critique :

f ′(x0) = 0

On pose∆ f = f (x) − f (x0)

On étudie alors le signe de ∆ f .

Si ∆ f > 0, f admet unminimum en x0.Si ∆ f 6 0, f admet unmaximum en x0.

L’extremum sera global ou local, selon que l’inégalité est vraie pourtout x ou pour tout x dans un voisinage de x0.

3. Conditions su�santes d’optimalité locale

Proposition 3.1 (Conditions su�santes d’optimalité)Soit f : D −→ R deux fois dérivable en x0 ∈ D. Si x0 est un pointcritique de f ( f ′(x0) = 0) alors• si f ′′(x0) < 0, alors f admet un maximum local en x0.• si f ′′(x0) > 0, alors f admet un minimum local en x0.

RemarqueLorsque f ′′(x0) = 0, il faut faire une étude directe. Deux caspeuvent se produire :• f ′′(x) s’annule en changeant de signe : point d’in�exion• f ′′(x) s’annule sans changer de signe : extremum

4. Optimalité globale : le cas convexe/concave

Proposition 4.1Soit f : D −→ R une fonction dérivable en x0 ∈ D.

Si f est convexe, f admet un minimum global en x0 SSI f ′(x0) = 0.

Si f est concave, f admet unmaximum global en x0 SSI f ′(x0) = 0.

Vincent Jalby – Université de Limoges – LS1 Economie-Gestion – 2019-2020 – II. Optimisation d’une fonction d’une variable réelle Page 3

RemarqueSi la fonction f est strictement convexe ou concave alors l’extre-mum est unique.

5. Méthodologie

1) On détermine le domaine de dé�nition de f (x).2) On étude la convexité de f (x).3) On résout l’équation f ′(x) = 0 pour trouver les points candi-

dats : x1, x2, . . .4) Si f (x) est convexe ou concave, la fonction admet unminimum

ou maximum global au(x) point(s) trouvé(s).

5) Sinon, on calcule f ′′(x0) pour chacun des points candidats :si f ′′(x0) > 0, f admet un minimum local en x0 ; sif ′′(x0) < 0, f admet un maximum local en x0 ;

6) Sinon (si f ′′(x0) = 0), on étudie le signe de ∆ f .

Vincent Jalby – Université de Limoges – LS1 Economie-Gestion – 2019-2020 – II. Optimisation d’une fonction d’une variable réelle Page 4

CHAPITRE III

Fonctions réelles de deux variables réelles

1. Fonctions de deux variablesOn considère l’espace produit

R2 = R × R

Un élément de R2 est un couple noté (x, y) ou (x1, x2).La somme de deux éléments de R2 est

(x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′)

Le produit par un réel λ est

λ(x, y) = (λx, λy)

Dé�nition 1.1On dit que (x, y) tend vers (x0, y0) si• x tend vers x0• et y tend vers y0.On note

(x, y) −→ (x0, y0) ⇐⇒{x −→ x0y −→ y0

Dé�nition 1.2Soit (x, y) un point de R2.On appelle voisinage (ouvert élémentaire) de (x, y) tout ensemble Vde la forme

V = ]x − r1, x + r1[ × ]y − r2, y + r2[ ⊂ R2

avec r1, r2 > 0.

Une fonction réelle de 2 variables réelles est une application f dé-�nie sur une partie de R2 à valeurs dans R :

f : R2 −→ R

(x, y) 7−→ f (x, y)

Dé�nition 1.3Soit f : R2 −→ R et (x0, y0) ∈ R2.On dit que f admet ℓ ∈ R pour limite lorsque (x, y) tend vers(x0, y0) si

f (x, y) est aussi proche que l’on veut de ℓ dès que (x, y) estsu�samment proche de (x0, y0)

On note ℓ = lim(x,y)→(x0,y0)

f (x, y)

Dé�nition 1.4Soit f : R2 −→ R et (x0, y0) ∈ R2.On dit que f est continue en (x0, y0) si f admet une limite en (x0, y0)et si cette limite est égale à f (x0, y0).

f continue en (x0, y0) ⇐⇒ lim(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = f (x0, y0)

On dit que f est continue sur D ⊂ R2 si elle est continue en toutpoint de D.

2. Représentations graphiques

Représentation en 3 dimensionsReprésentation dans R3 :

(x, y, f (x, y)

)

x

y

z = f (x,y)

1

2

3

(1,2)

!5!4

!5!3x

!4!2

y

!3!2

!1

!10

00

11

2

10

32

4

20

53

30

45

40

50

f (x, y) = x2 + y2

0,00,0

0,0

0,5

0,8

1,0

1,6

y

0,51,5

2,4

2,0

3,2

2,5

4,0

1,03,0

4,8

5,6

6,4

x 1,5

7,2

8,0

8,8

2,0

2,5

3,0

f (x, y) = x × y

Représentation des courbes de niveauSoit f : R × R −→ R. On appelle courbe de niveau c de f l’en-semble :

Cc( f ) ={(x, y) ∈ R2 : f (x, y) = c

}Vincent Jalby – Université de Limoges – LS1 Economie-Gestion – 2019-2020 – III. Fonctions réelles de deux variables réelles Page 5

!0,4

0,8

!0,8

!2,0

0,4

1!1

1,6

0,0

!1,6

2,0

20

1,2

!2

!1,2

f (x, y) = x2 + y2

3210

6

5

4

3

2

1

0

x

54

f (x, y) = x × y

3. Di�érentiabilité

Dé�nition 3.1Soit f : R2 −→ R et (x0, y0) ∈ R2.On appelle dérivée partielle de f par rapport à x la dérivée de l’ap-plication x 7−→ f (x, y)On la note

f ′x(x, y) =∂ f∂x (x, y) =

[x 7−→ f (x, y)

] ′De même, la dérivée par rapport à y est

f ′y(x, y) =∂ f∂y (x, y) =

[y 7−→ f (x, y)

] ′

Dé�nition 3.2Soit f : R2 −→ R et D ⊂ R2. On dit que f est de classe C1 sur D, sif admet des dérivées partielles continues sur D.On dé�nit alors la di�érentielle de f en (x0, y0) ∈ D

d f (x0, y0) = f ′x(x0, y0) dx + f ′y(x0, y0) dy

On appelle gradient de f en (x0, y0) le vecteur

−−−→grad f (x0, y0) = ∇ f (x0, y0) =

©­«f ′x(x0, y0)

f ′y(x0, y0)

ª®¬Courbes de niveau de f (x, y) = xy

x

y

f (x, y) = 1f (x, y) = 2f (x, y) = 3

2

1/2

∇ f (2, 1/2)

Vincent Jalby – Université de Limoges – LS1 Economie-Gestion – 2019-2020 – III. Fonctions réelles de deux variables réelles Page 6

CHAPITRE IV

Optimisation d’une fonction de deux variables I

1. Optimisation d’une fonction

Dé�nition 1.1Soit f : R2 −→ R et (x0, y0) ∈ R2. On dit que

• f admet un minimum global en (x0, y0) si

∀(x, y) ∈ R2, f (x0, y0) 6 f (x, y)

• f admet un maximum global en (x0, y0) si

∀(x, y) ∈ R2, f (x0, y0) > f (x, y)

• f admet unminimum local en (x0, y0) si

∀(x, y) ∈ V , f (x0, y0) 6 f (x, y)

• f admet unmaximum local en (x0, y0) si

∀(x, y) ∈ V , f (x0, y0) > f (x, y)

où V est un voisinage de (x0, y0).

Théorème 1.2 (CNO)Soit f : R2 −→ R une fonction de classe C1 au voisinage de(x0, y0) ∈ R2.

Si f admet un extremum en (x0, y0), on a nécessairement

f ′x(x0, y0) = 0 et f ′y(x0, y0) = 0 (4.1)

On dit alors que (x0, y0) est un point stationnaire ou critique pourf .

Nature du point candidat (Étude directe)Le théorème 1.2 ne donne que des points candidats (x0, y0). Il fautensuite étudier la nature de chaque point.Pour cela, on étudie le signe de

∆ f = f (x, y) − f (x0, y0)

pour (x, y) proche de (x0, y0).

• Si ∆ f > 0 alors f admet unminimum en (x0, y0).

• Si ∆ f 6 0 alors f admet unmaximum en (x0, y0).

L’extremum sera global ou local, selon que l’inégalité est vraie pourtout (x, y) ou pour (x, y) proche de (x0, y0).

2. Optimisation sous contrainteSoit f , g : R2 −→ R deux fonctions.On considère le problème d’optimisation suivant :

(P){Optimiser f (x, y)sous la contrainte g(x, y) = 0

On cherche (x0, y0) véri�ant g(x0, y0) = 0 tel qu’on ait

f (x, y) 6 f (x0, y0) pour un maximum

ouf (x, y) > f (x0, y0) pour un minimum

pour tout (x, y) ∈ V (x0, y0) véri�ant g(x, y) = 0.Pour résoudre le problème (P), on utilise le lagrangien associé à(P) :

L(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y)

La variable λ est appeléemultiplicateur de Lagrange.

Théorème 2.1 (Conditions nécessaires d’optimalité)Soit f , g : R2 −→ R de classe C1 au voisinage de (x0, y0) ∈ R2.

Si (P) admet une solution en (x0, y0), en général, il existe λ0 ∈ R telque

L′x(x0, y0, λ0) = 0L′y(x0, y0, λ0) = 0L′λ(x0, y0, λ0) = 0

Nature du point candidat (Étude directe)Le résultat précédent ne donne que des points candidats. Il fautensuite étudier la nature de chaque point.Pour cela, on peut étudier le signe de

∆ f = f (x, y) − f (x0, y0)

en tenant compte de la contrainte g(x, y) = 0.

Méthode de substitutionLorsque la contrainte g(x, y) = 0 permet d’exprimer y en fonctionde x :

y = y(x)

le problème d’optimisation sous contrainte (P) est équivalent auproblème d’optimisation d’une fonction d’une variable :

Optimiser h(x) = f (x, y(x))

Vincent Jalby – Université de Limoges – LS1 Economie-Gestion – 2019-2020 – IV. Optimisation d’une fonction de deux variables I Page 7

CHAPITRE V

Compléments sur les fonctions réelles de deuxvariables

1. Dérivées partielles secondes

Dé�nition 1.1Soit f : R2 −→ R admettant des dérivées partielles :

f ′x : R2 −→ R f ′y : R2 −→ R .

Si ces fonctions admettent elles-mêmes des dérivées partielles parrapport à x et y, elles sont appelées dérivées partielles secondes def .

Notations

f ′′x2 =(f ′x

) ′x f ′′xy =

(f ′x

) ′y

f ′′yx =(f ′y

) ′x

f ′′y2 =(f ′y

) ′y

ou∂2 f∂x2 =

∂∂x

(∂ f∂x

)∂2 f∂y∂x =

∂∂y

(∂ f∂x

)On dit que f est de classe C2 sur U , si elle admet des dérivées par-tielles secondes continues sur U .

Théorème 1.2 (Schwarz)Si f : R2 −→ R est de classe C2 au voisinage de (x, y) ∈ R2, alors

f ′′xy(x, y) = f ′′yx(x, y)

Dé�nition 1.3Soit f : R2 −→ R une fonction de classe C2 au voisinage de (x, y) ∈R2. On appelle matrice hessienne de f en (x, y), lamatrice

H f (x, y) =©­­«f ′′x2(x, y) f ′′yx(x, y)

f ′′xy(x, y) f ′′y2(x, y)

ª®®¬Dé�nition 1.4On appelle alors hessien de f en (x, y), le déterminant de la matricehessienne de f en (x, y) :

detH f (x, y) = f ′′x2(x, y) × f ′′y2(x, y) −[f ′′xy(x, y)

]22. Convexité

Dé�nition 2.1On dit que C ⊂ R2 est convexe si pour tous M1,M2 ∈ C et toutλ ∈ [0, 1], on a

λM1 + (1 − λ)M2 ∈ C

avec M1 = (x1, y1) et M2 = (x2, y2).

Dé�nition 2.2Soit C ⊂ R2 un ensemble convexe. On dit qu’une fonction f : C −→R est convexe si pour tous M1,M2 ∈ C et tout λ ∈ [0, 1], on a

f(λM1 + (1 − λ)M2

)6 λ f (M1) + (1 − λ) f (M2)

On dit que f est concave si − f est convexe :

f(λM1 + (1 − λ)M2

)> λ f (M1) + (1 − λ) f (M2)

Remarques1) La somme de fonctions convexes (resp. concaves)est convexe (resp. concave).

2) Le max (resp. min) de plusieurs fonctions convexes (resp.concaves) est convexe (resp. concave).

3) Si f (x, y) = f1(x) + f2(y) avec f1 et f2 convexes (resp.concaves), alors f est convexe (resp. concave).

Proposition 2.3Si f est de classe C2 sur R2, alors

f est convexe ⇐⇒

detH f > 0f ′′x2 > 0f ′′y2 > 0

⇐⇒ H f est semi-dé�nie positive.

en tout (x, y) ∈ R2.

et

f est concave ⇐⇒

detH f > 0f ′′x2 6 0f ′′y2 6 0

⇐⇒ H f est semi-dé�nie négative.

en tout (x, y) ∈ R2.

Vincent Jalby – Université de Limoges – LS1 Economie-Gestion – 2019-2020 – V. Compléments sur les fonctions réelles de deux variables Page 8

CHAPITRE VI

Optimisation d’une fonction de deux variables II

1. Optimisation sans contrainte

Rappels 1.1Soit f : R2 −→ R de classe C1.On recherche les extremums de f sur R2.Les points critiques (ou candidats) sont donnés par les CNO :

∇ f (x, y) = 0 ⇐⇒{f ′x(x, y) = 0f ′y(x, y) = 0

Reste à étudier la nature de chaque point candidat.

Théorème 1.2Soit f : R2 −→ R de classe C2 au voisinage de (x0, y0) ∈ R2, telque ∇ f (x0, y0) = 0 (point critique).• Si H f (x0, y0) est dé�nie positive, i.e.,

detH f (x0, y0) > 0f ′′x2(x0, y0) > 0f ′′y2(x0, y0) > 0

alors f admet un minimum local en (x0, y0).

• Si H f (x0, y0) est dé�nie négative, i.e.,detH f (x0, y0) > 0f ′′x2(x0, y0) < 0f ′′y2(x0, y0) < 0

alors f admet unmaximum local en (x0, y0).• Si detH f (x0, y0) < 0, alors f n’admet pas d’extremum en(x0, y0) (point col).

• Si detH f (x0, y0) = 0, alors on ne peut pas conclure.

Théorème 1.3 (Le cas convexe/concave)Soit C ⊂ R2 convexe et f : C −→ R de classe C1 sur C.

Si f est convexe sur C, f admet un minimum global en (x0, y0) SSI∇ f (x0, y0) = 0.

Si f est concave sur C, f admet un maximum global en (x0, y0) SSI∇ f (x0, y0) = 0.

2. Optimisation sous contrainte

Rappels 2.1Les points candidats du problème d’optimisation

(P){Optimiser f (x, y)sous la contrainte g(x, y) = 0

sont donnés par les CNO

∇L(x, y, λ) = 0 ⇐⇒

L′x(x, y, λ) = 0L′y(x, y, λ) = 0L′λ(x, y, λ) = 0

où L(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y).

Dé�nition 2.2 (Calcul du hessien)La matrice hessienne de L est :

HL(x, y, λ) =

©­­­­­«L′′x2 L′′xy L′′xλ

L′′yx L′′y2 L′′yλ

L′′λx L′′λy L′′λ2

ª®®®®®¬=

©­­­­­«L′′x2 L′′xy g′x

L′′yx L′′y2 g′y

g′x g′y 0

ª®®®®®¬Le hessien de L est

detHL(x, y, λ) = g ′x[g ′y L′′yx − g ′x L′′y2

]− g ′y

[g ′y L′′x2 − g ′x L′′xy

]Théorème 2.3Soit f , g : R2 −→ R de classe C2 au vois. de (x0, y0). Soit (x0, y0)un point candidat avec λ0 ∈ R.• Si detHL(x0, y0, λ0) > 0, alors (P) admet unmaximum local en(x0, y0).

• Si detHL(x0, y0, λ0) < 0, alors (P) admet un minimum localen (x0, y0).

• Si detHL(x0, y0, λ0) = 0, alors on ne peut pas conclure. Il fautétudier directement le signe de ∆ f .

Théorème 2.4 (Le cas convexe/concave)Soit C ⊂ R2 convexe et f , g : C −→ R de classe C1 sur C. Onsuppose que g est a�ne : g(x, y) = ax + by + c• Si f est convexe sur C, (P) admet unminimum global en (x0, y0)SSI ∇L(x0, y0, λ0) = 0.

• Si f est concave sur C, (P) admet unmaximum global en (x0, y0)SSI ∇L(x0, y0, λ0) = 0.

3. Condition de quali�cation

Les théorèmes donnant les CN et les CS d’optimalité souscontrainte ne sont pas toujours valides.Il faut rajouter aux conditions déjà vues une condition supplémen-taire appelée condition de quali�cation :

∇g(x0, y0) , 0

Vincent Jalby – Université de Limoges – LS1 Economie-Gestion – 2019-2020 – VI. Optimisation d’une fonction de deux variables II Page 9

CHAPITRE VII

Les fonctions logarithme et exponentielle -Élasticité

1. La fonction logarithme népérienOn appelle logarithme népérien la fonction :

ln : R∗+ −→ R

x 7−→ ln x

véri�ant∀x ∈ R∗+ (ln x)′ = 1

xet ln 1 = 0

Étude de la fonction lnDomaine de dé�nition : Dln = R∗+ = ]0,+∞[

Dérivée : (ln x)′ = 1x

Signe de la dérivée : (ln x)′ > 0 ∀x ∈ R∗+

Variations : ln x est donc (strictnt) croissante sur R∗+

Dérivée seconde

(ln x)′′ = − 1x2< 0 ∀x ∈ R∗+

La fonction ln est donc (strictement) concave sur R∗+

Limiteslimx→0+

ln x = −∞ limx→+∞

ln x = +∞

Représentation graphique

0

ln x

1 e

1

On note e le réel véri�ant ln e = 1.

e ≈ 2, 718

PropriétésPour a, b ∈ R∗+, on a

ln ab = ln a + ln b ln ab= ln a − ln b

Pour a ∈ R∗+ et r ∈ R, on a

ln 1a= − ln a ln ar = r ln a

On a les limites suivantes :

limx→+∞

ln xxn= 0

limx→0

xn ln x = 0

limx→1

ln xx − 1 = lim

u→0

ln(1 + u)u

= 1

2. La fonction exponentielleOn appelle fonction exponentielle la fonction réciproque de ln. Elleest notée

exp : x 7−→ ex

Pour tout x ∈ R, ex est l’unique réel tel que

ln(ex) = x .

En particulier, e0 = 1.

Étude de la fonction expDomaine de dé�nition : Dexp = R.Dérivée : (ex)′ = ex

Signe de la dérivée : (ex)′ > 0 ∀x ∈ R.Variations : exp est donc (strictnt) croissante sur R.

Dérivée seconde

(ex)′′ = ex > 0 ∀x ∈ R

La fonction exp est donc (strictnt) convexe sur R.

Limiteslim

x→−∞ex = 0 lim

x→+∞ex = +∞

Représentation graphique

0

ex

1

e

1

ln x

PropriétésPour a, b ∈ R, on a

ea+b = ea × eb ea−b = ea

eb

Pour a ∈ R et r ∈ Q, on a

e−a = 1ea (ea)r = ear

Pour x > 0, et y ∈ R

eln x = x ln(ey) = y

Vincent Jalby – Université de Limoges – LS1 Economie-Gestion – 2019-2020 – VII. Les fonctions logarithme et exponentielle - Élasticité Page 10

On a les limites suivantes :

limx→−∞

xnex = 0

limx→+∞

ex

xn= +∞

limx→0

ex − 1x= 1

3. Fonction puissanceSoit α ∈ R.On appelle fonction puissance d’exposant α, la fonction notée x 7−→xα dé�nie sur R∗+ par

xα = eα ln x ∀x ∈ R∗+

Étude de la fonction xαDomaine de dé�nition : Dxα = R∗+ = ]0,+∞[.Dérivée (

xα) ′= αxα−1

{> 0 si α > 0

< 0 si α < 0Variations Si α > 0, xα est strictement croissante. Si α < 0, xα eststrictement décroissante.

Dérivée seconde(xα

) ′′= α(α − 1)xα−2

{< 0 si 0 < α < 1

> 0 sinon

ConvexitéSi 0 < α < 1, xα est strictement concave. Sinon, xα est strictementconvexe.

Limites

limx→+∞

xα ={+∞ si α > 0

0 si α < 0

limx→0

xα ={0 si α > 0

+∞ si α < 0

Représentation graphique

0

xx2

√x

1/x1

1

PropriétésPour x, y ∈ R∗+ et α, β ∈ R, on a

xα+β = xαxβ x−α = 1xα

(xy)α = xα yα xαβ = (xα)β

Vincent Jalby – Université de Limoges – LS1 Economie-Gestion – 2019-2020 – VII. Les fonctions logarithme et exponentielle - Élasticité Page 11