1A M1.1 2018-2019Étude de fon tion et fon tions usuellesObje tifs� Connaître et appliquer le plan d'étude d'une fon tion.� Connaître les fon tions usuelles1 Mener une étude de fon tion1.1 Parité d'une fon tionDé�nition 1. Fon tion paireSoit f une fon tion dé�nie sur un ensemble I de R. On dit que f est une fon tion paire lorsque :� I est symétrique par rapport à l'origine.� ∀x ∈ I, f(−x) = f(x)Exemple 1.Les fon tions suivantes sont-elles paires sur leur domaine de dé�nition ?f(x) =

x2 + cosx+ 1

−|x| − 1; g(x) = 2x+ 2Propriété 1.Une fon tion est paire si et seulement si sa représentation graphique dans un repère orthogonalest symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.Exemple 2.Véri�er à l'aide d'un graphique la propriété pré édente.Dé�nition 2. Fon tion impaireSoit f une fon tion dé�nie sur un ensemble I de R. On dit que f est une fon tion impairelorsque :� I est symétrique par rapport à l'origine.� ∀x ∈ I, f(−x) = −f(x)Exemple 3.Les fon tions suivantes sont-elles impaires sur leur domaine de dé�nition ?

f(x) =−x3 + sin x

x2 + 1; g(x) = 2x+ 2Propriété 2.Une fon tion est impaire si et seulement si sa représentation graphique dans un repère ortho-gonal est symétrique par rapport à l'origine.Exemple 4.Véri�er à l'aide d'un graphique la propriété pré édente.1 JA-NP

1A M1.1 2018-20191.2 Etudes des bran hes in�niesOn a une bran he in�nie si x ou f(x) tendent vers +∞ ou −∞.� 1er as : limx→x0

f(x) = ±∞ : asymptote verti ale x = x0� 2ème as : limx→±∞

f(x) = y0 : asymptote horizontale y = y0� 3ème as : limx→±∞

f(x) = ±∞. On étudie limx→±∞

f(x)

x1. Si limx→±∞

f(x)

x= ±∞ : bran he parabolique de dire tion asymptotique Oy (exemple : lafon tion exp)2. Si lim

x→±∞

f(x)

x= 0 : bran he parabolique de dire tion asymptotique Ox (exemple : lafon tion ln x)3. Si lim

x→±∞

f(x)

x= a ∈ R

∗ : on étudie limx→±∞

f(x)− ax :(a) Si limx→±∞

f(x)− ax = b ∈ R : asymptote oblique d'équation y = ax+ b(b) Si limx→±∞

f(x)− ax = ±∞ : bran he parabolique de dire tion asymptotique y = axExemple 5.Déterminer les bran hes in�nies de la fon tion f dé�nie par f(x) = 2− 3x2

x+ 31.3 Fon tions de lasses C2, onvexes et on avesDans e paragraphe on onsidère une fon tion f de lasse C2 sur un intervalle ouvert I.Dé�nition 3.On dit que f est onvexe sur I lorsque ∀x ∈ I, f ′′(x) > 0.Exemple 6.Soit f une fon tion onvexe sur un intervalle I.1. Que peut-on dire des variations de la dérivée de f ?2. En déduire l'allure d'une fon tion onvexe.Dé�nition 4.On dit qu'une fon tion f est on ave sur un intervalle I lorsque −f est onvexe sur I.Exemple 7.Construire l'allure de la représentation d'une fon tion on ave à partir de la dé�nition pré é-dente.Dé�nition 5. Soit x0 ∈ I. On dit que la fon tion f admet un point d'in�exion en x0, si etseulement si f ′′(x) hange de signe en x0.Représenter graphiquement un point d'in�exion.2 JA-NP

1A M1.1 2018-20191.4 Plan d'une étude de fon tion1. Ensemble de dé�nition, parité, périodi ité éventuelles, rédu tion du domaine d'étude2. Continuité, éventuellement prolongement par ontinuité, dérivabilité.3. Variations : utiliser la dérivée puis dresser le tableau des variations de f . Pré iser lesvaleurs importantes : les bornes du domaine d'étude, les points où la dérivée est nulle ounon dé�nie.4. Tangentes remarquables :(a) Si la dérivée est nulle : tangente horizontale(b) Si la dérivée ou le taux de variation tend vers +∞ ou −∞ : tangente verti ale : pointde non dérivabilité.( ) Demi-tangentes : obtenues en onsidérant f seulement à droite ou seulement à gau heen un point x05. Limites aux bornes du domaine de dé�nition.6. Étude des bran hes in�nies.7. Établir le tableau de variation omplet de f en tenant ompte des points pré édents.8. Con avité, onvexité, point d'in�exion, éventuellement.9. Représentation graphique2 Exponentielles, logarithmes, puissan es2.1 ExponentielleDé�nition 6. Il existe une unique fon tion de R dansR, appelée exponentielle, notée exp, dérivable sur R telleque :

{

exp(0) = 1exp′(x) = exp(x), ∀x ∈ RPar dé�nition, exp est ontinue et dérivable sur R.Equation fon tionnelle

∀x, y ∈ R :

exp(x+ y) = exp(x). exp(y)

exp(−x) =1

exp(x)On pose : e = exp(1) et on note ex = exp(x).Variations∀x ∈ R, exp(x) > 0 don omme exp′ = exp, alors exp est stri tement roissante.Limites aux bornes

limx→+∞

ex = +∞ limx→−∞

ex = 03 JA-NP

1A M1.1 2018-2019La ourbe de exp admet une asymptote horizontale en −∞ d'équation y = 0 'est à dire l'axedes abs isses.Croissan es omparées

∀α ∈ R+∗, lim

x→+∞

ex

xα= +∞

∀α ∈ R+∗, lim

x→−∞

|x|αex = 0Limite à onnaîtrelimx→0

ex − 1

x= 12.2 Logarithme népérienDé�nition 7. La fon tion logarithme népérien,notée ln est la fon tion ré iproque de la fon tion

exp ar exp est bije tive de R dans ]0; +∞[. Lafon tion ln est don dé�nie de ]0; +∞[ dans R.Variationsln est de même sens de variations que exp ainsi lnest ontinue, dérivable et stri tement roissante sur]0; +∞[.Dérivée

∀x > 0, ln′(x) =1

exp′(ln x)=

1

elnx=

1

xLimites aux borneslimx→0+

ln x = −∞ limx→+∞

ln x = +∞La ourbe de ln admet une asymptote verti ale en 0.Equation fon tionnelle∀x, y > 0 :

{

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln1

x= − ln xCroissan es omparées

∀α ∈ R+∗, lim

x→+∞

ln x

xα= 0

∀α ∈ R+∗, lim

x→0+xα ln x = 0Limite à onnaître

limx→0

ln(1 + x)

x= 1Exemple 8. Étudier la fon tion f : x 7→ ln(1 + ex)4 JA-NP

1A M1.1 2018-20192.3 Fon tions exponentielles et logarithmes de base quel onque2.3.1 Fon tions exponentielles de base quel onqueDé�nition 8. Soit a > 0. Pour tout x ∈ R, on dé�nit l'exponentielle debase a par :ax = exp(x ln a) = ex lnaAinsi, l'étude d'une exponentielle de base a se ramène à elle d'une ex-ponentielle lassique du type eαx.2.3.2 Fon tions logarithmes de base quel onqueSoit a > 0 et a 6= 1. Pour tout x > 0, on dé�nit lelogarithme de base a par :

loga(x) =ln x

ln aDe même, l'étude d'une fon tion logarithme de basea se ramène, à un fa teur multipli atif près à elle dela fon tion ln.2.3.3 Fon tion logarithme dé imalUne fon tion logarithme de base 10 est appelée logarithme dé imal, il estnoté log. Cette fon tion est la fon tion ré iproque de la fon tion expo-nentielle de base 10 : x → 10x. Elles don utilisée lorsqu'on manipule despuissan es de 10.Exemple 9. Par exemple, en himie, nous avons la formule : [H+] = 10−PH . En déduire PHen fon tion de la on entration en [H+].2.4 Fon tions puissan esPour α ∈ R, on dé�nit :

fα :

(

R∗

+ → R

x 7→ xα

)ave xα = eα lnx.Ainsi, là aussi, on se ramène à l'étude d'une exponentielle las-sique, sauf dans les as α entier naturel (fon tion puissan e las-sique), entier relatif négatif (fon tion inverse d'une fon tion puis-san e lassique), rationnel et on a : x p

q = q√xp.

5 JA-NP

1A M1.1 2018-20192.5 Croissan es omparéesSoient α > 0 et a, b > 1 : on a :lim

x→+∞

ax

xα= +∞ lim

x→+∞

logb x

xα= 0 lim

x→0xα logb x = 0On résume ela ainsi : en +∞ :

logb x ≪ xα ≪ ax3 Fon tions hyperboliques3.1 Cosinus et sinus hyperboliquesDé�nition 9. Par analogie ave les formules d'Euler, on appelle osinus hyperbolique et sinus hyperbolique les fon tions de Rdans R dé�nies par :

ch : x 7→ ex + e−x

2

sh : x 7→ ex − e−x

2Continuité, dérivabilitéch et sh sont ontinues et dérivables sur RCompléter les propriétés de ch et sh.Parité� La fon tion ch est une fon tion .......................... .� la fon tion sh est une fon tion ............................. .Dérivée

∀x ∈ R,

{

ch′(x) =sh′(x) =Tableau de variations

xch x

xsh xSignePour tout x ∈ R, on a ch(x) .............

sh(x) hange de signe en .............Trigonométrie hyperboliqueIl existe de nombreuses formules liant ch et sh mais elle- i est fondamentale :∀x ∈ R, ch2 x− sh2 x = 16 JA-NP

1A M1.1 2018-2019Exemple 10. Démontrer l'égalité pré édente.ComparaisonComme ch x − sh x = e−x pour tout x ∈ R, on a : lim

x→+∞

ch x − sh x = 0. Les ourbes desfon tions ch, sh et x 7→ 1

2ex sont dites asymptotes.

3.2 Tangente hyperboliqueDé�nition 10. On appelle tangente hyperbolique la fon tion th dé�nie sur R par :∀x ∈ R, th x =

sh x

ch x=

ex − e−x

ex + e−x=

e2x − 1

e2x + 1=

1− e−2x

1 + e−2xContinuité, dérivabilitéLa fon tion th est ontinue et dérivable sur R.ParitéLa fon tion th est ..................Dérivée∀x ∈ R, th′(x) = ..........................Tableau de variations

xth x

7 JA-NP

1A M1.1 2018-2019

Exemple 11. Montrer que : ∀x ∈ R, ch(2x) = ch2 x+ sh2 x et que sh(2x) = 2 ch x. sh x4 Manipulation de graphes4.1 Introdu tionpartie A) Expérimentation1) Dessiner le graphe de la fon tion exponentielle.2) Dessiner sur le papier les graphes des quatre fon tions suivantes : − exp(x) ; exp(x)+1 ; exp(x)− 1 ; 2 exp(x).3) Par quelles transformations géométriques passe-t-on du graphe de l'exponentielleaux graphes tra és ?4) Mêmes questions pour les quatre fon tions exp(−x) ; exp(x+1) ; exp(x−1) ; exp(2x).partie B) Énon é des orrespondan esRelier haque formule à la transformation géométrique qui lui orrespond, en la pré isantsi possible.(a) −f(x) ;(b) f(x) + 1 ;( ) f(x)− 1 ;(d) 2f(x) ;(e) f(−x) ;(f) f(x+ 1) ;(g) f(x− 1) ;(h) f(2x).

(1) translation vers le haut ;(2) translation vers le bas ;(3) translation vers la gau he ;(4) translation vers la droite ;(5) symétrie par rapport à l'axe des abs isses ;(6) symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ;(7) dilatation d'un fa teur 2 dans le sens verti al ;(8) dilatation d'un fa teur 1/2 dans le sens horizontal.partie C) 1) Quelle formule orrespond à une homothétie de rapport 2, entrée en l'origine ?2) À une rotation d'un demi-tour, entrée en l'origine ?4.2 BilanCertaines fon tions ont leur expression analytique onstruites à partir d'une fon tion usuelle.Ces fon tions sont dites asso iées à une fon tion de référen e. L'étude de e type de relation8 JA-NP

1A M1.1 2018-2019fon tionnelle permet d'obtenir rapidement et sans peine leurs représentations graphiques.Soient f et g deux fon tions numériques, dé�nies respe tivement sur Df et Dg, de ourbesreprésentatives respe tives Cf et Cg dans le repère orthonormé (O,~i,~j).4.2.1 TranslationsThéorème 1 (Translation verti ale).Si g(x) = f(x) + k ave k ∈ RAlors Cg est l'image de Cf par la translation verti ale de ve teur k~j.Théorème 2 (Translation horizontale).Si g(x) = f(x+ k) ave k ∈ RAlors Cg est l'image de Cf par la translation horizontale de ve teur −k~i.4.2.2 symétriesThéorème 3 (Symétrie d'axe Ox).Si g(x) = −f(x)Alors Cg est l'image de Cf par la symétrie orthogonale d'axe Ox.Théorème 4 (Symétrie d'axe Oy).Si g(x) = f(−x)Alors Cg est l'image de Cf par la symétrie orthogonale d'axe Oy.Théorème 5 (Symétrie entrale de entre O).Si g(x) = −f(−x)Alors Cg est l'image de Cf par la symétrie entrale de entre O.4.2.3 DilatationThéorème 6 (Dilatation verti ale).Si g(x) = k.f(x) ave k > 0Alors Cg est l'image de Cf par une dilatation verti ale de fa teur k.Théorème 7 (Dilatation horizontale).Si g(x) = f(k.x) ave k > 0Alors Cg est l'image de Cf par une dilatation horizontale de fa teur 1

k.Théorème 8 (Homothétie de entre O et de rapport k).Si g(x) = k.f(

1

k.x) ave k > 0Alors Cg est l'image de Cf par une homothétie de entre O et de rapport k.5 Fon tions ir ulaires5.1 Fon tion périodiqueDé�nition 11.Soit T un réel, et f une fon tion dé�nie sur un ensemble I de R. On dit qu'une fon tion f estune fon tion T périodique, ou de période T , lorsque :9 JA-NP

1A M1.1 2018-2019� ∀x ∈ I, x+ T ∈ I.� ∀x ∈ I, f(x+ T ) = f(x)Exemple 12.Soit f la fon tion dé�nie par f(t) = cos(ωt) pour t réel. Montrer que f est une fon tion depériode 2π

ω. ω est appelé pulsation en physique.Proposition 1.Soit a, b, et ω trois réels. Alors il existe trois réels φ, φ′ et A tels que :pour tout réel t : a cos(ωt) + b sin(ωt) = A sin(ωt+ φ) = A cos(ωt+ φ′)On a : A =√a2 + b2 , tanφ =

a

bet tanφ′ = − b

aLa propriété pré édente se traduit de la façon suivante en physique : le somme de deux signauxsinusoïdaux de même pulsation (et don de même période) est un signal sinusoïdal de mêmepulsation (et don de même période) ave un déphasage de φ.Exemple 13.Démontrer la propriété pré édente, puis é rire sous la formeA sin(ωx+φ) l'expression cos 2x+ sin 2x.5.2 Fon tions osinus et sinus5.2.1 Représentations graphiques5.2.2 Formulaire de trigonométrieAngles asso iéscos(−x) = cos(x) sin(−x) = − sin(x)

cos(π − x) = − cos(x) sin(π − x) = sin(x)

cos(π + x) = − cos(x) sin(π + x) = − sin(x)

cos(π

2− x) = sin(x) sin(

π

2− x) = cos(x)

cos(π

2+ x) = − sin(x) sin(

π

2+ x) = cos(x)

Valeurs remarquables

θ 0 π

6

π

4

π

3

π

2

cos(θ) 1 √3

2

√2

2

1

20

sin(θ) 0 1

2

√2

2

√3

21

tan(θ) 0 1√3

1 √3Somme� cos(a+ b) = cos(a) cos(b)− sin(a) sin(b)� sin(a+ b) = cos(a) sin(b) + cos(b) sin(a)10 JA-NP

1A M1.1 2018-2019Linéarisation� cos2(a) =

1 + cos(2a)

2

� sin2(a) =1− cos(2a)

2� sin(a) cos(a) =1

2sin(2a)5.3 Fon tion tangenteDé�nition 12.

La fon tion tangente, dé�nie parExemple 14. Étudier la fon tion f : x 7→ tan x− 1

tanxExer i es6 TD1-2-3Exer i e 1.Étudier les fon tions suivantes :1. U(r) =r2 − R

r +Roù R est une onstante non nulle.2. I(p) = √

ap− 1− p ave a un réel stri tement positif.Exer i e 2.Axe Ox

Mx

O

En éle tromagnétisme, vous verrez au S2, le hamp et le potentiel éle triques rééspar un disque, de rayon R, métallique plat (et sans épaisseur) uniformément éle -trisé ave une densité surfa ique de harge onstante σ. Vous trouverez qu'en unpoint M d'abs isse x de son axe, le potentiel éle trique est :V (x) = V (M) =

σ

2ε0(√R2 + x2 −

√x2)1. Étudier la fon tion V . V est-elle de lasse C1 sur R ?11 JA-NP

1A M1.1 2018-20192. On dé�nit la fon tion ~E qui est le hamp éle trique au point M par~E = −dV

dx~uxA partir de l'étude de V déduire la limite de E en 0 et en +∞.3. Les résultats pré édents sont-ils ohérents ave le phénomène physique ?Exer i e 3.Étudier les fon tions1. f(x) = xe

1

x2. f : x 7→ x1

xExer i e 4. Le diagramme de BodeEn éle tronique on utilise des �ltres pour �ltrer ertaines fréquen es.Pour étudier es �ltres on dé�nit une fon tion de transfert qui est égale auquotient de la tension omplexe de sortie sur la tension omplexe d'entrée.Pour le ir uit i- ontre, on obtient H(jω) =1

1 + j ωω0

ave j2 = −1 etω0 =

1

RC. On dé�nit alors le gain, en dé ibel, par GB = 20 log |H(jω)|.1. Exprimer en fon tion de ω, GB(ω).2. Soit g la fon tion dé�nie par g(ω) = −20 log(

ω

ω0).Montrer que lim

ω→+∞

GB(ω) − g(ω) = 0. Que peut-on en déduire des représentations gra-phiques de GB et g ?3. Déterminer les variations de GB.4. On pose le hangement de variables : X = logω

ω0pour ω > 0, et K la fon tion dé�niepar GB(ω) = K(X).Sans exprimer K en fon tion de X :(a) Etudier les variations de K.(b) Déterminer les équations des asymptotes de la représentation K lorsque X tend vers

−∞ et vers +∞.( ) Déterminer les oordonnées du point A(X0, Y0) du point d'interse tion entre les deuxdroites pré édentes.(d) Cal uler K(X0).(e) Représenter l'allure de K, ainsi que ses asymptotes dans un repère orthogonal.5. Sur l'axe des X , on fait orrespondre pour haque valeur entière de X , la valeur ω = kω0telle que log ω

ω0= X , on a ainsi G(ω) en ordonnée. On dit que l'on a la représentation de

GB dans un repère semi-logarithmique.Les fréquen es allant de quelques dizaines d'hertz à plusieurs entaines, ela permet dereprésenter GB.6. ω0 est appelée la pulsation de oupure. Pourquoi l'appelle t'on ainsi ?12 JA-NP

1A M1.1 2018-20197. On dé�nit le gain en dé ibel d'une puissan e P par GB = 10 logPS

PE

. On peut aussi dé�nirla pulsation de oupure pour laquelle la puissan e de sortie est égale à la moitié de lapuissan e d'entrée. Montrer que l'on retrouve GB(ω0)Exer i e 5 (Étude d'une famille de fon tions). (Fa ultatif)On se propose l'étude, pour n entier naturel non nul, des fon tions fn dé�nies parf(x) = x− n− n

ln x

xOn note Cn la représentation graphique de fn dans un repère orthogonal.A. Etude de fn1. Donner le domaine de dé�nition de f .2. Soit gn la fon tion dé�nie sur ]0; +∞[, par gn(x) = x2 − n+ n ln x(a) Montrer qu'il existe un unique réel αn tel que g(αn) = 0, puis que αn ∈ [1; 3].Déterminer α1.(b) Cal uler f ′

n et en déduire les variations de fn.( ) Montrer que fn(αn) = 2αn − n− n

αn

et en déduire la limite de fn(αn).3. Étudier les bran hes in�nies de fn, et étudier la position relative de Cn par rapport à seséventuelles asymptotes sur ]0; +∞[.B. Étude des positions relatives des ourbes CnSoit d(x) = fn(x)− fn+1(x).1. Étudier les variations de d, pré iser ses limites en 0 et en +∞.2. En déduire que l'équation d(x) = 0 admet une solution unique β et que β appartient àl'intervalle [0 ; 1℄.3. En déduire la position relative de Cn et Cn+1.4. Représenter, sur un même graphique, les allures de Cn et Cn+1.7 TD4-5Exer i e 6.Étudier les fon tions1. h : x 7→ ch

(

2x− 1

x+ 1

)2. i : x 7→ ln (1 + th x)Exer i e 7.É rire ch(x) en fon tion de sh(x) et sh(2x).Simpli�er un =

n∏

p=1

ch

(

1

2p

), en déduire limn→+∞

un.Exer i e 8. 13 JA-NP

1A M1.1 2018-20191. Étudier la fon tion f(x) = esh(x) − (1 + x) sur [−1; 1] (on pourra dériver deux fois f).En déduire que ∀x ∈ ]0; 1[ , 1 + x 6 eshx6

1

1− x.2. Soit k ∈ N, k > 2. Pour tout n ∈ N, on pose un =

kn∑

p=n

sh

(

1

p

), al uler limn→+∞

un.Exer i e 9. (Fa ultatif)Résoudre le système :

ch x+ ch y =35

12

sh x+ sh y =25

128 TD6-7-8Exer i e 10.Soit f dé�nie sur R par f(x) = x2 − 2x− 3. Voi i sa représentation graphique dans un repère artésien, a ompagnée de la parabole d'équation y = x2 :1

2

3

−1

−2

−3

−4

1 2 3−1−2−3

P

Cf � Par quelle transformation géométriquesemble-t-on obtenir Cf à partir de P ?� Le démontrer par le al ul.

Exer i e 11.1. Donner une représentation graphique pour la fon tion f dé�nie parf(x) =

2x+ 5 si x ∈ [−3,−2]

1 si x ∈ [−2, 1]

−x+ 2 si x ∈ [1, 5]2. Soit h la fon tion dé�nie par h(x) = −f(x).Pré iser la transformation asso iée puis donner le graphe et l'expression de h.14 JA-NP

1A M1.1 2018-20193. Même question pour i(x) = f(−x)4. Même question pour g(x) = f(x+ 1) + 2Exer i e 12.1. Tra er le plus rapidement possible les graphes des appli ations suivantes. On ommen erapar tra er le graphe de la fon tion élémentaire utilisée (sinus, osinus, et .).f1(x) = sin(x) + 1 ; f2(x) = − cos(x) ; f3(x) = ln(−x) ; f4(x) = 2

√x ; f5(x) = sin(2x) ;

f6(x) =√x+ 12. Plus di� ile : f7(x) = 2 sin(x) + 1 ; f8(x) = ln(2x + 1) ; f9(x) = sin(2x) + 1 ; f10(x) =

2 ln(x+ 1).Exer i e 13.Donner la plus petite période des fon tions suivantes :1. f1(x) = sin(3x)2. f1(x) = cos(ωx+π

4)

3. f1(x) = sin(3x)− cos(2x

3)4. f1(x) =

tan(4x)

tan(2x)Exer i e 14.Résoudre les équations suivantes.1. sin(2x) = sin(π

3)2. cos(3x+ π) = cos(

π

2)

3. tan(3x) = 14. sin x+ sin(2x) = 0Exer i e 15.Résoudre les inéquations suivantes sur R.1. sin(2x) 6 1

2 2. cos(3x+ π) > −√2

23. tan(3x) > 1

15 JA-NP