Chapitres 5,6,9 : La Chapitres 5,6,9 : La mesure et la mesure et la géométriegéométrie

Une hypothèseUne hypothèse

Une Une hypothèsehypothèse est un énoncé est un énoncé mathématique que nous proposons mathématique que nous proposons comme vrai sur la base des comme vrai sur la base des observations faites, mais que personne observations faites, mais que personne n’a pu prouver.n’a pu prouver.

Une hypothèse est utilisée Une hypothèse est utilisée

constamment avec des preuves de la constamment avec des preuves de la géométrie.géométrie.

Les droites sécantes et Les droites sécantes et les segments de droite les segments de droite sécantssécants Quand deux droites se coupent, Quand deux droites se coupent,

elles forment quatre angleselles forment quatre angles. . Les angles opposés par le Les angles opposés par le

sommetsommet ont la même mesure. ont la même mesure. Deux angles dont la somme est Deux angles dont la somme est

de 180° sont de 180° sont supplémentairessupplémentaires.. Deux angles dont la somme est Deux angles dont la somme est

de 90° sont de 90° sont complémentairescomplémentaires..

Les droites Les droites perpendiculairesperpendiculaires Les droites perpendiculairesLes droites perpendiculaires sont sont

les droites qui coupent à un angle les droites qui coupent à un angle droit (90droit (90°)°) vers le haut ou vers le vers le haut ou vers le bas.bas.

Les droites perpendiculaires ont Les droites perpendiculaires ont des pentes qui sont les des pentes qui sont les réciproques négatives aux eux-réciproques négatives aux eux-mêmes mêmes (voir l’exemple au tableau) (voir l’exemple au tableau)

Les droites parallèlesLes droites parallèles

Les droites parallèlesLes droites parallèles sont les sont les droites qui ne coupent jamais.droites qui ne coupent jamais.

Les droites parallèles ont les Les droites parallèles ont les mêmes pentes (chapitre 2) mais mêmes pentes (chapitre 2) mais les ordonnées à l’origine les ordonnées à l’origine différentes (des points de départ différentes (des points de départ différents)différents)

Des théorèmes des Des théorèmes des droites parallèlesdroites parallèles Quand une droite coupe des droites Quand une droite coupe des droites

parallèles, 3 relations particulières entre parallèles, 3 relations particulières entre les angles formés (voir la page 259):les angles formés (voir la page 259):

1.1. Les angles alternes internes (la forme en Les angles alternes internes (la forme en Z)Z)

2.2. Les angles correspondants (la forme en Les angles correspondants (la forme en F)F)

3.3. Les angles supplémentaires internes (la Les angles supplémentaires internes (la forme en C)forme en C)

Les préfixes communsLes préfixes communs

Les préfixesLes préfixes sont sont toujours attachés au toujours attachés au commencement du commencement du mot et ils veulent mot et ils veulent dire un sens dire un sens spécifique.spécifique.

Tri = 3Tri = 3 Tetra = 4Tetra = 4 Penta = 5Penta = 5 Hexa = 6Hexa = 6 Hepta = 7Hepta = 7 Octa = 8 Octa = 8 Nona = 9Nona = 9 Deca = 10Deca = 10 etcetc

Un polygoneUn polygone

Un Un polygonepolygone a tous des côtés a tous des côtés congruents et tous des angles congruents et tous des angles congruents. congruents.

Les polygones peuvent être Les polygones peuvent être régulierrégulier ou ou irrégulierirrégulier..

Les polygones régulier ont la symétrie Les polygones régulier ont la symétrie de rotation et symétrie de la réflexion. de rotation et symétrie de la réflexion.

Voici la différence principale entre les Voici la différence principale entre les polygones régulier et irrégulierpolygones régulier et irrégulier..

Les exemples des Les exemples des polygones régulier polygones régulier communscommuns Un trigone régulier (un triangle Un trigone régulier (un triangle

équilatéraléquilatéral Un tétragone régulier (un carré)Un tétragone régulier (un carré) Un pentagone régulier Un pentagone régulier

(pentagone)(pentagone) Une hexagone régulierUne hexagone régulier Un octogone régulierUn octogone régulier

Les préfixes du Les préfixes du système métriquesystème métrique Les préfixes Les préfixes

fréquemment fréquemment utilisés sont: utilisés sont:

Kilo- (k) = 1000Kilo- (k) = 1000 Hecto- (h) = 100Hecto- (h) = 100 Déca- (da) = 10Déca- (da) = 10 Base- = 1Base- = 1 Déci- (d)= 1/10 = Déci- (d)= 1/10 =

0.1 0.1 Centi- (c) = 1/100 = Centi- (c) = 1/100 =

0.010.01 Milli- (m) = 1/1000 Milli- (m) = 1/1000

= 0.001= 0.001

Convertir des mesures Convertir des mesures entre unités métriquesentre unités métriques Pour convertir une mesure en une Pour convertir une mesure en une

mesure qui utilise un préfixe mesure qui utilise un préfixe différent, tu peux utiliser différent, tu peux utiliser l’escalier l’escalier métriquemétrique..

Comment utiliser Comment utiliser l’escalier métrique #1l’escalier métrique #1 Quand tu descends l’escalierQuand tu descends l’escalier, tu , tu

convertis une unité en une unité convertis une unité en une unité plus petite. plus petite.

Alors, tu multiplies le nombre Alors, tu multiplies le nombre donné par 10donné par 10nombre de marchesnombre de marches

Un exemple de Un exemple de conversion #1conversion #1 Pour convertir 6 km en mètresPour convertir 6 km en mètres:: 6 km = (6 x 106 km = (6 x 1033) m) m 6 km = (6 x 1000) m6 km = (6 x 1000) m 6 km = 6000 m6 km = 6000 m

Comment utiliser Comment utiliser l’escalier métrique #2l’escalier métrique #2

Quand tu montes l’escalierQuand tu montes l’escalier, tu , tu convertis une unité en une unité convertis une unité en une unité plus grande. plus grande.

Alors, tu divises le nombre donné Alors, tu divises le nombre donné par par 1010nombre de marchesnombre de marches

Un exemple de Un exemple de conversion #2conversion #2 Pour convertir 1200 mL en litresPour convertir 1200 mL en litres:: 1200 mL = (1200 1200 mL = (1200 ÷ 10÷ 1033) L) L 1200 mL = (1200 1200 mL = (1200 ÷ 1000) L÷ 1000) L 1200 mL = 1.2 L1200 mL = 1.2 L

Le périmètreLe périmètre

Le Le périmètrepérimètre est la distance est la distance totale autour de la figure.totale autour de la figure.

Le Le symbolesymbole du périmètre est P. du périmètre est P. Le Le périmètrepérimètre est une valeur est une valeur

unidimensionnelleunidimensionnelle mesurée en mesurée en unités linéaires (un exposant de unités linéaires (un exposant de 1) comme le millimètre, le 1) comme le millimètre, le centimètre, le mètre ou le centimètre, le mètre ou le kilomètre.kilomètre.

L’aireL’aire

L’aireL’aire est la mesure de la région est la mesure de la région que la figure contient. que la figure contient.

Le Le symbolesymbole de l’aire est A. de l’aire est A. L’aireL’aire est une valeur est une valeur

bidimensionnellebidimensionnelle, mesurée en , mesurée en unités carrées (exposant de 2) unités carrées (exposant de 2) comme le centimètre carré, le comme le centimètre carré, le mètre carré ou le kilomètre carré.mètre carré ou le kilomètre carré.

L’aire du rectangleL’aire du rectangle

Pour calculer Pour calculer l’aire du rectanglel’aire du rectangle:: AArectanglerectangle = longueur x largeur = longueur x largeur

L’aire du triangleL’aire du triangle

Pour calculer Pour calculer l’aire du trianglel’aire du triangle:: AAtriangletriangle = = ½ x base x hauteur½ x base x hauteur

Une figure composéeUne figure composée

Une Une figure composéefigure composée est une est une figure qui se compose de figure qui se compose de deux ou deux ou plusplus figures communes. figures communes.

Par exemple, tu peux décomposer Par exemple, tu peux décomposer le pentagonele pentagone en un en un rectanglerectangle et et un un triangletriangle. .

Un cercleUn cercle

A A cerclecercle est une figure à 2 dimensions est une figure à 2 dimensions formée de tous les points d’un plan qui formée de tous les points d’un plan qui sont équidistants d’un point fixé. sont équidistants d’un point fixé.

Cette distance constante s’appelle le Cette distance constante s’appelle le rayonrayon du cercle. du cercle.

Le point fixé s’appelle le Le point fixé s’appelle le centrecentre du du cercle. cercle.

Il y a Il y a 360360°° dans une rotation complète dans une rotation complète autour un cercle.autour un cercle.

Qu’est-ce que c’est pi?Qu’est-ce que c’est pi?

PiPi est un nombre irrationnel qui est un nombre irrationnel qui représente le rapport du circonférence représente le rapport du circonférence du cercle à son diamètre. du cercle à son diamètre.

Le symbole du pi est Le symbole du pi est ∏∏ Pi égale à 3.1412… (c’est un nombre Pi égale à 3.1412… (c’est un nombre

décimal illimité et apériodique)décimal illimité et apériodique) Pour rendre la vie plus facile, nous Pour rendre la vie plus facile, nous

allons assumer toujours que la valeur allons assumer toujours que la valeur de pi est 3de pi est 3. .

La circonférence d’un La circonférence d’un cerclecercle La La circonférencecirconférence d’un cercle est la d’un cercle est la

distance autour de la figure. distance autour de la figure. Alors. la circonférence est Alors. la circonférence est le le

périmètre du cerclepérimètre du cercle.. Le Le symbolesymbole de la circonférence de la circonférence

est C.est C.

Comment calculer la Comment calculer la circonférencecirconférence Pour calculer Pour calculer la circonférencela circonférence

d’un cercle: d’un cercle: C = (2)(C = (2)(Π)(r) ou C=(Π)(d)Π)(r) ou C=(Π)(d) Π est le symbole de pi (qui est Π est le symbole de pi (qui est

égale environs à 3), r est le rayon égale environs à 3), r est le rayon du cercle et d est le diamètre du du cercle et d est le diamètre du cercle.cercle.

Comment calculer Comment calculer l’aire d’un cerclel’aire d’un cercle Pour calculer Pour calculer l’airel’aire d’un cercle: d’un cercle: A = A = ((ΠΠ)()(rr22))

Les termes de Les termes de géométriegéométrie CongruentCongruent veut dire la même veut dire la même

forme et la même taille. forme et la même taille. ParallèleParallèle veut dire dans le même veut dire dans le même

espace mais pas d’intersection.espace mais pas d’intersection. Un Un développementdéveloppement peut aider à peut aider à

visualiser les faces d’une figure à visualiser les faces d’une figure à trois dimensions. (voir la page trois dimensions. (voir la page 221) 221)

Les prismes et les Les prismes et les cylindrescylindres Les Les prismesprismes et les et les cylindrescylindres ont 2 ont 2

faces faces congruentescongruentes et et parallèlesparallèles. .

Les exemples des Les exemples des prismes et des prismes et des cylindrescylindres Il y a Il y a troistrois

exemples exemples communs:communs:

un prisme un prisme rectangulairerectangulaire

un cylindreun cylindre un prisme un prisme

triangulairetriangulaire

L’aire totale des L’aire totale des prismes et des prismes et des cylindrescylindres L’aire totaleL’aire totale d’une figure à trois d’une figure à trois

dimensions est égale à dimensions est égale à la sommela somme des aires de toutes les faces.des aires de toutes les faces.

Une figure à trois Une figure à trois dimensions composéedimensions composée Une figure à trois dimensions Une figure à trois dimensions

composéecomposée est formé de deux ou est formé de deux ou de plusieurs figures à trois de plusieurs figures à trois dimensions.dimensions.

L’aire totale d’une figure L’aire totale d’une figure à trois dimensions à trois dimensions composéecomposée Pour déterminer l’aire totale de Pour déterminer l’aire totale de

ce type de figure, tu trouves l’aire ce type de figure, tu trouves l’aire des faces exposées. des faces exposées.

Alors, Alors, l’aire totale d’une figure à l’aire totale d’une figure à trois dimensionstrois dimensions est égale à est égale à la la sommesomme des aires de toutes les des aires de toutes les faces. faces.

Le volume de prismes Le volume de prismes et de cylindreset de cylindres Le Le volumevolume d’un solide est d’un solide est

l’espace occupé par le solide. l’espace occupé par le solide. Le Le symbolesymbole du volume est V. du volume est V. Le Le volumevolume est une valeur est une valeur

tridimensionnelletridimensionnelle exprimée en exprimée en unités cubiques (un exposant de unités cubiques (un exposant de 3), comme les millimètres cubes, 3), comme les millimètres cubes, les centimètres cubes et les les centimètres cubes et les mètres cubes. mètres cubes.

La capacité de prismes La capacité de prismes et de cylindreset de cylindres La La capacitécapacité est est le volume le volume

maximalmaximal qu’un récipient peut qu’un récipient peut contenir.contenir.

La capacité est exprimé en La capacité est exprimé en litreslitres ou en ou en millilitresmillilitres..

Comment calculer le Comment calculer le volume d’un prisme:volume d’un prisme: Pour calculer Pour calculer le volume d’un le volume d’un

prisme prisme : : VVprismeprisme = = aire de la base x aire de la base x

hauteurhauteur VVprismeprisme = A = Abasebase x h x h

Comment calculer le Comment calculer le volume d’un cylindre:volume d’un cylindre: Pour calculer Pour calculer le volume d’un le volume d’un

cylindrecylindre:: VVcylindrecylindre = = ΠrΠr22 x h x h

Comment calculer le Comment calculer le volume de figure à 3-D volume de figure à 3-D composéescomposées Tu peux trouver le volume d’une Tu peux trouver le volume d’une

figure à trois dimensions figure à trois dimensions composée par composée par additionner les additionner les volumes des figures qui forment volumes des figures qui forment la figure composéela figure composée..

Le volume de figures à Le volume de figures à trois dimensionstrois dimensions Le Le volumevolume est l’espace qu’un objet est l’espace qu’un objet

occupe, exprimé en occupe, exprimé en unités unités cubiquescubiques..

Un Un polygonepolygone est une figure fermée est une figure fermée à à deuxdeux dimensions dont les côtés dimensions dont les côtés sont des segments de droite.sont des segments de droite.

Un Un polyèdrepolyèdre est une figure à est une figure à troistrois dimensions dont les faces sont des dimensions dont les faces sont des polygones.polygones.

Les figures à trois Les figures à trois dimensionsdimensions Nous allons Nous allons

calculer le calculer le volume de trois volume de trois figures à trois figures à trois dimensions:dimensions:

1.1. Un côneUn cône

2.2. Une pyramideUne pyramide

3.3. Une sphèreUne sphère

Un côneUn cône

Un Un cônecône est un objet à trois est un objet à trois dimensions ayant une base dimensions ayant une base circulaire et une face courbe. circulaire et une face courbe.

Comment calculer le Comment calculer le volume du cônevolume du cône Pour calculer Pour calculer le volume d’un le volume d’un

cône:cône: VVcônecône = 1/3 x (le volume de = 1/3 x (le volume de

cylindre)cylindre) VVcônecône = 1/3 x Πr = 1/3 x Πr22 x h x h

Une pyramideUne pyramide

Une Une pyramidepyramide est un polyèdre qui est un polyèdre qui a une base polygonale et le a une base polygonale et le même nombre de faces que la même nombre de faces que la base a de côtés. base a de côtés.

Comme les prismes, les Comme les prismes, les pyramides sont nommées d’après pyramides sont nommées d’après la forme de leur base.la forme de leur base.

Comment calculer le Comment calculer le volume d’une volume d’une pyramidepyramide Pour calculer Pour calculer le volume d’une le volume d’une

pyramidepyramide:: VVpyramidepyramide= 1/3 x(le volume de = 1/3 x(le volume de

prisme)prisme) VVpyramidepyramide = 1/3 x A = 1/3 x Abasebase x h x h

Une sphèreUne sphère

Une Une sphèresphère est un objet rond est un objet rond comme une balle. comme une balle.

Tous les points de la surface Tous les points de la surface d’une sphère sont à la même d’une sphère sont à la même distance du point fixe appelé distance du point fixe appelé « centre »« centre »

Comment calculer le Comment calculer le volume d’une sphèrevolume d’une sphère Pour calculer Pour calculer le volume d’une le volume d’une

sphèresphère:: Volume d’une sphère = 4/3 x ΠrVolume d’une sphère = 4/3 x Πr33

L’aire totale de figures L’aire totale de figures à trois dimensionsà trois dimensions L’aire totaleL’aire totale est la somme des est la somme des

aires de toutes les faces d’une aires de toutes les faces d’une figure à trois dimensions. figure à trois dimensions.

L’aire totale de n’importe quel L’aire totale de n’importe quel prisme, pyramide ou cylindre est prisme, pyramide ou cylindre est simplement simplement la somme de l’aire la somme de l’aire des faces exposéesdes faces exposées..

Le symbole de l’aire totale est ALe symbole de l’aire totale est Att

Comment calculer Comment calculer l’aire totale du l’aire totale du cylindrecylindre Pour calculer Pour calculer l’aire totale du l’aire totale du

cylindrecylindre::

AAtt= 2= 2ΠrΠr22 + 2Πrh + 2Πrh

Comment calculer Comment calculer l’aire totale du cônel’aire totale du cône Pour calculer Pour calculer l’aire totale du cônel’aire totale du cône::

Trouve la somme de l’aire de sa Trouve la somme de l’aire de sa base et l’aire latéral.base et l’aire latéral.

AAtt = = ΠrΠr22 + Πro + Πro

La génératriceLa génératrice

La longueur de la génératrice La longueur de la génératrice utilise utilise le symbolele symbole o o

En anglais, En anglais, la génératricela génératrice veut veut dire « slant height »dire « slant height »

La génératrice est calculée en La génératrice est calculée en utilisant le théorème de utilisant le théorème de Pythagore. Pythagore.

Comment calculer Comment calculer l’aire totale d’une l’aire totale d’une sphèresphère Pour calculer Pour calculer l’aire totale d’une l’aire totale d’une

sphèresphère::

AAtt = 4Πr = 4Πr22

Un cubeUn cube

Un Un cubecube est le produit de trois est le produit de trois facteurs égaux. facteurs égaux.

Chaque facteur représente Chaque facteur représente la la racine cubiqueracine cubique du nombre. du nombre.

Par exemple, la racine cubique de Par exemple, la racine cubique de 8 est 2 parce que 8 est 2 parce que 2233 = 2 x 2 x 2 = = 2 x 2 x 2 = 88

Unique TrianglesUnique Triangles

A A unique triangleunique triangle is a triangle that is a triangle that does not have an equivalent. (“one-does not have an equivalent. (“one-of-a-kind”)of-a-kind”)

How to create a unique How to create a unique triangletriangle These conditions are needed to create a These conditions are needed to create a

unique triangle:unique triangle:1.1. The The SSS caseSSS case means that all three sides are means that all three sides are

given.given.

2.2. The The SAS caseSAS case means that the measures of two means that the measures of two sides and the angle between the two sides are sides and the angle between the two sides are given.given.

3.3. The The ASA caseASA case means that the two angles and the means that the two angles and the side contained between the two angles are given.side contained between the two angles are given.

4.4. The The AAS caseAAS case means that the two angles and a means that the two angles and a non-contained side are given.non-contained side are given.

CongruenceCongruence

The symbol for The symbol for congruencecongruence, ≈, is , ≈, is read « is congruent to. »read « is congruent to. »

If 2 geometric figures are If 2 geometric figures are congruentcongruent, they have the same , they have the same shape and size. shape and size.

How to determine 2 How to determine 2 Congruent TrianglesCongruent Triangles To determine 2 congruent trianglesTo determine 2 congruent triangles, we , we

must check a set of must check a set of minimum sufficient minimum sufficient conditionsconditions::

1.1. Measure the lengths of 1 pair of Measure the lengths of 1 pair of

corresponding sides and 2 pairs of corresponding sides and 2 pairs of corresponding angles and find them equal.corresponding angles and find them equal.

2.2. Measure the lengths of 2 pairs of Measure the lengths of 2 pairs of corresponding sides and the angles included corresponding sides and the angles included by these sides and find them equal.by these sides and find them equal.

3.3. Measure the lengths of 3 pairs of Measure the lengths of 3 pairs of corresponding sides and find them equal. corresponding sides and find them equal.

Similar figuresSimilar figures

The symbol, ~, means « is similar The symbol, ~, means « is similar to »to »

Two figures (polygons) are Two figures (polygons) are similarsimilar when their corresponding angles when their corresponding angles have the same measure and their have the same measure and their corresponding sides are in corresponding sides are in proportionproportion. .

How to determine 2 How to determine 2 Similar TrianglesSimilar Triangles To determine 2 similar trianglesTo determine 2 similar triangles, we must , we must

check a set of check a set of minimum sufficient conditionsminimum sufficient conditions::

1.1. 2 pairs of corresponding angles have the 2 pairs of corresponding angles have the same measure.same measure.

2.2. The ratios of 3 pairs of corresponding The ratios of 3 pairs of corresponding sides are equal (i.e. these 3 pairs are sides are equal (i.e. these 3 pairs are proportional)proportional)

3.3. 2 pairs of corresponding sides are 2 pairs of corresponding sides are proportional and the corresponding proportional and the corresponding included angles are equal. included angles are equal.

TransformationsTransformations

A A transformationtransformation is a mapping is a mapping of one geometrical figure to of one geometrical figure to another according to some another according to some rule.rule.

A transformation changes a A transformation changes a figure’s pre-image to an figure’s pre-image to an imageimage. .

Pre-image vs. ImagePre-image vs. Image

A A pre-imagepre-image is the original line or is the original line or figure before a transformation. figure before a transformation.

An An imageimage is the resulting line or is the resulting line or figure after a transformation. figure after a transformation.

See page 5 of Math 9 booklet to See page 5 of Math 9 booklet to see the difference in notation see the difference in notation between these 2 terms.between these 2 terms.

The types of The types of transformationstransformations There are 4 There are 4

types of types of transformationstransformations::

TranslationsTranslations ReflectionsReflections RotationsRotations Dilatations.Dilatations.

A translationA translation

A A translationtranslation is a slide. It is is a slide. It is represented by a represented by a translation translation arrowarrow. .

A reflectionA reflection

A A reflectionreflection is a flip. It is is a flip. It is represented by a represented by a reflection line reflection line m m (a double arrowed line)(a double arrowed line)

A rotationA rotation

A A rotationrotation is a turn. It is is a turn. It is represented by represented by a curved arrow a curved arrow either in a clockwise or counter either in a clockwise or counter clockwise directionclockwise direction..

A dilatationA dilatation

A A dilatationdilatation is an enlargement or is an enlargement or reduction. Dilatations always need a reduction. Dilatations always need a dilatation centredilatation centre and a and a scaling factorscaling factor. .

A A scale factorscale factor is a ratio or number is a ratio or number that represents the amount by which that represents the amount by which a figure is enlarged or reduced: a figure is enlarged or reduced:

(image measurement) ÷ (pre-image (image measurement) ÷ (pre-image measurement)measurement)

Transformations on a Transformations on a Cartesian GridCartesian Grid A A mapmap associates each point of a associates each point of a

geometric shape with a geometric shape with a corresponding point in another corresponding point in another geometric shape on a Cartesian geometric shape on a Cartesian Grid.Grid.

A map shows how a transformation A map shows how a transformation changes a pre-image to an image. changes a pre-image to an image.

An example of a map An example of a map

(2,3) (2,3) → (4,7) means that the point → (4,7) means that the point (2,3) (2,3) maps ontomaps onto point (4,7). point (4,7).

This implies that there is a This implies that there is a relationship between the 2 points.relationship between the 2 points.

(2,3) and (4,7) are called (2,3) and (4,7) are called corresponding pointscorresponding points..

Mapping RuleMapping Rule

The relationship between 2 The relationship between 2 corresponding points, expressed corresponding points, expressed as algebraic expressions, is as algebraic expressions, is called a called a mapping rulemapping rule..

For example: (2,3) → (4,7) has a For example: (2,3) → (4,7) has a mapping rule (x,y) → (x+2, y+4)mapping rule (x,y) → (x+2, y+4)

Properties of Properties of TransformationsTransformations The properties of translations, The properties of translations,

reflections and 180reflections and 180° rotations ° rotations were discussed in Grade 8. were discussed in Grade 8.

These properties are summarized These properties are summarized on the worksheet (GS BLM 6.2 on the worksheet (GS BLM 6.2 Properties of Transformations Properties of Transformations Table)Table)

Minimum Sufficient Minimum Sufficient Conditions for Conditions for TransformationsTransformations To be certain that 2 shapes have To be certain that 2 shapes have

undergone a specific undergone a specific transformation, one must provide transformation, one must provide a minimum sufficient condition a minimum sufficient condition (information). (information).

The Minimum Sufficient The Minimum Sufficient Condition for a Condition for a TranslationTranslation The line segments joining The line segments joining

corresponding points are corresponding points are congruent, parallel and in the congruent, parallel and in the same direction. same direction.

Minimum Sufficient Minimum Sufficient Condition for a ReflectionCondition for a Reflection

The line segments joining The line segments joining corresponding points have a corresponding points have a common perpendicular bisector. common perpendicular bisector.

A perpendicular A perpendicular bisectorbisector A A perpendicular bisectorperpendicular bisector is a line is a line

drawn perpendicular (at a 90drawn perpendicular (at a 90° ° angle) to a line segment dividing angle) to a line segment dividing it into 2 equal parts.it into 2 equal parts.

The perpendicular bisector always The perpendicular bisector always intersects with the intersects with the midpointmidpoint of of the original line segment. the original line segment.

Minimum Sufficient Minimum Sufficient Condition for a 180Condition for a 180° ° RotationRotation The line segments joining The line segments joining

corresponding points intersect at corresponding points intersect at their midpoints. their midpoints.

Regular polyhedron Regular polyhedron (Grade 7)(Grade 7) A A regular polyhedronregular polyhedron is a 3-D is a 3-D

figure with faces that are figure with faces that are polygons.polygons.

Polyhedron’s plural is polyhedraPolyhedron’s plural is polyhedra..

Platonic solids Platonic solids

The The Platonic solidsPlatonic solids are the 5 are the 5 regular polyhedra named after regular polyhedra named after the Greek Mathematician Plato.the Greek Mathematician Plato.

The 5 Platonic solids The 5 Platonic solids

1.1. The cubeThe cube

2.2. The regular tetrahedronThe regular tetrahedron

3.3. The regular octahedronThe regular octahedron

4.4. The regular dodecahedronThe regular dodecahedron

5.5. The regular icosahedronThe regular icosahedron See Page 39 of Math 9 bookletSee Page 39 of Math 9 booklet

The 3 characteristics of The 3 characteristics of regular polyhedra (Platonic regular polyhedra (Platonic solids)solids)

1.1. All faces are 1 type of regular All faces are 1 type of regular polygon.polygon.

2.2. All faces are congruent.All faces are congruent.

3.3. All vertices are the same (i.e. All vertices are the same (i.e. they have they have vertex regularityvertex regularity))

What is vertex What is vertex regularity?regularity? When all vertices in a polyhedron are When all vertices in a polyhedron are

the same, you have the same, you have vertex vertex regularityregularity, which can be described , which can be described using notation. using notation.

For example, the notation {5,5,5} For example, the notation {5,5,5} represents the vertex regularity of a represents the vertex regularity of a regular dodecahedron because there regular dodecahedron because there are 3 regular 5-sided polygons at are 3 regular 5-sided polygons at every vertex.every vertex.

Circle GeometryCircle Geometry

In this section of In this section of circle geometry, circle geometry, we will be we will be introduced to introduced to these new terms: these new terms:

Central anglesCentral angles Inscribed anglesInscribed angles Tangent of a Tangent of a

circlecircle Circumscribed Circumscribed

angleangle

Central angleCentral angle

A A central anglecentral angle is an angle is an angle formed by 2 radii of a circle. formed by 2 radii of a circle. (page 42)(page 42)

Inscribed angleInscribed angle

An An inscribed angleinscribed angle is an angle is an angle that has its vertex on a circle and that has its vertex on a circle and is is subtendedsubtended by an arc of the by an arc of the circle. (page 42)circle. (page 42)

What does “subtended” mean What does “subtended” mean geometrically?geometrically?

Tangent of a circleTangent of a circle

A A tangent of a circletangent of a circle is a line that is a line that touches a circle at only 1 point, touches a circle at only 1 point, the point of tangency. (page 43)the point of tangency. (page 43)

Circumscribed angleCircumscribed angle

A circumscribed angle is an angle A circumscribed angle is an angle with both arms tangent to a with both arms tangent to a circle. (page 44)circle. (page 44)

A polygonA polygon

A A polygonpolygon has all sides congruent has all sides congruent and all angles congruent. and all angles congruent.

Polygons can be both Polygons can be both regularregular and and irregularirregular..

Regular polygons have both Regular polygons have both reflective and rotational reflective and rotational symmetry. (Major difference symmetry. (Major difference between regular and irregular between regular and irregular polygons)polygons)

Regular polyhedronRegular polyhedron

A A regular polyhedronregular polyhedron is a 3-D is a 3-D figure with faces that are figure with faces that are polygons.polygons.

Polyhedron’s plural is polyhedraPolyhedron’s plural is polyhedra..

Polyhedra with regular Polyhedra with regular polygonal facespolygonal faces In grade 9 In grade 9

Geometry, there Geometry, there are several types are several types of polyhedra: of polyhedra:

The 5 Platonic The 5 Platonic solidssolids

A uniform prismA uniform prism An antiprismAn antiprism A deltahedronA deltahedron A dipyramidA dipyramid The Archimedean The Archimedean

solidssolids

The 5 Platonic solidsThe 5 Platonic solids

1.1. The cubeThe cube

2.2. The regular tetrahedronThe regular tetrahedron

3.3. The regular octahedronThe regular octahedron

4.4. The regular dodecahedronThe regular dodecahedron

5.5. The regular icosahedronThe regular icosahedron See Page 39 of Math 9 bookletSee Page 39 of Math 9 booklet

Uniform prismUniform prism

A A uniform prismuniform prism is a prism having is a prism having only regular polygonal faces. only regular polygonal faces. (page 50)(page 50)

AntiprismAntiprism

An An antiprismantiprism is a polyhedron is a polyhedron formed by 2 parallel, congruent formed by 2 parallel, congruent bases and triangles. bases and triangles.

Each triangular face is adjacent Each triangular face is adjacent (next to) 1 of the congruent (next to) 1 of the congruent bases. bases.

Page 51Page 51

DeltahedronDeltahedron

A A deltahedrondeltahedron is a polyhedron is a polyhedron that has only equilateral triangle that has only equilateral triangle faces. faces.

The deltahedron is named after The deltahedron is named after the Greek symbol delta (the Greek symbol delta (ΔΔ))

The plural is deltahedra.The plural is deltahedra. Page 51Page 51

DipyramidDipyramid

A dipyramid is a polyhedron with A dipyramid is a polyhedron with all triangle faces formed by all triangle faces formed by placing 2 pyramids base to base. placing 2 pyramids base to base.

Page 52Page 52

Archimedean solidsArchimedean solids

The Archimedean solids are the The Archimedean solids are the 13 different semi-regular 13 different semi-regular polyhedra. polyhedra.

The Archimedean solids have The Archimedean solids have vertex regularity and symmetry vertex regularity and symmetry (reflective and rotational)(reflective and rotational)

13 Archimedean solids 13 Archimedean solids (page 53)(page 53) CuboctahedronCuboctahedron Great rhombicosidodecahedronGreat rhombicosidodecahedron Great rhombicuboctahedronGreat rhombicuboctahedron IcosidodecahedronIcosidodecahedron Small rhombicosidodecahedronSmall rhombicosidodecahedron Small rhombicuboctahedronSmall rhombicuboctahedron Snub cubeSnub cube

13 Archimedean solids 13 Archimedean solids (page 53) continued(page 53) continued Snub dodecahedronSnub dodecahedron Truncated dodecahedronTruncated dodecahedron Truncated icosahedronTruncated icosahedron Truncated octahedronTruncated octahedron Truncated tetrahedronTruncated tetrahedron Truncated cubeTruncated cube

What is a vertex?What is a vertex?

A A vertexvertex is a point at which 2 or is a point at which 2 or more edges of a figure meet. more edges of a figure meet.

The plural is vertices. The plural is vertices.

Vertex configurationVertex configuration

Vertex configurationVertex configuration is the arrangement is the arrangement of regular polygons at the vertices of a of regular polygons at the vertices of a polyhedron. (page 50)polyhedron. (page 50)

Vertex configuration notation refers to the Vertex configuration notation refers to the types of regular polygons around a types of regular polygons around a vertex.vertex.

For example, the notation {3,4,5,4} For example, the notation {3,4,5,4} means that a vertex has an equilateral means that a vertex has an equilateral triangle, a square, a regular pentagon triangle, a square, a regular pentagon and a square around it in that order. and a square around it in that order.

Plane of symmetryPlane of symmetry

A plane of symmetry is a plane A plane of symmetry is a plane dividing a polyhedron into 2 dividing a polyhedron into 2 congruent halves that are congruent halves that are reflective images across the reflective images across the plane. plane.

Page 53Page 53

Axis of symmetryAxis of symmetry

An An axis of symmetryaxis of symmetry is a line is a line about which a polyhedron about which a polyhedron coincides with itself as it rotates.coincides with itself as it rotates.

The number of times a The number of times a polyhedron coincides with itself in polyhedron coincides with itself in 1 complete rotation is its 1 complete rotation is its order of order of rotational symmetryrotational symmetry. .

The properties of The properties of regular polyhedraregular polyhedra1.1. All faces are regular polygons.All faces are regular polygons.2.2. All faces are the same type of All faces are the same type of

congruent polygon.congruent polygon.3.3. The same number of faces meet at The same number of faces meet at

each vertex. each vertex. 4.4. Regular polyhedra have several axis Regular polyhedra have several axis

of symmetry (rotational symmetry)of symmetry (rotational symmetry)5.5. Regular polyhedra have several Regular polyhedra have several

planes of symmetry (reflective planes of symmetry (reflective symmetry)symmetry)

The difference between The difference between semi-regular and regular semi-regular and regular polyhedrapolyhedra Regular polyhedra = Platonic Regular polyhedra = Platonic

solids, etc.solids, etc. Semi-regular polyhedra = Semi-regular polyhedra =

Archimedean solidsArchimedean solids All faces of a semi-regular All faces of a semi-regular

polyhedron are not the same type polyhedron are not the same type of regular polygon. of regular polygon.