CI-5 Modéliser les actions mécaniquesgondor-carnot.fr/oooo/Cours-Td/Diap-SUP-Td-STAT.pdf · Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 7 CI-5 Modéliser, déterminer les actions

CI-5Modéliser les actions mécaniques

Prévoir et vérifier les performances de systèmes soumis à des actionsmécaniques statiques.

LYCÉE CARNOT (DIJON), 2017 - 2018

Germain Gondor

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 7 CI-5 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2017 - 2018 1 / 74

E.P.A.S

Sommaire

1 E.P.A.S

2 Lève bateau

3 Système à Arc-bouttement (téléski)

4 Equilibre d’un barrage

5 Etude d’un frein (avec le modèle de Coulomb)

6 Pince de Robot

7 Roue Libre

8 Radar X-band (D’après sujet CCP 99 - PSI)

9 Etude statique du robot MaxPID


E.P.A.S

E.P.A.S

Le véhicule porteur de l’E.P.A.S. doit être équipé de stabilisateurs. Une fois enplace, les stabilisateurs le soulèvent, afin qu’il ne repose plus sur les roues(les roues touchent le sol mais ne supportent aucun poids) : le mouvementdes suspensions du véhicule mettrait en danger sa stabilité.

L’objet de l’exercice est de déterminer la longueur de déploiement maximaleque le système de sécurité pourra autoriser.


E.P.A.S


E.P.A.S

Le véhicule est dans la configuration de la figure précédente :1 Parc échelle horizontale.2 Stabilisateurs sortis au maximum.3 Charge maximale dans la plate-forme.

Le problème sera traité en statique plane dans le plan (O, #»x , #»y ) de la figureprécédente.


E.P.A.S

Les efforts pris en compte sont :1 Les actions de pesanteur sur chaque élément.

Elément Centre d’inertie Masse

Véhicule + charge utile GV mV# »

OGV = a.v vy

Parc échelle GE mE# »

OGE = L2 .

#»x + h. #»y

Plate-forme + charge utile GP mP# »

OGP = L. #»x + H . #»y

2 Les actions de contact de la route sur les stabilisateurs.Ces actions seront modélisées par des glisseurs passant l’un par M, telque

# »

OM = −b. #»x et l’autre par N tel que# »

ON = b. #»xLes résultantes de ces glisseurs seront notées respectivement :

# »

RM = XM .#»x + YM .

#»y et# »

RN = XN .#»x + YN .

#»y


E.P.A.S

Question

Q - 1 : Exprimez la condition de non basculement de l’ensemble.Q - 2 : Calculez la longueur Lmax de déploiement au-delà de laquelle il y

aura basculement.


Lève bateau

Sommaire1 E.P.A.S

2 Lève bateauStatique analytiqueStatique graphique




6 Pince de Robot

7 Roue Libre


9 Etude statique du robot MaxPIDSciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 7 CI-5 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2017 - 2018 8 / 74

Lève bateau

Le système ci-contre est en équilibre. Le bateau est maintenu par l’action duvérin hydraulique. Le problème sera supposé plan, et les liaisons pivot en A, B,C et D parfaites. L’action du poids sera négligée sauf pour le bateau (glisseur#»g passant par G).

# »

AC = cx .#»x + cy .

#»y# »

AD = d . #»x# »

DB = λ.#»yb

θ = ( #»x , #»xb) = ( #»y , #»yb)

Q - 1 : Réaliser le graphe des liaisons de ce mécanisme.

Q - 2 : Déterminer les actions mécaniques dans les liaisons en A, B, C etD par une étude analytique. Retrouver ces résultats par une étudegraphique.


Lève bateau


Lève bateau


Sol (S) Vérin (V)

Portique(P)

Bateau(B)

Rotule (D)

Pivot(A, #»z )

Rotule (B)

Rotule (C) g


Lève bateau


Sol (S) Vérin (V)

Portique(P)

Bateau(B)

Rotule (D)

Pivot(A, #»z )

Rotule (B)

Rotule (C) g


Lève bateau


L’approche graphique est construite en recherchant tous les solides ougroupe de solides soumis à 2 glisseurs (forces appliquées en un point). Nousdéterminons alors les directions de ces glisseurs. Reste alors à isoler lessolides soumis à 3 glisseurs.


Lève bateau


L’approche graphique est construite en recherchant tous les solides ougroupe de solides soumis à 2 glisseurs (forces appliquées en un point). Nousdéterminons alors les directions de ces glisseurs. Reste alors à isoler lessolides soumis à 3 glisseurs.


Lève bateau Statique analytique

Pour déterminer toutes les actions de liaisons, nous devons faire p − 1isolements indépendants, p étant le nombre de "pièces". Le sol n’étant pasisolable, isolons chacun des solides.



Isolement du bateau

(S) V

(P) (B)

Rotule (D)

Pivot(A, #»z )

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le bateau B

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le bateau:

◦ Action de la gravitation sur le bateau Fg→B =G

−m.g. #»y#»

0

◦ Action du portique sur le bateau FP→B =

C

XPB 0YPB 0ZPB 0

(

#»x ,#»y ,

#»z )



Isolement du bateau

(S) V

(P) (B)

Rotule (D)

Pivot(A, #»z )

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le bateau B• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le bateau:


−m.g. #»y#»

0


C

XPB 0YPB 0ZPB 0

(

#»x ,#»y ,

#»z )



Isolement du bateau

(S) V

(P) (B)

Rotule (D)

Pivot(A, #»z )

Rotule (B)

Rotule (C) g



−m.g. #»y#»

0


C

XPB 0YPB 0ZPB 0

(

#»x ,#»y ,

#»z )



Isolement du bateau

(S) V

(P) (B)

Rotule (D)

Pivot(A, #»z )

Rotule (B)

Rotule (C) g



−m.g. #»y#»

0


C

XPB 0YPB 0ZPB 0

(

#»x ,#»y ,

#»z )



• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de lastatique au bateau dans le repère galiléen lié au sol.

FB→B = 0 ⇒ Fg→B + FP→B = 0

⇒ FP→B = −Fg→B =G

{m.g. #»y

#»

0

}

• Pour déterminer les inconnues de liaisons de la rotule en C, déplaçons letorseur FP→B au point C:

#»

M(C,P→B) = ��#»

M(G,P→B) +# »

CG ∧#»

F (P→B) =(((((

−lG .#»y ∧m.g.#»y =

#»

0

FP→B =G

{m.g.#»y

#»

0

}=

C

{m.g.#»y

#»

0

}=

C

XPB 0YPB 0ZPB 0

(#»x ,#»y ,#»z )

⇒

XPB = 0YPB = m.gZPB = 0



• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de lastatique au bateau dans le repère galiléen lié au sol.

FB→B = 0 ⇒ Fg→B + FP→B = 0

⇒ FP→B = −Fg→B =G

{m.g. #»y

#»

0

}• Pour déterminer les inconnues de liaisons de la rotule en C, déplaçons le

torseur FP→B au point C:#»

M(C,P→B) = ��#»

M(G,P→B) +# »

CG ∧#»

F (P→B) =(((((

−lG .#»y ∧m.g.#»y =

#»

0

FP→B =G

{m.g.#»y

#»

0

}=

C

{m.g.#»y

#»

0

}=

C

XPB 0YPB 0ZPB 0

(#»x ,#»y ,#»z )

⇒

XPB = 0YPB = m.gZPB = 0



#»

F(g→B)

#»

F(P→B)



#»

F(g→B)

#»

F(P→B)



Isolement du vérin

(S) V

(P) (B)

Rotule (D)

Pivot(A, #»z )

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le vérin V

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le vérin:

◦ Action du sol sur le vérin FS→V =

D

XSV 0YSV 0ZSV 0

(

#»x b ,#»y b ,

#»z b)

◦ Action du portique sur le vérin FP→V =

B

XPV 0YPV 0ZPV 0

(

#»x b ,#»y b ,

#»z b)



Isolement du vérin

(S) V

(P) (B)

Rotule (D)

Pivot(A, #»z )

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le vérin V• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le vérin:


D

XSV 0YSV 0ZSV 0

(

#»x b ,#»y b ,

#»z b)


B

XPV 0YPV 0ZPV 0

(

#»x b ,#»y b ,

#»z b)



Isolement du vérin

(S) V

(P) (B)

Rotule (D)

Pivot(A, #»z )

Rotule (B)

Rotule (C) g



D

XSV 0YSV 0ZSV 0

(

#»x b ,#»y b ,

#»z b)


B

XPV 0YPV 0ZPV 0

(

#»x b ,#»y b ,

#»z b)



Isolement du vérin

(S) V

(P) (B)

Rotule (D)

Pivot(A, #»z )

Rotule (B)

Rotule (C) g



D

XSV 0YSV 0ZSV 0

(

#»x b ,#»y b ,

#»z b)


B

XPV 0YPV 0ZPV 0

(

#»x b ,#»y b ,

#»z b)



• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de lastatique au vérin dans le repère galiléen lié au sol.

FV→V = 0 ⇒ FS→V + FP→V = 0

• Pour déterminer les inconnues de liaisons des rotules en B et en D,plaçons les torseurs FS→V et FP→V au même point (D):

#»

M(D,P→V ) = ��#»

M(B,P→V ) +# »

DB ∧#»

F(P→V )

= λ.#»yb. ∧ (XPV .

#»xb + YPV .#»yb + ZPV .

#»zb)

= λ. (ZPV .#»xb − XPV .

#»zb)

0 = FS→V + FP→V

=

D

XSV 0YSV 0ZSV 0

( #»x b ,

#»y b ,#»z b)

+

D

XPV λ.ZPVYPV 0ZPV −λ.XPV

( #»x b ,

#»y b ,#»z b)



• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de lastatique au vérin dans le repère galiléen lié au sol.

FV→V = 0 ⇒ FS→V + FP→V = 0• Pour déterminer les inconnues de liaisons des rotules en B et en D,

plaçons les torseurs FS→V et FP→V au même point (D):#»

M(D,P→V ) = ��#»

M(B,P→V ) +# »

DB ∧#»

F(P→V )

= λ.#»yb. ∧ (XPV .

#»xb + YPV .#»yb + ZPV .

#»zb)

= λ. (ZPV .#»xb − XPV .

#»zb)

0 = FS→V + FP→V

=

D

XSV 0YSV 0ZSV 0

( #»x b ,

#»y b ,#»z b)

+

D

XPV λ.ZPVYPV 0ZPV −λ.XPV

( #»x b ,

#»y b ,#»z b)



⇒

��XSV +��XPV = 0YSV + YPV = 0

��ZSV +��ZPV = 00 + λ.��ZPV = 0

0 + 0 = 00 − λ.��XPV = 0

ChoisissonsYSV commeparamètre⇒

FS→V =

B

0 0YSV 0

0 0

( #»x b ,

#»y b ,#»z b)

FP→V =

D

0 0−YSV 0

0 0

( #»x b ,

#»y b ,#»z b)



dir#»

F(P→V )

dir#»

F(S→V )



Isolement du portique

(S) V

(P) (B)

Rotule (D)

Pivot(A, #»z )

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le portique P

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le portique:

◦ Action du sol sur le portique FS→P =

A

XSP LSPYSP MSPZSP 0

(

#»x ,#»y ,

#»z )

◦ Action du vérin sur le portique FV→P = −FP→V =B

YSV .#»yb

#»

0

◦ Action du bateau sur le portique FB→P = −FP→B =

C

−m.g. #»y#»

0




(S) V

(P) (B)

Rotule (D)

Pivot(A, #»z )

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le portique P• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le portique:


A

XSP LSPYSP MSPZSP 0

(

#»x ,#»y ,

#»z )


YSV .#»yb

#»

0


C

−m.g. #»y#»

0




(S) V

(P) (B)

Rotule (D)

Pivot(A, #»z )

Rotule (B)

Rotule (C) g



A

XSP LSPYSP MSPZSP 0

(

#»x ,#»y ,

#»z )


YSV .#»yb

#»

0


C

−m.g. #»y#»

0




(S) V

(P) (B)

Rotule (D)

Pivot(A, #»z )

Rotule (B)

Rotule (C) g



A

XSP LSPYSP MSPZSP 0

(

#»x ,#»y ,

#»z )


YSV .#»yb

#»

0

◦ Action du bateau sur le portique FB→P = −FP→B =C

−m.g. #»y#»

0




(S) V

(P) (B)

Rotule (D)

Pivot(A, #»z )

Rotule (B)

Rotule (C) g



A

XSP LSPYSP MSPZSP 0

(

#»x ,#»y ,

#»z )


YSV .#»yb

#»

0


C

−m.g. #»y#»

0



• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de lastatique au portique dans le repère galiléen lié au sol.

FP→P = 0 ⇒ FS→P + FV→P + FB→P = 0

• Pour déterminer les inconnues des dernières liaisons, plaçons lestorseurs FS→P , FV→P et FB→P au même point (A):

#»

M(A,V→P) = ��#»

M(B,V→P) +# »

AB ∧#»

F (V→P) = (d .#»x + λ.#»y b) ∧ YSV .

#»y b = d .YSV . cos(θ).#»z

#»

M(A,B→P) = ��#»

M(C,B→P) +# »

AC ∧#»

F (B→P) =(cx .

#»x + cy .#»y

)∧ −m.g.#»y = −m.g.cx .

#»z

A

XSP LSPYSP MSPZSP 0

(#»x ,#»y ,#»z )

+A

{YSV .

#»y bd .YSV . cos(θ).

#»z

}+

A

{−m.g.#»y−m.g.cx .

#»z

}= 0



• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de lastatique au portique dans le repère galiléen lié au sol.

FP→P = 0 ⇒ FS→P + FV→P + FB→P = 0

• Pour déterminer les inconnues des dernières liaisons, plaçons lestorseurs FS→P , FV→P et FB→P au même point (A):

#»

M(A,V→P) = ��#»

M(B,V→P) +# »

AB ∧#»

F (V→P) = (d .#»x + λ.#»y b) ∧ YSV .

#»y b = d .YSV . cos(θ).#»z

#»

M(A,B→P) = ��#»

M(C,B→P) +# »

AC ∧#»

F (B→P) =(cx .

#»x + cy .#»y

)∧ −m.g.#»y = −m.g.cx .

#»z

A

XSP LSPYSP MSPZSP 0

(#»x ,#»y ,#»z )

+A

{YSV .

#»y bd .YSV . cos(θ).

#»z

}+

A

{−m.g.#»y−m.g.cx .

#»z

}= 0



⇒

XSP −YSV . sin(θ) +0 = 0YSP +YSV . cos(θ) −m.g = 0

��ZSP +0 +0 = 0

��LSP +0 +0 = 0

��MSP +0 +0 = 00 +d .YSV . cos(θ) −m.g.cx = 0

⇒

YSV = cxd . cos(θ) .m.g

XSP = cxd . tan(θ).m.g

YSP =(1 − cx

d

).m.g



donc au final:

FP→B =C

{m.g. #»y

#»

0

}

FS→P =

A

cxd . tan(θ).m.g 0(1 − cx

d

).m.g 0

0 0

( #»x , #»y , #»z )

FP→V =

B

0 0

−cx

d . cos(θ) .m.g 00 0

( #»x b ,

#»y b ,#»z b)

FS→V =

D

0 0

cxd . cos(θ) .m.g 0

0 0

( #»x b ,

#»y b ,#»z b)


Lève bateau Statique graphique

#»

F(g→B)

#»

F(P→B)

dir#»

F(P→V )

dir#»

F(S→V )

#»

F(B→P)

dir#»F(B→

P)

dir#»F

(V→

P)

dir #»F(S→P)

#»

F(B→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)



#»

F(g→B)

#»

F(P→B)

dir#»

F(P→V )

dir#»

F(S→V )

#»

F(B→P)

dir#»F(B→

P)

dir#»F

(V→

P)

dir #»F(S→P)

#»

F(B→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)



#»

F(g→B)

#»

F(P→B)

dir#»

F(P→V )

dir#»

F(S→V )

#»

F(B→P)

dir#»F(B→

P)

dir#»F

(V→

P)

dir #»F(S→P)

#»

F(B→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)



#»

F(g→B)

#»

F(P→B)

dir#»

F(P→V )

dir#»

F(S→V )

#»

F(B→P)

dir#»F(B→

P)

dir#»F

(V→

P)

dir #»F(S→P)

#»

F(B→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)



#»

F(g→B)

#»

F(P→B)

dir#»

F(P→V )

dir#»

F(S→V )

#»

F(B→P)

dir#»F(B→

P)

dir#»F

(V→

P)

dir #»F(S→P)

#»

F(B→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)



#»

F(g→B)

#»

F(P→B)

dir#»

F(P→V )

dir#»

F(S→V )

#»

F(B→P)

dir#»F(B→

P)

dir#»F

(V→

P)

dir #»F(S→P)

#»

F(B→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)



#»

F(g→B)

#»

F(P→B)

dir#»

F(P→V )

dir#»

F(S→V )

#»

F(B→P)

dir#»F(B→

P)

dir#»F

(V→

P)

dir #»F(S→P)

#»

F(B→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)



#»

F(g→B)

#»

F(P→B)

dir#»

F(P→V )

dir#»

F(S→V )

#»

F(B→P)

dir#»F(B→

P)

dir#»F

(V→

P)

dir #»F(S→P)

#»

F(B→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)



#»

F(g→B)

#»

F(P→B)

dir#»

F(P→V )

dir#»

F(S→V )

#»

F(B→P)

dir#»F(B→

P)

dir#»F

(V→

P)

dir #»F(S→P)

#»

F(B→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)



#»

F(g→B)

#»

F(P→B)

dir#»

F(P→V )

dir#»

F(S→V )

#»

F(B→P)

dir#»F(B→

P)

dir#»F

(V→

P)

dir #»F(S→P)

#»

F(B→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)



#»

F(g→B)

#»

F(P→B)

dir#»

F(P→V )

dir#»

F(S→V )

#»

F(B→P)

dir#»F(B→

P)

dir#»F

(V→

P)

dir #»F(S→P)

#»

F(B→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)



#»

F(g→B)

#»

F(P→B)

dir#»

F(P→V )

dir#»

F(S→V )

#»

F(B→P)

dir#»F(B→

P)

dir#»F

(V→

P)

dir #»F(S→P)

#»

F(B→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)



#»

F(g→B)

#»

F(P→B)

dir#»

F(P→V )

dir#»

F(S→V )

#»

F(B→P)

dir#»F(B→

P)

dir#»F

(V→

P)

dir #»F(S→P)

#»

F(B→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)



#»

F(g→B)

#»

F(P→B)

dir#»

F(P→V )

dir#»

F(S→V )

#»

F(B→P)

dir#»F(B→

P)

dir#»F

(V→

P)

dir #»F(S→P)

#»

F(B→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)

#»F(V→

P)

#»F(S→P)


Système à Arc-bouttement (téléski)

Sommaire

1 E.P.A.S

2 Lève bateau




6 Pince de Robot

7 Roue Libre





L’objectif est de déterminer :• de déterminer l’angle minimal entre la perche et la normale au câble pour

qu’il n’y ait pas glissement entre la perche et le câble• de montrer que le poids des skieurs n’influe pas sur ce glissement

Pour traiter ce problème, on adoptera la modélisation proposée ci-dessousHypothèses:• le problème est supposé plan.• on néglige le frottement entre la piste et les skis.• le coefficient de frottement entre le cylindre 2 et le câble 3 est noté f .• la liaison entre la perche et le cylindre 2 est une liaison pivot sans

frottement de centre B.• l’action du skieur sur la perche est modélisable par un glisseur passant

par A (on néglige l’action de la main sur la perche).• le centre de gravité du skieur, de masse m (avec son équipement), est en

G.





Questions

Q - 1 : Sur un schéma, montrer comment on peut déterminer graphique-ment :• L’action de la piste sur les skis.• L’action du cylindre sur la perche

Q - 2 : Compte tenu du jeu entre le cylindre 2 et le câble 3, précisez enquels points se fait le contact entre ces deux solides. Déterminezl’angle α maximal pour qu’il n’y ait pas glissement entre le cylindre2 et le câble 3.

APPLICATION NUMÉRIQUE : a = 150 mm, b = 100 mm, d = 10 mm, f = 0,4


Equilibre d’un barrage

Sommaire

1 E.P.A.S

2 Lève bateau




6 Pince de Robot

7 Roue Libre





Un barrage en béton repose sur le sol. L’eau exerce sur la paroi verticale dubarrage une action mécanique de pression hydrostatique définie par la pres-sion : p(z) = ρ.g.(h − z) avec :• ρ masse volumique de l’eau• g accélération de la pesanteur• z altitude du point M

La longueur suivant #»y est L.La masse volumique du barrage est notée ρb barrage.





Q - 1 : Déterminer au point O le torseur d’action mécanique de l’eau surle barrage.

Q - 2 : Montrer que ce torseur est un glisseur et rechercher son axe cen-tral. En déduire la position du centre de poussée.

Q - 3 : Déterminer le poids du barrage et la position de son centre de gra-vité.

Q - 4 : Etudier l’équilibre du barrage, et en déduire la valeur minimale ducoefficient de frottement entre le barrage et le sol pour que le bar-rage ne glisse pas.


Etude d’un frein (avec le modèle de Coulomb)

Sommaire

1 E.P.A.S

2 Lève bateau




6 Pince de Robot

7 Roue Libre





Objectif : trouver les actions mécaniques due au frottement mutuel desdisques 1 et 2On appelle p la pression surfacique supposée constante et f le coefficient defrottement entre les deux disques. Rext et Rint les rayons extérieurs etintérieurs des disques.

Q - 1 : Exprimer les composantes de l’effort local d# »

F2→1 en un point M dudisque.

Q - 2 : Calculer la résultante du torseur des actions mécaniques de 2→ 1# »

F2→1

Q - 3 : Calculer le moment en O du torseur des actions mécaniques de2→ 1

# »

M(O,2→1)

Q - 4 : En déduire la relation entre le couple de frottement Cf2→1 et l’effortnormal FN2→1




Pince de Robot

Sommaire1 E.P.A.S

2 Lève bateau




6 Pince de RobotPrésentation

Statique graphique

7 Roue Libre


9 Etude statique du robot MaxPIDSciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 7 CI-5 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2017 - 2018 37 / 74

Pince de Robot

Présentation

Le système étudié est une pinceadaptable sur un robot de manu-tention.

Un moteur électrique entraîne enrotation la vis 1. Cette rotationgénère un déplacement de l’écrou2, qui par un système de bielles (3,4, 5, 3’, 4’, 5’) conduit au serragedes doigts (6 et 6’).


Pince de Robot


Pince de Robot

Q - 1 : Réaliser le graphe des liaisons du système

0

1

2 33’55’

44’66’


Pince de Robot

Q - 2 : Le système est- il planLe contient une liaison hélicoïdale, il n’est donc pas plan. Sans cette liaisonhélicoïdale, le système serait plan.


Pince de Robot Statique

Graphe de structure

0

1

2 33’55’

44’66’

Galet



Graphe de structure

0

1

2 33’55’

44’66’

Galet



Graphe de structure

0

1

2 33’55’

44’66’

Galet



Q - 3 : Résoudre graphiquement le problème1 Dans la position 12 Dans la position 2


Pince de Robot Statique graphique

A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»F 47→6

#»F 6 7→5

#»

F 37→5

#»

F 07→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»F 47→6

#»F 6 7→5

#»

F 37→5

#»

F 07→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»F 47→6

#»F 6 7→5

#»

F 37→5

#»

F 07→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»F 47→6

#»F 6 7→5

#»

F 37→5

#»

F 07→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»F 47→6

#»F 6 7→5

#»

F 37→5

#»

F 07→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»F 47→6

#»F 6 7→5

#»

F 37→5

#»

F 07→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»F 47→6

#»F 6 7→5

#»

F 37→5

#»

F 07→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»F 47→6

#»F 6 7→5

#»

F 37→5

#»

F 07→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»F 47→6

#»F 6 7→5

#»

F 37→5

#»

F 07→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»F 47→6

#»F 6 7→5

#»

F 37→5

#»

F 07→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»F 47→6

#»F 6 7→5

#»

F 37→5

#»

F 07→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»F 47→6

#»F 6 7→5

#»

F 37→5

#»

F 07→5

#»

F 3 7→2

#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»F 47→6

#»F 6 7→5

#»

F 37→5

#»

F 07→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»F 47→6

#»F 6 7→5

#»

F 37→5

#»

F 07→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»

F 4 7→6

#»F 6 7→5

#»

F 3 7→5

#»

F 0 7→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»

F 4 7→6

#»F 6 7→5

#»

F 3 7→5

#»

F 0 7→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»

F 4 7→6

#»F 6 7→5

#»

F 3 7→5

#»

F 0 7→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»

F 4 7→6

#»F 6 7→5

#»

F 3 7→5

#»

F 0 7→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»

F 4 7→6

#»F 6 7→5

#»

F 3 7→5

#»

F 0 7→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»

F 4 7→6

#»F 6 7→5

#»

F 3 7→5

#»

F 0 7→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»

F 4 7→6

#»F 6 7→5

#»

F 3 7→5

#»

F 0 7→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»

F 4 7→6

#»F 6 7→5

#»

F 3 7→5

#»

F 0 7→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»

F 4 7→6

#»F 6 7→5

#»

F 3 7→5

#»

F 0 7→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»

F 4 7→6

#»F 6 7→5

#»

F 3 7→5

#»

F 0 7→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»

F 4 7→6

#»F 6 7→5

#»

F 3 7→5

#»

F 0 7→5

#»

F 3 7→2

#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»

F 4 7→6

#»F 6 7→5

#»

F 3 7→5

#»

F 0 7→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



A B

C

D

E

FG

#» FG7→

6

#»F 5 7→6

#»

F 4 7→6

#»F 6 7→5

#»

F 3 7→5

#»

F 0 7→5

#»

F 3 7→2#»

F 3′ 7→2

#»

F 17→2



Q - 4 : Le pas de la vis 2 étant de 5mm, déterminer le couple au niveaudu moteur dans les deux positions précédentes.


Roue Libre

Sommaire

1 E.P.A.S

2 Lève bateau




6 Pince de Robot

7 Roue Libre




Roue Libre

Roue Libre


Roue Libre

Le système représenté ci-dessous est une roue libre très simplifiée (une seulebille à été représenté). On se propose de vérifier le principe de fonctionnementde ce système.

• Modélisation et paramétrage cinématique :• Hypothèses de calcul :

◦ Tous les solides sont considérés comme indéformables,◦ Tous les contacts s’effectuent avec un frottement de même coefficient,◦ Toutes les masses sont négligées,◦ Du fait de la symétrie du système, l’étude peut se résumer à un problème

plan,◦ On néglige l’action du ressort sur la bille.

Q - 1 : Déterminer le coefficient de frottement minimum nécessaire enfonction de pour que le système puisse fonctionner.


Radar X-band (D’après sujet CCP 99 - PSI)

Sommaire

1 E.P.A.S

2 Lève bateau




6 Pince de Robot

7 Roue Libre






Le radar météorologique bande X est un outil d’aide à l’analyse et à l’observa-tion des masses nuageuses.

En France on en compte 14 répartis sur l’ensemble du territoire. Le principede fonctionnement est basé sur l’émission/réflexion: à intervalles de tempsréguliers, le radar émet dans l’atmosphère des ondes électromagnétiques deforte puissance, de durée très brève et de fréquence très élevée.

L’énergie contenue dans cette onde est concentrée par une antenne directive.Les cibles qui se trouvent à l’intérieur du faisceau interceptent l’onde émise,une partie de la puissance incidente est alors absorbée, et rayonne danstoutes les directions.



La fraction du signal qui retourne vers l’antenne est le signal utile à la détection.

Ainsi, en fonction de l’orientation de l’antenne et du temps écoulé entrel’émission de l’onde et le retour de la puissance réfléchie, on pourra localiserla direction et la distance de la cible.

L’antenne balaye l’atmosphère suivant deux axes de rotation : une rotationd’axe vertical nommée " azimut " et une rotation d’axe horizontal nommée "site ". L’étude proposée portera sur l’équilibrage statique de l’axe de " site "correspondant à l’axe #»x 1 du schéma.



• Hypothèses de calcul :◦ Tous les solides sont considérés comme indéformables et les liaisons

comme parfaites,◦ Le repère R (O, #»x 0,

#»y 0,#»z0) est considéré comme galiléen,

◦ L’angle d’azimut est nul α = 0 et β = cste ,◦ Seules les masses de la parabole (MP ) et de 3 (M3) sont prises en compte,

toutes les autres sont négligées,◦ La parabole est soumise à l’action du vent, modélisé par un glisseur de

résultante# »

FV = −FV .#»y 0 appliquée en P,

◦ Le pilotage de la rotation de l’angle du site β est obtenu par un moteur dontle couple est Cms .

• Modélisation et paramétrage cinématique :





Q - 2 : Donner la forme du torseur des actions mécaniques transmis-sibles par la liaison entre 1 et 2.Q - 3 : Exprimer les actions mécaniques de pesanteur et l’action duvent sous la forme de torseurs.Q - 4 : Ecrire tous les torseurs au point A.Q - 5 : En appliquant le principe fondamental de la statique à l’émetteur-récepteur 2 + Masse 3, exprimer le couple Cms ainsi que les actionsmécaniques transmises par la liaison pivot.



Q - 6 : L’émetteur-récepteur 2 est équilibré en modifiant la masse M3du contrepoids 3 pour obtenir un couple Cms nul pour β = 0. L’équili-brage est obtenu par vent nul. Déterminer l’expression de la masse M3permettant d’obtenir l’équilibrage de l’émetteur-récepteur 2.Q - 7 : L’émetteur-récepteur 2 est équilibré. En utilisant l’expressiontrouvée dans la question précédente, et en considérant toujours FV =0, simplifier l’expression du couple Cms. Tracer l’évolution du couplepour un angle β ∈ [0, π/4]. Quelle modification géométrique du radarpermettrait d’obtenir un équilibrage pour tout angle β?


Etude statique du robot MaxPID

Sommaire

1 E.P.A.S

2 Lève bateau




6 Pince de Robot

7 Roue Libre





Etude statique du système Maxpid

Objectifs : Calcul du couple théorique du moteur pour maintenir l’ensemble enéquilibre.

Hypothèses :• On est à l’équilibre• On néglige l’action mécanique de la pesanteur sur l’ensemble des pièces

autres que les masses concentrées• Toutes les liaisons sont considérées comme parfaites• Le moteur exerce entre 4 et 3 un moment noté Cm, dirigé selon #»x1 . En

D, une masse ponctuelle est accrochée (masse m, direction de lapesanteur − #»y0)





Q - 8 : Tracer le graphe de structure du mécanisme

0

1

2

3

4

Pivot(B,

#»

Z0)

Pivot glissant(C,

#»

Z0)

hélicoïdale(O,

#»

X1)

Pivot(O,

#»

X1)

Sphérique à doigt(0,

#»

X1)

Gravitation#»g = −

#»

Y0

#»

C4→3 = Cm .#»

X1



Q - 9 : Donner les torseurs des actions mécaniques transmissibles parchacune des liaisons présentes dans le schéma cinématique.

F1→0 =

B

X10 L10Y10 M10Z10 0

B1

=B

{X10.

#»

X1 + Y10.#»

Y1 + Z10.#»

Z1

L10.#»

X1 + M10.#»

Y1

}

F2→1 =

C

X21 L21Y21 M210 0

B1

=C

{X21.

#»

X1 + Y21.#»

Y1

L21.#»

X1 + M21.#»

Y1

}

F3→2 =

O

X32p

2.πX32

Y32 M32Z32 N32

B1

=

O

X32.#»

X1 + Y32.#»

Y1 + Z32.#»

Z1p

2.πX32.#»

X1 + M32.#»

Y1 + N32.#»

Z1

F4→3 =

O

X43 0Y43 M43Z43 N43

B1

=O

{X43.

#»

X1 + Y43.#»

Y1 + Z43.#»

Z1

L43.#»

X1 + M43.#»

Y1 + N43.#»

Z1

}

F4→0 =

O

X40 L40Y40 0Z40 0

B1

=O

{X40.

#»

X1 + Y40.#»

Y1 + Z40.#»

Z1

L40.#»

X1

}



Q - 10 : Proposer une méthodologie pour atteindre l’objectif : (isolements àeffectuer, équations à écrire,. . .)

Nous avons au total 23 inconnues d’efforts dans les liaisons et une inconnueliée au couple moteur. Il nous faut donc 24 équations indépendantes pourrésoudre complètement le problème. Nous pouvons obtenir 24 équations, enisolant 4 systèmes de solides indépendants et en leur appliquant le principefondamental de la statique.



Q - 11 : Déterminer l’expression de Cm en fonction de θ, de α et des para-mètres géométriques constants.

−→x0

−→y0

−→z1−→z0

−→x1

−→y1

α

α

−→x0

−→y0

−→z2−→z0

−→x2

−→y2

θ

θ

−→x1

−→y1

−→z2−→z1

−→x2

−→y2

θ − α

θ − α



On isole la pièce 1

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 1I Efforts de liaisons

#»

F(0→1)

I Efforts de liaisons#»

F(2→1)

I Action mécanique de la gravitation : Fg→1 =D

{−m.g. #»y0

}◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 1 dans le

repère supposé galiléen R (O, #»x0,#»y0,

#»z0):F0→1 + F2→1 + Fg→1 = 0



Exprimons alors cette égalité au point B:

Fg→1 =D

{−m.g.

#»

Y0

}=

B

−m.g.#»

Y0# »

BD ∧(−m.g.

#»

Y0) =

B

−m.g.#»

Y0

L.#»

X2 ∧(−m.g.

#»

Y0) =

B

−m.g.#»

Y0

−m.g.L. cos(θ)#»

Z0

F2→1 =C

{X21.

#»

X1 + Y21.#»

Y1L21.

#»

X1 + M21.#»

Y1

}=

B

X21.

#»

X1 + Y21.#»

Y1

L21.#»

X1 + M21.#»

Y1 +# »

BC︸︷︷︸l .

#»X 2

∧(X21.

#»

X1 + Y21.#»

Y1)

F2→1 =B

{X21.

#»

X1 + Y21.#»

Y1L21.

#»

X1 + M21.#»

Y1 + l . (−X21. sin(θ − α) + Y21. cos(θ − α))#»

Z0

}



ce qui nous conduit au système:

X10 = X21 −m.g. sin(α)Y10 = Y21 −m.g. cos(α)

0 = Z21

L10 = L21

M10 = M21

0 = l . (−X21. sin(θ − α) + Y21. cos(θ − α)) −m.g.L



On isole la pièce 2

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 2I Efforts de liaisons

#»

F(1→2)


F(3→2)

◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 2 dans lerepère supposé galiléen R (O, #»x0,

#»y0,#»z0):

F3→2 + F1→2 = 0⇒ F3→2 = F2→1



Exprimons alors cette égalité au point O:

F2→1 =C

{X21.

#»

X1 + Y21.#»

Y1L21.

#»

X1 + M21.#»

Y1

}=

O

X21.

#»

X1 + Y21.#»

Y1

L21.#»

X1 + M21.#»

Y1 +# »

OC︸︷︷︸λ.

#»X 1

∧(X21.

#»

X1 + Y21.#»

Y1)

F2→1 =O

{X21.

#»

X1 + Y21.#»

Y1L21.

#»

X1 + M21.#»

Y1 + λ.Y21#»

Z0

}ce qui nous conduit au système:

X32 = X21

Y32 = Y21

Z32 = Z21p

2.π .X32 = L21

M32 = M21

N32 = λ.Y21



On isole la pièce 3◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3


F(4→3)


F(2→3)

I Le couple moteur

FCm

=O

{ #»

0Cm

#»

X1

}◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 3 dans le repère supposé galiléen

R (O, #»x0,#»y0,

#»z0):

F4→3 + F2→3 +

#»

F Cm

= 0

◦ Exprimons alors cette égalité au point O:


X43 = X32

Y43 = Y32

Z43 = Z32

Cm =p

2.πX32

M43 = M32

N43 = N32





F(4→3)


F(2→3)

I Le couple moteur

FCm

=O

{ #»

0Cm

#»

X1


R (O, #»x0,#»y0,

#»z0):

F4→3 + F2→3 +

#»

F Cm

= 0



X43 = X32

Y43 = Y32

Z43 = Z32

Cm =p

2.πX32

M43 = M32

N43 = N32





F(4→3)


F(2→3)

I Le couple moteur

FCm

=O

{ #»

0Cm

#»

X1


R (O, #»x0,#»y0,

#»z0):

F4→3 + F2→3 +

#»

F Cm

= 0



X43 = X32

Y43 = Y32

Z43 = Z32

Cm =p

2.πX32

M43 = M32

N43 = N32





F(4→3)


F(2→3)

I Le couple moteur

FCm

=O

{ #»

0Cm

#»

X1

}

◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 3 dans le repère supposé galiléenR (O, #»x0,

#»y0,#»z0):

F4→3 + F2→3 +

#»

F Cm

= 0



X43 = X32

Y43 = Y32

Z43 = Z32

Cm =p

2.πX32

M43 = M32

N43 = N32





F(4→3)


F(2→3)

I Le couple moteur

FCm

=O

{ #»

0Cm

#»

X1


R (O, #»x0,#»y0,

#»z0):

F4→3 + F2→3 +

#»

F Cm

= 0



X43 = X32

Y43 = Y32

Z43 = Z32

Cm =p

2.πX32

M43 = M32

N43 = N32





F(4→3)


F(2→3)

I Le couple moteur

FCm

=O

{ #»

0Cm

#»

X1


R (O, #»x0,#»y0,

#»z0):

F4→3 + F2→3 +

#»

F Cm

= 0



X43 = X32

Y43 = Y32

Z43 = Z32

Cm =p

2.πX32

M43 = M32

N43 = N32





F(0→4)


F(3→4)

I Le couple moteur −

FCm

=O

{ #»

0−Cm

#»

X1


R (O, #»x 0,#»y 0,

#»z 0):

F0→4 + F3→4 −

FCm

= 0

F4→0 + F4→3 +

FCm

= 0

◦ Exprimons alors cette égalité au point O:ce qui nous conduit au système:

X40 + X43 = 0Y40 + Y43 = 0Z40 + Z43 = 0L40 + Cm = 0

M43 = 0N43 = 0





F(0→4)


F(3→4)


FCm

=O

{ #»

0−Cm

#»

X1


R (O, #»x 0,#»y 0,

#»z 0):

F0→4 + F3→4 −

FCm

= 0

F4→0 + F4→3 +

FCm

= 0


X40 + X43 = 0Y40 + Y43 = 0Z40 + Z43 = 0L40 + Cm = 0

M43 = 0N43 = 0





F(0→4)


F(3→4)


FCm

=O

{ #»

0−Cm

#»

X1


R (O, #»x 0,#»y 0,

#»z 0):

F0→4 + F3→4 −

FCm

= 0

F4→0 + F4→3 +

FCm

= 0


X40 + X43 = 0Y40 + Y43 = 0Z40 + Z43 = 0L40 + Cm = 0

M43 = 0N43 = 0





F(0→4)


F(3→4)


FCm

=O

{ #»

0−Cm

#»

X1

}

◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 4 dans le repère supposé galiléenR (O, #»x 0,

#»y 0,#»z 0):

F0→4 + F3→4 −

FCm

= 0

F4→0 + F4→3 +

FCm

= 0


X40 + X43 = 0Y40 + Y43 = 0Z40 + Z43 = 0L40 + Cm = 0

M43 = 0N43 = 0





F(0→4)


F(3→4)


FCm

=O

{ #»

0−Cm

#»

X1


R (O, #»x 0,#»y 0,

#»z 0):

F0→4 + F3→4 −

FCm

= 0

F4→0 + F4→3 +

FCm

= 0


X40 + X43 = 0Y40 + Y43 = 0Z40 + Z43 = 0L40 + Cm = 0

M43 = 0N43 = 0





F(0→4)


F(3→4)


FCm

=O

{ #»

0−Cm

#»

X1


R (O, #»x 0,#»y 0,

#»z 0):

F0→4 + F3→4 −

FCm

= 0

F4→0 + F4→3 +

FCm

= 0


X40 + X43 = 0Y40 + Y43 = 0Z40 + Z43 = 0L40 + Cm = 0

M43 = 0N43 = 0



Nous obtenons alors un système de 24 équations à 24 inconnues. Le rang dusystème est a priori de 24. Le système est donc isostatique: tous les actionsmécaniques sont donc déterminables. Reprenons le système global:

X10 = X21 −m.g. sin(α)Y10 = Y21 −m.g. cos(α)

0 = Z21

L10 = L21

M10 = M21

0 = l .(− X21. sin(θ − α)

+Y21. cos(θ − α))−m.g.L

X32 = X21

Y32 = Y21

Z32 = Z21p

2.π .X32 = L21

M32 = M21

N32 = λ.Y21



X43 = X32

Y43 = Y32

Z43 = Z32

Cm =p

2.πX32

M43 = M32

N43 = N32

X40 + X43 = 0Y40 + Y43 = 0Z40 + Z43 = 0L40 + Cm = 0

M43 = 0N43 = 0



On rappelle que le but est de trouver le couple moteur Cm en fonction desmasses m et des angles α et θ.

M43 = 0N43 = 0M32 = 0N32 = 0M21 = 0M10 = 0

Y21 = 0Z21 = 0Y32 = 0Z32 = 0Y43 = 0Z43 = 0



Y40 = 0Z40 = 0Y10 = −m.g. cos(α)

X21 = −m.g

sin(θ − α).Ll

X32 = −m.g

sin(θ − α).Ll

X43 = −m.g

sin(θ − α).Ll

X10 = −m.g(sin(α) + 1

sin(θ − α).Ll

)X40 =

m.gsin(θ − α)

.LlCm = −

p2.π .

m.gsin(θ − α)

.LlL21 = −

p2.π .

m.gsin(θ − α)

.LlL10 = −

p2.π .

m.gsin(θ − α)

.LlL40 =

p2.π .

m.gsin(θ − α)

.Ll


Documents

CI-5 Modéliser les actions mécaniquesgondor-carnot.fr/oooo/Cours-Td/Diap-SUP-Td-STAT.pdf · Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 7 CI-5 Modéliser, déterminer les actions