Circuits Triphasés Déséquilibrés

Rseaux triphass

Table des matires1 Circuits triphass avec conducteur Neutre 2

1.1 Mthode vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Application numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Dtermination graphique de IN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Calcul de IN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Loprateur a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Schma quivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Expression des tensions en fonction de a et de V1 . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Application numrique: R1= 5 R2= 10 R3= 20 V = 230V 4

2 Circuits triphass sans conducteur Neutre 52.1 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Si R1=R2=R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2 Si R16=R26=R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3 Application numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.4 Quen est-il des courants I ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.5 Quen est-il des tensions V aux borne des charges ? . . . . . . . . . . 72.1.6 Quen est-il des puissances consommes ? . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Circuits triphass dsquilibrsPour mettre en vidence limpact dun rseau triphas sur une charge triphase dsquilibre,nous allons considrer un mme circuit aliment dans 2 configurations possibles:

Avec conducteur Neutre: conditions normales de fonctionnement.

Sans conducteur Neutre: rupture du conducteur donc conditions anormales defonctionnement.

Les applications suivantes ncessitent la connaissance des rseaux triphass ainsi que desnombres complexes. Ltude est ralise sur un circuit rsistif afin dviter les difficults liesaux dphasages qui sont introduites par les ractances inductives et/ou capacitives.Nanmoins,les notions abordes ci-dessous donnent les cls pour traiter tous types deproblmes. Lobjectif vis par cette application nest pas de se lancer dans des calculscompliqus mais de saisir la nature des phnomnes produits.Une fois les principes acquis, ilest prfrable de simuler le fonctionnement des circuits que lon veut tudier laide demodeleur mathmatiques.

Liens

Lapplication tudie ci-dessus est modlise ladresse suivante:http://www.geogebratube.org/student/m34589

La modlisation des composantes symtriques est visibleici:http://www.geogebratube.org/student/m35149

Marc Sanchez page 1 http://eleectrotechnique.fr

Rseaux triphass

1 Circuits triphass avec conducteur Neutre

1.1 Mthode vectorielle

Figure 1: Tensions simples et courants

Les tensions simples (entre phases et Neutre) qui composent le rseau triphas sont dphases

de 120 ou2pi3

rd.Chaque rcepteur est soumis la tension V et est travers par le courant I telque:

I1 =V 1R1

(1)

I2 =V 2R2

(2)

I3 =V 3R3

(3)

Le courant IN dans le conducteur Neutre est donn par la loi des nuds:

IN1 =V 1R1

+V 2R2

+V 3R3

(4)

1.1.1 Application numrique

R1 = 5 R2 = 10 R3 = 20 V = 230V

I1 = V 1R1 = 46A I2 =V 2R2 = 23A I3 =

V 3R3 = 11,5A

1.1.2 Dtermination graphique de IN

Le courant dans le conducteur neutre se dduit de lexpression (4). Le modle effectu laidedu logiciel Geogebra donne le rsultat suivant: IN = 30,4A

Figure 2: Construction vectorielle des courants


Rseaux triphass

1.2 Calcul de INLe calcul de IN ncessite lemploi doutils mathmatiques qui permettent deffectuer descalculs entre grandeurs lectriques qui prsentent des dphasages diffrents: ce sont lesnombres complexes.Les lectriciens utilisent un oprateur qui gre de manire simple les rotations de 120omniprsentes dans les rseaux triphass: loprateur a.

1.2.1 Loprateur a

Loprateur a est tel que: a = e j2pi3 = cos 2pi3 + j sin

2pi3 =

12 + J

3

2

a =12+ J

3

2(5)

Rappel:j est le i des mathmaticiens, il identifie la partie imaginaire dun nombre complexeen imprimant une rotation de 90 la partie imaginaire par rapport la partierelle, il et est tel que: i2 = j2 =1

Figure 3: Loprateur a dans le cercle trigonomtrique

V1 Axe des rels

Axe des

imaginaires

Cercle trigonomtrique r =1

V3

V2

a

a2

3

2

3

2

1 120

Lintrt de loprateur a est de pouvoir exprimer toutes les grandeurs lectriques partir de latension dorigine V1.Ainsi V2 qui est dphase de 240 ou 4pi3 par rapport V1 est obtenue en effectuant lopration

suivante: V2 = a2V1 avec a2 = e j4pi3 = 12 + J

32 .

a2 =12 J

32

(6)

La tensionV3 dphase de 120 ou 2pi3 est calcule en utilisant la mme mthode: V3 = aV1

V 2 = a2V 1 (7)V 3 = aV 1 (8)


Rseaux triphass

1.2.2 Schma quivalent

Le schma quivalent du circuit exprim en fonction de a et de V1 est comme ci-dessous:

Figure 4: Modle du circuit exprim en fonction de a et de V1

R1

R2

R3

L1

L2

L3

N

I1

aI1

aI1

V1

V1

IN

aV1

aV1

1.2.3 Expression des tensions en fonction de a et de V1

Lexpression(4) peut dsormais scrire:

IN =V 1R1

+a2V 1R2

+aV 1R3

(9)

IN = V 1R1 +V 1R2

(12 J

3

2

)+ V 1R3

(12 + J

3

2

)= V 1R1 +

V 12R2

(1 J3)+ V 12R3 (1+ J3)IN = V 1R1 V 12R2 jV 1

3

2R2 V 12R3 + jV 1

32R3

Note: On observe que lorsque les rsistances sont de valeurs gales le courant dans leconducteur neutre est nul: IN = 0 et I1 = I2 = I3.

1.2.4 Application numrique: R1 = 5 R2 = 10 R3 = 20 V = 230V

IN = 2305 23020 j 230

320 23040 + j 230

3

40 =1840

40 46040 j 460

340 23040 + j 230

3

40 =115040 j 230

3

40 =1

40

(1150 j2303)

Nous connaissons la composante relle et la composante imaginaire du courant (ctadjacent et oppos du triangle: voir figure 4).La valeur du courant IN est donne par le calcul

de lhypotnuse: IN = 140

11502 +

(230

3)2

= 30,4A

Figure 5: Modle du circuit exprim en fonction de a et de V1

IN=30,4 A

Axe des rels

Axe des imaginaires

40

1150

40

3230


Rseaux triphass

2 Circuits triphass sans conducteur NeutreLorsque le neutre du rseau nest plus raccord la charge (figure 5), la tension prsente auxbornes de chaque lments prend une valeur V qui varie en fonction du dsquilibre fix parla valeur des rsistances.

Figure 6: Neutre non raccord la charge

R1

R2

R3

N

L1

L2

L3

N

I1

I2

I3

V1

V1

VN

U12

2.1 RelationsLa figure(5)permet dcrire les relations suivantes:

V 1V 1 =V N (10)V 2V 2 =V N (11)V 3V 3 =V N (12)I1+ I2+ I3 = 0 (13)

I1 =V 1R1

=V 1V N

R1(14)

I2 =V 2R2

=V 2V N

R2(15)

I3 =V 3R3

=V 3V N

R1(16)

(9) devient: V 1VN

R1 +V 2V N

R2 +V 3V N

R3 = 0V 1R1 +

V 2R2 +

V 3R3 =

V NR1 +

V NR2 +

V NR3

V 1R1 +

V 2R2 +

V 3R3 =V

N( 1

R1 +1

R2 +1

R3

)V 1R1

+V 2R2

+V 3R3

=V N(

1R1

+1

R2+

1R3

)(17)

On considre que valeur des tensions composes nest pas affecte par la prsence oulabsence du neutre au niveau de la charge. Le rseau tant identique au cas tudiprcdemment les relations (7) et (8) sont toujours valables et (17) devient:

V 1R1

+a2V 1R2

+aV 1R3

=V N(

1R1

+1

R2+

1R3

)(18)

V 1R1 +

V 1R2

(12 J

3

2

)+ V 1R3

(12 + J

3

2

)=V N

( 1R1 +

1R2 +

1R3

)et

V 1R1 +

V 12R2

(1 J3)+ V 12R3 (1+ J3)=V N ( 1R1 + 1R2 + 1R3)Marc Sanchez page 5 http://eleectrotechnique.fr

Rseaux triphass

2.1.1 Si R1=R2=R3

La relation (18) devient:

V 1R V 12R jV 1

3

2R V 12R + jV 1

32R =

3V NR donc

V 1R V 1R = 3V

NR et VN=0.

Le circuit est quilibr (four triphas par exemple): V=V et I1=I2=I3, un point neutreartificiel sest cr.

2.1.2 Si R16=R26=R3La relation (18) devient:

V 1R1 V 12R2 jV 1

3

2R2 V 12R3 + jV 1

32R3 =V

N( 1

R1 +1

R2 +1

R3

)2.1.3 Application numrique

R1 = 5 R2 = 10 R3 = 20 V = 230V

2305 23020 j 230

3

20 23040 + j 230

340 =V

N(1

5 +110 +

120

)il vient 140

(1150 j2303)= 7V N20

V N = 114(1150 j2303) il vient VN = 86,9A19deg

2.1.4 Quen est-il des courants I ?

Les relations (14), (15) et (16) permettent maintenant de calculer les courants:

Courant I1

I1 = V 1VN

R1 =1

R1

(V 1 114

(1150 j2303))= 15 (2301414 115014 + j230314 )=

170

(2070+ j230

3)= 30,1A10,9deg

Courant I2

I2 = a2V 1V N

R2 =1

R2

(a2V 1 114

(1150 j2303))=

1R2

((12 J

3

2

)V 1 114

(1150 j2303))= 110 (2302 j23032 114 (1150 j2303)}=

110

(230714 j2307

3

14 115014 + j230

314

)= 1140

(2760 j13803)= 26A40,9degCourant I3

I3 = aV 1VN

R3 =1

R3

(aV 1 114

(1150 j2303))=

1R3

((12 + J

3

2

)V 1 114

(1150+ j230

3))

= 120

(2302 + j230

3

2 114(1150 j2303))=

120

(230714 + j2307

3

14 115014 + j230

314

)= 1280

(2760+ j18403)= 15A49,1deg


Rseaux triphass

2.1.5 Quen est-il des tensions V aux borne des charges ?

Les tensions sont donnes par la loi dohm2 :

V1 = R1I1 = 530,1 = 150,5V10,9deg (19)V2 = R2I2 = 1026 = 260V40,9deg (20)

V3 = R3I3 = 2015 = 300V49,1deg (21)

2.1.6 Quen est-il des puissances consommes ?

Avec Neutre raccord

P1 = R1I12 = 5462 = 10580W (22)P2 = R2I22 = 10232 = 5290W (23)

P3 = R3I32 = 2011,52 = 2645W (24)

Avec Neutre coup

P1 = R1I12 = 530,12 = 4530W (25)P2 = R2I22 = 10262 = 6760W (26)P3 = R3I32 = 20152 = 4500W (27)

P = V2

R donne un rsultat identique videmment.

Conclusion Les chiffres parlent: La coupure du neutre provoque la suralimentation ou lasous alimentation des rcepteurs. La protection des circuits dsquilibrs dont lalimentationest triphase + Neutre doit tre ralise par des protection ttrapolaires dont les 4 ple sont lis(NF C 15-100) coupure unipolaire interdite.La rupture de neutre peut surveniraccidentellement sur les lignes ariennes:chute de branches..etc.

Lorsque les charges sont quilibres3 , le conducteur neutre est inutile car un point neutreartificiel se forme au point commun du couplage toile, qui quilibre naturellement lesgrandeurs lectriques. Les calculs sappliquent videmment aux rcepteurs inductifs et/oucapacitifs: dans ce cas les parties imaginaires jL et/ou 1C sont intgres les relations.

Figure 7: Protection ttrapolaireR1

R2

R3

L1

L2

L3

N

2Les charges sont constitues de rsistances par consquent, les courants I et les tensions V correspondantesrestent en phase.

3Lorsque lon parle de charge quilibre, il sagit uniquement des rcepteurs triphas (moteur, four, etc.). Uncircuit dclairage ou un circuit prise de courant ne peut en aucun cas tre considr comme tel, mme si les phasesdbitent dans des rcepteurs identiques.


Circuits triphass avec conducteur NeutreMthode vectorielleApplication numriqueDtermination graphique de IN

Calcul de INL'oprateur aSchma quivalentExpression des tensions en fonction de a et de V1Application numrique: R1 = 5 R2 = 10 R3 = 20 V = 230V

Circuits triphass sans conducteur NeutreRelationsSi R1=R2=R3Si R1=R2=R3Application numriqueQu'en est-il des courants I ?Qu'en est-il des tensions V' aux borne des charges ?Qu'en est-il des puissances consommes ?

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