Cité scolaire Saint-Exupéry Lyon 4ème

Anouk SABOURET Clara ORIOL Encadrées par Alicja ARETTE-HOURQUET et Linda GOSTIAUX

La sinusoïde infernale

Septembre 2018 - Février 2019

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Résumé Dans ce travail, nous nous intéressons à l’étrange forme de l’écoulement de l’eau soumise aux vibrations d’un haut-parleur. Après avoir découvert cette expérience grâce au clip vidéo Cymatics, nous l’avons reproduite. Pour la comprendre, nous avons été amenées à approfondir nos connaissances sur les ondes sonores ainsi que sur la chute libre dans le champ de pesanteur terrestre. Nous avons ensuite essayé de comprendre ce phénomène à l’aide de M. Dagois-Bohy, chercheur à l’Université Lyon 1. Il nous a beaucoup aidées, notamment dans l'explication de la forme observée, des circonstances dans lesquelles ce phénomène est observable, ainsi que la qualification de cette onde comme une onde cinématique. Enfin, nous avons étudié les différents paramètres pouvant influencer la forme de l’écoulement.

Résumé 2

Introduction 3

I Présentation du phénomène 4 1) Mise au point du protocole expérimental 4 2) Problèmes rencontrés dans la mise en place du protocole 5

a) Problème de reproductibilité des expériences 5 b) Problème de la prise de photos 5 c) A la recherche de l’hélice perdue… 6

3) Estimation des différentes forces 6

II Quelques notions théoriques 6 1) Généralités sur les ondes 6 2) La chute libre dans le champ de pesanteur terrestre 7

III Explication du phénomène 8 1) Sans le stroboscope, rien ne serait visible 8 2) Notre cheminement jusqu’à la compréhension de la forme de l’eau 9

a) Premières idées d'explications 9 b) Comment l’eau avance-t-elle ? Et pourquoi voit-on une sinusoïde ? 10 c) Pourquoi la sinusoïde semble-t-elle immobile ? 11 d) Comment appeler ce phénomène ? Les ondes cinématiques. 11

3) Un mouvement sinusoïdal du tuyau et du haut-parleur 12 4) Une simulation magique 12

IV Quels sont les paramètres qui influencent le phénomène? 14 1) Influence débit vitesse 14 2) L’influence de la fréquence/période 18 3) Influence amplitude / Forme de l'écoulement 19

a) Influence de l’amplitude 19 b) Forme de l’écoulement 20

Conclusion 21

Bibliographie 22

Remerciements 22

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Introduction L’eau et ses propriétés peuvent nous jouer des tours… Heureusement, des élèves accompagnées de leurs professeurs et de chercheurs sont là pour élucider le mystère ! Notre travail a débuté l’année dernière, tandis nous participions à un atelier “Arts & Sciences”, dans notre lycée, ce qui nous a permis d’allier l’art et la science afin d’élaborer un projet de TPE (travaux personnels encadrés) varié et enrichissant. Notre sujet portait sur la visualisation du son grâce à la matière. Une de nos expériences, inspirée d’une vidéo de l’artiste Nigel Stanford, consistait alors à faire couler de l’eau dans un tuyau fixé à un haut-parleur, lui-même relié à un ordinateur qui générait un signal sinusoïdal à différentes fréquences. Sous l’éclairage d’un stroboscope, l’eau formait alors une figure qui nous a beaucoup intriguées du fait de sa grande ressemblance avec une onde… Les photos du mémoire ont d’ailleurs été prises par nous-mêmes lors de la mise en oeuvre de l’expérience (nous avons juste revu la balance des couleurs). Nous avons décidé dans le cadre de la préparation des XXVIème Olympiades de Physique d’approfondir le sujet, afin de percer le mystère de cette eau qui s’écoule en spirale. Au cours de notre travail, plusieurs questions ont été soulevées au fil des semaines et des expériences : pourquoi l’eau s’écoule-t-elle ainsi ? Quels sont les paramètres qui influent sur la forme de l’écoulement? Pour satisfaire notre curiosité, nous avons eu recours à l’aide précieuse de nos deux professeures de Physique-Chimie, mais aussi l’aide du chercheur M. Dagois-Bohy, qui nous a été d’un grand secours. Figure 1. Une des photos de nos expériences (photo détourée pour améliorer la visibilité) Nous n’avons pas eu l’exclusivité quant à notre curiosité sur cette spirale d’eau, car, en effet, elles ont été des sources d’inspiration pour de nombreux artistes tels que Nigel Stanford, qui a utilisé cette performance afin de réaliser des clips musicaux bluffants, et dont la chaîne Youtube est “Cymatics”. L’artiste Lisa Park s’est également servie de l’eau afin de transmettre des émotions à travers 48 bassins remplis d’eau.

Figure 2. Cymatics https://nigelstanford.com Figure 3. Lisa Park http://themindunleashed.com Dans un premier temps, nous présenterons le phénomène observé, ainsi que le protocole expérimental que nous avons utilisé et les problèmes rencontrés. Pour mieux cerner le problème, nous présenterons alors les notions physiques qui nous semblent en lien avec celui-ci. Une fois le phénomène expliqué, nous pourrons nous concentrer sur l’étude de l’influence de différents paramètres.

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I Présentation du phénomène

1) Mise au point du protocole expérimental Notre montage expérimental est représenté sur la photographie ci-dessous. Le haut-parleur est mis à la verticale et en hauteur au dessus de l’évier, à l’aide d’une potence. Le tuyau est relié au robinet et scotché au haut-parleur. Le haut-parleur est relié à l’amplificateur, qui lui même est relié à un GBF. A l’aide de ce dernier, nous avons généré des oscillations de la membrane du haut-parleur de fréquences comprises entre 15 et 100 Hz . Ensuite, nous avons laissé couler l’eau et nous l’avons éclairée à l’aide d’un stroboscope. Lorsque le haut-parleur vibre, l’eau qui coule est éclairée par le stroboscope et nous avons l’impression très étonnante de voir l’eau s’écouler en spirale. En fonction du nombre de flashes par minute émis par le stroboscope, nous avons même pu voir l’eau remonter !

Figure 4. Matériel et mise en place de l’expérience

Afin de connaître toutes les conditions initiales, nous avons mesuré l’angle α qui correspond à l’angle d’inclinaison par rapport à l’horizontal du tuyau ainsi que θmax qui correspond à l’amplitude angulaire maximale du tuyau lorsque le haut parleur vibrait. Nous avons calculé l’angle α, à partir de la photo de gauche (sur cette photo l’eau part vers le haut) grâce au logiciel GeoGebra. En effet, puisque nous avions une règle qui servait d’échelle sur la photo et qui était dans le même plan que le tuyau, nous avons pu calculer l’angle d’inclinaison par rapport à l’horizontale en utilisant les règles de trigonométrie sur un triangle rectangle. Ainsi nous avons trouvé que l’angle d’inclinaison par rapport à l’horizontale est de (35,5°士2°) soit (0,611士0,004) rad.

Figure 5. Photo de référence pour la mesure de l’angle α que fait le tuyau avec l’horizontale.

Nous avons ensuite calculé l’angle θmax. Nous avons d’abord mesurer la variation de l’angle quand le haut-parleur vibrait. Nous nous sommes servies du logiciel PyMecaVideo qui est un logiciel qui permet de faire des pointages à partir d’une vidéo. Sur cette vidéo, nous avons toujours la règle qui sert d’échelle. Le but est de mesurer la distance entre le point le plus bas et le point le plus haut (sur le dessin à droite, la distance M1M2) en se fixant toujours à un même endroit, c’est-à-dire le bout du tuyau en haut car cela s'avère plus simple pour les pointages. Une fois qu’on a les tracés et la mesure (M1M2), on refait la même chose que l’on a fait avec l’angle α. On trouve que l’amplitude angulaire maximale θmax est de (1,18° 士0,6°) soit (0,0175士0,01) rad Figure 6. Schéma du calcul de l’angle

θmax

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2) Problèmes rencontrés dans la mise en place du protocole

a) Problème de reproductibilité des expériences

La question de la reproductibilité de l’expérience ainsi que le moyen de faire les mesures ont posé problème. Nous avons cherché un moyen de fixer le tuyau au haut-parleur qui puisse être identique d’une séance à l’autre. En effet, lors de nos premières expériences, nous attachions le tuyau à l’aide de ruban adhésif mais nous nous sommes rendu compte que, selon la manière dont nous attachions le tuyau, la forme de l’écoulement de l’eau changeait aussi. Cela nous a posé un problème pendant plusieurs séances, car il était impossible de faire des mesures, alors que le phénomène changeait d’une séance à l’autre, bien que les paramètres (la fréquence et l’amplitude de l’onde sonore et le débit de l’eau ) soient demeurés identiques. De plus, le ruban adhésif, perdait de son efficacité au cours du temps, et ce dernier avait du mal à épouser la forme de la membrane du haut-parleur. Nous avons eu plusieurs idées afin d’éluder ce problème. Tout d’abord, nous avons opté pour des colliers placés en haut en en bas du haut-parleur. Cependant, le tuyau ne “collait” pas assez au centre du haut-parleur et la forme voulue était moins apparente. De plus, le tuyau se décalait vers la gauche ou la droite et cela rendait la manipulation plus compliquée. Cela était un bon début mais ce n’était pas encore suffisant. Ensuite nous avons placé un ruban adhésif double face au centre du haut-parleur, en plus des colliers. Le résultat avec cette méthode était plus efficace, nous avons donc gardé cette solution technique.

Figure 7. Fixation avec ruban adhésif Figure 8. Nouvelle fixation avec du ruban adhésif double face et colliers.

Une autre difficulté fut le choix haut-parleur. En effet, le premier haut-parleur que nous avons utilisé présentait deux problèmes. En premier lieu, la membrane avait une mauvaise adhérence, le ruban adhésif se décollait très rapidement lorsque le haut-parleur vibrait. De plus, nous avons remarqué que le phénomène n’était pas assez visible pour pouvoir bien l’étudier. Nous pensions que cela était dû au diamètre du haut-parleur puisque, lorsque nous avons changé de haut-parleur pour un de plus petit diamètre et avec une membrane lisse, le phénomène était clairement plus visible.

b) Problème de la prise de photos

Nous avons aussi eu des problèmes de prise de vue. En effet, nous travaillions dans le noir avec un éclairage stroboscopique et, dans ces conditions, les photos étaient souvent peu visibles, or nous avions besoin de photos comme témoignage de nos expériences. Pour réaliser ces photos, nous avons donc testé différents fonds et finalement le fond blanc s’est avéré le plus adapté afin de mieux distinguer les expériences.

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c) A la recherche de l’hélice perdue…

Mais un autre problème s’est posé : nous savions qu’il était possible d’observer une hélice lors de cette expérience, et nous avons pu la voir quelquefois par chance. Nous avons alors cherché à la reproduire, mais nous avons vite compris que cela était compliqué, car il fallait “laisser du mou” au tuyau afin que celui-ci ait une plus grande liberté de mouvement, et puisse ainsi tourner de manière à former une hélice. De plus, on pense aussi qu’un haut-parleur plus puissant aurait été mieux. Le dispositif étant difficile à reproduire, nous avons décidé de plutôt nous concentrer sur la reproductibilité de la sinusoïde, ainsi que son étude.

3) Estimation des différentes forces

Lors de la chute de l’eau, il y a trois forces qui s'appliquent sur le système: le poids, la force de frottements et la poussée d’archimède. Nous avons calculé un ordre de grandeur de ces trois forces afin de pouvoir les comparer. La force à été estimé sur une goutte d’eau. La formule du poids est que l’on peut aussi écrire ..gP = m .V .gP = ρ La masse volumique de l’eau est de 1000 kg.m-3. Le volume d’une goutte est celui d’une boule qui est

.Pour avoir le rayon d’une goutte, on mesure le rayon intérieur du tuyau et on trouve environ.π.r34 3

0,25.10-3 m. On applique la formule et on trouve que P=6,5.10-4N soit un ordre de grandeur de 10-3N. Nous avons estimé la force de frottements visqueux lors d’un écoulement laminaire, puisque la vitesse de l’eau ne dépassait pas les 5 m.s-1. La formule correspondante est . La vitesse− .η.vF f rot

→= k

moyenne de nos expériences était d’environ 3 m.s-1. correspond au coefficient de viscosité duη fluide. Ici vaut 0,018.10-3 N.m-2.s. correspond au coefficient caractéristique de la géométrie du(air)η k solide, ici la goutte d’eau qui a pour formule . On applique la formule et on trouve que .π.rk = 6 F f rot

→

vaut 8,5.10-7 soit un ordre de grandeur de 10-6. La poussée d’Archimède est négligée car le volume déplacé est l’air. En comparant la force de frottement visqueux sur celle du poids, on trouve un rapport de 1000, c’est à dire que le poids vaut 1000 fois celle des forces de frottements. Dans ces expériences, on néglige donc la force de frottement et la poussée d’Archimède devant celle du poids.

II Quelques notions théoriques Pour avancer plus loin dans notre compréhension du phénomène, nous avons eu besoin d'approfondir la notion d’onde, car l’écoulement ressemble à une onde sinusoïdale (voir photo de la couverture). Les caractéristiques de la chute libre dans le champ de pesanteur terrestre nous seront également utiles.

1) Généralités sur les ondes Une onde est une perturbation qui se propage sans transport de matière, mais avec transport d’énergie. Une onde mécanique a besoin d’un milieu matériel pour se propager. Une onde est progressive si elle se déplace dans le milieu. La célérité de l’onde est la vitesse de propagation de l’onde, elle s’exprime en ..sm −1 Une onde périodique présente un motif qui se reproduit régulièrement dans le temps. La fréquence , exprimée en Hz, est le nombre de fois que le motif se reproduit en 1 s.f

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La période T, exprimée en seconde, est la plus petite durée au bout de laquelle le phénomène se répète identiquement à lui même en un point donné (cf schéma ci-dessous, à droite). La période et la fréquence sont liées par la relation . f = 1

T La longueur d’onde λ ou période spatiale, exprimée en mètre, est la plus petite distance au bout de laquelle le phénomène se répète à un instant t (cf schéma ci-contre à gauche). Figure 9 et 10. Période et longueur d’onde

La longueur d’onde est donc la λ distance parcourue par l’onde en

une période . On a la relation avec T .Tλ = v v la célérité de l’onde en ..sm −1 Déplacement de l’onde à la vitesse durant v

(schéma ci-contre).tΔ = t′ − t Figure 11. Déplacement de l’onde entre t et t’

2) La chute libre dans le champ de pesanteur terrestre Nous savons que le mouvement d’un objet lancé de façon oblique dans le champ de pesanteur aura une trajectoire parabolique. Comment pouvons-nous expliquer la forme de cette trajectoire ? Le mouvement d’un corps s’explique à partir de la deuxième loi de Newton, qui dit que, dans un

référentiel galiléen, ..v .∑

F ext

→= dt

dp→ = dtd(m.v)→

= dtdm → + m dt

dv→

En admettant que, dans l’intervalle de temps considéré pour l’étude, la masse de notre objet n’a pu

évoluer, alors l’expression précédente devient : .m. .a ∑

F ext

→= dt

dv→ = m→

Si nous négligeons la poussée d’Archimède et les forces de frottement, la somme des forces

extérieures lors du mouvement dans le champ de pesanteur est où est le poids du∑

F ext

→= P

→P→

corps. On en déduit que donc ..g .a∑

F ext

→= P

→= m → = m → a→ = g→

Mais à quoi correspond le vecteur accélération? Le vecteur accélération est le taux de changement dans le temps du vecteur vitesse, soit . On a→ = dt

dv→ en déduit que , donc , avec vitesse du système à t=0. dt

dv→ = g→ .tv→ = g→ + v0→ v0

→ Par conséquent lors d’une chute, le vecteur vitesse augmente de à gΔt → chaque .tΔ Si nous intégrons cette équation, nous obtenons alors l’équation horaire de la position : , avec le vecteur position à t=0 du .t .tOM

→= 2

g→ 2 + v0→ + OM 0

→ OM 0

→

système. Cette équation est celle d’une parabole dans le plan (z,t). Après calcul, on peut montrer que c’est aussi une parabole dans le plan (y,z) si le vecteur vitesse initial est dans ce plan. Figure 12. Chute libre dans champ de pesanteur avec vitesse initiale.

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III Explication du phénomène

1) Sans le stroboscope, rien ne serait visible Les deux photos ci-dessous montrent le même écoulement à la sortie d’un tuyau mis en vibration. La photo de gauche est prise avec un éclairage constant; celle de droite est prise avec un éclairage stroboscopique.

Figure 13. Photo de l’écoulement sans stroboscope Figure 14. Avec stroboscope

C’est donc grâce à l’éclairage du stroboscope que nous pouvons distinguer une onde proche d’une sinusoïde. Un stroboscope est une source de lumière non-continue, qui émet des flashs lumineux à intervalles de temps réguliers, soit avec une période T’ bien définie. Nous appelons f’ la fréquence du stroboscope, c’est-à-dire . Nous ne voyons l’eau qu’au moment du flash. Lorsque la fréquence f ′ = 1

T ′ du stroboscope est assez élevée, l’œil voit un phénomène continu, du fait de la persistance rétinienne (environ 50 ms). En fonction de la fréquence de l’éclairage, nous avons l’impression que l’eau est immobile, ou alors qu’elle s’écoule, ou encore qu’elle remonte dans le tuyau.

● Faisons une analogie de la situation à l’aide d’un disque tournant à vitesse constante afin de mieux comprendre le phénomène. Si nous éclairons le disque de manière périodique, et que cette période est égale à la période de rotation du disque, alors la marque sur le disque semblera immobile (voir schéma ci-dessous).

Appliquons ce raisonnement à l’onde progressive ci-dessous : si la période de l’onde T est égale à celle du stroboscope T’, alors l’onde semblera immobile puisque qu’une oscillation viendra exactement se superposer à la précédente.

Figure 15. Onde progressive et disque tournant avec T=T’

● Si à présent nous éclairons le disque avec un stroboscope à une période inférieure à celle de

rotation, alors la marque violette n’aura pas le temps de faire un tour complet, et le disque semblera tourner dans le sens anti-horaire. Pour notre expérience, l’eau semblera retourner dans le tuyau.

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Appliquons ce raisonnement à l’onde progressive ci-dessous : si la période du stroboscope T’ est légèrement inférieure à la période de l’onde T (ce qui revient à dire : T’ < T), tel que représentée sur le schéma ci-dessous, alors l’onde semblera reculer (vers la gauche).

Figure 16. Onde progressive et disque tournant avec T’<T

● Faisons à nouveau l’analogie de la situation à l’aide du disque tournant : si nous éclairons le disque avec un stroboscope à une période supérieure à celle de rotation du disque, alors la marque violette fera plus d’un tour, et le disque semblera avancer (c’est-à-dire tourner dans le sens horaire).

Appliquons ce raisonnement à l’onde progressive ci-dessous : si la période du stroboscope T’ est supérieure à la période de l’onde T (ce qui revient à dire : T’ > T), tel que représentée sur le schéma ci-dessous, alors l’onde semblera avancer (vers la droite).

Figure 17. Onde progressive et disque tournant avec T’>T

● Enfin, plus l’écart de fréquence entre le stroboscope et le haut-parleur est grand, plus le spectateur aura l’impression que l’eau remonte vite dans le tuyau, ou alors que l’eau s’écoule rapidement vers le sol.

2) Notre cheminement jusqu’à la compréhension de la forme de l’eau

a) Premières idées d'explications

L’interprétation de la forme observée n’a pas été aisée. Nous avons eu différentes idées et chacune amenait son lot de questions. Parmi ces interrogations, il y eut :

● Cette onde sinusoïdale agit-elle comme une “vraie” onde, comme une corde vibrante par exemple? Non, car une onde se caractérise par une absence de transport de matière, or ici, il y a bien un transport de matière, car, en effet, les gouttes d’eau se déplacent dans un mouvement d’ensemble, dans le même sens que la sinusoïde observée. Figure 18. Forme de l’écoulement de l’eau observée au stroboscope.

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● Les gouttes d’eau se déplacent-elles en suivant la sinusoïde ?

Non, car chaque goutte devrait alors alterner montées et descentes, or l’eau n’a pas assez de cohésion. Rien ne peut permettre à l’eau de remonter.

● Est-ce une illusion d’optique ? N’y a-t-il pas vraiment de sinusoïde qui se déplace? Pour l’avoir vérifié expérimentalement, nous avons remarqué qu’il y avait bien de l’eau entre deux crêtes de la sinusoïde. D’ailleurs, en faisant une photo sans stroboscope, nous remarquons bien que l’eau coule sur toute la largeur du jet. Devant notre incompréhension, nous avons fait appel à M. Dagois-Bohy, chercheur en mécanique des fluides, et M. Petit, chercheur retraité ayant travaillé dans le même domaine. Leurs explications nous ont finalement permis de comprendre ce qu’il se passait et comment se déroulait le phénomène.

b) Comment l’eau avance-t-elle ? Et pourquoi voit-on une sinusoïde ?

Dans le cadre de notre expérience, si nous négligeons les frottements de l’air, chaque paquet d’eau, à la sortie du tuyau, est soumis à une seule force, à savoir le poids. Donc si le paquet d’eau est propulsé avec une vitesse initiale oblique, il aura un mouvement parabolique, comme nous l’avons montré précédemment (II.2). Toutefois, chaque goutte a un vecteur vitesse initial légèrement différent, car le tuyau en vibration change en permanence d’inclinaison. Les différentes gouttes suivront, en fonction de la position du tuyau, lors de leur émission, une parabole légèrement différente (cf dessin ci-dessous). Par exemple, la goutte émise avec le vecteur vitesse suivra la parabole la plus haute. On aura donc un v h

→

faisceau de paraboles, d’ailleurs observable sur la photo sans stroboscope (cf Figure 13). Lorsque le tuyau est en position haute (h), le paquet (car c’est plus qu’une goutte) est émis en position haute et avance suivant la parabole, puis un autre paquet, juste à côté, est émis en position juste un peu plus basse et avance suivant une parabole accolée (cf Figure 19 ci-dessous). Comme le passage se fait de manière continue, les deux paquets sont accolés et avancent ensemble. Cela continue de la même manière, et comme le mouvement du tuyau est sinusoïdal, on obtient une sorte de sinusoïde qui avance “en bloc”.

Figure 19. Schéma expliquant comment l’eau avance et pourquoi on voit une sinusoïde.

c) Pourquoi la sinusoïde semble-t-elle immobile ?

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Entre deux flashs du stroboscope réglé sur la même fréquence que la vibration du tuyau, le paquet émis à la date t-T (où T est la période de vibration) aura avancé d’une longueur d’onde et remplacera le paquet émis à l’instant t - 2T, comme nous pouvons le voir sur la figure 20 ci-dessous. La sinusoïde nous paraîtra donc immobile.

Figure 20. Schéma expliquant pourquoi la sinusoïde apparaît immobile.

d) Comment appeler ce phénomène ? Les ondes cinématiques.

Nous avons un phénomène qui ressemble à une onde sinusoïdale qui se déplace. Cependant, il ne s’agit pas d’une onde classique dans laquelle on a un déplacement d’énergie sans transport de matière. En effet, ici l’onde se déplace en même temps que l’eau, à la même vitesse que celle-ci. Il y a donc un mouvement d’ensemble de la matière, nous pouvons donc appeler ce phénomène une “onde cinématique”, du grec kinesis (mouvement). Par extension, nous appellerons lambda , la distance d’un motif (parcourue pendant une période) et λ v la vitesse d'écoulement de l’eau, qui est aussi ici celle de l’onde. Nous remarquons d’ailleurs sur les photos de l’écoulement avec le stroboscope, un espacement des crêtes de plus en plus grand, ce qui peut s’expliquer par l’augmentation de la vitesse des paquets d’eau qui sont en chute libre .

Figure 21. Onde cinématique 1 Figure 22. Onde cinématique 2

3) Un mouvement sinusoïdal du tuyau et du haut-parleur Nous rappelons que le GBF est réglé sur un mouvement sinusoïdal. Pour confirmer l’autorisation à utiliser le terme de “sinusoïde”, nous avons décidé de procéder à l’étude du mouvement du tuyau et du haut-parleur afin de vérifier que ceux-ci ont bien un mouvement

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sinusoïdal. Si cela est le cas, alors nous pouvons nous permettre d’employer le terme de sinusoïde pour qualifier notre expérience. Nous avons donc réalisé un pointage à l’aide de deux vidéos du tuyau et du haut-parleur pour une fréquence de 15Hz lors de l’expérience. Le pointage s’est effectué au bout du tuyau, à la sortie de l’eau, et nous avons prélevé un point toujours au même endroit sur chaque photo de la vidéo. La première expérience était à une petite amplitude, tandis que la deuxième expérience était à une grande amplitude. Nous avons utilisé dans un premier temps le logiciel PyMecaVideo pour prendre les coordonnées des points, puis nous les avons transposées sur le logiciel Regressi, afin de tracer la courbe qui modéliserait le mouvement du tuyau et du haut-parleur. Nous observons que la courbe modèle est très loin de nos résultats expérimentaux et ne correspond pas à la bonne fréquence... Cela s’explique par le fait qu’avec une fréquence de 15 Hz, l’étude est impossible avec nos logiciels de pointage, car l'appareil photo prend au mieux 30 images par seconde, tandis que notre tuyau fait 15 aller-retours par seconde, ce qui fait que nous le captons deux fois par période : nous ne pouvons donc pas vérifier en raison de problèmes techniques si une sinusoïde est formée...

4) Une simulation magique Après nos observations, nous avons fait une simulation de notre expérience à l’aide du logiciel GeoGebra. Afin d’obtenir notre expérience sous la forme d’une modélisation, nous avons rentrer l’équation de la trajectoire correspondant à un mouvement de chute libre parabolique avec des conditions initiales sinusoïdales correspondant au mouvement du tuyau. Toutefois, cette simulation est une ligne d’émission des gouttes, et non la simulation de la trajectoire de chaque goutte d’eau : la courbe que nous observons est une représentation de ce que nous voyons lors de la mise en œuvre de l’expérience, et non la trajectoire de l’eau, car sinon il y aurait tout le faisceau de paraboles visibles. Or, il n’est pas présent. Après plusieurs tentatives, nous avons trouvé les équations paramétriques de la courbe:

(t ) .cos(θ .cos(2π.f .t )).(t )x 0 = v0 max 0 1 − t0 (t ) .g.(t ) .sin(θ .cos(2π.f .t ) ).(t )y 0 = 2

11 − t0 + v0 max 0 + α 1 − t0

Avec t0 la variable allant de 0 à t1 t0 est la date d’émission de la goutte qui est la variable de la courbe et t1 est une date quelconque v0 est la vitesse de l’eau à la sortie du tuyau ፀmax est l’amplitude angulaire maximale du tuyau lorsqu’il vibre f est la fréquence imposée par le GBF α est l’angle d’inclinaison du tuyau par rapport à l’horizontale h est la hauteur du tuyau par rapport à la paillasse.

Figure 23. Simulation de l’expérience

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La modélisation correspond à une photo, c’est un instantané à la date t1. Nous pouvons y voir la position de chaque goutte d’eau émise depuis l’origine jusqu’à t1. Une fois que nous avons trouvé la courbe, nous l’avons adaptée à nos conditions d’expérimentation. Sachant que α=0,611 rad et ፀmax= 0,0175 rad. Nous avons réglé la fréquence sur f = 25,25 Hz, à une date t1 = 4,35 s et pour une vitesse de v0 = 1,85 m.s-1. La courbe paramétrique est :

(t ) 1, 5.cos(0, 2.cos(2π.25, 5.t )).(4, 5 ) x 0 = 8 0 2 0 3 − t0 (t ) /2 .9, 1.(4, 5 )² , 5.sin(0, 2.cos(2π.25, 5.t ) , 1).(4, 5 )y 0 = − 1 8 3 − t0 + 1 8 0 2 0 + 0 6 3 − t0

avec t0 compris entre 0 et 4,35 s.

IV Quels sont les paramètres qui influencent le phénomène? La forme du motif de l’eau change selon certains paramètres: la vitesse d’écoulement de l’eau, la fréquence du haut-parleur et l’amplitude du mouvement du haut-parleur. Nous avons étudié l’influence de chacun de ces paramètres plus précisément.

1) Influence débit vitesse Pour pouvoir étudier le débit, tous les autres paramètres à savoir la fréquence et l’amplitude doivent être fixes. Nous avons choisi une amplitude fixe et une fréquence égale à 25 Hz.Pour cette étude sur l’influence de la vitesse, le tuyau était orienté vers le bas. Seul le débit change. Pour calculer le débit, nous avons utilisé une fiole jaugée de V=(1,0000 ±0,0004)L et un chronomètre. Nous avons mesuré la durée mise par l’eau qui coule pour remplir la fiole. Ensuite, nous avons calculé le débit en et converti la valeur en . Calculer D = V

Δt .sL −1 .sm3 −1

le débit fut difficile, car n’était pas très précis. En effet, il fallait arrêter le chronomètre au moment où l’eau arrivait au trait de jauge et puisque l’eau s’écoulait à une certaine vitesse, il était compliqué de s’arrêter exactement au bon moment. Afin de contrer ce problème, nous avons fait plusieurs fois l’expérience, puis nous avons calculé une valeur moyenne des débits trouvés.

Figure 24. Mesure du débit Figure 25. Volume de fluide qui traverse une section

Ensuite nous avons calculé la vitesse de l’eau correspondant à chaque débit. Par définition D = VΔt

avec V le volume d’eau qui s’écoule et Δt la durée correspondante. Or V=S. avec la section du lΔ S tuyau et = la distance parcourue par l’eau pendant l’intervalle de temps Δt.lΔ .Δtv On en déduit que On peut donc calculer la vitesse de l’eau à la sortie du tuyau .v D = Δt

V = ΔtS.Δl = S v

par la formule avec en , D est le débit calculé en et est la section du tuyau en v = SD v .sm −1 .sm3 −1 S

m2 On calcule la section S avec la formule puisque l’aire du tuyau est une ellipse avec r S = r × R × π étant le plus petit rayon du tuyau et R le plus grand rayon du tuyau.On mesure que et , 6 cmr = 0 2

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à l’aide d’un pied à coulisse et on trouve que la section vaut . On, 35 cmR = 0 3 2, 4 , 7) m( 7 ± 0 0 × 10−5 2

calcule alors la vitesse grâce à la formule ci-dessus. Voici les valeurs obtenues pour D et v, avec les incertitudes correspondantes Δ(D) et Δ(v), résumées sous la forme d’un tableau. Ensuite nous avons mesuré la distance qui sépare deux motifs, donc la longueur d’onde . Nous λ avons utilisé deux méthodes. La première consistait à calculer cette distance à l’aide du logiciel GeoGebra (cf Figure 26 ci-dessous à gauche). Lorsque nous prenions des photos, il y avait une règle à côté de l’eau. Cette échelle et l’eau qui coule étaient sur le même plan. Ensuite avec le logiciel, on calcule la distance entre deux motifs à l’aide d’un produit en croix sachant que la longueur de la règle correspond à 5,0 cm.

Figure 26. Mesure de lambda avec GeoGebra Figure 27. Lambda mesuré avec une règle pendant l’expérience.

Le principal problème de cette méthode est le manque de lumière. En effet, notre expérience fonctionne uniquement dans le noir avec pour seule source de lumière le stroboscope donc parfois on avait du mal à bien voir notre échelle. La seconde méthode est plus rapide puisque l’on prenait les mesures directement sur l’expérience, c’est-à-dire en direct (cf Figure 27 ci-dessus à droite). Cependant il y a eu plusieurs difficultés. La première est qu’il fallait régler le stroboscope pour que l’eau soit statique, or notre stroboscope ne permettait pas des ajustements fins, donc l’eau n’apparaissait pas tout à fait statique. Il était compliqué d’avoir une valeur précise et nous avons donc des valeurs avec des incertitudes assez élevées. Voici les différentes valeurs résumées dans un tableau:

Expérience 1 Expérience 2 Expérience 3 Expérience 4

Débit D en .sm3 −1 38,0.10-6 68,0.10-6 80,9.10-6 109.10-6

Δ(D) en .sm3 −1 0,4.10-6 6,8.10-6 8,1.10-6 11.10-6

Vitesse v en .sm −1 1,39 2,48 2,95 3,98

Δ(v) en .sm −1 0,04 0,03 0,04 0,05

Distance en mλ 0,06 0,105 0,1189 0,1683

Δ( ) en mλ 0,01 0,01 0,005 0,005

Tableau 1. Valeurs du débit, de la vitesse, de la longueur d’onde lors de l’étude sur l’influence de la vitesse pour différentes expériences, ainsi que les incertitudes de chaque grandeur.

Ensuite, nous avons tracé et modélisé la courbe de la longueur d’onde en fonction de la vitesse .λ v0

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Graphique 1. Longueur d’onde en fonction de la vitesse v0

Modélisation de la courbe de la longueur d’onde en fonction de la vitesse v0 Théoriquement, puisque l’onde cinématique avance à la vitesse de l’eau, nous devrions avoir

soit une droite passant par l’origine de pente T.λ = T × v Expérimentalement on trouve bien une droite avec un coefficient directeur de Texp= . Sachant que la fréquence utilisée était toujours à f=(25,0 ± 0,1) Hz, la4, 8 ± 0, 7).10 s( 1 1 −2 période vaut Tth= . En prenant en compte les incertitudes, les valeurs pour 4, 0±0, 2) s( 0 0 × 10−2 lesquelles c’est à dire les valeurs qui entrent dans l’intervalle 10 ,4, 1s ; 4, 5s [ 0 3 ] ⋂ 3.98s ; 4, 2s[ 0 ] . −2 des valeurs expérimentales et des valeurs théoriques sont les valeurs qui appartiennent à l’intervalle

. L’intervalle que nous obtenons est petit. Nous pensons que ces résultats104, 1s ; 4, 2s[ 0 0 ] . −2 peuvent être améliorés.

Figure 28. Intersection des valeurs expérimentales avec les valeurs théoriques

En effet, nous remarquons que la vitesse de l’eau que nous avons calculée est celle à la sortie du tuyau, or nous avons mesuré la longueur d’onde plus bas qu’à la sortie du tuyau. Or, nous savons que la vitesse d’un corps se déplaçant dans le champ de pesanteur évolue. On mesure l’altitude du second motif. Plus précisément, on mesure l’altitude au début du motif za et à la fin du motif zb, en prenant le haut du tuyau comme altitude nulle. Ensuite, on calcule l’altitude moyenne zm afin d'obtenir la vitesse moyenne plus loin.

Expérience 1 Expérience 2 Expérience 3 Expérience 4

za en m -0,1216 -0,1237 -0,1322 -0,1347

zb en m -0,182 -0,2014 -0,2171 -0,2354

zm en m -0,1518 -0,1626 -0,1747 -0,1851 Tableau 2. Valeurs des différentes altitudes au niveau de la mesure du motif lors de l’étude de l’influence de la vitesse.

En admettant que le déplacement se fait suivant l’axe vertical Oz, que l’origine des espaces se situe à l’embouchure du tuyau, que dans l’intervalle de temps, les effets des forces de frottement sont négligeables devant ceux du poids et en utilisant le principe de conservation d’énergie mécanique, on obtient :

et et la valeur moyenne de ces deux vitesses. va = √v .g.z20 − 2 a vb = √v .g.z2

0 − 2 b vm

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Expérience 1 Expérience 2 Expérience 3 Expérience 4

v0 en m/s 1,39 2,48 2,95 3,98

Δ(v0) en m/s 0,04 0,03 0,04 0,05

en m/s va 2,08 2,93 3,36 4,30

Δ( en m/s v )a 0,07 0,05 0,06 0.07

vb en m/s 2,34 3,18 3,60 4,52

Δvb en m/s 0,07 0,05 0,06 0,06

en m/s vm 2,22 3,06 3,48 4,41

Δ en m/s vm 0,07 0,05 0,06 0,07

Tableau 3. Les différentes valeurs de la vitesse sur les différentes expériences lors de l’étude de l’influence de la vitesse

On trace et on modélise la courbe de la longueur d’onde en fonction de la vitesse vm. Graphique 2. Longueur d’onde en fonction de la vitesse vm

On trouve une droite avec un coefficient directeur de

. On rappelle4, 6 ± 1, ) s( 8 0 × 10−2 que la période de la fréquence utilisée est de

. Ici les4, 0 , 2) s( 0 ± 0 0 × 10−2 intervalles se chevauchent bien mieux, cependant l’incertitude de Texp augmente d’environ 20%.

Cela est dû à la complexité de la mesure. Il y a d’abord la mesure de la vitesse initiale qui ne peut pas être très précise et la vitesse moyenne entre la vitesse en za et zb constitue une source d’erreur. Ensuite, il y a aussi le problème de l’altitude à laquelle est faite la mesure. En effet, chaque altitude est différente d’une expérience à l’autre, donc cela constitue une difficulté en plus et cela pourrait expliquer l’allure de la droite . Si on choisit d’avoir une altitude moyenne pour toutes les (v )λ = f m expériences, cela ne fonctionnerait pas non plus car les expériences qui ont une plus petite altitude que la moyenne vont voir leur vitesse moyenne plus élevée que ce qu’elle devrait être et les expériences qui ont une plus grande altitude que la moyenne vont voir leur vitesse moyenne plus basse que ce qu’elle devrait être. Sur la courbe de modélisation, on verra donc que le coefficient directeur augmente. Or on souhaite qu’il diminue pour se rapprocher de Tth puisque les valeurs expérimentales comprennent toutes les valeurs théoriques. On ne peut pas vraiment conclure avec cette série d’expérience, comme la vitesse de l’eau n’est pas constante sur toute la longueur d’onde, il faudrait encore améliorer la mesure. C’est ce qu’on a fait avec l’étude de l’influence de la période.

2) L’influence de la fréquence/période Afin de pouvoir étudier l’influence de la fréquence, nous avons repris l’expérience décrite dans la partie précédente. Cependant, afin de pouvoir limiter le risque d’erreur de la vitesse lors de la chute de l’eau, nous avons décidé de faire nos mesures avec un jet orienté vers le haut. L'intérêt d’étudier

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les paramètres avec un jet orienté vers le haut est qu’il y a moins de variation de la vitesse v due à la chute de l’eau. En effet, nous avons à chaque fois mesuré la longueur du premier motif. Puisque le jet était orienté vers le haut, le premier motif se situait à la quasiment à la même altitude que le tuyau, sachant que nous avons pris comme référence la sortie du tuyau en tant que altitude nulle. Ainsi on considère que la première longueur d’onde se trouvait aussi à l’altitude nulle car les différentes altitudes mesurés lors de ces expériences sont de l’ordre 10-3m Nous avons gardé le débit constant égal à D=(2,28士0,20).10-5 m3.s-1 et nous avons fait varier la fréquence. Nous avons aussi mesuré une longueur d’onde avec la méthode sur GeoGebra citée précédemment. La fréquence de vibration du haut-parleur a été réglée à l’aide d’un GBF et la période a été calculée avec la relation . Les mesures des différentes longueurs d’onde ont été prises au T = f

1 premier motif. Voici le récapitulatif des différentes valeurs sous forme d’un tableau:

Expérience 1 Expérience 2 Expérience 3 Expérience 4 Expérience 5

Fréquence f en Hz 15 25 35 50 63

Δ(f) en Hz 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

Période T en s 6,667.10-2 4,000.10-2 2,857.10-2 2,000.10-2 1,587.10-2

Δ(T) en s 0,05.10-2 0,02.10-2 0,009.10-2 0,004.10-2 0,003.10-2

Lamba en mm λ 57,5 31,4 23,2 14,0 10,3

Δ( ) en mm λ 2 2 2 2 2

Tableau 4. Récapitulatif des valeurs lors de l’étude de l’influence de la période

D’après la théorie, nous devrions avoir . On obtient par la modélisation une droite (cf λ = v × T Graphique 3) qui correspond à une fonction affine. Le coefficient directeur de cette droite est

et l’ordonnée à l’origine est 0, 22 , 8) m.s( 9 ± 0 0 −1 − , ).10 m( 4 3 ± 3 −3 Nous pensons que le coefficient directeur de cette droite est la vitesse qui correspond à la formule

. Puisqu’on connaît le débit et qu’il ne varie pas, on peut calculer la vitesse à la sortie duλ = v × T tuyau avec la formule démontrée précédemment (IV 1). On trouve que v= 0,832士0.08 m.s-1. v = S

D Avec les incertitudes, les valeurs qui sont comprises dans l’intervalle des valeurs coefficient directeur et des valeurs de la vitesse de l’eau à la sortie du tuyau c’est à dire

sont les valeurs qui appartiennent à l’intervalle 0, 42 m.s ; 1, 02 m.s[ 8 −1 0 −1] ⋂ 0, 52 m.s ; 0, 12 m.s[ 7 −1 9 −1] . 0, 42 m.s ; 0, 12 m.s [ 8 −1 9 −1 ]

Graphique 3 : longueur d’onde λ en mm en fonction de la période T en ms

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Figure 29. Intersection des valeurs expérimentales avec les valeurs théoriques L’ordonnée à l’origine étant une très petite valeur, on décide de la négliger car elle est de l'ordre du millième de mètre. Les résultats que nous avons obtenus sont satisfaisants. Mais il faut prendre en compte les mesures de longueurs d’onde et les mesures de débits qui furent la source de grandes incertitudes et qui augmentent la marge d’erreurs de la modélisation. Cependant, le fait d’avoir fait nos mesures avec un jet horizontal ont diminué nos marges d’erreurs sur les calculs et la modélisation. Nos résultats sont concluants et sont une preuve pour notre théorie des ondes cinématiques car on retrouve la formule

.λ = v × T

3) Influence amplitude / Forme de l'écoulement

a) Influence de l’amplitude Figure 30. Mesure de la distance de crête. Afin de pouvoir étudier l’influence de l’amplitude du signal du GBF sur le phénomène, nous avons uniquement fait varier ce paramètre. Le débit reste identique et la fréquence est fixée à 30 Hz. En plus du protocole habituel, nous avons ajouté un voltmètre en dérivation sur l'amplificateur, afin de mesurer l’amplitude de tension. Toutes les mesures de la distance de crête sont faites avec le logiciel GeoGebra. Afin d’avoir la distance de crête d, qui correspond sur la photo à gauche à JI, on “coupe” la sinusoïde en deux comme pour obtenir l’axe des abscisses. On calcule ensuite la distance de crête notée d avec un produit en croix. La sinusoïde n'étant pas toujours parfaite, cela fut un peu compliqué de bien tracer la droite qui permet ensuite de mesurer d.

Voici les différentes valeurs sous forme d’un tableau:

distance de crête d en m

0,011 0,018 0,027 0,030

Δ(d) en m 0,003 0,003 0,003 0,003

U en V 4,06 6,06 8,06 10,16

Δ(U) en V 0,01 0,01 0,01 0,01 Tableau 5. Récapitulatif des valeurs lors de l’étude de l’influence de l’amplitude

Graphique 4. Distance de crête d en fonction de l’amplitude U.

On modélise la courbe de la distance de crête d en fonction de l’amplitude U. On trouve une droite passant par l'origine avec pour coefficient directeur

.3, ± 0, ) m.V( 0 6 × 10−3 −1 On peut en conclure que l’amplitude de la sinusoïde visualisée est proportionnelle à l’amplitude de vibration du haut-parleur. Malgré

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l’incertitude importante sur la mesure de la distance de crête d, ce comportement semble assez robuste et corrobore l’explication du phénomène présentée en III.2)b).

b) Forme de l’écoulement

L’augmentation du son, donc des mouvements du haut-parleur va par ailleurs influencer la forme de la courbe décrite par l’eau. L’amplitude joue en effet un rôle quant à l’obtention d’une sinusoïde lors de la réalisation de l'expérience. Figure 31. Forme de l’écoulement à faible amplitude Figure 32. Forme de l’écoulement à haute amplitude

● Si l’amplitude du son est basse, alors

nous obtenons une sinusoïde parfaite et cela nous permet d’étudier le phénomène (cf Fig 31).

● Mais si l’amplitude du son est trop haute, alors le haut-parleur sature et il n’y aura donc plus de mouvement sinusoïdal. La courbe décrite par l’eau, qui est corrélée au mouvement du haut-parleur ne sera donc plus sinusoïdale non plus (cf Fig 32)

Boursouflure : Nous avons remarqué la présence de boursouflures au niveau des positions extrêmes de l’onde. Ces boursouflures peuvent s’expliquer par le fait que le tuyau a un mouvement de haut en bas sinusoïdal, donc sa vitesse de déplacement est la plus faible lorsqu’il est en haut ou en bas, car le tuyau s’arrête pour “rebrousser chemin”. De plus, la vitesse du tuyau est la plus haute lorsqu’il passe par la position médiane : le tuyau reste donc plus longtemps près des positions hautes et basses que près des positions centrales, et le tuyau a donc le temps d’envoyer plus d’eau, ce qui fait que nos écoulements sont plus fins vers le milieu et “boursouflés” sur les crêtes et creux de l’onde.

Figure 33. Observation du phénomène de boursouflure

Conclusion Notre enquête est arrivée à son terme: après de nombreuses heures d’expériences et de recherche, nous avons pu comprendre l’apparition d’un écoulement sinusoïdal lorsqu’un tuyau est mis en vibration et éclairé par un stroboscope. De nombreuses rencontres nous ont permis de surmonter les multiples obstacles. De plus, nous avons eu l’opportunité de partager et d’exposer notre travail au grand public, dans le village des sciences de l’IUT Lyon 1, lors la Fête de

la Science du 11 au 13 octobre 2018. Cette opportunité nous été offerte grâce à l’atelier Arts & Sciences du lycée Saint-Exupéry. Ces deux années furent très enrichissantes, autant humainement au sein de notre binôme et avec diverses rencontres, que scientifiquement. Nous avons le sentiment d’avoir approfondi notre sujet. Toutefois, nous pourrions envisager de poursuivre notre travail : d’un point de vue scientifique, nous pourrions par exemple améliorer l’installation, avec la mise en place d’un système de pompe afin de faire remonter l’eau au tuyau pour réduire le gaspillage d’eau et travailler sur la reproductibilité de l’hélice. D’un point de vue créatif, nous aimerions amener une dimension artistique à notre projet, comme par exemple faire en sorte que l’apparition d’une hélice soit possible avec un instrument de musique et plus seulement avec une tension périodique générée par un GBF.

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Bibliographie STANFORD Nigel, CYMATICS: Science vs Music, Solar Echoes, 2009 https://www.youtube.com/watch?v=Q3oItpVa9fs https://en.wikipedia.org/wiki/Kinematic_wave https://en.wikipedia.org/wiki/Shallow_water_equations http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/delices/cinema/stroboscope.htm https://owl-ge.ch/IMG/pdf/frottement.pdf

Remerciements Ce projet n’aurait pas été possible sans l’aide indispensable de nos deux professeures de Physique-Chimie : Mme Arette-Hourquet et Mme Gostiaux. Nous remercions particulièrement Mme Arette-Hourquet pour sa présence et son aide précieuse durant tout notre travail. De plus, l’aide de Simon Dagois-Bohy, chercheur à Lyon 1, nous a été précieuse pour la compréhension du phénomène et nous tenons à l’en remercier. Nous tenons à remercier également le chercheur Luc Petit, qui nous a permis d’avancer dans la bonne direction. Nous remercions Mme Bernard, professeur de physique-chimie au lycée Saint-Exupéry, pour avoir relu et corrigé notre mémoire, ainsi que M.Nadeau. Nous remercions M. Madec et M. Baduel qui nous ont suivies pour notre TPE, et enfin Mme Lacombe et Mme Auger qui nous ont aidées sur la partie artistique de notre TPE. Nous remercions aussi Mme Foucault et Mme Colin les techniciennes de laboratoire de notre lycée. Enfin, nous tenons à remercier les organisateurs des Olympiades de Physique France qui nous ont permis de vivre cette expérience enrichissante que nous n’oublierons jamais.

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