Classi�cations formelle et analytique des feuilletages noeud-col.

Mémoire de Master 1

Gaëtan DELERS et Vincent NOLOT

12 juin 2009

1

Table des matières

1 Introduction - présentation 3

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Généralités mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Cadre de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Classi�cation formelle 5

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.1 Dé�nitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Présentation de la démarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Théorème de classi�cation formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Lemmes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Démonstration du théorème 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Classi�cation analytique 10

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.1 Dé�nitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.2 Présentation de la démarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1.3 Recollement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Théorème de classi�cation analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2 Explications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.3 Détails pour k = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Conclusion 17

2

1 Introduction - présentation

1.1 Introduction

! Au cours de notre mémoire, nous étudions des germes de champs de vecteurs holomorphes

Z(x; y) = A(x; y)@

@x+B(x; y)

@

@y

On se place ensuite sur un voisinage de l'origine et on suppose que sur ce voisinage le champ Z ne possèdequ'une singularité : (0; 0). Nous regardons maintenant la partie linéaire de Z qui s'écrit

Z1(x; y) = (ax+ by)@

@x+ (cx+ dy)

@

@y

=

�a @@x b @

@x

c @@y d @

@y

� �xy

�

et notons les valeurs propres de la matrice associée �1; �2 (classées par ordre croissant de module).

! Z admet une singularité réduite en (0; 0) si �2 6= 0 et si

� :=�1�2

2 C nQ?+

On parlera de

1. singularité hyperbolique si � =2 R.

2. noeud si � 2 R+ nQ.

3. selle résonnante si � 2 Q?+.

4. selle irrationnelle si � 2 R� nQ.

5. noeud-col si � = 0.

! Notre travail porte sur les singularités de type noeud-col. Nous introduirons la notion de feuilletage(induit par un champ de vecteurs).

! Plus précisément, nous nous intéressons à la classi�cation de ces feuilletages. Après avoir rappelédes notions mathématiques qui nous seront utiles pour le développement, nous reprenons en détails laclassi�cation formelle (traitée par Dulac, Martinet, Ramis), puis expliquons le principe de la classi�cationanalytique qui repose sur les invariants de Martinet-Ramis.

! Nous �nissons notre étude par traiter un cas particulier (k = 2) et un exemple x2 @@x + y @

@y .

3

1.2 Généralités mathématiques

Dé�nition 1 Un champ de vecteurs est une fonction qui associe un vecteur à chaque point d'un espace

euclidien ou plus généralement d'une variété di�érentielle.

Ex : L'eau d'un cours d'eau. La donnée de sa température en chaque point forme un champ de

scalaires, celle de sa vitesse en chaque point, un champ de vecteurs.

Dé�nition 2 Un champ de vecteurs a une singularité de type noeud-col si en ce point :

1. Il s'annule.

2. Sa partie linéaire possède exactement une valeur propre non nulle.

Remarque : On ne travaillera qu'au voisinage de (0; 0), ainsi la singularité d'un champs de vecteursque l'on étudiera sera systématiquement en (0; 0).

Dé�nition 3 On note C[[x; y]] l'ensemble des séries formelles en (0; 0) sur C. On dit que U 2 C[[x; y]]est une unité formelle si son terme constant n'est pas nul.

1.3 Cadre de travail

! Nous travaillerons tout au long de l'article sur un champ de vecteurs Z ayant une singularité isoléeen (0; 0)

Z(x; y) = A(x; y)@

@x+B(x; y)

@

@y

où A;B 2 C[[x; y]] sont des germes de fonctions holomorphes en (0; 0) (origine du plan complexe).

Notations :

1. On pourra écrire

Z(x; y) =�A(x; y) B(x; y)

�0@@@x

@@y

1A =

�A(x; y)B(x; y)

�=

�Z � xZ � y

�:

2. Si F 2 C[[x; y]] alors on note Z � F la dérivée de F par rapport au champs Z. Dans notre cas celas'écrit

Z � F = DF (Z) = A@F

@x+B

@F

@y

! Dans le cas où la singularité est de type noeud-col, il faudra remarquer qu'en redressant lesséparatrices (dé�nies plus loin) du champ, sur les axes de coordonnées, et en divisant par une unité, Zs'écrira :

Z = xk+1@

@x+ (y + : : : )

@

@y

où " : : : " représentent des termes d'ordre supérieur strict à 1

4

2 Classi�cation formelle

2.1 Introduction

2.1.1 Dé�nitions et notations

Dé�nition 4 Deux champs de vecteurs Z et K sont formellement conjugués s'il existe un changement

de variables = (x;y) où x;y 2 C[[x; y]] et tel que

?Z := D�1�Z(x;y)

�= K

avec D la di�érentielle de .

Dé�nition 5 Si Z et K sont deux champs de vecteurs tels que ?Z = UK où U est une unité formelle,

alors on dit que Z et K sont formellement équivalents.

Dé�nition 6 Pour t 2 C, on dé�nit le �ot �tZ d'un champs de vecteur Z , par

�tZ(x; y) =

0@ etZ � x

etZ � y

1A =

�etZ � Id

�(x; y)

Remarque : Le �ot est une série formelle en (x; y) dont les coe�cients sont des fonctions entières det. Lorsqu'on remplace t par une série formelle F (x; y) on obtient un changement de variable formel, quel'on appelle di�éomorphisme tangentiel.

! Les di�éomorphismes tangentiels sont caractérisés par le fait que ce sont des symétries du feuilletageF , et qui �xent (au moins sur des secteurs) chaque feuille F .

Notations : Si G 2 C[[x; y]], on écrira pour le �ot considéré ci-dessus :

G � �tZ = etZ �G =Xn�0

tn

n!Z �n G

où Z �0 G = G et Z �n+1 G = Z � (Z �n G).

2.1.2 Présentation de la démarche

! Citons le résultat de Poincaré-Dulac : tout champ de vecteurs ayant une singularité de typenoeud-col en (0; 0) est formellement équivalent à un seul des modèles formels

Xk;� = xk+1@

@x+ y(1 + �xk)

@

@y

Autrement dit pour un tel champ de vecteurs Z, il existe une unité formelle U telle que

Z = UXk;�

5

C'est un résultat que nous admettons. Ecrit sous cette forme, on dit que Z est sous forme normale

formelle.

! Nous allons le préciser en démontrant qu'en fait Z est formellement conjugué à PXk;� où P (0) = �avec � la valeur propre non nulle de la partie linéaire de Z.

2.2 Théorème de classi�cation formelle

2.2.1 Enoncé

Théorème 1

1) Si Z est un champ de vecteurs de type noeud-col, alors il existe un unique couple (k; �) 2 N? � C et

un polynôme P 2 Ck[x] véri�ant P (0) = � et tels que Z soit formellement conjugué à ZP où :

ZP (x; y) = P (x)�xk+1

@

@x+ y(1 + �xk)

@

@y

�

2) Deux champs ZP et ZQ (avec les notations ci-dessus) sont formellement conjugués si et seulement si

il existe � une racine kieme de l'unité véri�ant P (x) = Q(�x).

2.2.2 Lemmes utiles

Remarque : Nous supposerons que Z est déjà sous la forme Z = UXk;� où U est une unité formelle.

Lemme 1 Soient Z = UXk;� et une série formelle G =P

gm;nxmyn 2 C[[x; y]]. Alors l'équation

homologique Z �F = G admet F une série formelle comme solution si et seulement si gm;0 = 0 pour tout

m � k. De plus, si F existe, elle est unique à l'addition d'un scalaire près.

Démonstration

! Si Z = UXk;� alors on a Z � F = G , Xk;�:F = U�1G. De plus U�1Gcontient des termes non nuls en 1; x; : : : ; xk , G contient des termes non nulsen 1; x; : : : ; xk.On en déduit qu'il su�t de s'intéresser directement au cas où Z = Xk;� i.e oùU = 1.! Intéressons nous donc à l'équation homologique

Xk;� � F = G (1)

On cherche F 2 C[[x; y]] une série formelle qui s'écrit F =P

fm;nxmyn. De même

pour G =P

gm;nxmyn. On peut alors identi�er les termes en yn de l'équation

(1). Nous obtenons ainsi :

(1),X

m;n�0

gm;nxmyn =

Xn�0;m�1

mfm;nxm+kyn +

Xn�1;m�0

(1 + �xk)fm;nnxmyn

6

Et

1. Pour n = 0 : en réécrivant l'égalité ci-dessus nous obtenons

Xm�0

gm;0xm = xk

Xm�1

mfm;0xm + 0

Cela signi�e que, si (1) admet une solution F 2 C[[x; y]] alors G ne peutposséder de termes en xm pour tout m � k.Et si G ne possède aucun termes en xm pour m � k, alors on peut trouverpour m > 0 , fm;0 =

1

mgm+k;0.On remarque cependant qu'il n'y a aucune restriction sur la constante f0;0.

2. Pour n > 0 : en réécrivant l'égalité ci-dessus nous obtenons

Xm�0

gm;nxm =

Xm�1

mfm;nxm+k +

Xm�0

(1 + �xk)fm;nnxm

=Xm�0

�mxk + n(1 + �xk)

�fm;nx

m

Cela signi�e que, si (1) admet une solution F 2 C[[x; y]] alors pour m � kon a gm;n = nfm;n i.e gm;0 = 0 pour tout m � k.Et si G ne possède aucun termes en xm pour m � k, alors on détermine Fainsi :

fm;n =1

n(1 + �xk) +mxkgm;n

Remarque : Comme nous l'avons signalé dans la démonstration, il est important de remarquer que lasérie formelle F solution est entièrement déterminée sauf son terme constant f0;0, ce qui justi�e l'unicitéà l'addition d'un scalaire près.

Lemme 2 Soient Z un champ de vecteurs singulier en (0; 0) (général) et F 2 C[[x; y]] une série formelle.

Alors = �FZ est un changement de variables formel tangent à l'identité véri�ant

?Z =1

1 + Z � FZ

Démonstration

Posons �g(x; y; t) = �tZ(x; y)�(x; y) = (x; y; F (x; y))

! D'après la dernière remarque, est un changement de variables formel. Parconséquent, par , Z est équivalent avec lui-même, autrement dit ?Z = WZoù W 2 C[[x; y]] une unité formelle.

7

! On sait que

?Z = D�1(Z �)

= (Z �) ��1

Donc l'équation devientZ � = WZ �

Nous avons (x; y) = g � �(x; y). Et

Z � = D(Z)

= Dg � �(Z)

= Dg(�(Z)) �D�(Z)

= Dg(�(Z))

0@24 Z � xZ � yZ � F

351A

=�24 Z � x

Z � yZ � F

35 � �tZ

�� �

=�Z � x

@�tZ@x

+ Z � y@�tZ@y

+ Z � F@�tZ@t

�� �

=�Z � �tZ + (Z � F )(

@�tZ@t

)�� �

Or le �ot véri�e @@t�

tZ(x; y) = (Z � �tZ)(x; y) = Z � �tZ(x; y). Par conséquent

Z � =�Z � �tZ + (Z � F )(Z � �tZ)

�� �

= (1 + Z � F )(Z � g) � �

= (1 + Z � F )Z �

Finalement, Z = (1 + Z � F )Z � ��1 = (1 + Z � F )?Z

2.2.3 Démonstration du théorème 1

Démonstration

1) Nous allons déterminer un changement de variables formel qui conjugue Zà ZP = PXk;�.

8

Intéressons nous aux changements de variables du lemme 2. On a :

Z = ?ZP =1

1 + ZP � FZP

, UXk;� =1

1 + PXk;� � FPXk;�

, U =1

1 + PXk;� � FP

, PXk;� � F =P

U� 1

Ainsi, déterminer un changement de variables qui nous intéresse revient à trouverune solution formelle F à l'équation homologique

PXk;� � F =P

U� 1 (2)

Par le lemme 1, (2) admet une unique solution formelle grâce au choix de F (0; 0),on la note F0. On peut alors véri�er que �F0ZP est un changement de variables for-mels qui convient. C'est-à-dire que ZP et Z sont formellement conjugués.

2) Nous considérons un changement de variables formel conjuguant ZP etZQ. Alors M. Berthier, D. Cerveau et R. Meziani ont montré que les équiva-lences formelles entre le champs Xk;� et lui-même, tangentes à l'identité en xsont de la forme = �FXk;�

où F 2 C[[x; y]].Nous avons alors

?Xk;� =1

1 +Xk;� � FXk;� =

Q

P �Xk;�

Et comme U = 1 le lemme 1 nous indique que si F est solution de l'équationhomologique

Q

P �Xk;� � F =

P �

Q� 1

alors P�Q � 1 ne contient pas de termes en xj pour tout j � k. Mais Q(0) 6= 0

donc cela revient à dire que P � et Q sont tengents en x à l'ordre k. On endéduit que la première coordonnée de est tangente à l'idendité en x à l'ordrek c'est-à-dire P = Q.Rappelons que �k = 1. On a de plus � : (x; y) 7�! (�x; y) conjugue clairementZP�� et ZP . Et alors P = Q � � d'où P (x) = Q(�x).

9

3 Classi�cation analytique

3.1 Introduction

3.1.1 Dé�nitions et notations

Dé�nition 7 Deux champs de vecteurs Z et K sont analytiquement conjugués s'il existe un changement

de variables analytique = (x;y) tel que

?Z := D�1�Z(x;y)

�= K

avec D la di�érentielle de .

Dé�nition 8 Un feuilletage � sur C2 est la donnée d'un champs de vecteur Z dont les composantes sont

holomorphes sur C2.

� Les zéros communs de A et B sont les points singuliers du feuilletage et on note cet ensemble

sing(�) = f(x; y) 2 C2;Z(x; y) = (0; 0)g.� Le feuilletage holomorphe singulier induit par Z sur un voisinage V de (0; 0) sera noté FZ .

� Cette partition de V nf(0; 0)g en courbes holomorphes constitue l'ensemble des courbes intégrales de

Z restreintes à V , que l'on appellera feuilles du feuilletage.

� Une feuille qui peut se prolonger analytiquement en l'origine est appelée séparatrice.

Remarque :

1. Si Z est un noeud-col, Z possède une seule séparatrice correspondant à �2 6= 0, tandis que celleassociée à 0 n'a génériquement, qu'une existence formelle.

2. La grosse di�érence entre un feuilletage et un champs de vecteur réside dans le fait que ce der-nier possède un facteur supplémentaire : le temps. Notons que deux champs de vecteurs di�érentspeuvent représenter le même feuilletage :Deux champs de vecteurs induisent le même feuilletage si et seulement si, ils ne di�èrent que parmultiplication d'une unité.

Dé�nition 9 Deux champs Z et K sont analytiquement équivalents s'il existe une série convergente Utelle que Z est analytiquement conjugué à UK. Cela dé�nit en réalité l'équivalence orbitale entre deuxfeuilletages (ceux induits par Z et K). On notera alors

Z v K

! Remarquons qu'une feuille possède les propriétés suivantes :

1. Une feuille ne contient pas de singularité.

2. Une feuille est une variété complexe connexe par arcs.

3. Une feuille est contenue dans un ouvert.

10

! Nous nous placerons sur un voisinage V de (0; 0) et on supposera sing(Z) = f(0; 0)g. Nous avonsbesoin pour la suite, de dé�nir et de se familiariser avec des secteurs �brés.

Dé�nition 10 1. On appelle secteur �bré de rayon r > 0, d'ouverture 0 < � � 2� et de direction �l'ouvert

V (r; �; �) :=n(x; y) : jyj < r; 0 < jxj < r; j arg(x)� �j <

�

2

o

2. Pour r > 0 et 0 < � < �2, et en faisant varier j 2 Z=k, on dé�nit les 2k secteurs canoniques

associés à Z par

V cnj = V

�r; (4j � 1)

�

2k;�

k+

2�

k

�

V ncj = V

�r; (4j + 1)

�

2k;�

k+

2�

k

�

3. Pour k > 1 et j 2 Z=k, on dé�nit le jieme secteur noeud par

V nj := V cn

j \ V ncj

et le jieme secteur col parV cj := V nc

j \ V cnj+1

Remarque : On notera par la suite V ]j où ] représente soit le symbole nc (noeud-col) soit le symbole

cn (col-noeud).

Dé�nition 11 Pour une feuilletage F , on dé�nit l'espace des feuilles de F au-dessus de V ]j

]j := H0

�V ]j

�

où H0 est l'intégrale première de Xk;� sur les secteurs V ]j .

Remarque : On sait que H0 = yx�ex�k=k.

Lemme 3 Pour r su�samment petit, on a les assertions suivantes :

1. j = ]j = n

j = C

2. cj = MD où M > 0 dépend de r; �; k; �

Dé�nition 12 Pour un feuilletage F on dé�nit son module de Martinet-Ramis par

m(F) := ('cj ; 'nj )j 2 (Diff(C; 0)�Aff(C))k

où �('cj)

0(0) = exp(2i��=k)

('nj )0(0) = 1

(3)

Remarque : Nous appellerons 'cj ; 'nj , les invariants de Martinet-Ramis. Il s'agit en fait des applications

de recollement entre les secteurs �brés, comme nous le détaillerons plus tard.

11

3.1.2 Présentation de la démarche

! Nous nous intéressons maintenant à la classi�cation analytique de ce type de champs de vecteurs,c'est-à-dire lorsque les changements de variables convergent sur des secteurs particuliers.

H. Dulac a montré que le champs Z qui nous intéresse depuis le début, est analytiquement équivalent

au champ suivant

XR = Xk;� + xk+1R(x; y)@

@y

= xk+1@

@x+ (y(1 + �xk) + xk+1R(x; y))

@

@y

avec R une fonction holomorphe sur un voisinage V de l'origine.Remarque :� Ecrit dans ces coordonnées analytiques, on dit que Z est sous forme pré-normale analytique.� Le problème est que cette forme n'est pas unique !

! Enonçons le théorème de M.Hukuhara, T.Kimura, T.Matuda qui résoud le problème de classi�-cation orbitale analytique sectorielle.

Théorème 2 Soit Z un champ de vecteurs de type noeud-col sous forme pré-normale analytique. Pour

tout �; r > 0 su�samment petits, les champs Z et Xk;� sont analytiquement équivalents sur chaque V ]j .

Cette équivalence se prolonge continument sur la séparatrice.

3.1.3 Recollement analytique

! Soit Z un champ de vecteurs considéré comme précédemment. La section précédente et le théorèmeM.Hukuhara, T.Kimura, T.Matuda montrent que l'on peut conjuguer analytiquement Z à Xk;� sur les

secteurs �brés V ]j . Il se pose alors un problème de �conjugaison globale�.

! Il paraît donc naturel de pouvoir recoller les feuilletages modèles (induits par Xk;�) dans lesintersections V n

j et V cj . Cela signi�e que tout champ de vecteurs peut se conjuguer sectoriellement au

même modèle. La classi�cation analytique s'e�ectue donc au niveau des di�érences de recollement, ce quicorrespond aux ']j .

3.2 Théorème de classi�cation analytique

3.2.1 Enoncé

Notations : Fk;� = FXk;�le feuilletage induit par Xk;�.

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Théorème 3 Soient F et ~F deux feuilletages formelles conjugués à Fk;�. Etant donnés les modules de

F et ~F , on a

1. F v ~F si et seulement si

(9a 2 C?; � 2 Z=k; 8j 2 Z=k)

�'cj+�(az) = a ~'cj(z)

'nj+�(az) = a ~'nj (z)

2. Pour tout ('cj ; 'nj )j � Diff(C; 0)�Aff(C) satisfaisant aux conditions (3), il existe un feuilletage

F tel que m(F) = ('cj ; 'nj )j.

3. Si � est un paramètre de Cn et � 7�! F� est une famille analytique dont tous les éléments sont

conjugués à Fk;�, Alors on peut choisir m(F�) de sorte que � 7�! m(F�) soit analytique.

! Ce théorème détermine la classi�cation analytique de deux feuilletages à singularité de typenoeud-col.

3.2.2 Explications

! Après recollement, il apparaît que la seule �di�érence� dans la conjugaison des feuilletages F et~F avec Fk;� est déterminée par les invariants de Martinet-Ramis.

! La partie 1) du théorème signi�e que deux feuilletages sont équivalents analytiquement si etseulement si leurs invariants de Martinet-Ramis sont globalement les mêmes.

! La partie 2) signi�e qu'à toute famille dans (Diff(C; 0)�Aff(C)), on peut associer un feuilletagepour lequel cette famille constitue les invariants de Martinet-Ramis. Autrement dit, un feuilletage estentièrement déterminé par son module.

! La partie 3) signi�e en�n qu'à chaque feuilletage formellement conjugués à Fk;� d'une familleanalytique, on peut associer un module de sorte que la famille des modules soit analytique.

3.2.3 Détails pour k = 2

! Nous choisissons de détailler la méthode de recollement pour le cas k = 2. Ce cas présentel'avantage d'être facilement représenté géométriquement puisqu'il met en jeu 2 � k = 4 applications derecollements 'j .

! Sans perte de généralité, nous regardons un exemple de champs de vecteurs où k = 2.

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Fig. 1 : Ce schéma représente le champ de vecteurs Z(x; y) = x2 @@x + y @

@y dans le repère(Re(x); Im(x); jyj).

Fig. 1' : Ce schéma représente le même champ de vecteurs que ci-dessus vu dans un autre repère.

! Les schémas de recollement sont globalement identiques quelque soit le champ de vecteurs consi-déré. Pour mieux se représenter le découpage des secteurs, on projette le champ de vecteur Z sur fy = 0g.

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Fig. 2 : Ce schéma représente la structure sectorielle d'un noeud-col pour k = 2 (les secteurs angulairessont vus en projection sur fy = 0g alors que les parties col et noeud à gauche essayent de donner

l'allure du feuilletage dans R3 = fRe(x); Im(x); Re(y)g). Lorsque l'on tourne dans le sens direct, unsecteur nc possède d'abord une partie noeud puis une partie col, et c'est l'inverse dans une partie cn.

! A�n d'e�ectuer le recollement, nous nous plaçons dans l'espace des feuilles ]j au-dessus de chaque

secteur V ]j . Nous voyons ainsi apparaître les invariants de Martinet-Ramis ']j .

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Fig. 3 : Ce schéma représente les invariants de Martinet-Ramis comme recollements des espaces desfeuilles (k = 2). Le domaine plus clair autour de 0 représente l'espace des feuilles !cj au-dessus d'un col.

! Finalement, une fois le recollement e�ectué, nous avons déterminé les applications ']j . Ainsi lechamp de vecteurs considéré rentre dans une certaine classe d'équivalence : si X est un autre champ devecteurs dont ses applications de recollement sont ~']j et véri�e

(9a 2 C?; � 2 f0; 1g;8j 2 f0; 1g)

�'cj+�(az) = a ~'cj(z)

'nj+�(az) = a ~'nj (z)

Alors on en déduira qu'il appartient lui aussi à cette classe. Autrement dit d'après le théorème que Z etX sont analytiquement équivalents.

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4 Conclusion

! Au cours de notre étude, il est apparu que la classi�cation formelle se traite plus facilement quela classi�cation analytique. De plus, nous nous sommes restreints aux feuilletages, alors qu'il existe desthéorèmes semblables s'appliquant aux champs de vecteurs. Ces théorèmes nécessitent par conséquentun paramètre supplémentaire, le temps ; ce qui rend l'étude plus complexe. La classi�cation analytiquese base sur un travail de recollement de secteurs et nous l'avons illustré dans le cas k = 2. En e�et, celanous a permis de bien comprendre le principe et les autres cas se traitent de façon identique.

! Comme nous l'avons présenté dans l'introduction, il existe di�érents types de singularités. Cessingularités sont très importantes car leurs propriétés vont déterminer celles de n'importe quelle singula-rité. Nous avons traité briévement le cas noeud-col et nous savons aujourd'hui que pour les singularitésréduites, seul le cas d'une selle irrationnelle non linéarisable n'est pas traité. Si cela était résolu, on dis-poserait alors d'un outil géométrique d'analyse des problèmes de classi�cation des champs de vecteurs.

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Références

[1] Teyssier L. Equations homologiques et cycles asymptotiques d'une singularité noeud-col, Pre-PrintI.R.M.A. de l'université de Lille 1, 2001.

[2] Teyssier L. Equation homologique et classi�cation analytique des germes de champs de vecteurs

holomorphes de type noeud-col, IRM de Rennes, 2003.

[3] Martinet J., Ramis J-P. Problèmes de modules pour des équations di�érentielles non linéaires du

premier ordre, IHES, 1982.

[4] Loray F. Pseudo-Groupe d'une singularité de feuilletage holomorphe en dimension deux, 2005.

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