Cluzel Géométrie Dans l'Espace 2

7/25/2019 Cluzel Gomtrie Dans l'Espace 2

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21. - PERSPECTIVE CAVALIRE

En dessin perspectif industriel, on cherche donner une reprsentation plane d'un objet (ou d'unefigure de l'espace) qui permette de se rendre compte, premire vue, de l'aspect gnral de cet

objet.

A cet effet, on utilise gnralement la projection cylindrique. Dans cette leon nous tudierons laperspective cavalire, qui est une application de la projection cylindrique oblique.Nous tudierons plus loin (23e leon) la projection axonomtrique, qui est une application de laprojection cylindrique orthogonale.

1. Dfinition.

La perspective cavalire d'une figure est sa projection cylindrique oblique sur un plan P, que

l'on suppose gnralement vertical (plan du tableau).

(La direction oblique des projetantes est quelconque.)

La perspective cavalire d'un objet est donc la figure plane qui reprsente cet objet lorsqu'il est vupar une personne trs loigne du plan du tableau.

Fig. 1. -- Plan P de projection (plan de tableau). L'objet est ici un paralllpipde rectangle.

Plans de front ABCD et EFGH (parallles au plan du tableau). Droites de front AB, BC, ..., FG, GH(parallles au plan du tableau).Plans de bout ABEF, BCGH ... (perpendiculaires au plan du tableau). Droites de bout AE, BF, CG,

DH (perpendiculaires au plan du tableau).

Exemple. La figure 1 reprsente un paralllpipde rectangle ABCDEFGH (les 6 faces sont des

Gomtrie 2e, Cluzel Scannle 18/08/2010 par Isabelle Voltaire pour Reconstruire l'cole 1/64


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rectangles) tel que le rectangle ABCD (donc EFGH) soit de front, (c'est--dire parallle au plan dutableau ; les artes AE, BF, CG, DH sont de bout, c'est--dire perpendiculaires au plan du tableau.La figure plane abc... est la perspective cavalire de ce paralllpipde.

Une droite est dite de front (frontale) quand elle est parallle au plan du tableau.

Un plan est dit de front (plan frontal) quand il est parallle au plan du tableau. Dfinition analoguepour une figure plane frontale.

Une droite est dite de bout quand elle est perpendiculaire au plan du tableau.

Un plan est dit de bout quand il est perpendiculaire au plan du tableau. Un plan est dit de profil

quand il est vertical et de bout. Dfinition analogue pour une figure plane de profil.

2. Justification des tracs.

Rappelons les proprits de la projection cylindrique qui justifient les principaux tracs utiliss entechnique graphique.

1La perspective cavalire d'un segment AB, defront, est un segment ab gal AB. Sur la figure1 : ab = AB, bc = BC, ..

La perspective cavalire d'une figure plane defront est une figure qui lui est gale ; ainsi (fig.1), le rectangle de front ABCD se projette suivant

le rectangle gal abcd. Mais, il n'en est pas demme pour une autre face d'un objet, lorsquecette face n'est pas de front.

La perspective cavalire d'une horizontale defront est une horizontale : si BC est horizontale et

de front, sa perspective est une horizontale bc du

plan P.

2La perspective cavalire de deux droitesparallles se compose de deux droitesparallles.En particulier, les perspectives de droites de

bout D, D', ... sont des droites parallles d, d', ...appeles fuyantes (fig. 1 et 2).L'angle aigu d'inclinaison des fuyantes avecles horizontales du plan du tableau dpend de ladirection des projetantes.En dessin technique,on prend gnralement =45, parfois 30, ou 60.

3La perspective cavalire d'un segment de droite AB de bout est un segment ab de fuyante.

Le rapport de rduction (ou d'amplification) est r = ab/AB =AC/AB = tg


fuyante

horizontale

fuyante

horizontale

A D

B D'

P

a

b

fuyante

A B

P

a

C


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est l'angle aigu formpar une projetante et une droite de bout.Ce rapport de rduction r ne dpend donc pas du segment AB perpendiculaire au plan P, mais de ladirection des projetantes.En dessin technique, on donne gnralement r la valeur 5/10 ; on peut galement utiliser: 0,4, 0,6,0,7, 0,8, 0,9, 1.

4Le rapport de deux segments parallles est gal celui de leurs perspectives cavalires : deuxsegments parallles AB et A'B' ont pour perspectives deux segments parallles ab et a'b', et l'on a :

AB/A'B' = ab/a'b'

3. Exemples.

La construction de la perspective cavalire d'une figure donne exige la connaissance :1de l'angle des fuyantes et des horizontales du plan du tableau,2du rapport de rduction r.

Exemple I : perspective cavalire d'un rectangle ABCD : Si ce rectangle est de front, sa perspectivecavalire est au rectangle abcd qui lui est gal (mme figure que ABCD).Exemple II : perspective cavalire d'un triangle ABC. Si ce triangle est de front, sa perspectivecavalire est un triangle abc qui lui est gal (mme figure que ABC).

= 45 ; r = 0,6.Perspective cavalire d'un rectangle ABCDhorizontal, AB tant parallle au plan dutableau.

= 60 ; r = 0,8.Perspective cavalire d'un triangle ABChorizontal, AB tant parallle au plan dutableau.

= 30 ; r = 0,5.Perspective cavalire d'un rectangle ABCD deprofil, perpendiculaire au plan du tableau,

ab = AB 0,5. = 45 ; r = 0,5.Perspective cavalire d'un triangle ABC deprofil, AB tant perpendiculaire au plan dutableau.



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Pour construire la perspective cavalire d'une telle arte, ilsuffit d'en connatre deux points.Dans la figure suivante, il s'agit de la perspective cavalired'une pyramide rgulire de sommet S et dont la base est

un carrABCD (SA = SB = SC = SD) ;le carrABCD est de front et AB est horizontal; le sommetS est plus loigndu plan du tableau que le carr.Si I est le centre du carr, la droite IS est donc de bout :elle se projette suivant une fuyante is telle que:

is = IS r;le point s tant dtermin, il suffit de joindre sa, sb, sc, sd.On suppose AB = 30 mm et IS = 50 rnm;

la perspective est dessine ici avec = 60, r = 0,5.

Exemple III. - La plupart des objets,

quelles que soient leurs positions par

rapport au plan du tableau, ont

presque toujours des artes qui ne

sont, ni de front, ni de bout.

Exemple IV. - Perspective cavalired'une cale entaille (fig. 11).(Les cotes marques sont celles de lacale.)

EXERCICES

366. - Dessiner la perspective cavalire d'un carrhorizontal ABCD (AB = 40 mm) dans chacun descas suivants :

1le ctAB est de front.2la diagonale AC est de front. (On prendra = 60, r = 0,6)

367.- Dessiner la perspective cavalire d'un carrde profil ABCD (AB = 50 mm) dans chacun descas suivants :

1le ctAB est de bout;2la diagonale AC est de bout.(On prendra = 45, r = 0,5)

368.- Dessiner la perspective cavalire d'un triangle quilatral ABC (AB = 52 mm) dans chacundes cas suivants :



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1le triangle ABC est horizontal et AB est de front ;2le triangle ABC est de profil et AB est de bout.(On prendra = 30, r = 0,8.)

369. - Dessiner la perspective cavalire d'un hexagone rgulier ABCDEF (AB = 30 mm) dans

chacun des cas suivants :1l'hexagone est horizontal et AB est de front ;2l'hexagone est de profil et AB est de bout ;3l'hexagone est de profil et la diagonale AC est de bout.(On prendra = 30et r = 0,6.)

370. - Dessiner la perspective cavalire d'un paralllpipde rectangle ABCDEFGH (AB = 32 mm,AD = 20 mm, AE = 28 mm). Le rectangle ABCD est de front, AB fait un angle de 30avecle planhorizontal.

(On prendra = 45et r = 0,7.

371. - Un vde traage, vu de face (lvation) ala forme indique par la figure ci-contre ;l'paisseur du vest 40 mm. En supposant que1a face dessine est de front et que la base du vest horizontale, dessiner la perspective cavalirede cette pice.On prendra = 45et r = 0,7.

372. - On considre la pyramide de l'exemple III. Le carrde base ABCD est de profil, AB estvertical. (AB = 30 mm, IS = 50 mm.) Dessiner la perspective cavalire de cette pyramide . chelle3/2, = 45et r = 0,6.

373. - Un hexagone rgulier ABCDEF est horizontal, le ctAB = 25 mm est de front.

Cet hexagone est la base d'un prisme rgulier de hauteur 65 mm. Dessiner la perspective cavalirede ce prisme (chelle 1, =60, r = 0,5).

374. - Un octogone rgulier ABCDEFGH est inclin45sur le plan horizontal. Le ctAB = 20mm est de bout. Dessiner la perspective cavalire :1de cet octogone rgulier ; 2de la pyramide rgulire de hauteur 60 mm ayant pour base cetoctogone. (Echelle 1, = 60, r = 0,6.)



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375. - Dessiner la perspective cavalire d'unerainure en treprsente par le croquis ci-contre. Lalongueur de la pice est 120 mm ; la base esthorizontale (chelle 2/3, =30, r = 0,6).



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22. - PROJECTIONS ORTHOGONALES SUR UN PLAN

PROJECTION D'UN ANGLE DROIT

Dans cette leon, il n'est question que de la projection cylindrique orthogonale.

1. Dfinition.Soit P le plan de projection et Z (perpendiculaire P) la direction des projetantes. Soit m laprojection cylindrique orthogonale de M sur le plan P : la projetante Mm, tant parallle Z, estperpendiculaire au plan P ; donc :

la projection orthogonale d'un point sur le plan

P est le pied de la perpendiculaire mene de ce

point sur le plan P

(Dans le langage courant, on sous-entend le mot

"orthogonal". Par la suite, quand on parlera de laprojection d'un point ou d'une figure sur un plan, il

s'agira, sauf avis contraire, de la projection

orthogonale).

La projection orthogonale d'une figure (F)

sur un plan P est la figure forme parl'ensemble des projections de tous les

points de la figure (F) : c'est le lieu des

projections orthogonales de tous les points

de la figure (F).

Toutes les proprits noncesprcdemment (20e leon, 2) restentvalables. Ainsi :

1une droite D, non perpendiculaire au

plan P, se projette suivant une droite d ;

mais le plan projetant D (plan contenant D

et Aa) est ici perpendiculaire au plan P ;

2deux droites parallles D et D' se projettent suivant deux droites parallles d et d';il y a

exception si le plan (D, D') est perpendiculaire P (auquel cas d et d' sont confondues), ou si D etD' sont perpendiculaires au plan P (auquel cas la projection de chacune d'elles est un point).

2. Projection orthogonale d'un angle quelconque sur un plan.

Soit un angle quelconque MN qui se projette sur le plan P suivant l'angle mn.Si le plan MAN est parallle au plan P, on a: mn = MN (rciproque non exacte en gnral : cf. le 3 suivant relatif la projection de l'angle droit).

Si le plan MAN n'est pas parallle au plan, mn n'est pas gal, en gnral, MN ; en particulier, si


mA a

P

MZ

Projetante de M

A

a

B

C

c

D

d

E

e

B

b

C

ombr

e

ombr

eP

ombr

e

ombr

eP

D

dO

A

a m

M


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le plan MAN est perpendiculaire au plan P, l'angle mn est ou nul, ou plat.

3. Projection orthogonale d'un angle droit sur un plan.

Si un angle droit MN est situdans un plan parallle au plan P de projection, il se projette sur leplan P suivant un angle droit mn. Mais un angle droit MAN peut, comme le montre le thormesuivant, se projeter sur le plan P suivant un angle droit, sans que 1e plan MAN soit parallle au plan

P.

Thorme.

Si un angle droit a l'un de ses cts, au moins, parallle au plan P ou contenu dans P (l'autre

ctn'tant pas perpendiculaire au plan P), il se projette sur P suivant un angle droit.

La droite am, qui est parallle AM, est donc aussiperpendiculaire au plan R, et par suite la droite ande ce plan.

L'angle mn est donc droit.

Il en rsulte que, si un rectangle a l'un de ses ctsparallles un plan P (le plan de ce rectangle n'tantpas perpendiculaire P), il se projette sur P suivantun rectangle.

4. Remarque.

Dans l'noncprcdent, il est dit :1que l'angle projetest droit ;2que l'un de ses cts, au moins, est parallle au plan de projection, ou contenu dans ce plan ;3que la projection de l'angle est un angle droit.Le thorme prcdent montre que les hypothses 1 et 2 entranent la conclusion 3.Plus gnralement, deux quelconques d'entre ces donnes entranent la troisime :1et 3entranent 2,2et 3entranent 1,ce sont deux rciproques du thorme 3.Nous dmontrons au 5 la premire de ces rciproques. Pour la seconde, voir exercice n385.


a

MN

A

m nP

a

M

N

nm

A

a

M

m

A

N

n

aM

N

A

mn

P


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5. Thorme.

Si un angle droit se projette orthogonalement sur un plan suivant un angle droit, l'un de ses

cts au moins est parallle au plan (ou contenu dans ce plan).

Supposons, par exemple, que AN ne soit pas parallle P, donc sa projection an : nous allons

tablir que AM est parallle P (ou contenue dans P).Le didre (R, Aa, Q) est droit (car son rectiligne, mn, est droit par hypothse).Par suite an est perpendiculaire au plan Q projetant AM, donc AM,

et am est perpendiculaire au plan R projetant AN.

La droite AM est perpendiculaire au plan R (car elle est perpendiculaire aux droites scantes an etAN).

Les droites AM et am, perpendiculaires au plan R, sont donc parallles (ou confondues). C'est direque la droite AM est parallle P (ou contenue dans P).

6. Consquence. Une condition ncessaire et suffisante pour qu'un angle droit se projette

orthogonalement sur un plan suivant un angle droit est que l'un de ses cts au moins soit

parallle au plan (ou contenu dans ce plan).

Cela rsulte des deux thormes prcdents : condition ncessaire thorme 5, condition suffisantethorme3.

Remarquons que si l'un des cts de l'angle que l'on projette est dans le plan de projection, on

retrouve l'noncdu thorme des trois perpendiculaires (14e leon, 5), ou l'une de sesrciproques.Enfin, les rsultats prcdents subsistent si, au lieu d'un angle droit, on considre deux droitesorthogonales de l'espace.

EXERCICES

376. - Dmontrer que si les projections d'une ligne L sur deux plans scants sont des droites,

cette ligne L est, en gnral, une droite. Cas d'exception.

377. - Soit G le point de concours des mdianes d'un triangle ABC. On projette les points A, B, C,G en A', B', C', G' sur un plan P. Dmontrer que G' est le point de concours des mdianes dutriangle A'B'C'.

378. - 1On donne deux droites D et E non parallles. Comment faut-il choisir un plan P pour queles projections de D et de E sur P soient parallles ?2On donne un quadrilatre gauche ABCD. Comment faut-il choisir un plan P pour que la

projection de ce quadrilatre sur le plan P soit un paralllogramme ? Le problme est-il possible si



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ABCD est un quadrilatre plan ?

379. - Dmontrer le thorme du 3 en tablissant que mn= am+ an(utiliser le thorme dePythagore).

380. - On donne un carrABCD de cta. Par AB, on mne un plan P tel que le rectiligne du didredes plans P et ABCD soit 60. Quelle est la nature de la projection du carrsur le plan P ? Quelleest l'aire de cette projection ?

Application numrique : a = 5 cm.

381. - Deux droites D et E sont telles que leurs projections sur chacun de deux plans scants soientparallles. Dmontrer que D et E sont, en gnral, parallles. Cas d'exception.

382. - Deux plans P et Q se coupent suivant une droite X. La droite D tant perpendiculaire au plan

Q, dmontrer que la projection de D sur P est perpendiculaire X.

383. - On donne deux plans P et Q scants suivant une droite X. Un point O se projette en O' et O"sur P et Q. Dmontrer que les projections de O' et O" sur X concident. Rciproque.

384. - Dmontrer que si trois points d'une droite D sont galement distants d'une droite E,les droites D et E sont parallles.

385. - Si un angle dont un ctest parallle un plan P (ou contenu dans P) se projette sur ce plansuivant un angle droit, cet angle est lui-mme droit (cf. 4).

386. - Prouver que si un plan R coupe deux plans perpendiculaires P et Q suivant un angle droit

AOB, l'une au moins des droites OA et OB est perpendiculaire l'intersection des plans P et Q.

387. - Les cts d'un angle droit xAy coupent un plan P en M et N. Soit a la projection de A sur leplan P.

1Dmontrer que MN> aM+ aN, et en dduire que l'angle projetMN est obtus.2Utiliser le rsultat prcdent pour tablir le thorme 5.

388. - Un angle MAN, dont un seul des cts est parallle au plan P de projection, se projette sur Psuivant mn.1Montrer que si MN est aigu, on a mn < MN (d'omn est aigu).2Montrer que si MN est obtus, on a mn > MN (d'omn est obtus).

389. - Un triangle ABC a ses trois angles aigus.

1Montrer que l'on peut toujours trouver un plan P passant par B et C tel que l'angle BC seprojette sur P suivant un angle droit.



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2En dduire que, par deux droites concourantes, on peut faire passer respectivement deux plansperpendiculaires.

3Etant donndeux droites de l'espace, montrer que l'on peut toujours trouver un plan de projectionsur lequel les deux droites donnes se projettent suivant deux droites perpendiculaires.



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23. - PERSPECTIVES AXONOMTRIQUES

Nous avons tudi, 21e leon, la perspective cavalire, qui est une application de la projectioncylindrique oblique. Dans cette leon, nous tudierons diverses perspectives orthogonales d'un objet: on projette orthogonalement cet objet sur un plan de projection, ou tableau, en ayant soin de

dfinir pralablement la position de l'objet par rapport au tableau, de manire obtenir un dessin quirende clairement compte de la forme de l'objet.

1. Dfinition.

Lorsque l'on projette orthogonalement un objet sur un plan P, les droites perpendiculaires P seprojettent selon des points, les plans perpendiculaires P se projettent selon des droites (fig. 1).Cesdispositions sont donc nuisibles la clartdu dessin. D'ola ncessitde placer l'objet dans uneposition particulire par rapport au plan P du tableau (fig. 2).

Comparez ces deux projections d'un mme objet (cube) : la projection (fig. 2) rend mieux comptede la forme de l'objet que la projection (fig. 1).

Pour caractriser la position de l'objet par rapport au plan P du tableau, il est clair qu'il suffit deprciser la position, par rapport au plan P, d'un tridre lil'objet considr.

Gnralement, on choisit un tridre trirectangle dont les artes sont des droites remarquables del'objet reprsenter : si l'on connat la projection de ce tridre sur le plan P, on peut construire laprojection de l'objet considr.Les diverses projections orthogonales d'un tridre trirectangle conduisent donc divers types deperspectives orthogonales : chaque type est une perspective axonomtrique.

D'ola dfinition : la perspective axonomtrique d'un objet, ou d'une figure, est sa projection

orthogonale sur un plan P,

que l'on suppose gnralement vertical (plan du tableau), lorsque l'on a prciscomment se projetaitsur ce plan un tridre trirectangle de rfrence.



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Projection d'un tridre trirectangle sur un plan coupant ses trois artes.

Soit Sxyz le tridre trirectangle qui dfinit, par rapport au plan P du tableau, la position de l'objet projeter (fig. 3).

La projection de ce tridre est dtermine si l'on se fixe les trois angles a, b, c que forment les artesavec le plan P. Mais, comme ces angles sont souvent difficiles faire apparatre sur l'objet, on

considre les trois angles , , , que font entre elles les projections des artes.

1Relations entre les angles , , , et a, b, c.

Dsignons par A, B, C les points d'intersection respectifsdes artes Sx, Sy, Sz avec le plan P de projection et par H laprojection orthogonale du sommet S sur le plan P.

Rappelons deux proprits du tridre trirectangle (Exercice349) : le point H est l'orthocentre du triangle ABC ; le

triangle ABC a tous ses angles aigus.

D'oil rsulte que le point H est l'intrieur du triangleABC et que, par suite :

+ + = 360.

Prolongeons AH jusqu'son intersection A' avec le ctBC(fig. 4); le triangle ASA' est rectangle en S et SH est la

hauteur issue de A.Dans le triangle rectangle SHA' :

HA' = SH. tg a

et, dans le triangle rectangle SHB

SH = HB.tg b ou HB = SH/tg b

Donc HA'/HB = tga. tgb.

Mais, dans le triangle rectangle BA'H

HA'/HB = cos BHA' = - cos

(car BHA' est le supplment de ).

D'o, en comparant les deux valeurs de HA'/HBcos = - tg a tg b (1)

Par permutation circulaire :

cos = - tg c tg a (2)

et cos = tg b tg c (3)Inversement,les relations prcdentes permettent de calculer les angles a, b, c connaissant , , .En effet, multiplions membre membre les galits (1) et (2) :

cos . cos = tga. tg b. tg csoit, compte tenu de la relation (3) :

cos . cos = - tga. cos



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ou (4)

et les formules analogues (5) et (6) par permutation circulaire.

2Rapports de rduction.

Par dfinition, ce sont les quotients des longueurs des projections des artes par les longueurs desartes correspondantes. En les dsignant par r1, r2, et r3 :

r1 = HA/SA ; r2 = HB/SB ; r3 = HC/SC

ou r1 = cos a ; r2 = cos b ; r3 = cos c

Calculons ces rapports en fonction des angles , , :

D'o:

De mme

3. Diffrents types de perspectives axonom

triques.

On obtiendra un type de perspective axonomtrique en choisissant trois valeurs des angles , , ,valeurs qui, rappelons-le, sont assujetties la seule condition :

+ + = 360.

Pour excuter facilement les tracs, on choisira gnralement des angles remarquables (120, 135,150... ). De plus ces angles seront disposs de manire que les artes verticales de l'objet reprsenter soient figures par des droites verticales.Nous n'tudierons ici que les trois types les plus usuels : la perspective isomtrique, la perspective

dimtrique et la perspective trimtrique.

1Perspective isomtrique.

Les trois artes du tridre de rfrence sont galement inclines sur le tableau. L'galitdes anglesa, b, c, entrane celle des angles , , .D'o

= = = 120.

Dans cette perspective, les surfaces planes de l'objet respectivement parallles aux trois faces dutridre de rfrence sont traites avec la mme importance.Les rapports de rduction rl, r2, et r3, sont gaux et leur valeur commune r est donne par la relation

:


r1 =cos

cos cos cos

cos a =

1

=1 + tg a

cos

cos cos cos

r2 = r3 =cos cos

cos cos cos cos cos cos

tg a =- cos . cos

cos


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avec cos = cos =cos = - 0,5

D'or 0,82.

Ce qui revient dire que tout segment parallle l'une quelconque des artes du tridre de rfrenceest rduit dans le rapport 0,82 (d'ola justification du mot isomtrique).

Les figures 5 et 6 reprsentent en perspective isomtrique un cube et un vde traage.

2Perspective dimtrique.

Deux des artes du tridre de rfrence sont galement inclines sur le tableau.Si, par exemple, les angles b et c sont gaux, on a = . Le choix du troisime angle dpend del'importance que l'on veut donner la projection de la face qui lui correspond.

Dans la perspective dimtrique, dite redresse, on prend = 150.

D'o = = 105.

Par suite, les surfaces planes parallles la face SBC du tridre ont moins d'importance enprojection que celles qui sont parallles aux deux autres faces du tridre.Les rapports de rduction sont respectivement :Sur SA :

0,96Sur SB et SC :

0,73 (rapports gaux, d'ole nom de dimtrique)

Les figures 7 et 8 reprsentent en perspective dimtrique un cube et un vde traage.


r =cos

cos cos cos

r1 =cos 15

cos 150 cos1 5

r2 = r3 =cos

cos1 5 cos 1 5cos15


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392. - Reprsenter en perspective dimtrique une pyramide ayant pour base un carrde 40 mm dectet dont le sommet, qui se projette orthogonalement sur la base au centre de celle-ci, en estdistant de 50 mm.

393. - En appliquant au triangle HAB (fig. 3) le thorme relatif au carrdu ctopposun angle,tablir la relation :

cos = tga tgb



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24. - APPLICATIONS DES PROJECTIONS ORTHOGONALES

1. ANGLE D'UNE DROITE ET D'UN PLAN

1. tude des angles forms par une droite et les diffrentes droites d'un plan P.

Nous distinguerons trois cas suivant que est oblique, parallle ou perpendiculaire au plan P.

1La droite est oblique au plan P.

Soit O le point ola droite perce le plan P ; il suffitde comparer les angles que fait la droite avec toutesles droites du plan P issues de O.

Par le point O, menons une droite quelconque D du

plan P (fig. 1). Soit a la projection orthogonale, sur P,d'un point A de : la droite Oa est la projectionorthogonale de sur P.Dsignons par l'angle aigu que fait avec saprojection sur P et par l'angle aigu des droites

et D. Comparons et . Pour cela, sur la droite D, portons Ob tel que Ob = Oa.Ab tant oblique au plan P,

Aa < Ab.

Les triangles OAa et OAb ont deux cts respectivement gaux : OA commun, Oa = Ob, par

construction.Puisque Aa < Ab, on en dduit que Aa < Ab (Classe de 4e).

Donc : le plus petit des angles que fait une droite oblique un plan avec les droites de ce plan,

est l'angle aigu qu'elle fait avec sa projection orthogonale sur le plan.

2La droite est parallle au plan P (ou contenue dans P).

Le rsultat prcdent reste valable car l'angle que fait avec sa projection sur P est nul ; il est

donc infrieur tout autre angle qu'elle forme avec une droite quelconque du plan P.

3La droite est perpendiculaire au plan P.

Le rsultat prcdent ne s'applique pas ici : l'angle de avec toute droite du plan P est gal undroit.

2. Angle d'une droite et d'un plan. Dfinition.

L'angle d'une droite et d'un plan P est le plus petit angle que fait avec les diverses droites

du plan P.

De l'tude prcdente, il rsulte que :

Si est oblique au plan P, l'angle de et de P est l'angle aigu que fait avec sa projection


ombr

e

ombr

eP

ombr

e

ombre

P

O

A

a

Db


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orthogonale sur P.

Si est parallle au plan P (ou contenue dans P), l'angle de et de P est nul.Si est perpendiculaire au plan P, l'angle de et de P est gal un droit.

3. Remarques.

1L'angle d'une droite avec un plan P est gal l'angle de avec tout plan parallle P.2Si deux droites sont parallles, elles font le mme angle avec un plan donn.3Dans le triangle rectangle AOa (fig. 1), les angles Aa et Oa sont complmentaires ; d'ol'noncsuivant qui convient d'ailleurs tous les cas :

l'angle d'une droite et d'un plan est le complment de l'angle aigu que forme cette droite avec

une perpendiculaire au plan.

4Si une droite fait un angle avec un plan P, un segment AB portpar se projetteorthogonalement sur P suivant ab (fig. 2) tel que : ab = AB cos .

4. Pente d'une droite par rapport un plan. Dfinition.

La pente d'une droite par rapport un plan est la tangente trigonomtrique de l'angle de la droite etdu plan.

Ainsi, la pente de la droite par rapport au plan P est p = tga = aA/Oa

Si la droite est parallle au plan P, sa pente est nulle (rciproque exacte).Si la droite est perpendiculaire au plan P, sa pente est infinie (rciproque exacte).Si deux droites et ' sont parallles, elles ont mme pente par rapport au plan P (rciproqueinexacte en gnral).

Cette dfinition correspond la notion ordinaire de pente d'une droite (ou de l'axe d'une routerectiligne), le plan P tant alors horizontal.Dire que la pente d'une route est 6 %, c'est dire que si Oa = 100 m, on a Aa = 6 m. On monte (ou

l'on descend) de 6 m pour un dplacement horizontal de 100 m.1

II. LIGNES DE PLUS GRANDE PENTE D'UN PLAN

PAR RAPPORT A UN AUTRE PLAN

5. tude des angles que forment les droites d'un plan Q avec un autre plan P.Nous distinguerons trois cas suivant que P et Q sont scants, mais non perpendiculaires ; P et Q sontperpendiculaires ; P et Q sont parallles.

1P et Q scants et non perpendiculaires.

1 Note de la prsente ditrice : Ce n'est pas tout fait exact : comme il est difficile sur le terrain de connatredirectement la distance horizontale, on la remplace par la distance parcourue sur le plan inclin, donc on prend lesinus de l'angle et non sa tangente ; pour des angles petits, la diffrence entre la tangente et le sinus est trs faible.



20/64

Deux droites parallles du plan Q formant le mme angle avec le plan P, il suffit de considrer lesdroites du plan Q menes par un de ses points, soit A.Dsignons par D l'intersection des plans P et Q, par AH la perpendiculaire D, par AM une droitequelconque du plan Q rencontrant D en M (fig. 3).

Soit a la projection de A sur le plan P. D'aprs le thorme des trois perpendiculaires, aH est

perpendiculaire sur D. Donc : aH < aM.

Prenons le point N sur le prolongement de aH tel

que aN = aM.

Les triangles rectangles AaN et AaM sont gaux. Parsuite AMa = ANa.

L'angle AHa est un angle extrieur au triangle ANH.Donc :

AHa = ANa + NAH

AHa > ANa

ou AHa > AMa

ou > .

Ainsi : de toutes les droites du plan Q menes par A, celle qui fait le plus grand angle avec le

plan P est la perpendiculaire leur intersection.

2P et Q sont perpendiculaires.

La droite mene par A perpendiculairement l'intersection des plans P et Q, est perpendiculaire au

plan P. Toute autre droite mene par A dans le plan Q fait un angle aigu avec le plan P. Le rsultatprcdent reste donc valable.

3P et Q sont parallles.

Toutes les droites du plan Q font un angle nul avec le plan P.

6. Lignes de plus grande pente d'un plan par rapport un autre plan.

La pente de la droite AH par rapport au plan P est:

tg = aA/aH

La pente de la droite AM est : tg =aA/aMOr, aH < aM.

Par suite tg > tg .

D'ola dfinition : une ligne de plus grande pente d'un plan Q par rapport un plan P scant,

est une droite du plan Q perpendiculaire l'intersection des deux plans.

Cette dfinition s'applique galement au cas des plans perpendiculaires.L'expression lignes de pente peut tre utilise pour lignes de plus grande pente.

7. Angle de deux plans.


A

a

HN

M

P

Q


21/64

Nous avons donn, 16e leon, la dfinition de l'angle de deux plans scants. Il est aisde montrer

que l'angle de deux plans scants est gal l'angle que fait une ligne de pente de l'un des plans

avec l'autre.

Par convention, l'angle de deux plans parallles est nul.

8. Pente d'un plan par rapport un autre plan. Dfinition.

La pente d'un plan par rapport un autre plan est la tangente trigonomtrique de l'angle de

ces deux plans.

Si les plans sont parallles, = 0, la pente de l'un des plans par rapport l'autre est nulle

(rciproque exacte).Si les plans sont perpendiculaires, = 90, la pente de l'un des plans par rapport l'autre est infinie

(rciproque exacte).Lorsque deux plans sont parallles, ils font le mme angle avec un troisime plan ; ils ont donc lamme pente par rapport ce plan (rciproque inexacte).

EXERCICES

394. - Dmontrer que l'angle de deux plans est gal l'angle aigu de deux droites qui leur sontrespectivement perpendiculaires.

395. - Dans la figure 1 ( 1), soit l'angle ab ; dmontrer que cos = cos . cos . Examiner

ensuite le cas ol'angle D tend vers 90.

396. - Soit A un point extrieur un plan P. Dsigner par D une droite variable passant par A etfaisant un angle donn avec P. Quel est le lieu du point d'intersection du plan P et des droites D ?

397. - Une oblique un plan P le coupe en O. Mener par O, dans le plan P, une droite faisant avecl'oblique un angle donn.

398. - Dmontrer que la somme des angles que fait une droite avec deux plans perpendiculaires est

au plus gale un angle droit.

399. - Un triangle quilatral se projette sur un plan P passant par un de ses cts suivant un trianglerectangle. Dmontrer que ce triangle rectangle est isocle. Calculer l'angle du plan P et du plan dutriangle quilatral.

400. - Mme exercice que le prcdent en supposant que le triangle quilatral se projette sur Psuivant un triangle isocle dont un angle mesure 120.

401. - Soient P et Q deux plans scants ; dsigner par O un point de leur intersection.



22/64

1M tant un point de l'espace, montrer que si la droite OM fait des angles gaux avec P et Q, Mest quidistant de ces plans. Rciproque.2Lieu des droites issues d'un point A fixe et faisant des angles gaux avec les plans P et Q ?3Construire les droites passant par A et formant des angles gaux avec trois plans donns.

402. - On donne une droite D et un plan P. Mener un plan Q, passant par D, connaissant l'angle desplans P et Q.

403. - On donne deux plans scants P et Q, un point O dans le plan P. Mener par O, dans le plan P,une droite faisant un angle donnavec le plan Q.

404. - On donne un cercle (O, R) d'un plan P, et un point A sur ce cercle. Par A, on mne unsegment AB = 2 R qui se projette sur P suivant la tangente en A au cercle, et qui fait un angle de

60avec le plan. Soit X l'axe du cercle (c'est--dire la perpendiculaire en O au plan P). Calculer :

1la distance de B X ;2l'angle des plans (X, A) et (X, B).

405. - On donne un point O d'un plan P, un point A extrieur ce plan tel que OA = a et OA fait unangle de 60avec le plan P. Dans P on mne la demi-droite Ox qui fait un angle de 45avec laprojection de OA. Calculer la distance du point A Ox. Application numrique : a = 4 cm.

406. - On donne deux droites orthogonales X, Y, et leur perpendiculaire commune OI = d (O sur X,

I sur Y). Sur X, de part et d'autre de O, on marque les points A et B tels que

OA = a et OB = b.

1Soit H la projection de B sur le plan (A, Y). Dmontrer que les points A, I, H sont aligns.Calculer, en fonction de a, les longueurs AI, AH, HI pour b = 2a et d = a3.2On joint le point A un point variable M de Y. Trouver le lieu de la projection de B sur la droiteAM.

3A chaque point M de Y correspond un point N de Y tel que les droites AM et BN soientorthogonales :

a) construire gomtriquement le point N ;b) dmontrer que les droites AN et BM sont aussi orthogonales.4Le point M se dplaant sur Y, prouver que le produit des mesures algbriques IM. IN resteconstant; calculer ce produit, en fonction de a, pour b = 2 a et d = a 3.



23/64

25. - GOMTRIE DESCRIPTIVE

PURE D'UN POINT

Pour pouvoir reprsenter sur un plan, par exemple celui d'une feuille de papier, un ensemble depoints et de droites n'appartenant pas un mme plan, il est indispensable de faire un certainnombre de conventions.

Nous allons donner ici quelques notions relatives un systme de conventions, dit gomtriedescriptive deux plans de projection, dont le crateur est Gaspard Monge, gomtre franais(1746-1818).

Ces notions seront compltes dans le Cours de Premire.

1. Repre cartsien orthonorm(gomtrie dans l'espace).

Nous allons le dfinir de la mme manire qu'un repre cartsien orthonormdans le plan (Algbre,Cl. de Seconde).Soit un tridre trirectangle Oxyz (fig. 1). Considrons les axes x'x, y'y et z'z et prenons sur ces axes,d'origine commune O, des vecteurs unitaires de mme module : nous obtenons un repre cartsien

orthonorm.

1tant donnun point quelconque M de l'espace, dsignons par :m, sa projection orthogonale sur le plan xOy,

R, sa projection orthogonale sur l'axe Oz,

puis par

P, la projection orthogonale de m sur l'axe x'x.


M

m

PQ

R

x

y

z

O

x'y'

z'

Plan frontal

de

projection

Planhorizontal

de

projection

m1

m2


24/64

Q, la projection orthogonale de m sur l'axe y'y.

Par dfinition, les coordonnes de M sont en valeurs algbriques :x = OP est l'abscisse de M

y = OQ est l'ordonne de Mz = OR est la cote de M.

2Rciproquement, donnons-nous trois nombres rels x, y et z.Au couple (x, y) correspond un point m, unique du plan xOy.

Au nombre z correspond un point R, unique, de l'axe z'z.

Le plan menpar R, paralllement au plan xOy, coupe la droite mene par m, paralllement l'axez'z, en un point M, bien dtermin.

Conclusion. L'espace tant rapportun repre cartsien orthonorm:

lA tout point de l'espace, on peut associer un triplet unique de nombres rels x, y, z : ce sont

les coordonnes du point considr.

2Rciproquement, tout triplet (x, y, z) de nombres rels correspond un point et un seul

ayant x pour abscisse, y pour ordonne et z pour cote.

2. Plans de projection.

Considrons un point M, de coordonnes (x, y, z) dans un repre orthonorm.Soit m la projection de M sur le plan xOy et m1 la projection de M sur le plan yOz.

Les coordonnes de m dans le repre xOy sont x et y, et celles de m1, dans le repre yOz sont y et z.

Par dfinition, le plan xOy s'appelle plan horizontal de projection,le plan yOz s'appelle le planfrontal de projection ; la droite y'y d'intersection de ces deux plans est la ligne de terre.

Remarquons que si, dans les dessins, le plan xOy parat physiquement horizontal (ce qui faitparatre vertical le plan yOz), cette disposition n'a aucun caractre obligatoire : il est seulementncessaire que ces deux plans soient perpendiculaires.

Remarques.

1Les deux plans de projection H et F partagentl'espace en 4 didres. Chacun d'eux est un

ensemble de points que l'on dsigneconventionnellement comme suit :

premier didre : x > 0 et z > 0deuxime didre : x < 0 et z < 0troisime didre : x < 0 et z < 0quatrime didre : x > 0 et z < 0.

2loignement et cote d'un point.

L'abscisse x d'un point M porte galement le nom d'loignement.


H

F

premier

deuxime

quatrime

x

x'

O

troisime


25/64

Tout point d'loignement nul appartient au plan frontal de projection ; tout point de cote nulleappartient an plan horizontal de projection.

3. Convention fondamentale de la gomtrie descriptive.

Les deux plans de projection se reprsentent sur la mme feuille de papier en faisant la convention

suivante :

les repres xOy et yOz sont tels que le demi-axe positif Oz concide avec le demi-axe ngatif Ox'.

4. pure d'un point.

1Tout point de l'espace tant caractrispar les trois nombres x, y, z :la donne (x, y) dtermine dans le repre xOy le point m ; la donne (y, z) dtermine dans le repreyOz le point m'.

Les points m et m' sont situs sur une mme perpendiculaire la ligne de terre.2Inversement, la donne de deux points m et m', situs sur une mme perpendiculaire la ligne deterre dtermine les trois nombres x, y, z, donc le point M de l'espace.

On appelle pure d'un point l'ensemble de deux points (distincts ou confondus) situs sur une

mme perpendiculaire la ligne de terre.

Cette perpendiculaire est une ligne de rappel. Le point m s'appelle la projection horizontale du

point M de l'espace, le point m' s'appelle sa projection verticale.

(m, minuscule correspondant M, m', mme minuscule accentue).

5. Exemples d'pures de points.

La figure 6 reprsente les pures de divers points.


1

Ligne de terre

x

z

y' yO 1


26/64

A est situsur la ligne de terre.B est situdans le premier didre.C et D sont situs dans le plan horizontal deprojection.

E est situdans le troisime didre.

F est situdans le deuxime didre.G est situdans le quatrime didre.H et K sont situs dans le plan frontal deprojection.

6. Points appartenant aux plans bissecteurs des didres.

On dsigne par premier bissecteur le plan bissecteur des premier et troisime didres et pardeuxime bissecteur celui des deuxime et quatrime didres.lPremier bissecteur : c'est l'ensemble des points dont l'loignement x et la cote z sont gaux.Par suite, les projections d'un point de ce plan sont, sur l'pure, symtriques par rapport la ligne deterre (fig. 7).

2Deuxime bissecteur : c'est l'ensemble des points dont l'loignement x et la cote z sont opposs.Par suite, les projections d'un point de ce plan sont, sur l'pure, confondues (points M et N de lafigure).

EXERCICES

Sur une feuille de papier (format 21 x 29,7), prendre pour ligne de terre y'y le petit axe de la feuille

et pour axes Ox et Oz son grand axe. L'unitde longueur tant le centimtre, construire les puresdes points ci-dessous.

407. A (x = 4, y = -2, z = 5) ; B (x = 2, y = 0, z = - 6) ; C (x = 0, y = 5, z = 7) ; D (x = 6, y= 4, z = 0).

408. A (0, 0, 5) ; B (7, 0, 0) ; C (0, -6, 0). Ces points sont-ils situs dans des plans remarquables ?Lesquels ?

409. A (5, -3, 5) ; B (-6, 2, -6) ; C (3, 4, 3) ; K (5, 1, 5).

Ces points sont-ils situs dans des plans remarquables ? Lesquels ?


a

a'

b

b'

c

c'

d

d'

e

e'

f

f'

g

g'

h'

h k

k'

mm'

nn'


27/64

26. - GOMTRIE DESCRIPTIVEPURE D'UNE DROITE

1. pure d'une droite.

La projection orthogonale d'une droite sur un plan est, sauf dans le cas ocette droite estperpendiculaire au plan, une droite (20e leon); les deux projections d'une droite sur les plans deprojection sont donc, en gnral, des droites.Par suite, l'pure d'une droite est, en gnral, l'ensemble de deux droites distinctes.Puisque deux points distincts dterminent une droite, et une seule, l'pure d'une droite peut tretrace quand on connat l'pure de deux de ses points.

Exemple : pure de la droite ABdtermine par les pointsA(x = 5, y = - 4, z = 3)

et B(x = 6, y = 5, z = 5).La projection d'une droite D, sur le plan

horizontal de projection H, s'appelle la

projection horizontale d de la droite D.

De mme, la projection de D sur le planfrontal de projection F s'appelle la

projection frontale d' de la droite D.

2. Cas d'exception.

1L'une des projections de la droite n'est pas une droite. C'est le cas ola droite est

perpendiculaire un plan de projection : plan horizontal, ou plan frontal.

a) Droite perpendiculaire au plan horizontal de projection : une telle droite est dite verticale.

Son pure est donc constitue par un point e en projection horizontale et par une droite enprojection frontale (cette droite concide avec la ligne de rappel d'un point quelconque).Tout segment d'une verticale se projette frontalement en vraie grandeur.

b)Droite perpendiculaire au plan frontal de projection : une telle droite est dite de bout.

Cette dnomination indique qu'une telle droite est suppose vue par le bout, d'ol'criture debout en deux mots.Son pure est donc constitue par un point b' en projection frontale et par une droite en projectionhorizontale (cette droite concide avec la ligne de rappel du point b).Tout segment d'une droite de bout se projette horizontalement en vraie grandeur.

2Les deux projections de la droite sont confondues.

a) La droite donne est orthogonale la ligne de terre.

Une telle droite est dite de profil et ses deux projections sont confondues. Son pure est constitue

par une ligne de rappel ; mais la donne de cette ligne de rappel ne suffit pas dterminer la droite.


d

d'

a'

b'

a b

y' y

e'

e


28/64

Pour dterminer celle-ci (fig. 4), il faut connatre l'pure de deux de ses points, par exemple :A(x = 3, y = 2, z = 4) et B (x = 5, y = 2, z = 1)

Fig. 4. - pure de la droite de profil AB. ;Epure de la droite EF appartenant au deuxime bissecteur.

b) Puisqu'un point du second bissecteur a ses projections confondues, il en sera de mme d'unedroite contenue dans ce plan.

Exemple : la droite EF, dfinie par les pointsE (x = 2, y = -5, z = - 2) et F (x = -3, y = 1, z = 3).

3. Droites remarquables.

Certaines droites, en raison de la position particulire qu'elles occupent par rapport aux plans deprojection, sont doues de proprits remarquables.

1Droite horizontale : c'est une droite parallle au plan horizontal de projection.

Exemple : Droite passant par les points :

A (x = 3, y = - 4, z = 2) et B (x = 5,y = 3, z = 2).

a) Tous les points d'une horizontale ayant la mme cote, sa projection frontale est parallle la lignede terre.

b) Tout segment AB d'une horizontale se projette horizontalement en vraie grandeur (ab).

c) L'angle est la vraie grandeur de l'angle de l'horizontale AB avec le plan frontal de projection.

Epure de l'horizontale AB et de la frontale KN.

2Droite frontale : c'est une droite parallle au plan frontal de projection.


d'

a'

b'

a

b

gg'

ee'

ff'

y' y

d

a

a' b'

b

y' y

a

a' b'

b

y' y

y' y

k

k'

n'

y' y

n


29/64

Exemple : Droite passant par les points :

K (x = 3, y = - 3, z = 1) et N (x = 3, y = 5, z = 6).

a) Tous les points d'une frontale ayant le mme loignement, sa projection verticale est parallle laligne de terre.

b) Tout segment KN d'une frontale se projette frontalement en vraie grandeur (k'n').

c) L'angle de la projection frontale avec la ligne de terre est la vraie grandeur de l'angle de lafrontale KN avec le plan horizontal de projection.

4. Problmes relatifs la droite (l'pure de celle-ci tant connue)

1Construire l'pure d'un point d'une droite D connaissant la cote (ou l'loignement) de ce point.Soit construire, sur la droite (d, d'), le point M de cote c. Si M existe, sa projection frontale m' estl'intersection de d' et de la parallle x' la ligne de terre, la cote c.

Donc, si D est horizontale, le point m' est

indtermin, ou n'existe pas. Mais, si D n'est pashorizontale, le point m' est bien dtermin. Laprojection m s'obtient en traant la ligne de rappelde m'.

Solution analogue connaissant l'loignement dupoint M.

2Construire les traces d'une droite.

On appelle traces d'une droite ses

intersections avec les plans de

projection :

la trace horizontale est l'intersection avec le

plan horizontal ; la trace frontale est

l'intersection avec le plan frontal.

En remarquant que la trace horizontale (h,h') d'une droite est le point de cette droite dont la cote c

est nulle, on se ramne au problme ci-dessus.De mme, la trace frontale (f,f') d'une droite est le point de cette droite dont l'loignement est nul.

Remarques.

a) Les deux problmes prcdents, mais concernant des droites de profil, seront tudis en Classe depremire.b) Il est clair qu'une horizontale ne possde pas de trace horizontale et qu'une frontale ne possdepas de trace frontale.


d

d'

a'

b'

a

b

y' yf

f'

h'

h

d

d'

a'

b'

a b

y' y

c

m'

m


30/64

5. Reconnatre, sur une pure, quelle est la position relative de deux droites.

Dans l'espace (voir 10e leon), deux droites distinctes peuvent avoir un point commun (elles sontdites scantes) ou ne pas avoir de point commun. Dans ce dernier cas, elles peuvent tre dans unmme plan (droites parallles) ou ne pas tre dans le mme plan (droites quelconques). Il s'agit dedistinguer ces divers cas, les droites tant donnes par leurs pures.

(Le cas des droites de profil sera tudien Classe de premire).

1Droites scantes D. et E : leur point d'intersection I a une projection horizontale (resp. frontale)

commune aux projections horizontales (resp. frontales) des droites.

Rciproquement, si les projections de mme nom des deux droites se coupent sur une mme lignede rappel, ces droites sont scantes.Donc :

pour que deux droites (non de profil) soient scantes, il faut et il suffit que les projections de

mme nom se coupent sur la mme ligne de rappel.

2Droites parallles D et E. Remarquons d'abord que les droites verticales, ou les droites de bout,

ou les droites parallles la ligne de terre, sont parallles.Supposons D et E parallles, mais non perpendiculaires un plan de projection. Leurs projectionshorizontales sont parallles, ainsi que leurs projections frontales (deux projections de mme nom,

mais deux seulement, pouvant tre confondues).Rciproquement, si les projections de mme nom sont parallles, les droites de l'espace, qui sontsitues dans les plans projetant horizontalement et frontalement ces droites, sont parallles.Donc :

pour que deux droites (non de profil) soient parallles, il faut et il suffit que leurs projections

de mme nom soient parallles (ou ventuellement confondues pour deux projections de mme

nom).


d

d'

y

e'

e

i'

i

d

d'

y

e'

e


31/64

EXERCICES

410. - pure de la droite AB dans les cas suivants :A(x = 7, y = -3, z = 2) ; B(x = 2, y = 3, z = 5).

A(x = 1, y =-5, z = 4) ; B(x = 5, y= -7, z = 6).

A(x = 2, y = 4,z = 6) ; B(x = 4, y = -2, z = 5).

411. - pures des verticales passant par les points suivants :A(x = 2, y= -5, z = 3) ; B(x = 5, y = -2, z = 6).

412. - pures des droites de bout passant par les points suivants :C (x = 4, y = 0, z = 7) ; D (x = 2, y = 5, z = 6).

413. - pure de l'horizontale passant par les points A et B :

A (x = 7, y = 2, z = 3) ; B (x = 5,y = -3).

414. - pure de la frontale passant par les points A et B :A (4, -2, 5) ; B (y =-4, z = 2).

415. - pure de la droite de profil AB avec : A (5, 3, 2) et B (7, 3, 1)

416. - Construire, sur la droite AB, les points Q de cote 4 et S d'loignement 6, connaissant :A (2, - 7, 5) ; B (3, 5, 6).

417. - Mener, par le point C (2, 5, 6) la parallle la droite AB : A (4, 0, 5) et B (2, -3, 1).

418. - Construire les traces des droites AB et CD suivantes :

A (1, - 3, 4) et B (6, -3, 4) ;

C (6, 0, 1) et D (3, 3, 1).



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27. - GOMTRIE DESCRIPTIVE : PURE D'UN PLAN

1. pure d'un plan.

Comme on l'a vu (9e et 10e leons), un plan peut tre dtermin: par trois points non aligns, oupar deux droites scantes, ou par une droite et un point non situsur cette droite, ou par deux droitesparallles (chacun de ces cas se ramenant aisment aux trois autres).

Il en rsulte que :lorsqu'on se donne les pures de trois points A, B, C non aligns (fig. 1), on obtient l'pure du plan(ABC) ;

lorsqu'on se donne les pures de deux droites scantes D, et E, on obtient l'pure du plan (D, E) ;

lorsqu'on se donne les pures d'un point A et d'une droite D, ne passant pas par A on obtient l'puredu plan (A, D);

lorsqu'on se donne les pures de deux droites parallles D et E, on obtient l'pure du plan (D, E).


a'

b'

c'

a

b

c

y'

x

z

d'

y' y

x

z

i'

i d

e'

e

m

m'

d'

y' y

x

z

i'

i d

e'

e

m

m'

d'

y' y

x

z

d

e'

e

a'

d'

a

dy' y

x

z


33/64


34/64

concourantes, qui sont ici les intersections du plan avec les plans de projection).

4. Plans remarquables.

Certains plans, en raison de la position particulire qu'ils occupent par rapport aux plans deprojection, sont dous de proprits remarquables.

1Plan vertical : c'est un plan perpendiculaire au plan horizontal de projection.

a) Tous les points d'un plan vertical se projettent horizontalement sur cette trace, inversement, la

donne de cette droite dtermine le plan.Exemple : le plan ABC, voir ci-aprs gauche.b) Les frontales d'un plan vertical sont des verticales.

c) L'angle est la vraie grandeur de l'angle du plan vertical et du plan frontal de projection.

2Plan de bout : c'est un plan perpendiculaire au plan frontal de projection.

a) Tous les points d'un plan de bout se projettent frontalement sur cette trace ; inversement, la

donne de cette droite dtermine le plan.Exemple : le plan ABC ci-dessus droite.b) Les horizontales d'un plan de bout sont des droites de bout.

c) L'angle est la vraie grandeur de l'angle du plan de bout et du plan horizontal de projection.

3Plan frontal : c'est un plan parallle au plan frontal de projection.

Il est donc perpendiculaire au plan horizontal de projection : c'est un plan vertical particulier.

a) Un plan frontal est dfini par son loignement.b) En projection frontale, une figure trace dans un plan frontal est vue en vraie grandeur.c) Toutes les droites d'un plan frontal sont des frontales.

d) Un plan frontal n'a pas de trace frontale.

4Plan horizontal : c'est un plan parallle au plan horizontal de projection.

Il est donc perpendiculaire au plan frontal de projection : c'est un plan de bout particulier.

a) Un plan horizontal est dfini par sa cote.b) En projection horizontale, une figure trace dans un plan horizontal est vue en vraie grandeur.

c) Toutes les droites d'un plan horizontal sont des horizontales.


y' y

ab

c

c'

b'

a'

V

y' y

a

b

c

c'b'

a'

P


35/64

d) Un plan horizontal n'a pas de trace horizontale.

5Plan de profil : c'est un plan perpendiculaire la ligne de terre. L'pure d'un plan de profil

est donc une droite perpendiculaire la ligne de terre.

Les problmes relatifs aux plans de profil seront tudis en Classe de Premire.

EXERCICES

419. - pures des plans (ABC) et (DEF) dtermins par les donnes suivantes :A (2, - 1, 5) ; B (3, 4, 2) ; C (4, -2, 6)

D (3, - 4, 2) ; E (1, 0, 4) ; F (2, 5, 1).

420. - Un plan P est dterminpar les points A, B, C :A (3, - 4, 2) ; B (2, 1, 4) ; C (3, 0, 5).

1Un point M de ce plan se projette horizontalement en m (x = 5, y = 2). Construire m'.2Un point N de ce plan se projette frontalement en n' (y = -4, z = 3). Construire n.

421. - Le point M (2, -1, 4) appartient-il au plan dterminpar les points :A (3, - 4, 2) ; B (1, 0, 5) ; C (2, 3, 6) ?

422. - On donne le plan (P) dterminpar les points : A (2, -1, 4) ; B (1, 5, 3) ; C (4, 0, 5).Dterminer1le point d'intersection de ce plan et de la droite verticale se projetant au point de coordonnesx = 3, y = 4 ;

2le point d'intersection de ce plan et de la droite de bout se projetant au point de coordonnes :y = 2, z = 5.

423. - Dans le plan P dfini par les points : A (3, 5, 1) ; B (2, - 2, 4) ; C (3, 0, 7), tracer :1l'horizontale de cote 2 ;2la frontale d'loignement 5.Dterminer ensuite les deux traces du plan P.

424. - Les traces horizontale et frontale Pet Q' d'un plan sont telles que le point a pourordonne -5, les angles respectifs de ces traces avec la ligne de terre tant 30et 45.1pure de l'horizontale de ce plan de cote 5 ?2pure de la frontale de ce plan d'loignement 4 ?

425. - Construire l'pure du triangle quilatral situdans le plan frontal d'loignement 5, sachantque les coordonnes du centre de gravitsont y = 0, z = 3 et qu'un sommet du triangle a pour

coordonnes y = 1, z = 2.



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PROBLMES RELATIFS AU CHAPITRE III

426. - L'unitde longueur est le millimtre. On donne un triangle ABC :BC = 40 ; CA = 35 ; AB = 55.

Un point O, extrieur au plan ABC, est tel que : OA = 90 ; OB = 80 ; OC = 70.

1Aprs avoir dessinle triangle ABC, prciser et construire la projection O' de O sur ABC.2Calculer les longueurs O'A, O'B, O'C et la distance du point O au plan du triangle ABC.

427. - Quel est le lieu des droites X issues d'un point A et faisant des angles gaux avec deux droitesdonnes D et E ?

428.- Quel est le lieu des droites issues d'un point A et faisant des angles gaux avec deux plansdonns?

429.- On donne une droite D et un point A extrieur D. Quel est le lieu des droites X passant parA telles que la plus courte distance de D et de X soit donne ?

430. - Quel est le lieu des droites issues d'un point A sur lesquelles deux segments donns ont desprojections gales ?

431. - Soient G, H, I, trois droites non coplanaires deux deux et parallles un plan P.Dmontrer que toutes les droites X qui rencontrent G, H, I, sont parallles un mme plan (onpourra projeter sur un plan perpendiculaire H, par exemple).

432. - On donne un triangle ABC. Trouver le lieu des points M de l'espace tels que :

MA+ BC= MB+ CA= MC+ AB

433. - Soit OO' la perpendiculaire commune deux droites orthogonales K et L (O sur K, O' sur L).Un segment MN, de longueur constante a, se dplace de manire que M et N restent respectivementsur K et L.

1Dmontrer que la somme OM+ O'Nreste constante.2Dmontrer que la somme ON+ O'Mreste constante.3Quelle est le quadrilatre dont les sommets sont les milieux de ON, OO', O'M, MN ?4Lieu du milieu de MN ?

434. - Quel est le lieu des points dont le rapport des distances deux plans fixes est constant ? Onexaminera d'abord le cas oles deux plans donns sont parallles puis le cas oils sont scants (onpourra projeter sur un plan fixe perpendiculaire aux deux plans donns).

435. - On donne un didre (P, AB, Q), un point C de P et un point D de Q tels que C et D soient

quidistants de l'arte AB :



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1dmontrer que les points C et D sont quidistants des plans Q et P ;2dmontrer que la droite CD est galement incline sur les plans P et Q ;3rciproque du 2, puis du1.4dmontrer que la somme des distances d'un point variable M du segment CD aux plans P et Qreste constante.

436. - Soit D et E deux droites orthogonales, P le plan menpar E paralllement D. Trouver lelieu des points M du plan P dont la somme des carrs des distances aux deux droites D et E ait unevaleur donne k.

437. - 1Dmontrer que si un plan P coupe un didre droit suivant un angle droit, son intersectionavec l'une des faces est perpendiculaire l'arte du didre.2Dmontrer que si deux droites perpendiculaires sont situes dans deux plans perpendiculaires,l'une de ces droites est perpendiculaire l'intersection des deux plans.

438. - 1On donne deux droites scantes X, Y. Une des bissectrices de l'angle de ces droites estparallle un plan P. Dmontrer que les projections des bissectrices de (X,Y) sur P sont lesbissectrices de l'angle des projections de X et de Y sur P.

2Rciproque du 1.3On donne un didre (P, AB, Q) et une droite Oz perpendiculaire AB et situe dans le bissecteurde ce didre. Dmontrer que tout plan passant par Oz coupe le didre suivant un angle dont Oz estla bissectrice.

439. - 1Un plan P passe par le point d'intersection de deux droites scantes X et Y. Dmontrer quesi X et Y font des angles gaux avec le plan P, ce plan P passe par l'une ou l'autre des bissectricesdes deux droites donnes.2Rciproque du 1.3On donne trois droites X, Y, Z concourantes en O et non situes dans un mme plan. Construireun plan qui passe par O et qui fasse des angles gaux avec les trois droites donnes.

440. - On donne un cercle de centre O, un point fixe A de ce cercle et la perpendiculaire AB au plan

du cercle. Soit MON un diamtre variable de ce cercle.1Soit BI (I sur MN) la ligne de plus grande pente du plan BMN par rapport au plan P du cercle ;lieu du point I ?

2Comment choisir le diamtre MN de manire que la pente du plan BMN par rapport au plan Psoit la plus petite possible ?

3Gnraliser en remplaant le diamtre par une corde variable passant par un point fixe O'.

441. - On donne un plan P et deux points A et B extrieurs au plan P. Trouver le lieu des points Mde P tels que les droites MA et MB aient mme pente par rapport au plan P.



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442. - Soit OO' la perpendiculaire commune deux droites X et Y (O sur X et O' sur Y). Les pointsM et N dcrivent respectivement ces deux droites de manire que OM = O'N.1Dmontrer que ON = O'M.2Dmontrer que MN fait des angles gaux avec X et Y.3Lieu du milieu de MN ?

4Les plans perpendiculaires X et Y mens respectivement par M et N se coupent suivant unedroite Z. Lieu de cette droite Z ?

443. - On donne deux droites non parallles K et L.1trouver un plan P sur lequel les projections de K et L sont parallles ;2dmontrer que toutes les droites qui rencontrent K et L, et qui sont parallles au plan P,rencontrent une droite fixe perpendiculaire ce plan.

444. - On donne dans un plan P, un point fixe O et un point variable M. Soit un segment OA

perpendiculaire ce plan. Le plan Q menpar A perpendiculairement MA coupe P suivant unedroite Z. Soit N la projection de A sur Z.

1Dmontrer que M, O, N sont aligns.2Dmontrer que le produit des mesures algbriques OM.ON reste constant.3Lieu de N quand M dcrit un cercle passant par O?4Lieu de N quand M dcrit une droite ? Dans ce cas, en dduire que Z passe par un point fixe.

445. - On donne un cercle de diamtre AB, les droites x'Ax, y'By perpendiculaires AB, nonparallles entre elles et inclines du mme angle sur le plan du cercle.1Dmontrer qu'il existe une infinitde droites Z rencontrant le cercle et les deux droites donnes.2Dmontrer que chaque droite Z se projette sur le plan P du cercle suivant une tangente cecercle, et que l'angle de Z et du plan P est .3Lieu du point d'intersection de Z avec un plan P' parallle au plan P ?

446. - On donne un point A d'un plan P et un point B extrieur ce plan. On considre les droites Zdu plan P telles que les distances AA' et BB' des points A et B Z soient gales.1Dmontrer que les milieux de AB et de A'B' sont les pieds de la perpendiculaire commune cesdeux droites.

2Lieu du milieu de A'B' ?3Dmontrer que le plan mdiateur de A'B' passe par une droite fixe.4Dmontrer que la distance du point A au plan (B, Z) reste constante.



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CHAPITRE V

TRANSFORMATIONS PONCTUELLES

34. Translations.

35. Transforms, par translation, d'ensembles usuels.36. Rotations autour d'un axe.

37. Transforms, par rotation, d'une droite et d'un plan.38. Symtrie par rapport un axe (Transposition).39. Symtrie par rapport un point.40. Symtrie par rapport un plan.



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34. - TRANSLATIONS

1. Dfinition.

tant donnun vecteur fixe V, faisons correspondre un point M le point M' tel que les vecteurs :MM'= V.

Nous dirons que le point M' se dduit du point M par la translation de vecteur directeur V.Cette translation est note T(V) et on crira sous forme symbolique

T(V) : M ----> M'

Le point M' est l'homologue (ou le translat) du point M dans la translation considre.Si le point M est lment d'un ensemble (F), l'ensemble (F') des points M' est dit transform(outranslat) de (F) par la translation T(V).Lorsque les ensembles (F) et (F') concident, on dit que l'ensemble (F) est globalement invariantdans la translation considre.

Remarque.

Si le vecteur directeur d'une translation est le vecteur nul, tout point M concide avec sonhomologue M'. Cette translation particulire est appele translation neutre ou transformationidentique.

2. Proprits des translations.

1Dans toute translation, tout point a un homologue.

En effet, le vecteur directeur tant donn, l'extrmitM' du vecteur quipollent V, et d'origine M,

est parfaitement dtermine.2Translation inverse.

Soit M' l'homologue de M dans la translation T(V). De l'galitMM'= V, on dduit M'M = -V. Parsuite, M est l'homologue de M' dans la translation de vecteur directeur -V.

Cette translation est dite inverse de la translation T(V).

3Produit de deux translations.

Soient T(V1) et T(V2) deux translations de vecteurs directeurs respectifs V1 et V2.

Dsignons par M1, le translat, par T(V1), d'un point M quelconque, par M2 le translat, par

T(V2), du point M1.

De MM2 = MM1 + M1M2, (Relation de Chasles), avec MM1 = V1 et M1M2 = V2,

il rsulte que MM2 =V1 + V2.Or V1 + V2 est un vecteur fixe (indpendant du point M considr).Par suite : Quel que soit le point M, le point M2 se dduit du point M par la translation de vecteurdirecteur V1 + V2.

Cette translation s'appelle le produit (ou la compose) des translations T(V1) et T(V2).D'ole thorme :

Le PRODUIT de deux translations est une translation dont le vecteur directeur est la



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SOMME des vecteurs directeurs des translations initiales.

4Groupe des translations.

Considrons l'ensemble (E)de toutes les translations du plan [ou de l'espace].Dans cet ensemble,

nous venons de dfinir une opration (le produit ou la composition) qui, deux translations T1et

T2, en fait correspondre une troisime T. Cette opration est donc interne l'ensemble (E). Nous

noterons cette opration, T2 o T1 = T,En outre :

Cette opration est associative

T3 o ( T2 o T1) = (T3 o T2) o T1

En effet, si T3, T2, T1sont trois translations, la translation T3 o ( T2 o T1) a pour vecteur directeur

V3 + (V2 + V1), tandis que celui de la translation (T3 o T2) o T1 est (V3 + V2) + V1. mais ces

sommes sont gales (leon 6, 4).Ce qui justifie le rsultat nonc.

Cette opration admet un lment neutre.

En effet, soit I la translation de vecteur directeur 0. Quelle que soit la translation T(V), on a

T o I = I o T = T,

ce qui est la consquence de V + 0 = 0 + V=V (28e Leon, 6, 2c).

Chaque lment de l'ensemble possde un oppos.

Nous avons montrqu'toute translation T(V), pouvait tre associe la translation T'(-V) (cf. 20).

De V + (-V) = 0, il rsulte que T' o T= I. Donc T'(-V) est l'oppose, pour l'opration considre, de

la translation T.

Cette opration est commutative.

Cela signifie que, quelles que soient les translations T1et T2,

T1 o T2 = T2 o T1

En effet, les vecteurs directeurs sont V1 + V2 et V2 + V1, qui sont gaux (28e leon, 6, 30), il enrsulte alors la propritnonce.

Toutes ces proprits nous conduisent noncer (voir Algbre, pages 10 et 11) :

l'ensemble des translations est un groupe commutatif.



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35. - TRANSFORMS PAR TRANSLATION D'ENSEMBLES USUELS

1. Transforme d'une droite D.

Le vecteur directeur V de la translation tant donn, la droite D peut tre parallle au support de Vou ne pas tre parallle ce support.1Dans le premier cas (fig. 1), le transformM' de tout point M de D est situsur D et,inversement, tout point de D peut tre considrcomme le transformd'un point de D.La transforme de la droite D est la droite D elle-mme.

2Dans le deuxime cas (fig. 2), dsignons par A' le transformd'un point fixe A de la droite E. LetransformM' de tout point M de E est tel que MM' = V = AA'.D'oA'M' = AM.Le point M' est donc situsur la droite E', parallle E, passant par A'.Rciproquement, en utilisant la translation inverse, on montre que tout point de E' est le transformd'un point de E.

La transforme d'une droite D est la droite parallle D mene par le translatd'un point

quelconque de D.

Consquences.Dans une translation :

une demi-droite se transforme en demi-droite parallle et de mme sens ;un segment de droite se transforme en segment de droite gal ;un vecteur se transforme en un vecteur quipollent.

2. Transformd'un plan P.

Le vecteur directeur de la translation tant V, le plan P peut tre parallle au support de V ou ne pastre parallle ce support.

1Dans le premier cas, le transformM' de tout point M de P est situdans P, et inversement, toutpoint du plan P peut tre considrcomme le transformd'un point de ce plan.Le transformdu plan P est le plan P lui-mme.


M'

V

D = D'

ME

E'

E

E'

E

E'

E

E'A

A'

M

M'


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2Dans le deuxime cas (fig. 4), dsignons par S letransformd'un point fixe R du plan P. Le transformM' de tout point M de P est tel que SM' = RM ( 1). Le

point M' est donc situdans le plan P', parallle P,menpar S.

Rciproquement, en utilisant la translation inverse, onmontre que tout point de P' est le transformd'un pointde P.

Le transformd'un plan P est le plan parallle P menpar le translatd'un point

quelconque de P.

3. Transformd'un angle.

Soit un angle XOY et V le vecteur directeur de la translation.

Le plan de XOY se transforme en un plan ( 2) et les demi-droites Ox et Oy en demi-droites O'x' etO'y' parallles aux premires et respectivement de mme sens que celles-ci.Par suite, x''y' = xy (10e leon, p. 82).

Le transformd'un angle est un angle gal.

4 Transformd'un cercle.

Soit un cercle (C) de centre O, de rayon R et V le

vecteur directeur de la translation.

Le plan P du cercle (C) se transforme en un plan

P' ( 2).Ce dernier est le plan menparl'homologue O' du centre O, paralllement P.

Soit M' l'homologue d'un point quelconque M du cercle (C) :

O'M' = OM = R.

Le point M' dcrit donc le cercle (C') du plan P' (centre O', rayon R).Inversement, soit M' un point du cercle (C'). Par la translation de vecteur -V, le point M' a pour

homologue un point M du plan P, tel que OM = O'M'.

Le point M appartient donc au cercle (C) : tout point du cercle (C') est l'homologue d'un point du

cercle (C).

Le transformpar translation d'un cercle (C) est un cercle gal (C') dont le plan et le centre

sont les transforms des lments correspondants du cercle (C).

EXERCICES

497. - Construire un cercle passant par un point donnet tangent deux droites parallles donnes.Discuter.


P'

PO

O'

M

M'

P'

P

S

RM

M'


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498. - Dterminer un paralllogramme ABCD connaissant les points A et B et sachant que lessommets C et D sont situs sur deux droites donnes.

499. - Construire un trapze connaissant les longueurs de ses quatre cts.

500. - On considre deux cercles (C) et (C') et une droite (D). Peut-on dterminer une droite Y,parallle (D) et telle que les cordes AB et A'B' qu'elle dtermine sur (C) et (C') soient gales ?[I et I' tant les milieux des cordes AB et A'B', on pourra effectuer la translation de vecteur II'sur le cercle (C)].

501. -Soit H l'orthocentre d'un triangle ABC. On dsigne par O le centre du cercle (K) circonscrit ce triangle, par I le milieu de BC, par A' le point diamtralement opposA sur le cercle (K).1Dmontrer que BHCA' est un paralllogramme.2En dduire que AH =2 OI.

3On suppose que les points B et C tant fixes, le point A varie de telle sorte que l'angle BCgarde une grandeur constante. Quel est l'ensemble des points A ? Dduire du 2l'ensemble despoints H.

502. - On considre deux droites parallles E et E', etdeux points A et B situs de part et d'autre de la bande(E, E'). I tant un point fixe de E et I' un point fixequelconque de (E'), on appelle V le vecteur II'.

Dterminer un point M de (D) et le point M' de (D') telque MM'=V et que, de plus

1AM = BM' ;ou 2AM soit perpendiculaire BM' ;ou 3le chemin AM + MM'+ M'B soit le plus court possible ;ou 4AM- BM= k, k tant donn;ou 5AM+ BM= k, k tant donn.

(Pour toutes ces questions on pourra considrer le point A' dduit de A par la translation de vecteurV).

503. - tant donns deux plans parallles (P) et (P')et deux points A et B situs de part et d'autre desdeux plans, on considre deux points R et S situsrespectivement dans (P) et (P').

1Peut-on dterminer un point M de (P) et un pointM' de (P') tels que les vecteurs MM' = RS et que AM

= BM'?

2Peut-on dterminer un point M de (P) et un point M' de (P') tels que les vecteurs MM' = RS et

que MA- MB= k ?


E

E'

E

E'

A

B

I

I'V

P'

P

S

R

A

B


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3Peut-on dterminer un point M de (P) et un point M' de (P') tels que les vecteurs MM'= RS et quela somme de distances AM + MM' + M'B soit la plus petite possible ?

On pourra considrer l'homologue A' de A dans la translation de vecteur directeur RS.

504. - tant donnes deux demi-droites Ax et By, on appelle M un point quelconque de Ax et M' le

point tel que les vecteurs MM'=AB.1Soit N le point de By dfini par BN = AM ; on appelle J le milieu de NM' et I celui de MM'.Quel est l'ensemble des points M' ? Quel est l'ensemble des points I ? Comparer les vecteurs JI et

BA et en dduire l'ensemble des points I.2On suppose maintenant que Ax et By sont orthogonales et que M et N varient sur Ax et By detelle sorte que M'N garde une longueur constante 2 r.

Quel est l'ensemble des points J ? Quel est l'ensemble des points I ?

505. Construire une droite parallle un plan donnet s'appuyant sur deux droites donnes X et Y

en des points M et M' tels que MM' ait une longueur donne d.

506. On donne trois plans P, Q, R ayant un point commun O. Construire un triangle ABC dont les

sommets appartiennent respectivement chacun des plans P, Q, R, et sachant que les vecteurs AB etAC sont quipollents deux vecteurs donns V et W.

507. - On donne deux plans scants P et Q et un vecteur V.1Peut-on dterminer une droite (D) perant P en A et Q en B et telle que le vecteur AB = V ?2La droite (D) peut-elle, de plus, s'appuyer sur une droite donne X de l'espace ?

508. - Construire une droite de l'espace, parallle un plan donnet s'appuyant sur deux droitesdonnes en deux points A et B tels que AB = k (k longueur donne).



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36. - ROTATIONS AUTOUR D'UN AXE

1. Orientation de l'espace.

Considrons un axe Z et un plan P, perpendiculaire cet axe (fig. 1).Dfinissons le sens positif des angles gnraliss tracs dans le plan P ou dans un planquelconque perpendiculaire l'axe Z.Imaginons un observateur placle long de l'axe Z de faon que le sens positif de l'axe soit lesens allant des pieds vers la tte de l'observateur.

Par convention, le sens positif des angles tracs dans tout plan perpendiculaire l'axe Z est lesens allant de la droite la gauche de l'observateur en passant devant lui.

2. Rotation autour d'un axe : dfinition.

tant donns un axe Z et un angle gnralis , un point M faisons correspondre le point M' telque :

1M' soit situdans le plan P menpar Mperpendiculairement l'axe ;2H tant l'intersection de l'axe et du plan P, on ait :HM = HM'

et (HM,HM') = (360prs).Nous dirons que le point M' se dduit du point M parla rotation d'axe Z et d'angle .

Cette rotation sera noteR(Z, ). Le point M'est le transform, ou l'homologue, de M dans larotation considre.

Lorsque le point M est lment d'un ensemble (E), l'ensemble (E') des points M' est dit letransformde (E) par la rotationR(Z, ).

Remarques.

1Si = 0, le point M' concide avec le point M, quelle que soit la position de celui-ci.On dit que la rotation d'angle nul est la transformation identique.

2Considrons les rotations R (Z, ) et R'(Z, + k.360). Elles transforment un point M, arbitraire,

en le mme point M'. Par suite, sans restreindre la gnralit, on peut supposer que

0 < < 360.


Z

+

Z

+

Z

M

M'H


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3Soit Z' l'axe opposZ. Considrons les rotations R1(Z, ) et R2(Z', - ) . Il est clair que toutpoint M est transform, par R1, ou R2, en le mme point M'.

3. Proprits des rotations autour d'un axe (Z).

1Dans toute rotation autour d'un axe (Z), tout point M a un homologue M' bien dfini.

2Les points de l'axe (Z) sont les seuls points qui concident avec leurs homologues : on dit que les

points de l'axe sont invariants.

3Rotation inverse.

Soit M' l'homologue de M dans la rotationR(Z, ).

a) On peut considrer M comme l'homologue de M' par la rotationR(Z, - ).

b) L'axe (Z') tant l'axe oppos(Z), on peut galement considrer M comme l'homologue de M'

dans la rotationR(Z', ).Cette rotation est dite inverse de la rotationR (Z, ).

4Tout plan (P) perpendiculaire l'axe (Z), est globalement invariant par la rotation R(Z, ).

En effet, l'homologue M' de tout point M de (P) se trouve dans (P) et, inversement, tout point m' de

(P) peut tre considrcomme l'homologue d'un point de (P).

5Tout plan contenant l'axe de rotation se transforme en un plan contenant l'axe de rotation.

En effet, soient M un point quelconque d'un plan (P) contenant l'axe Z et M' son homologue par la

rotation R(Z, ).Considrons un point fixe A, non situsur Z, du plan (P).

Soient A' son homologue par la rotationR (Z, ) et (P') le

plan dfini par l'axe (Z) et le point A'.On a: (OA, OA') = et (HM, HM') = .

Puisque (OA, OA') et (HM, HM') sont deux rectilignes du

didre (P, Z, P'), le point M' est dans le plan (P').Rciproquement, tout point de (P') peut tre considrcomme l'homologue d'un point de (P) par la rotation

inverse deR(Z, ).


A

P

A'

M M'

O

H

P'

Z


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37. - TRANSFORMS PAR ROTATION D'UNE DROITE ET D'UN PLAN

1. Transforme d'une droite parallle l'axe (Z) de rotation.

Soient A un point fixe de la droite et M un point variable de cette droite, A' et M' les homologues

respectifs de A et de M dans la rotation R(Z, ).

Considrons le plan dfini par l'axe (Z) et la droite . D'aprs la 36e leon ( 3; 5), ce plan se

transforme en un plan contenant (Z) et le point A'. Les quatre points A', O, H et M' sont donc dans

un mme plan.De plus HM' et OA' tant perpendiculaires (Z) sont parallles. Enfin, d'aprs la dfinition de larotation :

HM' = HM et OA' = OA

et, puisque et Z sont parallles : OA = HM.D'oil rsulte que le quadrilatre A'OHM' est un paralllogramme, donc, que le point M' dcrit laparallle ' (Z) mene par A'.Rciproquement, en considrant la rotation inverse R(Z, - ), on montre que tout point m' de ' estbien l'homologue d'un point m de .

Donc :

la transforme d'une droite parallle l'axe de rotation est la parallle l 'axe de rotation

mene par l'homologue d'un point quelconque de cette droite.

2. Transforme d'une droite orthogonale l'axe (Z) de rotation.

Soit P le plan contenant la droite et perpendiculaire (Z) : ce plan est invariant dans la rotation R(Z, ) (36e leon, 3, 4).

Dsignons par O l'intersection de P et de (Z), par A lepied de la perpendiculaire abaisse de O sur et par Mun point quelconque de .

Si M' et A' sont les homologues respectifs de M et de

A : (OM, OM') = et (OA, OA') = .

Donc (OM, OM') = (OA, OA'),

d'ol'on dduit : (OM, OA) = (OM', OA'), galitqui,avec les suivantes :

OA = OA' et OM = OM',

montre que les triangles OAM et OA'M' sont gaux.

Donc, l'angle OA'M' est droit, ce qui prouve que le point M' dcrit la droite ' situe dans le plan Pet perpendiculaire en A' OA'.Rciproquement, pour dmontrer que tout point m' de la droite ' provient bien d'un point de par

la rotationR(Z, ), il suffit de considrer la rotation inverse et d'utiliser le rsultat prcdent.

Donc : la transforme d'une droite orthogonale l'axe de rotation est une droite orthogonale

cet axe.


Z

O

AA'

'M

M'


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Remarque. Le segment AM est transformen un segment gal A'M'.

3. Transforme d'une droite D rencontrant l'axe (Z) de rotation.

La droite et l'axe (Z) tant scants, (en I), dfinissent un plan P.

Dans la rotationR(Z, ), le plan P se transforme en un plan P' (36e

leon, 3, 5); donc l'homologue M' de tout point M de A est situdansle plan P'.

De plus, les triangles IHMet IHM' qui ont IH commun, HM = HM' et

IHM= IHM' = 1 droit, sont gaux.Par suite MH= M'H.

Or, l'angle MH tant constant et gal , lorsque M dcrit la droite D, le point M' dcrit la droiteD' situe dans le plan P' et telle que l'angle de A' et de (Z) soit gal .

Rciproquement, l'aide de la rotation inverse, on montre que tout point m' de D' est l'homologued'un point m de D.

Donc : la transforme d'une droite D rencontrant l'axe (Z) de rotation en I est une droite D'

passant par I et faisant avec (Z) un angle gal celui de D et (Z).

Pour dterminer D', on construira l'homologue d'un point de D, autre que I.

4. Cas gnral : transform

e, par rotation, d'une droite quelconque.

Soient la droite et l'axe de rotation (Z). Dsignons par OA leur plus courte distance.

1tude de la figure. Dsignons par P le planperpendiculaire (Z) issu de A ; par d la projectionorthogonale de sur le plan P ; par B un point fixe et M

un point variable de ;

par b et m leurs projections orthogonales sur P.

Dans la rotation R (Z, ), les homologues respectifs de

A, B, M sont A', B', M'. Soient b' et m' les projectionsorthogonales de B et de M sur le plan P.

2Dans la rotation R (Z, ), b' et m' sont les homologues respectifs de b et de m. En effet, MH, M'H,BK et B'K tant parallles au plan P, on a en projection :mO = m'O, bO = b'O.

BKB' = bOb', MHM' = mOm' =

Puisque la transforme d'une droite d, orthogonale Z, est une droite, les points A', m' et b' sontaligns.3Dans la relation Am/Ab = mM/bB, remplaons bB par son gal b'B' et mM par son gal m'M' :


M

P

M'

H

P'

Z

I

D D'

Z

O

A A'

'

M M'

m m'


50/64

Am/Ab = m'M'/b'B'

et, puisque m et m' divisent Ab et A'b' dans le mme rapport, A'm'/A'b' = m'M'/b'B',ce qui prouve que les points A', M', B', sont aligns.Rciproquement, en utilisant la rotation inverse on montre que tout point pris sur la droite A'M'B'est le transformpar R(Z, ) d'un point de la droite .

Donc : la transforme d'une droite est une droite.

Remarque. Un segment de droite est transformen un segment de droite gal.

5. Transformpar rotation, autour d'un axe Z, d'un plan P.

Nous avons djtudi, dans la 36e leon, les cas particuliers ol'axe de rotation est soitperpendiculaire au plan, soit contenu dans le plan.

Cas gnral : le plan P tant quelconque, nous pouvons supposer qu'il est en

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Cluzel Géométrie Dans l'Espace 2