CM1.html Carrés magiques indo-arabes et tortue de Lho Shutaosophie.free.fr/recueil/carre_magique.pdfLes parties les plus anciennes du livre remontent à la première dynastie Zhou

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Carrés magiques indo-arabeset tortue de Lho Shu

par Jacques Misguich <[email protected]>

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et Grégoire Misguich Page personnelle : http://www.lptl.jussieu.fr/users/misguich

Cette page est dédiée à Ronan Misguich, qui a assimilé avecsuccès (le 9 déc. 2000) le concept du nombre 1 :

12 janvier 2001. Complétée ce 24 octobre 2001.

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1. Introduction

Dans les souks au Maroc, pays principalement berbère de tradition et de monarchie, ontrouve aujourd'hui de plus ou moins anciennes "boîtes à Coran" métalliques, finementdécorées, au dos desquelles figure un carré de 9 cases remplies de différents "signes"dont aucun des Marocains interrogés, religieux ou non, n'ont pu nous expliquer laprésence ou la signification.

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Carrés magiques indo-arabes et tortue chinoise de Lho Shu file:///D|/aaaJacques/CM/CM1.html

Au mieux on vous assure que "C'est un talisman, ça porte chance". L'un d'eux nous amême expliqué que c'était l'écriture d'un code secret familial... "comme pour ta carteVisa..." Ces signes diffèrent de boîte en boîte, et parfois toutes les cases ne sont mêmepas remplies. L'artiste manquait-il d'information ou bien a-t-il volontairement laisséinopérant le talisman pour les touristes ?

Seuls les Marocains habitués à lire le Coran savent en fait encore lire les chiffres quisont inscrits dans ce carré en anciens caractères indo-arabes (ou arabes orientaux)abandonnés depuis longtemps dans les pays situés à l'Ouest de la Lybie. Très peu degens, parmi ce peuple principalement berbère, savent que les chiffres inscrits dans cecarré peuvent être sommés dans toutes les directions (lignes, colonnes et diagonales)pour donner toujours le même résultat 15...

Mais combien savent-ils que ce carré reproduit une des huit formes de cet ancien "carrémagique" qui remonte à la Chine de 2300 ans avant JC sous l'empereur Yü le Grand etqui fut, selon la légende, aperçu sur le dos d'une tortue sortant de la rivière "Lo" pourindiquer le nombre exact de sacrifices à opérer (15) ?

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(carré de Lo Shu, selon la légende trouvée en Chine dans le livre Yi-King)

C'est ce que nous allons tenter d'expliquer ici. C'est toute l'histoire des "carrésmagiques" depuis quarante-trois siècles... Mais combien de Marocains savent-ils queces carrés magiques et leurs généralisations ont été de tous temps un sujet d'intérêt nonseulement pour les pratiques divinatoires comme on les pratique aujourd'hui encore surla place Djama el Fnâ à Marrakech, mais aussi pour les artistes et mathématiciensoccidentaux, de Dürer à Euler et Fermat, jusqu'à Edouard Lucas, mathématicien duXIXe siècle qui en écrivit la formule générale

et qu'ils sont aujourd'hui encore l'objet d'études mathématiques utilisant la théorie descorps [5] ?

2. Résumé de l'histoire de l'écriture et des nombres

Pour situer les dates et les régions du monde où sont apparus l'écriture, les nombres etleur notation avec rang il est utile de se rappeler les étapes suivantes (tableau ethistoire des chiffres , beaucoup des informations mathématiques sont prises sur le site

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de l'IREM ) :

- 5 000 : Les Sumériens développent une numération parlée de base 60 - 4 000 : Ecriture cunéiforme primitive - 3 300 à 3 200 : Apparitions des chiffres sumériens et proto-élamites, tous deuxconsidérés comme les plus anciens systèmes de numération connus - 3 100 : Hiéroglyphes égyptiens - 3 000 : Période de l'empereur Chinois Fou-Hi dont le symbole magique,l'octogone à trigramme contient les 8 premiers nombres représentés sous formebinaire par des traits interrompus ou non : 000 001 010 011 etc...

Le souverain Fuxi (Fou-Hi) crée les huit premiers trigrammes. On situe lerègne de ce souverain entre le Vème et le IIIème millénaire avant JC. Sa mèrele conçut au moyen d’un bâton trouvé dans le marais. Après douze mois de gestation, ilfut mis au monde par des accoucheurs-dragons et il naquit avec une tête humaine et uncorps écailleux. On attribue à ce personnage une foule d’inventions pratiques appliquées àla pêche, la chasse et la culture, ainsi que les rites du mariage et l’écriture. Mais soninvention la plus originale demeure l’élaboration des huit trigrammes qui ordonnent lemonde selon huit principes auxquels il attribua un nom pour chacun : 1- “Le ciel”, lecréateur. 2 - “La terre”, le réceptif. 3- “Le tonnerre “, l’éveilleur. 4 - “La montagne”,l’immobilisation. 5 - ” L’eau”, l’insondable. 6 - “Le feu”, ce qui attache. 7- “Le lac”, lasérénité. 8 - “Le vent”, le doux. Ces trigrammes relatent un vision abstraite du monde etde ses mutations. Chaque trigramme étant issu d’un autre à la suite du changement d’unseul trait, la connaissance de l’essence de ces mutations permettrait de prédire l’avenir. Entre la Chine et les ordinateurs, il y a un lien étonnant. Le tableau deshexagrammes (voir exemples) aurait pu être commandé par la compagnieIBM à un peintre contemporain. Or il se trouve qu'il date de l'Antiquitéchinoise. Selon son propre témoignage, Leibniz fut émerveillé lorsque, grâceaux conseils du père Joachim Bouvet, missionnaire en Chine, il crut êtreparvenu à l'interpréter correctement. "Il croyait avoir trouvé par sanumérotation binaire l'interprétation des caractères de Fo-Hi, symboleschinois mystérieux et d'une haute antiquité, dont les missionnaireseuropéens et les Chinois eux-mêmes ne connaissaient pas le sens. C'étaient64 combinaisons de traits pleins et rompus (correspondant respectivementà O et à 1) rangées précisément dans l'ordre naturel des nombres supposésécrits dans le système binaire. Il proposait d'employer cette interprétation àla propagation de la foi en Chine, attendu qu'elle était propre à donner auxChinois une haute idée de la science européenne, et à montrer l'accord decelle-ci avec les traditions vénérables et sacrées de la sagesse chinoise".(Couturat, La Logique de Leibniz)

- 3 000 à 3 200 : Apparition de la numération hiéroglyphique égyptienne,comportant un signe pour chacune des puissances de dix :

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permettant par exemple d'écrire 1 234 567 sous la forme

Exemple :

- 2 700 : Apparition des chiffres cunéiformes sumériens

- 1 900 à 1 600 : Les Babyloniens développent le premier système de numérationde position connu à ce jour. Utilisant la base 60 ce système ne comporte pasencore de zéro. - 1 400 (Fin du XIVe siècle av. J.C.) : Apparitions des plus anciens chiffreschinois connus. Le système de numération chinois remonte à la seconde partie dudeuxième millénaire avant notre ère. Il est donc tout aussi ancien que l'écriturechinoise elle-même. Les plus anciennes traces que nous possédons de ce systèmesont celles que l'on trouve sur les os et les écailles de tortue, de la dynastie desShang (1600 à 1066 avant notre ère).

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Ces écailles de tortue étaient utilisées à des fins divinatoires. Avant touteentreprise importante, le prince avait coutume de consulter l'oracle. Pour cefaire on perçait un ou plusieurs trous dans une écaille de tortue, et on lamettait dans le feu. Les craquelures qui s'y produisaient étaient alorsinterprétées par des devins. Ces parties de carapaces de tortue, découvertes àla fin du siècle passé seulement, étaient d'une importance capitale, puisque laquestion posée à l'oracle, ainsi que la réponse donnée, étaient gravées sur cematériau. Ces écailles de tortue, que l'on a ensuite trouvées par dizaines demilliers, sont non seulement des documents culturels, mais égalementlinguistiques de la plus haute importance. Le système de numération utilisésur ces écailles et os de tortue est déjà remarquablement constant et unifié. Ilutilise un total de treize signes:

Le système de numération chinois ~- 1 150 : Le Yi-king (ou Yijing) est un des plus anciens textes de la civilisationchinoise. Appelé aussi "classique des transformations" il représente en quelquesorte le discours de la méthode du système yin/yang. Sans auteur, il transcrit, sousforme d'un code binaire formé de lignes brisées et pleines le "potentiel énergétiqued'une situation" à un moment précis. Sa première ambition est d'être un guide pourl'action, utilisable individuellement comme aide à la prise de conscience et à laprise de décision. En authenticité, le Yiking fait partie des cinq grands classiqueschinois et son influence fut grande car elle a nourri les deux grands courants de laChine ancienne, le Taoïsme et le Confucianisme.

Le livre des transformations (yi king) est sans contredit l'un des plus vieuxouvrages de l'humanité. Yijing ou Yi-king en chinois veut dire, «Livre des mutations», le plusancien des classiques, l'un des classiques du confucianisme, et manuel dedivination. Il contient soixante-quatre hexagrammes, composés chacun d'unepaire de trigrammes formés de trois traits parallèles. Les traits peuvent être pleins(représentant le yang ou principe actif) ou brisés (représentant le yin ou principe passif),selon la cosmologie chinoise ancienne qui expliquait tous les phénomènes en termesd'alternance du yin et du yang. Il y a huit trigrammes de base correspondant chacun à unphénomène naturel et l'ensemble des soixante-quatre hexagrammes représente toutes lescombinaisons possibles des six traits. Le livre est consulté par division de cinquante tigesd'achillée, plante à laquelle on prête des vertus magiques, ou en tirant à pile ou face, pourobtenir des nombres qui correspondent aux différents traits de l'hexagramme. Cesnombres déterminent si un trait est yin ou yang, et s'il est «en repos» ou «mobile» (sur le

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point de se transformer en son opposé). Les hexagrammes se transforment constammenten un autre, conformément à l'ordre cyclique de l'univers. Avec le temps, ils sont devenus des symboles de divination. Selon lalégende, Fuxi le dieu-empereur (v. 2400 av. J.-C.) découvrit les huittrigrammes sur le dos d'une tortue sacrée : les vieux devins chinois prédisaientl'avenir en trouant par le feu des os ou des carapaces de tortues et en examinant les fêluresainsi produites. La signification symbolique de chaque hexagramme est donnée par despassages poétiques énigmatiques et un commentaire philosophique. Les parties les plus anciennes du livre remontent à la première dynastie Zhou. WenWang (v. 1150 av. J.-C.) aurait, selon la tradition, ajouté des conseils d'ordremoral aux hexagrammes divinatoires. Confucius et ses disciples ajoutèrentprobablement un commentaire philosophique au Yi king pour lequel ils avaient, dit-on,une grande révérence. Les hexagrammes porte-bonheur du Yi king sont souvent employésdans les arts chinois.Le Yi-king établit les bases et surtout le fonctionnement de la philosophie chinoise. Les sages qui ont rédigécet ouvrage (outil) devaient avoir une profonde connaissance des cycles et des phénomènes qui régissentl'univers et de la vie de tous les jours. Ils ont conçu un système binaire (deux) comparable à celui desordinateurs: ''YIN'' et ''YANG''. Les ordinateurs se servent des ''0'' et des ''1'', le yi king lui, se sert de traitsintermittents (ouverts) __ __ qui représentent le yin et de traits continus (fermés) _____ qui représentent leyang. Pour le yi king tout fait partie d'un cycle et le yin et le yang en sont les composantes opposées mais

indissociables. (Lynda Meyer). Le Yi-king émerge de la nuit des temps. Le premier “livre des Mutations” estune grosse tortue dont l’existence remonte à une époque mythique. Elleémergea de la rivière Lo, portant sur sa carapace des taches qui figuraient uncarré magique où les nombres de 1 à 9 étaient arrangés de manière à ce queleur somme fût toujours égale à 15. L’histoire de la tortue de la rivière Lo est racontée dans “le livre des rites”,livre canonique de la Chine Ancienne, où l’on y découvre une autre histoirede ce genre, celle d’un dragon qui portait sur ses écailles un diagrammedifférent mais tout aussi étrange que l’on appelle le “dessin du fleuveJaune”, et où les nombres impairs sont figurés par des ronds blancs et lesnombres pairs par des noirs. Dans ces deux diagrammes magiques de latortue et du dragon, se dessine une tentative de représenter par des signes leslois de l’univers. Ces lois étant applicables aussi bien au présent, au passéqu’au futur, tout un art divinatoire basé sur l’interprétation des craqueluresde carapaces de tortues et des os d’omoplates de boeuf s’est developpé dansla Chine antique. C’est vers la fin du XVIIè siècle que le Yi-King est introduit en Europe parles Jésuites résidants à Pékin. Les premières traductions apparaissent auXIXème siècle, mais c’est la traduction parue à Vienne en 1924 d’unmissionnaire protestant et ami de Jung, Richard Wilhelm, qui oeuvrera leplus pour faire connaître le Yi-king à l’occident. Le psychologue Carl Jungse déclara "fasciné par les remarquables et indéniables résultats duYi-King".

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-1 143 Le roi Wen crée les 64 hexagrammes. C’est vers la fin du IIème millénaireavant JC que le roi Wen combina deux à deux les hexagrammes pour créer unenouvelle grille de lecture du monde plus affinée de 64 figures.

Ce roi Wen qui gouvernait l’ouest de la Chine, était aux prises avec un tyran Shou Sin, ledernier souverain des Yin, dont la noirceur de caractère était aussi grande que la sagessede Wen. S’inquiétant de la réputation grandissante de ce dernier, Shou Sin l’attira à lacapitale et le fit prisonnier en 1143 AC. Ce jour-là deux soleils apparurent en même tempsdans le ciel, la montagne Yao s’effondra et une femme se transforma en homme. Pourpasser le temps dans sa prison, le roi Wen entreprit de méditer sur lestrigrammes composés quelques millénaires plus tôt par Fuxi et il eut l’idée deles accoupler deux à deux pour former les 64 hexagrammes que nousconnaissons aujourd’hui. Il leur donne à chacun un nom, qui intègre le sens et laposition des deux trigrammes qui le composent. Puis il écrivit un court commentaire surleur sens, assorti de quelques conseils. Et pendant que le roi Wen pénétrait les "loiscosmiques" contenues dans les 64 hexagrammes, ses fils mettaient en place une arméepour renverser le tyran et libérer leur père. A leur grande surprise, ils retrouvèrent unhomme serein et en pleine forme qui leur fit découvrir les murs de son cachot décorés deshexagrammes.

Au Ier millénaire av. J.-C. (960-585), les Hébreux adoptent un système proche del'alphabet phénicien, dit "paléohébraïque ", qui subsiste dans l'écriture samaritainejusqu'à nos jours. Les plus anciennes inscriptions connues en écriture hébraïquesont la tablette de Gezer (v. 950 av. J.-C., époque du roi Salomon) et la stèle deMesha (roi de Moab, v. 850 av. J.-C.).

Après l'exil à Babylone, l'écriture évolue vers un modèle araméen. Vers 535,on utilise une nouvelle écriture dite "hébreu carré" : dont les caractères n'ontpresque pas changé d'aspect même si le Moyen Age vit chaque airegéographique avoir, tant pour l'hébreu carré que pour son corollaire cursif,son style et sa manière propre. Les premiers textes de la Bible furent notés en hébreu carré et c'est grâce à laBible que la langue hébraïque a survécu et a pu renaître.

VIe s. av. J.C. Apparition supposée des écritures libyco-berbères,vraissemblablement en Afrique du Nord Système alphabétique, consonantique comportant 28 signes en libyque (àDougga), et de 23 à 27 signes en tifinagh selon les régions Lecture: - verticale de haut en bas et de bas en haut, - horizontale de gauche à

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droite ou de droite à gauche.

Langues notées : libyque et touareg (sans certitudes pour d'autres). Document le plus ancien : dédicace au roi Massinissa, stèle libyco-puniquede 138 avant J.-C. (Dougga, Tunisie). Leur usage disparait au Maghreb, probablement à la fin de l'Antiquité maisse continuent en touareg. vers 551 av. J.-C., naissance présumée de Confucius dans le royaume de Lu(province du Shandong ). Fils d'une famille pauvre mais d'ascendance illustre (ilremonterait à la dynastie Shang ), il fut orphelin de bonne heure.

Persuadé qu'il était nécessaire de moraliser la politique, Confucius, nommé gouverneur dela ville de Zhongdu, chercha à mettre en pratique ses idées sur le gouvernement idéal. Sesdisciples affirmèrent que son exercice du pouvoir fut si remarquable qu'«au bout d'un anaux quatre points cardinaux tous le prenaient modèle ». La tradition fait encore de lui unintendant des travaux publics, un ministre de la Justice aux alentours de 5 av. J.-C., puisun conseiller politique de la principauté de Lu. Mais, écarté de ce poste, il reprit, à partirde 497, sa vie d'errance et parvint dans la pricipauté de Wei. Le Yi King remonte à des temps immémoriaux. King signifie la trame d'une étoffe. - cequi ne varie pas - Yi figure un caméléon - Ce qui change, qui évolue en fonction dessituations. d'où la traduction de Yi King en "Livre des transformations" ou"Livre des mutations". Il est attribué à Fo-Hi, figure mythique, le représentant de l'ère de la chasse, de la pêche etde l'invention de la cuisson. Il est désigné comme l'inventeur des trigrammes. ce quisignifie qu'on assiganit à ces huit figures une antiquité précédant tout souvenir historique.A noter que ces huit trigrammes primitifs portent des noms qu'on ne retrouve nulle partdans la langue chinoise. Les trigrammes combinés entre eux apparaissent dès la dynatsie des Hia (2000 av.JC).Selon la tradition générale les 64 hexagrammes proviennent du roi Wen, ancêtre de ladynastie des Tchéou. Il les dota de brefs jugements. Le texte ajouté aux différents traits estdû à son fils, le duc de Tchéou. Tel était le livre lorsque Confucius le découvrit, auquel il consacra une étudeassidue.Au terme de quatorze années d'absence, Confucius serait rentré dans son pays natal et seserait consacré à l'étude des textes, des chants et des rituels anciens. Selon l'historienSima Qian, il compila, remania ou rédigea plusieurs parties des grands textescanoniques de l'antiquité, notamment le Livre des documents (Shujing ), le

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Livre des odes (Shijing ) et le Livre des mutations (Yijing ). Le Classique des mutations, le célèbre Yijing, transmet les croyances magiques etcosmologiques des temps les plus anciens (on y trouve la théorie du Yin et du Yang, ainsique celle des cinq éléments ). Le Yijing a donné lieu à de nombreuses et hasardeusesspéculations de la part des théosophes occidentaux : le livre se présente en effet commeun document codé, dont l'ésotérisme demeure impénétrable.

VIe - Ve s. av. J.C. : éveil des mathématiques chinoises IIIe s. av. J.C. : Invention du zéro par les Babyloniens. Le zéro babylonien n'est pasconçu comme un nombre pouvant être utilisé lors de calculs. Il sert simplement à exprimerl'absence d'unités d'un certain ordre. Une intéressante histoire du zéro peut être lue sur le site(ainsi que sur Pi). IIIe s. av. J.C. : Apparitions des chiffres brâhmî (indiens), considérés comme lesprécurseurs de notre système de numération moderne (indo-arabe)

IIIe s. av. JC : Pendant l'époque classique le système utilisé par les Grecs del'Antiquité était également décimal mais non positionnel. Ils se servaient de lettres,éventuellement accentuées, et de signes complémentaires : il fallait de nombreuxsymboles et un codage savant pour comprendre la valeur représentée :

Certains nombres avaient droit à des caractères spéciaux comme 900(sampi). Pour distinguer un nombre d'un mot, on le surlignait.

Au IIIe s. av. J.C. la nouvelle numération grecque utilise comme symbolesnumériques toutes les lettres de l'alphabet grec et trois autres symboles issus del'alphabet phénicien. Les neuf premières lettres de l'alphabet permettaient d'écrire les chiffresde 1 à 9 ; les neuf lettres suivantes étaient employées pour les dizaines, de 10 à 90, et les neufdernières pour les centaines, de 100 à 900. Les milliers étaient indiqués par une barre placée àgauche du chiffre approprié, et les dizaines de milliers par la lettre adéquate placée au-dessus dela lettre M. Ce dernier système présentait l'avantage de pouvoir exprimer de grands nombresavec un minimum de symboles. En revanche, l'utilisateur d'un tel système était contraint demémoriser vingt-sept symboles. - 46 : Jules César, suivant les conseils de l'astronome alexandrin Sosigènes, décided'instaurer un système de calendrier fiable composé de 12 mois et d'une durée de365 jours : tous les quatre ans un jour sera ajouté à l'année. Les mayas avaientdéjà un calendrier plus précis.

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1 : Naissance du Christ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

1 à 700 : Hiéroglyphes mayas. Calendrier très évolué et très précis, en raison desmoissons. Les nombres à base 20 étaient composés de points et de traits

Sur les stèles les nombres sont également représentés par des figures dedivinités.

Numération romaine. La numération romaine fut très particulière et totalementinadaptée à des calculs même élémentaires. C'est un système décimal. Lessymboles principaux sont I, X, C et M (1, 10, 100 et 1000), les symbolessecondaires sont V, L et D (multiples de 5) :

1 5 10 50 100 500 1000 I V X L C D M

Pour leur calculs les romains utilisaient des casiers réunis en damier danslesquels ils plaçaient de petits cailloux pour désigner les unités, dizaines,centaines, etc. De cette technique romaine, nous est resté le mot calcul(calculus = petit caillou). Cette numération est additionnelle car la valeur dunombre écrit est obtenue par somme ou soustraction des caractèresjuxtaposées. Pour effectuer des calculs, les savants romains devaient utiliserune table à calculs qu'on appelait abaque.

IVe s. : Naissance de la numération décimale indienne de position, ancêtre denotre numération écrite actuelle. On applique aux chiffres brahmi le principe devaleur de position.

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(Ancêtres des chiffres que nous connaissons aujourd'hui. Première grandeinnovation des Indiens : remplacer chaque valeur de 1 à 9 par un symboleabstrait.)

Aux neufs premiers chiffres, on ajoute également un signe en forme depetit cercle ou de point représentant le zéro.

325 - 409 : Diophante d'Alexandrie, mathématicien grec. Il aurait écrit treize livresd'un traité intitulé "Les Arithmétiques". On n'en connaissait que six jusqu'en 1972 -retrouvés au15è siècle, en Italie, par Regiomantanus- lorsque quatre autres furent retrouvés en Iran.

Son oeuvre, constituée principalement de problèmes des premier et second degré (189problèmes, résolus pour la plupart) conduisant à des équations dont les solutions sontentières ou fractionnaires, influencera grandement les mathématiciens Arabes et, plusproches de nous, Viète et Fermat. Elle fut traduite au 16è siècle à Heidelberg par lecélèbre linguiste et philosophe allemand Xylander (Wilhelm Holtzmann, dit Xylander,1532-1596, qui traduisit également les six premiers livres des Eléments d'Euclide) puiscomplétée et commentée en France, en latin, par Bachet de Méziriac (1621). Equation diophantienne : équation de la forme P(x,y,z,...) = 0 où P est un polynôme àcoefficients entiers (ou rationnels) dont on cherche les zéros dans N (entiers naturels) ouQ (nombres rationnels : fractions). Des exemples classiques d'équations diophantiennes :l'étude de la forme générale des triplets pythagoriciens, le théorème de Bezout, la solutiongénérale de l'équation en nombres entiers ax + by = c, le grand théorème de Fermat,l'équation de Pell, que Lagrange résoudra au moyen de la théorie des fractions continues. Approximation diophantienne : algorithme consistant à approcher, à toute précisiondonnée, un nombre réel par des rationnels. On peut citer, en particulier, le développementen fraction continue qu'étudieront Aryabhata, Chuquet, Huygens (pour la constructiond'horloges astronomiques), puis Euler, Lagrange, Gauss, Lambert, Legendre et biend'autres dans l'étude des nombres irrationnels comme Liouville avec la découverte desnombres transcendants (1844).

Ve s. La mathématique indienne (on dit souvent hindoue , car elle était plusparticulièrement étudiée par les religieux) se manifeste brillamment dès le 5èsiècle avec des mathématiciens comme Aryabhata, Brahmagupta, Bhaskara etapparaît indépendante de celle des grecs.

476 - 550 : Aryabhata, astronome et premier grand mathématicien indien. Il affirme,contrairement à la doctrine géocentrique de Ptolémée (la Terre est immobile au centre de

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l'univers) alors répandue, la rotation de la Terre. Aryabhata est le premier grand mathématicien indien. Il nous fut connu par un importanttraité appelé l'Aryabhatiya, écrit en sanscrit (la langue sacrée des brahmanes) relatif àl'astronomie et aux mathématiques qui fut traduit en Europe au 19è siècle. Aryabhata y décrit les algorithmes de d'extraction des racines carrée et cubique, résout dedifficiles équations diophantiennes par l'usage de fractions continues et fait usage d'unsystème décimal positionnel dont le graphisme est proche du notre et où l'usage du zéroapparaît implicitement. Le grand artisan de l'introduction du célèbre symbole seraBrahmagupta.

458 : Première apparition du zéro dans un traité de cosmologie indien, leLokavibhâga, daté du lundi 25 août 458 (?) 512 : Premières traces de l'écriture arabe, probablement issue de l'écriturearaméenne. Selon la tradition, un membre de la famille de Mahomet l'auraitinventée. L'alphabet arabe comporte 28 lettres. vers 571 : Naissance de Mahomet à La Mecque. En 612 il reçoit la révélation del'ange Gabriel lui annonçant que Dieu le choisit comme prophète. 598 - 660 : Brahmagupta autre grand mathématicien et astronome indien. Cemathématicien et astronome indien s'intéressa à l'algèbre et aux équations diophantiennes à lasuite des travaux d'Aryabhata. Brahmagupta est sans doute le premier, dans des calculscommerciaux, à user des nombres négatifs pour signifier les pertes et les profits et à les utiliseren algèbre en énonçant la règle des signes.

Il emploie dans ses calculs, les chiffres décimaux (graphisme très proche de nos chiffresactuels dits "arabes") et principalement le zéro (notation o) que les Arabes adopterontau IXe siècle avec, principalement, les travaux de Al- Khwarizmi. Le célèbre "chiffre"manqua cruellement aux grandes civilisations babyloniennes, égyptiennes et grecques.Son apparition en Inde, tout particulièrement dans l'oeuvre de Brahmagupta, est un pas degéant en algèbre.

622 : L'Hégire : Mahomet s'enfuit de La Mecque à Médine. 629 : Le mathématicien et astronome indien Brahmagupte publie sonBrahmasphutasiddhânta, qui révèle une parfaite maîtrise de la notation décimalede position au moyen de neuf chiffres et du zéro. 630 : Mahomet conquiert La Mecque et y répand la religion musulmane aprèsavoir détruit les idoles. 651 : Ecriture du Coran 711 : invasion arabe en Egypte. 814 : les arabes adoptent les chiffres indiens. Il faut distinguer aujourd'hui leschiffres arabes occidentaux dits "ghubâr" des chiffres arabes orientaux dits hindi,tirés directement de la notation indienne et encore utilisés en Lybie et en Egypte.

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Fin du VIIIe s. : Introduction de la numération décimale positionnelle et du zérodans la culture islamique (le Coran aujourd'hui est écrit avec ces chiffres) 772 : al-Mansur, deuxième calife de la dynastie Abbasside a fondé la capitaleBagdad, rapidement devenue un grand centre d'échanges commerciaux etintellectuels. C'est à Bagdad que furent assimilés dans la culture islamique tous lestravaux des scientifiques Grecs et Indiens. 750 - 1258 : Essor de la calligraphie arabe dans le califat Abbasside de Bagdad.

ABBASSIDES. Deuxième grande dynastie de califes arabes, après celle des Omeyyadesde Damas, qui régna à Bagdad de 749 à 1258 et dont le nom provient d'al-Abbas, l'oncledu prophète; trois grands califes en font la renommée, al-Mansur (764-775) le fondateurde Bagdad, Harûn ar-Rashid (786-806) le calife des Mille et une nuits qui envoya unéléphant à Charlemagne et al-Mamun qui fonda la Maison de la Science (Dar al-Hikma).La prise de Bagdad par les Mongols en 1258 met fin à cette dynastie. La transmission du savoir d'un professeur à un élève se faisait en partie par l'intermédiairede la calligraphie. L'élève recopiait d'abord l'oeuvre étudiée sous la direction de sonmaître, puis il recevait de son professeur l'autorisation de transmettre cette oeuvre. Ce"droit de transmettre" lui permettait de citer oralement l'oeuvre étudiée et de l'enseigneraux autres. Il est intéressant de noter que ce "droit de transmettre" (Bi-haqq al-riwâya) àservit à désigner notre Baccalauréat. Certain livres étaient commandés par des mécènes, notamment pour les sciences, lamédecine, l'histoire officielle, et l'art militaire. Par contre, d'autres calligraphes étaientplus indépendants et vivaient dans une grande rigueur, souvent sous l'influence de ladoctrine Soufi. Ce furent surtout des juristes et des théologiens. Dans certainesbibliothèques les particuliers pouvaient venir copier gratuitement une oeuvre. Il y avait quelques ateliers de très haute qualité artistique à la cour des dirigeantsimportants, mais la majorité des oeuvres étaient faites par des copistes marchandsindépendants. A la grande époque, il y avait près de cent copistes-marchands à Bagdad à qui chacunpouvait demander la copie d'une oeuvre littéraire. Ces copistes habitaient le "Sûqal-warrrâqîn." En plus des calligraphes on y trouvait aussi des échoppes appelées"Warrâq" (baraque ?) où se revendaient les livres et tout le matériel d'écriture. C'était unlieu de rencontre des représentants de l'élite cultivée (poètes, juristes, historiens,théologiens...). La calligraphie "une algèbre de l'âme". Exemple en styles Thuluth, Nashki et Ijaza

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(datant de 1829 - exemple tiré du CD "Calligraphie Islamique", exposition au Musée deMarrakech, Fondation Omar Benjelloun )

et la signature du réalisateur du CD, Mohamed Sijelmassi

780 - 850 : AL-KHWARIZMI Muhammad Ibn Moussa, un des plus illustresmathématiciens de son époque, vivait à la cour du calife Abbasside al-Mamum.Son "Traité sur le Chiffre" est le plus ancien travail arabe dans lequel lanumération hindoue de position est utilisée. Astronome de Bagdad né àKhwarizem (Ouzbékistan), d'où son nom, sous le règne du calife Abd Allah alMahmoun (786-833) qui encouragea la philosophie et les sciences en ordonnant latraduction des textes de la Grèce antique.

La notoriété d'Al-Khwarizmi nous est parvenue à travers les siècles moinspar ses talents d'astronome que par son intervention dans l'art du calculalgébrique : auteur d'un Livre sur la science de la transposition et de laréduction ("Kitab Al jabr w'al mouqabala"), écrit à la demande du calife deBagdad, on peut le considérer comme un des premiers algébristes, mais sestravaux auraient été inspirés de ceux de l'indien Brahmagupta. Algèbre (14è siècle) vient ainsi de l'arabe al jabr utilisé par Al-Khwarizmipour signifier "la transposition" (mot à mot reboutement, soit : remise enplace, réparation) d'un terme d'un membre à l'autre d'une équation. Cettetransposition se traduit essentiellement par l'ajout d'une même quantité dansles deux membres de l'équation afin d'éliminer les termes apparaissant ensoustraction.

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972 à 982 : Au cours d'un séjour en Espagne, le moine bénédictin de l'abbaye deCluny, Gerbert d'Aurillac

(945-1003, archevêque de Reims puis élu pape Sylvestre II en l'an 999) est initiéaux chiffres "arabes" avec la traduction des traités arabes de Ibn-Musael-Kharismi (ou "Al Khawarezmi", mathématicien perse à qui l'on doit l'algèbre etla trigonométrie et d'où vient le terme algorithme) qui a lui même introduit dans lascience arabe les nombres et l'algèbre hindoue.

Exemple de chiffres indo-arabes encore utilisés dans le Coran aujourd'hui

Ce passage aux nombre indo-arabes semble avoir été mal accueilli à l'époquedans une Europe qui se considérait comme fidèle héritière du monde grec etromain. Ce moine s'initia aux mathématiques à l'astronomie et aux méthodes de calcularabes lors d'un séjour qu'il effectua en Espagne de 967 à 970. Il fut par la suite élu papeen 999 sous le nom de Sylvestre II. La grande contribution de Gerbert est d'avoir modifiél'ancien abaque romain afin de profiter de la notation positionnelle. Cet abaque étaitconstitué de plusieurs colonnes; sur lesquelles, on déplaçait jusqu'alors des pierres (calculi , d'où le mot calcul) pour effectuer les opérations mathématiques. Gerbertremplaça les calculiqui avait une valeur unitaire, par des jetons numérotés de 1 à 9nommés aspices ( apex au singulier). Gràce à ce progrès technique, les opérationsmathématiques complexes comme la multiplication et la division ne représentaient plusdes défis réservés aux spécialistes. Toutefois, étant donné que le système d'abaque ne nécessitait pas de zéro. Il faudra

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attendre le XIIième siècle avant de le voir resurgir. C'est ainsi que son Liber Abaci , lemathématicien Léonard de Pise dit Fibonacci (v. 1170 à v. 1250) donna au zéro le nom dezephirum , en provenance de l'arabe sifr (d'où vient aussi le mot chiffre). L'usage systématique de ce système (nombres décimaux et fractionsdécimales) n'apparaîtra qu'à partir du 15è siècle sous l'influence demathématiciens comme Chuquet, Viète et Stevin.

976 et 992 : Premières utilisations des chiffres indo-arabes dans deux manuscritsespagnols écrits en latin. 1 168 : Ecriture de la Thora. Figure prélevée dans le plus ancien imprimé mathématique chinois à avoirsurvécu, réalisé en 1213. Elle accompagne l'algorithme sous la forme duquel seprésente le théorème de Pythagore en Chine ancienne (on remarque le triangledePythagore de côtés 3, 4 et 5)

Il s'agit de la reproduction anastatique de ce qu'il reste de l'edition de 1213 des "Dix classiquesde mathematiques", effectuée en 1981 par la maison d'édition wenwu chubanshe sous le titreSongke suanjing liuzhong. (information aimablement communiquée par Karine Chemla del'université Paris 7). XIIe siècle : Culture islamique (Un groupe arabisant écrit aujourd'hui) On voit doncapparaître une culture arabe islamique universelle et de grands centres culturels, à Alexandrie(Egypte), Bagdad (Irak), Cordoue (Espagne)... qui ont permis l'expansion dans les domainesscientifiques, techniques et littéraires.

Ces foyers de civilisation se trouvent en effet au carrefour des grandes traditionsculturelles gréco-égyptienne, irano-indienne et judéo-chrétienne. Une vaste entreprise estalors amorcée avec l'étude, la traduction et la mise en valeur de l'héritage antique-orientalet gréco-latin. Si on a pu parler de Renaissance en Europe (c'est à dire de la découverte deson passé gréco-romain et de l'humanisme), c'est grâce à l'aboutissement d'un processusd'accumulation et de perfectionnement des connaissances transmises par les ouvragesarabes à l'Europe via l'ltalie mais surtout l'Espagne (grand foyer de la culturearabo-islamique). Les connaissances les plus diverses ont ainsi pu parvenir en Occident (venant de l'Inde etde la Chine), à commencer par les mathématiques et les fameux chiffres arabes (c'est a AlKhawarezmi que l'on doit l'algèbre et la trigonométrie). En géographie, au Xlleme siècle,a la demande du roi Roger Il de Sicile, Al Idrissi établit un planisphère et un atlas dumonde, et Thabit Ibn Qorra, lui, détermine la durée de l'année solaire. La médecine s'estaussi beaucoup développée sous l'empire arabomusulman, et fût très brillante auMoyen-Age: des traités sur les maladies, I'étude du corps humain y compris la chirurgievirent le jour. D'ailleurs l'oeuvre d'Avicenne (Ibn Sina, né au Xème siecle), fût traduitedans la plupart des langues européennes et constitua un ouvrage de référence pendant plus

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de six siècles. Dans le domaine de la navigation, les apports arabes sont entre autres lacarte nautique, le phare, la voile et la boussole. Beaucoup de noms de produits etd'instruments entrant dans les expériences alchimistes européennes du Xllème sièclepuisent dans le vocabulaire arabe: alambic, élixir, alcool... Cette civilisation a influencéjusqu'à la mode et les usages, notons par exemple que l'expression "échec et mat" vient del'arabe (le vieux est mort) . Beaucoup d'autres mots français viennent de l'arabe : abricot, carafe, orange, alcool,tasse,café, sucre, sirop, sorbet jupe, azur, satin, coton, mousseline, magasin, luth, jarre,nacre, lilas, nénuphar, alambic, élixir, momie, talisman, girafe, gazelle, alchimie... et biensûr toubib, émir, couscous. C'est à travers l'arabe du Moyen Age que sont parvenus en français certains mots grecs : alambic, où l’on reconnaît l’article défini al de l’arabe, suivi du mot grec ambix « vase àdistiller » ; élixir, où l’article arabe a été rendu par él-, et où l’on devine le grec ksêron « médicamentde poudres sèches » ; estragon, dont l’origine serait le terme botanique grec drakontion « serpentaire », dérivéde drakon « serpent » (nommé ainsi peut-être à cause de son aspect filiforme) ; guitare, qui est passé par l’arabe qitâra (et plus tard par l’espagnol) et qui se trouve êtreun doublet de cithare, également venu du grec kithara.

1 202 : Inroduction du signe zéro d'origine indienne en Europe occidentale.Fibonacci(Liber Abacci) utilise les chiffres "arabes" dont le zéro (zifr = vide, zéroen arabe ! Zéro vient de zefiro = chiffre en italien) XIIe au XVe siècle : En Europe ocidentale, la graphie des chiffres "arabes" sestabilise et donne naissance aux chiffres tels que nous les connaissons aujourd'hui. 1489 : Le mathématicien allemand Johann Widmann d'Eger introduit les signes+et-pour exprimer l'addition et la soustraction (auparavant on utilisait les lettres pet m). 1 514 : Albrecht Dürer grave Melancholia, avec un carré magique 4 x 4.

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1 557 : Le mathématicien anglais Robert Recorde introduit le symbole de l'égalité= 1 582 : Bulle papale "Inter Gravissimus" instituant le calendrier grégorien. Lepape Grégoire XIII suit les conseils de son géomètre Christoph Clau, dit Clavius :chaque année multiple de 4 sera bissextile, sauf celles multiples de 100, maiscelles multiples de 400 seront bissextiles. 1 608 : Le Néerlandais Willebord Snellius développe la notation à virgule pourreprésenter les nombres décimaux. 1 632 : le mathématicien anglais William Oughtred introduit le symbole demultiplication X. 1 637 : René Descartes crée la notation algébrique moderne où les données(paramètres) sont représentées par les premières lettres de l'alphabet (a,b,c) et lesinconnues (variables) par les dernières (x,y,z). Il introduit la notation modernepour les exposants positifs. 1 656 : Le mathématicien anglais John Wallis étend la notation exponentielle deDescartes aux exposants négatifs ou fractionnaires. Il introduit le symbole del'infini. etc... etc...

3. Traduction des nombres indo-arabes de la boîte à Coran La traduction de cette boite à Coran peut donc s'écrire aujourd'hui :

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et l'on y reconnait immédiatement une des huit formes du carré magique (3x3)composé des seuls chiffres 1 à 9, apparaissant chacun une fois, et dispoosés de tellesorte que les sommes dans toutes les directions (lignes, colonnes et diagonales) soittoujours égale à 15, soit trois fois la moyenne (1+2+...+9)/2 = 5

La règle générale vient de Chine et implique l'égalité de la somme dans toutes lesdirections, par exemple :

Nous avons aussi pu relever sur une vieille boîte à Coran à Marrakech, chez unrevendeur de métaux, le carré magique suivant :

6 7 2

1 5 9

8 3 4

qui peut être obtenu par symétrie à partir du précédent.

Il faut signaler que de nombreuses boîtes à Coran au Maroc présentent desimperfections, dues sans doute à l'oubli de la source. Certaines présentent une inversiondes chiffres de deux cases (voir ci-dessous, "carrés énigmatiques ou dégénérés"),certaines présentent même deux cases vides...

4. Carrés magiques

Le concept de carré magique remonte à des temps très anciens et fut présent danstoutes les grandes civilisations. Son origine semble provenir de l'Inde et de laChine , 2000 ans avant J.-C. On le retrouve dans les mathématiques Arabes. Lesplus grands mathématiciens comme Fermat et Euler ont étudié les carrésmagiques. Le non moins célèbre peintre et graveur Albrecht Dürer s'y intéressaaussi : on retrouve un carré magique (ci-dessus) dans une de ses gravures. Sa

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propriété fascinante, magique (!) lui prêta un caractère ésotérique et on le retrouveen astrologie ou dans des légendes plus ou moins diaboliques... Il existe de trèsnombreux écrits et sites sur ce célèbre sujet.

La règle du "jeu" est la suivante : un carré n x n est quadrillé en n*n cases (nau carré) à la façon d'un échiquier. Il s'agit de placer n^2 entiers naturelsdistincts afin que la somme des entiers trouvés en ligne, en colonne et dansles deux diagonales soit toujours la même (c'est la constante S du carré, n enest l'ordre). Si la somme des diagonales diffère de la somme des lignes etcolonnes, le carré est dit semi-magique.

Une résolution simple du carré magique peut être dérivéecomme suit. Quelques résultats très élémentaires d'algèbre linéaire concernant le carré généralde taille n*n a coefficients réels.

1) Notations

- Les éléments sont les x[i,j] avec i=1..n et j=1..n (i est l'indice deligne et j celui de la colonne). - Je note L1,..., Ln les sommes des éléments des lignes 1 à n :

L1=x[1,1]+x[1,2]+...+x[1,n] L2=x[2,1]+x[2,2]+...+x[2,n] etc.

- Je note C1 à Cn les sommes des éléments d'un colonne.

- Je note D1 la premiere diagonale: D1=somme(x[i,i],i=1...n)

et D2 pour l'autre D2=somme(x[i,n-i+1],i=1..n)

2) Equations

Il y en a, a priori, 2n+2:

n équations pour les lignes Li=S i=1..n n équations pour les colonne Cj=S j=1..n 2 équations pour les diagonales D1=S D2=S

En fait, seules 2n+1 équations sont indépendantes car L1+L2+...+Ln=C1+C2+...+Cn

3) Nombre de paramètres:

Il y a n*n inconnues et 2n+1 équations indépendantes Cela fait donc n*n-2n-1 paramètres libres dans le problème à coefficients réels (+ la somme S qui est aussi un paramètre, bien sûr).

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4) Cas n=3

Pour n=3, il y a donc 2 paramètres. Mais on ne peux pas fixerarbitrairement les valeurs de deux éléments quelconques du carré. En particulier, le centre du carré 3*3 vaut nécessairement S/3. Démonstration:

D1+D2-C1-C3+L2=3*x[2,2] Or D1=D2=C1=C3=L2=S d'ou 3*x[2,2]=S.

En fait, voila la solution générale du carré 3*3:

a -a-b+S b

S/3+b-a S/3 S/3-b+a

2S/3-b a+b-S/3 2S/3-a

(qui est bien celle d'Edouard Lucas donnée ci-dessus). Elle est entière dès que a,b et S/3 sont entiers.

Si on cherche une solution avec les nombres entiers de 1 à 9, alorsnécessairement S=15 (car

L1+L2+L3=3S=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45). Donc x[2,1]+x[1,2]=20-2*a doit être compris entre 3 et 17 (somme dedeux nombres distincts entre 1 et 9) Donc a ne peut pas être =1 (ni 9).

Donc le 1 n'est pas sur un coin du carré mais au milieu d'un côté :plaçons le en [1,2] (un choix sur 4).

Alors x[1,2]=15-a-b=1 et a+b=14. Prenons a<b (un choix sur 2), alors il ne reste qu'un possibilite a=6, b=8. C'est fini, le carré estdéterminé :

6 1 8

7 5 3

2 9 4

(aux 4*2=8 symétries près).Les carrés magiques étaient souvent utilisés comme talismans et étaientintimement liés à la vie quotidienne. Il est donc naturel qu'ils ne se rencontrent pasque dans les livres. Certains furent gravés sur des monuments, des médailles, destasses ou des assiettes de porcelaine. La plupart ont été découverts en Chine maisil en existe beaucoup au Maghreb. De ce fait, les mathématiciens se disputentencore son origine ["Les carrés magiques" d'Ahmed Djebbar in Histoired'algorithmes, édité chez BELIN en 1994, cité sur le site de l'université de Rouen]

Carré magique 3 x 3 Un exemple de carré magique d'ordre 3, avec la somme de chaque ligne S =

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15 (symétrique du précédent)

6 7 2

1 5 9

8 3 4

Le diagramme chinois "des neuf palais" date du Xe siècle et a été utilisé enastrologie. Chacune des cases comporte l'indication d'une couleur, chaquecouleur est associée à un nombre

Il est simple de montrer (cf. supra) que dans un carré 3 x 3, le nombrecentral ne peut être que 5 (la moyenne de 1 à 9). Un raisonnement simplepermet de montrer qu' il n'existe exactement que 8 carrés magiques d'ordre 3,qui s'obtiennent par symétrie et rotation. Selon la numérologie de Cornelius Agrippa (1486-1535) ce premier carrémagique 3x3 serait associé à Saturne, avec sa constante "magique" S=15, etla somme de tous les nombres = 45.

Carré magique 4 x 4 Un exemple de carré magique d'ordre 4, avec S = 34

4 14 15 1

9 7 6 12

5 11 10 8

16 2 3 13

Une assiette en porcelaine fabriquée en Chine à l'intention des communautésislamiques, probablement au XIXe siècle

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reprend au centre le carré magique suivant :

44 54 55 41

49 47 46 52

45 51 50 48

56 42 43 53

En soustrayant 40 à toutes les cases, on retrouve le carré 4 x 4 précédent. Dans la gravue Melancholia d'Albrecht Dürer (cf. plus haut) on remarque enhaut à droite un carré magique d'ordre 4 :

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Cette gravure date de 1514, nombre inscrit dans les deux cases centrales dela dernière ligne. Ce carré se réduit au premier carré 4 x 4 par symétrie. On peut montrer qu'il y a 880 carrés d'ordre 4 ! Leur liste complète estdonnée sur un site japonais. Selon la numérologie de Cornelius Agrippa (1486-1535) ce second carrémagique 4x4 serait associé à Jupiter, avec sa constante "magique" S=34, etla somme de tous les nombres = 136.

Carré magique 5 x 5 Le nombre de carrés magiques d'ordre 5 n'est pas connu, mais doit avoisinerles 13 millions ! Un exemple de carré magique d'ordre 5, avec S = 65

3 7 14 16 25

11 20 23 2 9

22 4 6 15 18

10 13 17 24 1

19 21 5 8 12

On remarque ici une propriété nouvelle de ce carré appelé aussi"pandiagonal" car toute une série (évaluée à 1128) de combinaisons de 5cases donnent également une somme = 65 (par exemple la somme de 20etdes 4 nombres dans ses coins inférieurs et supérieurs) . Cette propriété est identique à celle appelée "panmagique" et définie par unesomme de toutes les diagonales également = S. C'est le cas pour la diagonaleen bleu gras italique dans le carré ci-dessus. Les carrés panmagiques sontaussi appelés "diaboliques" [p. 7 in 1] Lorsque cette propriété "panmagique" est vérifiée, ainsi que plusieurs autres,

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on parle de "carrés ultra super magiques" . Pour n= 5 il n'existe que 16carrés "ultra super" magiques dont le suivant :

1 15 22 18 9

23 19 6 5 12

10 2 13 24 16

14 21 20 7 3

17 8 4 11 25

Le nombre au centre est bien sûr le nombre moyen dans cette série : 13 = (1+ 2 +....+25)/2: cette propriété se généralise aux carrés d'ordre supérieur etimpair. Selon la numérologie de Cornelius Agrippa (1486-1535) ce carré magique5x5 serait associé à Mars, avec sa constante "magique" S=65, et la sommede tous les nombres = 325.

Carré magique 6 x 6 Un exemple de carré magique d'ordre 6, avec S = 111

28 4 3 31 35 10

36 18 21 24 11 1

7 23 12 17 22 30

8 13 26 19 16 29

5 20 15 14 25 32

27 33 34 6 2 9

C'est ce carré magique d'ordre 6 que l'on retrouve ci-dessous, gravé sur uneplaque de fer : les chiffres utilisés sont les chiffres arabes d'Orient.

Cette plaque de fer a été retrouvée récemment dans les ruines d'un palaischinois (l'auteur du Lycée Les Bruyères, qui montre ce bel exemple ce carrémagique en chiffre indo-arabes, ne précise pas où ni quand...)

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Une photo du même carré nous a été rapportée en octobre 2001, qui a étéprise au Musée d'Histoire de la ville de XI'AN en Chine. Nous recherchonssa datation:

Selon la numérologie de Cornelius Agrippa (1486-1535) ce carré magique6x6 serait associé au soleil, avec sa constante "magique" S=111, et la sommede tous les nombres = 666... le "nombre de la Bête" dans l'Apocalypse.

Carré magique 7 x 7

30 39 48 1 10 19 28

38 47 7 9 18 27 29

46 6 8 17 26 35 37

5 14 16 25 34 36 45

13 15 24 33 42 44 4

21 23 32 41 43 3 12

22 31 40 49 2 11 20

On en trouve un autre exemple sur le traité médiéval cité ci-dessous [1] :

Selon la numérologie de Cornelius Agrippa (1486-1535) ce carré magique7x7 serait associé à Vénus, avec sa constante "magique" S=175, et la sommede tous les nombres = 1225.

Carré magique 8 x 8, dit "de Benjamin Franklin". Le résultat est

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Sa construction est présentée sur le site. Selon la numérologie de Cornelius Agrippa (1486-1535) ce carré magique8x8 serait associé à Mercure, avec sa constante "magique" S=260, et lasomme de tous les nombres = 2080.

Carré magique 9 x 9 37 36 26 16 6 77 67 57 47 48 38 28 27 17 7 78 68 58 59 49 39 29 19 18 8 79 69 70 60 50 40 30 20 10 9 80

81 71 61 51 41 31 21 11 1 2 73 72 62 52 42 32 22 12 13 3 74 64 63 53 43 33 23 24 14 4 75 65 55 54 44 34 35 25 15 5 76 66 56 46 45

avec comme valeur centrale la moyenne 41 = (1+2+...+81)/2 Selon la numérologie de Cornelius Agrippa (1486-1535) ce carré magique9x9 serait associé à la Lune, avec sa constante "magique" S=369, et lasomme de tous les nombres = 3321.

Carré magique 14 x 14 On trouve facilement des références à des carrés d'ordre supérieur, parexemple 14 x 14 :

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Carré magique 17 x 17

155 174 193 212 231 250 269 288 1 20 39 58 77 96 115 134 153 173 192 211 230 249 268 287 17 19 38 57 76 95 114 133 152 154 191 210 229 248 267 286 16 18 37 56 75 94 113 132 151 170 172 209 228 247 266 285 15 34 36 55 74 93 112 131 150 169 171 190 227 246 265 284 14 33 35 54 73 92 111 130 149 168 187 189 208 245 264 283 13 32 51 53 72 91 110 129 148 167 186 188 207 226 263 282 12 31 50 52 71 90 109 128 147 166 185 204 206 225 244 281 11 30 49 68 70 89 108 127 146 165 184 203 205 224 243 262 10 29 48 67 69 88 107 126 145 164 183 202 221 223 242 261 280 28 47 66 85 87 106 125 144 163 182 201 220 222 241 260 279 9 46 65 84 86 105 124 143 162 181 200 219 238 240 259 278 8 27 64 83 102 104 123 142 161 180 199 218 237 239 258 277 7 26 45 82 101 103 122 141 160 179 198 217 236 255 257 276 6 25 44 63 100 119 121 140 159 178 197 216 235 254 256 275 5 24 43 62 81 118 120 139 158 177 196 215 234 253 272 274 4 23 42 61 80 99 136 138 157 176 195 214 233 252 271 273 3 22 41 60 79 98 117 137 156 175 194 213 232 251 270 289 2 21 40 59 78 97 116 135

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avec comme valeur centrale la moyenne : 145 = (1+2+...+289)/2 Ces auteurs (Allan Adler et Suzanne Alejandre) expliquent que cettestructure est celle d'un tore ("doughnut")

Carrés magique jusqu'à 20 x 20

Un exemple de tous les carré magiques n x n, jusqu'à n=20obtenus par la méthode de Tamori est donné sur le sitejaponais de Mutsumi Suzuki.

Construction des carrés magiques d'ordre impair. Une méthode générale de construction graphique est présentée dans le site del'université de Nantes . La méthode est basée sur l'introduction de prolongements(provisoires) des cases du carré. Dans le cas 3 x 3 cela introduit la constructionsuivante :

puis on insère les impairs de façon croisée :

Dans un cas plus général (9 x 9) la construction est semblable : on part de

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puis

et ensuite :

et finalement on obtient:

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avec au centre la valeur moyenne 41=(1+2+...+81)/2 Cette même méthode de construction des carrés magiques d'ordre impair estdétaillée (avec ses difficultés) sur le site du Lycée Les Bruyères (Académiede Rouen). La littérature regorge de curiosités sur les carrés magiques: triangles,rectangles, cercles, étoiles magiques, carrés antimagiques, carrés de nombrespremiers, carrés magiques au produit, cubes et tableaux de dimension nmagiques, etc. De très nombreuses propriétés mathématiques sont connues.En revanche, il reste des questions en suspens: combien de carrés magiquesdistincts et consécutifs existe-t-il pour des dimensions supérieures à 5 x 5 ?

Construction des carrés magiques d'ordre pair

La construction des carrés magiques d'ordre pair est beaucoup plus complexeque celle des carrés impairs car on ne peut pas appliquer la méthode précédente ni pour aucune autre méthodes'appliquant à l'ordre impair. Pour construire un carré magique pair, il fautd'abord construire 2 carrés auxiliaires avec lesquels l'on construira le carrédemandé. La construction du carré magique 4 x 4 est donnée par exemple surle site (en anglais). Une explication détaillée est donnée sur un site "Mathématiquesthéosophiques et kabbalistiques de la Genèse à l'Apocalypse" D'autre sites sont consacrés à la magie des nombres, aux carrés magiques etau chiffre de la Bête.

Une quantité d'autre carrés (ou étoiles) plus ou moins magiques,antimagiques, pandiagonaux, avec incrustations peuvent être trouvéssur le site de Harvey Heinz, qui semble avoir consacré sa vie aux carrés magiques.

Enfin, almost last but not least, les formes analytiques descarrés magiques jusqu'à 5 x 5 sont donnés sur le site japonais.

"June 2000 : John R. Hendricks creates the first bimagic cube ofthe world. It has order n=25 and is made by consecutivenumbers 1 to 15 625. The magic sum is 195 325, while the

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bimagic sum is 2 034 700 525."

etc... etc...

5. Carrés alphanumériques.

Le plus célèbres des carrés alphabétiques est le carré de SATOR.

A Rome, au Moyen Age, ce carré était inscrit sur un grand nombre d'objetscourants, ou au dessus de portes. On lui attribait des propriétés magiques pourconjurer l'esprit du diable. Sa traduction serait "Le créateur (le sauveur) tient lefonctionnement des spheres dans ses mains" (?). Sur ce carré le parcours ducheval aux échecs indiquerait le mot "Pater Noster" ou plutôt "Paternoter"... De nombreux carrés alphamagiques peuvent être discutés...

6. Carrés islamiques

Un traité médiéval sur les carrés magiques "De l'arrangement harmonieux desnombres" .

L'auteur (inconnu) de ce traité a fait une synthèse des connaissances de sontemps sur les carrés magiques; il les a ordonnées et surtout les a présentées

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avec une exceptionnelle clarté. Son ouvrage a été recopié jusqu'au XVIIIesiècle, et une traduction de Jacques Sesiano vient de paraître aux PressesPolytechniques et Universitaires Romandes (ISBN 2-88074-310-9, 358,7FF)

Cet ouvrage est la reproduction, la traduction et le commentaire d'un écrit arabe anonyme du XIesiècle expliquant des modes généraux de construction des carrés magiques. Il enseigne en effetcomment placer dans les cases d'un carré de n'importe quelle dimension des nombres entiers,positifs et différents, en sorte de trouver dans chaque ligne, chaque colonne et chacune des deuxdiagonales une même somme. Cette édition constitue la première étude du plus ancien texteconservé présentant des méthodes générales. Elle a été faite d'après deux copies conservées àIstanbul. L'une, qui contient le texte complet, remonte au XVIIIe siècle; l'autre, fragmentaire, esten revanche passablement plus ancienne, puisqu'elle fut écrite en l'an 648 de l'Hégire (ou 628 ?)(soit 1250 de l'ère chrétienne - ou 1250 ?). Après un rappel de quelques notions fondamentalessur les nombres naturels, principalement extraites des Eléments de géométrie d'Euclide,l'auteur enseigne diverses sortes d'arrangements magiques des n2 premiers nombres naturelsdans un carré d'ordre n. Une seconde partie étudie comment remplir un carré lorsque n nombresdonnés doivent en occuper des cases particulières.

On y trouve des carrés d'ordre n contenant d'autres nombres que les n premiers nombres naturels1,2...n. On trouve également au Musée de Marrakech (Fondation Omar Benjelloun) untrès grand carré talismanique 100 x 100 sur une tunique de coton du XVIIe sièclevenant d'Iran

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Il a été rapporté [p. 14 in 1] que le premier à avoir placé un carré magique 100 x100 sur l'étendard de l'Islam fut le quatrième calife, commandeur de croyants Alïibn abï Tälib, cousin et gendre du prophète Muhammad. Dans sa partie supérieure on y voit des carrés 10 x 10 remplis d'écrituresidentiques suivant chaque diagonale descendante,

et aussi des carrés 4 x 4 .

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La première ligne semble être du texte. Les douze cases inférieures portent desinscriptions qui pourraient être des chiffres indo-arabes. On remarque que chacunedes quatre notations (908, 771, 107 et 137 ?) est reproduite trois fois, sur despositions relatives correspondant à celles du cheval sur l'échiquier :

... ... ... ....

137 107 908 771

908 771 137 107

107 137 771 908

En un autre endroit, dans un Riad de Marrakech, on trouve un bas reliefornementé qui présente d'autres inscriptions (texte) sur un grand rectangle 8 x 14avec motif central , sans doute à signification religieuse.

7. Carrés énigmatiques ou dégénérés

J'ai déjà signalé plus haut que les carrés magiques 3 x 3 figurant sur denombreuses boîtes à Coran au Maroc présentent des imperfections, dues sansdoute à l'oubli de la source. Certaines présentent une inversion des chiffres dedeux case, certaines présentent même deux cases vides... Par exemple, le carré suivant a pu être photographié sur une boîte à Coran, trèssemblable à celle de la première page.

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La traduction de ces chiffres indo-arabes donne:

4 9 2

1 5 7

8 3 6

Comparé à un carré magique 3 x 3, ce carré présente une inversion manifestedes chiffres 1 et 3 et les propriétés sont donc légèrement faussées. Cette boïte est en vente à Marrakech dans le magasin d'antiquités de M.H.Bouadani, conservateur du musée Yves Saint-Laurent, ainsi que l'objetsuivant

qui présente un carré 3 x 3 rempli apparemment de nombres écrits en chiffresindo-arabes et probablement supérieurs à 320. Quel est son sens ?

A. D'autres carrés enfin présentent des carré 4 x 4 qui font manifestementintervenir d'autres signes à côté de chiffres indo-arabes. Lors d'une visite chez unantiquaire brocanteur, très près de la Place Jamaa el Fnâ à Marrakech, nous avonstrouvé à son doigt une bague ancienne en argent venant du Sud Marocain ou deMauritanie (région presque uniquement berbère, mais aussi plus spécifiquementtouareg). Il reste encore à déchiffrer le carré suivant d'ordre 4 :

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A.

Des premières informations, exposées plus bas, semblent montrer que le

signe qui ressemble à un chiffre quatre souligné 4 est sans doute uneécriture de la lettre "t" en Tamazight, écriture de la langue berbère. Le chiffreIII semble apparaître en chiffres romains, de même que deux lettres(Tamazight ?) non identifiées : tt ? et U ? . La traduction très partielle serait

3 ? 51 tt ? U ?

4 ? 8 9 ? 5

7 4 ? 3 ? 2

4 ? 3 ? 8 9 ?

A. Ce carré reste encore à déchiffrer.

B. Quant au carré suivant (sur une bague procurée par Mr. Abril Ali, Antiquitésdu Sahara, 176 Rahba El Kadima, Marrakech, Maroc), il est d'ordre 5 :

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B. Ses écritures ne correspondentent pas à un carré magique. Il présente :

à la fois des chiffres indo-arabes (faut-il interpréter les formes "04" et"44" comme des chiffres modernes ou plutôt les lire comme chiffresindo-arabes, 56 et 66 ?), un nombre constant sur la diagonale principale, qui serait 18 en chiffreindo-arabes, ceci interdisant par là-même au carré d'être "magique"

sur une diagonale secondaire (mineure) un signe que nous écrivons #,qui semble inconnu aux personnes interrogées et n'apparaît pas dansl'alphabet ci-dessous en tifinagh

Tifinagh: écriture de la langue targui "tamasheq outamahaq" destouareg Touareg : de l'arabe tawarîq, les "sans-chemins" ....

Nous verrons cependant plus bas que ce signe # apparaît assezclairement dans des écriture sur des bijoux berbères, mais nous n'enconnaissons pas encore la signification. La traduction partielle de ce carré 5 x 5 (en supposant des chiffresindo-arabes) donnerait :

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18 53 # 52 22

22 18 53 # 52

52 22 18 53 #

# 52 22 18 53

53 # 52 22 18

B.et ne peut donc pas être magique.

8. Langue berbère TAMAZIGHT et écriture Touareg leTIFINAGH

Le tamazight (gh=γ se prononce comme un r grasséyé) est un des grandsdialectes berbères. Il existe bien-entendu d'autres dialectes berbères commele tachelhit (ou chleuh) du haut atlas et le zenatiya (ou rifain) qui comme sonnom l'indique est parlé dans la région du Rif, le taqbaylit de Kabylie...etc

Caractères latins, arabes et tifinagh :

Il existe un site proposant la traduction des textes arabes ou tamazight ... Cette langue Tamazight est enseignée dans plusieurs universités américaines.

L'alphabet Tamazight y est présenté comme suit (avec de légèresdifférences):

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Une petite différence peut être observée entre cette table (publiée sur le site )en ce qui concerne la lettre que nous pouvons désigner comme un chiffre

quatre souligné (4) qui semble apparaître dans le carré A.,d'ordre 3, et quiest citée ici comme intervenant dans le mot Tit (oeil)

Dans l'écriture du mot, cette lettre a été remplacée par +, sans doute parerreur et nous avons demandé des renseignements à l'auteur. Une information complémentaire sur l'alphabet Tamazight (et sans doutereliée) a pu être obtenue sur la photo suivante, provenant de la photocopied'une page de carnet, qu'un voyageur a aimablement laissée à Mr. Abril Ali(Antiquités du Sahara, 176 Rahba El Kadima, Marrakech, Maroc). On ytrouve les symboles de l'écriture en Tamazight, avec quelques variantesindiquées pour l'usage au Maroc

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En ce qui concerne la lettre que nous pouvons désigner comme un chiffre

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quatre souligné (4) et qui est cité comme intervenant dans le mot Tit (oeil),l'agrandissement suivant

indique une autre écriture du mot Tit (oeil), qui fait cette fois intervenir la

lettre que nous désignons (faute de mieux) par 4

Ceci confirme que la lettre Tamazight que nous désignons par 4 et

apparaissant sur la bague 3 x 3 (A.) ci-dessus serait bien une des formes dela lettre "t". Nous donnons à titre d'exemple un texte complet cité sur le site Tamazight(pour l'agrandir, cliquez sur le bouton de droite puis sur "afficher l'image").

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On n'y trouve pas le caractère "#". On verra dans la section suivante qu'ils'agit d'un signe, ou d'une lettre, d'origine berbère, mais non targui.

Conclusion : La disposition observée sur ce carré 4*4 ( B.) semble réminiscente despropriétés des carrés magiques (importance de la diagonale principale et de la diagonalesecondaire), mais il nous reste à comprendre ce que signifient les signes sur ces carrés...sont-ils devenus purement décoratifs ou ont-ils une signification ? dans quelle écriture ?berbère ?

9. Quelques signes d'écriture berbère ?

Parmi les objets authentiques présentés Mr. Abril Ali (Antiquités du Sahara, 176Rahba El Kadima, Marrakech, Maroc), on trouve des bijoux berbères où figurentnon seulement la spirale, caractérisant l'éternité dans la culture berbère, mais aussides signes d'écriture dont certains au moins reproduisent une forme allongée du

caractère "#".

Des boucles d'oreille

Un pendentif

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sur lequel le signe "#" apparait plusieurs fois, comme le montre le détail àcôté (pris en haut à droite). Ce signe apparait également, à côté de caractères typiquement tamazight(voir détail à gauche), sur d'autres bijoux, comme la main suivante,composée de plusieurs couches séparées de métaux différents (argent,cuivre, etc...).

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On finira cette lecture sur la simple admiration de ces bijoux berbères aulanguage très ancien....

10. Conclusions

Le plus ancien livre chinois, le Yi-king (1150 av. JC) ou "Livre destransformations", repris par Confucius (né en 551 av. JC), introduit nonseulement le système binaire dans ses trigrammes et hexagrammes étudiés

par Leibnitz , mais il raconte aussi que, sous l'empereur mythique Yüle Grand (2 300 av JC), une tortue émergea de la rivière Lo, portant sur sacarapace des taches qui figuraient un carré magique où les nombres de 1 à 9étaient arrangés de manière à ce que leur somme fût toujours égale à 15. Les Babyloniens (1 900-1 600 av JC) nous apportèrent la numération deposition. L'Inde nous apporta les chiffres brâhmî précurseurs de notre système denumération moderne (indo-arabe). "De même que le contact des Hellènesavec les Mycéniens et les Crétois a produit le miracle grec, le contact desAryens avec les pré-Aryens (ou Dravidiens) a produit le miracle indien. Cesdeux miracles, pratiquement synchrones, ont eu les mêmes causes et lesmêmes effets." (Soucé Antoine PITCHAYA in [3]). On peut s'interrogersur une possible analogie des rôles ultérieurs joués par les deuxcivilisations romaines et islamiques.

Si la civilisation arabe a été déterminante pour traduire, développer,adapter, utiliser et transmettre les plus anciennes cultures orientales,

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chinoises et indiennes vers le monde occidental à l'occasion de l'islamisationdu bassin méditerranéen, il est sûr que les chiffres "arabes"

, la numération de position et le zérosont des inventions plus anciennes, d'origine babylonienne et indienne (ouhindoue car développée dans les milieux religieux), facilitées par la structurede la langue, le sanskrit védique (p.179 in [3]).

Les grands mathématiciens et astronomes indiens Aryabhata(476 - 550)etBrahmagupta(598 - 660) précèdent l'Hégire (622) et la grande civilisation deBagdad (750 - 1258) ... bien avant que les chiffres indo-arabes ne soientrapportés d'Espagne en occident (972 à 982) par un moine bénédictin del'abbaye de Cluny, Gerbert d'Aurillac et utilisés par Fibonacci (1202). Les carrés magiques nous ont été transmis par la même voie islamique. Onles retrouve en abondance chez les peuples berbères dans le sud marocain, oùcertains, cependant, semblent avoir perdu leur tracé précis, même si le rôle

de talisman reste actuel. La mémoire de leur origine semble cependant avoir été perdue par ceux quiles reproduisent : quand nous avons interogé des bijoutiers, antiquaires,brocanteurs marocains sur la bague ci-dessus avec le carré 4 x 4 ( A.), onnous a répondu successivement "C'est le diable", "C'est juif", "Cela ne veutrien dire"... "cela porte chance". On nous dit que ces caractères ne seraientni hébraïques, ni berbères, ni touareg. Quelle est leur origine ?

Parmi de très nombreuses écritures en carré apparaissant au Maroc, nousavons été particulièrement intéressé par deux carrés inscrits sur des bagues.

Sur le carré d'ordre 4 ( A.) , nous pensons avoir identifié

au moins une lettre correspondant au "t" dans l'écritureTamazight de la

langue targui (à côté des chiffres indo-arabes). Sur le carré d'ordre 5 ( B.)

nous pensons que le signe "#" est d'une autre origine

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berbère, mais aucun de ces deux carrés ne semble "magique". Il seraitnéanmoins intéressant d'obtenir la traduction de ces deux carrés réminiscentsdes carrés magiques.

Sans parler de leur usage numérologique ou divinatoire, les carrés magiquesont été [1] et restent aujourd'hui l'objet d'études mathématiques [2, 4, 5].

11. Quelques sites intéressants sur Internet :

L'aventure des écritures (BNF) : http://www.bnf.fr/web-bnf/pedagos/dossiecr/ Histoire des chiffres : http://radio-canada.ca/tv/decouverte/3_chif/7a.html Petite chronologie des mathématiques (IREM à Marseille) :http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/ L'apparition des nombres :http://lechiffre.free.fr/chapter1/B-Naissance/titre1.html Arabissimo : culture arabe http://www.lettres.univ-nantes.fr/asso/arabissimo/

"Vocabulaire historique du Moyen Age" (Occident, Byzance, Islam) parFrançois-Olivier Touati, dir., http://bhistoire.com/e09p.htm CNRS Info : http://www.uiuc.edu/cnrs/Cnrspresse/cnrsinfo.html Groupe de recherche en Astrophysique de l'Université Laval :http://andromede.phy.ulaval.ca/ Site de H.D. Heinz sur les carrés magiques :http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Launchpad/4057/ The Math Forum : http://forum.swarthmore.edu/ Intéressante liste de jeux et problèmes mathématiques, dont certains restent"ouverts" comme le jeu de Marienbad :http://hypo.geneve.ch/www/math/html/DebHtml.html etc... etc...

12. Références imprimées à consulter :

[1] Jacques SESIANO "Un traité médiéval sur les carrés magiques. Del'arrangement harmonieux des nombres" , Presses Polytechniques etUniversitaires Romandes (ISBN 2-88074-310-9) [2] René DESCOMBES "Histoire, théorie et techniques du carré magique, del'Antiquité aux recherches actuelles", Ed. Vuibert. ISBN 2-7117-5261-5 (299 F)[3] Actes du colloque "L'Ocean Indien au carrefour des mathématiquesarabes, chinoises, européennes et indiennes", (édité par l'IUFM de la Réunion

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(1 allée des Aigues Marines, Bellepierre, F-97400 Saint-Denis de la Réunion).Voir résumés sur leur site. [4] William H. BENSON, Oswald JACOBY "New Recreation with MagicSquares", Dover, NY (1976) Aborde les duplications de Strachey, les CM diaboliques deStern, les constructions de La Hire. [5] Jacques BOUTELOUP "Carrés Magiques, Carrés Latins et Eulériens",Editions du Choix, Argenteuil (1991) Ce livre reprend des démonstrations qui sontbibliographiquement peu accessibles. Des études complètes, utilisant la congruence, mais aussila théorie des corps. Donne également des résultats sur des travaux récents. [6] Ian STEWART "Les carrés alphamagiques, Les beautés des carrésmagiques, numériques et linguistiques" Pour la Science, No 232 (février 1997), etScientific American, 122-123 (Nov. 1999). [7] J.-M. GROIZARD "Algèbre des carrés magiques" ISSN 0291-5709,Publication de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'EnseignementPublic N° 55 (1984), APMEP, 26, rue Duméril 75013 PARIS .

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Documents

CM1.html Carrés magiques indo-arabes et tortue de Lho Shutaosophie.free.fr/recueil/carre_magique.pdfLes parties les plus anciennes du livre remontent à la première dynastie Zhou