Cointégration et Modèle à Correction d’Erreur

Riadh BEN JELILI

Exemples introductifs1er exemple

On considère deux variables yt et xt définies par : yt =t et xt = t²; t=1,…,T. La tendance de yt est de typelinéaire et celle de xt est quadratique.MCO pour T = 30 : yt = 5,92 +0,03 xt

(8,5) (19,8)

avec R² = 0,94 et DW = 0,057

2ème exempleOn génère deux processus aléatoires :

yt = yt-1 + ε1t avec ε1t ~ N(0;σ21)

xt = xt-1 + ε2t avec ε2t ~ N(0;σ22)

Sur 1000 régressions de y sur x, on obtient lesrésultats suivants : 670 sont significatives d’après lastatistique de Student, cependant la statistique deDW est toujours faible.

A retenir• Le premier exemple illustre le danger

d’interpréter et d’utiliser une régression entredeux variables affectées de tendancesdéterministes de degré différent : le modèle a untrès mauvais pouvoir prédictif (très faible valeurdu DW qui présage d’une autocorrélation fortedes erreurs).

• Le deuxième exemple illustre le risque derégresser entre elles deux séries affectées d’unetendance stochastique : risque de régressionfallacieuse ou spurious regression.

La théorie de la cointégration introduite par Granger(1986), et développée ensuite par un grand nombred’auteurs, peut être considérée comme une approchepour mettre en évidence des relations linéaires stablesentre des séries temporelles non stationnaires.

Attraits de la théorie de la cointégration

• La possibilité d’établir une combinaison linéairestationnaire de variables qui ne le sont pas et qui, àpremière vue, devraient diverger l’une de l’autrelorsque le nombre d’observations tend vers l’infini .L’existence de cette combinaison permet d’avancerqu’il existe une relation d’équilibre de long termeentre les variables considérées.

• Rationaliser l’utilisation des modèles à correctiond’erreurs (désignés par ECM). Le théorème dereprésentation de Granger (1983) précise dans cecadre le lien, jusqu’alors intuitif, entre cointégration etmodèles à correction d’erreurs.

Tests de cointégration basés sur les résidus et

modèle ECM

1. DéfinitionsLes composantes d’une matrice Y de dimension (T,M), Y =(Y1,…,YM), sont cointégrées à l’ordre (d,b) avec b > 0 si :

1. Toutes les composantes de Y sont intégrées à l’ordre d,2. Il existe un vecteur α de dimension (M,1) non nul tel que

Yα est intégré à l’ordre (d -b), α ≡ (1 -α1 … -αM)’

Lorsque les M variables sont à l’équilibre de long terme :

• α est appelé vecteur cointégrant;• α n’est pas unique dans la mesure où la relation (1) n’est pas affectée par une transformation multiplicative par un scalaire;• il existe au maximum M - 1 relations de cointégration;• L’espace de cointégration désigne l’espace vectoriel engendré par les r vecteurs cointégrants, linéairement indépendants.

L’erreur d’équilibre :

Si toutes les composantes de Y sont I(1), alors les M variables sont dites cointégrées s’il existe un vecteur α tel que l’erreur définie par (2) est I(0).

Réécriture normalisée de (2) en exprimant une composante de Y en fonction des M-1 autres composantes :

Le résultat du test de cointégration est sensible à lanormalisation effectuée en échantillon fini.L’utilisation de différentes normalisations présente lerisque de conclusions différentes quant à l’existencede relations de cointégration entre deux variables ouplus.

2. Procédure de Engle et Granger (1987) :

D’abord vérifier que les composantes de Y sontintégrées de même ordre. Ensuite, effectuer un testde racine unitaire sur le résidu tiré de l’estimationde (3) :

Dans la mesure où la matrice X inclut uneconstante et un trend, ces derniers n’ont pas à êtreintroduits dans (4)

• Test en tout point semblable au test de racineunitaire de DF. Seules les valeurs critiquesdiffèrent. MacKinnon (1991) permet de calculerces valeurs à l’aide de surfaces de réponse définiespar :

φ∞, φ1 et φ2 sont des valeurs tabulées.

Remarques importantes

1. D’une manière générale, dans un modèle à unevariable à expliquer et k variables explicatives, ilpeut exister k vecteurs de cointégrationlinéairement indépendants. Le nombre devecteurs de cointégration linéairementindépendants est appelé rang de la cointégration.

2. Si les variables sont de même ordre d’intégration,l’existence d’un seul vecteur de cointégration estpossible; en revanche, si les séries ne sont pastoutes intégrées du même ordre, on peut êtrecertain que le vecteur de cointégration n’est pasunique.

⇒ En pratique, pour tester une éventuellecointégration entre plusieurs variables, il convienttout d’abord de la tester sur l’ensemble des k+1variables, puis, en cas de cointégration, de latester par combinatoire entre les variables.

3. L’utilisation de la méthode en 2 étapes se heurte à desbiais pouvant survenir en échantillon fini lors del’estimation de α∗ dans la première étape. Unesolution envisageable est alors celle proposée parSaikkonen (1991) et Stock et Watson (1993). Elleconsiste à introduire dans l’équation (3) des avances etdes retards de la différence première de chacune desvariables faisant partie de Y* :

Stock et Watson (1993) : les estimateurs obtenus parMCO ou MCG à partir de (3)’ sont asymptotiquementéquivalents à ceux obtenus par estimation par lemaximum de vraisemblance.

Théorème de représentation de Granger

Ce théorème précise le lien étroit existant entre ECMet cointégration. Il associe la présence d’une relationde cointégration à l’existence d’une représentationECM qui permet de corriger les écarts afin deconverger vers la cible de long terme. Il fournit unejustification à l’utilisation de ce type de spécificationdynamique, en établissant que tout système cointégréadmet une représentation ECM :

dont la dynamique peut être enrichie parl’introduction de retards supplémentaires de ∆Y*.

La méthode en deux étapes de Engle-Grangerconsiste ainsi à obtenir en une première étape uneestimation de α∗ et à la substituer à α∗ dans (5). Ladeuxième étape consiste ensuite à estimer par lesMCO l’équation (5).

Remarques :

1. Un indicateur de la qualité de l’estimation de (5)réside dans le R² : si la valeur du R² estsuffisamment proche de 1, alors les propriétésdes estimateurs tirés de (5) ne doivent pas êtremauvaises.

2. La méthode à deux étapes basée sur lethéorème de représentation n’est valable quepour des variables I(1) et dans le cadre de lacointégration déterministe (absence de trend).

3. Le coefficient δ, exprimant la force de rappelvers l’équilibre, doit être significativementnégatif; dans le cas contraire, il convient derejeter une spécification de type ECM.

En effet, le mécanisme de correction d’erreur oude rattrapage qui permet de tendre vers larelation de long terme irait alors en senscontraire et s’éloignerait de la cible de longterme.

3. Test de cointégration de Shin (1994)

Extension à la cointégration du test développé dansKwiatowski, Phillips, Schmidt et Shin (1992)destiné à tester la stationnarité sous l’hypothèsenulle.

+=+=

++′++=

− ttt

ttt

ttttt

vr

urZty

1ρρρϖ

βλω

Il s’agit de la forme de cointégration la plus généraleincluant une constante et un trend. La cointégrationpeut être également testée sur une relation où figureseulement une constante, voire sur une relation sansconstante ni trend. Comme pour le test KPSS,l’hypothèse nulle testée est : 02 =vσ

Utilisée de façon complémentaire aux statistiques de test deEngle-Granger, la statistique de Shin permet d’établir lataxinomie suivante :

Hypothèse nulle : non-cointégration

Engle et Granger (1987)

H0 acceptée H0 rejetée

Hypothèse nulle :

cointégrationShin (1994)

H0 acceptéePas de

conclusionCointégration

H0 rejetéeNon

cointégrationFormes

alternatives

Désavantages de la méthode en deux étapes :

• Banerjee, Dolado, Hendry et Smith (1986) ontmontré que les estimations à distance finie (petitséchantillons), issues de la méthode à deux étapessont biaisées.

• La procédure Engle et Granger ne permet pas dedifférencier plusieurs vecteurs cointégrants.

Tests de cointégration basés sur le maximum de vraisemblance et modèle

VECM

1. Représentation vectorielle à correction d’erreur VECM

Si le vecteur de cointégration est unique, nouspouvons employer la méthode en deux étapesproposée par Engle et Granger. Toutefois, le plussouvent, le vecteur de cointégration n’est pasunique et les estimations des MCO de cetteméthode ne sont plus consistants quels quesoient les vecteurs de cointégration

Cas de deux variablesD’après le théorème de la représentation deGranger, si deux variables x et y sont I(1) etcointégrées, alors la représentation VECM suivanteexiste :

Si les coefficients δ et δ’ ne sont passignificativement différents de 0, nous ne pouvonspas retenir l’hypothèse d’une cointégration et lareprésentation ECM n’est pas valide.

Si la représentation à correction d’erreur existe, les relations précédentes peuvent s’écrire :

Généralisation de la représentation VECMLa méthode de cointégration à la Johansenconsidère un modèle vectoriel autorégressifVAR(p) à M variables, p retards et T observationsécrit sous la forme matricielle :

6)( ,2211 tptpttt YYYY εµ ++Π++Π+Π= −−−

L’équation (6) peut être réécrite sous la forme de différences :

(7) ,1

1tpt

p

jjtjt YYY εµ ++Π+∆Γ=∆ −

−

=−∑

( ) 1,...,1,...21 −=Π−−Π−Π−−=Γ pjI jMj

( )pMI Π−−Π−Π−−=Π ...21

Objet de la méthode à la Johansen

Déterminer si la matrice Π de dimension (M,M)permet d’informer sur les relations de long termeentre les variables Ymt , m = 1,...,M et t = 1,...,T,de Y.

1er cas :

Le rang de Π est égal à 0 : il n’existe aucunerelation de cointégration entre les variables ;

2ème cas :

Le rang de Π est égal à M : le vecteur Yt eststationnaire et la matrice Π est de rangplein;

3ème cas :

Le rang de Π ( noté R) est compris entre 1 etM-1 : il existe des matrices α et β dedimensions (M,R) telles que Π = αβ’ . Ilexiste donc R relations ou vecteurs decointégration contenus dans β, appeléespace de cointégration. β contient ainsi lesparamètres des vecteurs de cointégrationtandis que α contient les poids associés à cesvecteurs, désigne ainsi le poids de la relationde cointégration i dans l’équation j, avec i =1,...,R, j = 1,...,M.

Dans ce dernier cas, la représentation ECMest valide, soit :

(8) ,1

1tpt

p

jjtjt eYY εµα +++∆Γ=∆ −

−

=−∑

avec 'tt Ye β=

Pour estimer les matrices α et β tel que Π=αβ’Johansen (1988,1989) propose d’utiliser laméthode du maximum de vraisemblance, sousl’hypothèse de normalité des erreurs del’équation (8).

2. Test de relation de cointégration à la Johansen

Le rang de la matrice Π détermine donc le nombrede relations de cointégration. Johansen (1988,1989) propose deux tests fondés sur les valeurspropres les plus élevées de la matrice Π (Tests deratio de vraisemblance ou LR).

Test de la trace

A partir des valeurs propres de la matrice Π, oncalcule la statistique suivante pour testerl’hypothèse nulle selon laquelle il existe au plus rvecteurs cointégrants (soit M - r racines unité) :

( ) ∑+=

−−=−=M

riicnctrace LogTLLogLLog

1)ˆ1()()(2 λλ

1,2,..,2,1,0 −−= MMr

Cette statistique suit une loi de probabilité(similaire à un Khi deux) tabulée à l’aide desimulations par Johansen et Juselius (1990).

Le test fonctionne par exclusion d’hypothèsesalternatives.

• Rang de Π égal à 0 (r=0),H0 : r=0 vs H1 : r>0

Si λtrace > à la valeur critique tabulée, on rejette H0 et on passe au test suivant.

• Rang de Π égal à 1 (r=1),H0 : r=1 vs H1 : r>1

Si λtrace > à la valeur critique, on rejette H0 et on passe au test suivant.

• Rang de Π égal à 2 (r=2),H0 : r=2 vs H1 : r>2

Si λtrace > à la valeur critique, on rejette H0 et on passe au test suivant, etc.

• Si, après avoir refusé les différentes hypothèses nulles à la fin de la procédure on teste,

H0 : r=M-1 vs H1 : r=MSi λtrace > à la valeur critique tabulée, on rejette H0et le rang de la matrice est r=M; il n’existe pas derelation de cointégration car les variables sonttoutes I(0).

Test de la valeur propre maximale

Pour tester l’hypothèse d’existence d’au plus rvecteurs cointégrants contre l’hypothèsealternative de r+1 vecteurs cointégrants, lastatistique est :

1,2,..,2,1,0 −−= MMr

)ˆ1( 1max +−−= rTLog λλ

Cette statistique teste l’hypothèse nulle de l’existence de q relations de cointégration contre q+1

Remarque

Ces tests permettent de déterminer le nombre derelations de cointégration; cependant ilsn’indiquent pas les variables qui sont cointégrées.