ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPÉRIEURE UNIVERSITÉ DU QUÉBEC

MÉMOIRE PRÉSENTÉ À L’ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPÉRIEURE

COMME EXIGENCE PARTIELLE À L’OBTENTION DE LA

MAÎTRISE EN GÉNIE MÉCANIQUE M.ing.

PAR David PALAISI

SIMULATION NUMÉRIQUE DU COMPORTEMENT VIBRATOIRE D’ENGRENAGES ENDOMMAGÉS

MONTRÉAL, LE 24 FÉVRIER 2011

©Tous droits réservés, David Palaisi, 2011

PRÉSENTATION DU JURY

CE MÉMOIRE A ÉTÉ ÉVALUÉ

PAR UN JURY COMPOSÉ DE :

Professeur Thomas Marc, directeur de mémoire Département de génie mécanique à l’École de technologie supérieure

Professeur Guilbault Raynald, codirecteur de mémoire Département de génie mécanique à l’École de technologie supérieure

Professeur Hakim Bouzid, président du jury Département de génie mécanique à l’École de technologie supérieure

Professeur Zhaoheng Liu, Membre du jury Département de génie mécanique à l’École de technologie supérieure

IL A FAIT L’OBJET D’UNE SOUTENANCE DEVANT JURY ET PUBLIC

LE 27 JANVIER 2011

À L’ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPÉRIEURE

REMERCIEMENTS

Je tiens tout d’abord à remercier messieurs Marc Thomas et Raynald Guilbault, qui étaient

respectivement directeur et co-directeur de recherche durant cette maîtrise, pour m’avoir

assisté dans ce projet. Leur aide et leur disponibilité m’ont été très utiles tout au long de ce

projet très complet, qui comportait, à la fois une phase théorique et une phase expérimentale.

J’ai ainsi pu approfondir mon expérience dans le domaine de la maintenance et de la

prévision de défaut de machine, tout en ayant un aperçu du monde de la recherche.

Merci aux techniciens du département de génie mécanique, notamment Patrick Sheridan et

Olivier Bouthot ainsi qu’à Alexandre Vigneault du département Usinage qui ont pu

m’assister dans les différentes étapes de mon projet, en particulier pour la réalisation des

pièces et l’acquisition des résultats expérimentaux.

Je tiens aussi à remercier tous les amis que j’ai rencontrés et côtoyés tout au long de ma vie à

Montréal, et qui m’ont permis de me sentir ici chez moi, même en étant à près de six mille

kilomètres de la maison. Ils sont trop nombreux pour être cités ici mais ils se reconnaîtront

j’en suis sûr.

Et pour finir un grand merci à ma famille pour m’avoir soutenu et encouragé tout au cours de

ma scolarité, qui s’achève avec la rédaction de ce mémoire.

SIMULATION NUMÉRIQUE DU COMPORTEMENT VIBRATOIRE D’ENGRENAGES ENDOMMAGÉS

David PALAISI

RÉSUMÉ

Le besoin incessant d’optimisation des engrenages nécessite de bien comprendre leur

comportement dynamique. Pour analyser théoriquement le comportement vibratoire des

engrenages, il existe des modèles linéaires et non linéaires qui permettent d’analyser la

réponse dynamique de l’engrènement. Cependant, la présence de défauts ou

d’endommagements sur une dent modifie ce comportement. L’objectif de cette étude est de

développer un modèle numérique permettant de simuler l’effet de défauts sur une denture sur

les vibrations résultantes. Les défauts traités sont de deux types : des fissures et des défauts

de surface. Les fissures modifient la rigidité de la dent. Une première étude montre

l’influence de la taille de la fissure sur la rigidité. Les défauts de surface brisent quant à eux

le film d’huile modifiant ainsi l’effort de frottement subi par la dent. Une deuxième étude

s’attache à évaluer le pourcentage de surface concerné par ce phénomène. Ainsi, une fois les

défauts pris en compte dans le modèle numérique, la réponse dynamique obtenue peut être

analysée. Des mesures sur bancs d’essais des vibrations d’engrenages endommagés

permettent d’étudier la corrélation des résultats avec le modèle numérique.

Mots clefs: engrenage, vibration, rigidité, denture, fissure, piqûre.

NUMERICAL SIMULATION OF DAMAGED GEAR VIBRATIONS

David PALAISI

ABSTRACT

The need of gear optimization requires a better understanding of its vibratory behaviour. The

theoretical dynamic analysis can be conducted by linear or non linear models. However, the

presence of defects on a tooth changes this dynamic behaviour. The objective of this research

is to develop a numerical model to simulate the effect of defects on gear vibration. The

effects of tooth cracks and surface defects are analysed. Different sizes of defects are

considered and vibration responses are computed for each case. Experimental tests are

conducted in order to measure the vibrations of damaged gears and validate the numerical

model.

Keywords: gear, vibration, stiffness, tooth portion, crack, pitting.

TABLE DES MATIÈRES

Page

INTRODUCTION .....................................................................................................................1�

CHAPITRE 1 REVUE DE LITTÉRATURE ............................................................................3�1.1� Introduction .......................................................................................................................3�1.2� Sources de vibration ..........................................................................................................4�1.3� Modèle numérique ............................................................................................................5�

1.3.1� Création du modèle .............................................................................................. 5�1.3.2� Modélisation du contact ..................................................................................... 11�

1.3.2.1� Théorie de Hertz ................................................................................. 11�1.3.2.2� Prise en compte d’un facteur d’erreur ................................................. 13�

1.3.3� Modélisation du lubrifiant.................................................................................. 15�1.3.3.1� Coefficient de contact constant ........................................................... 15�1.3.3.2� Coefficient linéaire.............................................................................. 15�

1.3.4� Défauts usuels et leur manifestation .................................................................. 16�1.3.4.1� La corrosion ........................................................................................ 17�1.3.4.2� La fatigue de contact ........................................................................... 17�1.3.4.3� Les fissures en fatigue ......................................................................... 17�

1.3.5� Application aux défauts ..................................................................................... 18�1.4� Traitement des signaux ...................................................................................................20�

1.4.1� Analyse temporelle ............................................................................................ 20�1.4.2� Analyse fréquentielle ......................................................................................... 23�1.4.3� Ondelettes .......................................................................................................... 25�1.4.4� Cyclo-stationnarité ............................................................................................. 27�

1.5� Conclusion ......................................................................................................................27�1.6� Objectifs de l’étude et originalité des travaux ................................................................28�

CHAPITRE 2 MODÈLE DYNAMIQUE ................................................................................29�2.1� Introduction .....................................................................................................................29�2.2� Point de départ du modèle ...............................................................................................29�2.3� Modélisation des engrenages ..........................................................................................34�

2.3.1� Les rigidités ........................................................................................................ 34�2.3.1.1� Rigidité d’engrènement ....................................................................... 34�2.3.1.2� Autres rigidités .................................................................................... 36�2.3.1.3� Influence des fissures sur la rigidité.................................................... 37�2.3.1.4� Mise en équation du phénomène......................................................... 41�

2.3.2� Les Amortissements ........................................................................................... 41�2.3.2.1� Amortissement d’engrènement ........................................................... 41�2.3.2.2� Autres amortissement.......................................................................... 42�

2.3.3� Le coefficient de frottement ............................................................................... 43�2.3.3.1� Calcul du coefficient ........................................................................... 43�2.3.3.2� Influence des piqures sur le coefficient de frottement ........................ 44�

VII

2.4� Intégration numérique .....................................................................................................49�2.5� Calcul des résonances du système ..................................................................................50�2.6� Conclusion ......................................................................................................................52�

CHAPITRE 3 MATERIEL ET MÉTHODES .........................................................................53�3.1� Introduction .....................................................................................................................53�3.2� Banc d’essai ....................................................................................................................53�3.3� Plan d’expérience ............................................................................................................54�

3.3.1� Modélisation des fissures ................................................................................... 55�3.3.2� Modélisation des piqûres ................................................................................... 56�

3.4� Choix des roues ...............................................................................................................57�3.5� Conclusion ......................................................................................................................59�

CHAPITRE 4 VALIDATION DU MODÈLE .........................................................................60�4.1� Validation numérique......................................................................................................60�4.2� Prise en compte des défauts ............................................................................................63�

4.2.1� Fissures .............................................................................................................. 64�4.2.2� Piqûres................................................................................................................ 65�

4.3� Conclusion ......................................................................................................................69�

CHAPITRE 5 ESSAIS EXPÉRIMENTAUX ..........................................................................70�5.1� Introduction .....................................................................................................................70�5.2� Banc d’essai ....................................................................................................................70�

5.2.1� Analyse modale .................................................................................................. 70�5.2.2� Variation de la vitesse ........................................................................................ 73�

5.3� Résultats temporels .........................................................................................................74�5.3.1� Détection des fissures ........................................................................................ 75�5.3.2� Détection des piqûres ......................................................................................... 77�

5.4� Analyse des signaux ........................................................................................................78�5.4.1� Analyse fréquentielle ......................................................................................... 78�5.4.2� Analyse angulaire............................................................................................... 81�

5.5� Comparaison avec les résultats numériques ...................................................................83�5.5.1� Comparaison des défauts de fissure ................................................................... 84�5.5.2� Comparaison des défauts de piqûre ................................................................... 86�

5.6� Conclusion ......................................................................................................................90�

CONCLUSION ........................................................................................................................91�

ANNEXE I ENGRENAGES ...................................................................................................94�

ANNEXE II CALCUL DE CONTRAINTE SUIVANT LA NORME AGMA ......................96�

ANNEXE III ESSAIS EXPÉRIMENTAUX À DIFFÉRENTES VITESSES ........................99�

ANNEXE IV ORGANIGRAMME .......................................................................................101�

VIII

LISTE DE RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES ............................................................103�

LISTE DES TABLEAUX

Page

Tableau 1.1� Critère de sévérité du Kurtosis ...................................................................23�

Tableau 2.1� Plan d'expérience pour caractériser la rigidié ............................................39�

Tableau 2.2� Coefficition de l'équation du coefficient correcteur ..................................41�

Tableau 2.3� Plan d’expérience et distance critique de la zone affectée .........................45�

Tableau 2.4� Valeur des coefficients de �int ....................................................................47�

Tableau 3.1� Choix des paramètres pour les fissures ......................................................56�

Tableau 3.2� Choix des paramètres pour les piqûres ......................................................57�

Tableau 3.3� Calcul des contraintes en flexion ...............................................................58�

Tableau 3.4� Calcul des contraintes de surface ...............................................................59�

Tableau 5.1� Amplitude des pics du spectre pour différentes vitesses de rotation .........73�

Tableau 5.2� Analyse globale des signaux temporels avec fissure .................................75�

Tableau 5.3� Analyse globale des signaux temporels avec piqûres ................................77�

Tableau 5.4� Résulats simulés avec fissures à partir du modèle .....................................84�

Tableau 5.5� Résulats simulés avec fissures à partir du modèle pour un coefficient d’amortissement de 0,12. ...........................................................................85�

Tableau 5.6� Résultats simulés avec piqûres à partir du modèle ....................................86�

LISTE DES FIGURES

Page

Figure 1.1� Montage à modéliser [9]. .............................................................................6�

Figure 1.2� Modélisation à 2 degrés de liberté (gauche) et 6 degrés de liberté (droite) [9]. ................................................................................................................7�

Figure 1.3� Modélisation de la force de contact [9]........................................................8�

Figure 1.4� Réponse angulaire du pignon a) 2 DDL, b) 6 DDL, c) 8 DDL et d) 20 DDL [9]. .......................................................................................................9�

Figure 1.5� Force de contact, a) 2 DDL, b) 6 DDL, c) 8 DDL et d) 20 DDL [9]. ........10�

Figure 1.6� Modélisation d'une dent par éléments finis [9]. .........................................11�

Figure 1.7� Calcul de la rigidité de contact [9]. ............................................................13�

Figure 1.8� Modèle d'un engrenage de pompe [10]. .....................................................13�

Figure 1.9� Modèle de Sawalhi comportant l'erreur de contact [11]. ...........................14�

Figure 1.10� Coefficient de friction expérimental [13]. .................................................16�

Figure 1.11� Coefficient de friction dynamique [14]......................................................16�

Figure 1.12� Types de dégradation a) corrosion b) piqures c) fissure [15]. ...................18�

Figure 1.13� Fissure en pied de dent. ..............................................................................18�

Figure 1.14� Accélération angulaire du pignon ..............................................................19�

Figure 1.15� Spectre a) par le modèle, b) expérimental. ................................................20�

Figure 1.16� Analyse globale mensuelle [17]. ................................................................21�

Figure 1.17� Sévérité en fonction du facteur de crête [16]. ............................................22�

Figure 1.18� Niveau d'alarme en fréquence pour un engrenage [16]. ............................24�

Figure 1.19� Ondelette de Morlet. ..................................................................................26�

XI

Figure 1.20� Analyse d'engrenage sans défaut (gauche) et avec une dent manquante (droite) [18]. ...............................................................................................27�

Figure 2.1� Modèle à six degrés de liberté [9]. .............................................................30�

Figure 2.2� Paramétrage d'une dent. .............................................................................34�

Figure 2.3� Flexion d'un arbre soumis à une force ponctuelle. .....................................37�

Figure 2.4� Modélisation d'une fissure. ........................................................................38�

Figure 2.5� Position de la force exercée et du déplacement mesuré. ...........................39�

Figure 2.6� Déplacement d'une dent soumise à un chargement en bout de dent. ........40�

Figure 2.7� Rigidité de la dent en fonction du module pour une fissure en pied de dent suivant les différents cas du tableau 2.1.....................................................40�

Figure 2.8� Modèle élémens finis. ................................................................................45�

Figure 2.9� Répartition de la pression autour d'un trou. ..............................................46�

Figure 2.10� Zone affectée par la surpression. ...............................................................47�

Figure 2.11� Schéma d’une zone affectée.......................................................................48�

Figure 2.12� Schéma de la transmission. ........................................................................52�

Figure 3.1� Banc d'essai Spectra Quest. .......................................................................53�

Figure 3.2� Schéma du banc. ........................................................................................54�

Figure 3.3� Modélisation d'une fissure. ........................................................................55�

Figure 3.4� Modélisation des piqûres. ..........................................................................56�

Figure 4.1� ETD en fonction du temps à 1560 tr/min...................................................61�

Figure 4.2� ETD en µm obtenu par Parker à 1560 tr/min. ............................................61�

Figure 4.3� ETD en fonction du temps à 2880 tr/min...................................................62�

Figure 4.4� ETD en µm obtenu par Parker à 2880 tr/min. ............................................62�

Figure 4.5� Comparaison fréquenielle du DTE à 1560 tr/min a) modèle numérique b) modèle de référence et à 2880 tr/min c) modèle numérique d) modèle de référence. ....................................................................................................63�

XII

Figure 4.6� Rigidité de contact pour un engrenage sans défaut. ...................................64�

Figure 4.7� Rigidité de contact pour un engrenage avec fissure. ..................................65�

Figure 4.8� Coefficient de frottement constant. ............................................................66�

Figure 4.9� Coefficient de frottement linéaire. .............................................................66�

Figure 4.10� Force de frottement en présence de piqûres, pour des coefficients constant (en haut) et linéaire (en bas).......................................................................67�

Figure 4.11� Force de frottement avec 5 piqûres. ...........................................................68�

Figure 4.12� Force de frottement avec 7 piqûres. ...........................................................68�

Figure 4.13� Force de frottement avec 9 piqûres. ...........................................................68�

Figure 5.1� Schéma de la mesure pour l'analyse modale. .............................................71�

Figure 5.2� Analyse modale du capteur radial de 0 - 200 Hz .......................................72�

Figure 5.3� Analyse modale du capteur radial de 0 - 3500 Hz .....................................72�

Figure 5.4� Spectre de l'accélération radiale à 1000 tr/min ..........................................73�

Figure 5.5� Signal temporel obteu par un des capteurs radiaux. ..................................75�

Figure 5.6� Facteur de Crête pour différentes largeurs de fissure. ...............................76�

Figure 5.7� Kurtosis pour les différents cas de piqûre. .................................................77�

Figure 5.8� Spectre d'un engrenage en présence d’une dent défectueuse. ....................78�

Figure 5.9� Spectre du signal d’un engrenage avec une fissure de 3,07 mm de profondeur pour 10 mm de largeur. ...........................................................79�

Figure 5.10� Spectres d’engrenages comportant une fissure de même largeur (30 mm) mais de profondeur différente a) 2,33 mm b) 3,07 mm c) 3,81 mm. .........80�

Figure 5.11� Spectres d’engrenages comportant des piqûres de 2 mm de diamètre a) 5 piqûres b) 7 piqûres c) 9 piqûres. ...............................................................81�

Figure 5.12� Analyse angulaire d’un engrenage comportant un défaut de surface. .......82�

Figure 5.13� Analyse spectrale de la moyenne angulaire de la figure 5.12. ...................83�

Figure 5.14� Comparaison du Facteur de Crête pour les différents cas de fissure entre l'experience (pointillé) et la simulation (plein). .........................................84�

XIII

Figure 5.15� Comparaison du Facteur de Crête pour les différents cas de fissure entre l'experience (pointillé) et la simulation (plein). .........................................85�

Figure 5.16� Comapraraison du Facteur de Crête pour les différents cas de piqûre entre l'experience (pointillé) et la simulation (plein). .........................................87�

Figure 5.17� Comparaison du Facteur de Crête pour les différents cas de piqûre entre l'experience (pointillé) et la simulation (plein). .........................................88�

Figure 5.18� Spectre de l’accélération angulaire du pignon sans défaut. .......................89�

Figure 5.19� Spectre de l’accélération angulaire du pignon avec des piqûres de 10 µm sur une dent. ...............................................................................................89�

Figure 5.20� Facteur de Crête en présence de fissure. ....................................................90�

Figure 5.21� Schéma d'une chaine de prise de décision. ................................................93�

LISTE DES ABRÉVIATIONS, SIGLES ET ACRONYMES

AGMA American Gear Manufacturers Association

BPFO Ball Pass Frequency Outer

DDL Degré de liberté

ETD Erreur de Transmission Dynamique

FC Facteur de crête

MEF Méthode des éléments finis

REH Régime Elasto-Hydrodynamique

RMS Root Mean Square

LISTE DES SYMBOLES ET UNITÉS DE MESURE

a Demi-largeur de contact (m)

B Largeur de l’engrenage (m)

c Constante de calcul de Hertz

C Matrice d’amortissement généralisé

Ca Amortissement de l’arbre (kg/s)

Cc Matrice d’amortissement couplée

Cpx Amortissement transversal du support du pignon suivant x (kg/s)

Cpy Amortissement transversal du support du pignon suivant y (kg/s)

Crx Amortissement transversal du support de la roue suivant x (kg/s)

Cry Amortissement transversal du support de la roue suivant y (kg/s)

Cm Amortissement du contact des dents (kg/s)

Cx Matrices d’amortissement en translation

C� Matrices d’amortissement en rotation

d Vecteur des déplacements �� Vecteur des vitesses �� Vecteur des accélérations

D Diamètre de trou (m)

e Déplacement due à l’erreur de profil (m)

ep Espacement des piqûres (m)

et Déplacement de la dent (m)

E Module de Young des matériaux (Pa) ����� Déplacement due aux défauts d’alignement (m)

ETD Erreur de Transmission Dynamique ���� ��� Déplacement due su défauts du profil (m)

E* Module de Young équivalent des deux matériaux (Pa)

FC Facteur de crête

feng Fréquence d’engrènement (Hz)

fm Fréquence de rotation du moteur (Hz)

XVI

fn Force normale à la surface (N)

F Vecteur des forces sur le système

Ft Force de frottement (N)

I Moment d’inertie en flexion de l’arbre (m4)

Jp Inertie du pignon (kg.m2)

Jr Inertie de la roue (kg.m2)

J� Matrice d’inertie

K Matrice de rigidité généralisée

Ka Rigidité de l’arbre (kg/s2)

Kc Matrice de rigidité couplée

Kf Rigidité d’une dent d’engrenage (kg/s2)

Kfp Rigidité d’une dent du pignon (kg/s2)

Kfr Rigidité d’une dent de la roue (kg/s2)

KHertz Rigidité du contact calculé par la méthode de Hertz (kg/s2)

Km Rigidité du contact des dents (kg/s2)

Kmi Rigidité du contact d’une seule paire de dents (kg/s2)

Kpx Rigidité transversale du support du pignon suivant x (kg/s2)

Kpy Rigidité transversale du support du pignon suivant y (kg/s2)

Krx Rigidité transversale du support de la roue suivant x (kg/s2)

Kry Rigidité transversale du support de la roue suivant y (kg/s2)

Kx Matrice de rigidité en translation

K� Matrice de rigidité en rotation

l Distance entre le point de contact de la force et le centre de l’arbre (m)

L Longueur de l’arbre (m)

Lf Largeur des fissures (m)

Lx Positionnement de la force exercée sur l’arbre (m)

l1 Longueur de l’ellipse (m)

l2 Largeur de l’ellipse (m)

M Matrice de masse généralisée

Marbre Masse de l’arbre (kg)

XVII

Mc Matrice de masse couplée

Meq Masse équivalente du contact (kg)

Mp Masses du pignon (kg)

Mr Masses de la roue (kg)

mt Module de l’engrenage (m)

Mx Matrice de masse

N Nombre de dents de l’engrenage

Nc Nombre de paires de dents en contact

Ne Nombre de données du signal

P0 Pression de contact (Pa)

Pf Profondeur des fissures (m)

R Facteur correctif due aux fissures

Ra Rugosité composé des deux surfaces (m)

Rbp Rayon de base du pignon (m)

Rbr Rayon de base de la roue (m)

Req Rayon de courbure équivalent au point de contact (m)

RMS Valeur efficace du signal

Rp Rayon primitif du pignon (m)

Rr Rayon primitif de la roue (m)

Rrmsp Rugosité rms du pignon (m)

Rrmsr Rugosité rms de la roue (m)

s Dimension pour le calcul des coefficients de l’ondelette

Sa Surface affectée par la surpression (m2)

si Coefficient pour le calcul de R

T Vecteur des couples sur le système

Ta Épaisseur de la dent (m)

Tc Couple de la charge (Nm)

Te Période d’échantillonnage (s)

Tfp Couple due au frottement sur le pignon (Nm)

Tfr Couple due au frottement sur la roue (Nm)

XVIII

Tm Couple du moteur (Nm)

Tr Période de rotation de l’arbre (s)

u Temps pour le calcul des coefficients de l’ondelette (s)

up Déplacement du pignon (m)

ur Déplacement de la roue (m)

vp Vitesse du pignon (m/s)

vr Vitesse de la roue (m/s)

vg Vitesse de glissement (m/s)

W Force normale de contact (N)

x Vecteur des déplacements en translation suivant l’axe horizontal �� Vecteur des vitesses en translation suivant l’axe horizontal �� Vecteur des accélérations en translation suivant l’axe horizontal

XL Facteur correctif pour la présence d’additif

xp Déplacements en translation suivant l’axe horizontal du pignon ��� Vitesses en translation suivant l’axe horizontal du pignon ��� Accélérations en translation suivant l’axe horizontal du pignon

xr Déplacements en translation suivant l’axe horizontal de la roue ��� Vitesses en translation suivant l’axe horizontal de la roue ��� Accélérations en translation suivant l’axe horizontal de la roue

xt Distance entre le pied de la dent et le point d’application de la force

y Vecteur des déplacements en translation suivant l’axe vertical �� Vecteur des vitesses en translation suivant l’axe vertical �� Vecteur des accélérations en translation suivant l’axe vertical

yp Déplacements en translation suivant l’axe vertical du pignon ��� Vitesses en translation suivant l’axe vertical du pignon ��� Accélérations en translation suivant l’axe vertical du pignon

yr Déplacements en translation suivant l’axe vertical de la roue ��� Vitesses en translation suivant l’axe vertical de la roue ��� Accélérations en translation suivant l’axe vertical de la roue

yk Amplitude de kieme valeur du signal temporel

XIX

Ykurt Kurtosis du signal

Ym Valeur moyenne du signal

� Pourcentage de contact lubrifié

� Déplacement mesuré de la dent (m)

�ext Distance affectée par la surpression coté extérieur

�int Distance affectée par la surpression coté intérieur

� Flèche de l’arbre au point d’application de la force (m)

� Vecteur des déplacements en rotation �� Vecteur des vitesses en rotation �� Vecteur des accélérations rotation

�p Déplacements en rotation du pignon (m) ��� Vitesses en rotation du pignon (m/s)

�r Déplacements en rotation de la roue (m) ��� Vitesses en rotation de la roue (m)

� Valeurs propres du système

µ Coefficient de frottement

µhuile Coefficient de frottement du lubrifiant

µsolide Coefficient de frottement entre les solides

�k Viscosité cinématique du lubrifiant (St)

� Taux d’amortissement de l’arbre

�m Taux d’amortissement du contact

Masse volumique des matériaux (kg/m3)

Contrainte dans le matériau (MPa)

all Contrainte maximale admissible dans le matériau (MPa)

� Coefficient de Poisson des matériaux � Angle de pression du contact (rad) �� Déphasage des deux arbres (rad)

� Fonction d’ondelette

� Fonction d’ondelette de Morlet

Fréquences naturelle (rad/s)

INTRODUCTION

En maintenance des machines, la surveillance des vibrations d’engrenages est essentielle,

mais en faire le diagnostic n’est pas toujours évident. Il faut parfois employer des techniques

de traitement du signal sophistiquées telle l’analyse temps-fréquence, le Cepstre ou l’analyse

d’enveloppe. Cependant, pour faire un bon diagnostic, il reste nécessaire de comprendre et de

prédire comment se manifeste la vibration d’engrenages sous l’effet de défauts

d’engrènements. Pour cela, il existe des modèles linéaires et non linéaires qui permettent de

simuler la réponse dynamique des engrenages. Cependant, la présence de défauts ou

d’endommagement sur une dent modifie le comportement vibratoire. C’est pourquoi

l’objectif de cette étude est de développer un modèle numérique permettant de simuler l’effet

des défauts de denture sur la signature vibratoire d’un engrenage.

Dans le chapitre 1, le mémoire s’attachera à faire le point sur les différents modèles existants.

Puis, le chapitre 2 montrera le modèle optimum sélectionné. Les paramètres alors pris en

compte se limiteront à l’intérieur de la transmission d’engrenage droit. Ainsi, le modèle ne

tiendra pas compte ni du moteur, ni de la charge. Une fois le modèle établi pour un régime

normal, il faudra intégrer des modules afin de gérer les défauts. Ces défauts traités sont de

deux types : des fissures en pied de dent et des piqûres de surface. Les fissures seront

considérées perpendiculaires à la dent et paramétrées par deux dimensions, leur largeur et

leur profondeur. Une étude montrera l’influence de la taille de la fissure sur la rigidité de la

dent. Ainsi, la dent endommagée modifiera à son passage, la rigidité de contact et donc la

dynamique du système. En ce qui concerne les défauts de surface, ils seront ramenés à des

piqures paramétrées par leur diamètre et leur nombre. Ces défauts peuvent quant à eux

entrainer le bris du film de lubrification modifiant ainsi l’effort de frottement subit par la

dent. Une partie s’attachera à évaluer l’influence d’une surface affectée par ce phénomène.

Cela permettra de calculer le pourcentage de contact solide dans la zone endommagée.

Une fois les défauts pris en compte dans le modèle numérique, la réponse dynamique

obtenue devra être comparée à une étude expérimentale menée selon un plan d’expériences

2

sur un banc d’essais d’engrenages. Le chapitre 3 décrira le banc d’essai, ainsi que les plans

expérimentaux utilisés pour l’analyse vibratoire des défauts de fissures et de piqûres. Avant

la validation expérimentale, le chapitre 4 mettra en avant la comparaison de simulations

numériques obtenues à partir du modèle avec celles d’un modèle de référence. Cette étape

permettra la validation du modèle ainsi que l’analyse de l’influence des défauts sur les

résultats numériques. Le chapitre 5 montrera, par la suite, l’analyse des réponses vibratoires

obtenues sur le banc d’essai, dans le domaine temporel et fréquentiel, ainsi qu’une

comparaison de ces résultats avec ceux obtenus par le modèle numérique.

1.1 Introduction

Il existe dans la littérature un grand nombre de publications concernant les transmissions par

engrenage. En effet, ces éléments étant très présents dans les machines actuelles, ils

demandent une meilleure compréhension de leurs phénomènes dynamiques. Le but étant de

répondre aux enjeux économiques, cette compréhension permet, entre autres, une

amélioration continue à partir de différents aspects des trains d’engrenages, tels que

l’allongement de la durée de vie, une meilleure surveillance de l’usure ou une réduction du

niveau de bruit. De plus, dans le cadre d’une maintenance continue, il est très difficile

d’arrêter les systèmes pour pouvoir observer la présence ou non des défauts. Une des

données accessible représentant le dommage sont les vibrations mesurables de l’ensemble du

système. Le signal obtenu prend en compte les vibrations générées par tous les éléments

constituants le montage. Le but du diagnostic est de déterminer la présence d’un défaut dans

le système, mais aussi de l’identifier. Cela nécessite de comprendre le comportement

vibratoire des différents organes du mécanisme. C’est dans cette optique que différentes

études proposent une approche numérique du comportement des engrenages afin d’analyser

les facteurs importants dans cette dynamique comme les facteurs d’usure ou de conception.

À partir des moyens informatiques actuels, il est possible d’établir des modèles plus ou

moins complexes basés sur des théories différentes telles que des méthodes de résolution

numérique [1], l’utilisation des éléments finis [2], la théorie de Floquet [3]… Une fois le type

de modélisation discrète choisi, il faut alors déterminer le nombre de degrés de liberté. En

faisant varier le nombre de degrés de liberté du modèle, il est possible de considérer juste le

train d’engrenage ou le système au complet, incluant les arbres et le bâti. Ces modèles restent

théoriques et doivent, par la suite, être validés à partir de résultats expérimentaux.

CHAPITRE 1

REVUE DE LITTÉRATURE

4

Une des méthodes les plus répandues pour mesurer cette dynamique sur un système réel est

l’analyse vibratoire. Les vibrations mesurées sont essentiellement dues au phénomène

d’engrènement, qui génère une réponse périodique à la fréquence d’engrènement. Cependant

de nombreux effets peuvent s’ajouter à celle-ci, et modifier la réponse vibratoire. Parmi

ceux-ci, on peut considérer les défauts de géométrie de l’engrenage, les défauts de montage,

la corrosion et aussi les défauts d’usure telle que les fissures ou pertes de métal. Ainsi une

simple modification de ces paramètres peut entrainer une variation importante des vibrations.

Les précédentes publications sur le sujet mettent en avant trois points essentiels :

• L’influence des différents paramètres sur les vibrations d’engrenage. En effet, il est

pertinent de montrer comment ces caractéristiques influencent le comportement

dynamique des engrenages.

• Les différents modèles numériques existants, permettant la modélisation du contact, de la

dent mais aussi des défauts et du lubrifiant.

• L’utilisation des méthodes de traitement des signaux vibratoires pour pouvoir détecter les

défauts.

1.2 Sources de vibration

Comme dit précédemment, la principale cause de vibration est due à l’engrènement. En effet,

les contacts entre deux nouvelles dents créent des chocs périodiques. Il faut rajouter à cela, la

variation du nombre de dents en contact au cours du temps. Cette variation change la rigidité

du contact, ce qui la rend non-linéaire. Ceci influe sur les résonances du modèle.

De plus, un jeu est nécessaire pour permettre le fonctionnement et, en particulier, la

lubrification du contact. Ce jeu permet alors à d’autres phénomènes, différents du rapport de

conduite, de s’ajouter pour perturber également la dynamique du système. En particulier,

l’erreur de transmission peut être ressentie comme une excitation extérieure, l’erreur de

transmission étant un écart entre la développante de cercle théorique et la développante

réelle. Cet écart résulte d’un manque de précision, d’une correction de la denture ou encore

5

de déformations élastiques des corps. D’autres éléments tels que des défauts d’alignement ou

de centrage peuvent aussi venir perturber la dynamique.

1.3 Modèle numérique

Dans un but de simplicité, la plupart des travaux de modélisation du comportement

dynamique d’engrenages se sont orientés vers des modélisations discrètes de type masses-

ressorts-amortisseurs. Les engrenages sont alors assimilés à des cylindres rigides liés par une

raideur qui représente la liaison élastique entre les dentures (raideur d’engrènement)

(Gregory et al [4] et Tulpin [5]). Les premiers travaux considèrent une raideur d’engrènement

constante, ce qui nécessite l’ajout de différentes excitations externes, telles que les erreurs de

forme et de montage, dans les équations dynamiques (Tulpin [5] et Pearce et al [6]). Il est

actuellement admis (Kassaï et al [7] et Welbourn [8]) que les deux sources d’excitation

interne à considérer sont celles produites par la fluctuation de raideur d’engrènement et celles

générées par les écarts de formes sur la denture.

1.3.1 Création du modèle

La prise en compte de tous les phénomènes telles que la raideur variable, les contrecoups, la

variation de vitesse de frottement en fonction du profil de la dent ou bien la variation en

fonction du temps, de l’usure, de l’amortissement et du roulement nécessite un modèle lourd

et complexe. Dans cette partie, il sera mis en évidence comment il est possible de résoudre ce

problème à partir de modèles numériques non-linéaires. Il s’agit des méthodes d’intégration

numérique dont les plus connues sont la méthode de la différence centrale, la méthode de

Runge-Kutta ou la méthode Newmark.

Lalonde et Guilbault [9] ont développé différents modèles d’une transmission (Fig. 1.1) à

partir d’éléments discrets de masse, inertie, rigidité et amortissement. Le modèle étudié est

une transmission décomposée en éléments simples :

• Masses et moments d’inertie.

6

• Raideur de torsion de l’arbre, rigidité des roulements, rigidité de flexion de l’arbre.

• Amortissement en torsion de l’arbre, en translation des roulements.

L’énergie perdue par la friction dans les roulements, n’est pas traitée comme une source

d’excitation. Il y a deux sortes d’excitation, le couple d’entrée et la charge de sortie

considérés comme des constantes, et la rigidité de contact variable en fonction du nombre de

dent en contact et de la position du contact sur celle-ci.

Figure 1.1 Montage à modéliser [9].

Ainsi, ils définissent plusieurs modèles comportant chacun, un nombre différent de degrés de

liberté (Fig. 1.2):

• Un modèle à deux degrés de liberté où ils considèrent seulement les degrés de liberté en

rotation du pignon et de la couronne. Ils négligent donc tous les autres effets extérieurs.

• Un modèle à six degrés de liberté où ils ajoutent les déplacements en translation suivant x

et y du pignon et de la couronne, ce qui implique que la rigidité et l’amortissement du

support entrent en ligne de compte. Ils considèrent que l’arbre et les roulements ont les

mêmes propriétés dans les deux directions.

• Deux modèles à huit et vingt degrés de liberté, comprenant les moments d’inertie du

moteur et de la charge, permettent de comparer l’influence des éléments extérieurs dans

la modélisation.

7

Figure 1.2 Modélisation à 2 degrés de liberté (gauche) et 6 degrés de liberté (droite) [9].

Pour décrire mathématiquement le système, ils écrivent le principe fondamental de la

dynamique pour chaque degré de liberté ce qui aboutit à un système matriciel où x représente

les déplacements en translation et � les rotations:

Où : x, �� , �� sont respectivement les déplacements, les vitesses et les accélérations en

translation

�, �� , �� sont respectivement les déplacements, les vitesses et les accélérations en

rotation

Mx est la matrice de masse

J� est la matrice d’inertie

Cx et C� sont les matrices d’amortissement en translation et en rotation

Kx et K� sont les matrices de rigidité en translation et en rotation

F est l’ensemble des forces

T est l’ensemble des couples

������ ��� � ����� ��� � ����� �� !��"#�� ��� � ��#�� ��� � ��#�� �� $%� & (1.1)

8

La force d’excitation au niveau des dents est perpendiculaire au contact. Le contact peut alors

être modélisé par une rigidité et un amortissement et la force résultante W est suivant la ligne

d’action (Fig. 1.3).

Figure 1.3 Modélisation de la force de contact [9].

d’où la force :

Où : v et u représentent respectivement la vitesse et le déplacement des engrenages

Cm est l’amortissement du contact

Km est la rigidité de contact

Cette équation est ensuite écrite en fonction des degrés de liberté du système. Pour le modèle

à deux degrés de liberté :

Où : �p et �r sont les déplacements en rotation du pignon et de la roue ��� et ��� sont les vitesses en rotation du pignon et de la roue

Rbp et Rbr sont les rayons de base du pignon et de la roue

' �()*� + *�, � �()-� + -�, (1.2)

' �()���./� + ��� ./�, � �()��./� + ��./�, (1.3)

9

Il faut maintenant définir la force de friction. Sa direction est opposée à celle du glissement.

Le principal problème dans la détermination de cette force provient de la détermination du

coefficient de friction µ qui est un terme non constant avec un comportement non-linéaire. W

est considéré comme réparti de manière uniforme entre toutes les paires de dents. Il est alors

possible de calculer la force de friction et le couple en fonction de chaque paire, le couple

total étant la somme de tous les couples résultants.

Les auteurs [9] comparent alors les réponses dynamiques du pignon obtenues par les

différents modèles et mettent en évidence que l’accélération angulaire des modèles à deux et

à six degrés de liberté est identique mais différente de celle des modèles à huit et vingt degrés

de liberté. Cependant même si la forme du signal change d’un modèle à l’autre, l’amplitude

maximale est comparable (Fig. 1.4). Or en règle générale, seule cette amplitude maximale est

intéressante et donc un modèle à deux degrés de liberté peut suffire. Seulement dans le cas

d’études en fatigue, les autres modèles deviendraient intéressants. L’augmentation du nombre

de degrés de liberté (DDL) améliore la précision du modèle. Cependant, cela nécessite de

préciser le nombre de paramètres extérieurs à la transimssion, parfois difficiles à connaitre.

Figure 1.4 Réponse angulaire du pignon a) 2 DDL, b) 6 DDL, c) 8 DDL et d) 20 DDL [9].

10

La partie transitoire n’est pas visible pour les modèles à huit et vingt degrés de liberté,

représentés respectivement par les courbes c) et d), car la condition initiale correspond à une

position réelle du système. Ce n’est pas le cas pour les modèles à deux et six degrés de

liberté, représentés respectivement par les courbes a) et b), qui doivent se stabiliser vers la

réponse stable.

En ce qui concerne les forces de contact, il vaut mieux privilégier les modèles élaborés (Fig.

1.5).

Figure 1.5 Force de contact, a) 2 DDL, b) 6 DDL, c) 8 DDL et d) 20 DDL [9].

Ainsi, il est nécessaire de faire un compromis entre la simplicité et la précision du modèle.

Or, l’objectif du modèle développé est d’être rapide et adaptable à un grand nombre de

situation. Le nombre de degré de liberté choisi va donc être le plus faible possible.

Les auteurs comparent aussi les amplitudes de l’accélération angulaire obtenues par les

modèles à six et huit degrés de liberté avec des données expérimentales obtenues par Parey

[34]. Cette validation montre une plus grande corrélation pour les résultats à six degrés de

liberté.

11

1.3.2 Modélisation du contact

1.3.2.1 Théorie de Hertz

Il a été montré, dans la partie précédente, différents modèles qui modélisent tous une rigidité

du contact entre les dents de l’engrenage. Lalonde et Guilbault [9] proposent une

modélisation de cette rigidité comme trois ressorts en séries : les rigidités en flexion des

dents du pignon (Kfp) et de la couronne (Kfr) et la rigidité du contact des dents (Khertz).

La rigidité en flexion est définie à partir de la méthode des éléments finis en utilisant un

maillage 3D quadratique. Cette rigidité doit être définie sur la longueur de la dent.

Figure 1.6 Modélisation d'une dent par éléments finis [9].

La rigidité de contact est définie par la théorie d’un contact Hertzien entre deux cylindres. La

formule utilisée par les auteurs est développée dessous :

12

Où : b est la largeur de l’engrenage

Ep et Er sont les modules de Young du pignon et de la roue

�p et �r sont les coefficients de Poisson du pignon et de la roue

p et r sont les masses volumiques du pignon et de la roue

Fn est la force normale de contact

Les auteurs [9] en déduisent ensuite la rigidité totale d’une paire de dent Kmi. Cette dernière

est la somme de trois rigidités en série. Ainsi la réciproque de cette rigidité est égale à la

somme des inverses de chaque rigidité (éq. 1.5).

Où : Kfp est la rigidité de la dent du pignon

Kfr est la rigidité de la dent de la roue

KHertz est la rigidité de contact calculé par la méthode de Hertz

Il faut ensuite sommer ces rigidités totales en fonction du nombre de paires de dents en

contact pour obtenir la rigidité en fonction de la position angulaire (Fig. 1.7).

(1.4)

�(�012 � 3� �012 � 3� �012 � 3�4��5012�67 (1.5)

13

Figure 1.7 Calcul de la rigidité de contact [9].

1.3.2.2 Prise en compte d’un facteur d’erreur

Il est possible de modéliser différemment le contact entre les dents. Ainsi G. Dalpiaz, A.

Fernández del Rincón, E. Mucchi et A. Rivola [10] proposent une modélisation différente

dans le but d’étudier les phénomènes vibratoires engendrés par les engrenages dans une

pompe (Fig. 1.8). En effet, ils décomposent le contact en deux blocs séparés, un qui prend en

compte les effets directs sur la ligne de contact et l’autre les effets inverses. Ils considèrent la

rigidité des dents ainsi que l’amortissement du aux frottements. Mais ils considèrent aussi les

défauts de géométrie des dents modélisés par les éléments E ainsi que les contrecoups entre

les dents.

Figure 1.8 Modèle d'un engrenage de pompe [10].

Mais comme on l’a constaté, l’influence du nombre de degrés de liberté est importante et ne

peut être négligée. Ainsi, Sawalhi et Randall [11] ont développé un modèle à 36 degrés de

14

liberté en tenant compte des défauts de profil. Cependant, la prise en compte du défaut de

profil est considérée de manière différente (Fig. 1.9).

Figure 1.9 Modèle de Sawalhi comportant l'erreur de contact [11].

Ils décrivent mathématiquement ce défaut à partir des erreurs de fabrication connues. Pour

cela, ils le décomposent en trois composantes :

où :

• ����� représente les défauts d’alignement.

• ���� ��� représente le défaut du profil de dent.

• randn, une composante d’erreur aléatoire.

�0�2 ����� � ���� ��� � 89: ; 386<=>?�? (1.6)

����� @8 ; 386<AB? C:D1$� � ��E (1.7)

���� ��� 3: ; 386<AB? C:D1F$� � ��E (1.8)

15

N est le nombre de dents par engrenage ; Tr la période de rotation de l’arbre et �� le

déphasage des deux arbres.

1.3.3 Modélisation du lubrifiant

Le coefficient de friction intervient dans le calcul de la force de frottement. Dans le cas d’un

contact lubrifié, il dépend de la viscosité du lubrifiant.

1.3.3.1 Coefficient de contact constant

La première approximation est de considérer le coefficient de frottement, du au film d’huile,

comme constant [12]. Ainsi la force résultante ne dépend que du sens de la vitesse de

glissement. On obtient donc pour chaque paire de dents en contact :

Où : µ est le coefficient de frottement du lubrifiant

W est la force suivant la ligne d’action

vg est la vitesse de glissement

Il suffit alors de faire la somme pour avoir l’effort de contact résultant.

1.3.3.2 Coefficient linéaire

Cependant, dans les faits, le coefficient de friction n’est pas constant. Il est donc possible de

considérer le coefficient µ comme ayant un comportement linéaire le long du profil de la

dent. Rebbechi [13] détermine expérimentalement le coefficient de friction sur la ligne de

contact de la dent (Fig. 1.10).

! G�'� ABH?0*I2 (1.9)

16

Figure 1.10 Coefficient de friction expérimental [13].

En se basant sur cette étude, Howard [14] détermine un coefficient de friction linéaire en

fonction de la position du contact sur la dent pour l’appliquer à son modèle (Fig. 1.11).

Figure 1.11 Coefficient de friction dynamique [14].

1.3.4 Défauts usuels et leur manifestation

Au cours du début du fonctionnement d’un engrenage, les légères imperfections des flancs

vont avoir tendance à diminuer, voire même à disparaître. C’est ce qui constitue la période de

rodage. Par la suite, lorsque l’engrenage se trouve dans de bonnes conditions de

fonctionnement, l’usure des dentures devra rester faible. C’est lorsque les conditions

17

d’opération se dégradent, qu’il est possible d’observer des détériorations sur les flancs actifs

des dents.

1.3.4.1 La corrosion

Ce type de détérioration se manifeste par la présence sur les flancs des dents de tâches de

couleur brun rouge ou encore par de légères irrégularités de surface de la denture. Au cours

de l’engrènement, les traces d’oxydes vont être continuellement chassées de la surface. Cela

pourra entrainer une usure rapide du flanc des dents. Cette usure avancée augmente le jeu

entre les dents [15].

1.3.4.2 La fatigue de contact

La fatigue de contact est une détérioration des surfaces qui est le résultat de contraintes

répétées, à la surface ou en sous couche, dont les valeurs dépassent les limites d’endurance

des matériaux. Ce type de détérioration se caractérise par un enlèvement de particules

métalliques et la formation de petits cratères ou de cavités. La présence de ces piqures

perturbe la lubrification, ce qui modifie le coefficient de friction, favorise la rupture du film

d’huile et initie souvent la fatigue de flexion [15].

1.3.4.3 Les fissures en fatigue

Les fissures en fatigue se forment souvent à l’endroit où la contrainte est maximale, c'est-à-

dire dans les arrondis au pied des dents, du côté où la dent est sollicitée en traction. Elle

progresse, par la suite, en s’incurvant pour atteindre l’autre côté de la dent. Les fissures

fragilisent les dents, ce qui diminue la rigidité de celles-ci. Toutefois, dans la majorité des

cas, la fissure de flexion s’initie au creux d’une piqure de contact située prés de la région de

forte sollicitation en flexion [15].

18

a) b) c)

Figure 1.12 Types de dégradation a) corrosion b) piqures c) fissure [15].

1.3.5 Application aux défauts

Les modèles développés permettent d’étudier les variations de la réponse vibratoire en

fonction de différents paramètres. Ils peuvent ainsi simuler des défauts pour en visualiser le

phénomène et faciliter le diagnostic de cas réels.

C’est dans ce but que Lalonde et Guilbault [9] considèrent une fissure au pied d’une dent du

pignon qu’ils agrandissent petit à petit. Ceci entraine une baisse de rigidité de la dent, ce qui

nous permet de visualiser l’évolution de l’accélération angulaire du pignon selon l’état de la

fissure (Fig. 1.14).

Figure 1.13 Fissure en pied de dent.

19

Figure 1.14 Accélération angulaire du pignon a) Sans défaut, b) 1.5 mm, c) 4 mm et d) Fissure complète.

On peut constater l’apparition de pics d’accélération qui génèrent des impulsions. Ces pics

sont des impulsions périodiques, preuve de la présence de défauts dans l’engrenage. La

fréquence de ces pics correspond à la fréquence de rotation du pignon. Un pic est généré à

chaque passage de la dent endommagée.

De même, Sawalhi et Randall [11] utilisent leur modèle à 36 degrés de liberté pour tracer le

spectre en fréquence de la réponse vibratoire du signal dans un cas où il n’y a pas de défaut

comme dans un cas où il y a un défaut sur un roulement. La différence observée sur le

modèle est semblable à celle détectée par l’expérimentation (Fig. 1.15). Il s’agit d’un pic à la

fréquence de résonance du roulement.

20

Figure 1.15 Spectre a) par le modèle, b) expérimental.

1.4 Traitement des signaux

Les signaux bruts obtenus expérimentalement sont bien souvent inexploitables sans

traitement ou analyse. Ainsi l’analyse vibratoire est un des moyens utilisés pour suivre la

santé des machines tournantes en fonctionnement. Cela s’inscrit dans le cadre d’une politique

de maintenance prévisionnelle de l’outil de production industrielle. À partir des vibrations

régulièrement recueillies sur une machine tournante, l’analyse vibratoire consiste à détecter

d’éventuels dysfonctionnements et à suivre leur évolution dans le but de planifier ou reporter

une intervention mécanique.

1.4.1 Analyse temporelle

Cette analyse est une première approche facile et rapide pour extraire des informations des

mesures expérimentales effectuées. Elle permet principalement de constater la présence ou

non d’un défaut mais ne permet pas d’en déterminer l’origine. Cette analyse, en niveau

global, permet la comparaison de sévérité avec des normes d’une valeur calculée

statistiquement, à partir de l’ensemble du signal vibratoire [16].

21

On peut ainsi estimer l’amplitude d’un signal à partir de sa valeur de crête si celle-ci est

constante, ce qui n’est pas souvent le cas à cause du bruit et autres perturbations. Il est

généralement plus efficace d’utiliser la valeur efficace (En anglais : Root Mean Square,

RMS).

Où : Ne est le nombre d’échantillons mesurés

yk est la valeur de la kième valeur

Ym est la valeur moyenne du signal

On peut voir dans l’article d’Ashraf Abdel-Rahim Ali [17], une méthode de détection de

défauts basée sur le suivi de la valeur RMS. Le système étudié est un moteur monté sur

roulements. On effectue une collecte de données mensuelle à partir d’une analyse vibratoire.

Les mesures sont effectuées sur le porte roulement (Fig. 1.16).

Figure 1.16 Analyse globale mensuelle [17].

Cette analyse permet de décider l’arrêt de la production mais ne détermine pas la cause de

défaillance.

.�J K 3F�L0�� +MN(2OPQ�R7 S7 OT (1.10)

22

On peut aussi établir le facteur de crête (FC) qui est le rapport de la valeur de crête sur la

valeur efficace (éq. 1.11).

où : yk est la valeur de la kième valeur

Avec ces deux niveaux globaux, il est possible d’établir des graphes de sévérité (Fig. 1.17).

Figure 1.17 Sévérité en fonction du facteur de crête [16].

Les valeurs du facteur de crête pour la vibration d’un rotor en bon état doivent être proches

de �2. Lorsqu’une dégradation survient, le FC devient supérieur à 3.

Un autre facteur à considérer est le Kurtosis. Il s’agit d’un facteur scalaire qui se définit

comme le rapport du moment d’ordre 4 sur le carré du moment d’ordre 2. Le Kurtosis donne

une plus grande importance aux amplitudes élevées tout en pondérant les évènements isolés,

contrairement au facteur de crête. Il permet lui aussi d’établir un critère de sévérité pour le

diagnostic de défaut.

!� A-U7V�VPQWM��WX3 F�Y Z ��OPQ�R7(1.11)

23

où : Ym est la valeur moyenne du signal

Une défectuosité montre un Kurtosis supérieur à 4 (Tableau 1.1).

Tableau 1.1 Critère de sévérité du Kurtosis

Kurtosis Sévérité

1,5 Bon : signal harmonique

2,8 à 3,2 Passable : signal aléatoire

3,2 à 4 Élevé

> 4 Critique

1.4.2 Analyse fréquentielle

L’analyse fréquentielle permet non seulement de détecter l’apparition d’un défaut mais aussi

d’en trouver la source en identifiant les fréquences actives, contrairement à l’analyse

temporelle qui ne donne qu’une information globale. Elle montre les fréquences de vibration

et leurs amplitudes respectives. Pour passer dans le domaine fréquentiel, il faut appliquer la

transformée de Fourier au signal temporel.

Où : y (t) représente la fonction du signal.

N��� 3F� Z 0�� + N(2[PQ�R7

\ 3F� Z 0�� + N(2OPQ�R7 ]O(1.12)

N0^2 M _ �012�6�`�1ab6b

(1.13)

24

C’est ainsi que l’on détermine le spectre en fréquence du signal vibratoire. Chaque

phénomène excite alors le système à une ou plusieurs fréquences prévisibles. Ainsi

l’apparition et l’évolution de pics permettent de visualiser la présence ou non et l’importance

des défauts. Il est donc possible de déterminer par la suite un niveau d’alarme dont

l’amplitude est imposée en fonction de l’amplitude de vibration usuellement présente dans un

signal.

L’usure des dents est particulièrement visible à partir de la troisième harmonique de la

fréquence d’engrènement. En effet, si toutes les dents sont usées, cela entraine un choc à

chaque passage de dent et donc l’apparition des harmoniques de la fréquence d’engrènement.

Cependant, comme il est possible de le constater sur la figure 1.18, les deux premières

harmoniques sont particulièrement sensibles aux problèmes d’engrènement et au jeu. C’est

donc bien à partir de la troisième harmonique que seul le problème d’usure des dents va

apparaître. Il est donc nécessaire d’avoir une fréquence d’échantillonnage, pour la mesure,

supérieure à la fréquence de cette troisième harmonique. Le théorème de Shannon demande

au minimum, le double de la fréquence maximale recherchée, c'est-à-dire au moins six fois la

fréquence d’engrènement.

Figure 1.18 Niveau d'alarme en fréquence pour un engrenage [16].

25

1.4.3 Ondelettes

Une ondelette est une fonction mathématique qui est utilisée pour décomposer une fonction

ou un signal en différentes composantes fréquentielles avec une résolution adaptée à leur

échelle. Une transformée en ondelettes est la représentation d'une fonction par des ondelettes.

Les ondelettes dites « filles » sont des copies décalées ou/et allongées/compressées d'une

ondelette dite « mère ». Ces différentes ondelettes sont chacune dédiées à l'analyse d'une

partie précise de la fonction ou du signal. L'avantage des ondelettes sur la transformée de

Fourier (restreinte à des systèmes stationnaires) est qu'elles permettent une meilleure analyse

des fonctions non stationnaires ou présentant des discontinuités ou des pics.

Si y(t) est une fonction temporelle, alors on peut définir les transformées d’ondelettes

continues tel que :

Où : c représente la fonction ondelette, s et u sont respectivement la dimension et le temps

avec lesquels les coefficients de l’ondelette sont calculés.

Le paramètre de dimension s est appelé le facteur de dilatation et le paramètre u qui décale la

fonction dans le temps est appelé le facteur de translation. Ensemble ces facteurs donnent

naissance à une famille d’ondelettes à partir d’une ondelette mère grâce à la relation :

Où : c0d9�2 est l’ondelette fille et c \6�d ] est l’ondelette mère.

'0A9 -2 e �9cd9� f _ �012 3gA chb

6bC1 + -A E �1 � ; cdiii0-2 (1.14)

c0d9�2012 3gAc C1 + -A E (1.15)

26

Il existe différentes familles d’ondelettes mais les ondelettes les plus couramment utilisées

dans l’analyse des signaux vibratoires pour les machines tournantes sont les ondelettes de

Morlet (Fig. 1.19) car elles sont capables de mettre en valeur des impulsions générées par les

éléments en rotation.

Figure 1.19 Ondelette de Morlet.

B. Halim, Sirish L. Shah, Ming J. Zuo et M. A. A. Shoukat Choudhury [18] utilisent ainsi

cette méthode pour repérer des défauts sur un engrenage. Pour un signal sans défaut, on peut

observer sur le tracé de l’analyse en temps échelle que les pics ont une faible amplitude, ce

qui confirme qu’il n’y a pas de défaut dans les engrenages (Fig. 1.20). En revanche, dans le

cas d’une dent manquante, on retrouve bien une impulsion importante générée par l’impact

du couple de dents suivant la dent manquante (Fig. 1.20).

cj012 kjD67[�67Ol)��j + mj, (1.16)

mj �67Ojl (1.17)

kj C3 � �6jl + :�6n[jlE67 OY (1.18)

27

Figure 1.20 Analyse d'engrenage sans défaut (gauche) et avec une dent manquante (droite) [18].

1.4.4 Cyclo-stationnarité

Les premières études sur la cyclo-stationnarité datent des années 1950 avec les travaux

précurseurs de Benett [19] et Gladyshev [20], [21]. Récemment, le domaine a connu un

intérêt croissant, principalement en raison de ses applications en télécommunication. Les

machines tournantes sont régies par des mécanismes qui évoluent cycliquement. Par

conséquent, pour un fonctionnement stable (vitesse, pression, température, durée du cycle

moteur, période du réducteur), les paramètres physiques qui décrivent la génération des

vibrations subissent des évolutions périodiques [22]. L’innovation réside en l’ajout d’une

dimension supplémentaire liée à la variable angulaire (plutôt que le temps) qui décrit

l’évolution de la machine. De cette manière, on définit des indicateurs énergétiques et

spectraux instantanés ou cycliques.

1.5 Conclusion

Dans un engrenage, la principale source de vibration provient du fonctionnement normal où

les changements de rigidité modifient la dynamique du système. Mais à cela s’ajoute

l’influence de paramètres nécessaires au fonctionnement tels que le jeu. Aussi, à ces

vibrations liées à la nature de l’engrenage, se rajoutent les perturbations provenant de

multiples défauts : fissures, usure…Face à cette complexité, les modèles numériques non-

linéaires offrent une alternative performante pour la modélisation des engrenages. Cependant,

28

là encore, différentes modélisations (degré de liberté, force d’excitation, contact) permettent

de s’adapter suivant les besoins et les résultats attendus. Ces modèles ont aussi besoin d’être

ajustés afin de coller le plus possible à la réalité. C’est à ce niveau que le traitement et

l’analyse des signaux interviennent. Ils permettent la comparaison entre les résultats obtenus

numériquement avec ceux obtenus expérimentalement, bien souvent sur un banc d’essai dont

on connait les paramètres.

1.6 Objectifs de l’étude et originalité des travaux

En maintenance des machines, la surveillance des vibrations d’engrenages est essentielle [23-

26], mais en faire le diagnostic n’est pas toujours évident et on doit parfois employer des

techniques de traitement du signal sophistiquées telle l’analyse temps-fréquence [24,25], le

Cepstre [29-31] ou l’analyse d’enveloppe [32]. En fait, pour faire un bon diagnostic, on doit

comprendre comment se manifeste la vibration d’engrenages sous l’effet de défauts

d’engrènements [33] et c’est pourquoi l’objectif de cette étude est d’analyser l’effet des

défauts de denture, de type fissure ou piqures, sur la signature vibratoire d’un engrenage, en

utilisant un modèle numérique préalablement développé. Les défauts de surface nécessiteront

aussi le calcul du coefficient de frottement tenant compte de ces piqures et de la rupture du

film d’huile. Les résultats numériques seront par la suite validés par des résultats de la

littérature. Pour cela, des simulations obtenues à partir du modèle établie seront comparées à

celles d’un article de référence pour un même système d’engrenage. Une fois la validation

terminée, des résultats expérimentaux obtenus sur un banc d’essai seront comparés aux

simulations numériques de notre modèle. L’analyse des résultats temporels et fréquentiels

permettra de comprendre à quel stade de gravité, ces défauts peuvent être détectés et ainsi

déterminer une manière de les diagnostiquer, le but ultime étant de pouvoir établir des

critères de sévérité, propre à chaque système.

2.1 Introduction

La revue de littérature a mis en évidence l’importance de la compréhension de la dynamique

des engrenages et l’importance des différents paramètres pour sa modélisation. Le présent

travail s’intéresse donc à l’influence de défauts sur cette dynamique. Pour cela, il est

nécessaire d’introduire les bases qui serviront de point de départ au modèle numérique. Le

modèle numérique alors choisi calcule la force de contact en fonction de la position des

roues, des vitesses de l’instant d’avant, cette durée de temps définissant la résolution du

calcul. La partie suivante développe les calculs effectués afin de résoudre, de façon itérative,

les équations dynamiques. Il sera alors possible de modéliser les défauts afin de les

incorporer au modèle.

2.2 Point de départ du modèle

Le modèle pourrait se baser sur un système à deux degrés de liberté. Cependant, ce type de

modèle donne uniquement les réponses angulaires des engrenages et ne prend pas en compte

l’influence des roulements et des arbres. Afin d’avoir ces informations, le modèle choisi sera

donc basé sur un système à six degrés de liberté au minimum. Les modèles comprenant un

nombre de degrés de liberté supérieur à huit nécessitent quant à eux de connaitre plus de

détails sur le bâtit, le moteur et la charge. Ces données sont parfois difficiles à connaitre et à

modéliser efficacement. C’est par exemple le cas pour le banc d’essai utilisé. Ainsi pour ne

pas surcharger inutilement le modèle, le modèle utilisé comportera six degrés de liberté.

Les six degrés de liberté sont les deux rotations du pignon et de la roue et les quatre

translations (deux pour le pignon et deux pour la roue). Les arbres et les roulements sont

considérés comme étant en série et ayant les mêmes propriétés dans les deux directions.

CHAPITRE 2

MODÈLE DYNAMIQUE

30

Figure 2.1 Modèle à six degrés de liberté [9].

Le modèle de la figure 2-1 peut donc être mis sous la forme de six équations correspondant

chacune à un degré de liberté, le couplage provenant des forces d’excitation (W, T, Ft). En

effet, la force de contact W dépend des positions et des vitesses des différents degrés de

liberté. On retrouve W la force de contact qui est perpendiculaire à la surface de contact, Ft

qui est la force de frottement perpendiculaire à W et Tf le couple généré par la force de

frottement.

L’indice p est attribué au pignon alors que l’indice r est attribué à la roue. Les coordonnées x

et y représentent les déplacements des engrenages. L’angle � représente leur rotation sur eux-

même et � est l’angle de pression. Les facteurs M, C et K sont respectivement la masse de

opppqpppr "U ; �U� $sU � $t +';.U"= ; �=� $s= � $k �';.=�U ; �U� � �U� ; �U� ��U� ; �U '; uvw0�2� !1 ; AB?0�2�= ; �=� � �=� ; �=� � �=� ; �= +'; uvw0�2 +!1 ; AB?0�2�U ; �U� � �U� ; �U� � �U� ; �U +'; wxy0�2 � !1 ; kzA0�2�= ; �=� � �=� ; �=� � �=� ; �= '; wxy0�2 +!1 ; kzA0�2

& (2.1)

31

l’engrenage, l’amortissement et la rigidité des éléments qui supportent l’engrenage. Il faut

maintenant considérer la force contact qui, pour six degrés de liberté, devient :

où : �p et �r sont les déplacements en rotation du pignon et de la roue ��� et ��� sont les vitesses en rotation du pignon et de la roue

xp, yp. xr et yr sont les déplacement en translation du pignon et de la roue ��� , ��� , ��� et ��� sont les vitesses en translation du pignon et de la roue

Rbp et Rbr sont les rayons de base du pignon et de la roue

Cm est l’amortissement du contact

Km est la rigidité du contact

� est l’angle de pression de l’engrenage

Cette force W permet de déterminer le couple T et la force normale Ft.

où : µ est le coefficient de frottement du lubrifiant

W est la force le long de la ligne de contact

vg est la vitesse de glissement

Nc est le nombre de dent en contact

l est la distance entre le point de contact de la force et le centre de l’arbre

' �({)���./� + ��� ./�, � )��� + ��� ,� uvw0�2 � )��� + ��� ,� AB?0�2|� �({)��./� + ��./�, � )�� + ��,� uvw0�2 � )�� + ��,� wxy0�2|(2.2)

! G�'� ABH?0*I2F} (2.3)

$ � L! ; ~P��R7

(2.4)

$ � G�'� ABH?0*2 ; ~ (2.5)

32

Par la suite, en écrivant les équations (2.2 à 2.5) dans le système matriciel (éq. 2.1), on

obtient un système d’équations couplées (éq. 2.6) où d représente le déplacement des degrés

de liberté généralisés.

Ainsi, en repassant du côté gauche, les termes concernant les variables de l’équation, on

obtient un nouveau système (éq. 2.7) dont la force est constante :

Les matrices Mc, Cc et Kc, présentées ci-dessous (éq. 2.8), sont respectivement les matrices

de masse, d’amortissement et de rigidité du système, et montrent en effet le couplage entre

les différents degrés de liberté. Ces matrices dépendent des valeurs suivantes:

µ est le coefficient de frottement du lubrifiant

Rp et Rr sont les rayons primitifs du pignon et de la roue

Rbp et Rbr sont les rayons de base du pignon et de la roue

l est la distance entre le point de contact de la force et le centre de l’arbre

Cm est l’amortissement du contact

Km est la rigidité du contact

� est l’angle de pression de l’engrenage

Jp et Jr sont les inerties du pignon et de la roue

Mp et Mr sont les matrices de masse du pignon et de la roue

Cpx et Cpy sont les amortissements transversaux du support du pignon suivant x et y

Crx et Cry sont les amortissements transversaux du support de la roue suivant x et y

Kpx et Kpy sont les rigidités transversales du support du pignon suivant x et y

Krx et Kry sont les rigidités transversales du support de la roue suivant x et y

��� ; �� � M ��� ; �� � ��� ; � !z=k�M0�9 ��2 (2.6)

��k� ; �� � M ��k� ; �� � ��k� ; � !z=k�M (2.7)

�k �������" �

88

88

88"

�8

88

888

� �8

88

888�

�8

888

88�

�8

888

88�

��������

�k � ( ������������

) GM~+. �, M.

/�+M) G

M~+.�, M. /

�+M) G

M~+.�, uv

w�) GM~+

. �, Muvw�

) GM~+. �, w

xy�+M) G

M~+.�, wxy

�0 . �+

GM~2 M./�

+M0 .�+G

M~2 M. /�

+M0 .�+G

M~2 Muvw�

0 . �+GM~2 M

uvw�0 . �+

GM~2 wxy�

+M0 .�+G

M~2 wxy�

0 uvw��G

wxy�2 M. /�

M+M0 uv

w��Gwxy

�2 M./�

+M0 uvw��

Gwxy�2 Mu

vw��� �� � (

0 uvw��G

wxy�2 Muvw

�0 uvw

��Gwxy�

2 wxy�

+M0 uvw��

Gwxy�2 wx

y�0 +uv

w�+Gwxy

�2 M. /�

+MM0 +uvw�

+Gwxy�2

. /�+M0 +

uvw�+Gw

xy�2Muvw�

0 +uvw�+

Gwxy�2 Mu

vw��� �� � (

0 +uvw�+

Gwxy�2 wx

y�+M0 +

uvw�+Gw

xy�2wxy�

0 +wxy��

Guvw�2 M. /

�+M0 +

wxy��Gu

vw�2M. /�

+M0 +wxy�

�Guvw�2

Muvw�0 +wxy

��Guvw�

2 Muvw�

0 +wxy��G

uvw�2 wxy

����� � (

+M0 +wxy�

�Guvw�2

wxy�0 wxy�

+Guvw�2

M. /�+M0 wx

y�+Guvw

�2 M./�

+M0 wxy�+

Guvw�2 Mu

vw�0 wxy�

+Guvw�2

Muvw�0 wxy�

+Guvw�2

wxy�+M0 wx

y�+Guvw

�2 wxy��

� �� � (������������

�k � ( ������������

) GM~+. �, M.

/�+M) G

M~+.�, M. /

�+M) G

M~+.�, uv

w�) GM~+

. �, Muvw�

) GM~+. �, w

xy�+M) G

M~+.�, wxy

�0 . �+

GM~2 M./�

+M0 .�+G

M~2 M. /�

+M0 .�+G

M~2 Muvw�

0 . �+GM~2 Mu

vw�0 . �+

GM~2 wxy�

+M0 .�+G

M~2 wxy�

0 uvw��G

wxy�2 M. /�

M+M0 uvw

��Gwxy�

2 M. /�+M0 uv

w��Gwxy

�2 Muvw�

�� �� � (

0 uvw��G

wxy�2 Muvw

�0 uvw

��Gwxy�

2 wxy�

+M0 uvw��

Gwxy�2 wx

y�0 +uv

w�+Gwxy

�2 M./�

+M0 +uvw�

+Gwxy�2

. /�+M0 +

uvw�+Gw

xy�2Muvw�

0 +uvw�+

Gwxy�2 Mu

vw��� �

� � (0 +uv

w�+Gwxy

�2 wxy�

+M0 +uvw�

+Gwxy�2

wxy�0 +wxy

��Guvw�

2 M. /�+M0 +

wxy��Gu

vw�2M. /�

+M0 +wxy�

�Guvw�2

Muvw�0 +wx

y��Guvw

�2 Muvw�

0 +wxy��G

uvw�2 wxy

����� � (

+M0 +wxy�

�Guvw�2

wxy�0 wxy�

+Guvw�2

M. /�+M0 wx

y�+Guvw

�2 M. /�

+M0 wxy�+

Guvw�2 Mu

vw�0 wxy�

+Guvw�2

Muvw�0 wxy�

+Guvw�2

wxy�+M0 wx

y�+Guvw

�2 wxy��

� �� � (������������

(2.8)

31

34

2.3 Modélisation des engrenages

Les équations choisies aux paragraphes précédents donnent un système matriciel d’ordre six.

La matrice de masse est facile à obtenir et ses coefficients dépendent de la masse volumique

du matériau et de la géométrie des différents éléments. Les matrices d’amortissement et de

rigidité demandent une attention particulière.

2.3.1 Les rigidités

2.3.1.1 Rigidité d’engrènement

Pour calculer la force de contact, il est nécessaire de connaitre la rigidité totale du contact.

Cette rigidité totale se décompose en trois rigidités : les deux rigidités de flexion des dents et

la rigidité de contact obtenue par la théorie de Hertz.

Rigidité de flexion

Il faut établir une équation qui détermine la rigidité de la dent en fonction du point de

contact.

Figure 2.2 Paramétrage d'une dent.

t

35

La rigidité de la dent peut être calculée à partir de la théorie des poutres en considérant un

côté libre et un côté encastré.

où : B est la largeur de l’engrenage.

Ta est l’épaisseur de la dent au niveau du cercle primitif.

xt est la distance entre le pied de la dent et le point d’application de la force.

E est le module de Young du matériau.

Rigidité de contact

La rigidité de contact est calculée à partir de la théorie de Hertz. Cette théorie permet de

calculer le déplacement des surfaces en fonction de la charge. Il faut par la suite diviser la

charge par ce déplacement pour avoir la rigidité.

où : � est le déplacement des surfaces.

P0 est la pression au point de contact.

a est la demi-largeur de contact.

c est une constant proche de 2.

Ep et Er sont respectivement les modules de Young des matériaux du pignon et de la

roue.

�p et �r sont respectivement les coefficients de Poisson du pignon et de la roue.

m� ��$�n��n (2.9)

� ��M>MkM K\3 + �U:]�U � )3 + �=:,�= S (2.10)

36

où : P0 est la pression au point de contact.

W est la charge normale.

Best la largeur de l’engrenage.

a est la demi-largeur de contact.

La rigidité de contact kf choisie est constante sur la longueur du profil [34].

où : B est la largeur de l’engrenage.

Ep et Er sont respectivement les modules de Young des matériaux du pignon et de la

roue.

�p et �r sont respectivement les coefficients de Poisson du pignon et de la roue.

2.3.1.2 Autres rigidités

Dans les calculs des déplacements, la rigidité des arbres intervient. Cette rigidité s’obtient à

partir du calcul de la flèche � (éq. 2.13) pour une poutre soumise à une charge ponctuelle. La

flèche est calculée au point d’application de la charge.

��M :M'�M>MD (2.11)

m '� �M ; MD�M K\3 + �U:]�U � )3 + �=:,�= S

(2.12)

37

Figure 2.3 Flexion d'un arbre soumis à une force ponctuelle.

Où : Fn est la force normale

L est la longueur de l’arbre

Lx est le positionnement de la force sur l’arbre

E est le module de Young de l’arbre

I est le moment d’inertie de flexion de l’arbre

2.3.1.3 Influence des fissures sur la rigidité

La présence d’une fissure ne modifie pas la rigidité de contact, mais uniquement la rigidité de

flexion des dents. Dans cette étude, les paramètres qui définissent la fissure sont sa

profondeur et sa largeur. La position axiale de la fissure n’est pas utilisée, car il est en effet

considéré que la fissure s’étend jusqu'à un des bouts de la dent. Il est intéressant de définir

ces paramètres en fonction des dimensions de la dent qui sont elles-mêmes liées au module.

Ainsi la profondeur de la fissure est un pourcentage de l’épaisseur du pied de la dent et la

� !���O0� + ��2O@��� (2.13)

�� !�� @�����O0� + ��2O (2.14)

Fn

Lx

38

largeur de la fissure est un pourcentage de celle de la dent. Cette dénomination permet ainsi

de se rapprocher de celle choisie pour le plan expérimental.

Une étude par éléments finis montre qu’il est possible d’obtenir une équation de la rigidité

d’une dent donnée [35] en fonction des paramètres de définition de la fissure. Cependant, il

faut vérifier la linéarité de cette équation pour pouvoir l’étendre à toutes les dents quelqu’en

soit le module. L’étude présente reprend le principe de calcul de la rigidité d’une dent en y

incluant à la base, une fissure définie par sa profondeur et sa largeur, telle que décrite à la

figure 2.4.

Figure 2.4 Modélisation d'une fissure.

Les fissures sont paramétrées en fonction du module de l’engrenage. Le plan d’expérience

numérique est décrit dans le tableau 2.1 et permet de voir le comportement des différentes

tailles de fissure suivant le module.

39

Tableau 2.1 Plan d'expérience pour caractériser la rigidié

Cas 1 2 3 4 5

Largeur 0 % 25 % 25 % 50 % 50 %

Profondeur 0 % 25 % 50 % 25 % 50 %

Module 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

L’objectif de cette méthode est de déterminer le déplacement de la dent pour un chargement

connu. Pour cela, la dent est modélisée en trois dimensions à l’aide d’un logiciel de

conception. Les calculs de contraintes et de déplacement sont effectués par la méthode des

éléments finis (Fig. 2.6). La force et la mesure du déplacement sont mises afin de

correspondre à la figure 2.5. Il s’agit donc toujours d’un déplacement selon la ligne d’action.

Figure 2.5 Position de la force exercée et du déplacement mesuré.

40

Figure 2.6 Déplacement d'une dent soumise à un chargement en bout de dent.

La rigidité de la dent est obtenue en divisant la force du chargement par le déplacement.

Ainsi, en faisant varier les paramètres de la fissure, pour des dents de modules différents, on

peut mettre en évidence, la linéarité de la rigidité en fonction du module. La figure 2.7

montre les diverses courbes de rigidité en fonction du module lorsque la fissure est

paramétrée en pourcentage du module.

Figure 2.7 Rigidité de la dent en fonction du module pour une fissure en pied de dent suivant les différents cas du tableau 2.1.

�������

�������

�����

�����

������

������

������

������

�����

�����

� �

���������

��

������

�

�

�

�����������������

41

La rigidité du cas 1, qui correspond au cas sans défaut, est aussi comparée à celle obtenue

analytiquement par l’équation 2.9. Cette étape permet de valider l’équation analytique

développée pour le modèle.

2.3.1.4 Mise en équation du phénomène

Ainsi, pour tenir compte des fissures, l’équation obtenue pour la rigidité de flexion de la dent

peut être ajustée, en ajoutant un facteur correctif. La formule développée [35] pour le calcul

de ce coefficient dépend de deux paramètres, la profondeur et la largeur. Ces paramètres sont

aussi définis en pourcentage du module de l’engrenage. L’équation ainsi obtenue est la

suivante, où les variables Pf et Lf sont respectivement, la profondeur et la largeur de la fissure

et les coefficients si sont les coefficients calculés regroupés au tableau 2.2:

Tableau 2.2 Coefficition de l'équation du coefficient correcteur

s1 21,2799461 s6 -134,606935

s2 -6,91931337 s7 -102,370148

s3 63,9798611 s8 158,419115

s4 12,5385342 s9 22,1217772

s5 -15,9990468

2.3.2 Les Amortissements

2.3.2.1 Amortissement d’engrènement

L’amortissement de l’engrènement Cm, pourrait être calculé en employant un modèle élasto-

hydro-dynamique, mais pour raisons de simplicité, on a préféré le calculer à partir de la

� A7 � AOM�� � AnM��� � A[M�� � A�M��� � A<M�� ; �� � A�M�� ; ��� � A�M��� ; ��� A�M��� ; ���(2.15)

42

rigidité d’engrènement, en supposant un taux d’amortissement du contact dans un modèle

visqueux à 1 degré de liberté (ddl) [36].

où : �m est le taux d’amortissement du contact.

km est la rigidité de contact.

Meq est la masse équivalente.

Comme la rigidité varie et dépend de la présence de fissure, il en est de même pour

l’amortissement. La masse équivalente du contact Meq peut être calculée par équivalence de

l’énergie cinétique en supposant un modèle à 1 ddl [15].

où : Jp et Jr sont les inerties du pignon et de la roue

Rp et Rr sont les rayons primitifs du pignon et de la roue

2.3.2.2 Autres amortissement

L’amortissement de l’arbre est, quant à lui, calculé à partir de la rigidité de l’arbre ka, selon la

même hypothèse basée sur une estimation du taux d’amortisseement de l’arbre dans un

modèle à 1 ddl.

Où : � est le taux d’amortissement de l’arbre.

Ka est la rigidité de l’arbre.

Marbre est la masse de l’arbre.

�( :�(Xm(��� (2.16)

��� "�"�)"�.�O � "�.�O, (2.17)

�� :�������/�� (2.18)

43

2.3.3 Le coefficient de frottement

2.3.3.1 Calcul du coefficient

Il n’y a roulement d’une dent sur l’autre qu’au point primitif. Ainsi pour le reste du contact,

on a un glissement d’une dent sur l’autre, qui génère une force de frottement. Pour la

calculer, il est nécessaire de connaitre le coefficient de frottement. Ce coefficient µ dépend

de différents facteurs tels que la pression de contact, la vitesse de glissement, la viscosité du

lubrifiant. L’auteur K. L. Johnson [37] a proposé l’expression ci-dessous :

où : Fn = la force normale.

B = l’épaisseur de l’engrenage.

vg = la vitesse de glissement.

Req = le rayon de courbure équivalent au point de contact. �k = la viscosité cinématique du film d’huile.

Ra = la rugosité composé des deux surfaces.

XL = un facteur correctif pour la présence d’additif (=1).

La rugosité composée Ra est obtenue à partir de la rugosité rms (Rrmsp et Rrmsr) des deux

surfaces.

G 898� M ¡ !� �T*IM.��¢�9O ��6�9��.��9O�£¤ (2.19)

.� MX.�(d�O � .�(d�O (2.20)

44

2.3.3.2 Influence des piqures sur le coefficient de frottement

Les piqûres de surface entrainent aussi des perturbations du comportement vibratoire de

l’engrenage, sans toutefois en modifier la rigidité. L’influence des piqûres est dominante sur

le coefficient de frottement au contact. En effet, l’apparition de piqûres crée une surpression

localisée autour du défaut pouvant entraîner une rupture du film de lubrification et provoquer

un contact onctueux. Les piqûres modifient donc le frottement et le couple qui en découle.

Il est pris pour hypothèse que l’augmentation de pression dans le fluide autour du trou est

identique à celle constatable lors d’un contact sec. Cette surpression dépend alors du

diamètre de la piqûre et de la proximité des piqûres voisines. L’effet des piqûres sur la

distribution de la pression de contact et donc sur le coefficient de frottement peut être établi à

partir d’un plan d’expérience numérique. Le modèle, créé par la Méthode des Éléments Finis

(MEF)[38], est composé de deux demi-cylindres en contact l’un contre l’autre (Fig. 2-8). Le

cylindre supérieur comprend deux trous de diamètre et d’espacement variables. Le plan

d’expérience est présenté au tableau 2-3. L’espacement est donné en pourcentage du

diamètre des trous équivalents aux piqûres. La force de contact Fn est choisie constante pour

l’expérience et correspond à un couple de 100 N.m sur l’engrenage. La pression résultante

n’étant pas linéaire à la force soumise, le calcul de la surface affectée devra par la suite être

généralisé.

45

Figure 2.8 Modèle élémens finis.

Tableau 2.3 Plan d’expérience et distance critique de la zone affectée

Diamètre trou Espacement Trou �int (mm) �ext (mm)

0,5 mm 100% 0,8 0,23 200% 0,11 0,23 300% 0,14 0,23

1 mm 100% 0,10 0,29 200% 0,15 0,29 300% 0,17 0,29

1,5 mm 100% 0,12 0,32 200% 0,17 0,32 300% 0,18 0,32

Fn

46

La figure 2.9 montre la distribution de pression obtenue pour un trou. x représente le

déplacement le long du contact. x=0 correspond à l’axe de symétrie entre les deux trous.

Cette distribution est obtenue en relevant la pression de surface le long de la ligne de contact.

Figure 2.9 Répartition de la pression autour d'un trou.

La zone de pression de contact affectée à proximité d’un trou de piqûre peut être décrite par

deux distances : �int (entre 2 trous) et �ext. La zone affectée est déterminée lorsque la pression

devient supérieure à la pression limite du lubrifiant, ce qui conduit à la rupture du film

d’huile. Il est alors possible de tirer des expressions pour � en fonction du diamètre des trous

D et de l’espacement entre eux ep. Ainsi, pour le côté extérieur où la valeur ne dépend pas de

la position de l’autre trou, on trouve une équation fonction de D uniquement.

Pour le �int, l’équation prend la forme suivante :

¥¦§¨ +898© ;MªO � 89:3 h ª � 893� (2.21)

¥«¬¨ k3�ª:�k:�ª�k@�¦­�ª�k��¦­�k®�¦­:�k©�ª:�¦­ �k¯�ª�¦­:� k �ª:¦­:�k°(2.22)

47

Tableau 2.4 Valeur des coefficients de �int

��� 4,4000 ��� -0,0548 ��� -0,0002 ��� -10,9800 ��� 0,0001 ��� 0,0001 ��� 0,0928 ��� -0,0370 ��� 6,6000

Connaissant les grandeurs limites, une zone en forme d’ellipse correspondant à la surface

concernée par la surpression autour du trou peut alors être définie (Fig. 2.10).

Figure 2.10 Zone affectée par la surpression.

La surface calculée précédemment correspond à un cas de chargement précis. Afin de la

généraliser, sa taille est considérée comme linéaire par rapport à la pression de contact. Or,

cette pression de contact n’est pas linéaire au chargement. Le modèle choisi pour calculer la

pression de contact P0 en fonction de la force de contact Fn est le modèle de Hertz pour un

contact cylindrique (éq.2.23).

où : Fn est la force de contact.

E* est le module de Young équivalent des deux matériaux.

Req est le rayon équivalent des deux surfaces.

B est la largeur de l’engrenage.

�� ± !��h.���D(2.23)

l1

l2

48

Ce qui donne pour la surface affectée Sa :

où : P0 est la pression maximale.

l1 et l2 sont les longueurs de l’ellipse.

D est le diamètre du trou.

La présence des défauts réduit l’épaisseur du film d’huile et entraine des contacts en régime

onctueux. En absence de défaut de surface, il est considéré que le coefficient de frottement

correspond à celui produit en Régime Élasto-Hydrodynamique (REH) et on fait l’hypothèse

que l’épaisseur du film n’a pas d’influence significative sur les paramètres vibratoires. En

revanche, en présence de défauts, il est nécessaire de prendre en compte le pourcentage de

contact solide. Le calcul de la zone affectée permet donc de trouver le pourcentage de contact

sec et d’en déduire la force de friction modifiée (éq. 2-25). Pour cela, il faut enlever de la

zone de contact la surface affectée concernée, comme le montre la figure 2.11.

Figure 2.11 Schéma d’une zone affectée.

J� ���:: ; ¡D~7~O + D²O� ¢ (2.24)

49

où : � représente le pourcentage de la surface recouverte par le REH

µhuile est le coefficient de frottement du lubrifiant calculé par l’équation 2.17

µsolide le coefficient de frottement solide qui dépend des matériaux en contact

W est la force suivant la ligne d’action

Nc est le nombre de dent en contact

2.4 Intégration numérique

Le modèle d’équations dynamiques (éq. 2.1) permet de déterminer l’accélération au temps t à

partir des caractéristiques de la transmission et des variables (vitesses et déplacements) au

temps t-1. Une fois cette accélération déterminée, il est nécessaire de calculer les vitesses et

déplacements au temps t afin de poursuivre les itérations et calculer l’accélération au temps

t+1. Pour cela, il faut intégrer deux fois l’accélération.

Une étude de Lalonde et Guilbault [9] compare différentes méthodes d’intégration

numérique. Les deux critères considérés sont la rapidité et la convergence des méthodes. Les

méthodes les plus rapides sont la méthode de Newmark et la méthode des différences

centrales. La méthode des différences centrales est la plus précise. Cependant, ces deux

méthodes peuvent présenter des problèmes d’instabilité. La méthode alors préconisée est la

méthode de Runge-Kutta. Cette dernière peut nécessiter un pas d’intégration très petit mais

assure une convergence complète. Afin de réduire le temps de calcul, la méthode de Runge-

Kutta a été réduite à l’ordre 1. Cette méthode itérative réduite revient alors à celle d’Euler,

qui demande un pas très fin. Elle consiste donc à définir les différentes variables comme des

polynômes d’ordre 1. On n’a besoin que de deux valeurs, les valeurs aux temps t et (t-1),

pour pouvoir intégrer (voir annexe IV). La méthode Runge-Kutta à l’ordre 4 est décrite à

l’équation 2.26.

! �³ ; G����� � M03 + ³2 ; Gd����� ; 'F} (2.25)

50

avec :

où : Te est la période d’échantillonnage.

yn et yn+1 le valeur respective de y au temps tn et tn+1.

Ce qui nous donne dans notre cas à l’ordre 1, pour le calcul de la vitesse et du déplacement :

De même :

Cette solution entraine une phase transitoire entre les conditions initiales et le régime

permanent recherché. Cependant, elle est stable pour un temps de calcul assez court.

2.5 Calcul des résonances du système

Les résonances du système non linéaire variant à chaque instant, il est tout de même possible

de les calculer à partir du système matriciel à une position donnée, et d’en trouver les

fréquences de résonance non amorties. Pour cela, il ne faut pas considérer les forces

��a7 �� � $�© ; 0m7 � :mO � :mn � m[2 (2.26)

m7 sz?1Bz?01�9 ��2mO sz?1Bz?01� � $�: 9 �� � $�: m72mn sz?1Bz?01� � $�: 9 �� � $�: mO2m[ sz?1Bz?01� � $�9 �� � $�mn2

(2.27)

´B1012 ´B101 + 32 � µkk012 � µkk01 + 32: ; $� (2.28)

�zA012 �zA01 + 32 � ´B1012 � ´B101 + 32: ; $� (2.29)

51

extérieures ni les amortissements, ce qui conduit à un système non amorti homogène (éq.

2.30). En fait, la rigidité de contact des dents étant bien supérieure aux autres rigidités, la

variation de cette rigidité de contact n’a pratiquement pas de répercussion sur les résonances

du système.

où : Mc est la matrice de masse couplée

Kc est la matrice de rigidité couplée

d et �� sont les déplacements et les accélérations

Les valeurs propres (�) sont trouvées en calculant l’équation 2.31 :

Or, les valeurs propres représentent le carré des fréquences naturelles ou résonances ( ).

Ainsi, trouver les fréquences de résonances revient à résoudre l’équation 2.32 :

Le calcul est effectué pour deux engrenages de 30 dents, de diamètre 90 mm et de largeur 30

mm et dont les dimensions sont les suivantes :

• L1 = L2 = L3 = L4 = 100 mm.

• D1 = D2 = 25mm.

��}�¶��· � ��}�¸�¹ ¸8¹ (2.30)

��1��} + º�}� ¸8¹ (2.31)

W�} + ^O�}W 8 (2.32)

52

Figure 2.12 Schéma de la transmission.

Les fréquences de résonance trouvées sont de 706 Hz, 1077 Hz et 4251Hz. Les trois autres

valeurs trouvées sont soit quasi-nulles, soit identiques à une de ces valeurs.

2.6 Conclusion

Cette partie a permis de montrer le modèle choisi et donc le contexte dans lequel les modèles

des défauts vont être ajoutés. Dans ce modèle à six degrés de liberté, les défauts vont

modifier temporairement et de façon périodique les paramètres qui permettent de calculer la

force de contact.

Les fissures influencent la rigidité de la dent, ce qui a un impact sur la rigidité de contact. Les

défauts de surface créent une zone de contact solide qui affecte le pourcentage de contact

lubrifié. Cela a pour conséquence de modifier la force de frottement sur la dent. Dans les

deux cas, ces modifications influent sur la réponse vibratoire du système. Il sera alors

possible d’observer leurs impacts sur les niveaux globaux d’alerte. L’objectif d’un tel modèle

étant de prédire des problèmes réels, il faut maintenant comparer puis ajuster les résultats du

modèle avec des essais expérimentaux. Ces résultats ont été publiés dans une conférence

internationale [38].

3.1 Introduction

Une fois défini, le modèle doit être validé par des essais expérimentaux. Ces essais seront

menés sur un banc ayant des caractéristiques propres. Dans un premier temps, l’objectif de ce

chapitre sera donc de présenter le banc et les mesures effectuées. Deux cas de défauts seront

alors testés, les fissures et les défauts de surface, chacun d’eux étant défini par deux

paramètres. Dans un deuxième temps, ce chapitre développera le plan d’expérience.

3.2 Banc d’essai

Les essais ont été réalisés sur un banc d’essai de la marque Spectra Quest. Les mesures ont

été effectuées grâce au système d’acquisition LMS et de trois accéléromètres uni-axiaux.

Figure 3.1 Banc d'essai Spectra Quest.

CHAPITRE 3

MATERIEL ET MÉTHODES

54

Le moteur est à vitesse variable (0 à 5000 tr/min). La vitesse est mesurée sur l’arbre d’entrée

par un tachymètre. À la sortie, un frein électromagnétique est commandé en courant et

permet de varier le couple entre 0 et 25 N.m. Le banc comporte deux engrenages.

L’engrenage comportant le défaut, en rayé sur la figure 3.2, est positionné sur l’arbre

intermédiaire. Les capteurs uni-axiaux sont placés sur le porte-roulement de cet arbre

intermédiaire.

Figure 3.2 Schéma du banc.

Le système d’acquisition utilisé est le système LMS Test Lab. Ce montage permet donc

d’avoir l’accélération suivant les trois axes dans le domaine temporel.

3.3 Plan d’expérience

L’objectif est de valider le modèle comprenant des défauts à partir d’essais expérimentaux.

Les défauts à tester sont de deux types :

• les fissures en pied de dents qui influencent la rigidité de la dent,

55

• les piqures considérées comme des défauts de surface et incorporées dans le coefficient

de frottement du modèle.

3.3.1 Modélisation des fissures

Les fissures sont définies grâce à deux paramètres : la profondeur et la largeur (Fig. 3.3).

Figure 3.3 Modélisation d'une fissure.

Afin de pouvoir par la suite généraliser à d’autre cas, la profondeur de la fissure est donnée

en pourcentage du module et la largeur de celle-ci est donnée en pourcentage de la largeur de

l’engrenage. Les différents cas testés sont marqués par une croix dans le tableau 2-1. Ces

points expérimentaux sont choisis dans un plan 2², c'est-à-dire qu’ils permettent l’étude de

l’influence quadratique de deux paramètres. Cette étude nécessite de préférence 8 points

équi-répartis autour du domaine d’étude et d’un point au centre. Dans notre cas, le point

central n’a pas été choisi afin de réduire les coûts de l’expérience.

56

Tableau 3.1 Choix des paramètres pour les fissures

������������������������ �����!"������

���#� ���#� ���#�

���#� �� �� �����#� �� �� ���$$�#� �� �� ��

3.3.2 Modélisation des piqûres

Pour les piqûres, les dimensions caractéristiques sont le diamètre du trou (Ø) et le nombre de

trous. Ainsi, la taille de la zone affectée par le phénomène variera. Les trous sont répartis sur

deux lignes et en quinconce comme le montre la figure 2.4, et couvrent la largeur complète

de la face des dents. Cette disposition garde les trous dans la zone de contrainte maximale,

lieu d’apparition des défauts de surface tout en facilitant la fabrication des défauts sur

l’engrenage.

Figure 3.4 Modélisation des piqûres.

57

Le plan d’expérience utilisé est similaire à celui décrit pour les fissures. Il s’agit là-aussi d’un

plan d’expérience 2². Pour cela, le diamètre des trous varie entre 1 et 2 mm pour un nombre

de 5 à 9 trous. Les grandeurs sont aussi ramenées en fonction du module de l’engrenage, en

prenant le pourcentage du diamètre par rapport à la largeur de la dent. Pour la même raison

budgétaire, le point expérimental central n’est pas réalisé.

Tableau 3.2 Choix des paramètres pour les piqûres

����������������������%�"�&����'���������

�(��#� ��#� �(��#�

�� ��� ������ ���������� ����������� ���������� �� ���������� ���������� ���������� ��������

Les chiffres entre parenthèses du Tableau 3.2 correspondent à la distance, en pourcentage,

entre deux trous successifs par rapport à leur diamètre. Les trous ont une profondeur

différente suivant leur diamètre. Pour les trous de diamètre 1 mm, la profondeur est de 0,32

mm. Pour ceux de 1,5 mm, la profondeur est de 0,48 et pour ceux de 2 mm, elle est de 0,64

mm.

3.4 Choix des roues

Le premier engrenage sert uniquement à transmettre la puissance à l’arbre intermédiaire. Le

second permet la connexion avec le frein électromagnétique qui applique le couple. Le défaut

est placé sur ce deuxième palier. Afin de minimiser l’influence du premier engrenage dans la

lecture, sa fréquence d’engrènement a été choisie trois fois supérieure à celle du second. De

plus, le rapport de réduction a été choisi proche de 1. Cela permet aux arbres d’avoir une

vitesse de rotation similaire et de ne pas exciter le bâti à des fréquences différentes :

• Premier palier : 88/90 dents. • Deuxième palier : 30/29 dents.

58

Ainsi, pour une fréquence du moteur de 16,66 Hz, la fréquence d’engrènement du premier

palier est feng1 = 1466 Hz et celle du second palier est feng2 = 489 Hz. Il faut aussi considérer

les fréquences de coïncidence qui correspondent aux fréquences auxquelles deux dents

définies entrent en contact l’une avec l’autre. Dans ce cas-ci, fcoï1 = 0,37 Hz et fcoï2 = 0,56 Hz.

Les engrenages sont constitués de roues à dentures droites commerciales et faites d’acier

(Quality Transmission Components, QTC). Les caractéristiques sont données en annexe I. Il

est nécessaire de vérifier la résistance des roues par rapport aux conditions du banc d’essai.

Cette vérification consiste à calculer le facteur de sécurité (FS) pour les contraintes en flexion

et les contraintes en surface. L’objectif étant de trouver un facteur de sécurité supérieur à 1

pour ne pas avoir d’usure prématurée des engrenages. Afin d’optimiser le choix des roues, la

limite du facteur de sécurité est prise à 1,5. Les calculs sont faits pour une durée de vie de 107

cycles avec une fiabilité de 0,9999. Pour cela, il faut considérer la contrainte au pied de la

dent. Les contraintes sont calculées à partir de la norme AGMA :

Les valeurs des différents coefficients sont résumées dans le tableau suivant et détaillées en

annexe II :

Tableau 3.3 Calcul des contraintes en flexion

������� )�� *�� *+,� *-� '� ��� *.� *'� /0� 1���" � 1"�����" � 23��� ���� � ���� � ����� ������ ��� � � �� � ��� ���� ����

�� ���� � ���� � ���� ����� ��� � �� �� �� ���� � ��

Les engrenages sont aussi soumis à une usure de surface. Pour cela les contraintes de

surfaces sont elles aussi calculées à partir de la norme AGMA :

» '���¼½�d ; 3¾t ; ���¿NÀ (3.1)

59

Les valeurs des différents coefficients sont résumées dans le tableau suivant et détaillées en

annexe II :

Tableau 3.4 Calcul des contraintes de surface

On obtient un facteur de sécurité de 1,46 dans le plus mauvais des cas pour les contraintes en

flexion et de 1,2 pour les contraintes de surface. Ainsi les engrenages choisis peuvent résister

aux conditions limites du banc suivant la norme AGMA.

3.5 Conclusion

Cette partie a permis de présenter le plan expérimental. Les essais ont été menés sur le banc

SpectraQuest pour chacun des cas décrits plus haut. Cependant les caractéristiques du banc

ont une influence sur les résultats mesurés. Les résonances du banc vont plus ou moins

accentuer les vibrations des engrenages et ainsi fausser les résultats. Une analyse préliminaire

du banc, présentée au chapitre V, sera donc nécessaire. Elle consiste, dans un premier temps,

à effectuer une analyse modale du banc complètement assemblé à partir d’un test d’impact.

Cela s’accompagne d’une étude en fonctionnement, afin d’apprécier l’influence de la vitesse

sur les résultats.

»} Á±'���¼Ã�Ä �4�Å7¾ ÁÆÁÇ(3.2)

������� )�� *�� *+,� *-� *.� 4�� 4�� �� '� 4�� 1����" � 1�("����5" � 23��� ���� � ���� � ��� � �� � ����� ����� ���� ���� � � ������ ���� � ���� � ��� �� � ����� ���� ���� ���� � � ���

4.1 Validation numérique

L’objectif de cette partie est de comparer le modèle établi par rapport à des résultats valides

provenant d’autres simulations. Dans le cas présent, les résultats obtenus par Parker [2]

serviront de base. Pour cela, la roue et le pignon sont considérés identiques. Chacun des deux

possédant 50 dents, un module de 3 mm et un angle de pression de 20°. Les engrenages sont

en acier dont le module d’élasticité est de :8¯ ; 38� N/m2 et la densité est de 7600 kg/m3.

Les supports sont considérés comme rigides, il ne reste que les degrés de liberté en rotation.

Les simulations sont effectuées pour deux vitesses. La première correspond à la seconde

fréquence de résonance calculée par les auteurs, soit 1560 tr/min pour un couple de 150 Nm.

La seconde correspond à la résonance primaire, soit une vitesse de 2880 tr/min pour le même

couple de 150 Nm.

Le signal choisi doit prendre en compte les vibrations angulaires de chaque engrenage. La

comparaison sera donc faite sur l’erreur de transmission dynamique (ETD) choisie dans

l’article de référence et donné par l’équation 4.1.

où : Rp et Rr sont les rayons primitifs du pignon et de la roue

�p et �r sont les déplacement en rotation du pignon et de la roue

La figure 4.1 présente l’ETD obtenue par le modèle. Elle correspond au passage de trois

dents au niveau du contact.

CHAPITRE 4

VALIDATION DU MODÈLE

�$² M.��� � .��� (4.1)

61

Figure 4.1 ETD en fonction du temps à 1560 tr/min.

La forme, de deux pics par passage de dent, et l’amplitude, de 15 µm, sont comparables à la

réponse obtenue (Fig. 4.2) par Parker [2].

Figure 4.2 ETD en µm obtenu par Parker à 1560 tr/min.

��

�

�

�

�

�

�

�

��

��� ��� � ��� � ��� �� ��� � ��� ��

67%�8

�

7��5-�-

7��5-��� �

67%�8

� �

62

Pour la vitesse de 2880 tr/min (Fig. 4.3), le signal comporte lui aussi le passage de trois

dents. Ce signal se différencie du précédent par sa forme. Il n’y a plus qu’un seul pic par

passage de dent. De plus, l’amplitude de l’ETD à 2880 tr/min est supérieure à celle de celui

de 1560tr/min. Cette évolution est en accord avec les résultats obtenus par Parker (Fig. 4.4)

Figure 4.3 ETD en fonction du temps à 2880 tr/min.

Figure 4.4 ETD en µm obtenu par Parker à 2880 tr/min.

Il est possible de poursuivre la comparaison dans le domaine fréquentiel pour les deux

vitesses de rotation présentées ci-dessus.

��

�

�

�

�

�

�

�

��

��� � ��� �� ��� ��� � ��� � ��� �

67%�8

�

7��5-�-

7��5-��� �

67%�8

� �

63

Figure 4.5 Comparaison fréquenielle du DTE à 1560 tr/min a) modèle numérique b) modèle de référence

et à 2880 tr/min c) modèle numérique d) modèle de référence.

Il est possible d’observer que pour une vitesse de 2880 tr/min (Fig. 4.5 c et d) on retrouve,

pour mon modèle comme pour le modèle de référence, le pic principal à la fréquence

d’engrènement, soit 2400 Hz. En revanche pour les simulations à 1560 tr/min, le pic

principal se trouve à deux fois la fréquence d’engrènement de 1300 Hz. Ceci n’est pas dû à

un problème de jeu mais plus probablement à la présence d’une résonance prés de cette

deuxième harmonique.

4.2 Prise en compte des défauts

L’insertion des défauts s’effectue sur le modèle présent sur le banc d’essai, c'est-à-dire deux

engrenages identiques de 30 dents et de module 3.

64

4.2.1 Fissures

La rigidité de contact dépend de différents paramètres dont la rigidité de la dent. Or, une

fissure fragilise la dent et diminue sa rigidité. Ainsi, la fissure a un impact direct sur la

rigidité de contact. La rigidité de contact pour un engrenage sans défaut est presque similaire

à une fonction créneau (Fig. 4.5) dont la fréquence est la fréquence d’engrènement. La

présence de la fissure diminue cette rigidité ponctuellement. Cet évènement a lieu à chaque

passage de la dent défectueuse. Ainsi, en simulant la rigidité de contact en présence d’une

fissure au pied d’une dent (Fig. 4.6), le signal obtenu présente bien un créneau d’amplitude

plus faible à chaque passage de la dent endommagée.

Figure 4.6 Rigidité de contact pour un engrenage sans défaut.

������

������

�����

������

���� ����� ��� ���� ����

���������

��

7��5-�-

65

Figure 4.7 Rigidité de contact pour un engrenage avec fissure.

4.2.2 Piqûres

Les piqûres ont un effet différent de celui des fissures. Ce défaut de surface perturbe la

lubrification et crée une zone de contact solide. Ainsi, sur la surface affectée, le coefficient de

frottement augmente. C’est pourquoi le modèle de lubrification choisi a une influence

importante sur les résultats.

Comme il a été dit dans la revue de littérature, les types de coefficient les plus utilisés sont

les coefficients constants (éq. 1.10) et les coefficients linéaires (Fig. 1.11). Les graphiques

suivants (Fig. 4.7 et 4.8) comparent les forces de contact et de frottement pour les deux

possibilités. Il est alors possible de constater que la force de contact W globale n’est pas

influencée par le choix du modèle de lubrification. En revanche, la force de frottement passe

d’un comportement créneau à un comportement triangulaire.

������

������

�����

������

���� ��� ��� ���� ���� ��� ���� ���� ����

���������

��

7��5-�-

66

Figure 4.8 Coefficient de frottement constant.

Figure 4.9 Coefficient de frottement linéaire.

L’ajout d’une piqûre sur l’une des dents, augmente ponctuellement la force de frottement.

Les figures qui suivent montrent le cas d’un engrenage dont l’une des dents est affectée par 5

piqûres de 1,5 mm de diamètre. La force de frottement est alors calculée suivant les deux

types de coefficient de frottement possibles.

�� �� � � �������

�

��

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���

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���

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��� �� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� ����

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7��5-�-

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2��������2������

� ��

2����������

�"���

7��5-�-

�!����� "#!���$���

Figure 4.10 Force de frottement en présence de piqûres, pour des coefficients constant (en haut) et linéaire (en bas).

La présence des piqûres génère donc une force de frottement plus importante à chaque

passage de la dent défectueuse. Il est donc intéressant de voir l’évolution de ce phénomène en

fonction du nombre de piqûres sur la dent. La simulation précédente est donc refaite avec des

piqûres de 1,5 mm de diamètre et un coefficient de frottement linéaire. Seul le nombre de

piqûres changent. Ainsi les résultats obtenus pour 5 piqûres (Fig. 4.10), pour 7 piqûres (Fig.

4.11) et pour 9 piqûres (Fig. 4.12) sont présentés ci-dessous :

��

�

��

��

�

�

�

��

��

�

��

�� ��� ���

2���������������� ��

7��5-�-

�

��

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2���������������� ��

7��5-�-

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2���������������� ��

7��5-�-

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�

��

��

���� ���

2���������������� ��

7��5-�-

68

Figure 4.11 Force de frottement avec 5 piqûres.

Figure 4.12 Force de frottement avec 7 piqûres.

Figure 4.13 Force de frottement avec 9 piqûres.

� �� �� �

������

��� ��� ���

2���������������� ��

7��5-�-

� �� �� �

������

��� ��� ���

2���������������� ��

7��5-�-

� �� �� �

������

��� ��� ���

2���������������� ��

7��5-�-

69

L’amplitude des pics causés par les défauts augmente avec le nombre de piqûres. Ce

phénomène s’explique par une augmentation de la surface affectée et donc un pourcentage de

contact solide plus important.

4.3 Conclusion

Le modèle numérique donne des résultats similaires à un modèle de référence. La

comparaison étant faite pour un même modèle à deux vitesses différentes. Cette étape,

effectuée sans l’inclusion des défauts, vérifie la validité du modèle. L’ajout de défauts

permet, par la suite, de visualiser l’effet attendu de ceux-ci. Les fissures affectent

effectivement la rigidité de contact pour chaque passage de la dent endommagée. Les

piqûres, quant à elles, perturbent, par la présence d’un contact solide, la force de frottement.

Il faut maintenant comparer les résultats obtenus par le modèle numérique à des résultats

expérimentaux obtenus par le banc d’essai.

5.1 Introduction

L’objectif de cette partie est de comparer les résultats des simulations numériques avec des

résultats obtenus sur un banc d’essai expérimental, dans le but de valider le modèle à l’égard

de différents aspects. Pour cela, une étude préliminaire des résonances est menée sur le banc

d’essai afin d’évaluer l’influence de celui-ci sur les mesures. Cette étude permet d’établir les

conditions optimales pour effectuer la prise de mesure et de choisir la vitesse de rotation des

essais. Des différents cas de fissures et de piqûres sont alors testés sur le banc et les

vibrations résultantes sont mesurées par des accéléromètres.

5.2 Banc d’essai

Il faut connaitre les modes de résonance du banc d’essai pour vérifier son inflence sur les

réponses vibratoires. Pour cela une analyse modale est nécessaire. Des mesures à différentes

vitesses permettront, par la suite, de visualiser l’évolution des amplitudes des harmoniques en

fonction de la fréquence.

5.2.1 Analyse modale

L’objectif est d’établir les résonances du banc pour que le boitier ne perturbe pas les mesures

en amplifiant certaines fréquences. Différents facteurs influencent ces résonances, tels que le

type et la quantité d’huile, la présence ou non des engrenages, la mise en rotation des

éléments. Afin de se rapprocher du cas expérimental, l’analyse modale sera effectuée sur le

banc monté au complet et à l’arrêt. La technique choisie est un test d’impact au marteau.

Cette méthode permet d’exciter le banc à toutes les fréquences en un seul essai. L’impact est

donné au niveau de la dent de l’engrenage. Des capteurs mesurent les réponses vibratoires

sur le porte roulement (Fig. 5.1). Les signaux sont ensuite traités par transformée de Fourier.

CHAPITRE 5

ESSAIS EXPÉRIMENTAUX

71

Figure 5.1 Schéma de la mesure pour l'analyse modale.

Les mesures sont réalisées avec les engrenages choisis au chapitre 3, c'est-à-dire 88/99 dents

de module 1 pour le premier palier et 29/30 dents de module 3 pour le palier 2 soumis à

l’impact. Seules les vibrations suivant les directions radiales, c’est-à-dire les capteurs Radial

1 et Radial 2, sont utiles pour la validation de notre modèle. De plus, étant donné la symétrie

du banc, ces deux capteurs radiaux nous donnent des résultats identiques. Aussi, pour la suite

de l’étude, seuls les résultats du capteur radial 1 sont présentés.

Les figures 5.2 et 5.3 représentent ces résultats obtenues pour le capteur radial 1 lors du test

d’impact. La première permet d’observer une résonance autour des 22 Hz. Le moteur tourne

entre 0 et 5000 tr/min (0 et 83 Hz). Ainsi, cette fréquence est dans la plage d’utilisation du

moteur et sera donc à éviter. Par la suite, l’autre domaine intéressant se situe entre la

fréquence d’engrènement, qui est 30 fois supérieure à la fréquence du moteur, et sa troisième

harmonique. Pour cela, la figure 5.3 montre une résonance pour les fréquences supérieures à

2300 Hz.

72

Figure 5.2 Analyse modale du capteur radial de 0 - 200 Hz

Figure 5.3 Analyse modale du capteur radial de 0 - 3500 Hz

Cette étude par impact à l’arrêt, montre des résonances qui peuvent s’avérer gênantes lors de

l’acquisition des mesures. Une approche dynamique, c'est-à-dire en fonctionnement, va

permettre de déterminer une vitesse de rotation du moteur optimale.

�� ����

�������

��� ��

��� ��

��� ��

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� �� �� �� ��� ���

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� ��� ���� ���� ����� ����� ����� �����

9������"��� ��

�-:

2��;�� ���<=

73

5.2.2 Variation de la vitesse

Cette étude permet de compléter l’analyse modale du banc. L’objectif est d’établir l’effet de

la vitesse sur les résonances et leurs conséquences sur les harmoniques de la fréquence

d’engrènement. Pour cela, les mesures sont prises à quatre vitesses différentes entre 1000

tr/min et 1700 tr/min. À partir des spectres obtenus, par exemple la figure 5.4 pour 1000

tr/min, il est possible de relever les différentes amplitudes des pics à la fréquence

d’engrènement et à ses harmoniques. L’ensemble des résultats obtenus est en Annexe III, et

l’amplitude des pics peut être résumée dans le tableau 5.1.

Figure 5.4 Spectre de l'accélération radiale à 1000 tr/min

Tableau 5.1 Amplitude des pics du spectre pour différentes vitesses de rotation

Fréquencetr/min %>� ��& ��� �� �&���<"��� �;��� �&���<"��� �;��� �&���<"��� �;���

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74

Dans le cas d’un engrenage sans défaut, l’amplitude des vibrations à la fréquence

d’engrènement doit être supérieure aux amplitudes de ses harmoniques. Ainsi,

l’augmentation des amplitudes des harmoniques est une conséquence des résonances du

banc. En observant le tableau 5.1, les cases grisées représentent les pics concernant des

fréquences supérieures à 2000 Hz. Ces pics ont une amplitude bien supérieure à celle de leur

fréquence d’engrènement. Ce résultat confirme bien l’influence du banc sur les expériences

et la résonance du banc pour les fréquences supérieures à 2000 Hz.

Il faut donc choisir une vitesse faible pour ne pas perturber les mesures. Aussi, les mesures

seront effectuées à une vitesse 1000 tr/min, soit 16,6 Hz, pour le moteur et par conséquent

une fréquence d’engrènement de 500 Hz. Ce paramètre nous permet d’éviter les deux

résonances critiques de 22 Hz et de 2300 Hz.

5.3 Résultats temporels

Les tests sont effectués pour différents cas, 8 fissures et 8 piqures, décrits dans le chapitre III.

Les signaux bruts, directement mesurés à partir des accéléromètres (Fig. 5.5), ne permettent

pas de conclure directement sur la présence ou non des défauts. Ainsi, une analyse statistique

à partir des niveaux globaux va permettre une première approche. Les deux critères utilisés

sont le Facteur de Crête et le Kurtosis (Chapitre I). Ces critères permettent de faire ressortir

les amplitudes élevées, générées par le défaut, tout en négligeant les évènements isolés

causés par le bruit.

75

Figure 5.5 Signal temporel obteu par un des capteurs radiaux.

5.3.1 Détection des fissures

Pour chaque essai, les capteurs enregistrent l’accélération du porte-roulement dans les trois

directions (Fig. 3.2). Les vibrations dans le sens axial n’apportent pas d’information sur la

présence des fissures, ses données ne seront pas présentées par la suite. Les deux capteurs

radiaux donnant des informations redondantes, seules les informations provenant du capteur

radial 1 sont présentées. L’analyse globale du signal temporel est faite à partir des

accélérations (m/s2) et est récapitulée dans le tableau 5.2. On y retrouve la moyenne M, la

valeur efficace rms, le facteur de crête FC et le kurtosis K.

Tableau 5.2 Analyse globale des signaux temporels avec fissure

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76

Le kurtosis ne permet pas d’établir de bilan précis sur l’influence des fissures. En effet, pour

une largeur de fissure précise, le kurtosis augmente lorsque la fissure est de plus en plus

profonde. Cependant, la largeur ne semble pas avoir d’influence sur le kurtosis.

La présence du défaut semble plus facilement observable grâce au Facteur de Crête. La

valeur minimale obtenue pour la plus petite fissure est de 3,5, ce qui est déjà supérieur au

niveau limite acceptable (FC=3, Tableau 1-1). Par la suite, si la fissure se propage en

profondeur, la valeur du Facteur de Crête augmente et cela dans le cas des trois largeurs. La

largeur de la fissure accentue ce phénomène. Ainsi, comme il est possible d’observer sur la

figure 5.6, pour une faible profondeur le facteur de crête donne des valeurs très proches

quelque soit la largeur de la fissure alors qu’à une profondeur plus importance la différence

est plus marquée.

Figure 5.6 Facteur de Crête pour différentes largeurs de fissure.

La taille de la fissure influence directement la rigidité de la dent. Plus la fissure est

importante et plus la rigidité sera affectée. Les résultats obtenus vont effectivement dans ce

sens.

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77

5.3.2 Détection des piqûres

Dans le cas des piqûres aussi, seules les informations provenant du capteur radial 1 sont

présentées. L’analyse globale du signal temporel est faite à partir des accélérations (m/s2) et

est récapitulée dans le tableau 5.3. On y retrouve la moyenne M, la valeur efficace rms, le

facteur de crête FC et le kurtosis K.

Tableau 5.3 Analyse globale des signaux temporels avec piqûres

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Pour le cas des piqûres, le facteur de crête et le kurtosis donnent des résultats semblables.

Quand le nombre de trous augmente, les facteurs augmentent avec lui (Fig. 5.7). Par contre,

on constate que ces facteurs diminuent lorsque la taille des trous augmente. Ceci est du au

fait qu’à partir d’un certain niveau critique de défectuosité, le niveau RMS augmente plus

vite que le niveau crête [16].

Figure 5.7 Kurtosis pour les différents cas de piqûre.

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78

5.4 Analyse des signaux

5.4.1 Analyse fréquentielle

En fonctionnement normal, l’effet de l’engrènement crée une composante importante sur le

spectre à cette fréquence (Fe). L’apparition d’un défaut sur une dent modifie le spectre en

modulant le signal à la fréquence de rotation de l’arbre. Ceci se traduit par l’apparition de

pics de chaque coté des pics principaux. L’écart de fréquences entre les nouveaux pics (�f)

est égal à la fréquence de rotation du moteur Fm. Ce sont ses harmoniques et les fréquences

de modulation. La gravité du défaut est alors fonction du nombre et de la taille de ces pics.

Figure 5.8 Spectre d'un engrenage en présence d’une dent défectueuse.

Sur le signal représenté à la figure 5-9, le pic principal est bien à la fréquence d’engrènement,

c'est-à-dire à 500 Hz. De même, un autre pic est visible à deux fois cette fréquence. Les

zooms suivants permettent de mettre en évidence les fréquences de modulation dues à un

défaut de fissure. Le décalage � entre chaque pic étant bien de l’ordre de 16,6 Hz qui est la

fréquence de rotation de l’arbre.

79

Figure 5.9 Spectre du signal d’un engrenage avec une fissure de 3,07 mm de profondeur pour 10 mm de largeur.

L’analyse de la figure 5.9 permet de mettre en évidence la présence d’un défaut sur l’une des

dents de l’engrenage. C’est donc cette observation des pics qui va permettre, comme pour les

niveaux globaux en temporel, de suivre l’évolution d’un défaut. Au cours du temps, une

fissure se propage et donc s’agrandit. Son effet est alors de plus en plus marqué.

Dans le cas des fissures, sur la figure 5.10, la comparaison est menée pour des fissures de

même largeur (30 mm) mais de profondeurs différentes. Dans les trois cas, la fréquence

d’engrènement est bien visible à 500 Hz. L’amplitude de ces pics n’évolue pas de manière

cohérente. Elle diminue entre les profondeurs de 2,33 mm et 3,07 pour remonter par la suite,

alors qu’elle devrait augmenter avec la taille de la fissure. Cette anomalie peut être expliquée

par une différence de couple entre les essais, la fréquence d’engrènement étant sensible à la

��

80

charge [16]. La deuxième harmonique de la fréquence d’engrènement, proche de 1000 Hz,

est de plus en plus modulée. En effet, les fréquences qui l’encadrent (� = 16,6 Hz) sont de

plus en plus importantes au fur et à mesure que la fissure devient profonde. La troisième

harmonique quant à elle n’est pas trop visible sur le deuxième essai mais l’est

particulièrement sur le cas le plus endommagé.

Figure 5.10 Spectres d’engrenages comportant une fissure de même largeur (30 mm) mais de profondeur différente a) 2,33 mm b) 3,07 mm c) 3,81 mm.

La présence de piqûres a les mêmes répercutions que celle décrites précédemment, à la

différence près que la zone de contact solide augmente la force de frottement. Ainsi en

81

augmentant le nombre de piqûres de 5 à 9, il est possible de voir sur la figure 5.11 ce

phénomène.

Figure 5.11 Spectres d’engrenages comportant des piqûres de 2 mm de diamètre a) 5 piqûres b) 7 piqûres c) 9 piqûres.

5.4.2 Analyse angulaire

L’analyse du spectre ou l’analyse globale ne permettent pas de visualiser la présence de

différents défauts. Pour cela, il faut utiliser des méthodes qui gardent l’information

82

temporelle. L’analyse angulaire, qui ramène le signal temporel sur un nombre fini de cycles,

répond à ce critère. Ce traitement permet d’obtenir un signal moyenné en fonction de la

position de l’arbre. Il est alors possible d’analyser le nouveau signal de manière globale telle

que la variance ou le kurtosis (éq. 1-13). Ainsi, l’amplitude plus élevée du signal due au

passage du défaut est identifiable sur l’analyse angulaire. Dans notre cas, l’analyse angulaire

reste difficile à mettre en pratique car le banc d’essais n’a pas une vitesse exactement

constante durant un essai. Ce problème entraine des difficultés au niveau de la

synchronisation du signal. Sans tachymètre, il faut identifier un phénomène particulier qui

sert de référence. Cette étape de synchronisation devient donc assez longue.

Figure 5.12 Analyse angulaire d’un engrenage comportant un défaut de surface.

La figure précédente (Fig. 5.12) montre, dans le cas d’un engrenage ayant 9 piqures de 1 mm

de diamètre, le signal angulaire ramené sur trois périodes. La période correspondant à un tour

83

complet étant de 0,06 seconde. Ainsi, proche de 0,6 seconde, 0,12 seconde et 0,18 seconde,

l’apparition de pics plus importants semble révéler la présence d’un défaut ponctuel.

Figure 5.13 Analyse spectrale de la moyenne angulaire de la figure 5.12.

Le spectre en fréquence de la figure 5.13 met en évidence les signes caractéristiques de la

présence d’un défaut de surface. À basse fréquence, on trouve un signal peigne à la fréquence

de rotation de l’arbre, ce qui correspond aux chocs périodiques lors du passage de la dent

endommagée. Au niveau de la fréquence d’engrènement, on a une modulation à la fréquence

de rotation ainsi qu’un important pic au niveau de la deuxième harmonique.

5.5 Comparaison avec les résultats numériques

Les simulations sont effectuées pour les engrenages sélectionnés lors de l’étude

expérimentale menée sur le banc d’essai.

84

5.5.1 Comparaison des défauts de fissure

Le tableau 5.4 ci-dessous résume les résultats obtenus à partir du modèle numérique pour

différentes fissures dont on a fait changer la largeur et la profondeur.

Tableau 5.4 Résulats simulés avec fissures à partir du modèle

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2?� ��� � ���� ���� ��� � ��� �� � ����� ���� ����*� �� �� �� �� �� � �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �����

Ces résultats sont à comparer aux résultats expérimentaux obtenus au chapitre 5.3.1. Les

kurtosis montrent une évolution semblable à celle décrite pour les cas expérimentaux.

Cependant, les valeurs numériques sont bien plus importantes que les valeurs expérimentales.

Le facteur de crête donne, quant à lui, des résultats très similaires dans les deux cas. La figure

5.14 montre la comparaison entre les facteurs de crête obtenues numériquement (trait plein)

et expérimentalement (trait pointillé).

Figure 5.14 Comparaison du Facteur de Crête pour les différents cas de fissure entre l'experience (pointillé) et la simulation (plein).

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85

L’observation de la figure 5.14 permet de valider le modèle par rapport aux essais menés sur

le banc d’essai. Ainsi, lorsque la fissure est peu profonde, la largeur n’a pas beaucoup

d’influence sur le facteur de crête. En revanche, dès que la profondeur devient plus

importante, la largeur joue un rôle important. Cependant, les valeurs obtenues par le modèle

numérique sont supérieures à celles obtenues sur le banc expérimental. Cette différence peut

provenir du coefficient d’amortissement choisi à 0,08. Il faut donc modifier ce coefficient

afin de ramener les valeurs trouvées par le modèle plus proche des valeurs réelles. En

augmentant le coefficient d’amortissement à 0,12, les résultats offrent une meilleure

correspondance. On obtient alors les résultats suivant pour le modèle ajusté :

Tableau 5.5 Résulats simulés avec fissures à partir du modèle pour un coefficient

d’amortissement de 0,12.

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*� �� ��� � �� ����� �� ����� �� ��� � �� ����� �� ���� �� ��� � �� ���� �� ����

Figure 5.15 Comparaison du Facteur de Crête pour les différents cas de fissure entre l'experience (pointillé) et la simulation (plein).

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86

5.5.2 Comparaison des défauts de piqûre

Le tableau 5.6 ci-dessous résume les résultats obtenus à partir du modèle numérique pour

différentes piqûres en variant le diamètre et le nombre.

Tableau 5.6 Résultats simulés avec piqûres à partir du modèle

�%�"�&��������� �� ����� �� �(����� �� �����'������5�;C��-� �� �� �� �� �� �� �� �� ��

2?� ���� ��� ���� ��� ���� ��� ��� ��� ����*� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���

Ces résultats sont à comparer aux résultats expérimentaux obtenus au chapitre 5.3.2. Dans le

cas du modèle, le Kurtosis obtenu par calcul ne permet pas de confirmer la présence des

défauts car il est constant pour les différents cas testés. En revanche, le facteur de crête

augmente bien avec le nombre de trous. On retrouve bien, comme dans le cas expérimental,

que le facteur de crête augmente lorsque la taille des trous augmente. La figure 5.16 compare

sur le même graphique les facteurs de crête obtenus numériquement et expérimentalement.

La variation est moins prononcée dans le cas du modèle numérique (trait plein) que dans le

cas expérimental (trait pointillé).

87

Figure 5.16 Comapraraison du Facteur de Crête pour les différents cas de piqûre entre l'experience (pointillé) et la simulation (plein).

Il est aussi possible de modifier le coefficient d’amortissement afin de s’ajuster aux valeurs

expérimentales. En augmentant le coefficient jusqu'à une valeur de 0,12, les valeurs pour

cinq et sept piqûres semblent correspondre. En revanche une importante différence existe

encore pour les cas de neuf piqûres. Cette différence peut s’expliquer par d’autres

phénomènes tel qu’une baisse de la rigidité due au nombre plus important de piqûres.

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��

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88

Figure 5.17 Comparaison du Facteur de Crête pour les différents cas de piqûre entre l'experience (pointillé) et la simulation (plein).

La simulation vibratoire dans le cas de présence de piqûres a été effectuée dans le cadre de

piqûres grossières. Dans la réalité, les piqûres ont une taille généralement plus petite, de

l’ordre du dizaine de micromètres. Il est donc important d’analyser les résultats numériques

obtenus à partir modèle pour des piqûres de cette dimension. Ainsi, une analyse fréquentielle

compare le spectre d’un signal comportant des piqûres de 10 µm sur une dent par rapport à

un signal sans défaut. Dan les deux cas, les engrenages sont de module 3, d’angle de pression

de 20°, de rayon 45 mm et de 30 dents. La vitesse de rotation est de 1000 tr/min, soit 16,6 Hz

et la fréquence d’engrènement est de 500 Hz.

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��

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89

Figure 5.18 Spectre de l’accélération angulaire du pignon sans défaut.

Figure 5.19 Spectre de l’accélération angulaire du pignon avec des piqûres de 10 µm sur une dent.

L’observation des figures 5.17 et 5.18 permet de confirmer l’influence des piqûres même de

taille microscopique sur le spectre du signal. On constate en effet un important peigne à

basses fréquences mo

harmoniques de la fréq

5.6 Conclusion

La simulation des vib

permettre d’établir des

obtenues pour les vib

former un gabarit (Fig

de choisir le niveau d’a

Figu

���

�

��

2"�������

��?�@��

ontrant les chocs à la fréquence de rotation

quence d’engrènement.

n

brations engendrées par une transmission c

s gabarits personnalisés. Ainsi pour le banc p

brations du banc d’essais avec fissure, peuv

g. 5.19). En déterminant une taille de fissure

alerte optimum propre à la machine.

ure 5.20 Facteur de Crête en présence de

��$$������� ������� �

90

n et une augmentation des

comportant des défauts va

récédent, les informations,

vent être regroupées pour

maximale, il sera possible

e fissure.

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���$$

!"�����

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��� �

CONCLUSION

La quantité de publications dans le domaine montre l’importance de la compréhension des

phénomènes vibratoires à l’intérieur des transmissions par engrenage, cela dans le but de

mieux diagnostiquer les problèmes pouvant survenir durant la vie du produit. Il faut donc

arriver à prévoir l’influence des différents facteurs afin d’établir des gabarits de référence,

propres à chaque système. Cette étape nécessite d’établir un modèle capable de simuler les

vibrations de l’engrenage en présence de défaut.

Le présent mémoire a eu pour but, dans un premier temps, de sélectionner un type de modèle

non-linéaire. C’est un modèle à six degrés de liberté permettant de simuler les vibrations

d’engrenage droit, en tenant compte du support, mais pas des autres éléments extérieurs tels

que le moteur ou la charge. Il a par la suite, permis d’intégrer les défauts considérés, c'est-à-

dire, la prise en compte de l’influence d’une fissure ou de défauts de surfaces sous la forme

de piqûres de corrosion. En diminuant la rigidité d’une dent, la fissure modifie la rigidité de

contact et, du même coup, la force de contact. La présence des piqûres brise le film d’huile et

crée une zone de contact solide. Ce phénomène a pour effet d’augmenter la force de

frottement de la dent endommagée.

Les résultats simulés par le modèle semblent en définitive assez proche de ceux obtenus par

l’expérimentation sur un banc d’essai. Cependant, le banc utilisé générait beaucoup de bruit

et la corrélation a été difficile. Il pourrait être envisagé de valider à l’avenir, le modèle à

partir d’un autre banc d’essai afin d’une part de réduire les imprécisions possibles dues au

coté expérimental, et d’autre part de pouvoir vérifier la validité de la prise en compte du

support. Pour finir, ce document ouvre le débat sur les hypothèses à faire concernant le

lubrifiant. Dans le modèle, les cas d’un coefficient de frottement constant et linéaire sont

testés. Étant donné que ce choix influence directement la force de frottement à la surface de

la dent, il serait intéressant de vérifier laquelle des hypothèses donnent les résultats les plus

réalistes. Mais aussi, si les propriétés du lubrifiant ont une influence sur le phénomène de

rupture du film décrit.

92

Critiques et recommandations

La modélisation des engrenages par le modèle choisi donne des résultats satisfaisants en

comparaison au modèle de référence. De même, l’ajout des défauts considérés influence le

modèle dans le sens attendu. Cependant, la modélisation du lubrifiant est sommaire et ne

permet pas l’inclusion de déchets métalliques ou autres dues à l’usure. Ainsi, une meilleure

caractérisation permettra une modélisation plus réaliste du contact. Il faut aussi agrandir le

plan d’expérience des défauts considérés pour permettre le meilleur diagnostic possible. Et

pour finir, l’étude se limite au engrenage droit, il serait donc intéressant d’effectuer une

approche similaire pour les engrenages à denture hélicoïdale.

L’objectif d’une meilleure compréhension des phénomènes vibratoires des engrenages en

présence de défaut est l’amélioration des diagnostics des engrenages dans le cadre d’une

maintenance continue. Ainsi, à partir de mesures vibratoires, il est intéressant de connaître

l’état du système afin de pouvoir prendre la bonne décision. C’est dans ce but que des

réseaux de neurones sont introduits dans la chaine de diagnostic (Fig. 5.20). Afin d’être

opérationnel, le réseau de neurones nécessite un apprentissage à partir de simulations

numériques. Il serait donc intéressant de créer un réseau de neurones capable de détecter les

défauts sur les engrenages en prenant pour base d’apprentissage les données fournis par des

simulation du modèle développé dans le cadre de cette étude.

93

Figure 5.21 Schéma d'une chaine de prise de décision.

ANNEXE I

ENGRENAGES

Tabl

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A.I.

1 Pa

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rena

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No.

No.

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88

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88

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10

10

20

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9 7.

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0.16

-0.3

20.

57

SS1-

9090

10

40

90

92

10

10

20

38

.77

7.98

4 0.

16-0

.32

0.59

Palie

r 2

Mod

ule

3

SS3-

2929

20

70

87

93

30

15

45

26

1.6

22.3

0.

18-0

.38

1.7

SS3-

3030

20

75

90

96

30

15

45

27

3.8

23.9

5 0.

18-0

.38

1.8

84

ANNEXE II

CALCUL DE CONTRAINTE SUIVANT LA NORME AGMA

Les calculs sont effectuée pour la roue de module 3.

a) Contrainte en Flexion :

Équation de Lewis modifiée (AGMA)

» '���¼½�d ; 3¾t ; ���¿NÀ- Facteur de surcharge K0 �� 3- Facteur dynamique K’v

�Èà ¡µ � g:88´µ ¢¿µ ®8 � ®©03 + �2� 8�:®03: + ÉÃ2O nY�Èà 3�®@

- Facteur de dimension Ks �d 3- Facteur de répartition de la charge Kh �� 3 � �(})�� ��( � �(���,�(} 3

�� !38� + 8�8@¯® � 8�83:®! 8�:°©��( 3�(� µ � �! � �!O 8�8©¯ �� 3�� 3�@©�- Facteur d’épaisseur de la jante Kb

97

�/ 3- Facteur géométrique Yj NÀ 8��

' $= $.� �t ®:8» @8�:M��>

- Contrainte admissible

»��� »ÊË NPN#NÌ- Résistance en flexion �FP »ÊË �3@9 ��>- Facteur de durée de vie en flexion YN NP 3- Facteur de fiabilité YZ NÌ 3�®- Facteur de température Y� N# 3»��� :¯®� ��>

!J »���» :¯®� @8�: °�3b) Calcul de la contrainte de surface

- Équation de Lewis modifiée (AGMA)

»} Á±'���¼Ã�Ä �4�Å7¾ ÁÆÁÇ- Coefficient élastique ZE Á 3°3M��>- Facteur géométrique relatif à la résistance de surface ZI

ÁÇ kzA�MAB?�: tItI � 3 8�3:�

98

»} @��:®M��>- Resistance en fatigue relative aux contraintes de surface.

»}9��� »4Ë ÁPÁÍN#NÌ- Résistance de la surface �HP »4Ë 3:8©�°M��>- Facteur de rapport de dureté ZW ÁÍ 3»}9���  8��©��>

!J »}9���»}  8��©@�8�:® :�@®

ANNEXE III

ESSAIS EXPÉRIMENTAUX À DIFFÉRENTES VITESSES

Figure A.III.1 Spectre de l'accélération radiale à 1000 tr/min (16,67 Hz)

Figure A.III.2 Spectre de l'accélération radiale à 1350 tr/min (22,5 Hz)

��������

���� ��

���� ��

���� �

���� �

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��������

���� ��

���� ��

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���� �

� ��� ���� ���� ����� ����� ����� �����

100

Figure A.III.3 Spectre de l'accélération radiale à 1500 tr/min (25 Hz)

Figure A.III.4 Spectre de l'accélération radiale à 1700 tr/min (28,33 Hz)

��������

���� ��

���� ��

���� �

���� �

� ��� ���� ���� ����� ����� ����� �����

��������

���� ��

���� ��

���� �

���� �

� ��� ���� ���� ����� ����� ����� �����

ANNEXE IV

ORGANIGRAMME

Figure A.IV.1 Méthode de résolution des calculs numériques.

La méthode numérique utilisé est la méthode de Runge-Kutta réduite à l’orde 1, appelée

aussi méthode d’Euler.

��a7 �� � $� ; sz?k1Bz?01�9 ��2où : Te est la période d’échantillonage.

yn et yn+1 le valeur respective de y au temps tn et tn+1.

fonction est la moyenne de l’accélération au cours de l’intervalle Te.

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Voici le code utilisé : W=(Cm*((R1*Vit(1,j-1)-R2*Vit(2,j-1))+cos(phirad)*(Vit(5,j-1)-Vit(3,j-1))+sin(phirad)*(Vit(4,j-1)-Vit(6,j-1)))+Km*((R1*Pos(1,j-1)-R2*Pos(2,j-1))+cos(phirad)*(Pos(5,j-1)-Pos(3,j-1))+sin(phirad)*(Pos(4,j-1)-Pos(6,j-1))));F=Fg*W;Tfp=Tp*W;Tfr=Tr*W;

Acc(:,j)=[ 1/J1*(-W*R1-Tfp+Couple); 1/J2*(W*R2-Tfr-Couple);

1/M1*(W*cos(phirad)+F*sin(phirad)-Carbre1*Vit(3,j-1)-Karbre1*Pos(3,j-1));1/M1*(-W*sin(phirad)+F*cos(phirad)-Carbre1*Vit(4,j-1)-Karbre1*Pos(4,j-1));1/M2*(-W*cos(phirad)-F*sin(phirad)-Carbre2*Vit(5,j-1)-Karbre2*Pos(5,j-1));1/M2*(W*sin(phirad)-F*cos(phirad)-Carbre2*Vit(6,j-1)-Karbre2*Pos(6,j-1))];

t(1,j)=t(1,j-1)+Te;Vit(:,j)=Vit(:,j-1)+(Acc(:,j)+Acc(:,j-1))/2*Te;Pos(:,j)=Pos(:,j-1)+(Vit(:,j)+Vit(:,j-1))/2*Te;

Te est le temps d’échantillonage.

Acc( :,j) est l’accélération des 6 degrés de liberté au temps j.

Vit( :,j) est la vitesse des 6 degrés de liberté au temps j.

Pos( :,j) est la position des 6 degrés de liberté au temps j.

Phirad est la position angulaire de la roue.

M1 est la masse du pignon.

M2 est la masse de la roue.

J1 est l’inertie du pignon.

J2 est l’inertie de la roue

Cm est l’amortissement de contact.

Km est la rigidité de contact.

F est la force de frottement.

Tf est le couple due au frottement.

Carbre est l’amortissement du support.

Karbre est la rigidité du support.

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