Commande Numérique des Systèmes 2 partie …icube-avr.unistra.fr/fr/img_auth.php/b/be/ComNum_poly_part2.pdf · – Commande avec modèle interne – Synthèse algébrique : correcteurs

Ecole Nationale Supérieure de Physique de Strasbourg2èmeannée

Commande Numérique des Systèmes2èmepartie

Jacques GANGLOFFJacques GANGLOFFEt

Michel de MATHELIN

Programme de la deuxième partie (1)

• Synthèse des correcteurs numériques– Objectifs (rappels)– Objectifs (rappels)– Transposition à partir du continu (rappels et compléments)– Placement des pôles dominants– Prédicteur de Smith– Commande avec modèle interne– Synthèse algébrique : correcteurs RST– Analyse de la robustesse et des performances– Analyse de la robustesse et des performances

Programme de la deuxième partie (2)

• Représentations d’état– Représentation d’état des systèmes échantillonnés– Obtention des équations d’état et fonctions de transfert– Résolution des équations d’état– Stabilité– Commandabilité, observabilité et minimalité– Formes canoniques– Placement des pôles par retour d’état

• Aspects pratiques• Aspects pratiques– Définition du cahier des charges– Choix de la période d’échantillonnage– Prise en compte des saturations– Prise en compte de la quantification– Conditionnement numérique du correcteur

• E. Godoy et E. Ostertag, Commande numérique des systèmes.

Ellipses, Collection Technosup, Paris, 2003.

Bibliographie – ouvrages en français


• R. Longchamp, Commande numérique de systèmes dynamiques.

Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1995.

• E. Ostertag, Systèmes et asservissements continus.


• M. Rivoire et J.-L. Ferrier,Commande par calculateur et identification.

Eyrolles, Paris, 1997.Eyrolles, Paris, 1997.

• K. Aström and B. Wittenmark,Computer controlled systems : theory and design.Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1984, 1990.

Bibliographie – ouvrages en anglais

Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1984, 1990.• G. Franklin, J. Powell, and A. Emami-Naeini, Feedback control of dynamic

systems.Addison Wesley, Wokingham, 1988.

• G. Franklin, J. Powell, and L. Workman, Digital control of dynamic systems.Addison Wesley, Wokingham, 1989.

• T. Kailath,Linear Systems.Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1980.Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1980.

• B. Kuo, Automatic control systems.Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1991.

• B. Kuo, Digital control systems.Harcourt Brace & Jovanovich, Orlando, 1992.

• K. Ogata, Modern control engineering.Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1990.

1 Objectifs – rappels (1)

• Asservissement numérique d’un système continu

Synthèse des correcteurs numériques

δu(t) δy(t)Système

C(z) G(s)r(k)

v(t)

u(k) y(t)

ym(k)

δu(t) δy(t)ε(k)

- BOZ

H(s)Te

G(s) Fonction de transfert du système

F(z)

δu Perturbation d’entrée

Régulateur numériqueCapteur

Système

G(s) Fonction de transfert du système

H(s) Fonction de transfert du capteur

r Signal de consigne ou de référence

u Signal de commande

y Signal de sortie (grandeur à réguler)

ym Mesure de la sortie

δu Perturbation d’entréeδy Perturbation de sortiev Bruit de mesure

C(z) Correcteur

F(z) Préfiltreε Erreur d’asservissement


• Objectifs de la synthèse:Stabilité:


Stabilité: – Le système en boucle fermée est stable

Performance:

– Suivre les variations de la consigne– Comportement en boucle fermée conforme à un

modèle – Rejeter les perturbations et le bruit– Rejeter les perturbations et le bruit

Robustesse:

– Conservation de la stabilité et des performances malgré les incertitudes sur le modèle (dynamiques non modélisées, non linéarités, incertitudes paramétriques, …)


• Outils pour la synthèse:Stabilité:


Stabilité: – Critère de Jury– Critère de Nyquist

Performance: – Lieu d’Evans (placement des pôles de la boucle

fermée) – Calcul des erreurs en régime permanent– Calcul des erreurs en régime permanent– Simulation (vérification a posteriori)

Robustesse:– Marges de stabilité (diagramme de Nyquist)– Simulation (vérification a posteriori)


• Méthodes simples pour la synthèse (monovariable):– Transposition de correcteurs continus– Utilisation de PID


– Utilisation de PID– Autoréglage– Placement de pôles (lieu d’Evans, retour d’état)– Modèle interne– Méthodes algébriques (RST)

• Méthodes avancées pour la synthèse (multivariable):– Commande optimale : minimalisation d’un critère quadratique sur

l’erreur d’asservissement et la commande– Commande robuste : prise en compte optimale de bornes sur les

incertitudes pour la stabilité et la performance – Commande non linéaire : prise en compte de modèles non linéaires du

système à asservir

2 Transposition à partir du continu (1)

• Principe:

1. Synthèse d’un correcteur continu


1. Synthèse d’un correcteur continu

2. Le correcteur numérique est obtenu par approximation de la fonction de transfert du correcteur continu à l’aide d’équations aux différences. La façon la plus courante est de procéder à une transformation bilinéaire (Tustintransformation) par le changement de variable :

12 −z

1

12

+−→

z

z

Ts

e


D. Approximation bilinéaire (homographique):


Dans la littérature anglo-saxonne: Tustin’s approximationDans la littérature anglo-saxonne: Tustin’s approximation

1

12

+−→

z

z

Ts

e

Plans Planz

1

Conserve la stabilité et la forme de la réponse en fréquence

••1

)1

12()(

+−==

z

z

TsCzC

ec


• Conclusions:

1. La méthode s’appuie sur les résultats d’une synthèse de


1. La méthode s’appuie sur les résultats d’une synthèse de correcteur analogique sur la base du modèle du système qui est également continu.

2. La synthèse ne prend pas en compte le bloqueur et le déphasage introduit par celui-ci dans la boucle d’asservissement.

3. Les performances du correcteur numériques seront au 3. Les performances du correcteur numériques seront au mieux celles du correcteur analogique.

4. Les performances du correcteur numérique se rapprocheront d’autant plus de celles du correcteur analogique que la période d’échantillonnage est petite.

3 Prise en compte du bloqueur (1)

• Principe:

1. La transmittance échantillonnée du système ouvert avec


1. La transmittance échantillonnée du système ouvert avec le bloqueur est calculée (fonction de transfert en z ).

2. Une transformation bilinéaire (transformation en w ) est appliquée à cette transmittance échantillonnée pour obtenir une fonction transfert continue du système ouvert avec bloqueur.

3. Une synthèse de correcteur analogique est réalisée sur 3. Une synthèse de correcteur analogique est réalisée sur cette fonction de transfert continue.

4. Une transformation bilinéaire est appliquée au correcteur analogique synthétisé pour obtenir le correcteur numérique.


1. Calcul de la transmittance échantillonnée du système ouvert :


T

G(s)u(t)

BOZ

Te

G(z)

u(k) y(k)

1221 −+ zw

Te

2. Transformation bilinéaire :1

12

21

21

+−=⇔

−

+=

z

z

Tw

wT

wz

ee

)

21

21

()(w

T

wT

zGwGe

e

c

−

+==

Conservation de la stabilité


2. Transformation bilinéaire (suite) :


PlanwPlanz eTje ω

ωω TT ee −

•

PlanwPlanz

•1

si z est sur le cercle unité alors

••

ee'ωj

')2

tan(22

1

12

22

22

ωωωω

ωω

ω

ω

jT

Tj

ee

ee

Te

e

Tw e

eT

jT

j

Tj

Tj

eTj

Tj

eee

ee

e

e

==+

−=+−=

−

−

Conservation de la forme de la réponse en fréquence

)()'( eTjc eGjG ωω =


3. Synthèse d’un correcteur analogique :


La réponse en fréquence

4. Transformation bilinéaire :

T

wT

zz

w

e

2112 +

=⇔+−=

Cc(w) Gc(w)La réponse en fréquence désirée doit prendre en compte la transformation des abscisses

wT

zzT

wee

211 −

=⇔+

=

)1

12()(

+−==

z

z

TwCzC

ec

Conservation de la stabilité et de la forme de la réponse en fréquence

4 Placement des pôles dominants

Principe: placer à l’aide du lieu d’Evans les pôles dominants

de la fonction de transfert du système bouclé dans une région désirée


de la fonction de transfert du système bouclé dans une région désirée

pôles dominés

constantenξω

constanteξ

enen TjTnn eezjs ωξξωωξξω

212,1

22,1 1 −±−=→−±−=Pôles dominants:

pôles dominants

5 Le prédicteur de Smith (1)

Synthèse particulière dans le cas des systèmes avec un retard important


Correcteur e-Ts G(s)r(k) u(k) y(t)

ym(k)

ε(k)

- BOZ

Te

)(

)()1( 1

zGz

s

sGZzz

d

d

−

−−

=

−=

Nombre de pôles important et déphasage important

Fonction de transfert du système (boucle ouverte):

avec eT

Td =


Principe:Asservir la sortie d’un modèle sans retard (prédicteur)


C(z) e-Ts G(s)r(k) u(k) y(t)

em(k)

- BOZ

Te

-

G(z) z-d-

yp(k)

)(kyp est la prédiction de la sortie future : ))(( eTdky +

correcteur numérique

)(kem est renvoyé sur l’entrée pour compenser les perturbations et les erreurs de modèle


Schéma équivalent:


e(k)C(z) e-Ts G(s)

r(k) u(k) y(t)- BOZ-

(1-z-d)G(z)Te

e(k)

)()()1(1

)(

)(

)(

zGzCz

zC

zE

zUd−−+

=

Le correcteur C(z)est synthétisé sur le système sans retard

)()(1

)()(

)(

)(

zGzC

zGzCz

zR

zY d

+=

−

)()(1

)()(

)(

)(

zGzC

zGzC

zR

zYp

+=

6 Commande avec modèle interne (1)

Principe:Rétroaction de l’écart entre le système et un modèle


CorrecteurSystèmestable

r(k) u(k) y(t)

em(k)

BOZ

Te

-

Modèle-


ym(k)

Si le modèle est parfait et s’il n’y a aucune perturbation, le signal de contre-réaction est nul


Si le correcteur est stable le système bouclé est stable


Schéma-bloc:


p(t)

e(k)C(z) G(s)r(k)

u(k) y(t)

em(k)

BOZ

Te

-

Gm(z)-


ym(k)

e(k)

Soit stable et


−= −−

s

sGZzzzG d )(

)1()( 1 { })()( sPZzP =

( ) ( ))()()()()(1

1)( zPzR

zGzGzCzE

m

−−+

=



)()()(1

)()()(

)( zPzGzC

zRzGzC

zY m−+=

)()()()()( zPzEzGzCzY +=

)()(1

)()(

)()(1

)()(

zGzC

zCzF

zGzF

zFzC

mm −=⇔

+=

( ) ( ) )()()()(1

)()(1)(

)()()(1

)()()( zP

zGzGzC

zGzCzR

zGzGzC

zGzCzY

m

m

m −+−+

−+=

Equivalence avec un correcteur série classique:

1)()( zGzF

Soit

Hypothèse du modèle parfait:

)()()(1

1)(

)()(1

)()()( zP

zGzFzR

zGzF

zGzFzY

++

+=

)()( zGzGm = )())()(1()()()()( zPzGzCzRzGzCzY −+=

Si le correcteur est stable le système bouclé est stable



Principes pour la synthèse du correcteur:

A. Hypothèse du modèle parfait

)1()1(et stable)(avec)()()( 11 −− == NII GQzQzGzQzC

A. Hypothèse du modèle parfait

où GI(z) est la partie inversible de G(z)

et GNI(z) est la partie non inversible contenant les retards et les zéros non compensables

)()()()( zGzGzGzG NIIm ==

)())()(1()()()()( zPzGzQzRzGzQzY NINI −+=

Le système bouclé est stable, l’erreur de position est nulle et les perturbations constantes sont rejetées



Principes pour la synthèse du correcteur (suite):

B. Cas général du modèle imparfait

)1()1(et stable)(avec)()()( 11 −− == NII GQzQzGzQzC

B. Cas général du modèle imparfait

où GI(z) est la partie inversible de Gm(z)

et GNI(z) est la partie non inversible)()()()( zGzGzGzG NIIm ≠=

( ) ( ) )()()(1

)()()(

)(1

zPzGzQ

zRzGGzQ

zY NII

−+−+

−+= −−

−

( ) ( ) )()()()()(1

)()()()()(1

)(11

zPzGzGzGzQ

zRzGzGzGzQ

zYNIINII −+

+−+

= −−

En pratique, si Q(z)est un filtre passe-bas, de fréquence de coupure suffisamment petite alors le système bouclé est stable, l’erreur de position est nulle et les perturbations constantes sont rejetées



Règles standards pour la synthèse du correcteur:

qpm

−−− ∏∏∏Soit

avec zi les zéros à partie réelle positive à l’intérieur du cercle unité

zj les zéros à partie réelle positive à l’extérieur du cercle unité

nrqpmpzz

zzzzzzg

zG n

ii

r

kk

jj

m

ii

m +<++−

−−−=

∏

∏∏∏

=

=== avec)(

)()()(

)(

1

111

zk les zéros à partie réelle négative

∏ ∏

∏

= =

=

−−

−=

m

i

p

j ji

q

n

iic

zzzzz

pzgzQzC

1 1

1

)1

()(

)()()( avec

10

)1()(

)1()1( 1

<<−

−=

= −

αα

αz

zzQ

GC m

7 Synthèse algébrique (1)


9.1 Le correcteur RST:

A. Schémaδu(k) δ

A. Schéma

avec 1−z

yr(k) u(k) y(k)

δu(k) δy(k)ε(k)

-)( 1−zT)(

11−zS

)( 1−zR

)(zG

)(),(),( 111 −−− zTzSzR polynômes en avec z)(),(),( zTzSzR polynômes en

et )( 1−zS monique 1)0( =S

Soit

1

)(

)()(

1

1

≥

= −

−−

d

zA

zBzzG

d

avec 1−z)(),( 11 −− zAzB polynômes en

premiers et )( 1−zA monique 1)0( =A



B. Equations du système bouclé

)())()(()(

)(1

zYzUzUzBz

zYd −−

++= δδ (1)

)()(

)()(

)(

)()(

)())()(()(

)()(

1

1

1

1

1

zYzS

zRzY

zS

zTzU

zYzUzUzA

zBzzY

r −

−

−

−

−

−=

++= δδ (1)

(2)

)()()()(

)()()()(

zYBRzAS

ARzU

BRzAS

BRzzY

BRzAS

ATzU

zYBRzAS

ASzU

BRzAS

BSzzY

BRzAS

BTzzY

dd

d

rd

dd

d

rd

d

δδ

δδ

−−

−

−

−−

−

−

−

+−

+−

+=

++

++

+= (3)

(4)



C. Objectifs de la synthèse

1. Le suivi de consigne obéit au modèle suivant:1. Le suivi de consigne obéit au modèle suivant:

)(

)()(

1

1

−

−−

=zA

zBzzM

m

md

avec 1)1( =M )1()1( mm AB =

l’erreur de position est nulle

)()()()( zYA

BzzMYzY

BRzAS

BTzzY r

md

rrd

d −

−

−

==+

= (5)

et )( 1−zAm monique 1)0( =mA

τααeT

m ezzA−−− =−= avec1)( 11

Exemples de modèle:

Modèle d’ordre 1 de constante de temps τ:

Modèle d’ordre 2 de pulsation naturelle ωn et de facteur d’amortissement ξ:

22211 1avec)cos(21)( ξωβααβα ξω −==+−= −−−−en

Tm TezzzA en

)()()()( zYA

zMYzYBRzAS

zY rm

rrd− ==+

= (5)



C. Objectifs de la synthèse (suite)

2. Rejet des perturbations d’entrée: )()( zUBRzAS

BSzzY

d

d

δ−

−

+=2. Rejet des perturbations d’entrée:

3. Rejet des perturbations de sortie:

11

1)( −−

=z

zUδ )()1()( 11

11 −−− −= zSzzSPerturbation constante:

BRzAS d−+

21

1

)1()( −

−

−=

z

zTzU eδ )()1()( 1

1211 −−− −= zSzzSPerturbation rampe:

)()( zYBRzAS

ASzY

dδ−+

=

Rejet des perturbations:

BRzAS+Perturbation constante:

Perturbation rampe:

)()()1()()( 11

11

111 −−−−− −= zSzAzzSzA

)()()1()()( 11

11

2111 −−−−− −= zSzAzzSzA

)()1()(que tel 11

11 −−− −=∃ zSzzSp p (6)



D. Compensation des pôles et des zéros

1. Compensation des zéros:m

md A

B

BRzAS

BT =+ − cf. (5)1. Compensation des zéros:

)()()( 111 −−−+− = zBzBzB

mABRzAS+

)( 1−+ zB

Soit

avec moniquecontient les zéros que l’on souhaite compenser

1)0( =+B

)( 1−− zB contient les zéros que l’on ne souhaite pas compenser

)()()1()()()( 12

1110

11 −−+−−−+− −== zSzBzzSzBzS p

)( 1−− zB contient les zéros que l’on ne souhaite pas compenser(zéros en dehors du cercle unité, zéros à partie réelle négative, …)

(7)

)()()()(0

0

0

0

0

zYRBzAS

ASzU

RBzAS

BSzzY

RBzAS

TBzzY

dd

d

rd

d

δδ −−−−

−

−−

−−

++

++

+=



D. Compensation des pôles et des zéros (suite)

2. Compensation des pôles: m

md A

B

RBzAS

TB =+ −−

−

02. Compensation des pôles:

)()()( 111 −−−+− = zAzAzA

mARBzAS +0

)( 1−+ zA

cf. (5) et (7)Soit

avec moniquecontient les pôles que l’on souhaite compenser

)( 1−− zA monique

)()()()()()( 10

1110

11 −−+−−−+− == zTzAzTzRzAzR

)(zA moniquecontient les pôles que l’on ne souhaite pas compenser(pôles en dehors du cercle unité, pôles sur le cercle unité, …)

(8)

)()()(

)()(00

0

00

0

00

0 zYRBzSA

SAzU

RBzSAA

BSzzY

RBzSA

TBzzY

dd

d

rd

d

δδ −−−

−

−−−+

−

−−−

−−

++

++

+=

et



E. Calcul du correcteur RST

mBTB =−

0

cf. (5), (6), (7) et (8)

)()1()( 111 −−− −= zSzzS p

m

md ARBzSA

=+ −−−

00

0

mB doit contenir −B +−= mm BBB (9)

m

md A

B

RBzSA

T +

−−− =+ 00

0

)()1()( 12

110

−−− −= zSzzS p

Suivi de consigne Rejet de perturbation

)()()( 10

110

−−+− = zAzBzT m (10)

mARBzSA + 00

)()()()()()()1( 10

110

112

11 −−−−−−−−−− =+− zAzAzRzBzzSzAz mdp (11)

Equations diophantiennes

avec monique et stable, ajouté pour le filtrage des perturbations0A



F. Résolution des équations diophantiennes

)()()()()()()1( 1111111 −−−−−−−−−− =+− zAzAzRzBzzSzAz dp

020 ,, TSR

Cf. (11))()()()()()()1( 10

110

112

11 −−−−−−−−−− =+− zAzAzRzBzzSzAz mdp

{ }{ }{ })()(deg

)(deg

)()1(deg

10

1

1

11

−−

−−−

−−−

=

=−=

zAzAq

zBzm

zAzn

m

d

p

• Si alors il existe une solution unique d’ordre minimal

Soit

Cf. (11)

{ } 1)(deg 12 −=− mzS

mnq +<• Si alors il existe une solution unique d’ordre minimal

telle que et { } 1)(deg 10 −=− nzR

(11) est une équation polynomiale d’ordre n+m-1avec n+m coefficients inconnus

système de n+m équations à n+m inconnues



F. Résolution des équations diophantiennes (suite)

mnq +≥• Si alors il existe deux solutions d’ordre minimal

{ } 1)(deg 12 −=− mzS

mnq +≥• Si alors il existe deux solutions d’ordre minimal

telles que :

1. et

2. et

{ } mqzR −=− )(deg 10

{ } nqzS −=− )(deg 12 { } 1)(deg 1

0 −=− nzR

(11) est une équation polynomiale d’ordre qavec q+1 coefficients inconnus

système de q+1 équations à q+1 inconnues



F. Résolution des équations diophantiennes (suite)

, RS• Si est une solution particulière de l’équation 02, RS• Si est une solution particulière de l’équation

diophantienne (11), alors

est également une solution de cette équation quelque soit

−−−−−− −−+ AzzQRBzzQS pd )1)((,)( 110

12

)( 1−zQ

il existe une infinité de solutions d’ordre supérieur

)( 12

−zS

0,, AAA m−• Comme sont moniques, en posant

dans (11), on obtient

est monique

1)0(2 =S

01 =−z



G. Fonctions de transfert en boucle fermée résultantes

SABSzBBz dd

δδ−−+−−

++= )()()()(0

0

0

0 zYAA

SAzU

AAA

BSzzY

A

BBzzY

mm

d

rm

md

δδ−

+

−+−−

++=

+A doit être stable et de préférence amorti

(12)

(13))()()()()()(0

0

0

0 zYAA

SAzU

AAA

BSzzY

A

BBzAzYzYzE

mm

d

rm

md

mr δδ

−

+

−+−−

−−−=−=

)()()()(0

0

0

0 zYAAB

ARzU

AA

RBzzY

AB

ABzU

mm

d

rm

m δδ +

−−

+

+

−−=

+B doit être stable et de préférence amorti

(14)

00 AAAAAA mmm



H. Objectifs supplémentaires pour la synthèse1. Erreur de vitesse (erreur d’ordre 1) nulle:

avec

)(),( 10

1 −−+ zBzBm

Cf. (13))()()()( zYA

BBzAzYzYzE r

m

md

mr

+−−−=−=

21

1

)1()( −

−

−=

z

zTzY e

r )()1( 10

21 −−+−− −=− zBzBBzA md

m

Equation diophantienne

2. Erreur d’accélération (erreur d’ordre 2) nulle:

3. Erreur d’ordre r nulle : (15)

)()1( 10

31 −−+−− −=− zBzBBzA md

m

)()1( 10

)1(1 −+−+−− −+= zBzBBzA rm

dm



I. Récapitulatif

1. Définition des pôles et des zéros à compenser1. Définition des pôles et des zéros à compenser

)()(

)()(

)(

)()(

11

11

1

1

−−−+

−−−+−

−

−−

==zAzA

zBzBz

zA

zBzzG

dd

)( 1−+ zBavec monique et contenant les zéros que l’on souhaite compenser

)( 1−− zB contenant les zéros que l’on ne souhaite pas compenser

)( 1−+ zA monique et contenant les pôles que l’on souhaite compenser

2. Définition du modèle de suivi de consigne


)( 1−− zA monique et contenant les pôles que l’on ne souhaite pas compenser

)(

)()(

)(

)()(

1

11

1

1

−

−+−−−

−

−−

==zA

zBzBz

zA

zBzzM

m

md

m

md

avec )1()1(,1)0( mmm ABA ==)()1( 1

0)1(1 −+−+−− −+= zBzBBzA r

md

m



I. Récapitulatif (suite)

3. Ajout d’intégrateurs pour le rejet de perturbation3. Ajout d’intégrateurs pour le rejet de perturbation

4. Choix d’un filtre supplémentaire pour les perturbations

)( 10

−zA

)()1()( 11

11 −−− −= zSzzS p

1)( 10 =−zAstable et monique par défaut

5. Résolution des équations diophantiennes

)()()()()()()1( 10

110

112

11 −−−−−−−−−− =+− zAzAzRzBzzSzAz mdp

)()()( 10

110

−−+− = zAzBzT m )(),(),( 10

12

10

−−− zTzSzR

avec )( 12

−zS monique



I. Récapitulatif (suite)

6. Calcul du correcteur RST6. Calcul du correcteur RST

L+++== −−−−+− 22

110

10

11 )()()( ztzttzTzAzT

L+++== −−−−+− 22

110

10

11 )()()( zrzrrzRzAzR

L+++=−= −−−−+−− 22

11

12

111 1)()()1()( zszszSzBzzS p

7. Réalisation du correcteur

L

LL

−−−−+−++−−−−−=⇒

−= −

−

−

−

)1()(

)1()()2()1()(

)()(

)()(

)(

)()(

10

1021

1

1

1

1

kyrkyr

kytkytkuskusku

zYzS

zRzY

zS

zTzU

rr

r



9.2 Correcteur à temps d’établissement fini:

A. Système : )()()( 111 −−−+−−−

== zBzBzzBz ddA. Système :

Soit )()(

)()(

)(

)()(

111 −−−+− ==zAzA

zBzBz

zA

zBzzG





B. Modèle de suivi de consigne particulier:


)()()(

)()( 11

1

1−+−−−

−

−−

== zBzBzzA

zBzzM m

d

m

md

avec 1)1()1( =+−mBB

)()1()()(1 10

)1(111 −+−−+−−− −+= zBzzBzBz rm

d

1)( 1 =−zAm

et (erreur d’ordre r nulle)



9.2 Correcteur à temps d’établissement fini (suite):

C. Résolution des équations diophantiennes:C. Résolution des équations diophantiennes:

)()()()()()1( 10

10

112

11 −−−−−−−−− =+− zAzRzBzzSzAz dp

)()()( 10

110

−−+− = zAzBzT m )(),(),( 10

12

10

−−− zTzSzR

avec )( 12

−zS monique

D. Calcul du correcteur à temps d’établissement fini:

)()()( 10

11 −−+− = zTzAzT

)()()( 10

11 −−+− = zRzAzR

)()()1()( 12

111 −−+−− −= zSzBzzS p




E. Fonctions de transfert en boucle fermée:E. Fonctions de transfert en boucle fermée:

)()()()(0

0

0

0 zYA

SAzU

AA

BSzzYBBzzY

d

rmd δδ

−

+

−+−− ++= Cf. (12)

Cf. (13))()()()()1()()()(0

0

0

010

)1(1 zYA

SAzU

AA

BSzzYzBzzYzYzE

d

rr

r δδ−

+

−−+− −−−=−=

Réponse à une consigne de type avec rnkkky n ≤Γ= )()(Réponse à une consigne de type avec rnkkky nr ≤Γ= )()(

11

1

)1(

)()( +−

−

−=

nr z

zPzY )()()1()( 11

0)(1 −−−−−= zPzBzzE nr

Temps d’établissement fini minimal si est minimal )( 10

−zB

{ })()()1(deg0)( 110

)(10

−−−−−=>∀= zPzBzkkk nrε




F. Correcteur à réponse pile («dead beat control»)F. Correcteur à réponse pile («dead beat control»)

Cf. (14)

Réponse à une consigne de type avec rnkkky n ≤Γ= )()(

)()()()(0

0

0

0 zYAB

ARzU

A

RBzzY

B

ABzU

d

rm δδ +

−−

+

+

−−=

Cas particulier: si et si le système contient r intégrateurs 1)( 1 =−+ zB

)()1()( 11

11 −−− −= zAzzA r

Réponse à une consigne de type avec rnkkkyr ≤Γ= )()(

11

1

)1(

)()( +−

−

−=

nr z

zPzY

1111

1)(1

1

1)()()()1()( −

−−+−−−

−−=

zzPzBzAzzU m

nr

{ })()()()1(degconstante)( 1111

)(10

−−+−−−−=>∀= zPzBzAzkkku mnr

Temps d’établissement fini et réponse pile



9.3 Correcteur série:

A. Schémaδu(k) δ

A. Schéma

avec 1−z

yr(k) u(k) y(k)

δu(k) δy(k)ε(k)

- )(

)(1

1

−

−

zS

zR )(zG

)(),( 11 −− zSzR polynômes en et )( 1−zS monique avec )(),( zSzR polynômes en et )(zS monique

)()( 11 −− = zTzRCorrecteur RST avec

Moins de degrés de liberté dans la synthèse du correcteur



9.3 Correcteur série (suite):

B. Système : )()()( 111 −−−+−−−

== zBzBzzBz ddB. Système :

Soit )()(

)()(

)(

)()(

111 −−−+− ==zAzA

zBzBz

zA

zBzzG





C. Modèle de suivi de consigne:

)(zA monique et contenant les pôles que l’on ne souhaite pas compenser

et (erreur d’ordre r nulle)

)(

)()(

)(

)()(

1

11

1

1

−

−+−−−

−

−−

==zA

zBzBz

zA

zBzzM

m

md

m

md

avec )1()1(,1)0( mmm ABA ==

)()1( 10

)1(1 −+−+−− −+= zBzBBzA rm

dm



9.3 Correcteur série (suite):D. Ajout d’intégrateurs pour le rejet de perturbation et le suivi de

consigne :consigne :

E. Compensation des pôles et des zéros:

)()1()( 11

11 −−− −= zSzzS p

)()()1()()()( 12

1110

11 −−+−−−+− −== zSzBzzSzBzS p

)()()( 10

11 −−+− = zRzAzR

F. Résolution des équations diophantiennes (sans filtre supplémentaire)

)()( 10

1 −−+ = zRzBm

)()()()()()1( 110

112

11 −−−−−−−−− =+− zAzRzBzzSzAz mdp

20,SR

Le choix de est imposé+mB

)1()1()1( 0 mARB =−

0)1(1)1( BzBBzA r

md

m+−+−− −+= si p+m>rsoit )()1()( 1

111 −−−−− −= zAzzA m

Marges de stabilité

8 Robustesse (1)


••

CG(ejωTe)

1-1•

ϕδ

g1−

g′−1

•

Diagramme de Nyquist

eT

πω =

cω

Critère de Nyquist:Le système asservi (en boucle fermée) est stable ssi CG(ejωΤe)encercle le point -1 dans le sens anti-horlogique un nombre de fois égal au nombre de pôles instables de la boucle ouverte

0=ω

Marges de stabilité (suite)

A. Marge de phase ϕϕϕϕ

8 Robustesse (2)


B. Marge de retard ττττ

= retard qui entraîne l’instabilité

A. Marge de phase ϕϕϕϕ

= déphasage qui entraîne l’instabilité (retard de phase)

{ } ( )( )

eci

i

i

Tji

Tjci

T

eCG

eCG

eci

eci

ωϕτ

πϕ

ωω

ω

min

argsoit

1que tellespulsations lessoit

=⇒

+=

=

Marges de stabilité (suite)

C. Marges de gain g et g’ < 1

8 Robustesse (3)


D. Marge de moduleδδδδ

= distance minimale entre CG(ejωΤe) et -1

C. Marges de gain g et g’ < 1

= gain qui entraîne l’instabilité

= distance minimale entre CG(e ) et -1

{ }∞

∈

∈=⇒

+

=+=S

eCG

eCG

e

e

Tj

Tj 1

)(11

sup

1)(1inf δδ

ωω

ω

ω

R

R

∞∞∞= LH ou norme

Documents

Commande Numérique des Systèmes 2 partie …icube-avr.unistra.fr/fr/img_auth.php/b/be/ComNum_poly_part2.pdf · – Commande avec modèle interne – Synthèse algébrique : correcteurs