Commande robuste par modes glissants d’ordre sup´erieur d

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Commande robuste par modes glissants d’ordre superieur d’un moteursynchrone : resultats experimentaux

Dramane Traore, Alain Glumineau, Franck Plestan, Robert Boisliveau

Institut de Recherche en Communications et Cybernetique de Nantes

CE2- MACS/SEEDS, 23 oct.08

A. Glumineau (IRCCyN) Commande robuste par modes glissants d’ordre superieur d’un moteur synchrone : resultats experimentauxCE2- MACS/SEEDS, 23 oct.08 1 / 30

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Introduction

Plan

1 Introduction


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Introduction

Plan

1 Introduction

2 Modes Glissants d’Ordre Superieur (MGOS)Formulation du problemeConception de la commande MGOS


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Introduction

Plan

1 Introduction


3 Modele du moteur synchrone et position du problemeModele du moteur dans un repere dq tournantIncertitudes parametriquesPosition du probleme


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Introduction

Plan

1 Introduction



4 Commande MGOS du moteur synchroneCalcul de la commandeResultats experimentaux


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Introduction

Plan

1 Introduction




5 Conclusion et perspectives


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Introduction

Introduction

Le moteur synchrone a aimant permanent est le moteur le plus utilise dans le domaine desmachines-outils, asservissements et applications de controle de vitesse moderne.

Certains parametres ne sont pas bien identifies et/ou variants, comme par exemple lesinductances et resistances statoriques. De plus le couple de charge n’est pas mesure.

Le modele est non lineaire mais une commande linearisante deterministe ne peut que”partiellement” supprimer les non linearites.

Solution : une commande robuste non lineaire comme les ”Modes Glissants d’OrdreSuperieur” (MGOS) doit permettre d’obtenir de bonnes performances.

La contribution est donc la conception et la validation experimentale d’une commandeMGOS qui garantit la convergence en temps fini connu permettant robustesse et precision.

De plus cette approche est facilement implementable. Les resultats experimentaux ont eteobtenus sur un Benchmark industriel (European CRAFT project).


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Modes Glissants d’Ordre Superieur (MGOS) Formulation du probleme

Plan

1 Introduction






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MGOS Hypotheses et Definitions (1)

Considerons un systeme non lineaire incertain ΣNL

x = f (x , t) + g(x , t)uy = s(x , t)

(1)

ou x ∈ IRn est l’etat, v ∈ IR est l’entree de commande et s(x , t) est une sortie (variable deglissement) definie pour satisfaire les objectifs du controle.

H1. Le degre relatif ρ de s par rapport a (1) est suppose connu et constant, et les dynamiques dezeros associees stables.

Apres un eventuel pre-bouclage linearisant E/S (calcule avec les parametres nominaux) appliqueau systeme non lineaire (1), il existe χ et Γ tels que

s(ρ) := s(r) = χ(·) + Γ(·)v (2)

H2. Les fonctions χ(·) et Γ(·) sont telles qu’il existe Km ∈ IR+∗, KM ∈ IR+∗, C0 ∈ IR+ avec

|χ| ≤ C0, 0 < Km < Γ < KM . De plus, l’entree de commande v est bornee. (3)


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Definition 1. [Levant93] Considerons le systeme non lineaire (1). L’ensemble

Sr = {x | s(x , t) = s(x , t) = · · · = s(r−1)(x , t) = 0},

appele ”Ensemble de Glissement d’ordre r ”, est non vide; les trajectoires sur Sr sont appelees“regime glissant d’ordre r ” par rapport a la variable de glissement s.

Definition 2. La commande par modes glissants d’ordre r permet la stabilisation a zero en tempsfini de la variable de glissement s et de ses r-1 premieres derivees temporelles en definissant unefonction de commande convenable (discontinue ).


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Definition 1. [Levant93] Considerons le systeme non lineaire (1). L’ensemble

Sr = {x | s(x , t) = s(x , t) = · · · = s(r−1)(x , t) = 0},

appele ”Ensemble de Glissement d’ordre r ”, est non vide; les trajectoires sur Sr sont appelees“regime glissant d’ordre r ” par rapport a la variable de glissement s.

Definition 2. La commande par modes glissants d’ordre r permet la stabilisation a zero en tempsfini de la variable de glissement s et de ses r-1 premieres derivees temporelles en definissant unefonction de commande convenable (discontinue ).

Remarque

Le probleme des Modes Glissants d’Ordre Superieur pour r > ρ est facilement resolu avecl’extension du systeme (1) par l’introduction de derivees sucessives de u. Tous les resultatspresentes par la suite peuvent etre appliques au systeme ainsi etendu (exemple : moteursynchrone).


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MGOS Position du Probleme

Apres un eventuel prebouclage deterministe, le systeme non lineaire ΣNL (1) peut donc se reecrire

Z1 = A11Z1 + A12Z2, Z2 = χ + Γv (4)

avec Z1 = [Z01 Z1

1 · · · Z r−21 ]T := [s s · · · s(r−2)]T , Z2 = s(r−1). A11 et A12 definies par

A11 =

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

0 1 . . . 0 . . .

..

.. . .

. . .. . .

. . .

.

... . .

. . .. . .

. . .

0. . .

. . . . . . 1

0. . .

. . .. . . 0

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

(r−1)×(r−1)

A12 =ˆ

0 · · · 0 0 1˜T

(r−1)×1.

(5)

Alors la commande de ΣNL (1) par MGOS d’ordre r vis a vis de s, est equivalent a la stabilisationen temps fini de (4).


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Modes Glissants d’Ordre Superieur (MGOS) Conception de la commande MGOS

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1 Introduction






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Conception de la commande MGOS (1)

La conception du controleur est obtenu en deux etapes :


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Recherche d’une variable de commutation S pour le systeme (4) ( 6= variable de glissement s),


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Recherche d’une variable de commutation S pour le systeme (4) ( 6= variable de glissement s),

Recherche d’une loi de commande discontinue v forcant les trajectoires du systeme sur uneSurface de Glissement ce qui assurera l’etablissement d’un mode de glissement d’ordre r entemps fini malgre les incertitudes.


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Variable de commutation. Soit S la variable de commutation definie par

S = s(r−1) −F (r−1)(t) + λr−2

ˆ

s(r−2) − F (r−2)(t)˜

+ · · · + λ0 [s(x , t) −F(t)] ,(6)

avec λr−2, · · · , λ0 definis tel que P(z) = z(r−1) + λr−2z(r−2) + · · · + λ0 soit un polynome

d’Hurwitz en la variable z,et F(t) est une fonction C r definie telle que s(k)(x(0), 0) −F (k)(0) = 0 ets(k)(x(tF ), tF ) −F (k)(tF ) = 0 (0 ≤ k ≤ r − 1) avec tF le temps de convergence defini a priori.

Surface de Glissement. La Surface de Glissement sur laquelle le systeme (4) est force de glisserpar une commande discontinue v est definie par

SS = {x | S = 0} (7)


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Plus precisement, a partir des conditions initiales et finales, le probleme consiste a trouver unefonction F(t) telle que

s(x(0), 0) = F(0), s(x(tF ), tF ) = F(tF ) = 0,

s(x(0), 0) = F(0), s(x(tF ), tF ) = F(tF ) = 0,

.

..

s(r−1)(x(0), 0) = F (r−1)(0),

s(r−1)(x(tF ), tF ) = F (r−1)(tF ) = 0.

(8)

Une solution pour F(t) est (1 ≤ j ≤ r)

F(t) = KeFtTs(r−j)(0) (9)

avec F une matrice Hurwitz de dimension 2r × 2r (a valeurs propres strictement negatives) et Tun vecteur de dimension 2r × 1 et j telle que s(r−j)(0) 6= 0 et bornee.


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Alors S(6) s’ecrit

S = s(r−1) − KF r−1eFtTs(r−j)(0) + λr−2

ˆ

s(r−2) − KF r−2eFtTs(r−j)(0)˜

+ · · · + λ0

ˆ

s(x , t) − KeFtTs(r−j)(0)˜

.(10)

H3. Il existe une constante positive Θ ∈ IR+ telle que

˛

˛KF r eFtTs(r−j )(0) − λr−2

ˆ

s(r−1) − KF r−1eFtTs(r−j)(0)˜

− · · · − λ0

ˆ

s(x , t) − KFeFtTs(r−j)(0)˜˛

˛ < Θ(11)

L’equation S = 0 decrit les dynamiques desirees qui satisfont la stabilisation du vecteur[s(r−1) s(r−2) · · · s]T a zero, en temps fini .


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La loi de commande discontinue v doit forcer les trajectoires du systeme (4) a glisser sur SS ,pour atteindre en temps fini l’origine et y rester.

Theoreme Considerons le syteme non lineaire ΣNL (1) avec un degre relatif r pour la sorties(x , t). Supposons que les hypotheses H1, H2, H3 soient satisfaites. Soit r l’ordre du modeglissant et le temps de convergence fini desire 0 < tF < ∞. Definissons S ∈ IR par (10) . L’entreede commande v definie par

v = −α sign(S) (12)

avec

α ≥C0 + Θ + η

Km, (13)

C0, Km definis par (3), Θ defini par (11), η > 0,conduit a l’etablissement d’un mode glissant d’ordre r par rapport a s. Le temps de convergenceest tF .


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Modele du moteur synchrone et position du probleme Modele du moteur dans un repere dq tournant

Plan

1 Introduction






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Modele du moteur synchrone et position du probleme Modele du moteur dans un repere dq tournant

Modele du moteur synchrone dans un repere dq tournant8

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

:

dθ

dt= ω

dω

dt=

P

J[(Ld − Lq)id + φf ]iq −

fv

Jω −

Cl

Jdid

dt= −

Rs

Ldid + P

Lq

Ldωiq +

1

Ldvd

diq

dt= −P

Φf

Lqω − P

Ld

Lqωid −

Rs

Lqiq +

1

Lqvq

(14)

avce θ : position angulaireω : vitesse angulaireid , iq : courants direct et en quadratureφf : flux de l’aimant permanentP : nombre de paires de polesRs : resistance des enroulements statoriquesLd , Lq : inductances stator directe et en quadratureJ : inertie rotorfv : coefficient de frottement visqueuxCl : Couple de chargevd , vq : tensions directe et en quadrature i.e. entrees de commande.


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Modele du moteur synchrone et position du probleme Incertitudes parametriques

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1 Introduction






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Modele du moteur synchrone et position du probleme Incertitudes parametriques

Incertitudes

Les parametres Rs , Ld , Lq et fv peuvent varier par rapport a leurs valeurs nominales Rs0, Ld0, Lq0

et fv0 (par exemple, Rs a des variations dues a la temperature du moteur). La formulation de cesvariations permet d’ecrire

PJ(Ld − Lq) = k1 = k01 + δk1,

PφfJ

= k2 = k02 + δk2,

− fvJ

= k3 = k03 + δk3,

− RsLd

= k4 = k04 + δk4,

PLq

Ld= k5 = k05 + δk5,

1Ld

= k6 = k06 + δk6,

−PφfLq

= k7 = k07 + δk7,

−PLdLq

= k8 = k08 + δk8,

−RsLq

= k9 = k09 + δk9,1Lq

= k10 = k010 + δk10,

(15)

ou k0i (1 ≤ i ≤ 10) est la valeur nominale du parametre correspondant, δki est l’incertitude sur leparametre concerne |δki | ≤ δk0i < |k0i |, avec δk0i une constante positive connue (H3).


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Modele du moteur synchrone et position du probleme Position du probleme

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Position du probleme (1)

Avec x = [x1 x2 x3 x4]T = [θ ω id iq ]T et u l’entree u = [u1 u2]

T = [vd vq]T , le modele dumoteur s’ecrit :

8

>

>

<

>

>

:

x1 = x2

x2 = (k1x3 + k2)x4 + k3x2 − ClJ

x3 = k4x3 + k5x2x4 + k6u1

x4 = k7x2 + k8x2x3 + k9x4 + k10u2

(16)


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Position du probleme(2)

Le but est de concevoir une commande qui garantit une performance robuste en presence desvariations parametriques et du couple de charge. Plus precisement, l’objectif du controle est :

la position angulaire x1 = θ doit suivre une reference x1ref (Figure 1 -Haut) malgre le couplede charge (Figure 1-Bas) (Benchmark defini dans le cadre d’un projet europeen CRAFT).

Figure: 1. Reference de position (projet CRAFT): Haut. (rad) en fonction du temps (sec.). Bas. Couplede charge (N.m) fonction du temps (sec.))

pour eviter des ondulations du couple electromagnetique (effet de reluctance) :idref = x3ref := 0 (linearisation par bouclage du couple electromagnetique).


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Commande MGOS du moteur synchrone Calcul de la commande

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1 Introduction






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Vecteur glissant

Les objectifs peuvent etre atteints en forcant a zero le vecteur glissant defini par deux variables deglissement :

s =ˆ

s1, s2˜T

=ˆ

x1 − x1ref (t) x3

˜T (17)

avec x1ref (t) la position de reference rotor (Figure 1.-Haut). Ces deux variables ont des degresrelatifs respectifs de 3 et 1.

Pour eviter les commutations sur l’entree du systeme, les ordres de glissement sont alors choisis a4-3 pour que les discontinuites agissent sur la derivee premiere de l’entree controlant x1 et sur laderivee deuxieme pour x3.


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Commande MGOS

Les derivees troisieme et premiere de s1 et s2 s’ecrivent alors :

s(3)1 = χ1 + Γ11u1 + Γ12u2

s(1)2 = χ2 + Γ21u1

(18)

Tout d’abord on applique un bouclage statique qui decouple et linearise le systeme nominal(correspondant a la commande equivalente dans le cas classique de la commande par modeglissant d’ordre 1),

»

u1

u2

–

= Γ−10 · [−χ0 + v ] (19)

avec

Γ0 =

»

Γ110 Γ120

Γ210 0

–

, χ0 =

»

χ10

χ20

–

(20)

et v := [v1 v2]T le nouveau vecteur de commande, ce qui donne

»

s1(4)

s2(3)

–

=

»

χ1

χ2

–

+

»

0 Γ12

Γ21 Γ22

– »

v1

v2

–

. (21)

et avec l’hypothese que |Γ11∆| < |Γ11|, |Γ12∆| < |Γ12| et |Γ21∆| < |Γ21|, il existe des reels positifsC1, C2, K12, K21, K22m et K22M tels que

|χ1| < C1, |χ2| < C2, |Γ12| < K12, |Γ21| < K21

0 < K22m < Γ22 < K22M .(22)


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Commande MGOS

De (10), et supposant que s1(0) = x1(0) − x1ref (0) 6= 0 et s2(0) = id (0) 6= 0, le vecteur decommutation S = [S1 S2]

T s’ecrit

S1 = s(3)1 −F

(3)1 + λ12

h

s1 − F1

i

+ λ11

h

s1 − F1

i

+λ10 [s1 −F1]

S2 = s2 −F(2)2 + 2ξωn

h

s2 − F2

i

+ ω2n [s2 −F2]

(23)

avec

F1(t) = K1F1eF1tT1s1(0) et F2(t) = K2e

F2tT2s2(0).

Pour S1, on fixe tF1= 0.5 sec, s

(3)1 (0) = 0 rad .s−3, s1(0) = 0 rad .s−2, s1(0) = 0 rad .s−1,

s1(0) = 0.1 rad . Pour S2, on fixe tF2= 0.5 sec, s2(0) = s2(0) = 0 A.s−1, s2(0) = .1 A.


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Commande MGOS du moteur synchrone Resultats experimentaux

Plan

1 Introduction






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Experimentation sur le Benchmark

Les resultats experimentaux on ete etablis dans le cadre du benchmark ”CRAFT” avecapplication du couple de charge a t = 0, 2; 0, 4; 1, 2s, et pourλ12 = 3sθ, λ11 = 3s2

θ, λ12 = s3

θ, ξ = 0.7, ωn = 1200, sθ = 165, α1 = 1.3 · 05108 et

α2 = 1.5 · 108.La Figure 2-Haut donne les positions reference et mesuree. La Figure 2-Bas, montre que l’erreurn’excede pas 0.07 rad malgre les changements du couple de charge de −2Nm a +2Nm a t = 0.4s.

Figure: 2. Haut. Position rotor et sa reference (rad) fonction du temps (sec.). Bas. Erreur de poursuite (rad) fonction dutemps (sec.)


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La Figure 3 montre que le courant id tend vers 0 A en regime permanent. Le changement ducouple de charge (Fig. 3b) provoque une surintensite breve a t = 0.4s.

Figure: 3. id courant direct(A) fonction du temps (sec.)

Figure: 3.b Couple de charge applique (Nm) fonction du temps (sec.)


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Les trois tensions triphases statoriques va, vb et vc et les trois courants de phase statoriquesia, ib et ic sont montres respectivement sur les Figures 5-Haut et Bas. Ils respectent lesvaleurs maximales desirees (tension stator < 380V , courant stator < 8A) meme lors duchangement brusque du couple de charge.

Figure: 4. Haut. Tensions triphasees stator (V ) fonction du temps (sec.). Bas. Courants triphases stator(A) fonction du temps(sec.)

Les valeurs experimentales des parametres sont differentes de celles des parametres identifies.La robustesse de la commande vis a vis de ces incertitudes et du couple de charge est bienverifiee.


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Conclusion et perspectives

Conclusions

La commande proposee

est de type Modes Glissants d’ordre Superieur avec un temps de convergence en temps finifixe a priori ,

montre le controle robuste d’un moteur a aimants permanents vis a vis des incertitudesparametriques et du couple de charge dans le cadre d’un Benchmark industriel (projetEuropeen CRAFT) .

Perspectives

Etendre ce resultat au probleme de commande sans capteur mecanique :⇒ probleme d’observabilite critique dans le cas de la machine a reluctance⇒ ”superposition” Commande-Observateur : Observation en temps fini


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Questions

?


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A.F. Filippov, Differential Equations with Discontinuous Right-Hand Side, Kluwer,Dordrecht, The Netherlands, (1988).

A. Girin, F. Plestan, X. Brun, and A. Glumineau, “A third order sliding mode controllerbased on integral sliding mode for an electropneumatic system ”, IEEE Conference onDecision and Control CDC’06, San-Diego, Carlifornia, (2006).

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A. Glumineau, and R. Boisliveau, “CRAFT Auto-Drive : Motion Control Benchmark”,European Cooperative Research project report , Task 1.1 to 1.4, pp.1-18, (2001).

S. Laghrouche, F. Plestan, A. Glumineau, and R. Boisliveau, “Robust second order slidingmode control for a permanent magnet synchronous motor”, American Control ConferenceACC’03, Denver, Colorado, (2003).

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F. Plestan, S. Laghrouche, and A. Glumineau, “A new algorithm for high order sliding modecontrol”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, to appear, (2007).

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www.irccyn.ec-nantes.fr/hebergement/BancEssai/


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