Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours S.S.I. et pourquoi on les a introduits

Page Page 11Cours S.S.I., SI1, avril 2007 – Comment utiliser les outils déjà présentés.Cours S.S.I., SI1, avril 2007 – Comment utiliser les outils déjà présentés.

Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours S.S.I. et pourquoi on les a introduits

Cours/TD d'une heure, en demi promo, avril 2007 Jean-Paul Stromboni

Questions clés de cette séance :

pourquoi avons-nous besoin de filtres dans ce cours comment décrire l’action d’un filtre sur un signal quelle est l’action d’un filtre sur le spectre d’un signal comment relier équation d’un filtre et réponse harmonique peut-on déduire l’équation d’un filtre de la réponse fréquentielle souhaitée ? …

Le filtre suivant est il causal ? Quelle est la fonction de transfert du filtre :

Que réalise selon vous le filtre ? Quelle est la réponse impulsion-nelle de

Ce filtre est il IIR ou FIR ? Comment trouver la réponse harmonique du filtre précédent ?

Celui là est il stable ? Que vaut le gain statique de

2/))1()1(()( nxnxny

)2()1(2)()( mamamaml

))2()1()((5.0)( nsnsnens

)1(5.0)1(5.0)( ncnenc

)()()1( nensns

)1()()( nfnfnd

100

)1(99)1()(

ncnenc

Savez vous déjà répondre à ces questions ?


Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours et pourquoi on les a introduits Pourquoi avons nous présenté la notion de spectre ?

Parce le principe de compression que nous étudions dans ce cours procède en découpant le spectre du signal à compresser

Comment calculer le spectre d’un signal ? En utilisant la transformée de Fourier discrète (TFD) : on note

xn le signal à compresser (on le note en donnant son n ième échantillon), nous avons vu que le spectre de xn vaut :

Comment d’ailleurs les ordinateurs calculent ils le spectre ? Ils utilisent l’algorithme de FFT qui calcule seulement N

points du spectre également espacés sur l’axe des fréquences

Et pourquoi avons-nous besoin de filtres ?

Parce que pour découper le spectre d’un signal en bandes de fréquences, on utilise des filtres si possible rectangulaires

Comment programmer un filtre ? Pour filtrer un signal d’entrée noté xn, il faut calculer les

valeurs successives du signal filtré noté ici yn, en utilisant une équation aux différences (EaD), de la forme générale :

L’équation ci-dessus est dite non-récursive si les ak sont nuls le filtre est alors à réponse impulsionnelle finie (FIR), de durée MTe, la longueur de filtre est le nombre de termes du second membre, ici M.

n

fifnnn

eexxTFDfx /2)()(~

1...0,)/(~)(~ /2 NkexNkfxfxn

Niknnek

N

k

M

j jnjknkn xbyay1

1

0


Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours et pourquoi on les a introduits Quelle est l’action d’un filtre sur le spectre du signal filtré ?

Un filtre multiplie le spectre du signal d’entrée par sa réponse harmonique, le résultat obtenu est le spectre du signal filtré :

est donc la réponse harmonique du filtre, c’est une quantité complexe fonction de la fréquence f.

Exercice : comment concevoir un jeu de filtres qui découpent le spectre d’un signal xn en quatre bandes égales, entre 0 et fe/2

Comment déduire la fonction de transfert en z d’un filtre à partir de son équation aux différences ? On utilise la transformée en z dont voici la définition ci-

dessous(z est une variable complexe dont la valeur n’est pas précisée):

On fait la transformée en z de l’équation aux différences en appliquant la règle suivante pour les décalage d’indices :

si alors

L’équation du filtre se transforme en produit de la forme : Y(z)=H(z)X(z), H(z) est la fonction de transfert en z du filtre.

Exercices : calcul de fonctions de transfert en z, calcul de transformées en z simples (impulsion, échelon)

)(~)(~

)(~)(~ fyfhfxfx filtrage )(

~fh

n

nn

Tzn zxzXx )(

),(zXx Tzn )(zXzx kTz

kn


Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours et pourquoi on les a introduits

Comment obtenir la réponse harmonique d’un filtre à partir de son équation aux différences ? On passe de Tz à TFD par un simple changement de

variables :

Préciser le changement de variable :

Avec ce changement de variables, la relation précédemment établie Y(z)=H(z)X(z) devient :

D’où la réponse à la question posée :

En exercice : on pourra donner l’expression de la réponse harmonique de plusieurs filtres

n

fifnn

TFDn

eexfxx /2)(~

n

nn

Tzn zxzXx )(

)(~)(~

)(~)()()(

)()()(/2/2/2

/2

fxfhfy

eXeHeY

zXzHzYeee

effi

ffiffiffi

ez

)(~

)()( /2/2

fheHzHEaD eeffi ffiezTz



Comment trouver l’équation d’un filtre dont on donne la réponse harmonique ? On utilise la TFD inverse

On développe le produit de convolution yn

On voit que yn est la sortie d’une équation aux différences non récursive

Il y a cependant des conditions de mise en œuvre, pour pouvoir programmer ce filtre :

1. Le nombre de termes hn non nuls doit rester fini, on ne pourra pas calculer une infinité de termes

2. Les valeurs de hn doivent rester réelles, il suffit pour cela que la réponse harmonique choisie soit une fonction paire de la fréquence.

En conclusion, et à ces deux contraintes près :

exercice: calculer hn pour les filtres suivants:

nnnTFD xhyfxfhfy *)(~)(

~)(~ 1

k

knknnn xhxhy *

1

0

*1

)(~ M

k knknnTFD xhyhfh



Comment calculer la réponse harmonique à partir de la réponse impulsionnelle hn ? Si xn est une impulsion, on a Et yn est la réponse impulsionnelle du filtre Or, le spectre de xn vaut

Le spectre du signal filtré yn vaut donc

Conclusion : la réponse harmonique d’un filtre est la transformée de Fourier de sa réponse impulsionnelle

Exercices : péciser l’expression de la réponse harmonique des filtres non récursifs

1,0 00 xxn

1)(1)( nn

nnn xTFDzxxTz

nnTFD hyfhfy

1

1)(~

)(~

))(~

()(~

)( 1 fhTFDhfhhTFD nn

Documents

Comment utiliser les outils déjà présentés dans le cours S.S.I. et pourquoi on les a introduits