Commentaires concernant l'élargissement des impulsions dans les fibres optiques

J. P. Meunier, J. Pigeon, et J. N. Massot Université de Saint-Etienne, U. E. R. de Sciences, Labo­ratoire Traitement du Signal et Instrumentation, 42023 Saint-Etienne Cedex, France. Received 14 December 1978. 0003-6935/79/091290-02$00.50/0. © 1979 Optical Society of America.

L'étude de l'élargissement des impulsions est l'un des problèmes essentiels de la propagation de la lumière dans les fibres optiques. Différents auteurs se sont penchés sur cette question1,2 en prenant des formes particulières (Dirac ou gaussienne) pour la distribution temporelle de l'impulsion. Nous avons généralisé les travaux précédents en utilisant une fenêtre temporelle de forme arbitraire. Cette extension nous a permis alors de montrer que l'absence d'élargissement de l'impulsion pour une fibre unimodale excitée en lumière mo­nochromatique n'était pas due au choix particulier de la dis­tribution de Dirac comme fenêtre temporelle mais à la pro­priété d'invariance par translation par rapport au temps de l'expression de la puissance. Nous donnons par ailleurs les principaux paramètres caractérisant la forme de l'impulsion indépendamment de toute approximation par un dével­oppement en série des délais de groupe.

La réponse en puissance à l'instant t, au point z et pour la composante spectrale λ d'un guide optique, si l'on néglige le couplage entre les modes, peut s'écrire en première approxi­mation

où la sommation s'effectue sur tous les modes guidés, µ et v désignant, respectivement, l'indice radial et azimuthal du mode considéré. Les coefficients Pµv(λ,z) décrivent la dis­tribution modale de puissance en fonction de la longueur d'onde λ et de la position z. Ils sont déterminés, en z = 0, par la distribution spatiale et spectrale de la source ainsi que par la configuration du couplage source-fibre. Enfin la fonction e(t,z) = e(t — Zµv) représente l'amplitude de l'impulsion associée au mode (µv) au cours du temps t en un point z de la fibre. Les délais de groupe par unité de longueur µy(λ) sont définis par

où βµv(λ) représentent les constantes de propagation du mode (µ,v) et k = (2π/λ).

La quantité e(t) est la fenêtre temporelle arbitraire qui permet de décrire la dépendance temporelle de la puissance injectée en z = 0 pour la composante spectrale λ. Nous util­isons dans la suite le formalisme développé par Olshansky et Keck,3 mais en prenant pour hypothèse de départ la relation (1).

La quantité ayant un intérêt pratique sera la puissance intégrée sur λ, c'est-à-dire

Les caractéristiques de la réponse temporelle au point z peuvent très facilement s'exprimer à partir des moments normalisés mn(z) correspondant à la distribution T(t,z) et définis par

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Les techniques classiques du calcul transformationnel permettent d'écrire

où T(u,z), transformée de Fourier de T(t,z), est telle que

Après des calculs élémentaires, l'utilisation des relations (1), (3), (6), (5) et (4) permet d'obtenir

où ms (0) = js[ê (s) (0)/ê(0)], la fonction ê(u) se déduisant de e (t) de façon analogue à la relation (6). La relation (7) est très générale puisqu'elle donne les moments à tous les ordres si l'on connaît les délais de groupe par unité de longueur pour chaque mode et les coefficients Pµv(λ,z). Il faut noter ici que seule interviennent dans la relation (7) les caractéristiques ms(0) de la modulation initiale, ce qui ne nécessite pas la connais-

- sance de la forme explicite de la fenêtre temporelle e(t). On peut donner une expression approchée de mn(z) en

supposant que la dépendance en λ des coefficients Pµv(λ,z) est déterminée essentiellement par la distribution spectrale de la source S(λ) que l'on supposera, dans la suite, normalisée à l'unité [∫ +

0 ∞ S(λ) dλ = 1], c'est-à-dire que l'on peut écrire

où pµv(z) est une fonction qui varie suffisamment lentement en fonction de λ pour qu'on puisse la considérer comme pra­tiquement indépendante de λ sur le support de S(λ).

On obtient alors l'écriture approchée de mn(z):

avec

où, par définition, <A> est tel que

Notons que dans le cas d'une fibre unimodale pµv(z) = pµv(z)δµµ0δvv0 , et on a (A) = Aµ0v0. Le facteur Fs

n(z) rend compte à la fois des caractéristiques de la source et de celles de la propagation dans la fibre et peut être calculé dès que l'on connaît les fonctions pµv(z).

On peut dans certaines situations4 se contenter d'évaluer les premiers moments et notamment m1(z) qui représente le délai moyen de l'impulsion au point z ainsi que le paramètre de dispersion le plus courant σ2(z) qui permet une mesure de l'élargissement de l'impulsion. On obtient alors

Les relations (9), (12) et (13) font totalement abstraction de tout développement en série des délais de groupe µv(λ). Ils sont donc très généraux dans le cadre des hypothèses que nous nous sommes fixées. On peut évidemment, pour com­parer nos résultats avec ceux de Olshansky et Keck, carac­tériser la densité spectrale de la source par sa valeur moyenne et sa variance:

L'influence de la distribution spectrale de la source sur les propriétés de transmission de la fibre peut alors être étudiée en développement µv(λ) en série de Taylor au voisinage de λ0 (cf. réf. 3).

On constate ainsi une légère différence entre nos résultats et ceux de Olshansky et Keck. Cette différence, qui porte sur un terme supplémentaire dans m1(z) et σ2(z), résulte de la plus grande généralité de nos hypothèses où nous avons considéré une fenêtre temporelle arbitraire e(t). Dans le cas où celle-ci se réduit à une distribution de Dirac δ(t), nous re­trouvons évidemment les résultats de Olshansky et Keck.

Les moments mn(z) donnent les informations essentielles sur le signal. Ils permettent en outre de reconstituer la forme de l'impulsion au point z de la fibre et ce avec une précision d'autant meilleure que l'on fait intervenir des moments d'ordre élevé. Enfin, la forme de l'impulsion en z peut être précisée si on fait intervenir les moments centrés µn(z) tels que

Nous poserons pour simplifier les notations

et

Compte tenu des relations (9) et (16), les quatre premiers moments centrés deviennent

L'analyse de ces différentes relations montre que jusqu'à l'ordre n = 3, les moments centrés s'expriment sous la forme de deux termes dont l'un ne dépend que des caractéristiques de la fenêtre temporelle en z = 0 et l'autre ne dépend que des caractéristiques de la fibre et de la source. Cela n'est plus vrai à l'ordre n = 4. On peut aussi noter que deux fenêtres tem­porelles différentes d'allure mais ayant les premiers moments centrés identiques donneront pour une même fibre des con­tributions identiques au moment centré au point z à cet ordre.

Les relations (19) permettent notamment de calculer les indices 1(z) et γ2(z) de Fisher5 qui représentent, respec­tivement, une mesure de l'asymétrie et de l'aplatissement de l'impulsion au point z. Ils sont définis par

Si 71(2) est positif, on aura un étalement à droite de l'im­pulsion, et si 71(2) est négatif, on aura un étalement à gauche

de l'impulsion. Le cas d'égalité à zéro de 71(2) correspondant à une impulsion symétrique et

72(2) est positif si l'impulsion est moins aplatie que la dis­tribution normale de même moyenne et de même écart-type et négatif dans le cas contraire.

Dans le cas limite d'une source monochromatique, nous avons S(λ) = δ(λ – λ0) et des simplifications notables ap­paraissent dans les relations (10), (12) et (13):

La relation (24) nous indique alors que dans le cas où (2

µv(λ0) ) = (µv(λ0) )2 (fibre unimodale ou fibre multimodale dont les modes possèdent les mêmes caractéristiques de dé­lais), nous obtenons σ2(z) = σ2(0).

Nous retrouvons donc simplement en sortie de fibre la largeur initiale du signal de modulation e{t). L'impulsion, au cours de sa propagation dans la fibre, n'a donc subi aucun élargissement supplémentaire [σ2(z) – σ2(0) = 0].

Certains auteurs2 avaient déjà souligné ce point mais en avaient alors attribué la cause au fait que la fenêtre temporelle utilisée était approximée par une distribution de Dirac. En réalité notre étude montre que la forme analytique de la fenêtre temporelle n'est pas à l'origine de ce résultat qui est dû au contraire à l'invariance de forme de cette fenêtre au cours de la propagation de l'impulsion le long de la fibre.

Effectivement, dans la relation (1), la fonction e devrait dépendre en toute généralité des variables 2 et t et s'écrire e{t,z). Le choix e(t - zµv ) implique cette invariance de forme puisque e(t - zrµv) = δ(t – Zµv ) * e(t), où le symbole * désigne le produit de convolution. On constate, en effet, dans l'article de Thyagarajan et Ghatak2 que l'existence d'un élargissement de l'impulsion est lié non pas au choix de la forme gaussienne de la fenêtre temporelle mais au fait que cette fenêtre s'exprime sous la forme générale e(t,z) [cf. réf. 2, Eq. (21b)].

En résumé, nous avons donné des extensions simples du formalisme utilisé par Olshansky et Keck pour évaluer l'élargissement des impulsions dans les fibres optiques. Ces extensions permettent non seulement d'utiliser une fenêtre temporelle arbitraire à l'entrée de la fibre, mais elles précisent certaines caractéristiques de forme de l'impulsion en sortie de fibre qui peuvent être intéressantes pour des applications systèmes.

Nous avons montré en outre que les incohérences parfois rencontrées dans ce genre de calcul sont inhérentes aux hy­pothèses de départ concernant l'expression de la réponse de la fibre au point 2 et non pas comme l'ont affirmé certains auteurs au choix de la forme analytique de la fenêtre tempo­relle à l'entrée de la fibre.

Références 1. F. P. Kapron and D. B. Keck, Appl. Opt. 10, 1519 (1971). 2. K. Thyagarajan and A. K. Ghatak, Appl. Opt. 16, 2583 (1977). 3. R. Olshansky and D. B. Keck, Appl. Opt. 15, 483 (1976). 4. S. D. Personick, Bell Syst. Tech. J. 52, 843 (1973). 5. R. A. Fisher, in M. Kendall and A. Stuart, Eds. The Advanced

Theory of Statistics (Charles Griffin & Co. Ltd., London, 1977), Vol. 1.

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