Guide pdagogiquecycle 3 pour comprendre mathmatiquesles J.-P. BlancDirecteur dcoleP. BramandProfesseur agrgP. DebProfesseur dI.U.F.M.A. DuboisDirectrice dcoleJ. GlyDirecteur dcole. LafontProfesseur des colesD. PeynichouI.M.F.A. VargasDirecteur dcoleEt moi,Matho !P001_024_9782011174802.indd 1 14/05/09 11:31:46 ISBN 978-2-01-117480-2 HACHETTE LIVRE 2009, 43 quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15www.hachette-education.com Tous droits de traduction, de reproduction et dadaptation rservs pour tous pays.Le Code de la proprit intellectuelle nautorisant, aux termes des articles L.122-4 et L.122-5, dune part, que les copies ou reproductions stricte-ment rserves lusage priv du copiste et non destines une utilisation collective et, dautre part, que les analyses et les courtes citations dans un but dexemple et dillustration, toute reprsentation ou reproduction intgrale ou partielle, faite sans le consentement de lauteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite .Cettereprsentationoureproduction,parquelqueprocdquecesoit,sansautorisationdelditeurouduCentrefranaisdelexploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une contrefaon sanctionne par les articles 425 et suivants du Code pnal.2Conception et ralisation de la maquette de couverture : Estelle Chandelier avec une illustration de Jean-Louis Gouss Maquette intrieure : Estelle Chandelier Mise en page et ralisation : Mdiamax Dessins techniques : Gilles Poing dition : Janine Cottereau-DurandP001_024_9782011174802.indd 2 14/05/09 11:31:473SommaireAvant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Domaines mathmatiquesIntroduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 Calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83 Gomtrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124 Grandeurs et mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135 Organisation et gestion de donnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .15Mise en uvre des leonsPropositions de rpartitions par priode et par semaine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17Commentaires des leons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22Dcouverte du manuel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22Bienvenue au CM1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22Prsentation de la Priode 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251ProblmesSituations additives ou soustractives . . .262Les nombres jusqu 9 999. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283Figures planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304Calcul rchiLa soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .325ProblmesProcdures personnelles (1) . . . . . . . . . . . .336Les nombres jusqu 999 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .357Du mtre au millimtre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .378Calcul rchiUtiliser la proprit de la diffrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399Lire lheure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4010 Droites perpendiculaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4211Atelier informatique (1) Tracer des droites perpendiculaires. . . . . . . . . . . . . . . . . .4412La soustraction pose. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4513ProblmesSituations multiplicatives. . . . . . . . . . . . . . .4614Calcul rchiMultiplier par 10, 100, 1 000. . . . . . .4815Calcul rchiMultiplier par 20, 30, 200, 300. . . . .4916ProblmesRechercher des donnes. . . . . . . . . . . . . . . .5017Axes de symtrie dune gure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5118Ordre de grandeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5419Calcul rchiLa multiplication en ligne . . . . . . . . .5520Calcul rchiJongler avec les nombres 100 et 1 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5721Mobilise tes connaissances (1)La Lune, notre satellite articiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58Fais le point (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Atelier problmes (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62Prsentation de la Priode 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6322Droites parallles (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6423Calcul de dures (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6624Multiples de 2, 5 et 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6825La multiplication pose (1) : Multiplier par un nombre dun chiffre. . . . . . . . . . . . . . .6926Atelier informatique (2)Tracer des droites parallles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7027Du mtre au kilomtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7128ProblmesInterprter un graphique. . . . . . . . . . . . . . .7329Reprage sur un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7530Les multiples dun nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7631ProblmesProcdures personnelles (2) . . . . . . . . . . . .7832La multiplication pose (2) : Multiplier par un nombre de deux chiffres . . . . . . . . . .8033Calcul de dures (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8234La classe des millions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8435Triangles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8636ProblmesSituations de division (1) : Calculer le nombre de parts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8837Le calendrier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9038ProblmesSituations de division (2) :Calculer la valeur dune part. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9439Calcul rchiNombres et calculatrice . . . . . . . . . . .9640Les grands nombres en gographie . . . . . . . . . . . . . . . . .9741Mobilise tes connaissances (2)Les sports les plus apprcis des Franais . . . . . . . . . . . .98Fais le point (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99Atelier problmes (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Prsentation de la Priode 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10542Complter une gure par symtrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10643La division : Recherche du quotient et du restepar encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10844Solides (1) : Jeu du portrait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11045Calcul rchiDiviser un nombre par un nombre dun chiffre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11246ProblmesProcdures personnelles (3) . . . . . . . . . . . . 11347Les masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11448Les angles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11649ProblmesAide la rsolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11850La division pose (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12051Proprits des quadrilatres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12252Les aires : comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12553Atelier informatique (3) Tracer des quadrilatres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12754Demi, tiers, quart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Pages PagesP001_024_9782011174802.indd 3 29/06/10 14:5955Droites parallles (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12956Mesure des aires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13157Mobilise tes connaissances (3)Le monde des ocans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Fais le point (3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Atelier problmes (3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Prsentation de la Priode 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14158Le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14259Fractions (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14460Aire et primtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14661Fractions (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14862ProblmesChoisir lopration, les diffrentestapes dune solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15063Fractions (3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15164Atelier informatique (4) Tracer le symtrique dune gure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15365ProblmesProcdures personnelles (4) . . . . . . . . . . . . 15466Solides (2) : Autour du cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15667Fractions dcimales (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15868Contenances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16069Fractions dcimales (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16270Identier et tracer le symtrique dune gure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16471Fractions et mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16672Solides (3) : Patrons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16773Mobilise tes connaissances (4) Au temps des pharaons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Fais le point (4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Atelier problmes (4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Prsentation de la Priode 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17774Nombres dcimaux (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17875Programmes de construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18076Nombres dcimaux (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18277Calcul rchiAjouter des nombresdcimaux simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18478Additionner et soustraire des nombres dcimaux. . . .18579ProblmesProcdures personnelles (5) . . . . . . . . . . . . 18780Calcul rchiMoiti de nombres impairs. . . . . . . . 18881Calcul rchiMultiplier un nombre dcimal par 10, 100, 1 000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18982La multiplication pose (3) : produit dun dcimalpar un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19083Units de mesure et systme dcimal. . . . . . . . . . . . . . . . 19284ProblmesApproche de la proportionnalit. . . . . . . 19485Calcul rchiOrganiser des calculs . . . . . . . . . . . . . . 19686Primtre du carr et du rectangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19787ProblmesFormuler la question . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19888Calculatrice et dcimaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20089La division pose (2) : quotient dcimal . . . . . . . . . . . . . . 20290Tracer un graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20491ProblmesLa proportionnalit en cuisine. . . . . . . . . . 20692Mobilise tes connaissances (5)Latmosphre de la Terre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208Fais le point (5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Atelier problmes (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213valuationsvaluations du calcul mental par comptences . . . . . . . . . . . . 215valuations de n de priode par comptences . . . . . . . . . . . 227Annexes1 Fractions et nombres dcimaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2522 Les jeux numriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2543 Multiplications dans le monde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2564 Ateliers informatiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2585 Grandeurs et mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2606 Rsolution de problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2647 Approche de la proportionnalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267 Pages Pages4P001_024_9782011174802.indd 4 14/05/09 11:31:475Avant-proposCe guide pdagogique constitue le complment indispensable du livre de llve. Son objectif est de permettretouslesprofesseursdescoles,sansexception,demettreenuvreleprogrammedu CM1 (deuxime anne du cycle 3), le plus aisment possible mais avec justesse et efcacit. NousavonsinnovavecprudenceennousappuyantsurlestravauxdesIREM1,deschercheursen didactiqueetenpsychologiecognitive2,maisaussisurlaculturepdagogiqueaccumuleparles praticiens au cours du dernier demi-sicle. Point de table rase par consquent : cest en concevant des outils simples de maniement pour le matre, des outils clairs daccs et de structure pour lenfant que lon vriera que pour faire des mathmatiques il faut aimer et comprendre les mathmatiques.On trouvera successivement dans cet ouvrage : uncourtexposdenoschoixpdagogiquesenregarddesprogrammesenvigueurdans la partie Domaines mathmatiques ; la Mise en uvre des leons pour chacune des squences du manuel de llve, avec des batteries de calcul mental, des propositions dactivits, les commentaires des exercices ;lesvaluationsducalculmentalparcomptenceetlesvaluationsdespriodesprsentespar domaine mathmatique ; les Annexes relatives des questions importantes du travail pdagogique.1. Notamment ceux de Guy BROUSSEAU et ses tudiants, IREM de Bordeaux.2. Quil soit fait mention parmi dautres de Grard VERGNAUD, Brit Mari BARTH, Jean-Paul FISCHER, Germaine PCHEUX, Ren BERTHELOT, Marie-Hlne SALIN.P001_024_9782011174802.indd 5 14/05/09 11:31:476Domaines mathmatiquesIntroduction ... il ne doit pas y avoir denseignement doctrinal ; il ny a pas de vrit enseigner comme vrit ; il y a des faits en prsence desquels il faut mettre lenfant an quil en devienne juge.1 NousfaisonsntrecettevaleureuseprisedepositiondeGrardBouchet.Encequiconcernelenseignement des mathmatiques, elle pourrait se traduire par : faire des mathmatiques, cest rsoudre des problmes. Nous nous sommes placs dans une perspective rsolument constructiviste. Cest par son activit sur les choses, cest en transformant le milieu qui lentoure que lenfant remet en question ses schmes cognitifs et images mentales etenconstruitdenouveaux.Maiscetravailnestpaseffectudanslisolement,indpendammentdelenvi-ronnement humain de lenfant. Cest une activit sociale dont le mdiateur principal est le langage. Lchange aveclespairsdunepart,lerledeladultedautrepart,prennentuneplacedterminantedansleprocessus dapprentissage. Nous nous inscrivons ainsi dans un triple courant dont nous considrons les apports comme complmentaires et non pas contradictoires, celui des neurosciences reprsent notamment par lcole J.-P. CHANGEUX et S. DEHAENE, celui de PIAGET et de ses continuateurs, et celui de lapproche socioculturelle qui se rclame notamment de VYGOTSKY. Faire des mathmatiques, cest rsoudre des problmes. Il est souhaitable que chaque tape de lapprentissage place llve dans des situations dinvestigation qui lui imposent dlaborer et de verbaliser les images mentales, les outils, les concepts logiques et mathmatiques. Cela demande du temps. Laisserdutempsautemps delapprentissageestlunedenosproccupationspermanentes.Ilfautdon-nerauxenfantsletempsdeconstruirelesconceptsetlesoutilsfondamentauxduprogramme.Pourrpter sans lasser, il faut prvoir un savant dosage entre les activits de dcouverte et dexprimentation, les exercices dentranement, les phases de conceptualisation, les exercices de soutien, les prolongements dans les activits pluridisciplinaires. Nous proposons, pour ce faire, les solutions suivantes.lapratiquequotidienneducalculmentaldslapremiresemainedelarentre.Lacquisitionetlerenforce-ment des mcanismes de calcul, lentranement de la mmoire, la familiarit obtenue lgard des nombres (leur transformationenobjetsconcretsenquelquesorte)conduisentinsensiblementaucalculpensetmatris. Cela permet de dgager une grande partie du temps habituellement consacr lacquisition des algorithmes de calculdunepart,autraitementdescalculsdanslessituationsoilsparasitentlobjectifprincipaldautrepart; lapratiquedactivitspluridisciplinairesquipermetdemultiplierletempsutileetcontribuedesurcrot donner du sens aux concepts et outils mathmatiques. La mise en uvre des activits motrices, de construction dobjets,depliages,detracs,lesmanipulationsdepuzzlespeuventseffectuertransversalementdautres champs disciplinaires : EPS, arts plastiques, travaux manuels et technologie. Lanalyse dun nonc de problme relve aussi bien du franais que des mathmatiques. Lhistoire, la gographie, la physique et les sciences natu-relles sont loccasion de mesurer, de construire ou dinterprter tableaux et graphiques ; les banques dexercices et les ateliers problmes qui facilitent la gestion du temps dans la classe et aident len-seignant pratiquer une pdagogie diffrencie. Sil est souhaitable que tous les enfants participent au travail collectif de recherche des leons et valuent leurs comptences en effectuant les exercices proposs, il nest pas utile, bien au contraire, quils effectuent tous et au mme moment les exercices et les problmes des banques. Ceux-ci sont la disposition de lenseignant qui trouvera des outils pour remdier aux insufsances des uns et la matire pour lentranement et lapprofondissement pour les autres. Les problmes se prtent par ailleurs aussi bien un travail de recherche en petits groupes quau travail individuel. les ateliers informatiques qui apportent une aide non ngligeable aux enseignants en leur proposant des acti-vitsgomtriquescomplmentairesquipermettentauxenfantsdapprofondirlesnotionstudiessousune forme diffrente qui les libre des difcults lies aux tracs avec les instruments. 1. G. BOUCHET, Lacit et enseignement, Armand Colin, 1996.2. Dans la lecture du tableau, le texte en caractre normal indique des connaissances ou des capacits acquises en CE2 : elles sont consolider.Le texte en caractre gras indique des connaissances ou des capacits retenues pour le CM1 : elles constituent le cur du programme.Le texte en italique indique des connaissances ou des capacits dont la matrise nest pas retenue pour ce niveau : elles constituent toutefois des objectifs de n de cycle.1. NombresLes nombres entiers jusquau milliard2CONNAISSANCES ET COMPTENCES LEONS DU MANUELConnatre, savoir crire et nommer les nombres entiers jusquau million, jusquau milliard.2Les nombres jusqu 9 9996Les nombres jusqu 999 99934La classe des millions39Nombres et calculatrice40 Les grands nombres en gographieP001_024_9782011174802.indd 6 14/05/09 11:31:477CONNAISSANCES ET COMPTENCES LEONS DU MANUELComparer, ranger, encadrer ces nombres.2Les nombres jusqu 9 9996Les nombres jusqu 999 99934La classe des millions40Les grands nombres en gographie65Procdures personnelles (5)Connatre et utiliser des expressions telles que : double, moiti ou demi, triple, quart, dun nombre entier.54Demi, tiers, quart80Moiti de nombres impairsConnatre et utiliser certaines relations entre des nombres dusage courant : entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60.20 Jongler avec les nombres 100 et 1 000Reconnatre les multiples des nombres dusage courant : 5, 10, 15, 20, 25, 50.24Multiples de 2, 5 et 1030 Les multiples dun nombreFractionsCONNAISSANCES ET COMPTENCES LEONS DU MANUELNommer les fractions simples et dcimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixime, centime.59Fractions (1)61Fractions (2)63Fractions (3)67Fractions dcimales (1)69Fractions dcimales (2)71Fractions et mesuresUtiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs. crire une fraction sous forme de somme dun entier et dune fraction infrieure 1.61Fractions (2)63Fractions (3)Nombres dcimauxCONNAISSANCES ET COMPTENCES LEONS DU MANUELConnatre la valeur de chacun des chiffres de la partie dcimale en fonction de sa position (jusquau 1/100e).74 Nombres dcimaux (1)76Nombres dcimaux (2)88Calculatrice et dcimauxReprer les nombres dcimaux, les placer sur une droite gradue.Comparer les nombres dcimaux, les ranger.Encadrer les nombres dcimaux par deux nombres entiers conscutifs.Passer dune criture fractionnaire une criture virgule et rciproquement.Donner une valeur approche lunit prs, au dixime ou au centime prs.Nos choix pdagogiquesDeux principes nous ont guids :1.accorderuneattentionextrmelaconstructiondesconceptsetdesnotionsnouvelles,etlesintroduire chaque fois que possible comme rponses et outils pertinents de rsolution de problmes ; 2. pratiquer un entranement systmatique pour ractualiser des connaissances anciennes et viter quelles ne susent faute dtre utilises. Notre progression gnrale comporte : la ractualisation des connaissances acquises sur les nombres entiers naturels pendant la premire anne du cycle 3 (CE2) et lextension de la numration au-del du million ; lintroduction des fractions et des nombres dcimaux. Il sagit en particulier de faire apparatre la ncessit dintroduire de nouveaux nombres pour rsoudre de nouvelles classes de problmes. Nous avons choisi la mthode prconise dans les programmes qui consiste exprimer la mesure dune aire ou la mesure dun segment en choisissant pour unit la mesure dun autre segment. Une procdure qui sy apparente consiste graduer une demi-droite et chercher coder les points intermdiaires.P001_024_9782011174802.indd 7 14/05/09 11:31:4782. CalculCalcul mentalementCONNAISSANCES ET COMPTENCES LEONS DU MANUELMmoriser et mobiliser les rsultats des tables daddition et de multiplication.Cf. Tableau du calcul mental quotidien ci-aprsCalculer mentalement des sommes, des diffrences, des produits.Multiplier un nombre entier ou dcimal par 10, 100, 1 000.14Multiplier par 10, 100, 1 00015Multiplier par 20, 30, 200, 30081Multiplier un nombre dcimal par10, 100, 1 000Estimer mentalement un ordre de grandeur du rsultat. 18Ordre de grandeurEffectuer un calcul posCONNAISSANCES ET COMPTENCES LEONS DU MANUELAddition, soustraction, multiplication. 4La soustraction8Utiliser la proprit de la diffrence12La soustraction pose19La multiplication en ligne25La multiplication pose (1)32La multiplication pose (2)Addition et soustraction de deux nombres dcimaux.77 Ajouter des nombres dcimaux simples78 Additionner et soustraire desnombres dcimaux85Organiser un calculMultiplication dun nombre dcimal par un nombre entier. 82La multiplication pose (3)Division euclidienne de deux entiers.43 Recherche du quotient et du restepar encadrement 45Diviser par un nombre dun chiffre 50La division pose (1)Division dcimale de deux entiers.89 La division pose (2) : quotient dcimal Connatre quelques fonctionnalits de la calculatrice utiles pour effectuer une suite de calculs.39Nombres et calculatrice88Calculatrice et dcimauxProblmesCONNAISSANCES ET COMPTENCES LEONS DU MANUELRsoudre des problmes engageant une dmarche une ou plusieurs tapes.1 Situations additives ou soustractives13 Situations multiplicatives21 Mobilise tes connaissances (1) Atelier problmes (1)36 Situations de division (1)38Situations de division (2)41 Mobilise tes connaissances (2)Atelier problmes (2)49Aide la rsolution57 Mobilise tes connaissances (3) Atelier problmes (3)62 Choisir lopration, les tapes dune solution73 Mobilise tes connaissances (4) Atelier problmes (4)87Formuler la question 92 Mobilise tes connaissances (5) Atelier problmes (5)P001_024_9782011174802.indd 8 14/05/09 11:31:479Calcul mental quotidienRsultats mmoriss, procdures automatisesCONNAISSANCES ET COMPTENCESPAGES DU MANUEL (PAR PRIODE)P1 P2 P3 P4 P5Connatre les tables daddition (de 1 9) et de multiplication (de 2 9).10-2830-3132-343656-6894-100104106128132140160176Connatre le complment la dizaine suprieure pour tout nombre infrieur 100 ou le complment lentier immdiatement suprieur pour tout dcimal ayant un chiffre aprs la virgule.18-202677 146Additionner ou soustraire mentalement des dizaines entires (nombres infrieurs 100) ou des centaines entires (nombres infrieurs 1 000). 14-1723-3951-5253-5460-7498126130133136Multiplier un nombre entier ou dcimal par 10, 100, 1 000. 37 63 111138143167168170173Organiser et effectuer mentalement, sur des nombres entiers, un calcul additif, soustractif, multiplicatif ou un calcul de division en sappuyant sur des rsultats mmoriss et en utilisant de faon implicite les proprits des nombres et des oprations.16-2227-3858-6466-7090-9296-102107108110124134Organiser et effectuer des calculs du type 1,5 + 0,5 ; 2,8 + 0,2 ; 1,5 2 ; 0,5 3, en sappuyant sur les rsultats mmoriss et en utilisant de faon implicite les proprits des nombres et des oprations.163172174178180valuer un ordre de grandeur dun rsultat, en utilisant un calcul approch, valuer le nombre de chiffres dun quotient. 144Connaissances des nombresCONNAISSANCES ET COMPTENCESPAGES DU MANUEL (PAR PRIODE)P1 P2 P3 P4 P5Connatre, savoir crire et nommer les nombres entiers, les fractions et les nombres dcimaux. En connatre la valeur de chacun des chiffres.12-2448-5062-727686-8893120122142156158162164165166181Calcul rchiCONNAISSANCES ET COMPTENCESPAGES DU MANUEL (PAR PRIODE)P1 P2 P3 P4 P5Organiser et effectuer avec laide de lcrit, sur des nombres entiers, un calcul additif, soustractif, multiplicatif ou un calcul de division en sappuyant sur des rsultats mmoriss et en utilisant de faon implicite les proprits des nombres et des oprations.11-1315-1921-2529-3549-5559-6569-7387-9197-103109121125129135139147159Organiser et effectuer des calculs du type 1,5 + 0,5 ; 2,8 + 0,2 ; 1,5 2 ; 0,5 3, en sappuyant sur les rsultats mmoriss et en utilisant de faon implicite les proprits des nombres et des oprations.167169171175P001_024_9782011174802.indd 9 29/06/10 14:5910Nos choix pdagogiquesBienentendu,lobjectifprioritaireviserendreopratoireslesconnaissancesnumriquesdeslvesenlesappliquant la rsolution des problmes quelles permettent de traiter, dans des situations empruntes lenvironnement social ou dautres domaines disciplinaires tudis lcole.Trois moyens de calcul sont aujourdhui la disposition des enfants : le calcul mental, le calcul pos, usuellement dsign par le terme de techniques opratoires , et le calcul instrument (utilisation dune calculatrice, dun ordinateur).2.1. Calcul mental : rsultats mmoriss, procdures automatises, calcul rchiAutomatisourchi,lecalculmentaldoitoccuperuneplaceprimordialelcolelmentaireetfairelobjetdune pratique quotidienne. Sa matrise est indispensable pour les besoins de la vie courante, que ce soit pour obtenir un rsultat exact ou pour en va-luer un ordre de grandeur. Elle est galement ncessaire une bonne comprhension de certaines notions mathmatiques (traitements relatifs la proportionnalit, comprhension du calcul sur les nombres relatifs ou sur les fractions au collge). Et surtout, la pratique rgulire du calcul mental rchi permet de familiariser les lves avec les nombres et dapprocher, en situation, certaines proprits des oprations. Il convient particulirement, dans ce domaine, de distinguer ce quil faut mmoriser ou automatiser (les tables, quelques doubles et moitis, le calcul sur les dizaines et les centaines entires, les complments la dizaine suprieure, etc.) et ce quil faut tre capable de reconstruire et qui relve du calcul rchi (ide de rendre plus simple un calcul, souvent en pro-cdant par tapes plus nombreuses, mais en sappuyant sur ce qui est connu). Le calcul rchi ne se limite pas toujours un calcul mental. Il peut sappuyer sur des traces crites qui, de plus, rendent compte des diffrentes tapes utilises, donc du raisonnement mis en uvre.Le recours des jeux numriques fournit un cadre propice la pratique du calcul mental.Pratiques de classeA. Calcul mental automatis par le procd La Martinire Cest la mthode de base. Elle a t mise au point au dbut du sicle par les instituteurs de lcole La Martinire, Lyon, et notamment par Monsieur Tabureau. Elle relve, avant la lettre, du comportementalisme de Wilson et de lenseignement programm de Skinner, ceci prs que chaque procdure a fait lobjet dune laboration constructionniste. Chaque enfant dispose dune ardoise. Lenseignant donne la consigne 13 + 28 . Les enfants mmorisent les donnes et calculent de tte. Au signal de lenseignant, ils crivent le rsultat sur leur ardoise. Au nouveau signal, ils prsentent leur rsultat en levant leur ardoise. Lenseignant peut alors contrler rapidement. Il doit imposer un rythme et un dcoupage du temps trs prcis : temps dcoute des donnes ; temps de calcul de tte ; temps de restitution (criture) du rsultat ; temps de validation (ardoise leve). Les consignes peuvent tre donnes par voie visuelle (prsentation dtiquettes), orale (lenseignant nonce les donnes). La mthode comportementaliste met en uvre le renforcement positif et la loi de rcence. a) Renforcement positif Les neuf diximes des lves de la classe doivent donner une rponse juste aux diffrents items. Cest lenseignant dajus-ter la difcult de la tche au niveau des enfants. La russite motive, encourage, exerce un effet bnque sur la mmori-sation. Son emploi quotidien permet dlever progressivement le niveau dexigence. b) Loi de rcence La confrontation immdiate de la rponse de lenfant, presque toujours juste, avec la rponse exacte renforce la conviction de lenfant. Il est dconseill dapporter en cours de sance des explications sur les faons de calculer pour ne pas casserle rythme. Le travail sur les procdures de calcul doit prendre place un autre moment. Enn, le plus souvent, mieux vaut ne pas crire les donnes au tableau, car lexercice consiste les mmoriser, effectuer le calcul mentalement, puis restituer le rsultat. On entrane tout la fois la mmoire court terme et la mmoire long terme. Cependant, lorsquon aborde une difcult nouvelle et plus grande, par exemple, au CM, laddition de deux nombres dcimaux, les donnes peuvent tre crites au tableau, les calculs seffectuant mentalement, le rsultat seul scrivant sur lardoise. Remarque : il est souhaitable de pratiquer cette forme de calcul quotidiennement, pendant 10 15 minutes, au dbut de chaque leon. ce propos, on trouvera dans ce guide pdagogique une ou plusieurs batteries ditems de calcul mental, en fonction du temps prconis pour traiter la leon.B. Le calcul rchiTout calcul pratiqu par les enfants est videmment mental. Cependant, nous distinguons dans ce qui suit le calcul mental pratiqu sans le recours lcrit du calcul rchi qui fait appel ce dernier. Le calcul rchi permet de construire les procdures mises en uvrepar le calcul mental. Ainsi les deux modes de calcul sont profondment lis. Nous proposons dentraner les enfants : disposerdunrpertoiredeformulesprteslemploi:lapratiqueducalculrchipermetdelesconstruire,etla pratique du calcul mental permet de les xer et de les employer spontanment ; savoirchoisirlaformedecalcullaplusadquate:cestlaconnaissancedeplusieursmthodesdecalculquilerend possible ; tre capable destimer un ordre de grandeur, de juger de la plausibilit dun rsultat ; ces comptences sont possibles que si lon est laise dans le monde des nombres. P001_024_9782011174802.indd 10 14/05/09 11:31:4711Les squences de travail crit revtent deux formes dans le livre de llve : des leons, proprement dites, de calcul rchi o les lves rencontrent diverses faons deffectuer un mme calcul. Cest loccasion pour eux de choisir celle qui leur sied le mieux, la plus rapide, la plus simple ; des batteries de calculs en ligne gurent en bas de page de certaines leons en alternance avec des exercices de rinves-tissement. Lenseignant pourra en concevoir dautres, partir de ces modles, condition de respecter les donnes de base numrique de chaque batterie. Par exemple : Produit dun nombre par 4 Diffrences de nombres proches2.2. Calcul posLe travail sur les techniques usuelles (ou calcul pos) doit faire lobjet dun recentrage. Aujourdhui, lapprentissage des techniques de calcul pos ne se justie plus par leur utilisation effective dans la socit, mais doit tre centr sur deux objectifs essentiels : leur matrise, dans des cas simples, permet aux lves de mieux apprcier lefcacit des instruments quils utilisent ; le travail qui vise construire, analyser et sapproprier ces techniques conduit utiliser et combiner de nombreuses proprits relatives au systme dcriture des nombres (numration dcimale de position) et aux oprations en jeu ; en retour, ce travail assure une meilleure matrise de ces proprits.Il est essentiel que, bien avant la mise en place des techniques crites usuelles, les lves soient invits produire des rsul-tats en laborant et en utilisant des procdures personnelles, mentalement ou en saidant dun crit.2.3. Calcul instrumentAu-del de son emploi dans le cadre de la rsolution de problmes, la pratique du calcul instrument (utilisation dune calculatrice ou initiation lusage dun tableur) doit donner lieu des activits spciques. En effet, lutilisation de machi-nes ncessite frquemment une organisation pralable des calculs effectuer, puis le contrle des rsultats obtenus par uncalculapproch.Demme,ilestutiledtudiercertainesfonctionnalitsdescalculatrices,commelersultatfourni par lusage de la touche en relation avec lopration division, lutilisation des touches mmoire en relation avec le calcul dune expression comportant des parenthses.Lespossibilitsdesmachinesetleurslimitesdutilisationpeuventtremisesenvidencedansloptiquedunusagerai-sonn.En calcul, la dmarche conduit donc utiliser tous les outils disponibles : translation sur la suite numrique, utilisation de la table de Pythagore de la multiplication, utilisation de la calculatrice, etc. Toutes ces techniques font lobjet de commen-taires dans les diffrents chapitres concerns de ce guide pdagogique.P001_024_9782011174802.indd 11 14/05/09 11:31:47123. GomtrieDans le planCONNAISSANCES ET COMPTENCES LEONS DU MANUELReconnatre que des droites sont parallles.22 Droites parallles (1)26 Atelier informatique (2) : tracer des droites parallles55Droites parallles (2)Utiliser les instruments (rgle et querre) pour tracer des droites parallles.Utiliser en situation le vocabulaire gomtrique : points aligns, droite, droites perpendiculaires, droites parallles, segment, milieu, angle, axe de symtrie, centre dun cercle, rayon, diamtre.10Droites perpendiculaires11 Atelier informatique (1) : tracerdes droites perpendiculairesReconnatre, dcrire, nommer et reproduire, tracer des gures gomtriques : carr, rectangle, losange, triangle rectangle.3Figures planes35Triangles51Proprits des quadrilatres53 Atelier informatique (3) : tracerdes quadrilatres75Programmes de construction Vrier la nature dune gure simple en utilisant la rgle gradue, lquerre, le compas. Dcrire une gure en vue de lidentier parmi dautres gures ou de la faire reproduire.Construire un cercle avec un compas. 58 Le cercleReconnatre quune gure possde un ou plusieurs axes de symtrie, par pliage ou laide du calque.17Axes de symtrie dune gureDans lespaceCONNAISSANCES ET COMPTENCES LEONS DU MANUELUtiliser en situation le vocabulaire : face, arte, sommet.44Solides (1) : jeu du portrait66Solides (2) : autour du cube72Solides (3) : patronsReconnatre, dcrire et nommer les solides droits : cube, pav, prisme.Reconnatre ou complter un patron de cube ou de pav.Problmes de reproduction, de constructionCONNAISSANCES ET COMPTENCES LEONS DU MANUELComplter une gure par symtrie axiale.42Complter une gure par symtrie64 Atelier informatique (4) : tracer le symtrique dune gure70 Identier et tracer le symtriquedune gureTracer une gure simple partir dun programme de construction ou en suivant des consignes.75Programmes de constructionNos choix pdagogiquesLesmathmatiquesneserduisentpasauxactivitsnumriques.Ellesconcernentaussilaconstructiondelespacequi implique une ducation de lil et de la main. Nous avons consacr une place importante la gomtrie, et particulire-ment la fonction structurante de la symtrie axiale utilise comme outil. Au cycle 3, nous passons de la reconnaissance des proprits des objets de manire perceptive leur tude en ayant recours aux instruments de trac et de mesure.Commepourlesactivitsnumriques,lesconceptsdlicats(segment,milieu,perpendiculaires,parallles,cercle...)sont abords explicitement. Les outils de la gomtrie (querre, rgle gradue...) sont construits par les enfants. Ce nest quune fois leur maniement compris et matris, que les instruments du commerce sont systmatiquement utiliss. Nous proposons de nombreuses activits de gomtrie en deux ou en trois dimensions en prenant pour support le pliage, les puzzles, les constructions de patrons.En ce qui concerne les reproductions et constructions des gures planes, nous avons donn une large place aux tracs main leve. Ils permettent aux enfants de se reprsenter mentalement les gures construire et destimer la place quelles occu-pent sur la feuille de papier. Elles permettent ensuite la construction prcise des gures en utilisant les instruments du dessin gomtrique.Enn les quatre Ateliers informatiques de gomtrie donnent la mesure de limportance que nous accordons ces outils puissants de cration et de reprsentation. Ils uvrent, nous semble-t-il, au maintien et la consolidation des concepts. Ils participent aussi au dveloppement de lautonomie des enfants et renforcent leur conance en soi.La structuration de lespace et les comptences gomtriques se construisent dans la dure, tout au long de lanne. Elles impli-quent une vritable activit de manipulations et de tracs. Cest pourquoi les leons de gomtrie sont gnralement prvues pour trois journes.P001_024_9782011174802.indd 12 29/06/10 14:59134. Grandeurs et mesuresCONNAISSANCES ET COMPTENCES LEONS DU MANUELConnatre et utiliser les units usuelles de mesure des dures, ainsi que les units du systme mtrique pour les longueurs, les masses et les contenances, et leurs relations.7Du mtre au millimtre27Du mtre au kilomtre37Le calendrier 47Les masses68Contenances83 Units de mesure et systme dcimalLire lheure sur une montre aiguilles ou une horloge.9Lire lheure23 Calcul de dures (1)33Calcul de dures (2)Calculer une dure partir de la donne de linstant initial et de linstant nal.Formules du primtre du carr et du rectangle. 86Primtre du carr et du rectangleAiresCONNAISSANCES ET COMPTENCES LEONS DU MANUELClasser et ranger des surfaces selon leur aire.52Les aires : comparaison56Mesure des aires60Aire et primtreMesurer ou estimer laire dune surface grce un pavage effectif laide dune surface de rfrence (daire une unit) ou grce lutilisation dun rseau quadrill.AnglesCONNAISSANCES ET COMPTENCES LEONS DU MANUELComparer les angles dune gure en utilisant un gabarit.48 Les anglesEstimer, et vrier en utilisant lquerre, quun angle est droit.Nos choix pdagogiquesComme le prconisent les programmes, lessentiel des activits concernant la partie Grandeurs et mesures porte sur la rsolution de problmes concrets , rels ou voqus, en utilisant des procds directs, des instruments de mesure, des estimations ou des informations donnes avec les units usuelles. Les activits scientiques et technologiques fournissent un champ dapplication privilgi pour ce domaine.Toute activit de mesurage implique lutilisation dinstruments, le choix appropri de lunit, une estimation du rsultat (ordre de grandeur).4.1. Longueurs, masses, volumes (contenances)Lesobjetsmesurssontdenatureetdedimensionsvaries,lechoixdelinstrumentappropriconstituantunobjectif important. En particulier, les lves sont entrans lire le rsultat dune mesure sur une graduation.Il est important que les lves disposent de rfrences pour certaines grandeurs : 1 m, cest un grand pas ; 1 kg, cest la masse dun litre deauLamesuredeslongueursconstitueuncontexteprivilgipourprendreconsciencedelinsufsancedesentiersetpour travailler sur les fractions et les nombres dcimaux.Quelques rfrences historiques sont fournies aux lves et donnent lieu des activits. Nous avons soulign limportance de la Rvolution franaise dans la mise en place dun systme bas sur des rfrences universelles (mtre dni, lorigine, en rfrence la mesure du mridien terrestre, kilogramme comme masse dun litre deau pure) et sur la volont de facili-ter les calculs (systme mtrique dcimal) (voir annexe Grandeurs et mesures la n de cet ouvrage).Les exercices de transformations de mesures par des changements dunits ne doivent pas occuper une place excessive, et les conversions entre units trop lointaines sont exclues.P001_024_9782011174802.indd 13 14/05/09 11:31:4814En revanche, les lves doivent avoir une bonne connaissance des relations entre les units les plus utilises : pour les longueurs (1 m = 100 cm ; 1 cm = 10 mm ; 1 dm = 10 cm ; 1 km = 1 000 m) ; pour les masses (1 kg = 1 000 g ; 1 t = 1 000 kg) ; pour les contenances (1 L = 100 cL ; 1 L = 1000 mL).Ces relations doivent tre mmorises et donc utilisables sans recours un tableau de conversion.4.2. DuresLes lves doivent tre capables de lire lheure sur une montre aiguilles ou sur une montre digitale et dvaluer des dures, ainsi que dutiliser un chronomtre. En liaison avec le travail sur les fractions, des relations sont explicites entre les expressions en fractions dheure et en minutes.Le recours ladroite gradue pour calculer une dure est systmatique.Les lves doivent retenir les relations : 1 jour = 24 h, 1 h = 60 min, 1 min = 60 s.4.3. AiresLa notion daire est mise en place, notamment par des activits de classement et rangement de surfaces qui prcdent les activits de mesurage. Le rsultat de la mesure dune aire exprim avec une unit du systme mtrique, ainsi que son calcul, sont reports au CM2.4.4. AnglesLes angles gomtriques sont des classes dquivalence de secteurs angulaires pour la relation disomtrie. Lquivalent de ce que sontleslongueurspourlessegments.Lessecteursangulairessontdespartiesnonbornesduplanet,cetitre,difcilement abordables par les enfants. La construction de la notion dangle ne fait que dbuter lcole lmentaire ; elle nest pas encore acheve la sortie du collge. Lesgabaritsdanglessontdessecteursangulairestronqusconservantloriginedusecteur.Cestpourquoi,ilspermettentde comparer ou de tracer les angles reprsents par une paire de demi-droites de mme origine. Lactivit prparatoire que nous proposons consiste dgager les notions dangles gaux , ou plus petit ou plus grand quun angle donn en comparant des gabarits dangles. Les activits de classement et de rangement dangles prcdent les activits de mesurage en degrs, qui relvent du collge. Les lves doivent, en particulier, prendre conscience du fait que les longueurs des cts nont aucune incidence sur le rsultat de la comparaison des angles. P001_024_9782011174802.indd 14 14/05/09 11:31:48155. Organisation et gestion de donnesCONNAISSANCES ET COMPTENCES LEONS DU MANUELConstruire un tableau ou un graphique.3Figures planes5Procdures personnelles (1)16Rechercher des donnes28Interprter un graphique 31Procdures personnelles (2)35 Triangles46Procdures personnelles (3)51Proprits des quadrilatres79Procdures personnelles (5)90Tracer un graphique91La proportionnalit en cuisineInterprter un tableau ou un graphique.Lire les coordonnes dun point ou placer un point dont on connat les coordonnes29Reprage sur un planPlacer un point dont on connat les coordonnes.Utiliser un tableau ou la rgle de trois dans des situations trs simples de proportionnalit.84 Approche de la proportionnalit91La proportionnalit en cuisineNos choix pdagogiques5.1. Une place centrale pour la rsolution de problmesDepuis le dbut de cette collection, nous avons toujours plac la rsolution de problmes au centre de toute acquisition mathmatique. Cest pour rsoudre des problmes que lenfant a besoin de construire des outils mathmatiques : techni-ques opratoires, instruments de mesure, etc. Ces outils seront ensuite rinvestis pour rsoudre des problmes plus com-plexes. Notre dmarche est en parfaite conformit avec les programmes ofciels qui, depuis plusieurs dizaines dannes, accordent une place centrale la rsolution des problmes. La rsolution de problmes constitue le critre principal de la matrise des connaissances dans tous les domaines des mathma-tiques, mais elle est galement le moyen den assurer une appropriation qui en garantit le sens. Ds les premiersapprentissages, lesmathmatiquesdoiventtreperues,etdoncvcuescommefournissantdesmoyens,desoutilspouranticiper,prvoiret dcider.Faire des mathmatiques, cest laborer de tels outils qui permettent de rsoudre de vritables problmes, puis chercher mieux connatre les outils labors et sentraner leur utilisation pour les rendre opratoires dans de nouveaux problmes. [...] travers ces activits, le dveloppement des capacits chercher, abstraire, raisonner, prouver, amorc au cycle 2, se poursuit. Pour cela, il est ncessaire de porter une attention particulire aux dmarches mises en uvre par les lves, leurs erreurs, leurs mthodes de travail et de les exploiter dans des moments de dbat.Les situations sur lesquelles portent les problmes sont diverses. Elles peuvent tre issues de la vie de la classe, de la vie courante, dautres domaines de connaissances (sciences exprimentales et technologie, gographie), de jeux, ou concerner des objets mathmatiques (gures, nombres).Elles sont prsentes sous des formes varies : partir dune exprience effective, partir dune description orale, partir dun support crit (texte, document, tableau, graphique, schma, gure).Des comptences spciques, dordre mthodologique, sont luvre dans les activits de rsolution de problmes, que ceux-ci soient situs dans le domaine numrique, dans le domaine gomtrique ou dans celui de la mesure. Ces comptences nont pas tre travailles pour elles-mmes, lobjectif essentiel tant toujours de rsoudre le problme propos. 5.2. Diffrents types de problmesPour rpondre toutes ces demandes, nous avons choisi de consacrer un nombre important de sances aux diffrents types de problmes. Des problmes destins permettre la construction de connaissances nouvelles. Il sagit des situations problmes proposes au dbut de chaque leon dans la rubrique Chercher . Ces problmes placent les enfants en situation de recherche, car ils ne possdent gnralement pas la technique, la formule leur permettant de rsoudre ces problmes de manire experte. Cest ce travail de recherche, individuellement et en petits groupes, qui va leur permettre datteindre lobjectif x par cette leon et dacqurir les capacits, les connaissances correspondantes. Ces problmes sont gnralement prcds dune rubrique Lire, dbattre destine sensibiliser, motiver lenfant ce type de situation en provoquant les discussions, des dbats sur le thme de la leon. Les questions ne seront pas obligatoirement rsolues imm-diatement, mais il sera possible dy revenir en n de leon ; on constatera alors que, maintenant, ils peuvent tre rsolus. Des problmes destins permettre lutilisation des acquis de la leon : dans des situations d'application immdiate. Ce sont les problmes qui terminent gnralement chaque leon dans la rubrique Sexercer, rsoudre . Ils sont rangs par ordre de difcult croissante ; dans des situations de rinvestissement qui reprennent, plusieurs jours aprs la leon, les apprentissages antrieurs per-mettant ainsi une consolidation de ces acquis.P001_024_9782011174802.indd 15 14/05/09 11:31:4816Desproblmespluscomplexesdemandantauxenfantsdemettreenuvredescapacitsvariesdanslesdomaines numriques, gomtriques ou de mesure. Ces problmes se retrouvent notamment dansles pages Mobilise tes connaissances o, partir de situations dactualit et de documents varis, les questions poses conduisent les enfants faire appel lensemble de leurs connaissances et de leurs aptitudes. Des problmes de recherche dont le but essentiel nest pas dacqurir une technique prcise, mais plutt de dvelopper des aptitudes de chercheurs face une situation pour laquelle les lves ne possdent pas de solution experte. Llve doit mettre en place une dmarche dinvestigation. Trop souvent, pour beaucoup dlves, rsoudre un problme consiste effectuer des calculs avec les nombres que lon trouve dans lnonc ou appliquer mcaniquement ce que lon vient dapprendre dans la leon ; vrier sa rponse signie alors tout simplement recompter ses calculs sans se demander sil existe dautres dmarches possibles.Ces dmarches dinvestigation demandent lenfant imagination et esprit dinitiative. Il doit formuler des hypothses, ttonner, dvelopper des dmonstrations, argumenter face ses camarades qui ont utilis des dmarches diffrentes, vrier les rponses.Ces problmes se retrouvent pour chaque priode dans les pages : Problmes : procdures personnelles . Quelques leons portent essentiellement sur la mthodologie et les outils utiliser lors de la rsolution de problmes : recherche de donnes, choix de lopration, rdaction des rponses, exploitation de tableaux, de graphiques, de cartes, de plans, etc. la n de chaque priode, lenseignant pourra trouver des problmes des deux derniers types dans les pages Atelier pro-blmes .5.3. Approche de la proportionnalit Ltude de la proportionnalit pour elle-mme relve du collge. lcole primaire, il sagit dtendre la reconnaissance de problmes qui relvent du domaine multiplicatif. Ces problmes seront traits en sappuyant sur des raisonnements qui peuvent tre labors et noncs par les lves dans le contexte de la situation. P001_024_9782011174802.indd 16 14/05/09 11:31:4817Mise en uvre des leonsPropositions de rpartitions par priode et par semainePriode 1SemaineNombresCalculGomtrieMesuresProblmesDu .....Au .....2Les nombres jusqu 9 9991Situations additives ou soustractivesDu .....Au .....4La soustraction3Figures planes5Procdures Personnelles (1)Du .....Au .....6Les nombres jusqu 999 9997Du mtreau millimtreDu .....Au .....8Utiliser la proprit de la diffrence10Droites perpendiculaires9Lire lheureDu .....Au .....12La soustraction pose11Atelier informatique (1)13Situations multiplicativesDu .....Au .....14 et 15Multiplier par 10, 100Multiplier par 20, 3016Rechercher des donnesDu .....Au .....18Ordre de grandeur17Axes de symtrie dune gureDu .....Au .....20Jongler avec les nombres 100 et 1 00019La multiplication en ligne21Mobilise tes connaissances (1)P001_024_9782011174802.indd 17 14/05/09 11:31:4818Priode 2SemaineNombresCalculGomtrieMesuresProblmesDu .....Au .....24Multiples de 2, 5 et 1022Droites parallles (1)23Calcul de dures (1)Du .....Au .....25La multiplication pose (1)26Atelier informatique (2)27Du mtre au kilomtreDu .....Au .....30Les multiples dun nombre29Reprage sur un plan28Interprter un graphiqueDu .....Au .....32La multiplication pose (2)33Calcul de dures (2)31Procdures personnelles (2)Du .....Au .....34La classe des millions35TrianglesDu .....Au .....37Le calendrier36 et 38Situations de division (1) et (2)Du .....Au .....40Les grands nombresen gographie39Nombres et calculatrice41Mobilise tes connaissances (2)P001_024_9782011174802.indd 18 14/05/09 11:31:4819Priode 3SemaineNombresCalculGomtrieMesuresProblmesDu .....Au .....43La division : recherche du quotient et du reste par encadrement42Complter une gure par symtrieDu .....Au .....45Diviser un nombre par un nombre dun chiffre44Solides (1) :Jeu du portrait46Procdures personnelles (3)Du .....Au .....48Les angles47Les massesDu .....Au .....50La division pose (1)51Proprits des quadrilatres49Aide la rsolutionDu .....Au .....53Atelier informatique (3)52Les aires : comparaisonDu .....Au .....54Demi, tiers, quart55Droites parallles (2)Du .....Au .....56Mesure des aires57Mobilise tes connaissances (3)P001_024_9782011174802.indd 19 14/05/09 11:31:4820Priode 4SemaineNombresCalculGomtrieMesuresProblmesDu .....Au .....59Fractions (1)58Le cercleDu .....Au .....61Fractions (2)60Aire et primtreDu .....Au .....63Fractions (3)62Choisir lopration, les diffrentes tapes dune solutionDu .....Au .....64Atelier informatique (4)65Procdures personnelles (4)Du .....Au .....67Fractions dcimales (1)66Solides (2) : Autour du cube68ContenancesDu .....Au .....69Fractions dcimales (2)70Identi er et tracer le symtrique dune gure71Fractions et mesuresDu .....Au .....72Solides (3) : patrons73Mobilise tes connaissances (4)P001_024_9782011174802.indd 20 14/05/09 11:31:4821Priode 5SemaineNombresCalculGomtrieMesuresProblmesDu .....Au .....74Nombres dcimaux (1)75Programmes de constructionDu .....Au .....76Nombres dcimaux (2)77 et 78Additionner et soustraire des nombres dcimauxDu .....Au .....80Moiti de nombres impairs83Units de mesure et systme dcimal79Procdures personnelles (5)Du .....Au .....81Multiplier un nombre dcimal par 10, 100, 1 00084Approche de la proportionnalitDu .....Au .....82La multiplication pose (3)86Primtre du carr et du rectangle87Formuler la questionDu .....Au .....85Organiser des calculs88Calculatrice et dcimaux90Tracer un graphique91La proportionnalit en cuisineDu .....Au .....89La division pose (2)92Mobilise tes connaissances (5)P001_024_9782011174802.indd 21 14/05/09 11:31:48Cesdeuxpagessontconuesdansunesprittoutfaitdif-frentdeceluidesautresleonsdumanuel.Nousypropo-sons une suite de petits problmes prsents dune manire attrayantequi,nouslesprons,permettrontauxenfants daborderagrablementlannescolaireengnral,etles mathmatiques en particulier.Il ne sagit ni de bilan, ni dapprentissage mais dune remise enroutequipermetlenseignantdobserverseslves: leurattitude,leurcomportementfaceunesituation problme.Attendent-ilspassivementunordre,uneaide? Savent-ilsprendredesinitiatives,lireseulsunnonc,se mettreensituationderecherche,collaboreravecleurs camarades ? etc.En dbut danne, ces informations sont aussi importantes pour lenseignant que la connaissance du niveau scolaire quil serait hasardeux de vouloir valuer les tout premiers jours de classe.Lesactivitsproposesdanscesdeuxpagespeuventtre rparties sur deux ou trois journes, mais chaque enseignant peut les adapter suivant ses besoins, les intrts et les possi-bilits de ses lves. Tout au long du travail et au moment de la correction, len-seignantadopteuneattitudersolumentpositive,encou-rageantlesefforts,relevantlesrussites.Enaucuncas,en ce dbut danne scolaire, il ne met les enfants en situation dchec,maisilapportelaidencessaireauxlvesouaux groupes qui semblent en difcult.Objectifs en terme de comptences Cesproblmesnevisentpaslacquisitiondeconnaissan-cesnouvellesmaislamiseenplaceduncomportementde recherche, la consolidation des acquis de lanne prcdente et le rinvestissement des comptences souvent peu entrete-nues pendant les vacances : lire, ordonner, calculer, argumen-ter, rdiger Leur rsolution est loccasion de : savoir lire et interprter une situation ; chercher les indices utiles pour rpondre aux questions ; rinvestir les acquis sur la numration, les techniques opra-toires usuelles, les mesures et la gomtrie.Mise en uvre des activitsLes activits proposes dans ces deux pages se prsentent sous la forme de petits problmes qui se posent aux participants duntournoisportifauxquelslesenfantsdeCM1peuvent sidentier.Ellessinscriventdanslespritdesprogrammes: Larsolutiondeproblmesconstituelecritreprincipaldela matrise des connaissances dans tous les domaines mathmatiques Cest lactivit mme de rsolution de problmes qui est privil-gie dans le but de provoquer chez les lves un comportement de recherche et des comptences dordre mthodologique... .Observations prliminairesAvant de commencer le travail proprement dit, lenseignant demande aux enfants dobserver leur manuel ds la premire page. Que trouve-t-on sur les pages 2 et 3 ? Quest-ce quun Mode demploi ? Qui en a dj utilis un et quelle occasion ? Quelles informations celui du manuel vous donne-t-il ? Combien dactivits diffrentes sont proposes dans une leon ? Toutes les pages sont elles sur le mme modle ? Quest-ce quun sommaire ? Quelle est son utilit ? Comment savoir de quoi traite la leon de la page 72 sans chercher cette page ? Que trouve-t-on la page 134 ? Vriez-le ensuite. quelle page gure la leon Lire lheure ? Lenseignant invite les enfants feuilleter le manuel et donner leur point de vue, poser les questions relatives aux thmes qui les intressent. Certaines particularits (pages deprsentation de priode, coins du chercheur, Mobilise tes connaissan-ces...)seront commentes ou laisses dcouvrir.(manuel de llve p. 2-3) Dcouverte du manuel(manuel de llve p. 6-7) Bienvenue au CM122P001_024_9782011174802.indd 22 14/05/09 11:31:4823 Activits Lenseignantutiliselensemblelesproblmesdecettepage comme il lentend en tenant compte de ses contraintes et de sonprojetpdagogique.Cependant,toujoursdanslesprit desnouveaux programmes, nous proposons deux dmarches qui favorisent les changes entre enfants, changes dides, darguments de solutions. Il choisit celle qui convient le mieux aux enfants : le travail en petits groupes, dpart individuel, ou le rallye mathmatique.A Le travail en petits groupes, dpart individuelo Matriel Une grande feuille de format A3 pour la mise en commun des travaux individuels, par groupe de trois ou quatre enfants.Cetteformedetravailfavorisedabordlarechercheindivi-duelle,puislaconfrontationenpetitsgroupesetennla mise en commun.Lesenfantsouvrentleurmanuelpages6et7etobservent tout le document. Ils essaient de comprendre les situations et de deviner ce quil convient de faire.Aprs quelques minutes dobservation, lenseignant les inter-roge : Quelles scnes sont reprsentes sur ces pages ? Quel travail vous demande-t-on ? O gurent les informations qui vont permettre de rpondre aux questions ? Lesinformationsncessairespourrpondreauxquestions setrouventgnralementsurledessin.Lepremiertravail consiste rechercher les donnes utiles. Si certains enfants prouvent des difcults de lecture aprs linactivitscolairedesvacances,lenseignantdemande quelques bons lecteurs de lire les questions haute voix. Puis, il les lit son tour, et procde une interrogation rapide pour sassurer que tous ont compris ce quil convient de faire.Chaque enfant essaie ensuite de rpondre sur son cahier des-sais aux questions poses. En cas de blocage sur une question, lenseignant leur conseille de passer la question suivante. Pendant que les enfants travaillent individuellement, il sas-surequechacuneffectuecorrectementsatche.Ilconseille ceux qui prouvent des difcults ou qui ont mal compris les consignes.Aprsenvironunquartdheuredetravailpersonnel,il regroupelesenfantspartroisouquatreetdistribueune feuille chaque groupe. Il leur demande de mettre en com-munleursrsultats,decomparerlesrponseset,encasde divergence,dessayerdedcouvrirlabonnesolution.Aprs accord du groupe, les enfants rdigent la rponse dnitive sur la feuille collective en veillant la prsentation.Lenseignantprcisequechaquemembredugroupedoit pouvoirjustierleraisonnementquileurapermisdetrou-ver la rponse. Pendant ce travail, il sassure que les membres du groupe cooprent et quils participent effectivement la confrontationetlardaction.Ilintervient,sincessaire, pour aider les groupes en difcult.Quand la majorit des groupes a rdig les rponses, lensei-gnant procde la mise en commun. Pour chaque problme, il dsigne un rapporteur qui vient prsenter les rsultats de son groupe, expliquer le raisonnement et les calculs utiliss. Unrapporteurdechacundesautresgroupesvientensuite conrmer ce rsultat ou exposer sa propre solution. Lensei-gnant nintervient quen cas dchec gnral ou de divergence non rsolue. Il peut apporter aussi une dmarche diffrente de celles prsentes par les enfants.B Le rallye mathmatiqueCettemaniredeprocdervalorisedabordletravailen groupe, lesprit dorganisation et le partage des responsabi-lits. En ce dbut danne, on ne choisit cette formule que si les lves ont un minimum dexprience du travail en groupe. Lenseignant rpartit les enfants en deux ou trois quipes de 8 12. Dans la mesure o il connat le niveau de ses lves, il vite de placer les meilleurs dans le mme groupe.Il leur donne ensuite ces consignes : Chaque quipe doit rpondre aux questions poses. Organisez-vous pour vous partager le travail an que tous les problmes soient rsolus en 45 minutes. Vouspouveztravaillerdabordindividuellementouenpetits groupes,vousaider,discuterentrevouspourlechoixdessolu-tions. Pour terminer vous devez vous mettre daccord sur ces solu-tions et donner une rponse unique pour chaque problme. Lesenfantssorganisentlibrement.Lerglementhabituel desrallyesprcisequelenseignantnedoitpasintervenir. Lesconseilsdutype:Tudevraisrelire.Es-tubiensrdu rsultat ? Vous devriez couter un tel sont, en principe, exclus. Cet aspect de totale prise en charge par les lves des problmes rsoudre est une des caractristiques des rallyes.Unrallyehabituelest,avanttout,unecomptitionentre classes,lespritdecomptitiontantdestinstimulerles enfants. Ici, il sagit surtout de les inciter sorganiser, recher-cher ensemble et, bien sr, mobiliser leurs comptences dans le domaine mathmatique. Donc, si un groupe semble dans lincapacit de sorganiser et de travailler efcacement, len-seignantdonnequelquesconseils.Ilestindispensable,ce moment de lanne, que chacun prouve de la satisfaction se rendre utile et efcace.Lenseignant pense rappeler rgulirement le temps encore disponible et les tches accomplir.Quandletempsimpartiestterminilrelvelesfeuilles rponses, puis demande un lve de rpondre la premire question et dexpliquer la mthode de son groupe pour y par-venir.Unmembredugroupecomplteventuellementses explications.Lesautresgroupescommuniquentaussileurs rponses et leurs explications ou valident les prcdentes. Lenseignantnintervientquesiuneerreurnapast rfute par le groupe ou si les explications ne semblent pas clairespourtoutlemonde.Delammemanire,laclasse apporte les rponses aux autres problmes et les commente.Sil souhaite rester dans lesprit rallye , lenseignant note ensuite les rponses crites de chaque groupe en attribuant, par exemple, deux points pour chaque problme si le raison-nement est correct et deux points si les calculs le sont aussi. Il peut ajouter un point si la prsentation orale est trs claire. Letotaldespointspermetdedsignerlquipevictorieuse, mais il est recommand de ne pas accorder trop dimportance ce classement an de ne pas mettre dautres quipes en situation dchec. Certainesquestionsfontappeldescomptencesmulti ples: conversions de minutes en secondes, de grammes et kilogram-mes, de mtres en centimtres, multiplications poses, soustrac-tions avec retenue... Si certains groupes semblent en panne , lenseignant apporte une explication rapide. Rponses aux questions 1re preuve : Courir1Lalongueurdutourduterraindesportmesure350m; (140 + 140 + 70 = 350).2 Chaque quipe parcourt 1 050 m ; (350 3 = 1 050). 3 Le terrain a la forme dun triangle isocle.4 Lquipe dIngrid na pas russi lpreuve, car elle a mis plus de 3 min (ou 180 s) ; (250 s > 180 s).2e preuve : Lancer5 Le mur contient 45 briques (9 5).6 Mathis a fait tomber 15 briques (45 30 = 15).Cla a fait tomber 15 briques (45 30 = 15).Mickael a fait tomber 5 briques (45 40 = 5).7Ordrecroissantdesrsultats:5>15.Mickaelaremport lpreuve.P001_024_9782011174802.indd 23 14/05/09 11:31:48243e preuve : Sauter8LquipedAliarussiuntotalde1210cm(340+305+ 280+285=1210).Scoresrangsdupluspetitauplus grand : 280 < 285 < 305 < 340.9LquipedAliadoncrussilpreuve,carlasommedes quatre sauts est suprieure 10 m. 1 200 cm = 12 m 10 cm > 10 m.4e preuve : Porter10LesquipiersdeThoonttransport63dictionnaires (9 7).11 Les cartons transports psent 126 kg (2 63).Lquipearussilpreuve,carelleatransportplusde 100 kg de livres. 5e preuve : Construire12 Cest le patron qui permet de construire la pyramide : la base est carre, les faces latrales sont des triangles.13Lepatronpermetdeconstruireunparalllpipde rectangle ou pav.Le patron permet de construire un cube.Lepatronestincomplet:ilnepermetpasdeconstruire un solide. ProlongementsSi le temps le permet et si lenseignant le juge utile, lis-sue de la prsentation et de la discussion, il demande aux enfantsdeproposerdessituationssemblables,vcueset susceptiblesdedonnerlieudepetitsproblmes.Illeur laisse un moment de rexion, puis invite quelques volon-tairesexposerlessituationsauxquellesilsontpens.On note au tableau les plus intressantes, puis on engage la discussion collective :Cettesituationest-elleunproblme?Peut-ellele devenir ? A-t-on toutes les donnes ncessaires pour rpondre aux questions ? Laclassepeutainsiconstituerunebanquedeproblmes personnaliss.P001_024_9782011174802.indd 24 14/05/09 11:31:48Observations prliminairesLe livre est divis en cinq Priodes. Chacune delles dbute par une page de prsentation des notions tudies durant lapriodeetsetermineparunevaluationdesacquis (Fais le point), une Banque dexercices et un Atelier pro-blmes.Aupremierabord,lenseignantpourraitconsidrerces pagesdeprsentationcommedesillustrationsgratui-tes.Nanmoins,ellesconstituentunmoyenplusludique quune simple table des matires pour sensibiliser les l-ves aux notions quils vont aborder. En effet, chacune de ces notions est illustre par un ou plusieurs dtails du des-sin quil sagit de retrouver. Recherche des notionsLespages8et9introduisentlaPriode1.Lenseignant demandeauxlvesdobserverledessin,puisdecommu-niquerleursdcouverteslaclasse.Ilestprobablequeles dtailscomiquesretiendrontdabordleurattentionavantla descrip tion de la situation gnrale ; cest intentionnel : mieux vaut entamer un travail dans la gaiet quavec apprhension.Lenseignant lit ensuite les consignes. CelleconsistantretrouverMatho,lamascotte,estpure-mentludique.Cestunentranementautravailvisuelde recherchedinformationssurundessincomplexe,quifacili-terapar la suite lexploitation dautres documents. La recherche des dtails du dessin correspondant aux notions tudier peut : soit tre dirige collectivement par lenseignant qui oriente les recherches par des questions prcises : Queldtaildudessincorrespondunesituation additive ? Lequel permet dobserver des surfaces planes ? soitcommencerparunmomentderecherchepersonnelle ou en petits groupes. Chaqueenfantrecherchealorslesdtailsdudessincorres-pondant aux notions qui gurent dans le tableau du bas de la page. La mise en commun des dcouvertes donne lieu un dbat trs enrichissant pour les enfants mais aussi pour len-seignant,carelleluipermetdereprerlesreprsentations des enfants et leur interprtation des termes employs dans les titres des leons.Le dessin ci-dessous propose quelques exemples de rponses possibles.Lesenfantsentrouverontdautresquelaclasse accepte si leur auteur est capable de les justier.Sicettepageestabordeettraitecommeuneactivitde rechercheludique,ellepeutsusciterdesdiscussionsintres-santes et contribuer la motivation des enfants.(manuel de llve p. 8-9) Prsentation de la Priode 1 25Priode 1Utiliser des unitsde longueur.Identier des gures planes.Rsoudre des situationsmultiplicatives.Lire lheure.Calculer un produit.Comparer des nombresde 0 999 999.Vrier que des droites sont perpendiculaires.P025_062_9782011174802.indd 25 14/05/09 11:33:34Observations prliminairesLaplupartdeslvesetcertainsenseignantspensent encore qu lcole primaire, lessentiel en mathmatique vise la matrise des quatre oprations : addition, soustrac-tion,multiplicationetdivision.Cescomptences,certes utiles, ne sont pas primordiales, puisque les enfants sont entrans au calcul rchi et que les calculatrices permet-tent deffectuer les oprations complexes. Le calcul instru-ment libre du temps qui leur permet de se consacrer la rexion. Les tapes primordiales dans la rsolution des problmes sont la comprhension de la situation, lanalyse des donnes et enn le choix des oprations. Savoirreconnatredessituationsadditivesousoustracti-vesestlobjectifdecetteleon.Ilnestpasquestionde proposerunproblmetypedontlesenfantsapplique-raientlamthodedersolutiondefaonsystmatique. Au cours de la mise en commun, on sattachera davantage au raisonnement et la dmarche quau contrle du seul rsultat numrique. Activits collectives Lire, dbattreLesenfantslisentsilencieusementlaphrasequiintroduitle dbatetledialogueentrelestroispersonnages.Cetteacti-vit, laquelle lenseignant consacre quelques minutes, intro-duit la squence qui va suivre. Lenseignant invite les lves ragir aux afrmations de chacun des personnages.La discussion permet dattirer leur attention sur certains mots trompeurs : de plus nimplique pas systmatiquement une situationadditive,demoinsninduitpastoujoursune situationsoustractive.Limportanceducontexteestprimor-diale. Andevriersilesenfantsontcomprislesensdeces expressionsselonlecontextemathmatique,lenseignant leur demande dinventer un nonc avec ces mots trompeurs, par exemple : Ma sur de 20 ans a 9 ans de plus que moi. Quel est mon ge ? Si la classe ne parvient pas un accord, la rponse au dbat peut rester en suspens et sera donne dans le point C de la rubrique Chercher. ChercherA Lenseignant demande un volontaire de lire haute voix lnonc et la premire question du problme. Pourpasserltapeduchoixdelopration,lenseignant rpartitlesenfantsengroupesde4ou5,quidsignent chacun un rapporteur. Lors de la mise en commun des recher-ches, lquipe qui pense avoir trouv la rponse dlgue son rapporteur.Celui-ciexpliquesadmarcheauxautresqui validentoucritiquentlarponse.Silerapporteurcommet une erreur, il est remplac par celui dune autre quipe. Les rapporteurs suivants ne viennent au tableau que sils ont une dmarche diffrente proposer.Pouraiderleslvesdanslarecherchedelopration,len-seignantleurproposedesimplierlesdonnes.Ilscom-prendront plus facilement si on leur propose de rsoudre un problme avec de petits nombres plutt quavec des grands. De la sorte, le sens de lopration est plus facile dcouvrir.Lorsque les enfants ont choisi les oprations, ils effectuent les calculs individuellement et rdigent les rponses.Sijeveuxconnatrelenombredevoituresgares,jajoute les148vhiculesdjgarsaux39quiviennentdarriver. Loprationquidonnelenombretotaldevoituresgares est une addition : 148 + 39 = 187. Dans ce parking, 187 voitures sont maintenant gares.B Un autre volontaire lit la deuxime question du problme. Lenseignantreproduitleschmaproposautableau,les enfants le tracent sur leur cahier. Aprs un temps de rexion, leslvessontinvitslexpliquer,guidsparlenseignant qui, si ncessaire, pose quelques questions : Que reprsente le nombre que lon va crire dans le cadre vert ? Quereprsenteceluiquelonvacriredanslecadre bleu ? Quelle opration va permettre de le trouver ? Comme prcdemment, le travail peut se faire soit en groupe, soitpardeux,soitindividuellement.Lenfantoulegroupe qui pense connatre la solution vient exposer sa solution qui est critique par le reste de la classe.Pour trouver le nombre de places restantes, il faut utiliser le calcul intermdiaire (148 + 39) crit dans le cadre vert.La mise en commun des rponses rvle que lopration qui permet de trouver le nombre de places libres est la soustrac-tion : 250 187 = 63.Il reste 63 places libres dans le parking.C Aprs lecture de la question, les lves travaillent indivi-duellement. Cette question permet dapporter ou de vrier la rponse au dbat : Quel est le plus grand parking ? Pour aider les lves en difcult, lenseignant peut schma-tiser la situation au tableau.Ilsavrequesileparkingdelapostepeutaccueillir 50 vhicules de moins que celui du Palais cest quil est plus petitquecedernier.Rciproquement,leparkingduPalais estdoncplusgrand.Loprationquipermetdetrouverle nombre de places de ce parking est une addition (250 + 50). Le parking du Palais contient 300 places.(manuel de llve p. 10-11)Comptence : Reconnatre une situation additive ou soustractive simple.PROBLMES Situations additives ou soustractives 1Cal culmentalCalculer de petites sommes et diffrences.Lenseignant dit : 8 + 5 . Llve crit 13. Lenseignant dit : 9 3 . Llve crit : 6.Premire squence : 9 + 3 ; 5 + 7 ; 4 + 6 ; 5 + 8 ; 9 + 4 ; 8 6 ; 9 4 ; 7 3 ; 12 6 ; 10 3.Deuxime squence : 8 + 4 ; 2 + 9 ; 8 6 ; 9 2 ; 4 + 5 ; 7 + 8 ; 8 3 ; 7 + 7 ; 9 + 9 ; 10 7.26P025_062_9782011174802.indd 26 14/05/09 11:33:3527 Activits individuelles Sexercer, rsoudre1,2,3et4Cesproblmessontdessituationsadditiveset soustractivessimples.Lesactivitscomplmentairespropo-ses aideront les enfants en difcult les rsoudre.1 342 102 = 240. 240 passagers descendent Paris2 26 + 23 + 4 = 53. 53 passagers sont monts dans le car.3 187 155 = 32. Leur diffrence de taille est 32 cm.4 18 + 49 + 8 = 75. Le glacier a vendu 75 cornets.5 Cette situation soustractive simple est indique par la ques-tion:Quelledistanceluireste-t-ilencoreparcourir?425 260 = 165. Il lui reste 165 km parcourir.6 Dans ce problme, il faut trouver la partie manquante du total,cest--direleprixdutapis.Cettersolutionestplus dlicate,carleslvesdoiventeffectueruncalculinterm-diaire : 256 + 363 + 199 = 818.Leprixdutapissobtienteneffectuantunesoustraction: 915 818 = 97.Le prix du tapis est 97 .7Pouraiderlesenfantsrsoudreceproblmecomplexe (calcul intermdiaire, grands nombres), lenseignant fera un schmaautableau,oudemanderaauxlvesdenraliser un. Lexpression camp de base sera explique.a.5680+880=6560.Lejoursuivantilssont6560m daltitude.b. 8 848 6 560 = 2 288. Ils se situent 2 288 m du sommet.Banque dexercices : nos 1 et 2 p. 44 du manuel de llve.1

Leffectif du CM1 est 23 lves. 73 (24 + 26) = 73 50 = 23.2

Clia possde 9 . 17 8 = 9.ProlongementsLa classe est partage en deux groupes : un premier groupe effectue lactivit complmentaire sur les problmes.Un deuxime groupe se consacre la remdiation des tech-niques opratoires de la soustraction.1. Activit complmentaire sur les problmes Pour ce groupe, nous choisissons de travailler sur des situa-tions additives ou soustractives habituelles :situation initiale transformation situation naleNouscommenonsavecdesproblmessimplesquantau choixdesnombres,pournirpardesproblmesdontles nombreslevsserontunobstaclesurmonterpourla comprhension des noncs. Problmes simples1. Dans un car, il y a 52 voyageurs, 12 personnes en descen-dent. Combien de passagers compte alors ce car ?2. Dans un car, il y a 64 voyageurs ; aprs deux arrts, ils ne sont plus que 36. Combien de voyageurs sont descendus ?3.13voyageursdescendentduncar.Ilenreste45lint-rieur. Combien de voyageurs transportait ce car ?Lenseignant crit ces problmes au tableau.Ce travail peut se faire par deux ou en quipe. Les questions sont dbattues et valides par lensemble des groupes.Ensuite,pourchaqueproblme,chaquequipepropose sa solution et vient la prsenter au tableau sous forme de schma. Les enfants doivent choisir la schmatisation la plus parlanteetlaplussimple.Surleschma,lesenfantspla-cent les nombres et un point dinterrogation qui reprsente laquestion.Lesnombreschoisisnefontpasobstacle lacomprhensionetlescalculssimplesseffectuent mentalement. Les voyageursceux qui ceux qui qui sont dj en descendent restentdans le car Problmeplusdifcilecombinantdeuxoprationsdans la transformationDans un car, il y a 52 voyageurs ; 12 personnes en descendent et 15 personnes y montent. Combien de passagers compte main-tenant ce car ? Problmedanslequellesgrandsnombresperturbentla comprhensionLecollgeMarcelPagnolcomptait1015lvesaumoisde juin.Enseptembre,ilencompte977.Combiendlvesont quitt ce collge ?2. Activit de remdiation portant sur les techniques opratoires de la soustractionLenseignant regroupe les enfants en difcult sur la tech-nique opratoire de la soustraction et leur propose des acti-vits de soutien.Ces activits se droulent en trois temps.Lenseignantsassurequelesdcompositionsadditives des nombres compris entre 10 et 20 sont connues en faisant complter des additions trou du type 8 + .... = 15. Lesenfantsutilisentlatechniquedelasoustractionen ligneavecdesretraitssuccessifs(avecousansaidedela droite numrique). Lesenfantsutilisentlatechniquedelasoustractionen colonne.Calcul rflchiSommes de deux nombres (1)Les enfants observent lexemple que lenseignant fait com-menter collectivement. Dans le cas prsent, on ajoute dabord le chiffre des dizaines du second terme, puis celui des units.54 + 13 = 54 + 10 + 3 = 64 + 3 = 6745 + 24 = 45 + 20 + 4 = 65 + 4 = 6967 + 31 = 67 + 30 + 1 = 97 + 1 = 98146 + 42 = 146 + 40 + 2 = 186 + 2 = 188235 + 24 = 235 + 20 + 4 = 255 + 4 = 259P025_062_9782011174802.indd 27 14/05/09 11:33:35Observations prliminairesLes leons 2, 6, 34 et 40 sont consacres ltude de la num-ration. La premire consiste en une sance de rvision des entiers qui vise mettre en uvre les acquis de la premire anneducycle3.Ellesadressetoutparticulirementaux enfants qui ont besoin de consolider ces bases. La leon 6 tend la numration aux entiers de six chiffres. Les leons34et40permettentdapprofondirletravailsurles grands nombres et de faire prendre conscience aux enfants du rle des mathmatiques dans dautres domaines.Notre numration dcimale est une numration de posi-tionbasedix.Lanumrationaveclescartesproposes dans cette leon est base dix mais nest pas une num-ration dans laquelle la position des cartes intervient. Il est beaucoup plus facile et rapide de lire un nombre crit en numration de position quavec une liste de cartes. Len-seignant doit attirer lattention des enfants sur cette dif-frence importante. Elle conditionne la comprhension de la place du chiffre dans lcriture du nombre. Activits collectives Lire, dbattreLesenfantsobserventlesjeuxdecartesdeClment,Anas, Sophie et Teddy. Ils lisent les bulles qui illustrent la situation et contiennent les questions. Aprs quelques minutes de rexion individuelle, lenseignant les invite communiquer leurs rponses et les justier. Pourquoites-voussrsquelacartetoilevaut1000 points?Clment,Anas,etSophieontchacunplusde 2000pointsetleursjeuxrespectifscomprennentdeux cartestoile.Delammemanire,ilsdcouvrentquela Lunevaut100pointsetleBateau10.Ilestalorsfacilede trouver le nombre de points de Teddy : 3 cartes toile, cest 3 000 points, etc. Lenseignantmontreunjeucomprenant1cartetoile,5 cartesLune.Lesenfantscriventlenombredepoints surleurcahierdessais.Sincessaire,ilrptequelquesfois cet entranement. ChercherLesenfantslisentindividuellementchacunedesquestions. Sils le souhaitent, ils laborent les rponses en petits groupes. Lorsdelamiseencommun,lenseignantintervientpour redresserleserreursetinsistesurlespointsquiontsoulev des difcults.A Lesenfantsnprouventgnralementaucunedifcult pourtrouverlenombredepointsleplusgrand.Cestcelui de Teddy dont le jeu contient 3 cartes toile (3 000) au lieu de 2 cartes (2 000) pour les autres. tour de rle, quelques volontaires expliquent comment ordonner les nombres de la tranche des deux mille en saidant des cartes : 2 040 est le plus petit puisque le jeu de Sophie ne contient pas de carte Lune (100)etainsidesuiteencomparantlescentaines,puisles dizaines : 2 040 ; 2 130, 2 220.Lenseignant attire lattention des enfants. Pour trouver le nom-bre de points le plus grand, il faut reprer les cartes qui reprsen-tent la plus grande quantit et les compter pour chaque enfant. Quand le nombre est crit en chiffres, il suft de comparer les chiffrespartirdelagauche.Cestplusrapideetplusfacile.lissuedecettephasedinvestigation,laclasserdigeen commun la rgle qui permet de comparer les nombres : le plus grand est celui qui a le plus grand nombre de chiffres. Sils ont le mme nombre de chiffres, on compare les chiffres en partant de la gauche : dabord les milliers, puis les centaines, puis les dizainesLenseignant fait remarquer le zro intermdiaire du nombre 2 040. Ce zro reprsente les centaines, il indique que le jeu de Sophie contient zro carte de 100.B RponsesNombre de points dAnas : deux mille deux cent vingt ; Nombre de points de Teddy : trois mille cent vingt.C Andevrierquetouslesenfantsontcompris,lensei-gnantleurdemandedejustierladcompositiondunombre 3210laidedescartes.Ilsdoiventposersurleurbureau 3 cartes toile qui valent 3 1 000 ou 3 000 points, etc.Ladcompositiondunombre2220permetdinsistersurla valeurdechacundeschiffresquilecomposentenfonction de sa position, valeur que les enfants retrouvent facilement laide des cartes : de gauche droite en premire position, 2milliers,endeuximeposition2centaines,etennen troisime position 2 dizaines.D Siaucunenfantnelepropose,toujourslaidedes cartes,lenseignantfaitremarquerquelesnombresquiont lemmechiffredescentainessontceuxquicontiennent lemmenombredecartesLune;cestlecaspour2130et 3 120. Procder de mme pour les dizaines : 3 120 et 2 220.Lcrituredesnombresdansuntableaudenumration identique celui du Mmo constitue une aide pour visualiser rapidement les rponses.Rponses : 2 130 et 3 120 ont le mme chiffre des centaines3 120 et 2 220 ont le mme chiffre des dizaines.E Lenseignant montre une carte toile (1 000) et propose de lchanger avec des cartes Lune (100). Combien de cartes Lune devrez-vous me donner ? (manuel de llve p. 12-13)COMPTENCE : Consolider la connaissance des nombres entiers naturels.Les nombres jusqu 9 9992Cal culmentalDicte de nombres.Lenseignant dit : cent quatre-vingt-deux . Llve crit 182.Premire squence : huit cent soixante-dix-huit ; mille six cents ; deux mille trois cents ; neuf cent quarante ; cinq mille cinquante ; trois mille quatre ; neuf mille quatre-vingt-seize ; trois mille quatre.Deuxime squence : six mille ; cinq cents ; trois mille trois cents ; mille quarante ; cinq centquatre-vingt-douze;centsoixante-seize;milletroiscentquatre-vingt-quatorze; mille soixante-dix ; deux mille dix ; quatre mille huit ; neuf cent quatre-vingt-dix-neuf.o Matriel Cartes photocopier (page 34). Prvoir,deprfrence,du bristoldefaonfaciliterle dcoupage et la manipulation par les enfants.28P025_062_9782011174802.indd 28 29/06/10 15:0029 Et pour changer une carte Lune (100), combien de cartes Bateau (10) devrez-vous me donner ? Il propose aux enfants de complter les galits : 3 210 = ( 1 000) + 2103 210 = ( 100) + 10 ; 3 210 contient 32 centaines.3 210 = 10 ; 3 210 contient 321 dizaines.Les enfants rpondent ensuite aux questions :2130=(21100)+30;lenombredepointsdeClment contient 21 centaines.2220=22210;lenombredepointsdAnascontient 222 dizaines.F Les enfants reproduisent la droite gradue sur leur cahier. Lenseignant leur fait remarquer quelle est gradue de 100 en 100, puis il leur demande de prciser le sens de ladverbe approximativement.Surcettedroite,lesnombres2000 et3000correspondentexactementdesgraduationsdj traces.Enrevanche,ilnexistepasdegraduationprcise pour positionner 2 040 qui sera plac peu prs entre 2 000 et 2 100, presque au milieu de lintervalle. Activits individuelles Sexercer, rsoudre1Lesenfantsdoiventveillernepasoublierleszros intermdiaires, notamment lorsquil sagit de recomposer les nombres.Lareprsentationdesnombreslaidedescartes constitue une remdiation efcace.a.3 245 = 3 000 + 200 + 40 + 53 245 = (3 1 000) + (2 100) + (4 10) + 5b.6 204 = 6 000 + 200 + 46 204 = (6 1 000) + (2 100) + 4c.(4 1 000) + (8 100) + 5 = 4 805d.3 090 = 3 000 + 903 090 = (3 1 000) + (9 10)e.(5 1 000) + (8 10) + 3 = 5 083f.8 000 + 90 + 7 = 8 0972 Les enfants peuvent se reporter au tableau de numration du Mmo, pour vrier leurs rponses an de ne pas oublier leszrosintermdiairesprincipalementdanslcriturede 7 007 et la lecture de 6 005. Dans ce cas, la dcomposition en m/c/d/uconstitueuneaide,demmequelareprsentation des nombres laide des cartes de lactivit Chercher .trois mille cent quatre-vingt-quinze3 195trois mille six cent quatre 3 604mille huit cent soixante-dix-neuf 1 879six cent soixante-dix-neuf679sept mille sept 7 007six mille cinq 6 005deux mille quatre-vingt-quatre 2 0843 Si ncessaire, lenseignant demande un volontaire de prciser les sens de ordre dcroissant . Rponse:LaRunion:9180km;Mayotte:8000km; Guyane franaise : 7 052 km ; Guadeloupe : 6 756 km ; Marti-nique : 6 748 km.4 3 420 = (34 100) + 203 420 = 342 10Je suis le nombre 3 420 : il contient 34 centaines (34 > 20) et est gal un nombre entier de dizaines (342 dizaines).5 Au pralable, les enfants doivent observer les graduations : la droite est gradue de 1 000 en 1 000, chaque demi-gradua-tion vaut donc 500 units.A : 2 000 B : 3 500 C : 6 000 D : 8 500Banque dexercices : nos 3 6 p. 44 du manuel de llve.3

3 080= (3 1 000) + (8 10) = 3 000 + 80 4 444= (4 1 000) + (4 100) + (4 10) + 4= 4 000 + 400 + 40 + 42 999= (2 1 000) + (9 100) + (9 10) + 9= 2 000 + 900 + 90 + 98 008= (8 1 000) + 8 = 8 000 + 84

a. Le plus petit nombre de quatre chiffres : 3 067.b. Le plus grand : 7 630.5

2 135 = (21 100) + (3 10) + (5 1). Pouravoir2135,ilfaut21billetsde100,3billets de 10 et 5 pices de 1 .6

Ordredcroissantdesprofondeursdesmersetdes ocans :9 128 m (Fosse de Porto Rico) 7 450 m (Fosse de la Sonde-Java)6 400 m (Fosse de Madagascar ouest) 5 121 m (Fosse du Cap Matapan) 4 115 m (Fosse sud-est de la Sicile) ProlongementsActivits complmentairesSibesoinest,lenseignantpeutconduireuneactivitde consolidation des acquis :1. en utilisant du matriel embotable : cubes, barres, pla-ques pour concrtiser la dcomposition des nombres ; 2. laide des cartes nombres rparties respectivement dans troisbotes:unepourlesmilliers,unepourlescentaines et enn une pour les dizaines. Il sagit dcrire les nombres obtenuspartirdescartestires.Oncommencepartirer trois cartes, une de chaque bote, puis au choix, on en tire six.Onpoursuitavecsixcartessanspiocherdanslabote des dizaines, puis toujours avec six cartes sans piocher dans la bote des centaines ;3. en invitant les enfants une rexion sur la numration romaine quils connaissent car elle fait partie de notre envi-ronnement socioculturel ; ils pourront ainsi mettre en vi-dence lintrt de notre systme dcriture des nombres.Calcul rflchiSomme de deux nombres (2)Lesenfantsobserventlexemplequelenseignantfait commenter collectivement. Dans le cas prsent, on ajoute dabordlesdizainesentreelles,puislesunitsavant deffectuer la somme des rsultats partiels.Biensr,lenseignantacceptetouteautreproposition quipermetdobtenirlersultatetquesonutilisateur est capable de justier. Par exemple : 38 + 25 = 40 + 23 = 40 + 20 + 3 = 63.36 + 28 = 30 + 20 + 6 + 8 = 50 + 14 = 6445 + 37 = 40 + 30 + 5 + 7 = 70 + 12 = 8258 + 23 = 50 + 20 + 8 + 3 = 70 + 11 = 8166 + 25 = 60 + 20 + 6 + 5 = 80 + 11 = 9186 + 26 = 80 + 20 + 6 + 6 = 100 + 12 = 112P025_062_9782011174802.indd 29 14/05/09 11:33:3530Observations prliminairesLesleonsdegomtriedemandentleplussouvent plusieurs sances de travail : il est ncessaire, selon le cas, de manipuler,plieretdcouper,dessinerettraceravantden venirdesexercicesdvaluation.Lesenseignantsdci-dentenfonctiondesbesoinsdeleurclassedudcoupage temporel des activits. Un choix souvent fcond consiste consacrer une premire journe aux activits collectives de recherche et de dcouverte et une seconde rsoudre indi-viduellement ou en ateliers de quelques lves les exercices et problmes dapplication. Consacrer deux journes une leonimpliquedorganiserdeuxsancesdecalculmental (priorit afrme des programmes). Activits collectives Chaqueenfantouchaquegroupedenfantsdisposedun document sur lequel gurent un assez grand nombre de gu-res planes, par exemple la photocopie de la planche jointe en annexe.Lenseignantleurdemandedechercherlesgures quils reconnaissent, de noter leur nom et dindiquer si possi-ble quoi ils les ont reconnues.Aprs quelques minutes de recherche, on fait le point et on dresse la carte didentit des gures reconnues. Il ne sagit pasdunerechercheexhaustivedespropritsdesgures maisplussimplementdecellesquiontjustilesafrma-tions des enfants. Ainsi la carte du rectangle, dessine au tableau, comprend le nom rectangle , un dessin de rectan-gle,etlespropritsrelevesparlesenfants,parexemple cts opposs gaux ou quatre angles droits . Lesenfantsdevraientreconnatrelecarr,lerectangle,le triangle(avecconfusionlinguistiquepossibleentretriangle rectangle et rectangle) et le disque (probablement dsign par cercle , ce qui exige une mise au point de lenseignant). Lire, dbattreLes enfants sont invits rpondre la question de Matho. Uncontre-exemplesuftinvaliderlafrmationdelallette; cependantilestaussiintressantderemarquerquetousles polygones sont dcomposables de multiples faons en triangles. Si aucun enfant nvoque le disque ou une autre gure bord courbe, la rponse au dbat est renvoye la n de la sance. ChercherLe travail peut tre individuel ou men par paire. A Lesenfantsdevraienttousreconnatredemanireper-ceptivelestriangles,rectangles,carrsetdisques.Certains, peut-tre, nonceront le losange, mais lenseignant corrigera en donnant le nom du paralllogramme. Selon les besoins de la classe et les demandes des enfants il est loisible lenseignant de prciser les caractristiques des triangles : rectangle, isocle, quilatral.B Grce aux instruments de gomtrie, les lves dgagent quelques proprits des diffrentes gures rpertories dans luvre de Victor Vasarely. Les rponses sont rsumes dans le tableau ci-dessous.FigureNombrede ctsNombredangles droitsNombrede cts gauxNomde la gureA 4 4 4 CarrB 0 0 0 DisqueC 3 1 2Triangle rectangle isocleD 4 0 2 + 2 ParalllogrammeE 5 3 2 PentagoneF 4 4 2 + 2 Rectangle G 3 0 3Triangle quilatralC Leslvesnumrentlesinstrumentsdegomtrieuti-liss prcdemment : pour trouver les angles droits : lquerre ; pour comparer la longueur des cts : la rgle ou la bande de papier, le compas.D Tous les polygones peuvent tre dcomposs en triangles. Ce nest pas le cas des gures possdant des bords tout ou en partie courbes, ici la gure B, le disque. Activits individuelles Sexercer, rsoudre1Lagurecomprendcinqcarrsimbriqus.Leserreurs peuvent provenir dun manque dattention ou de difcults perceptives : les carrs dont les cts ne sont pas parallles au bord de la feuille peuvent tre lus comme de simples losan-ges.Danscecas,oprerunerotationdumanuelcon