COMPARAISON DE L’EUROCODE 3 ET L’AISC-LRFD

CONSTRUCTION METALLIQUE

PAR

NICOLAS GARCHET

Eleve ingenieur de 5eme annee

Projet de Fin d’EtudesSpecialite Genie CivilINSA de Strasbourg

Strasbourg, AlsaceDecembre 2009

TABLE DES MATIERES

Page

LISTE DES TABLEAUX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

LISTE DES FIGURES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

LISTE DES SYMBOLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

RESUME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

CHAPITRE

1. INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. FLEXION DES POUTRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Informations generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Principe de la reglementation d’apres l’AISC-LRFD . . . . 42.3. Principe de la reglementation d’apres l’EC3 . . . . . . . . 62.4. Equivalences et differences entres les 2 specifications . . . . 82.5. Variation de la resistance en flexion, comparaison des resultats 122.6. Conclusion pour la verification de barres en flexion . . . . 19

3. CISAILLEMENT DES POUTRES . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1. Informations generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2. Principe de la reglementation d’apres l’AISC-LRFD . . . . 213.3. Principe de la reglementation d’apres l’EC3 . . . . . . . . 223.4. Equivalences et differences entre les 2 specifications . . . . 243.5. Variation de la resistance au cisaillement, comparaison des

resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6. Analyse des resultats a contraintes de cisaillement equivalentes 343.7. Conclusion pour le cisaillement des poutres . . . . . . . . 37

4. POTEAU-POUTRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1. Informations generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2. Courbes d’interaction pour l’AISC-LRFD et l’EC3 . . . . . 394.3. Approches de l’AISC-LRFD et l’EC3 aux imperfections . . 414.4. Analyse du second ordre simplifiee . . . . . . . . . . . . 444.5. Courbes d’interaction, comparaison des resultats . . . . . . 46

iii

4.6. Conclusion aux poteau-poutres . . . . . . . . . . . . . . 52

5. CONCLUSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

ANNEXE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A. CAPTURE D’ECRANDU PROGRAMME EXCEL/VBA UTILISEPOUR LE TRACE DES COURBES D’INTERACTION . . . . 55

BIBLIOGRAPHIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

iv

LISTE DES TABLEAUX

Table Page

2.1 Les differentes phases rencontrees pour le VLS et le Dv. . . . . . . 6

2.2 Ecart des differentes methodes comparees a MRd (EC3 cas general) . 13

2.3 Ecart des differentes methodes comparees a MRd (EC3, cas general) 15

3.1 Equivalence des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Resistance nominale au cisaillement vs. Resistance au cisaillement . 24

3.3 Vb,Rd(w+f, rig) comparee a Vb,Rd(w, rig) et Vn(TFA), h/bf = 5 . . . . . 32

3.4 Vn(no TFA) comparee a Vb,Rd(non−rigid) et Vb,Rd(rigid) pour differents fy 33

3.5 Vn(no TFA) comparee a Vb,Rd(non−rigid) et Vb,Rd(rigid) pour differents h/tf 33

3.6 Quantite de raidisseurs requis pour une poutre soumise a une con-trainte de cisaillement constante, hw/tw = 150, Lbeam = 10m. . . . . 35

4.1 Ecarts des courbes d’interaction de l’AISC-LRFD avec l’EC3 (Meth.1 et 2) pour une colonne a elancement faible L/ry = 50. . . . . . . 49

v

LISTE DES FIGURES

Figure Page

2.1 Distribution des contraintes dues a la flexion. (a) section transver-sale. (b) distribution des contraintes. (c) rotule plastique a differentstage du chargement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Poutre affectee par du voilement local. (a) voilement local dans lasemelle basse. (b) distribution des contraintes dans une plaque apresvoilement local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Poutre affectee par du deversement. . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 FLB: resistance a la flexion, fonction de l’elancement λ des semelles. 5

2.5 Clauses dans l’EC3 impliquees dans la verification a la flexion. . . 7

2.6 Classification d’une section transversale d’apres l’EC3 et equivalencedans l’AISC-LRFD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.7 Etendue de chaque classe d’une paroi interne comprimee d’apresl’EC3 et l’AISC-LRFD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.8 Voilement local d’une ame par l’approche des largeurs efficaces. . . 10

2.9 Coefficient de voilement d’apres l’EC3 (kσ) et l’AISC-LRFD (kc)pour une paroi en console soumise a une distribution uniforme descontraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.10 Variation de la resistance en flexion pour 2 profiles standards deClasse 1/Compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.11 Impact de l’elancement des semelles b/2tf sur la variation de laresistance en flexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.12 Impact de la Classe de la semelle pour l’EC3, cas general. . . . . 16

2.13 Impact du voilement local sur la resistance en flexion, fonction del’elancement des semelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.14 Variation of the flexural strength function of the loading, the endrestraints, the location the load is applied. . . . . . . . . . . . . 18

3.1 Effet des contraintes de cisaillement dans une barre flechie. (a)planches collees. (b) planches libres. . . . . . . . . . . . . . . . 20

vi

3.2 Distribution des contraintes dans une section rectangulaire. (a) sec-tion transversale. (b) contraintes longitudinales. (c) contraintes decisaillement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Champ de tension selon le modele de Basler utilise dans l’AISC-LRFD. 22

3.4 Differentes configurations de montants d’extremites d’apres l’EC3. 25

3.5 Facteur reduit par voilement au cisaillement. (a) a/hw = 10. (b)a/hw = 3. (c) a/hw = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6 Variation de la resistance au cisaillement fonction de a/hw. (a)hw/tw = 100. (b) hw/tw = 150. (c) hw/tw = 300. . . . . . . . . . 28

3.7 Resistance plastique au cisaillement d’apres l’EC3 et l’AISC-LRFD. 29

3.8 Voilement par cisaillement, AISC-LRFD comparee l’EC3. (a) enfonction de h/tf et hw/tw. (b) en fonction de fy et hw/tw. . . . . 30

3.9 Vn (TFA) comparee a Vb,Rd (rigid). (a) fy = 250MPa. (b) fy =485MPa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.10 Vb,Rd(w+f, rig) comparee a Vb,Rd(w, rig) et Vn(TFA) with hw/tw = 150. 32

3.11 a/hw requis pour hw/tw = 100 a une contrainte de cisaillement τ =103, 4MPa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.12 a/hw requis pour hw/tw = 150 a une contrainte de cisaillement τ =103, 4MPa (a) et τ = 68, 9MPa (b). . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1 Exemple de poteau-poutre et charges impliquees. . . . . . . . . . 38

4.2 Effets de P −∆ et P − δ sur une barre poteau-poutre. . . . . . . 39

4.3 Courbe d’interaction d’apres l’AISC-LRFD. . . . . . . . . . . . 40

4.4 Courbes de flambement d’apres l’EC3 (cas a) et l’AISC-LRFD ten-ant compte des contraintes residuelles et l’effet P −δ pour une barrecomprimee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.5 Facteur de longueur effectiveK pour des conditions d’appui elementaires(a) ou a l’aide d’un diagramme d’alignement (b). . . . . . . . . . 43

4.6 Methode des forces horizontales equivalentes indiquee dans l’EC3. 44

4.7 Parametres impliques dans la determination de αcr. . . . . . . . 45

4.8 Courbes d’interaction d’une colonne faiblement elancee L/ry = 50pour differents cas de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

vii

4.9 Courbes d’interaction d’une colonne elancee L/ry = 130 pour differentscas de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.10 Portique rigide utilise lors de l’analyse. . . . . . . . . . . . . . . 50

4.11 Courbes d’interaction pour L/ry = 50 et L/ry = 130 avec la MLEet l’approche des forces horizontales equivalentes. . . . . . . . . . 51

A.1 Entres 1: chargement et proprietes geometriques de la section transver-sale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

A.2 Entres 2: parametres de flambement. . . . . . . . . . . . . . . 57

A.3 Classification des sections transversales d’apres l’EC3 pour une com-binaison d’une charge axiale et de flexion [1]; distribution (efficace)des contraintes longitudinales dans une section transversale. . . . 58

viii

LISTE DES SYMBOLES

Symbole Definition

a Distance entre les raidisseurs transversaux

Av Aire de cisaillement [mm2, in2]

Aw Aire efficace de l’ame [mm2, in2]

B1, B2 Facteurs utilises pour determiner Mu a l’aide d’une methodedu premier ordre amplifiee

b Largeur d’une plaque interne ou en console [mm, in]

bf Largeur de la semelle [mm, in]

C1 Coefficient pour prise en compte de la distribution du moment

Cb Facteur d’ajustement au deversement pour des diagrammesde moment non uniformes

Cv Web shear coefficient

E Module elastique [MPa, ksi]

Fcr Buckling stress for the section [MPa, ksi]

fy Limite d’elasticite [MPa, ksi]

h Hauteur du profile [mm, in]

h0 Distance entre les centres de gravite des semelles [mm, in]

It Moment d’inertie de torsion [mm4, in4]

Iw Moment d’inertie de gauchissement [mm6, in6]

Iz Moment d’inertie de flexion selon l’axe faible [mm4, in4]

J Moment d’inertie de torsion [mm4, in4]

k Facteur de longueur efficace

kc Coefficient pour les parois elancees en console [mm, in]

ix

kσ Coefficient de voilement

kij Facteurs d’interaction

Lb Distance entre deux maintiens lateraux [mm, in]

Lp Distance maximale entre deux maintiens lateraux pour l’etatlimite plastique (deversement) [mm, in]

Lr Distance maximale entre deux maintiens lateraux pour l’etatlimite inelastique (deversement) [mm, in]

Mb,Rd Resistance au deversement [N.mm, kip.in]

Mc,Rd Resistance a la flexion par rapport a un axe principal de lasection [N.mm, kip.in]

Mc Available flexural-torsional strength [N.mm, kip.in]

Mlt Moment du premier ordre cause car le deplacement lateral dela structure [N.mm, kip.in]

Mn Resistance nominale a la flexion [N.mm, kip.in]

Mnt Moment du premier ordre ne tenant pas compte dudeplacement lateral de la structure [N.mm, kip.in]

Mp Moment de flexion plastique [N.mm, kip.in]

Mr Valeur requise du moment du second ordre [N.mm, kip.in]

Pc Resistance a la compression axiale [N , kip]

Pe1, Pe2 Charge critique au flambement pour des ossatures rigides etcontreventees respectivement [N , kip]

Plt Charge axiale du premier ordre due au deplacement lateral dela structure [N , kip]

Pnt Charge axiale du premier ordre ne tenant pas compte dudeplacement lateral de la structure [N , kip]

Pr Valeur requise de la compression axiale du second ordre [N ,kip]

x

rts Rayon efficace de gyration [mm, in]

Sx Module de flexion elastique selon l’axe fort [mm3, in3]

t Epaisseur de la paroi [mm, in]

tf Epaisseur de la semelle [mm, in]

tw Epaisseur de l’ame [mm, in]

Vbw,Rd Contribution de l’ame a la resistance au voilement par cisaille-ment [N , kip]

Vbf,Rd Contribution des semelles a la resistance au voilement parcisaillement [N , kip]

Vc,Rd Resistance au cisaillement [N , kip]

Vpl,Rd Resistance plastique au cisaillement [N , kip]

Vn Resistance nominale au cisaillement [N , kip]

w Largeur de la paroi [mm, in]

Wy Module de section selon l’axe fort (depend de la Classe) [mm3,in3]

zg Distance entre le point d’application de la charge et le centrede cisaillement [mm, in]

Zx Module de section plastique selon l’axe fort [mm3, in3]

αcr Coefficient minimal d’amplification des efforts pour atteindrele flambement critique elastique

γM0 Coefficient partiel pour resistance des sections transversales,quelle que soit la classe de section

γM1 Coefficient partiel pour resistance des barres aux instabilites,evaluee par verifications de barres

ε Coefficient dependant de fy

η Facteur pour l’aide de cisaillement

xi

λ Parametre d’elancement

λpf Parametre d’elancement limite pour une semelle Compacte

λrf Parametre d’elancement limite pour une semelle Non-Compacte

ν Coefficient de Poisson en phase elastique

ρ Coefficient reducteur pour le voilement local des plaques

σb Contrainte longitudinale due a la flexion [MPa, ksi]

ϕb Facteur de resistance a la flexion

χLT Coefficient de reduction au deversement

χy Coefficient de reduction pour le mode de flambement selonl’axe y-y

χz Coefficient de reduction pour le mode de flambement selonl’axe z-z

χw Facteur de voilement par cisaillement

xii

RESUME

Aux USA, le dimensionnement d’une ossature metallique est souvent effectue a

l’aide des specifications publiees par l’Institut Americain de la Construction Metallique

(AISC). Son equivalent dans les Etats membres de l’Union Europeenne est l’EN 1993:

(Eurocode 3) Calcul des structures en acier, un document faisant parti des Eurocodes

publies par le Comite Europeen de Normalisation (CEN). L’ecriture de ce memoire

a eu pour interet de comparer ces deux specifications, examiner leurs similitudes et

differences. Trois cas ont ete traites: la flexion, le cisaillement, et les poteau-poutres.

Dans un premier temps, le contenu des specifications a ete analyse en detail.

Cette analyse a revele que les deux codes identifient des causes similaires a la ruine

d’une barre. Bien que l’AISC et l’EC3 partagent plusieurs theories, leurs approches du

probleme est plutot differente. L’AISC opte pour la simplicite, et ecarte les situations

les moins frequentes. Au contraire l’EC3 est complexe mais essaie de couvrir le plus

large eventail de cas possibles.

Dans un second temps, l’investigation a consiste a comparer les resultats

donnes par ces deux specifications en manipulant les principaux parametres impliques

dans la verification. Mise a part quelques cas, des differences mineures ont ete ob-

servees pour les verifications a la flexion et au cisaillement. Les resultats donnes

pour les poteau-poutres ont cependant ete tres differents des lors que la stabilite de

l’ossature etait incluse dans les calculs; l’AISC etant bien plus conservateur que l’EC3

dans le cas ou sa methode principale etait utilisee.

En conclusion, il est apparu que le principal avantage de l’EC3 est d’etre un

outil efficace lors de l’optimisation de cas particuliers. Pour les situations courantes,

l’approche de l’AISC est nettement plus simple a prendre en main et donne des

resultats similaires a ceux de l’EC3. Cependant, ces resultats ont ete conservateurs/non-

conservateurs dans quelques cas dus a la simplicite de sa formulation.

xiii

1

CHAPITRE 1

INTRODUCTION

Les structures en acier sont utilisees a travers le monde depuis deja plusieurs

decennies. L’ecriture de reglementations est rapidement apparue necessaire dans un

souci de normalisation et de minimisation des risques. Ainsi aux USA, l’Institut

Americain de Construction Metallique (AISC, American Institute of Steel Construc-

tion) publie depuis 1927 un manuel indiquant des regles a suivre lors d’un dimen-

sionnement. Au fil du temps, ces reglementations ont gagne en precision grace aux

lecons tirees du terrain et les dernieres theories developpees. La 13eme et derniere

edition publiee par l’AISC remonte a 2005. Le dimensionnement des structures en

acier est egalement reglemente en Europe; cependant chaque Etat utilisait jusqu’a

present ses propres regles. Le Comite Europeen de Normalisation (CEN), fonde en

1961, travaille depuis plusieurs dizaines d’annees sur les EUROCODES. Leur usage

est amene sous peu a devenir obligatoire dans l’ensemble des pays membres et ont

pour objectif d’harmoniser l’ensemble des reglementations utilisees dans le domaine

du genie civil (beton arme, bois, acier, construction sismique, etc.). EN 1993: Calcul

des structures en acier, aussi appele EUROCODE 3 (EC3), est l’equivalent aux regles

de l’AISC.

Aujourd’hui plus que jamais, la securite est une priorite en genie civil. Cepen-

dant, optimiser le dimensionnement d’une structure est egalement devenu important

pour les entreprises afin de rester competitives. Ce memoire a pour objectif de com-

parer l’EC3 et l’AISC, et d’observer comment ceux-ci prennent compte des deux pri-

orites citees precedemment. Trois cas frequemment rencontres dans la construction

metallique sont etudies: la flexion, le cisaillement, et les poteau-poutres.

2

CHAPITRE 2

FLEXION DES POUTRES

2.1 Informations generales

Le moment flechissant est souvent le parametre dimensionnant. Pour cette

raison, ses effets ont ete etudies au cours des derniers siecles par de nombreux scien-

tifiques connus [7]. Galilee, Bernoulli, Euler et Navier sont parmi les premiers a avoir

contribue aux theories au sujet de la flexion d’une poutre.

Figure 2.1. Distribution des contraintes dues a la flexion. (a) section transversale. (b)distribution des contraintes. (c) rotule plastique a different stage du chargement.

Une section transversale soumise a de la flexion pure induit des contraintes

normales de compression et de tension, respectivement au dessus et au dessous de

l’axe neutre comme indique sur la fig. 2.1. La premiere representation valide des

contraintes dans le domaine elastique remonte au XVIIIeme siecle et est attribuee a

Parent et Coulomb: dans ce cas, la section transversale est sujette a une distribution

lineaire ou l’intrados et l’extrados sont soumis aux contraintes maximales tandis que

3

l’axe neutre n’est soumis a aucune contrainte. σb, max est determinee grace a l’eq.

2.1. Des que σb, max atteint la limite d’elasticite fy, la theorie elastique n’est plus

applicable. La distribution elasto-plastique des contraintes est attribuable a Saint-

Venant.

σb =Mb

Iy

h

2(2.1)

Lorsqu’une rotule plastique s’est completement developpee, la moindre charge

supplementaire entraıne la ruine de la poutre. La plastification totale d’une section

transversale n’est pas le seul risque, des problemes d’instabilites de forme peuvent

engendrer un effondrement premature de la poutre. Celles-ci sont de 2 natures: le

deversement et le voilement local comme indique sur les fig. 2.2 et 2.3.

Figure 2.2. Poutre affectee par du voilement local. (a) voilement local dans la semellebasse. (b) distribution des contraintes dans une plaque apres voilement local.

Un profile en acier est compose de plusieurs plaques (i.e. ame et semelles).

Si l’une d’elles est soumise a des contraintes longitudinales de compression, un voile-

ment local peut survenir causant l’apparition de cloques et une diminution de la

rigidite de la plaque. Les contraintes longitudinales sont redistribuees de sorte qu’elles

augmentent plus rapidement sur les bords tandis qu’elles diminuent au milieu de

la plaque. Cependant le voilement local n’engendre pas une ruine immediate, la

resistance en post-flambement dependant des conditions d’appuis aux bords. Par ex-

emple, une ame developpe une resistance en post-flambement plus importante qu’une

semelle, la premiere etant fixee sur 4 bords alors que la seconde sur 3.

4

Figure 2.3. Poutre affectee par du deversement.

Une charge transversale appliquee a l’extrados engendre une compression au

dessus de l’axe neutre de la section qui a ainsi tendance a flamber dans son axe

faible. Autrement dit, la poutre flechie lateralement. Si cette deformation n’est pas

empechee, la semelle haute est libre de se deplacer lateralement. La resistance de

cette derniere a la flexion laterale couplee a la resistance de la section a la torsion

sont mobilisees contre le deversement.

2.2 Principe de la reglementation d’apres l’AISC-LRFD

Le manuel de construction metallique de l’AISC fait reference au dimension-

nement d’elements en flexion au chapitre F [10]. Celui-ci se divise en 13 sous-

parties; les 5 premieres calculent la resistance en flexion ΦbMn pour des profiles

en I symetriques selon leurs 2 axes principaux. ΦbMn correspond au minimum des

etats limites suivants: Plastification (Pl), Deversement (Dv), ou Voilement Local des

Semelles (VLS).

2.2.1 Plastification. L’eq. 2.2 correspond a la plastification totale de la section et

donc a la valeur maximale que Mn puisse atteindre. Seul les semelles sont prises en

compte dans le module de section plastique Zx si l’ame est Non-Compacte ou Elancee.

ΦbMn = ΦbMp = FyZx (2.2)

5

2.2.2 Voilement Local des Semelles. Le VLS survient dans le cas ou les semelles

d’un profile sont trop minces pour supporter les efforts longitudinaux engendres par

la flexion de la poutre. Une classification des sections est proposee au Chapitre B

[10] et definit la classe d’une plaque, ame ou semelle, selon 3 categories: Compacte

(Compact, C), Non Compacte (Non Compact, NC) ou Elancee (Slender, S). Le VLS

intervient dans les 2 derniers cas, cependant le calcul de Mn differe selon la categorie.

En theorie le voilement devrait apparaıtre soudainement a un point de bifurcation

et l’eq. 2.4 utilisee pour les semelles Elancees (S) devrait suffir pour considerer le

voilement local. En realite, le VLS apparaıt progressivement du aux contraintes

residuelles dans la section. L’eq. 2.3 est une interpolation lineaire faisant office de

transition entre les etats limites Pl et VLS comme indique sur la fig. 2.4.

Mn = [Mp − (Mp −Mr)(λ− λpfλrf − λpf

)] for non− compact flanges (2.3)

Mn =0.9EkcSx

(bf2tf

)2for slender flanges (2.4)

Figure 2.4. FLB: resistance a la flexion, fonction de l’elancement λ des semelles.

2.2.3 Deversement. Le Dv d’une poutre depend de la distance Lb entre 2 supports

lateraux sur l’extrados ; cette instabilite se produit des lors que Lb est trop long. De

meme que pour le VLS, le calcul deMn pour le Dv est scinde en 3 situations delimitees

6

par les longueurs Lp et Lr: resistance en flexion plastique, inelastique, ou elastique.

L’eq. 2.5 est une interpolation lineaire similaire a celle rencontree pour le VLS (eq.

2.3). Les equations utilisees dans les cas inelastique et elastique sont de la forme

Mn = CbME ou ME correspond au Dv d’une poutre soumise a un moment uniforme

et Cb un facteur d’ajustement tenant compte du chargement. Enfin, le voilement local

de l’ame peut etre inclus si necessaire dans le calcul du Dv par le biais d’un facteur

d’ajustement.

Mn = Cb[Mp − (Mp −Mr)(L− Lp

Lr − Lp

)] for inelastic buckling (2.5)

Mn = FcrSx ≤Mp for elastic buckling (2.6)

Bien que le Dv soit fonction de la longueur Lb et le VLS fonction de l’elancement

λ des semelles, ces deux instabilites de forme sont toutes deux divisees en trois phases

similaires rappelees dans le tableau 2.1.

Table 2.1. Les differentes phases rencontrees pour le VLS et le Dv.

Phase VLS Dv

1 COMPACT λ ≤ λp no LTB Lb ≤ Lp

2 NON-COMPACT λp < λ ≤ λr Inelastic LTB Lp < Lb ≤ Lr

3 SLENDER λr < λ Elastic LTB Lr < Lb

2.3 Principe de la reglementation d’apres l’EC3

Selon l’EC3, la resistance de la section transversale et celle de la poutre aux

instabilites doivent etre controlees [3] [5]. Ces 2 clauses ne sont pas les seules a etre

impliquees dans le dimensionnement de barres flechies comme indique sur la fig. 2.5.

Une analyse de la section transversale est prealablement necessaire a un quel-

conque controle. L’EC3 tient compte des effets du voilement local a l’aide d’une

classification de la section divisee en 4 classes, leurs definitions sont disponibles sur la

7

Figure 2.5. Clauses dans l’EC3 impliquees dans la verification a la flexion.

fig. 2.6. Cette classification a un impact sur le module de section Wy utilise dans les

calculs ulterieurs, par exemple: Wy,el est utilise pour une section de Classe 3 ; Weff

pour la Classe 4 tient compte uniquement de la section efficace (= section brute a

laquelle une partie a ete retiree) due au voilement local.

La resistance de la section transversale est verifiee a l’aide de la clause EN

1993-1-1(6.2.5) traitant des barres en flexion. La methode consiste a calculer Mc,Rd

et peut inclure le voilement local grace au module de section Wy dependant de la

Classe. Cependant, Mc,Rd ne tient pas compte du Deversement.

Mc,Rd =WyfyγM0

(2.7)

Avec Wpl: Classes 1 & 2, Wel: Classe 3, Weff,min: Classe 4.

Peu d’indications sont donnees dans l’EC3 afin de savoir si le deversement doit

etre verifie ou non lors du dimensionnement d’une poutre. S’il le doit, la resistance au

deversementMb,Rd doit etre calculee et doit etre superieure au moment de flexionMEd

calcule a l’aide d’une analyse structurelle. 4 methodes sont decrites dans l’EC3, ce

memoire couvre les 3 premieres, basees sur un principe plus ou moins similaire. Dans

l’eq. 2.8, χLT est un facteur de reduction qui depend de: un facteur d’imperfection

αLT du au type de section ; l’elancement reduit λLT qui requiert le calcul de Mcr, le

8

moment critique pour le deversement elastique.

Mb,Rd = χLTWyfyγM1

(2.8)

2.4 Equivalences et differences entres les 2 specifications

A condition que la section puisse atteindre sa resistance plastique, il n’y a

pas de difference entre l’EC3 et l’AISC-LRFD. Mpl,Rd et Mp resultent du module de

section plastique multiplie par la limite d’elasticite fy. Seuls le coefficient partiel γM0

et le facteur de resistance ϕb different d’une regle a l’autre.

Figure 2.6. Classification d’une section transversale d’apres l’EC3 et equivalence dansl’AISC-LRFD.

9

2.4.1 Classification de la section transversale. Avant de verifier une barre en

flexion, une classification de la section est requise aussi bien pour l’EC3 que l’AISC-

LRFD. Cette etude preliminaire evalue les eventuels risques de voilement local pour

chaque paroi comprimee que comporte la section a travers plusieurs categories de

comportement qui dependent de: la resistance elastique du materiau, le rapport

largeur-epaisseur, la distribution des efforts dans la paroi, et la nature de la paroi

(i.e. interne ou en console). Bien que le principe de cette classification soit simi-

laire pour les 2 specifications, l’EC3 definit 4 classes tandis qu’il en existe 3 pour

l’AISC-LRFD (voir fig. 2.6).

Figure 2.7. Etendue de chaque classe d’une paroi interne comprimee d’apres l’EC3 etl’AISC-LRFD.

La fig. 2.7 compare l’etendue de chaque classe d’une paroi interne comprimee

(i.e. ame) pour l’EC3 et l’AISC-LRFD. Les Classe 1 & 2 equivalent a la categorie

Compacte dans les specifications americaines, tandis que les Classe 3 & 4 sont a cheval

sur les categories Non-Compacte et Elancee. Lorsque la resistance elastique fy aug-

mente, le risque de voilement local augmente pour des rapports largeur-epaisseur de

l’ame de plus en plus bas. Le rapport largeur-epaisseur utilise dans les 2 specifications

pour les parois en console (i.e. semelle) est legerement different: l’EC3 utilise la dis-

tance entre le bout de la semelle et le debut du filet faisant la transition entre l’ame

et la semelle tandis que l’AISC-LRFD utilise la moitie de la largeur de la semelle. De

plus, ce dernier code differencie les sections soudees et lamines. Enfin, l’EC3 evalue le

10

comportement global de la section transversale en se basant sur les Classes des parois

en console et internes.

2.4.2 Voilement local. L’EC3 et l’AISC-LRFD tiennent tous deux compte du

voilement local en se basant sur la methode de Bryan (G.H. Bryan, 1891) lorsque la

section est de Classe 4 et Elancee respectivement. Ce dernier a determine en 1891 l’eq.

2.9 qui calcule la contrainte critique de voilement. Le developpement de Mn = σcrSx

mene a l’eq. 2.4 utilisee dans l’AISC-LRFD. Cependant, l’EC3 fait egalement appel

a la methode des largeurs efficaces developpee par Winter [2] [6] (G. Winter, 1946)

(Fig. 2.8) et qui considere que la portion centrale d’une plaque devient ineffective

ds lors qu’elle flambe tandis que ses bords restent effectifs. La procedure consiste

donc a calculer la largeur efficace beff = ρ b de la plaque a l’aide de ρ, un coefficient

reducteur derive de l’elancement λp (Eq. 2.10).

σcr =kπ2E

12(1− υ2)(w/t)2(2.9)

λp =b/t

28.4ε√kσ

(2.10)

Figure 2.8. Voilement local d’une ame par l’approche des largeurs efficaces.

Un coefficient de voilement k, qui depend des maintiens et de la distribu-

tion des contraintes longitudinales dans la paroi etudiee [12], est requis dans les 2

11

reglementations afin de determiner la resistance en flexion dans le cas de voilement

local ; la facon de determiner kσ et kc est cependant differente. L’AISC-LRFD, con-

sidere uniquement une distribution uniforme des contraintes longitudinales pour les

parois en console (i.e. semelles) tandis que l’EC3 evalue kσ pour les parois internes

et en console (i.e. ame et semelles) pour des situations variees, entre autre la flexion

composee. Meme en considerant le cas commun aux 2 specifications (i.e. paroi en con-

sole avec distribution uniforme des contraintes), kσ et kc ont de grandes chances d’etre

differents: kσ = 0.43, alors que 0.35 ≤ kc ≤ 0.76. Ce dernier, base sur les experiences

menees par Johnson en 1985, est fonction de la rigidite de l’appui ame-semelle (eq.

2.11).

kc =4√h/tw

(2.11)

Figure 2.9. Coefficient de voilement d’apres l’EC3 (kσ) et l’AISC-LRFD (kc) pourune paroi en console soumise a une distribution uniforme des contraintes.

2.4.3 Deversement. Pour l’AISC-LRFD, la procedure tenant compte du deversement

dans la resistance en flexion consiste simplement a calculer le moment critique de

deversement Mcr et un facteur d’ajustement Cb dependant du chargement. L’EC3

est plus complique a ce sujet, en plus d’un facteur d’imperfection αLT (i.e. con-

traintes residuelles), aucune methode n’est donne pour calculer Mcr: l’organisation

”Access Steel”, d’apres un accord avec les principaux instituts techniques en construc-

tion metallique en Europe, a publie un document (”Non-conflicting, Complementary

12

Information” (NCCI)) afin de determiner Mcr [8], base sur l’equation 2.13.

Mcr, AISC =Cbπ

2E

( Lb

rts)2

√1 + 0.078

Jc

Sxh0(Lb

rts)2 (2.12)

Mcr, EC =C1π

2EIz(kL)2

{√(k

kw)2IwIz

+(kL)2GItπ2EIz

+ (C2zg)2 − C2zg} (2.13)

Les eq. 2.12 et 2.13, qui referrent a l’AISC-LRFD et l’EC3(NCCI) respective-

ment, sont tres similaires. La derniere est cependant plus complexe et dispose de

nombreux facteurs qui ont ete simplifies dans l’AISC-LRFD. Par exemple, la position

de l’effort transversal est consideree comme toujours appliquee au centre de gravite de

la section pour l’AISC-LRFD alors qu’il est possible de l’ajuster pour l’EC3(NCCI).

De plus, les maintiens contre le gauchissement sont consideres equivalents a ceux

dans le plan d’elevation de la barre contrairement a l’EC3(NCCI) ou ils peuvent etre

differents.

Enfin, l’EC3 dispose de plusieurs methodes afin de tenir compte du deversement:

(1) un cas general, (2) un cas ajuste aux profiles lamines ou sections soudees equivalentes,

(3) une methode simplifiee, et (4) une methode generale pouvant etre utilisee aussi

bien pour le deversement que d’autres cas d’instabilites (methode non traitee dans

ce memoire). D’apres l’ensemble de ces observations, il est possible de constater que

l’EC3 est ouvert a une grande variete de situations tandis que l’AISC-LRFD couvre

les cas les plus frequents.

2.5 Variation de la resistance en flexion, comparaison des resultats

De nombreux parametres sont impliques dans le calcul de la resistance en

flexion. Cette section compare les resultats donnes par l’EC3 et l’AISC-LRFD pour

diverses situations en faisant varier certains parametres. La plupart des resultats sont

presentes sur des graphiques ou (MRd)/(Wyfy) et (ΦbMn)/(Wyfy) sont fonctions de

l’elancement reduit de deversement λLT =√Wyfy/Mcr,EC3 issu de l’EC3. Il peut etre

13

note que lorsque Lb → +∞, λLT → +∞. Chaque graphique dispose de plusieurs

courbes: l’une se refere a l’AISC-LRFD (en rouge) tandis que les 3 autres (en bleu)

correspondent aux differentes methodes de calcul du deversement dans l’EC3. Enfin,

la courbe noire en trait pointille est la solution d’Euler pour Mcr.

Table 2.2. Ecart des differentes methodes comparees a MRd (EC3 cas general)

AISC-LRFD EC3, Gen. case EC3, Gen. case adj. EC3, Simpl. case

ϕbMn

Wyfy

MRd,1

Wyfy

MRd,2

Wyfy

MRd,3

Wyfy

2.5.1 Variation de MRd et ϕbMn pour des profiles standards. Les pro-

files lamines disponibles aux USA et en Europe sont tous de categorie Classes 1 ou

2/Compact. La fig. 2.10 presente la variation de la resistance en flexion pour 2 pro-

files standards avec fy = 250MPa: l’un correspond a un IPE200 (equiv. W8x15) tres

compact, le 2nd a un IPE750 (equiv. W30x132) proche de la limite Classe 1/Com-

pact. La poutre est charge transversalement en son centre de gravite. La variation

de la resistance en flexion est divisee en 3 phases.

(1) Phase 1: pour un elancement reduit λLT ≤ 0.5 faible, aucune variation de

la resistance en flexion. Ces 2 profiles, de Classe 1/Compact, ne sont pas sujets au

voilement local et donc le plateau correspond au moment plastique Mpl. La ruine de

la poutre est limitee par une plastification totale d’une section transversale.

(2) Phase 2: du au deversement, la resistance en flexion diminue pour l’EC3

suivi de peu par l’AISC-LRFD. Il peut etre observe que la pente des courbes sont

similaires pour les 2 specifications. Cependant, la solution pour l’AISC-LRFD est

lineaire contrairement a l’EC3.

(3) Phase 3: des lors que λLT ≥ 1.5, l’ecart entre les differentes methodes

s’estompe, les differentes methodes approchent la solution d’Euler a l’exception de la

methode simplifiee de l’EC3 etant en deca.

14

Figure 2.10. Variation de la resistance en flexion pour 2 profiles standards de Classe1/Compact.

Bien que ces 3 phases soient similaires pour l’EC3 et l’AISC-LRFD, l’ecart

de leurs methodes est plus ou moins important comme indique dans le tableau 2.3.

En phase 1, les resultats montrent que l’AISC-LRFD est 10% plus conservateur que

l’EC3. En phase 2, la resistance en flexion ϕbMn est la moins conservatrice (≈10-

15% superieur a MRd,1) tandis que MRd,3 la plus pessimiste (≈15-35% en dessous de

MRd,1) ; les 2 dernieres methodes de l’EC3 sont toutes 2 proches de ϕbMn avec un

leger avantage pour MRd,2. En phase 3, toutes les methodes donnent des resultats

similaires et proches de la solution d’Euler a l’exception de MRd,3 qui reste largement

en deca.

Ce 1er exemple, base sur des profiles standards, indique que la resistance

en flexion pour l’EC3 est moins conservatrice que l’AISC-LRFD pour des barres

disposant de nombreux maintiens lateraux. Cette tendance s’inverse si l’elancement

reduit augmente de sorte que le deversement devient le parametre dimensionnant.

15

Table 2.3. Ecart des differentes methodes comparees a MRd (EC3, cas general)

EC3 AISC-LRFD

MRd,2/MRd MRd,3/MRd ϕbMn/MRd

IPE200 IPE750 IPE200 IPE750 IPE200 IPE750

W8x15 W30x132 W8x15 W30x132 W8x15 W30x132

PHASE 1 1.01 1.01 1.01 1.01 0.91 0.91

PHASE 2 1.05 1.07 0.62 0.88 1.11 1.18

PHASE 3 1.11 1.15 0.20 0.50 1.02 1.08

2.5.2 MRd et ϕbMn fonctions de l’elancement des semelles. La fig. 2.11

presente l’impact du rapport largeur-epaisseur b/tf des semelles sur la resistance en

flexion d’une barre.

Figure 2.11. Impact de l’elancement des semelles b/2tf sur la variation de la resistanceen flexion.

Le risque de voilement local au niveau des semelles augmente lorsque b/2tf →

+∞ et limite la valeur maximale atteinte par le plateau en phase 1. Cependant,

la resistance maximale en flexion ne cesse de diminuer dans le cas de l’AISC-LRFD

contrairement a l’EC3 ou le plateau se stabilise apres avoir diminue d’environ 40%.

16

Pour l’AISC-LRFD, lorsque Lp ≤ Lb < Lr, la resistance en flexion peut etre

limitee par le VLS aussi bien que le deversement ; meme observation pour l’EC3

au dela de λLT > 0.4 ou le deversement est calcule a l’aide de la formule tenant

compte du voilement local multiplie par le facteur de reduction χLT eventuellement

egale a 1. Pour l’AISC-LRFD, le classement des semelles a un impact uniquement

sur le VLS et n’interfere pas sur le deversement tandis que χLT pour l’EC3 tient

compte de la Classe des semelles. Ces observations ont des consequences importantes

lorsque b/2tf augmente: dans le cas de l’AISC-LRFD, l’interpolation lineaire disparaıt

progressivement comme le VLS devient l’etat limite a la place du deversement. Ainsi,

l’elancement reduit λLT correspondant a la limite du plateau est de plus en plus

grand. Dans l’EC3, le voilement local a peu de chance d’etre l’etat limite au dela de

λLT = 0.4 comme χLT < 1. La fig. 2.12 presente la solution donnee par l’EC3 dans

le cas ou la Classe des semelles n’est pas consideree et demontre son impact sur χLT .

En conclusion, la transition entre le plateau et la solution d’Euler subsiste dans l’EC3

pour b/2tf → +∞ contrairement a l’AISC-LRFD.

Figure 2.12. Impact de la Classe de la semelle pour l’EC3, cas general.

17

Meme si l’elancement des semelles varie, les ecarts observes entre les differentes

methodes de l’EC3 sont similaires a ceux observes precedemment. La resistance

en flexion issue de l’AISC-LRFD en cas de deversement reste la solution la moins

conservatrice, tout particulierement lorsque la transition disparaıt entre le plateau de

la phase 1 et la phase 3 proche de la solution d’Euler. Si l’etat limite est le voilement

local, l’EC3 est generalement moins conservateur que l’AISC-LRFD comme observe

sur la fig. 2.13. L’ecart est particulierement important des lors que les semelles

sont de categorie Classe 4/Elancee et demontre que l’approche de Winter est plus

favorable.

Figure 2.13. Impact du voilement local sur la resistance en flexion, fonction del’elancement des semelles.

2.5.3 MRd and ϕbMn fonction du chargement et des conditions d’appui.

Les resultats donnes precedemment sont issus d’une poutre sur 2 appuis soumise a

un chargement transversal uniformement distribue. La fig. 2.14 presente l’impact

qu’ont le chargement (type + point d’application), et les conditions d’appui sur la

resistance en flexion d’une section (ici, profile standard). Dans certaines situations

ces parametres peuvent rendre la solution de l’AISC-LRFD particulierement non con-

servatrice par rapport a l’EC3: ceci peut etre du au facteur d’ajustement Cb (i.e.

cantilever), ou bien a Fcr dont sa formule est simplifiee et omet des cas tels que le

chargement sur l’extrados contrairement a la formule complexeMcr(NCCI) dans l’EC3.

18

Figure

2.14.Variation

oftheflexuralstrengthfunctionof

theload

ing,

theendrestraints,thelocation

theload

isap

plied.

19

2.6 Conclusion pour la verification de barres en flexion

La ruine d’une poutre soumise a de la flexion pure peut etre causee soit par une

plastification totale d’une section transversale, ou du voilement local, ou bien encore

du deversement. Ces 3 etats limites sont couverts dans l’AISC-LRFD et l’EC3. Bien

que ces 2 specifications partagent certaines theories, la facon dont la resistance en

flexion est determinee est globalement differente pour plusieurs raisons. Par exemple,

chaque specification utilise ses propres coefficients d’ajustement d’apres des resultats

experimentaux (i.e. Cb). Ou bien encore, certaines approches peuvent etre utilisees

dans l’un des codes tandis qu’elles n’y figurent pas dans l’autre (i.e. approche de

Winter).

Dans une situation normale (poutre sur 2 appuis), les resultats sont moins

conservateurs pour l’EC3 si la resistance en flexion est limitee par la plastification ou

le voilement local. Cette tendance s’inverse pour le cas du deversement ou l’AISC-

LRFD est plus favorable. Il est neanmoins difficile de predire lequel de l’EC3 et

de l’AISC-LRFD donnera les resultats les moins conservateurs comme de nombreux

parametres sont plus ou moins impliques dans la verification de la resistance en flexion.

Cependant, il est clair que l’EC3 dispose de bien des manieres pour s’ajuster au cas

etudie (i.e. plusieurs methodes pour approcher un probleme). Les formules utilisees

dans l’AISC-LRFD sont similaires a certaines presentes dans l’EC3, mais elles sont

simplifiees de sorte que leur utilisation est facile et rapide ; en contrepartie, elles

peuvent parfois amener a des resultats particulierement tres favorables.

20

CHAPITRE 3

CISAILLEMENT DES POUTRES

3.1 Informations generales

Les toutes premieres etudes au sujet des poutres remontent au moins au

XVeme siecle avec Leonard de Vinci [7] qui s’interesse comme d’autres pionniers a la

flexion. Les effets du cisaillement ne sont mentionnes qu’a la fin du XVIIIeme siecle

par Coulomb qui juge que seules les poutres courtes sont affectees par ce probleme.

Il faut attendre 1844 pour que J.D. Jourawski, un ingenieur Russe, remarque que de

longues poutres en bois utilisees dans la construction d’un pont fendent dans le sens

des fibres. De plus, il observe que la ligne de rupture est toujours localisee au centre

de la section transversale ou les contraintes de flexion sont alors deja connues pour

etre egales a 0 (fig. 3.2).

La fig. 3.1 presente l’effet du cisaillement pour un exemple simple. 2 poutres

sont considerees: (a) est composee de plusieurs planches collees l’une a l’autre tandis

que celles-ci sont libres de se deplacer dans le cas (b). En appliquant une charge

transversale sur l’extrados, les planches dans le cas (b) glissent longitudinalement

l’une par rapport a l’autre et la fleche de la poutre est plus importante que dans l’autre

cas. La colle utilisee en (a) a l’interface entre les planches empeche ce glissement et

agit telles que les contraintes de cisaillement dans une section pleine.

Figure 3.1. Effet des contraintes de cisaillement dans une barre flechie. (a) planchescollees. (b) planches libres.

21

D’apres les observations precedentes, D.J. Jourawski decouvre comment les

contraintes de cisaillement sont distribuees dans une section transversale (fig. 3.2) et

developpe une formule portant son nom (eq. 3.1) et publiee en 1854.

τ =V Q

It(3.1)

avec,

V = cisaillement dans la section etudiee [N ]

Q = moment statique [mm3]

I = moment quadratique [mm4]

t = epaisseur de la paroi (perpendiculaire au cisaillement) [mm].

Figure 3.2. Distribution des contraintes dans une section rectangulaire. (a) sectiontransversale. (b) contraintes longitudinales. (c) contraintes de cisaillement.

3.2 Principe de la reglementation d’apres l’AISC-LRFD

Le chapitre G [10] dans le manuel de construction metallique de l’AISC per-

met de verifier les barres au cisaillement et se divise en 8 sous-sections; seules les

2 premieres sont ici traitees et couvrent la resistance au cisaillement Vn pour des

sections transversales courantes a l’aide des eq. 3.2 et 3.3.

ΦVn = Φ0.6FyAwCv with Cv ≤ 1.0 (3.2)

22

ΦVn = Φ0.6FyAw(Cv + C ′v) with C

′v =

1− Cv

1.15√1 + (a/h)2

and Cv ≤ 1.0 (3.3)

Le premier membre des 2 equations precedentes est similaire et correspond a

la resistance plastique de cisaillement (0.6FyAw) basee sur une valeur moyenne plus

ou moins conservatrice des contraintes de cisaillement dans l’ame. Le 2nd membre

comprend le facteur reduit par voilement au cisaillement Cv ou Cv ≤ Cv + C ′v selon

l’equation. Ceci signifie que Vn (eq. 3.2) ≤ Vn (eq. 3.3). L’approche plus optimiste

de l’eq. 3.3 est due au champ de tension (Tension Field Action, TFA): des que le

voilement de l’ame s’amorce du fait d’un chargement significatif, une force de tension

apparaıt dans la diagonale du panneau de l’ame (fig. 3.3) et contribue a la resistance

au voilement par cisaillement. Neanmoins, l’utilisation de l’eq. 3.3 est permise sous

certaines conditions (i.e. distance entre les raidisseurs transversaux (ITS), position

du panneau le long de la poutre, etc.).

Figure 3.3. Champ de tension selon le modele de Basler utilise dans l’AISC-LRFD.

3.3 Principe de la reglementation d’apres l’EC3

La verification au cisaillement dans l’EC3 est couverte dans l’EN 1993-1-1 et

l’EN 1993-1-5.

3.3.1 EN 1993-1-1(6.2.6). Cette clause [5] permet de verifier la resistance au

23

cisaillement Vc,Rd d’une section aussi bien pour une distribution des contraintes plas-

tique ou elastique.

La distribution des contraintes de cisaillement varie sur toute la hauteur d’une

section transversale avec τmax situee a l’axe neutre comme indique sur la fig. 3.2.

Dans le cas des profiles en I, tres frequemment utilises, la distribution des contraintes

de cisaillement dans l’ame ne varie pas autant que pour une section rectangulaire

et sont nettement plus importantes que dans les semelles. Ainsi, la resistance au

cisaillement est prise egale a Vc,Rd = Vpl,Rd ou Vpl,Rd correspond a une valeur moyenne

des contraintes de cisaillement dans l’ame.

Vc,Rd = Vpl,Rd =Av ( fy /

√3 )

γM0

(3.4)

3.3.2 EN 1993-1-5(5). Des que l’elancement de la paroi de l’ame est trop impor-

tant, le voilement au cisaillement doit etre egalement verifie [6].

Vb,Rd = Vbw,Rd + Vbf,Rd ≤η fyw hw t√

3 γM1

(3.5)

D’apres l’eq. 3.5, l’ame Vbw,Rd et eventuellement les semelles Vbf,Rd participent

a la resistance au voilement par cisaillement Vb,Rd. Les eq. 3.6 et eq. 3.7 calculent la

part de resistance de l’ame et des semelles respectivement. Ces 2 equations sont toutes

deux divisees en 2 membres, le 1er calcule la resistance plastique au cisaillement, le

2nd est un facteur de reduction qui determine la contribution de l’ame ou la semelle

selon la paroi consideree. Alors que le materiau et la geometrie de la section ont

un impact sur Vbw,Rd et Vbf,Rd, Vbf,Rd depend egalement de l’intensite du chargement

appliquee a la section etudiee.

Vbw,Rd =fyw hw t√3 γM1

χw (3.6)

Vbf,Rd =bf t

2f fyf

c γM1

(1− (MEd

Mf,Rd

)2) (3.7)

24

3.4 Equivalences et differences entre les 2 specifications Le tab. 3.1 presente

les parametres les plus importants utilises dans l’AISC-LRFD et l’EC3.

Table 3.1. Equivalence des symboles

AISC-LRFD EUROCODE 3

Vn nominal shear strength VRd design shear resistance

ϕv resistance factor for shear γM0, γM1 partial factors

Aw web area Av shear area

Cv web shear coefficient χw shear buckling factor

kv web plate buckling coefficient kτ shear buckling coefficient

Un rearrangement des eq. 3.2 et eq. 3.6 permet de constater que la formule

dans l’AISC-LRFD verifiant la resistance au cisaillement sans le champ de tension

Vn (no TFA) est tres similaire a celle donnee par l’EC3 tenant compte de la contribution

de l’ame Vbw,Rd. Par contre, aucune methode n’est indiquee dans l’AISC-LRFD pour

la contribution des semelles, tout comme le champ de tension n’est pas couvert dans

l’EC3. Il peut etre note que les anciennes versions de l’EC3 decrivent une methode

tenant compte du champ de tension qui a ete ensuite remplacee par l’EN 1993-1-5(5).

Table 3.2. Resistance nominale au cisaillement vs. Resistance au cisaillement

AISC-LRFD EUROCODE 3

ΦvVn (no TFA) = Φv 0.6 Fy h t Cv Vbw,Rd = (1/γM1) 0.58 fyw hw t χw

not available Vbf,Rd

ΦvVn (TFA) not available

Dans le cas d’un profile en I disposant de raidisseurs transversaux separes

d’une distance a, la valeur de cisaillement maximale que peut supporter une poutre

depend principalement des 2 rapports suivants: (hw/tw) et ( a/hw). L’impact de ces

25

parametres sur Vn et VRd est transmis par Cv (AISC-LRFD) et χw (EC3). La fig.

3.5 compare Cv et χw, fonctions des rapports (hw/tw) et ( a/hw). Les 3 graphiques

incluent 2 courbes pour l’AISC-LRFD (avec et sans le TFA), et 2 egalement pour

l’EC3 (montant d’extremite rigide ou non rigide, voir fig. 3.4).

Les 3 graphiques presentent un plateau pour Cv et χw lorsque hw/tw → 0. Il

est rare que les profiles lamines europeens et americains aient un rapport hw/tw > 55,

et donc sont rarement sujets au voilement par cisaillement. Le plateau s’interrompt

pour un hw/tw toujours plus important quand a/hw diminue.

Dans le cas ou le voilement par cisaillement intervient et quelque soit la valeur

de a/hw: χw (RIGIDE) est legerement plus favorable que χw (NON−RIGIDE) pour un rap-

port hw/tw important et sont egaux si ce rapport est plus modere. Pour l’AISC-LRFD,

le champ de tension est exclu de la verification pour des rapports a/hw et hw/tw im-

portants. Au contraire, pour de faibles distances entre 2 raidisseurs transversaux le

champ de tension est applicable et l’ecart entre (Cv) et (Cv + C ′v) est important.

Bien que l’EC3 ne propose pas de methode tenant compte du champ de tension

comme dans l’AISC-LRFD, la valeur de χw depend de la configuration des montants

d’extremite. Il est donc possible d’emettre l’hypothese que χw (RIGIDE) equivaut (Cv+

C ′v) dans l’AISC-LRFD, de meme que χw (NON−RIGIDE) correspondrait a (Cv).

Figure 3.4. Differentes configurations de montants d’extremites d’apres l’EC3.

26

Figure 3.5. Facteur reduit par voilement au cisaillement. (a) a/hw = 10. (b) a/hw =3. (c) a/hw = 1.

27

3.5 Variation de la resistance au cisaillement, comparaison des resultats

La 1ere analyse compare la variation de ϕvVn et VRd en fonction de a/hw

pour 3 elancements d’ame differents: hw/tw = 100 (cas a.), hw/tw = 150 (cas b.), et

hw/tw = 300 (cas c.). Les resultats de ces 3 cas sont disponibles sur la fig. 3.6 ou

l’axe des ordonnees correspond a ΦVni/Vpl,Rd (AISC-LRFD) ou VRd/Vpl,Rd (EC3).

3.5.1 Variation de V[a/hw]i/Vpl,max, phases principales. Pour toutes les methodes,

a l’exception de celle incluant le champ de tension dans l’AISC-LRFD, la variation

de la resistance au cisaillement est divisee en 3 phases:

(1) Phase 1, aucune variation de la resistance au cisaillement qui correspond

a la resistance plastique que peut supporter la section transversale,

(2) Phase 2, diminution rapide de la resistance au cisaillement lorsque a/hw

augmente. La section transversale est soumise au voilement par cisaillement, sa plas-

tification n’est plus atteignable.

(3) Phase 3, variation negligeable de la resistance au cisaillement. La section

transversale est encore soumise au voilement par cisaillement. Cependant, a/hw a un

faible impact sur la variation de la resistance au cisaillement.

D’apres la fig. 3.6, quelque soit hw/tw, la transition entre les phases 2 et 3

intervient autour de a/hw = 3 pour toutes les methodes. Au contraire, la phase 1 ne

s’interrompt pas toujours pour le meme a/hw:

(1) quelque soit hw/tw, [a/hw]EC, ph.1 ≤ [a/hw]AISC, ph.1,

(2) quand hw/tw → 0, [a/hw]ph.1 → +∞ et [a/hw]EC, ph.1 ≤ [a/hw]AISC, ph.1,

(3) quand hw/tw → +∞, [a/hw]ph.1 → 0 et [a/hw]EC, ph.1 ≃ [a/hw]AISC, ph.1.

28

Figure 3.6. Variation de la resistance au cisaillement fonction de a/hw. (a) hw/tw =100. (b) hw/tw = 150. (c) hw/tw = 300.

29

Les observations faites sur la limite entre les phases 1 et 2 sont valides pour

la methode de l’AISC-LRFD tenant compte du champ de tension. Pour a/hw > 3,

l’utilisation de cette methode est exclue et peut eventuellement l’etre au dessous de

3 si a/hw > [260/(h/tw)]2. Cette condition est verifiee des lors que hw/tw ≥ 150, il

en resulte une soudaine rupture de la courbe Vn (TFA).

3.5.2 Amplitude de V[a/hw]i/Vpl,max.

3.5.2.1 Phase 1. Lorsque la resistance plastique au cisaillement peut etre atteinte,

l’ecart entre l’EC3 et l’AISC-LRFD ne depend que de la resistance elastique fy et

la geometrie de la section transversale (h, tw et tf ). La configuration des montants

d’extremite et le champ de tension n’ont ici aucun impact et donc: Vn, NO TFA =

Vn, TFA, VRd, NON−RIGID = Vn, RIGID. Cependant, il y a de grande chance pour qu’un

ecart existe entre les plateaux correspondant a l’AISC-LRFD et l’EC3.

Figure 3.7. Resistance plastique au cisaillement d’apres l’EC3 et l’AISC-LRFD.

Comme indique sur la fig. 3.7, quelque soit hw/tw: avec un rapport h/tf ≃ 25

et fy ≤ 460MPa (cas 1), la resistance plastique au cisaillement est environ 15%

inferieure pour l’AISC-LRFD par rapport a l’EC3. Si les semelles sont plus epaisses,

cette difference est de moins en moins importante (cas 2). Par ailleurs si fy > 460MPa

et des que h/tf ≤ 30, l’EC3 donne des resultats plus conservateurs.

30

Generalement, 15 ≤ h/tf < 30 et fy = 250 ou 350Mpa pour des profiles stan-

dards. Ainsi si la resistance plastique au cisaillement peut etre atteinte, l’EC3 donnera

les resultats les moins conservateurs. Cette observation a tendance a s’inverser des

lors que la geometrie de la section transversale est particuliere ou que la resistance

elastique est importante.

3.5.2.2 Phase 2. Des lors que le voilement par cisaillement apparaıt, hw/tw et a/hw

ont un impact important sur la variation de la resistance au cisaillement. D’autres

parametres peuvent etre impliques comme h/tf , fy, b, Mb.

Lorsque la paroi de l’ame est tres elancee (hw/tw → 300), l’impact du voilement

par cisaillement est d’autant plus important reduisant considerablement la resistance

au cisaillement pour l’AISC-LRFD et l’EC3. Vn,NO TFA est la methode donnant les

resultats les plus conservateurs dans ce cas.

Au contraire si la paroi de l’ame est tres compacte (hw/tw → 100), le voile-

ment par cisaillement est moins important. Les parametres h/tf et fy contribuent a

diminuer ou augmenter l’ecart entre les resistances au cisaillement des methodes de

l’AISC-LRFD et celles de l’EC3.

Figure 3.8. Voilement par cisaillement, AISC-LRFD comparee l’EC3. (a) en fonctionde h/tf et hw/tw. (b) en fonction de fy et hw/tw.

31

Tandis que Vn,NO TFA donne des resultats souvent plus conservateurs que

Vb,Rd(non−rigid) et Vb,Rd(rigid), les observations sont differentes pour le champ de ten-

sion dans l’AISC-LRFD. Des que cette methode est applicable, Vn,TFA est toujours

superieure a Vb,Rd(non−rigid) tandis que cela depend vis-a-vis de Vb,Rd(rigid) (fig. 3.6 et

3.9): Vb,Rd(rigid) est plus conservateur que Vn,TFA pour des panneaux courts, alors que

pour a/hw → 3 les 2 specifications donnent des resultats proches. Enfin, la methode

du champ de tension n’est pas applicable au dela de hw/tw > 150, et engendre une

chute soudaine de la valeur maximale que peut atteindre la resistance au cisaillement

d’autant plus importante quand la paroi de l’ame est tres elancee.

Figure 3.9. Vn (TFA) comparee a Vb,Rd (rigid). (a) fy = 250MPa. (b) fy = 485MPa.

Il est eventuellement possible dans l’EC3 de tenir compte de la contribution des

semelles dans la resistance au voilement par cisaillement avec cependant 2 limitations:

(1) le momentMb applique a la section; (2) la largeur efficace bf qui limite la resistance

32

au cisaillement Vb,Rd (w+f) a l’interieur d’une enveloppe. Comme indique sur la fig.

3.10 et le tableau 3.3, les semelles peuvent contribuer a augmenter la resistance au

cisaillement siMb → 0 (i.e. poutre courte), les chances se reduisent quandMb → +∞.

Cette derniere observation est d’autant plus vraie quand l’elancement de la paroi de

l’ame est important (hw/tw → 300). Une poutre sujette au voilement par cisaillement

est generalement composee d’une ame haute et des semelles etroites, raison pour

laquelle les resultats dans le tableau 3.3 sont donnes pour h/bf = 5.

Figure 3.10. Vb,Rd(w+f, rig) comparee a Vb,Rd(w, rig) et Vn(TFA) with hw/tw = 150.

Table 3.3. Vb,Rd(w+f, rig) comparee a Vb,Rd(w, rig) et Vn(TFA), h/bf = 5

Short beam (Mb → 0) Long beam (Mb → +∞)

compared to: Vb,Rd(w) Vn(TFA) Vb,Rd(w) Vn(TFA)

hw/tw = 100 +14% +3% +7% -3%

hw/tw = 150 +28% +21% N.A. N.A.

hw/tw = 300 +76% +36% N.A. N.A.

33

3.5.2.3 Phase 3. Vb,Rd (rig), Vb,Rd (n−rig) et Vn (no TFA) sont les 3 methodes ap-

plicables au-dela de a/hw = 3. Dans cette phase l’AISC-LRFD est globalement

plus conservateur que l’EC3, et ce meme en manipulant plusieurs facteurs impliques

dans le calcul de la resistance au cisaillement. L’ecart entre les 2 specifications peut

cependant varier comme indique dans les tableaux 3.4 et 3.5 et est particulierement

important pour une paroi de l’ame elancee.

Table 3.4. Vn(no TFA) comparee a Vb,Rd(non−rigid) et Vb,Rd(rigid) pour differents fy

fy = 250MPa fy = 355MPa fy = 485MPa

compared to Vb,Rd(n−rig) Vb,Rd(rig) Vb,Rd(n−rig) Vb,Rd(rig) Vb,Rd(n−rig) Vb,Rd(rig)

hw/tw = 100 -15% -16% -29% -35% -39% -47%

hw/tw = 150 -44% -52% -53% -62% -60% -68%

hw/tw = 300 -72% -79% -76% -83% -80% -86%

Table 3.5. Vn(no TFA) comparee a Vb,Rd(non−rigid) et Vb,Rd(rigid) pour differents h/tf

h/tf = 26.6 h/tf = 9.1 h/tf = 8

compared to Vb,Rd(n−rig) Vb,Rd(rig) Vb,Rd(n−rig) Vb,Rd(rig) Vb,Rd(n−rig) Vb,Rd(rig)

hw/tw = 100 -15% -18% +1% -6% +4% +1%

hw/tw = 150 -44% -43% -33% -43% -31% -41%

hw/tw = 300 -72% -76% -66% -75% -65% -75%

Enfin, une discontinuite est observable a a/hw = 3 pour Vn (no TFA) (fig. 3.6).

Celle-ci est plus ou moins importante en fonction de l’elancement de l’ame (jusqu’a

10% quand hw/tw → 100). Cette discontinuite est due au coefficient de voilement

de l’ame kv utilise dans l’AISC-LRFD et qui est determine a l’aide d’une equation

simplifiee a l’inverse de kτ pour l’EC3.

34

3.6 Analyse des resultats a contraintes de cisaillement equivalentes

Lorsque le rapport hw/tw varie, a/hw doit etre ajuste afin de conserver la con-

trainte de cisaillement constante. Il est possible de tracer une courbe d’iso-contrainte

fonction de hw/tw et a/hw. D’apres les efforts de cisaillement Vu (AISC-LRFD) et

VEd (EC3) determines au cours de l’analyse structurelle, et en faisant l’hypothese

sur la geometrie de la section transversale, la contrainte de cisaillement requise et sa

courbe d’iso-contrainte peuvent etre calculees ; la courbe permet alors aisement de

determiner l’espacement maximale entre deux raidisseurs transversaux.

Figure 3.11. a/hw requis pour hw/tw = 100 a une contrainte de cisaillement τ =103, 4MPa.

Dans un 1er exemple, la paroi de l’ame a un elancement de hw/tw = 100 et la

section transversale doit pouvoir supporter 103,4 [MPa] (15 [ksi]) ; seules Vn (TFA),

Vb,Rd (rigid, w) et Vb,Rd (rigid, w+f) sont considerees. Les resultats sont disponibles sur la

fig. 3.11. A premiere vue, le graphique (a) indique que Vn (TFA) est plus conservatrice

35

que Vb,Rd (rig, w+f). A l’aide de la courbe d’iso-contrainte tracee en (b), il est possible

de reporter sur le 1er graphique pour chaque methode l’amplitude de la resistance

de cisaillement necessaire afin de supporter τ = 103, 4[MPa]. Vn (TFA) de l’AISC-

LRFD est la methode la moins conservatrice en donnant la plus longue distance entre

2 raidisseurs transversaux (i.e. a/hw = 2.80), pourtant son amplitude est la plus

faible de toutes les methodes dans ce cas. Vb,Rd (rig, w+f) et Vb,Rd (rig, w) donnent

respectivement a/hw = 1.75 et a/hw = 1.1, c’est-a-dire 40% et 60% de moins que

pour la methode du champ de tension. En d’autres termes, pour une poutre de 10m

de long soumise a une contrainte de cisaillement constante sur toute sa longueur et

avec hw = 740mm: 12 paires de raidisseurs transversaux sont necessaires pour la

methode des montants d’extremite rigide de l’EC3, 8 en ajoutant la contribution des

semelles, et seulement 5 avec le champ de tension de l’AISC-LRFD.

Dans un second exemple presente sur la fig. 3.12, l’elancement de la paroi

de l’ame est fixe a hw/tw = 150 et 2 contraintes de cisaillement sont etudiees (τ =

103, 4[MPa] et τ = 68, 9[MPa]). Dans tous les cas, a/hw est toujours superieurs pour

l’AISC-LRFD par rapport a l’EC3. L’ecart entre les 2 specifications est cependant

moins prononce pour une contrainte de cisaillement plus elevee. Par ailleurs, il y a de

faibles chances pour que la contribution des semelles puisse etre incluse pour un tel

elancement de l’ame, tout particulierement si la poutre est longue (moment flechissant

important). Enfin, il peut etre note la similitude des resultats entre Vn (no TFA) et

Vb,Rd (non rigid). Cette observation est plus contrastee pour Vn (TFA) et Vb,Rd (rigid).

Table 3.6. Quantite de raidisseurs requis pour une poutre soumise a une contraintede cisaillement constante, hw/tw = 150, Lbeam = 10m.

Vb,Rd (n−rig) Vb,Rd (rig) Vn (no TFA) Vn (TFA)

τ = 103.4MPa 21 21 16 11

τ = 68.9MPa 12 11 7 6

36

Figure

3.12.a/h

wrequispou

rhw/t

w=

150aunecontrainte

decisaillementτ=

103,4M

Pa(a)etτ=

68,9MPa(b).

37

3.7 Conclusion pour le cisaillement des poutres

Les methodes dont disposent l’EC3 et l’AISC-LRFD pour la verification des

barres au cisaillement sont globalement similaires. Cependant, la methode du champ

de tension dans l’AISC-LRFD n’existe pas dans l’EC3 qui l’a abandonne a la faveur

d’une methode basee sur la configuration des montants d’extremite [9]. L’ecart des

resultats entre le cas de montants d’extremite rigide et non-rigide est plus modere

qu’entre les methodes de l’AISC-LRFD tenant compte ou pas du champ de tension.

Des lors que le voilement par cisaillement apparaıt, la contribution des semelles peut

dans une certaine mesure etre incluse dans l’EC3 contrairement a l’AISC-LRFD. Cette

contribution peut parfois aider a augmenter la distance entre 2 paires de raidisseurs

transversaux.

L’EC3 semble etre moins conservateur que l’AISC-LRFD dans les situations

les plus courantes (avec profiles standards) ou la resistance plastique au cisaillement

peut etre atteinte. Cette tendance s’inverse des que le cisaillement est limite par le

voilement de l’ame. L’ecart entre la methode du champ de tension et son equivalent

dans l’EC3 (montant d’extremite rigide) est d’ailleurs particulierement optimiste. Cet

ecart est plus modere entre les 2 autres methodes.

38

CHAPITRE 4

POTEAU-POUTRES

4.1 Informations generales

Le terme poteau-poutre designe une barre soumise a la fois a de la flexion et de

la compression axiale. Par exemple, les charges verticales transmises par une poutre

a une colonne engendrent egalement dans cette derniere un couple du a l’excentricite

du chargement (fig. 4.1). Des forces horizontales (i.e. vent) peuvent aussi contribuer

a la flexion d’une colonne.

Figure 4.1. Exemple de poteau-poutre et charges impliquees.

La compression et la flexion pure peuvent etre considerees comme 2 cas par-

ticuliers de poteau-poutre. Cependant, leur combinaison est frequente et determiner

l’interaction de l’un sur l’autre est complexe. Il est possible de resoudre avec precision

ce probleme a l’aide de la methode des elements finis, la verification est tres longue en

contrepartie et donc a eviter pour les cas les plus courants. L’AISC-LRFD et l’EC3

proposent chacun une solution tenant compte de l’interaction de la compression et la

flexion dans une barre (la flexion composee n’est pas couverte dans ce memoire).

39

Le comportement des poteau-poutres est egalement affecte par des imperfec-

tions de 2 natures: dues au materiau (i.e. contraintes residuelles), d’autres geometriques

(fig. 4.2). Ce dernier type d’imperfection peut globalement se diviser en 2 effets, l’un

a l’echelle de la structure qui referre a un defaut initial global d’aplomb de chaque

etage P − ∆ (associe au deplacement lateral d’une structure), le 2nd a l’echelle de

la barre qui correspond a un defaut de rectitude P − δ de celle-ci (ou imperfection

initiale locale en arc). Ces differentes imperfections sont toutes couvertes par l’EC3

et l’AISC-LRFD.

Figure 4.2. Effets de P −∆ et P − δ sur une barre poteau-poutre.

4.2 Courbes d’interaction pour l’AISC-LRFD et l’EC3

L’approche de l’AISC-LRFD [10] pour les poteau-poutres comprend la paire

d’equations 4.1 et 4.2. La premiere est utilisee lorsque le moment de flexion predomine

tandis que la seconde des lors que la compression axiale devient importante. Ces 2

equations sont similaires, chacune tenant compte de l’impact des forces axiales dans

un 1er membre, et la flexion selon les 2 axes principaux dans le second. Mr et Pr

40

sont issues de la verification a la flexion et la compression pure respectivement. La

seule difference entre ces 2 equations est due aux constantes d’ajustement appliquees

devant chaque terme et tenant compte de l’effet P − δ. Une courbe d’interaction

issue de la methode de l’AISC-LRFD se scinde en 2 lignes droites comme montre sur

l’exemple de la fig. 4.3.

Pr

2Pc

+ (Mrx

Mcx

+Mry

Mcy

) ≤ 1 forPr

Pc

< 0.2 (4.1)

Pr

Pc

+8

9(Mrx

Mcx

+Mry

Mcy

) ≤ 1 forPr

Pc

≥ 0.2 (4.2)

Figure 4.3. Courbe d’interaction d’apres l’AISC-LRFD.

2 equations d’interaction sont utilisees dans l’EC3 [5], et combinent la flexion

et la compression avec eventuellement des instabilites de forme comme pour l’AISC-

LRFD. Neanmoins, chacune de ces formules correspond a l’un des axes principaux (y-y

et z-z), toutes deux doivent donc etre verifiees qu’importe la combinaison des efforts.

Dans le cas de sections transversales non-symetriques, ces equations definissent con-

trairement a l’AISC-LRFD un moment additionnel du a l’excentricite de l’axe neutre

41

par rapport au centre de gravite. Les facteurs d’interaction kyy, kyz,kzy,kzz appliques

aux moments sur y-y et z-z sont les principales differences entre les 2 equations. Ceux-

ci tiennent comptent en particulier du chargement et des differents comportements

d’une barre (plastique, inelastique, elastique) ; 2 methodes complexes sont decrites

en annexe de l’EC3 afin de calculer les facteurs d’interaction, la methode 1 implique

une procedure particulierement longue.

NEd

χyNRk

γM1

+ kyyMy,Ed +∆My,Ed

χLTMy,Rk

γM1

+ kyzMz,Ed +∆Mz,Ed

Mz,Rk

γM1

≤ 1.0 (4.3)

NEd

χzNRk

γM1

+ kzyMy,Ed +∆My,Ed

χLTMy,Rk

γM1

+ kzzMz,Ed +∆Mz,Ed

Mz,Rk

γM1

≤ 1.0 (4.4)

Afin de pouvoir utiliser ces equations d’interaction, la compression et la flexion

doivent etre verifiees separement pour la barre etudiee de facon a obtenir: Pc et Mc

pour l’AISC-LRFD, χy, χz et χLT pour l’EC3.

4.3 Approches de l’AISC-LRFD et l’EC3 aux imperfections

La facon dont sont gerees les imperfections dans l’EC3 et l’AISC-LRFD peut

se diviser en 2 parties: les imperfections ayant un impact direct sur la barre, et celles

sur l’ensemble de la structure.

4.3.1 Imperfections a l’echelle des barres. Les defauts de rectitude et les

contraintes residuelles sont des imperfections issues de la fabrication des barres. Par

exemple lors du refroidissement d’un profile lamine, la temperature ne baisse pas

de facon homogene dans la section et engendre des contraintes residuelles. Ces 2

imperfections empechent une barre d’atteindre le point de bifurcation entre les limites

stable et instable predit dans la theorie.

Pour l’EC3 et l’AISC-LRFD, les equations d’interaction prennent compte de

ces imperfections a travers differents parametres calcules lors de la verification a la

compression et la flexion. 4 courbes dans l’EC3 et une interpolation lineaire pour

42

l’AISC-LRFD traitent des contraintes residuelles et des defauts de rectitude pour le

cas de la flexion. Au cours de la verification a la compression, la methode de l’AISC-

LRFD n’est pas basee sur une interpolation lineaire et permet de tracer une courbe

similaire aux 5 disponibles dans l’EC3 (fig. 4.4).

Figure 4.4. Courbes de flambement d’apres l’EC3 (cas a) et l’AISC-LRFD tenantcompte des contraintes residuelles et l’effet P − δ pour une barre comprimee.

L’EC3 tient eventuellement compte d’une imperfection initiale locale en arc,

c’est-a-dire un defaut de rectitude, a l’echelle de la structure sous condition que la

barre etudiee soit tres elancee. La procedure pour tenir compte de cette imperfection

dans ce cas est decrite dans la section suivante.

4.3.2 Imperfections a l’echelle de la structure. Le defaut d’aplomb, ou l’effet

P −∆, est une d’imperfection ayant un impact sur la stabilite de la structure. L’EC3

et l’AISC-LRFD ont une approche differente du probleme ; le premier se base sur

la methode des forces horizontales equivalentes [5] tandis que le second opte pour la

methode des longueurs efficaces (MLE) [10].

Une barre poteau-poutre peut etre maintenue aux autres elements de la struc-

ture a l’aide de maintiens varies (i.e. rotule, encastrement, libre, etc.). La MLE de

43

l’AISC-LRFD substitue dans l’etude la barre poteau-poutre etudiee de longueur L par

une barre bi-rotulee de longueur KL. Le facteur K depend des conditions d’appui de

la barre poteau-poutre etudiee. Le tableau (a) de la fig. 4.5 donne une approximation

de K pour des maintiens elementaires. Cependant, il est preferable de determiner K

a l’aide du tableau (b) qui estime la rigidite des 2 abouts de la barre ; le calcul de

cette rigidite s’appuie sur l’ensemble des barres fixees au noeud etudie.

Figure 4.5. Facteur de longueur effective K pour des conditions d’appui elementaires(a) ou a l’aide d’un diagramme d’alignement (b).

Contrairement a la MLE, la longueur L de la barre poteau-poutre etudiee n’est

pas substituee dans la methode des forces horizontales equivalentes. Cette methode,

utilisee dans l’EC3, introduit des efforts horizontaux Hi a chaque etage i et pour

chaque poteau-poutre de la structure (fig. 4.6). La valeur de Hi depend d’un facteur

44

d’imperfection d’aplomb ϕ et de la charge verticale NEd appliquee a la barre poteau-

poutre etudiee. ϕ depend de plusieurs parametres dont la hauteur de la structure,

le nombre de colonne dans une file, etc. ϕ peut eventuellement etre ajuste afin de

tenir compte egalement des imperfections initiales locales en arc. Il faut remarquer

qu’une methode d’analyse directe (Direct Analysis Method, DAM) est proposee dans

l’annexe 7 [10] de l’AISC-LRFD et correspond a une methode des forces horizontales

equivalentes.

Figure 4.6. Methode des forces horizontales equivalentes indiquee dans l’EC3.

4.4 Analyse du second ordre simplifiee

Les imperfections introduites precedemment, tout particulierement le defaut

d’aplomb, sont des effets du second-ordre ; leurs impacts sur une structure peuvent

etre evalues grace a une analyse du second ordre de la structure. L’EC3 et l’AISC-

LRFD tiennent compte de ces imperfections a l’aide d’une methode simplifiee du

second ordre en amplifiant une analyse du premier ordre.

Dans le cas de l’EC3, toutes les charges horizontales (forces horizontales equivalentes,

vent, etc.) sont amplifiees par l’eq. 4.5. Il en resulte une amplification du moment

45

de flexion et de la charge axiale que doivent soutenir chaque poteau-poutre.

1

1− 1αcr

with αcr = (HEd

VEd

) ∗ ( h

δH.Ed

) (4.5)

Figure 4.7. Parametres impliques dans la determination de αcr.

L’AISC-LRFD scinde l’analyse structurelle en 2 cas, l’un traite uniquement des

charges de gravite (nt), tandis que le second analyse l’impact des charges horizontales

sur la structure (lt). Cette methode necessite de determiner 2 facteurs d’amplification:

B1 (eq. 4.6) associe a (nt), et B2 (eq. 4.7) lie aux charges causant des deplacements

lateraux de la structure (lt). Dans le cas ou il n’y a pas de charge horizontale appliquee

sur la structure (i.e. vent) et a condition d’utiliser la MLE, le calcul de B2 n’est pas

necessaire comme Plt = 0 et Mlt = 0. Cependant B2 est requis pour la DAM, cette

methode impliquant des forces horizontales equivalentes. Les facteurs d’amplification

B1 et B2 permettent de determiner le moment de flexion Mr et la force axiale Pr a

l’aide des eq. 4.8 et eq. 4.9.

B1 =Cm

1− Pr

Pe1

(4.6)

B2 =1

1− ΣPnt

ΣPe2

(4.7)

Pr = Pnt +B2 ∗ Plt (4.8)

Mr = B1 ∗Mnt +B2 ∗Mlt (4.9)

46

4.5 Courbes d’interaction, comparaison des resultats

La comparaison des poteau-poutres est faite a l’aide de courbes d’interaction:

l’axe des abscisses correspond au moment de flexion requisMr divise par la resistance

de flexion Mc issue de la verification de la flexion pure pour l’AISC-LRFD ; l’axe des

ordonnees represente la charge axiale requise Pr divisee par la resistance en compres-

sion Pc issue de la verification a la compression pure donnee par l’AISC-LRFD pour

K = 1. L’analyse est scindee en 2 parties: la 1ere se focalise sur l’impact du charge-

ment (effet de P−∆ empeche) ; la 2nde s’interesse aux approches de l’AISC-LRFD et

l’EC3 afin de tenir compte de P−∆. Les resultats sont donnes pour deux elancements

de colonnes, L/ry = 50, et L/ry = 130. Les courbes d’interaction presentees dans ce

memoire ont ete tracees a l’aide d’un programme Excel/VBA dont plusieurs captures

d’ecran sont disponible en annexe A de ce memoire.

4.5.1 Investigation no. 1, effet P −∆ empeche. Les fig. 4.8 et 4.9 sont issues

d’un profile lamine HEB300 charge transversalement sur son axe fort y-y, plusieurs

diagrammes des moments sont disponibles:

(1) M1 − ψM1 = 0: equivaut a une barre poteau-poutre rotulee a sa base et

encastrees a d’autres barres a son sommet (i.e. colonne au 1er etage d’une ossature

rigide).

(2) M1 − ψM1 = 1: equivaut a une barre poteau-poutre encastree a sa base

et libre a son sommet (i.e. poteau publicitaire).

(3) M1 − ψM1 = −1: equivaut a une barre poteau-poutre encastree a ses 2

extremites (i.e. colonne dans une ossature rigide).

(4) pas de moment aux noeuds, charge transversale uniformement distribuee:

equivaut a une barre poteau-poutre bi-rotulee (i.e. poutre dans une ossature con-

treventee).

47

Figure

4.8.

Cou

rbes

d’interactiond’unecolonnefaiblementelan

ceeL/r

y=

50pou

rdifferents

casdecharge.

48

Figure

4.9.

Cou

rbes

d’interactiond’unecolonneelan

ceeL/r

y=

130pou

rdifferents

casdecharge.

49

Pour les barres a faible elancement L/ry = 50 (fig. 4.8), l’AISC-LRFD et

l’EC3 (Meth. 2) donnent pour les cas (1), (2), et (4) des resultats tres similaires

comme l’atteste le tableau 4.1. Pour ces memes cas, l’EC3 (Meth. 1) est environ 15%

au dessus ou au dessous des resultats de l’AISC-LRFD. Le cas 3, correspondant aux

moments d’about opposes, donne des resultats plus conservateurs pour l’AISC-LRFD

par rapport aux 2 methodes de l’EC3. Les courbes d’interaction de l’EC3 suivent

globalement une ligne droite pour des colonnes peu elancees. Cette observation n’est

plus verifiee pour des elancement L/ry importants: une courbe bi-lineaire apparaıt

pour la Meth. 1, tandis que la Meth. 2 est tangente aux 2 droites de la Meth.

1 avec une transition plus souple. L’AISC-LRFD est approximativement 25% moins

conservateur que l’EC3 pour les cas (2) et (4). Pour les cas (1) et (3): quand Pr ≫Mr

ou Pr ≪ Mr, l’AISC-LRFD est moins conservateur. Si l’intensite de la compression

est aussi importante que celle pour la flexion, l’EC3 (Meth. 1) est la solution la moins

conservatrice, alors que l’EC3 (Meth. 2) peut etre proche ou moins conservateur que

l’AISC-LRFD selon le cas (fig. 4.9).

Table 4.1. Ecarts des courbes d’interaction de l’AISC-LRFD avec l’EC3 (Meth. 1 et2) pour une colonne a elancement faible L/ry = 50.

Case 1 Case 2 Case 3 Case 4

MAISC/MEC3,1 -13% +20% -30% +17%

MAISC/MEC3,2 -4% -4% -15% +2%

Cette premiere analyse demontre que pour des colonnes a elancement faible,

l’AISC-LRFD et l’EC3 obtiennent des resultats proches. Tandis que des ecarts appa-

raissent des lors que l’elancement est important. Neanmoins, cette 1ere investigation

ne tient pas compte des eventuels deplacements lateraux de la structure.

50

4.5.2 Investigation no. 2, approches de l’AISC-LRFD et l’EC3 P −∆. Le

defaut d’aplomb n’est pas traite de la meme facon dans l’EC3 et l’AISC-LRFD. Le

premier fait appel aux forces horizontales equivalentes, le second ajuste la longueur

a l’aide d’un facteur K. Un simple portique rigide rotule a sa base a servi au cours

de cette analyse. Les courbes d’interactions de la fig. 4.11 ont ete tracees a partir de

l’une des barres poteau-poutre HEB140 (K = 1.9).

Figure 4.10. Portique rigide utilise lors de l’analyse.

La MLE, utilisee dans l’AISC-LRFD, augmente virtuellement l’elancement de

la colonne a l’aide du facteur K afin de tenir compte de l’effet P − ∆. Pour une

colonne a faible elancement, si la force axiale est importante, les resultats donnes par

l’AISC-LRFD sont tres conservateurs [4] (jusqu’a 20% au dessous de l’EC3). Cette

observation empire pour une colonne a elancement important (jusqu’a 50% au dessous

de l’EC3). La fig. 4.11 compare egalement l’EC3 avec la DAM indiquee dans l’annexe

7 de l’AISC-LRFD. Cette derniere methode est similaire a l’approche de l’EC3. Les

resultats sont dans ce cas similaires, quelque soit l’elancement de la colonne.

Enfin, la courbe bi-lineaire de l’EC3 (Meth. 1) rencontree plus tot pour des

colonnes a elancement important n’est plus autant prononcee ; l’EC3 (Meth. 1 et 2)

suivent plus ou moins une ligne droite. Quelque soit l’elancement de la colonne, la

forme des courbes d’interaction de l’EC3 est proche de celle proposee dans l’AISC-

LRFD des lors que la verification tient compte de l’effet P −∆.

51

Figure

4.11.Cou

rbes

d’interactionpou

rL/r

y=

50etL/r

y=

130avec

laMLEet

l’ap

prochedes

forces

horizon

talesequivalentes.

52

4.6 Conclusion aux poteau-poutres

La combinaison de charges axiales avec un moment de flexion est un probleme

complexe, l’AISC-LRFD et l’EC3 proposent une solution basee sur des equations

d’interaction. La simplicite des formules utilisees dans l’AISC-LRFD contrastent

avec celles de l’EC3 qui requierent de determiner des facteurs d’interaction a l’aide de

methodes fastidieuses. Les imperfections pouvant affecter une barre poteau-poutre

sont couverts dans les 2 specifications. De plus, l’AISC-LRFD et l’EC3 tiennent

compte des effets du second ordre a l’aide d’une amplification d’une analyse du pre-

mier ordre. Cependant, leurs approches au sujet des deplacements lateraux engendres

par les defauts d’aplomb sont radicalement differentes: l’AISC-LRFD se base sur

une methode des longueurs efficaces tandis que l’EC3 fait appel a l’approche des

forces horizontales equivalentes. Il en resulte que l’AISC-LRFD donne des resultats

conservateurs par rapport a l’EC3, tout particulierement pour des poteau-poutres a

elancement important.

Alors que la MLE indiquee dans le manuel publie par l’AISC est la methode

principale pour tenir compte des defauts d’aplomb, une methode d’analyse directe est

suggeree dans l’annexe 7. La procedure de cette methode est similaire a celle proposee

par l’EC3. Dans ce cas, l’AISC-LRFD et l’EC3 donnent des resultats similaires

quelque soit l’elancement de la barre poteau-poutre. L’AISC semble concernee [11]

que la MLE donne des resultats particulierement conservateurs et pense a la remplacer

par la DAM dans sa prochaine edition du manuel de construction metallique.

53

CHAPITRE 5

CONCLUSION

Au regard des deux premiers cas couverts dans ce memoire (flexion et ci-

saillement), les resultats de l’AISC-LRFD et l’EC3 sont du meme ordre de grandeur,

voir meme souvent similaires. L’AISC-LRFD est plus conservateur lorsque la limite

plastique est atteignable, la tendance s’inverse des lors que des instabilites de forme

limitent le dimensionnement. Les observations faites dans le troisieme cas (poteau-

poutre) sont plus controversees, l’approche de l’AISC-LRFD afin de tenir compte

de certaines imperfections donne des resultats tres par rapport a l’EC3, tout partic-

ulierement pour des barres elancees

Les specifications indiquees dans l’AISC-LRFD et l’EC3 partagent un noyau

inspire de plusieurs theories similaires, mais leurs politiques afin d’aider le designer

sont tres differentes. L’approche de l’EC3 est la plus complexe des deux: chaque

comportement pouvant affecter une barre est clairement defini et plusieurs methodes

sont parfois disponibles pour leur verification. Grace a sa transparence a l’egard

des differents comportements, l’EC3 aide a optimiser une structure ; l’implication de

chaque facteur peut etre controlee aisement et evite de mauvais design. Cependant,

l’EC3 est difficile a utiliser a la main et est plutot destine a etre utilise au travers

de programmes informatiques. Base sur les resultats en laboratoire, de nombreuses

hypotheses sont faites dans les formules de l’AISC-LRFD et menent a une simplifica-

tion des specifications. De ce fait, celles-ci doivent etre utilisees avec precaution par le

designer qui doit etre conscient des limitations posees par chaque formule. En depit

de ce probleme, l’AISC-LRFD convient aux cas les plus frequents rencontres dans

une ossature metallique. Enfin et surtout, le manuel de construction metallique de

l’AISC est un outil veritablement destine aux designers: en plus des specifications, des

commentaires sont inclus et donnent de nombreuses indications, enfin des tableaux

54

proposent les resultats pour les cas les plus courants et contribuent d’autant plus a

faciliter l’utilisation de l’AISC-LRFD.

Pour conclure, alors que l’ecriture des specifications de l’EC3 et l’AISC-LRFD

partagent une politique differente, le dimensionnement obtenu avec ces deux codes est

globalement similaire dans les cas les plus courants rencontres dans la construction

metallique.

55

ANNEXE A

CAPTURE D’ECRAN DU PROGRAMME EXCEL/VBA UTILISE POUR LE

TRACE DES COURBES D’INTERACTION

56

Figure A.1. Entres 1: chargement et proprietes geometriques de la section transver-sale.

57

Figure A.2. Entres 2: parametres de flambement.

58

Figure

A.3.Classification

des

sectionstran

sversalesd’apresl’EC3pou

runecombinaisond’unecharge

axiale

etdeflexion[1];

distribution

(efficace)des

contrainteslongitudinales

dan

sunesectiontran

sversale.

59

BIBLIOGRAPHIE

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[11] Nair, Shankar R. Stability Analysis and the 2005 AISC Specification. Chicago:AISC, 2007 <www.aisc.org/bookstore/itemRedirector.aspx?id=15922>.

[12] Structural Plastics Design Manual (No. 63). 1st Ed. New-York: American Societyof Civil Engineers, 1984. 693-798.