Comparaison entre ancien et nouveau programme de Terminale STI2D Spécialités : génies mécanique, matériaux, électronique, électrotechnique, civil et énergétique

Ancien programme 1991 ( modifié en 2000)

Nouveau programme 2012 Programme 1ère STL 2011

Algèbre, géométrie, probabilités Géométrie et nombres complexes Géométrie 1. Nombres complexes Module, module d’un produit, inégalité triangulaire. Argument d’un nombre complexe non nul, notation  𝑟𝑒!". Relation 𝑒!"𝑒!!! = 𝑒!(!!!!), lien avec les formules d’addition ; formule de Moivre.

Formule d’Euler : cos 𝜃 = !!"!!!!!

!

! ;

sin(𝜃) = !!"!!!!!

!

!!

Interprétation géométrique de 𝑧⟼ 𝑧 + 𝑎 et de 𝑧⟼ 𝑒!"𝑧 (uniquement électroteehnique et électronique) Travaux pratiques Résolution des équations du second degré à coefficients réels. Exemples de mise en œuvre des formules de Moivre et d’Euler (linéarisation de polynômes trigonométrique Remarques : le temps consacré à cette partie doit être plus important dans les spécialités génies électronique et électrotchnique où une interprétation géométriques de quelques transformations complexes élémentaires est introduite en vue des applications en électronique

Nombres complexes Forme exponentielle 𝑟𝑒!" avec 𝑟 ≥ 0 :

- Relation 𝑒!"𝑒!!! = 𝑒!(!!!!)  ; - Produit, quotient et conjugué

Capacités attendues : Utiliser l’écriture exponentielle pour effectuer des calculs algébriques avec des nombres complexes Commentaires : On fait le lien entre la relation 𝑒!"𝑒!!! = 𝑒!(!!!!) et les formules d’addition en trigonométrie. On exploite des situations des disciplines technologiques pour illustrer les calculs de produits et de quotients sous forme exponentielle.

Nombres complexes Forme algébrique : somme, produit, quotient, conjugué. Représentation géométrique. Affixe d’un point, d’un vecteur. Forme trigonométrique : Module et argument. Interprétation géométrique. Capacités attendues : Effectuer des calculs algébriques avec les nombres complexes. Représenter un nombre complexe par un point ou un vecteur. Déterminer l’affixe d’un point ou d’un vecteur. Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement Commentaires : Pas d’opération sur les nombres complexes à partir de la forme trigonométrique.

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Algèbre, géométrie, probabilités Probabilités et statistiques Statistiques et probabilités 3. Probabilités Pour les variables aléatoires, le programme ne porte que sur l’étude d’exemples. Variable aléatoire (réelle) prenant un nombre fini de valeurs et loi de probabilité associée ; fonction de répartition, espérance mathématique, variance et écart-type. Travaux pratiques : Exemples d’emploi de partitions et de représentations (arbres, tableaux…) pour organiser et dénombrer des données relatives à des situations aléatoires. Exemples d’étude de situations de probabilités aléatoires (modèle d’urnes, jeux….) Exemples simples de situations menant à l’étude d’une variable aléatoire.

Probabilités et statistiques Deux objectifs principaux : Découvrir et exploiter des exemples de lois à densité Compléter la problématique de la prise de décision par celle de l’estimation par intervalle de confiance Le recours aux représentations graphiques et aux simulations est indispensable. 1. Exemples de lois à densité : • Loi uniforme sur 𝐚,𝐛 Espérance et variance d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme Capacités attendues : Concevoir et exploiter une simulation dans le cadre d’une loi uniforme Commentaires : Toute théorie générale des lois à densité et des intégrales sur un intervalle non borné est exclue. L’instruction « nombre aléatoire » d’un logiciel ou d’une calculatrice permet d’introduire la loi uniforme sur 0,1 puis sur 𝑎, 𝑏 . Si X est une variable aléatoire de loi uniforme sur 𝑎, 𝑏 et si 𝐼 ⊂ 𝑎, 𝑏    ,

la probabilité de l’événement « 𝑋 ∈ 𝐼 » est l’aire du domaine M 𝑥, 𝑦 ; 𝑥 ∈

𝐼  et  0   ≤ 𝑦     ≤ 𝑓 𝑥 où  𝑓: 𝑥⟼ !!!!

est la fonction de densité de la loi

uniforme sur 𝑎, 𝑏 .

La notion d’espérance d’une variable aléatoire à densité sur 𝑎, 𝑏  est définie à cette occasion par 𝑓 𝑡  d𝑡!! . On note que cette définition constitue un prolongement dans le cadre continu de l’espérance d’une variable aléatoire discrète rencontrée avec la loi binomiale. Par analogie avec la démarche conduisant à la définition de l’espérance, on présente une expression sous forme d’intégrale de la variance d’une variable aléatoire à densité sur 𝑎, 𝑏 . La simulation vient à l’appui de cette démarche.

Statistiques : Statistique descriptive, analyse de données Caractéristiques de dispersion :variance , écart-type. Capacités attendues : Utiliser les deux couples (moyenne, écart-type) et (médiane, écart interquartile) Etudier une série statistique ou mener une comparaison pertinente de deux séries à l’aide d’un logiciel ou d’une calculatrice Commentaires : Utilisation de la calculatrice ou d’un logiciel pour déterminer la variance et l’écart-type Privilégier l’étude d’exemples issus de résulats d’expériences, de la maîtrise statistique des procédés, de la fiabilité ou liés au développement durable. Probabilités : • Schéma de Bernoulli Variable aléatoire associée au nombre de succès dans un schéma de Bernoulli. • Loi Binomiale Espérance, variance, écart-type Capacités attendues : Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. Simuler un schéma de Bernoulli Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale. Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale à l’aide de la calculatrice ou du tableur Représenter graphiquement la loi binomiale Interpréter l’espérance comme valeur moyenne dans le cas d’un grand nombre de répétitions.

• Loi exponentielle :

Espérance et variance

Capacités attendues : Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle. Connaître et interpréter l’espérance et la variance

Commentaires:L’espérance est définie par limx→+∞

tf (t)dt0

x

∫ où est la fonction de densité d’une loi exponentielle. On peut simuler une loi exponentielle à partir de la loi uniforme sur [0,1]. • Loi normale d’espérance 𝛍 et d’écart-type 𝛔  : Approximation d’une loi binomiale par une loi normale. Capacités attendues : Utiliser une calculatrice ou un tableur pour calculer une probabilité. Connaître et interpréter une valeur approchée de la probabilité des événements suivants : {𝐗 ∈ 𝛍− 𝛔,𝛍+ 𝛔 },  {𝐗 ∈ 𝛍− 𝟐𝛔,𝛍+ 𝟐𝛔 } et {𝐗 ∈ 𝛍− 𝟑𝛔,𝛍+ 𝟑𝛔 } lorsque X suit la loi normale d’espérance 𝛍 et d’écart-type 𝛔  . Déterminer les paramètres de la loi normale approximant une loi binomiale donnée. Commentaires: La loi normale est introduite à partir de l’observation, à l’aide d’un logiciel, du cumul des valeurs obtenues lors de la répétition à l’identique d’une expérience aléatoire dont le résultat suit une loi uniforme. On s’appuie sur des exemples issus des autres disciplines. On peut simuler une loi normale à partir d’une loi uniforme sur [0,1].

Toute théorie est exclue.

On illustre cette approximation à l’aide de l’outil informatique.

La correction de continuité n’est pas un attendu du programme

Commentaires : Pour la répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. Probabilité conditionnelle hors programme. Pas de développement théorique à propos de la notion de variable aléatoire. Pour introduire la loi binomiale, la représentation à l’aide d’un arbre est privilégiée, on dénombre ainsi le nombre de chemins présentant k succès parmi n. Après cette mise en place, on utilise une calculatrice ou un logiciel pour calculer directement des probabilités et représenter graphiquement la loi binomiale. La formule donnant l’espérance de la loi binomiale est conjecturée puis admise. A l’aide de simulations de la loi binomiale et d’une approche heuristique de la loi des grands nombres, on conforte expérimentalement les résultats précédents. Echantillonnage : • Utilisation de la loi binomiale pour une prise

de décision à partir d’une fréquence observée sur un échantillon.

Capacités attendues : Déterminer à l’aide de la loi binomiale un intervalle de fluctuation, à environ 95%, d’une fréquence. Exploiter un tel intervalle pour rejeter ou non une hypothèse sur une proportion. Commentaires : L’intervalle de fluctuation peut-être déterminé à l’aide d’un algorithme ou d’un tableur. On peut traiter quelques situations liées au contrôle en cours de fabrication ou à la réception d’une production. Le vocabulaire des tests est hors programme

2. Prise de décision et estimation Intervalle de fluctuation d’une fréquence Intervalle de confiance d’une proportion Capacités attendues :

Connaître l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% d’une fréquence obtenue sur un échantillon de taille n :

𝐩 − 𝟏,𝟗𝟔𝐩 𝟏 − 𝐩

𝐧 ,𝐩 + 𝟏,𝟗𝟔𝐩 𝟏 − 𝐩

𝐧

lorsque la proportion p dans la population est connue. Exploiter un tel intervalle pour rejeter ou non une hypothèse sur une proportion. Estimer une proportion inconnue avec un niveau de confiance de 95 % par l’intervalle :

𝐟 − 𝟏,𝟗𝟔𝐟 𝟏 − 𝐟

𝐧 , 𝐟 + 𝟏,𝟗𝟔𝐟 𝟏 − 𝐟

𝐧

calculé à partir d’une fréquence f obtenue sur un échantillon de taille n. Juger de l’égalité de deux proportions à l’aide des intervalles de confiance à 95% correspondant aux fréquences de deux échantillons de taille n Commentaires: On fait observer que cet intervalle est proche de celui déterminé en première à l’aide de la loi binomiale, dès que

𝑛   ≥ 30, 𝑛𝑝 ≥ 5  𝑒𝑡  𝑛 1 − 𝑝 ≥  5 L’expression de l’intervalle de confance, pour n assez grand est admise. On constate par simulation que, pour 𝑛   ≥ 30, sur un grand nombre d’intervalles de confiance, environ 95% contiennent la proportion à estimer. La différence entre les deux fréquences observées est considérée comme significative quand les intervalles de confiance à 95% sont disjoints. C’est l’occasion d’étudier des méthodes statistiques pratiquées dans les disciplines scientifiques et technologiques. En liaison avec ces disciplines, on peut observer par simulation la pertinence d’un intervalle de confiance de la moyenne d’une population, pour un caractère suivant une loi normale.

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Algèbre, géométrie, probabilités Géométrie et nombres complexes Géométrie Géométrie :

Uniquement pour les génies mécanique, matériaux, civil et énergétique Travaux pratiques : Exemples d’études de problème portant sur des objets usuels du plan et de l’espace (calcul de distances, d’angles, d’aires, de volumes,…)

Produit scalaire dans le plan Formules d’addition et de duplication des sinus et cosinus Capacités attendues : Connaître et utiliser ces formules sur des exemples simples. Commentaires: A partir des formules de duplication, on obtient les formules de linéarisation de cos!𝑎 et sin!𝑎. La linéarisation d’autres puissances n’est pas au programme

Produit scalaire dans le plan Projection orthogonale d’un vecteur sur un axe Définition et propriétés du produit scalaire de deux vecteurs dans le plan. Applications du produit scalaire Capacités attendues : Décomposer un vecteur selon deux axes orthogonaux et exploiter une telle décomposition. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs par différentes méthodes : projection orthogonale ; analytiquement ; à l’aide des normes et d’un angle. Choisir la méthode la plus adaptée en vue de la résolution d’un problème. Calculer des angles et des longueurs Commentaires:Pour toute cette partie sur le produit scalaire, on exploite des situations issues des domaines scientifiques technologiques, notamment celles nécessitant du calcul vectoriel dans un cadre non repèré

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Analyse Analyse Analyse 2.Suites Pour toutes les spécialités de la série Sti, le programme comporte une consolidation des acquis de première sur les suites arithmétiques et géométriques sous forme de travaux pratiques. • Pour les génies électronique et

électrotechnique, il s’agit d’aborder l’étude du comportement global et asymptotique de la suite des valeurs f(n) d’une fonction

• Comportement global Exemples de description d’une situation à l’aide d’une suite des valeurs f(n) d’une fonction. • Langage des limites - Limite des suites de terme général  𝑛,𝑛!,𝑛!,√𝑛 Limite des suites de terme général !

!, !!!  , !!!  , !√!  

Introduction du symbole lim

n→+∞un .

Si une fonction f admet une limite L en +∞ , alors la suite un =f(n) converge vers L.

- Limite d’une suite géométrique (kn), où k >0

A l’exception des suites arithmétiques et géométriques, les suites définies par un+1=f(n) et uø sont hors programme. Travaux pratiques : Consolidation des acquis de première sur les suites arithmétiques et géométriques Exemples d’étude de problème conduisant à des suites arithmétiques ou géométriques Pour les génies électronique et électrotechnique,Exemples d’étude du comportement asymptotique d’une suite un =f (n)

Suites • Limites d’une suite définie par son terme général. Notation

Capacités attendues : Etant donné d’une suite (un ) , mettre en œuvre des algorithmes permettant lorsque cela est possible de déterminer : - Un seuil à partir duquel un ≥10

p , p étant un entier naturel donné ;

- Un seuil à partir duquel |un − l |≤10− p , p étant un entier

naturel donné ; Commentaires: Pour exprimer que la suite (un ) a pour limite +∞quand n tend vers +∞ , on dit que que, pour tout entier naturel p, on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes un sont supérieurs 10 p Pour exprimer que la suite (un ) a pour limite l quand n tend vers +∞ , on dit que que, pour tout entier naturel p, on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes un sont à une distance de l inférieure à10− p . Varier les outils et les approches • Suites géométriques : somme de termes consécutifs d’une

suite géométrique, limite Capacités attendues : Reconnaître et justifier la présence d’une suite géométrique dans une situation donnée Connaître et utiliser la formule donnant 1+ q+ ...+ qn , où q est un réel différent de 1 Connaître et utiliser lim

n→+∞qn pour q positif.

Commentaires: On peut introduire la notation qi

i=0

n

∑

On étudie quelques exemples de comportement de (qn ) avec q négatif

Suites • Modes de génération d’une suite numérique • Suites géométriques • Approche de la notion de limite d’une suite à

partir d’exemples Capacités attendues : • Modéliser et étudier une situation simple à

l’aide de suites • Mettre en œuvre un algorithme permettant de

calculer un terme de rang donné. • Exploiter une représentation graphique des

termes d’une suite • Ecrire le terme général d’une suite

géométrique définie par son premier terme et sa raison.

Commentaires: Il est important de varier les approches et les outils. L’utilisation du tableur et la mise en œuvre d’algorithmes sont l’occasion d’étudier en particulier des suites générées par une relation de récurrence. On peut utiliser un algorithme ou un tableur pour traiter des problèmes de comparaison d’évolutions et de seuils. Le tableur, les logiciels de géométrie dynamique et de calcul sont des outils adaptés à l’étude des suites, en particulier pour l’approche expérimentale de la notion de limite.

limn→+∞

un

1. Fonctions numériques : Etude locale et globale • Langage des limites - Introduction de la notation lim

x→af (x)

Notion d’asymptote verticale Dire que lim

x→af (x) =L signifie aussi que

limh→0

f (a + h) = L

- Limite en +∞ des fonctions : 𝑥 ↦ 𝑥, 𝑥 ↦ 𝑥!, 𝑥 ↦ 𝑥!, 𝑥 ↦ √𝑥

Limite en +∞ des fonctions :

𝑥 ↦1𝑥 , 𝑥 ↦

1𝑥! , 𝑥 ↦

1𝑥! , 𝑥 ↦

1√𝑥

Introduction des notations limx→−∞

f (x) et

limx→+∞

f (x)

Notion d’asymptote horizontale. - Dans le cas d’une limite finie L, dire que limx→a

f (x) =L signifie aussi que limx→a

| f (x) − L |= 0

Ou encore que 𝑓 𝑥 = 𝐿 + 𝜑(𝑥) où limx→a

ϕ (x) = 0

• Enoncé usuels sur les limites (admis) - Opérations algébriques - Comparaison - Compatibilité avec l’ordre - Limite d’une fonction composée Travaux pratiques :

Recherche de la limite d’une fonction polynôme ou d’une fonction rationnelle en +∞ ou en −∞ Exemples de recherche d’asymptotes ; exemples d’étude du comportement local ou asymptotique d’une fonction. Pour cela exploiter la comparaison de la fonction f à une

fonction g plus simple telle que limx→∞

( f − g) = 0.En dehors du cas des asymptotes horizontales et verticales des indications doivent être sur la forme de la fonction g à utiliser

Limites de fonctions • Asymptotes parallèles aux axes : - Limite finie d’une fonction à l’infini - Limite infinie d’une fonction en un point

• Limite infinie d’une fonction à l’infini • Limites et opérations Capacités attendues : • Interpréter une représentation graphique en termes de

limite • Interpréter graphiquement une limite en termes

d’asymptotes • Déterminer la limite d’une fonction simple • Déterminer des limites pour des fonctions de la forme :

𝑥 ↦  𝑢!(𝑥), n entier naturel non nul 𝑥 ↦ 𝑒!(!)  ; 𝑥 ↦ ln  (𝑢 𝑥 )

Commentaires: Ces notions sont introduites par une approche numérique et graphique à l’aide d’un logiciel ou d’une calculatrice On se limite aux fonctions de référence par addition, multiplication ou passage à l’inverse et on évite tout excès de technicité. La fonction 𝑥 ↦  𝑓(𝑢 𝑥 ), est introduite pour la recherche de limites.Rédation simple et sans formalisme

Second degré Equation du second degré Signe du trinôme Capacités attendues : • Mobiliser les résultats sur le second degré

dans le cadre de la résolution d’un problème Commentaires: On fait le lien avec les représentations graphiques étudiées en classe de seconde La mise sous forme canonique n’est pas un attendu du programme Fonctions circulaires Eléments de trigonométrie : cercle trigonométrique, radian, mesure d’un angle orienté, mesure principale Fonction de référence : 𝑥 ↦ cos 𝑥  𝑒𝑡  𝑥 ↦ sin 𝑥   Capacités attendues : • Utiliser le cercle trigonométrique, notamment

pour : - Déterminer les cosinus et sinus d’angles

associés - Résoudre dans ℝ les équations d’inconnue t :

cos t = cos a et sin t = sin a - Connaître certaines propriétés de ces

fonctions notamment parité et périodicité. Commentaires: On fait le lien entre : - Les résultats obtenus en utilisant le cercle

trigonométrique - Les représentations graphiques des fonctions

𝑥 ↦ cos 𝑥  𝑒𝑡  𝑥 ↦ sin 𝑥 Selon les besoins, on peut introduire les coordonnées polaires pour l’étude de certaines situations. La lecture graphique est privilégiée Etude de fonctions Fonction de référence :𝑥 ↦ |𝑥| Représentation graphique des fonctions u+k, 𝑡 ↦ 𝑢 𝑡 + 𝜆  et  |𝑢| , la fonction u étant connue, k étant une fonction constante et 𝜆 un réel. Capacités attendues : - Connaître les variations et sa représentation

graphique de la fonction valeur absolue - Obtenir la représentation graphique de ces

fonctions à partir de celle de u

• Calcul différentiel Dérivation d’une fonction composée. Application à la dérivation de fonctions de la forme 𝑢!   𝑛 ∈ ℤ ,    exp u, ln u et 𝑢!  (𝛼 ∈  ℝ)

Dérivées successives ; notation f’, 𝑓′′,…. Primitives d’une fonction dérivable sur un intervalle : Définition. Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante. Primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées.

Travaux pratiques : Programmation des valeurs d’une fonction d’une variable. Etude du sens de variation d’une fonction, recherche de son signe, des extremums. Tracé de la courbe représentative d’une fonction Lecture de propriétés d’une fonction à partir de sa représentation graphique. Etude d’équations f(x)=𝜆 ou d’inéquations 𝑓 𝑥 ≤  𝜆 Exemples d’études de situations décrites au moyen de fonctions Exemples d’emploi de majorations et d’encadrements d’une fonction par des fonctions plus simples (recherche de valeurs approchées en un point ….) Exemples de recherche de solutions approchées d’une équation numérique. • Fonctions usuelles Fonction logarithme népérien et fonction exponentielle ; notation ln et exp.Relation fonctionnelle, dérivation, comportement asymptotique. Approximation par une fonction affine, au voisinage de 0, des fonctions

ℎ ↦ exp ℎ  𝑒𝑡  ℎ ↦ ln  (1+ ℎ) Nombre e, notation 𝑒!. Définition de 𝑎!

Dérivée et Primitives • Calcul de dérivées : compléments • Primitives d’une fonction sur un intervalle Capacités attendues : Calculer les dérivées des fonctions de la forme :

𝑥 ↦  𝑢!(𝑥), n entier relatif non nul 𝑥 ↦ 𝑒!(!)  ; 𝑥 ↦ ln  (𝑢 𝑥 )

Déterminer des primitives de fonctions de la forme 𝑢′𝑢!, n entier relatif différent de -1, !!

! , 𝑢′𝑒!

Commentaires: A partir de ces exemples, on met en évidence une expression unifiée de la dérivée de la fonction 𝑥 ↦ 𝑓(𝑢 𝑥 ) mais sa connaissance n’est pas une capacité attendue. Pour les primitives de !!

! , on se limite au cas où u est une fonction

strictement positive Fonctions logarithmes Fonction logarithme népérien Relation fonctionnelle Nombre e Fonction logarithme en base dix ou en base deux, selon les besoins Capacités attendues : - Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une

écriture - Connaître les variations, les limites et la représentation

graphique de la fonction logarithme népérien - Résoudre une inéquation d’inconnue n entier naturel, de la

forme 𝑞! ≥ 𝑎  ou    𝑞! ≤ 𝑎 avec q et a deux réels strictement positifs.

Commentaires: En s’appuyant sur des situations technologiques ou historiques, on justifie la pertinence de la recherche d’une solution à l’équation fonctionnelle suivante, notée (E) : pour tous réels a et b strictement positifs, f(ab)= f(a) + f(b). On s’intéresse aux solutions de (E) dérivables sur ]0;+∞[ (existence admise). On montre que la fonction dérivée d’une telle solution est de la forme 𝑥   ↦ !

! où 𝛼 est un nombre réel. La fonction logarithme népérien est

alors présentée comme la seule solution de (E) dérivable sur ]0;+∞[  dont la fonction dérivée est 𝑥 ↦   !

!    .

On s’appuie sur des exempls issus des autres disciplines pour introduire ces fonctions.  

Dérivation Nombre dérivé d’une fonction en un point Tangente à la courbe représentative d’une fonction en point où elle est dérivable. Fonction dérivée Dérivée des fonctions usuelles : 𝑥 ↦ !

!   , 𝑥 ↦ 𝑥!

(n entier naturel non nul) 𝑥 ↦ cos 𝑥  et  𝑥   ↦ sin  (𝑥) Dérivée d’une somme, d’un produit et d’un quotient. Dérivée de    𝑡 ↦ cos 𝜔𝑡 + 𝜑  

et  𝑡   ↦ sin 𝜔𝑡 + 𝜑  𝜔  et    𝜑    étant  réels. Lien entre signe de la dérivée et sens de variation. Extremum d’une fonction Capacités attendues : Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé Calculer la dérivée de fonctions Exploiter le tableau de variation d’une fonction f pour obtenir : - Un éventuel extremum de f ; - Le signe de f - Le nombre de solutions d’une équation du

type f(x)=k Commentaires: Le nombre dérivé est défini comme limite du taux d’accroissement ! !!! !!(!)

! quand h tend vers 0.

On ne donne pas de définition formelle de la limite en un point ; l’approche reste intuitive. L’utilisation des outils logiciels facilite l’introduction du nombre dérivé. On évite tout excès de technicité dans les calculs de dérivation. Si nécessaire, dans le cadre de la résolution de problèmes, le calcul de la dérivée est facilité par l’utilisation d’un logiciel de calcul formel. Pour les fonctions étudiées, le tableau de variation est un outil pertinent pour localiser la ou les solutions éventuelles de l’équation f(x) =k

(a strictement positif, b réel). Fonctions puissances 𝑥 ↦  𝑥!  (x réel et n entier)

et 𝑥 ↦    𝑥!  ( x réel et 𝛼 réel). Dérivation, comportement asymptotique.

Cas où 𝛼     = !! ( n entier strictement positif) ;

Notation 𝑥! (x positif) Fonctions circulaires sinus, cosinus et tangente Croissance comparée des fonctions de référence 𝑥 ↦ exp 𝑥 , 𝑥 ↦ 𝑥! , 𝑥 ↦ ln  (𝑥) au voisinage de  +∞.

lim!↦!!

exp  (𝑥)𝑥! =  +∞

lim!↦!!

𝑥! exp −𝑥 = 0

Si  𝛼 > 0, lim!↦!!

ln 𝑥  𝑥! = 0

Selon les besoins des autres disciplines, on pourra mentionner la fonction logarithme décimal

Fonctions exponentielles - Fonction 𝑥 ↦ exp  (𝑥) Relation fonctionnelle, Notation 𝑒!. Capacités attendues : - Connaître les variations, les limites et la représentation

graphique de la fonction exponentielle. - Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une

écriture. - Passer de ln x = a à 𝑥 = 𝑒! et inversement, a étant un réel

et x un réel strictement positif. Commentaires: Pour tout nombre réel a, le réel exp(a) est défni comme unique solution de l’équation d’inconnue b : ln b = a On justifie la notation 𝑒! - Exemples de fonctions exponentielles de base a, 𝑥 ↦ 𝑎!

où a est un réel strictement positif, et de fonctions puissances, 𝑥 ↦ 𝑥! avec 𝛼 réel.

Comparaison des comportements en +∞ de la fonction exponentielle (de base e) et de la fonction logarithme népérien avec les fonctions puissances. Capacités attendues : - Connaître et utiliser les limites de 𝑥 ↦ !

!

!! et 𝑥 ↦ !"!

!!

en +∞, n étant un entier naturel. - Passer de ln x = a à 𝑥 = 𝑒! et inversement, a étant un réel

et x un réel strictement positif. Commentaires: En lien avec les autres disciplines, on étudie quelques exemples simples de fonctions exponentielles de base a ou de fonctions puissances mises sous la forme 𝑒!. Aucun résultat théorique n’est à connaître. Ces résultats sont conjecturés puis admis. On se limite à des exemples simples d’utilisation.L’approche, à l’aide d’un logiciel de la limite en +∞ De fonctions de la forme  𝑥 ↦ !"!

!! avec 𝛼 ∈]0,1[, enrichit le point de vue

3. Notions de calcul intégral • Intégrale d’une fonction sur un segment Etant donné une fonction f dérivable sur un intervalle I et un couple (a,b) de points de I, le nombre F(b)- F(a), où F est une primitive de f, est indépendant du choix de F ; on l’appelle intégrale de a à b de f et on le note 𝑓 𝑡 d𝑡!! . Dans le cas d’une fonction positive, interprétation graphique de l’intégrale à l’aide d’une aire. • Propriétés de l’intégrale - Relation de Chasles - Linéarité - Positivité - Intégration d’une inégalité - Inégalité de la moyenne - Valeur moyenne d’une fonction • Techniques de calcul

Lecture inverse des formules de dérivation : primitives des fonctions de la forme 𝑡 ↦ 𝑓! 𝑎𝑡 + 𝑏 , (exp u)u’, 𝑢!𝑢! où 𝛼 ∈ ℝ,𝛼 ≠ −1, et   !!

!

( u étant à valeurs strictement positives) Travaux pratiques Exemple de calcul d’intégrales à l’aide d’une primitive Calcul d’aires planes à l’aide du calcul intégral Exemples de calcul de volumes de solides usuels (boules, prismes, cylindres, pyramides, cônes, volumes de révolution,…) Les élèves doivent connaître la formule

𝑉 = 𝑆 𝑧 d𝑧!

!

Exemples d’étude de situations menant au calcul de la valeur moyenne d’une fonction ou de son carré.Exemples d’encadrement d’une intégrale au moyen d’un encadrement de la fonction à intégrer. Exemples de calcul de valeurs approchées d’intégrales

Intégration • Définition de l’intégrale d’une fonction continue et positive

sur [a , b] comme aire sous la courbe. Notation 𝑓 𝑥  d𝑥!! Formule 𝑓 𝑥 d𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)!! où F est une primitive de f. Intégration d’une fonction continue de signe quelconque. Propriétés de l’intégrale : Linéarité, positivité, relation de Chasles Capacités attendues : Pour une fonction monotone positive, mettre en œuvre un algorithme pour déterminer un encadrement d’une intégrale. - Calculer une intégrale Commentaires: On se limite à une approche intuitive de la continuité et on admet que les fonctions considérées en classe terminale sont continues sur les intervalles où elles sont intégrées. On s’appuie sur la notion intuitive d’aire. Dans le cas d’une fonction f positive et monotone, on sensibilise les élèves au fait que la fonction 𝑥 ↦ 𝑓 𝑡 d𝑡!! est dérivable sur [a ,b] et a pour fonction dérivée f. On s’approprie le principe de la démonstration par une visualisation à l’aide d’un logiciel. La formule 𝑓 𝑥 d𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)!! , valable pour une fonction continue et positive, est étendue au cas d’une fonction continue et de signe quelconque • Calculs d’aires

Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle Capacités attendues : - Déterminer l’aire du domaine défini comme l’ensemble des

points M(x , y) tels que 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 et 𝑓 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑔(𝑥) f et g étant deux fonctions.

Commentaires: On étudie en particulier le cas où g est la fonction nulle. Il est intéressant de traiter des cas de fonctions changeant de signes Cette notion est introduite et travaillée en s’appuyant sur des situations issues des disciplines technologiques et des sciences physiques.

• Equations différentielles Résolution de l’équation différentielle y’=ay, où a est un nombre réel : existence et unicité de la solution vérifiant une condition initiale donnée Résolution de l’équation différentielle 𝑦"+ 𝜔𝑦 = 0 où 𝜔 est un nombre réel : existence et unicité (admises) de la solution vérifiant des conditions initiales données. Exemples simples d’étude de phénomènes continus satisfaisant à une loi d’évolution et à une condition initiale se ramenant à une équation du type y’=ay, 𝑦!′ + 𝜔!𝑦 = 0

Equations différentielles • Equation 𝒚! + 𝒂𝒚 = 𝒃 où a et b sont des nombres réels

avec 𝑎 ≠ 0 Existence et unicité de la solution satisfaisant une condition initiale donnée

Capacités attendues : - Résoudre une équation différentielle qui peut s’écrire sous

la forme 𝑦! + 𝑎𝑦 = 𝑏 , où a et b sont des nombres réels avec 𝑎 ≠ 0

- Déterminer la solution satisfaisant une condition initiale donnée

Commentaires: Dans cette partie, on propose des exemples en lien avec les autres disciplines. On s’appuie sur les outils logiciels pour visualiser la famille des courbes représentatives d’une équation différentielle. On traite tout d’abord le cas de l’équation homogène 𝑦! + 𝑎𝑦 = 0 • Equation 𝑦!′+ 𝜔!𝑦 = 0 où  𝜔 est est un nombre réel

non nul. Existence et unicité de la solution satisfaisant des conditions initiales données

Capacités attendues : - Résoudre une équation différentielle qui peut s’écrire sous

la forme 𝑦!! + 𝜔!𝑦 = 0 où 𝜔 est est un nombre réel non nul.

- Déterminer la solution satisfaisant des conditions initiales données

Commentaires: La forme générale des solutions 𝑡 ↦ 𝜆  cos  𝜔𝑡+  𝜇 sin𝜔𝑡        est admise. On met en évidence que les solutions sont de la forme 𝑡 ↦ 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜑 ) Mais la transformation d’expressions de la forme  𝜆  cos  𝜔𝑡+  𝜇 sin𝜔𝑡  n’est pas un attendu du programme. L’existence et l’unicité de la solution satisfaisant des conditions initiales données sont admises. En liaison avec d’autres disciplines, on peut être amené à étudier d’autres types d’équations différentielles mais ce n’est pas un attendu du programme.

Algorithmique

Notations et raisonnements mathématiques