Complexité en physique classiqueLa physique classique regorge d'exemples simples de systèmes présentant un comportement complexe. Grâces à des exemples simples, illustrés par des animations ou des expériences, il est possible de dégager certaines caractéristiques universelles du comportement complexe.

"Simple" <=> "complexe" Q : Antinomie ? R : Non

"Compliqué" est l'opposé de "simple" qui n'est pas antinomique de "complexe"

Conclusion : "complexe" et "compliqué" ont des sens différents

Complexité

D'après le "Trésor de la langue française"Complexe : (Adj.) Composé d'éléments qui entretiennent des rapports nombreux, diversifiés, difficiles à saisir par l'esprit, et présentant souvent des aspects différents.

Définition holistiqueComplexité : qui ne peut pas se décomposer en une superposition de parties ou de processus élémentaires et indépendants.

Complexe et compliqué

Un pendule double est un système complexe : son mouvement ne peut pas être décrit par la superposition de deux pendules simples. Les deux pendules sont en effet fortement couplés par l'action et la réaction qu'ils exercent l'un sur l'autre.1

1. http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html

Boeing 747 : 2 millions de pièces qui volent en formation serrée. C'est un système compliqué, mais pas complexe, même si certaines de ses composantes peuvent être complexes.

Mouvement chaotique d'un pendule forcé1

Pendule soumis à une force extérieure périodique et à un amortissement

Paramètres utilisésA = 1.5, ω

D = 0.667, γ = 0.5

show_pendulum

ml d2dt2

= −mg sin − d dt C cos t

d 2dt2

d dt sin = Acos D t

1. G.L. Baker and J.P. Gollub, Chaotic dynamics, an introduction (Cambridge Univ. Press, 1990).

Effet papillon

Un système complexe présente une grande sensibilité aux conditions initiales ("effet papillon")

show_oscillationsγ = 0.05, A = 7.5x1(0) = 0, v1(0) = 0.000000x2(0) = 0, v2(0) = 0.000001

ma = −kx3 − v F cos t d 2 xdt2

dxdt

x3 = Acos t

Oscillateur de Duffing

m

Doublement de période, cycle limite, attracteur, chaos

Oscillateur de Duffing avec γ = 0.05(t est donné en unité de période 2π)

A = 2.0 : période simple

A = 5.0 : période double

A = 7.5 : mouvement chaotique x

v(x(t),v(t))

Espace de phase

Section de Poincare de l'oscillateur de Duffing

Définition : (ici) points de la trajectoire dans l'espace de phase pour des temps en progression arithmétique de raison égale à la période de la force extérieure (stroboscope). Paramètres : γ = 0.05, A = 7.5

show_poincare

1. http://ndgroup.blogspot.com/2006/01/lloyds-work-on-duffing-oscillator.html

section comportant

100000 points.1

Diagramme d'état de l'oscillateur de Duffing

Projection de la section de Poincaré (ici sur l'axe des vitesses) et inverse du nombre de boucles de l'attracteur en fonction de l'amplitude A de la force extérieure. Une légère variation de A peut changer le sens de parcours (direct -- rétrograde) sans affecter beaucoup l'attracteur.

Bifurcation (1) : le flambement d'une poutre

Poutre comprimée par des forces axiales (F positif en compression)

show_flambement

x

u

x

d 2udx2

[1dudx 2]3/2 F

EI yu = 0

u = 0 est toujours une solutionu ≠ 0 existe pour F > F

cr

W

FFcr

barre fléchie

barre droite

Remarque : flambement (1)

Dispositif anti-flambement : raidisseurs et structure en treillis

Remarque : flambement (2)

Effondrement des tours 1 et 2 du World Trade Center à New York le 11/09/2001

South tower

North tower

Bifurcation (2) : turbulence

Equation de Navier-Stokes pour un fluide incompressible Conditions aux limites : v = 0 sur la surface d'un obstacle fixe et à distance infinie de l'obstacle.

écoulement turbulent

∂v∂ t

v . ∇v ∇ p

= v

∇ .v = 0vu

Apparition de tourbillons, instables, qui interagissent. Les grosses structures se transforment en plus petites et ainsi de suite àsur plusieurs générations.

Remarque : turbulence et Cx

Le Cx (drag coefficient CD) dépend du nombre de Reynolds Re = uD/ν

Pour une sphère, écoulement laminaire pour Re < 0.5. Au-delà, développement d'un sillage derrière la sphère, avec des tourbillons d'abord stationnaires. Pour 103 < Re < 105, les tourbillons se forment et se déplacent dans le sillage, le Cx est constant ≈ 0,4Pour Re > 2x105 : le sillage est étroit, siège de turbulences.La turbulence apparaît dans la couche limite devant la sphère pour Re = 4x105, avec brusque diminution du Cx

air à 300 K : ν = 15,7x10-6 m²/sD = 4 cm, u = 10 m/s => Re = 2,5x104

Bistabilité, hystérésis, "effet mémoire"

Certains systèmes complexes présentent plusieurs états stables en-dessous d'une température critique. Un paramètre d'ordre M apparaît à basse température, la courbe d'énergie libre F présente plusieurs minima.courbe F vs M

1. H.D. Young, University Physics, 8th Ed (Addison-Wesley, 1992).

Exemple: courbe d'aimantationd'un matériau ferromagnétique.1

Remarque : enregistrement de données sur disque dur

Aimantation de petits domaines de Weiss dans une couche magnétique (alliage NiCo), dans un sens (bit 1) ou dans l'autre (bit 0). Lecture par un dispositif à magnétorésistance géante (prix Nobel de physique 2007).

Sens de rotation du plateau

Tête de lectureGMR

Caractéristiques d'un système complexe

non-linéarité des interactions instabilité irréversibilité imprévisibilité