Complément sur la modélisation des liaisons - Cours ...florestan.mathurin.free.fr/MP/Cours_pdf/Cours05.pdf · Cours 05 - Compléments et Rappels sur la Modélisation des Liaisons

Cours 05 - Compléments et Rappels sur la Modélisation des Liaisons Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP

Florestan MATHURIN Page 1 sur 8

(1) Voir cours 01 de

MPSI

(2) Voir cours 01 et 02

de MPSI


de MPSI


de MPSI

(4) Voir cours 31 de

MPSI

Compléments et Rappels sur la Modélisation des

Liaisons

Définition du besoin

et étude de faisabilité

Définition des

exigences

Conception de

l’architecture fonctionnelle

Conception de

l’architecture organique

Processus de réalisation

Fabrication - réutilisation -

achats

Réception

Assemblage

Validation du

Vérification de

l’intégration

Processus

d’intégration

Processus de

conception

Cahier des charges - Diagrammes fonctionnels SysML(1)

Schémas cinématiques / Schémas d’architecture(5)

Modèles CAO et plans

Illustration du processus de

conception dans le cadre du

pilote automatique

Exemple de système

PILOTE AUTOMATIQUE DE BATEAU

Diagrammes Structurels SysML(2)

+ Schémas blocs(3)

+ Modèles multiphysiques(4)

L’ingénieur doit constamment procéder à des choix lors des différentes étapes du processus

de conception afin d’obtenir les performances attendues par le cahier des charges. Cette

phase de conception passe nécessairement par l’optimisation de l’architecture des

constituants des systèmes et donc, dans ce cadre, un des problèmes essentiel de l’ingénieur

est de choisir les « meilleures » solutions technologiques pour réaliser les liaisons.



(6) La théorie des

mécanismes est un

outil préliminaire dans

le processus de

conception qui a pour

finalité de maitriser la

mobilité et

l’hyperstaticité d’un

mécanisme modélisé

par des liaisons

théoriques.

Pour définir puis valider ses choix de conception, l’ingénieur s’appuie systématiquement sur

des modèles plus ou moins détaillés, posés en fonction d’un objectif d’étude et validé par la

théorie des mécanismes(6)

.

1 - RAPPEL DE LA DEMARCHE DE MODELISATION

L’objectif de l’ingénieur est de comprendre, analyser, améliorer ou valider un mécanisme.

Pour cela, il le modélise pour appliquer ensuite les outils de la mécanique.

Comportement réel du système

Domaine Physique (réel)

Objectif d’étude

Comportement simulé du système

Domaine de simulation Validation

Outils de calcul adaptés

Modélisation

Modèle

Groupe hydraulique

Le choix du modèle dépend :

• de l’étude que l’on cherche

à mener,

• du degré de précision

demandé pour cette étude,

• des moyens de calcul

disponibles.

Le domaine de validité des lois

de la mécanique implique la

mise en place d’hypothèses

simplificatrices lors de la

phase de modélisation.

Plus le modèle est proche du système réel, plus les résultats obtenus seront satisfaisants.

2 - MODELISATION CINEMATIQUE ET STATIQUE DES LIAISONS

2.1. Modélisation cinématique des liaisons

Pour caractériser les mouvements relatifs entre deux solides (1) et (2) constituant une

liaison, on utilise l’outil torseur cinématique.

Dans une base ( z,y,xrrr

) donnée, il prend la forme générale : )z,y,x(

z

y

x

z

y

x

O

2/1

12

12

12

12

12

12

v

v

v

C

rrr

ΩΩΩ

=

On appelle NC le nombre de degré de liberté d’une liaison, il correspond au nombre de

paramètres de position relatifs indépendants. 0 ≤ NC ≤ 5

NC = 0 correspond à la liaison encastrement et l’existence même d’une liaison impose NC ≠ 6

puisqu’un solide sans liaison possède 6 degrés de liberté.

Deux hypothèses sont nécessaires à la mise en place du modèle cinématique d’une liaison.

Modèle Réel

Hypothèse 1 : géométrie parfaite

Modèle Réel

Hypothèse 2 : liaison sans jeu



2.2. Modélisation statique des liaisons

Pour caractériser l’action mécanique transmissible entre deux solides (1) et (2) constituant

une liaison, on utilise l’outil torseur d’action mécanique transmissible.

Dans une base ( z,y,xrrr

) donnée, il prend la forme générale : )z,y,x(12

12

12

12

12

12

O

21

N

M

L

Z

Y

X

F

rrr

=→

On appelle NS le nombre d’inconnues statiques d’une liaison, il correspond au nombre de

composantes non nulles et indépendantes. 1 ≤ NS ≤ 6

NS = 6 correspond à la liaison encastrement et l’existence d’une liaison impose NS ≠ 0

puisqu’un solide avec liaison possède au minimum 1 inconnue statique.

Deux hypothèses fondamentales supplémentaires sont nécessaires à la mise en place du

modèle d’action mécanique transmissible.

Hypothèse 3 : déformations nulles

Modèle (global) Réel

S1

S2 Zone de contact

(S)

zn12

rr=

x

S1

S2

Plan tangent (π)

O

21R → 21Fd →

r

Plan tangent

(π)

zn12

rr=

Point de contact

Hypothèse 4 : frottement négligé

Modèle (global) Réel

S1

S2 Zone de contact

(S)

zn12

rr=

x

S1

S2

Plan tangent (π)

O

21R → 21Fd →

r

Plan tangent

(π)

zn12

rr=

Point de contact

Lorsque les hypothèses 1, 2, 3 et 4 sont vérifiées, on dit que la liaison est parfaite :

• La puissance développée par les actions mécaniques de la liaison est nulle pour tout

mouvement compatible avec la liaison.

• Il y a une complémentarité entre le torseur cinématique et le torseur d’action mécanique

transmissible : NS + NC = 6

)z,y,x(

12y

12x

12zO

2/1

0

v

v

0

0

C

rrr

Ω=

A une vitesse angulaire nulle correspond un moment non nul pour le torseur d'action mécanique transmissible

)z,y,x(

12

12

12O

21

0

M

L

Z

0

0

F

rrr

=→

A une vitesse linéaire nulle correspond une force

Torseur

cinématique

O

(1)

(2)

zr

yr

xr

Torseur d'action

mécanique

transmissible



2.3. Cas particuliers concernant la modélisation du contact cylindre/cylindre et

plan/plan Suivant la longueur du contact cylindre/cylindre, le modèle à retenir peut changer :

d

L (1)

(2)

5,0d

L ≤ ou 5,1d

L5,0 ≤≤ + jeu important → Liaison linéaire

annulaire

5,1d

L ≥ ou 5,1d

L5,0 ≤≤ + jeu faible → Liaison pivot glissant

Ces bornes sont des valeurs moyennes, elles dépendent bien sur de l’ajustement du guidage. Le

choix de la modélisation dépend également de l’objectif d’étude….

Suivant les dimensions x et y de la surface plane (inclue dans une liaison de plus grande longueur

L), le modèle à retenir peut changer :

L

x y (1)

(2)

x ≈ y → Liaison appui plan

x ≈ 0,1.y ou y ≈ 0,1.x → Liaison linéaire rectiligne

x et y << L → Liaison contact ponctuel

Là encore ces bornes sont des valeurs indicatives, le choix de la modélisation dépend également

de l’objectif d’étude….

2.4. Dernières recommandations Il est essentiel de garder en mémoire qu’une liaison réelle n’est jamais parfaite puisqu’il s’agit

d’un modèle !

En réalité il ne faudrait pas dire « cette liaison est une liaison pivot glissant d’axe (O, xr

) » mais

plutôt « cette liaison peut être raisonnablement modélisée par une liaison pivot glissant parfaite

d’axe (O, xr

) compte tenu de l’objectif fixé ».

La modélisation par liaisons simples permet de définir et de calculer de façon relativement

simple les éléments de réduction des torseurs cinématiques et d’action mécanique transmissible.

Les liaisons simples constituent donc un modèle de référence utile et commode. Un des

objectifs du concepteur consiste donc à s’approcher au maximum de ces liaisons

simples !

3 - NECESSITE DE COMBINAISON DES LIAISONS - LIAISON EQUIVALENTE

3.1. Besoin Les liaisons simples ne permettent pas toujours à l’ingénieur de traduire un besoin cinématique

car deux problèmes apparaissent rapidement lorsque l’on se limite à l’utilisation des liaisons

simples définies précédemment :

• La notion de pression de contact dans une transmission d’efforts joue un rôle

prépondérant et impose le plus souvent des contacts surfaciques. Or, trois liaisons parmi

les liaisons simples font intervenir des surfaces de contacts infiniment petites (la liaison

ponctuelle, la liaison linéaire rectiligne et la liaison linéaire annulaire).



Pour palier ce problème, ces liaisons à forte mobilité peuvent être remplacées par des

liaisons surfaciques montées en séries dont la mobilité globale est la somme des mobilités

des liaisons surfaciques. → Dans ce cas, on parle de liaisons simples montées en série.

• Il n’existe pas de liaisons simples permettant une mobilité cinématique nulle ou égale à

1. Au minimum la mobilité cinématique est égale à 2 (liaison pivot glissant) alors que

c’est pourtant, dans un grand nombre de mécanismes, la majorité des liaisons

rencontrées (liaison pivot, liaison glissière, liaison encastrement) → Dans ce cas, on parle

de liaisons simples montées en parallèle.

3.2. Liaison équivalente - Définition La liaison équivalente correspond à la liaison théorique qui a le même comportement que

l’association des liaisons en série et/ou parallèle qu’elle remplace. Elle transmet la même action

mécanique et elle autorise le même mouvement que l’association de liaisons.

La liaison équivalente doit appartenir aux liaisons normalisées !!!

Il n'est pas toujours possible de trouver une liaison équivalente !!!

Besoin

Linéaire annulaire

d’axe (A, zr

)

A

zr

1

3

Réalisation technologique

Pivot glissant

d’axe (A, zr

)

1

2 3

A

zr

Rotule en A

Liaison équivalente

3

1

Besoin

Pivot d’axe (A, zr

)

A

zr

1

0

Réalisation technologique

zr

B

C

Linéaire annulaire d’axe (B, zr

)

1 0

Rotule en C

Exemple : Modélisation en liaisons séries et liaison équivalente d’un roulement à bille à rotule.

Exemple : Modélisation en liaisons parallèles et liaison équivalente d’un montage de roulement.

3.3. Recherche de la liaison équivalente dans le cas de liaisons séries On parle de liaison série si n liaisons sont

disposées en série en chaîne ouverte et si elles

sont disposées les unes à la suite des autres par

l’intermédiaire de n solides. Le but de l’étude

est de remplacer l’ensemble de ces liaisons

simples en série par une liaison

cinématiquement équivalente.

0 1 2 L1

i n L2

Li

Ln

0 Leq

n

Pour déterminer la liaison équivalente on doit traduire le fait que le mouvement équivalent

résulte de la composition des mouvements autorisés par chaque maillon de la chaîne ouverte.

On utilise donc l’outil torseur cinématique et pour trouver le torseur cinématique de la liaison

équivalente, on écrit que le torseur cinématique de la liaison équivalente est la somme des

torseurs cinématiques des liaisons en série.



Il est en effet

préférable sur ce

système de réaliser

une liaison ponctuelle

par mise en série

d'une liaison appui

plan et d'une liaison

rotule pour limiter la

pression de contact.

En passant d’un

contact ponctuel où la

pression est infinie à

un contact surfacique,

la pression devient

admissible pour les

matériaux.

Soit 0/nC le torseur cinématique de la liaison équivalente et 1n/nC − les torseurs

cinématiques des n liaisons en série alors : 0/11i/i1n/n0/n C...C...CC ++++= −−

Torseur cinématique de la liaison équivalente : ∑=

−=n

1i

1i/i0/n CC

Les torseurs doivent tous être écrits au même point si l’on veut les sommer !

Réel Modèle

(schéma d’architecture)

4

5

6

0

5zr

A A

B

4 5 6 Appui plan de

normale (A, 5zr

)

Rotule en B

5z.lABr

=

Exemple : Recherche de la liaison équivalente entre le piston et l’arbre de la pompe hydraulique

)z,y,x(

y

x

zA

4/5

555

54

54

540

v

v

0

0

C

rrr

Ω= et

)z,y,x(

x

y

z

y

x

A)z,y,x(z

y

x

B

5/6

555

65

65

65

65

65

55565

65

65

0

.l

.l

0

0

0

C

rrrrrr

ΩΩ−

ΩΩΩ

=

ΩΩΩ

=

)z,y,x(

z

y

x

z

y

x

A

eq

555eq

eq

eq

eq

eq

eq

v

v

v

C

rrr

ΩΩΩ

= → 4/55/64/6eq CCCC +== d’où :

=Ω+=Ω−=Ω+Ω=Ω

Ω=ΩΩ=Ω

0v

.lvv

.lvv

eq

6554eq

6554eq

5465eq

65eq

65eq

z

xyy

yxx

zzz

yy

xx

)z,y,x(

xy

yx

zz

y

x

A

eq

555

6554

6554

5465

65

65

0

.lv

.lv

C

rrr

Ω+Ω−

Ω+ΩΩΩ

= soit une liaison ponctuelle en A de normale (A, 5zr

).

3.4. Recherche de la liaison équivalente dans le cas de liaisons parallèles

On parle de liaison parallèles entre deux pièces

(ou groupes de pièces) si le graphe des liaisons

présente deux ou plusieurs traits parallèles qui

relient ces deux pièces contiguës. Le but de

l’étude est de remplacer l’ensemble de ces

liaisons simples en parallèle par une liaison

cinématiquement équivalente.

1

2

L1

L2

Li

Ln

Leq

1 2



(7) La théorie des

mécanismes n’est

désormais plus au

programme de MP et

sera exclusivement

abordée en école

d’ingénieur. Ce

chapitre est donc

uniquement pour la

culture personnelle.

Pour déterminer la liaison équivalente on doit traduire le fait que la liaison équivalente transmet

une action mécanique égale à la somme des actions mécaniques transmises par chacune des

liaisons en parallèle. On utilise donc l’outil torseur des actions mécaniques transmissibles et pour

trouver le torseur statique de la liaison équivalente, on écrit que le torseur statique de la liaison

équivalente est égal à la somme des torseurs statiques des liaisons en parallèle.

Soit eq21F → le torseur d’AM transmissibles de la liaison équivalente et Ln

21F → les torseurs d’AM

transmissibles des n liaisons en parallèles alors : Ln21

Li21

2L21

1L21

eq21 F...F...FFF →→→→→ +++++= .

Torseur d’actions mécaniques transmissibles de la liaison équivalente : ∑=

→→ =n

1i

Li21

eq21 FF

Les torseurs doivent tous être écrits au même point si l’on veut les sommer !

Réel

zr

B

C

Linéaire annulaire d’axe (B, zr

)

1

0

Rotule en C

Modèle Recherche de la liaison équivalente pour le cas du montage de roulements de l’arbre moteur de la

pompe

)z,y,x(

LA01

LA01

B

LA10

0

0

0

0

Y

X

F

rrr

=→ et )z,y,x(

ROT01

ROT01

ROT01

C

ROT10

0

0

0

Z

Y

X

F

rrr

=→ → z.lBCr

= → )z,y,x(

ROT01

ROT01

ROT01

ROT01

ROT01

B

ROT10

0

X.l

Y.l

Z

Y

X

F

rrr

−=→

On pose : )z,y,x(

eq01

eq01

eq01

eq01

eq01

eq01

B

eq10

N

M

L

Z

Y

X

F

rrr

=→ et ROT10

LA10

eq10 FFF →→→ += d’où :

==−=

=+=+=

0N

X.lM

Y.lL

ZZ

YYY

XXX

eq01

ROT01

eq01

ROT01

eq01

ROT01

eq01

ROT01

LA01

eq01

ROT01

LA01

eq01

→ )z,y,x(

ROT01

ROT01

ROT01

ROT01

LA01

ROT01

LA01

B

eq10

0

X.l

Y.l

Z

YY

XX

F

rrr

−++

=→ soit une liaison pivot d’axe (O, zr

).

4 - INTRODUCTION AU CONCEPT DE LA THEORIE DES MECANISMES (7)

La théorie des mécanismes traite uniquement de modèles pour lesquels on considère qu’il n’y a

que des liaisons avec des géométries parfaites, sans jeux, ni frottement, ni déformations et qui

sont définis chacune par un torseur cinématique (le torseur d’action mécanique transmissible en

découlant automatiquement). Par conséquent la théorie des mécanismes s’appuie sur des

modèles architecturaux liés à des objectifs d’étude et a pour but de maitriser la mobilité et

l’hyperstaticité d’un modèles de mécanismes modélisés par des liaisons théoriques.



(8) Par conséquent

tous les modèles

posés au concours

pour la résolution de

problèmes de statique

ou de dynamique

seront isostatiques.

Notion d’hyperstaticité (ou hyperstatisme) d’un modèle L’hyperstaticité d’un modèle de système mécanique est donnée par le nombre d’inconnues de

liaison qui n’ont pas pu être déterminées par les seules équations issues du principe fondamental

de la statique. Dans ce cas, on peut dire qu’il y a un excès de liaisons mécaniques sur le modèle

du système. Un modèle de mécanisme est dit isostatique si l’on peut calculer, après

modélisation des liaisons et par les seules équations de la statique, toutes les composantes des

actions mécaniques intervenant dans les liaisons du système.

Pourquoi calculer un degré d’hyperstaticité ?

• Pour déterminer les actions mécaniques transmissibles des liaisons avec les seules

équations issues des théorèmes généraux, il est préférable d’identifier si le modèle du

système est isostatique (et donc de savoir si cette détermination est possible) avant de

se lancer dans des calculs parfois longs et fastidieux(8)

.

• La mise en évidence des liaisons surabondantes conduisant au degré d’hyperstaticité

aboutit à la mise en place de tolérances géométriques nécessaires à la définition

fonctionnelle des pièces.

Quel est la validité d’un degré d’hyperstaticité ?

Le calcul du degré d’hyperstaticité dépend de la modélisation choisie pour chacune des liaisons.

• Si l’objectif de l’ingénieur est de calculer les composantes d’actions mécaniques

transmissibles des liaisons, il s’orientera vers une modélisation « minimale » conduisant

à un degré d’hyperstaticité le plus faible possible.

• Si son objectif est la mise en place de spécifications fonctionnelles, il s’orientera à

l’inverse vers un degré d’hyperstatisme plus grand.

Réel

Modèles (schémas d’architecture)

Modèle 2

Modèle 1

Pour définir les tolérances géométriques nécessaires à la définition fonctionnelle de l’arbre, on

s’oriente vers une modélisation avec un degré d’hyperstaticité élevé. Compte tenu de ces choix

technologiques, on peut donc modéliser le comportement de chacun des roulements par une

liaison linéaire annuaire et une liaison pivot (modèle 1). Une étude rapide (liaisons parallèles)

permettrait de voir que cette modélisation possède un degré d’hyperstaticité de 2, ce qui

implique d’avoir une excellente coaxialité entre les différentes portées de roulement.

Dans le cadre d’un calcul de prédimensionnement des roulements ou bien d’un calcul de l’arbre

en résistance des matériaux, on a besoin de connaitre rapidement les torseurs d’action

mécaniques transmissibles, on s’oriente donc vers une modélisation isostatique (modèle 2).

Un exemple simple

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